Iterata iuvantModelli matematici discreti e applicazioni

Progetto Lauree Scientifiche – Scuola Estiva di Matematica9 Settembre 2013

S F VDipartimento di Matematica - Sapienza Universita di Roma

Con la collaborazione di: F C C V

Con la collaborazione di:

1 IntroduzioneDalle indicazioni nazionali sui programmi della scuola superiore (liceo scientifico):

Obiettivi dello studio: ... 8) una conoscenza del principio di induzione matema-tica e la capacita di saperlo applicare, ...

SECONDO BIENNIO (Relazioni e funzioni) Lo studente acquisira la conoscenzadi semplici esempi di successioni numeriche, anche definite per ricorrenza ... Sarain grado di costruire semplici modelli di crescita o decrescita esponenziale, nonche diandamenti periodici, anche in rapporto con lo studio delle altre discipline; tutto ciosia in un contesto discreto sia continuo.

QUINTO ANNO ... In relazione con le nuove conoscenze acquisite, anche nell’am-bito delle relazioni della matematica con altre discipline, lo studente approfondira ilconcetto di modello matematico e sviluppera la capacita di costruirne e analizzarneesempi.

Principio di induzione, successioni per ricorrenza, modelli matematici, tre concetti(strettamente collegati tra loro) che le indicazioni nazionali sottolineano chiaramente,ma che poco spazio trovano di solito nei normali programmi scolastici. Il principiodi induzione viene spesso liquidato come un metodo ingegnoso per dimostrare cer-te divertenti formulette sui naturali. Le successioni per ricorrenza sembrano solo unasottoclasse speciale delle successioni, assai scomoda a causa della definizione di tipoimplicito, e quindi vengono in genere saltate a pie pari. Quanto al concetto di mo-dello matematico, la sua formalizzazione rimane piuttosto complessa, e si preferiscededicarsi al piu a un paio di esempi ad hoc.

In realta molti fenomeni che si ripetono a tempi discreti, e la cui evoluzione dipendedagli stati precedenti, possono essere descritti in modo ricorsivo a partire da una o piucondizioni iniziali. Non solo, anche molti algoritmi di grande utilita nelle applicazionihanno la forma di metodi iterativi dove ad ogni passo si cerca di ottenere un nuovo va-lore dai precedenti. Alla base del funzionamento di ogni computer c’e infatti la facilitadi ricevere dati in input e di trasformarli in dati in output, e di poter ripetere veloce-mente questo passaggio anche milioni di volte se serve. Sotto tutto questo c’e sempreuna successione definita per ricorrenza, ben definita dalla legge di trasformazione e dai

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dati iniziali. Proviamo a formalizzare il tutto nel caso piu semplice di un processo a unsingolo stadio. In simboli potremo scrivere{

xn+1 = f (xn) ,x0 = α

(1) ric

dove xn indica lo stato del sistema dopo n unita di tempo, α lo stato iniziale, mentre lafunzione f (x) descrive la legge di trasformazione (la dinamica). Ad esempio la succes-sione definita da xn+1 = 3xn+1, x0 = 1, generera la sequenza: 1, 4, 13, 40, 121, 364, ...

Se quindi e facile generare i valori di una successione del genere (a patto di avereun computer a disposizione), studiarne teoricamente il comportamento e molto piudifficile di quando si disponga di una formula esplicita per il termine n-mo. Il primoproblema e gia quello di dimostrare che la successione sia ben definita: per esempio sela funzione f contenesse una radice quadrata, si dovrebbe controllare che al crescere din il radicando non possa mai diventare negativo. E’ chiaro che una simile verifica nonpuo essere fatta controllando uno per uno tutti i termini, ed ecco che qui entra in giocoil principio di induzione. Apriamo quindi una breve parentesi.

2 Il principio di induzioneOgni volta che si vogliono dimostrare infinite proprieta indicizzate dai numeri naturali,grazie a questo principio possiamo farlo in soli due passi:

Se una proprieta P(n)i) vale per n = 1 (base dell’induzione),ii) supposta vera per n, risulta vera per n + 1 (passo induttivo),allora P(n) e vera per ogni n ∈ N.

Osservazione. Non e essenziale partire da n = 1. Basta che ci sia un inizio accer-tabile. Si potrebbe partire da n = n0, e P(n) sarebbe vera per ogni n ≥ n0.

Per dare un’idea figurata del procedimento si puo pensare all’effetto domino, quelgioco che consiste nel disporre in lunghe file le tessere del domino in piedi una vicinaall’altra in modo che la prima cadendo le faccia cadere via via tutte. Anche in quel casoperche il gioco riesca completamente servono due condizioni:

1) che si faccia cadere la prima tessera;2) che se cade una tessera questa faccia cadere la successiva della fila.Nei seguenti esercizi si chiedera di dimostrare delle identita indicizzate dai numeri

naturali. E il caso di dire: Mettetevi alla prova!

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interi Esercizio 1 Si provi che

1 + 2 + · · · + (n − 1) + n =12

n(n + 1).

dispari Esercizio 2 Si provi che

1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2.

quadrati Esercizio 3 Si provi che

12 + 22 + 32 + · · · + (n − 1)2 + n2 =16

n(n + 1)(2n + 1).

geometrica Esercizio 4 Dato q , 1 si provi che

q0 + q1 + q2 + · · · + q(n−1) + qn =1 − qn+1

1 − q.

