La vera forma della Groenlandia. Ovvero perche lemappe geografiche distorcono le forme.
Francesco Bonsante
June 16, 2015
Francesco Bonsante La vera forma della Groenlandia. Ovvero perche le mappe geografiche distorcono le forme.June 16, 2015 1 / 34
Cos’e una piantina geografica?
Una piantina geografica dovrebbe riprodurre scala in modopreciso la geografia della terra o di una parte di essa.Idealmente se la scala e 1 : 100.000 ogni centimetro sulla piantinadovrebbe corrispondere esattamente a 100.000cm = 1km nelmondo reale.
I E possibile costruire piantine precise?
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Cos’e una piantina geografica?
Una piantina geografica dovrebbe riprodurre scala in modopreciso la geografia della terra o di una parte di essa.Idealmente se la scala e 1 : 100.000 ogni centimetro sulla piantinadovrebbe corrispondere esattamente a 100.000cm = 1km nelmondo reale.
I E possibile costruire piantine precise?
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Cos’e una piantina geografica?
Una piantina geografica dovrebbe riprodurre scala in modopreciso la geografia della terra o di una parte di essa.Idealmente se la scala e 1 : 100.000 ogni centimetro sulla piantinadovrebbe corrispondere esattamente a 100.000cm = 1km nelmondo reale.
I E possibile costruire piantine precise?
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Esempi di piantine
La piantina di Mercatore:
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Esempi di piantine
La piantina di Peters:
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Chi ha ragione?
NESSUNO DEI DUE!
La piantina di Mercatore preserva gli angoli ma distorce le aree ele lunghezze.La piantina di Peters ha la proprieta di riprodurre fedelmente learee ma di distorcere gli angoli e le lunghezze.
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E possibile costruire una cartina geografica precisa?
NO E MATEMATICAMENTE IMPOSSIBILELa ragione e che la terra e curva e dunque non e possibile schiacciarlasu un foglio di carta (piano) senza deformare le forme.
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Scopo del seminario
Introdurre la nozione di curvatura di una superficie e mostrare come lanon sviluppabilita della sfera e una manifestazione del fatto che lacurvatura e non nulla.
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Il caso della cilindro
Intuitivamente il fatto che la terra e curva corrisponde al fatto che nonsia contenuta su una porzione di piano.ATTENZIONE: se la terra fosse cilindrica potremmo realizzare dellepiantine precise....eppure neanche il ciclindro e contenuto in unpiano.....La curvatura puo essere zero anche per superfici che non siano piane.
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Il caso della cilindro
Intuitivamente il fatto che la terra e curva corrisponde al fatto che nonsia contenuta su una porzione di piano.ATTENZIONE: se la terra fosse cilindrica potremmo realizzare dellepiantine precise....eppure neanche il ciclindro e contenuto in unpiano.....La curvatura puo essere zero anche per superfici che non siano piane.
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Il caso della cilindro
Intuitivamente il fatto che la terra e curva corrisponde al fatto che nonsia contenuta su una porzione di piano.ATTENZIONE: se la terra fosse cilindrica potremmo realizzare dellepiantine precise....eppure neanche il ciclindro e contenuto in unpiano.....La curvatura puo essere zero anche per superfici che non siano piane.
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La lunghezza di una circonferenza su un piano
Indico con Cr (p) il luogo dei punti che distano esattamente r da p.
Tale luogo descrive una circonferenza centrata in p di raggio r .La sua lunghezza e esattamente 2πr .Piu r e grande piu Cr (p) e lunga.
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La lunghezza di una circonferenza sulla sfera
Fissiamo ora p un punto sulla sfera di raggio RT e indichiamo conΓr (p) il luogo dei punti sulla sfera che distano da p esattamente r(dove la distanza e misurata sulla sfera!).
Figure : Caso r < (π/2)RT .
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La lunghezza di una circonferenza sulla sfera
Fissiamo ora p un punto sulla sfera di raggio RT e indichiamo conΓr (p) il luogo dei punti sulla sfera che distano da p esattamente r(dove la distanza e misurata sulla sfera!).
Figure : Caso r = (π/2)RT .
