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Cicli economici: misurazione e aspetti

metodologici

Introduzione• L’analisi quantitativa dei cicli economici si basa sull’utilizzo di serie

storiche• Le serie storiche o temporali rappresentano l'evoluzione di un certo

fenomeno nel tempo. Solitamente sono successioni di dati equidistanti nel tempo. Vari fenomeni di tipo fisico, economico e biologico possono essere rappresentati da tali successioni.

• A seconda del tipo di relazione fra la variabile dipendente dal tempo (indicata come X) in vari istanti successivi e il tempo t, le serie storiche si dicono discrete o continue:

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Analisi delle serie storiche

• Analisi classica (o deterministica): basata su procedimenti empirici e di carattere prevalentemente descrittivo (medie mobili, adattamento di funzioni deterministiche del tempo, ecc.).

• Analisi moderna (o stocastica): basata sul tentativo di riprodurre il processo (stocastico) che ha generato i dati.

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Gli obiettivi dell’analisi• L’analisi delle serie storiche consente di:1) Trarre informazioni sulle componenti della

serie (es: trend, ciclo, stagionalità)2) Prevedere l’andamento futuro del fenomeno

(utilizzando l’informazione disponibile al tempo t). Ipotesi di base: fattori che hanno influenzato l’andamento della serie nel passato e nel presente continuano a esercitare effetti analoghi anche nel futuro.

Componenti di una serie storica economica

Xt = f(Tt , Ct , St , εt)Dove:• Tt : TREND (tendenza di lungo periodo)• Ct : CICLO (movimenti ciclici congiunturali - ciclo

economico – generalmente di periodo superiore all’anno. Spesso ciclo e trend vengono attribuiti ad una unica componente CTt)

• St : STAGIONALITA’ (movimenti ripetitivi dovuti all’organizzazione socio-economica della società basata sul calendario (ferie ad agosto, festività, ecc.), ad eventi ambientali stagionali (temperatura, raccolte agricole, ecc.) o a comportamenti influenzati dalle stagioni (es: comsumo di gelati, condizionatori, ecc.)

• εt : CASUALITA’ (o componente residua) componente casuale non prevedibile.

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Le relazioni tra le componenti

1) modello additivo:Xt = Tt + Ct + St + εt

2) modello moltiplicativo: Xt = Tt * Ct * St * εt

3) modello misto:Xt = Tt * Ct + εt

L’analisi classica: stima del Trend-Ciclo

• Trend deterministico

• Metodo delle medie mobili- centrate- non centrate

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Analisi basate su funzioni deterministiche del tempo

Xt = f(t) + εt

- f(t) è funzione deterministica del tempo (forma polinomiale, esponenziale, ecc.)

- εt è componente casuale “white-noise”, ovvero caratterizzata da:

E(εt)=0, Var(εt)=σ2<∞• Es: trend lineare: Xt=β0+β1t+εt

Trend quadratico: Xt=β0+β1t 0+β2t 2 +εt

Determinazione del ciclo• Una volta individuato il trend:

X^t = f(t) (dove ^ indica i valori stimati)

il ciclo si ottiene sottraendo i valori stimati (il trend) dai valori effettivi:

X^t,ciclo = Xt - X^t

→ concetto di “ciclo in deviazione”

NOTA: la componente ciclica contiene anche la componente aleatoria/casuale (coerente con andamento irregolare delle stime)

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Problemi e limiti delle stime• Le stime sono sensibili alla durata del periodo su cui

sono calcolate e alla frequenza dei dati• Trend non comparabili se serie di:

- diversa durata;- stessa durata ma diversa frequenza (es: dati annuali vsdati trimestrali);- tempi diversi della stessa serie.