Ora che siete sufficientemente allenati, considerate il seguente sorprendente teore-ma e la sua relativa dimostrazione per induzione. Provate a capire dove sta l’errore nelragionamento.

cavalli Esercizio 5 Teorema. Tutti i cavalli in natura hanno lo stesso colore.Dimostrazione: Un cavallo solo ovviamente verifica la proprieta. Supponiamo ora

che n cavalli abbiano sempre lo stesso colore e consideriamo un gruppo di n+1 cavalli.Se li mettiamo in fila e trascuriamo il primo, i restanti n devono avere lo stesso colore.Se allo stesso modo consideriamo i primi n trascurando l’ultimo, troviamo che devonoancora avere lo stesso colore tra loro e dato che l’intersezione tra i due gruppi e nonvuota, il colore sara lo stesso per tutti gli n + 1 cavalli (unione di due insiemi di ncavalli con n − 1 cavalli in comune). Quindi tutti i cavalli hanno lo stesso colore.

3 Le successioni per ricorrenzaPer tornare alle nostre successioni per ricorrenza, il ragionamento per induzione puoaiutarci a vedere se la loro definizione e corretta.

Esercizio 6 Verificare che la successione{xn+1 =

√xn − 1

x0 = 5

non e ben definita per ogni n ∈ N, mentre lo e la successione{xn+1 =

√2 + xn

x0 = 0 .

.

Se poi vogliamo studiare il comportamento di una successione come la (ric1), di nuo-

vo dobbiamo ricorrere a ragionamenti induttivi. Riguardo al limite, supponendo che lafunzione f sia continua, si puo ragionare cosı: se la successione ammette un limite Lfinito, allora per n → ∞ nella relazione costitutiva si otterrebbe L = f (L), per cui Ldeve necessariamente essere tra i punti fissi della funzione f (graficamente tali punticorrispondono alle intersezioni del grafico di f con quello della retta y = x, biset-trice di I e III quadrante). Analogamente la successione potrebbe avere limite ±∞ selimx→+∞ f (x) = +∞ o limx→−∞ f (x) = −∞ . Ma trovare uno o piu valori ammissibili

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per il limite non dimostra ancora nulla. Potrebbe succedere ad esempio che cambiandoil solo dato iniziale α, a parita di f , la nostra successione possa cambiare il valore delproprio limite o addirittura smettere di essere convergente. Dovremo aiutarci col ragio-namento e con alcuni risultati noti dell’analisi, come ad esempio quello che ci dice cheuna successione monotona ammette limite, finito, se limitata, o infinito, altrimenti, e dinuovo ci servira il principio di induzione.

Rilettura come sistemi dinamici. Osserviamo che i punti fissi della funzione fcorrispondono anche ai valori della condizione iniziale per i quali la successione risul-ta costante. Se inoltre un tale valore viene assunto dopo un numero finito di passi, nonsi modifichera piu per tutti i passi successivi (se xn = L, allora xk = L per ogni k > n).Risulta quindi interessante rileggere le successioni per ricorrenza come sistemi dina-mici discreti (di seguito abbreviati come SDD), modellini matematici in cui una certaquantita che all’istante iniziale valeva α si evolve in base alla dinamica descritta dallafunzione f . I punti fissi corrispondono allora ai possibili stati di equilibrio del sistema.

Il concetto di equilibrio puo essere esteso da un punto solo a una sequenza di puntiche si ripete indefinitamente sempre uguale: e il caso delle orbite periodiche.

Definizione. Si dice orbita periodica di periodo p del sistema dinamico (1) l’insie-me di p punti distinti {x0, x1, . . . , xp−1} tali che

xn = f (n)(x0) per n = 1, . . . , p − 1, f (p)(x0) = x0 .

In pratica i punti fissi sono orbite di periodo 1. Inoltre i punti di un’orbita periodicadi periodo p corrisponderanno a p punti fissi dell’equazione

xn+1 = f (p)(xn) ,

e quindi stavolta ai punti di intersezione del grafico della funzione f (p)(x) con la biset-trice.

Un metodo grafico. Per lo studio delle successioni di ricorrenza e dei loro equilibripuo essere di grande aiuto il cosiddetto diagramma a ragnatela (cobweb diagram ininglese, v. Figura

cobweb1). L’idea e semplice. Intanto abbiamo gia osservato che i punti fissi

della funzione di iterazione f sono individuati nel piano xy dai punti di intersezione delgrafico di f con quello della retta y = x. Tracciamo quindi contemporaneamente i duegrafici sovrapposti (di f e della bisettrice) e studiamo l’andamento della successionenel seguente modo:

(i) individuato il punto (x0, 0) dell’asse x si traccia da questo il segmento verticale chelo congiunge al grafico di f , individuando il punto (x0, f (x0) = x1);(ii) da quest’ultimo si traccia il segmento orizzontale che ci riporta alla bisettrice y = xnel punto (x1, x1);(iii) da questo si traccia il segmento verticale fino al grafico di f in (x1, f (x1) = x2);(iv) da questo si traccia il segmento orizzontale fino alla bisettrice in (x2, x2);e cosı via....