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La lunghezza di una circonferenza sulla sfera
Fissiamo ora p un punto sulla sfera di raggio RT e indichiamo conΓr (p) il luogo dei punti sulla sfera che distano da p esattamente r(dove la distanza e misurata sulla sfera!).
Figure : Caso r > (π/2)RT .
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La lunghezza di una circonferenza sulla sfera
Fissiamo ora p un punto sulla sfera di raggio RT e indichiamo conΓr (p) il luogo dei punti sulla sfera che distano da p esattamente r(dove la distanza e misurata sulla sfera!).
Figure : Caso r = πRT .
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La lunghezza di una circonferenza sulla sfera
Il comportamento di Γr (p) e molto diverso da quello di Cr (p)soprattutto quando r e grande!Ma come si calcola la lunghezza di Γr (p)?
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La lunghezza di una circonferenza sulla sfera
Osserviamo che Γr (p) giace su un piano parallelo all’equatore.
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La lunghezza di una circonferenza sulla sfera
In particolare su tale piano Γr (p) e una circonferenza centrata in O′ diraggio s = RT sin(r/RT )Dunque si ha che la lunghezza di Γr (p) e2πs = 2πRT sin(r/RT ) < 2πr .
O’A
O
O’
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La lunghezza di una circonferenza sulla sfera
In particolare su tale piano Γr (p) e una circonferenza centrata in O′ diraggio s = RT sin(r/RT )Dunque si ha che la lunghezza di Γr (p) e2πs = 2πRT sin(r/RT ) < 2πr .
O’A
O
O’
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Un confronto
e seno.pdf
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Figure : Un confronto tra l’andamento della lunghezza di Γr (p) e di unacirconferenza piana di raggio r
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Perche non si possono costruire piantine precise
Sia p un punto sulla sfera e supponiamo di poter costruire unapiantina precisa di una zona intorno a p con fattore di scala k .Indichiamo con p il corrispettivo punto sulla piantina. Allora illuogo Γr (p) e rappresentato sulla piantina dalla circonferenza C diraggio kr centrata in p.La lunghezza di Γr (p) e minore di 2πr , mentre la lunghezza di Csulla cartina e precisamente 2πkr . Dunquelungh(C) > k lungh(Γr (p)).
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Perche non si possono costruire piantine precise
Sia p un punto sulla sfera e supponiamo di poter costruire unapiantina precisa di una zona intorno a p con fattore di scala k .Indichiamo con p il corrispettivo punto sulla piantina. Allora illuogo Γr (p) e rappresentato sulla piantina dalla circonferenza C diraggio kr centrata in p.La lunghezza di Γr (p) e minore di 2πr , mentre la lunghezza di Csulla cartina e precisamente 2πkr . Dunquelungh(C) > k lungh(Γr (p)).
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Perche non si possono costruire piantine precise
Sia p un punto sulla sfera e supponiamo di poter costruire unapiantina precisa di una zona intorno a p con fattore di scala k .Indichiamo con p il corrispettivo punto sulla piantina. Allora illuogo Γr (p) e rappresentato sulla piantina dalla circonferenza C diraggio kr centrata in p.La lunghezza di Γr (p) e minore di 2πr , mentre la lunghezza di Csulla cartina e precisamente 2πkr . Dunquelungh(C) > k lungh(Γr (p)).
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Un’osservazione
Se la terra fosse perfettamente rotonda e avendo a disposizionestrumenti estremamente precisi, uno potrebbe misurare il raggiodella terra guardando semplicemente quanto la lunghezza di unacirconferenza sulla terra di raggio r ARBITRARIO si scosta da 2πrFissando ad esempio r = 1km Matematicamente cio equivale arisolvere l’equazione RT sin(1/RT ) = lunghΓ1(p)
In realta per r = 1km la differenza tra la lunghezza di Γ1(p) e2πkm e circa 4µm = 0,004mm.
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Un’osservazione
Se la terra fosse perfettamente rotonda e avendo a disposizionestrumenti estremamente precisi, uno potrebbe misurare il raggiodella terra guardando semplicemente quanto la lunghezza di unacirconferenza sulla terra di raggio r ARBITRARIO si scosta da 2πrFissando ad esempio r = 1km Matematicamente cio equivale arisolvere l’equazione RT sin(1/RT ) = lunghΓ1(p)
In realta per r = 1km la differenza tra la lunghezza di Γ1(p) e2πkm e circa 4µm = 0,004mm.
