Capitolo 5Le Basi Fisiche della Relativita Generale e laderivazione delle Equazioni di Friedmann

Fino ad ora ci siamo occupati di caratterizzare la “geometria” di un universo omogeneoed isotropo in espansione uniforme ottenendo la metrica di Robertson e Walker

ds2“ dt2 ´

aptq2

c2

”dr2

` R2 sin2´ r

R

¯ `d✓2

` sin2 ✓d�2˘ı

Adesso dobbiamo metterci la “fisica” ed e chiaro che, poiche il nostro universo in generalee “curvo”, dovremo utilizzare le equazioni della Relativita Generale.

La Relativita Generale e presentata in altri corsi mentre qui ci limiteremo ad unarapida panoramica per poter giungere al risultato che ci interessa, ovvero l’utilizzo dellametrica RW con le equazioni di campo di Einstein per ottenere le equazioni che regolanoaptq.

Il concetto di Relativita riguarda le trasformazioni subite dalle leggi della Fisica aseguito di trasformazioni dinamiche, ovvero che coinvolgono il tempo, come ad esempiole trasformazioni tra sistemi di riferimento in moto l’uno rispetto all’altro. Particolareimportanza e rivestita dal fatto che le leggi della Fisica non debbano dipendere dal sistemadi riferimento: in sostanza, non si dovrebbero avere sistemi di riferimento “assoluti” ed ilPrincipio Cosmologico non esprime altro che questo stesso concetto.

La Relativita Galileiana stabilisce l’invarianza formale o covarianza delle equazionidella Meccanica Classica per trasformazioni di Galileo ovvero per trasformazioni tra si-stemi di riferimento in moto rettilineo uniforme l’uno rispetto all’altro; questi sistemi diriferimento sono detti inerziali. Questa covarianza implica che con le leggi della MeccanicaClassica non e possibile definire un sistema di riferimento assoluto.

La covarianza per trasformazioni di Galileo non si applica alle equazioni di Maxwell perle quali potrebbe quindi esistere un sistema di riferimento assoluto, l’etere. L’esperimentodi Michelson e Morley aveva proprio lo scopo di misurare la velocita della luce rispettoall’etere.

La Relativita Speciale di Einstein invece stabilisce che le trasformazioni appropriateper i sistemi inerziali sono quelle di Lorentz. Le equazioni di Maxwell sono covariantiper trasformazioni di Lorentz e quindi non e piu possibile definire un riferimento assoluto(l’etere). Anche le equazioni della Meccanica Classica possono essere scritte in formacovariante per trasformazioni di Lorentz. Nel limite in cui v{c ! 1, le trasformazioni diLorentz si riducono alle trasformazioni di Galileo e le equazioni della Meccanica Classicaritornano alla forma covariante per trasformazioni Galileiane. Con la Relativita Speciale

56Le Basi Fisiche della Relativita Generale e la derivazione delle Equazioni di

Friedmann

si arriva all’introduzione di un continuo quadridimensionale spazio-tempo caratterizzatoda una geometria non-Euclidea con metrica

ds2“ dt2 ´

dl2

c2(5.1)

detta metrica di Minkowski.Le trasformazioni di Lorentz, la metrica di Minkowski e la Relativita Speciale in genere

riguardano i sistemi di riferimento inerziali cosı come accadeva per la relativita Galileiana.Come e possibile trattare i riferimenti non inerziali espandendo la teoria della relati-

vita speciale? Come tener conto delle forze “apparenti” che potrebbero comparire comeavviene per la trattazione classica della meccanica in un sistema di riferimento inerziale?

Il punto di partenza di Einstein fu l’equivalenza tra la massa inerziale e la massagravitazionale, come suggerito dall’esperimento di Eotvos. In pratica Einstein partı dallasemplice considerazione che una persona in caduta libera non percepisce il proprio peso.Infatti il secondo principio della dinamica a↵erma che

~Fi

“ mi

~a (5.2)

con mi

massa inerziale, ovvero la “resistenza” di un corpo ad essere accelerato da unaforza. La legge di gravitazione universale di Newton, applicata in un campo gravitazionalecostante come quello sulla superficie della Terra, a↵erma invece

~Fg

“ mg

~g (5.3)

per cui applicando il II principio si ha

mg

~g “ mi

~a (5.4)

Ponendosi in un riferimento in caduta libera ovvero con accelerazione ~a (quindi non iner-ziale) si ha che l’accelerazione e nulla ma la forza totale contiene un contributo dovutoalle forze apparenti per cui si puo scrivere

mg

~g ´ mi

~a “ 0 (5.5)

il primo membro rappresenta la forza, il secondo membro il prodotto di massa ed acce-lerazione nel riferimento accelerato. Se m

i

“ mg

allora ~a “ ~g e la forza percepita nelriferimento in caduta libera e

~F “ mg

~g ´ mi

~a “ 0 (5.6)

ovvero non si sente il proprio peso!Piu in generale possiamo eliminare la forza di gravita passando ad un sistema di

riferimento non inerziale in caduta libera in un campo gravitazionale da cui si deduce chele forze apparenti dei sistemi non inerziali e le forze gravitazionali devono avere la stessaorigine.

