1
Lezione di trigonometria
Intanto, non รจ male riportare le seguenti definizioni:
Goniometria: si occupa della misurazione degli angoli.
Trigonometria: si occupa delle relazioni che stanno fra i lati e gli angoli di un triangolo. Tali relazioni vengono dette funzioni trigonometriche (anche rapporti trigonometrici).
Radiante: รจ quellโarco di circonferenza che sotteso รจ uguale al raggio.
Circonferenza goniometrica: รจ una circonferenza di raggio unitario. Per raggio unitario si intende che esso viene assunto come unitร di misura.
Il valore del radiante viene ottenuto ricorrendo al teorema di proporzionalitร nella circonferenza
โla circonferenza sta allโarco l come lโangolo giro sta ad ฮฑโ
2ฯr:l=360ยฐ:ฮฑยฐ
da cui ๐ผยฐ = !"#ยฐโ'()*
= !"#ยฐ()
essendo l=r
Ma !"#ยฐ$ฯ
= !"#ยฐ",$&
= 57ยฐ17โฒ'44โฒโฒ
per cui ฮฑยฐ = 57ยฐ17โฒ!44โฒโฒ
A questo angolo corrisponde lโarco l che รจ la nuova unitร di misura chiamata radiante.
Dunque, il radiante รจ lโarco di circonferenza a cui corrisponde lโangolo al centro di ๐๐ยฐ๐๐โฒ๐๐โฒโฒ.
SCHEMA PER LA CONVERSIONE DA GRADI A RADIANTI E VICEVERSA
Abbiamo visto che allโangolo di 57ยฐ17โ44โโ corrisponde lโarco radiante che viene assunto come nuova unitร di misura e indicata 1R, cioรจ
1" =360ยฐ2๐
Quindi 2๐" = 360ยฐ In altre parole, una circonferenza corrisponde ad un angolo di 2ฯ radianti.
2
Perciรฒ abbiamo le corrispondenze (sottintendendo i valori della prima colonna in radianti):
2๐ 360ยฐ
๐ 180ยฐ
๐2
90ยฐ
๐3
60ยฐ
๐4
45ยฐ
๐6
30ยฐ
Tavola 1
Piรน in generale possiamo dire che, indicato con ๐ผยฐ lโangolo al centro e con ๐ผ" lโarco corrispondente AB, ๐ผยฐ: ๐ผ" = 360ยฐ: 2๐
Questa proporzione ci fornisce le formule di conversione:
(a)
(b)
fig.1
Un comodo strumento di rapida conversione รจ riportato nel disegno accanto, preso da.
https://it.wikipedia.org/wiki/Radiante)
fig.2
๐ผ" =2๐360ยฐ
ยท ๐ผยฐ
๐ผยฐ =360ยฐ
2๐ ยท ๐ผ"
3
Perchรฉ si introduce la nuova unitร di misura detto, appunto, radiante? Se vogliamo fare il grafico delle funzioni trigonometriche, per esempio del seno cioรจ y =sen(x) , dobbiamo riportare sullโasse delle ascisse i valori delle x; ma questi sono valori di angoli in sessagesimi e non sappiamo come riportarli su una retta. Allora sorge la necessitร di โrettificareโ gli angoli, cioรจ renderli equivalenti a segmenti che possono essere riportati sullโasse. Di qui lโintroduzione della nuova unitร di misura radiante. Ad angoli al centro corrispondono archi che, sottesi, diventano segmenti che si possono riportare facilmente sullโasse delle ascisse x. Vedremo dopo il grafico delle funzioni goniometriche elementari, dopo averle definite cosi come di seguito.
DEFINIZIONI DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI Seno, coseno, tangente, cotangente, secante e cosecante. Sia una circonferenza goniometrica e tracciamo il raggio vettore OA, che forma con lโasse delle x lโangolo ฮฑ. Sia B la proiezione di A sullโasse delle x, sia C la proiezione di A sullโasse delle y. Teniamo presente il triangolo rettangolo ottenuto OAB (fig.3).
fig.3 SENO Si definisce seno dell'angolo ๐ผ come il rapporto tra il cateto opposto ad ฮฑ e il raggio (che poi รจ lโipotenusa del triangolo OAB:
๐ ๐๐(๐ผ) =๐ด๐ต
๐ = ๐๐ด
COSENO Si definisce coseno dell'angolo ฮฑ come il rapporto tra il cateto adiacente ad ฮฑ e il raggio.
