ISOMETRIE NELLE

PAVIMENTAZIONI COSMATESCHE

DI SAN CLEMENTE AL LATERANO A

ROMA

Il giorno 21 aprile del 2017, la classe II°A del Liceo

Scientifico Giuseppe Peano si è recata nella Basilica di San

Clemente al Laterano per studiare le isometrie che vanno a

formare i motivi cosmateschi che ne caratterizzano il

pavimento.

•LA STORIA DELLA BASILICA1: Dietro San Clemente al

Laterano, per quanto essa, paragonata ai grandi monumenti di

Roma, possa apparire una basilica di poca importanza, si cela

una lunga storia; sotto di essa, infatti, si sono stratificate le

rovine di diverse costruzioni precedenti:

al livello più basso, vi sono i resti di

una costruzione andata distrutta

durante il noto incendio del 64 d.C.,

1 FONTI: http://www.basilicasanclemente.com/ita/index.php/storia/basilica

sovrastati da magazzini (horreum) in tufo risalenti al I secolo

d.C. (Età imperiale, successiva all'epoca neroniana), questi

ultimi affiancati dall'abitazione di un patrizio, presso la quale

era situato anche un piccolo tempio dedicato al culto Mitriaco.

Al piano subito sottostante il

terreno, si trovano quindi i resti di

una basilica costruita nel IV secolo,

in parte costituita dalle pareti del

secondo piano della suddetta

abitazione romana, la quale era già

interrata fino al soffitto del piano

inferiore. Nei pressi della basilica, in quei tempi vi era ancora

il piccolo tempio, ma il terreno che occupava fu presto (nel

395) acquistato dal clero di San Clemente e annesso alla

chiesa con la costruzione di un'abside, dato che il culto lì

praticato era adesso illegale.

Alla fine dell'XI secolo, in

seguito al sacco di Roma da

parte dei Normanni (1084),

questa basilica, a causa

delle devastazioni, era

ormai pericolante e

destinata al crollo; perciò, il

Titolare della chiesa allora

in carica Cardinal

Anastasio propose di sotterrarla e di ergerne una nuova sul

suolo che ne sarebbe stato ricavato, utilizzando come

fondamenta le frazioni di pareti della prima dissotterrate. Nel

1403 papa Bonifacio IX affidò la basilica di San Clemente

alla congregazione agostiniana di Sant'Ambrogio a Milano,

cui venne poi sottratta, in seguito alla soppressione da parte di

Urbano Vili, per mano di Camillo Pamphilj, il quale affidò la

chiesa ai Domenicani di San Sisto nel 1645. Successivamente,

nel 1677, la basilica e il convento di San Clemente vennero

assegnati ai Domenicani Irlandesi, i quali ancora oggi vi

risiedono. Nel XII secolo venne quindi costruita una nuova

basilica, di dimensioni ridotte rispetto alla precedente. Intanto,

gli edifici sotterranei su cui si erge la chiesa erano caduti

nell'oblio; solo nel 1870, in seguito agli scavi di Padre

Mulooy e Padre de Rossi, l'affascinante storia degli strati

sottostanti la basilica fu riportata alla luce.

•LA PIANTA DELLA BASILICA: A ovest il portone,

coperto da un protiro, si apre sull'ampio chiostro circondato da

un porticato, dal quale si può accedere a sud al convento, alla

sagrestia e agli scavi sottostanti, e a est all'interno della

basilica. Quest'ultima è divisa in tre navate da colonne

precedentemente appartenenti a costruzioni romane di Età

imperiale. Ai quattro vertici della pianta si trovano le cappelle

di Santa Caterina, di San Domenico, del Santissimo

Sacramento e di San Giovanni Battista; quest'ultima vede alla

sua sinistra la Cappella di San Cirillo. Sulla navata centrale,

all'altezza degli unici due fasci di pilastri, si trova la schola

cantorum (principalmente costituita da frammenti della

basilica sottostante), affiancata dai due amboni. L'imponente

abside si collega direttamente alla navata, senza transetto.

Sulla pianta sono contrassegnati i tappeti su cui si evolvono i

motivi isometrici studiati:

-GRUPPO A

-GRUPPO B

-GRUPPO C

-GRUPPO D

-GRUPPO E

•LE ISOMETRIE: Le isometrie sono movimenti rigidi che, in

quanto tali, non comportano variazioni nelle distanze che

danno precise dimensioni e forma all'oggetto, che esso sia una

figura monodimensionale, bidimensionale o tridimensionale2.

L'oggetto trasformato prende il nome di IMMAGINE.

Limitandosi alle isometrie applicabili nel piano euclideo, le

tipologie sono le sottoelencate:

•TRASLAZIONI (T): Le traslazioni sono isometrie che

consistono nello spostamento vettoriale del/degli ente/i in

questione; dato un vettore v, le immagini di tutti i punti cui

viene applicata la traslazione Tv sono quindi distanti da questi

ultimi |v|, e i segmenti che congiungono tali punti alle

rispettive immagini avranno coefficiente angolare pari a

quello del vettore e stesso verso (il punto come origine e la

sua immagine come l'estremo opposto).

