DIPARTIMENTO
DI
ENERGIA
INGEGNERIA DELLโINFORMAZIONE
E
MODELLI MATEMATICI
(DEIM)
Lezioni Di
Teoria Dei
Segnali Giovanni Garbo,
Giovanni Mamola,
Stefano Mangione
29/12/2014
SOMMARIO
Introduzione 1
CAPITOLO - 1 7
Richiami di Matematica 7
Premessa. ........................................................................... 7 1.1 -
Lโintegrazione alla Lebesgue. .......................................... 7 1.2 -
Misura associata a una classe di insiemi. ...................... 10 1.3 -
๐-Algebra di Borel ........................................................... 11 1.4 -
La misura di Lebesgue su โ .......................................... 11 1.5 -
La misura di Lebesgue su โ๐ต ....................................... 12 1.6 -
Funzioni integrabili alla Lebesgue e relative proprietร .13 1.7 -
Funzioni a quadrato sommabile .................................... 16 1.8 - II Teorema di Lebesgue: ............................................................... 18
Spazi metrici. ................................................................... 18 1.9 -
Spazi vettoriali. .............................................................. 20 1.10 -
Spazi normati. ................................................................ 21 1.11 -
Forme bilineari, quadratiche, hermitiane. ................... 21 1.12 -
Riduzione di una forma hermitiana a forma canonica.23 1.13 -
Forme hermitiane semidefinite positive. ..................... 26 1.14 -
Prodotto scalare. ............................................................ 27 1.15 -
Vettori linearmente indipendenti. ................................ 30 1.16 -
CAPITOLO - 2 33
Rappresentazione Vettoriale dei Segnali 33
Premessa. ......................................................................... 33 2.1 -
Lo spazio dei segnali a energia finita. ........................... 34 2.2 -
Prodotto scalare ....................................................................... 35 Distanza .................................................................................... 35 Norma ....................................................................................... 36
Segnali linearmente indipendenti. ................................. 37 2.3 - Teorema 2.1 (di Gram) ................................................................. 37
Rappresentazione geometrica di un segnale. ............... 40 2.4 -
Angolo tra due segnali. ................................................... 44 2.5 -
2 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
Approssimazione dei segnali nel sottospazio S๐. Teorema 2.6 -
della proiezione. ....................................................................... 46 Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt.2.7 -
................................................................................................... 50 Sviluppo di un segnale in serie di funzioni ortogonali. 52 2.8 -
CAPITOLO - 3 55
Segnali Periodici 55
Generalitร . ....................................................................... 55 3.1 -
Serie di Fourier in forma esponenziale. ........................ 56 3.2 -
Forma trigonometrica della serie di Fourier. ................ 59 3.3 -
Segnali reali. .................................................................... 60 3.4 -
Proprietร della serie di Fourier. ..................................... 65 3.5 - Linearitร ....................................................................................... 65 Inversione nel dominio del tempo ................................................ 66 Segnale coniugato ......................................................................... 66 Coefficienti coniugati .................................................................... 66 Traslazione nel dominio del tempo ............................................... 67 Traslazione nel dominio della frequenza ....................................... 67 Convoluzione nel dominio del tempo ........................................... 67 Convoluzione nel dominio della frequenza ................................... 68
Segnali bidimensionali. .................................................. 70 3.6 -
CAPITOLO - 4 73
Segnali a Energia Finita 73
Deduzione elementare della trasformata di Fourier. .... 73 4.1 -
La trasformata di Fourier di segnali ad energia finita. 74 4.2 -
La trasformata in ๐ท(โ). ........................................................... 75 La trasformata in ๐ท(โ) โฉ ๐ท๐(โ). ........................................... 75 La trasformata in ๐ท๐(โ). ........................................................ 78 Conclusioni .............................................................................. 81
Principali proprietร della trasformata di Fourier di un 4.3 -
segnale ...................................................................................... 82 Trasformata di Fourier di segnali reali. ................................. 83
Proprietร della trasformata di Fourier. .......................... 86 4.4 -
Linearitร ................................................................................... 86 Simmetria ................................................................................. 87 Segnale coniugato .................................................................... 87 Trasformata coniugata ............................................................ 88
Introduzione 3
Traslazione nel dominio del tempo ........................................ 88 Traslazione nel dominio della frequenza ............................... 88 Cambiamento di scala ............................................................. 89 Derivazione nel dominio del tempo ....................................... 90 Derivazione nel dominio della frequenza .............................. 90 Convoluzione nel dominio del tempo .................................... 91 Convoluzione nel dominio della frequenza ........................... 94
Limitazioni dello spettro di ampiezza di un segnale. .. 98 4.5 -
Segnali bidimensionali. ................................................ 100 4.6 -
Linearitร ................................................................................. 101 Traslazione nel dominio dello spazio e della frequenza ..... 101 Cambiamento di scala. .......................................................... 101 Convoluzione nel dominio dello spazio e della frequenza.. 102 Trasformazioni di variabili .................................................... 103
CAPITOLO - 5 107
Segnali a Potenza Finita 107
Cenni di teoria delle distribuzioni. .............................. 107 5.1 -
Esempi di distribuzioni. ............................................... 109 5.2 -
Distribuzioni regolari ............................................................ 109 Gradino unitario ..................................................................... 109 Delta di Dirac ......................................................................... 109 Pseudo funzione t-1 ................................................................ 110
Calcolo delle distribuzioni. .......................................... 111 5.3 -
Uguaglianza ........................................................................... 111 Somma .................................................................................... 111 Traslazione ............................................................................. 111 Derivata di una distribuzione ............................................... 112 Prodotto di una funzione per una distribuzione .................. 115 Distribuzioni a supporto limitato ......................................... 115
Convoluzione tra distribuzioni. ................................... 116 5.4 -
Formula di Poisson. ...................................................... 120 5.5 -
Trasformata di Fourier di una distribuzione. ............. 122 5.6 - Teorema 5.1 ............................................................................... 123
Trasformata di Fourier di distribuzioni a supporto 5.7 -
limitato.................................................................................... 124 Trasformate di Fourier di distribuzioni notevoli. ....... 125 5.8 -
Trasformata di una costante ................................................. 125 Trasformata della delta di Dirac ........................................... 125
4 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
Trasformata della delta di Dirac traslata .............................. 125 Antitrasformata della delta di Dirac traslata ........................ 125 Trasformate delle funzioni seno e coseno ............................ 125 Trasformata di un segnale periodico .................................... 125 Trasformata della funzione segno ........................................ 126 Trasformata del gradino unitario .......................................... 127
Proprietร delle trasformate delle distribuzioni. .......... 127 5.9 -
Linearitร ................................................................................. 127 Trasformata della convoluzione ........................................... 127 Derivazione nel dominio del tempo e della frequenza ........ 128 Traslazione nel dominio del tempo e della frequenza ........ 129
CAPITOLO - 6 133
Trasformazioni Lineari dei Segnali 133
Definizioni. Proprietร generali. .................................... 133 6.1 -
Studio nel dominio del tempo. ..................................... 135 6.2 -
Stabilitร di un sistema lineare ...................................... 137 6.3 - Risposta impulsiva di trasformazioni lineari prive di 6.4 -
memoria .................................................................................. 138 Studio nel dominio della frequenza. ............................ 138 6.5 - Determinazione della risposta in frequenza di una 6.6 -
trasformazione LTI. ............................................................... 139 Trasmissione senza distorsione. Filtri ideali. ............. 143 6.7 -
CAPITOLO - 7 145
Caratterizzazione Energetica dei Segnali 145 Segnali a energia finita................................................................. 145
Densitร spettrale di energia.......................................... 145 7.1 -
Funzione di autocorrelazione. ..................................... 149 7.2 -
Teorema di Wiener-Khinchine. ................................... 152 7.3 -
Funzioni di mutua correlazione. ................................. 153 7.4 - Segnali a potenza finita ............................................................... 155
Densitร spettrale di potenza. ....................................... 155 7.5 -
Funzioni di correlazione. ............................................. 158 7.6 -
CAPITOLO - 8 163
Caratteristiche e Proprietร dei Segnali 163
Segnale analitico. Trasformata di Hilbert. .................. 163 8.1 -
Introduzione 5
Componenti del segnale a frequenze positive e negative.8.2 -
................................................................................................. 167 Segnali a banda e durata rigorosamente limitata. ...... 168 8.3 -
Proprietร dei segnali a banda rigorosamente limitata.169 8.4 -
Segnali passabasso................................................................. 169 Segnali passabanda ................................................................ 170
Banda e durata convenzionali. ..................................... 173 8.5 - Banda e durata quadratica o efficace ........................................... 173 Banda e durata sulla base dellโenergia .......................................... 174
CAPITOLO - 9 177
Il Campionamento dei Segnali 177
Il teorema del campionamento. ................................... 177 9.1 -
Il sottospazio dei segnali passabasso. ......................... 179 9.2 -
Campionamento naturale. ............................................ 182 9.3 -
Campionamento istantaneo. ........................................ 185 9.4 -
Errori di ricoprimento spettrale (aliasing). ................. 187 9.5 -
Campionamento ideale dei segnali passabanda. ....... 189 9.6 -
Ricostruzione del segnale passabanda. ....................... 195 9.7 -
Campionamento del secondo ordine. ......................... 196 9.8 - Segnali passabasso. ..................................................................... 196 Segnali passabanda. ..................................................................... 198
CAPITOLO - 10 201
Segnali a tempo discreto 201
Segnali a tempo discreto. Energia e potenza specifica.10.1 -
................................................................................................. 201 Segnali periodici. ......................................................... 202 10.2 -
La trasformata discreta di Fourier ............................. 204 10.3 -
Segnali a potenza finita. .............................................. 209 10.4 - Proprietร della trasformata di Fourier di un segnale a 10.5 -
tempo discreto. ...................................................................... 211 Funzioni di correlazione e densitร spettrali. ............. 213 10.6 -
- Segnali periodici. ................................................................. 213 - Segnali ad energia finita. ..................................................... 215 - Segnali a potenza finita. ...................................................... 217
CAPITOLO - 11 219
Trasformazioni lineari discrete 219
6 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
Studio nel dominio del tempo ..................................... 219 11.1 -
Studio nel dominio della frequenza ........................... 223 11.2 -
CAPITOLO - 12 227
Valutazione Numerica della Trasformata di Fourier 227
Valutazione Numerica della Trasformata di Fourier di un 12.1 -
Segnale a tempo continuo ..................................................... 227 Troncamento del segnale. Finestre temporali. ......... 232 12.2 -
La trasformata discreta di Fourier. ............................ 235 12.3 -
CAPITOLO - 13 241
Richiami di Teoria della Probabilitร 241
Lo spazio dei risultati. Gli eventi................................ 241 13.1 -
Lo spazio di probabilitร . ............................................. 244 13.2 - Probabilitร condizionate - Formula di Bayes - Teorema 13.3 -
delle probabilitร composte. ................................................... 247
CAPITOLO - 14 253
Variabili Aleatorie 253
Variabili aleatorie monodimensionali. ....................... 253 14.1 -
Funzione di distribuzione di probabilitร . .................. 254 14.2 -
- intervallo semiaperto a sinistra ........................................... 254 - semiretta dโorigine destra aperta ........................................ 255 - intervallo chiuso ................................................................... 255 - punto isolato ........................................................................ 255 - intervallo aperto ................................................................... 256 - intervallo semiaperto a destra ............................................. 256
Proprietร della distribuzione di probabilitร . ............. 256 14.3 -
- valori limite .......................................................................... 256 - monotonia e limitatezza ...................................................... 257 - continuitร a destra ............................................................... 257 - limiti da sinistra ................................................................... 258 - numero di discontinuitร ...................................................... 258
Densitร di probabilitร di una variabile aleatoria continua.14.4 -
................................................................................................. 260 Densitร di probabilitร di una variabile aleatoria discreta.14.5 -
................................................................................................. 261 Variabili aleatorie bidimensionali. Funzioni di 14.6 -
probabilitร congiunte. ........................................................... 262
Introduzione 7
Funzioni di probabilitร condizionate. ....................... 266 14.7 -
Funzioni di probabilitร dโordine superiore. .............. 267 14.8 -
CAPITOLO - 15 269
Funzioni di variabili aleatorie 269
Funzioni di una variabile aleatoria. ............................ 269 15.1 -
CAPITOLO - 16 275
Medie Statistiche 275
Valore medio di funzioni di variabili aleatorie. ......... 275 16.1 -
Momenti. ..................................................................... 276 16.2 -
Teorema della media. ................................................. 282 16.3 -
Funzione caratteristica. .............................................. 283 16.4 -
CAPITOLO - 17 288
Variabili Aleatorie Notevoli 288
Premessa. ..................................................................... 288 17.1 -
Distribuzione uniforme. ............................................. 288 17.2 -
Distribuzione esponenziale. ....................................... 289 17.3 -
Distribuzione di Laplace. ........................................... 290 17.4 -
Distribuzione normale o gaussiana. .......................... 290 17.5 -
Distribuzione di Rayleigh. .......................................... 295 17.6 -
Distribuzione di Bernoulli. ......................................... 296 17.7 -
Distribuzione binomiale. ............................................ 296 17.8 -
Distribuzione di Poisson. ........................................... 298 17.9 -
CAPITOLO - 18 302
Caratterizzazione Statistica dei Segnali 302
Segnale aleatorio. Funzioni di probabilitร del primo 18.1 -
ordine. ..................................................................................... 302 Funzioni di probabilitร del secondo ordine e funzioni di 18.2 -
probabilitร condizionate........................................................ 306 Funzioni di probabilitร dโordine superiore. .............. 310 18.3 -
Segnali aleatori deterministici. ................................... 312 18.4 - Segnali dipendenti da una variabile aleatoria 18.5 -
monodimensionale ................................................................ 312 funzioni di probabilitร del primo ordine. ............................. 312 funzioni di probabilitร dโordine superiore al primo. ........... 316
Segnali dipendenti da un vettore aleatorio. ............... 318 18.6 -
8 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
Segnali distinti. Funzioni di probabilitร congiunte. . 321 18.7 -
CAPITOLO - 19 325
Valori Medi, Stazionarietร ed Ergodicitร 325
Medie statistiche. ........................................................ 325 19.1 -
Stazionarietร . ............................................................... 329 19.2 -
Medie temporali ed ergodicitร . .................................. 332 19.3 - Ergodicitร delle funzioni di probabilitร del primo ordine.19.4 -
................................................................................................. 336
CAPITOLO - 20 341
Segnali Gaussiani 341
Variabili aleatorie congiuntamente gaussiane. ......... 341 20.1 - Funzione caratteristica di variabili aleatorie 20.2 -
congiuntamente gaussiane. .................................................. 341 Densitร di probabilitร di ordine inferiore.................. 344 20.3 -
Caratterizzazione degli elementi del vettore ๐ e della 20.4 -
matrice ๐ฎ. ............................................................................... 345 Segnali gaussiani. ....................................................... 346 20.5 -
Distribuzioni singolari. ............................................... 347 20.6 - Densitร di probabilitร del secondo ordine e condizionali.20.7 -
................................................................................................. 351 Trasformazioni lineari di segnali gaussiani. ............. 353 20.8 - Statistica della somma di variabili aleatorie indipendenti.20.9 -
................................................................................................. 356
CAPITOLO - 21 359
Caratterizzazione Energetica di Segnali a Tempo Continuo ...................... 359
Funzione di autocorrelazione. .................................... 359 21.1 -
la funzione di autocorrelazione normalizzata ...................... 362 la funzione di autocovarianza ............................................... 362 la funzione di autocovarianza normalizzata, o coefficiente di
autocorrelazione ..................................................................... 362 Densitร spettrale di potenza. ...................................... 363 21.2 - Caratterizzazione dei segnali nel dominio della 21.3 -
frequenza. ............................................................................... 366 Segnali ciclostazionari. ............................................... 371 21.4 - Segnali distinti. Funzioni di correlazione e densitร 21.5 -
spettrale incrociate. ................................................................ 376
Introduzione 9
CAPITOLO - 22 381 Caratterizzazione Energetica di Segnali Aleatori a Tempo Discreto 381
Funzione di autocorrelazione. .................................... 381 22.1 -
Densitร spettrale di potenza....................................... 383 22.2 -
Caratterizzazione nel dominio della frequenza ........ 385 22.3 -
CAPITOLO - 23 389
Segnali Passabanda 389
Il rumore bianco. ......................................................... 389 23.1 -
-Rumore bianco passabasso. ..................................... 389 23.2 -
-Rumore bianco passabanda. ..................................... 390 23.3 -
Segnali aleatori passabasso. ....................................... 391 23.4 -
Segnali aleatori passabanda. ...................................... 393 23.5 -
Segnali gaussiani. ....................................................... 402 23.6 - Segnale gaussiano a banda stretta sovrapposto a un 23.7 -
segnale deterministico di tipo sinusoidale. .......................... 404
INTRODUZIONE
Una grandezza fisica, alla cui variazione in funzione di determina-
te variabili, quali, ad esempio, il tempo, le coordinate di un punto nel
piano o entrambe, รจ associata una certa quantitร di informazione, costi-
tuisce un segnale.
La tensione o la corrente all'ingresso di un biporta, la pressione
acustica incidente sulla membrana di un microfono, l'intensitร di un'im-
magine in un punto di uno schermo o la successione temporale di im-
magini quali quelle che si ottengono in una ripresa televisiva, sono
esempi di segnali.
A seconda degli aspetti che interessa mettere in evidenza รจ possi-
bile classificare i segnali secondo criteri diversi.
Una prima classificazione รจ di natura fenomenologica. Essa รจ ba-
sata sul tipo d'evoluzione subita dal segnale in funzione delle variabili
indipendenti. Su questa base i segnali si distinguono in segnali determi-
nati e segnali aleatori.
Limitandosi per il momento a considerare segnali che dipendono
esclusivamente dal tempo, un segnale si dice determinato quando i valo-
ri che esso assume in corrispondenza ad un qualsiasi istante sono cono-
sciuti esattamente.
Per contro i segnali aleatori sono quelli il cui andamento tempora-
le รจ imprevedibile, anche se รจ possibile determinarne alcune caratteristi-
che medie. Di conseguenza, mentre un segnale determinato รจ perfetta-
mente ripetibile, altrettanto non si puรฒ dire per un segnale aleatorio
giacchรฉ, per la sua natura casuale, esso puรฒ assumere forme diverse an-
che se viene osservato in esperimenti effettuati nelle medesime condi-
zioni.
Da quanto detto discende che, mentre รจ possibile rappresentare
un segnale determinato mediante una funzione (reale o complessa) di un
certo numero di variabili indipendenti, ciรฒ non puรฒ essere fatto nel caso
di segnali aleatori, a meno che, una tale funzione, non venga costruita
sulla base di una manifestazione del segnale ottenuta โa posterioriโ. Di
conseguenza mentre รจ possibile affrontare lo studio dei segnali determi-
nati utilizzando algoritmi matematici che presuppongono una rappre-
sentazione analitica del segnale, nel caso di segnali aleatori si deve ricor-
2 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
rere a metodologie di analisi di tipo statistico quali quelle basate sulla
Teoria della Probabilitร .
Una seconda classificazione dei segnali รจ di natura morfologica.
Essa si basa sul carattere continuo o discreto dell'ampiezza del segnale o
dalle variabili da cui dipende la sua evoluzione.
Facendo riferimento a segnali dipendenti soltanto dal tempo, si
possono distinguere i segnali continui nel tempo (segnali a tempo conti-
nuo) e i segnali discreti nel tempo (segnali a tempo discreto).
Nel primo caso la variabile ๐ก puรฒ assumere un qualsiasi valore
appartenente ad un assegnato intervallo di ampiezza finita o infinita (ve-
di Figura 1,a). Nel secondo caso la variabile indipendente รจ definita in
un insieme al piรน numerabile di valori {๐ก๐} con ๐ก๐โ1 < ๐ก๐ < ๐ก๐+1 (vedi
Figura 1,b). Di norma gli istanti ๐ก๐ si succedono con regolaritร cioรจ si ha:
(i.1) ๐ก๐ = ๐๐
cosicchรฉ l'insieme {๐ก๐} รจ completamente specificato individuando il pe-
riodo ๐ ed il campo di variabilitร dell'indice ๐.
Se infine l'ampiezza del segnale puรฒ assumere un insieme finito o
al piรน numerabile di valori {๐๐} con ๐๐โ1 โค ๐๐ โค ๐๐+1, il segnale si dice
Figura 1 - a) Segnale a tempo-continuo b) segnale a tempo discreto, c) segnale quantiz-
zato, d) segnale numerico.
Introduzione 3
discreto in ampiezza. Un segnale discreto in ampiezza puรฒ essere ulte-
riormente classificato in segnale quantizzato (vedi Figura 1,c) e in segna-
le numerico (vedi Figura 1,d) se esso รจ a tempo continuo o discreto.
Una terza classificazione รจ di natura energetica.
A tale scopo si definisce energia specifica associata ad un segnale
rappresentato da una funzione definita su tutto l'asse dei tempi a valori
generalmente complessi, la quantitร :
(i.2) ๐ธ = โซ |๐ (๐ก)|2๐๐กโ
โโ
La precedente รจ detta energia specifica in quanto essa rappresen-
terebbe l'energia effettivamente dissipata su una resistenza di valore uni-
tario che venisse attraversata da una corrente ๐ (๐ก).
La potenza (media) specifica, in armonia con la (i.2), รจ definita dal
limite:
(i.3) ๐ = lim๐โโ
1
๐โซ |๐ (๐ก)|2๐๐ก
๐
2
โ๐
2
Le definizioni di energia specifica e di potenza specifica appena
fornite per i segnali a tempo continuo possono essere facilmente estese
ai segnali a tempo discreto. In tal caso l'energia e la potenza specifica del
segnale sono rispettivamente definite dalle:
(i.4) ๐ธ = ๐ โ |๐ (๐๐)|2โ
๐=โโ
(i.5) ๐ = lim๐โโ
1
2๐ + 1โ |๐ (๐๐)|2๐
๐=โ๐
Si noti che un segnale ad energia finita presenta una potenza spe-
cifica nulla; inoltre se la potenza specifica definita dalla (i.3) o dalla (i.5) รจ
maggiore di zero, le quantitร a secondo membro delle (i.2) e (i.4) non
sono finite.
Ciรฒ premesso, si definiscono segnali ad energia finita quei segnali
per cui lโenergia specifica รจ finita. Si dicono a potenza finita i segnali per
i quali รจ finita e non nulla la potenza specifica.
Un'ulteriore classificazione รจ di natura dimensionale. Essa รจ basa-
ta sul numero di variabili indipendenti da cui il segnale dipende. Ad
4 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
esempio i segnali che dipendendo soltanto dal tempo sono monodimen-
sionali, mentre una immagine fissa e una sequenza di immagini in bianco
e nero sono esempi di un segnale rispettivamente bi e tridimensionale.
Esempio 1
Si consideri il segnale
๐ (๐ก) = ๐๐2๐๐0๐ก
la sua energia specifica vale:
๐ธ = โซ ๐๐กโ
โโ
= โ
Viceversa la sua potenza specifica vale:
๐ = lim๐โโ
1
2๐โซ |๐๐2๐๐0๐ก|2๐๐ก๐
โ๐
= lim๐โโ
1
2๐โซ ๐๐ก๐
โ๐
= 1
๐ (๐ก) รจ pertanto un segnale a potenza finita.
Esempio 2
Si consideri il segnale
๐ (๐ก) = ๐โ๐ผ|๐ก|
con ๐ผ costante.
A secondo del valore di ๐ผ, ๐ (๐ก) puรฒ essere classificato come segnale a ener-
gia o a potenza finita.
a) s(t) รจ un segnale a energia finita se l'integrale:
๐ธ = โซ ๐โ2๐ผ|๐ก|๐๐กโ
โโ
รจ finito. Poichรฉ si ha:
๐ธ = lim๐โโ
โซ ๐โ2๐ผ|๐ก|๐๐ก๐
โ๐
= lim๐โโ
{โซ ๐โ2๐ผ|๐ก|๐๐ก0
โ๐
+โซ ๐โ2๐ผ|๐ก|๐๐ก๐
0
}
= lim๐โโ
{โซ ๐โ2๐ผ๐ก๐๐ก๐
0
+โซ ๐โ2๐ผ๐ก๐๐ก๐
0
} = lim๐โโ
1 โ ๐โ2๐ผ๐
๐ผ
il segnale รจ a energia finita se รจ ๐ผ > 0. In tal caso ๐ธ vale:
๐ธ =1
๐ผ(๐ผ > 0)
b) ๐ (๐ก) รจ un segnale a potenza finita se la quantitร
๐ = lim๐โโ
1
๐โซ ๐โ2๐ผ|๐ก|๐๐ก
๐
2
โ๐
2
= lim๐โโ
1 โ ๐โ๐ผ๐
๐ผ๐= lim
๐โโ๐โ๐ผ๐
converge a un valore non nullo.
Introduzione 5
Il segnale รจ a potenza finita se รจ ๐ผ = 0. In tal caso รจ
๐ = 1; (๐ผ = 0)
b) Per ๐ผ < 0 il segnale non รจ nรจ a potenza nรจ a energia finita.
CAPITOLO - 1
RICHIAMI DI MATEMATICA
Premessa. 1.1 -
In questo capitolo si accenna brevemente, senza alcuna pretesa di
rigore, ai fondamenti dellโintegrazione alla Lebesgue, alla teoria della mi-
sura degli insiemi, agli spazi vettoriali e alle forme quadratiche, con il so-
lo scopo di porre lโaccento su alcuni aspetti che si ritengono importanti
per la comprensione di quanto esposto in questo testo, sia con riferi-
mento alla parte concernente allโanalisi dei segnali determinati, sia a
quella riguardante i segnali aleatori.
Lโintegrazione alla Lebesgue. 1.2 -
In quel che segue, รจ richiamata lโintegrazione alla Lebesgue. Essa
verrร applicata inizialmente a delle funzioni elementari, per poi estender-
la alla piรน ampia classe delle cosiddette funzioni misurabili.
Si prenda in considerazione lโinsieme delle funzioni limitate defi-
nite su un intervallo chiuso e limitato A = [๐, ๐]. Per una qualsiasi fun-
zione appartenente a detto insieme si ha in pratica:
๐(๐ด) โ [๐,๐] (1.2.1)
essendo rispettivamente ๐ ed ๐ lโestremo inferiore e lโestremo superio-
re della funzione considerata.
Si consideri inoltre, nellโinsieme anzidetto, il sottoinsieme costi-
tuito dalle funzioni a valori non negativi, tali che, comunque scelto
I = [๐ผ, ๐ฝ] โ [๐,๐], lโimmagine inversa di detto insieme secondo la fun-
zione ๐, cioรจ lโinsieme ๐โ1(I) dei punti ๐ฅ โ A per cui risulta ๐ผ โค ๐(๐ฅ) โค
๐ฝ, รจ costituito dallโunione di un numero finito di intervalli chiusi a due a
due disgiunti.
ร noto che per calcolare lโintegrale di una funzione alla Riemann
sul suo dominio, si procede alla scomposizione di questโultimo in un
certo numero dโintervalli chiusi in esso contenuti, privi a due a due di
punti interni in comune e tali che la loro unione coincida con [๐, ๐]. Si
costruisce cosรฌ una partizione puntuale dellโintervallo [๐, ๐]. A partire da
8 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
detta partizione, si generano le seguenti somme inferiori e superiori di
Darboux:
{
๐ ๐ =โ๐๐(๐ฅ๐ โ ๐ฅ๐โ1)
๐
๐=1
;
๐๐ =โ๐๐(๐ฅ๐ โ ๐ฅ๐โ1)
๐
๐=1
;
(๐ = ๐ฅ0 < ๐ฅ1 <. . . . < ๐ฅ๐ = ๐) (1.2.2)
dove ๐๐ ed ๐๐ rappresentano rispettivamente lโestremo inferiore e
lโestremo superiore della funzione integranda nellโintervallo [๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐].
Comโรจ noto lโintegrale cerca-
to รจ, se esiste, (per la particolare
classe di funzioni prese in esame esi-
ste certamente) lโelemento di sepa-
razione delle due classi {๐ ๐ } e {๐๐ }
ottenute in corrispondenza a tutte le
possibili partizioni puntuali.
Volendo integrare la medesi-
ma funzione alla Lebesgue si scompone non giร lโintervallo [๐, ๐], ma
lโintervallo [๐,๐] in ๐ intervalli del tipo, I๐ =]๐ฆ๐โ1, ๐ฆ๐]. Poichรฉ il generi-
co ๐โ1(I๐) รจ costituito da un numero finito ๐๐ dโintervalli disgiunti con-
tenuti in [๐, ๐], indicando con โ๐,๐ la lunghezza del ๐-esimo di tali inter-
valli, (vedi Fig. 1.1) si possono definire le quantitร :
{
๐ ๐ฟ =โ๐ฆ๐โ1โโ๐,๐
๐๐
๐=1
๐
๐=1
;
๐๐ฟ =โ๐ฆ๐โโ๐,๐
๐๐
๐=1
๐
๐=1
;
(m=y0<y1<โฆ<yN=M) (1.2.3)
E conseguentemente al variare delle possibili scelte degli I๐ due classi {๐ ๐ฟ}
e {๐๐ฟ}
ร evidente che, comunque scelto un ํ > 0, รจ sempre possibile far
sรฌ che la misura del piรน ampio degli I๐ sia minore di ํ cioรจ che risulti:
max{๐ฆ๐ โ ๐ฆ๐โ1, } < ํ, 1 โค ๐ โค ๐ (1.2.4)
Per le funzioni prese in esame, si avrร :
Fig. 1.1
CAPITOLO - 1 - Richiami di Matematica - 9
๐๐ฟ โ ๐ ๐ฟ =โ(๐ฆ๐ โ ๐ฆ๐โ1)โโ๐,๐
๐๐
๐=1
๐
๐=1
< ํโโโ๐,๐
๐๐
๐=1
๐
๐=1
= ํ(๐ โ ๐)
(1.2.5)
Poichรฉ si puรฒ facilmente verificare che le famiglie {๐ ๐ฟ}, {๐๐ฟ} sono
separate, cioรจ che comunque scelto elemento di {๐๐ฟ} esso รจ maggiore o
uguale di ogni elemento della classe {๐ ๐ฟ}, dalla (1.2.5) consegue che le
due classi sono sono contigue.
Si definisce integrale alla Lebesgue della funzione, lโelemento di
separazione di dette classi.
ร facile convincersi che, per lโinsieme di funzioni considerate,
lโintegrazione alla Lebesgue condurrebbe al medesimo risultato cui si sa-
rebbe pervenuti integrando secondo Riemann.
La tecnica di integrazione alla Lebesgue appena introdotta, tutta-
via รจ piรน generale di quella alla Riemann, nel senso che la classe delle
funzioni integrabili alla Lebesgue contiene quella delle funzioni integra-
bili in senso proprio alla Riemann.
La possibilitร di ampliare lโinsieme delle funzioni integrabili se-
condo Lebesgue discende dal fatto che la quantitร โ โ๐,๐๐๐๐=1 , nella (1.2.3),
puรฒ essere interpretata come misura dellโinsieme ๐โ1(I๐). Infatti essa รจ
una somma di lunghezze di intervalli. Quindi indicando con ๐(๐โ1(I๐))
la misura dellโimmagine inversa di I๐ le (1.2.3) si riscrivono in forma piรน
compatta:
{
๐ ๐ฟ =โ๐ฆ๐โ1๐(๐
โ1(I๐))
๐
๐=1
;
๐๐ฟ =โ๐ฆ๐๐(๐โ1(I๐))
๐
๐=1
;
(1.2.6)
Da queste ultime si evince che, se si introducesse una misura per
una classe di insiemi numerici piรน vasta di quella fino a ora implicita-
mente considerata, sarebbe conseguentemente possibile estendere a una
classe piรน ampia di funzioni la tecnica di integrazione appena introdotta.
Il concetto di misura di un insieme interviene anche nello studio
della teoria della probabilitร , su cui si fonda lโanalisi dei segnali aleatori.
In tale contesto si considerano insiemi la cui natura non รจ necessaria-
10 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
mente numerica. ร pertanto utile per i nostri scopi accennare al proble-
ma della misura dโinsiemi in termini piรน generali.
Misura associata a una classe di insiemi. 1.3 -
Dato un generico insieme U, finito o infinito, sโindividui in esso
una classe ๐ di suoi sottoinsiemi tale che:
๐ด โ ๐ โ ๐ โ ๐ด โ ๐ (1.3.1)
Inoltre, se {A๐} รจ una qualunque famiglia al piรน numerabile di sottoin-
siemi appartenenti ad ๐ deve risultare:
{A๐โI} โ ๐ โ โช A๐๐โI
โ ๐ (1.3.2)
Dove con I indichiamo lโinsieme (al piรน numerabile) cui appar-
tengono gli indici utilizzati per gli insiemi della famiglia.
Innanzi tutto si osservi che le (1.3.1), (1.3.2) implicano che U โ ๐,
e ad ๐ deve appartenere anche lโinsieme vuoto. Inoltre si verifica facil-
mente che anche lโintersezione di una famiglia al piรน numerabile di sot-
toinsiemi appartenenti ad ๐, deve appartenere ad ๐.
Data una generica famiglia di sottoinsiemi โ di U, da essa si puรฒ
sempre ottenere, aggiungendovi degli ulteriori sottoinsiemi di U, oppor-
tunamente scelti, una classe del tipo definito dalle (1.3.1), (1.3.2), che
contiene โ, e viene chiamata classe minima generata dalla famiglia โ.
Ad esempio dato un insieme A e la famiglia โ contenente soltanto
lโinsieme B โ A la classe minima verificante le (1.3.1), (1.3.2), generata da
โ รจ la seguente:
โ = {โ ,B,A โ B,A} (1.3.3)
Si dice che una classe non vuota che gode delle proprietร anzidet-
te รจ una ๐-algebra.
In altri termini, una famiglia non vuota di sottoinsiemi di U รจ una
๐-algebra se รจ chiusa rispetto a qualsiasi operazione elementare (unione,
intersezione complementazione) tra insiemi in essa contenuti, cioรจ se il
risultato di una tale operazione da luogo ad un insieme che appartiene
alla famiglia anche se gli insiemi su cui si opera sono unโinfinitร numera-
bile.
Dato un insieme U ed una ๐-algebra ๐ di suoi sottoinsiemi, si dice
che al generico insieme A โ ๐ di detta classe si รจ associata una misura
๐(A), ovvero che A รจ misurabile, se si รจ individuata unโapplicazione, de-
CAPITOLO - 1 - Richiami di Matematica - 11
finita su ๐, a valori in โ+ โช {+โ}, che per ogni famiglia {A๐โI} โ ๐ al
piรน numerabile, tale che โ๐ โ ๐ โ I โ A๐ โฉ A๐ = โ , soddisfa la proprietร :
๐ (โช A๐๐โI
) =โ๐(๐ด๐)
๐โI
(1.3.4)
Dalle (1.3.1), (1.3.2) e dalla precedente derivano le seguenti con-
siderazioni di carattere generale:
- qualunque sia la misura introdotta, lโinsieme U รจ misurabile in quan-
to appartiene alla classe ๐; la sua misura puรฒ eventualmente essere
infinita;
- lโinsieme vuoto appartiene a ๐; esso quindi รจ misurabile ed ha misu-
ra nulla, se in ๐ esiste almeno un insieme non vuoto di misura di-
versa da zero;
- se A, B โ ๐ e A โ B si ha certamente ๐(A) โค ๐(B).
๐-Algebra di Borel 1.4 -
Si prenda in considerazione lโinsieme dei numeri reali โ e quello
contenente tutte le semirette di origine destra chiuse ]โโ, ๐ฅ] in esso
contenute, la classe minima che contiene detto insieme prende il nome
di ๐-algebra di Borel o classe di Borel e gli insiemi in essa contenuti vengono
detti Borelliani. A detta classe appartengono anche tutti i sottoinsiemi di
โ generabili mediante operazioni di intersezione, unione e complemen-
tazione su un numero finito o al piรน su unโinfinitร numerabile
dโintervalli chiusi o aperti, limitati e non.
Si รจ indotti a pensare che tale classe coincida con quella costituita
da tutti i possibili sottoinsiemi di โ. Ciรฒ non รจ vero in quanto si possono
costruire insiemi, particolarmente astrusi, non ottenibili nel modo an-
zidetto. Tali insiemi, non appartenendo alla classe appena individuata,
non sono misurabili, ma non rivestono alcun interesse nelle applicazioni
pratiche.
La misura di Lebesgue su โ 1.5 -
Sulla classe di Borel appena introdotta si possono definire misure
diverse. La piรน importante รจ la cosiddetta misura di Lebesgue, che costitui-
sce una generalizzazione di quella normalmente associata ai segmenti.
Secondo Lebesgue, si assume come misura di un generico inter-
vallo aperto e limitato I =]๐, ๐[ il suo diametro, cioรจ si pone ๐(I) = ๐ โ
๐.
12 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
ร facile dedurre che, coerentemente con la (1.3.4), la misura da
associare a un insieme costituito da un punto isolato deve essere nulla.
Basta infatti osservare che dalla:
๐ < ๐ < ๐ โ]๐, ๐[=]๐, ๐[โช]๐, ๐[โช {๐} (1.5.1)
discende:
๐(]๐, ๐[) โ ๐(]๐, ๐[) โ ๐(]๐, ๐[) = ๐({๐}) = 0 (1.5.2)
Dalle precedenti discende che un intervallo chiuso e limitato ha misura
uguale al suo corrispondente aperto.
Inoltre si puรฒ verificare facilmente che:
- la misura di un insieme finito o numerabile di punti รจ nulla;1
- un insieme aperto รจ misurabile, in quanto costituito da unโunione al
piรน numerabile di intervalli aperti a due a due disgiunti; la sua misura
puรฒ ovviamente non essere finita;
- un insieme chiuso รจ misurabile, in quanto tale รจ il suo complementa-
re che รจ un aperto.
La misura di Lebesgue su โ๐ต 1.6 -
La misura di Lebesgue appena introdotta per la classe di Borel
puรฒ essere facilmente estesa allโanaloga classe di sottoinsiemi di โ๐. In-
dicando con ๐ = (๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐) il generico punto di โ๐ e intendendo
come misura di un generico intervallo aperto e limitato:
I๐,๐ = {๐ | ๐1 < ๐ฅ1 < ๐1, ๐2 < ๐ฅ2 < ๐2, โฆ , ๐๐ < ๐ฅ๐ < ๐๐} (1.6.1)
la quantitร :
๐(I๐,๐) =โ(๐๐ โ ๐๐)
๐
๐=1
(1.6.2)
convenendo che se almeno uno dei fattori della produttoria (1.6.2) รจ
nullo, indipendentemente dal fatto che un qualsiasi altro fattore di essa
possa risultare infinito, si deve assumere ๐(I๐,๐) = 0.
1 ร opportuno osservare che รจ anche possibile costruire insiemi di misura nulla che hanno la po-
tenza del continuo.
CAPITOLO - 1 - Richiami di Matematica - 13
Funzioni integrabili alla Lebesgue e relative proprie-1.7 - tร .
Allo scopo di estendere la classe delle funzioni integrabili alla Le-
besgue รจ utile fornire la seguente definizione:
Definizione 1.1 (funzioni misurabili)
Una funzione definita su un insieme ๐ด โ โ๐ a valori in โ si dice misurabi-
le se per ogni ๐ฆ โ โ, detto I๐ฆ =] โ โ, ๐ฆ], il sottoinsieme ๐โ1(I๐ฆ) di ๐ด, eventual-
mente vuoto, รจ misurabile essendo la sua misura non necessariamente finita.
************
Prendendo momentaneamente in esame soltanto funzioni misu-
rabili non negative, appare evidente che, se una tale funzione รจ misurabi-
le in un certo insieme A โ โ๐, allora per essa si possono scrivere le
somme inferiori e superiori di Lebesgue definite dalla (1.2.6), essendo
misurabili gli insiemi, ๐โ1(]๐ฆ๐ , ๐ฆ๐+1]), che compaiono in dette somme.
Lโintegrale alla Lebesgue di una funzione misurabile non negativa
๐:A โ โ๐ โ โ esteso a un generico sottoinsieme misurabile di A รจ, se
esiste finito, lโelemento di separazione delle classi {๐ ๐ฟ}, {๐๐ฟ}.
Nel caso in cui la funzione ๐:A โ โ๐ โ โ assuma anche valori
negativi, detto A1 il sottoinsieme di A in cui la funzione รฉ non negativa e
A2 il suo complementare rispetto ad A, lโintegrale alla Lebesgue della
funzione รจ definito come segue:
โซ๐(๐)
A
๐๐ = โซ๐(๐)
A1
๐๐ โ โซ|๐(๐)|
A2
๐๐ (1.7.1)
Si noti che nella (1.7.1), la variabile indipendente รจ eventualmente intesa
come multidimensionale.
La necessitร della definizione (1.7.1) รจ legata al fatto che in gene-
rale, non รจ detto nรฉ che la funzione ๐(โ ) si mantenga limitata in A, nรฉ
che la misura di A sia finita. In sostanza, quindi, non รจ detto che
lโintegrale sia proprio nel senso di Riemann, ovviamente, affinchรฉ la
funzione sia integrabile con integrale finito, entrambi gli addendi a se-
condo membro della (1.7.1) devono essere finiti.
A chiarimento della (1.7.1) si consideri il seguente esempio.
14 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
Esempio 1.1
Sia data la funzione:
๐(๐ฅ) = {
0; ๐ฅ < 0
(โ1)โ๐ฅโ
โ๐ฅโ + 1; โ๐ฅ โฅ 0
rappresentata in Fig.E 1.1. (โ๐ฅโ indica il piรน
grande intero โค ๐ฅ). Essa si puรฒ pensare come
somma di una infinitร numerabile di funzioni
del tipo:
๐๐(๐ฅ) = {(โ1)๐
๐ + 1; ๐ โค ๐ฅ < ๐ + 1
0 ; altrove
ciascuna delle quali รจ integrabile con integrale ๐ผ๐ =(โ1)๐
๐+1. Lโintegrale della
funzione sul suo dominio รจ, se esiste, in virtรน della linearitร
dellโintegrazione, dato dalla somma degli integrali ๐ผ๐.
In sostanza quindi si รจ indotti a scrivere:
๐ผ = โซ ๐(๐ฅ)โ
โโ
๐๐ฅ = โ ๐ผ๐
โ
๐=0
a patto che la sommatoria che compare nella precedente conduca allo stesso
risultato indipendentemente dallโordine seguito per calcolarla.
Si osservi che:
โ๐ผ๐
โ
๐=0
= โ(โ1)๐
๐ + 1
โ
๐=0
intesa come serie, converge a log2. Tuttavia รจ altrettanto legittimo procedere
al calcolo della stessa somma come segue:
โ๐ผ๐
โ
๐=0
= โ(๐ผ2๐+1 + ๐ผ4๐ + ๐ผ2๐+2)
โ
๐=0
in quanto al variare dellโindice ๐, vengono comunque considerati tutti gli
addendi che compaiono nel calcolo di ๐ผ.
Esplicitando il generico addendo di tale somma, si ottiene:
๐ผ2๐+1 + ๐ผ4๐ + ๐ผ2๐+2 =1
4๐+3+
1
4๐+1โ
1
2๐+2>
1
4๐+4+
1
4๐+4โ
1
2๐+2= 0
pertanto la โ (๐ผ2๐+1 + ๐ผ4๐ + ๐ผ4๐+2)โ
๐=0, intesa come serie, รจ a termini positivi.
Essa รจ anche convergente, come si deduce facilmente osservando che la suc-
cessione cui essa รจ associata tende a 0 come 1๐2โ . La sua somma รจ quindi
Fig.E 1.1
CAPITOLO - 1 - Richiami di Matematica - 15
superiore a una qualunque sua ridotta ed in particolare anche a quella di or-
dine 0 che vale 5
6> log2.
Si conclude pertanto che lโintegrale alla Lebesgue della funzione consi-
derata non esiste.
Dโaltro canto ci si rende facilmente conto che la funzione in questione
non soddisfa la condizione (1.7.1). Il problema non si sarebbe posto se la se-
rie โ ๐ผ๐โ๐=0 fosse stata assolutamente convergente. Condizione questa che,
come รจ noto, occorre e basta per assicurare la convergenza alla stesso limite
della serie indipendentemente dallโordine seguito per sommarla.
La condizione di assoluta convergenza equivale a quella che entrambe le
serie dei termini positivi e negativi, estratte dalla serie originaria, siano con-
vergenti.
ร altrettanto interessante osservare che lโintegrale della stessa funzione
alla Riemann esiste e vale log2, in quanto lโintegrale improprio alla Rie-
mann, come รจ noto, รจ definito come segue:
โซ ๐(๐ฅ)โ
0
๐๐ฅ = lim๐โโ
โซ ๐(๐ฅ)๐
0
๐๐ฅ
e quindi lโordine da seguire nel calcolo della somma di cui sopra รจ chiara-
mente definito.
Un altro esempio di funzione integrabile secondo Riemann, ma non inte-
grabile secondo Lebesgue รจ la funzione sin ๐ฅ
๐ฅ che ricorrerร molto spesso in
questo testo.
In generale si puรฒ affermare che ogni funzione integrabile secon-
do Riemann, in senso proprio, รจ certamente integrabile secondo Le-
besgue, e che seguendo le due procedure si perviene al medesimo risul-
tato, come pure si perviene allo stesso risultato in tutti i casi in cui si ha
a che fare con funzioni che siano assolutamente integrabili secondo
Riemann anche non in senso proprio.
A titolo di esempio si consideri la funzione di Dirichlet:
โ(๐ฅ) = {0; โโโโโ๐ฅ โ โ โฉ [0,1];
1; โ๐ฅ โ (โ โ โ) โฉ [0,1]; (1.7.2)
questa funzione non รจ integrabile alla Riemann. Essa risulta invece inte-
grabile alla Lebesgue e lโintegrale esteso al suo dominio vale 1, come si
verifica facilmente visto che lโinsieme โ dei numeri razionali, in quanto
numerabile, ha misura nulla, e quindi anche i suoi sottoinsiemi hanno
misura nulla.
16 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
Una funzione a valori complessi si dirร integrabile alla Lebesgue
se tali risultano la sua parte reale e la sua parte immaginaria.
Due funzioni misurabili, definite sullo stesso insieme misurabile
E, si dicono uguali quasi ovunque (q.o.), se il sottoinsieme di E in cui es-
se assumono valori diversi ha misura nulla.
Due funzioni definite su uno stesso insieme che risultino quasi
ovunque uguali hanno lo stesso integrale alla Lebesgue.
Una funzione si dice sommabile su un insieme E, o anche che ap-
partiene a ๐(E) se risulta:
โซ|๐(๐ฅ)|๐๐ฅE
< โ (1.7.3)
Si puรฒ mostrare che la sommabilitร su un insieme รจ condizione
necessaria e sufficiente affinchรฉ sullo stesso insieme la funzione sia inte-
grabile con integrale finito.