In altre parole zig-zagando tra i due grafici il nostro utile ragnetto puo farci ca-pire dove ci stanno portando le iterazioni, se stiamo tendendo verso un punto fisso ein che modo (per esempio monotono oppure oscillante) o se invece ci stiamo allonta-nando da esso. E questo ci consente di introdurre anche un altro concetto molto utilenelle applicazioni e nello studio dei modelli, quello della stabilita. Gli equilibri di unsistema dinamico (punti fissi ma anche orbite) possono essere stabili oppure instabi-li: in parole povere, se partendo vicino a un equilibrio il sistema non si allontana daesso o addirittura ci si avvicina, parleremo di equilibrio stabile, se invece il sistemasi allontana parleremo di equilibrio instabile. La questione e importante, perche ci fa

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capire se piccole perturbazioni sui dati del problema sono ininfluenti o possono invecedrasticamente cambiare l’evoluzione del sistema.

Figura 1: Diagramma a ragnatela della successione xn+1 = xn(1 − xn) cobweb

Vediamo alcuni esempi.N.B. Se non si riesce a dimostrare una delle affermazioni si puo comunque as-

sumerla vera e passare alla dimostrazione della successiva. Ove possibile aiutatevicol metodo grafico.

Esercizio 7 Si consideri la successione{xn+1 = 1/xn

x0 = α ∈ R.

(i) Determinare i suoi punti fissi.(ii) Studiarne il comportamento per n→ ∞ al variare di α.

Esercizio 8 Si consideri la successione gia introdotta nell’Esercizio 6:{xn+1 =

√2 + xn

x0 = 0 .

(i) Si provi che xn < 2.(ii) Si provi che xn < xn+1.(iii) Trovare i numeri reali per i quali xn = xn+1 e dedurne il limite della successione.(iv) Cosa cambia se x0 = 3?(v) Esiste un valore iniziale per cui la successione diverge?

ragnatela Esercizio 9 (i) Determinare graficamente il limite della successione xn+1 = f (xn) se ilgrafico della funzione f e quello in Figura

es_graf2 e il valore iniziale x0 vale rispettivamente

α, β o γ.(ii) Discutere di conseguenza la natura (stabile o instabile) degli equilibri 0, xA e xB

per la successione precedente.

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Figura 2: Grafico per l’Esercizio 10 es_graf

4 Alcune applicazioni

4.1 Un algoritmo per calcolare la radice di dueErone Esercizio 10 Consideriamo l’algoritmo di Erone, ovvero il sistema di iterazioni xn+1 =

12

(xn +

2xn

)x0 = 2

.

Si calcolino le prime quattro iterazioni, poi(i) Si mostri che xn > 0.(ii) Si provi che x2

n > 2.(iii) Si provi che xn > xn+1.(iv) Concludere che la successione converge proprio alla radice di due.

Potremmo accontentarci, ma quando si usa un algoritmo ci interessa non solo checalcoli il valore desiderato, ma anche la sua efficienza (o velocita di convergenza) perottenere quel valore con la precisione desiderata, e vorremmo anche sapere quandofermarci con la certezza di aver raggiunto tale precisione (ci serve cioe un criterio diarresto). Per saperne di piu andiamo avanti:

(v) Si mostri che

xn −√

2 <x0 −

√2

2n .

(vi) Si mostri chexn+1 −

√2 < xn − xn+1 .

La stima (v), oltre a confermarci la convergenza della successione, ci dice che l’er-rore si dimezza almeno ad ogni iterazione, fornendo una prima stima a priori dellavelocita di convergenza. La stima (vi) ci fornisce invece un criterio di arresto pratico:possiamo fermarci appena la differenza tra due iterate successive e piu piccola dellaprecisione voluta, ma che questa condizione si verifichi davvero ce lo garantisce ineffetti solo la stima precedente.

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4.2 Un modello economicoEsercizio 11 (Legge della domanda e dell’offerta) Studiamo l’andamento del prez-zo pn di un certo bene al tempo tn. Dette S n e Dn rispettivamente la quantita offer-ta e quella domandata del bene in questione al tempo tn (dai termini inglesi Sup-ply e Demand), supponiamo (ipotesi semplificata ma ragionevole) che esse dipendanolinearmente dal prezzo:

D(pn) = a − dpn, S (pn) = −b + spn,

dove d, s, a, b sono quattro costanti positive (le prime due esprimono rispettivamentela sensibilita dei consumatori e quella dei fornitori al prezzo del bene). Com’e ovvioun aumento del prezzo causa una diminuzione della domanda e un incremento dell’of-ferta. L’ipotesi di base e che il prezzo di mercato si formi proprio dall’equilibrio tra ladomanda e l’offerta.(i) Si calcoli l’espressione del prezzo di equilibrio pe dall’uguaglianza D(pe) = S (pe),e si osservi che graficamente questo corrisponde all’ascissa (positiva) del punto diintersezione delle due rette y = a − dx e y = −b + sx.

Vogliamo ora simulare come si vada formando dinamicamente il prezzo di merca-to. Per decidere la merce da immettere sul mercato al tempo tn+1 i produttori farannoriferimento al prezzo del bene conosciuto al tempo tn, mentre la domanda si adegueraistantaneamente. Possiamo quindi riscrivere in forma ricorsiva le due leggi precedenti:

Dn+1 = a − dpn+1, S n+1 = −b + spn;

(ii) si ricavi dall’uguaglianza Dn+1 = S n+1 la legge ricorsiva per il prezzo unitario pn, esi verifichi che l’unico punto fisso della trasformazione e proprio il prezzo di equilibriope.(iii) si provi graficamente che se s < d il prezzo oscillera avvicinandosi sempre piu aquello di equilibrio (stabilita);(iv) si provi graficamente che se s > d il prezzo oscillera allontanandosi sempre piudal prezzo di equilibrio (instabilita);(v) si provi graficamente che se s = d il prezzo oscillera alternativamente tra due prezzifissati (ciclo di periodo due).