•SIMMETRIE ASSIALI (S): Le simmetrie assiali sono

isometrie tali che, data un'asse di simmetria r (linea retta),

l'immagine A' di un punto A è l'estremo di un segmento AA'

ortogonale all'asse r e di punto medio appartenente a

quest'ultima.

2 Le figure adimensionali, in quanto prive di dimensioni, e quindi di distanze (o più propriamente, di distanze

tendenti a zero), restano, naturalmente, invariate nella forma così come le suddette ndimensionali.

•ROTAZIONI (R): Le rotazioni sono isometrie in cui, dato un

centro di rotazione O (punto) e un angolo di rotazione α,

l'immagine P' del punto P apparterrà ad una circonferenza di

centro O cui appartiene anche P stesso, tale che POP'=α.

α<0<=>la rotazione avviene in senso orario

α>0<=>la rotazione avviene in senso antiorario.

•SIMMETRIE CENTRALI (S): La simmetria centrale è un

caso particolare di rotazione in cui, essendo α=±180°, detti O

il centro di rotazione e P' l'immagine di un punto P, O, P e P'

sono allineati, e se congiunti formano un segmento PP' di

punto medio O.

Le simmetrie e le rotazioni vengono dette "isometrie

invertenti" in quanto, contrariamente alle traslazioni, pur

mantenendo invariate le forme degli enti spostati, ne alterano

l'ordine degli angoli (ad esempio, in un triangolo, un vertice

che inizialmente era il punto più alto della figura, nella sua

immagine in una simmetria di asse orizzontale sarà il più

basso).

Le isometrie possono essere composte, ossia applicate ad uno

stesso ente una dopo l'altra in molteplici combinazioni, che

non sempre godono di proprietà commutativa (ad esempio, la

composizione di una traslazione con una simmetria assiale

[S°T] non corrisponde sempre alla composizione opposta

[T°S]). Il numero di composizioni possibili è limitato.

Nelle pavimentazioni cosmatesche, soggetto di studio di

questa relazione, il "dominio fondamentale" o "modulo" è il

più piccolo frammento di motivo che, trasformato secondo

una composizione periodica di isometrie, porta allo sviluppo,

potenzialmente infinito, del motivo stesso.

•L'ARTE COSMATESCA: Tra il XII e il XIII secolo, in

Italia, ispirata allo stile bizantino, nasce dagli ingegni dei

marmisti romani, che già adoperavano le isometrie nella

creazione di opere musive su pavimenti di ville e mercati,

l'arte cosmatesca, la cui denominazione, coniata dall'architetto

Camillo Boito nel 1878, deriva dalle iscrizioni epigrafiche che

spesso accompagnano i fregi e le pavimentazioni, sulle quali

si possono leggere i nomi dei maestri artefici di esse, appunto

"Cosmatus" o "Cosmas" (Cosma di Iacopo Lorenzo e Cosma

di Pietro Mellini).3 Tali nomi, presumibilmente, hanno a loro

volta origine dall'arte da essi prodotta; infatti, i motivi

isometrici in questione rappresentano molto probabilmente il

Cosmo, in quanto le figure che si ripetono riportano spesso a

stelle, pianeti e satelliti, con i loro colori e le loro forme; la

geometria delle figure non può che essere un elogio alla

perfezione dell'Universo che senza presenza divina non

potrebbe esistere,4 connotazione che si trova, ad esempio,

anche nella danza sufica dei dervisci, il cui moto rotatorio sta

ad imitare la forma degli astri.5 Inoltre, entrando in una chiesa,

se si cammina sul "Cosmo" ci si sente fisicamente più "vicini

a Dio", in un luogo veramente sacro; questo concetto viene

ripreso con più esplicitezza nella chiesa di San Michele

Arcangelo a Napoli, il cui pavimento, rappresentante il

3 FONTE: https://it.wikipedia.org/wiki/Cosmati

4 FONTE: http://www.archeobiblio.com/cosmati4.htm

5FONTE: http://www.geometriadellinfinito.it/La_geometria_dellinfinito/Articoli/Voci/2010/7/21_La_Danza_Sufi.html

Paradiso Terrestre, è popolato da animali fantastici. Le

pavimentazioni cosmatesche, oltre a celare un profondissimo

significato esoterico, svolgono un'importante funzione

iconologica per le liturgie: mentre le “rotae", grandi cerchi (o

connessi tra loro attraverso fasce intrecciate, e in tal caso

chiamati “guilloche”, o collegati in gruppi da cinque in

armoniosi motivi detti “quinconce”) presumibilmente

rappresentanti galassie o pianeti, mostrano ai fedeli il tragitto

da percorrere (solitamente a forma di croce latina, simbolo del

cristianesimo), i “tappeti”, dei rettangoli posti per file nelle

zone non coperte dalle rotae, determinano dove i fedeli si

devono porre; questo “percorso guidato” sembra anche fare

riferimento al pellegrinaggio terrestre che precede

l’ascensione nel regno dei cieli.6

Rotae (guilloche)

