PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE 2011/2012 La magia dei frattali LICEO SCIENTIFICO FILIPPO SILVESTRI
Transcript
Slide 1
Slide 2
La maggior parte degli oggetti della natura sono caratterizzati
da un carattere irregolare e non possono essere studiati usando le
propriet della geometria euclidea. Questo ha giustificato
l'introduzione di un nuovo tipo di geometria da parte del
matematico Benoit B. Mandelbrot (1982): la geometria frattale.
Durante una passeggiata in campagna oltre alla bellezza
dell'ambiente, un occhio pi esperto pu cogliere nella forma di
tutti questi oggetti delle particolari propriet geometriche.
Prendiamo in esame una comune felce. Ci che si nota immediatamente
che una parte di essa simile alla felce stessa, ovvero una copia in
piccolo della foglia completa.
Slide 3
Allo stesso modo si pu procedere innumerevoli volte fino a
ridursi a parti sempre pi piccole. Nella figura accanto sono
evidenziati i primi tre passi di questo confronto. La parte
evidenziata in rosso la copia in piccolo dell'intera foglia. La
parte evidenziata in blu a sua volta la copia ridotta della parte
in rosso. Infine la parte celeste la copia ridotta della parte blu.
Questa propriet prende il nome di autosimilarit (o autosomiglianza)
: una parte dell'oggetto simile al tutto. In geometria gli oggetti
che sono autosimili vengono definiti frattali e possono essere
costruiti seguendo precise regole di tipo matematico.
Slide 4
Consideriamo un insieme di N trasformazioni del piano
cartesiano: { T 1, T 2, T 3,..., T N } ed applichiamole allo stesso
sottoinsieme A del piano. Come risultato otterremo una famiglia di
N sottoinsiemi del piano cartesiano { T 1 ( A ), T 2 ( A ), T 3 ( A
),..., T N ( A )}. Sia A 1 l'insieme ottenuto come unione di questi
sottoinsiemi. Applichiamo di nuovo le N trasformazioni all'insieme
A 1 cos ottenuto e consideriamo l'unione degli N insiemi immagine.
Chiamiamo questo insieme A 2. Continuando allo stesso modo,
otteniamo una successione di insiemi { A 1, A 2, A 3,...}. Il
problema che ci poniamo il seguente: continuando in questo modo, la
successione di insiemi converger ad un insieme A oppure no? Sotto
certe condizioni la successione di insiemi converger ad un insieme
limite F definito come frattale IFS (Iterated Function System)
ovvero "frattale ottenuto iterando un insieme di trasformazioni del
piano". Per chiarire la definizione di frattale esaminiamo
l'esempio seguente.
Slide 5
Un esempio: la costruzione della felce. La costruzione di un
frattale, quale la felce, strettamente legata alle trasformazioni
affini. Infatti basta applicare pi volte un certo numero di
trasformazioni affini per ottenere una figura come quella
precedente. Si parte da una forma iniziale qualsiasi. Questo e'
l'insieme iniziale A. Tale insieme viene trasformato: si ruota e si
rimpicciolisce tre volte applicando tre distinte trasformazioni
geometriche. Linsieme A viene cancellato e restano solo i tre
quadrilateri ottenuti dalle tre affinit, cio l'insieme A 1. All'
insieme A 1, applicando di nuovo le tre trasformazioni ricaviamo
l'insieme A 2. Anche in questo caso l'insieme precedente non viene
pi visualizzato. Procedendo di nuovo in questo modo e cancellando
il passo precedente si ottiene l'insieme A 3. Si noti che la
successione di insiemi { A 1, A 2, A 3,...} converge ad un insieme
A che proprio la felce. AA1A1 A2A2 A3A3 A4A4 A5A5
Slide 6
La figura a lato mostra come generare il cosiddetto fiocco di
neve di von Koch: si prende un segmento, lo si taglia in 3 parti e
si sostituisce quella centrale con due segmenti uguali a quello
eliminato; ora si ripete l'operazione con ciascuno dei quattro
segmenti cos ottenuti e si continua a ripeterla per un numero
infinito di volte. La curva che si ottiene dopo un numero infinito
di iterazioni una curva frattale e come tutte le curve frattali
dotata di affascinanti propriet matematiche, facili da intuire ma,
spesso, difficili da dimostrare. Se il nome "fiocco di neve" vi
sembra poco appropriato per la curva, forse cambierete idea
osservando ci che si ottiene applicando il procedimento appena
descritto ai lati di un triangolo.