Se la funzione ๐(๐ฅ) รจ sommabile su E, e se su E q.o. |๐(๐ฅ)| โค
|๐(๐ฅ)| anche ๐(๐ฅ) รจ sommabile su E.
Per una funzione integrabile reale o complessa vale la disugua-
glianza:
|โซ๐(๐ฅ)๐๐ฅ๐ธ
| โค โซ|๐(๐ฅ)|๐๐ฅE
(1.7.4)
Funzioni a quadrato sommabile 1.8 -
In generale si dice che una funzione ๐(๐ฅ) โ ๐๐(E) con ๐ โ โ se
risulta:
โซ|๐(๐ฅ)|๐๐๐ฅE
< โ (1.8.1)
Se la precedente vale per ๐ = 2, si dice che la funzione รจ a quadra-
to sommabile su E.
Siano ๐1(๐ฅ), ๐2(๐ฅ) due funzioni generalmente complesse apparte-
nenti a ๐2(E). In ogni punto di detto insieme risulta |๐1(๐ฅ) โ ๐2(๐ฅ)|2 โฅ
0 che implica ๐1(๐ฅ)๐2โ(๐ฅ) + ๐2(๐ฅ)๐1
โ(๐ฅ) โค |๐1(๐ฅ)|2 + |๐2(๐ฅ)|
2. Si ha quin-
di:
CAPITOLO - 1 - Richiami di Matematica - 17
|๐1(๐ฅ) + ๐2(๐ฅ)|2
= |๐1(๐ฅ)|2 + |๐2(๐ฅ)|
2 + ๐1(๐ฅ)๐2โ(๐ฅ) + ๐2(๐ฅ)๐1
โ(๐ฅ)
โค 2(|๐1(๐ฅ)|2 + |๐2(๐ฅ)|
2)
(1.8.2)
Lโultimo membro della (1.8.2) รจ sommabile su E, tale deve quindi essere
anche il primo membro. Integrando termine a termine si ottiene:
โซ|๐1(๐ฅ) + ๐2(๐ฅ)|2๐๐ฅ
E
โค 2โซ(|๐1(๐ฅ)|2 + |๐2(๐ฅ)|
2)๐๐ฅ < โE
(1.8.3)
Questโultimo risultato consente di affermare che la somma di due fun-
zioni a quadrato sommabile รจ ancora una funzione a quadrato sommabi-
le.
Piรน in generale la combinazione lineare di funzioni a quadrato
sommabile รจ ancora una funzione a quadrato sommabile.
Se ๐(โ ), ๐(โ ) sono due funzioni a quadrato sommabile su uno
stesso insieme, la funzione prodotto รจ sommabile e vale la disuguaglianza
di Schwarz.
โซ|๐(๐ฅ)๐(๐ฅ)|E
๐๐ฅ โค (โซ|๐(๐ฅ)|2๐๐ฅ๐ธ
)
1
2
(โซ|๐(๐ฅ)|2๐๐ฅ๐ธ
)
1
2
(1.8.4)
La precedente รจ banalmente verificata se almeno una delle due funzioni
รจ quasi ovunque nulla.
Premesso che, se ๐, ๐ sono due reali non negativi, da (๐ โ ๐)2 โฅ
0 segue ๐๐ โค๐2
2+
๐2
2. Se nessuna delle due funzioni รจ nulla q.o., si puรฒ
porre:
๐ =|๐(๐ฅ)|
(โซ |๐(๐ฅ)|2๐๐ฅ๐ธ
)1
2
, ๐ =|๐(๐ฅ)|
(โซ |๐(๐ฅ)|2๐๐ฅ๐ธ
)1
2
(1.8.5)
quindi vale la disuguaglianza:
|๐(๐ฅ)๐(๐ฅ)|
(โซ |๐(๐ฅ)|2๐๐ฅ๐ธ
)1
2(โซ |๐(๐ฅ)|2๐๐ฅ๐ธ
)1
2
โค|๐(๐ฅ)|2
2โซ |๐(๐ฅ)|2๐๐ฅE
+|๐(๐ฅ)|2
2โซ |๐(๐ฅ)|2๐๐ฅE
(1.8.6)
che integrata membro a membro su E conduce alla (1.8.4).
18 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
Nel caso in cui quasi ovunque risulti ๐(๐ฅ) = ๐๐(๐ฅ), (๐ โ โ) si ve-
rifica facilmente che la (1.8.4) vale come uguaglianza.
Per le funzioni sommabili vale inoltre il seguente teorema
II Teorema di Lebesgue2:
Sia {๐๐(๐ฅ)}๐=1โ una successione di funzioni sommabili su di un insieme mi-
surabile ๐ธ che converge q.o. ad una funzione ๐(๐ฅ).
Se esiste una ๐(๐ฅ) sommabile su ๐ธ, tale che โ๐ risulti |๐๐(๐ฅ)| โค ๐(๐ฅ),
allora:
- ๐(๐ฅ) รจ sommabile su ๐ธ;
- si ha:
lim๐โโ
โซ๐๐(๐ฅ)๐๐ฅE
=โซ lim๐โโ
๐๐(๐ฅ)๐๐ฅE
= โซ๐(๐ฅ)E
๐๐ฅ (1.8.7)
***********
Il teorema appena enunciato รจ di particolare importanza perchรฉ
fornisce delle condizioni sotto le quali รจ certamente consentito invertire
il passaggio al limite con l'integrazione.
Spazi metrici. 1.9 -
Si dice che su un generico insieme A si รจ indotta una metrica, se
su di esso si รจ definita unโapplicazione che a ogni elemento (๐ฅ, ๐ฆ) di
A ร A associa un numero reale non negativo, indicato con ๐(๐ฅ, ๐ฆ), che
soddisfa le proprietร :
{
๐) ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐(๐ฆ, ๐ฅ)โ;
๐) ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = 0โโ โ โ๐ฅ = ๐ฆ;
๐) ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โค ๐(๐ฅ, ๐ง) + ๐(๐ฆ, ๐ง); โโ
โ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง โ A (1.9.1)
Si osservi che il concetto di metrica, in sostanza, costituisce una
generalizzazione di quello geometrico di distanza tra punti di uno spazio
euclideo. La (1.9.1)c รจ detta disuguaglianza triangolare per la sua ovvia
interpretazione geometrica.
Se all'insieme A si associa una metrica, sโindividua uno spazio me-
trico. Si osservi che metriche diverse definite su uno stesso insieme in-
dividuano spazi metrici diversi.
2 Per la dimostrazione vedi F.G. Tricomi: Istituzioni di analisi superiore, pag. 94 e sgg, Edizio
ni CEDAM Padova 1964.
CAPITOLO - 1 - Richiami di Matematica - 19
ร importante osservare che l'avere associato a un insieme una
metrica comporta la possibilitร di generalizzare concetti quale quello di
limite e di continuitร .
Ad esempio se si considera una successione ๐ฅ๐ di elementi di un
insieme X dotato di metrica, si dice che detta successione converge, ri-
spetto alla metrica ๐, a un elemento ๐ฅ โ X se, comunque scelto un reale
positivo ํ, esiste in corrispondenza ad esso un indice ๐ dal quale in poi
si ha:
๐(๐ฅ๐ , ๐ฅ) < ํ; (1.9.2)
ร noto che, per le successioni di numeri reali, una condizione ne-
cessaria e sufficiente alla convergenza รจ data dal teorema di Cauchy.
Detto teorema non รจ in generale esportabile al caso di uno spazio
metrico. Non รจ, infatti, detto che una successione di Cauchy di elementi
dello spazio metrico sia convergente, non fosse altro in quanto a priori
non รจ detto che il limite della successione appartenga allo spazio in cui la
successione รจ stata definita.
Esempio 1.2
Si consideri l'insieme delle funzioni appar-
tenenti a ๐(โ) a cui si associa la metrica
๐(๐1 , ๐2) = โซ |๐1(๐ฅ) โ ๐2(๐ฅ)|๐๐ฅโ
โโ
In detto insieme si consideri il sottoinsieme
A delle funzioni continue. In [โ1,1] si consi-
deri la successione il cui generico elemento (vedi Fig.E 1.2) vale:
๐๐(๐ฅ) =
{
1; |๐ฅ| < 1 โ
1
๐
๐(1 โ |๐ฅ|); 1 โ1
๐โค |๐ฅ| โค 1
0; |๐ฅ| > 1
;
Detta successione รจ di Cauchy. Infatti โํ > 0, ๐ > ๐ > โ1โ risulta:
๐(๐๐, ๐๐) = โซ |๐๐(๐ฅ) โ ๐๐(๐ฅ)|๐๐ฅโ
โโ
= โซ ๐๐(๐ฅ)๐๐ฅโ
โโ
โโซ ๐๐(๐ฅ)๐๐ฅโ
โโ
=1
๐โ1
๐< ํ
Tale successione non รจ tuttavia convergente in A. Infatti essa in ๐(โ) con-
verge alla funzione โ(๐ฅ
2) dove:
Fig.E 1.2
20 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
โ (๐ฅ) = {1; |๐ฅ| โค
1
2
0; |๐ฅ| >1
2
;
Infatti per โํ > 0, ๐ > โ1โ implica:
๐ (๐๐(๐ฅ),โ (๐ฅ
2)) = โซ โ (
๐ฅ
2) ๐๐ฅ
โ
โโ
โโซ ๐๐(๐ฅ)๐๐ฅโ
โโ
=1
๐< ํ
La funzione โ(๐ฅ
2) non รจ continua quindi non appartiene all'insieme A
che quindi non รจ completo rispetto alla metrica considerata.
Spazi vettoriali. 1.10 -
Sia dato un insieme X, i cui elementi vengono denominati vettori.
Si dice che X ha la struttura di spazio vettoriale se:
รจ un gruppo commutativo rispetto a una legge di composizione interna,
che verrร indicata con il simbolo +;
esiste un campo ๐ฝ, i cui elementi sono detti scalari, e una legge di com-
posizione detta prodotto per scalari che soddisfa le proprietร :
{
๐) โ๐ โ ๐ฝโโ, ๐ โ X โ ๐๐ โ X;
๐) โ๐1 โโ,โโ๐2 โ ๐ฝโโ, ๐ โ X โ ๐1(๐2๐) = (๐1๐2)๐;
๐) โ๐1 โโ,โโ๐2 โ ๐ฝโโ, ๐ โ X โ (๐1 + ๐2)โ๐ = ๐1๐ + ๐2๐;
๐) โ๐1 โโ,โโ๐2 โ Xโโ, ๐ โ ๐ฝ โ ๐โโ(๐1 + ๐2) = ๐๐1 + ๐๐2;
๐)โ โ๐ โ X โ 1 ๐ = ๐โโโโโ; โโ0 ๐ = ๐จ;
(1.10.1)
Dove ๐จ, detto vettore nullo o origine, indica l'elemento neutro rispetto
alla legge di composizione interna definita su X; 1 e 0 indicano rispetti-
vamente l'elemento neutro rispetto al prodotto e rispetto alla somma nel
campo ๐ฝ.
Si ricorda che un insieme X ha la struttura di gruppo commutati-
vo rispetto a una data legge di composizione interna se, comunque scelti
due suoi elementi, si ha:
{
๐) ๐1 + ๐2 = ๐2 + ๐1 โ X;
๐) ๐1 + (๐2 + ๐3) = (๐1 + ๐2) + ๐3;
๐) โโโโ๐ โ X | โ๐ โ X โ ๐ + ๐จ = ๐;
๐) โ ๐ โโโโ(โ๐)|๐ + (โ๐) = ๐จ;
(1.10.2)
In quel che segue il campo ๐ฝ si identificherร , salvo avviso contra-
rio, con il campo โ dei numeri complessi.
CAPITOLO - 1 - Richiami di Matematica - 21
Spazi normati. 1.11 -
Sia dato uno spazio vettoriale X si dice che esso รจ normato, se si รจ
individuata una applicazione, denotata con โ๐โ, definita su X a valori
nell'insieme โ+ dei reali non negativi che โโ๐,โ๐ โ X soddisfa le proprie-
tร :
{
๐) โ๐โ โฅ 0, โ๐โ = 0 โ ๐ = ๐จ;
๐) โ๐๐โ = |๐|โ๐โ;
๐) โ๐ + ๐โ โค โ๐โ + โ๐โ; (1.11.1)
Si osservi che uno spazio normato รจ implicitamente anche uno
spazio metrico in quanto si puรฒ assumere come distanza tra due elemen-
ti di esso la norma dell'elemento differenza cioรจ:
๐(๐, ๐) = โ๐ โ ๐โ; (1.11.2)
Uno spazio normato si dice completo, o anche spazio di Banach,
se comunque scelta una successione di Cauchy di suoi elementi, essa
converge a un elemento dello spazio, o, che รจ lo stesso, se in detto spa-
zio la condizione di Cauchy รจ necessaria e sufficiente alla convergenza di
una successione di suoi elementi.
Forme bilineari, quadratiche, hermitiane. 1.12 -
Una polinomio a valori complessi nelle 2๐ variabili generalmente
complesse ๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐ , ๐ฆ1, ๐ฆ2, โฆ , ๐ฆ๐ del tipo:
๐(๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐ , ๐ฆ1 , ๐ฆ2, โฆ , ๐ฆ๐) =โโ๐๐๐๐ฅ๐๐ฆ๐
๐
๐=1
๐
๐=1
(1.12.1)
viene chiamata forma bilineare.
Introducendo i vettori:
๐ = [
๐ฅ1โฎ๐ฅ๐] ; ๐ = [
๐ฆ1โฎ๐ฆ๐] (1.12.2)
e la matrice a coefficienti generalmente complessi
๐ด = [
๐11 ๐12 โฆ ๐1๐๐21 ๐22 โฆ ๐2๐โฆ โฆ โฆ โฆ๐๐1 ๐๐2 โฆ ๐๐๐
] (1.12.3)
la (1.12.1) si puรฒ riscrivere nella seguente forma matriciale:
22 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
๐(๐, ๐) = ๐๐๐ด๐ (1.12.4)
Per forma quadratica nelle ๐ variabili complesse ๐ฅ1, ๐ฅ2โฆ๐ฅ๐ si in-
tende un polinomio omogeneo del tipo:
๐(๐) = ๐๐๐ด๐ =โโ๐๐๐๐ฅ๐๐ฅ๐
๐
๐=1
๐
๐=1
=โโ1
2(๐๐๐ + ๐๐๐)๐ฅ๐๐ฅ๐
๐
๐=1
๐
๐=1
(1.12.5)
Dall'ultimo membro della precedente si evince che ad una forma
quadratica si puรฒ sempre associare una e una sola matrice simmetrica. Se
detta matrice รจ reale e se ๐ โ โ๐ la ๐(๐) รจ una forma quadratica reale.
Data una matrice ๐ด hermitiana, cioรจ tale che risulti:
๐๐๐ = ๐๐๐โ ๐, ๐ = 1,2, โฆ , ๐ (1.12.6)
e definito ๐ secondo la (1.12.2) il polinomio:
๐(๐) =โโ๐๐๐๐ฅ๐โ๐ฅ๐
๐
๐=1
๐
๐=1
(1.12.7)
nelle ๐ variabili complesse ๐ฅ1, ๐ฅ2โฆ๐ฅ๐ รจ una forma hermitiana.
Indicato con ๐โ il trasposto coniugato del vettore ๐, la ๐(๐) si
puรฒ porre nella forma matriciale: ๐(๐) = ๐โ A๐.
Per una forma hermitiana ๐(๐) si ha:
๐โ(๐) = โโ๐๐๐โ ๐ฅ๐๐ฅ๐
โ
๐
๐=1
๐
๐=1
=โโ๐๐๐๐ฅ๐๐ฅ๐โ
๐
๐=1
๐
๐=1
= ๐(๐) (1.12.8)
essa assume quindi valori reali per ogni ๐ appartenente a โ๐.
ponendo:
๐ด = ๐ด๐ + ๐๐ด๐ผ (1.12.9)
con ๐ด๐ e ๐ด๐ผ matrici reali e analogamente:
๐ฅ๐ = ๐ข๐ + ๐๐ฃ๐ ,โโโ๐ = 1,2โฆ๐ (1.12.10)
la forma hermitiana ๐(๐ฅ) diventa:
๐(๐) = (๐๐ โ ๐๐๐)(๐ด๐ + ๐๐ด๐ผ)(๐ + ๐๐)
= (๐๐๐ด๐ ๐ โ ๐๐๐ด๐ผ๐ + ๐ฃ
๐๐ด๐ ๐ + ๐๐๐ด๐ผ๐) +
๐(๐๐๐ด๐ ๐ + ๐๐๐ด๐ผ๐ โ ๐
๐๐ด๐ ๐ + ๐๐๐ด๐ผ๐)
(1.12.11)
CAPITOLO - 1 - Richiami di Matematica - 23
Poichรฉ, tenendo conto della (1.12.8), e valendo la condizione
(1.12.6) sussistono le uguaglianze:
๐ด๐ ๐ = ๐ด๐ ; ๐ด๐ผ
๐ = โ๐ด๐ผ (1.12.12)
da cui discendono le ulteriori identitร :
{
โ๐๐๐ด๐ผ๐ + ๐
๐๐ด๐ผ๐ = โ(๐๐๐ด๐ผ๐๐)๐ + ๐๐๐ด๐ผ๐
= (๐๐๐ด๐ผ๐)๐ + ๐๐๐ด๐ผ๐ = ๐
๐๐ด๐ผ๐๐ + ๐๐๐ด๐ผ๐ = 2๐๐๐ด๐ผ๐;
๐๐๐ด๐ ๐ โ ๐๐๐ด๐ ๐ = (๐
๐๐ด๐ ๐๐)๐ โ ๐๐๐ด๐ ๐
= (๐๐๐ด๐ ๐)๐ โ ๐๐๐ด๐ ๐ = ๐
๐๐ด๐ ๐ โ ๐๐๐ด๐ ๐ = 0;
๐๐๐ด๐ผ๐ = (๐๐๐ด๐ผ๐๐)๐ = โ๐๐๐ด๐ผ๐ โ ๐๐๐ด๐ผ๐ = 0;
(1.12.13)
la ๐(๐) si puรฒ anche riscrivere:
๐(๐) = ๐๐๐ด๐ ๐ + ๐๐๐ด๐ ๐ + 2๐ฃ
๐๐ด๐ผ๐
= [๐๐ โ๐๐] [๐ด๐ ๐ด๐ผ
๐
๐ด๐ผ ๐ด๐ ] [๐๐]
(1.12.14)
Una forma hermitiana puรฒ quindi essere rappresentata anche da
una forma quadratica nelle 2๐ variabili reali ๐ข1, ๐ข2โฆ๐ข๐; ๐ฃ1, ๐ฃ2โฆ๐ฃ๐.
Riduzione di una forma hermitiana a forma canonica. 1.13 -
Si consideri una forma hermitiana ๐(๐) nelle ๐ variabili ๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐.
Data una matrice ๐ di ordine ๐ non singolare, esiste una unica ๐-
upla ๐ง1, ๐ง2, โฆ , ๐ง๐ che soddisfa il sistema:
๐๐ = ๐ (1.13.1)
La forma ๐(๐) riferita a ๐ si muta nella:
๐(๐๐) = (๐๐)โ ๐ด(๐๐) = ๐โ ๐โ ๐ด๐๐ = ๐โ ๐ดโฒ๐ = ๐โฒ(๐) (1.13.2)
in cui si รจ posto:
๐ดโฒ = ๐โ ๐ด๐ (1.13.3)
๐โฒ(๐)รจ una forma hermitiana in ๐ poichรฉ risulta:
๐ดโฒโ = (๐โ ๐ด๐)โ = ๐โ ๐ดโ ๐ = ๐โ ๐ด๐ = ๐ดโฒ (1.13.4)
๐ดโฒ รจ hermitiana.
Per autovettore associato ad una matrice quadrata di ordine ๐ si
intende una soluzione non banale del sistema di equazioni dipendente
dal parametro ๐:
24 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
(๐ด โ ๐๐ผ)๐ = 0 (1.13.5)
Poichรฉ il sistema รจ omogeneo, esso ammette soluzioni non banali solo
se รจ nullo il determinante della matrice dei coefficienti. L'imposizione di
tale condizione conduce a una equazione polinomiale di grado ๐ nell'in-
cognita ๐. Detta equazione ammette al piรน ๐ soluzioni distinte, dette au-
tovalori della matrice.
Ogni vettore non banale ๐๐ che soddisfa l'equazione:
๐ด๐๐ = ๐๐๐๐ (1.13.6)
cioรจ alla (1.13.5) scritta per l'autovalore ๐๐, รจ chiamato autovettore asso-
ciato all'autovalore considerato.
Ci si convince facilmente del fatto che se ๐๐ รฉ un autovettore di
๐ด, tale รจ anche un qualunque vettore ๐๐ = ๐ผ๐๐ dove ๐ผ รจ un complesso
qualsiasi. In particolare ponendo ๐ผ = (โ๐๐โ ๐๐)
โ1
si ottiene un autovet-
tore ๐๐ che soddisfa la condizione di normalizzazione
๐๐โ ๐๐ = 1 (1.13.7)
e viene quindi chiamato autoversore della matrice.
Si osservi che gli autovalori di una matrice hermitiana ๐ด sono rea-
li. Infatti premoltimplicando ambo i membri della (1.13.6) per ๐๐โ si ha:
๐๐โ ๐ด๐๐ = ๐๐
โ ๐๐๐๐ = ๐๐๐๐โ ๐๐ . (1.13.8)
Ricordando che in virtรน della (1.12.8) una forma hermitiana assume solo
valori reali e poichรฉ ๐๐โ ๐๐ รจ, come si verifica facilmente, reale, ๐๐ deve es-
sere necessariamente reale.
Si puรฒ anche mostrare che autovettori ๐๐, ๐๐, associati a una ma-
trice hermitiana ๐ด, relativi a due autovalori distinti ๐๐, ๐๐, sono mutua-
mente ortogonali, cioรจ soddisfano lโuguaglianza:
๐๐โ ๐๐ = 0 (1.13.9)
Infatti, in virtรน della (1.13.6) e della appartenenza ad โ degli au-
tovalori, si puรฒ scrivere:
๐๐๐๐
โ ๐๐ = ๐๐โ ๐๐๐๐ = ๐๐
โ ๐ด๐๐ = (๐๐โ ๐ดโ ๐๐)
โ =
= (๐๐โ ๐ด๐๐)
โ = (๐๐โ ๐๐๐๐)
โ = ๐๐โ๐๐
โ ๐๐ = ๐๐๐๐โ ๐๐
(1.13.10)
CAPITOLO - 1 - Richiami di Matematica - 25
Essendo per ipotesi ๐๐ โ ๐๐ dalla precedente discende la (1.13.9).
In quel che segue si ipotizza per semplicitร che tutti gli autovalori
della matrice hermitiana ๐ด abbiano molteplicitร 1, o che รจ lo stesso, che
il suo polinomio caratteristico ammette ๐ radici distinte.
Si vuole provare che, mediante una trasformazione del tipo
(1.13.3), รจ possibile individuare un riferimento rispetto al quale la forma
hermitiana si presenta in forma diagonale3.
A tal fine si consideri la matrice ๐ degli autovettori normalizzati
di ๐ด:
๐ = [๐1 ๐2 โฏ ๐๐] (1.13.11)
Risulta:
๐โ ๐ = [๐1โ
โฎ
๐๐โ ] [๐1 โฏ ๐๐] = ๐ผ (1.13.12)
da cui immediatamente si evince che ๐โ = ๐โ1 e che ๐ ha determinante
unitario.
Sostituendo la matrice ๐ appena introdotta nella (1.13.3) si ottie-
ne:
๐ดโฒ =
[ ๐1
โ
๐2โ
โฎ
๐๐โ ]
๐ด[๐1, ๐2, โฆ , ๐๐]
=
[ ๐1
โ ๐ด๐1 ๐1โ ๐ด๐2 โฆ ๐1
โ ๐ด๐๐
๐2โ ๐ด๐1 ๐2
โ ๐ด๐2 โฆ ๐2โ ๐ด๐๐
โฆ โฆ โฆ โฆ
๐๐โ ๐ด๐1 ๐๐
โ ๐ด๐2 โฆ ๐๐โ ๐ด๐๐]
(1.13.13)
che, ricordando le (1.13.6), (1.13.7) e la (1.13.9) diventa:
๐ดโฒ =
[ ๐1๐1
โ ๐1 0 โฆ 0
0 ๐2๐2โ ๐2 โฆ 0
โฆ โฆ โฆ โฆ
0 0 โฆ ๐๐๐๐โ ๐๐]
= diag(๐1, ๐2, โฆ , ๐๐)
(1.13.14)
3 Si noti che la diagonalizzazione di una forma hermitiana รจ possibile anche nel caso in cui gli
autovalori non abbiano tutti molteplicitร 1
26 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
Per effetto di tale trasformazione quindi la forma hermitiana si ri-
scrive:
๐โฒ(๐) =โ๐๐๐ง๐๐ง๐โ
๐
๐=1
(1.13.15)
Si osservi che, il determinante di ๐ด รจ uguale al determinante di ๐ดโฒ,
che a sua volta รจ dato da โ ๐๐๐๐=1 . Se ne conclude che una matrice hermi-
tiana ha determinante reale.
Forme hermitiane semidefinite positive. 1.14 -
Una forma hermitiana si dice semidefinita positiva se per ogni ๐ risulta:
๐(๐) โฅ 0 (1.14.1)
Se risulta ๐(๐) = 0 solo per ๐ = ๐จ la forma si dice definita positi-
va.
Se una forma hermitiana รจ semidefinita positiva ovviamente tale รจ
anche la sua forma equivalente ๐โฒ(๐). In particolare ciรฒ comporta:
๐1 โฅ 0,โโ๐2 โฅ 0,โโฆ , ๐๐ โฅ 0 (1.14.2)
quindi deve anche essere:
det(๐ด) โฅ 0 (1.14.3)
Ci si convince facilmente che attribuendo valore zero a ๐ โ ๐ va-
riabili di una forma hermitiana semidefinita positiva si ottiene ancora
una forma hermitiana semidefinita positiva nelle ๐ variabili non nulle.
Assumendo, senza per questo ledere la generalitร , che le variabili non
necessariamente nulle siano le prime ๐, si deduce che la condizione di
semidefinitezza positiva comporta anche:
๐11 โฅ 0; โโโ |๐11 ๐12๐21 ๐22
| โฅ 0; โโโโโโ |
๐11 ๐12 โฆ ๐1๐๐21 ๐22 โฆ ๐2๐โฆ โฆ โฆ โฆ๐๐1 ๐๐2 โฆ ๐๐๐
| โฅ 0; (1.14.4)
Cioรจ i determinanti dei minori principali della matrice di una forma
hermitiana semidefinita positiva non possono essere negativi.
Si puรฒ dimostrare che tale condizione รจ anche sufficiente affinchรฉ
la forma sia semidefinita positiva.
Esempio 1.3
La forma
CAPITOLO - 1 - Richiami di Matematica - 27
๐(๐) = (4๐ + 5)๐ฅ1๐ฅ1โ + ๐ฅ1
โ๐ฅ2 + ๐ฅ1๐ฅ2โ + (๐ + 2)๐ฅ2๐ฅ2
โ
รจ una forma hermitiana nelle variabili ๐ = [๐ฅ1 ๐ฅ2]๐ dipendente dal para-
metro ๐, in quanto la matrice ad essa associata, essendo reale รจ simmetrica
soddisfa la (1.12.6).
Per studiarne la natura, occorre prendere in considerazione la matrice ad
essa associata
๐ด = [4๐ + 5 11 ๐ + 2
]
il cui determinate vale:
๐๐๐ก(๐ด) = (4๐ + 5)(๐ + 2) โ 1 = 4๐2 + 13๐ + 9
Esso si annulla in corrispondenza dei valori di ๐ dati dalle:
{
๐1 =
โ13 โ โ132 โ 16 โ 9
8=โ13 โ 5
8= โ1
๐2 =โ13 + โ132 โ 16 โ 9
8=โ13 + 5
8= โ
9
4
Poichรฉ risulta:
det(๐ด) โฅ 0 per ๐ โค โ9
4 โ ๐ โฅ โ1
e anche
4๐ + 5 โฅ 0 per ๐ โฅ โ5
4
la forma hermitiana รจ semidefinita positiva solo se:
๐ โฅ โ1
Prodotto scalare. 1.15 -
Lo spazio vettoriale X sul campo โ dei numeri complessi si puรฒ
dotare di prodotto scalare, se รจ possibile definire una applicazione, qui
indicata con la notazione โจ๐, ๐โฉ, di X ร X su โ che soddisfa le seguenti
proprietร :
{
๐) โจ๐, ๐โฉ = โจ๐, ๐โฉโ;
๐) โจ๐, ๐โฉ โฅ 0; โจ๐, ๐โฉ = 0 โ ๐ = ๐;
๐) โจ๐๐, ๐โฉ = ๐โจ๐, ๐โฉ = โจ๐, ๐โ๐โฉ;
๐) โจ(๐ + ๐), ๐โฉ = โจ๐, ๐โฉ + โจ๐, ๐โฉ;
(1.15.1)
Si noti che la proprietร (1.15.1)a, implica che la quantitร a primo
membro della (1.15.1)b deve essere reale. Tale osservazione consente di
dedurre dai primi due l'ultimo membro della (1.15.1)c.
28 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
La proprietร (1.15.1)c si riassume dicendo che il prodotto scalare
รจ lineare a sinistra ed antilineare a destra.
Detti ๐1, ๐2 due elementi di X e ๐1, ๐2 due complessi, si ha:
0 โค โจ๐1๐1 + ๐2๐2, ๐1๐1 + ๐2๐2โฉ
= ๐1โจ๐1, ๐1๐1 + ๐2๐2โฉ + ๐2โจ๐2, ๐1๐1 + ๐2๐2โฉ (1.15.2)
e per la proprietร (1.15.1)a:
0 โค ๐1โจ๐1๐1 + ๐2๐2, ๐1โฉโ + ๐2โจ๐1๐1 + ๐2๐2, ๐2โฉ
โ
= โจ๐1, ๐1โฉโ๐1๐1
โ + โจ๐2, ๐1โฉโ๐1๐2
โ + โจ๐1, ๐2โฉโ๐1
โ๐2
+ โจ๐2, ๐2โฉโ๐2๐2
โ
= โจ๐1, ๐1โฉ๐1๐1โ + โจ๐1, ๐2โฉ๐1๐2
โ + โจ๐1, ๐2โฉ โ ๐1โ๐2
+ โจ๐2, ๐2โฉ๐2๐2โ
(1.15.3)
Ciรฒ significa che la forma hermitiana
โ(๐1, ๐2) = ๐11๐1๐1โ + ๐12๐1๐2
โ + ๐21๐1โ๐2 + ๐22๐2๐2
โ (1.15.4)
dove:
๐11 = โจ๐1, ๐1โฉ ๐12 = โจ๐1, ๐2โฉ๐21 = โจ๐1, ๐2โฉ
โ ๐22 = โจ๐2, ๐2โฉ (1.15.5)
รจ semidefinita positiva. Pertanto deve essere ๐11๐22 โ ๐12๐21 โฅ 0.
Tenendo conto delle (1.15.5), si deduce che vale la disuguaglianza
di Schwarz:
|โจ๐1, ๐2โฉ| โค โจ๐1, ๐1โฉ1
2 โ โจ๐2, ๐2โฉ1
2 (1.15.6)
Che รจ verificata come uguaglianza quando, in accordo con la
proprietร (1.15.1)b, si ha ๐1 = ๐ e/o ๐2 = ๐, ovvero se risulta:
๐1 = ๐๐2 (1.15.7)
dove ๐ โ โ.
Se uno spazio รจ dotato di prodotto scalare esso รจ implicitamente
anche uno spazio normato nel senso che la quantitร โโจ๐, ๐โฉ รจ una possi-
bile norma per X. Essa infatti รจ una quantitร reale e non negativa; inoltre
risulta:
โจ๐๐, ๐๐โฉ = ๐โจ๐, ๐๐โฉ = ๐โจ๐๐, ๐โฉโ = |๐|2โจ๐, ๐โฉ (1.15.8)
e quindi
CAPITOLO - 1 - Richiami di Matematica - 29
โจ๐๐, ๐๐โฉ1
2 = |๐|โจ๐, ๐โฉ1
2 (1.15.9)
il che significa che la proprietร (1.11.1)b della norma รจ verificata.
In base alla proprietร (1.15.1)c si ottiene facilmente:
โจ(๐1 + ๐2), (๐1 + ๐2)โฉ = โจ๐1, ๐1โฉ + 2Re[โจ๐1, ๐2โฉ] + โจ๐2, ๐2โฉ (1.15.10)
dalla quale applicando la disuguaglianza di Schwarz si deduce:
โจ๐1 + ๐2, ๐1 + ๐2โฉ1
2 โค (โจ๐1, ๐1โฉ + 2|โจ๐1, ๐2โฉ| + โจ๐2, ๐2โฉ)1
2
โค (โจ๐1, ๐1โฉ + 2โจ๐1, ๐1โฉ1
2โจ๐2, ๐2โฉ1
2 + โจ๐2, ๐2โฉ)
1
2
= โจ๐1, ๐1โฉ1
2 + โจ๐2, ๐2โฉ1
2
(1.15.11)
che corrisponde alla proprietร (1.11.1)c della norma.
In definitiva se X รจ dotato di prodotto scalare a esso si puรฒ anche
associare la norma cosรฌ definita:
โ๐โ = โจ๐, ๐โฉ1
2 (1.15.12)
Se due vettori ๐1 e ๐2 sono tali che il loro prodotto scalare si an-
nulla si dicono ortogonali. Se essi hanno anche norma unitaria cioรจ se:
โจ๐1, ๐2โฉ = 0โโ โง โโโ๐1โ = โ๐2โโ = 1 (1.15.13)
si dicono ortonormali.
Uno spazio vettoriale dotato di prodotto scalare, รจ anche uno
spazio metrico. Infatti รจ possibile assumere come distanza tra due ele-
menti qualsiasi dello spazio la quantitร :
๐(๐๐, ๐๐) = โ๐๐ โ ๐๐โ = โโจ๐๐ โ ๐๐, ๐๐ โ ๐๐โฉ (1.15.14)
Con ciรฒ non si intende dire che non รจ possibile definire su uno
spazio dotato di prodotto scalare altre metriche o altre norme, ma sem-
plicemente che, se si definisce su uno spazio un prodotto scalare, a esso
naturalmente si associano la metrica e la norma da esso indotte e con es-
so coerenti.
Uno spazio vettoriale dotato di prodotto scalare che sia anche
completo รจ detto spazio di Hilbert.
30 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
Vettori linearmente indipendenti. 1.16 -
Sia dato uno spazio vettoriale X sul campo โ, si considerino ๐
suoi vettori (๐1, ๐2, โฆ , ๐๐) e una ๐-upla di complessi (๐ผ1, ๐ผ2, โฆ , ๐ผ๐) e sia
๐ il vettore di X ottenuto combinando linearmente i vettori anzidetti a
mezzo della ๐-upla di costanti. In simboli:
๐ =โ๐ผ๐๐๐
๐
๐=1
(1.16.1)
se risulta:
๐ =โ๐ผ๐๐๐
๐
๐=1
= ๐ โโ|๐ผ๐|
๐
๐=1
= 0 (1.16.2)
cioรจ se l'unica ๐-upla di scalari (๐ผ1, ๐ผ2, โฆ , ๐ผ๐) che porta nell'origine dello
spazio รจ quella i cui elementi sono tutti nulli, si dice che i vettori
(๐1, ๐2, โฆ , ๐๐) sono linearmente indipendenti.
Si verifica facilmente che il sottoinsieme di X generato da tutte le
possibili combinazioni lineari di ๐ vettori รจ a sua volta uno spazio vetto-
riale, generalmente un sottospazio, non necessariamente proprio, di X.
Se gli ๐ vettori sono linearmente indipendenti, e se lo spazio da
essi generato coincide con X, si dice che gli ๐ vettori sono una base per
X.
ร Inoltre facile convincersi del fatto che se ๐ vettori sono una ba-
se per lo spazio vettoriale X e ad essi si aggiunge un ulteriore vettore gli
๐ + 1 vettori cosรฌ ottenuti sono linearmente dipendenti. Inoltre se ๐ vet-
tori linearmente indipendenti generano X comunque presa un'altra ๐-
upla di vettori linearmente indipendenti di X anche essa generร X. Ciรฒ si-
gnifica che il parametro ๐ รจ caratteristico dello spazio vettoriale conside-
rato e ne individua la dimensione.
ร opportuno osservare che uno spazio vettoriale non deve neces-
sariamente avere dimensione finita; in questo caso si dice che lo spazio
ha dimensione infinita.
Dato uno spazio vettoriale X di dimensione ๐, finita o infinita,
๐ < ๐ vettori linearmente indipendenti di detto spazio generano uno
spazio vettoriale di dimensione ๐ contenuto propriamente in X.
Si osservi che scegliere una base per uno spazio vettoriale X di
dimensione ๐ equivale a definire una corrispondenza biunivoca tra i vet-
CAPITOLO - 1 - Richiami di Matematica - 31
tori dello spazio e tutte le possibili ๐-uple ordinate (๐ผ1, ๐ผ2, โฆ , ๐ผ๐) di
numeri complessi cioรจ tra il generico vettore di X e il generico punto di
โ๐ che รจ a sua volta uno spazio vettoriale. Il generico elemento ๐ผ๐ di tale
๐-upla รจ la componente ๐-esima del vettore rispetto alla base prescelta. Il
vettore ๐ผ๐๐๐ รจ il componente ๐-esimo rispetto alla predetta base.
CAPITOLO - 2
RAPPRESENTAZIONE VETTORIALE DEI SEGNALI
Premessa. 2.1 -
Un segnale a tempo continuo puรฒ essere identificato mediante
una funzione generalmente complessa di ๐ variabili reali definita in
D โ โ๐.
In quel che segue, si considerano prevalentemente segnali dipen-
denti da una sola variabile che generalmente รจ il tempo. Essi sono quindi
rappresentati da funzioni del tipo:
๐ : ๐ก โ T โ โ โ โ (2.1.1)
Il primo passo nell'analisi di un segnale consiste nella sua classifi-
cazione, che si effettua sulla base delle proprietร di cui gode. Ciรฒ equiva-
le a considerare il segnale come appartenente a una data classe o insie-
me. Se S denota un tale insieme e ๐ (๐ก) รจ un suo elemento, si scrive:
๐ (๐ก) โ S (2.1.2)
Esempi di tali insiemi sono:
- l'insieme S๐ dei segnali sinusoidali, definito dalla seguente regola di
appartenenza:
๐ (๐ก) โ S๐ โ ๐ (๐ก) = ๐0Re[๐๐(2๐๐๐ก+๐)]; (๐0 โฅ ,0, ๐, ๐ โ โ) (2.1.3)
- l'insieme S๐ dei segnali periodici che obbedisce alla:
๐ (๐ก) โ S๐ โ โ ๐ > 0 | โ ๐ก โ ๐ (๐ก) = ๐ (๐ก + ๐) (2.1.4)
- l'insieme ๐๐ท dei segnali a durata limitata cosi definiti:
๐ (๐ก) โ S๐ท โ โ๐ก1 โง ๐ก2 โ โ | ๐ (๐ก) = 0 โ ๐ก โ [๐ก1, ๐ก2] (2.1.5)
- L'insieme ๐๐ต dei segnali a banda limitata cioรจ quelli per cui si ha:
๐ (๐ก) โ S๐ต โ โ ๐1 โง ๐2 โ โ | โซ ๐ (๐ก)๐โ๐2๐๐๐ก๐๐ก
โ
โโ
= 0,
โ ๐ | |๐| โ [๐1, ๐2]
(2.1.6)
34 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
ร evidente che se si riesce ad associare a un dato insieme di se-
gnali una struttura algebrica, si possono meglio evidenziare particolari
caratteristiche degli elementi che lo compongono. Ad esempio se su un
dato insieme si definisce una metrica diventa possibile associare una di-
stanza a ogni coppia di suoi elementi.
L'individuazione di una struttura algebrica piรน complessa, su un
dato insieme di segnali, come ad esempio quella di spazio vettoriale,
permette di utilizzare gli strumenti propri dell'Algebra lineare. Ad esem-
pio, lo sviluppo di un segnale in termini di unโopportuna base dello spa-
zio, permetterebbe di rappresentare il segnale mediante una sequenza al
piรน numerabile di coefficienti. Tale tipo di rappresentazione ha come
immediata conseguenza una notevole semplificazione nell'applicazione
di tecniche numeriche all'analisi dei segnali. Inoltre, la struttura di spazio
vettoriale rende alcune proprietร evidenti e intuitivamente accettabili, in
quanto si presta a semplici analogie di tipo geometrico. Dette analogie
risultano inoltre particolarmente efficaci nell'approccio a molti problemi,
la cui soluzione, affrontata per via puramente analitica, risulterebbe ol-
tremodo complessa.
Una classe di segnali di particolare interesse รจ costituita dai segnali
ad energia finita. Se si vuole associare a tale classe la desiderata struttura
di spazio vettoriale, รจ necessario tuttavia raffinare la definizione di se-
gnale come verrร chiarito nel prossimo paragrafo.
Lo spazio dei segnali a energia finita. 2.2 -
Si consideri l'insieme delle funzioni reali o complesse appartenen-
ti a ๐2(โ). In detto insieme sโintroduce la relazione di equivalenza: due
funzioni sono equivalenti se assumono valori diversi solo in un sottoin-
sieme di โ di misura nulla cioรจ se le funzioni sono uguali quasi ovunque.
La relazione di equivalenza appena introdotta definisce una parti-
zione S di ๐2(โ). S รจ cioรจ una famiglia di sottoinsiemi disgiunti di
๐2(โ), detti classi di equivalenza, la cui unione ricopre ๐2(โ).
Ciascun elemento ๐ di S รจ un segnale. In altri termini due funzioni
in ๐2(โ) uguali quasi ovunque rappresentano lo stesso segnale in quan-
to appartengono alla medesima classe di equivalenza.
Siano ๐ 1(๐ก), ๐ 2(๐ก) due funzioni scelte arbitrariamente nelle rispet-
tive classi di equivalenza ๐1, ๐2. La funzione ๐ (๐ก) = ๐ 1(๐ก) + ๐ 2(๐ก), appar-
tenendo, in virtรน della (1.8.3), a ๐2(โ), individua un solo segnale ๐ โ S
CAPITOLO - 2 โ Rappresentazione Vettoriale dei Segnali -35-
che costituisce la somma dei segnali ๐1, ๐2. In modo analogo si puรฒ de-
finire in S l'elemento ๐ผ๐ con ๐ผ costante complessa.
ร facile verificare che S รจ un gruppo commutativo rispetto all'o-
perazione di somma sopra definita. L'elemento neutro di detto gruppo รจ
la classe delle funzioni quasi ovunque nulle.
Dalle ultime considerazioni svolte, discende che S ha la struttura
di spazio vettoriale. Esso รจ denominato spazio dei segnali a energia fini-
ta. Tale nome รจ giustificato dal fatto che a ogni elemento ๐ โ S si puรฒ
associare la quantitร :
๐ธ = โซ |๐ (๐ก)|2๐๐กโ
โโ
< โ (2.2.1)
che, essendo invariante rispetto alla scelta di ๐ (๐ก) nella classe ๐, esprime
l'energia specifica associata al segnale ๐.
In quel che segue, per brevitร , spesso un segnale ๐ verrร denotato
mediante una qualunque funzione ๐ (๐ก) appartenente alla classe di equi-
valenza associata al segnale in esame.
Prodotto scalare
Dati due generici elementi ๐1 ed ๐2 dello spazio S ad essi si puรฒ
associare la quantitร generalmente complessa definita dalla:
โจ๐1, ๐2โฉ = โซ ๐ 1(๐ก)๐ 2โ(๐ก)๐๐ก
โ
โโ
(2.2.2)
Detta quantitร esiste ed รจ limitata in modulo. Infatti tenendo conto della
(1.8.4), risulta:
|โซ ๐ 1(๐ก)๐ 2โ(๐ก)๐๐ก
โ
โโ
| โค โซ |๐ 1(๐ก)๐ 2โ(๐ก)|๐๐ก
โ
โโ
โโโโโโโโ โค (โซ |๐ 1(๐ก)|2๐๐ก
โ
โโ
)
1
2
(โซ |๐ 2(๐ก)|2๐๐ก
โ
โโ
)
1
2
< โ
(2.2.3)
La (2.2.2) definisce un prodotto scalare in quanto รจ facile verifica-
re che essa soddisfa le proprietร (1.15.1) che lo caratterizzano.
Distanza
Da quanto esposto nel Capitolo precedente, discende che lo spa-
zio S, essendo dotato di prodotto scalare, รจ uno spazio metrico. La di-
36 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
stanza ๐(๐1, ๐2) tra due qualsiasi suoi elementi, coerente con la (2.2.2), รจ
definita dalla:
๐(๐1, ๐2) = โจ๐1 โ ๐2, ๐1 โ ๐2โฉ1
2 = (โซ |๐ 1(๐ก) โ ๐ 2(๐ก)|2๐๐ก
โ
โโ
)
1
2
(2.2.4)
Norma
Lo spazio S รจ normato. Infatti ad esso puรฒ associarsi la seguente
norma:
โ๐โ = โโจ๐, ๐โฉ = (โซ |๐ (๐ก)|2๐๐กโ
โโ
)
1
2
(2.2.5)
ร opportuno sottolineare che รจ possibile definire in S diversi
prodotti scalari, tuttavia quello definito dalla (2.2.2), come si nota facil-
mente, induce una norma che รจ legata all'energia specifica del segnale.
Le (2.2.4), (2.2.5) si chiamano rispettivamente distanza e norma
euclidea per la loro evidente analogia alle corrispondenti grandezze defi-
nite nello spazio euclideo.
Ad ogni segnale non nullo corrisponde un segnale normalizzato:
๐ =๐
โ๐โ (2.2.6)
che ha evidentemente norma unitaria.
Esempio 2.1
Si valuti la distanza fra i segnali rappresentati dalle seguenti funzioni:
๐ 1(๐ก) = cos (2๐๐ก
๐)โ (
๐ก
๐) , ๐ 2(๐ก) = cos (
2๐(๐ก + ๐)
๐)โ (
๐ก
๐)
Essendo:
|๐ 1(๐ก) โ ๐ 2(๐ก)| = 2 |sin (๐๐
๐) sin (
๐(2๐ก + ๐)
๐)|โ (
๐ก
๐)
risulta:
๐2(๐๐, ๐๐) = 4sin2 (๐๐
๐)โซ sin2 (
๐(2๐ก + ๐)
๐)๐๐ก
๐
2
โ๐
2
= 2๐sin2 (๐๐
๐)
da cui:
๐(๐๐, ๐๐) = โ2๐ |sin (๐๐
๐)|
CAPITOLO - 2 โ Rappresentazione Vettoriale dei Segnali -37-
Segnali linearmente indipendenti. 2.3 -
Un insieme di ๐ segnali appartenenti allo spazio dei segnali genera
un sottospazio di dimensione finita. A priori, non รจ detto che la dimen-
sione di detto sottospazio sia uguale al numero dei segnali presi in con-
siderazione, in quanto si puรฒ verificare il caso in cui almeno uno dei se-
gnali considerati รจ esprimibile mediante una opportuna combinazione
lineare dei restanti. ร quindi evidente l'opportunitร di individuare dei
metodi per stabilire se ๐ segnali sono linearmente indipendenti al fine di
determinare lโeffettiva dimensione del sottospazio da essi generato.
