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Le equazioni della meccanica dei fluidi Stefano Lanzoni Dipartimento di Ingegneria Idraulica, Marittima e Geotecnica Universit´ a di Padova
Le equazioni della meccanica dei fluidi
Stefano LanzoniDipartimento di Ingegneria Idraulica, Marittima e Geotecnica
Universita di Padova
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1 Introduzione
In numerosi problemi riguardanti l’Ingegneria, la Fisica e le Scienze Naturalirisulta conveniente studiare il comportamento di un fluido (cosı come, delresto, quello di un solido) utilizzando un approccio di tipo continuo. In par-ticolare, pur essendo i fluidi (liquidi e gas) costituiti da sistemi estremamentecomplessi di molecole piu o meno discoste tra loro, in continuo movimento esoggette ad urti reciproci, si postula sia lecito studiare il comportamento delfluido dal punto di vista macroscopico, ovvero su una scala spaziale moltomaggiore della distanza intermolecolare. Si assume a tal scopo che quan-tita fisiche quali la massa, la quantita di moto, l’energia, etc, siano funzionicontinue dello spazio occupato dal fluido stesso.
Le equazioni fondamentali della Meccanica dei Continui sono state ampia-mente studiate nell’ambito del corso di Meccanica Razionale e sono statespecificatamente applicate allo studio dei liquidi nel corso di Idraulica (cosıcome l’applicazione al caso dei solidi e stato oggetto del corso di Scienza delleCostruzioni). Si rimanda dunque il lettore ai testi utilizzati in tali corsi peruna trattazione sistematica del comportamento cinematico e dinamico deifluidi intesi come mezzi continui.
In questa sede si vuole piuttosto dare una visione d’insieme delle leg-gi fisiche che governano il moto dei fluidi e delle formulazioni alternativeche tali leggi possono assumere, in funzione anche delle semplificazioni ad-dottate nel problema considerato. In particolare, le equazioni fondamentalidella meccanica dei fluidi vengono qui riprese con particolare enfasi allaloro intrinseca natura di leggi di conservazione. Indipendentemente dal gra-do di complessita del sistema fluido che si vuole studiare, infatti, non soloproprieta fondamentali come la massa, la quantita di moto e l’energia si con-servano ad ogni istante, ma le tre leggi di conservazione che ne governanol’evoluzione nel tempo consentono di determinare senza ambiguita il com-portamento dinamico del sistema fluido. L’unica informazione addizionalerichiesta riguarda il tipo di fluido considerato (fluido viscoso newtoniano, flu-ido viscoplastico, fluido di Bingham,..., comprimibile, incomprimibile, etc).Tale informazione e data dal cosidetto legame costitutivo che, come vedremo,lega lo stato di tensione in ciascun punto del campo fluido con la velocita dideformazione del medesimo.
La dispensa e organizzata come segue. Nel paragrafo 1 vengono breve-mente richiamati alcuni concetti di natura cinematica riguardanti i metodidi indagine euleriano e lagrangiano. Il paragrafo 2 richiama un importanteteorema di natura cinematica (il teorema del trasporto o di Reynolds) checonsente di valutare la derivata totale (materiale) dell’integrale di una de-
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terminata grandezza (scalare o vettoriale) esteso ad un generico volume ma-teriale di fluido. Tale teorema viene utilizzato nella sezione 3 per ricavare leequazioni di conservazione della massa, della quantita di moto e dell’energiain forma integrale. La formulazione differenziale di tali equazioni e deriva-ta nel paragrafo 4 dove vengono inoltre brevemente richiamati i concetti distato di tensione in un punto e di legame costitutivo. Un esempio dellaapplicazione delle equazioni dei continui fluidi ad un problema particolarequale quello delle correnti a pelo libero e riportato nel paragrafo 5 dove sonoderivate le equazioni di de Saint Venant. Nel paragrafo 6 vengono poi breve-mente discusse altre equazioni di conservazione - della salinita, dei sedimen-ti, della concentrazione di un soluto passivo - che spesso si incontrano nelleapplicazioni pratiche. Infine, in Appendice si introducono le notazioni utiliz-zate nella dispensa, si riportano alcuni brevi cenni di calcolo vettoriale e ten-soriale utili per la derivazione delle varie equazioni nonche alcune specifichedimostrazioni per il lettore interessato ad ulteriori approfondimenti.
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2 Metodi di indagine Euleriano e Lagrangiano
E’ noto dalla Meccanica Razionale e dall’Idraulica che le proprieta caratter-izzanti un campo fluido (densita, velocita, quantita di moto, etc.) possonoessere studiate seguendo due metodi di indagine cinematica: quello (dettoeuleriano) che si fonda sulla determinazione della velocita e delle sue vari-azioni in ogni punto del campo di moto e quello proprio della meccanicaclassica (detto metodo lagrangiano) che si basa sullo studio delle traiettoriedelle singole particelle.
Nella trattazione euleriana le proprieta del campo di moto vengono def-inite in funzione del tempo t e della posizione nello spazio x rispetto adun sistema di riferimento cartesiano inerziale di assi x1, x2, x3. Le variabili(x, t) sono dette euleriane (o spaziali) e caratterizzano una singola posizionedello spazio dove, al variare del tempo, vengono a trovarsi particelle di fluidodiverse.
L’approccio lagrangiano, d’altra parte, si fonda sul concetto di elemen-to materiale, ovvero di un volume che si muove con il fluido e, quindi, esempre costituito dalle stesse particelle liquide. Le proprieta del campo dimoto possono allora essere definite in funzione del comportamento dinamicodel volume materiale elementare (particella fluida) considerato, individu-ato tramite la posizione X del suo centro di massa ad un fissato istanteiniziale t0 (cfr. figura I1). Con il trascorrere del tempo tale volume ma-teriale elementare si spostera e si deformera, la sua posizione al genericoistante t (computato a partire dall’origine dei tempi t0) essendo definitadalla relazione
x = x(X, t) (1)
che definisce la traiettoria percorsa dalla particella fluida inizialmente postain X. Si noti come, per un fissato istante t la (1) individua una trasfor-mazione della regione V0 occupata dal fluido all’istante iniziale t0 nella re-gione V (t) occupata all’istante t. Il moto del continuo fluido puo quindiessere descritto assumendo come variabili indipendenti le coordinate (X, t),dette anche coordinate materiali in quanto ciascuna particella del campofluido e caratterizzata da un assegnato valore di X. Ovviamente tale pro-prieta e verificata solo se si ammette, come faremo in seguito, che particelledistinte tra loro all’istante iniziale t0 si mantengano tali anche nel corso delmoto.
E’ inoltre evidente che tale modo di procedere equivale ad assumere unsistema di riferimento solidale con il fluido e, pertanto, soggetto ad alter-
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azioni nel corso del movimento. In particolare, se nella condizione iniziale siconsidera un sistema di riferimento ortogonale, negli istanti successivi essosi trasforma in un generico sistema curvilineo (cfr. figura I2a). Si con-sideri infatti il volume materiale dV0 che all’istante iniziale t0 e contenutonel parallelepipedo rettangolare centrato in X di lati dX1, dX2, dX3 paral-leli, rispettivamente, agli assi x1, x2, x3. Con il trascorrere del tempo talevolume materiale, pur contenendo sempre le stesse particelle di fluido, simodifichera trasformandosi, all’istante t in un parallelepipedo obliquo dilati dX1, dX2, dX3, centrato in x = x(X, t), ovvero nel punto individuatodal baricentro del volume materiale. Come riportato in Appendice, e pos-sibile dimostrare che il volume dV (t) di tale parallelepipedo obliquo risultalegato al volume iniziale dV0 = dX1dX2dX3 dalla relazione
dV
dV0=
∣∣∣∣∣∣∣∂x1∂X1
∂x1∂X2
∂x1∂X3
∂x2∂X1
∂x2∂X2
∂x2∂X3
∂x3∂X1
∂x3∂X2
∂x3∂X3
∣∣∣∣∣∣∣ (2)
dove il termine a secondo membro rappresenta il determinante JacobianoJ della trasformazione che consente di passare dalle coordinate cartesiane(euleriane) x1, x2, x3 alle coordinate curvilinee lagrangiane X1, X2, X3.
La variazione nel tempo di una qualsiasi quantita materiale, cioe asso-ciata al moto delle particelle, e espressa dalla cosiddetta derivata materialeo totale. Fissata una generica particella, ovvero fissata la sua posizione Xall’istante iniziale t0, un osservatore che si muove solidale con la particellavedra una qualsiasi proprieta ψ ad essa associata variare non solo perchevaria il tempo, ma poiche varia anche la posizione x(X, t) descritta dallatraiettoria della particella. Dunque
dψ
dt=
∂ψ
∂t+ u · ∇ψ (3)
essendo u = (dx1/dt, dx2/dt, dx3/dt) il vettore della velocita euleriana eavendo indicato con ∇ l’operatore gradiente (cfr. Appendice).
Nel caso del determinante Jacobiano si puo dimostrare che
dJ
dt= J∇ · u (4)
dove ∇· rappresenta l’operatore della divergenza.
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3 Il teorema del trasporto (o di Reynolds)
Il teorema del trasporto (o di Reynolds) e un importante teorema di tipo cin-ematico che, come vedremo nel seguito, consente di passare da un approcciodi tipo continuo ad un approccio basato sul cosidetto volume di controllo.Fissato un dato istante t, si isoli all’interno della massa fluida un genericovolume materiale V . Indicata con ψ una qualsiasi proprieta intensiva delfluido (ovvero una proprieta per unita di volume) si vuole studiare la vari-azione subita nel tempo dalla generica proprieta estensiva Ψ =
∫ψdV . Si
noti come, in generale, ψ puo rappresentare una quantita sia scalare (la mas-sa ρ, l’energia specifica per unita di volume e, etc) sia vettoriale (la quantitadi moto per unita di volume ρu, il momento della quantita di moto per unitadi volume r× u, essendo r il braccio rispetto ad un asseganto polo, etc). Inbase alle (2),(4) e osservando che V0 non dipende dal tempo, si avra
d
dt
∫VψdV =
d
dt
∫V0
ψ(dV
dV0)dV0
=∫
V0
(Jdψ
dt+ ψ
dJ
dt
)dV0
=∫
V0
(dψ
dt+ ψ∇ · u
)JdV0
da cui, utilizzando nuovamente la (2),
d
dt
∫VψdV =
∫V
(dψ
dt+ ψ∇ · u
)dV (5)
Il significato cinematico di tale teorema emerge immediatamente qualorase ne fornisca una formulazione alternativa. In base alla (3), infatti, lafunzione integranda che compare a secondo membro della (5) puo essereriscritta come
dψ
dt+ ψ∇ · u =
∂ψ
∂t+ u · ∇ψ + ψ∇ · u (6)
Ma, utilizzando la convenzione (cfr. Appendice) per cui termini contenentiindici ripetuti vanno sommati tra loro, si puo scrivere
u · ∇ψ + ψ∇ · u = uj∂ψi
∂xj+ ψi
∂uj
∂xj=∂(ψiuj)∂xj
= ∇ · (u ⊗ ψ) (7)
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dove ⊗ indica il prodotto tensoriale di due vettori che si riduce all’usualeprodotto ψu qualora ψ sia una quantita scalare.