๐๐๐ (๐ผ) =๐๐ต
๐ = ๐๐ด
4
Tracciamo la tangente alla circonferenza nel punto A (fig.4). La tangente interseca l'asse X in un punto, che chiamiamo E (fig.4). TANGENTE Si definisce tangente di ๐ผ come il rapporto tra il segmento AE e il raggio
๐ก๐๐(๐ผ) =๐ด๐ธ
๐ = ๐๐ด
fig.4 La tangente di ฮฑ puรฒ essere definita anche come il rapporto tra il cateto opposto ad ฮฑ e il cateto adiacente. Oppure, che รจ lo stesso, il rapporto tra il seno e il coseno di detto angolo:
๐ก๐๐(๐ผ) =๐ ๐๐(๐ผ)๐๐๐ (๐ผ)
Si hanno le ulteriori funzioni trigonometriche la cui rappresentazione grafica รจ riportata nella figura 4. La tangente in A alla circonferenza interseca lโasse delle y nel punto F (fig.5). COTANGENTE Si definisce cotangente di ฮฑ come il rapporto tra il segmento AF e il raggio.
๐๐๐ก๐๐( ๐ผ) =๐ด๐น
๐ = ๐๐ด
5
La cotangente di ฮฑ puรฒ essere definita anche come il rapporto tra il cateto adiacente ad ฮฑ e il cateto opposto. Oppure, che รจ lo stesso, il rapporto tra il coseno e il seno di detto angolo. La cotangente risulta, cosi, essere anche lโinverso della tangente.
๐๐๐ก๐๐( ๐ผ) =๐๐๐ (๐ผ)๐ ๐๐(๐ผ) =
1๐ก๐๐(๐ผ)
Sempre guardando la fig.5 si hanno le ulteriori definizioni:
SECANTE
Si definisce secante di ฮฑ come il rapporto tra il segmento OE e il raggio.
๐ ๐๐(๐ผ) =๐๐ธ
๐ = ๐๐ด
Essa risulta essere la reciproca del coseno:
๐ ๐๐(๐ผ) =1
๐๐๐ (๐ผ)
COSECANTE
Si definisce cosecante di ฮฑ come il rapporto tra il segmento OF e il raggio.
๐๐๐ ๐๐(๐ผ) =๐๐น
๐ = ๐๐ด
Essa risulta essere la reciproca del seno:
๐๐๐ ๐๐(๐ผ) =1
๐ ๐๐(๐ผ)
fig.5
6
Non dimentichiamo che il raggio รจ unitario per cui lo assumiamo uguale ad 1: r=1. Da qui
sin(๐ผ) =๐ด๐ตGGGG๐= ๐ด๐ตGGGG
cos(๐ผ) =๐๐ตGGGG๐= ๐๐ตGGGG
tang(๐ผ) =๐ด๐ธGGGG๐= ๐ด๐ธGGGG
contag(๐ผ) =๐ด๐นGGGG๐= ๐ด๐นGGGG
sec(ฮฑ) =๐๐ธGGGG๐= ๐๐ธGGGG
cosec(ฮฑ) =๐๐นGGGG๐= ๐๐นGGGG
Tavola 2 Dalle definizioni delle funzioni goniometriche si evince che esse assumono valori negli intervalli:
โ1 โค sen(๐ฅ) โค 1
โ1 โค ๐๐s(๐ฅ) โค 1
โโ < tan(๐ฅ) < +โ
โโ < ๐๐๐ก๐๐(๐ฅ) < +โ
Tavola 3
Osserviamo che le funzioni goniometriche sono periodiche, nel senso che si ripetono dopo ogni giro sulla circonferenza, per cui esse vanno studiate nel loro periodo.
