Capitolo 3. Logica
3. Logica
Obiettivi di apprendimento:Relazioni, dati e previsioni 6T, 7T, 8T, 10Q.
La logica nel linguaggio comune...
I ‘‘sei una persona priva di logica”
I ‘‘ e logico comportarsi cosı”
I ‘‘ fai l’analisi logica della seguente frase”
I ‘‘ la logica del gioco e quella di realizzare piu goal della squadraavversaria”.
Capitolo 3. Logica
Il termine LOGICA in ambito scientifico
I non e univoca la definizione (nemmeno fra i matematici)
I ambito di studio non solo relativo alla matematica
I storicamente il suo significato e variato
Capitolo 3. Logica
Il termine LOGICA in ambito scientifico
I non e univoca la definizione (nemmeno fra i matematici)
I ambito di studio non solo relativo alla matematica
I storicamente il suo significato e variato
Capitolo 3. Logica
Il termine LOGICA in ambito scientifico
I non e univoca la definizione (nemmeno fra i matematici)
I ambito di studio non solo relativo alla matematica
I storicamente il suo significato e variato
Capitolo 3. Logica
Il termine LOGICA in ambito scientifico
I non e univoca la definizione (nemmeno fra i matematici)
I ambito di studio non solo relativo alla matematica
I storicamente il suo significato e variato
Capitolo 3. Logica
La LOGICA matematica
‘La logica si occupa dei ragionamenti dopo che questi sono stati espressiin qualche forma di linguaggio (quindi non dell’attivita del pensare, deimeccanismi interni della nostra mente, ma piuttosto del pensato dopoche questo e stato comunicato) e uno dei suoi scopi e quello dicaratterizzare i ragionamenti corretti.’
D.Palladino
Capitolo 3. Logica
Nel linguaggio naturale e facile cadere in situazioni di fraintendimento:
I la borsa e caduta
I quei due si sono sposati
I vado al mare o in montagna
I non ho fratelli
In matematica queste ambiguita non possono esserci!
3.1 Logica delle proposizioni
3.1 Logica delle proposizioni
I termini primitivi:
- proposizione logica che indicheremo con p,q,r . . .
- vero che indicheremo anche con v
- falso che indicheremo anche con f .
Vero e falso verranno anche chiamati valori di verita delle proposizioni.
3.1 Logica delle proposizioni
3.1 Logica delle proposizioni
I termini primitivi:
- proposizione logica che indicheremo con p,q,r . . .
- vero che indicheremo anche con v
- falso che indicheremo anche con f .
Vero e falso verranno anche chiamati valori di verita delle proposizioni.
3.1 Logica delle proposizioni
3.1 Logica delle proposizioni
I termini primitivi:
- proposizione logica che indicheremo con p,q,r . . .
- vero che indicheremo anche con v
- falso che indicheremo anche con f .
Vero e falso verranno anche chiamati valori di verita delle proposizioni.
3.1 Logica delle proposizioni
3.1 Logica delle proposizioni
I termini primitivi:
- proposizione logica che indicheremo con p,q,r . . .
- vero che indicheremo anche con v
- falso che indicheremo anche con f .
Vero e falso verranno anche chiamati valori di verita delle proposizioni.
3.1 Logica delle proposizioni
Assiomi:
1. PRINCIPIO DEL TERZO ESCLUSO.
Ogni proposizione logica e vera o e falsa.
2. PRINCIPIO DI NON CONTRADDIZIONE.
Ogni proposizione logica non e sia vera che falsa.
Di ogni proposizione logica sapremo quindi dire esattamente il suo valoredi verita.
3.1 Logica delle proposizioni
Assiomi:
1. PRINCIPIO DEL TERZO ESCLUSO.
Ogni proposizione logica e vera o e falsa.
2. PRINCIPIO DI NON CONTRADDIZIONE.
Ogni proposizione logica non e sia vera che falsa.
Di ogni proposizione logica sapremo quindi dire esattamente il suo valoredi verita.
3.1 Logica delle proposizioni
Assiomi:
1. PRINCIPIO DEL TERZO ESCLUSO.
Ogni proposizione logica e vera o e falsa.
2. PRINCIPIO DI NON CONTRADDIZIONE.
Ogni proposizione logica non e sia vera che falsa.
Di ogni proposizione logica sapremo quindi dire esattamente il suo valoredi verita.
3.1 Logica delle proposizioni
EsercizioQuali fra le seguenti sono proposizioni logiche?
I Sono piccolo
I 0 e il risultato dell’operazione 6− 4
I Parigi e la capitale della Francia
I Vieni a giocare a nascondino?