In altre parole il rapporto tra s e d produce stabilita o instabilita nel comportamentoasintotico del prezzo del bene. E il cosiddetto Teorema della ragnatela per l’Econo-mia: ’Se i fornitori sono meno sensibili al prezzo rispetto ai consumatori il mercatorisultera stabile, altrimenti diverra instabile’.

4.3 La successione di FibonacciLa nota successione {

an+2 = an + an+1a1 = a2 = 1

fu introdotta da Leonardo Pisano (detto il Fibonacci) intorno al 1200 per risolvere ilseguente problema: sapendo che una coppia di conigli adulti genera una coppia difigli al mese, e questi diventano adulti in due mesi generando a loro volta un’altracoppia di conigli, quante coppie ci saranno dopo n mesi se si inizia un allevamentocon una coppia di conigli adulti ?

Si tratta chiaramente di una successione definita per ricorrenza, questa volta a duepassi, in quanto ogni elemento e la somma dei due che lo precedono. Per poter partiree quindi necessario assegnare due stati iniziali invece di uno, ma lo strumento chiave e

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sempre l’induzione. In questo caso non e difficile dimostrare che la successione tendeall’infinito (per questo si dice crescere come conigli...):

Fibonacci Esercizio 12 Si calcolino i primi 10 termini della successione. Poi(i) Si provi per induzione che la successione ha termini tutti positivi ed e crescente.(ii) Si provi che se la successione ammette limite questo puo essere solo 0 o +∞.(iii) Concludere che la successione tende all’infinito.

(iv) Il tasso di accrescimentoUn problema piu interessante e invece quello di determinare il tasso di accrescimentodell’allevamento, cioe di quanto presumibilmente crescera ogni mese a regime il nu-mero delle coppie presenti. Per farlo occorre studiare la successione bn = an+1/an. Efacile vedere che si tratta ancora di una successione definita per ricorrenza:{

bn+1 = 1 + 1bn

b1 = 1

Il tasso tendenziale di accrescimento dell’allevamento sara allora, se esiste, il limitedella successione {bn}. Proviamo che(v) tale limite esiste ed e pari al numero

b =1 +√

52

= 1.6180339887....(la sezione aurea!) ;

in altre parole se un mese nell’allevamento ci sono un centinaio di coppie, il mese se-guente se ne dovrebbero trovare circa 160. Per dimostrarlo provate a seguire il seguenteragionamento in 5 passi:

(1) Mostrare che se bn → L, allora L = (1 ±√

5)/2. Concludere che l’unico limitepossibile, se la successione converge, deve essere il numero b.

(2) La successione non e monotona. Dimostrare che

bn+2 = 1 +bn

1 + bn= 2 −

11 + bn

;

dimostrare quindi per induzione che la successione dei termini dispari verifica bn < b.(3) Dedurne che la successione dei termini di indice dispari e una successione

crescente e limitata da b e che essa tende proprio a b.(4) Con ragionamento analogo si provi che la successione dei termini di indice pari

verifica bn > b ed e decrescente verso il numero b.(5) Osservare che se b2n → b e b2n+1 → b, allora tutta la successione bn → b.

(vi) Sapreste modificare il modello di Fibonacci supponendo che ogni mese la meta deinuovi nati venga venduta? Provate a scrivere la nuova successione e a determinarequale sara ora il suo tasso di accrescimento.

4.4 Un modello biologico: la mappa logistica

A questo punto siamo pronti per spiccare un balzo e salire decisamente di tono! Unodei piu noti modelli di crescita di popolazioni in campo biologico e quello legato allacosiddetta mappa logistica, come il seguente SDD:{

xn+1 = αxn(1 − xn)x0 = 1/5 .

Questa legge ha una lunga storia: fu proposta nel 1845 da P.F. Verhulst come modellomatematico per lo studio dei fenomeni di crescita delle popolazioni in situazioni di

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risorse limitate. Se immaginiamo anche questa volta che xn indichi la densita dellapopolazione considerata (quindi xn ∈ [0, 1]), osserviamo che la specie crescera infattiin modo proporzionale alla sua stessa densita, ma la crescita verra frenata dal quadratodi questa. Se gli individui si distribuiscono in un ambiente vasto con sufficienti risorseper tutti, l’interazione tra gli individui e scarsa, xn e molto piccola e quindi il terminequadratico sara in pratica trascurabile: la crescita (ad un tasso riproduttivo α > 1) saradi tipo esponenziale. Ma appena gli individui arriveranno a contendersi le risorse (xn

si avvicina a 1), il termine quadratico diventera sempre piu importante e frenera diconseguenza la crescita. E il tipico andamento a esse detto appunto curva logistica (v.Figura

esse_log3). E interessante capire, in funzione del parametro α, quale sara l’evoluzione

effettiva del sistema, se la popolazione si estinguera (xn → 0), se raggiungera un’altroequilibrio non banale (xn → L), o se oscillera tra diversi stati piu o meno ricorrenti.