E’ importante notare come la gravita possa essere eliminata solo localmente ovveronelle regioni dello spazio dove si puo considerare costante. Quindi in un’opportuna re-gione di un qualsiasi campo gravitazionale e possibile e↵ettuare una trasformazione dicoordinate che riduca le equazioni alla forma tipica di un sistema inerziale, ovvero alleequazioni della Relativita Speciale.

Dopo questa breve introduzione, possiamo passare a vedere quelle che sono le basifisiche utilizzate da Einstein per la teoria della Relativita Generale.

5.1 Esempio 1: il redshift gravitazionale 57

1. Il Principio di Relativita: le leggi della fisica sono covarianti per trasformazioni dicoordinate (ovvero mantengono la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento).

2. Il Principio di Equivalenza: massa inerziale e gravitazionale sono uguali, mi

“ mg

,per cui in ogni punto dello spazio-tempo ed in un qualsiasi campo gravitazionale epossibile scegliere un sistema di riferimento inerziale locale tale che, in un regionepiccola dello spazio, le leggi della fisica abbiano la stessa forma che in un sistemacartesiano non accelerato in assenza di gravita (ovvero la stessa forma nel caso dellaRelativita Speciale).

3. Il Principio di Mach: le proprieta inerziali locali sono determinate dalla distribu-zione di materia ed energia.

Mettendo insieme (1) e (2) e chiaro che posso ottenere le leggi della fisica a partireda quelle scritte nell’ambito della Relativita Speciale e che devo soltanto trovare il mododi scriverle in forma covariante ovvero invariante per trasformazione di coordinate nellospazio tempo considerato che sara caratterizzato da una metrica

ds2“ g

µ⌫

xµx⌫ (5.7)

e che sara in generale uno spazio-tempo descritto da una geometria Riemanniana.La (3) ci permette di collegare g

µ⌫

alla distribuzione di materia ed energia nello spaziotempo e quindi di conoscere g

µ⌫

ovvero la geometria dello spazio.Si noti come la Relativita Generale sia una teoria intrinsecamente non-lineare: infatti

un campo gravitazionale dovuto ad una distribuzione di massa genera una certa densitadi energia locale in ogni punto dello spazio; dato che E “ mc2, questo significa chec’e una certa densita di massa inerziale associata al campo gravitazionale che e a suavolta sorgente di campo gravitazionale. Questo caso del campo gravitazionale e diversodal campo elettrico: quest’ultimo genera una certa densita di energia in ogni punto dellospazio e quindi una corrispondente densita di massa. Ma la massa non genera un’ulteriorecarica elettrica e quindi non genera ulteriore campo elettrico.

Quando Einstein ricerco la forma piu generale di trasformazione tra sistemi di riferi-mento per metriche della forma

ds2“ g

µ⌫

xµx⌫ (5.8)

scoprı, grazie al suo amico matematico Marcel Grossman, che queste erano date dallegeometrie Riemanniane il cui difetto era quello di essere “non lineari”. In realta Einsteinsi rese subito conto che la non linearita era un vantaggio delle geometrie Riemannianeperche la teoria della gravita, come abbiamo appena visto, deve essere intrinsecamentenon lineare.

Vediamo adesso due esempi elementari che pero ci aiutano a capire come il principiodi equivalenza abbia conseguenze profonde per la nostra comprensione della natura dellospazio tempo in un campo gravitazionale.

5.1 Esempio 1: il redshift gravitazionale

Consideriamo un riferimento stazionario posto in un campo gravitazionale uniforme ~g. Inbase al principio di Equivalenza, questo riferimento e equivalente ad un riferimento noninerziale uniformemente accelerato con ~a “ ~g (figura 5.1). Ovvero, un osservatore postoall’interno dell’ascensore non e in grado di distinguere tramite qualsiasi tipo di misura

58Le Basi Fisiche della Relativita Generale e la derivazione delle Equazioni di

Friedmann

se si trova in un sistema inerziale posto in un campo gravitazionale o se si trova in unsistema non inerziale uniformemente accelerato.

�a = ��g

�gh

�v = �at

Figura 5.1: Ascensore stazionario in un campo gravitazionale uniforme ~g (sinistra) eascensore soggetto ad accelerazione uniforme ~a “ ´~g (destra). In base al principio diequivalenza di Einstein, un osservatore posto dentro l’ascensore non e in grado di capirein quale dei due casi si trovi.