I Oggi sono presenti al corso di Matematica Elementare 100 studenti
I Il mio paese e freddo
3.1 Logica delle proposizioni
Scheda scuola primaria...
Osservazioni?
3.1 Logica delle proposizioni
Definizione
Un connettivo e una trasformazione che permette di ottenere nuoveproposizioni logiche a partire da una o piu proposizioni logiche.
I connettivi possono essere:
I monoargomentali se vengono applicati ad una sola proposizione
I biargomentali se vengono applicati a due proposizioni
3.1 Logica delle proposizioni
Definizione
Un connettivo e una trasformazione che permette di ottenere nuoveproposizioni logiche a partire da una o piu proposizioni logiche.
I connettivi possono essere:
I monoargomentali se vengono applicati ad una sola proposizione
I biargomentali se vengono applicati a due proposizioni
3.1 Logica delle proposizioni
Definizione
Due proposizioni logiche p e q sono equiveridiche se hanno lo stessocontenuto di verita. Scriveremo p ≡ q.
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.1 Connettivi monoargomentali
3.1.1 Connettivi monoargomentali
LA NEGAZIONE
Definizione
La negazione e il connettivo che associa ad ogni proposizione logica puna nuova proposizione
falsa quando p e veravera quando p e falsa
La negazione della proposizione logica p si indica con p oppure con qp.Tavola di verita
p p
v ff v
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.1 Connettivi monoargomentali
3.1.1 Connettivi monoargomentali
LA NEGAZIONE
Definizione
La negazione e il connettivo che associa ad ogni proposizione logica puna nuova proposizione
falsa quando p e veravera quando p e falsa
La negazione della proposizione logica p si indica con p oppure con qp.Tavola di verita
p p
v ff v
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.1 Connettivi monoargomentali
Scheda scuola primaria...
Osservazioni?
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.1 Connettivi monoargomentali
Esercizio Proviamo a negare le seguenti proposizioni logiche:
I p:‘‘3 e un numero pari”
I q:‘‘ 6 < 7”
I r :‘‘ oggi e il 2 ottobre”
I s:‘‘non ho 25 anni”
Attenzione! Come sara la negazione di t:‘‘2, 5 e un numero pari”?Si ricordi che negando una proposizione il valore di verita deve cambiare!
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.1 Connettivi monoargomentali
Esercizio Proviamo a negare le seguenti proposizioni logiche:
I p:‘‘3 e un numero pari”
I q:‘‘ 6 < 7”
I r :‘‘ oggi e il 2 ottobre”
I s:‘‘non ho 25 anni”
Attenzione! Come sara la negazione di t:‘‘2, 5 e un numero pari”?Si ricordi che negando una proposizione il valore di verita deve cambiare!
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.1 Connettivi monoargomentali
Esistono altri connettivi monoargomentali?
p 1 2 3 4
v v v f ff v f v f
I 3 e la negazione p
I 2 e la doppia negazione ¯p.
I 1 si chiama TAUTOLOGIA e trasforma ogni proposizione in unaproposizione sempre VERA.
I 4 si chiama CONTRADDIZIONE e trasforma ogni proposizione inuna proposizione sempre FALSA.
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.2 Connettivi biargomentali
3.1.2 Connettivi biargomentali
LA CONGIUNZIONE
Definizione
La congiunzione e il connettivo che associa ad ogni coppia diproposizioni logiche p e q una nuova proposizione
vera quando p e q sono entrambe verefalsa in tutti gli altri casi
La proposizione logica ottenuta dalla congiunzione di p con q si indicacon p ∧ q.
Tavola di verita
p q p ∧ q
v v vv f ff v ff f f
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.2 Connettivi biargomentali
3.1.2 Connettivi biargomentali
LA CONGIUNZIONE
Definizione
La congiunzione e il connettivo che associa ad ogni coppia diproposizioni logiche p e q una nuova proposizione
vera quando p e q sono entrambe verefalsa in tutti gli altri casi
La proposizione logica ottenuta dalla congiunzione di p con q si indicacon p ∧ q.
Tavola di verita
p q p ∧ q
v v vv f ff v ff f f
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.2 Connettivi biargomentali
La congiunzione
Tavola di verita
p q p ∧ q
v v vv f ff v ff f f
Tabella a doppia entrata
p
q↗ v f
v v ff f f
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.2 Connettivi biargomentali
Scheda scuola primaria...
I Non c’e alcuna connessione semantica fra le due proposizionielementari che danno luogo alla proposizione composta.