Se indichiamo con ๐ il periodo si ha che una funzione รจ periodica quando ๐(๐ฅ + ๐) = ๐(๐ฅ).
Qui di seguito riporto il grafico delle funzioni seno e coseno (fig.6), tangente e cotangente (fig.7), secante e cosecante (fig.8).
fig.6
7
fig.7
fig.8
8
Relazioni fondamentali
Le funzioni di seno, coseno, tangente, cotangente, secante e cosecante, che io chiamo โi sei personaggi in cerca di autoreโ, sono legate tra loro da legami, diciamo cosi, di โparentelaโ molto stretti. I legami sono le cosiddette formule (ma che io chiamo relazioni piรน correttamente).
Quelle che dobbiamo ricordare di piรน sono le seguenti:
1^ relazione fondamentale (1)
2^ relazione fondamentale (2)
3^ relazione fondamentale (3)
Inoltre si hanno le seguenti altre relazioni, ai fini di eseguire gli esercizi:
(4)
(5)
(6)
(7)
๐ ๐๐$(๐ฅ) + ๐๐๐ $(๐ฅ) = 1
๐ก๐(๐ฅ) =๐ ๐๐(๐ฅ)cos(๐ฅ)
๐๐๐ก๐(๐ฅ) =1
๐ก๐(๐ฅ)=cos(๐ฅ)๐ ๐๐(๐ฅ)
๐๐๐ (๐ฅ) =1
โX1 + ๐ก๐$(๐ฅ)=
โ๐๐๐ก๐(๐ฅ)X1 + ๐๐๐ก๐$(๐ฅ)
๐ ๐๐(๐ฅ) =๐ก๐(๐ฅ)
โX1 + ๐ก๐$(๐ฅ)=
1โX1 + ๐๐๐ก๐$(๐ฅ)
๐ ๐๐(๐ฅ) =1
cos(๐ฅ)
๐๐๐ ๐๐(๐ฅ) =1
sen(๐ฅ)
9
Dimostro la (4):
๐๐๐ $(๐ฅ) =๐๐๐ $(๐ฅ)
1=
๐๐๐ $(๐ฅ)๐ ๐๐$(๐ฅ) + ๐๐๐ $(๐ฅ)
=
๐๐๐ $(๐ฅ)๐๐๐ $(๐ฅ)
๐ ๐๐$(๐ฅ) + ๐๐๐ $(๐ฅ)๐๐๐ $(๐ฅ)
=1
๐ ๐๐$(๐ฅ)๐๐๐ $(๐ฅ) +
๐๐๐ $(๐ฅ)๐๐๐ $(๐ฅ)
=1
๐ก๐$(๐ฅ) + 1
Di conseguenza ๐๐๐ (๐ฅ) = +โ-+./0%(2)
Per ottenere la seconda uguaglianza nella (4) si divide numeratore e denominatore non per ๐๐๐ $(๐ฅ) ma per ๐ ๐๐$(๐ฅ). Analogamente si dimostra la (5). Osservazioni
1) Eโ preferibile scrivere lโargomento fra parentesi: sen(x) piuttosto che sen x; 2) Le scritture ๐ ๐๐$(๐ฅ)๐(๐ ๐๐(๐ฅ))$ si equivalgono, cioรจ (๐ ๐๐(๐ฅ))$ = ๐ ๐๐$(๐ฅ). Cosi per le altre
funzioni goniometriche.
APPROFONDIMENTI Storicamente, sono state prese in considerazione altre funzioni trigonometriche che per certi motivi erano importanti all'epoca. Vediamole (vedi fig.9).
โข Verseno: ๐ฃ๐๐๐ ๐๐(๐ผ) = 1 โ cos(๐ผ) Il verseno appariva in alcune delle prime tabelle trigonometriche, ora non viene praticamente utilizzato. Esistono diversi rapporti trigonometrici relativi alle versine elencate di seguito.