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Un’osservazione
Se la terra fosse perfettamente rotonda e avendo a disposizionestrumenti estremamente precisi, uno potrebbe misurare il raggiodella terra guardando semplicemente quanto la lunghezza di unacirconferenza sulla terra di raggio r ARBITRARIO si scosta da 2πrFissando ad esempio r = 1km Matematicamente cio equivale arisolvere l’equazione RT sin(1/RT ) = lunghΓ1(p)
In realta per r = 1km la differenza tra la lunghezza di Γ1(p) e2πkm e circa 4µm = 0,004mm.
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Che cos’e la curvatura di una superficie
La curvatura di una superficie in un punto e la misura di quanto lalunghezza delle circonferenze di raggio r sulla superficie sidiscostano da 2πr per r piccoli.In generale se la curvatura e positiva allora le circonferenze sullasuperficie hanno lunghezza minore di 2πr mentre se la curvaturae negativa la lunghezza dellle circonferenze e maggiore di 2πr .Se una regione intorno ad un punto p e sviluppabile allora lacurvatura e zero nel punto p.
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Esempio di una superficie a curvatura negativa
Figure : La sella e un esempio di superficie a curvatura negativa
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Il caso dei poliedri
Un poliedro e una superficie ottenuta attaccando lungo i lati poligonipiani.
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La geometria vicino ai lati di un poliedro
Se p e su un lato di un poliedro e r e piccolo allora Γr (p) e l’unione didue semicirconferenze piane, ciascuna su uno delle due facce cheincidono il lato.
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La geometria vicino ad un vertice
Se v e un vertice allora Γr (p) e l’unione di tanti settori circolari diraggio r , ciascuno contenuto in una faccia che incide su p. Se f1, . . . , fksono le facce che insistono su p e θi e l’angolo che il vertice p formasulla faccia fi si ha
lungh(Γr (p)) = θ1r + θ2r + . . .+ θk r = (θ1 + θ2 + . . .+ θk )r
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La geometria vicino ad un vertice
Se v e un vertice allora Γr (p) e l’unione di tanti settori circolari diraggio r , ciascuno contenuto in una faccia che incide su p. Se f1, . . . , fksono le facce che insistono su p e θi e l’angolo che il vertice p formasulla faccia fi si ha
lungh(Γr (p)) = θ1r + θ2r + . . .+ θk r = (θ1 + θ2 + . . .+ θk )r
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La curvatura nel vertice di un poliedro
Kv = 2π − (θ1 + θ2 + . . .+ θk ) .
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Esempi: cubo
Tutti i vertici hanno curvatura 2π − 3 · (π/2) = π/2.
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Esempi: tetraedro regolare
Tutti i vertici hanno curvatura 2π − 3 · (π/3) = π.
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Esempi: icosaedro
Tutti i vertici hanno curvatura 2π − 5π/3 = π/3
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Esempi: Stella octangula
8 vertici hanno curvatura π e 6 vertici hanno curvatura2π − 8π/3 = −2/3π
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La curvatura totale
La curvatura totale di un poliedro e la somma algebrica delle curvaturedei suoi vertici.Esempi:
CUBO: 8 vertici con curvatura π/2⇒ Ktot = 4πTETRAEDRO: 4 vertici con curvatura π ⇒ Ktot = 4πICOSAEDRO: 12 vertici con curvatura π/3⇒ Ktot = 4πSTELLA OCTANGULA: 8 vertici con curvatura π e 6 con curvatura−2/3π ⇒ Ktot = 8π + 6 · (−2/3)π = 4π
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Un poliedro con un buco