Slide 7
Slide 8
Possiamo affermare che una curva si dice frattale se ha la
propriet dell'autosimilitudine: ingrandendo un qualsiasi tratto di
curva si visualizza un insieme di particolari altrettanto ricco e
complesso del precedente; questo procedimento di "zoom" pu
proseguire all'infinito.
Slide 9
La domanda pu sembrare banale ma la risposta, se non avete mai
sentito parlare dei frattali, vi sorprender: la sua lunghezza
infinita! Come si pu arrivare a giustificare una simile
affermazione? Beh, diciamo subito che si tratta solo di una
estrapolazione matematica, tuttavia il risultato lascia senza
parole
Slide 10
Un tratto di costa pu essere visto come un tratto di curva
frattale. La scioccante risposta alla domanda posta in precedenza,
dipende dalla scala alla quale viene fatta la misurazione: una
valutazione sommaria fornisce un risultato relativamente basso che
per cresce a dismisura, fino a giungere allincredibile risultato
dellinfinito. Come gi detto si tratta di una estrapolazione
matematica, che non tiene infatti conto del limite della
materia.
Slide 11
Un altro esempio di frattale il Triangolo di Sierpinski.
Cerchiamo le trasformazioni geometriche che applicate al frattale,
lo trasformano nelle tre copie che abbiamo individuato. Abbiamo tre
copie e di conseguenza cerchiamo tre trasformazioni. Si tratta di
tre trasformazioni geometriche. Per ottenere un'espressione
analitica delle trasformazioni, occorre fissare un opportuno
sistema di riferimento. Per semplicit supponiamo che il frattale
sia costruito dentro il quadrato di lato unitario e l'origine sia
posta nell'angolo a sinistra in basso. T1=T2 =T3=
Slide 12
In geometria frattale la dimensione frattale, spesso indicata
con D una quantit statistica che d un'indicazione di quanto
completo appare un frattale per riempire lo spazio. La definizione
di dimensione frattale non unica, infatti vi sono diverse
specifiche definizioni. Alcune tra le pi importanti sono la
dimensione di Hausdorff, la dimensione di Minkowski-Bouligand.
Slide 13
Consideriamo un segmento AB e sezioniamolo in parti con un
fattore di scala s=1/2: otterremo N=2 segmenti identici e simili
all'originale. Se utilizziamo invece un fattore di scala s=1/3,
otterremo N=3 segmenti identici e simili all'originale, e cos via.
Se facciamo lo stesso procedimento su un quadrato, con s=1/2
otteniamo N=4 pezzi, con S=1/3 otteniamo N=9 pezzi. Se infine
ripetiamo lo stesso procedimento su un cubo otteniamo N=8 con
s=1/2, N=27 con s=1/3, e cos via.
Slide 14
Prendiamo in esame un quadrato di lato 1 che abbiamo gi
considerato nella introduzione della autosimilarit. Poich il
quadrato un sottoinsieme del piano, lo rappresentiamo in un piano,
che supponiamo di avere quadrettato con dei quadrati di lato s. Ci
proponiamo di contare, al variare di s, il numero N(s) di quadretti
occupati, magari parzialmente, dal nostro quadrato. E' chiaro che,
in perfetta analogia con quello che abbiamo ottenuto nel caso
dell'autosimilarit, potremo costruire la seguente tabella
Slide 15
Si constata quindi che, se indichiamo con d la usuale
dimensione topologica di questi oggetti, vale la seguente formula:
N=s -d ovvero
Slide 16
Consideriamo ora un triangolo, isoscele e di lato 1 per
semplicit, e applichiamo lo stesso procedimento.