Un metodo generale per stabilire la lineare indipendenza di ๐ se-
gnali si ottiene osservando il determinante della seguente matrice di
Gram:
[
โจ๐1, ๐1โฉ โจ๐1, ๐2โฉ โฆ โจ๐1, ๐๐โฉโจ๐2, ๐1โฉ โจ๐2, ๐2โฉ โฆ โจ๐2, ๐๐โฉโฆ โฆ โฆ โฆ
โจ๐๐, ๐1โฉ โจ๐๐ , ๐2โฉ โฆ โจ๐๐, ๐๐โฉ
] (2.3.1)
Vale il seguente teorema:
Teorema 2.1 (di Gram)
๐ segnali sono linearmente dipendenti se e solo se il determinante di Gram
๐บ(๐1, ๐2, โฆ , ๐๐) ad essi relativo รจ nullo.
Necessarietร :
se con {๐ ๐}๐=1๐ si denota un insieme di ๐ segnali linearmente dipendenti,
devono esistere ๐ costanti {๐๐}, non tutte nulle, tali che:
โ๐๐๐๐ = ๐
๐
๐=1
(2.3.2)
Effettuando il prodotto scalare tra il primo membro della precedente e il
generico segnale ๐ ๐ si ottengono le ๐ equazioni:
โ๐๐โจ๐ ๐ , ๐ ๐โฉ = 0;
๐
๐=1
j=1,2,โฆ,n (2.3.3)
che, riguardate come un sistema lineare omogeneo di ๐ equazioni nelle
๐ incognite {๐๐}, devono ammettere una soluzione non banale. Pertanto
la matrice dei coefficienti di detto sistema deve essere singolare.
Sufficienza:
38 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
se รจ ๐บ(๐1, ๐2, โฆ , ๐๐) = 0 il sistema omogeneo (2.3.3) ammette anche so-
luzioni diverse dall'identica. Detta {๐๐} una tale soluzione, si consideri il
segnale:
๐ =โ๐๐๐๐
๐
๐=1
(2.3.4)
Si ha:
โ๐โ2 = โจโ๐๐๐๐
๐
๐=1
,โ๐๐๐๐
๐
๐=1
โฉ = โ ๐๐๐๐โโจ๐๐ , ๐ ๐โฉ
๐
๐,๐=1
=โ๐๐โ (โ๐๐โจ๐๐ , ๐๐โฉ
๐
๐=1
)
๐
๐=1
= 0
(2.3.5)
essendo per ipotesi le {๐๐} una soluzione del sistema (2.3.3).
Il segnale definito dalla (2.3.4), avendo norma nulla, รจ il segnale
nullo. Pertanto i segnali {๐๐}๐=1๐ sono linearmente dipendenti.
***********
Si osservi che, se il determinante di Gram รจ nullo, la matrice di
Gram ha rango ๐ < ๐. Data la simmetria hermitiana della matrice si puรฒ
dimostrare che essa ammette almeno un minore non nullo contenente ๐
elementi della sua diagonale principale. Detto minore si puรฒ interpretare
quindi come la matrice di Gram associata agli ๐ segnali con cui รจ costi-
tuito. Ciรฒ significa che il rango della matrice di Gram รจ uguale al numero
massimo di segnali indipendenti contenuti nella ๐-upla.
ร interessante osservare che la matrice di Gram รจ semidefinita
positiva. Infatti la norma del generico segnale ๐ appartenente al sotto-
spazio generato da un insieme di segnali {๐๐}๐=1๐ รจ non negativa. Si puรฒ
quindi scrivere:
0 โค โ๐โ2 = โจโ๐๐๐๐
๐
๐=1
,โ๐๐๐๐
๐
๐=1
โฉ = โ ๐๐๐๐โโจ๐๐ , ๐๐โฉ
๐
๐,๐=1
(2.3.6)
Si noti che l'ultimo membro della disuguaglianza precedente รจ la forma
hermitiana nelle variabili ๐1, ๐2, โฆ , ๐๐ associata alla matrice di Gram che รจ
quindi semidefinita positiva.
Esempio 2.2
Verificare che i segnali rappresentati dalle seguenti funzioni:
CAPITOLO - 2 โ Rappresentazione Vettoriale dei Segnali -39-
๐ ๐(๐ก) = ๐ก๐
โ(๐ก โ1
2) ; nโ{1,2,3}
sono linearmente indipendenti.
Il generico prodotto scalare vale:
โจ๐๐ , ๐๐โฉ = โซ ๐ก๐+๐๐๐ก1
0
=1
1 + ๐ + ๐
da cui si ottiene il determinante di Gram associato ai segnali considerati:
๐บ(๐1, ๐2, ๐3) = ||
1
3
1
4
1
51
4
1
5
1
61
5
1
6
1
7
|| =1
378.000
Poichรฉ ๐บ(๐1, ๐2, ๐3) โ 0 i tre segnali sono linearmente indipendenti.
Esempio 2.3
Dati i segnali rappresentati in Fig.E 2.1: determinare la dimensione del
sottospazio da essi generato.
Si ha:
โจ๐1, ๐1โฉ = 5 โโจ๐1, ๐2โฉ = โ6 โจ๐1, ๐3โฉ = โ1 โจ๐2, ๐1โฉ = โ6 โจ๐2, ๐2โฉ = 8 โจ๐2, ๐3โฉ = 2โจ๐3, ๐1โฉ = โ1 โจ๐3, ๐2โฉ = 2 โจ๐3, ๐3โฉ = 1
pertanto il determinante di Gram vale:
๐บ = |5 โ6 โ1โ6 8 2โ1 2 1
| = 0
quindi i segnali sono linearmente dipendenti.
Poichรฉ, come รจ facile
verificare, il rango della
matrice di Gram vale 2,
solo due segnali risulta-
no linearmente indipen-
denti; conseguentemente
il sottospazio da essi ge-
nerato ha dimensione 2.
La lineare dipendenza dei segnali poteva essere verificata semplicemente
osservando che:
โ๐1(๐) โ ๐2(๐) + ๐3(๐) = ๐
Fig.E 2.1
40 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
Rappresentazione geometrica di un segnale. 2.4 -
Siano {๐๐}๐=1๐ ๐ segnali linearmente indipendenti. L'insieme S๐ dei segna-
li esprimibili nella forma
๐ =โ๐ผ๐๐๐
๐
๐=1
(2.4.1)
al variare dei coefficienti {๐ผ๐} in โ๐, รจ, come รจ noto, un sottospazio vet-
toriale di dimensione ๐ generato dai segnali {๐๐}. Ogni segnale ivi con-
tenuto individua univocamente, in virtรน della lineare indipendenza degli
{๐ข๐}๐=1๐ , una ๐-upla di coefficienti.
Reciprocamente, comunque scelto un punto in โ๐, ad esso, trami-
te la (2.4.1), corrisponde un unico se-
gnale in S๐.
I coefficienti {๐ผ๐}๐=1๐ si possono
interpretare come le โcoordinateโ del
segnale ๐ nel sistema di riferimento in-
dividuato dai vettori {๐๐}๐=1๐ . Queste
considerazioni, nel caso in cui i segnali
{๐๐}๐=1๐ siano rappresentabili mediante
funzioni reali e i coefficienti {๐ผ๐}๐=1๐
siano anchโessi reali, suggeriscono la
rappresentazione geometrica mostrata
in Fig. 2.1 per il caso tridimensionale.
L'insieme dei vettori {๐๐}๐=1๐ costituisce quindi una base del sotto-
spazio vettoriale S๐ di S.
ร opportuno ricordare che un qualsiasi altro insieme {๐ฃ๐}๐=1๐ di
vettori linearmente indipendenti appartenenti a S๐ costituisce a sua volta
una base per il sottospazio; la base pertanto non รจ unica.
I coefficienti {๐ผ๐}๐=1๐ , di un dato segnale appartenente a S๐, pos-
sono essere calcolati effettuando in ambo i membri della (2.4.1) il pro-
dotto scalare per il generico vettore di base ๐๐. Si ottengono cosรฌ le ๐
equazioni:
โจ๐, ๐๐โฉ = โ๐ผ๐โจ๐i,๐๐โฉ
๐
๐=1
; j=1,2,โฆ,n (2.4.2)
Fig. 2.1 - Rappresentazione vetto-riale del segnale ๐.
CAPITOLO - 2 โ Rappresentazione Vettoriale dei Segnali -41-
che costituiscono un sistema lineare nelle incognite {๐ผ๐}. In forma ma-
triciale il sistema (2.4.2) si scrive:
[
โจ๐1, ๐1โฉ โจ๐2, ๐1โฉ โฆ โจ๐๐, ๐1โฉโจ๐1, ๐2โฉ โจ๐2, ๐2โฉ โฆ โจ๐๐, ๐2โฉโฆ โฆ โฆ โฆ
โจ๐1, ๐๐โฉ โจ๐๐, ๐๐โฉ โฆ โจ๐๐, ๐๐โฉ
] [
๐ผ1๐ผ2โฆ๐ผ๐
] = [
โจ๐,๐1โฉโจ๐,๐2โฉโฆ
โจ๐,๐๐โฉ
] (2.4.3)
Detto sistema ammette un'unica soluzione, poichรฉ la matrice dei coeffi-
cienti ad esso associata รจ la trasposta della matrice di Gram associata a
un insieme di segnali linearmente indipendenti.
Un altro metodo per calcolare i coefficienti {๐ผ๐}๐=1๐ consiste nel
determinare ๐ vettori {๐ฃ๐}๐=1๐ che godano della proprietร :
โจ๐, ๐๐โฉ = ๐ผ๐; ๐ = 1,2, โฆ , ๐ (2.4.4)
Tenendo conto della (2.4.1) si ottiene:
๐ผ๐ = โจ๐, ๐๐โฉ = โจโ๐ผ๐๐๐
๐
๐=1
, ๐๐โฉ
โโโโโโโโ =โ๐ผ๐โจ๐๐ , ๐๐โฉ;
๐
๐=1
๐ = 1,2, โฆ , ๐
(2.4.5)
che ammette la soluzione:
โจ๐ข๐, ๐ฃ๐โฉ = {1; ๐ = ๐0; ๐ โ ๐
= ๐ฟ๐๐ (2.4.6)
Il generico ๐๐ risulta pertanto ortogonale a ciascun vettore della base
{๐๐}๐=1๐ fatta eccezione per il ๐-esimo. L'insieme di vettori {๐๐}๐=1
๐ costi-
tuisce a sua volta una base del sottospazio che รจ detta base reciproca as-
sociata alla base {๐๐}๐=1๐ .
Si osservi che dalla (2.4.6) discende che la reciproca di una base
reciproca รจ la base di partenza.
Esempio 2.4
Dati i segnali individuati dalle seguenti funzioni:
{
๐ข1(๐ก) =โ (๐ก โ1
2)
๐ข2(๐ก) =โ(๐ก โ 1)๐ข3(๐ก) =โ (๐ก โ
3
2)
42 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
verificare che essi costituiscono una base per il sottospazio da essi generato
e quindi determinare la base reciproca associata.
I tre segnali sono linearmente indipendenti, in quanto comunque scelti
due di essi, da una loro combinazione lineare non si puรฒ ottenere il terzo. In-
fatti esiste un insieme di misura non nulla in cui il terzo segnale รจ diverso da
zero mentre gli altri due segnali sono entrambi identicamente nulli.
Il generico elemento della base reciproca si puรฒ esprimere nella forma:
๐๐ =โ๐ผ๐,๐๐๐
3
๐=1
Imponendo per ciascun vettore ๐๐ la condizione (2.4.6), si ottengono i tre si-
stemi lineari:
{
โจ๐๐, ๐๐โฉ =โ๐ผ1,๐โจ๐๐, ๐๐โฉ
3
๐=1
= ๐ฟ๐,1
โจ๐๐, ๐๐โฉ =โ๐ผ2,๐โจ๐๐, ๐๐โฉ
3
๐=1
= ๐ฟ๐,2
โจ๐๐, ๐๐โฉ =โ๐ผ3,๐โจ๐๐, ๐๐โฉ
3
๐=1
= ๐ฟ๐,3
; ๐ = 1,2,3
le cui soluzioni forniscono:
๐๐ =๐
๐๐๐ โ ๐๐ +
๐
๐๐๐
๐๐ = โ๐๐ + ๐๐๐ โ ๐๐
๐๐ =๐
๐๐๐ โ ๐๐ +
๐
๐๐๐
Si perviene a una notevole semplificazione scegliendo una base
{๐ข๐}๐=1๐ composta da vettori di norma unitaria a due a due ortogonali
detta base ortonormale. In simboli:
โจ๐๐ , ๐๐โฉ = ๐ฟ๐,๐ (2.4.7)
In questo caso la matrice di Gram diventa unitaria e la (2.4.2) si riduce
alla:
๐ผ๐ = โจ๐, ๐๐โฉ; โโโโโ๐ = 1,2, โฆ , ๐ (2.4.8)
Un segnale appartenente al sottospazio riferito a una base orto-
normale si esprime pertanto nella forma:
๐ =โโจ๐, ๐๐โฉ๐๐
๐
๐=1
(2.4.9)
CAPITOLO - 2 โ Rappresentazione Vettoriale dei Segnali -43-
Dal confronto tra la (2.4.6) e la (2.4.7) discende che la base reci-
proca associata ad una base ortonormale รจ la base stessa. Le basi orto-
normali sono quindi anche basi autoreciproche.
Se si fa riferimento a una base ortonormale si ottiene la seguente
espressione per il prodotto scalare tra segnali appartenenti al sottospazio
S๐:
โจ๐1, ๐2โฉ = โโ๐ผ1๐๐ผ2๐โ โจ๐๐, ๐๐โฉ
๐
๐=1
=
๐
๐=1
โ๐ผ1๐๐ผ2๐โ
๐
๐=1
(2.4.10)
analogamente per la norma e per la distanza euclidea si ha:
โ๐โ = โจ๐, ๐โฉ1 2โ = (โ|๐ผ๐|2
๐
๐=1
)
1 2โ
(2.4.11)
๐(๐1, ๐2) = โ๐1 โ ๐2โ = (โ|๐ผ1๐ โ ๐ผ2๐|2
๐
๐=1
)
1 2โ
(2.4.12)
Queste ultime evidenziano un ulteriore motivo per cercare, quan-
do รจ possibile, di adottare una base ortonormale. Infatti se si riguardano
le componenti {๐ผ1๐}๐=1๐ , {๐ผ2๐}๐=1
๐ dei due segnali, riferiti ad una stessa ba-
se ortonormale, come vettori riga dello spazio โ๐, le (2.4.10), (2.4.11) e
la (2.4.12) possono essere riscritte sotto forma matriciale:
โจ๐1, ๐2โฉ = ๐ถ1๐ถ2โ (2.4.13)
โ๐โ = (๐ถ๐ถโ )1
2 (2.4.14)
๐(๐1, ๐2) = [(๐ถ1 โ ๐ถ2)(๐ถ1 โ ๐ถ2)โ ]1
2 (2.4.15)
In altri termini, se in un sottospazio si individua una base orto-
normale, il prodotto scalare, la norma e la distanza euclidee possono es-
sere calcolati in modo semplice effettuando le medesime operazioni sui
vettori delle componenti dei segnali in โ๐.
Esempio 2.5
Sia ๐(๐) = ๐โ ๐ด๐ una forma hermitiana.
Se gli autovalori della matrice ad essa associata hanno tutti molteplicitร
1, gli autoversori associati a ciascun autovalore di ๐ด, sono mutuamente orto-
gonali e quindi costituiscono una base ortonormale per lo spazio โ๐ a cui ๐
appartiene.
44 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
Nel caso in cui tutti gli autovalori di ๐ด hanno molteplicitร 1 ad eccezione
di uno che ha molteplicitร 2 tra gli autovettori associati a quest'ultimo, se ne
possono certamente scegliere 2 linearmente indipendenti. Essi individuano
un sottospazio di dimensione due (autospazio) che contiene tutti e soli gli
autovettori relativi all'autovalore in questione. Ciascun vettore di questo au-
tospazio รจ ortogonale ad ogni autovettore relativo ad un altro autovalore.
Inoltre รจ sempre possibile riferire l'autospazio ad una base ortonormale, gli
autoversori che la costituiscono, uniti ai restanti autoversori, generano una
base (autobase) per lo spazio โ๐ associata alla ๐(๐) .
La generalizzazione di quanto esposto al caso di matrici hermitiane con
autovalori di molteplicitร qualsiasi รจ immediata.
Per quanto riguarda la riduzione a forma canonica di una forma hermi-
tiana, si osservi che, individuata una autobase {๐๐}๐=1๐ , il generico vettore ๐
di โ๐ si puรฒ scrivere:
๐ =โ๐ผ๐๐๐
๐
๐=1
Pertanto:
๐(๐ฅ) = ๐โ ๐จ๐ =โ๐ผ๐โ๐๐
โ
๐
๐=1
๐จโ๐ผ๐๐๐
๐
๐=1
=โโ๐ผ๐โ๐ผ๐๐๐
โ ๐จ๐๐
๐
๐=1
๐
๐=1
=โโ๐ผ๐โ๐ผ๐๐๐
โ ๐๐๐๐
๐
๐=1
๐
๐=1
=โโ๐ผ๐โ๐ผ๐๐๐๐๐
โ ๐๐
๐
๐=1
๐
๐=1
=โ๐๐|๐ผ๐|2
๐
๐=1
= ๐ถโ โ diag(๐1, ๐2, โฆ , ๐๐) โ ๐ถ
nell'ultimo membro della precedente, ogni autovalore viene ripetuto un nu-
mero di volte pari alla sua molteplicitร .
Angolo tra due segnali. 2.5 -
Siano dati due segnali reali ad energia finita ๐1,โ๐2. Per essi vale la
disuguaglianza di Schwarz (1.15.6) che, in virtรน della natura reale dei due
segnali, puรฒ essere riscritta nella forma:
โ1 โคโซ ๐ 1(๐ก)โ
โโ๐ 2(๐ก)๐๐ก
โโซ |๐ 1(๐ก)|2โ
โโ๐๐ก โซ |๐ 2(๐ก)|
2โ
โโ๐๐ก
โค 1 (2.5.1)
dalla quale si deduce che รจ sempre possibile individuare un unico angolo
๐ appartenente all'intervallo [0, ๐] che verifica l'uguaglianza:
โจ๐1, ๐2โฉ = โ๐1โ โ โ๐2โcos๐ (2.5.2)
CAPITOLO - 2 โ Rappresentazione Vettoriale dei Segnali -45-
I due segnali in questione sono
certamente contenuti in un sottospazio
di dimensione due che รจ unico se i se-
gnali sono linearmente indipendenti.
Fissata che sia una base ortonormale
{๐๐}๐=12 in detto sottospazio, รจ possibile
esprimere i due segnali nella forma:
๐1 = ๐ผ11๐1 + ๐ผ12๐2; ๐2 = ๐ผ21๐1 + ๐ผ22๐2; (2.5.3)
D'altro canto, tenendo conto delle (2.4.10) e (2.4.11) la (2.5.2) puรฒ esse-
re anche scritta come segue:
< ๐1, ๐2 >= ๐ผ11๐ผ21 + ๐ผ12๐ผ22
= โ๐ผ112 + ๐ผ12
2 โ โ๐ผ212 + ๐ผ22
2 cos๐ (2.5.4)
il cui ultimo membro si puรฒ immediatamente interpretare come il pro-
dotto scalare in โ2 tra due vettori aventi rispettivamente modulo
โ๐ผ112 + ๐ผ12
2 e โ๐ผ212 + ๐ผ22
2 , formanti un angolo ๐. Si verifica facilmente
che detto angolo รจ indipendente dalla base ortonormale scelta nel sotto-
spazio in cui i segnali sono contenuti.
ร quindi possibile fornire una rappresentazione grafica dei due
segnali reali come mostrato in Fig. 2.2, ร questo il motivo per cui in ge-
nerale due segnali si dicono ortogonali se il loro prodotto scalare รจ nullo.
Esempio 2.6
Dati i segnali mostrati in Fig.E 2.2,a). se ne costruisca una rappresenta-
zione vettoriale.
Come si riconosce facilmente i due segnali hanno entrambi norma unita-
ria.
Se si associa al primo segnale un vettore ๐ di modulo unitario, il secondo
segnale sarร rappresentato da un vettore ๐๐ anch'esso di modulo unitario la
cui componente ortogonale su ๐ si ottiene effettuando il seguente prodotto
scalare:
โจ๐, ๐๐โฉ = โซ ๐ (๐ก)๐ ๐(๐ก)๐๐กโ
โโ
= {1 โ ๐; 0 โค ๐ โค 1 1 + ๐; โ1 โค ๐ < 00; |๐| > 1
โโ = โโ(1 โ |๐|)โ (๐
2)
Fig. 2.2 - Angolo tra due segnali
46 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
La rappresentazione geometrica dei due segnali si presenta come in Fig.E
2.2,b). Si noti che se |๐| โฅ 1 i due segnali risultano ortonormali.
Approssimazione dei segnali nel sottospazio S๐. Teo-2.6 - rema della proiezione.
Sia S๐ un sottospazio vettoriale ad ๐ dimensioni e ๐ un segnale
non necessariamente appartenente ad S๐.
In alcune applicazioni puรฒ essere utile costruire un segnale
๏ฟฝ๏ฟฝ๐ โ S๐ che, in base a un assegnato criterio, ne costituisca la migliore
approssimazione. Il criterio piรน naturale per determinare la migliore ap-
prossimazione di ๐ in S๐ consiste nello scegliere quell'elemento di S๐
che si trova alla minima distanza euclidea dal segnale considerato ๐.
Poichรฉ un generico segnale ๐๐ โ S๐ si puรฒ sempre riferire ad una
base ortonormale {๐๐}๐=1๐ di detto sottospazio:
๐๐ =โ๐ผ๐๐๐
๐
๐=1
(2.6.1)
l'approssimazione ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ cercata รจ individuata dalla ๐-upla di coefficienti
{๐ผ๐} che minimizzano la quantitร :
โ๐โ2 = โ๐ โโ๐ผ๐๐๐
๐
๐=1
โ2 (2.6.2)
Esplicitando la precedente si ha:
โ๐โ2 = โ๐โ2 โโ๐ผ๐โจ๐, ๐๐โฉโ
๐
๐=1
โโ๐ผ๐โโจ๐, ๐๐โฉ +
๐
๐=1
โ|๐ผ๐|2
๐
๐=1
(2.6.3)
Se nella (2.6.3) si somma e si sottrae la quantitร โ |โจ๐, ๐๐โฉ|2๐
๐=1 si ottiene:
Fig.E 2.2
CAPITOLO - 2 โ Rappresentazione Vettoriale dei Segnali -47-
โ๐โ2 = โ๐โ2 โโ|โจ๐, ๐๐โฉ|2 +
๐
๐=1
โ|๐ผ๐ โ โจ๐, ๐๐โฉ|2
๐
๐=1
(2.6.4)
Poichรฉ l'ultimo addendo a secondo membro della precedente รจ certa-
mente non negativo il minimo cercato si ottiene quando esso si annulla
cioรจ quando risulta:
๐ผ๐ = โจ๐ , ๐ข๐โฉ; ๐ = 1,2, โฆ ๐ (2.6.5)
Pertanto si ha:
๏ฟฝ๏ฟฝ๐ =โโจ๐,๐๐โฉ๐๐
๐
๐=1
(2.6.6)
I coefficienti {๐ผ๐}๐=1๐ definiti dalle (2.6.5) sono chiamati coeffi-
cienti di Fourier generalizzati del
segnale ๐ rispetto alla base orto-
normale . {๐๐}๐=1๐
Un interessante conseguenza
del risultato appena ottenuto รจ il co-
siddetto Teorema della proiezione
che stabilisce che, detta ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ la mi-
gliore approssimazione di ๐ in S๐, secondo il criterio della minima di-
stanza euclidea, il vettore ๐ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ รจ ortogonale a ogni vettore appartenen-
te ad S๐ e quindi al sottospazio S๐ (vedi Fig. 2.3 ).
Per dimostrarlo รจ sufficiente verificare che il vettore ๐ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ รจ or-
togonale a ciascun vettore di una qualsiasi base {๐๐}๐=1๐ ortonormale di
S๐. Tenendo conto delle (2.6.5) e (2.6.6) risulta:
โจ๐ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐, ๐๐โฉ = โจ๐, ๐๐โฉ โ โจ๏ฟฝ๏ฟฝ๐, ๐๐โฉ = 0 (2.6.7)
Per questo motivo ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ si dice proiezione ortogonale di ๐ nel sotto-
spazio S๐.
Nel caso in cui si scelga in S๐ una base {๐๐}๐=1๐ non ortonormale,
tenendo presente che, in base alla (2.6.7), risulta per ogni ๐ โ S๐:
โจ๐, ๐โฉ = โจ๏ฟฝ๏ฟฝ๐, ๐โฉ (2.6.8)
si deduce che le componenti {๐ฝ๐}๐=1๐ del segnale ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ rispetto alla base
{๐๐}๐=1๐ si ottengono risolvendo il sistema:
Fig. 2.3 Proiezione ortogonale
48 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
โจ๏ฟฝ๏ฟฝ๐, ๐๐โฉ = โ๐ฝ๐
๐
๐=1
โจ๐๐ , ๐๐โฉ = โจ๐, ๐๐โฉ; ๐ = 1, โฆ , ๐ (2.6.9)
ร interessante osservare che un sottospazio lineare a ๐ dimensio-
ni determina nello spazio dei segnali S una partizione in classi di equiva-
lenza: due segnali appartengono alla stessa classe di equivalenza se am-
mettono la stessa approssimazione in S๐ o, che รจ lo stesso, se la loro dif-
ferenza รจ ortogonale a S๐.
La quantitร
๐ = ๐ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ (2.6.10)
รจ l'errore di approssimazione; la sua norma โ๐โ ne misura l'entitร . Si ha:
โ๐โ2 = โ๐ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐โ2 = โจ๐ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐, ๐ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐โฉ
= โจ๐, ๐ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐โฉ โ โจ๏ฟฝ๏ฟฝ๐, ๐ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐โฉโ = โจ๐ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐, ๐โฉโ = โจ๐, ๐โฉ โ โจ๏ฟฝ๏ฟฝ๐, ๐โฉ
โ
= โ๐โ2 โ โจ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ , ๐โฉโ = โ๐โ2 โ โ๏ฟฝ๏ฟฝ๐โ
2
(2.6.11)
poichรฉ, essendo ๐ ortogonale a ๏ฟฝ๏ฟฝ๐, risulta โจ๏ฟฝ๏ฟฝ๐, ๐โฉ = โ๏ฟฝ๏ฟฝ๐โ2.
La (2.6.11) costituisce l'estensione della relazione pitagorica agli
spazi normati.
Se il vettore ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ si riferisce ad una base ortonormale {๐๐}๐=1๐ si ha:
โ๏ฟฝ๏ฟฝ๐โ2 =โ|โจ๐, ๐๐โฉ|
2
๐
๐=1
(2.6.12)
in questo caso la (2.6.11) assume la forma:
โ๐โ2 = โ๐โ2 โโ|โจ๐, ๐๐โฉ|2
๐
๐=1
(2.6.13)
Essendo, d'altra parte, โ๐โ โฅ 0 si deduce:
โ|โจ๐, ๐๐โฉ|2 โค โ๐โ2
๐
๐=1
(2.6.14)
nota come disuguaglianza di Bessel.
Esempio 2.7
Determinare la proiezione dell'impulso โ(๐ก โ1
2) nel sottospazio lineare
S3 individuato dai segnali rappresentabili me diante le funzioni:
CAPITOLO - 2 โ Rappresentazione Vettoriale dei Segnali -49-
๐ฃ๐(๐ก) = {๐โ๐๐ก โโโ๐ก โฅ 00โโโโโโโ๐ก < 0
;โโ โn=1,2,3
Indicando con ๐ lโimpulso ret-
tangolare, risulta:
โจ๐, ๐๐โฉ = โซ ๐โ๐๐ก๐๐ก1
0
โ =1 โ ๐โ๐
๐
il sistema (2.6.9) diventa
[ 1
2
1
3
1
41
3
1
4
1
51
4
1
5
1
6]
โ [
๐ฝ1๐ฝ2๐ฝ3
] =
[ 1 โ ๐โ1
1 โ ๐โ2
21 โ ๐โ3
3 ]
da cui:
[
๐ฝ1๐ฝ2๐ฝ3
] = [12 โ 72๐โ1 + 120๐โ2 โ 60๐โ3
โ30 + 240๐โ1 โ 450๐โ2 + 240๐โ3
20 โ 180๐โ1 + 360๐โ2 โ 200๐โ3]
per cui l'approssimazione dell'impulso rettangolare nel
sottospazio in questione vale:
๐ 3(๐ก) =โ๐ฝ๐๐ฃ๐(๐ก)
3
๐=1
= (12 โ 72๐โ1 + 120๐โ2 โ 60๐โ3)๐โ๐ก + (โ30 + 240๐โ1
โ 450๐โ2 + 240๐โ3)๐โ2๐ก + (20 โ 180๐โ1 + 360๐โ2
โ 200๐โ3)๐โ3๐ก
In Fig.E 2.3 รจ rappresentata la migliore approssima-
zione dell'impulso rettangolare nel sottospazio S3.
Esempio 2.8
Le funzioni rappresentate in Fig.E 2.4 sono i primi
quattro elementi dell'insieme (ortonormale) delle fun-
zioni di Walsh. Esse definiscono un sottospazio S4 a
quattro dimensioni. I coefficienti, rispetto alla citata ba-
se, della proiezione ortogonale su S4 del segnale ๐ indi-
viduato dalla:
๐ (๐ก) = ๐ก โ (๐ก โ1
2)
valgono:
Fig.E 2.4
Fig.E 2.3
50 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
{
๐ผ1 = โซ ๐ก๐ค0(๐ก)๐๐ก
1
0
=1
2[๐ก2]0
1 =1
2;
๐ผ2 = โซ ๐ก๐ค1(๐ก)๐๐ก1
0
=1
2([๐ก2]0
1
2 โ [๐ก2]12
1) โ1
4;
๐ผ3 = โซ ๐ก๐ค2(๐ก)๐๐ก1
0
=1
2([๐ก2]0
1
4 โ [๐ก2]14
3
4 + [๐ก2]34
1) = 0;
๐ผ4 = โซ ๐ก๐ค3(๐ก)๐๐ก1
0
=1
2([๐ก2]0
1
8 โ [๐ก2]18
1
4 + [๐ก2]14
3
8 โ [๐ก2]38
1) = โ1
8;
In Fig.E 2.5 sono mostrate le funzioni rappresentative dei segnali
๏ฟฝ๏ฟฝ1,โ๏ฟฝ๏ฟฝ2,โ๏ฟฝ๏ฟฝ3,โ๏ฟฝ๏ฟฝ4โ che costituiscono le approssimazioni di ๐, rispettivamente nei
sottospazi generati da ๐0, da ๐0, ๐1, da ๐0, ๐1, ๐2, e da ๐0, ๐1, ๐2, ๐3.
In particolare ๏ฟฝ๏ฟฝ4(๐ก), cioรจ la funzione rappresentativa del segnale ๏ฟฝ๏ฟฝ4 apparte-
nente al sottospazio S4 a minima distanza Euclidea da ๐, รจ data da:
๏ฟฝ๏ฟฝ๐(๐ก) =1
2๐๐(๐ก) โ
1
4๐๐(๐ก) โ
1
8๐๐(๐ก)
Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-2.7 - Schmidt.
Da quanto detto risulta evidente l'opportunitร di disporre di un
algoritmo che permetta di costruire una base ortonormale per il sotto-
spazio generato da un assegnato insieme {๐๐}๐=1๐ di segnali. Un tale algo-
ritmo, noto come procedimento di ortonormalizzazione di Gram-
Schmidt, รจ basato sul teorema della proiezione. Esso consiste nel gene-
rare ricorsivamente sottospazi di dimensione crescente annidati l'uno
dentro l'altro.
Si procede come segue:
Si considera il segnale ๐1. Il primo elemento della base รจ:
๐1 =๐1โ๐1โ
(2.7.1)
che genera un sottospazio S1 di dimensione 1.
Si considera quindi ๐2 e si costruisce il segnale:
Fig.E 2.5 Proiezioni di un segnale in sottospazi annidati di dimensione crescente.
CAPITOLO - 2 โ Rappresentazione Vettoriale dei Segnali -51-
๐2 = ๐2 โ โจ๐2, ๐1โฉ๐1 (2.7.2)
Se ๐2 รจ il segnale nullo, ๐2 appartiene ad S1 e si salta al passo suc-
cessivo. In caso contrario, in virtรน del teorema della proiezione, ๐2 รจ or-
togonale al sottospazio S1. Pertanto si puรฒ assumere come secondo
elemento della base il segnale:
๐2 =๐2โ๐2โ
(2.7.3)
I due segnali ๐1 e ๐2 generano quindi un sottospazio S2 in cui รจ
annidato S1.
Si ripete il passo precedente fino ad esaurire i segnali dell'insieme {๐๐}.
Al passo ๐-esimo supposto che tutti i segnali precedentemente
considerati siano tra loro linearmente indipendenti l'๐-esimo vettore di
base รจ dato da:
๐๐ =๐๐โ๐๐โ
(2.7.4)
dove:
๐๐ = ๐๐ โโโจ๐๐ , ๐๐โฉ๐๐
๐โ1
๐=1
(2.7.5)
L'algoritmo appena descritto consente, in genere, per un dato in-
sieme {๐๐}๐=1๐ , di costruire piรน basi ortonormali, dipendentemente dall'or-
dinamento scelto all'interno dell'insieme {๐๐}๐=1๐ . Evidentemente una
qualunque base ottenuta con il procedimento descritto genera lo stesso
sottospazio di S. Detto sottospazio ha la minima dimensione necessaria
per contenere i segnali dell'insieme {๐๐}๐=1๐ . Tale dimensione ovviamente
non puรฒ superare la cardinalitร di {๐๐}๐=1๐ .
Si osservi inoltre che la procedura descritta in virtรน della sua natu-
ra ricorsiva si puรฒ applicare anche al caso in cui l'insieme dei segnali sia
di cardinalitร infinita, purchรฉ numerabile.
Esempio 2.9
Determinare una base ortonormale per il sottospazio lineare individuato
dai segnali rappresentati dalle funzioni:
๐ ๐(๐ก) = {๐โ๐๐ก; ๐ก โฅ 00; ๐ก < 0
; n=1,2,3
52 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
mediante il procedimento di Gram-Schmidt.
Si sceglie come primo elemento della base ortonormale il segnale:
๐๐ =๐๐โ๐๐โ
= โ2๐๐
Si scompone quindi il secondo segnale nei suoi componenti parallelo ed or-
togonale al sottospazio individuato da ๐1. Si ha:
๐๐ = โจ๐๐, ๐๐โฉ๐๐ + ๐๐ =โ2
3๐๐ + ๐๐ โ ๐๐ = ๐๐ โ
โ๐
3๐๐
Pertanto risulta:
๐๐ =๐๐โ๐๐โ
= 6๐๐
Si procede quindi al calcolo di ๐3:
๐๐ = ๐๐ โ โจ๐๐, ๐๐โฉ๐๐ โ โจ๐๐, ๐๐โฉ๐๐ = ๐๐ โ1
2โ2๐๐ โ
1
5๐๐
Quindi:
๐๐ =๐๐โ๐๐โ
= 10โ6๐๐
Sviluppo di un segnale in serie di funzioni ortogonali. 2.8 -
Sia S๐ un sottospazio lineare a ๐ dimensioni generato da un base
B๐ โก {๐๐}๐=1๐ di vettori ortonormali e sia ๐๐ la proiezione ortogonale di
un segnale ๐๐ nel sottospazio S๐. L'errore quadratico medio di tale ap-
prossimazione รจ espresso dalla (2.6.13).
Se alla base B๐ si aggiunge un vettore normale ๐๐+1 ortogonale ai
precedenti, si ottiene un nuovo insieme di vettori {๐๐}๐=1๐+1 che costituisce
una nuova base B๐+1 che genera un sottospazio lineare S๐+1. Denotando
con s๐+1 la proiezione di ๐ su S๐+1 l'errore quadratico medio, ottenuto
con questa nuova approssimazione, sarร :
โ๐๐+1โ2 = โ๐โ2 โโ|โจ๐, ๐๐โฉ|
2
๐+1
๐=1
= โ๐โ2 โโ|โจ๐, ๐๐โฉ|2 โ |โจ๐, ๐๐+1โฉ|
2
๐
๐=1
(2.8.1)
che, ricordando la (2.6.13), si scrive:
โ๐๐+1โ2 = โ๐๐โ
2 โ |โจ๐, ๐๐+1โฉ|2 (2.8.2)
CAPITOLO - 2 โ Rappresentazione Vettoriale dei Segnali -53-
Cioรจ โ๐๐+1โ2 โค โ๐๐โ
2. Se ne conclude che, aumentando la dimensione
del sottospazio su cui si proietta il vettore ๐, la norma dell'errore non
aumenta. La successione {โ๐๐โ} degli errori quadratici medi รจ quindi una
successione non crescente a termini non negativi. Essa รจ pertanto una
successione convergente.
Si รจ portati quindi a concludere che, disponendo di un sistema di
vettori ๐1, ๐2, โฆ , ๐๐ , โฆ ortonormale, che individua un sottospazio linea-
re ad infinite dimensioni, si puรฒ anche ottenere un'approssimazione del
segnale ๐ con un errore quadratico medio nullo. In altri termini, si รจ in-
dotti a ritenere che la disuguaglianza di Bessel (2.6.14) diventi:
โ๐โ2 =โ|โจ๐, ๐๐โฉ|2
โ
๐=1
(2.8.3)
nota come relazione di Parseval.
Ammettendo che la (2.8.3) sia soddisfatta, il segnale ๐ puรฒ essere
espresso mediante la:
๐ =โโจ๐, ๐๐โฉ๐๐
โ
๐=1
(2.8.4)
Ricordando il significato energetico che si รจ attribuito alla norma,
la (2.8.3) esprime l'energia specifica di un segnale in termini dei coeffi-
cienti ๐ผ๐ = โจ๐, ๐๐โฉ, cosicchรฉ la quantitร ๐ผ๐ = โจ๐, ๐๐โฉ rappresenta l'aliquota
con cui il generico componente ๐ผ๐๐๐ contribuisce all'energia di ๐.
Si noti che non tutti gli insiemi composti da un'infinitร numerabi-
le di segnali mutuamente ortonormali garantiscono l'annullarsi dell'erro-
re quadratico medio. Se si riesce a determinare un insieme per il quale la
(2.8.3) รจ verificata per ogni elemento di un certo spazio a dimensione in-
finita, l'insieme in questione si dice completo rispetto allo spazio consi-
derato.
CAPITOLO - 3
SEGNALI PERIODICI
Generalitร . 3.1 -
Una funzione reale o complessa ๐ (๐ก) si dice periodica se esistono
valori di ๐, che soddisfano la seguente equazione:
๐ (๐ก) = ๐ (๐ก + ๐) (3.1.1)
per ogni ๐ก, salvo al piรน su un sottoinsieme di valori di ๐ก di misura nulla.
ร immediato constatare che ๐ (๐ก) deve necessariamente essere definita
quasi ovunque in โ. Inoltre se ๐0 รจ una soluzione della (3.1.1), anche i
suoi multipli interi lo sono.
Si puรฒ assumere come periodo di ๐ (๐ก) una qualunque soluzione
non negativa della (3.1.1), la minima delle quali costituisce il periodo
principale della funzione o del segnale periodico ad essa associato e in
quel che segue verrร denominata semplicemente periodo.
Se un segnale periodico รจ a potenza specifica finita si ha:
๐ = lim๐โโ
1
๐โซ |๐ (๐ก)|2๐๐ก
๐
2
โ๐
2
= lim๐โโ
1
๐๐0 + ๐โฒโซ |๐ (๐ก)|2๐๐ก
๐๐0+๐โฒ
2
โ๐๐0+๐
โฒ
2
(3.1.2)
dove ๐ = โ๐
๐0โ e 0 โค ๐โฒ = ๐ โ ๐๐0 < ๐0.
Poichรฉ risulta:
0 < โซ |๐ (๐ก)|2๐๐กT0
< โ (3.1.3)
dove ๐0 indica un qualsiasi intervallo temporale di durata pari al periodo
๐0, la (3.1.2) si riscrive:
๐ = lim๐โโ
1
๐๐0+๐โฒ (โซ |๐ (๐ก)|2๐๐ก
๐๐02
โ๐๐02
+โซ |๐ (๐ก)|2๐๐กโ๐
๐02
โ๐๐0+๐
โฒ
2
+โซ |๐ (๐ก)|2๐๐ก
๐๐0+๐โฒ
2
๐๐02
) (3.1.4)
56 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
= lim๐โโ
๐
๐๐0+๐โฒโซ |๐ (๐ก)|2๐๐ก
๐02
โ๐02
+ lim๐โโ
1
๐๐0+๐โฒ(โซ |๐ (๐ก)|2๐๐ก
โ๐๐02
โ๐๐0+๐
โฒ
2
+โซ |๐ (๐ก)|2๐๐ก
๐๐0+๐โฒ
2
๐๐02
)
Gli ultimi due integrali della precedente, in virtรน della (3.1.3), si manten-
gono limitati; quindi il secondo limite vale zero e la potenza specifica di
un segnale periodico si puรฒ pertanto esprimere anche nella forma piรน
semplice
๐ =1
๐0โซ |๐ (๐ก)|2๐๐ก
๐02
โ๐02
(3.1.5)
che coincide con la potenza specifica media in un periodo.
Serie di Fourier in forma esponenziale. 3.2 -
Per poter applicare ad un segnale periodico a potenza finita ๐ (๐ก) i
metodi di analisi sviluppati nel CAPITOLO - 2 validi per segnali ad
energia finita รจ opportuno considerare il segnale troncato ๐ ๐0(๐ก) cosรฌ de-
finito:
๐ ๐0(๐ก) = ๐ (๐ก)โ (๐ก
๐0) (3.2.1)
manifestamente si ha (vedi Fig. 3.1):
๐ (๐ก) = โ ๐ ๐0(๐ก โ ๐๐0)
โ
๐=โโ
(3.2.2)
Si noti che, in effetti, l'uguaglianza nella precedente, vale q.o., a meno di
non ridefinire opportunamente la funzione โ(๐ก). La (3.2.2)ci dice che
un segnale periodico a potenza finita puรฒ essere considerato come la ri-
petizione periodica, con periodo ๐0, di una funzione elementare ๐ ๐0(๐ก) a
quadrato sommabile, definita in un intervallo T0 di durata pari al suo pe-
riodo.
CAPITOLO - 3 - Segnali Periodici - 57
Risulta:
โซ |๐ ๐0(๐ก)|2๐๐ก
โ
โโ
= โซ |๐ (๐ก)|2๐๐ก
๐02
โ๐02
= ๐0๐ < โ (3.2.3)
๐ ๐0(๐ก) pertanto rappresenta un segnale a energia finita ๐๐0.
ร quindi chiaro che se sโindividua un insieme di segnali {๐๐}๐=โโโ
appartenenti ad S, completo rispetto alla classe dei segnali S๐0, รจ possibi-
le esprimere un qualsiasi suo elemento ๐๐0 come combinazione lineare
degli {๐๐}๐=โโโ .
A tal fine si prenda in considerazione l'insieme di segnali orto-
normali {๐๐}๐=โโโ . Rappresentabili mediante le seguenti funzioni:
๐ข๐(๐ก) =1
โ๐0๐๐2๐๐๐ก
๐0 โ (๐ก
๐0) , ๐ โ โค
(3.2.4)
Detto insieme, come รจ possibile dimostrare4, รจ completo rispetto all'in-
sieme dei segnali appartenenti a S๐0, cioรจ di quei segnali che sono rap-
presentabili mediante funzioni a quadrato sommabile, nulle all'esterno
dell'intervallo (โ๐0
2,๐0
2).
Il generico elemento di S๐0, puรฒ quindi essere rappresentato me-
diante una serie bilatera del tipo:
4 Cfr.: F. G. Tricomi: Istituzioni di analisi superiore. Edizioni Cedam. Padova. 1964. pag. 186 e
seg.
Fig. 3.1- Ripetizione periodica di un segnale
58 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
๐ ๐0 = โ ๐ผ๐๐ข๐
โ
๐=โโ
(3.2.5)
dove, in base a quanto esposto nel ยง 2.4 - , i coefficienti ๐ผ๐ valgono:
๐ผ๐ = โจ๐ ๐0 , ๐ข๐โฉ = โซ ๐ ๐0(๐ก)๐ข๐โ (๐ก)๐๐ก
โ
โโ
=1
โ๐0โซ ๐ (๐ก)๐
โ๐2๐๐๐ก
๐0๐๐ก
๐02
โ๐02
(3.2.6)
Se si sostituisce la (3.2.5) nella (3.2.2) si ottiene:
๐ (๐ก) = โ ๐ ๐0(๐ก โ ๐๐0)
โ
๐=โโ
= โ โ๐ผ๐
โ๐0๐๐2๐๐
๐กโ๐๐0๐0 โ (
๐ก โ ๐๐0๐0
)
โ
๐=โโ
โ
๐=โโ
= โ โ (๐ก โ ๐๐0๐0
) โ๐ผ๐
โ๐0๐๐2๐๐
๐ก
๐0
โ
๐=โโ
=
โ
๐=โโ
โ๐ผ๐
โ๐0๐๐2๐๐
๐ก
๐0
โ
๐=โโ
(3.2.7)
dove si รจ tenuto conto della periodicitร di ๐๐2๐๐๐ก
๐0 e del fatto che, quasi
ovunque, risulta โ โ (๐กโ๐๐0๐0
) = 1โ๐=โโ . Ponendo infine:
๐0 =1
๐0 (3.2.8)
e
๐๐ =1
๐0โซ ๐ (๐ก)๐โ๐2๐๐๐0๐ก๐๐ก
๐02
โ๐02
(3.2.9)
la (3.2.7) assume la forma:
๐ (๐ก) = โ ๐๐๐๐2๐๐๐0๐ก
โ
๐=โโ
(3.2.10)
che costituisce la ben nota espansione di un segnale periodico in serie di
Fourier espressa in forma esponenziale o euleriana.
Si osservi che nel calcolo del generico coefficiente ๐๐, l'integrale
puรฒ estendersi ad un qualsiasi intervallo di durata ๐0.