Consideriamo un’onda elettromagnetica di frequenza ⌫ che si propaga dal so�tto alpavimento dell’ascensore e supponiamo che ~a sia piccola. Se h e l’altezza dell’ascensore,l’onda e.m. impiega un tempo t “ h{c per giungere dal so�tto al pavimento dell’ascen-sore. In base al principio di equivalenza i due ascensori in figura 5.1 sono perfettamenteequivalenti come sistemi di riferimento. Pertanto possiamo considerare la propagazionedel fotone nel caso del riferimento accelerato. Al tempo t in cui i fotoni raggiungono ilpavimento, questo sara stato accelerato a velocita

u “ at “ |~g|t (5.9)

quindi, poiche t “ h{c

u “

|~g|h

c(5.10)

Per e↵etto Doppler l’onda e osservata dal pavimento a frequenza maggiore di quella a cuie stata emessa dal so�tto e, al primo ordine in u{c, si ha

⌫ 1“ ⌫

´1 `

u

c

¯“ ⌫

ˆ1 `

|~g|h

c2

˙(5.11)

Dal momento che ~g e costante e ~g “ ´

~r�, con � potenziale gravitazionale, si puo scrivere

|~g| “ ´

��

h(5.12)

5.1 Esempio 1: il redshift gravitazionale 59

quindi

⌫ 1“ ⌫

ˆ1 ´

��

SShSSh

c2

˙(5.13)

ovvero

⌫ 1“ ⌫

ˆ1 ´

��

c2

˙(5.14)

Questa e la formula del “redshift gravitazionale” zg

nel limite “Newtoniano”. Ricordandoche

zg

“

�o

´ �e

�e

“

⌫ ´ ⌫ 1

⌫(5.15)

si ottiene infime

zg

“

��

c2(5.16)

Poiche nel nostro caso il fotone passa da so�tto a pavimento, �� † 0 che implica zg

† 0,ovvero un blueshift. Se la luce si fosse propagata dal pavimento al so�tto avremmo otte-nuto l’e↵etto opposto ovvero un redshift. Quindi la frequenza delle onde elettromagnetichedipende dal campo gravitazionale in cui si propagano.

Un test di zg

fu proposto da Eddington nel 1924: il valore di zg

per le righe nellospettro di una nana bianca, Sirio B, doveva essere pari a c z

g

“ 20 km s´1. Nel 1925Adams misuro un valore di 19 km s´1.

Consideriamo adesso l’espressione trovata in precedenza

⌫ 1“ ⌫

ˆ1 ´

��

c2

˙(5.17)

ed esprimiamola in funzione dei periodi ricordando che ��{c2! 1

1

T 1 “

1

T

ˆ1 ´

��

c2

˙(5.18)

ovvero

T 1“

T`1 ´

��

c

2

˘» T

ˆ1 `

��

c2

˙(5.19)

L’espressione

T 1“ T

ˆ1 `

��

c2

˙(5.20)

e la stessa della dilatazione dei tempi tra sistemi di riferimento inerziali in relativitaspeciale. Questa espressione deve valere esattamente per ogni intervallo temporale percui, in generale, si deve avere

dt1“ dt

ˆ1 `

��

c2

˙(5.21)

Assumiamo adesso che �p8q “ 0 e teniamo conto del fatto che �� “ �prq ´ �p8q allora

dt1 2“ dt2

ˆ1 `

�prq

c2

˙2

(5.22)

e, poiche �prq{c2! 1 si ha infine

dt1 2“ dt2

ˆ1 ` 2

�prq

c2

˙(5.23)

60Le Basi Fisiche della Relativita Generale e la derivazione delle Equazioni di

Friedmann

Se consideriamo l’espressione Newtoniana per � generato da una massa puntiforme M

�prq “ ´

GM

r(5.24)

si ottiene

dt1 2“ dt2

ˆ1 ´ 2

GM

rc2

˙(5.25)

e quindi, data la metrica di Minkowski ds2“ dt1 2

´ 1{c2dl2, possiamo scrivere

ds2“ dt2

ˆ1 ´

2GM

rc2

˙´

1

c2dl2 (5.26)

I coe�cienti della metrica diventano ben piu complessi di quelli dello spazio tempo diMinkowski quando si tenta di considerare l’e↵etto della gravita!

Si noti come dt1, dl sono il tempo e lo spazio misurati da un osservatore in un pun-to del campo gravitazionale, mentre dt e l’intervallo di tempo misurato dall’osservatoreall’infinito.

5.2 Esempio 2: la curvatura dei raggi di luce

Abbiamo appena visto come il principio di equivalenza porti al cambiamento di dt nellametrica. Vediamo adesso come anche dl debba cambiare. Utilizziamo nuovamente ilprincipio di equivalenza e sostituiamo un ascensore stazionario nel campo ~g con uno inun campo gravitazionale nullo ma uniformemente accelerato con ~a “ ´~g. Consideriamoun raggio di luce che si propaga orizzontalmente una parte all’altra dell’ascensore.

�a = ��g

�gl

1

2

gt2

Figura 5.2: Ascensore stazionario in un campo gravitazionale uniforme ~g (sinistra) eascensore soggetto ad accelerazione uniforme ~a “ ´~g (destra). In base al principio diequivalenza di Einstein, un osservatore posto dentro l’ascensore non e in grado di capirein quale dei due casi si trovi.