Slide 17
Se applichiamo questo procedimento al triangolo di Sierpinski,
otteniamo:triangolo di Sierpinski D=log 3 / log 2 = 1,585 Infatti,
il triangolo di Sierpinski pu essere diviso in 3 parti simili
all'intero triangolo. Ciascuna di esse si ottiene grazie ad
un'omotetia di rapporto K=1/2.
Slide 18
Proviamo a ripetere il calcolo con il merletto di Koch: se
sezioniamo con un fattore 1/3 otteniamo 4 parti identiche e simili
all'originale, se usiamo un fattore 1/9 otteniamo 16 parti
identiche e simili all'originale, e cos via. Questa volta il
rapporto, ancora costante, vale log4/log3=1.2619. Anche ora il
rapporto non intero e strettamente maggiore della dimensione
topologica della curva che uno.
Slide 19
Inizia a sorgere il sospetto che questi rapporti abbiano un ben
preciso significato e che sia giustificato attribuire loro un nome
specifico che ricordi la somiglianza con la formula della
dimensione valida per segmento, quadrato e cubo. In realt il fatto
che il Triangolo di Sierpinsky questo numero sia maggiore di uno
soddisfa una certa idea intuitiva che ci fa pensare che la
dimensione uno, attribuita con il metodo tradizionale, sia un po'
troppo poco per un insieme che ha cos tanti punti. Analogo discorso
per il merletto di Koch, dove il fatto che questo rapporto sia
maggiore di uno in accordo con l'idea intuitiva che l'oggetto sia
un po' pi di una curva, anche se non chiaramente una superficie,
che avrebbe dimensione due.
Slide 20
La definizione appena data uno dei metodi, ma non l'unico, per
introdurre la cosiddetta dimensione frattale. L'aggettivo frattale
dovuto al fatto che essa pu essere espressa da un numero non
intero. E' opportuno, per sgomberare il campo da equivoci,
segnalare che il concetto di dimensione frattale appena introdotto
completamente diverso da quello usuale di dimensione topologica. La
dimensione topologica continua ad avere un chiaro e preciso
significato, solo che oltre a questo numero che caratterizza una
determinata propriet degli oggetti, ora ne abbiamo considerato un
altro, che caratterizza un'altra propriet degli stessi oggetti d Fr
=d top d Fr >d top
Slide 21
Osserviamo che la definizione di dimensione frattale aggiunge,
per ora solo per gli insiemi autosimili, un nuovo numero tra quelli
che possiamo collegare agli insiemi di punti dello spazio, numero
che va ad aggiungersi alla cardinalit e alla dimensione. Per fare
un esempio possiamo raggruppare quanto finora detto nella seguente
tabella: SegmentoQuadratoCubo Triangolo di Sierpinski Merletto di
Koch Dimensione12311 Dimensione frattale 1 2 31,5851,262
Slide 22
In realt i frattali sono in grado di rappresentare egregiamente
un gran numero di diversi oggetti e fenomeni della Natura. Ne sono
alcuni esempi il tratto di costa ma anche i rami o le radici di un
albero, una nuvola, le ramificazioni di un fulmine e la
dentellatura di una foglia.
Slide 23
Slide 24
Si ringraziano le professoresse dellUniversit Federico II che
ci hanno guidato alla scoperta dei modelli matematici. Francesca
Visentin Mariarosaria Tricarico Le professoresse del Liceo F.
Silvestri, che ci hanno accompagnato in questa esperienza Maria
Rosaria Parlato Paola Scelzo E la dirigente scolastica del nostro
Liceo Enrichetta Idato
Slide 25
Hanno partecipato al progetto: De Rosa Giuseppe Di Cicco
Valentina Maestri Alberto Zito Valerio Scognamiglio Ciro Salerno
Claudia Sannino Sara Oratore Elena Cozzolino Eva Marotta Pasquale
De Ponte Andrea De Grado Concetta Brunetti Federico Buonocunto
Valentina Marsei Alessia Esposito Dario Poliso Gianluca Acampora
Anna