CAPITOLO - 3 - Segnali Periodici - 59
ร opportuno precisare che la serie (3.2.10) converge al segnale
๐ (๐ก) secondo la metrica di ๐2(โ). Ciรฒ significa che l'errore quadratico
medio fra ๐ (๐ก) e la ridotta ๐-esima di detta serie tende a zero al crescere
di ๐, cioรจ:
lim๐โโ
โซ |๐ (๐ก) โ โ ๐๐๐๐2๐๐๐0๐ก
๐
๐=โ๐
|
2
๐๐ก
๐02
โ๐02
= 0 (3.2.11)
Per quanto riguarda la convergenza puntuale, รจ facile dimostrare
che la serie di Fourier converge ad ๐ (๐ก) in tutti i punti in cui la funzione
รจ continua; negli eventuali punti di discontinuitร la serie converge al va-
lore 1
2(๐ (๐+) + ๐ (๐โ)) avendo denotato con ๐ (๐+) e ๐ (๐โ) rispettiva-
mente i limiti destro e sinistro in corrispondenza della discontinuitร .5
Dalla (3.2.10) si deduce che la conoscenza dell'insieme numerabi-
le dei coefficienti, generalmente complessi, ๐๐ e del periodo, consente la
ricostruzione di un segnale periodico ๐ (๐ก). Ciรฒ suggerisce una rappre-
sentazione grafica del segnale che si ottiene mediante dei diagrammi a
righe in cui sono riportati i moduli |๐๐| e gli argomenti ๐๐ di ๐๐ detti ri-
spettivamente spettri di ampiezza e di fase del segnale ๐.
Forma trigonometrica della serie di Fourier. 3.3 -
La serie (3.2.10) si puรฒ riscrivere come segue:
๐ (๐ก) = ๐0 + โ ๐๐๐๐2๐๐๐0๐ก
โ1
๐=โโ
+โ๐๐๐๐2๐๐๐0๐ก
โ
๐=1
(3.3.1)
effettuando nella prima sommatoria la sostituzione ๐ โ โ๐ si ha:
๐ (๐ก) = ๐0 +โ(๐๐๐๐2๐๐๐0๐ก + ๐โ๐๐
โ๐2๐๐๐0๐ก)
โ
๐=1
(3.3.2)
d'altra parte, sviluppando la (3.2.9), si ottiene:
๐๐ =1
๐0โซ ๐ (๐ก)cos(2๐๐๐0๐ก)๐๐ก
T0
โ ๐1
๐0โซ ๐ (๐ก)sin(2๐๐๐0๐ก)๐๐ก
T0
(3.3.3)
Ponendo:
5 Un'ampia discussione del teorema di convergenza della serie di Fourier si trova in
R.V.Churchill: Fourier series and boundary value problems. McGraw Hill, N.Y., 1963.
60 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
{
๐ด๐ =
2
๐0โซ ๐ (๐ก)cos(2๐๐๐0๐ก)๐๐ก;T0
๐ต๐ =2
๐0โซ ๐ (๐ก)sin(2๐๐๐0๐ก)๐๐กT0
;
(3.3.4)
si puรฒ quindi scrivere:
๐๐ =๐ด๐ โ ๐๐ต๐
2 (3.3.5)
Sostituendo la (3.3.5) nella (3.3.2) si ottiene ancora:
๐ (๐ก) = ๐0 +โ(๐ด๐ โ ๐๐ต๐
2๐๐2๐๐๐0๐ก +
๐ดโ๐ โ ๐๐ตโ๐2
๐โ๐2๐๐๐0๐ก)
โ
๐=1
(3.3.6)
Poichรฉ dalle (3.3.4) discende:
๐ดโ๐ = ๐ด๐; ๐ตโ๐ = โ๐ต๐; ๐0 =๐ด02โก ๐0 (3.3.7)
la (3.3.6) diventa:
๐ (๐ก) = ๐0 +โ [๐ด๐
2(๐๐2๐๐๐0๐ก + ๐โ๐2๐๐๐0๐ก) +
๐ต๐
2๐(๐๐2๐๐๐0๐ก โ ๐โ๐2๐๐๐0๐ก)]
โ
๐=1
(3.3.8)
dalla quale, ricordando le formule di Eulero, si ottiene:
๐ (๐ก) = ๐0 +โ๐ด๐ cos(2๐๐๐0๐ก) + ๐ต๐ sin(2๐๐๐0๐ก)
โ
๐=1
(3.3.9)
dove ๐0 vale:
๐0 =1
๐0โซ ๐ (๐ก)๐๐ก
T0
(3.3.10)
La (3.3.9) costituisce la forma trigonometrica della serie di Fou-
rier. Il termine ๐ด๐ cos(2๐๐๐0๐ก) + ๐ต๐ sin(2๐๐๐0๐ก) si chiama armonica di
ordine ๐ della funzione ๐ (๐ก). L'armonica di ordine 1 รจ detta armonica
fondamentale.
Segnali reali. 3.4 -
Se il segnale ๐ (๐ก) รจ reale, anche le quantitร ๐ด๐ e ๐ต๐ lo sono. In
questo caso la (3.3.9) puรฒ porsi nella forma equivalente:
CAPITOLO - 3 - Segnali Periodici - 61
๐ (๐ก) = ๐0 +โ๐ถ๐cos(2๐๐๐0๐ก โ ๐๐)
โ
๐=1
(3.4.1)
in cui le quantitร ๐ถ๐ e ๐๐ valgono:
๐ถ๐ = โ๐ด๐2 + ๐ต๐
2 ; ๐๐ = arctg๐ต๐๐ด๐; (3.4.2)
e individuano rispettivamente l'ampiezza e la fase propria della compo-
nente armonica di ordine ๐ del segnale. Inoltre, tenendo presente le
(3.3.7)si deduce:
Pertanto lo spettro di ampiezza ha simmetria pari, quello di fase simmetria
dispari rispetto all'indice ๐ come mostrato qualitativamente in Fig. 3.2.
Esempio 3.1
Si consideri la sequenza periodica di im-
pulsi rettangolari di durata ๐ e periodo ๐0
mostrata in Fig.E 3.1. Nellโintervallo
(โ๐0
2,๐0
2) il segnale รจ descritto dalla:
๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก) = โ (๐ก๐). Pertanto il segnale ๐ (๐ก) puรฒ
|๐๐| = |๐โ๐|; ๐โ๐ = โ๐๐; (3.4.3)
Fig. 3.2 - Spettri di ampiezza a) e di fase b) di un segnale reale.
Fig.E 3.1
62 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
scriversi come ripetizione periodica con passo ๐0 di ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก) otenendo:
๐ (๐ก) = โ ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก โ ๐๐0) =โ๐=โโ โ โ (๐กโ๐๐0
๐)โ
๐=โโ
Per la (3.2.9) il coefficiente ๐๐ dello sviluppo in forma Euleriana vale:
๐๐ =1
๐0โซ ๐
โ๐2๐๐๐ก
๐0 ๐๐ก
๐
2
โ๐
2
=
{
sin (๐๐
๐
๐0)
๐๐; ๐ โ 0
๐
๐0; ๐ = 0
che, tramite la funzione sinc(๐ฅ) cosรฌ definita:
Fig.E 3.2 Sviluppo in serie di Fourier del segnale โ โ (๐กโ๐
0.25)โ
๐=โโ
CAPITOLO - 3 - Segnali Periodici - 63
sinc(๐ฅ) = {sin(๐๐ฅ)
๐๐ฅ; ๐ฅ โ 0
1; โโโโ ๐ฅ = 0
puรฒ essere scritto come segue:
๐๐ =๐
๐0sinc (
๐๐
๐0)
L'andamento degli ๐๐ per ๐
๐0=
1
4
รจ riportato in Fig.E 3.2.
La funzione sinc(๐ฅ), ricorre
molto spesso nella teoria dei se-
gnali. Essa, come รจ mostrato in
Fig.E 3.3, vale 0 se il suo argo-
mento รจ intero e non nullo, in 0
vale 1. che รจ il suo massimo as-
soluto. ร una funzione continua,
derivabile infinite volte su tutto
l'asse reale e per ๐ฅ โ ยฑโ, รจ infinitesima dello stesso ordine di 1
๐ฅ.
I coefficienti dello sviluppo di ๐ (๐ก) in foram trigonometrica si possono cal-
colare facilmente tenuto conto che dalle (3.3.5) e (3.3.7) si deduce
{
๐ด๐ = ๐๐ + ๐โ๐ =
๐
๐0sinc (
๐๐
๐0) +
๐
๐0sinc (
โ๐๐
๐0) =
2๐
๐0sinc (
๐๐
๐0)
๐ต๐ = ๐(๐๐ โ ๐โ๐) = ๐ (๐
๐0sinc (
๐๐
๐0) โ
๐
๐0sinc (
โ๐๐
๐0)) = 0
Pertanto lo sviluppo in forma trigonometrica รจ dato da:
๐ (๐ก) = ๐0 +โ๐ด๐ cos (2๐๐๐ก
๐0) + ๐ต๐ sin (2๐
๐๐ก
๐0)
โ
๐=1
=๐
๐0+2๐
๐0โsinc (
๐๐
๐0) cos (2๐
๐๐ก
๐0)
โ
๐=1
Come caso particolare si osservi che per ๐
๐0=
1
2 si ottiene:
๐ (๐ก) =1
2+โ sinc (
๐
2) cos (2๐
๐๐ก
๐0)
โ
๐=1
Fig.E 3.3
64 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
In questo caso le armoniche di indice pari dello sviluppo hanno coefficiente
nullo poichรฉ in corrispondenza ad esse la sinc ha argomento intero. In Fig.E
3.4sono riportate alcune somme parziali per ๐0 = 1 e ๐ = 0.5. Si osservino
le sovraelongazioni in corrispondenza alle discontinuitร (fenomeno di
Gibbs).
Esempio 3.2
Il segnale ๐ (๐ก) di Fig.E 3.5, รจ definito dalla:
๐ (๐ก) = โ2(๐ก โ ๐๐0)
๐0โ (
๐ก โ ๐๐0๐0
)
โ
๐=โ
Il generico coefficiente ๐๐ vale:
๐๐ =1
๐0โซ
2๐ก
๐0๐โ๐
2๐๐๐ก
๐0 ๐๐ก
๐02
โ๐02
=2
(2๐๐)2โซ ๐ฅ๐๐ฅ๐๐ฅ๐๐๐
โ๐๐๐
=2
(2๐๐)2[(๐ฅ โ 1)๐๐ฅ]โ๐๐๐
๐๐๐
Si ha dunque:
{
๐๐ = ๐
cos(๐๐)
๐๐; ๐ โ 0
๐0 =2
๐0โซ ๐ก๐๐ก
๐02
โ๐02
= 0;
Gli spettri di ampiezza e fase per ๐0 = 1 so-
no riportati in Fig.E 3.6.
Fig.E 3.5
Fig.E 3.4
CAPITOLO - 3 - Segnali Periodici - 65
Proprietร della serie di Fourier. 3.5 -
Linearitร
Se il segnale ๐ (๐ก) รจ ottenuto da una combinazione lineare di ๐ se-
gnali componenti ๐ ๐(๐ก) aventi tutti lo stesso periodo ๐0:
๐ (๐ก) = โ๐๐๐ ๐(๐ก)
๐
๐=1
(3.5.1)
con ๐๐ coefficienti reali o complessi, il coefficiente ๐๐ del suo sviluppo
in serie vale:
๐๐ =1
๐0โ๐๐
๐
๐=1
โซ ๐ ๐(๐ก)๐โ๐2๐๐๐0๐ก๐๐ก
T0
(3.5.2)
che, ponendo:
๐๐๐ =1
๐0โซ ๐ ๐(๐ก)๐
โ๐2๐๐๐0๐ก๐๐กT0
(3.5.3)
si scrive:
Fig.E 3.6 โ sviluppo del segnale ๐ (๐ก) = โ2(๐กโ๐๐0)
๐0โ (
๐กโ๐๐0
๐0)โ
๐=โ
66 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
๐๐ =โ๐๐๐๐๐
๐
๐=1
(3.5.4)
cioรจ: il coefficiente ๐๐ di un segnale combinazione lineare di ๐ segnali,
aventi tutti lo stesso periodo ๐0, risulta espresso dalla stessa combina-
zione lineare tra i coefficienti ๐๐๐ dei segnali componenti.
Inversione nel dominio del tempo
Se ๐๐ denota il generico coefficiente del segnale ๐ (๐ก), il generico
coefficiente ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ del segnale ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก) = ๐ (โ๐ก) risulta:
๏ฟฝ๏ฟฝ๐ =1
๐0โซ ๐ (โ๐ก)๐โ๐2๐๐๐0๐ก๐๐ก
T0
=1
๐0โซ ๐ (๐ก)๐๐2๐๐๐0๐ก๐๐ก
T0
= ๐โ๐ (3.5.5)
Segnale coniugato
Sia ๐๐ il generico coefficiente del segnale ๐ (๐ก). Il generico coeffi-
ciente ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ del segnale ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก) = ๐ โ(๐ก) sarร allora:
๏ฟฝ๏ฟฝ๐ =1
๐0โซ ๐ โ(๐ก)๐โ๐2๐๐๐0๐ก๐๐ก
T0
=1
๐0(โซ ๐ (๐ก)๐๐2๐๐๐0๐ก๐๐ก
๐0
)
โ
= ๐โ๐โ (3.5.6)
In particolare, se il segnale รจ reale, dal fatto che in questo caso
๐ (๐ก) = ๐ โ(๐ก) (3.5.7)
discende:o
๐๐ = ๐โ๐โ (3.5.8)
precedentemente ottenuta (vedi (3.4.3)).
Coefficienti coniugati
Sia ๐ (๐ก) un segnale il cui sviluppo in serie di Fourier ha per coef-
ficienti ๐๐. Il segnale ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก) corrispondente allo sviluppo che ha per gene-
rico coefficiente ๐๐โ รจ:
๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก) =โ๐๐โ๐๐2๐๐๐0๐ก
โ
โโ
= (โ๐๐๐โ๐2๐๐๐0๐ก
โ
โโ
)
โ
= ๐ โ(โ๐ก) (3.5.9)
che coincide con il segnale ๐ (๐ก) coniugato ed invertito nel tempo.
Se la quantitร ๐๐ รจ reale, risulta:
๐๐ = ๐๐โ (3.5.10)
CAPITOLO - 3 - Segnali Periodici - 67
la (3.5.9) diventa:
๐ (๐ก) = ๐ โ(โ๐ก) (3.5.11)
cioรจ un segnale che invertito nel tempo coincide con il proprio coniuga-
to ammette uno sviluppo i cui coefficienti ๐๐ sono reali.
Traslazione nel dominio del tempo
Sia ๐๐ il generico coefficiente dello sviluppo di un segnale ๐ (๐ก). Il
segnale ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก) = ๐ (๐ก โ ๐ก0), ottenuto ritardando ๐ (๐ก) di una quantitร ๐ก0,
ammette uno sviluppo il cui generico coefficiente vale:
๏ฟฝ๏ฟฝ๐ =1
๐0โซ ๐ (๐ก โ ๐ก0)๐
โ๐2๐๐๐0๐ก๐๐กT0
=๐โ๐2๐๐๐0๐ก0
๐0โซ ๐ (๐ก)๐โ๐2๐๐๐0๐ก๐๐ก
T0
= ๐โ๐2๐๐๐0๐ก0๐๐
(3.5.12)
Pertanto la traslazione nel dominio del tempo comporta nel gene-
rico coefficiente ๐๐ la presenza di un fattore esponenziale del tipo
๐๐2๐๐๐0๐ก0 di modulo unitario ed argomento โ๐2๐๐๐0๐ก0. In altri termini, la
traslazione lascia inalterati i moduli dei coefficienti ๐๐, ma aggiunge ai
loro argomenti un termine proporzionale al ritardo ๐ก0.
Traslazione nel dominio della frequenza
Sia ๐๐ il generico coefficiente del segnale ๐ (๐ก). Il segnale ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก) il
cui generico coefficiente รจ ๐๐โ๐ con ๐ โ โค vale:
๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก) =โ๐๐โ๐๐
๐2๐๐๐0๐ก
โ
โโ
= ๐๐2๐๐๐0๐กโ๐๐๐๐2๐๐๐0๐ก
โ
โโ
= ๐๐2๐๐๐0๐ก๐ (๐ก)
(3.5.13)
La traslazione di ๐๐ di una quantitร ๐ equivale alla moltiplicazione
di ๐ (๐ก) per un fattore esponenziale del tipo ๐๐2๐๐๐0๐ก0.
Convoluzione nel dominio del tempo
Siano ๐ 1(๐ก) e ๐ 2(๐ก) due segnali periodici a potenza finita e aventi
lo stesso periodo ๐0. Si definisce convoluzione nel dominio del tempo
fra ๐ 1(๐ก) e ๐ 2(๐ก) il segnale ๐(๐ก) dato dalla:
68 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
๐(๐ก) =1
๐0โซ ๐ 1(๐)๐ 2(๐ก โ ๐)๐๐
T0
=1
๐0โซ ๐ 1(๐ก โ ๐)๐ 2(๐)๐๐
T0
(3.5.14)
Si verifica che ๐(๐ก) รจ anch'esso periodico di periodo ๐0.
Detti ๐1๐ e ๐2๐ i generici coefficienti dello sviluppo di ๐ 1(๐ก) e
๐ 2(๐ก) rispettivamente, il coefficiente ๐ท๐ dello sviluppo del segnale ๐(๐ก)
vale:
๐ท๐ =1
๐0โซ (
1
๐0โซ ๐ 1(๐ก โ ๐)๐ 2(๐)๐๐
T0
) ๐โ๐2๐๐๐0๐ก๐๐กT0
(3.5.15)
che, invertendo l'ordine di integrazione, diventa:
๐ท๐ =1
๐0โซ ๐ 2(๐) (
1
๐0โซ ๐ 1(๐ก โ ๐)๐
โ๐2๐๐๐0๐ก๐๐กT0
)๐๐T0
(3.5.16)
Applicando il teorema della traslazione nel dominio del tempo si ha:
๐ท๐ = ๐1๐1
๐0โซ ๐ 2(๐)๐
โ๐2๐๐๐0๐๐๐T0
= ๐1๐ โ ๐2๐ (3.5.17)
cioรจ il generico coefficiente ๐ท๐ dello sviluppo in serie di Fourier del se-
gnale ๐(๐ก) si ottiene dal prodotto dei corrispondenti coefficienti degli
sviluppi in serie dei segnali convolvendi.
Convoluzione nel dominio della frequenza
Siano ๐ 1(๐ก) e ๐ 2(๐ก) due segnali periodici di periodo ๐0, sviluppabi-
li in serie di Fourier con generici coefficienti espressi da ๐1๐ e ๐2๐ rispet-
tivamente. Si costruiscano i coefficienti ๐ท๐ definiti, al variare di ๐, dalla:
๐ท๐ = โ ๐1๐๐2(๐โ๐)
โ
๐=โโ
= โ ๐1(๐โ๐)๐2๐
โ
๐=โโ
(3.5.18)
La sequenza ๐ท๐ รจ detta convoluzione nel dominio della frequen-
za. A quest'ultima si puรฒ associare il segnale:
๐(๐ก) = โ ๐ท๐
โ
๐=โโ
๐๐2๐๐๐0๐ก
= โ ( โ ๐1(๐โ๐)๐2๐
โ
๐=โโ
) ๐๐2๐๐๐0๐กโ
๐=โโ
(3.5.19)
che, invertendo lโordine delle sommatorie, diventa:
CAPITOLO - 3 - Segnali Periodici - 69
๐(๐ก) = โ ๐2๐ ( โ ๐1(๐โ๐)๐๐2๐๐๐0๐ก
โ
๐=โโ
)
โ
๐=โโ
(3.5.20)
Applicando alla precedente il teorema della traslazione in frequenza si
ha:
๐(๐ก) = ๐ 1(๐ก) โ ๐2๐๐๐2๐๐๐0๐ก = ๐ 1(๐ก) โ ๐ 2(๐ก)
โ
๐=โโ
(3.5.21)
Ciรฒ significa che alla convoluzione nel dominio della frequenza
corrisponde il prodotto dei due segnali ๐ 1(๐ก) โ ๐ 2(๐ก) nel dominio del
tempo.
Nella Tabella 3.1 sono riassunte le proprietร della serie di Fou-
rier precedentemente dedotte.
Tabella 3.1
Proprietร della serie di Fourier
Proprietร Segnale Trasformata
Linearitร โ๐๐๐ ๐(๐ก)
๐
๐=1
โ๐๐๐๐๐
๐
๐=1
Inversione nel dominio
del tempo ๐ (โ๐ก) ๐โ๐
Segnale coniugato ๐ โ(๐ก) ๐โ๐โ
Coefficienti coniugati ๐ โ(โ๐ก) ๐๐โ
Traslazione nel dominio
del tempo ๐ (๐ก โ ๐ก0) ๐โ๐2๐๐๐0๐ก๐๐
Traslazione nel dominio
della frequenza ๐โ๐2๐๐๐0๐ก๐ (๐ก) ๐๐+๐
Convoluzione nel domi-
nio del tempo
1
๐โซ ๐ 1(๐ก โ ๐)๐ 2(๐)๐๐
๐
2
โ๐
2
๐1๐ โ ๐2๐
Convoluzione nel domi-
nio della frequenza ๐ 1(๐ก) โ ๐ 2(๐ก) โ ๐1๐๐2(๐โ๐)
โ
๐=โโ
70 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
Segnali bidimensionali. 3.6 -
Un segnale ๐ (๐ฅ, ๐ฆ), funzione di due variabili indipendenti, si dirร
periodico in ๐ฅ e ๐ฆ se l'equazione
๐ (๐ฅ + ๐, ๐ฆ + ๐) = ๐ (๐ฅ, ๐ฆ) (3.6.1)
ammette soluzioni
diverse da zero nelle
incognite ๐, ๐ indi-
pendenti dalla coppia
di variabili ๐ฅ, ๐ฆ. Ana-
logamente al caso
monodimensionale si
possono definire i
periodi principali ๐0
e ๐0.
La potenza
specifica del segnale
vale:
๐ = lim๐,๐โโ
1
๐๐โซ โซ |๐ (๐ฅ, ๐ฆ)|2๐๐ฅ๐๐ฆ
๐
2
โ๐
2
๐
2
โ๐
2
=1
๐0๐0โซ โซ |๐ (๐ฅ, ๐ฆ)|2๐๐ฅ๐๐ฆ
๐0๐0
(3.6.2)
dove l'integrale che compare all'ultimo membro della precedente รจ este-
so ad un dominio rettangolare qualsiasi di dimensioni ๐0 e ๐0 rispetti-
vamente. Se detto integrale ha valore finito e non nullo allora il segnale
periodico รจ a potenza finita.
Un segnale periodico bidimensionale a potenza finita puรฒ essere
sviluppato mediante la seguente serie doppia di Fourier:
๐ (๐ฅ, ๐ฆ) = โ โ ๐๐,๐๐๐2๐(๐๐๐ฅ๐ฅ+๐๐๐ฆ๐ฆ)
โ
๐=โโ
โ
๐=โโ
(3.6.3)
dove:
๐๐ฅ =1
๐0; ๐๐ฆ =
1
๐0 (3.6.4)
sono generalmente denominate frequenze spaziali.
Fig.E 3.7
CAPITOLO - 3 - Segnali Periodici - 71
Il generico coefficiente ๐๐๐ della serie (3.6.3) รจ espresso dalla:
๐๐๐ =1
๐0๐0โซ โซ ๐ (๐ฅ, ๐ฆ)๐โ๐2๐(๐๐๐ฅ๐ฅ+๐๐๐ฆ๐ฆ)๐๐ฅ๐๐ฆ
Y0X0
(3.6.5)
Esempio 3.3
Si consideri il segnale periodico ๐ (๐ฅ, ๐ฆ) cosรฌ definito:
๐ (๐ฅ, ๐ฆ) =โ (๐ฅ โ ๐1๐02๐
)โ (๐ฆ โ ๐2๐02๐
) ; โโโโโโโโ๐1, ๐2 โ โค, ๐ <๐02, ๐ <
๐02
che risulta essere uguale ad 1 nei domini tratteggiati in Fig.E 3.7 e nullo al-
trove.
Si ha:
๐๐๐ =1
๐0๐0โซ ๐๐ฅโซ ๐๐ฆ๐
โ๐2๐(๐๐ฅ
๐0+๐๐ฆ
๐0)
๐
โ๐
๐
โ๐,
โ = 4๐๐
๐0๐0sinc (
2๐๐
๐0) sinc (
2๐๐
๐0)
Esempio 3.4
Si consideri il segnale ๐ (๐ฅ, ๐ฆ) cosรฌ definito:
๐ (๐ฅ, ๐ฆ) =โ(โ(๐ฅ โ ๐1๐0)
2 + (๐ฆ โ ๐2๐0)2 โ
๐
2
๐) ; โ๐1, ๐2 โ โค
Esso รจ periodico ed, in particolare, diverso da 0 e pari ad 1 solo nei domini
tratteggiati in Fig.E 3.8.
Volendo valutare i coefficienti ๐๐๐ del suo sviluppo รจ opportuno espri-
mere la (3.6.5) in coordinate polari effettuando la nota trasformazione di va-
riabili:
{๐ฅ = ๐cos๐;๐ฆ = ๐sin๐;
come รจ noto:
๐๐ฅ๐๐ฆ = |๐ฝ|๐๐๐๐
dove ๐ฝ denota lo Jacobiano della trasformazione che vale:
๐ฝ = |๐๐ฅ/๐๐ ๐๐ฅ/๐๐๐๐ฆ/๐๐ ๐๐ฆ/๐๐
| = |cos๐ โ๐sin๐sin๐ ๐๐os๐
| = ๐(cos2๐ + sin2๐) = ๐
si ha:
๐๐๐ =1
๐0๐0โซ โซ ๐โ๐2๐๐(๐๐๐ฅcos๐+๐๐๐ฆsin๐)๐๐๐๐๐
๐
0
๐
โ๐
Ponendo adesso:
72 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
{
sin๐ =
๐๐๐ฅ
โ(๐๐๐ฅ)2 + (๐๐๐ฆ)
2;
cos๐ =๐๐๐ฆ
โ(๐๐๐ฅ)2 + (๐๐๐ฆ)
2
;
risulta:
๐๐๐ฅcos๐ + ๐๐๐ฆsin๐ = โ(๐๐๐ฅ)2 + (๐๐๐ฆ)
2[sin๐cos๐ + cos๐sin๐]
= sin(๐ + ๐) โ โ(๐๐๐ฅ)2 + (๐๐๐ฆ)
2
Ponendo inoltre:
๐พ๐๐ = 2๐โ(๐๐๐ฅ)2 + (๐๐๐ฆ)
2
๐๐๐ si scrive:
๐๐๐ =1
๐0๐0โซ ๐๐๐โซ ๐๐๐พ๐๐๐sin๐๐๐
๐+๐
๐โ๐
๐
0
Per valutare ๐๐๐ si ricordi che:
๐ฝ๐(๐ฅ) =1
2๐โซ ๐๐(๐ฅsin๐งโ๐๐ง)๐๐ง๐
โ๐
dove Jn(๐ฅ) rappresenta la funzione di Bessel di prima specie di ordine ๐ che
si puรฒ anche esprimere mediante la
serie:
๐ฝ๐(๐ฅ) = (๐ฅ
2)๐
โ1
๐! (๐ + ๐)!(โ
๐ฅ2
4)
๐โ
๐=0
Si ha pertanto:
๐๐๐ =2๐
๐0๐0โซ ๐๐ฝ0(๐๐พ๐๐)๐๐๐
0
Poichรฉ, d'altra parte รจ:
โซ ๐ฅ๐ฝ0(๐๐ฅ)๐๐ฅ =1
0
๐ฝ1(๐)
๐
ponendo ๐ฅ =2๐
๐ si ottiene infine:
๐๐๐ =2๐๐
๐0๐0
๐ฝ1(๐พ๐๐๐)
๐พ๐๐
Fig.E 3.8
CAPITOLO - 4
SEGNALI A ENERGIA FINITA
Deduzione elementare della trasformata di Fourier. 4.1 -
Sia ๐ (๐ก) una funzione sommabile rappresentativa di un segnale ๐
ad energia finita, e sia
๐ ๐(๐ก) = ๐ (๐ก)โ (๐ก
๐) (4.1.1)
la corrispondente funzione
troncata (vedi Fig. 4.1).
Il segnale ๐๐, indivi-
duato dalla (4.1.1), appartiene
allo spazio S๐ definito nel
ยง 3.2 - . Pertanto una sua rap-
presentazione puรฒ essere
espressa mediante il seguente
insieme di funzioni ortonor-
mali:
๐ข๐(๐ก) =1
โ๐๐๐
2๐๐๐ก
๐ โ (๐ก
๐) ; ๐ = 0, ยฑ1, ยฑ2, โฆ (4.1.2)
nella forma:
๐ ๐(๐ก) =1
โ๐โ (
๐ก
๐) โ ๐ผ๐๐
๐2๐๐๐ก
๐
โ
๐=โโ
(4.1.3)
dove:
๐ผ๐ =1
โ๐โซ ๐ (๐)๐โ๐2๐๐
๐
๐๐๐
๐
2
โ๐
2
(4.1.4)
Sostituendo la (4.1.4) nella (4.1.3) si ottiene:
๐ ๐(๐ก) = โ (๐ก
๐) โ
1
๐(โซ ๐ (๐)๐โ๐2๐๐
๐
๐๐๐
๐
2
โ๐
2
) ๐๐2๐๐๐ก
๐
โ
๐=โโ
(4.1.5)
Fig. 4.1 โ Segnale ๐, segnale troncato ๐๐.
74 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
che ponendo:
๐ (๐
๐) = โซ ๐ (๐)๐โ๐2๐๐
๐
๐๐๐
๐
2
โ๐
2
(4.1.6)
diventa:
๐ ๐(๐ก) = โ (๐ก
๐) โ
1
๐๐ (๐
๐) ๐๐2๐
๐
๐๐ก
โ
๐=โโ
(4.1.7)
Poichรฉ:
๐ (๐ก) = lim๐โโ
๐ ๐(๐ก) (4.1.8)
la funzione ๐ (๐ก) puรฒ essere espressa effettuando nella (4.1.7) il limite su
indicato. A tal proposito si osservi che, al crescere di ๐, le quantitร
๐๐ =๐
๐, aventi le dimensioni di una frequenza, tendono ad addensarsi nel
senso che la differenza 1
๐ fra due termini consecutivi tende a zero. Di
conseguenza al divergere di ๐, ๐๐ tende ad identificarsi con una variabile
continua ๐ e 1
๐ con il corrispondente incremento infinitesimo ๐๐. Da tali
considerazioni discende che le (4.1.6) e (4.1.7) tendono ad assumere ri-
spettivamente le forme:
a) ๐(๐) = โซ ๐ (๐ก)๐โ๐2๐๐๐ก๐๐กโ
โโ
;
(4.1.9)
b) โ๐ (๐ก) = โซ ๐(๐)๐๐2๐๐๐ก๐๐โ
โโ
;
che, se esistono, costituiscono rispettivamente le espressioni della tra-
sformata e dellโantitrasformata di Fourier.
La trasformata di Fourier di segnali ad energia finita. 4.2 -
L'applicazione delle (4.1.9) a segnali ad energia finita, in realtร ,
non รจ sempre possibile, perchรฉ gli integrali che in esse compaiono per-
dono di significato quando le rispettive funzioni integrande non sono
sommabili. Poichรฉ un segnale ad energia finita รจ rappresentabile median-
te una funzione a quadrato sommabile, che non รจ necessariamente an-
che sommabile, nasce la necessitร di modificare opportunamente le de-
finizioni (4.1.9), al fine di pervenire alla definizione di una trasformazio-
ne di Fourier sulle funzioni appartenenti ad ๐2(โ).
CAPITOLO - 4 - Segnali a Energia Finita - 75
Quanto sopra, in altri termini, equivale ad individuare due opera-
tori ๐ ed ๏ฟฝ๏ฟฝ, che costituiscano una naturale estensione delle (4.1.9), en-
trambi definiti in ๐2(โ), che, qualunque sia ๐ โ ๐2(โ), godano della
proprietร
๐ = ๏ฟฝ๏ฟฝ[๐[๐]] = ๐[๏ฟฝ๏ฟฝ[๐]] (4.2.1)
La trasformata in ๐ท(โ).
Se una funzione ๐ (๐ก) appartiene a ๐(โ), cioรจ se:
โซ |๐ (๐ก)|๐๐กโ
โโ
< โ (4.2.2)
la definizione (4.1.9) a della trasformata di Fourier ha certamente senso
dato che risulta:
|๐(๐)| = |โซ ๐ (๐ก)๐โ๐2๐๐๐ก๐๐กโ
โโ
| โค โซ |๐ (๐ก)|๐๐กโ
โโ
< โ (4.2.3)
La trasformata di una funzione sommabile quindi certamente esiste ed รจ
limitata; inoltre essa รจ anche continua. Infatti, essendo |๐ (๐ก)๐โ๐2๐๐๐ก| =
|๐ (๐ก)|, l'applicazione del II Teorema di Lebesgue consente di scrivere:
lim๐โ๐0
๐(๐) = lim๐โ๐0
โซ ๐ (๐ก)๐โ๐2๐๐๐ก๐๐กโ
โโ
= โซ lim๐โ๐0
๐ (๐ก)๐โ๐2๐๐๐ก ๐๐กโ
โโ
= โซ ๐ (๐ก)๐โ๐2๐๐0๐ก๐๐กโ
โโ
= ๐(๐0)
(4.2.4)
Si noti che la trasformata di una funzione in ๐(โ) non appartiene
necessariamente a ๐(โ). Per convincersene basta prendere in considera-
zione lโimpulso rettangolare la cui trasformata di Fourier ๐ [โ (๐ก๐)] =
๐sinc(๐๐) non รจ sommabile in โ.
La trasformata in ๐ท(โ) โฉ ๐ท๐(โ).
Si consideri adesso una funzione ๐ (๐ก) appartenente ad ๐2(โ) che
sia anche sommabile, cioรจ:
๐ (๐ก) โ ๐(โ) โฉ ๐2(โ) (4.2.5)
Al fine di identificare lo spazio funzionale cui appartiene la tra-
sformata ๐(๐) di una tale funzione, si consideri una funzione ausiliaria
๐(๐ก) โ ๐(โ), limitata, la cui trasformata di Fourier ฮฆ(๐) appartenga an-
76 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
ch'essa a ๐(โ) e per la quale si possa verificare che ๐โ1[๐[๐(๐ก)]] =
๐(๐ก)6 e si consideri la seguente espressione:
๐ผ(๐ฟ) = โซ ฮฆ(๐ฟ๐)|๐(๐)|2๐๐โ
โโ
(4.2.6)
che, se ha senso, definisce una funzione del parametro ๐ฟ che si assume
reale positivo.
Tenendo conto della definizione (4.1.9),a possiamo scrivere:
|๐(๐)|2 = ๐(๐)๐โ(๐)
= โซ ๐ (๐ก1)๐โ๐2๐๐๐ก1๐๐ก1
โ
โโ
โซ ๐ โ(๐ก2)๐๐2๐๐๐ก2๐๐ก2
โ
โโ
= โซ โซ ๐ (๐ก1)โ
โโ
๐ โ(๐ก2)๐๐2๐๐(๐ก2โ๐ก1)๐๐ก1๐๐ก2
โ
โโ
(4.2.7)
Sostituendo nella (4.2.6) e invertendo lโordine di integrazione otteniamo:
๐ผ(๐ฟ) = โซ ฮฆ(๐ฟ๐)โซ โซ ๐ (๐ก1)โ
โโ
๐ โ(๐ก2)๐๐2๐๐(๐ก2โ๐ก1)๐๐ก1๐๐ก2
โ
โโ
๐๐โ
โโ
= โซ โซ ๐ (๐ก1)๐ โ(๐ก2) [โซ ฮฆ(๐ฟ๐)๐๐2๐๐(๐ก2โ๐ก1)๐๐
โ
โโ
] ๐๐ก1
โ
โโ
๐๐ก2
โ
โโ
(4.2.8)
ma ฮฆ(๐) โ ๐(โ), sarร quindi sommabile anche ฮฆ(๐ฟ๐) โโ๐ฟ > 0. Potremo
pertanto scrivere:
โซ ฮฆ(๐ฟ๐)๐๐2๐๐(๐ก2โ๐ก1)๐๐โ
โโ
=1
๐ฟโซ ฮฆ(๐ฟ๐)๐๐2๐๐ฟ๐
๐ก2โ๐ก1๐ฟ ๐(๐ฟ๐)
โ
โโ
=1
๐ฟ๐ (
๐ก2 โ ๐ก1๐ฟ
)
(4.2.9)
che sostituita nella (4.2.8) fornisce:
๐ผ(๐ฟ) =1
๐ฟโซ โซ ๐ (๐ก1)๐
โ(๐ก2)๐ (๐ก2 โ ๐ก1๐ฟ
) ๐๐ก1๐๐ก2
โ
โโ
โ
โโ
(4.2.10)
Operando la trasformazione di variabili:
{
๐ก = ๐ก1;
๐ =๐ก2 โ ๐ก1๐ฟ
; (4.2.11)
6 Tale รจ ad esempio ๐(๐ก) = ๐โ๐ก
2 la cui trasformata vale ฮฆ(๐) = โ๐๐โ๐
2๐2 (vedi Esempio 4.6).
CAPITOLO - 4 - Segnali a Energia Finita - 77
il cui Jacobiano vale
๐ฝ = |
๐๐ก1๐๐ก
๐๐ก1๐๐
๐๐ก2๐๐ก
๐๐ก2๐๐
| = |1 01 ๐ฟ
| = ๐ฟ (4.2.12)
la (4.2.10) diventa:
๐ผ(๐ฟ) = โซ โซ ๐ (๐ก)๐ โ(๐ก + ๐ฟ๐)๐(๐)๐๐ก๐๐โ
โโ
โ
โโ
= โซ ๐(๐) (โซ ๐ (๐ก)๐ โ(๐ก + ๐ฟ๐)๐๐กโ
โโ
)๐๐โ
โโ
(4.2.13)
applicando all'integrale piรน interno che compare allโultimo membro della
precedente la disuguaglianza di Schwarz si ottiene:
|โซ ๐ (๐ก)๐ โ(๐ก + ๐ฟ๐)๐๐กโ
โโ
|
โค (โซ |๐ (๐ก)|2๐๐กโ
โโ
โ โซ |๐ (๐ก + ๐ฟ๐)|2๐๐กโ
โโ
)
1
2
= โซ |๐ (๐ก)|2๐๐กโ
โโ
(4.2.14)
da cui discende:
|๐ผ(๐ฟ)| โค โซ |๐(๐) (โซ ๐ (๐ก)๐ โ(๐ก + ๐ฟ๐)๐๐กโ
โโ
)| ๐๐โ
โโ
โค โซ |๐(๐)|๐๐โซ |๐ (๐ก)|2๐๐กโ
โโ
โ
โโ
(4.2.15)
ne segue che l'integrale (4.2.6) esiste.
Eguagliando i secondi membri delle (4.2.6) e (4.2.13) si ottiene:
โซ ฮฆ(๐ฟ๐)|๐(๐)|2๐๐โ
โโ
= โซ ๐(๐) (โซ ๐ (๐ก)๐ โ(๐ก + ๐ฟ๐)๐๐กโ
โโ
)๐๐โ
โโ
(4.2.16)
poichรฉ si ha:
|ฮฆ(๐ฟ๐)||๐(๐)|2 โค |๐(๐)|2โซ |๐(๐)๐โ๐2๐๐ฟ๐๐|๐๐โ
โโ
= |๐(๐)|2โซ |๐(๐)|๐๐โ
โโ
(4.2.17)
e, ricordando la (4.2.14):
78 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
|๐(๐) (โซ ๐ (๐ก)๐ โ(๐ก + ๐ฟ๐)๐๐กโ
โโ
)| โค |๐(๐)|โซ |๐ (๐ก)|2๐๐กโ
โโ
(4.2.18)
puรฒ applicarsi ad entrambi i membri della (4.2.16) il II Teorema di Le-
besgue, il quale ci assicura che si puรฒ scrivere:
lim๐ฟโ0
โซ ฮฆ(๐ฟ๐)|๐(๐)|2๐๐โ
โโ
= ฮฆ(0)โซ |๐(๐)|2๐๐โ
โโ
โ
= lim๐ฟโ0
โซ ๐(๐) (โซ ๐ (๐ก)๐ โ(๐ก + ๐ฟ๐)๐๐กโ
โโ
)๐๐โ
โโ
โ
= โซ ๐(๐)๐๐โ
โโ
โซ |๐ (๐ก)|2๐๐กโ
โโ
(4.2.19)
Osservando che ฮฆ(0) = โซ ๐(๐)๐๐โ
โโ, dalla precedente si ottiene:
โซ |๐ (๐ก)|2๐๐กโ
โโ
= โซ |๐(๐)|2๐๐โ
โโ
(4.2.20)
Concludendo si รจ pervenuti al fatto che, se ๐ (๐ก) โ ๐(โ) โฉ ๐2(โ),
la sua trasformata ๐(๐) รจ una funzione a quadrato sommabile in โ.
Con procedimento analogo si puรฒ mostrare che se ๐ 1(๐ก) e ๐ 2(๐ก)
appartengono entrambe ad ๐(โ) โฉ ๐2(โ), dette rispettivamente ๐1(๐) e
๐2(๐) le loro trasformate, si ha:
โซ ๐ 1(๐ก)๐ 2โ(๐ก)๐๐ก
โ
โโ
= โซ ๐1(๐)๐2โ(๐)๐๐
โ
โโ
(4.2.21)
La trasformata in ๐ท๐(โ).
Per definire la trasformata di Fourier di una funzione a quadrato
sommabile รจ opportuno riferirsi nuovamente alla funzione troncata
๐ ๐(๐ก).
La funzione ๐ ๐(๐ก), nella metrica di ๐2(โ), tende a ๐ (๐ก). Ciรฒ signi-
fica che la distanza euclidea tra ๐ ๐(๐ก) e ๐ (๐ก) tende a zero quando ๐ โ โ:
lim๐โโ
โซ |๐ (๐ก) โ ๐ ๐(๐ก)|2๐๐ก
โ
โโ
= 0 (4.2.22)
ร bene osservare che la funzione ๐ ๐(๐ก) essendo identicamente
nulla all'esterno di un intervallo limitato, oltre ad essere a quadrato
sommabile, รจ anche sommabile in โ. Di conseguenza essa ammette tra-
sformata di Fourier ๐๐(๐):
CAPITOLO - 4 - Segnali a Energia Finita - 79
๐๐(๐) = โซ ๐ ๐(๐ก)๐โ๐2๐๐๐ก๐๐ก
โ
โโ
(4.2.23)
che soddisfa la condizione (4.2.20), cioรจ:
โ๐๐(๐)โ = โ๐ ๐(๐ก)โ (4.2.24)
inoltre รจ evidente che:
โ๐๐โฒ(๐) โ ๐๐(๐)โ = โ๐ ๐โฒ(๐ก) โ ๐ ๐(๐ก)โ (4.2.25)
D'altro canto, poichรฉ ๐ ๐(๐ก) โ ๐2(โ), comunque scelta una successione
๐๐ โ โ, esiste un ๐ tale che, ๐, ๐ > ๐ implicano โ๐ ๐๐(๐ก) โ ๐ ๐๐(๐ก)โ < ํ.
Per la (4.2.25) si ha anche:
โ๐๐๐(๐) โ ๐๐๐(๐)โ < ํ (4.2.26)
{๐๐๐(๐)}๐=1โ รจ pertanto una successione di Cauchy, quindi, in virtรน della
completezza di ๐2(โ), {๐๐๐(๐)}๐=1โ รจ convergente,. Inoltre l'arbitrarietร
nella scelta della {๐๐}๐=1โ assicura che la famiglia di funzioni ๐๐(๐), al di-
vergere di ๐, tende, secondo la metrica di ๐2(โ), ad una ๐(๐) โ ๐2(โ),
che si assume come trasformata di Fourier della funzione ๐ (๐ก) โ ๐2(โ).
Esplicitando la funzione ๐๐(๐), quanto detto, equivale a scrivere
lim๐โโ
โซ |๐(๐) โ โซ ๐ (๐ก)๐โ๐2๐๐๐ก๐๐ก
๐
2
โ๐
2
|
2
๐๐โ
โโ
= 0 (4.2.27)
Per definire la trasformata inversa di una funzione ๐(๐) โ ๐2(โ)
si puรฒ procedere analogamente. In particolare, la trasformata troncata
๐๐ต(๐) = ๐(๐)โ (๐
๐ต) (4.2.28)
รจ anche sommabile, essendo identicamente nulla al di fuori di un inter-
vallo finito. Essa quindi รจ antitrasformabile, e la sua antitrasformata รจ:
๏ฟฝ๏ฟฝ๐น(๐ก) = โซ ๐๐ต(๐)๐๐2๐๐๐ก๐๐
โ
โโ
(4.2.29)
che, evidentemente gode della proprietร :
โซ |๐๐ต(๐)|2๐๐
โ
โโ
= โซ |๏ฟฝ๏ฟฝ๐ต(๐ก)|2๐๐ก
โ
โโ
(4.2.30)
80 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
Al crescere di ๐น la funzione ๏ฟฝ๏ฟฝ๐น(๐ก) ammette, nella metrica di
๐2(โ), il limite ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก), cioรจ:
lim๐ตโโ
โซ |๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก) โ โซ ๐(๐)๐๐2๐๐๐ก๐๐
๐ต
2
โ๐ต
2
|
2
๐๐กโ
โโ
= 0 (4.2.31)
Tale valore limite appartiene a ๐2(โ) e soddisfa la relazione:
โซ |๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก)|2๐๐กโ
โโ
= โซ |๐(๐)|2๐๐โ
โโ
(4.2.32)
Resta quindi soltanto da dimostrare che, detta ๐(๐) la trasformata
di ๐ (๐ก), la sua antitrasformata ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก) รจ uguale, almeno quasi ovunque, a
๐ (๐ก).