5.2 Esempio 2: la curvatura dei raggi di luce 61

Nel tempo t in cui il raggio percorre la distanza l per andare da un lato all’altro,l’ascensore si muove diverso l’alto di un tratto

�l “

1

2gt2 (5.27)

pertanto, nel riferimento dell’ascensore il raggio di luce compie un percorso parabolico.Supponiamo di poter approssimare il percorso parabolico con un arco di circonferenza di

�a = ��g1

2

gt2

1

2

gt2

d

2�

�

�

l

1

2

gt2

Figura 5.3: Geometria della propagazione della luce nell’ascensore uniformementeaccelerato.

raggio R (figura 5.3). Allora risulta

d sin� “

1

2|~g|t2

poiche � ! 1, sin� « � e quindi dall’equazione precedente si ottiene

� “

|~g|t2

2d(5.28)

Confondendo l’arco con la corda, R, raggio di curvatura della traiettoria e dato da

R2»

d2

4�2“

d2

4|~g|

2t44d2

“

d4

|~g|

2t4(5.29)

Si puo anche scrivere ched cos� “ l Ñ d « l “ c t (5.30)

poiche cos� « 1. Infine si ottiene

R2“

c4SSt4

|~g|

2SSt4(5.31)

62Le Basi Fisiche della Relativita Generale e la derivazione delle Equazioni di

Friedmann

ovvero

R “

c2

|~g|

(5.32)

con R raggio di curvatura del raggio di luce. Quanto trovato per il riferimento unifor-memente accelerato e perfettamente equivalente a quello che succede nel riferimento nelcampo gravitazionale uniforme. Se ne conclude che il cammino della luce dipende dal-l’accelerazione gravitazionale locale ~g. Poiche questa dipende dal gradiente del potenzialegravitazionale ne consegue che il cammino dei raggi di luce dipende, a sua volta, dalladistribuzione di massa.

5.3 Alcuni concetti utili

Prima di procedere oltre ed arrivare a scrivere le equazioni di Einstein che legano la me-trica dello spazio tempo alla distribuzione di massa-energia, dobbiamo richiamare alcuniconcetti matematico-geometrici.

Se ~A e un vettore nello spazio tridimensionale, posso definire il quadrivettore nellospazio tempo

Aµ

“ pA0, ~Aq “ pA0, A1, A2, A3q (5.33)

con A0 componente temporale e A1, A2, A3 componenti spaziali del vettore ~A. Quando ilquadrivettore e indicato con Aµ (indice in alto) si intende rappresentato in componenticontrovarianti, ovvero quelle componenti che si trasformano come il vettore spostamentodi↵erenziale per un cambio di coordinate.

Se gµ⌫

e il tensore metrico si ha

ds2“ g

µ⌫

dxµdx⌫ (5.34)

dove si e usata la convenzione di Einstein, in base alla quale gli indici ripetuti rappresen-tano una somma: nel caso di ds2 l’espressione e equivalente a

ds2“

4ÿ

µ“0

4ÿ

⌫“0

gµ⌫

dxµdx⌫ (5.35)

dxµ e il quadrivettore spostamento infinitesimo.Il tensore metrico determina il modo di calcolare il prodotto scalare tra due (qua-

dri)vettori che e quindi legato alla metrica:

A ¨ B “ gµ⌫

AµB⌫ (5.36)

Il tensore metrico permette anche di ottenere le componenti covarianti di un vettoreovvero quelle che si trasformano come l’operatore gradiente di funzione per un cambio dicoordinate:

Aµ

“ gµ⌫

A⌫ (5.37)

quindi il tensore metrico gµ⌫

serve anche ad “abbassare” gli indici. Esistono anche lecomponenti controvarianti del tensore metrico tali che

Aµ

“ gµ⌫A⌫

(5.38)

e ovviamente deve risultaregµ⌫g

⌫�

“ �µ

�

(5.39)

5.4 Le equazioni di campo di Einstein 63

con �µ

�

delta di Kronecker (�µ

�

“ 1 se µ “ �, �µ

�

“ 0 se µ ‰ �). In sostanza, le componenticontrovarianti e covarianti del tensore metrico sono l’una l’inversa dell’altra.

Consideriamo adesso una trasformazione di coordinate x Ñ x1 e calcoliamo lo Jaco-biano non singolare della trasformazione

⇤µ

1µ

“

Bxµ

1

Bxµ

(5.40)

Con una notazione piu compatta si puo scrivere

⇤µ

1µ

“ B

µ

xµ

1(5.41)

e l’operatore gradiente

B

µ

“

B

Bxµ

(5.42)

e dato in componenti covarianti.Data questa definizione di Jaocobiano di una trasformazione di coordinate si puo

quindi dire che Aµ e un quadrivettore se e solo se si trasforma come

Aµ

1“ ⇤µ

1µ

Aµ (5.43)

Un tensore e un oggetto a piu indici che si trasforma con una combinazione di Jacobianiin modo da trasformare ogni indice come per un quadrivettore. Pertanto un tensore ecaratterizzato da

Mµ

1⌫

1 “ ⇤µ

1µ

⇤⌫

⌫

1Mµ

⌫

(5.44)

Come gia detto gµ⌫

e un tensore quindi, date le proprieta dei tensori, e facile verificareche

ds2“ g

µ⌫

dxµdx⌫ (5.45)

e un invariante scalare.