D’altra parte, indicata con S la superficie che ad un dato istante t de-limita il volume V , in base al teorema della divergenza (noto anche cometeorema di Gauss o del flusso) si avra
∫V∇ · (u ⊗ ψ)dV =
∫Sψ(u · n)dS (8)
con n normale alla superficie S, positiva se orientata verso l’esterno.Ne consegue che la (5) puo essere riscritta nella forma
d
dt
∫VψdV =
∫V
∂ψ
∂tdV +
∫Sψu · ndS (9)
Pertanto, la derivata totale (materiale) dell’integrale di ψ esteso al volumemobile V uguaglia la somma dell’integrale della derivata locale della quan-tita ψ esteso al volume fisso (detto volume di controllo) istantaneamentecoincidente con V e del flusso di ψ attraverso la superficie di contorno ditale volume fisso. Un aspetto essenziale della (9) risiede nel fatto che le vari-azioni di ψ all’interno di V , in assenza di un termine sorgente, dipendonosolo dai flussi che attraversano la superficie S e non dai flussi che si generanoall’interno di V . Tale proprieta e di notevole importanza nella derivazionedi approssimazioni numeriche delle leggi che governano un assegnato campodi moto.
E’ infine importante osservare come il volume di controllo e fisso rispet-to al sistema di riferimento x1, x2, x3 che, tuttavia, essendo inerziale, puomuoversi seguendo una legge di moto rettilineo uniforme. Nel caso in cui,invece, il sistema di riferimento x1, x2, x3 non sia inerziale, e necessario mod-ificare la (9) mettendo in conto l’accelerazione aO con cui si muove l’origineO del sistema di riferimento e velocita angolare ω con cui esso ruota (Grioli,19xx; Shames, 1992, p. 174).
Nei paragrafi che seguono vedremo come il teorema del trasporto con-sente di derivare in forma integrale e differenziale le equazioni di conser-vazione della massa, della quantita di moto e dell’energia.
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4 Principio di conservazione della massa
4.1 Formulazione Integrale
Si isoli all’interno del campo fluido un arbitrario volume materiale V (t). Lamassa M del fluido che all’istante t occupa tale volume e pari aM =
∫V ρdV ,
avendo indicato con ρ la densita del fluido (ovvero la massa per unita divolume).
Il principio di conservazione della massa postula che la massa di fluidoM non cambi con il moto di V , ovvero che la derivata materiale di M siasempre identicamente uguale a zero
dM
dt= 0 (10)
Utilizzando il teorema del trasporto, ponendo cioe ψ = ρ nella (5), la (10)puo essere riscritta come
∫V
(dρ
dt+ ρ∇ · u
)dV = 0 (11)
D’altra parte utilizzando la formulazione alternativa (9) del teorema deltrasporto si ottiene
∫V
∂ρ
∂tdV = −
∫Sρu · ndS (12)
Tale espressione mostra come, fissato un volume di controllo V delimitatodalla superficie S, la differenza tra il flusso di massa entrante in S e ilflusso di massa uscente da S uguaglia, in assenza di termini sorgenti, lavariazione nel tempo della massa contenuta in V . In particolare, per unacorrente monodimensionale, ovvero caratterizzata dallo sviluppo del motoin una direzione prevalente, si potra scrivere che
∫V
∂ρ
∂tdV =
∫Sout
ρu · ndS −∫
Sin
ρu · ndS (13)
dove Sout ed Sin indicano le porzioni di S in cui la normale n (diretta esterna-mente a V ) e orientata concordemente o discordemente con il vettore velocitau. Si noti come ρu · ndS rappresenti la portata di massa che attraversa lasuperficie dS mentre dQ = u · ndS e la relativa portata volumetrica.
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4.2 Formulazione differenziale
La forma differenziale euleriana dell’equazione di continuita puo essere facil-mente dedotta considerando il bilancio di massa relativo ad un prisma el-ementare di lati dx1, dx2, dx3 (cfr. Ghetti, 1981, p. 72). Tuttavia, essadiscende immediatamente dalla (11) qualora si osservi che, in virtu del-l’arbitrarieta del volume V considerato, l’integrale a secondo membro eidenticamente nullo solo se lo e la funzione integranda, ovvero
dρ
dt+ ρ∇ · u = 0 (14)
Sfruttando le (3),(6), (7), si ottiene poi la classica forma differenziale dell’e-quazione di continuita
∂ρ
∂t+ ∇ · (ρu) = 0 (15)
che in forma estesa si scrive:
∂ρ
∂t+∂(ρux)∂x
+∂(ρuy)∂y
+∂(ρuz)∂z
= 0
Le equazioni (14), (15) sono del tutto equivalenti da un punto di vistamatematico, ma, come vedremo, non lo sono qualora si operi una discretiz-zazione numerica delle equazioni. In particolare, la forma (15), viene dettaforma conservativa (o divergente) dell’equazione di continuita.
Infine, si lascia al lettore dimostrare che dalla (5) associata alla (14)discende la relazione, ampiamente utilizzata nei paragrafi che seguono,
d
dt
∫VρψdV =
∫Vρdψ
dtdV (16)
4.3 Condizione cinematica in corrispondenza di un’interfac-cia
L’equazione di continuita assume una forma particolare in corrispondenzadella frontiera del dominio fluido (in corrispondenza cioe di una superficielibera o di una parete). E’ possibile dimostrare, infatti, che ogni frontiera(fissa o mobile) e una superficie materiale (e, quindi, costituita sempre dallestesse particelle fluide) e soddisfa la cosidetta condizione cinematica. Siadunque F(x, t) = 0 l’equazione all’istante t della frontiera del fluido in moto.All’istante t + dt l’equazione della frontiera diventa F(x + dx, t + dt) = 0.Sviluppando la F in serie di Taylor si ottiene
9
F(x + dx, t+ dt) = F(x, t) +∂F∂tdt+ ∇F · dx +O(dt2, |dx|2) = 0
Da cui, a meno di infinitesimi di ordine superiore
uF = − 1∇F
∂F∂t
dove uF = dx/dt rappresenta la velocita uF con cui si muove la frontiera.Il fatto che la superficie F sia una frontiera del campo fluido impone chenon vi sia distacco o compenetrazione, ovvero che le componenti in direzionenormale a F della velocita del fluido u e della velocita della frontiera uF
coincidano.Ricordato che la normale alla frontiera e data da
nF =∇F|∇F| (17)
dovra quindi essere soddisfatta l’uguaglianza uF · nF = u · nF per cui
− 1|∇F|
∂F∂t
= u · ∇F|∇F|
da cui discende immediatamente la condizione cinematica
∂F∂t
+ u · ∇F = 0 (18)
ovvero, in forma estesa:
∂F∂t
+ ux∂F∂x
+ uy∂F∂y
+ uz∂F∂z
= 0
Si lascia al lettore dimostare che tale condizione implica che la superficieF(x, t) = 0 e sempre costituita dalle stesse particelle, ovvero e una superficiemateriale.
Si noti infine come nel caso in cui la frontiera sia costituita da unasuperficie fissa la (18) si riduce ad imporre l’usuale condizione di continuita
u · nF = 0 (19)
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5 Principio di conservazione della quantita di mo-to
5.1 Formulazione integrale
Si consideri la porzione di fluido che all’istante t occupa il volume materialeV avente superficie S. Le forze esterne agenti su tale volume possono, ingenerale, essere suddivise in
• forze di massa f(x, t), definite per unita di massa e applicate alleparticelle fluide contenute in V
• forze di superficie F(x, t), definite per unita di superficie e applicatealle particelle fluide che costituiscono S.
Indichicato con u(x, t) il vettore della velocita (euleriana) in un genericopunto, il principio di conservazione della quantita di moto postula che laderivata totale della quantita di moto associata al volume materiale V siauguale in ogni istante alla risultante delle forze esterne ad esso applicate,ovvero
d
dt
∫VρudV =
∫VρfdV +
∫SFdS (20)
Aplicando il teorema del trasporto al primo membro della (20), ponendocioe ψ = ρu nella (5) e tenendo conto della equazione di continuita (11)si ottiene la seguente formulazione integrale del principio di conservazionedella quantita di moto
∫VρdudtdV =
∫VρfdV +
∫SFdS (21)
D’altra parte, utilizzando il teorema del trasporto nella formulazionealternativa (9) si ottiene
∫V
∂(ρu)∂t
dV +∫
S(ρu)u · ndS =
∫VρfdV +
∫SFdS (22)
Per una corrente monodimensionale, indicata con dQ = u · ndS la por-tata volumetrica che attraversa la superficie dS e, al solito, assumendo laconvenzione per cui la normale n alla superficie S e orientata esternamentea V , si ottiene
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∫V
∂(ρu)∂t
dV +∫
Sout
ρudQ−∫
Sin
ρudQ =∫
VρfdV +
∫SFdS (23)
dove i pedici out e in si riferiscono a quelle porzioni di S in cui il flusso diquantita di moto e diretto, rispettivamente, verso l’esterno e verso l’internodel volume di controllo.
5.2 Formulazione differenziale
5.2.1 Stato di tensione in un continuo
La derivazione della forma differenziale del principio della quantita di motopresuppone l’introduzione del concetto di tensione in un generico punto diun continuo.