Questo poliedro ha 24 vertici, 24 facce (trapezi), 48 lati.Ktot e somma di 24 termini: ogni termine e della forma2π − (θ1 + θ2 + θ3 + θ4).Ktot = 2π · 24− (somma di tutti gli angoli di tutte le facce).Ktot = 2π · 24− 2π · 24 = 0.Francesco Bonsante La vera forma della Groenlandia. Ovvero perche le mappe geografiche distorcono le forme.June 16, 2015 31 / 34
Un poliedro con un buco
Questo poliedro ha 24 vertici, 24 facce (trapezi), 48 lati.Ktot e somma di 24 termini: ogni termine e della forma2π − (θ1 + θ2 + θ3 + θ4).Ktot = 2π · 24− (somma di tutti gli angoli di tutte le facce).Ktot = 2π · 24− 2π · 24 = 0.Francesco Bonsante La vera forma della Groenlandia. Ovvero perche le mappe geografiche distorcono le forme.June 16, 2015 31 / 34
Un poliedro con un buco
Questo poliedro ha 24 vertici, 24 facce (trapezi), 48 lati.Ktot e somma di 24 termini: ogni termine e della forma2π − (θ1 + θ2 + θ3 + θ4).Ktot = 2π · 24− (somma di tutti gli angoli di tutte le facce).Ktot = 2π · 24− 2π · 24 = 0.Francesco Bonsante La vera forma della Groenlandia. Ovvero perche le mappe geografiche distorcono le forme.June 16, 2015 31 / 34
La formula di Gauss Bonnet per i poliedri
Sia P un poledro con g buchi allora:
Ktot = 4π(1− g)
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Dimostrazione nel caso g = 0
Assumiamo che tutte le facce di P siano triangolari. Indichiamo con f ilnumero di facce, v il numero di vertici e e il numero di lati.
Ktot e la somma di v addendi. Ogni addendo e della forma2π − (θ1 + . . .+ θk )
Ktot = 2πv−(somma di tutti gli angoli)Ktot = 2πv − πf .Ogni faccia contiene 3 lati e ogni lato incide esattamente su duefacce: 3f = 2l ovvero f = 2l − 2f .Ktot = 2πv − 2π(l − f ) = 2π(v − l + f ) = 4π.
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Dimostrazione nel caso g = 0
Assumiamo che tutte le facce di P siano triangolari. Indichiamo con f ilnumero di facce, v il numero di vertici e e il numero di lati.
Ktot e la somma di v addendi. Ogni addendo e della forma2π − (θ1 + . . .+ θk )
Ktot = 2πv−(somma di tutti gli angoli)Ktot = 2πv − πf .Ogni faccia contiene 3 lati e ogni lato incide esattamente su duefacce: 3f = 2l ovvero f = 2l − 2f .Ktot = 2πv − 2π(l − f ) = 2π(v − l + f ) = 4π.
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Dimostrazione nel caso g = 0
Assumiamo che tutte le facce di P siano triangolari. Indichiamo con f ilnumero di facce, v il numero di vertici e e il numero di lati.
Ktot e la somma di v addendi. Ogni addendo e della forma2π − (θ1 + . . .+ θk )
Ktot = 2πv−(somma di tutti gli angoli)Ktot = 2πv − πf .Ogni faccia contiene 3 lati e ogni lato incide esattamente su duefacce: 3f = 2l ovvero f = 2l − 2f .Ktot = 2πv − 2π(l − f ) = 2π(v − l + f ) = 4π.
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Dimostrazione nel caso g = 0
Assumiamo che tutte le facce di P siano triangolari. Indichiamo con f ilnumero di facce, v il numero di vertici e e il numero di lati.
Ktot e la somma di v addendi. Ogni addendo e della forma2π − (θ1 + . . .+ θk )
Ktot = 2πv−(somma di tutti gli angoli)Ktot = 2πv − πf .Ogni faccia contiene 3 lati e ogni lato incide esattamente su duefacce: 3f = 2l ovvero f = 2l − 2f .Ktot = 2πv − 2π(l − f ) = 2π(v − l + f ) = 4π.
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Dimostrazione nel caso g = 0
Assumiamo che tutte le facce di P siano triangolari. Indichiamo con f ilnumero di facce, v il numero di vertici e e il numero di lati.
Ktot e la somma di v addendi. Ogni addendo e della forma2π − (θ1 + . . .+ θk )
Ktot = 2πv−(somma di tutti gli angoli)Ktot = 2πv − πf .Ogni faccia contiene 3 lati e ogni lato incide esattamente su duefacce: 3f = 2l ovvero f = 2l − 2f .Ktot = 2πv − 2π(l − f ) = 2π(v − l + f ) = 4π.
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quanti buchi ha questa superficie?
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