• Metodo di stima poco flessibile, con un’unica struttura per il trend per l’intero periodo di osservazione

• La stima è soggetta a continue revisioni (seppure minori) all’aumentare del numero delle osservazioni disponibili

Un’applicazione: conti economici nazionali trimestrali• Fonte: ISTAT• Periodo: 1980.1-2005.3 Serie a prezzi costanti (serie

reali) • Unità di misura: milioni di eurolire 1995• Grandezze osservate:

- PIL- Consumi delle famiglie- Investimenti in macchine, attrezzature e prodotti- Investimenti fissi (i. in macchine + i. in costruzioni)

• Dati grezzi e dati destagionalizzati

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Analisi dei dati

• Andamento nel tempo delle serie grezze e destagionalizzate (analisi grafica)

• Stima del trend e del ciclo (modello additivo) sulle variabili destagionalizzate

• Stima del trend e del ciclo (modello additivo) sulle variabili grezze: stima con seasonal dummies

• Commento dei risultati

PIL

1600

0018

0000

2000

0022

0000

2400

0026

0000

1980 1985 1990 1995 2000 2005t2

pil_d pil_g

8

Consumi famiglie10

0000

1200

0014

0000

1600

0018

0000

1980 1985 1990 1995 2000 2005t2

c_famiglie_d c_famiglie_g

Investimenti in macchinari

1000

015

000

2000

025

000

3000

0

1980 1985 1990 1995 2000 2005t2

imacchine_d imacchine_g

9

Investimenti fissi totali30

000

4000

050

000

6000

0

1980 1985 1990 1995 2000 2005t2

ifissi_d if issi_g

Trend lineare: PIL

1500

0020

0000

2500

0030

0000

1980 1985 1990 1995 2000 2005t2

pil_d Fitted values

10

Trend lineare: consumi famiglie10

0000

1200

0014

0000

1600

00

1980 1985 1990 1995 2000 2005t2

cfamiglie_d Fitted values

Trend lineare: investimenti macchinari

1000

015

000

2000

025

000

1980 1985 1990 1995 2000 2005t2

imacchine_d Fitted values

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Trend lineare: investimenti fissi35

000

4000

045

000

5000

055

000

1980 1985 1990 1995 2000 2005t2

if issi_d Fitted values

Andamento della componente ciclica

-100

00-5

000

050

0010

000

1980 1985 1990 19 95 2000 2005t2

pil_ciclo cfamiglie_ciclo

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Andamento della componente ciclica (2)

-500

00

5000

1980 1985 1990 19 95 2000 2005t2

ifissi_ciclo imacchine_ciclo

Ciclo e destagionalizzazione

-150

00-1

0000

-500

00

5000

1000

0

1980 1985 1990 1995 2000 2005t2

pil_ciclog pil_ciclogd

-100

00-5

000

050

0010

000

1980 1985 1990 1995 2000 2005t2

pil_ciclo pil_ciclogd

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Metodo delle medie mobili• E’ uno strumento alternativo per la stima del trend/ciclo• La media mobile agisce riducendo l’ampiezza delle

oscillazioni• Maggiore è il numero dei termini/osservazioni utilizzati

per il calcolo della media, maggiore è l’appiattimento.- la media mobile a t termini equivale alla media aritmetica della serie- trade-off tra precisione e variabilità della stima

• Problemi: - perdita di osservazioni agli estremi;- determinazione dell’ordine (i.e., numero di termini da utilizzare) della media

Metodo delle medie mobili • Se la serie è stagionale, è opportuno utilizzare un numero di

termini pari alla stagionalità (es: media mobile a 4 termini per dati trimestrali, a 7 termini per dati giornalieri, ecc.)

• Nella determinazione dei cicli il numero di termini può essere determinato dalle ipotesi (a priori) sulla durata media dei cicli.

• Con dati trimestrali, e’ quindi ipotizzabile anche l’utilizzo dimedie mobili a 15-25 termini (corrispondenti a cicli di 4-6 anni).

• Le ipotesi a priori sulla durata media del ciclo possono basarsi su:- ispezione preliminare della serie storica;- ipotesi teoriche di partenza.NOTA: una media mobile calcolata su tre anni evidenzia perfettamente cicli di tre anni, ma porta a sottostimare cicli più lunghi e sovrastimare cicli più corti

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Medie mobili semplici (non centrate)

• Media mobile (asimmetrica) a k termini:

• Es: k=3MM(3)t=(Xt+Xt-1+Xt-2)/3

Medie mobili simmetriche (centrate)

• Se k è dispari:

• Es: k=3MMc(3)t = (Xt-1+Xt+Xt+1)/3

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Medie mobili simmetriche (centrate)

• Se k è pari:

• Es: k=4MMct (4)=(0.5Xt-2+Xt-1+Xt+Xt+1+0.5Xt+2)/4

Un’applicazione: andamento dell’occupazione

1500

00001

5500

00016

0000

00165

0000

01700

00001

7500

000

1980 1985 1990 19 95 2000 2005t2

occotot MA4cM A4nc

a) Confronto medie centrate e non centrate

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Un’applicazione: andamento dell’occupazione

1500

0000

1550

0000

1600

0000

1650

0000

1700

0000

1750

0000

1980 1985 1990 19 95 2000 2005t2

MA4 MA16

b) Confronto medie di diverso ordine

Processi stocastici• E’ una famiglia di variabili casuali (Xt, t), con t

appartenente a T (detto spazio parametrico)• Data una realizzazione (i dati osservati), occorre

identificare il modello (rappresentazione del processo) che più probabilmente la ha generata

• Ogni serie storica è quindi una realizzazione finita di un processo stocastico

• La serie osservata rappresenta uno dei possibili infiniti tracciati che il processo può generare (idea dei mondi possibili; confronto con campioni cross-section)

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Alcuni processi stocastici

1) Processo White Noise (WN)2) Modelli autoregressivi (AR)3) Modelli a media mobile (MA)4) Modelli misti (ARMA)

Alcuni concetti per l’analisi• Stazionarietà:

- definizione intuitiva: una serie è stazionaria se, qualora perturbata da shocks, torna al suo equilibrio di lungo periodo una volta terminato l’effetto di questi shock- definizione rigorosa: un processo stocastico si dice stazionario (in senso debole o in covarianza) se, per qualsiasi t e t-s, vale che:1. E(yt)=E(yt-s)=µ (media finita)2. Var(yt )=Var(yt-s)=σ2

y (varianza finita)3. Cov(yt , yt-s)= Cov(yt-j , yt-s-j)=γs

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Alcuni concetti per l’analisi (2)

• Autocorrelazione: la correlazione fra yt e yt-s è data da:

ρs= Cov(yt , yt-s)/Var(yt) = γs/γ0

Il grafico degli indici di autocorrelazione si dice correlogramma

• Autocorrelazione parziale: misura la correlazione fra yt e yt-s al netto dell’effetto prodotto da altre variabili/fattori

Il processo White NoiseUn processo yt si dice White Noise se:1. E(yt)=0 (no trend)2. Var(yt )=σ2

y (varianza finita)3. Cov(yt , yt-s)=0 (no covarianza)

• Si tratta quindi di un processo casuale, senza relazione tra eventi in diversi istanti nel tempo

• E’ in ogni caso un processo stazionario• E’ l’ipotesi tipica per la componente residua (o

shock) εt

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Esempio di un processo WN

Modelli AR(p)• AR(1): yt=m+αyt-1+εt• AR(2): yt=m+α1yt-1+ α2yt-2+ εt• …• AR(p): yt=m+α1yt-1+ α2yt-2+….+ αpyt-p + εt

• In un processo autoregressivo di ordine p, il valore osservato al tempo t è funzione lineare dei p valori precedenti sommati al disturbo corrente

• NOTE: - εt è white noise- m equivale al trend- a seconda dei valori di α, la serie può “esplodere” o convergere verso un punto (equilibrio di lungo periodo)- l’ampiezza di α è misura della persistenza dell’effetto di shock passati.

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Modelli MA(q)• MA(1): yt=εt+β εt-1

• MA(2): yt= εt + β 1 ε t-1+ β 2 ε t-2

• …• MA(q): yt=εt + β 1 ε t-1+ β 2 ε t-2 +….+ β qε t-q

• In un processo a media mobile di ordine q, il valore osservato al tempo t è funzione lineare dei q shock precedenti sommati al disturbo corrente

• NOTE: - εt è white noise- a seconda dei valori di β, la serie può

“esplodere” o convergere verso un

ε

Modelli ARMA(p,q)

• Si tratta di una combinazione di processi AR(p) e MA(q):

Yt= m+α1yt-1+ α2yt-2+….+ αpyt-p + εt+β 1 ε t-1+ β 2 ε t-2 +….+ β qε t-q

NOTA: anche in questo caso, siamo di fronte a serie stazionarie.