โข Vercoseno: ๐ฃ๐๐๐๐๐ ๐๐(๐ผ) = 1 + cos(๐ผ) (non รจ riportato nelle fig.4)
โข Coverseno: ๐๐๐ฃ๐๐๐ ๐๐(๐ผ) = 1 โ ๐ ๐๐(๐ผ)
โข Covercoseno: ๐๐๐ฃ๐๐๐๐๐ ๐๐(๐ผ) = 1 + ๐ ๐๐(๐ผ) (non รจ riportato nelle fig.4)
โข Semiverseno :
๐ ๐๐๐๐ฃ๐๐๐ ๐๐(๐ผ) =๐ฃ๐๐๐ ๐๐(๐ผ)
2
Il semiverseno ( haversin in inglese) era ben noto e ampiamente usato nella navigazione perchรฉ faceva parte della formula del semiverseno per il calcolo della distanza tra due punti di una sfera date le loro longitudini e latitudini.
โข Semivercoseno : ๐ ๐๐๐๐ฃ๐๐๐๐๐ (๐ผ) = &'()*+(-)$
โข Semicoverseno : ๐ ๐๐๐๐๐๐ฃ๐๐๐ ๐๐(๐ผ) = )*&'(+'/(-)$
โข Semicovercoseno : ๐ ๐๐๐๐๐๐ฃ๐๐๐๐๐ (๐ผ) = )*&'()*+(-)$
Sicuramente per molti di voi queste funzioni trigonometriche sono totalmente nuove. Anche per le due successive possiamo dire la stessa cosa.
โข Exsecante : ๐๐ฅ๐ ๐๐(๐ผ) = ๐ ๐๐(๐ผ) โ 1 La exsecante, che non viene piรน usata, era molto importante in agrimensura, astronomia e trigonometria sferica.
โข Excosecante : ๐๐ฅ๐๐๐ ๐๐(๐ผ) = ๐๐๐ ๐๐(๐ผ) โ 1
10
La figura 9 riporta il grafico delle sei funzioni piรน utilizzate oggi insieme al verseno, al coverseno, all'exsecante e all'excosecante (tranne il vercoseno e il covercoseno).
fig.9 I disegni delle figure, seppure suggerite dal sito sottostante, sono stati creati con Geogebra.
https://www.gaussianos.com/cuantas-razones-trignonometricas-existen/
11
Valori particolari delle funzioni goniometriche
sin(30ยฐ)=0
$;
cos(30ยฐ)=โ2$
;
tang(30ยฐ)=โ22
;
cotang(30ยฐ)=โ3 ; sec(30ยฐ)= 0
345(27ยฐ)= $
โ2 ;
cosec(30ยฐ)= 0589(27ยฐ)
= 2;
fig.10
sin(45ยฐ) = โ$$
;
cos(45ยฐ) = โ$$
;
tan(45ยฐ) = 1; cotan(45ยฐ) = 1; sec(45ยฐ) = โ2; cosec(45ยฐ) = โ2;
fig.11
sin(60ยฐ) = โ2$;
cos(60ยฐ) = 0$;
tang(60ยฐ) = โ3;
cotang(60ยฐ) =โ33;
sec(60ยฐ) = 2;
cosec(60ยฐ) =2โ3
;
fig.12
(Questi disegni, invece, sono ripresi dal sito https://www.youmath.it)
12
Raccogliamo questi valori in una tavola
Tavola 4
*****
Qualche considerazione sulle funzioni.
โข Una funzione f puรฒ ammettere lโinversa f-1. Siamo sicuri che una funzione f ammette inversa f-1 se e solo se essa รจ bigettiva. Per sapere se una funzione รจ bigettiva, deve accadere che una qualsiasi retta parallela allโasse delle x intersechi il suo grafico in un sol punto.
la retta interseca il grafico in due punti, dunque la funzione non รจ bigettiva (vedi fig.13)
ciascuna retta interseca il grafico in un sol punto, dunque la funzione รจ bigettiva (vedi fig.14)
fig.13 fig.14 โข Inoltre, una funzione f e la sua inversa f-1 hanno grafici che sono
simmetrici rispetto alla bisettrice del Ie III quadrante (vedi figura 15).
fig.15
13
Dominio e Codominio delle funzioni trigonometriche Ricordiamo che il
Dominio, o campo di esistenza, di una funzione รจ lโinsieme dei valori della x in corrispondenza di ciascun dei quali esiste il valore della y.