A tal proposito, essendo ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก), ๐ (๐ก) โ ๐2(โ), si puรฒ scrivere:
โ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก) โ ๐ (๐ก)โ2 = โซ |๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก) โ ๐ (๐ก)|2๐๐กโ
โโ
= โซ |๐ (๐ก)|2๐๐กโ
โโ
โโซ ๐ (๐ก)๏ฟฝ๏ฟฝโ(๐ก)๐๐กโ
โโ
โโซ ๐ โ(๐ก)๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก)๐๐กโ
โโ
+โซ |๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก)|2๐๐กโ
โโ
(4.2.33)
Per le (4.2.20) e (4.2.32) risulta:
โซ |๐ (๐ก)|2๐๐กโ
โโ
= โซ |๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก)|2๐๐กโ
โโ
= โซ |๐(๐)|2๐๐โ
โโ
(4.2.34)
Inoltre in virtรน delle (4.2.23) e (4.2.29) si ha:
โซ ๐ (๐ก)๏ฟฝ๏ฟฝโ(๐ก)๐๐กโ
โโ
= โซ lim๐โโ
๐ ๐(๐ก) [ lim๐ตโโ
โซ ๐๐ต(๐)๐๐2๐๐๐ก๐๐
โ
โโ
]
โ
๐๐กโ
โโ
= lim๐โโ๐ตโโ
โซ ๐ ๐(๐ก) [โซ ๐๐ตโ (๐)๐โ๐2๐๐๐ก๐๐
โ
โโ
]โ
โโ
๐๐ก
(4.2.35)
CAPITOLO - 4 - Segnali a Energia Finita - 81
= lim๐โโ๐ตโโ
โซ ๐๐ตโ(๐) [โซ ๐ ๐(๐ก)๐
โ๐2๐๐๐ก๐๐กโ
โโ
] ๐๐โ
โโ
= lim๐โโ๐ตโโ
โซ ๐๐ตโ(๐)๐๐(๐)๐๐
โ
โโ
= โซ |๐(๐)|2๐๐โ
โโ
Con procedimento analogo si mostra anche che:
โซ ๐ (๐ก)โ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก)๐๐กโ
โโ
= โซ |๐(๐)|2๐๐โ
โโ
(4.2.36)
Finalmente, sostituendo le (4.2.35) e, (4.2.36) nella (4.2.33) si ot-
tiene
โ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก) โ ๐ (๐ก)โ2 = 0 (4.2.37)
che necessariamente comporta:
๐ (๐ก) =โ๐.๐.
๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก) (4.2.38)
Conclusioni
La trasformata di Fourier di una generica rappresentazione di un
segnale s ad energia finita รจ impicitamente definita dalla (4.2.27) che qui
ripetiamo per comoditร :
lim๐โโ
โซ |๐(๐) โ โซ ๐ (๐ก)๐โ๐2๐๐๐ก๐๐ก
๐
2
โ๐
2
|
2
๐๐โ
โโ
= 0 (4.2.39)
Ciรฒ equivale a dire che per trasformata di ๐ (๐ก) si deve intendere
quella ๐(๐) che soddisfa la (4.2.27) cioรจ la cui distanza euclidea da
โซ ๐ (๐ก)๐โ๐2๐๐๐ก๐๐ก๐
2
โ๐
2
tende a zero al divergere di ๐.
Si osservi che se una ๐(๐) soddisfa la precedente per una rappre-
sentazione ๐ (๐ก) di un segnale ๐, essa la soddisferร anche per tutte le altre
rappresentazioni dello stesso segnale, cioรจ per tutte le funzioni del tem-
po che differiscono da ๐ (๐ก) solo su un insieme di misura nulla di punti.
Reciprocamente, l'antitrasformata di Fourier di una generica rap-
presentazione ๐ รจ definita dalla:
lim๐ตโโ
โซ |๐ (๐ก) โ โซ ๐(๐)๐๐2๐๐๐ก๐๐
๐ต
2
โ๐ต
2
|
2
๐๐กโ
โโ
= 0 (4.2.40)
82 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
Ciรฒ equivale a dire che per antitrasformata di ๐(๐) si deve inten-
dere quella ๐ (๐ก) che soddisfa la (4.2.31) cioรจ la cui distanza euclidea da
โซ ๐(๐)๐๐2๐๐๐ก๐๐๐ต
2
โ๐ต
2
tende a zero al divergere di ๐ต. Dโaltro canto se funzio-
ne ๐ (๐ก) soddisfa la (4.2.40) per una data ๐(๐) essa la soddisfa anche per
tutte le funzioni che ad ๐(๐) sono uguali quasi ovunque. ๐ (๐ก) pertanto
puรฒ essere intesa come antitrasformata di ciascuna di esse.
In definitiva un segnale ad energia finita ๐ puรฒ essere quindi rap-
presentato indifferentemente sia mediante funzioni nel dominio del
tempo sia attraverso funzioni nel dominio della frequenza
ร opportuno ricordare che se ๐ รจ rappresentabile mediante una
funzione che รจ anche sommabile, il limite (4.2.39) puรฒ essere calcolato
anche secondo la metrica di ๐(โ), cioรจ:
lim๐โโ
|๐(๐) โ โซ ๐ (๐ก)๐โ๐2๐๐๐ก๐๐ก
๐
2
โ๐
2
| = 0 (4.2.41)
La convergenza dell'integrale โซ ๐ (๐ก)๐โ๐2๐๐๐ก๐๐ก๐
2
โ๐
2
รจ quindi uniforme.
Conclusioni analoghe valgono per l'antitrasformata.
Principali proprietร della trasformata di Fourier di un 4.3 - segnale
In quel che segue per semplicitร di esposizione la trasformata e
l'antitrasformata di Fourie verranno rispettivamente denotate in una del-
le forme equivalenti:
a) ๐(๐) = ๐[๐ (๐ก)] = โซ ๐ (๐ก)๐โ๐2๐๐๐ก๐๐กโ
โโ
;
(4.3.1)
b) โโ๐ (๐ก) = ๐โ1[๐(๐)] = โซ ๐(๐)๐๐2๐๐๐ก๐๐;โ
โโ
Negli ultimi membri delle quali si sottintendono cioรจ gli eventuali pas-
saggi al limite nel senso di ๐2(โ).
La trasformata di una funzione risulta in generale complessa, essa
si puรฒ quindi scrivere in una delle forme:
๐(๐) = ๐๐ (๐) + ๐๐๐ผ(๐) = |๐(๐)|๐๐๐(๐) (4.3.2)
CAPITOLO - 4 - Segnali a Energia Finita - 83
dove ๐๐ (๐) e ๐๐ผ(๐) sono funzioni reali.
Dalla precedente si deduce che
per rappresentare un segnale nel domi-
nio della frequenza sono necessari due
diagrammi che mostrano gli andamenti
della parte reale ๐๐ (๐) e del coefficiente
della parte immaginaria ๐๐ผ(๐), o equiva-
lentemente, quelli del modulo |๐(๐)| e
dell'argomento ๐(๐) di ๐(๐) al variare di
๐. Questi ultimi due diagrammi prendo-
no rispettivamente il nome di spettro di
ampiezza e spettro di fase del segnale.
Trasformata di Fourier di segnali reali.
La trasformata di un segnale reale
adottando la notazione (4.3.1) si puรฒ
anche porre nella forma:
๐(๐) = โซ ๐ (๐ก)cos(2๐๐๐ก)๐๐กโ
โโ
โ ๐โซ ๐ (๐ก)sin(2๐๐๐ก)๐๐กโ
โโ
(4.3.3)
Pertanto, se ๐ (๐ก) รจ reale, le quantitร ๐๐ (๐) e ๐๐ผ(๐) assumono la forma:
a) ๐๐ (๐) = โซ ๐ (๐ก)cos(2๐๐๐ก)๐๐กโ
โโ
;
(4.3.4)
b) โ๐๐ผ(๐) = โโซ ๐ (๐ก)sin(2๐๐๐ก)๐๐ก;โ
โโ
Dalle (4.3.4) si deduce che la parte reale (coefficiente della parte
immaginaria) di ๐(๐) รจ una funzione pari (dispari) di ๐; di conseguenza il
modulo |๐(๐)| รจ ancora una funzione pari e l'argomento ๐(๐) รจ una
funzione dispari di ๐; quindi:
๐(โ๐) = ๐โ(๐) (4.3.5)
che equivale a dire che la trasformata di Fourier di un segnale reale deve
presentare una simmetria di tipo hermitiano.
In Fig. 4.2 sono mostrati gli andamenti tipici di ๐๐ (๐) e ๐๐ผ(๐) e
quelli di |๐(๐)| e ๐(๐) per un segnale reale.
Casi particolari:
Fig. 4.2 - Rappresentazione della tra-sformata di Fourier di un segnale rea-le.
84 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
๐ (๐ก)รจ a simmetria pari cioรจ:
๐ (๐ก)=๐ (โ๐ก) (4.3.6)
Si osservi che gli integrandi nelle (4.3.4) risultano essere rispettivamente
funzioni pari e dispari del tempo. Quindi:
๐)โโโโ๐๐ (๐) = 2โซ ๐ (๐ก)cos(2๐๐๐ก)๐๐ก
โ
0
;
๐)โโโโ๐๐ผ(๐) = 0;
(4.3.7)
Pertanto:
๐(๐) = 2โซ ๐ (๐ก)cos(2๐๐๐ก)๐๐กโ
0
(4.3.8)
๐ (๐ก) รจ a simmetria dispari cioรจ:
๐ (๐ก) = โ๐ (โ๐ก) (4.3.9)
Risulta:
๐)โโโโโโโโโโ๐๐ (๐) = 0;
๐)โโโโโโโโโ๐๐ผ(๐) = โ2โซ ๐ (๐ก)sin(2๐๐๐ก)๐๐ก;โ
0
(4.3.10)
quindi:
๐(๐) = โ2๐โซ ๐ (๐ก)sin(2๐๐๐ก)๐๐กโ
0
(4.3.11)
In altri termini, la trasformata di Fourier di una funzione pari รจ
pari, mentre la trasformata di una funzione dispari รจ una funzione im-
maginaria dispari.
Dalla (4.3.1),b si deduce:
๐ (๐ก) = (โซ +โซ ๐( ๐)๐๐2๐๐๐ก๐๐โ
0
0
โโ
) (4.3.12)
che, cambiando ๐ in โ๐ nel primo integrale, diventa:
๐ (๐ก) = โซ [๐(โ๐)๐โ๐2๐๐๐ก + ๐(๐)๐๐2๐๐๐ก]๐๐โ
0
(4.3.13)
Tenendo presente la condizione (4.3.5), si riconosce facilmente
che le due quantitร ๐(๐)๐๐2๐๐๐ก e ๐(โ๐)๐โ๐2๐๐๐ก rappresentano due gran-
dezze complesse coniugate la cui somma รจ uguale al doppio della loro
CAPITOLO - 4 - Segnali a Energia Finita - 85
parte reale. Ciรฒ permette, interpretando l'integrale come limite di una
somma di contributi elementari, di scrivere la (4.3.13) nella forma:
๐ (๐ก) = 2โซ Re[๐(๐)๐๐2๐๐๐ก]๐๐โ
0
= 2โซ |๐(๐)|cos[2๐๐๐ก + ๐(๐)]๐๐โ
0
= lim๐ฅ๐โ0
โ2|๐(๐๐ฅ๐)|๐ฅ๐cos[2๐๐๐ฅ๐๐ก + ๐(๐๐ฅ๐)]
โ
๐=0
(4.3.14)
Osservandone l'ultimo membro,
si deduce che al modulo della trasforma-
ta di Fourier si puรฒ attribuire il significa-
to di densitร spettrale di ampiezza, in
quanto esso รจ proporzionale al limite del
rapporto tra l'ampiezza dell'armonica di
frequenza ๐๐ฅ๐ e ๐ฅ๐ al tendere a zero di
quest'ultimo.
Esempio 4.1
La trasformata di Fourier dell'impulso
rettangolare di durataT :
๐ (๐ก)=โ (๐ก
๐)
รจ reale e vale:
๐ [โ (๐ก
๐)] = โซ ๐โ๐2๐๐๐ก๐๐ก
๐
2
โ๐
2
= {๐sin(๐๐๐)
๐๐๐; ๐ โ 0
๐; ๐ = 0
โ = ๐sinc(๐๐)
Esempio 4.2
Sia ๐ข(๐ก) la funzione gradino unitario definita come segue:
u(๐ก) = {1; ๐ก โฅ 00; ๐ก < 0
La trasformata di Fourier dell'impulso esponenziale riportato in Fig.E 4.1a,
definito dalla
๐ (๐ก) = u(๐ก)๐โ๐๐ก
Fig.E 4.1
86 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
vale:
๐(๐) = โซ ๐โ๐๐ก๐โ๐2๐๐๐ก๐๐กโ
0
=1
๐ + ๐2๐๐
che si puรฒ anche scrivere(vedi Fig.E 4.1c):
๐(๐) =๐
๐2 + 4๐2๐2โ ๐
2๐๐
๐2 + 4๐2๐2โ =
๐โ๐arctg(
2๐๐
๐)
โ๐2 + 4๐2๐2
Gli spettri di ampiezza e fase dell'impulso esponenziale sono riportati
nella Fig.E 4.1b
Esempio 4.3
La trasformata di Fourier dell'impulso cosinusoidale:
๐ (๐ก) = cos (๐๐ก
๐)โ (
๐ก
๐)
di Fig.E 4.2a, รจ reale e vale:
๐(๐) = โซ cos (๐๐ก
๐) ๐โ๐2๐๐๐ก๐๐ก
๐
2
โ๐
2
โ =2๐
๐
cos(๐๐๐)
1 โ (2๐๐)2
il cui andamento รจ riportato in Fig.E 4.2 b.
Proprietร della trasformata di Fourier. 4.4 - Linearitร
Se il segnale ๐ รจ ottenuto combinando linearmente ๐ segnali ๐๐,
cioรจ se esso si puรฒ esprimere nella forma:
๐ =โ๐๐
๐
๐=1
๐๐ (4.4.1)
con ๐๐ costanti reali o complesse, la sua trasformata vale:
Fig.E 4.2
CAPITOLO - 4 - Segnali a Energia Finita - 87
๐(๐) = โซ โ๐๐๐ ๐(๐ก)๐โ๐2๐๐๐ก๐๐ก =
๐
๐=1
โ
โโ
โ๐๐โซ ๐ ๐(๐ก)๐โ๐2๐๐๐ก๐๐ก
โ
โโ
๐
๐=1
(4.4.2)
Ponendo ๐๐ = ๐[๐ ๐], la precedente diviene:
๐ =โ๐๐๐๐
๐
๐=1
(4.4.3)
La trasformata di Fourier della combinazione lineare di ๐ segnali รจ quin-
di la combinazione lineare delle loro trasformate. L'operatore definito
dalla (4.3.1) รจ pertanto lineare.
Simmetria
Dalla (4.3.1)b, si ottiene:
๐ (โ๐ก) = โซ ๐(๐)๐โ๐2๐๐๐ก๐๐โ
โโ
(4.4.4)
che, operando le sostituzioni ๐ก โ ๐, si trasforma nella:
๐ (โ๐) = โซ ๐(๐ก)๐โ๐2๐๐๐ก๐๐กโ
โโ
(4.4.5)
Dal confronto della precedente con la (4.3.1)a, si deduce che la
(4.4.5) puรฒ essere interpretata come la trasformata di Fourier del segnale
๐(๐ก). In altri termini se ๐ (๐ก) ammette come trasformata ๐(๐), allora la
trasformata di ๐(๐ก) รจ uguale a ๐ (โ๐). In formule:
๐[๐ (๐ก)] = ๐(๐) โ ๐โ1[๐ (โ๐)] = ๐(๐ก) (4.4.6)
Esempio 4.4
Applicando alla coppia di trasformate:
โ (๐ก
๐) โ ๐sinc(๐๐)
ricavata nell'Esempio 4.1 la proprietร di simmetria si ottiene:
๐ตsinc(๐ต๐ก) โโ (โ๐
๐ต)
dove si รจ posto ๐ =1
๐ต. Si ha dunque:
๐[sinc(๐ต๐ก)] =1
๐ตโ (
๐
๐ต)
Segnale coniugato
Se ๐[๐ (๐ก)] = ๐(๐) risulta:
88 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
๐[๐ โ (๐ก)] = โซ ๐ โ (๐ก)๐โ๐2๐๐๐ก๐๐ก
โ
โโ
= [โซ ๐ (๐ก)๐๐2๐๐๐ก๐๐กโ
โโ
]
โ
= ๐โ(โ๐)
(4.4.7)
Se ๐ (๐ก) รจ reale, essendo:
๐ (๐ก) = ๐ โ(๐ก) (4.4.8)
dalla (4.4.7) discende la nota condizione di simmetria hermitiana:
๐(๐) = ๐โ(โ๐) (4.4.9)
Trasformata coniugata
Se ๐[๐ (๐ก)] = ๐(๐) risulta:
๐โ1[๐โ(๐)] = โซ ๐โ(๐)๐๐2๐๐๐ก๐๐
โ
โโ
= [โซ ๐(๐)๐โ๐2๐๐๐ก๐๐โ
โโ
]
โ
= ๐ โ(โ๐ก)
(4.4.10)
Se ๐(๐) รจ reale, dalla precedente discende facilmente:
๐ (๐ก) = ๐ โ(โ๐ก) (4.4.11)
Traslazione nel dominio del tempo
La trasformata di Fourier del segnale ๐ (๐ก โ ๐ก0), che si ottiene da
๐ (๐ก) traslando l'origine dei tempi di una quantitร pari a ๐ก0, (v.Fig. 4.3),
vale:
๐[๐ (๐ก โ ๐ก0)] = โซ ๐ (๐ก โ ๐ก0)๐โ๐2๐๐๐ก๐๐ก
โ
โโ
โ = ๐โ๐2๐๐๐ก0๐[๐ (๐ก)] (4.4.12)
cioรจ la trasformata del segnale ๐ (๐ก โ ๐ก0)
ritardato di ๐ก0 rispetto a ๐ (๐ก) si ottiene
moltiplicando quella di ๐ (๐ก) per
๐โ๐2๐๐๐ก0. La traslazione di un segnale la-
scia quindi inalterato lo spettro di am-
piezza e aggiunge a quello di fase il
termine โ2๐๐๐ก0 proporzionale alla fre-
quenza.
Traslazione nel dominio della frequenza
Detta ๐(๐) la trasformata del segnale ๐ (๐ก), l'antitrasformata della
funzione ๐(๐ โ ๐0), ottenuta da ๐(๐) traslando l'origine dell'asse delle
frequenze della quantitร ๐0, vale:
Fig. 4.3 Segnale traslato
CAPITOLO - 4 - Segnali a Energia Finita - 89
๐โ1[๐(๐ โ ๐0)] = โซ ๐(๐ โ ๐0)๐
๐2๐๐๐ก๐๐โ
โโ
= ๐๐2๐๐0๐ก๐โ1[๐(๐)]
(4.4.13)
cioรจ: l'antitrasformata di ๐(๐ โ ๐0) รจ il prodotto tra il segnale ๐ (๐ก) e il
fattore esponenziale ๐๐2๐๐0๐ก.
Cambiamento di scala
La trasformata di Fourier del segnale ๐ (๐๐ก) dove ๐ รจ una costante
reale positiva vale:
๐[๐ (๐๐ก)] = โซ ๐ (๐๐ก)๐โ๐2๐๐๐ก๐๐กโ
โโ
=1
๐โซ ๐ (๐ฅ)๐โ๐2๐
๐
๐๐ฅ๐๐ฅ
โ
โโ
=1
๐๐ (๐
๐) ; ๐ > 0
(4.4.14)
Dove ๐[๐ (๐ก)] = ๐(๐).
In maniera analoga, si dimostra che, per ๐ < 0, si ha:
๐[๐ (๐๐ก)] = โ1
๐๐ (๐
๐) ; ๐ < 0 (4.4.15)
cosicchรฉ in generale puรฒ scriversi:
๐[๐ (๐๐ก)] =1
|๐|๐ (๐
๐) ; ๐ โ 0 (4.4.16)
In particolare per ๐ = โ1, dalla (4.4.16) discende:
๐[๐ (โ๐ก)] = ๐(โ๐) (4.4.17)
L'inversione dell'asse dei tempi implica quella dell'asse delle frequenze.
Esempio 4.5
Se si pone ๐ก = โ๐ก nell'impulso esponenziale
dell'Esempio 4.2, si ottiene il segnale ๐ (๐ก) rap-
presentato in Fig.E 4.3 la cui trasformata di Fou-
rier รจ, in base alla (4.4.17):
๐(๐) =1
๐ โ ๐2๐๐
In base a questo risultato e all'Esempio 4.2, si
puรฒ ottenere facilmente la trasformata del segna-
le ๐ (๐ก) riportato in Fig.E 4.4a:
๐ (๐ก) = ๐โ๐|๐ก|
Fig.E 4.3
90 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
In effetti, essendo:
๐ (๐ก) = u(๐ก)๐โ๐๐ก + u(โ๐ก)๐๐๐ก
risulta:
๐(๐) =1
๐ + ๐2๐๐+
1
๐ โ ๐2๐๐
=2๐
๐2 + (2๐๐)2
il cui andamento รจ mostrato
in Fig.E 4.4b.
Derivazione nel dominio del tempo
Derivando rispetto a ๐ก ambo i membri della (4.3.1),b si ottiene:
๐๐ (๐ก)
๐๐ก= โซ (๐2๐๐)๐(๐)๐๐2๐๐๐ก๐๐
โ
โโ
(4.4.18)
ammesso che ๐ (๐ก) sia continua e derivabile quasi dappertutto e che la
sua derivata appartenga ad ๐2(โ).
Pertanto la derivazione nel dominio del tempo si traduce nel do-
minio della frequenza nel prodotto di ๐(๐) per il fattore ๐2๐๐ cioรจ:
๐ [๐๐ (๐ก)
๐๐ก] = (๐2๐๐)๐[๐ (๐ก)] (4.4.19)
La proprietร sopra enunciata puรฒ facilmente estendersi alle deri-
vate di qualunque ordine. Se il segnale ๐ (๐ก) รจ derivabile fino allโordine
๐ โ 1 con derivata continua, se la sua derivata ๐ โ 1-esima รจ continua e
derivabile quasi ovunque e se inoltre ๐๐๐ (๐ก)
๐๐ก๐โ ๐2(โ), derivando successi-
vamente la (4.3.1),b si ottiene:
๐๐๐ (๐ก)
๐๐ก๐= โซ (๐2๐๐)๐๐(๐)๐๐2๐๐๐๐
โ
โโ
(4.4.20)
che equivale a scrivere:
๐ [๐๐๐ (๐ก)
๐๐ก๐] = (๐2๐๐)๐๐[๐ (๐ก)] (4.4.21)
Derivazione nel dominio della frequenza
Supposta ๐(๐) derivabile fino allโordine ๐ โ 1 con derivata conti-
nua, se la derivata ๐ โ 1-esima รจ continua e derivabile quasi ovunque e
Fig.E 4.4
CAPITOLO - 4 - Segnali a Energia Finita - 91
se inoltre ๐๐๐(๐)
๐๐๐โ ๐2(โ), derivando successivamente la (4.3.1)a rispetto
a ๐ si ottiene:
๐๐๐(๐)
๐๐๐= โซ (โ๐2๐๐ก)๐๐ (๐ก)๐โ๐2๐๐๐ก๐๐ก
โ
โโ
(4.4.22)
cioรจ:
๐[(โ๐2๐๐ก)๐๐ (๐ก)] =๐๐๐(๐)
๐๐๐ (4.4.23)
ossia: la trasformata del segnale (โ๐2๐๐ก)๐๐ (๐ก) รจ data dalla derivata ๐-
esima, rispetto a ๐, della trasformata del segnale ๐ (๐ก).
Esempio 4.6
Sia ๐ (๐ก) = ๐โ๐ผ๐ก2 un impulso gaussiano. La cui derivata รจ:
๐ โฒ(๐ก) = โ2๐ผ๐ก๐โ๐ผ๐ก2= โ2๐ผ๐ก๐ (๐ก)
dalla quale, tenendo presenti le (4.4.21) e (4.4.23), si deduce:
๐๐(๐)
๐๐= โ
2๐2๐
๐ผ๐(๐)
La trasformata ๐(๐) obbedisce quindi ad unโequazione differenziale dello
stesso tipo di quella soddisfatta dal segnale, solo che in tal caso, la costante
che compare nell'esponenziale vale ๐2
๐ผ. Si avrร pertanto:
๐(๐) = ๐ด๐โ๐2๐2
๐ผ
in cui la quantitร ๐ด puรฒ determinarsi dalla condizione:
๐(0) = โซ ๐ (๐ก)๐๐กโ
โโ
ottenuta ponendo ๐ = 0 nella (4.3.1),b.
Poichรฉ รจ:
๐ด = โซ ๐โ๐ผ๐ก2๐๐ก
โ
โโ
=1
โ๐ผโซ ๐โ๐ฅ
2๐๐ฅ
โ
โโ
= โ๐
๐ผ
risulta:
๐(๐) = โ๐
๐ผ๐โ
๐2๐2
๐ผ
Convoluzione nel dominio del tempo
Siano ๐ 1(๐ก) e ๐ 2(๐ก) due segnali e ๐1(๐) e ๐2(๐) le loro trasformate.
92 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
Il segnale ๐(๐ก) definito dalla7:
๐(๐ก) = ๐ 1 โ ๐ 2 = โซ ๐ 1(๐)๐ 2(๐ก โ ๐)๐๐โ
โโ
(4.4.24)
prende il nome di convoluzione fra ๐ 1(๐ก) e ๐ 2(๐ก). Effettuando nella pre-
cedente la sostituzione di variabili ๐โฒ = ๐ก โ ๐, si ottiene:
๐(๐ก) = โซ ๐ 1(๐ก โ ๐โฒ)๐ 2(๐โฒ)๐๐โฒโ
โโ
= ๐ 2 โ ๐ 1 (4.4.25)
pertanto la convoluzione gode della proprietร commutativa. Inoltre รจ fa-
cile verificare che per essa vale anche la proprietร distributiva.
Per meglio comprendere il significato della convoluzione in Fig.
4.4 sono indicate le varie fasi che conducono alla (4.4.24).
Una funzione si dice di durata limitata, o a supporto limitato, se esiste
un intervallo limitato tale che al di fuori di esso la funzione รจ quasi
ovunque nulla.
Dalla Fig. 4.4 si deduce anche che se i segnali convolvendi sono
rappresentabili mediante funzioni a durata limitata, anche la loro convo-
luzione lo รจ.
Infatti detti (๐ก1, ๐1) e (๐ก2, ๐2) gli intervalli di minima ampiezza che indi-
viduano le durate dei segnali ๐ 1(๐ก) e ๐ 2(๐ก) rispettivamente, la durata del
segnale ๐ 2(โ๐) รจ anch'essa limitata dallโintervallo (โ๐2, โ๐ก2) e quindi la
durata di ๐ 2(๐ก โ ๐) รจ definita dallโintervallo (๐ก โ ๐2, ๐ก โ ๐ก2). ร evidente
che l'integrale che compare nella (4.2.24) รจ nullo quando gli intervalli
(๐ก1, ๐1) e (๐ก โ ๐2, ๐ก โ ๐ก2) sono disgiunti. Questo accade quando รจ verifi-
cata una delle due condizioni:
๐ก1 > ๐ก โ ๐ก2; ๐1 < ๐ก โ ๐2 (4.4.26)
Ciรฒ significa che la durata della convoluzione รจ individuata dalla
seguente catena di disuguaglianze:
๐ก1 + ๐ก2 < ๐ก < ๐1 + ๐2 (4.4.27)
e quindi vale:
(๐1 โ ๐ก1) + (๐2 โ ๐ก) (4.4.28)
7 Si precisa che la convoluzione ๐(๐ก) = โซ ๐ 1(๐)๐ 2(๐ก โ ๐)๐๐
โ
โโ va intesa come la funzione cui
tende nella metrica di ๐2(โ) l'integrale โซ ๐ 1(๐)๐ 2(๐ก โ ๐)๐๐๐
โ๐ quando ๐ diverge.
CAPITOLO - 4 - Segnali a Energia Finita - 93
Essa cioรจ รจ pari alla somma delle durate ๐ฅ1 e ๐ฅ2 dei due segnali.
ร immediato verificare che se anche uno soltanto di due segnali
non รจ a durata limitata la convoluzione non ha durata limitata.
La trasformata di Fourier di ๐(๐ก) si ottiene dalla:
๐ท(๐) = โซ ๐โ๐2๐๐๐ก [โซ ๐ 1(๐)๐ 2(๐ก โ ๐)๐๐โ
โโ
] ๐๐กโ
โโ
(4.4.29)
che, invertendo l'ordine di integrazione e tenendo conto della (4.4.12), si
trasforma nella:
Fig. 4.4 - Convoluzione fra due segnali nel dominio del tempo
94 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
๐ท(๐) = โซ ๐ 1(๐) [โซ ๐ 2(๐ก โ ๐)๐โ๐2๐๐๐ก๐๐ก
โ
โโ
] ๐๐โ
โโ
= ๐2(๐)โซ ๐ 1(๐)๐โ๐2๐๐๐๐๐
โ
โโ
(4.4.30)
Si conclude quindi che:
๐ท(๐) = ๐(๐ 1 โ ๐ 2) = ๐1(๐) โ ๐2(๐) (4.4.31)
In altri termini: la trasformata della convoluzione di due segnali ๐1e ๐2 รจ
il prodotto delle loro trasformate.
Convoluzione nel dominio della frequenza
Siano ๐1(๐) e ๐2(๐) le trasformate di Fourier dei segnali ๐1 e ๐2
rispettivamente. L'antitrasformata della convoluzione fra ๐1(๐) e ๐2(๐)
definita dalla8:
๐ท(๐) = ๐1 โ ๐2 = โซ ๐1(๐)๐2(๐ โ ๐)๐๐โ
โโ
= โซ ๐1(๐ โ ๐)๐2(๐)๐๐โ
โโ
(4.4.32)
vale:
๐(๐ก) = โซ ๐๐2๐๐๐ก [โซ ๐1(๐)๐2(๐ โ ๐)๐๐โ
โโ
] ๐๐โ
โโ
(4.4.33)
che, invertendo l'ordine di integrazione e ricordando la (4.4.13), ci da:
๐(๐ก) = โซ ๐1(๐)[โซ ๐2(๐ โ ๐)๐๐2๐๐๐ก๐๐
โ
โโ
]๐๐โ
โโ
โ
= ๐ 2(๐ก)โซ ๐1(๐)๐๐2๐๐๐๐๐
โ
โโ
= ๐ 1(๐ก)๐ 2(๐ก)
(4.4.34)
Pertanto la trasformata del prodotto di due segnali รจ data dalla convolu-
zione in frequenza delle loro trasformate.
Esempio 4.7
8 Per la convoluzione in frequenza valgono le considerazioni della nota relativa alla convoluzio-
ne nel dominio del tempo.
CAPITOLO - 4 - Segnali a Energia Finita - 95
La convoluzione di un rettango-
lo unitario di durata ๐ con se stesso
รจ espressa dalla:
๐(๐ก) = โซ โ (๐
๐)โ (
๐ก โ ๐
๐)๐๐
โ
โโ
Quest'ultima, riferendosi alla Fig.E
4.5, si puรฒ riscrivere per ๐ก โฅ 0:
๐(๐ก) = {โซ ๐๐ = ๐ โ ๐ก;
๐
2โ๐ก
โ๐
2
0 < ๐ก < ๐
0; ๐ก > ๐
e analogamente per ๐ก < 0:
๐(๐ก) = {โซ ๐๐ = ๐ + ๐ก;
๐
2
โ๐
2+๐ก
โ ๐ < ๐ก < 0
0; ๐ก < โ๐
In definitiva introducendo lโimpulso triangolare โง (๐ก) = (1 โ |2๐ก|) โ (๐ก) ri-
sulta:
๐(๐ก) = (๐ โ |๐ก|)โ (๐ก
2๐) = ๐โง ( ๐ก
2๐)
pertanto la convoluzione ๐(๐ก) รจ un impulso triangolare di durata 2๐ed altez-
za ๐.
Applicando la proprietร (4.4.31) si ha infine:
๐ท(๐) = ๐sinc(๐๐) โ ๐sinc(๐๐) = ๐2sinc2(๐๐)
Esempio 4.8
Sia ๐ (๐ก) un segnale la cui trasformata di
Fourier ๐(๐) si annulla al di fuori dell'inter-
vallo [โ๐ต, ๐ต] come mostrato in Fig.E 4.6. La
trasformata del quadrato ๐ 2(๐ก) del segnale, si
puรฒ ottenere dalla convoluzione di ๐(๐) con
se stessa. Si puรฒ cioรจ scrivere:
๐[๐ 2(๐ก)] = โซ ๐(๐)๐(๐ โ ๐)๐๐โ
โโ
Risulta:
๐[๐ 2(๐ก)] = 0; |๐| > 2๐ต
Pertanto la trasformata di Fourier del segnale ๐ 2(๐ก) รจ nulla al di fuori dell'in-
tervallo [โ2๐ต, 2๐ต].
Fig.E 4.5
Fig.E 4.6
96 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
In generale la trasformata di
Fourier di ๐ ๐(๐ก) vale zero al di
fuori dell'intervallo [โ๐๐ต, ๐๐ต].
Esempio 4.9
Si consideri la seguente fun-
zione:
๐(๐) =โ (๐
2๐ต) sinc(๐๐)
(vedi Fig.E 4.8). ottenuta annul-
lando lo spettro dell'impulso
rettangolare al di fuori dell'in-
tervallo ,B B .
Risulta:
๐โ1[๐๐ ๐๐๐(๐๐)] =โ (๐ก
๐)
Pertanto in virtรน della (4.4.6) si
ottiene:
๐โ1 [โ (๐
2๐ต)] = 2๐ตsinc(2๐ต๐ก)
L'antitrasformata vale quin-
di:
๐ (๐ก) = 2๐ตโซ sinc[2๐ต(๐ก โ ๐)]๐๐
๐
2
โ๐
2
che, si puรฒ esprimere in termini
della funzione "seno integrale":
๐๐(๐ฅ) = โซsin๐ก
๐ก๐๐ก
๐ฅ
0
rappresentata in Fig.E 4.9. Si
noti che Si(๐ฅ) รจ una funzione dispari.
Effettuando il cambiamento di variabile ๐ฅ = ๐2๐ต(๐ก โ ๐), ๐ (๐ก) diviene:
๐ (๐ก) =1
๐[Si (๐2๐ต (๐ก +
๐
2)) โ Si (๐2๐ต (๐ก โ
๐
2))]
In Fig.E 4.7 รจ riportato l'andamento di ๐ (๐ก) in funzione del tempo. Dalla
stessa figura si evince che un troncamento in frequenza del segnale comporta
l'eliminazione delle discontinuitร presenti nell'impulso rettangolare origina-
Fig.E 4.8
Fig.E 4.9
Fig.E 4.7
CAPITOLO - 4 - Segnali a Energia Finita - 97
rio nei punti ๐ก = ยฑ๐ 2โ . Per contro la durata nel tempo di un segnale il cui
spettro รจ null o al di fuori di un certo intervallo di frequenze รจ infinita.
Nella Tabella 4.1 sono riassunte tutte le proprietร della trasfor-
mata di Fourier precedentemente discusse.
Tabella 4.1
Proprietร della trasformata di Fourier
Proprietร Segnale Trasformata Note
Linearitร โ๐๐๐ ๐(๐ก)
๐
๐=1
โ๐๐๐๐(๐)
๐
๐=1
๐๐ cos-
tanti
Simmetria ๐(๐ก) ๐ (โ๐)
Segnale coniuga-
to ๐ โ (๐ก) ๐ โ (โ๐)
Trasformata co-
niugata ๐ โ (โ๐ก) ๐ โ (๐)
Traslazione nel
dominio del
tempo
๐ (๐ก โ ๐ก0) ๐โ๐2๐๐๐ก0๐(๐) โ ๐ก0
โ โ
Traslazione nel
dominio della
frequenza
๐๐2๐๐0๐ก๐ (๐ก) ๐(๐ โ ๐0) โ ๐0
โ โ
Cambiamento di
scala ๐ (๐๐ก)
1
|๐|๐ (๐
๐) ๐ โ 0
Derivazione nel
dominio del
tempo
๐๐๐ (๐ก)
๐๐ก๐ (๐2๐๐)๐๐(๐)
Derivazione nel
dominio della
frequenza
(โ๐2๐๐ก)๐๐ (๐ก) ๐๐๐(๐)
๐๐๐
Convoluzione
nel dominio del
tempo
โซ ๐ 1(๐)๐ 2(๐ก โ ๐)๐๐โ
โโ
๐1(๐) โ ๐2(๐)
Convoluzione
nel dominio del-
la frequenza
๐ 1(๐ก) โ ๐ 2(๐ก) โซ ๐1(๐)๐2(๐ โ ๐)๐๐โ
โโ
98 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
Limitazioni dello spettro di ampiezza di un segnale. 4.5 -
Sia ๐ un segnale rappresentabile mediante una funzione ๐ (๐ก)
sommabile che sia derivabile a tratti. La sua trasformata di Fourier si
puรฒ allora scrivere:
๐(๐) = โซ ๐ (๐ก)๐โ๐2๐๐๐ก๐๐กโ
โโ
= โ โซ ๐ (๐ก)๐โ๐2๐๐๐ก๐๐ก๐ก๐
๐ก๐โ1
โ
๐=โโ
= โ {[๐ (๐ก)๐โ๐2๐๐๐ก
โ๐2๐๐]๐ก๐โ1+
๐ก๐โ
+1
๐2๐๐โซ ๐ โฒ(๐ก)๐โ๐2๐๐๐ก๐๐ก๐ก๐
๐ก๐โ1
}
โ
๐=โโ
=1
๐2๐๐โ [(๐ (๐ก๐
+) โ ๐ (๐ก๐โ))๐โ๐2๐๐๐ก๐ +โซ ๐ โฒ(๐ก)๐โ๐2๐๐๐ก๐๐ก
๐ก๐
๐ก๐โ1
]
โ
๐=โโ
(4.5.1)
essendo {๐ก๐} l'insieme degli estremi degli intervalli all'interno dei quali
๐ (๐ก) risulta derivabile. Dalla precedente si deduce la limitazione:
|๐(๐)|
=1
|2๐๐|| โ [(๐ (๐ก๐
+) โ ๐ (๐ก๐โ))๐โ๐2๐๐๐ก๐ +โซ ๐ โฒ(๐ก)๐โ๐2๐๐๐ก๐๐ก
๐ก๐
๐ก๐โ1
]
โ
๐=โโ
|
โค1
|2๐๐|โ (|๐ (๐ก๐
+) โ ๐ (๐ก๐โ)| + โซ |๐ โฒ(๐ก)|๐๐ก
๐ก๐
๐ก๐โ1
)
โ
๐=โโ
(4.5.2)
che, se la sommatoria che vi compare si mantiene finita, comporta:
|๐(๐)| โค๐1
|2๐๐| (4.5.3)
dove si รจ posto:
๐1 = โ (|๐ (๐ก๐+) โ ๐ (๐ก๐
โ)| + โซ |๐ โฒ(๐ก)|๐๐ก๐ก๐
๐ก๐โ1
)
โ
๐=โโ
(4.5.4)
se ๐ (๐ก) รจ continua, la (4.5.4) si semplifica nella:
๐1 = โซ |๐ โฒ(๐ก)|๐๐กโ
โโ
(4.5.5)
In queste ipotesi, se ๐ โฒ(๐ก) รจ a sua volta derivabile a tratti, la (4.5.1) puรฒ
ulteriormente scriversi:
CAPITOLO - 4 - Segnali a Energia Finita - 99
๐(๐) = โซ ๐ (๐ก)๐โ๐2๐๐๐ก๐๐กโ
โโ
= โ {1
๐2๐๐โซ ๐ โฒ(๐ก)๐โ๐2๐๐๐ก๐๐ก๐ก๐
๐ก๐โ1
} =
โ
๐=โโ
โ1
(2๐๐)2โ [(๐ โฒ(๏ฟฝ๏ฟฝ๐
+) โ ๐ โฒ(๏ฟฝ๏ฟฝ๐โ))๐โ๐2๐๐๐ก๐ +โซ ๐ โณ(๐ก)๐โ๐2๐๐๐ก๐๐ก
๏ฟฝ๏ฟฝ๐
๏ฟฝ๏ฟฝ๐โ1
]
โ
๐=โโ
(4.5.6)
nella quale si รจ fatto riferimento all'insieme {๏ฟฝ๏ฟฝ๐} โ {๐ก๐} degli estremi de-
gli intervalli all'interno dei quali la ๐ โฒ(๐ก) รจ derivabile. La (4.5.6) comporta
evidentemente la ulteriore limitazione:
|๐(๐)| โค๐2
|2๐๐|2 (4.5.7)
con
๐2 = โ (|๐ โฒ(๏ฟฝ๏ฟฝ๐+) โ ๐ โฒ(๏ฟฝ๏ฟฝ๐
โ)| + โซ |๐ โณ(๐ก)|๐๐ก๏ฟฝ๏ฟฝ๐
๏ฟฝ๏ฟฝ๐โ1
)
โ
๐=โโ
(4.5.8)
ovvero se anche ๐ โณ(๐ก) รจ continua:
๐2 = โซ |๐ โณ(๐ก)|๐๐กโ
โโ
(4.5.9)
ร immediato constatare che il procedimento seguito puรฒ iterarsi
fino all'ordine ๐ di derivazione se la derivata di ordine ๐ โ 2 รจ continua
e derivabile a tratti e se la derivata ๐ โ 1 pur essendo derivabile a tratti
presenta discontinuitร non eliminabili.
Si ottengono cosรฌ le seguenti limitazioni per lo spettro di ampiez-
za del segnale:
|๐(๐)| โค๐๐
|2๐๐|๐; ๐ = 0, โฆ , ๐ (4.5.10)
in cui si รจ anche tenuto conto che |๐(๐)| โค โซ |๐ (๐ก)|โ
โโ๐๐ก = ๐0.
Dalle (4.5.10) si deduce che la trasformata del segnale รจ infinite-
sima almeno di ordine ๐ rispetto ad 1
๐. Inoltre l'insieme delle (4.5.10) puรฒ
essere utilizzato per delimitare nel piano ๐, |๐(๐)| la regione che contie-
ne lo spettro di ampiezza del segnale.
Si osservi che un ragionamento analogo puรฒ essere sviluppato per de-
durre delle limitazioni sul segnale nota che sia la sua trasformata.
100 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
Esempio 4.10
Sia dato il segnale s rappre-
sentato in Fig.E 4.10. La sua tra-
sformata รจ data da:
๐(๐) = 3sinc(๐)sinc(3๐)
Poichรฉ il segnale รจ rappresen-
tabile mediante una funzione con-
tinua e derivabile a tratti per essa valgono, per ๐ = 0,1,2, le limitazioni
(4.5.10) con:
{
๐0 = โซ |๐ (๐ก)|๐๐ก
โ
โโ
= 3
๐1 = โซ |๐ โฒ(๐ก)|๐๐กโ
โโ
= 2
๐2 = โ (|๐ โฒ(๐ก๐+) โ ๐ โฒ(๐ก๐
โ)| + โซ |๐ โณ(๐ก)|๐๐ก๐ก๐
๐ก๐โ1
)
โ
๐=โโ
= โ (|๐ โฒ(๐ก๐+) โ ๐ โฒ(๐ก๐
โ)|)
โ
๐=โโ
= 4
da cui:
{
|๐(๐)| โค 3;
โ|๐(๐)| โค1
๐|๐|;
โ|๐(๐)| โค1
๐2๐2;
In Fig.E 4.11 sono rap-
presentate graficamente la
trasformata di Fourier e le
limitazioni ricavate per lo
spettro di ampiezza, tenen-
do conto del fatto che la tra-
sformata del segnale consi-
derato รจ reale, in quanto il
segnale in oggetto รจ rappresentato da una funzione reale pari.
Segnali bidimensionali. 4.6 -
Lo studio di un segnale nel dominio della frequenza, affrontato
nel caso di segnali monodimensionali, puรฒ essere esteso al caso di se-
gnali bidimensionali o, multidimensionali in generale.
Sia ๐ (๐ฅ, ๐ฆ) un segnale bidimensionale a energia finita tale cioรจ che
risulti:
Fig.E 4.10
Fig.E 4.11
CAPITOLO - 4 - Segnali a Energia Finita - 101
๐ธ = โซ โซ |๐ (๐ฅ, ๐ฆ)|2๐๐ฅ๐๐ฆโ
โโ
โ
โโ
< โ (4.6.1)
la trasformata di Fourier ๐(๐๐ฅ, ๐๐ฆ) di ๐ (๐ฅ, ๐ฆ) รจ definita come segue:
๐(๐๐ฅ, ๐๐ฆ) = ๐[๐ (๐ฅ, ๐ฆ)] = โซ โซ ๐ (๐ฅ, ๐ฆ)๐โ๐2๐(๐๐ฅ๐ฅ+๐๐ฆ๐ฆ)๐๐ฅ๐๐ฆโ
โโ
โ
โโ
(4.6.2)
e la corrispondente antitrasformata:
๐ (๐ฅ, ๐ฆ) = ๐โ1[๐(๐๐ฅ, ๐๐ฆ)]
= โซ โซ ๐(๐๐ฅ, ๐๐ฆ)๐๐2๐(๐๐ฅ๐ฅ+๐๐ฆ๐ฆ)๐๐๐ฅ๐๐๐ฆ
โ
โโ
โ
โโ
(4.6.3)
Nella (4.6.1) e (4.6.2), le variabili ๐๐ฅ ed ๐๐ฆ rappresentano le frequenze
spaziali che corrispondono alla variabile ๐ utilizzata per i segnali mo-
nodimensionali.
La trasformata bidimensionale gode di proprietร analoghe a quel-
le giร viste nello studio della trasformata monodimensionale.
Le predette proprietร vengono qui di seguito elencate, ometten-
done le dimostrazioni,
Linearitร
Se ๐ (๐ฅ, ๐ฆ) = ๐1๐ 1(๐ฅ, ๐ฆ) + ๐2๐ 2(๐ฅ, ๐ฆ) con ๐1 e ๐2 costanti comples-
se, รจ:
๐(๐๐ฅ, ๐๐ฆ) = ๐1๐1(๐๐ฅ, ๐๐ฆ) + ๐2๐2(๐๐ฅ, ๐๐ฆ) (4.6.4)
essendo ๐(๐๐ฅ, ๐๐ฆ), ๐1(๐๐ฅ, ๐๐ฆ) e ๐2(๐๐ฅ, ๐๐ฆ) le trasformate di ๐ (๐ฅ, ๐ฆ), ๐ 1(๐ฅ, ๐ฆ)
e ๐ 2(๐ฅ, ๐ฆ) rispettivamente.
Traslazione nel dominio dello spazio e della frequenza
Se ๐ (๐ฅ, ๐ฆ) รจ un segnale che ammette trasformata di Fourier data da
๐(๐๐ฅ , ๐๐ฆ) risulta:
๐[๐ (๐ฅ โ ๐๐ฅ, ๐ฆ โ ๐๐ฆ)] = ๐โ๐2๐(๐๐ฅ๐๐ฅ+๐๐ฆ๐๐ฆ)๐(๐๐ฅ, ๐๐ฆ) (4.6.5)
come pure:
๐โ1[๐(๐๐ฅ โ ๐๐ฅ , ๐๐ฆ โ ๐๐ฆ)] = ๐๐2๐(๐๐ฅ๐ฅ+๐๐ฆ๐ฆ)๐ (๐ฅ, ๐ฆ) (4.6.6)
Cambiamento di scala.