Con riferimento alle notazioni di figura I4 si condideri un qualsiasi sis-tema continuo in moto che all’istante t occupa il volume V (t) delimitatodalla superficie chiusa S(t). All’interno di V si isoli un arbitrario volumemateriale V ∗ delimitato dalla superficie S∗. Su tale superficie si consideriuna superficie elementare δS∗, centrata in P (x), la cui giacitura e indi-viduata dalla normale n orientata esternamente a V ∗. Indicata con δR larisultante delle forze che il fluido esterno a V ∗ esercita su δS∗ la tensione tagente nel punto P (x) e definita come
t = t(x,n) = limδS∗→0
δRδS∗ (24)
La tensione t, dunque, rappresenta una forza per unita di superficie e risul-ta funzione sia del punto P (x) considerato sia della giacitura (individuatamediante la normale n) dell’elemento considerato. La giacitura della super-ficie elementare δS∗, infatti puo essere qualsiasi in virtu del modo del tuttoarbitrario con cui si isola il volume V ∗ e, quindi, la sua superficie S∗. Seora, sempre con riferimento al volume arbitrario V ∗, si considera il principiodella quantita di moto nella formulazione (21), al tendere a zero di V ∗ gliintegrali di volume risultano infinitesimi di ordine superiore rispetto all’in-tegrale di superficie e, quindi, il principio della quantita di moto a livellolocale si riduce ad una condizione di equilibrio delle forze di superficie (ten-sioni) distribuite su una superficie chiusa circostante il punto P considerato,ovvero
limV ∗→0
∫S∗
FdS∗ = limV ∗→0
∫S∗
tdS∗ = 0 (25)
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5.2.2 Condizione dinamica in corrispondenza di un’interfaccia
Nel caso in cui il punto P si trovi sulla frontiera del campo fluido (ovvero, inun intorno di P , S∗ coincida con l’interfaccia che separa il mezzo fluido da unaltro mezzo) e necessario mettere in conto l’azione della cosiddetta tensionesuperficiale σ. Essa rappresenta una forza per unita di lunghezza che agiscetangenzialmente a qualsiasi interfaccia, dando luogo ad una tensione normaleall’interfaccia tσ secondo la legge di Laplace (cfr. Ghetti pag. xxx)
tσ = σ(1R1
+1R2
)n (26)
dove, come illustrato in figura xxx, R1 ed R2 rappresentano i raggi dicurvatura dell’interfaccia ed n e la normale all’interfaccia in P .
La condizione dinamica in corrispondenza di una qualsiasi interfacciache separa il sistema continuo considerato e l’esterno, puo essere dunqueformulata come
F = t + σ(1R1
+1R2
)n (27)
ovvero in ciascun elemento superficiale dell’interfaccia la somma della ten-sione t e della tensione normale alla superficie tσ indotta dalla tensionesuperficiale σ deve uguagliare la forza esterna per unita di superficie F.
5.2.3 Il tensore delle tensioni
Al fine di indagare la struttura di t si consideri il volume materiale δV diforma tetraedrica illustrato in figura I5, avente tre facce parallele ai pianicoordinati di riferimento (di normali n1 = −i1,n2 = −i2,n3 = −i3) e laquarta secondo una giacitura generica individuata dalla normale n. Indicatecon tn la tensione agente sulla faccia inclinata, di area δA, e con t1, t2, t3
le tensioni che agiscono sulle facce parallele ai piani coordinati, aventi areeδA1, δA2, δA3, la (25) impone che
tδA+ t1δA1 + t2δA2 + t3δA3 = 0 (28)
Ma,
δAi = ni · nδA = −ii · nδA = −niδA (29)
da cui:
t = n1t1 + n2t2 + n3t3 = njtj (30)
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Ma, la tensione tj agente sulla faccia di normale −ij puo essere cosıdecomposta rispetto al sistema di assi x1, x2, x3
tj = T1ji1 + T2ji2 + T3ji3 (31)
Pertanto,
t = n1(T11i1 + T21i2 + T31i3)+ n2(T12i1 + T22i2 + T32i3)+ n3(T13i1 + T23i2 + T33i3)
ovvero, in forma tensoriale,
ti = njTij i.e. t = n · T (32-a)
Utilizzando notazioni estese avremo:
[tx, ty, tz] = [nx, ny, nz]
⎡⎢⎣ Txx Tyx Tzx
Txy Tyy Tzy
Txz Tyz Tzz
⎤⎥⎦ (33)
In altre parole, la tensione nel punto P (x) secondo la giacitura individ-uata dalla normale n e il trasformato del vettore n tramite il tensore dellatensione T.
Si noti come l’equilibrio alla rotazione di un elemento infinitesimo di flu-ido costituito da un parallelepipedo elementare di lati dx1, dx2, dx3 consentadi dimostrare la cosiddetta reciprocita delle tensioni tangenziali, per cui
Tij = Tji (34)
5.2.4 Le equazioni del moto di Cauchy
Risulta ora possibile ricavare l’equazione differenziale che governa il bilanciodi quantita di moto in un mezzo continuo quale quello fluido. Sempre conriferimento all’arbitrario volume V ∗ delimitato dalla superficie chiusa S∗,l’integrale di superficie che compare a secondo membro della (22) puo infattiessere riscritto come∫
S∗FdS∗ =
∫S∗
tdS∗ =∫
S∗n · TdS∗ =
∫S∗njTjidS
∗ (35)
14
Utilizzando il teorema della divergenza∫
S∗njTjidS
∗ =∫
V ∗
∂Tji
∂xjdV ∗ =
∫V ∗
∇ · TdV ∗
e sostituendo nella (22) si ottiene:∫
V ∗
[ρ
(f − du
dt
)+ ∇ · T
]dV ∗ = 0
Data l’arbitraieta del volume V ∗ considerato, l’integrale e identicamentenullo solo se lo e la funzione integranda per cui l’equazione della quantita dimoto in forma differenziale porge
ρ
(f − du
dt
)+ ∇ · T = 0 (36)
ovvero, in forma estesa,
ρ
(fx − dux
dt
)+∂Txx
∂x+∂Tyx
∂y+∂Tzx
∂z= 0
ρ
(fy −
duy
dt
)+∂Txy
∂x+∂Tyy
∂y+∂Tzy
∂z= 0
ρ
(fz −
duz
dt
)+∂Txz
∂x+∂Tyz
∂y+∂Tzz
∂z= 0
Tali equazioni prendono il nome di equazioni del moto di Cauchy evalgono per qualsiasi mezzo continuo.
5.2.5 Il legame costitutivo
L’equazione della quantita di moto (??)risulta valida per qualsiasi sistemacontinuo. L’introduzione del cosidetto legame costitutivo permette di parti-colarizzarla al sistema continuo che si vuole studiare.
5.2.6 Fluido viscoso newtoniano
Nel caso di un fluido viscoso newtoniano, e possibile dimostrare (cfr. Ghetti,pp. 190-193) che lo stato di tensione in un punto e legato alla velocita dideformazione del fluido dalla seguente relazione
Tij = (−p+ λ∇ · u)δij + 2µ12(∂ui
∂xj+∂uj
∂xi) (37)
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dove δij e l’operatore di Kronecker, µ e λ sono, rispettivamente, la viscositadinamica e la viscosita volumetrica del fluido, p e la pressione (ovvero lacomponente della tensione diretta normalmente alla superficie e positiva sedi compressione) e il tensore
Dij =12(∂ui
∂xj+∂uj
∂xi) (38)
rappresenta la velocita di deformazione del fluido. Si noti che, in generale,µ e λ dipendono dalla pressione e dalla temperatura: si rimanda il lettoreai trattati di reologia per gli specifici approfondimenti. Qui ci si limita aricordare la relazione proposta da Stokes secondo cui
3λ+ 2µ = 0 (39)
Si noti come, per un fluido in quiete,
Tij = −pδij , (40)
ovvero lo stato delle tensioni e isotropo, non dipende cioe dalla giacitura ned e unicamente dato dall’azione della pressione che, come e noto dallo stu-dio dei fluidi in quiete, e distribuita idrostaticamente all’interno del campofluido.
Nel caso di un fluido viscoso in movimento, invece, la pressione dinamicaun diverso significato fisico in relazione al carattere comprimibile o incom-primibile del fluido esaminato. Per un fluido comprimibile la pressione e unavariabile di natura termodinamica espressa mediante una legge di stato chedipende dal tipo di trasformazione considerata (cfr. Ghetti, p. 11). Per unfluido incomprimibile, invece, la pressione non e definibile come una vari-abile di natura termodinamica e qualsiasi espressione di p e possibile purcheessa si riduca alla (40) al tendere a zero della velocita di deformazione D.In particolare, risulta conveniente porre
p =T11 + T22 + T33
3(41)
5.2.7 Le equazioni di Navier Stokes
Sostituendo nelle equazioni del moto di Cauchy (??) il tensore delle ten-sioni proprio di un fluido viscoso newtoniano (37) si ottengono le classicheequazioni di Navier-Stokes
ρ
(f − du
dt
)= ∇p− λ∇(∇ · u) − 2µ∇ · D (42)
16
Ma
∇ · D =12∂
∂xi
(∂ui
∂xj+∂uj
∂xi
)=
12
(∂2ui
∂xj∂xi+∂2uj
∂x2i
)
=12
(∂
∂xj
∂ui
∂xi+∂2uj
∂x2i
)=
12
(∇(∇ · u) + ∇2u
)
e, quindi,
ρ
(f − ∂u
∂t− u∇u
)= ∇p− (λ+ µ)∇(∇ · u) − µ∇2u (43)
ovvero, in notazione tensoriale,
ρ
(fi −
∂ui
∂t− uj
∂ui
∂xj
)=
∂p
∂xi− (λ+ µ)
∂
∂xi(∂uj
∂xj) − µ
∂2ui
∂x2j
(44)
Si noti infine come, nel caso in cui il campo delle forze esterne di massasi riduca alle sole forze gravitazionali (i.e., fi = g∂h/∂xi) e il fluido possaessere schematizzato come incomprimibile (i.e., ∂uj/∂xj = 0) le equazioni diNavier Stokes assumono la classica forma ampiamente utilizzata nello studiodei fenomeni idraulici
∂(p+ ρgh)∂xi
= −ρ(∂ui
∂t+ uj
∂ui
∂xj
)+ µ
∂2ui
∂x2j
(45)
ovvero, in forma estesa:
∂(p+ ρgh)∂x
= − ρ
(∂ux
∂t+ ux
∂ux
∂x+ uy
∂ux
∂y+ uz
∂ux
∂z
)
+ µ
(∂2ux
∂x2+∂2ux
∂y2+∂2ux
∂y2
)
∂(p+ ρgh)∂y
= − ρ
(∂uy
∂t+ ux
∂uy
∂x+ uy
∂uy
∂y+ uz
∂uy
∂z
)
+ µ
(∂2uy
∂x2+∂2uy
∂y2+∂2uy
∂y2
)
∂(p+ ρgh)∂z
= − ρ
(∂uz
∂t+ ux
∂uz
∂x+ uy
∂uz
∂y+ uz
∂uz
∂z
)
+ µ
(∂2uz
∂x2+∂2uz
∂y2+∂2uz
∂y2
)
17
6 Conservazione dell’ energia
6.1 Formulazione integrale
6.1.1 Conservazione dell’energia totale: il primo principio dellatermodinamica
La conservazione dell’energia e retta dal primo principio della termodinami-ca. Si tratta di una legge di natura empirica riguardante gli scambi energeticidi un sistema continuo quale quello fluido qui esaminato. Si consideri dunquel’energia totale Et relativa ad un volume materiale V . Essa comprende
• l’energia interna Ei, di natura molecolare e atomica, caratterizzante ilfluido contenuto nel volume materiale. Indicata con ei l’energia internaper unita di massa sara Ei =
∫V ρeidV ;
• l’energia cinetica Ec associata al moto del volume materiale. Indicatacon ec energia cinetica per unita di massa si avra Ec =
∫V ρecdV .