I Il valore di verita della proposizione composta e unicamente deciso apartire dal valore di verita delle proposizioni elementari.
I Buona strategia didattica: uso dei colori!
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.2 Connettivi biargomentali
Scheda scuola primaria...
I Non c’e alcuna connessione semantica fra le due proposizionielementari che danno luogo alla proposizione composta.
I Il valore di verita della proposizione composta e unicamente deciso apartire dal valore di verita delle proposizioni elementari.
I Buona strategia didattica: uso dei colori!
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.2 Connettivi biargomentali
Proprieta della congiunzione
1. p ∧ p ≡ p (proprieta dell’idempotenza)
2. (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) (proprieta associativa)
3. p ∧ q ≡ q ∧ p (proprieta commutativa)
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.2 Connettivi biargomentali
Proprieta della congiunzione
1. p ∧ p ≡ p (proprieta dell’idempotenza)
2. (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) (proprieta associativa)
3. p ∧ q ≡ q ∧ p (proprieta commutativa)
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.2 Connettivi biargomentali
Proprieta della congiunzione
1. p ∧ p ≡ p (proprieta dell’idempotenza)
2. (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) (proprieta associativa)
3. p ∧ q ≡ q ∧ p (proprieta commutativa)
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.2 Connettivi biargomentali
Proprieta della congiunzione
1. p ∧ p ≡ p (proprieta dell’idempotenza)
2. (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) (proprieta associativa)
3. p ∧ q ≡ q ∧ p (proprieta commutativa)
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.2 Connettivi biargomentali
Scheda scuola primaria...
Osservazioni?
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.2 Connettivi biargomentali
Scheda scuola primaria...
Osservazioni?
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.2 Connettivi biargomentali
Scheda scuola primaria...
Osservazioni?
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.2 Connettivi biargomentali
Una ‘O’ per dire tante cose diverse
I ‘‘Per entrare in questo Pub e necessario avere 16 anni o essereaccompagnati da un genitore”
I ‘‘Dormi subito o domani starai a casa dalla gita ”
I ‘‘ Faccio il bagno o la doccia”
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.2 Connettivi biargomentali
Una ‘O’ per dire tante cose diverse
I ‘‘Per entrare in questo Pub e necessario avere 16 anni o essereaccompagnati da un genitore”
I ‘‘Dormi subito o domani starai a casa dalla gita ”
I ‘‘ Faccio il bagno o la doccia”
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.2 Connettivi biargomentali
Una ‘O’ per dire tante cose diverse
I ‘‘Per entrare in questo Pub e necessario avere 16 anni o essereaccompagnati da un genitore”
I ‘‘Dormi subito o domani starai a casa dalla gita ”
I ‘‘ Faccio il bagno o la doccia”
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.2 Connettivi biargomentali
Una ‘O’ per dire tante cose diverse
I ‘‘Per entrare in questo Pub e necessario avere 16 anni o essereaccompagnati da un genitore”
I ‘‘Dormi subito o domani starai a casa dalla gita ”
I ‘‘ Faccio il bagno o la doccia”
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.2 Connettivi biargomentali
LA DISGIUNZIONE INCLUSIVA
Definizione
La disgiunzione inclusiva e il connettivo che associa ad ogni coppia diproposizioni logiche p e q una nuova proposizione
falsa quando p e q sono entrambe falsevera in tutti gli altri casi
La proposizione logica ottenuta dalla congiunzione di p con q si indicacon p ∨ q.
p q p ∨ q
v v vv f vf v vf f f
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.2 Connettivi biargomentali
LA DISGIUNZIONE INCLUSIVA
Definizione
La disgiunzione inclusiva e il connettivo che associa ad ogni coppia diproposizioni logiche p e q una nuova proposizione
falsa quando p e q sono entrambe falsevera in tutti gli altri casi
La proposizione logica ottenuta dalla congiunzione di p con q si indicacon p ∨ q.