Codominio di una funzione รจ lโinsieme dei valori della y ciascun dei quali รจ corrispondente di un valore della x.
Per le funzioni trigonometriche possiamo fare riferimento alla seguente tabella.
Funzionediretta Dominio Codominio Funzioneinversa Dominio Codominio
y=sen(x) D=[-:$; :$] C=[-1;1] y=arcsen(x) D=[-1;1] C=[-:
$; :$]
y=cos(x) D=[0; ๐] C=[-1;1] Y=arcos(x) D=[-1;1] C=[0; ๐]
y=tg(x) D=[-:$; :$] C=โ Y=arctg(x) D=โ C=[-:
$; :$]
y=cotg(x) D=]0; ๐[ C=โ y=arccotg(x) D=โ C=]0; ๐[
Tavola 5 Attenzione, non bisogna confondere la funzione inversa con la reciproca. Vedi la lezione sulle funzioni inverse e reciproche delle funzioni goniometriche elementari.
***** Equazioni goniometriche Ci sono vari tipi di equazioni goniometriche. 1) equazioni goniometriche elementari. Sono del tipo
sen(x) = m cos(x) = n tang(x) = p
cotang(x) = q sec(x) = r cosec(x) = s
2) equazioni goniometriche del tipo
sen(f(x)) = m cos(f(x)) = n tang(f(x)) = p
contang(f(x)) = q sec(f(x)) = r cosec(f(x)) = s
3) equazioni goniometriche per confronto del tipo
sen(f(x)) = sen(g(x)) cos(f(x)) = cos(g(X)) tang(f(x)) = tan(g(x))
cotang(f(x) = cotang(g(x)) sec(f(x)) = sec(g(x)) cosec(f(x)) = cosec(g(x))
14
4) equazioni goniometriche lineari in seno e coseno
aยทsen(x) + bยทcos(x) + c = 0
5) equazioni goniometriche di 2ยฐ grado in seno e coseno del tipo
a ยท sen$(x) + b ยท sen(x)cos(x) + c ยท cos$(x) + d = 0
Equazioni goniometriche elementari
1. sen(x) = m Il seno di un angolo รจ lโordinata del punto A della circonferenza a cui lโangolo รจ associato. ordinata AK = BKโ= m (fig.16) Le soluzioni sono: ๐ฅ = ๐ผยฐ + 2๐๐ ๐ฅ = (๐ โ ๐ผยฐ) + 2๐๐
Esempio: ๐ ๐๐(๐ฅ) = 0$
๐ฅ = :;+ 2๐๐
๐ฅ = d๐ โ :;e + 2๐๐ = <
;๐ + 2๐๐ fig.16
2. cos(x) = n Il coseno di un angolo รจ lโascissa del punto A della circonferenza a cui lโangolo รจ associato. ascissa OH = n. (fig.17) Le soluzioni sono: ๐ฅ = ยฑ๐ผยฐ + 2๐๐
Esempio: cos(๐ฅ) = 0$
๐ฅ = ยฑ :2+ 2๐๐
3. tan(x) = p La tangente di un angolo รจ il segmento tangente fig.17 che va da un punto A della circonferenza allโasse delle x. segmento tangente AB = p (fig.18) Le soluzioni sono:
๐ฅ = ๐ผยฐ + โ๐ Esempio: tan(๐ฅ) = โ3
๐ฅ =๐3+ โ๐
4. ๐๐ ๐๐(๐ฅ) + ๐ cos(๐ฅ) = 0 Posto cos(๐ฅ) โ 0 per cui ๐ฅ โ :
$+ ๐๐, si ha fig.18
๐๐ ๐๐(๐ฅ)cos(๐ฅ)
+๐cos(๐ฅ)cos(๐ฅ)
= 0
15
da cui ๐ tan(๐ฅ) + ๐ = 0
quindi tan(๐ฅ) = โ =>
E si ricade nel caso del punto 3 di pagina 13.