Inoltre ec = u2/2, essendo u2 = u21 + u2
2 + u23 il quadrato del modulo
del vettore velocita.
In assenza di fenomeni di natura elettromagnetica e chimica, l’energiatotale puo variare i) per effetto del lavoro eseguito dalle forze esterne agentisu V per effetto degli spostamenti subiti dal sistema e ii) a causa degli scambidi calore, intendendo per calore quella quantita fisica che viene trasmessa invirtu di differenze di temperatura. In particolare, indicato con δL il lavoroeseguito dalle forze esterne sul volume materiale V e con δQc il calore cheviene ceduto a V dall’ambiente fluido ad esso esterno, il primo principiodella termodinamica puo essere scritto come
dEt = δQc + δL (46)
L’uso del simbolo δ e motivato dal fatto che, in generale, sia il lavoro siail calore non sono dei differenziali esatti, ovvero non dipendono unicamentedagli stati iniziale e finale del sistema ma anche dagli stati intermedi, cioedal tipo di trasformazione considerata. Si noti come in un sistema completa-mente isolato (in cui, cioe, δQc = δL = 0), l’energia totale rimane costante.Per quanto riguarda i segni si segue la convenzione per cui il lavoro com-piuto sul sistema dalle forze esterne e positivo quando lo spostamento delpunto di applicazione della forza ha lo stesso verso della forza. Viceversa,se lo spostamento ha verso opposto a quello della forza, viene compiuto la-voro dal sistema e questo lavoro e da considerare negativo. Analogamente,
18
si adotta la convenzione che il calore sia positivo se trasmesso al sistema enegativo se trasmesso dal sistema.
Analizziamo ora il primo principio della termodinamica applicato ad uncontinuo fluido. Con riferimento allo spostamento subito da una particellafluida nell’unita di tempo, u · 1, il lavoro delle forze esterne e dato dallasomma del lavoro delle forze di superficie, FdS ·u e del lavoro delle forze dimassa, ρfdV · u. Pertanto,
δL =∫
Vρf · udV +
∫SF · udS (47)
Per quanto riguarda gli scambi di calore tra il sistema fluido e l’esterno,indicato con −qc · ndS il flusso di calore specifico, ovvero il flusso di caloreper unita di massa del fluido che attraversa la superficie dS nell’unita ditempo, possiamo scrivere che
δQc = −∫
Sqc · ndS (48)
Il segno − e legato al fatto che n e’ positiva se orientata esternamente a dS,ovvero nella direzione opposta a quella assunta come positiva per lo scambiotermico. In base al primo principio della termodinamica (46), la variazionedell’energia totale nell’unita di tempo risulta quindi
dEt
dt=∫
Vρf · udV +
∫SF · udS −
∫Sqc · ndS (49)
D’altra parte, indicata con et = et(x, t) l’energia totale per unita di massa edutilizzando il teorema del trasporto nella formulazione (9), il primo membrodella (49) puo essere riscritto come
dEt
dt=
d
dt
∫VρetdV =
∫V
∂(ρet)∂t
dV +∫
Sρetu · ndS
In definitiva, quindi
∫V
∂(ρet)∂t
dV +∫
Sρetu · ndS =
∫Vρf · udV +
∫SF · udS−
∫Sqc · ndS (50)
Tale equazione esprime il fatto che la somma della variazione dell’energiaimmagazzinata in V e del flusso di energia che attraversa il contorno Suguaglia la variazione netta di energia trasferito all’interno del volume dicontrollo V per effetto del flusso di calore e del lavoro delle forze esterne.
19
Nel caso in cui il campo delle forze esterne sia unicamente rappresen-tato dal campo gravitazionale, l’integrale relativo al lavoro delle forze dimassa
∫V ρf · u puo essere rielaborato come segue. Indicata con h la quota
geodetica di una generica particella di fluido rispetto ad un assegnato pi-ano di riferimento e con g la costante gravitazionale, la forza di massa saraf = −g∇h (cfr. Ghetti, pag. 189). Moltiplicando per gh l’equazione dicontinuita (11),tenendo conto che h non dipende tempo, utilizzando la ( 7)e il teorema della divergenza segue che
∫Vgρu · ∇hdV =
∫Vg
(hdρ
dt+ hρ∇ · u + ρu · ∇h
)dV
=∫
Vg
(∂ρh
∂t+ hρ∇ · u + hu · ∇ρ+ ρu · ∇h
)dV
=∫
Vg
(∂ρh
∂t+ ∇ · (ρhu)
)dV
=∫
V
∂(ρep)∂t
dV +∫
S(ρepu · n)dS
avendo indicato con ep = gh l’energia potenziale che, per unita di massa.D’altra parte, come si e detto sopra, l’energia totale et per unita di massaimmagazzinata in V puo essere suddivisa in energia interna per unita dimassa ei ed energia cinetica per unita di massa, ec. In presenza di un campodi forze di massa costituito unicamente dal campo gravitazionale la primalegge della termodinamica puo quindi scriversi in forma integrale come
∫V
∂
∂tρ
(u2
2+ gh+ ei
)dV +
∫Sρ
(u2
2+ gh+ ei
)u · ndS
=∫
SF · udS −
∫Sqc · ndS (51)
E’ ovvio che, se oltre alla forza gravitazionale sono presenti ulteriori campiesterni di forze di massa, a secondo membro comparira un ulteriore contrib-uto del tipo
∫V ρf · u. Si noti infine come l’energia interna del fluido puo
variare anche in assenza di scambi di calore (ovvero in assenza di gradientidi temperatura). Come si vedra nel paragrafo che segue, cio e una diret-ta conseguenza della potenza spesa dal volume materiale nel variare la suaforma.
20
6.1.2 Conservazione dell’energia cinetica: il teorema della poten-za
Il teorema della poetenza e una diretta conseguenza del principio della quan-tita di moto scritto in forma differenziale. Moltiplicando entrambe i membridella (??) per lo spostamento u · 1 che si realizza nell’unita di tempo in ungenerico punto del continuo fluido in movimento si ottiene
ρu · f − ρu · dudt
+ u · ∇ · T = 0 (52)
Analizziamo il significato dei vari termini che compaiono in tale equazione.Il termine ρu · f rappresenta la potenza (ovvero il lavoro eseguito nell’unitadi tempo) delle forze di massa per unita di volume. Il secondo termine aprimo membro rappresenta l’energia cinetica per unita di volume. Esso,infatti, puo essere riscritto come
ρu · dudt
= ujduj
dt=
12d(ujuj)dt
=12du2
dt
dove u2 = (u21 + u2
2 + u23) e il quadrato del modulo del vettore velocita. Il
terzo termine a primo membro, infine, puo essere cosı rielaborato
u · ∇ · T = uk∂Tjk
∂xj=
∂
∂xj(ukTjk) − Tjk
∂uk
∂xj=
∂
∂xj(ukTjk) −DjkTjk
avendo tenuto conto del fatto che, per la simmetria del tensore delle tensioni,
Tjk∂uk
∂xj=
12
(Tjk
∂uk
∂xj+ Tkj
∂uj
∂xk
)=
12
(∂uk
∂xj+∂uj
∂xk
)Tjk = DjkTjk
La (52), integrata su un arbitrario volume materiale di fluido V , pertantoporge
∫V
12ρd
dtu2dV =
∫Vρf · udV +
∫V∇ · (uT)dV −
∫V
D : TdV (53)
dove D : T = DjkTjk (cfr. Appendice). Ma, in base alla (16), il termine aprimo membro diventa
∫V
12ρdu2
dtdV =
d
dt
∫V
12ρu2dV =
dEc
dt
Inoltre, utilizzando il teorema della divergenza, il secondo integrale checompare a secondo membro puo essere riscritto come
21
∫V∇ · (uT)dV =
∫Su(T · n)dS =
∫Su · tdS
essendo, in generale, t = F − tσ (cfr. eq. (27)).In conclusione, l’equazione che governa l’evoluzione nel tempo dell’ener-
gia cinetica contenuta in un arbitrario volume materiale V risulta
dEc
dt=∫
Vρf · udV +
∫SF · udS −
∫Stσ · udS −
∫V
D : TdV (54)
cioe la derivata materiale dell’energia cinetica associata ad un generico vol-ume materiale uguaglia la somma della potenza associata al lavoro delleforze esterne di massa e di superficie, alla potenza del lavoro delle forzeeventualmente indotte dalla tensione superficiale, piu un termine legato al-l’interazione tra tensioni e velocita di deformazione. Tale termine puo es-sere interpretato fisicamente come la potenza spesa perche abbiano luogo ledeformazioni di volume e di forma degli elementi fluidi.
6.1.3 Conservazione dell’energia interna
La legge con cui varia l’energia interna degli elementi fluidi contenuti nelvolume materiale V deriva immediatamente dal confronto della (54) con la(49). Ricordando che Et = Ec + Ei segue infatti che
dEi
dt=∫
VD : TdV −
∫Sqc · ndS +
∫Stσ · udS (55)
ovvero la derivata materiale dell’energia interna associata ad un genericovolume materiale uguaglia la somma della potenza spesa dal volume ma-teriale perche avvengano variazioni di forma e di volume e del fluido, delcalore scambiato dal sistema fluido con l’esterno e della potenza delle forzeeventualmente indotte dalla tensione superficiale.
6.2 Formulazione differenziale
6.2.1 Conservazione dell’energia interna
La forma differenziale dell’equazione che esprime la conservazione dell’ener-gia interna di una massa fluida puo essere immediatamente ricavata consid-eranto la (55) applicata ad un arbitrario volume materiale V ∗, delimitatodalla superficie S∗, completamente contenuto all’interno del campo fluido.