Se ๐(๐๐ฅ, ๐๐ฆ) รจ la trasformata di Fourier di ๐ (๐ฅ, ๐ฆ) si ha:
102 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
๐[๐ (๐๐ฅ, ๐๐ฆ)] =1
|๐๐|๐ (๐๐ฅ๐,๐๐ฆ
๐) ; ๐, ๐ โ 0 (4.6.7)
Convoluzione nel dominio dello spazio e della frequenza
Se ๐ 1(๐ฅ, ๐ฆ) e ๐ 2(๐ฅ, ๐ฆ) sono due segnali le cui trasformate sono ri-
spettivamente ๐1(๐๐ฅ , ๐๐ฆ) e ๐2(๐๐ฅ , ๐๐ฆ), il segnale ๐ (๐ฅ, ๐ฆ) definito dalla:
๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐ 1 โโ ๐ 2
= โซ โซ ๐ 1(๐ฅ0, ๐ฆ0)๐ 2(๐ฅ โ ๐ฅ0, ๐ฆ โ ๐ฆ0)๐๐ฅ0๐๐ฆ0
โ
โโ
โ
โโ
(4.6.8)
รจ detto convoluzione di ๐ 1(๐ฅ, ๐ฆ) con ๐ 2(๐ฅ, ๐ฆ); esso รจ trasformabile se-
condo Fourier e la sua trasformata vale:
๐ท(๐๐ฅ, ๐๐ฆ) = ๐1(๐๐ฅ, ๐๐ฆ) โ ๐2(๐๐ฅ, ๐๐ฆ) (4.6.9)
In maniera analoga, alla convoluzione nel dominio della frequen-
za:
๐ท(๐๐ฅ, ๐๐ฆ) = ๐1 โโ ๐2
= โซ โซ ๐1(๐0, ๐0)๐2(๐๐ฅ โ ๐0, ๐๐ฆ โ ๐0)๐๐0๐๐0
โ
โโ
โ
โโ
(4.6.10)
corrisponde il segnale ๐(๐ฅ, ๐ฆ):
๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐ 1(๐ฅ, ๐ฆ) โ ๐ 2(๐ฅ, ๐ฆ) (4.6.11)
dove ๐ 1(๐ฅ, ๐ฆ) ed ๐ 2(๐ฅ, ๐ฆ) sono rispettivamente le trasformate inverse di
๐1(๐๐ฅ, ๐๐ฆ) e ๐2(๐๐ฅ, ๐๐ฆ).
Esempio 4.11
Si consideri il segnale ๐ (๐ฅ, ๐ฆ) che vale 1 nella re-
gione tratteggiata di Fig.E 4.12 ed รจ identicamente
nullo altrove. La sua trasformata bidimensionale vale:
๐(๐๐ฅ , ๐๐ฆ) = โซ ๐โ๐2๐๐๐ฅ๐ฅ๐๐ฅ
๐
2
โ๐
2
โซ ๐โ๐2๐๐๐ฆ๐ฆ๐๐ฆ
๐
2
โ๐
2
= ๐๐ โ sinc(๐๐ฅ๐)sinc(๐๐ฆ๐)
Fig.E 4.12
CAPITOLO - 4 - Segnali a Energia Finita - 103
Vedi Fig.E 4.13
Trasformazioni di variabili
Se il segnale ๐ (๐ฅ, ๐ฆ) presenta una simmetria di tipo circolare รจ op-
portuno rappresentare sia il segnale sia la sua trasformata ๐(๐๐ฅ, ๐๐ฆ) in
coordinate polari ponendo:
{๐ฅ = ๐ cos๐๐ฆ = ๐ sin๐
; โโโโโโ {๐๐ฅ = ๐พ cos ๐๐๐ฆ = ๐พ sin ๐
; (4.6.12)
Si puรฒ scrivere:
๐ (๐ฅ, ๐ฆ) = ๐ (๐ cos๐ , ๐ sin๐ , ๐ฆ) = ๐(๐) (4.6.13)
Tenendo presente che i determinanti Jacobiani delle trasformazioni
(4.6.13) valgono ๐ e ๐พ rispettivamente e che risulta:
๐๐ฅ๐ฅ + ๐๐ฆ๐ฆ = ๐๐พ(cos ๐ cos ๐ + sin๐ sin ๐) = ๐๐พ cos(๐ โ ๐) (4.6.14)
La (4.6.2) nei nuovi riferimenti si riscrive come segue:
๐(๐พ, ๐) = โซ ๐๐(๐)โซ ๐โ๐2๐๐๐พ cos(๐โ๐))๐๐๐
โ๐
๐๐โ
0
(4.6.15)
Fig.E 4.13
104 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
Ricordando che l'espressione della funzione di Bessel di prima
specie di ordine zero vale:
๐ฝ0(๐ง) =1
2๐โซ ๐โ๐๐ง cos๐ข๐๐ข๐
โ๐
(4.6.16)
la (4.6.16) si puรฒ riscrivere:
๐(๐พ cos ๐ , ๐พ sin ๐) = 2๐โซ ๐๐(๐)๐ฝ0(2๐๐๐พ)๐๐โ
0
= ๐น(๐พ) (4.6.17)
ร immediato constatare che la precedente รจ indipendente dalla variabile
๐ pertanto si conclude che la simmetria circolare del segnale comporta
quella della sua trasformata e viceversa.
La (4.6.17) รจ detta trasformata di Hankel:
โ[๐(๐)] = 2๐โซ ๐๐(๐)๐ฝ0(2๐๐๐พ)๐๐โ
0
(4.6.18)
Si puรฒ facilmente verificare che, in virtรน della simmetria pari di
0( )J z , si ha:
โ-1[๐น(๐พ)] = 2๐โซ ๐พ๐น(๐พ)๐ฝ0(2๐๐๐พ)๐๐พโ
0
= ๐(๐) (4.6.19)
Pertanto la trasformata di Hankel inversa ha la stessa struttura di quella
diretta.
Esempio 4.12
Nel caso in cui il segnale ๐ (๐ฅ, ๐ฆ) valga 1 nel
cerchio tratteggiato in Fig.E 4.14 e 0 altrove, si
ha:
๐น(๐พ) = โซ ๐๐ โซ ๐๐โ๐2๐๐๐พ cos(๐โ๐)๐๐๐
0
๐
โ๐=
โซ โซ ๐๐โ๐2๐๐๐พ cos(๐โ๐)๐๐๐
โ๐๐๐
๐
0โ =
2๐ โซ ๐๐ฝ0(2๐๐๐พ)๐๐๐
0
Poichรฉ risulta:
โซ ๐ง๐ฝ0(๐ง)๐๐ง๐ฅ
0
= ๐ฅ๐ฝ1(๐ฅ)
si ha:
Fig.E 4.14
CAPITOLO - 4 - Segnali a Energia Finita - 105
2๐โซ ๐๐ฝ0(2๐๐๐พ)๐๐๐
0
=๐
๐พโ ๐ฝ1(2๐๐ ๐พ)
Vedi Fig.E 4.15
Fig.E 4.15
CAPITOLO - 5
SEGNALI A POTENZA FINITA
Cenni di teoria delle distribuzioni. 5.1 -
Una classe di segnali particolarmente importante รจ quella dei se-
gnali a potenza finita; i quali, non essendo rappresentabili mediante fun-
zioni a quadrato sommabile, non ammettono trasformata di Fourier. Al
fine di estendere a tali segnali la rappresentazione nel dominio della fre-
quenza รจ necessario introdurre il concetto di distribuzione.
A tal fine si premettono alcune definizioni:
unโapplicazione ๐(โ ) si dice lineare se per ogni coppia di elementi ๐ฅ, ๐ฆ
del suo dominio risulta:
๐(๐๐ฅ + ๐๐ฆ) = ๐๐(๐ฅ) + ๐๐(๐ฆ); โ๐ โง ๐ โ โ (5.1.1)
Si noti che il dominio e l'insieme immagine di ๐(โ ) devono necessaria-
mente essere spazi vettoriali.
Unโapplicazione ๐(โ ) si dice continua se ad ogni successione di
elementi del suo dominio che sia convergente, secondo il criterio di
convergenza in esso individuato, corrisponde una successione di imma-
gini convergente in base al criterio di convergenza individuato nel co-
dominio dipendentemente dalla sua struttura topologica.
Ciรฒ premesso si definisce insieme delle funzioni di prova lo spa-
zio (lineare) D delle funzioni ๐(๐ก) a valori reali o complessi, definite in
โ, ivi a supporto limitato e dotate di derivate di qualunque ordine.
Per supporto sโintende la chiusura dell'insieme che contiene punti
del dominio in cui la funzione assume valori diversi da zero.
Si noti che lo spazio D non รจ vuoto, poichรฉ la funzione:
๐๐(๐ก) = ๐(
๐2
๐ก2โ๐2)โ (
๐ก
2๐) (5.1.2)
108 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
vi appartiene (vedi Fig. 5.1).
In D sโintroduce il seguente
criterio di convergenza: una suc-
cessione {๐๐}๐=0โ converge alla fun-
zione ๐ di D se:
- esiste un aperto limitato ๐ด che
contiene i supporti delle funzioni
๐๐;
- per ogni ๐ก โ โ e qualunque sia
l'ordine ๐ di derivazione si ha:
lim๐โโ
๐๐(๐)(๐ก) = ๐(๐)(๐ก); โ ๐ก โ ๐ โ โ ๐ โ โ (5.1.3)
Ciรฒ premesso si dice distribuzione ๐ ogni applicazione lineare e
continua, a valori generalmente complessi, definita sullo spazio D delle
funzioni di prova. Il valore assunto dalla distribuzione ๐ in corrispon-
denza ad una data funzione di prova ๐ sarร nel seguito indifferentemen-
te indicato mediante una delle seguenti forme:
๐(๐) o โจ๐, ๐โฉ (5.1.4)
Si consideri l'insieme Dโฒ, detto spazio duale, contenente tutte le
distribuzioni in D. In detto insieme si definisce somma di due distribu-
zioni ๐1, ๐2 la distribuzione ๐ che associa alla generica funzione di prova
la somma dei valori che le associano le due distribuzioni ๐1, ๐2, cioรจ:
๐ = ๐1 + ๐2, se, โ๐ โ D, โ๐(๐) = ๐1(๐) + ๐2(๐) (5.1.5)
ci si rende conto che, comunque si scelgano in Dโฒ ๐1 e ๐2, la loro somma
รจ ancora una distribuzione in Dโฒ, e che Dโฒ รจ un gruppo commutativo ri-
spetto a tale operazione, il cui elemento neutro รจ la distribuzione che as-
socia il valore 0 ad ogni elemento di D.
Inoltre รจ possibile definire in Dโฒ la legge di composizione esterna
tra Dโฒ e il campo โ dei complessi come segue:
๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐๐, se, โ๐ โ D, ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐) = ๐๐(๐) (5.1.6)
ร facile verificare che le (5.1.5) e (5.1.6) soddisfano le (5.1.1) pertanto Dโฒ
รจ uno spazio vettoriale.
Fig. 5.1 - e(
๐2
๐ก2โ๐2)โ (
๐ก
2๐)
CAPITOLO - 5 - Segnali a Potenza Finita - 109
Esempi di distribuzioni. 5.2 - Distribuzioni regolari
Una funzione ๐(๐ก) localmente sommabile in โ, cioรจ sommabile
in ogni suo sottoinsieme limitato, individua la distribuzione ๐๐ :
๐๐(๐) = โซ ๐(๐ก)๐(๐ก)๐๐กโ
โโ
(5.2.1)
dove ๐(๐ก) rappresenta un generico elemento di D.
Una distribuzione che si puรฒ esprimere nella forma (5.2.1) si dice
regolare in caso contrario la distribuzione si dice singolare.
Funzioni che assumono valori diversi solo su un insieme di misu-
ra nulla definiscono la stessa distribuzione.
Gradino unitario
La distribuzione ๐ข gradino unitario รจ cosรฌ definita:
u(ฯ) = โซ ฯ(t)dtโ
0
(5.2.2)
ร una distribuzione regolare associata alla
funzione:
u(๐ก) = {1; ๐ก โฅ 00; ๐ก < 0
(5.2.3)
rappresentata in Fig. 5.2.
Delta di Dirac
La distribuzione delta di Dirac, ๐ฟ, รจ
definita dalla:
๐ฟ(๐) = ๐(0) (5.2.4)
La delta di Dirac associa cioรจ ad ogni fun-
zione ๐(๐ก) in D il valore che essa assume
all'origine.
La delta di Dirac รจ una distribuzione singolare, tuttavia puรฒ essere
utile introdurre una notazione impropria analoga alla (5.2.1):
โซ ๐ฟ(๐ก)๐(๐ก)๐๐กโ
โโ
= ๐(0) (5.2.5)
Fig. 5.2 - Gradino unitario
Fig. 5.3 - Delta di Dirac
110 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
dove ๐ฟ(๐ก) denota il cosiddetto impulso di Dirac, che viene rappresenta-
to mediante una freccia rivolta verso l'alto spiccata nel punto ๐ก = 0 (ve-
di. Fig. 5.3).
La (5.2.5) si puรฒ pensare come limite della successione di distri-
buzioni regolari associata ad impulsi rettangolari aventi supporto ten-
dente a zero ed area costante e pari a uno (vedi Fig. 5.4):
๐๐(๐) = โซ ๐โ(๐๐ก)๐(๐ก)๐๐กโ
โโ
= ๐โซ ๐(๐ก)๐๐ก
1
2๐
โ1
2๐
= ๐(๐) (5.2.6)
essendo ๐ un opportuno punto che giace all'interno dell'intervallo di in-
tegrazione. Al tendere di ๐ ad infinito, poichรฉ l'intervallo di integrazione
tende all'insieme {0}, ๐ tende a zero, di conseguenza la {๐๐} tende ad as-
sumere il valore della funzione di prova in zero. Pertanto si รจ indotti a
scrivere:
lim๐โโ
๐โ(๐๐ก) = ๐ฟ(๐ก) (5.2.7)
Tuttavia la (5.2.7) non ha senso se si
considera la ๐ฟ(๐ก) una funzione ordina-
ria, in quanto il supporto della ๐ฟ(๐ก) sa-
rebbe solo il punto 0. Pertanto l'inte-
grale (5.2.5) dovrebbe essere nullo in-
dipendentemente dalla scelta della ๐.
Dโaltro canto, possiamo anche osser-
vare che la successione ๐โ(๐๐ก) ri-
guardata come una successione in โ2
non รจ di Cauchy quindi non รจ conver-
gente.
Tuttavia la (5.2.7) รจ utile in
quanto dร ragione della rappresenta-
zione grafica della ๐ฟ, e mostra che,
comunque, la distribuzione in parola si
puรฒ approssimare, bene quanto si vuole, mediante distribuzioni regolari.
Pseudo funzione t-1
La funzione ๐กโ1 non รจ localmente sommabile su un qualsiasi in-
tervallo contenente l'origine e tanto meno lo รจ ๐กโ1๐(๐ก) se ๐(๐ก) non ri-
Fig. 5.4 - Approssimazione della di-stribuzione delta.
CAPITOLO - 5 - Segnali a Potenza Finita - 111
sulta infinitesima nell'origine. Ciononostante, โ๐ โ D, il valore principa-
le di Cauchy dell'integrale ๐กโ1๐(๐ก), definito come segue:
VPโซ ๐กโ1๐(๐ก)๐๐กโ
โโ
= limโ0(โซ ๐กโ1๐(๐ก)๐๐ก
โ
โโ
+โซ ๐กโ1๐(๐ก)๐๐กโ
) (5.2.8)
esiste finito, ed รจ una forma lineare e continua su D. Ciรฒ significa che al-
la funzione ๐กโ1 si puรฒ associare la distribuzione Pf(๐กโ1) detta pseudo
funzione ๐กโ1, definita dalla:
โจPf(๐กโ1), ๐โฉ = VPโซ ๐กโ1๐(๐ก)๐๐กโ
โโ
(5.2.9)
Risulta:
VPโซ ๐กโ1๐(๐ก)๐๐กโ
โโ
= limโ0โซ ๐กโ1๐(๐ก)๐๐กโ
โโ
+limโ0โซ ๐กโ1๐(๐ก)๐๐กโ
= limโ0โซ ๐กโ1(๐(๐ก) โ ๐(โ๐ก))๐๐ก = โซ ๐กโ1(๐(๐ก) โ ๐(โ๐ก))๐๐ก
โ
0
โ
(5.2.10)
in quanto la funzione ๐(๐ก) โ ๐(โ๐ก) รจ infinitesima nell'origine.
In definitiva quindi si puรฒ scrivere:
โจ๐๐(๐กโ1), ๐โฉ = ๐๐โซ ๐กโ1๐(๐ก)๐๐กโ
โโ
= โซ ๐กโ1(๐(๐ก) โ ๐(โ๐ก))๐๐กโ
0
(5.2.11)
Calcolo delle distribuzioni. 5.3 - Uguaglianza
Due distribuzioni ๐ e ๐ si dicono uguali quando sono uguali i va
lori da esse assunti in corrispondenza ad ogni elemento di D, cioรจ:
๐ = ๐ se, โ ๐ โ D, ๐(๐) = ๐(๐) (5.3.1)
Somma
La somma ๐ + ๐ di due distribuzioni รจ la distribuzione che asso-
cia, ad ogni ๐ โ D, la somma dei valori che le distribuzioni ๐ e ๐ prese
singolarmente associano alla generica funzione di prova ๐:
๐ = ๐ + ๐โโโโโse,โโโ๐ โ D, ๐(๐) = ๐(๐) + ๐(๐) (5.3.2)
Traslazione
Per ogni distribuzione regolare, si ha ovviamente:
112 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
โจ๐(๐ก โ ๐ก0), ๐(๐ก)โฉ = โซ ๐(๐ก โ ๐ก0)๐(๐ก)๐๐กโ
โโ
= โซ ๐(๐ก)๐(๐ก + ๐ก0)๐๐กโ
โโ
= โจ๐(๐ก), ๐(๐ก + ๐ก0)โฉ
(5.3.3)
Estendendo le conclusioni della precedente anche alle distribu-
zioni singolari si puรฒ definire traslata ๐๐ก0 di una distribuzione ๐ la distri-
buzione:
โจ๐๐ก0 , ๐(๐ก)โฉ = โจ๐, ๐(๐ก + ๐ก0)โฉ (5.3.4)
cioรจ, la traslata ๐๐ก0 della distribuzione ๐ รจ la distribuzione che associa alla
generica funzione di prova il valore che la distribuzione originaria asso-
cerebbe alla medesima funzione di prova anticipata di ๐ก0.
Ad esempio applicando la (5.3.4) alla ๐ฟ si ottiene:
โจ๐ฟ๐ก0 , ๐(๐ก)โฉ = โจ๐ฟ, ๐(๐ก + ๐ก0)โฉ = ๐(๐ก0) (5.3.5)
che, adottando la formulazione (5.2.5), equivale a scrivere:
โซ ๐ฟ(๐ก โ ๐ก0)๐(๐ก)๐๐กโ
โโ
= ๐(๐ก0) (5.3.6)
La rappresentazione della ๐ฟ(๐ก โ ๐ก0) รจ riportata in Fig. 5.3.
Derivata di una distribuzione
Si consideri una funzione ๐ derivabile in โ con derivata continua;
alla sua derivata ๐โฒ si puรฒ associare la seguente distribuzione regolare:
โซ ๐โฒ(๐ก)โ
โโ
๐(๐ก)๐๐ก (5.3.7)
Applicando alla precedente la regola dโintegrazione per parti si ottiene:
โจ๐โฒ, ๐โฉ = โซ ๐โฒ(๐ก)๐(๐ก)๐๐กโ
โโ
โ
= โโซ ๐(๐ก)๐โฒ(๐ก)๐๐กโ
โโ
+ [๐(๐ก)๐(๐ก)]โโโ = โจ๐,โ๐โฒโฉ
(5.3.8)
dove si รจ tenuto conto del fatto che la ๐, appartenendo allo spazio del le
funzioni di prova, รจ a supporto limitato.
La (5.3.8) si generalizza sia al caso delle distribuzioni regolari as-
sociate a funzioni localmente sommabili, sia al caso delle distribuzioni
singolari. La (5.3.8) definisce quindi la derivata di una distribuzione.
CAPITOLO - 5 - Segnali a Potenza Finita - 113
Applicando ricorsivamente (5.3.8) si deduce l'espressione della
derivata generalizzata di ordine ๐ di una distribuzione:
โจ๐๐ , ๐โฉ = โจ๐, (โ1)๐๐๐โฉ (5.3.9)
Ricordando che lo spazio D รจ costituito da funzioni infinitamente
derivabili, dalla precedente si deduce che la distribuzione รจ un ente ma-
tematico infinitamente derivabile.
Ad esempio:
- La derivata della distribuzione associata al gradino unitario vale:
โจuโฒ, ๐โฉ = โจ๐ข, โ๐โฒโฉ = โโซ ๐โฒ(๐ก)๐๐กโ
0
= โ[๐(๐ก)]0โ = ๐(0) (5.3.10)
pertanto:
โจuโฒ, ๐โฉ = โจ๐ฟ, ๐โฉ (5.3.11)
La precedente, adottando la notazione utilizzata nella (5.2.5), suggerisce
di scrivere:
๐u(๐ก)
๐๐ก= ๐ฟ(๐ก) (5.3.12)
- La derivata della delta di Dirac vale:
โจ๐ฟโฒ, ๐โฉ = โจ๐ฟ, โ๐โฒโฉ = โ๐โฒ(0) (5.3.13)
Essa definisce quindi una distribuzione ๐ฟโฒ, detta doppietta unitaria, che
viene talvolta espressa, impropriamente, nella forma:
โซ ๐ฟโฒ(๐ก)โ
โโ
๐(๐ก)๐๐ก = โ๐โฒ(0) (5.3.14)
Per la derivata ๐-esima della delta di Dirac, si deduce facilmente:
โจ๐ฟ๐ , ๐โฉ = โจ๐ฟ, (โ1)๐๐๐โฉ = (โ1)๐๐๐(0) (5.3.15)
che si esprime anche mediante la scrittura:
โซ ๐ฟ๐(๐ก)โ
โโ
๐(๐ก)๐๐ก = (โ1)๐๐๐(0) (5.3.16)
Sia ๐(๐ก) una funzione continua e derivabile ovunque fatta eccezione per
il punto ๐ก0 in corrispondenza del quale esistono finite le seguenti quanti-
tร : ๐(๐ก0โ), ๐(๐ก0
+), ๐โฒ(๐ก0โ) e ๐โฒ(๐ก0
+).
114 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
Sia ๐1(๐ก) una funzione ottenuta da ๐(๐ก) eliminando il salto che si pre-
senta nel punto di ascissa ๐ก0 (vedi Fig. 5.5). La ๐(๐ก) si puรฒ quindi espri-
mere come segue:
๐(๐ก) = ๐1(๐ก) + ๐0๐ข(๐ก โ ๐ก0) (5.3.17)
dove:
๐0 = ๐(๐ก0+) โ ๐(๐ก0
โ) (5.3.18)
Si consideri adesso la distribuzione regolare associata alla ๐(๐ก):
โจ๐, ๐โฉ = โจ๐1, ๐โฉ + ๐0โจu๐ก0 , ๐โฉ = โจ๐1, ๐โฉ + ๐0โจu, ๐(๐ก + ๐ก0)โฉ (5.3.19)
In virtรน della linearitร , la sua derivata vale ovviamente:
โจ๐โฒ, ๐โฉ = โจ๐1โฒ , ๐โฉ + ๐0โจ๐ฟ๐ก0 , ๐(๐ก)โฉ (5.3.20)
Si puรฒ quindi scrivere
๐โฒ(๐ก) = ๐1โฒ (๐ก) + ๐0๐ฟ(๐ก โ ๐ก0) (5.3.21)
La funzione ๐โฒ1(๐ก) non รจ de-
finita per ๐ก = ๐ก0, e potrebbe ivi pre-
sentare una discontinuitร non elimi-
nabile. ร opportuno osservare che
laddove esiste ๐โฒ(๐ก) risulta ovvia-
mente ๐1โฒ (๐ก) = ๐โฒ(๐ก).
Osserviamo inoltre che ๐โฒ(๐ก)
individua una distribuzione regolare
in quanto {๐ก0} ha misura nulla.
La (5.3.20) si puรฒ generalizzare al caso di funzioni che presentino
un insieme al piรน numerabile di punti del tipo sopra considerato scri-
vendo:
โจ๐โฒ, ๐โฉ = โจ๐1โฒ , ๐โฉ +โ๐๐โจ๐ฟ๐ก๐ , ๐(๐ก)โฉ
๐โI
(5.3.22)
che equivale a:
๐โฒ(๐ก) = ๐1โฒ (๐ก) +โ๐๐๐ฟ(๐ก โ ๐ก๐)
๐โI
(5.3.23)
avendo denotato con:
๐๐ = ๐(๐ก๐+) โ ๐(๐ก๐
โ); โโโโโโ๐ โ I (5.3.24)
Fig. 5.5 - Segnale continuo a tratti
CAPITOLO - 5 - Segnali a Potenza Finita - 115
i salti che subisce la funzione ๐(๐ก) nei punti di discontinuitร ๐ก๐.
Prodotto di una funzione per una distribuzione
Sia ๐ผ(๐ก) una funzione appartenente allo spazio E delle funzioni
continue e derivabili infinite volte in โ. Se ๐(๐ก) รจ una distribuzione re-
golare si ha:
โจ๐ผ๐, ๐โฉ = โซ [๐ผ(๐ก)๐(๐ก)]๐(๐ก)๐๐ก
โ
โโ
โ = โซ ๐(๐ก)[๐ผ(๐ก)๐(๐ก)]๐๐กโ
โโ
= โจ๐, ๐ผ๐โฉ
(5.3.25)
la quale, generalizzata ad una distribuzione ๐ singolare, diventa:
< ๐ผ๐, ๐ >=< ๐, ๐ผ๐ > (5.3.26)
Ad esempio per la distribuzione ๐ฟ si ha:
โจ๐ผ๐ฟ๐ก0, ๐โฉ = โจ๐ฟ๐ก0 , ๐ผ๐โฉ = ๐ผ(๐ก0)๐(๐ก0) = ๐ผ(๐ก0)โจ๐ฟ๐ก0, ๐โฉ (5.3.27)
che si suole scrivere anche nella forma impropria:
๐ผ(๐ก)๐ฟ(๐ก โ ๐ก0) = ๐ผ(๐ก0)๐ฟ(๐ก โ ๐ก0) (5.3.28)
Nel caso della pseudo funzione ๐กโ1, si osservi che se la ๐ผ(๐ก) รจ in-
finitesima nell'origine si puรฒ scrivere:
โจ๐ผ(๐ก)๐๐(๐กโ1), ๐โฉ = ๐๐โซ
๐ผ(๐ก)
๐ก๐(๐ก)๐๐ก
โ
โโ
โ = โซ๐ผ(๐ก)
๐ก๐(๐ก)๐๐ก
โ
โโ
= โจ๐ผ(๐ก)๐กโ1, ๐โฉ
(5.3.29)
cioรจ:
๐ผ(๐ก)๐๐(๐กโ1) =๐ผ(๐ก)
๐ก (5.3.30)
Distribuzioni a supporto limitato
Per supporto di una distribuzione ๐ si intende il complementare
dell'unione dei sottoinsiemi di โ tali che si abbia โจ๐, ๐โฉ = 0 per ogni
funzione di prova ๐ il cui supporto รจ in essi contenuto.
Ad esempio:
- il supporto della delta di Dirac รจ l'insieme che contiene esclusi-
vamente l'origine, giacche la ฮด(ฯ) vale 0, per ogni ฯ il cui sup-
porto non contiene l'origine;
- il supporto del gradino unitario รจ il semiasse reale positivo poichรฉ
รจ u(ฯ) = 0 per ogni ฯ il cui supporto sia contenuto in (โโ, 0).
116 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
Ci si rende conto facilmente che per ogni funzione ๐ผ(๐ก) โ E e
qualunque sia ๐(๐ก) โ D la funzione ๐ผ(๐ก)๐(๐ก) โ D
Si consideri una distribuzione ๐ a supporto limitato e si scelga la
funzione di prova ๐ nel sottoinsieme di D costituito da tutte le funzioni
che valgono 1 in un qualsiasi insieme che contiene il supporto di ๐. In
corrispondenza a dette funzioni, e qualunque sia ๐ผ(๐ก) โ E, si puรฒ scrive-
re:
โจ๐, ๐ผ๐โฉ = โจ๐, ๐ผโฉ (5.3.31)
Ciรฒ significa che le distribuzioni a supporto limitato possono es-
sere definite anche sullo spazio E. In altri termini una distribuzione a
supporto limitato in Dโฒ รจ anche una distribuzione su E. Si puรฒ dimostra-
re che vale il viceversa, cioรจ che ogni distribuzione appartenente allo
spazio Eโฒ, duale di E, รจ una distribuzione a supporto limitato in D, e
quindi che Eโฒ โ Dโฒ.
Convoluzione tra distribuzioni. 5.4 -
Siano ๐(๐ก) e ๐(๐ก) due funzioni localmente sommabili, la loro
convoluzione ๐ โ ๐ รจ, se esiste per ogni ๐ก la funzione โ(๐ก) definita dalla:
โ(๐ก) = โซ ๐(๐)๐(๐ก โ ๐)๐๐โ
โโ
= โซ ๐(๐ก โ ๐)๐(๐)๐๐โ
โโ
(5.4.1)
Se โ(๐ก) รจ localmente sommabile essa individua una distribuzione regola-
re. Si ha cioรจ per ogni ๐ โ D:
โจโ, ๐โฉ = โซ โ(๐ก)๐(๐ก)๐๐กโ
โโ
= โซ ๐(๐ก) (โซ ๐(๐)๐(๐ก โ ๐)๐๐โ
โโ
)๐๐กโ
โโ
= โซ โซ ๐(๐ก)๐(๐)๐(๐ก โ ๐)๐๐โ
โโ
๐๐กโ
โโ
(5.4.2)
che, introducendo la trasformazione di variabili
๐ก โ ๐ = ๐ (5.4.3)
diviene:
โจโ, ๐โฉ = โซ ๐(๐) (โซ ๐(๐)๐(๐ + ๐)๐๐โ
โโ
)๐๐โ
โโ
(5.4.4)
CAPITOLO - 5 - Segnali a Potenza Finita - 117
Analogamente, procedendo sulla base del secondo integrale che
compare nella (5.4.1), si ha:
โจโ, ๐โฉ = โซ ๐(๐) (โซ ๐(๐)๐(๐ + ๐)๐๐โ
โโ
)โ
โโ
๐๐ (5.4.5)
Si รจ quindi portati a riscrivere le (5.4.4) e (5.4.5) nella forma:
โจโ, ๐โฉ = โจ๐(๐), โจ๐(๐), ๐(๐ + ๐)โฉโฉ = โจ๐(๐), โจ๐(๐), ๐(๐ + ๐)โฉโฉ (5.4.6)
Si osservi tuttavia che gli integrali interni delle (5.4.4) e (5.4.5), in quanto
distribuzioni regolari, definiscono due funzioni nelle variabili ๐ e ๐, che,
pur essendo infinitamente derivabili, in genere non presentano supporto
limitato. Conseguentemente, l'interpretazione degli integrali esterni delle
(5.4.4) e (5.4.5) come distribuzioni non รจ sempre legittima
Le (5.4.6) consentono tuttavia di generalizzare il concetto di con-
voluzione alle distribuzioni.
Siano ๐ e ๐ due distribuzioni; la loro convoluzione รจ, se esiste,
una distribuzione ๐ = ๐ โ ๐, definita dalla:
โจ๐, ๐โฉ = โจ๐ โ ๐, ๐โฉ = โจ๐๐ , โจ๐๐, ๐(๐ + ๐)โฉโฉโ
= โจ๐๐, โจ๐๐ , ๐(๐ + ๐)โฉโฉ (5.4.7)
dove i pedici indicano la variabile da cui dipende la funzione di prova a
cui la distribuzione รจ applicata.
A proposito dell'esistenza della convoluzione tra distribuzioni va-
le la seguente condizione sufficiente: detti rispettivamente ๐บ๐ e ๐บ๐ i
supporti delle distribuzioni ๐ e ๐, si puรฒ dimostrare che la convoluzione
tra distribuzioni ha senso tutte le volte che l'intersezione fra il prodotto
cartesiano ๐บ๐ ร ๐บ๐ ed il supporto della funzione ๐(๐ + ๐) pensata come
funzione delle variabili ๐, ๐ รจ limitato in โ2.
Si osservi che la ๐(๐ก) โ D, quindi รจ a supporto limitato; pertanto,
certamente, esiste un intervallo (๐, ๐) limitato che contiene il supporto
di ๐. Altrettanto non puรฒ dirsi del supporto della ๐(๐ + ๐) in โ2. In ef-
fetti il supporto della ๐(๐ + ๐) รจ contenuto nella striscia limitata dalle
rette:
๐ + ๐ = ๐๐ + ๐ = ๐
(5.4.8)
118 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
rappresentata in Fig. 5.6. Con riferimento alla stessa figura, si deduce
che, se la ๐(๐ก) โ D, la convoluzione ๐ tra due distribuzioni ha certamen-
te senso quando:
a) almeno una delle due distribuzioni ๐ o ๐ ha supporto limitato (vedi
Fig. 5.6a e Fig. 5.6b);
b) entrambe le distribuzioni ๐ e ๐ hanno supporti limitati inferiormen-
te (vedi Fig. 5.6c);
c) entrambe le distribuzioni ๐ e ๐ hanno supporti limitati superior-
mente (vedi Fig. 5.6d).
Ad esempio, essendo la delta di Dirac una distribuzione a suppor-
to limitato, si ha, qualunque sia la distribuzione ๐:
โจ๐ โ ๐ฟ, ๐โฉ = โจ๐๐, โจ๐ฟ๐, ๐(๐ + ๐)โฉโฉ = โจ๐๐, ๐(๐)โฉ = โจ๐, ๐โฉ (5.4.9)
cioรจ:
๐ โ ๐ฟ = ๐ (5.4.10)
La delta di Dirac quindi รจ elemento neutro nell'operazione di
convoluzione.
In maniera analoga si verifica che:
๐ โ ๐ฟโฒ = ๐โฒ (5.4.11)
e piรน in generale:
๐ โ ๐ฟ(๐) = ๐(๐) (5.4.12)
Infatti รจ:
โจ๐ โ ๐ฟ(๐), ๐โฉ = โจ๐๐ , โจ๐ฟ๐
(๐), ๐(๐ + ๐)โฉโฉ
= โจ๐๐ , โ๐(๐)(๐)โฉ = โจ๐(๐), ๐โฉ
(5.4.13)
Ponendo nella (5.4.11) ๐ = ๐ โ ๐ si ottiene:
(๐ โ ๐)โฒ = (๐ โ ๐) โ ๐ฟโฒ = ๐ โ ๐ โ ๐ฟโฒ = ๐ โ (๐ โ ๐ฟโฒ)
= ๐ โ ๐โฒ (5.4.14)
o anche, per la commutativitร della convoluzione:
CAPITOLO - 5 - Segnali a Potenza Finita - 119
(๐ โ ๐)โฒ = (๐ โ ๐) โ ๐ฟโฒ = ๐ โ ๐ฟโฒ โ ๐ = (๐ โ ๐ฟโฒ) โ ๐ = ๐โฒ โ ๐ (5.4.15)
dalle quali si deduce che per derivare un prodotto di convoluzione basta
derivare uno qualsiasi dei fattori.
Esempio 5.1
La proprietร di derivazione (5.4.14) puรฒ essere
utilmente impiegata per il calcolo della convolu-
zione dei segnali. Cosรฌ ad esempio per valutare la
convoluzione fra l'impulso rettangolare โ (๐ก
๐) e
l'impulso triangolare โง (๐ก
๐) (vedi Fig. E 5.1):
๐(๐ก) =โ (๐ก
๐) โโง (
๐ก
๐)
Applicando la (5.4.15) si ha:
๐โฒ(๐ก) =๐
๐๐ก(โ (
๐ก
๐)) โโง (
๐ก
๐)
da cui essendo:
Fig. 5.6
Fig.E 5.1
120 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
๐
๐๐ก(โ (
๐ก
๐)) = ๐ฟ (๐ก +
๐
2) โ ๐ฟ (๐ก โ
๐
2)
risulta:
๐โฒ(๐ก) = (๐ฟ (๐ก +๐
2) โ ๐ฟ (๐ก โ
๐
2)) โโง (
๐ก
๐)
che equivale a scrivere:
๐โฒ(๐ก) = โง (๐ก
๐+1
2) โโง (
๐ก
๐โ1
2)
L'andamento di ๐โฒ(๐ก) in funzione di ๐ก รจ ri-
portato in Fig.E 5.2.
Si ha allora integrando:
๐(๐ก) = ๐(โ๐) + โซ ๐โฒ(๐ฅ)๐๐ฅ๐ก
โ๐=
{
๐ (
๐ก
๐+ 1)
2; โ๐ โค ๐ก โค โ
๐
2
๐ (โ(๐ก
๐)2+1
2) ; โ
๐
2โค ๐ก โค
๐
2
๐ (๐ก
๐โ 1)
2;
๐
2โค ๐ก โค ๐
0; |๐ก| โฅ ๐
Essendo ๐(โ๐) = 0. ๐(๐ก) รจ rappresentato
in Fig.E 5.3.
Formula di Poisson. 5.5 -
Si consideri adesso la distribuzione generata dalla funzione:
๐๐(๐ก) =1
๐โ ๐๐2๐๐
๐ก
๐
๐
๐=โ๐
(5.5.1)
Detta distribuzione associa alla generica funzione di prova il valore:
โจ๐๐, ๐โฉ = โซ ๐(๐ก)1
๐โ ๐๐2๐๐
๐ก
๐
๐
๐=โ๐
โ
โโ
๐๐ก
=1
๐โ โซ ๐๐2๐๐
๐ก
๐
โ
โโ
๐(๐ก)๐๐ก
๐
๐=โ๐
= โ โ1
๐โซ ๐๐2๐๐
๐ก
๐๐(t)๐๐ก(k+1)๐
kT
โ
๐=โโ
๐
๐=โ๐
(5.5.2)
Fig.E 5.3
Fig.E 5.2
CAPITOLO - 5 - Segnali a Potenza Finita - 121
= โ โ1
๐โซ ๐๐2๐๐
๐กโฒ+๐๐
๐ ๐(๐กโฒ + ๐๐)๐๐กโฒ๐
0
โ
๐=โโ
๐
๐=โ๐
= โ โ1
๐โซ ๐๐2๐๐
๐กโฒ
๐๐(๐กโฒ + ๐๐)๐๐กโฒ๐
0
โ
๐=โโ
๐
๐=โ๐
= โ1
๐โซ ๐๐2๐๐
๐กโฒ
๐ โ ๐(๐กโฒ โ ๐๐)๐๐กโฒโ
๐=โโ
๐
0
๐
๐=โ๐
dove si รจ utilizzata la trasformazione di variabili ๐กโฒ = ๐ก + ๐๐. Si noti che,
la sommatoria che compare all'interno dell'integrale dell'ultimo membro
della precedente, costituisce la cosiddetta ripetizione periodica ๏ฟฝ๏ฟฝ๐(๐ก) di
๐(๐ก).
Si osservi che, in virtรน della limitatezza del supporto della funzio-
ne di prova, per ogni istante, soltanto un numero finito di repliche tra-
slate di ๐(๐ก) sarร diverso da zero; pertanto la ๏ฟฝ๏ฟฝ๐, oltre ad essere periodi-
ca รจ limitata in โ. Inoltre l'appartenenza della ๐ allo spazio D assicura la
infinita derivabilitร di ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ in โ. La ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ puรฒ essere sviluppata in serie di
Fourier; serie che convergerร al valore assunto dalla ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ per ogni ๐ก. Si ha
quindi:
๏ฟฝ๏ฟฝ๐(๐ก) = โ ๐(๐ก โ ๐๐)
โ
๐=โโ
= โ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐๐๐๐2๐
๐๐ก
๐
โ
๐=โโ
(5.5.3)
che sostituita nella (5.5.2) fornisce:
โจ๐๐ , ๐โฉ = โ1
๐โซ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐(๐ก)๐
๐2๐๐๐ก
๐๐๐ก๐
0
๐
๐=โ๐
= โ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐๐
๐
๐=โ๐
(5.5.4)
Se nella (5.5.4) si fa tendere ๐ ad infinito si ottiene:
lim๐โโ
โจ๐๐, ๐โฉ = lim๐โโ
โ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐๐
๐
๐=โ๐
= ๏ฟฝ๏ฟฝ๐(0) = โ ๐(โ๐๐)
โ
๐=โโ
= โ ๐(๐๐)
โ
๐=โโ
< โ
(5.5.5)
che puรฒ quindi essere interpretato come una distribuzione che si
indica con:
122 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
โจ1
๐โ ๐๐2๐๐
๐ก
๐
โ
๐=โโ
, ๐(๐ก)โฉ = lim๐โโ
1
๐โ โจ๐๐2๐๐
๐ก
๐, ๐(๐ก)โฉ
๐
๐=โ๐
(5.5.6)
D'altra parte poichรฉ per la (5.3.5) risulta anche:
โจ โ ๐ฟ(๐ก โ ๐๐)
โ
๐=โโ
, ๐(๐ก)โฉ = โ ๐(๐๐)
โ
๐=โโ
(5.5.7)
si deduce immediatamente la seguente fondamentale uguaglianza:
1
๐โ ๐๐2๐๐
๐ก
๐
โ
๐=โโ
= โ ๐ฟ(๐ก โ ๐๐)
โ
๐=โโ
(5.5.8)
che va sotto il nome di formula di Poisson.
Trasformata di Fourier di una distribuzione. 5.6 -
Sia ๐ฅ(๐ก) localmente sommabile e dotata di trasformata di Fourier:
๐(๐) = โซ ๐ฅ(๐ก)๐โ๐2๐๐๐ก๐๐กโ
โโ
(5.6.1)
Alla ๐(๐) si puรฒ associare la distribuzione:
โจ๐(๐), ๐๐โฉ = โซ ๐(๐)๐(๐)๐๐โ
โโ
(5.6.2)
che si puรฒ scrivere come:
โจ๐น[๐ฅ(๐ก)], ๐๐โฉ = โซ ๐(๐) (โซ ๐ฅ(๐ก)๐โ๐2๐๐๐ก๐๐กโ
โโ
)๐๐โ
โโ
= โซ ๐ฅ(๐ก) (โซ ๐(๐)๐โ๐2๐๐๐ก๐๐โ
โโ
)๐๐กโ
โโ
= โซ ๐ฅ(๐ก)๐ท(๐ก)๐๐กโ
โโ
(5.6.3)
avendo denotato con ๐ท(๐ก) la trasformata della funzione ๐(๐). ร da os-
servare che l'ultimo termine della precedente non costituisce una distri-
buzione in D, poichรฉ, come sarร dimostrato nel Cap. VII, la trasformata
di Fourier di una funzione a supporto limitato non puรฒ avere supporto
limitato, quindi, se ๐(๐) โ D, la sua trasformata ๐ท(๐ก) โ D.
Per estendere la trasformata di Fourier alle distribuzioni รจ quindi
necessario definire uno spazio di funzioni di prova piรน ampio, che sia
cioรจ tale da contenere la trasformata di Fourier di ogni suo elemento.
A tal proposito vale il seguente
CAPITOLO - 5 - Segnali a Potenza Finita - 123
Teorema 5.1
Sia ๐(๐ก) una funzione dotata di derivate di qualsiasi ordine continue, tali che co-
munque presi ๐, ๐ โ โ risulti:
lim|๐ก|โโ
|๐ก๐๐(๐)(๐ก)| = 0 (5.6.4)
Allora ๐(๐ก) รจ trasformabile secondo Fourier, e la sua trasformata ๐ท(๐) รจ continua,
dotata di derivate di qualsiasi ordine continue e tali che:
lim|๐|โโ
|๐๐๐ท(๐)(๐)| = 0 (5.6.5)
************
Le funzioni che soddisfano la (5.6.5) prendono il nome di fun-
zioni temperate e lo spazio da esse definito viene denotato con S. Tale
spazio non รจ banale giacchรฉ la funzione ๐โ๐ก2 la cui trasformata di Fou-
rier vale โ๐๐โ๐2๐2 vi appartiene. Si noti inoltre che lo spazio delle fun-
zioni di prova D, precedentemente definito, รจ contenuto nello spazio
delle funzioni temperate.
Le distribuzioni su S si chiamano distribuzioni temperate, per es-
se valgono tutte le proprietร giร dimostrate per le distribuzioni in ๐ท.
Lโunica sostanziale differenza risiede nel fatto che ad una funzione che
sia solo localmente sommabile non si puรฒ piรน associare una distribuzio-
ne regolare.
Ciรฒ posto, se si assume come spazio delle funzioni di prova lo
spazio S, l'ultimo termine della (5.6.3) puรฒ interpretarsi come una distri-
buzione regolare su tale spazio. Estendendo la (5.6.3) anche al caso delle
distribuzioni singolari su S si ottiene la seguente definizione per la tra-
sformata ๐[๐] di una distribuzione temperata:
โจ๐[๐], ๐๐โฉ = โจ๐, ๐ท๐กโฉ; โ๐, ๐ท โ S (5.6.6)
La trasformata di Fourier ๐[๐] di una distribuzione ๐ รจ dunque
quella distribuzione che opera sulla funzione ๐๐ come la distribuzione ๐
opererebbe sulla trasformata ๐ท๐ก della ๐๐.
In maniera analoga si definisce antitrasformata di Fourier di una
distribuzione ๐ la distribuzione, denotata con ๐โ1[๐], tale che si abbia:
โจ๐โ1[๐], ๐ท๐กโฉ = โจ๐, ๐๐โฉ; โ๐ท, ๐ โ S (5.6.7)
124 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
Trasformata di Fourier di distribuzioni a supporto 5.7 - limitato.
Se ๐ฅ(๐ก) รจ una funzione sommabile a supporto limitato, la (5.6.3)
si puรฒ porre nella forma:
โจ๐[๐ฅ], ๐๐โฉ = โซ (โซ ๐ฅ(๐ก)๐โ๐2๐๐๐ก๐๐กโ
โโ
)๐(๐)๐๐โ
โโ
(5.7.1)
L'integrale interno, poichรฉ ๐ฅ(๐ก) รจ a supporto limitato e poichรฉ ๐โ๐2๐๐๐ก per
ogni ๐ รจ un elemento dello spazio E, definisce una distribuzione regolare
in E โฒ dipendente dal parametro ๐. Pertanto la (5.7.1) si puรฒ riscrivere
come segue:
โจ๐[๐ฅ], ๐๐โฉ = โซ (โซ ๐ฅ(๐ก)๐โ๐2๐๐๐ก๐๐กโ
โโ
)๐(๐)๐๐โ
โโ
(5.7.2)
da cui:
๐[๐ฅ] = โจ๐ฅ(๐ก), ๐โ๐2๐๐๐กโฉ (5.7.3)
La precedente puรฒ essere generalizzata anche alle distribuzioni ๐
singolari a supporto limitato, scrivendo:
๐[๐] = โจ๐, ๐โ๐2๐๐๐กโฉ; โ๐ โ E ' (5.7.4)
Analogamente si ha:
๐โ1[๐] = โจ๐, ๐๐2๐๐๐กโฉ; โ๐ โ E ' (5.7.5)
Le (5.7.4) e (5.7.5) definiscono funzioni di variabile ๐ e ๐ก rispetti-
vamente.