5. ๐๐ ๐๐(๐ฅ) + ๐ cos (๐ฅ) + ๐ = 0 (รจ diverso dal caso precedente del punto 4, qui cโรจ il termine noto)
Ci sono piรน modi per risolvere questo tipo di equazione.
5.1. Ricorrendo alle relazioni
๐ ๐๐(๐ฅ) =2 tan d๐ฅ2e
1 + tan$ dx2e; cos(๐ฅ) =
1 โtan$ dx2e
1 + tan$ dx2e
Sostituendo
๐2 tan d๐ฅ2e
1 + tan$ dx2e+ ๐
1 โtan$ dx2e
1 + tan$ dx2e+ ๐ = 0
Da cui
2๐ tan d๐ฅ2e + ๐ โ ๐tan$ d
x2e + ๐ + ๐tan$ d
x2e = 0
E quindi
(โ๐ + ๐)๐ก๐๐$ d?$e + 2๐ tan d?
$e + ๐ + ๐ = 0 (5.1.1)
Che รจ unโequazione di 2ยฐ grado in tan d?$e che, risolta, dร due equazioni di primo grado del tipo al punto 3.
NOTA BENE: Questo metodo va bene solo se esiste la tangente di ?
$ , cioรจ solo se ?
$โ :
$+ ๐๐ โ ๐ฅ โ ๐ + 2๐๐.
In altre parole, prima di applicare tale metodo, occorre verificare che ๐ฅ = ๐ + 2๐๐ sia soluzione
dellโequazione data. Poi si risolve lโequazione in tan d?$e.
5.2. Metodo grafico
Si fa ricorso alla geometria analitica, osservando che ๐ ๐๐$(๐ฅ) + ๐๐๐ $(๐ฅ) = 1e ponendo
๐ ๐๐(๐ฅ) = ๐๐ cos(๐ฅ) = ๐. Si risolve, cosi, il sistema
n๐๐ + ๐๐ + ๐ = 0๐$ + ๐$ = 1
La prima equazione rappresenta una retta, la seconda una circonferenza di raggio 1.
5.3. Metodo dellโangolo aggiunto. Eโ il piรน interessante. Dobbiamo solo ricordare che
๐๐ ๐๐(๐ฅ) + ๐๐๐๐ (๐ฅ) = ๐๐ ๐๐(๐ฅ + ๐ผ) (1) con ๐ = โ๐$ + ๐$๐ tan(๐ผ) = =>
Allora lโequazione ๐๐ ๐๐(๐ฅ) + ๐ cos(๐ฅ) + ๐ = 0
Diventa
๐๐ ๐๐(๐ฅ + ๐ผ) + ๐ = 0 โ ๐ ๐๐(๐ฅ + ๐ผ) = โ๐๐
A cui si applica il caso 1 di pag 13.
16
*************************************************************************************** (1) Do una dimostrazione. Intanto ๐๐ ๐๐(๐ฅ + ๐ผ) = ๐(๐ ๐๐(๐ฅ) cos(๐ผ) + ๐ ๐๐(๐ผ) cos(๐ฅ)) = ๐๐ ๐๐(๐ฅ) cos(๐ผ) + ๐๐ ๐๐(๐ผ)cos(๐ฅ) Per lโidentitร dei polinomi, dallโuguaglianza
๐๐ ๐๐(๐ฅ) + ๐ cos(๐ฅ) = ๐๐ ๐๐(๐ฅ) cos(๐ผ) + ๐๐ ๐๐(๐ผ)cos(๐ฅ)
si deve avere che ๐ = ๐๐๐๐ (๐ผ)๐๐ = ๐๐ ๐๐(๐ผ) che, elevati al quadrato, danno
๐$ = ๐$๐๐๐ $(๐ผ)
๐$ = ๐$๐ ๐๐$(๐ผ)
Sommando membro a membro si ha
๐$ + ๐$ = ๐$๐๐๐ $(๐ผ) + ๐$๐ ๐๐$(๐ผ) = ๐$o๐๐๐ $(๐ผ) + ๐ ๐๐$(๐ผ)p = ๐$ โ 1 = ๐$
E quindi ๐$ = ๐$ + ๐$
Dividendo membro a membro si ha
๐$
๐$=๐$๐ ๐๐$(๐ผ)๐$๐๐๐ $(๐ผ)
โ๐$
๐$= tan$(๐ผ) โ tan(๐ผ) =
๐๐
***************************************************************************************
Faccio un esempio di risoluzione di unโequazione del tipo 5 con i vari metodi sopra riportati. Sia lโequazione
2๐ ๐๐(๐ฅ) โ cos(๐ฅ) โ 1 = 0
ร Ricorro al metodo di cui al punto 5.1. Prima di applicare la (5.1.1), verifico che ๐ฅ = ๐ + 2๐๐ รจ soluzione dellโequazione.