22
In tal caso, non essendo presente alcuna interfaccia, l’integrale relativo allapotenza delle forze indotte dalla tensione superficiale risulta identicamentenullo. D’altra parte l’integrale superficiale relativo allo scambio di calorepuo essere trasformato in un integrale di volume applicando il teorema del-la divergenza. Pertando, ricordando la (16) e, in virtu dell’arbitrarieta delvolume V ∗ che consente di affermare che l’integrale e identicamente ugualea zero solo se lo e la funzione integranda, si ottiene
ρdeidt
= D : T −∇ · qc (56)
Tale relazione consente di accoppiare il problema termodinamico al prob-lema meccanico rappresentato dalle equazioni differenziali di continuita (14)e della quantita di moto (??), fornendo cosı una descrizione completa dellostato di un sistema continuo. In generale, infatti, pur esistendo, come ve-dremo, tutta una serie di problemi fisici di interesse ingegneristico in cui epossibile disaccoppiare i due problemi, la descrizione dello stato meccanicodi un sistema continuo non puo prescindere dalla conoscenza del suo statotermodinamico e viceversa.
6.2.2 Conservazione dell’energia totale
Ricaviamo ora l’equazione differenziale che governa l’evoluzione temporaledell’energia totale associata al moto di un elemento materiale di un fluidoviscoso newtoniano. A tale scopo si consideri l’equazione (49) e, al solito,la si applichi ad un arbitrario volume V ∗, delimitato dalla superficie S∗,completamente contenuto all’interno del campo fluido. In base alla (16), iltermine a primo membro puo essere posto nella forma
dEt
dt=
d
dt
∫V ∗ρetdV
∗ =∫
V ∗ρdetdtdV ∗
Seguendo una procedura del tutto analoga a quella seguita nel ricavare leequazioni del moto di Cauchy, l’integrale delle forze di superficie che comparea secondo membro della (49) puo cosı essere riscritto (cfr. equazione (35))∫
S∗F · udS∗ =
∫S∗
t · udS∗
Infine, il flusso di calore e legato al gradiente di temperatura ∇T dallalegge di Fourier qc = −Kc∇T essendo K il coefficiente di conduttivitatermica ed il segno − essendo legato al fatto che il calore viene trasmessoper conduzione nel senso delle temperature decrescenti (cfr. Bonacina et al.,
23
p. 4). Pertanto, utilizzando ancora una volta il teorema della divergenzaper trasformare il , il secondo integrale che compare a secondo membro della(49) diventa ∫
S∗qc · ndS∗ = −
∫S∗Kc∇T · ndS∗
Sostituendo tali espressioni nella (49) e applicando il teorema della diver-genza per trasformare gli integrali di superficie in integrali di volume siottiene ∫
V ∗
{ρdetdt
− ρ(f · u) −∇ · (T · u) −∇ · (KcT )}dV ∗ = 0
Ma, in virtu dell’arbitrarieta del volume considerato, l’integrale di volumesi annulla solo se si annulla la funzione integrande, per cui
ρdetdt
− ρ(f · u) −∇ · (T · u) −∇ · (KcT ) = 0 (57)
Nel caso in cui il campo delle forze esterne sia unicamente costituitodalle forze gravitazionali (i.e., f = g∇h) e il continuo fluido considerato siacostituito da un fluido viscoso newtoniano (i.e., Tij = (−p+λ∇·u)δij+2νD),tenendo conto che et = u2/2 + ei, e che, non dipendendo h dal tempo
dh
dt=∂h
∂t+ ∇h · u = ∇h · u
la (57) diventa
ρd
dt(u2
2+ gh+ ei) + ∇ · (pu − λu∇ · u − 2µD · u) −∇ · (KcT ) = 0 (58)
Ma,
∇ · (pu) = p∇ · u + u · ∇p = ρd
dt(p
ρ) − ∂p
∂t
dal momento che
dp
dt=∂p
∂t+ u · ∇p ⇒ u · ∇p =
dp
dt− ∂p
∂tdρ
dt+ ρ∇ · u = 0 ⇒ u · ∇p = ∇ · u = −1
ρ
dρ
dt
In definitiva, la (58) assume la forma
24
d
dt(u2
2+ gh+
p
ρ+ ei) =
1ρ
{∂p
∂t+ ∇ · (λu∇ · u + 2µD · u)
}
+1ρ∇ · (KcT ) (59)
Tale equazione mostra come, con riferimento all’unita di massa, la vari-azione della somma dell’energia specifica e = u2/2 + gh+ p/ρ e dell’energiainterna ei sia pari alla somma della derivata locale della pressione, dellapotenza dissipata per effetto del carattere viscoso del fluido e della potenzatermica ceduta per conduzione.
25
7 L’equazione del calore
L’equazione del calore per un fluido viscoso termoconduttore puo esserefacilmente ricavata a partire dall’equazione differenziale (56) che esprime informa differenziale la conservazione dell’energia interna:
ρdeidt
= D : T −∇ · qc
Nel seguito verranno considerate solamente trasformazioni reversibili, ovverovariazioni di stato del fluido che avvengono in modo cosı lento da poterassumere che il processo sia costituito da una successione di stati di equilibrioe, quindi, esso possa essere descritto indifferentemente nei due sensi.
7.1 Il termine ρ dei/dt
Conviene innanzitutto legare l’energia interna per unita di massa ei ad un’al-tra funzione di stato, l’entropia s, la cui esistenza e una diretta conseguenzadel II principio della termodinamica. Per una trasformazione reversibile eper unita di massa del fluido essa e definita come:
ds =1Tdqc (60)
essendo dqc la variazione infinitesima e reversibile di calore subita dall’unitadi massa del fluido. La costante di proporzionalita 1/T e essa stessa unafunzione di stato e rappresenta il reciproco della temperatura assoluta T .
La relazione esistente tra energia interna ed entropia puo essere facil-mente ricavata utilizzando il I principio della termodinamica (cfr. eq. (46))scritto per una trasformazione reversibile e per unita di massa del fluido:
det = dqc − d (61)
dove et e l’energia totale e d e il lavoro delle forze esterne, entrambe riferitiall’unita di massa del fluido.
Nel caso di una trasformazione reversibile, infatti, e possibile assumereche l’energia interna coincida con l’energia totale, ovvero ei = et. Inoltre,ad ogni istante la pressione all’interno di un volumetto elementare di fluidopuo essere ritenuta costante e, quindi, una diminuzione elementare di volumespecifico −d(1/ρ) che consegue ad una compressione −p comporta un lavoroper unita di massa pari a d = −p d(1/ρ). Ne consegue che la (61) puoessere riscritta nella forma
26
dei = T ds− p d(1/ρ) = T ds+p
ρ2dρ (62)
e, tenendo conto dell’equazione di continuita,
deidt
= Tds
dt− p
ρ∇ · u (63)
Tale relazione, d’altra parte, puo essere riscritta in termini di grandezzedirettamente osservabili scegliendo opportunamente le variabili di stato fon-damentali attraverso cui esprimere il differenziale totale dell’entropia. Inparticolare, assumendo come fondamentali p e T avremo:
s = s(T, p) ⇒ ds =(∂s
∂T
)pdt+
(∂s
∂p
)T
dp
Ma, in base alle definizioni di calore specifico a pressione costante,
cp =(dqcdT
)dp=0
= T
(∂s
dT
)p, (64)
e alla relazione termodinamica di Maxwell ottenuta derivando due volte lafunzioni (ei − T s),
(∂s
dp
)T
=(∂(1/ρ)dT
)p, (65)
si ottiene:
T ds = cp dT +T
ρ2(∂ρ
∂T)p dp (66)
Si fa notare che, operando in modo del tutto analogo, ma assumendo comevariabili fondamentali p e 1/ρ, si ottiene
T ds = cv dT − T
ρ2(∂p
∂T)ρ dρ
dove cv e il calore specifico a volume costante.Infine, sostituendo la (66) nella (63) si ottiene:
deidt
= cpdT
dt− αT T
ρ
dp
dt∇ · u (67)
27
doveαT = −1
ρ(∂ρ
∂T)p
rappresenta il coefficiente di dilatazione isobaro (o di espansione termica).
7.2 Il termine D : T
Assumendo che per un fluido viscoso newtoniano sia valida la relazione diStokes (39), si avra λ = −2µ/3. Il tensore degli sforzi assume quindi laforma:
Tij = −p δij + 2µ(Dij −
�3δij
)
dove � = Dijδij = ∇ · u. Ne consegue che:
D : T = −p � + 2µ
(Dij Dij −
�2
3
)= −p � + ρΦ (68)
Il secondo termine a secondo membro, ρ Φ, rappresenta il lavoro fatto dallacomponente non deviatorica del tensore delle tensioni (2 µ(Dij−� δij/3)) inassociazione con la componente non isotropa della velocita di deformazione((Dij − � δij/3)) per deformare l’elemento fluido. Tale contributo e nonnegativo per cui in ogni campo di moto caratterizzato da velocita di defor-mazione non nulla una quota dell’energia meccanica responsabile del motosi trasforma irreversibilmente in energia interna. La quantita Φ, pertanto,puo essere riguardata come il tasso di dissipazione dell’energia meccanicaper unita di massa del fluido dovuta alla viscosita; essa produce un aumentoirreversibile di calore all’interno della massa fluida in movimento.
Risulta inoltre naturale interpretare il termine −p �/ρ come la vari-azione di energia di compressione che, qualora l’elemento si espanda, puoessere restituita al sistema meccanico senza perdita alcuna. In realta tale as-sunzione risulta valida solo in modo approssimato in quanto, in un fluido inmovimento, la pressione dinamica p puo differire dalla pressione di equilibriope che caratterizza uno stato termodinamico in equilibrio (cfr. Batchelor, p.154).
7.3 Il termine ∇ · qc
Il legame costitutivo termico per un fluido termoconduttore in cui il caloreviene trasferito per effetto della conduzione molecolare e dato dalla legge diFourier:
28
qc = −Kh∇T (69)
dove Kh e il coefficiente di conduttivita termica, avente le dimensioni ener-gia/(lunghezza x tempo x temperatura).