Il limite del rapporto incrementale della (5.7.4) vale:
lim๐ฅ๐โ0
โจ๐, ๐โ๐2๐(๐+๐ฅ๐)๐กโฉ โ โจ๐, ๐โ๐2๐๐๐กโฉ
๐ฅ๐
โโโโโโโโโโโ = โจ๐, lim๐ฅ๐โ0
๐โ๐2๐(๐+๐ฅ๐)๐ก โ ๐โ๐2๐๐๐ก
๐ฅ๐โฉ = โจ๐, โ๐2๐๐ก ๐โ๐2๐๐๐กโฉ
(5.7.6)
Esso esiste finito โ๐ dal momento che โ๐2๐๐ก โ ๐โ๐2๐๐๐ก โ E.
La (5.7.6) comporta che la trasformata di Fourier di una distribu-
zione a supporto limitato essendo derivabile รจ continua. ร inoltre im-
mediato constatare che รจ anche derivabile infinite volte.
Considerazioni analoghe valgono per l'antitrasformata di Fourier
delle distribuzioni a supporto limitato.
CAPITOLO - 5 - Segnali a Potenza Finita - 125
Trasformate di Fourier di distribuzioni notevoli. 5.8 - Trasformata di una costante
๐ (๐ก) = 1 non ammette trasformata di Fourier. Tuttavia nell'ambi-
to delle distribuzioni si ha, ricordando la (5.6.7):
โจ๐[1], ๐๐โฉ = โจ1, ๐ท๐กโฉ = โซ ๐ท(๐ก)๐๐กโ
โโ
= ๐(0) = โจ๐ฟ, ๐๐โฉ (5.8.1)
che equivale a scrivere:
๐[1] = ๐ฟ(๐) (5.8.2)
Trasformata della delta di Dirac
Essendo la delta di Dirac a supporto limitato la sua trasformata di
Fourier vale:
๐[๐ฟ] = โจ๐ฟ, ๐โ๐2๐๐๐กโฉ = 1 (5.8.3)
Trasformata della delta di Dirac traslata
La trasformata di Fourier della traslata della distribuzione delta di
Dirac รจ:
๐[๐ฟ(๐ก โ ๐ก0)] = โจ๐ฟ(๐ก โ ๐ก0), ๐โ๐2๐๐๐กโฉ = ๐โ๐2๐๐๐ก0 (5.8.4)
Applicando quest'ultimo risultato alla (5.5.8) si ottiene:
๐ [ โ ๐ฟ(๐ก โ ๐๐)
โ
๐=โโ
] = โ ๐โ๐2๐๐๐๐โ
๐=โโ
=1
๐โ ๐ฟ (๐ โ
๐
๐)
โ
๐=โโ
(5.8.5)
Antitrasformata della delta di Dirac traslata
L'antitrasformata della distribuzione ๐ฟ(๐ โ ๐0) vale:
๐โ1[๐ฟ(๐ โ ๐0)] = โจ๐ฟ(๐ โ ๐0), ๐๐2๐๐๐กโฉ = ๐๐2๐๐0๐ก (5.8.6)
Trasformate delle funzioni seno e coseno
In base alla (5.8.6) utilizzando le formule di Eulero, si ottiene:
๐[cos(2๐๐0๐ก)] =1
2[๐ฟ(๐ โ ๐0) + ๐ฟ(๐ + ๐0)] (5.8.7)
๐[sin(2๐๐0๐ก)] =1
2๐[๐ฟ(๐ โ ๐0) โ ๐ฟ(๐ + ๐0)] (5.8.8)
Trasformata di un segnale periodico
La trasformata di un segnale periodico di periodo ๐0
๐ (๐ก) = โ ๐๐๐๐2๐๐
๐ก
๐0
โ
๐=โโ
(5.8.9)
126 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
vale:
๐[๐ (๐ก)] = โ ๐๐๐ฟ (๐ โ๐
๐0)
โ
๐=โโ
(5.8.10)
Trasformata della funzione segno
Si consideri la funzione "segno", vedi Fig. 5.7,
definita dalla:
sgm(๐ก) = { 1; ๐ก โฅ 0โ1; ๐ก < 0
(5.8.11)
Applicando la (5.6.6) si puรฒ scrivere:
โจ๐[sgm(๐ก)], ๐๐โฉ = โจsgm(๐ก), ๐ท๐กโฉ = โซ sgm(๐ก)๐ท(๐ก)๐๐กโ
โโ
โโ
= โซ sgm(๐ก) (โซ ๐(๐)๐โ๐2๐๐๐ก๐๐โ
โโ
)๐๐กโ
โโ
โ
= โซ (โซ ๐(๐)(๐โ๐2๐๐๐ก โ ๐๐2๐๐๐ก)๐๐โ
โโ
)๐๐กโ
0
โ
= โ2๐โซ (โซ ๐(๐) sin(2๐๐๐ก) ๐๐โ
โโ
)๐๐กโ
0
(5.8.12)
Invertendo l'ordine di integrazione ed esplicitando l'integrale improprio
si ottiene ancora:
โจ๐[sgm(๐ก)], ๐๐โฉ = โ2๐ lim๐โโ
โซ ๐(๐) (โซ sin(2๐๐๐ก) ๐๐ก๐
0
)๐๐โ
โโ
= lim๐โโ
โซ ๐(๐)1 โ cos(2๐๐๐)
๐๐๐๐๐
โ
โโ
= lim๐โโ
โซ (๐(๐) โ ๐(โ๐))1 โ cos(2๐๐๐)
๐๐๐๐๐
โ
0
= โซ๐(๐) โ ๐(โ๐)
๐๐๐๐๐
โ
0
โ lim๐โโ
โซ๐(๐) โ ๐(โ๐)
๐๐๐cos(2๐๐๐) ๐๐
โ
0
(5.8.13)
Poichรฉ la funzione ๐(๐)โ๐(โ๐)
๐ รจ sommabile in (0,โ) ci si convince del
fatto che il limite che compare nell'ultimo membro della precedente vale
0.
Fig. 5.7 - sgm(๐ก)
CAPITOLO - 5 - Segnali a Potenza Finita - 127
In definitiva ricordando la (5.2.10) si ha:
โจ๐[sgm(๐ก)], ๐๐โฉ =1
๐๐VPโซ
๐(๐)
๐๐๐
โ
โโ
=1
๐๐โจPf(๐โ1), ๐๐โฉ (5.8.14)
In conclusione quindi:
๐[sgm(๐ก)] =1
๐๐Pf(๐โ1) (5.8.15)
Trasformata del gradino unitario
Poichรฉ si ha, com'รจ facile riconoscere:
u(๐ก) =1
2+1
2sgm(๐ก) (5.8.16)
รจ, tenendo conto del risultato precedente:
๐[u(๐ก)] =1
2๐ฟ(๐) + Pf (
1
๐2๐๐) (5.8.17)
Si noti la presenza della delta di Dirac dovuta al termine 1
2 cioรจ alla com-
ponente continua della u(๐ก).
Proprietร delle trasformate delle distribuzioni. 5.9 -
La trasformata di Fourier di una distribuzione possiede tutte le
proprietร della trasformata di Fourier di una funzione ordinaria giร di-
scusse nel CAPITOLO - 4; in particolare:
Linearitร
Dalla proprietร di linearitร per le distribuzioni discende:
๐[๐ + ๐] = ๐[๐] + ๐[๐] (5.9.1)
quali che siano le distribuzioni ๐ e ๐.
Trasformata della convoluzione
Siano ๐ e ๐ due distribuzionila prima temperata e la seconda a
supporto limitato.
Per le (5.6.6) e (5.4.7) si ha:
128 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
โจ๐[๐ โ ๐], ๐๐โฉ = โจ๐ โ ๐, ๐ท๐กโฉ = โจ๐๐ , โจ๐๐, ๐ท(๐ + ๐)โฉโฉ
= โจ๐๐ , โจ๐๐, โซ ๐(๐)๐โ๐2๐๐(๐+๐)๐๐โ
โโ
โฉโฉ
= โจ๐๐ , โซ ๐(๐)โจ๐๐, ๐โ๐2๐๐๐โฉ๐โ๐2๐๐๐๐๐
โ
โโ
โฉ
(5.9.2)
Poichรฉ, essendo per ipotesi ๐ a supporto limitato, โจ๐๐, ๐โ๐2๐๐๐โฉ รจ la tra-
sformata di ๐ che รจ una funzione continua ed infinitamente derivabile di
๐ (vedi ยง.5.7 - ). Pertanto dalla precedente discende:
โจ๐[๐ โ ๐], ๐๐โฉ โ= โจ๐๐ , โซ ๐(๐)๐[๐]๐โ๐2๐๐๐๐๐
โ
โโ
โฉ
= โจ๐๐ , ๐[๐[๐]๐๐]โฉ = โจ๐[๐], ๐[๐]๐๐โฉ = โจ๐[๐]๐[๐], ๐๐โฉ
(5.9.3)
Quindi nel caso in esame risulta:
๐[๐ โ ๐] = ๐[๐] โ ๐[๐] (5.9.4)
Si perviene allo stesso risultato anche nel caso in cui ๐ รจ una di-
stribuzione regolare individuata da una funzione temperata ๐ฃ(๐ก) e ๐ รจ
una distribuzione temperata. Si ha infatti:
โจ๐[๐ โ ๐], ๐๐โฉ = โจ๐๐, โซ ๐ฃ(๐)โซ ๐(๐)๐โ๐2๐๐(๐+๐)๐๐๐โ
โโ
๐โ
โโ
โฉ
= โจ๐๐ , โซ ๐(๐)๐โ๐2๐๐๐ (โซ ๐ฃ(๐)๐โ๐2๐๐๐๐๐โ
โโ
)๐๐โ
โโ
โฉ
= โจ๐๐ , โซ ๐[๐ฃ]๐(๐)๐โ๐2๐๐๐๐๐โ
โโ
โฉ = โจ๐๐ , ๐[๐[๐ฃ]๐(๐)]โฉ
= โจ๐[๐], ๐[๐ฃ]๐(๐)โฉ = โจ๐[๐ฃ] โ ๐[๐], ๐(๐)โฉ
(5.9.5)
Derivazione nel dominio del tempo e della frequenza
Se ๐ รจ una distribuzione temperata si puรฒ scrivere:
โจ๐[๐(๐)], ๐๐โฉ = โจ๐(๐), ๐ท๐กโฉ = โจ๐, (โ1)๐๐ท๐ก
(๐)โฉ
= โจ๐, ๐[(๐2๐๐)๐๐(๐)โฉ] = โจ๐[๐], (๐2๐๐)๐๐(๐)โฉ
= โจ(๐2๐๐)๐๐[๐], ๐๐โฉ
(5.9.6)
dalla quale discende:
๐[๐(๐)] = (๐2๐๐)๐๐[๐] (5.9.7)
CAPITOLO - 5 - Segnali a Potenza Finita - 129
In maniera analoga si puรฒ dimostrare:
๐โ1[๐(๐)] = (โ๐2๐๐)๐๐โ1[๐] (5.9.8)
La (5.9.8) puรฒ essere usata per valutare la trasformata di Fourier
di un segnale quando la sua derivata prima o le sue derivate successive
sono facilmente trasformabili. Occorre tuttavia procedere con cautela
nell'invertire le operazioni in essa indicate.
Se ๐ (๐ก) ammette limite finito per |๐ก| โ โ e se รจ derivabile in senso
generalizzato, si puรฒ scrivere:
๐ (๐ก) = โซ ๐ โฒ(๐)๐๐ + ๐ (โโ)๐ก
โโ
= โซ ๐ โฒ(๐)๐ข(๐ก โ ๐)๐๐ + ๐ (โโ)โ
โโ
โโ = ๐ โฒ โ ๐ข + ๐ (โโ)
(5.9.9)
La trasformata di Fourier della distribuzione in S associata a ๐ (๐ก)
si puรฒ calcolare quindi, applicando la (5.9.4).
Tenendo conto della (5.8.17) si ha;
๐(๐) = ๐๐ท(๐) (1
2๐ฟ(๐) + Pf (
1
๐2๐๐)) + ๐ (โโ)๐ฟ(๐) (5.9.10)
avendo denotato con ๐๐ท(๐) la trasformata di Fourier di ๐ โฒ(๐ก).
Si osservi che la (5.9.10) quindi ha senso quando ๐ โฒ(๐ก) individua o
una distribuzione a supporto limitato o รจ una funzione temperata.
Poichรฉ nei casi citati ๐๐ท(๐) รจ una funzione continua si puรฒ ulte-
riormente scrivere:
๐(๐) =1
2๐๐ท(0)๐ฟ(๐) + ๐๐ท(๐)Pf (
1
๐2๐๐) + ๐ (โโ)๐ฟ(๐) (5.9.11)
dalla quale, se ๐ โฒ(๐ก) รจ trasformabile in senso ordinario, si deduce:
๐(๐) =1
2(๐ (โ) + ๐ (โโ))๐ฟ(๐) + ๐๐ท(๐) โ ๐๐ (
1
๐2๐๐) (5.9.12)
essendo:
๐๐ท(0) = โซ ๐ โฒ(๐)๐๐โ
โโ
= ๐ (โ) โ ๐ (โโ) (5.9.13)
Traslazione nel dominio del tempo e della frequenza
Se ๐ รจ una distribuzione temperata, si ha:
130 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
โจ๐[๐๐กโ๐ก0], ๐๐โฉ = โจ๐๐กโ๐ก0 , ๐ท๐กโฉ = โจ๐๐ก , ๐ท๐ก+๐ก0โฉ = โจ๐, ๐
โ๐2๐๐๐ก0๐ท๐กโฉ
= โจ๐โ๐2๐๐๐ก0๐[๐], ๐๐โฉ (5.9.14)
e cioรจ:
๐[๐๐กโ๐ก0] = ๐โ๐2๐๐๐ก0๐[๐] (5.9.15)
Analogamente risulta:
๐โ1[๐๐กโ๐ก0] = ๐๐2๐๐๐ก0๐โ1[๐] (5.9.16)
Esempio 5.2
Derivando due volte, nel senso delle distribuzioni, l'impulso triangolare
โง (๐ก
๐) di durata ๐, si ha:
โงโฒ (๐ก
๐) =
2
๐(โ (
๐ก + ๐/2
๐) โโ (
๐ก โ ๐/2
๐))
E
โงโณ (๐ก
๐) =
2
๐(๐ฟ (๐ก +
๐
2) โ 2๐ฟ(๐ก) + ๐ฟ (๐ก โ
๐
2))
La trasformata di Fourier di โงโณ (๐ก
๐) vale allora:
๐ [โงโณ (๐ก
๐)] =
2
๐(๐โ๐๐๐๐ โ 2 + ๐๐๐๐๐) =
4
๐(cos(๐๐๐) โ 1)
Applicando la (5.9.8) si deduce:
๐[โงโฒ (๐ก)] =4
๐
cos(๐๐๐) โ 1
๐2๐๐
Unโulteriore applicazione della (5.9.8) conduce alla:
๐ [โง (๐ก
๐)] =
4
๐
1 โ cos(๐๐๐)
(2๐๐)2=๐
2sinc2 (
๐๐
2)
essendo โง (โ) =โง (โโ) = 0.
Esempio 5.3
Derivando successivamente l'impulso cosinusoidale definito dalla:
๐ (๐ก) = cos (๐๐ก
๐)โ (
๐ก
๐)
Si ha
๐ โฒ(๐ก) = โ๐
๐sin (
๐๐ก
๐)โ (
๐ก
๐)
e
CAPITOLO - 5 - Segnali a Potenza Finita - 131
๐ โณ(๐ก) = โ (๐
๐)2
cos (๐๐ก
๐)โ (
๐ก
๐) +
๐
๐๐ฟ (๐ก +
๐
2) โ
๐
๐๐ฟ (๐ก โ
๐
2)
cioรจ:
๐ โณ(๐ก) = โ(๐
๐)2
๐ (๐ก) +๐
๐๐ฟ (๐ก +
๐
2) โ
๐
๐๐ฟ (๐ก โ
๐
2)
da cui trasformando:
๐[๐ โณ(๐ก)] = โ(๐
๐)2
๐[๐ (๐ก)] +๐
๐(๐๐๐๐๐ โ ๐โ๐๐๐๐)
In definitiva si ha:
๐[๐ (๐ก)] =
{
1
2๐๐
cos(๐๐๐)
(1
2๐)2โ ๐2
; |๐| โ 1
2๐
๐
2; |๐| =
1
2๐
Esempio 5.4
La derivata del segnale ๐ (๐ก) riportato in
Fig.E 5.4 vale:
๐ โฒ(๐ก) =2
๐โ (
๐ก
๐)
Quindi
๐๐ท(๐) = ๐[๐ โฒ(๐ก)] = 2sinc(๐๐)
Essendo ๐๐ท(0) = 2 e ๐ (โโ) = โ1, risulta:
๐(๐) = 2sinc(๐๐)Pf (1
๐๐๐)
Tabella 5.1
Trasformate di Fourier di alcune distribuzioni notevoli
๐[๐ฟ(๐ก)] = 1
๐[๐ฟ(๐ก โ ๐ก0)] = ๐โ๐2๐๐๐ก0
๐[1] = ๐ฟ(๐)
๐[๐๐2๐๐0๐ก] = ๐ฟ(๐ โ ๐0)
๐[sgm(๐ก)] =1
๐๐Pf (
1
๐)
๐[u(๐ก)] =1
2๐ฟ(๐) +
1
๐2๐Pf (
1
๐)
๐[cos(2๐๐0๐ก)] =1
2[๐ฟ(๐ โ ๐0) + ๐ฟ(๐ + ๐0)]
Fig.E 5.4
132 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
๐[sin(2๐๐0๐ก)] =1
2๐[๐ฟ(๐ โ ๐0) โ ๐ฟ(๐ + ๐0)]
๐ [ โ ๐(๐)๐๐2๐๐๐ก
๐0
โ
๐=โโ
] =โ๐(๐)๐ฟ (๐ โ๐
๐0)
โ
โโ
CAPITOLO - 6
TRASFORMAZIONI LINEARI DEI SEGNALI
Definizioni. Proprietร generali. 6.1 -
Un sistema di elaborazione dei segnali รจ un dispositivo che effettua
su uno o piรน segnali in ingresso un insieme di trasformazioni, come ad
esempio amplificazione, filtraggio, modulazione o rivelazione, trasmis-
sione, etc. Un tale dispositivo รจ normalmente rappresentato mediante un
blocco funzionale caratterizzato
da un segnale in ingresso ๐ฅ(๐ก) e
da un segnale in uscita ๐ฆ(๐ก) (ve-
di Fig. 6.1). La trasformazione
operata dal blocco รจ identificata da un operatore ๐ ed รจ simbolicamente
rappresentata dalla relazione:
๐ฆ(๐ก) = ๐{๐ฅ(๐)}; ๐ก, ๐ โ ๐ผ (6.1.1)
Se ๐ผ รจ un insieme continuo (limitato o illimitato) la trasformazione si di-
ce analogica; se ๐ผ รจ un insieme discreto (finito o numerabile) la trasfor-
mazione รจ detta numerica รจ anche possibile che il segnale in ingresso sia
a tempo continuo e quello di uscita a tempo discreto (ad es. conver-
titori analogico-digitali) o viceversa.
Il segnale in uscita al generico istante ๐ก, in generale, dipende dalla
forma dell'ingresso ๐ฅ(๐) per ๐ < ๐ก (passato), ๐ = ๐ก (presente) e ๐ > ๐ก (fu-
turo). Quando ๐ฆ(๐ก) dipende solo dal valore assunto dallโingresso nello
stesso istante ๐ก, la trasformazione si dice priva di memoria.
La trasformazione รจ detta inoltre non anticipativa se ๐ฆ(๐ก) dipende
solo dal segnale in ingresso ๐ฅ(๐) per ๐ โค ๐ก. In caso contrario essa si dirร
anticipativa. Naturalmente se la trasformazione ๐ rappresentasse un si-
stema fisico la risposta non potrebbe esistere prima che la sollecitazione
fosse applicata all'ingresso (Principio di causalitร ); di conseguenza ogni
Fig. 6.1 - Trasformazione di segnali
134 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
sistema fisicamente realizzabile รจ necessariamente non anticipativo. Tut-
tavia se l'elaborazione del segnale avvenisse in tempo virtuale a mezzo
ad esempio di un calcolatore nella cui memoria siano stati giร stati inseri-
ti i dati ๐ฅ(๐ก), la condizione di causalitร potrebbe essere rimossa.
Un'importante classificazione delle trasformazioni di segnali รจ ba-
sata sul concetto di linearitร .
Una trasformazione si dice lineare se ad ogni ingresso del tipo:
๐ฅ(๐) =โ๐๐๐ฅ๐(๐);
๐
๐=1
๐ โ ๐ผ (6.1.2)
costituito cioรจ dalla combinazione lineare di ๐ segnali componenti, con
le ๐๐ costanti reali o complesse non tutte nulle, fa corrispondere un'usci-
ta data dalla:
๐ฆ(๐ก) =โ๐๐๐{๐ฅ๐(๐)};
๐
๐=1
๐ก, ๐ โ ๐ผ (6.1.3)
Detto in altre parole, la trasformazione รจ lineare quando soddisfa
il principio di omogeneitร :
๐{๐๐ฅ(๐)} = ๐๐{๐ฅ(๐)}; ๐ โ โ (6.1.4)
e di additivitร :
๐{๐ฅ1(๐) + ๐ฅ2(๐)} = ๐{๐ฅ1(๐)} + ๐{๐ฅ2(๐)} (6.1.5)
Una trasformazione infine si dice tempo invariante se detta ๐ฆ(๐ก) la
risposta all'ingresso ๐ฅ(๐), all'ingresso ๐ฅ(๐ โ ๐) corrisponde l'uscita:
๐ฆ(๐ก โ ๐) = ๐{๐ฅ(๐ โ ๐)}; ๐ก, ๐,๐ โ ๐ผ (6.1.6)
Ciรฒ equivale a dire che ad un ritardo nel segnale in ingresso corrisponde
un identico ritardo nel segnale in uscita.
Esempio 6.1
La trasformazione
๐ฆ(๐๐) = ๐ฅ2(๐๐)
รจ discreta, non lineare e priva di memoria.
Esempio 6.2
La trasformazione:
๐ฆ(๐ก) = ๐ก๐ฅ(๐ก)
CAPITOLO - 6- Trasformazioni Lineari dei Segnali - 135
รจ analogica, lineare, priva di memoria e tempo variante giacche รจ:
๐ก๐ฅ(๐ก โ ๐) โ (๐ก โ ๐)๐ฅ(๐ก โ ๐)
Esempio 6.3
La trasformazione definita dalla seguente equazione differenziale:
๐ฆโฒ(๐ก) + ๐ผ๐ฆ(๐ก) = ๐ฅ(๐ก)
รจ lineare e tempo invariante.
Linearitร . Per gli ingressi ๐ฅ1(๐ก) e ๐ฅ2(๐ก) si ha:
๐ฆโฒ1(๐ก) + ๐ผ๐ฆ1(๐ก) = ๐ฅ1(๐ก)
๐ฆโฒ2(๐ก) + ๐ผ๐ฆ2(๐ก) = ๐ฅ2(๐ก)
da cui, sommando la prima della precedente moltiplicata per ๐1 con la se-
conda moltiplicata per ๐2, รจ:
[๐1๐ฆโฒ1(๐ก) + ๐2๐ฆ
โฒ2(๐ก)] + ๐ผ[๐1๐ฆ1(๐ก) + ๐2๐ฆ2(๐ก)] = ๐1๐ฅ1(๐ก) + ๐2๐ฅ2(๐ก)
che mostra che la risposta del sistema allโingresso ๐1๐ฅ1(๐ก) + ๐2๐ฅ2(๐ก) รจ
๐1๐ฆ1(๐ก) + ๐2๐ฆ2(๐ก).
Tempo invarianza. Effettuando, nellโequazione differenziale, la trasforma-
zione ๐ก โ ๐ก โ ๐ si ha:
๐ฆโฒ(๐ก โ ๐) + ๐ผ๐ฆ(๐ก โ ๐) = ๐ฅ(๐ก โ ๐)
che mostra che la risposta del sistema allโingresso ๐ฅ(๐ก โ ๐) รจ ๐ฆ(๐ก โ ๐).
Il sistema รจ anche dotato di memoria in quanto lโuscita dipende dalla sto-
ria dellโingresso.
Studio nel dominio del tempo. 6.2 -
In quel che segue ci occuperemo delle trasformazioni lineari a
tempo continuo.
Per definire la forma della trasformazione ๐, basta partire dall'i-
dentitร :
๐ฅ(๐ก) = โซ ๐ฅ(๐)๐ฟ(๐ก โ ๐)๐๐โ
โโ
(6.2.1)
Se la trasformazione ๐ รจ lineare, si ottiene:
๐ฆ(๐ก) = ๐{๐ฅ(๐)} = ๐ {โซ ๐ฅ(๐)๐ฟ(๐ โ ๐)๐๐โ
โโ
}
= โซ ๐ฅ(๐)๐{๐ฟ(๐ โ ๐)}๐๐โ
โโ
(6.2.2)
la quale, ponendo:
136 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
โ(๐ก, ๐) = ๐{๐ฟ(๐ โ ๐)} (6.2.3)
diventa:
๐ฆ(๐ก) = โซ ๐ฅ(๐)โ(๐ก, ๐)๐๐โ
โโ
(6.2.4)
La โ(๐ก, ๐), definita dalla (6.2.3), corrisponde alla risposta del sistema os-
servata all'istante ๐ก ad un impulso di Dirac applicato all'istante ๐.
Nel linguaggio proprio delle trasformazioni lineari la funzione
โ(๐ก, ๐) costituisce il cosiddetto nucleo della trasformazione (6.2.4).
Esempio 6.4
Il sistema lineare:
๐ฆ(๐ก) = ๐ก๐ฅ(๐ก)
รจ caratterizzato dalla seguente risposta impulsiva
โ(๐ก, ๐) = ๐ก๐ฟ(๐ก โ ๐)
Si osservi che il sistema in parola รจ tempovariante.
Nel caso in cui la trasformazione lineare รจ tempo invariante, la
(6.2.2) diviene:
โ(๐ก, ๐) = ๐{๐ฟ(๐ โ ๐)} = โ(๐ก โ ๐) (6.2.5)
la precedente sta a significare che, nel caso di trasformazioni Li-
neari e Tempo Invarianti (LTI), la risposta impulsiva non dipende in
realtร dalle due variabili ๐ก e ๐, ma dalla loro differenza essa sarร cioรจ ri-
conducibile ad una funzione โ(๐ก) di una sola variabile. In sostanza ab-
biamo indicato con:
โ(๐ก) = ๐{๐ฟ(๐)} (6.2.6)
La funzione โ(๐ก) rappresenta cioรจ la risposta della trasformazione LTI
ad una delta di Dirac centrata nellโorigine dei tempi, essa รจ pertando
chiamata risposta impulsiva della trasformazione LTI. Sostituendo nella
(6.2.2) si ottiene:
๐ฆ(๐ก) = โซ ๐ฅ(๐)โ(๐ก โ ๐)๐๐โ
โโ
= โซ ๐ฅ(๐ก โ ๐)โ(๐)๐๐โ
โโ
= ๐ โ ๐ (6.2.7)
cioรจ: il segnale in uscita da un sistema LTI si ottiene convolvendo il se-
gnale in ingresso con la risposta impulsiva del sistema.
CAPITOLO - 6- Trasformazioni Lineari dei Segnali - 137
Stabilitร di un sistema lineare 6.3 -
Una trasformazione lineare รจ detta stabile se ad ogni ingresso li-
mitato corrisponde unโuscita limitata (Stabilitร BIBO: Bounded Input Boun-
ded Output). Cioรจ, con
|๐ฅ(๐ก)| < ๐๐ฅ (6.3.1)
si deve avere
|๐ฆ(๐ก)| < ๐๐ฆ (6.3.2)
Utilizzando la (6.2.4) si ha:
|๐ฆ(๐ก)| = |โซ ๐ฅ(๐)โ(๐ก, ๐)๐๐โ
โโ
| โค ๐๐ฅโซ |โ(๐ก, ๐)|๐๐โ
โโ
โค ๐๐ฆ (6.3.3)
che equivale a scrivere:
โซ |โ(๐ก, ๐)|๐๐โ
โโ
< โ (6.3.4)
La precedente รจ dunque una condizione sufficiente alla stabilitร BIBO di
una trasformazione lineare.
Se la trasformazione รจ anche tempo invariante la precedente di-
venta:
โซ |โ(๐ก โ ๐)|๐๐กโ
โโ
= โซ |โ(๐ก)|๐๐กโ
โโ
< โ (6.3.5)
ร da osservare che, nel caso di trasformazioni LTI, la condizione
(6.3.5) รจ anche necessaria.
Infatti, si supponga che sia โซ |โ(๐ก)|๐๐กโ
โโ= โ, cioรจ che la risposta
impulsiva non sia sommabile. Si scelga un ingresso del tipo
๐ฅ(๐ก) = sgm[โ(โ๐ก)] (6.3.6)
Esso รจ manifestamente limitato, ma in corrispondenza ad esso lโuscita,
calcolata in ๐ก = 0, sarebbe:
๐ฆ(0) = โซ ๐ฅ(๐)โ(๐ก โ ๐)๐๐โ
โโ
|๐ก=0
= โซ sgm[โ(โ๐)]โ(โ๐)๐๐โ
โโ
= โซ |โ(๐ก)|๐๐กโ
โโ
= โ
(6.3.7)
Quindi il sistema non sarebbe stabile in senso BIBO.
138 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
Risposta impulsiva di trasformazioni lineari prive di 6.4 - memoria
Se la risposta impulsiva della trasformazione รจ del tipo
โ(๐ก, ๐) = ๐(๐ก)๐ฟ(๐ก โ ๐) (6.4.1)
la risposta ad un ingresso ๐ฅ(๐ก) รจ data dalla:
๐ฆ(๐ก) = โซ ๐ฅ(๐)๐(๐ก)๐ฟ(๐ก โ ๐)๐๐โ
โโ
= ๐(๐ก)๐ฅ(๐ก) (6.4.2)
Ciรฒ equivale a dire che il sistema รจ privo di memoria perchรจ la risposta
dipende solo dallโingresso valutato allโistante presente ๐ก. Se la trasforma-
zione รจ anche tempoinvariante, la condizione (6.4.1) si muta nella
โ(๐ก) = ๐๐ฟ(๐ก).
Studio nel dominio della frequenza. 6.5 -
Lo studio delle trasformazioni lineari puรฒ essere condotto nel
dominio della frequenza in termini cioรจ delle trasformate di Fourier
๐(๐) e ๐(๐),rispettivamente dei segnali dโingresso e di uscita. Nel do-
minio della frequenza, la (6.2.4) assume la forma:
๐(๐) = ๐[๐ฆ(๐ก)] = ๐ [โซ ๐ฅ(๐)โ(๐ก, ๐)๐๐โ
โโ
]
= โซ [โซ (โซ ๐(๐)๐๐2๐๐๐๐๐โ
โโ
) โ(๐ก, ๐)๐๐ โ
โโ
] ๐โ๐2๐๐๐ก๐๐กโโ
โโ
= โซ ๐(๐) [โซ โซ โ(๐ก, ๐)๐โ๐2๐(๐๐กโ๐๐)๐๐กโ
โโ
๐๐ โ
โโ
] ๐๐โโ
โโ
= โซ ๐(๐)๐ป(๐, โ๐)๐๐โโ
โโ
(6.5.1)
Dove ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐, ๐) รจ la trasformata di Fourier bidimensionale della โ(๐ก, ๐). La
(6.5.1) rappresenta la trasformazione duale.
Se la trasformazione รจ LTI, la relazione ingresso uscita รจ espressa
dallโintegrale di convoluzione (6.2.7), e la precedente diventa:
๐(๐) = ๐ป(๐) โ ๐(๐) (6.5.2)
๐ป(๐) definita dalla:
๐ป(๐) = ๐[โ(๐ก)] = โซ โ(๐ก)๐โ๐2๐๐๐ก๐๐กโ
โโ
(6.5.3)
CAPITOLO - 6- Trasformazioni Lineari dei Segnali - 139
prende il nome di risposta in frequenza del sistema. La trasformazione dua-
le di un sistema LTI si riduce quindi al prodotto della ๐(๐) per la rispo-
sta in frequenza del sistema.
La deduzione della (6.5.2) dalla (6.2.7) รจ immediata, รจ tuttavia in-
teressante, come utile esercizio, ottenerla anche introducendo lโipotesi di
tempo invarianza nella (6.5.1):
๐(๐) = ๐ [โซ ๐ฅ(๐)โ(๐ก โ ๐)๐๐โ
โโ
]
= โซ [โซ (โซ ๐(๐)๐๐2๐๐๐๐๐โ
โโ
) โ(๐ก โ ๐)๐๐ โ
โโ
] ๐โ๐2๐๐๐ก๐๐กโโ
โโ
= โซ ๐(๐) [โซ ๐๐2๐๐๐ (โซ โ(๐ก โ ๐)๐โ๐2๐๐๐ก๐๐กโ
โโ
) ๐๐โ
โโ
] ๐๐โโ
โโ
= โซ ๐(๐) [โซ ๐๐2๐๐๐(๐ป(๐)๐โ๐2๐๐๐) ๐๐โ
โโ
] ๐๐โโ
โโ
= โซ ๐(๐) [๐ป(๐)โซ ๐โ๐2๐(๐โ๐)๐ ๐๐โ
โโ
] ๐๐โโ
โโ
= โซ ๐(๐)[๐ป(๐)ฮด(๐ โ ๐)]๐๐โโ
โโ
= ๐ป(๐)๐(๐)
(6.5.4)
In pratica dalla precedente si evince che il modulo della ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐, โ๐) di un
sistema LTI si presenta come una โlamaโdi delta di Dirac โadagiateโ sul-
la bisettrice del piano (๐, ๐) inviluppata da |๐ป(๐)|.
Determinazione della risposta in frequenza di una 6.6 - trasformazione LTI.
Nel caso generale puรฒ risultare complicata la determinazione della
risposta in frequenza di un sistema lineare. Tuttavia nel caso di trasfor-
mazioni lineari e tempo invarianti il calcolo della ๐ป(๐) risulta molto piรน
semplice. Infatti la risposta ad un ingresso del tipo:
๐ฅ0(๐ก) = ๐๐2๐๐0๐ก (6.6.1)
vale:
๐ฆ0(๐ก) = โซ ๐๐2๐๐0(๐กโ๐)โ(๐)๐๐โ
โโ
= ๐๐2๐๐0๐กโซ โ(๐)๐โ๐2๐๐0๐๐๐โ
โโ
(6.6.2)
che, ricordando la (6.5.3), si scrive: ๐ฆ0(๐ก) = ๐ป(๐0)๐
๐2๐๐0๐ก (6.6.3)
140 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
Fig.E 6.1
Fig.E 6.2
Cioรจ, un sistema LTI sollecitato da un segnale del tipo ๐๐2๐๐0๐ก ri-
sponde con un segnale che differisce da esso per unfattore moltipicativo
complesso coincidente con il valore, ๐ป(๐0), della risposta in frequenza
alla frequenza ๐0
Esempio 6.5
Si determini la risposta in frequenza del sistema definito dalla seguente
equazione differenziale:
๐ฆโฒ(๐ก) + ๐ผ๐ฆ(๐ก) = ๐ฅ(๐ก)
Ponendo:
๐ฅ0(๐ก) = ๐๐2๐๐๐ก
๐ฆ0(๐ก) = ๐ป(๐)๐๐2๐๐๐ก
si ottiene:
๐2๐๐๐ป(๐)๐๐2๐๐๐ก + ๐ผ๐ป(๐)๐๐2๐๐๐ก = ๐๐2๐๐๐ก
dalla quale si deduce:
๐ป(๐) =1
๐ผ + ๐2๐๐
Esempio 6.6
Si determini la risposta in frequenza del
filtro RC passa basso rappresentato in Fig.E
6.1dove ๐ฅ(๐ก) e ๐ฆ(๐ก) denotato le tensioni applicate ai morsetti di ingresso e di
uscita rispettivamente.
L'equazione differenziale della rete รจ
๐ ๐ถ๐ฆโฒ(๐ก) + ๐ฆ(๐ก) = ๐ฅ(๐ก)
Ponendo:
๐ฅ(๐ก) โก ๐ฅ0(๐ก) = ๐๐2๐๐๐ก โโโโโ๐ฆ(๐ก) โก ๐ฆ0(๐ก) = ๐ป(๐)๐
๐2๐๐๐ก
si ha:
๐ป(๐) =1
1 + ๐2๐๐๐ ๐ถ
E' da osservare che quanto detto equivale a determinare la risposta del si-
stema nel regime sinusoidale permanente; ciรฒ puรฒ essere fatto direttamente
sulla base dello schema di Fig.E 6.2 dove al condensatore ๐ถ si รจ sostituita
lโimpedenza 1
๐2๐๐๐ถ. Dalla Fig.E 6.2 si deduce infatti:
๐(๐) = ๐(๐)1
๐2๐๐๐ถ
1
๐ +1
๐2๐๐๐ถ
CAPITOLO - 6- Trasformazioni Lineari dei Segnali - 141
Fig.E 6.3
Il modulo della ๐ป(๐) vale:
|๐ป(๐)| =1
โ1 + (2๐๐๐ ๐ถ)2
ed il suo argomento:
๐(๐) = โarctang(2๐๐๐ ๐ถ)
Come si evince dallaFig.E 6.3, che riporta gli andamenti di |๐ป(๐)| e di
๐(๐) in funzione della frequenza, il sistema presenta un comportamento del
tipo "passa-basso".
Esempio 6.7
Si determini la risposta impulsiva
del sistema lineare e tempo invariante
caratterizzato dalla seguente equazione
differenziale:
๐ฆโณ(๐ก) + ๐ฆโฒ(๐ก) + ๐ฆ(๐ก) = ๐ฅ(๐ก)
Metodo diretto
La risposta impulsiva si ottiene dalla so-
luzione dellโequazione
(a) โโณ(๐ก) + โโฒ(๐ก) + โ(๐ก) = ๐ฟ(๐ก)
Poichรฉ lโimpulso di Dirac รจ identica-
mente nullo per ๐ก โ 0, la risposta impulsiva
puรฒ essere considerata come una risposta
con ingresso zero partendo dallโistante ๐ก = 0+.
Questo comporta che, dette ๐ผ e ๐ฝ le soluzioni dellโequazione caratteristi-
ca:
๐ 2 + ๐ + 1 = 0
cioรจ
{
๐ผ = โ
1
2โ ๐
โ3
2
๐ฝ = โ1
2+ ๐
โ3
2
la soluzione con ingresso zero รจ del tipo:
(b) โ(๐ก) = ๐1๐๐ผ๐ก + ๐2๐
๐ฝ๐ก = ๐1๐(โ1
2+๐
โ3
2)๐ก + ๐2๐
(โ1
2โ๐
โ3
2)๐ก
dove le costanti ๐1 e ๐2 dipendono dalle condizioni iniziali a ๐ก = 0+ dovute
allโimpulso di Dirac. A tale proposito si integri lโequazione (a) da ๐ก = 0โa
๐ก = 0+. Si ha:
(c) โโฒ(0+) + โ(0+) + โซ โ(๐ก)๐๐ก0+
0โ= 1
essendo manifestamente โโฒ(0โ) = 0; โ(0โ) = 0; โซ ๐ฟ(๐ก)๐๐ก0+
0โ= 1.
142 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
La risposta impulsiva non puรฒ avere discontinuitร in ๐ก = 0, perchรจ se co-
sรฌ fosse sostituendo nella (a) a primo membro comparirebbe la derivata della
distribuzione delta di Dirac che non รจ compare nel secondo membro quindi
la (a) non potrebbe essere soddisfatta. Pertano:
โซ โ(๐ก)๐๐ก0+
0โ= 0
che comporta
(d) โ(0+) = 0
e quindi dalla (c) si ottiene:
(e) hโฒ(0+) = 1
Le (d) e (e) costituiscono le condizioni iniziali da imporre alla (b). Si pervie-
ne cosรฌ alla seguente espressione:
โ(๐ก) = (๐
โ3๐โ
1
2๐กโ๐
โ3
2๐ก โ
๐
โ3๐โ
1
2๐ก+๐
โ3
2๐ก) u(๐ก) =
2
โ3๐โ
1
2๐กsin (
โ3
2๐ก)u(๐ก)
Allo stesso risultato si puรฒ pervenire ricavando la risposta in frequenza,
la risposta impulsiva puรฒ essere cioรจ determinata come trasformata in-
versa di Fourier della risposta in frequenza. A tal proposito ponendo:
๐ฅ0(๐ก) = ๐๐2๐๐๐ก
si ottiene:
(๐2๐๐)2๐ป(๐)๐๐2๐๐๐ก + (๐2๐๐)๐ป(๐)๐๐2๐๐๐ก + ๐ป(๐)๐๐2๐๐๐ก = ๐๐2๐๐๐ก
da cui:
๐ป(๐) =1
(๐2๐๐)2 + (๐2๐๐) + 1
che, ponendo adesso ๐ = ๐2๐๐, diventa:
๐ป(๐) =1
๐2 + ๐ + 1=
1
(๐ +1
2โ ๐
โ3
2)(๐ +
1
2+ ๐
โ3
2)
Espandendo la funzione ๐ป(๐), cosรฌ ottenuta, in fratti semplici, si ottiene:
๐ป(๐) =๐ด
๐ +1
2โ ๐
โ3
2
+๐ต
๐ +1
2+ ๐
โ3
2
dove i coefficienti ๐ดe ๐ต valgono:
๐ด = [1
๐ +1
2+ ๐
โ3
2
]
๐=โ1
2+๐
โ3
2
= โ๐1
โ3; ๐ต = [
1
๐ +1
2โ ๐
โ3
2
]
๐=โ1
2โ๐
โ3
2
= ๐1
โ3
Si ottiene allora:
CAPITOLO - 6- Trasformazioni Lineari dei Segnali - 143
Fig. 6.2 โ Risposta di un sistema
di trasmissione senza di-
storsione
Fig. 6.3 - Risposta in fre-quenza di un sistema senza distorsione
๐ป(๐) =1
โ3
1
๐2๐๐ +1
2+ ๐
โ3
2
โ ๐1
โ3
1
๐2๐๐ +1
2โ ๐
โ3
2
la cui antitrasformata coincide con la risposta impulsiva precedentemente
determinata.
Trasmissione senza distorsione. Filtri ideali. 6.7 -
Un sistema di trasmissione si defi-
nisce senza distorsione quando il segnale
in uscita รจ proporzionale a quello in in-
gresso seppur ritardato di una quantitร ๐.
(Fig. 6.2). Per un sistema senza distorsione
si ha quindi:
๐ฆ(๐ก) = โ0๐ฅ(๐ก โ ๐) (6.7.1)
dove la costante โ0 rappresenta il guada-
gno (โ0 > 1) o lโattenuazione (0 < โ0 < 1) del sistema.
Trasformando secondo Fourier ambo i
membri della (6.7.1) si ottiene:
๐(๐) = โ0๐โ๐2๐๐๐๐(๐) (6.7.2)
dalla quale si deduce:
๐ป(๐) = โ0๐โ๐2๐๐๐ (6.7.3)
In un sistema di trasmissione senza di-
storsione lโampiezza della ๐ป(๐) รจ costante
mentre il suo argomento risulta proporzionale alla frequenza come รจ
mostrato in Fig. 6.3.
Un sistema di trasmissione che non introduce distorsioni entro
una certa banda (finita) di frequenza ma non permette, al di fuori di es-
sa, la trasmissione del segnale, costituisce un filtro ideale. A seconda del-
la dislocazione della banda i filtri ideali si distinguono in filtri passa-basso e
filtri passa-banda.
La risposta in frequenza per un filtro passa-basso ideale di banda
๐๐, che introduce un ritardo ๐ ed unโattenuazione โ0 รจ:
๐ป(๐) = โ0โ (๐
2๐๐) ๐โ๐2๐๐๐ (6.7.4)
144 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
Fig. 6.4 - Risposte in frequenza di un filtro ideale: a) passa-basso, b) passa-banda
vedi Fig. 6.4 a), la risposta in frequenza di un filtro passabanda ideale
centrato alla frequenza ๐0 con banda ๐ต ritardo ๐ ed attenuazione โ0 vale
๐ป(๐) = โ0 (โ (๐ โ ๐0๐ต
) +โ (๐ + ๐0๐ต
)) ๐โ๐2๐๐๐ (6.7.5)
vedi Fig. 6.4 b)
Le corrispondenti risposte impulsive valgono:
a) filtro passa-basso:
โ(๐ก) = 2โ0๐๐sinc[2๐๐(๐ก โ ๐)] (6.7.6)
b) filtro passa-banda:
โ(๐ก) = 2โ0๐ต cos[2๐๐0(๐ก โ ๐)] sinc[๐ต(๐ก โ ๐)] (6.7.7)
rappresentano lโampiezza di banda e la fre-
quenza centrale del filtro.
Come si deduce dalle (6.7.6) e (6.7.7),
risulta โ(๐ก) โ 0 per ๐ก < 0 quindi il principio
di causalitร รจ violato, pertanto tali filtri non
sono fisicamente realizzabili, la loro risposta
impulsiva puรฒ comunque essere approssia-
mata introducendo un ritardo temporale,
ovvero se si accetta di avere una risposta in
frequenza che rientri in una prefissata ma-
schera di tolleranza ad esempio rispetto alle
piattezza in banda o alla ripiditร dei fronti di
discesa al di fuori di essa.
CAPITOLO - 7
CARATTERIZZAZIONE ENERGETICA DEI SEGNALI
Segnali a energia finita
Densitร spettrale di energia. 7.1 - Lโenergia specifica ๐ธ associata al segnale ๐ vale:
๐ธ = โซ |๐ (๐ก)|2๐๐กโ
โโ
= โซ ๐ (๐ก)๐ โ(๐ก)๐๐กโ
โโ
(7.1.1)
dove ๐ (๐ก) รจ una qualsiasi rappresentazione del segnale ๐.
Esprimendo ๐ (๐ก) in termini della sua trasformata di Fourier, si ha:
๐ธ = โซ ๐ โ(๐ก) (โซ ๐(๐)๐๐2๐๐๐ก๐๐โ
โโ
)๐๐กโ
โโ
โโ
= โซ ๐(๐) (โซ ๐ (๐ก)๐โ๐2๐๐๐ก๐๐กโ
โโ
)
โ
๐๐โ
โโ
โ = โซ ๐(๐)โ
โโ
๐โ(๐)๐๐
= โซ |๐(๐)|2โ
โโ
๐๐
(7.1.2)
Lโenergia specifica di un segnale si puรฒ quindi calcolare integrando il
quadrato del modulo della sua trasformata di Fourier (Teorema di Parseval 9).