5.4 Le equazioni di campo di Einstein

Ricordiamo adesso le basi su cui Einstein ha fondato la Relativita Generale:

1. il Principio di Relativita (covarianza delle leggi della natura per trasformazione dicoordinate)

2. il Principio di Equivalenza (cancellazione locale della gravita in un sistema noninerziale)

3. il Principio di Mach (gµ⌫

dipende dalla distribuzione di massa-energia).

Consideriamo una particella che si muove liberamente sotto l’azione delle sole forzegravitazionali; per il principio di equivalenza deve esistere un sistema di riferimento dicoordinate localmente inerziali ⇠↵ per le quali valga

d2⇠↵

d⌧ 2“ 0 (5.46)

con ⌧ tempo proprio e d2⇠↵

{d⌧ 2 quadriaccelerazione, che e ovviamente nulla per comeabbiamo scelto il riferimento ⇠↵.

64Le Basi Fisiche della Relativita Generale e la derivazione delle Equazioni di

Friedmann

Passiamo adesso ad un qualsiasi riferimento xµ e↵ettuando il cambiamento di coordi-nate ⇠↵

Ñ xµ dato da

⇠↵

“ ⇤↵

µ

xµ

“

B⇠↵

Bxµ

xµ (5.47)

Si puo facilmente dimostrare che l’equazione di moto diventa

d2xµ

d⌧ 2` ��

µ⌫

dxµ

d⌧

dx⌫

d⌧“ 0 (5.48)

La soluzione di questa equazione fornisce l’equazione della geodetica nel riferimento xµ.d2xµ

{d⌧ 2 e la quadriaccelerazione ed il secondo termine, che deriva dal cambiamen-to di coordinate ⇠↵

Ñ xµ, descrive l’e↵etto delle forze gravitazionali, ottenute comeforze non-inerziali in un sistema di riferimento non-inerziale. ��

µ⌫

prende il nome diconnessione a�ne ed e data da

��

µ⌫

“

Bx�

B⇠↵

B

2⇠↵

Bxµ

Bx⌫

(5.49)

⌘↵�

e il tensore metrico di Minkowski nel sistema di riferimento ⇠↵, in cui vale la Relati-vita Speciale per la totale assenza di forze per cui il tensore metrico g

µ⌫

nello spazio dicoordinate xµ e dato dalla trasformazione

gµ⌫

“ ⌘↵�

B⇠↵

Bxµ

B⇠�

Bx⌫

(5.50)

questa espressione permette di ottenere gµ⌫

a partire da ⌘↵�

e dalla trasformazione dicoordinate. Si puo infine dimostrare che la connessione a�ne ��

µ⌫

e esprimibile con iSimboli di Christo↵el

��

µ⌫

“

1

2g��

pB

µ

g�⌫

` B

⌫

g�µ

´ B

�

gµ⌫

q (5.51)

Adesso dobbiamo cercare una relazione tensoriale che leghi la metrica, ovvero il ten-sore metrico g

µ⌫

e le sue derivate, alla distribuzione di materia ed energia che possorappresentare con il tensore energia-impulso.

Si puo dimostrare che, a partire dal tensore metrico gµ⌫

e dalle sue derivate prime eseconde puo essere costruito un solo tensore, detto Tensore di curvatura di Riemann

R�

µ⌫�

“ B

⌫

��

µ�

´ B

�

��

µ⌫

` �⌘

µ�

��

⌘⌫

´ �⌘

µ⌫

��

⌘�

(5.52)

Questo tensore descrive la variazione delle coordinate di un vettore V µ a seguito deltrasporto parallelo lungo un cammino (spostamento) infinitesimo dfµk

dV⌫

“ R�

µ⌫k

V�

dfµk (5.53)

Ricordiamo che un vettore “ruota” durante il trasporto parallelo se lo spazio e curvo.A partire dal tensore di curvatura di Riemann si possono poi ritrovare per contrazione

il Tensore di Ricci:R

µ⌫

“ R�

µ�⌫

(5.54)

e la Curvatura scalareR “ Rµ

µ

“ gµ⌫Rµ⌫

(5.55)

5.4 Le equazioni di campo di Einstein 65

Il tensore che descrive la geometria dello spazio tempo e quindi il Tensore di Einstein

Gµ⌫

“ Rµ⌫

´

1

2g

µ⌫

R (5.56)

Adesso dobbiamo ottenere la distribuzione di massa-energia che e esprimibile tenso-rialmente col Tensore Energia-Impulso. Se si considera un fluido con densita ⇢ e pressionep (entrambe grandezze comoventi) si ha