7.4 L’equazione del bilancio termico
L’equazione del bilancio termico per un fluido viscoso termoconduttore inmovimento si ricava sostituendo le (67), (68) e (69) nella (56):
cpdT
dt− αT T
ρ
dp
dt= Φ +
1ρ∇ · (Kh ∇T ) (70)
In molte situazioni di interesse pratico le variazioni spaziali di Kh sonosufficientemente modeste da poterlo ritenere costante, per cui l’equazionedel calore puo essere riscritta nella classica forma
dT
dt− αT T
cp ρ
dp
dt=
Φcp
+ κh∇2T (71)
dove κh = Kh/(ρcp) e il coefficiente di diffusivita termica avente le dimen-sioni lunghezza2/tempo.
7.5 La temperatura potenziale
In molte applicazioni di interesse pratico (specialmente legate allo studio difenomeni atmosferici) risulta conveniente introdurre il concetto di temper-atura potenziale. Essa e definita come la temperatura θ che una particella difluido la cui composizione non varia, acquista nel subire una trasformazioneadiabatica da una pressione generica p ad una pressione di riferimento pr
(generalmente assunta pari a 1 bar).In una trasformazione adiabatica (i.e., con dqc = 0), la variazione di en-
tropia risulta identicamente nulla. Dal primo principio della termodinamica,scritto nella forma (66), consegue che
dT =αT T
ρ cpdp (72)
Tale equazione, integrata rispetto alla pressione consente di definire la tem-peratura potenziale θ. In particolare, per un gas ideale, essa consente diottenere una relazione analitica che lega θ alla temperatura T e alla pres-sione p. Consideriamo il caso dell’aria, che in numerose applicazioni pratichepuo essere assimilata ad un gas ideale. In tal caso, αT = 1/T . Inoltre:
29
ρ =p
Rd Tv, cp = cv −RdTv/T, Tv = T (1 − hu + hu/εm)
essendo Rd una costante tipica dell’aria secca, Tv la temperatura virtuale,hu l’umidita e εm il rapporto tra la massa molecolare del vapore acqueo equella dell’acqua. Sostituendo tali relazioni nella (72) si ottiene
dT
T= κ
dp
p, κ =
cp − cvcp
ed integrando tra T e θ e tra p e pr,
θ = T (pr
p)κ (73)
L’equazione del bilancio termico puo facilmente essere espressa in termini ditemperatura potenziale osservando che:
dθ
dT= (
pr
p)κ(
dT
dt− κ
T
p
dp
dt) =
θ
T(dT
dt− κ T
p
dp
dt) =
θ
T(dT
dt− αT T
ρ cp
dp
dt) =
Sostituendo nella (70) si ottiene:
T
θ
dθ
dt=
Φcp
+ κh∇2T (74)
30
8 L’equazione di stato di un fluido
Il concetto di stato di un fluido deriva dal confronto tra diversi campionidi fluido in equilibrio tra loro, ovvero con proprieta meccaniche, termiche efisiche uniformemente distribuite nel tempo e nello spazio. Se due campioni,messi a confronto l’uno con l’altro coesistono senza che vi sia uno scambio diproprieta essi sono caratterizzati dallo stesso stato. Lo stato di un sistemacontinuo e descritto attraverso opportuni parametri di stato, la cui scelta,dettata dall’evidenza sperimentale, e arbitraria.
E pratica comune caratterizzare lo stato di un fluido in equilibrio ricor-rendo a quantita facilmente misurabili quali la pressione p, la temperaturaT e la composizione chimica del fluido stesso (specificata attraverso la con-centrazione c dei suoi costituenti). Se due campioni hanno lo stesso statoessi devono avere la stessa pressione, altrimenti del lavoro viene eseguito daun campione sull’altro; essi devono avere la stessa temperatura, altrimentisi ha un trasferimento di calore da un campione all’altro; infine essi devonoavere la stessa concentrazione di ciascun componente chimico, altrimenti sirealizzano delle variazioni di concentrazione dovute ai processi di diffusionemolecolare.
Una qualsiasi altra quantita caratterizzante lo stato di un sistema fluido(e.g., la densita, l’energia interna, l’entropia, etc) viene espressa attraversouna relazione funzionale che la lega ai parametri di stato scelti come fon-damentali (e.g., pressione, temperatura, concentrazione). In particolare larelazione funzionale che lega la densia ρ alla pressione p, alla temperaturaT ed, eventualmente, alla concentrazione c di un dato costituente per unitadi massa e detta equazione di stato.
L’evoluzione di uno stato fluido in seguito a condizioni di non equilibriomeccanico viene descritta cinematicamente dal vettore velocita e dinamica-mente dal tensore delle tensioni. Le osservazioni sperimentali suggerisconoche in un fluido in movimento si puo assumere, con buona approssimazione,che valga non solo l’equazione di stato, determinata con riferimento a con-dizioni di equilibrio, ma anche le varie relazioni di natura termodinamicaattraverso cui le varie funzioni di stato (e.g., entropia, energia interna, etc)sono espresse in funzione di p, T e c.
In generale, dunque, l’equazione di stato di un fluido e del tipo:
ρ = ρ(p, T, c) (75)
La variazione di densita di una particella che subisce una generica trasfor-mazione, pertanto, sara:
31
dρ = (∂ρ
∂p)T, c dp+ (
∂ρ
∂T)p, c dT + (
∂ρ
∂c)p, T dc
E, introdotti il coefficiente di comprimibilita isotermo αp, il coefficiente didilatazione isobara (o di espansione termica) αT e il coefficiente di espansionelegato alla concentrazione αc, definiti come:
αp =1ρ(∂ρ
∂p)T, c, αT = −1
ρ(∂ρ
∂T)p, c, αc =
1ρ(∂ρ
∂c)p, T , (76)
si ottiene infine:
dρ = ρ(αp dp− αT dT + αc dc) (77)
8.1 Il caso dell’aria
L’aria e costituita da una miscela di gas le cui proporzioni sono con buonaapprossimazione costanti se si eccettua il vapore d’acqua. La massa di vaporeper unita di massa d’aria viene detta umidita specifica ed e pari a hu = ρv/ρessendo ρv e ρ le densita, rispettivamente, del vapore d’acqua e dell’ariaumida. Una soddisfacente approssimazione dell’equazione di stato dell’ariae fornita dalla legge dei gas ideali, per i quali l’energia interna, sommadelle energie delle singole molecole, e funzione della sola temperatura e nondipende dalla distanza tra le molecole, ovvero dalla densita.
Nel caso di aria secca (i.e., hu = 0) avremo:
pd = ρd Rd T (78)
dove pd e ρd sono, rispettivamente, la pressione e la densita dell’aria secca,T e la temperatura assoluta e Rd e una costante pari
Rd =Rmd
= 287.04JKg−1K−1
essendo R (= 8314.36JKmol−1K−1) la costante universale dei gas e md
(= 28.966) la massa molecolare dell’aria secca.Nel caso del vapore acqueo avremo:
pv = ρv Rv T (79)
dove pv e ρv sono, rispettivamente, la pressione e la densita del vapore acqueoe la costante Rv e pari a
32
R =Rmv
= 461.50JKg−1K−1
essendo mv (= 18.016)la massa molecolare del vapore acqueo.Per una miscela di aria umida ρ = ρd + ρv mentre la pressione p e pari
alla somma delle pressioni parziali relative ai vari costituenti, ovvero
p = pd + pv = (ρd + ρvRv
Rd) RdT
Ma, tenendo conto che
ρv = ρ hu, ρd = ρ− ρv = ρ(1 − hu),Rv
Rd=md
mv=
1εm
risultaρd + ρv
Rv
Rd= ρ (1 − hu + hu/εm)
In definitiva, l’equazione di stato per l’aria umida assume la forma:
ρ =p
RdTv, Tv = T (1 − hu + hu/εm) (80)
dove la quantita Tv, detta temperatura virtuale rappresenta quella temper-atura che, ad una data pressione, dovrebbe avere l’aria secca per avere lastessa densita dell’aria umida.
Il carattere analitico di tale equazione di stato consente di determinarecon facilita le relazioni esistenti tra le varie grandezze termodinamiche. Adesempio
αT =1T, αp =
1p, (81)
Inoltre, dal momento che in un gas perfetto, per definizione, l’energiainterna e funzione della sola temperatura avremo che
cv = T (∂s
∂T)ρ,c = (
∂ei∂T
)ρ,c = (∂ei∂T
)p,c
Dal primo principio della termodinamica, scritto nella forma (66), facendouso delle (80) e (81) si ottiene la Legge di Carnot
cv = cv −RdTv
∂T(82)
33
8.2 Il caso dell’acqua dolce
L’equazione di stato per l’acqua dolce e rappresentata da una relazionefunzionale del tipo
ρ = ρ(p, T ) (83)
8.3 Equazione di stato dell’acqua di mare
La composizione dell’acqua di mare e caratterizzata da una serie di cos-tituenti che, indipendentemente dalla concentrazione, sono presenti in pro-porzioni approssimativamente costanti. Cio consente di caratterizzare lacomposizione attraverso la salinita cs, definita come la massa di sale disci-olto per unita di massa fluida. Si noti come, indicata con ∆Ms la massa disale contenuta nel volume ∆V si possa anche definire una concentrazione dimassa di sale
cs = lim∆V →0
∆Ms
∆V
per cui cs = ρcs.L’equazione di stato per l’acqua di mare e rappresentata da una relazione
funzionale del tipo
ρ = ρ(p, T, cs) (84)
Essa e stata determinata sperimentalmente. Il suo calcolo puo procederecome segue.
Si calcola innanzitutto il valore della densita ρ0 relativo all’acqua pura,che dipende unicamente dalla temperatura.
ρ0 = ρ00 +5∑
n=1
�(ρ)00n T
n,
essendo ρ00 = 999.842594 e
�(ρ)001 = 6.793952 · 10−2, �
(ρ)002 = −9.095290 · 10−3, �
(ρ)003 = 1.001685 · 10−4,
�(ρ)004 = −1.120083 · 10−6, �
(ρ)005 = 6.53632 · 10−9,
Noto ρ0, si puo risalire al valore della densita per l’acqua salata relativa aduna generica coppia di valori di cs e T e per una atmosfera standard (ovvero
34
p = 0).
