31Lez 29111 siafan aneti Conad La que delle somme parzialiassociata ad Ian

Sa ao t an

52 di an Az

n sn a t Ant t an sn an

DI an sua nr reali la serie In an è

convergente se leri sn esistefinitonatose tini su SER diremo che 5 è la

netta

somma della serie an s

divergente positio nspi.mg se ftp.sne oofisp a

ai Ioindeterminata o irregolare se Uni sun ta

EE i È 1xftft.itOss che abbiamo scritto fu 70

su 2 p III su III G È 2

5 2 la serie è convergente E

ii È n 1 2 3 tu t

5 1 52 1 2 7 2 53 1 2 37 3

n sn 1 21 n e tu 7h ftp.sn n zoh341 too la serie è divergente

1 genoin

iii C i 1 1 1 fattineo Ifa

so 1 si 2 1 0 sa 1 1 1 1

s 5 1 CM 1 1 0 ÌsnD La serie è irregolare 881

NOTA È raro trovare la somma di una serie ma riusciremo

determinare il carattere di una serie conmg di irregolare

Vediamo qui inseguito alcune serie miportanti per il loro uso come

serie a confrontoa

KEs Serie geometrica 9 1 9 9797 qui1 0

are GER fissato ragionedellaserieRicordo che se q fs.tn 0 provatoperriduzione

fottiamoli sn 1 9 97 q È q 1 qlaformula 971 i 1 qsnei q.iq q pIsnt qtaft quistasera II.sn III IIII se 191 1

snaqt r qn.nl se q 1i i A tooi

t.io si.ie I I

Unison too e la serie è dicoa A

me

Esercizi studiare

342

È a

b 0 9 1 0.5 0.999 tft 1

L stronzeÈ F a

c Èftp ae ag 1 f 3 i 3ef4 a

d Per quali valori di Letta la seguente

È II è convergente

È convergente 1 datecigalee10

10cL io gateaur toast taek cioe

Es Censito È a 1 CASO PARTICOLARE Di2 aconvergente sediaL a sera

an È fuzz ne 1SERIE ARMONICA GENERALIZZATA

Oss che an 70 per n too Ma questofatto nonè neff affinché la serie risulti convergenteha 1 sue 1 ifz.fi h Tu

p Uni su toh to

È a a

343

Es la serie di Mengdi serie telescopicaa

1 che 1 0Li n min nata nato

ifine 1

se È a e 7 e

E f If1 1

htt

ha.sn II n E ea

È converge e ha sommate 1her

In generale serie telescopiche anebn b.nudove b è un'altra nice Mengoni behIn questo caso su bz bn.is E

too

Es IT E vistonella lez.si tene 0

OSI È an e IÌ an n EIN no ohanno lo stesso

carattere cioè o entrambe sono convey o entrambediaryentrambe sono indeterminate Un numero finito ditermini

non influenza il carattere di una serie ti

344

Oss SOMMA DI SERIEse an ben convergono Caution è converge

anelante aut Ibnse an e

I bn courage Caution

se an to bue allora nulla sipuòdici aprioridella an bn

prodotto di SERIE

Nulla si può dire a priori sul carattere della serie antonconoscendo il carattere delle serie an e bn

coitisniffando cos Ent 0

O Egg

CRITERI DI CONVERGENZA PER SERIE

ti seguo qualsiasi

Teorema se an è convergente allora III an 0

ossia con d nec affinché una serie sia Conroy è che

Union 0n so

345

È sufficiente No È fin a nonostante pfioa

Dini Se an è coniugale allora perdef 7finito leri su sni n eroAllora basta Oss che

an Sn sn a

Ìhim an EHn to

o

Esercizio Canoa dellaserie È f arcignian non converge an 2 E 0

an o essendo aterminipositivio

Cavalli della serie coste an enei nato

p an non converge

aneto essendo a termini positivi

Teorema Supp che la an sia convergente allora

III Zan omenocode della serie

o dicasi la coda di una serie convergente è infinitesima

Usando questoteorema drin sua che serie armonica È f èdiversoovviam positi

346

6

CRITERI DI CONVERGENZA PER SERIE A TERMINI

Positivi an 3 O Coman analog E 0

OSI sia an con an 70 ne 0 Allora laserie è convergente o divergente positivamente

Infatti

Snia e

dotta 9mm

sn te su twO

sn è crescente sine sum TnPer il teorema didanza del limite per funzioni

monotone 74in suhTale limite sarà finito einquestocaso la seriesaràconvey

oppure a e quindi sene'sarà dirigentepositivi Edi

Notazione an 70 an too D serie carrergenteco

Es Provate che la serie armonica è divergentenean

Oss lini an III 1h 0 quindi è soddisfatta la conducen o

per laconverge Proviamo però che LÌ È.fr 0 BastaOss che Know no 71 qiibasiigias.FI ptEomioe estiemo

È.es iie n

Liz 0 Per il teorema e l'Oss sopra F tolta347 n

I