Tµ⌫

“ p⇢c2` pquµu⌫

´ pgµ⌫ (5.57)

con uµ quadrivelocita.Le equazioni di Einstein sono finalmente

Gµ⌫

“

8⇡G

c2T

µ⌫

(5.58)

ovvero

Rµ⌫

´

1

2g

µ⌫

R “

8⇡G

c2T

µ⌫

(5.59)

Dopo aver formulato queste equazioni Einstein si rese conto che era possibile aggiunge-re un termine costante ⇤ che avrebbe poi potuto permettere l’esistenza di un universostazionario:

Rµ⌫

´

1

2g

µ⌫

R “

8⇡G

c2T

µ⌫

` ⇤gµ⌫

(5.60)

Si noti come in questa equazione tensoriale ci sono solo 6 equazioni indipendenti sulle 16equazioni totali. Da 16 si passa a 10 perche i tensori metrici (e quindi tutti i derivati) sonosimmetrici; inoltre 4 sono ridondanti per le proprieta di R

µ⌫

. Il tensore metrico ha pero10 componenti indipendenti incognite, pertanto abbiamo a disposizione solo 6 equazioniper 10 incognite. La presenza di 4 gradi di liberta incogniti porta ad una invarianza digauge per la scelta del riferimento.

Vediamo adesso di intuire come mai le equazioni hanno quella forma. E’ chiaro chele equazioni di Einstein nel limite Newtoniano devono fornire, tra le altre, l’equazione diPoisson. Quando abbiamo ottenuto l’espressione per il redshift gravitazionale nel limiteNewtoniano avevamo trovato

ds2“ dt2

ˆ1 `

2�

c2

˙´

dl2

c2(5.61)

per cui

g00 “

ˆ1 `

2�

c2

˙(5.62)

� “

1

2pg00 ´ 1q c2 (5.63)

L’equazione di Poisson er2� “ 4⇡G⇢ (5.64)

ovvero

r2� “

1

2c2r2g00 (5.65)

66Le Basi Fisiche della Relativita Generale e la derivazione delle Equazioni di

Friedmann

Il tensore energia impulso di un fluido comovente (cioe che non ha velocita propria rispettoall’espansione dell’universo) ha solo il termine T00 ‰ 0 e, nel caso di p “ 0, si ha

T 00“ p⇢c2

` �pq�2´ ⇠⇠⇠pg00 (5.66)

ovvero

⇢ “

T 00

�2c2»

T 00

c2per

v

c! 1 (5.67)

sostituendo otteniamo1

2c2r2g00 “ 4⇡G

T 00

c2(5.68)

ovvero

r2g00 “

8⇡G

c4T 00 (5.69)

che ricorda la componente 00 delle equazioni di Einstein.In conclusione, le equazioni di campo di Einstein

Rµ⌫

´

1

2g

µ⌫

R “

8⇡G

c2T

µ⌫

` ⇤gµ⌫

(5.70)

sono 6 equazioni non lineari indipendenti. Il procedimento da seguire per arrivare allaloro soluzione e il seguente:

1. si sceglie una forma del tensore metrico che contenga in se le eventuali simmetrie delsistema (si ricorda che non e possibile risolvere il problema se tutte le 10 componentidel tensore simmetrico g

µ⌫

sono incognite);

2. si determina la forma del tensore energia-impulso che descrive le sorgenti del campoproprie del problema;

3. si scrivono le equazioni di Campo di Einstein ottenendo un sistema di equazionidi↵erenziali nelle funzioni incognite presenti in g

µ⌫

;

4. la loro soluzione permette di determinare gµ⌫

da cui si ottiene la geometria dellospazio e le equazioni geodetiche che determinano il moto.

5.5 Derivazione delle equazioni di Friedmann

Prima di procedere e opportuno vedere quali siano le convenzioni relative ai segni. Lametrica di Minkowski e

⌘µ⌫

“ rS1s ˆ diagr´1, 1, 1, 1s (5.71)

con rS1s segnatura della metrica di Minkowksi che puo essere pari a `1 o ´1. diagr´1, 1, 1, 1s

indica la matrice con i valori p´1, 1, 1, 1q sulla diagonale. Il tensore di curvatura diRiemann ha segnatura rS2s tale che

Rµ

⌫⇢�

“ rS2s ˆ

`B

�

�µ

⌫⇢

´ B

⇢

�µ

⌫�

` �µ

��

� �

⌫ ⇢

´ � µ

� ⇢

� �

⌫ �

˘(5.72)

Il tensore di Ricci eR

µ⌫

“ rS2s ˆ rS3s ˆ R↵

µ↵⌫

(5.73)

5.5 Derivazione delle equazioni di Friedmann 67

per cui le equazioni di Einstein sono

Gµ⌫

“ Rµ⌫

´

1

2g

µ⌫

R “ rS3s ˆ

ˆ8⇡G

c2T

µ⌫

` ⇤gµ⌫

˙(5.74)

Fino ad ora abbiamo usato la convenzione

rS1s “ ´1

rS2s “ `1

rS3s “ `1

che porta alle equazioni di Einstein nella forma

Rµ⌫

´

1

2g

µ⌫

R “

8⇡G

c2T

µ⌫

` ⇤gµ⌫

(5.75)