Figura 3: Esempio di crescita logistica esse_log

La discussione ci puo portare a scoprire aspetti matematici sorprendenti. La cosanotevole e infatti che, nonostante la forma relativamente semplice, il modello presen-ta fenomeni complessi che richiedono teorie matematiche molto piu solide di quelledisponibili nella scuola superiore. Si puo mostrare in particolare che il sistema e ditipo caotico, e che variando il parametro α si ottengono dinamiche totalmente differen-ti. Qui ci limiteremo solo a studiare qualche situazione semplice (con le tecniche giautilizzate in altri esempi) e apparentemente rassicurante.

logistica Esercizio 13 Rispondere alle seguenti questioni.(i) Provare che la mappa logistica manda [0, 1] in [0, 1] se e solo se α ∈ [0, 4].(ii) Provare che se α = 1 allora xn+1 ≤ xn.(iii) Provare che se α = 2 allora xn+1 ≥ xn.(iv) Mostrare che gli unici punti fissi della mappa logistica sono p0 = 0 e pα = α−1

α.

(v) Ricavare sulla base di quanto visto il limite della successione per α = 1 e α = 2.(vi) Cosa cambia nel comportamento della successione se partiamo da x0 = 2/3?

Dal primo punto ricaviamo in particolare che l’intervallo [0, 4] e l’unico insieme incui far variare α in modo che il modello mantenga un significato biologico (matema-ticamente potremmo andare anche oltre, ma avremo gia abbastanza problemi cosı...).Gli altri punti ci dicono che per α = 1 la specie si estinguera gradatamente (il tassoriproduttivo e troppo basso), mentre per α = 2 la specie raggiungera rapidamente l’e-quilibrio perfetto, quello con se stessa e le risorse a disposizione, senza fluttuazioni disorta. E la situazione del paradiso terrestre, ma come vedremo il peccato originale eanche in questo caso in agguato....

Avendo a disposizione un computer potremmo svolgere il seguente esercizio:

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Esercizio 14 Scrivere le prime 50 iterazioni generate dalla legge logistica consideran-do per a = 1, 2, 3, 3.25, 3.5, 3.75, 4. Provare a rappresentarle graficamente.

Non serve essere maghi del computer: in appendice trovate alcuni siti web dovepotrete interattivamente fare le vostre simulazioni senza sforzo. Per i primi valori di αritroviamo quanto gia dimostrato, ma poi la situazione cambia rapidamente, e diventa dilettura via via piu difficile. E’ possibile (ma non e questo il luogo dove farlo) dimostrareche appena α > 3 la dinamica cresce di complessita creando comportamenti periodicidi periodo arbitrariamente grande, in quanto esistono infinite soglie αn che mutano ilcomportamento delle iterate del nostro sistema.

Nella Figuralogistic4 che segue si vede il cosiddetto diagramma di biforcazione della fun-

zione logistica in funzione del parametro α (in ascissa) tra 2.4 e 4. Lo schema evidenziasostanzialmente i punti di equilibrio e le orbite periodiche del sistema: si puo osservareche fino ad α = 3 c’e un solo equilibrio, che poi si trasforma in un’orbita 2-periodica(il sistema oscillera di fatto tra due stati). Aumentando ancora α il periodo raddoppieraancora (periodo 4), e poi ancora (periodi 8, 16, 32,...) fino ad un vero e proprio compor-tamento caotico (con delle strane eccezioni, le zone chiare della mappa corrispondentiad un comportamento piu regolare ...).

Figura 4: Diagramma di biforcazione della mappa logistica logistic

Per concludere, anche se il modello logistico non nasce certo per simulare il com-portamento della specie umana, possiamo concludere con una breve morale: tassi ri-produttivi troppo deboli conducono all’estinzione, tassi troppo elevati al caos. Se aspi-rate a una societa tranquilla e senza scosse (ma anche un tantino noiosa...) andate eriproducetevi con moderazione.

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Iterata iuvant - SOLUZIONI

5 Il principio di induzione

5.1 Esercizio 1interi

Come spiegato prima tutte le dimostrazioni per induzione si snodano nello stesso modo:inizialmente bisogna verificare che l’affermazione da dimostrare e vera per un numeronaturale che funge da punto di partenza, dopo si prova che dalla validita della relazioneper (n − 1) discende la validita per n.

In questo caso notiamo che

1 =12· 1 · (1 + 1),

quindi l’identita e vera per n = 1; adesso prendiamo per buono che

1 + 2 + 3 + · · · + n =12

n(n + 1),

per provare la relazione aggiungiamo n + 1 ad ambo i membri precedenti in modo daottenere (con qualche calcolo)

1 + 2 + 3 + · · ·+ n + (n + 1) =12

n(n + 1) + (n + 1) = (n + 1)[n2

+ 1]

=12

(n + 1)(n + 2) .

A questo punto l’esercizio e terminato. Per convincersi ulteriormente dell’identita pro-vata si rifletta sulla Figura

fig15.

Figura 5: v. Esercizio 1 fig1

Oppure si osservi che ad esempio per n = 6, sommando per colonne:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 66 + 5 + 4 + 3 + 2 + 17 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 6 · 7 = 42 = 2 · 21 .

5.2 Esercizio 2dispari

Ragionando come nell’esercizio precedente abbiamo che l’identita e facilmente verifi-cata per il primo numero naturale dispari, infatti per n = 1 si ha

1 = (2 · 1 − 1) = 12;

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a questo punto assumiamo che sia vero

1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2,

e sommiamo a destra e a sinistra il successivo numero dispari (2(n + 1) − 1) = (2n + 1)in modo da avere

1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) + (2n + 1) = (n)2 + (2n + 1) = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2,

e l’uguaglianza segue ricordando lo sviluppo del quadrato di un binomio. Anche quiproponiamo in Figura

fig26 una interpretazione “grafica” dell’identita dimostrata.