Sostituisco ๐ฅ = ๐ nellโequazione: 2๐ ๐๐(๐) โ cos(๐) = 1 โ 2 โ 0 โ (โ1) = 1 โ 1 = 1, lโequazione รจ verificata. Applico allora la (5.1.1):
o1 โ (โ1)p๐ + 4 tan(๐ฅ) + 1 โ 1 = 0 โ 2 ๐ก๐๐$ d๐ฅ2e + 4 tan d
๐ฅ2e = 0 โ2tan d
๐ฅ2e (tan d
๐ฅ2e + 2) = 0
Da cui le due equazioni goniometriche elementari
tan d?$e = 0๐ tan d?
$e + 2 = 0e si nel caso 3 di pagina 13.
ร Ora ricorro al metodo grafico di cui al punto 5.2. Pongo ๐ ๐๐(๐ฅ) = ๐๐ cos(๐ฅ) = ๐ โ๐ ๐๐$(๐ฅ) = ๐$, ๐๐๐ $(๐ฅ) = ๐$ โ๐ ๐๐$(๐ฅ) + ๐๐๐ $(๐ฅ) = ๐$ + ๐$ = 1. Pertanto si ha il sistema seguente
n๐$ + ๐$ = 12๐ โ ๐ = 1
La prima equazione rappresenta una circonferenza con centro nellโorigine e raggio 1, la seconda una retta. Ne faccio il grafico e risolvo il sistema che mi dร due punti A e B di coordinate A(-1;0) e Bd2
<; @<e.
fig.19 Quindi da A ho:
๐ = โ1cioรจ cos(๐ฅ) = โ1 ๐ = 0cioรจ๐ ๐๐(๐ฅ) = 0;
17
Da B ho:
๐ =35๐๐๐รจ cos(๐ฅ) =
35
๐ =45๐๐๐รจ๐ ๐๐(๐ฅ) =
45
che sono equazioni goniometriche elementari.
ร Risolvo lโequazione โ3๐ ๐๐(๐ฅ) + cos(๐ฅ) + 1 = 0, nella quale ๐ = โ3, ๐ = 1, ๐ = 1, col metodo dellโangolo aggiunto.
Calcolo ๐ = โ๐$ + ๐$ โ ๐ = โ4 = 2,๐๐๐๐ก๐๐๐๐ tan(๐ผ) = =>โ tan(๐ผ) = 0
โ2= โ2
2โ ๐ผ = arctan dโ2
2e = :
;
Con lโangolo aggiunto lโequazione si scrive
๐๐ ๐๐(๐ฅ + ๐ผ) + ๐ = 0 โ 2๐ ๐๐ d๐ฅ +๐6e + 1 = 0 โ ๐ ๐๐ d๐ฅ +
๐6e = โ
12
che รจ unโequazione goniometrica elementare.
Altri tipi di esercizi.