Cominciamo adesso a esplicitare queste equazioni. Abbiamo visto come per uno spazioomogeneo ed isotropo in espansione uniforme la metrica piu generale e quella di Robertsone Walker

ds2“ dt2 ´

aptq2

c2

”dr2

` R2 sin2´ r

R

¯ `d✓2

` sin2 ✓d�2˘ı

Dato che ds2“ g

µ⌫

dxµdx⌫ , il tensore metrico scritto in forma di matrice e pertanto

gµ⌫

“

¨

˚˚˚˚

1 0 0 0

0 ´

a2ptq

c20 0

0 0 ´

a2ptq

c2R2 sin2

´ r

R

¯0

0 0 0 ´

a2ptq

c2R2 sin2

´ r

R

¯sin2 ✓

˛

‹‹‹‹‹‹‹‚

Per ottenere le componenti controvarianti si puo facilmente calcolare l’inverso deltensore in componenti covarianti

gµ⌫

“ pgµ⌫

q

´1“

¨

˚˚˚˚˝

1 0 0 0

0 ´

c2

a2ptq

0 0

0 0 ´

c2

R2a2ptq

csc2´ r

R

¯0

0 0 0 ´

c2

R2a2ptq

csc2´ r

R

¯csc2 ✓

˛

‹‹‹‹‹‹‹‹‚

A questo punto, per prima cosa, si calcolano i Simboli di Christo↵el a partire da gµ⌫

e per rappresentare il risultato si utilizza la convenzione che �123 corrisponde a �µ

⌫�

conµ “ 1, ⌫ “ 2, � “ 3 (gli indici assumono i valori 0,1,2,3). I simboli di Christo↵el non nulli

68Le Basi Fisiche della Relativita Generale e la derivazione delle Equazioni di

Friedmann

sono soltanto

�011 “

aptq 9aptq

c2

�022 “

R2aptq sin2`

r

R

˘9aptq

c2

�033 “

R2aptq sin2`

r

R

˘sin2 ✓ 9aptq

c2

�110 “

9aptq

aptq

�122 “ ´

1

2R sin

ˆ2r

R

˙

�133 “ ´

1

2R sin

ˆ2r

R

˙sin2 ✓

�220 “

9aptq

aptq

�221 “

cot`

r

R

˘

R

�233 “ ´ cos ✓ sin ✓

�330 “

9aptq

aptq

�331 “

cot`

r

R

˘

R

�332 “ cot ✓

Si calcola quindi il tensore di Riemann e si riportano i risultati tenendo conto della stessaconvenzione utilizzate per i �. Considerando R1

213 e possibile ottenere R1231 usando

l’antisimmetria per lo scambio degli ultimi due indici anche se questa cosa non e evidenteperche riportiamo le R�

µ⌫�

invece delle R�µ⌫�; gli elementi del tensore da cui si ottengono

5.5 Derivazione delle equazioni di Friedmann 69

tutti gli elementi non nulli sono soltanto:

R0110 “ ´

aptq:aptq

c2

R0220 “ ´

R2 sin2`

r

R

˘aptq:aptq

c2

R0330 “ ´

R2 sin2`

r

R

˘sin2 ✓ aptq:aptq

c2

R1010 “ ´

:aptq

aptq

R1221 “ ´

sin2`

r

R

˘pc2

` R2 9a2ptqq

c2

R1331 “ ´

sin2`

r

R

˘sin2 ✓ pc2

` R2 9a2ptqq

c2

(5.76)

R2020 “ ´

:aptq

aptq

R2121 “

1

R2`

9a2ptq

c2

R2332 “ ´

sin2`

r

R

˘sin2 ✓ pc2

` R2 9a2ptqq

c2

R3030 “ ´

:aptq

aptq

R3131 “

1

R2`

9a2ptq

c2

R3232 “

sin2`

r

R

˘pc2

` R2 9a2ptqq

c2

Si calcolano quindi tensore e scalare di Ricci dalle contrazioni successive del tensore diCurvatura di Riemann. Le forme non nulle del tensore di Ricci sono quelle diagonali:

R00 “ ´

3:aptq

aptq

R11 “

2

R2`

2 9a2ptq

c2`

aptq:aptq

c2

R22 “

sin2`

r

R

˘p2c2

` 2R2 9a2ptq ` R2aptq:aptqq

c2

R33 “

sin2`

r

R

˘sin2 ✓ p2c2

` 2R2 9a2ptq ` R2aptq:aptqq

c2

70Le Basi Fisiche della Relativita Generale e la derivazione delle Equazioni di

Friedmann

mentre per lo scalare di Ricci abbiamo

R “ ´

6 pc2` R2 9a2

ptq ` R2aptq:aptqq

R2a2ptq

Questo ci permette di ottenere il tensore di Einstein Gµ⌫

ovvero il primo membro delleequazioni di Einstein.