Figura 6: v. Esercizio 2 fig2

5.3 Esercizio 3quadrati

Per n = 1 l’identita da provare diventa 1 =16·1 ·2 ·3; quindi passiamo subito a mostrare

il passo induttivo e supponiamo che sia vera la relazione

12 + 22 + 32 + · · · + (n − 1)2 + n2 =16

n(n + 1)(2n + 1).

Per provare la nostra tesi aggiungiamo dappertutto quello che serve per ottenere ilprimo membro corretto e operiamo con un po’ di algebra sul secondo membro

12 + 22 + 32 + · · · + n2 + (n + 1)2 =16

n(n + 1)(2n + 1) + (n + 1)2

=16

[2n3 + 3n2 + n + 6(n2 + 2n + 1)

]=

16

[2n3 + 9n2 + 13n + 6

],

e concludiamo verificando che l’ultimo termine corrisponde alle nostre attese...(n + 1)(n + 2)(2n + 3) = (n2 + 3n + 2)(2n + 3) = 2n3 + 9n2 + 13n + 6.[v. Figura

fig47, un po’ meno facile da leggere]

5.4 Esercizio 4geometrica

Il protagonista di questo esercizio e la progressione geometrica, in particolare vogliamoscrivere in maniera sintetica la sua somma. Procedendo per induzione verifichiamosubito la relazione per n = 1, infatti viene che

q0 + q1 = 1 + q =(1 − q)(1 + q)

1 − q=

1 − q2

1 − q,

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Figura 7: v. Esercizio 3 [3(1 + 22 + ... + n2) = n(n + 1)(n + 1/2)] fig4

e, in realta, era ancora piu semplice verificarlo per n = 0

q0 = 1 =1 − q1 − q

,

visto che a noi serve un qualsiasi punto di partenza.... Adesso supponiamo di averdimostrato che

q0 + q1 + q2 + · · · + q(n−1) + qn =1 − qn+1

1 − q,

dalla precedente uguaglianza segue che

q0 + q1 + · · · + qn + q(n+1) =1 − qn+1

1 − q+ q(n+1) =

1 − qn+1 + q(n+1) − q(n+2)

1 − q=

1 − qn+2

1 − q,

ricordando le proprieta delle potenze. Questi calcoli terminano la dimostrazione dell’i-dentita. Apriamo una piccola parentesi: se q ∈ (0, 1) e possibile mostrare che

∞∑k=0

qk = q0 + q1 + q2 + · · · + qn + · · · =1

1 − q,

tale uguaglianza puo essere provata grazie alle proprieta dei limiti o ragionando sullaFigura

fig68.

5.5 Esercizio 5cavalli

L’errore sta nel passo induttivo, che non si puo applicare per n = 1. Un insieme didue cavalli e infatti unione di due insiemi formati da un solo cavallo, e quindi senzaalcuna intersezione tra loro! E’ come se avessimo tolto la seconda tessera del domino,e la prima cadendo non urtasse piu la terza. Se questa non cade allora non ne cadenessun’altra, e il processo non parte proprio! E cosı per fortuna possiamo apprezzarela grande varieta di cavalli in natura (ma anche di uccelli, pesci, ecc.).

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Figura 8: v. Esercizio 4 fig6

6 Le successioni per ricorrenza

6.1 Esercizio 6Vediamo subito che per la prima successione il nostro meccanismo si inceppa dopopochi passi:

x0 = 5; x1 =√

4 = 2; x2 =√

1 = 1; x3 =√

0 = 0; x4 =√−1 !!!

e non possiamo piu proseguire. La seconda successione e invece ben definita, perchex0 ≥ 0 e se un termine e non negativo anche il termine successivo lo e (2 + xn non saraquindi mai negativo).

6.2 Esercizio 7I punti fissi della successione verificano L2 = 1 e quindi sono i valori L = ±1. Per ogniα , ±1 pero la successione oscilla infinite volte tra i due valori α e 1/α e quindi nonconverge. Con le notazioni che abbiamo dato, possiamo dire che il sistema ha un’orbitaperiodica di periodo due.

6.3 Esercizio 8(i) x0 < 2; se xn < 2 allora: xn+1 =

√2 + xn <

√2 + 2 = 2.

(ii) La relazione xn < xn+1 =√

2 + xn sara verificata se x2n < 2 + xn e xn ≥ 0, cioe se

0 ≤ xn < 2, ed e sempre vera per −2 ≤ xn < 0, quindi in definitiva per −2 ≤ xn < 2; maquest’ultima relazione e soddisfatta per quanto dimostrato nell’Esercizio 6 e nel puntoprecedente.(iii) La nostra successione e dunque positiva, crescente e limitata superiormente da 2,quindi sara convergente ad un numero finito L ≤ 2. I possibili valori di L si ottengonorisolvendo L =

√2 + L, e l’unico valore accettabile e 2. Quindi L = 2.

(iv) Se x0 = 3 ovviamente la (ii) non vale piu, ma vale il viceversa: xn > 2. Allora perquanto dimostrato in (iii) la successione sara decrescente e limitata inferiormente da 2,

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quindi ancora convergente al valore 2, ma dall’alto stavolta. Ecco un buon esempio distabilita!(v) Per quanto visto sopra il limite +∞, anche se ammissibile, non e raggiunto in nessuncaso.

6.4 Esercizio 9ragnatela

(i) Basta tracciare i diagrammi a ragnatela partendo dai punti α, β, γ (v. Figuraes_graf_sol9).