ε

21

Proprietà delle autocorrelazioni (ACF) e autocorrelazioni parziali (PACF)

Processo ACF PACF

White Noise tutti 0 tutti 0

AR(1), alfa>0 Decade direttamente esponenzialmente

autocorrelazione a t+1; 0 da t+2

AR(1), alfa<0 Decade oscillando autocorrelazione a t+1; 0 da t+2

AR(p) Decade a zero, eventualmente oscillando 0 per s>p

MA(1), beta>0 positiva a t+1, 0 dopo Decade oscillando

MA(1), beta<0 negativa a t+1, 0 dopo Decade a zero (valori negativi)

ARMA(1,1), alfa>0 Decade direttamente da t+1 Decade oscillando da t+1

ARMA(1,1), alfa<0 Decade oscillando da t+1 Decade direttamente da t+1

ARMA(p,q) Decade (direttamente od oscillando) da t+q

Decade (direttamente od oscillando) da t+p

Modelli ARIMA(p,d,q)

• In caso di serie non stazionarie, gli shock passati producono effetti persistenti.

• Un esempio di serie non stazionaria: yt= m+yt-1+ εt

• Si può dimostrare che serie non stazionarie possono essere ricondotte a serie stazionare di tipo ARMA(p,q) una volta prese le differenze di ordine d

• Una serie di questo tipo è determinata da un processo ARIMA(p,d,q), dove d indica l’ordine delle differenze (d=1 equivale a yt-yt-1)

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La selezione del processo/modello

• Metodo Box-Jenkins, basato su tre fasi:1) Identificazione del/dei possibili processi (analisi

grafica, confronto ACF-PACF effettivi e teorici)2) Stima (di più modelli) e check dei risultati (test

su stazionarietà, goodness of fit, analisi dei residui)

3) Scelta del modello preferito e determinazione del ciclo/ previsioni

• Un’applicazione: l’indice dei prezzi all’ingrosso (Wholesale Price Index –WPI) negli USA

Analisi delle caratteristiche dei cicli

• Una volta stimata la componente ciclica di una serie storica, è opportuno evidenziarne le proprietà statistiche nel suo insieme, ovvero:- volatilità/ampiezza (deviazione standard)- persistenza/durata (auto-correlazione)- comovimenti con altre serie (correlazione incrociata), al fine di individuare eventuali leading/lagging indicators.

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La misurazione dei cicli: ulteriori aspetti

• Qual è la variabile più rappresentativa dell’attività economica aggregata?

• E’ meglio utilizzare una sola variabile o l’aggregazione di più variabili?

La misurazione dei cicli: la scelta dell’indicatore di riferimento (2)

• Una sola variabile:- la scelta dipende dall’obiettivo dell’analisi e da considerazioni di carattere pratico;- non si introducono ulteriori ipotesi arbitrarie e il metodo di analisi è relativamente semplice e replicabile- più esposto a errori di misurazione e più sensibile a moimentidella componente irregolare- scelta più comune: PIL; variabili alternative: indice della produzione industriale

• Aggregazione di più variabili:- vanno selezionate sia le variabili da aggregare, sia il metodo di aggregazione;- riduce gli errori di misurazione e “falsi segnali” determinati dalla componente idiosincratica (o irregolare)- tiene conto dei comovimenti (concettualmente più vicino alla definizione di ciclo)

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La misurazione dei cicli: l’individuazione dei punti di svolta

• L’identificazione dei punti di svolta (i.e., passaggio da crescita a recessione e viceversa) consente di definire la cronologia ciclica

• La procedura tradizionale è quella dell’NBER (Burns and Mitchell, 1946), basata sull’ipotesi di un trend lineare nei logaritmi (ipotesi di tasso di crescita costante) e l’esistenza di sequenze di espansioni e contrazioni (cicli classici)

• Una procedura alternativa calcola i cicli guardando la regolarità dei comovimenti delle variabili nella dinamica di aggiustamento che segue un disturbo esterno (cicli in deviazione). Il trend può anche essere stocastico (RBC).

• La datazione e l’ampiezza dei cicli dipende fortemente dal modo in cui la serie è depurata dalla componente di crescita.

Cronologia dei cicli in Italia, 1960-95: punti di svolta

Max Min Max Min64/1 64/4 64/1 64/474/1 75/2 69/2 72/277/1 77/4 74/1 75/382/1 82/3 77/1 77/492/2 93/2 80/1 82/4

90/3 93/3

Cicli classici Cicli in deviazione

Fonte: Delli Gatti e Gallegati, 2001, cap. 23