ρ(cs, T, 0) = ρ0 + cs [ρ11 +4∑
n=1
�(ρ)11n T
n] + c3/2s [ρ12 +
2∑n=1
�(ρ)12n T
n] + c2s ρ13
(85)dove
ρ11 = 0.824493, ρ12 = −5.72466 · 10−3, ρ13 = 4.8314 · 10−4,
e
�(ρ)111 = −4.0899 · 10−3, �
(ρ)112 = 7.6438 · 10−5, �
(ρ)113 = −8.2467 · 10−7,
�(ρ)114 = 5.3875 · 10−9,
�(ρ)121 = 1.0227 · 10−4, �
(ρ)122 = −1.6546 · 10−6,
Si noti come la relazione (85) sia utilizzabile nel caso in cui gli effetti dellevariazioni di pressione siano trascurabili (ovvero si abbia a che fare conmodeste variazioni di profondita). Se poi si trascurano i termini di ordinesuperiore si ha la relazione
ρ(cs, T, 0) = ρ0[1 + cs ρ11/ρ0] +H.O.T
Per quanto concerne la densita relativa allo stato caratterizzato daiparametri cs, T, p essa e fornita dalla relazione
ρ(cs, T, p) = ρ(cs, T, 0)[1 − p
Kw(cs, T, p)
]−1
(86)
dove Kw e il modulo secante complessivo relativo allo stato in questione.Esso puo essere calcolato procedendo in modo del tutto analogo a quelloseguito nel calcolo di ρ. Ovvero, si calcola innanzitutto il valore Kw0 relativoal caso dell’acqua pura che dipende unicamente dalla temperatura:
Kw0 = K00 +4∑
n=1
�(k)00n T
n
dove K00 = 19652.21 e
�(k)001 = 148.4206, �
(k)002 = −2.327105, �
(k)003 = 1.360477 · 10−2,
�(k)004 = −5.155288 · 10−5,
35
Noto Kw0 si calcola il modulo secante complessivo per l’acqua salatarelativa ad una generica coppia di valori di cs e T e per una atmosferastandard (ovvero p = 0).
K(cs, T, 0) = K0 + cs [K11 +3∑
n=1
�(k)11n T
n] + c3/2s [K12 +
2∑n=1
�(k)12n T
n]
dove
K11 = 54.6746, K12 = 7.944 · 10−2
�(k)111 = −0.603459, �
(k)112 = 1.09987 · 10−2, �
(k)113 = −6.1670 · 10−5,
�(k)121 = 1.6483 · 10−2, �
(k)122 = −5.30093 · 10−4,
Infine il modulo secante complessivo Kw relativo allo stato caratterizzatodai parametri cs, T, p e fornito dalla relazione
K(cs, T, p) = K(cs, T, 0) + p [K21 +3∑
n=1
�(k)21n T
n] + p cs[K22 +2∑
n=1
�(k)22n T
n]
+ p c3/2s K23 + p2[K24 +
2∑n=1
�(k)24n T
n] + p2cs [K25 +2∑
n=1
�(k)25n T
n]
dove
K21 = 3.29908, K22 = 2.2838 · 10−3, K23 = 1.91075 · 10−4,
K24 = 8.50935 · 10−5, K25 = −9.9348 · 10−7,
�(k)211 = 1.43713 · 10−3, �
(k)212 = 1.16092 · 10−4, �
(k)213 = −5.77905 · 10−7,
�(k)221 = −1.0981 · 10−5, �
(k)222 = −1.6078 · 10−6,
�(k)241 = −6.12293 · 10−6, �
(k)242 = 5.2787 · 10−8,
�(k)251 = 2.0816 · 10−8, �
(k)252 = 9.1697 · 10−10
36
9 L’equazione di bilancio di un soluto passivo, non-reattivo
Si consideri una miscela fluida (e.g., aria, acqua di mare, acqua e sedimen-ti sospesi, etc) la cui composizione puo variare nello spazio e nel tempo.Si assume che i vari componenti della miscela non influenzino il campodi moto (soluto passivo) e non siano soggetti a reazioni chimiche (solutonon-reattivo). Vogliamo determinare l’equazione differenziale che descrive ilcomportamento dinamico di un generico componente della miscela.
9.1 Definizioni preliminari
La quantita che individua come un dato componente la miscela (nel seguitoindicato genericamente come soluto) e la concentrazione,di cui esistono variedefinizioni.
Sia δV un volume significativo per una descrizione continua della miscela(i.e., (δV )1/3 � Lm con m scala spaziale della distanza intermolecolare) masufficientemente piccolo da non risentire delle eventuali eteorgeneita spazialidella distribuzione macroscopica del soluto. Si definisce concentrazione dimassa del soluto la quantita:
c = limδV →0
δMs
δV(87)
Si noti come c abbia come dimensioni massa/lunghezza3 e, per un fluidoomogeneo, essa rappresenti la massa specifica del fluido, ovvero, la densita.
Tuttavia, come sara discusso nel prossimo paragrafo, nell’indagare iltrasporto di materia indotto dalla diffusione molecolare conviene introdurrela proporzione c di molecole di soluto presenti nella miscela, ovvero la massadi soluto per unita di massa della miscela fluida. Si noti come c sia unaquantita adimensionale e, in generale, sia espressa come parti di soluto permigliaia (ppt) o parti di soluto per milioni (ppm).
Il legame che intercorre tra c e c e:
c = ρ c (88)
Sia poi u la velocita media della miscela rispetto ad un sistema di coor-dinate fisso nello spazio mentre sia v la velocita di diffusione del soluto, cioela velocita con cui le molecole di soluto si muovono rispetto al moto mediodella miscela. La velocita assoluta del soluto sara quindi us = u + vs.
37
9.2 Assiomi di Fick
Gli assiomi di Fick si riferiscono al caso di una miscela macroscopicamentein quiete (i.e., u = 0), la cui composizione varia nello spazio. Tutte lemolecole di soluto (al pari delle molecole degli altri costituenti la miscela)sono soggette ad un continuo movimento che le porta a migrare lontano dallaposizione da esse occupata ad un determinato istante iniziale. Se si individuaall’interno della miscela un generico elemento di superficie e la proporzionedi molecole di soluto (i.e., c) in corrispondenza dei due lati dell’elemento disuperficie e diversa, attraverso l’elemento di superficie si realizzera un flussonon nullo di molecole di soluto (diffusione molecolare) diretto in modo taleda rendere uniforme la proporzione di molecole di soluto in corrispondenza dientrambe i lati dell’elemento di superficie. E evidente che quando al densitaρ della miscela fluida e spazialmente uniforme, l’assunzione di legare il flussodi molecole ad una non uniforme distribuzione di c e equivalente a legarload una disuniformita di c. Viceversa, nel caso in cui ρ varia nello spazio (adesempio, in seguito ad una non uniforme distribuzione della temperatura) latendenza delle molecole a migrare e regolata dalla non uniforme distribuzionedi c piuttosto che dalla disuniformita di c.
Consideriamo dunque il flusso assoluto di massa definito dal vettoreqs = c us. La quantita (qs · n) dS dt rappresenta la massa di solutoche nel tempo infinitesimo dt attraversa l’areola infinitesima dS di normalen (positiva se diretta esternamente a dS). Tale flusso viene valutato sullabase di una relazione costitutiva, detta Prima legge di Fick, del tutto simileall’assioma di Stokes (che definisce i fluidi viscosi) o di Fourier (che definiscei fluidi termoconduttori). Tale legge puo essere dedotta per via assiomaticapostulando che:
• il flusso di massa di soluto e funzione del gradiente della proporzionedi molecole di soluto presenti nella miscela, i.e., qs = f(∇c);
• il processo e isotropo, non dipende cioe dalla direzione;
• il processo e omogeneo, non dipende cioe dalla posizione;
• il legame e lineare.
Ne consegue una struttura del legame costitutivo della forma:
qs = −KD∇c (89)
38
essendo KD il coefficiente di trasporto relativo alla diffusione delle molecoledi soluto. Esso dipende, in generale, da c e dalle caratteristiche locali del-la miscela, ovvero dalla temperatura e dalla pressione. In particolare, KD
tende ad aumentare con la temperatura, e inversamente proporzionale allapressione mentre risulta praticamente indipendente dalla composizione del-la miscela. Si noti inoltre come, in virtu del segno − che compare nella(89), il flusso di molecole di soluto sia diretto nel senso delle concentrazionidecrescenti.
Nel caso, trattato nel paragrafo successivo, di una miscela in movimentola legge di Fick va scritta con riferimento al flusso di massa relativo di solutoqr
s = c (us − u) = c vs, ovvero:
qrs = −KD∇c (90)
9.3 L’equazione della convezione-diffusione
La massa di soluto contenuta in un generico volume materiale V e data daMs =
∫V c dV =
∫V (ρ c) dV . In assenza di reazioni chimiche (soluto non-
reattivo) e nell’ipotesi che la sua presenza non influenzi il campo di moto(soluto passivo), il bilancio di massa comporta che dMs/dt = 0. Applicandoil teorema del trasporto (cfr., equazioni (5) e (6) con ψ = c = ρ c) si ottiene:
d
dt
∫Vc dV =
∫V
[∂c
∂t+ us · ∇c+ c ∇ · us] dV
=∫
V[∂c
∂t+ ∇ · (c us)] dV = 0 (91)
da cui, data l’arbitrarieta di V e tenuto conto che us = vs + u,
∂c
∂t+ ∇ · (c u) = −∇ · (c vs)
Ma, in base alla legge di Fick per una miscela in movimento (90)
−∇ · (c vs) = −∇ · qrs = ∇ · (KD∇c)
Inoltre,
∂c
∂t+ ∇ · (cu) = c
[∂ρ
∂t+ ∇ · (ρu)
]+ ρ
[∂c
∂t+ ∇ · (cu)
]
Per cui, tenuto conto che il primo termine tra parentesi quadre a sec-ondo membro rappresenta l’equazione di continuita della miscela nel suocomplesso, si ottiene
39
∂c
∂t+ ∇ · (c u) =
1ρ∇ · (KD∇c) (92)
Si e gia osservato come, in generale, KD dipenda dallo stato locale del fluido(i.e., da p e T ) e, quindi, dalla posizione. E tuttavia, spesso nella pratica,il gradiente di KD e tale da poter assumere che ∇ · (KD∇c) ∼= KD∇2c.Pertanto l’equazione della diffusione assume la forma
∂c
∂t+ ∇ · (c u) = κD∇2c (93)
dove κD = KD/ρ rappresenta il coefficiente di diffusione molecolare (odiffusivita molecolare) avente le dimensioni di una lunghezza2/tempo.
Si noti come, nel caso di un fluido incomprimibile (i.e., ∇·u = 0) la (93)diventi:
∂c
∂t+ u · ∇c = κD ∇2c (94)
Si definisce numero di Schmidt il rapporto Sc = ν/κD. Nel caso deiliquidi valori tipici del numero di Schmidt per miscele binarie si aggiranoattorno a 103. Ad esempio, nel caso di una miscela di NaCl e acqua si hache κD � 1.2 − 1.5 10−5 cm2/s, rispettivamente per c = 5 − 25% ed unatemperatura di 18oC mentre κD � 0.9 10−5 cm2/s, indipendentemente dac, per una temperatura di 5oC.