(ii) 0 e xB sono equlibri instabili, mentre xA e stabile.

Figura 9: v. Esercizio 9 es_graf_sol

7 Le applicazioni

7.1 Esercizio 10Erone

Con l’aiuto di una calcolatrice si ottiene:

x0 = 2, x1 = 1.5, x2 = 1.41667, x3 = 1.4142157, x4 = 1.4142135 . . .

e vediamo che dopo appena pochi termini gia cinque cifre dopo la virgola sembranoessersi stabilizzate. Ma per capire se si tratti solo di un’impressione o no ci aiuterarisolvere i punti successivi.(i) Il fatto che xn sia sempre positivo e una conseguenza del fatto che x0 = 2 > 0 e chele iterazioni successive sono ottenute come media aritmetica di due quantita positive.(ii) Dalla disuguaglianza (a2 + b2) ≥ 2ab segue che

xn+1 =12

(xn +

2xn

)≥

12

2√

xn

√2√

xn=√

2,

che e quanto dovevamo provare.(iii) Dobbiamo dimostrare che la successione decresce, cioe che, dalla definizione,

xn >12

(xn +

2xn

);

si vede abbastanza facilmente che cio si verifica se e solo se x2n > 2, che e quanto

avevamo dimostrato al punto (ii).

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(iv) I precedenti argomenti dovrebbero farci intuire che le iterazioni convergono proprioa√

2. La successione infatti decresce mantenendosi sempre maggiore di√

2; questobasta a dimostrare che converga a un numero L ≥

√2. Ma L dovra per forza verificare

l’equazione 2L = L + 2/L, cioe L2 = 2, quindi L =√

2. Infatti l’algoritmo di Eronefornisce proprio un metodo pratico per approssimare questo numero irrazionale!

(v) Per ogni n si ha xn >√

2 e quindi 2/xn <√

2. Allora

xn+1 =12

(xn +

2xn

)<

12

(xn +√

2),

da cui xn+1 −√

2 < (xn −√

2)/2. Iterando segue la tesi. Quindi la differenza tra xn e ilvalore

√2 tende a zero al crescere di n, e l’errore si dimezza almeno ad ogni passo.

(vi) Ancora dalla relazione vista al punto precedente: 2xn+1 < xn +√

2, da cui, sot-traendo a entrambi i membri (xn+1 +

√2) si ottiene la tesi, che afferma in sostanza che

se mi fermo dopo n + 1 passi, la mia distanza dal valore corretto di√

2 e minore delladifferenza xn − xn+1. Abbiamo quindi trovato un ottimo criterio d’arresto per il nostroalgoritmo: ci riterremo soddisfatti, e quindi fermeremo le iterazioni, non appena quelladifferenza sara diventata piu piccola della precisione voluta.

7.2 Esercizio 11Domanda/Offerta

(i) Dall’uguaglianza D(pe) = S (pe) si ricava facilmente

pe =a + bd + s

,

valore positivo per le ipotesi sui parametri. (v. Figura 10)(ii) Dall’uguaglianza Dn+1 = S n+1 si ottiene la legge ricorsiva per il prezzo:

pn+1 = −sd

pn +a + b

d

il cui unico punto fisso risulta proprio pe.

pe

D

S

p

Q

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Figura 10: Il prezzo di equilibrio pe (v. Esercizio 11 (i))

Vediamo come per l’andamento dei prezzi risulti determinante il rapporto tra s e d,cioe la pendenza (il coefficiente angolare) della retta y = − s

d x + a+bd .

(iii) se s < d la retta dell’offerta ha minore pendenza (in valore assoluto) di quelladella domanda, allora −s/d > −1, cioe la retta che esprime la dinamica ha pendenzainferiore a quella della bisettrice del primo quadrante, e i valori dei prezzi oscilleranno

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attorno a quello di equilibrio avvicinandosi ad esso sempre piu.(iv) se invece s > d succede il contrario, −s/d < −1, cioe la dinamica ha pendenzasuperiore a quella della bisettrice del primo quadrante, e i valori dei prezzi oscillerannoattorno a quello di equilibrio ma allontanandosene sempre piu.(v) nel caso limite s = d, −s/d = −1 (stessa pendenza delle due rette), e il prezzooscillera all’infinito tra i valori p0 (iniziale) e p1 = −p0 + a+b

d .Le tre situazioni sono raffigurate in Figura 11.

7.3 Esercizio 12Fibonacci

Scriviamo i primi termini della successione (e proviamo a immaginare di vedere saltel-lare sotto i nostri occhi mese dopo mese tutti i conigli che si aggiungono):

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ....

Dopo un anno avremo gia un bell’allevamento. Analizziamo bene i termini della suc-cessione per avere l’evidenza che senza nostro intervento questa tendera all’infinito.(i) I termini sono ovviamente tutti positivi (lo sono i primi due, e se lo sono tutti quellifino all’indice n, lo sara anche il termine (n + 1)-mo. Segue subito che la successione ecrescente.(ii)-(iii) Per il punto precedente la successione avra limite, finito o infinito. Ma l’uni-co limite finito possibile sarebbe zero, soluzione di L = 2L, e quindi la successionediverge.(iv) A questo punto, da imprenditori, ci interessa soprattutto capire qual e il tassotendenziale di crescita dell’allevamento, per poter valutare per esempio quanta par-te della produzione possiamo andare a vendere al mercato e quindi quanto potremmoguadagnare dal nostro lavoro. Per farlo dobbiamo studiare il carattere della successione

bn+1 =an+2

an+1=

an+1 + an

an+1= 1 +

an

an+1= 1 +

1bn

, b1 = 1 .