p q p ∨ q
v v vv f vf v vf f f
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.2 Connettivi biargomentali
La disgiunzione inclusiva
p q p ∨ q
v v vv f vf v vf f f
p
q↗ v f
v v vf v f
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.2 Connettivi biargomentali
Proprieta della disgiunzione inclusiva
1. p ∨ p ≡ p (proprieta dell’idempotenza)
2. (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) (proprieta associativa)
3. p ∨ q ≡ q ∨ p (proprieta commutativa)
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.2 Connettivi biargomentali
Proprieta della disgiunzione inclusiva
1. p ∨ p ≡ p (proprieta dell’idempotenza)
2. (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) (proprieta associativa)
3. p ∨ q ≡ q ∨ p (proprieta commutativa)
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.2 Connettivi biargomentali
Proprieta della disgiunzione inclusiva
1. p ∨ p ≡ p (proprieta dell’idempotenza)
2. (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) (proprieta associativa)
3. p ∨ q ≡ q ∨ p (proprieta commutativa)
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.2 Connettivi biargomentali
Proprieta della disgiunzione inclusiva
1. p ∨ p ≡ p (proprieta dell’idempotenza)
2. (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) (proprieta associativa)
3. p ∨ q ≡ q ∨ p (proprieta commutativa)
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.2 Connettivi biargomentali
EsercizioSi consideri la proposizione logica composta:
‘‘Mangio pane e mangio salame”
che possiamo tradurre con p ∧ q con i somboli della logica essendo p e qle due proposizioni elementari.
Qual’e la sua negazione?
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.2 Connettivi biargomentali
EsercizioSi consideri la proposizione logica composta:
‘‘Mangio pane e mangio salame”
che possiamo tradurre con p ∧ q con i somboli della logica essendo p e qle due proposizioni elementari.
Qual’e la sua negazione?
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.2 Connettivi biargomentali
Leggi di De Morgan : Riguardano piu connettivi!
p ∧ q ≡ p ∨ q
p ∨ q ≡ p ∧ q
Con le tavole di verita si dimostrano queste due leggi.
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.2 Connettivi biargomentali
Leggi di De Morgan : Riguardano piu connettivi!
p ∧ q ≡ p ∨ q
p ∨ q ≡ p ∧ q
Con le tavole di verita si dimostrano queste due leggi.
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.2 Connettivi biargomentali
Leggi di De Morgan : Riguardano piu connettivi!
p ∧ q ≡ p ∨ q
p ∨ q ≡ p ∧ q
Con le tavole di verita si dimostrano queste due leggi.
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.2 Connettivi biargomentali
LA DISGIUNZIONE ESCLUSIVA
Definizione
La disgiunzione esclusiva e il connettivo che associa ad ogni coppia diproposizioni logiche p e q una nuova proposizione
falsa quando p e q hanno lo stesso valore di veritavera in tutti gli altri casi
La proposizione logica ottenuta dalla congiunzione di p con q si indicacon p∨q.
p q p∨qv v fv f vf v vf f f
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.2 Connettivi biargomentali
LA DISGIUNZIONE ESCLUSIVA
Definizione
La disgiunzione esclusiva e il connettivo che associa ad ogni coppia diproposizioni logiche p e q una nuova proposizione
falsa quando p e q hanno lo stesso valore di veritavera in tutti gli altri casi
La proposizione logica ottenuta dalla congiunzione di p con q si indicacon p∨q.
p q p∨qv v fv f vf v vf f f
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.2 Connettivi biargomentali
La disgiunzione inclusiva
p q p∨qv v fv f vf v vf f f
p
q↗ v f
v f vf v f
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.2 Connettivi biargomentali
Scheda scuola primaria...Cosa coloriamo?
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.2 Connettivi biargomentali
Scheda scuola primaria...Cosa coloriamo?
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.2 Connettivi biargomentali
Attivita Una sposa aveva 3 scrigni: uno d’oro, uno d’argento e uno dipiombo e in uno di questi c’era il suo anello.Su ogni scrigno c’era una frase che poteva essere vera o falsa.Le tre frasi erano legate fra loro da una condizione.Volendo scegliere il suo sposo per la sua intelligenza egli dovevaindovinare quale scrigno conteneva l’anello.
Prima situazione
I il tesoro e nello scrigno A
I il tesoro e nello scrigno A o nello scrigno C
I il tesoro e nello scrigno B o nello scrigno C
sapendo che esattamente una e vera.
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.2 Connettivi biargomentali
Seconda situazione
I Scrigno d’oro: l’anello e in questo scrigno.
I Scrigno d’argento:l’anello non e in questo scrigno.
I Scrigno di piombo: l’anello non e nello scrigno d’oro
sapendo che di queste affermazioni 1 al massimo e vera.
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.2 Connettivi biargomentali
Scheda scuola primaria...
Quale connettivo e dato per sottinteso nelle seguenti affermazioni?
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.2 Connettivi biargomentali
Scheda scuola primaria...
Quale connettivo e dato per sottinteso nelle seguenti affermazioni?
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.2 Connettivi biargomentali
L’IMPLICAZIONE MATERIALE
Definizione
L’implicazione materiale e il connettivo che associa ad ogni coppia diproposizioni logiche p e q una nuova proposizione
falsa solo nel caso in cui p sia vera e q sia falsavera in tutti gli altri casi.