G00 “

3 pc2` R2 9a2

ptqq

R2a2ptq

G11 “ ´

1

R2´

9a2ptq

c2´

2aptq:aptq

c2

G22 “ ´

sin2`

r

R

˘pc2

` R2 9a2ptq ` 2R2aptq:aptqq

c2

G33 “ ´

sin2`

r

R

˘sin2 ✓ pc2

` R2 9a2ptq ` 2R2aptq:aptqq

c2

Andiamo adesso a determinare il secondo membro delle equazioni di Einstein. Il tensoreenergia-impulso e

T µ⌫

“ p⇢c2` pquµu⌫

´ pgµ⌫ (5.77)

La quadrivelocita e data da

u⌫

“ �p1, ux

, uy

, uz

q ui

“

vi

c

e, se prendiamo un fluido comovente (stazionario), avremo

ux

“ uy

“ uz

“ 0� “ 1u⌫

“ p1, 0, 0, 0q

ovvero utilizzando l’espressione per gµ⌫ trovata prima, si ottiene in componenti controvarianti

T µ⌫

“ p⇢c2` pq

»

——–

1 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

fi

��fl ´ pgµ⌫ (5.78)

ovvero

T µ⌫

“

¨

˚˚˚˚˝

c2⇢ 0 0 0

0c2p

a2ptq

0 0

0 0c2p csc2

`r

R

˘

R2a2ptq

0

0 0 0c2p csc2

`r

R

˘csc2 ✓

R2a2ptq

˛

‹‹‹‹‹‹‹‹‚

5.5 Derivazione delle equazioni di Friedmann 71

Si noti come il secondo membro delle equazioni di Einstein in coordinate controvariantidiventi

8⇡G

c2T µ⌫

` ⇤gµ⌫

“

8⇡G

c2p⇢c2

` pq

¨

˚˝

1 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

˛

‹‹‚´

8⇡G

c2pgµ⌫

` ⇤gµ⌫

ovvero ⇤ appare come un contributo di pressione negativa.Si passa quindi a componenti covarianti del tensore Energia-Impulso

Tµ⌫

“ gµ�

g⌫�

T �� (5.79)

ottenendo

Tµ⌫

“

¨

˚˚˚˚

c2⇢ 0 0 0

0pa2

ptq

c20 0

0 0pR2a2

ptq sin2`

r

R

˘

c20

0 0 0pR2a2

ptq sin2`

r

R

˘sin2 ✓

c2

˛

‹‹‹‹‹‹‹‚

Ovviamente, le componenti covarianti e controvarianti della matrice unitaria sono uguali.Come si puo facilmente notare scrivendo le Equazioni di Einstein

Gµ⌫

“

8⇡G

c2T

µ⌫

` ⇤gµ⌫

(5.80)

solo i termini diagonali sono non nulli ovvero abbiamo ottenuto quattro equazioni peraptq:

3

a2ptq

ˆc2

R2` 9a2

ptq

˙´ p⇤ ` 8⇡G⇢q “ 0

´

1

R2´

9a2ptq

c2´

2aptq:aptq

c2`

1

c4

`´8⇡Gp ` c2⇤

˘a2

ptq “ 0

´

sin2`

r

R

˘

c4

“c4

` c2R2 9a2ptq ` 2c2R2aptq:aptq ` R2

p8⇡Gp ´ c2⇤qa2ptq

‰“ 0

´

sin2`

r

R

˘

c4sin2 ✓

“c4

` c2R2 9a2ptq ` 2c2R2aptq:aptq ` R2

p8⇡Gp ´ c2⇤qa2ptq

‰“ 0

(5.81)

Dove le parentesi con G e ⇤ sono chiaramente il contributo del secondo membro delleEquazioni di einstein (tensore energia impulso e costante cosmologica). Le ultime dueequazioni sono chiaramente equivalenti. Dalla prima si ottiene

9a2ptq “

8⇡G⇢

3a2

ptq ´

c2

R2`

1

3⇤a2

ptq (5.82)

sostituendo 9aptq2 nella seconda si ottiene invece

´

◆◆◆1

R2´

8⇡G⇢

3c2aA2ptq `

◆◆◆1

R2´

1

3

⇤

c2aA2ptq

´

2⇢⇢⇢aptq:aptq

c2´

8⇡Gp

c4aA2ptq `

⇤aA2ptq

c2“ 0 (5.83)

ovvero, raccogliendo,

:aptq “ ´

4⇡G

3

ˆ⇢ `

3p

c2

˙aptq `

1

3⇤aptq (5.84)

Si puo verificare che sostituendo 9a2ptq dalla prima equazione nella terza si ritrova la

seconda equazione. In conclusione abbiamo trovato solo due equazioni indipendenti:

9a2ptq “

8⇡G⇢

3a2

ptq ´

c2

R2`

1

3⇤a2

ptq

:aptq “ ´

4⇡G

3

ˆ⇢ `

3p

c2

˙aptq `

1

3⇤aptq (5.85)

che sono finalmente le equazioni che volevamo ottenere e che prendono il nome di “Equa-zioni di Friedmann”.