Su ogni tappeto si articola un motivo isometrico, ma spesso,

anche se distanti l'uno dall'altro, è possibile trovare su più

tappeti lo stesso motivo, e anche in questo aspetto si cela

sovente un significato esoterico; non a caso, il motivo studiato

dal gruppo B presso la Basilica di San Clemente al Laterano si

ripete su tre tappeti: il numero tre, considerato "il primo

numero dispari", denota conciliazione: il triangolo viene visto

come l'unione di due punti (i vertici della base) mediante un

6 FONTE: http://matematica-old.unibocconi.it/tassellatura1/cosmati.htm

terzo punto superiore.7 E' infine interessante notare che i

marmi utilizzati per la creazione di pavimentazioni e fregi

cosmateschi provengono spesso da opere pagane spogliate in

epoca medievale; le rotae sono infatti fusti di colonne, ed è

possibile trovare frammenti di iscrizioni latine su alcune

tessere musive.

•LE ISOMETRIE NEI TAPPETI DI SAN CLEMENTE AL

LATERANO8: Durante l'esperienza presso la basilica, la

classe è stata divisa in gruppi che hanno studiato le isometrie

dei diversi tappeti. Per cominciare, posto un foglio di carta

lucida sul tappeto, vi hanno ricalcato il motivo, per poi

disegnarvi sopra assi di simmetria e centri di rotazione al fine

di ricavarne il dominio fondamentale.

Successivamente, riportato il motivo in

scala 1:1 e 1:10 su dei fogli F4 33x48cm,

il primo dei due disegni ricavati è stato

posto su una base di polistirolo ad alta

densità, cui sono stati applicati degli spilli

in corrispondenza dei vertici delle figure

che vanno a formare le

pavimentazioni;quindi, ricongiunti i vertici (adesso

contrassegnati dai fori prodotti dagli spilli) sulla base di

polistirolo, sono state ricavate, tagliando in corrispondenza

dei lati di ogni figura la stessa base, delle tessere imitative di

quelle prodotte originariamente dai marmisti del XII secolo.

7 FONTE: http://semplici.emozioni.forumfree.it/?t=71588283

8 La casualità dei marmi utilizzati per la creazione dell'opera musiva comporta una mancanza di simmetria nei

colori, se non a grandi linee; i colori verranno perciò distinti semplicemente tra "chiaro e scuro".

Queste ultime, sulle quali è stato applicato prima uno strato di

cementite, per renderne la superficie più liscia e simile alla

pietra, e successivamente uno di vernice del colore della

tessera originale (ricreato da alcuni degli studenti partecipanti

al progetto mescolando più tipologie di colorante concentrato

universale per pitture a base d'acqua, in percentuale cromatica

adeguata, con smalto all'acqua), sono state poi ricongiunte

per mezzo di un collante su una nuova base di polistirolo

(anch'essa colorata con della vernice grigia), a sua volta posta

all'interno di un contenitore ligneo. Quindi, per rendere più

simile alla pavimentazione originale la copia in polistirolo, le

fughe, volutamente lasciate evidenti nell'incollaggio delle

tessere, sono state riempite con reale malta nella stuccatura

finale.

Successivamente, il motivo è stato riprodotto digitalmente

mediante i programmi informatici Geogebra e CAD; il

disegno prodotto con

quest'ultimo, è stato quindi

stampato ed applicato sul

contenitore in cui già si

trovava il modello della

pavimentazione in

polistirolo, sullo spazio

restante, insieme ad una

pianta della basilica sulla quale sono state contrassegnate le

aree del pavimento decorate dai motivi studiati

rispettivamente da ogni gruppo; i disegni prodotti con

Geogebra, invece, sono stati utilizzati per l'illustrazione, su

slides e relazione, delle isometrie che portano all'evoluzione

dei motivi nei tappeti.

Segue l'illustrazione della pavimentazione studiata dal gruppo

B:

•Il motivo isometrico studiato ha origine dal modulo in figura:

•Al modulo viene applicata la simmetria Sr:

•Successivamente, il prodotto viene ruotato di ±60° su R, e

così anche la sua immagine e l'immagine di quest'ultima, per

cinque volte:9

•Il prodotto viene quindi ruotato sui baricentri dei quadrati

(M1, N1, O1, P1, Q1, R1) di ±180°:

9 Per questa fase della trasformazione, vi è un procedimento alternativo: infatti, al prodotto può essere

applicata la simmetria sull'asse s5, seguita da altre quattro simmetrie sulle immagini del segmento che, nel pentagono originale, corrisponde alla suddetta asse

•Anche i nuovi dodecagoni, così come i successivi ricavati,

vengono ruotati sui baricentri di tutti i quadrati (eccetto quelli

in comune con gli altri dodecagoni già presenti) di ±180°:

Nel motivo si riscontrano anche delle omotetie, ossia

trasformazioni in cui le distanze variano proporzionalmente: i

piccoli triangoli interni a quelli di dimensioni maggiori,

intermedi fra i quadrati, sono le immagini dei primi in

un'omotetia di centro P baricentro di entrambi e k=-½.