La proposizione logica ottenuta dalla congiunzione di p con q si indicacon p → q.
La proposizione logica ottenuta dall’implicazione materiale di p con q siindica con p → q e si legge p implica q oppure se p allora q. Laproposizione p e detta antecedente, mentre q e detta conseguente.
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.2 Connettivi biargomentali
L’IMPLICAZIONE MATERIALE
Definizione
L’implicazione materiale e il connettivo che associa ad ogni coppia diproposizioni logiche p e q una nuova proposizione
falsa solo nel caso in cui p sia vera e q sia falsavera in tutti gli altri casi.
La proposizione logica ottenuta dalla congiunzione di p con q si indicacon p → q.
La proposizione logica ottenuta dall’implicazione materiale di p con q siindica con p → q e si legge p implica q oppure se p allora q. Laproposizione p e detta antecedente, mentre q e detta conseguente.
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.2 Connettivi biargomentali
L’implicazione materiale
p q p → q
v v vv f ff v vf f v
p
q↗ v f
v v ff v v
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.2 Connettivi biargomentali
Osservazioni sull’implicazione materiale:
I Non c’e necessariamente un rapporto di causa-effetto tral’antecedente e il conseguente. Non c’e legame semantico fra p e q.
I Se p → q e vera, allora dalla verita di p si puo senz’altro derivareche anche q e vera.
I Quando l’antecedente e falsa, la proposizione composta sara veraindipendentemente dal valore di verita della conseguente.
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.2 Connettivi biargomentali
Osservazioni sull’implicazione materiale:
I Non c’e necessariamente un rapporto di causa-effetto tral’antecedente e il conseguente. Non c’e legame semantico fra p e q.
I Se p → q e vera, allora dalla verita di p si puo senz’altro derivareche anche q e vera.
I Quando l’antecedente e falsa, la proposizione composta sara veraindipendentemente dal valore di verita della conseguente.
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.2 Connettivi biargomentali
Osservazioni sull’implicazione materiale:
I Non c’e necessariamente un rapporto di causa-effetto tral’antecedente e il conseguente. Non c’e legame semantico fra p e q.
I Se p → q e vera, allora dalla verita di p si puo senz’altro derivareche anche q e vera.
I Quando l’antecedente e falsa, la proposizione composta sara veraindipendentemente dal valore di verita della conseguente.
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.2 Connettivi biargomentali
Proprieta dell’implicazione materiale:
1. La proposizione p → p e una tautologia.
2. Non vale la proprieta commutativa.
3. Non vale la proprieta associativa. (p → q)→ r 6= p → (q → r)Infatti se si prendono p e r false mentre q vera, si ottengono:p → q vera, e poi (p → q)→ r falsa.q → r falsa, e poi p → (q → r) vera.
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.2 Connettivi biargomentali
Proprieta dell’implicazione materiale:
1. La proposizione p → p e una tautologia.
2. Non vale la proprieta commutativa.
3. Non vale la proprieta associativa. (p → q)→ r 6= p → (q → r)Infatti se si prendono p e r false mentre q vera, si ottengono:p → q vera, e poi (p → q)→ r falsa.q → r falsa, e poi p → (q → r) vera.
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.2 Connettivi biargomentali
Proprieta dell’implicazione materiale:
1. La proposizione p → p e una tautologia.
2. Non vale la proprieta commutativa.
3. Non vale la proprieta associativa. (p → q)→ r 6= p → (q → r)Infatti se si prendono p e r false mentre q vera, si ottengono:p → q vera, e poi (p → q)→ r falsa.q → r falsa, e poi p → (q → r) vera.
3.1 Logica delle proposizioni
3.1.2 Connettivi biargomentali
Tutte le possibili combinazioni date due proposizioni logiche iniziali p e qsono le seguenti:p q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
v v v v v v f v v f v f f f v f f fv f v v v f v v f v f v f v f f f ff v v v f v v f v v f f v f f v f ff f v f v v v f f f v v v f f f v f
In alcune colonne riconosciamo i connettivi introdotti. I valori di veritadelle colonne che non rientrano nei connettivi descritti si ottengonocominando piu volte le proposizioni p e q con i connettivi ∧,∨, ∨,→
Compito
Compito
1. Prova a dimostrare le proprieta dei connettivi logici che oggi sonostate solo citate ma non dimostrate.La tecnica dimostrativa e quella di costruire le tavole di verita
2. Analizza in modo critico il materiale (schede) proposto nella cartella’critica1’ in Blackboard