40
10 In caso del fluido ideale: le equazioni di Euleroe il teorema di Bernoulli
In numerosi problemi di interesse pratico risulta sufficiente schematizzare ilcampo fluido che si vuole studiare introducendo la nozione di fluido ideale.Tale schematizzazione assume che si possano ritenere trascurabili gli effetticonnessi alla viscosita per cui µ = 0, λ = 0. Ne consegue che il legamecostitutivo di un fluido ideale diventa Tij = −pδij , ovvero le uniche forzedi superficie agenti sulla superficie di un arbitrario elemento materiale sonoquelle di pressione.
E’ innanzitutto evidente come l’equazione di continuita non subisca al-cuna variazione formale rispetto alla (15), in quanto il principio di conser-vazione della massa prescinde completamente dalla natura del fluido consid-erato.
Per quanto concerne il bilancio di quantita di moto, sostituendo nelleequazioni del moto di (36) il legame costitutivo proprio di un fluido ideale,Tij = −pδij , si ottengono le cosidette equazioni di Eulero
ρ
(f − du
dt
)= ∇p (95)
che, scritte in forma estesa, porgono:
ρ
(fx − dux
dt
)=
∂p
∂x
ρ
(fy −
duy
dt
)=
∂p
∂y
ρ
(fz −
duz
dt
)=
∂p
∂z
Infine, l’equazione (59), che esprime la conservazione dell’energia totale,diventa
d
dt(u2
2+ gh+
p
ρ+ ei) =
1ρ
∂p
∂t(96)
Nel caso di moto stazionario (ovvero non dipendente dal tempo) da taleequazione discende immediatamente che
u2
2+ gh+
p
ρ+ ei = cost (97)
ovvero l’energia totale si mantiene costante lungo ciascuna traiettoria che,data la stazionarieta del moto, coincide con una linea di corrente.
41
Si noti come, anche nel caso di un fluido perfetto, l’energia interna delfluido possa variare in seguito al calore scambiato dall’elemento materialecon il fluido circostante (cfr. equazione (56)). Nel caso in cui, la capacitadel fluido di trasmettere il calore sia trascurabile (i.e., Kc = 0), dalla (97)discende immediatamente il teorema di Bernoulli
u2
2+ gh+
p
ρ= cost (98)
in base a cui in un moto permanente il trinomio dato dalla somma del’en-ergia cinetica, dell’energia potenziale e dell’energia di pressione si mantienecostante lungo ciascuna linea di corrente.
42
A Notazioni
Nella dispensa si e deciso di seguire la convenzione secondo cui i vettori e itensori vengono indicati in grassetto con lettere, rispettivamente, minuscolee maiuscole. Ad esempio i vettori della velocita e dell’accelerazione sono in-dicati con u,a mentre i tensori della tensione e della velocita di deformazionesono indicati con T,D.
Gli operatori propri del calcolo vettoriale sono indicati come segue· Prodotto interno di due vettori: a · b· Prodotto esterno di due vettori: a × b· Prodotto tensoriale di due vettori: a ⊗ b· Prodotto tra due vettori: T:D· Divergenza di un vettore, tensore: ∇ · a, ∇ · T· Gradiente di un vettore, tensore: ∇a, ∇T· Rotore di un vettore: ∇× a
Le operazioni tra grandezze vettoriali e tensoriali, d’altra parte, possonoessere espresse in modo compatto ed efficace adottando una convenzionelargamente utilizzata nella letteratura matematica e fisica, in base a cui
• ciascun pedice che compare una sola volta in un termine puo assumerei valori 1, 2, 3. Ad esempio ui denota le tre componenti u1, u2, u3
del vettore u, mentre Aij denotano le nove componenti A11, A12, A13,A21, A22, A23, A31, A32, A33 del tensore A
• ciascun pedice che compare due volte in un termine deve intendersisommato da 1 a 3. Ad esempio, Aii = A11 +A22 +A33.
Ad esempio, utilizzando tale convenzione scriveremo:
a · b = ajbj
a ⊗ b = ajbk
T:D = TjkDjk
∇ · u =∂uj
∂xj
∇ · T =∂Tjk
∂xj
∇u =∂ui
∂xj
u · ∇ · u = uj∂ui
∂xi
43
u · ∇u = uj∂ui
∂xj
Si fa notare come l’operatore divergenza e lineare, si applica a unagrandezza vettoriale o tensoriale fornendo come risultato, rispettivamente,una grandezza scalare oppure vettoriale. L’operatore gradiente e anch’essolineare, si applica a grandezze scalari, vettoriali, fornendo come risultato,rispettivamente, una grandezza vettoriale o tensoriale. Infine, ricorda che ilprodotto esterno di due vettori e l’operatore rotore forniscono come risultatoun vettore e possono essere rappresentati tramite i due seguenti determinantisimbolici
e2 × e3 =
∣∣∣∣∣∣∣i1 i2 i3a1 a2 a3
b1 b2 b3
∣∣∣∣∣∣∣ (99)
∇× u =
∣∣∣∣∣∣∣i1 i2 i3∂
∂x1
∂∂x2
∂∂x3
u1 u2 u3
∣∣∣∣∣∣∣ (100)
B Dimostrazione della relazione (2)
Dimostrimo che
dV
dV0= J (101)
con J determinante Jacobiano della trasformazione dalle coordinate la-grangiane X alle coordinate euleriane x. Tale relazione (2) puo essere facil-mente dimostrata come segue. Con riferimento alla figura I2a, siano i1, i2, i3 iversori del sistema di riferimento cartesiano di assi x1, x2, x3 mentre e1, e2, e3
siano i versori del sistema di riferimento curvilineo individuato dalle coor-dinate lagrangiane X1, X2, X3. Ricordando che il coseno dell’angolo αk
j chel’asse Xk forma con l’asse xj e pari a (cfr. figura I2b
cosαkj =
∂xj
∂Xk(102)
e immediato osservare che il vettore dxej rappresentante il lato j-esimo delparallelepipedo obliquo occupato dal fluido al tempo t, puo essere cosı esseredecomposto rispetto al sistema di assi x1, x2, x3
ej = dXj
(∂xj
∂X1i1 +
∂xj
∂X2i2 +
∂xj
∂X3i3)
(103)
44
D’altra parte, come illustrato graficamente in figura I3 il volume di un par-allelepipedo obliquo di lati dX1e1, dX2e2, dX3e3 risulta pari a (e2 × e3) ·e1dX1dX2dX3. Ricordando che il prodotto esterno e2 × e3 e dato dalseguente determinante
e2 × e3 =
∣∣∣∣∣∣∣i1 i2 i3∂x2∂X1
∂x2∂X2
∂x2∂X3
∂x3∂X1
∂x3∂X2
∂x3∂X3
∣∣∣∣∣∣∣ dX2dX3 (104)
dopo facili passaggi algebrici si dimostra che dV = JdX1, dX2, dX3, da cuidiscende immediatamente la (2).
C Dimostrazione della relazione (4)
Dimostriamo che
dJ
dt= J∇ · u
La derivata del determinante Jacobiano infatti e pari a 1
dJ
dt=
∣∣∣∣∣∣∣ddt
∂x1∂X1
ddt
∂x1∂X2
ddt
∂x1∂X3
∂x2∂X1
∂x2∂X2
∂x2∂X3
∂x3∂X1
∂x3∂X2
∂x3∂X3
∣∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣∣∂x1∂X1
∂x1∂X2
∂x1∂X3
ddt
∂x2∂X1
ddt
∂x2∂X2
ddt
∂x2∂X3
∂x3∂X1
∂x3∂X2
∂x3∂X3
∣∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣∣∂x1∂X1
∂x1∂X2
∂x1∂X3
∂x2∂X1
∂x2∂X2
∂x2∂X3
ddt
∂x3∂X1
ddt
∂x3∂X2
ddt
∂x3∂X3
∣∣∣∣∣∣∣ (105)
Indicato con Ajk il complemento algebrico di ∂xk/∂Xj nello sviluppo deldeterminante Jacobiano, la (105) puo essere scritta in forma compatta come
dJ
dt= Ajk
d
dt
∂xk
∂Xj(106)
Ma,1La regola di derivazione del determinante di una matrice puo essere facilmente dedotta
considerando la derivata del determinante di una matrice 2x2
45
d
dt
∂xk
∂Xj=∂uk
∂Xj=∂uk
∂xi
∂xi
∂Xj
e, in definitiva,
dJ
dt=∂uk
∂xi(Ajk
∂xi
∂Xj) =
∂uk
∂xi(Jδki) = J∇ · u (107)
dove δkj indica l’operatore di Kronecker
δ =
{1 se k = j0 se k = j
46
Riferimenti bibliografici
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[2] Ghetti, A., Idraulica, Ed. Libreria Cortina, Padova, 1981.
[3] Lamb, H., Hydrodynamics, Cambridge University Press, 19xx.
[4] Rodi, W., Turbulence models and their application in hydraulics- A state of the art review,Institut fur Hydromechanik andSonderforschungsbereich 80, University of Karlsruhe, Germany, 1980.
[5] Shames, I., Mechanics of Fluids, McGraw-Hill, New York, 1992.
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[7] Zemansky, M.W., Abbott, M.M. e Van Ness, H.C., Fondamenti diTermodinamica per Ingegneri, Zanichelli, 1983.
47
Figura 1: Descrizione lagrangiana del campo di moto. La particella (elemen-to materiale elementare) che all’istante iniziale t0 si trova nella posizione x,con il trascorrere del tempo muta la sua posizione e all’istante t0 + t si trovain P . La posizione della particella ad un generico istante t e individuatadalla traiettoria della particella x = x(X, t).
Figura 2: Trasformazione di coordinate dal sistema di riferimento cartesianoortogonale definito dalle variabili euleriane x1, x2, x3, al sistema di assicurvilinei definito dalle variabili lagrangiane X1, X2, X3.
48
Figura 3: Coseni direttori della trasformazione di assi definita in figura 2a,nel caso bidimensionale.
Figura 4: Volume del parallelepipedo obliquo occupato dal volume materialeelementare al tempo t.
49
Figura 5: Definizione dei volumi di controllo V e V ′.
Figura 6: Definizione del tetraedo di Chaucy.
50
Figura 7: Notazioni per l’imposizione delle condizioni cinematica e dinamicain corrispondenza di una superficie di separazione.