1) Determinare le condizioni a cui deve soddisfare il parametro a affinchรฉ sia soddisfatta lโuguaglianza
(2a-3)cos(๐ฅ)=-a+4 nel 2ยฐ quadrante. Risolvo
Lโuguaglianza si scrive cos(๐ฅ) = A>B@$>A2
; poichรฉ le x stanno nel secondo quadrante, esse devono
essere negative. Inoltre il codominio della funzione coseno รจ C = [- 1;1]. Ma noi dobbiamo considerare solo โ1 โค cos(๐ฅ) โค 0; pertanto dobbiamo risolvere le disequazioni
โ1 โคโ๐+42๐โ3 โค 0
Che equivalgono al sistema
2โ1 โค
โ๐ + 42๐ โ 3
โ๐ + 42๐ โ 3 โค 0
le cui soluzioni sono ๐ โค โ1 โ ๐ โฅ 4. 2) Determinare le condizioni a cui deve soddisfare il parametro k affinchรฉ sia soddisfatta lโuguaglianza
๐ก๐(๐ฅ) =2๐๐ + 2
nel 1ยฐ quadrante. Risolvo Le x nel primo quadrante sono positive; il codominio della tangente รจ C=โ Dobbiamo risolvere la disequazione
๐ก๐(๐ฅ) โฅ 0
cioรจ (44.(
โฅ 0,le cui soluzioni sono ๐ < โ2 โจ ๐ โฅ 0.
3) Dato ๐ก๐(๐ฅ) = 0< , calcolare cos(๐ฅ).
Risolvo
In base alla (4) di pag.8, che qui riporto per comoditร ๐๐๐ (๐ฅ) = 0โD0BEF!(?)
, si ha
18
๐๐๐ (๐ฅ) =1
โX1 + ๐ก๐$(๐ฅ)=
1
โy1 + (15)$=
1
โy25 + 125
= โ5โ26
4) Determinare il dominio della funzione y = arcsen(4๐ฅ โ 3)
Risolvo Poichรฉ il dominio dellโarcoseno รจ [-1;1], allora si ha
-1โค 4๐ฅ โ 3 โค 1 โnโ1 โค 4๐ฅ โ 34๐ฅ โ 3 โค 1
Dal sistema, risolto, si ha il dominio
๐ท = |12; 1}
5) Calcolare sen(arctg(1))
Risolvo Eโ una funzione composta. Calcoliamo prima il valore della funzione interna
๐๐๐๐ก๐(1) = :@
e quindi ๐ ๐๐ d:@e = โ$
$
6) Determinare il dominio della funzione ๐ฆ = arccos (โ๐ฅ$ + 2๐ฅ)
Risolvo Poichรฉ il dominio dellโarco coseno รจ D = [-1;1], allora si ha
-1โค โ๐ฅ$ + 2๐ฅ โค 1 โ๏ฟฝโ1 โค โ๐ฅ$ + 2๐ฅโ๐ฅ$ + 2๐ฅ โค 1
che, risolto, fornisce il dominio ๐ท = ๏ฟฝ1 โ โ2; 1 + โ2๏ฟฝ
7) trovare il dominio e la funzione inversa, restringendo tale dominio se necessario (per avere lโinversa bisogna restringere il dominio in modo che la funzione sia bigettiva), della funzione
๐ฆ = arccos(๐ฅ + 12๐ฅ
)
Risolvo Poichรฉ il dominio dellโarco coseno รจ [-1;1], si ha
โ1 โค๐ฅ + 12๐ฅ
โค 1 โ๏ฟฝโ1 โค
๐ฅ + 12๐ฅ
๐ฅ + 12๐ฅ โค 1
che, risolto, dร
๐ท = ๏ฟฝ๐ฅ โค โ13โจ ๐ฅ โฅ 1}
Per lโinversa: cos(๐ฆ) = cos darccos d?B0$?ee = ?B0
$?โ ๐ฅ = 0
$ 345(G)A0
Scambiando la x con la y si ha
๐ฆ =1
2 cos(๐ฅ) โ 1
Puoi inventare tu tanti esercizi ai quali applicare le relazioni (1), (2), (3), (4) e (5) (ma anche altre relazioni non riportate in questi appunti, ma che si ricavano facilmente, a seconda dellโesercizio).
Per esercizi di ripetizione sulle equazioni ti rimando al sito: https://www.youmath.it/lezioni/algebra-elementare/equazioni/153-equazioni-trigonometriche.html