(v) Dimostriamo che esiste il limite della successione e coincide col valore della sezio-ne aurea. Procediammo per passi successivi:

(1) Se la successione bn ammette un limite L, questo dovra necessariamente verifi-care L = 1 + 1/L, cioe L2 − L−1 = 0, equazione risolta dai valori (1±

√5)/2. Ma dalla

definizione di bn i nostri termini sono tutti positivi, quindi l’unico valore ammissibilesara b = 1.6180339887....

(2) La successione non e in questo caso monotona, perche si puo mostrare che isuoi termini oscillano attorno al valore b. Vediamone qualche termine (arrotondato allesette cifre decimali):

1, 2, 1.5, 1.6666667, 1.6, 1.625, 1.6153846, 1.6190476, 1.6176471, 1.6181818, ...

La relazione tra un termine bn e il termine bn+2 e la seguente:

bn+2 = 1 +1

bn+1= 1 +

11 + 1

bn

= 1 +bn

1 + bn= 2 −

11 + bn

;

se ci limitiamo ai soli termini dispari allora, b1 = 1 < b, e se bn < b (con n dispari)allora bn+2 < 2 − 1

1+b = b ; quindi tutti i termini dispari sono sotto b.(3) Mostriamo che la successione dei termini dispari e crescente: serve

bn+2 = 2 −1

1 + bn> bn

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Figura 11: a) s < d; b) s > d; c) s = d (v. Esercizio 11 (iii)-(v))

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se n e dispari, che e vero se b2n −bn −1 < 0, cioe se bn < b, come gia dimostrato. Allora

la successione dei termini dispari convergera ad un numero finito che puo essere solob per quanto provato precedentemente.

(4) La successione dei termini pari decresce verso b: la dimostrazione e del tuttosimile alla precedente.

(5) Segue dalla definizione di limite di una successione, visto che questa coincidecon l’unione dei termini pari e di quelli dispari.

(vi) La nuova successione avra la forma: an+2 = an+1 + an/2 .Di conseguenza la successione dei tassi di accrescimento sara data da:

bn+1 = 1 +1

2bn,

e il suo probabile punto di equilibrio sara la soluzione positiva dell’equazione di se-condo grado: 2x2 − 2x − 1 = 0, cioe b = (1 +

√(3))/2 ' 1.36. Insomma questa

volta l’allevamento crescera solo del 36% a stagione, ma ci saremo garantiti una buonarendita.

7.4 Esercizio 13logistica

Cominciamo a rispondere alle questioni andando per ordine.(i) Se x ∈ [0, 1] ⇒ x − x2 ≥ 0, e quindi occorre che α sia positivo. D’altra parte sevogliamo che xn ≤ 1 ci serve che il trinomio di secondo grado αx2 − αx + 1 resti nonnegativo per ogni x ∈ [0, 1], relazione vera solo se il discriminante e negativo o nullo,ovvero per α ≤ 4.(ii) Osserviamo subito che x(1 − x) = x − x2 ≤ x per qualsiasi valore della x, da cuisegue la prima affermazione.(iii) Quando α = 2 e facile provare che 2x(1 − x) ≥ x se e soltanto se 0 < x < 1/2,inoltre vale anche 2x(1 − x) ≤ 1/2 per ogni x. Poiche partiamo dal valore 1/5 e nonpossiamo andare oltre 1/2, le iterazioni crescono, come dovevamo dimostrare.(iv) Per rispondere, si tratta di risolvere l’equazione algebrica di secondo grado x =

αx(1− x), cioe x(αx+ (1−α)) = 0, da cui la risposta x1 = 0 e x2 = (α−1)/α. Quindi unequilibrio per la mappa logistica sara sempre lo zero, per ogni α, mentre l’altro dipendeda α stesso (abbiamo ignorato il caso non interessante in cui α = 0).(v) Da quanto visto per α = 1 la successione convergera decrescendo a 0 (equilibriostabile del sistema), mentre per α = 2 la successione convergera crescendo al numero1/2 = (2 − 1)/2.(vi) Se x0 = 2/3 non cambia nulla per α = 1 (l’estinzione sara solo all’inizio piu lenta),mentre per α = 2 la successione questa volta decrescera al valore 1/2.

Un po’ di bibliografia per approfondire1. G.I. Bischi, R. Carini, L. Gardini, P. Tenti, Sulle orme del caos. Comportamenti

complessi in modelli matematici semplici, Bruno Mondadori, 2004

2. G. Gaeta, Modelli matematici in biologia, Springer, Milano, 2007

3. M. Giaquinta, G. Modica, Analisi matematica 2. Approssimazione e processidiscreti, Pitagora, Bologna, 1999

4. G. Israel, Modelli matematici, Muzzio, Roma, 2002

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5. E. Salinelli, F. Tomarelli, Modelli dinamici discreti, Springer, Milano, 2009

6. I. Stewart, Dio gioca a dadi? La matematica del caos, Bollati Boringhieri, 1993

Alcuni siti web sulla logistica.http://math.la.asu.edu/˜chaos/logistic.html

http://www.geom.uiuc.edu/˜math5337/ds/applets/iteration/Iteration.

html

http://brain.cc.kogakuin.ac.jp/˜kanamaru/Chaos/e/Logits/

http://math.bu.edu/DYSYS/applets/bif-dgm/Logistic.html

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