Se il segnale รจ reale il modulo della sua trasformata di Fourier รจ
pari per cui la (7.1.2) si puรฒ scrivere:
๐ธ = 2โซ |๐(๐)|2๐๐โ
0
(7.1.3)
Da quest'ultima si evince che la porzione ๐๐ธ di energia specifica
associata al pacchetto di componenti armoniche del segnale le cui fre-
quenze cadono nellโintervallo (๐, ๐ + ๐๐) รจ data da 2|๐(๐)|2๐๐; ciรฒ si-
9 Il Teorema di Parseval รจ stato giร provato in modo formalmente piรน corretto nel CAPITOLO -
4. In tutto questo capitolo si รจ preferito sacrificare il rigore formale a vantaggio di una piรน im-
mediata interpretazione dei risultati.
146 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
gnifica che la funzione |๐(๐)|2 รจ proporzionale al rapporto ๐๐ธ
๐๐, e pertan-
to assume il significato di densitร di energia.
Piรน in generale, si definisce densitร spettrale di energia di un segnale la
quantitร :
๐(๐) = |๐(๐)|2 (7.1.4)
Essa รจ una funzione reale e non negativa di ๐:
๐(๐) โฅ 0 (7.1.5)
e tale che il suo integrale risulta pari a ๐ธ:
๐ธ = โซ ๐(๐)๐๐โ
โโ
(7.1.6)
Nel caso di segnali reali, dalla condizione di simmetria hermitiana
๐(โ๐) = ๐โ(๐), discende:
๐(โ๐) = ๐(๐) (7.1.7)
La densitร spettrale di energia di un segnale reale รจ quindi una
funzione reale e pari di ๐.
Le considerazioni svolte possono essere estese al caso di due se-
gnali distinti ๐1 e ๐2. In tal caso, si introducono le energie specifiche in-
crociate, o mutue, ๐ธ12 e ๐ธ21 definite dalle:
๐ธ12 = โซ ๐ 1(๐ก)๐ 2โ(๐ก)๐๐ก;
โ
โโ
๐ธ21 = โซ ๐ 2(๐ก)๐ 1โ(๐ก)(๐ก)๐๐ก;
โ
โโ
(7.1.8)
Si osservi che le precedenti esprimono anche i prodotti scalari
โจ๐1, ๐2โฉ e โจ๐2, ๐1โฉ tra i segnali; cosicchรฉ la condizione di ortogonalitร di
detti segnali si traduce nella:
๐ธ12 = ๐ธ21 = 0 (7.1.9)
Le energie incrociate sono quantitร , in generale, complesse e ri-
sulta:
๐ธ12 = ๐ธ21โ (7.1.10)
Facendo uso della disuguaglianza di Schwarz, si ottiene:
|๐ธ12| โค โ๐ธ1 โ โ๐ธ2, |๐ธ21| โค โ๐ธ1 โ โ๐ธ2 (7.1.11)
CAPITOLO - 7 - Caratterizzazione Energetica dei Segnali - 147
o anche:
๐ธ12๐ธ21 โค ๐ธ1๐ธ2 (7.1.12)
essendo ๐ธ1 ed ๐ธ2 le energie specifiche associate a ๐1 e ๐2 rispettivamen-
te.
Se i segnali sono reali le quantitร ๐ธ12 e ๐ธ21 sono anch'esse reali; in
tal caso si ha:
๐ธ12 = ๐ธ21 = โซ ๐ 1(๐ก)๐ 2(๐ก)๐๐กโ
โโ
(7.1.13)
Denotando con ๐1(๐) e ๐2(๐) le trasformate di Fourier di ๐ 1(๐ก) e
๐ 2(๐ก) rispettivamente, dalle (7.1.8) discende:
๐ธ12 = โซ ๐ 1(๐ก) (โซ ๐2โ(โ๐)๐๐2๐๐๐ก๐๐
โ
โโ
)โ
โโ
๐๐ก
= โซ ๐2โ(โ๐) (โซ ๐ 1(๐ก)๐
๐2๐๐๐ก๐๐กโ
โโ
)โ
โโ
๐๐
= โซ ๐1(โ๐)๐2โ(โ๐)๐๐
โ
โโ
(7.1.14)
che con un cambiamento di variabile puรฒ ancora scriversi:
๐ธ12 = โซ ๐1(๐)๐2โ(๐)๐๐
โ
โโ
= โจ๐ 1, ๐ 2โฉ (7.1.15)
Analogamente si ha:
๐ธ21 = โซ ๐2(๐)๐1โ(๐)๐๐
โ
โโ
= โจ๐ 2, ๐ 1โฉ (7.1.16)
Queste ultime costituiscono la forma piรน generale del Teorema di Par-
seval.
Introducendo le densitร spettrali di energia incrociate, o mutue:
๐12(๐) = ๐1(๐) โ ๐2โ(๐); ๐21(๐) = ๐2(๐) โ ๐1
โ(๐); (7.1.17)
le (7.1.15) e (7.1.16) divengono rispettivamente:
๐ธ12 = โซ ๐12(๐)๐๐โ
โโ
; ๐ธ21 = โซ ๐21(๐)๐๐โ
โโ
; (7.1.18)
Le densitร spettrali incrociate sono, in generale, complesse e risul-
ta:
148 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
๐12(๐) = ๐21โ (๐); (7.1.19)
Tuttavia, se i segnali sono reali, la precedente, in virtรน della sim-
metria hermitiana, si semplifica nella:
๐12(๐) = ๐21(โ๐) (7.1.20)
Esempio 7.1
Si considerino i due segnali:
๐ 1(๐ก) =โ (๐ก
๐)
๐ 2(๐ก) = u(๐ก)๐โ๐ก
๐0
Essi sono segnali a energia fini-
ta poichรฉ risulta:
๐ธ1 = ๐;๐ธ2 =๐02;
La loro energia incrociata vale:
๐ธ12 = ๐ธ21 = โซ ๐โ๐ก/๐0๐๐ก
๐
2
0
= ๐0 (1 โ ๐โ
๐
2๐0)
Lโenergia normalizzata vale:
๐ =๐ธ12
โ๐ธ1๐ธ2= โ
2๐0๐(1 โ ๐
โ๐
2๐0)
e risulta manifestamente |๐| โค 1 in accordo con la condizione (7.1.12). In
Fig.E 7.1 รจ riportato lโandamento di ๐ al variare di ๐ 2๐0โ . Il suo valore mas-
simo si ottiene quando รจ verificata la condizione:
๐โ
๐
2๐0 =1
1 +๐
๐0
Il massimo di ๐ si raggiunge per ๐ 2๐0โ โ 1,256 e vale 0,638.
Esempio 7.2
Per il segnale:
๐ (๐ก) = u(๐ก)๐โ๐๐ก; ๐ > 0
si calcoli il contributo all'energia specifica dovuto alla parte del suo spettro
compresa nell'intervallo di frequenze [โ๐
2๐,๐
2๐].
Tenendo conto dei risultati dellโEsempio 7.1, la densitร spettrale di ๐ (๐ก)
vale:
Fig.E 7.1
CAPITOLO - 7 - Caratterizzazione Energetica dei Segnali - 149
๐(๐) =1
๐2 + (2๐๐)2
Pertanto si ha:
๐ธ๐ = โซ๐๐
๐2 + (2๐๐)2
๐
2๐
โ๐
2๐
=1
2๐๐โซ
๐๐ฅ
1 + ๐ฅ2
1
โ1
=1
4๐
Esempio 7.3
Sia ๐ un segnale ottenuto sommando sue segnali ๐1 e ๐2 a energia finita:
๐ = ๐1 + ๐2
Dette ๐1(๐) e ๐1(๐) le trasformate di Fourier di ๐1 e ๐2 rispettivamente, la
densitร spettrale di potenza di ๐ vale:
๐(๐) = ๐(๐) โ ๐โ(๐) = [๐1(๐) + ๐2(๐)] โ [๐1โ(๐) + ๐2
โ(๐)]
= ๐1(๐) โ ๐1โ(๐) + ๐1(๐) โ ๐2
โ(๐) + ๐2(๐) โ ๐1โ(๐) + ๐2(๐) โ ๐2
โ(๐)
la quale, denotando con ๐1(๐) e ๐2(๐) le densitร spettrali di energia asso-
ciate a ๐1 e ๐2 e con ๐12(๐) e ๐21(๐) le corrispondenti densitร spettrali di
energia incrociate, si puรฒ riscrivere:
๐(๐) = ๐1(๐) +๐12(๐) +๐21(๐) +๐2(๐)
Per caratterizzare completamente dal punto di vista energetico la somma
di due segnali occorre definire pertanto quattro densitร spettrali che possono
essere disposte nella seguente matrice:
๐พ(๐) = [๐1(๐) ๐12(๐)๐21(๐) ๐2(๐)
]
che costituisce la matrice delle densitร spettrali. Essa รจ una matrice hermi-
tiana giacchรฉ gli elementi della diagonale secondaria risultano complessi co-
niugati.
Funzione di autocorrelazione. 7.2 -
Dato un segnale ๐ a energia finita, la funzione a valori general-
mente complessi
๐พ(๐) = โซ ๐ (๐ก + ๐)๐ โ(๐ก)๐๐กโ
โโ
(7.2.1)
costituisce la funzione di autocorrelazione ad esso associata. Se il segnale รจ
reale la sua autocorrelazione รจ anch'essa reale.
Ponendo nella (7.2.1) ๐ = 0 si ottiene:
150 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
๐พ(0) = โซ |๐ (๐ก)|2๐๐กโ
โโ
(7.2.2)
Pertanto la funzione di autocorrelazione valutata nellโorigine eguaglia
lโenergia specifica del segnale.
Effettuando la trasformazione ๐ โ โ๐, nella (7.2.1) si ottiene:
๐พ(โ๐) = โซ ๐ (๐ก โ ๐)๐ โ(๐ก)๐๐กโ
โโ
(7.2.3)
che, con la ulteriore sostituzione ๐ก โ ๐ = ๐, diviene:
๐พ(โ๐) = โซ ๐ (๐)๐ โ(๐ + ๐)๐๐โ
โโ
= [โซ ๐ (๐ + ๐)๐ โ(๐)๐๐โ
โโ
]
โ
(7.2.4)
Dal confronto con la (7.2.1), discende:
๐พโ(๐) = ๐พ(โ๐) (7.2.5)
Quindi lโautocorrelazione di un segnale รจ una funzione a simmetria
hermitiana.
Applicando la disuguaglianza di Schwarz alla (7.2.1) si ottiene:
|โซ ๐ (๐ก + ๐)๐ โ(๐ก)๐๐ก
โ
โโ
|
2
โค โซ |๐ (๐ก + ๐)|2๐๐กโ
โโ
โซ |๐ (๐ก)|2๐๐กโ
โโ
= ๐พ2(0)
(7.2.6)
da cui si evince:
|๐พ(๐)| โค ๐พ(0) (7.2.7)
Se il segnale รจ reale, la (7.2.5) diventa:
๐พ(โ๐) = ๐พ(๐) (7.2.8)
cioรจ, la funzione di autocorrelazione di un segnale reale ha simmetria pa-
ri. La (7.2.7) inoltre assicura che la ๐พ(๐) raggiunge il suo valore massimo
๐พ(0) nell'origine.
La conoscenza della funzione di autocorrelazione fornisce inte-
ressanti informazioni riguardo l'andamento del segnale nel dominio del
tempo.
A tal fine si consideri, per semplicitร , un segnale reale e si prenda
in esame il seguente integrale:
CAPITOLO - 7 - Caratterizzazione Energetica dei Segnali - 151
๐2(๐) = โซ [๐ (๐ก) โ ๐ (๐ก + ๐)]2๐๐กโ
โโ
(7.2.9)
che rappresenta il quadrato del-
la distanza euclidea fra il segna-
le ๐ (๐ก) e la sua versione antici-
pata di ๐. ร ovvio che, se ๐ (๐ก)
varia molto lentamente nel
tempo, l'integrando si manterrร
piccolo, almeno per valori di ๐
non troppo elevati. Viceversa,
ci si dovrebbero attendere valo-
ri elevati di [๐ (๐ก) โ ๐ (๐ก + ๐)]2,
quando il segnale varia rapida-
mente nel tempo. Sviluppando la (7.2.9) si ha:
๐2(๐)
= โซ ๐ 2(๐ก)๐๐กโ
โโ
โ 2โซ ๐ (๐ก)๐ (๐ก + ๐)๐๐กโ
โโ
+โซ ๐ 2(๐ก + ๐)๐๐กโ
โโ
(7.2.10)
che, utilizzando la funzione di autocorrelazione si puรฒ riscrivere:
๐2(๐) = 2[๐พ(0) โ ๐พ(๐)] (7.2.11)
Si puรฒ quindi concludere che, tanto piรน rapide sono le variazioni
del segnale nel tempo, tanto piรน rapidamente decresce la funzione di au-
tocorrelazione e viceversa.
Osservando la Fig. 7.1, ad esempio, si nota che la curva a) rappre-
senta l'autocorrelazione di un segnale che varia nel tempo piรน lentamen-
te del segnale cui รจ associata l'autocorrelazione rappresentata dalla curva
b).
Esempio 7.4
La funzione di autocorrelazione della derivata di un segnale รจ data dalla:
๐พ๐ โฒ๐ โฒ(๐) = โซ ๐ โฒ(๐ก + ๐)๐ โฒโ(๐ก)๐๐ก
โ
โโ
Essa puรฒ essere messa in relazione con la funzione di autocorrelazione di
๐ (๐ก):
๐พ๐ ๐ (๐) = โซ ๐ (๐ก + ๐)๐ โ(๐ก)๐๐กโ
โโ
Fig. 7.1 โ autocorrelazioni dei segnali:
๐) cos(2ฯt)โ(2t3); ๐) cos(10๐๐ก)โ(2๐ก
3).
152 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
Derivando una prima volta ๐พ๐ ๐ (๐) rispetto a ๐ si ottiene:
๐๐พ๐ ๐ (๐)
๐๐= โซ ๐ โฒ(๐ก + ๐)๐ โ(๐ก)๐๐ก
โ
โโ
che, con un opportuno cambiamento di variabili, puรฒ essere scritta nella
forma:
๐๐พ๐ ๐ (๐)
๐๐= โซ ๐ โฒ(๐ฅ)๐ โ(๐ฅ โ ๐)๐๐ฅ
โ
โโ
Derivando una seconda volta rispetto a ๐ si ha:
๐2๐พ๐ ๐ (๐)
๐๐2= โโซ ๐ โฒ
โ(๐ฅ โ ๐)๐ โฒ(๐ฅ)๐๐ฅ
โ
โโ
= โโซ ๐ โฒโ(๐ก)๐ โฒ(๐ก + ๐)๐๐
โ
โโ
che fornisce:
๐พ๐ โฒ๐ โฒ(๐) = โ๐2๐พ๐ ๐ (๐)
๐๐2
Teorema di Wiener-Khinchine. 7.3 -
Si consideri la trasformata della funzione di autocorrelazione:
๐[๐พ(๐)] = โซ ๐พ(๐)๐โ๐2๐๐๐๐๐โ
โโ
(7.3.1)
che, tenendo conto della (7.2.1), diventa:
๐[๐พ(๐)] = โซ ๐โ๐2๐๐๐ (โซ ๐ โ(๐ก)๐ (๐ก + ๐)๐๐กโ
โโ
) ๐๐โ
โโ
(7.3.2)
Invertendo lโordine dโintegrazione si ottiene:
๐[๐พ(๐)] = โซ ๐ โ(๐ก) (โซ ๐ (๐ก + ๐)๐โ๐2๐๐๐๐๐โ
โโ
) ๐๐กโ
โโ
(7.3.3)
la quale, denotando con ๐(๐) la trasformata di Fourier del segnale puรฒ
essere scritta nella forma:
๐[๐พ(๐)] = ๐(๐)โซ ๐ โ(๐ก)๐๐2๐๐๐ก๐๐กโ
โโ
= ๐(๐) โ ๐โ(๐) (7.3.4)
Tenendo infine conto della (7.1.4), si ha:
๐[๐พ(๐)] = ๐(๐) (7.3.5)
che รจ lโespressione formale del Teorema di Wiener-Khinchine.
CAPITOLO - 7 - Caratterizzazione Energetica dei Segnali - 153
Funzioni di mutua correlazione. 7.4 -
Siano ๐1 e ๐2 due segnali ad energia finita. A essi si possono asso-
ciare le seguenti funzioni generalmente complesse:
๐พ12(๐) = โซ ๐ 1(๐ก + ๐)๐ 2โ(๐ก)๐๐ก
โ
โโ
;
๐พ21(๐) = โซ ๐ 2(๐ก + ๐)๐ 1โ(๐ก)๐๐ก
โ
โโ
;
(7.4.1)
che sono dette correlazioni mutue o incrociate.
Si noti che ๐พ12(๐) e ๐พ21(๐) soddisfano la seguente relazione:
๐พ12(๐) = ๐พ21โ (โ๐) (7.4.2)
come si dimostra facilmente effettuando nella (7.4.1) la trasformazione
๐ก + ๐ = ๐ฅ. Si ha infatti:
๐พ12(๐) = โซ ๐ 1(๐ฅ)๐ 2โ(๐ฅ โ ๐)๐๐ฅ
โ
โโ
= (โซ ๐ 2(๐ฅ โ ๐)๐ 1โ(๐ฅ)๐๐ฅ
โ
โโ
)
โ
(7.4.3)
che dร luogo alla (7.4.2) ove si tenga presente la definizione (7.4.1).
Se i segnali sono reali le funzioni ๐พ12(๐) e ๐พ21(๐) sono anch'esse
reali e la condizione (7.4.2) si semplifica nella:
๐พ12(๐) = ๐พ21(โ๐) (7.4.4)
Ponendo nella (7.4.1) ๐ = 0 si ottiene:
๐พ12(0) = โซ ๐ 1(๐ก)๐ 2โ(๐ก)๐๐ก
โ
โโ
= ๐ธ12;
๐พ21(0) = โซ ๐ 2(๐ก)๐ 1โ(๐ก)๐๐ก
โ
โโ
= ๐ธ21;
(7.4.5)
cioรจ i valori assunti nel punto ๐ = 0 dalle due funzioni di mutua correla-
zione coincidono con le corrispondenti energie incrociate.
Applicando la disuguaglianza di Schwarz alle (7.4.1) si deduce:
|๐พ12(๐)|
2 โค ๐พ1(0) โ ๐พ2(0) = ๐ธ1 โ ๐ธ2;
|๐พ21(๐)|2 โค ๐พ1(0) โ ๐พ2(0) = ๐ธ1 โ ๐ธ2;
(7.4.6)
dove ๐ธ1 e ๐ธ2 denotano le energie specifiche associate rispettivamente ai
segnali ๐1 e ๐2.
Se risulta:
154 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
๐พ12(๐) = ๐พ21(๐) = 0 (7.4.7)
i due segnali si dicono incorrelati. Ponendo nella (7.4.3), ๐ = 0 si ottiene:
โซ ๐ 1(๐ก)๐ 2โ(๐ก)๐๐ก
โ
โโ
= 0 (7.4.8)
che corrisponde alla condizione di ortogonalitร tra i due segnali. Ciรฒ si-
gnifica che se due segnali sono incorrelati sono anche ortogonali; il vice-
versa in genere non vale. La condizione dโincorrelazione pertanto รจ piรน
forte di quella di ortogonalitร .
ร facile infine riconoscere che con procedimento analogo a quel-
lo seguito per dedurre la (7.3.5) si ottengono le:
๐[๐พ12(๐)] = ๐12(๐); โโโ โโ๐[๐พ21(๐)] = ๐21(๐); (7.4.9)
che costituiscono una naturale estensione del teorema di Wiener-
Khinchine al caso delle funzioni
di mutua correlazione.
Esempio 7.5
La funzione di correlazione in-
crociata ๐พ12(๐) per i segnali
๐ 1(๐ก) = u(๐ก)๐โ๐ก
๐0
๐ 2(๐ก) =โ (๐ก
๐0) ;
vale:
๐พ12(๐) = โซ โ (๐ก
๐0) u(๐ก + ๐)๐
โ๐ก+๐
๐0 ๐๐กโ
โโ
= โซ u(๐ก + ๐)๐โ๐ก+๐
๐0 ๐๐ก
๐02
โ๐02
=โ (๐
๐0) ๐
โ๐
๐0โซ ๐โ๐ก
๐0๐๐ก
๐02
โ๐
+ u(๐ โ๐02) ๐
โ๐
๐0โซ ๐โ๐ก
๐0๐๐ก
๐02
โ๐02
= ๐0๐โ๐
๐0 [(๐๐
๐0 โ ๐โ1
2)โ (๐
๐0) + (๐
1
2 โ ๐โ1
2) u (๐
๐0โ1
2)]
il cui andamento in funzione di ๐ ๐0โ รจ riportato in Fig.E 7.2
In maniera analoga si ha (vedi Fig.E 7.2):
๐พ21(๐) = ๐พ12(โ๐) = ๐0๐๐
๐0 [(๐โ๐
๐0 โ ๐โ1
2)โ (๐
๐0) + (๐
1
2 โ ๐โ1
2) u (โ๐
๐0+1
2)]
Fig.E 7.2
CAPITOLO - 7 - Caratterizzazione Energetica dei Segnali - 155
Segnali a potenza finita
Densitร spettrale di potenza. 7.5 -
ร noto che se un segnale รจ a potenza finita, la quantitร :
๐ = lim๐โโ
1
๐โซ |๐ (๐ก)|2๐๐ก
๐
2
โ๐
2
(7.5.1)
รจ positiva e limitata.
Introducendo il segnale troncato ๐ ๐(๐ก) la (7.5.1) diventa:
๐ = lim๐โโ
1
๐โซ |๐ ๐(๐ก)|
2๐๐กโ
โโ
(7.5.2)
Per un fissato valore di ๐ il segnale ๐ ๐(๐ก) รจ ad energia finita; per-
tanto, detta ๐๐(๐) la sua trasformata di Fourier, utilizzando il teorema di
Parseval, si puรฒ scrivere:
โซ |๐ (๐ก)|2๐๐ก๐
โ๐
= โซ |๐ ๐(๐ก)|2๐๐ก
โ
โโ
= โซ |๐๐(๐)|2๐๐
โ
โโ
(7.5.3)
Di conseguenza la potenza specifica ๐ puรฒ essere posta nella
forma:
๐ = lim๐โโ
1
๐โซ |๐๐(๐)|
2๐๐โ
โโ
= โซ lim๐โโ
|๐๐(๐)|2
๐๐๐
โ
โโ
(7.5.4)
Risulta quindi immediato associare al segnale ๐ (๐ก) la seguente espressio-
ne per la densitร spettrale di potenza10
๐(๐) = lim๐โโ
|๐๐(๐)|2
๐ (7.5.5)
La potenza specifica del segnale cosรฌ diventa:
๐ = โซ ๐(๐)๐๐โ
โโ
(7.5.6)
10
Si osservi che il simbolo adottato per la densitร spettrale di potenza รจ lo stesso di quello
adoperato per la densitร spettrale di energia. Al fine di non incorrere in spiacevoli equivoci รจ necessario pertanto precisare la classe di segnali (ad energia finita o a potenza finita) che via via si prendono in considerazione. Le stesse precauzioni si dovranno prendere a proposito del-le funzioni di correlazione piรน avanti definite.
156 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
Analogamente alla densitร spettrale di energia introdotta nel ยง
7.1 - , la densitร spettrale di potenza รจ una funzione reale e non negativa
della variabile ๐. Nel caso in cui ๐ (๐ก) sia reale รจ manifestamente:
๐(โ๐) = ๐(๐) (7.5.7)
La densitร spettrale di potenza associata ad un segnale reale รจ quindi una
funzione reale, non negativa e pari della frequenza.
Se ๐ 1(๐ก) e ๐ 2(๐ก) denotano due segnali a potenza finita le loro po-
tenze specifiche mutue o potenze specifiche incrociate sono:
๐12 = lim๐โโ
1
๐โซ ๐ 1(๐ก)๐ 2
โ(๐ก)๐๐ก
๐
2
โ๐
2
;
๐21 = lim๐โโ
1
๐โซ ๐ 2(๐ก)๐ 1
โ(๐ก)๐๐ก.
๐
2
โ๐
2
(7.5.8)
Le quantitร ๐12e ๐21 sono, in generale, complesse. Esse inoltre obbedi-
scono alla condizione:
๐12 = ๐21โ (7.5.9)
Applicando la disuguaglianza di Schwarz si ottiene:
|โซ ๐ 1(๐ก)๐ 2โ๐๐ก
๐
2
โ๐
2
|
2
โค โซ |๐ 1(๐ก)|2๐๐ก
๐
2
โ๐
2
โซ |๐ 2(๐ก)|2๐๐ก
๐
2
โ๐
2
;
|โซ ๐ 1โ(๐ก)๐ 2๐๐ก
๐
2
โ๐
2
|
2
โค โซ |๐ 1(๐ก)|2๐๐ก
๐
2
โ๐
2
โซ |๐ 2(๐ก)|2๐๐ก
๐
2
โ๐
2
;
(7.5.10)
dalla quale, tenendo conto delle (7.5.8), discende:
|๐12| โค โ๐1โ๐2; โโโโโโโโ|๐21| โค โ๐1โ๐2 (7.5.11)
dove ๐1 e ๐2 sono le potenze specifiche associate a ๐ 1(๐ก) e ๐ 2(๐ก).
Due segnali a potenza finita si dicono ortogonali se risulta:
๐12 = ๐21 = 0 (7.5.12)
Indicando con ๐ 1๐(๐ก) e ๐ 2๐(๐ก) i segnali troncati associati a ๐ 1(๐ก) e
๐ 2(๐ก) rispettivamente รจ facile riconoscere che le potenze mutue si pos-
sono porre nella forma seguente:
CAPITOLO - 7 - Caratterizzazione Energetica dei Segnali - 157
๐12 = โซ lim๐โโ
๐1๐โ (๐)๐2๐(๐)
๐๐๐
โ
โโ
;
๐21 = โซ lim๐โโ
๐1๐(๐)๐2๐โ (๐)
๐๐๐
โ
โโ
;
(7.5.13)
avendo denotato con ๐1๐(๐) e ๐2๐(๐) le trasformate di Fourier di ๐ 1๐(๐ก)
e ๐ 2๐(๐ก) rispettivamente.
Dalle espressioni di ๐12 e ๐21 si deducono le seguenti definizioni
per le densitร spettrali di potenza mutue (o incrociate):
๐12(๐) = lim๐โโ
๐1๐(๐)๐2๐โ (๐)
๐;
๐21(๐) = lim๐โโ
๐2๐(๐)๐1๐โ (๐)
๐;
(7.5.14)
Si ha:
๐12 = โซ ๐12(๐)๐๐;โ
โโ
๐21 = โซ ๐21(๐)๐๐โ
โโ
;
(7.5.15)
Per ๐12(๐) e ๐21(๐), si ha:
๐12(๐) = ๐21โ (๐) (7.5.16)
Esempio 7.6
Il segnale:
๐ (๐ก) =โ๐๐ cos(2๐๐๐๐ก)
๐
๐=1
รจ un segnale a potenza finita. Infatti essendo:
๐ 2(๐ก)
= โ ๐๐๐๐ cos(2๐๐๐๐ก) cos(2๐๐๐๐ก)
๐
๐,๐=1
=โ๐๐2 cos2(2๐๐๐๐ก) +
๐
๐=1
1
2โ ๐๐๐๐[cos(2๐(๐๐ โ ๐๐)๐ก) + cos(2๐(๐๐ + ๐๐)๐ก)]
๐
๐,๐=1๐โ ๐
risulta:
158 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
๐
= lim๐โโ
1
2๐
[
โ ๐๐๐๐โซ [cos(2๐(๐๐ โ ๐๐)๐ก) + cos(2๐(๐๐ + ๐๐)๐ก)]๐๐ก๐
โ๐
๐
๐,๐=1โ๐โ ๐
+โ๐๐2โซ (cos(4๐๐๐๐ก) + 1)๐๐ก
๐
โ๐
๐
๐=1]
=1
2lim๐โโ
{
โ ๐๐๐๐ [sin(๐(๐๐ โ ๐๐)๐)
๐(๐๐ โ ๐๐)๐+sin(๐(๐๐ + ๐๐)๐)
๐(๐๐ + ๐๐)๐]
๐
๐,๐=1โ๐โ ๐
+โ๐๐2sin(2๐๐๐๐)
2๐๐๐๐+โ๐๐
2
๐
๐=1
๐
๐=1}
=โ๐๐2
๐
๐=1
Funzioni di correlazione. 7.6 -
La funzione di autocorrelazione di un segnale ๐ (๐ก) a potenza fini-
ta รจ definita dalla:
๐พ(๐) = lim๐โโ
1
๐โซ ๐ (๐ก + ๐)๐ โ(๐ก)๐๐ก
๐
2
โ๐
2
(7.6.1)
Essa รจ una funzione, in generale complessa, della quantitร ๐; รจ reale nel
caso di segnali reali. Nel punto ๐ = 0 la ๐พ(๐) vale:
๐พ(0) = lim๐โโ
1
๐โซ ๐ (๐ก)๐ โ(๐ก)๐๐ก
๐
2
โ๐
2
(7.6.2)
ed รจ quindi uguale alla potenza specifica del segnale.
Ponendo nella (7.6.1) ๐ โ โ๐ e successivamente ๐ก โ ๐ = ๐ si ot-
tiene:
๐พ(โ๐) = lim๐โโ
1
๐โซ ๐ (๐ก โ ๐)๐ โ(๐ก)๐๐ก
๐
2
โ๐
2
= lim๐โโ
1
๐โซ ๐ (๐)๐ โ(๐ + ๐)๐๐
๐
2โ๐
โ๐
2โ๐
= lim๐โโ
1
๐โซ ๐ (๐)๐ โ(๐+ ๐)๐๐
๐2
โ๐2
+ lim๐โโ
1
๐(โซ ๐ (๐)๐ โ(๐ + ๐)๐๐ +
โ๐2
โ๐2โ๐
โซ ๐ (๐)๐ โ(๐ + ๐)๐๐
๐2โ๐
๐2
)
= ๐พโ(๐)
(7.6.3)
CAPITOLO - 7 - Caratterizzazione Energetica dei Segnali - 159
dove si รจ tenuto conto del fatto che, per ogni valore di ๐, gli integrali che
compaiono nel secondo limite al penultimo membro sono certamente
finiti. In conclusione si puรฒ affermare che la funzione di autocorrelazio-
ne di un segnale a potenza finita รจ a simmetria hermitiana.
Per segnali reali la (7.6.3) si riduce alla:
๐พ(๐) = ๐พ(โ๐) (7.6.4)
In virtรน della disuguaglianza di Schwarz, si puรฒ infine scrivere:
|๐พ(๐)| โค ๐พ(0) = ๐ (7.6.5)
Per segnali reali, quindi, la funzione ๐พ(๐)raggiunge in ๐ = 0 un massimo
assoluto. Detta ๐พ๐(๐) la funzione di autocorrelazione del segnale tronca-
to, si ha (vedi Fig. 7.2):
๐พ๐(๐) = โซ ๐ ๐โ(๐ก)๐ ๐(๐ก + ๐)๐๐ก
โ
โโ
= u(โ๐)โซ ๐ โ(๐ก)๐ (๐ก + ๐)๐๐ก
๐
2
โ๐
2โ๐
+ u(๐)โซ ๐ โ(๐ก)๐ (๐ก + ๐)๐๐ก
๐
2โ๐
โ๐
2
(7.6.6)
Considerazioni analoghe a
quelle che hanno condotto al-
la (7.6.3) consentono di scri-
vere:
๐พ(๐) = lim๐โโ
๐พ๐(๐)
๐ (7.6.7)
Si osservi adesso che
poichรฉ ๐ ๐(๐ก) รจ ad energia fi-
nita, per esso vale il teorema
di WienerKhinchine per cui, detta ๐๐(๐) la sua trasformata di Fourier, si
ha:
๐[๐พ๐(๐)] = |๐๐(๐)|2 (7.6.8)
Trasformando ambo i membri della (7.6.7) risulta:
๐[๐พ(๐)] = lim๐โโ
|๐๐(๐)|2
๐ (7.6.9)
Dal confronto con la (7.5.5), si deduce quindi:
๐[๐พ(๐)] = ๐(๐) (7.6.10)
Fig. 7.2 - Segnale troncato e sue traslazioni.
160 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
che estende il teorema di Wiener-Khinchine anche al caso dei segnali a
potenza finita.
Nel caso di due segnali ๐ 1(๐ก) e ๐ 2(๐ก) a potenza finita si possono
definire le correlazioni incrociate, o mutue mediante le:
๐พ12(๐) = lim๐โโ
1
2๐โซ ๐ 1(๐ก + ๐)๐ 2
โ(๐ก)๐๐ก
๐
2
โ๐
2
๐พ21(๐) = lim๐โโ
1
2๐โซ ๐ 2(๐ก + ๐)๐ 1
โ(๐ก)๐๐ก
๐
2
โ๐
2
(7.6.11)
Si verifica facilmente che:
๐พ12(๐) = ๐พ21โ (โ๐) (7.6.12)
e che, dette ๐พ1(๐) e ๐พ2(๐), ๐1 e ๐2 le autocorrelazioni e le potenze speci-
fiche associate a ๐ 1(๐ก) e a ๐ 2(๐ก) rispettivamente, si ha:
|๐พ21(โ๐)|2 = |๐พ12(๐)|
2 โค ๐พ1(0) โ ๐พ2(0) = ๐1 โ ๐2 (7.6.13)
Quando risulta ๐พ12(๐) = ๐พ21(๐) = 0 i segnali si dicono incorrelati.
Si noti che ponendo ๐ = 0 nella condizione di incorrelazione si ottiene
๐12 = ๐21 = 0; ciรฒ significa che, l'ortogonalitร รจ soltanto una condizione
necessaria per la incorrelazione.
Procedendo come per il caso della funzione di autocorrelazione,
si puรฒ mostrare che valgono le relazioni:
๐[๐พ12(๐)] = ๐12(๐)
๐[๐พ21(๐)] = ๐21(๐) (7.6.14)
cioรจ le funzioni di mutua correlazione e le rispettive densitร spettrali co-
stituiscono coppie di trasformate di Fourier.
Esempio 7.7
La funzione di autocorrelazione del segnale di cui allโEsempio 7.6 vale:
๐พ(๐) = โ ๐๐๐๐ lim๐โโ
1
๐โซ cos(2๐๐๐๐ก) cos (2๐๐๐(๐ก + ๐)) ๐๐ก
๐
2
โ๐
2
๐
๐,๐=1
= โ๐๐๐๐
2lim๐โโ
1
๐โซ {cos [2๐ ((๐๐ + ๐๐)๐ก + ๐๐๐)] + cos[2๐(๐๐ โ ๐๐)๐ก โ ๐๐๐]} ๐๐ก
๐
2
โ๐
2
๐
๐,๐=1๐โ ๐
+โ๐๐2
2lim๐โโ
1
๐โซ {cos(2๐๐๐(2๐ก + ๐)) + cos(2๐๐๐๐)}๐๐ก
๐
2
โ๐
2
๐
๐=1
CAPITOLO - 7 - Caratterizzazione Energetica dei Segnali - 161
= โ๐๐๐๐
2lim๐โโ
{
[sin [2๐ ((๐๐ + ๐๐)๐ก + ๐๐๐)]
2๐(๐๐ + ๐๐)๐]
โ๐
2
โ๐
2๐
๐,๐=1๐โ ๐
+ [sin [2๐ ((๐๐ โ ๐๐)๐ก โ ๐๐๐)]
2๐(๐๐ โ ๐๐)๐]
โ๐
2
โ๐
2
}
+โ๐๐2
2lim๐โโ
{[sin(2๐๐๐(2๐ก + ๐))
4๐๐๐๐]โ๐
2
โ๐
2
+ cos(2๐๐๐๐)}
๐
๐=1
=1
2โ๐๐
2 cos(2๐๐๐๐)
๐
๐=1
La corrispondente densitร spettrale vale quindi:
๐(๐) = ๐[๐พ(๐)] =โ๐๐2
4[๐ฟ(๐ โ ๐๐) + ๐ฟ(๐ + ๐๐)]
๐
๐=1
Esempio 7.8
Sia ๐ (๐ก) un segnale, periodico di periodo ๐0, che puรฒ essere quindi svi-
luppato in serie di Fourier:
๐ (๐ก) = โ ๐๐๐๐2๐๐๐ก
๐0
โ
๐=โโ
Esso รจ un segnale a potenza finita e la sua funzione di autocorrelazione puรฒ
essere scritta nella forma:
๐พ(๐) = lim๐โโ
1
๐โซ ( โ ๐๐
โ๐โ๐
2๐๐๐ก
๐0
โ
๐=โโ
โ ๐๐๐๐2๐๐(๐ก+๐)
๐0
โ
๐=โโ
)
๐
2
โ๐
2
๐๐ก
= โ ๐๐โ๐๐๐
๐2๐๐๐
๐ lim๐โโ
1
๐โซ ๐
๐2๐(๐โ๐)๐ก
๐0 ๐๐ก
๐
2
โ๐
2
โ
๐,๐=โโ
= โ ๐๐โ๐๐๐
๐2๐๐๐
๐
โ
๐=โโ
+ โ ๐๐โ๐๐๐
๐2๐๐๐
๐ lim๐โโ
sin [๐(๐ โ ๐)๐
๐0]
๐(๐ โ ๐)๐
๐0
โ
๐,๐=โโ๐โ ๐
= โ |๐๐|2๐
๐2๐๐๐
๐0
โ
๐=โโ
La funzione di autocorrelazione รจ dunque una funzione periodica di pe-
riodo ๐0 ed il generico coefficiente del suo sviluppo in serie di Fourier vale:
๐ค๐ = |๐๐|2
162 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
Si osservi che l'integrale che compare nel calcolo dell'autocorrelazione,
puรฒ essere espresso anche utilizzando la funzione sinc(โ ). Si puรฒ infatti scri-
vere:
1
๐โซ ๐
๐2๐(๐โ๐)๐ก
๐0 ๐๐ก
๐
2
โ๐
2
= sinc ((๐ โ ๐)๐
๐0)
ร evidente che la precedente รจ valida anche se l'argomento dell'e-
sponenziale รจ identicamente nullo, non si rende quindi necessaria la distin-
zione tra i casi ๐ = ๐, ๐ โ ๐.
CAPITOLO - 8
CARATTERISTICHE E PROPRIETร DEI SEGNALI
Segnale analitico. Trasformata di Hilbert. 8.1 -
In alcune applicazioni della teoria della modulazione, come pure
nello studio della risposta dei filtri
passabanda, รจ opportuno caratte-
rizzare i segnali reali fornendo una
rappresentazione che generalizza
quella che usualmente si adotta per
lo studio dei circuiti in regime sinu-
soidale. Tale generalizzazione si ba-
sa sul concetto di segnale analitico. Si consideri un segnale reale
๐ (๐ก) la cui trasformata di Fourier
๐(๐) รจ rappresentata in Fig. 8.1. Al-
la ๐(๐) si puรฒ associare una funzione ๐(๐):
๐(๐) = ๐(๐)[1 + sgm(๐)] (8.1.1)
come รจ mostrato nella stessa Fig. 8.1. Tale funzione รจ manifestamente
unilatera giacchรฉ essa รจ identicamente nulla per ๐ < 0; pertanto la sua
antitrasformata ๐ง(๐ก) รจ una funzione complessa poichรฉ la ๐(๐) non รจ a
simmetria hermitiana. L'antitrasformata di ๐(๐) si puรฒ effettuare facil-
mente applicando il teorema della convoluzione nel dominio del tempo
e osservando che lโespressione dellโantitrasformata della funzione
sgm(๐) risulta, per la proprietร di simmetria:
๐-1[sgm(๐)] = โPf (1
๐๐๐ก) = ๐Pf (
1
๐๐ก) (8.1.2)
Si ottiene cosรฌ:
๐ง(๐ก) = ๐ (๐ก) โ (๐ฟ(๐ก) + ๐Pf (1
๐๐ก)) (8.1.3)
che, ponendo:
Fig. 8.1 - a) Modulo della trasformata di
๐ (๐ก); b) modulo dellatrasformata del se-
gnale analitico ๐ง(๐ก) ad esso associato.
164 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
s(๐ก) =1
๐VPโซ
๐ (๐)
๐ก โ ๐๐๐
โ
โโ
(8.1.4)
si puรฒ riscrivere:
๐ง(๐ก) = ๐ (๐ก) + ๐๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก) (8.1.5)
Dalla (8.1.4) si deduce che s(๐ก) รจ ottenuta dalla convoluzione tra
๐ (๐ก) e la pseudofunzione Pf (1
๐๐ก) cioรจ:
๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก) = ๐ (๐ก) โ Pf (1
๐๐ก) (8.1.6)
che trasformata secondo Fourier dร luogo alla:
๏ฟฝ๏ฟฝ(๐) = ๐[๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก)] = โ๐๐(๐)sgm(๐) (8.1.7)
quindi:
๐(๐) =๏ฟฝ๏ฟฝ(๐)
โ๐sgm(๐)= ๐๏ฟฝ๏ฟฝ(๐)sgm(๐) (8.1.8)
da cui antitrasformando:
๐ (๐ก) = โ1
๐VPโซ
๏ฟฝ๏ฟฝ(๐)
๐ก โ ๐๐๐
โ
โโ
(8.1.9)
Le trasformazioni (8.1.4) (8.1.9) vengono dette rispettivamente
trasformata e antitrasformata di Hilbert. Esse si denotano con i simboli:
โ[โ], โโ1[โ] (8.1.10)
Il segnale complesso ๐ง(๐ก), definito dalla (8.1.5), prende il nome di
segnale analitico associato a ๐ (๐ก); la ragione di questa denominazione sta
nel fatto che se una funzione complessa ๐(๐ค), di variabile complessa
๐ค = ๐ข + ๐๐ฃ, รจ analitica su tutto il semipiano superiore (๐ข > 0), la parte
reale ed il coefficiente della parte immaginaria di ๐(๐ค) costituiscono una
coppia di trasformate di Hilbert e viceversa.
Osserviamo inoltre che se ๐ (๐ก) rappresenta un segnale ๐ ad energia fini-
ta, tale รจ anche la sua trasformata di Hilbert e risulta:
โจ๐, ๏ฟฝ๏ฟฝโฉ=โจ๐บ, ๏ฟฝ๏ฟฝโฉ = โซ ๐(๐)๏ฟฝ๏ฟฝโ(๐)โ
โโ๐๐ =
๐ โซ ๐(๐)โ
โโ๐โ(๐)sgm(๐)๐๐ = 0
(8.1.11)
CAPITOLO - 8 - Caratteristiche e Proprietร dei Segnali - 165
Il risultato รจ zero in
quanto essendo il segna-
le reale la funzione inte-
granda รจ dispari. Pos-
siamo quindi affermare
che un segnale ๐ e quel-
lo associato alla tra-
sformata di Hilbert di
una funzione che lo
rappresenta sono orto-
gonali.
Esempio 8.1
Applicando la definizione (8.1.4) al rettangolo unitario di durata T si ha:
โ [โ (๐ก
๐)] =
1
๐VPโซ
โ (๐
๐)
๐ก โ ๐๐๐
โ
โโ
=1
๐VPโซ
๐๐
๐ก โ ๐
T
2
-T
2
=1
๐limโ0(โซ
๐๐
๐ก โ ๐
โ
โ๐
2
+โซ๐๐
๐ก โ ๐
๐
2
)
=1
๐limโ0(log |๐ก +
๐
2| โ log|๐ก + ํ| + log |๐ก โ ํ| โ log |๐ก โ
๐
2|) =
1
๐log |
๐ก +๐
2
๐ก โ๐
2
|
Il segnale โ(๐ก
๐) e la sua trasformata di Hil-
bert sono mostrati in Fig.E 8.1.
Il segnale analitico associato a โ(๐ก
๐) vale
quindi:
๐ง(๐ก) =โ (๐ก
๐) + ๐
1
๐log |
๐ก +๐
2
๐ก โ๐
2
|
la cui rappresentazione nel piano complesso รจ ri-
portata in Fig.E 8.2.
Esempio 8.2
Determinare la trasformata di Hilbert del se-
gnale ๐ยฑ๐2๐๐0๐ก.
Poichรฉ si ha:
๐[๐ยฑ๐2๐๐0๐ก] = ๐ฟ(๐ โ ๐0)
รจ per la (8.1.7)
๐[โ[๐ยฑ๐2๐๐0๐ก]] = โ๐๐ฟ(๐ โ ๐0)sgm(๐)
Fig.E 8.2
Fig.E 8.1
166 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
da cui antitrasformando:
โ[๐ยฑ๐2๐๐0๐ก] = โ๐โซ ๐ฟ(๐ โ ๐0)sgm(๐)๐๐2๐๐๐ก๐๐
โ
โโ
= โ๐sgm(ยฑ๐0)๐ยฑ๐2๐๐0๐ก
cioรจ:
โ[๐ยฑ๐2๐๐0๐ก] = โ๐๐ยฑ๐2๐๐0๐ก
In particolare si deduce, eguagliando le parti reali e i coefficienti delle
parti immaginarie:
โ[cos(2๐๐0๐ก)] = sin(2๐๐0๐ก)
โ[sin(2๐๐0๐ก)] = โ cos(2๐๐0๐ก)
Esempio 8.3
Determinare il segnale analitico associato al segnale ๐ rappresentabile
mediante la funzione:
๐ (๐ก) =1
๐ก2 + ๐2
Potendosi scrivere: 1
๐ก2 + ๐2=๐
2๐[1
๐ก + ๐๐โ
1
๐ก โ ๐๐]
la trasformata di Fourier del segnale ๐ vale:
๐(๐) =๐
2๐{๐ [
1
๐ก + ๐๐] โ ๐ [
1
๐ก โ ๐๐]}
Ricordando l' Esempio 4.2, applicando la proprietร di simmetria si ottie-
ne:
๐ [1
๐ผ + ๐2๐๐ก] = u(โ๐)๐๐ผ๐
quindi:
๐ [1
๐ก โ ๐๐] = ๐2๐๐ [
1
2๐๐ + ๐2๐๐ก]
= ๐2๐u(โ๐)๐2๐๐๐
Applicando ora la proprietร della co-
niugazione nel dominio del tempo si ha
poi:
๐ [1
๐ก + ๐๐] = โ๐2๐ u(๐)๐โ2๐๐๐
Di conseguenza ๐(๐) diviene:
๐(๐) =๐
2๐(โ๐2๐u(๐)๐โ2๐๐๐ โ ๐2๐u(โ๐)๐2๐๐๐) =
๐
๐๐โ2๐๐|๐|
Fig.E 8.3
CAPITOLO - 8 - Caratteristiche e Proprietร dei Segnali - 167
Il segnale analitico ๐ง(๐ก) associato a ๐ (๐ก) vale dunque:
๐ง(๐ก) = 2โซ๐
๐๐โ2๐๐|๐|๐๐2๐๐๐ก๐๐
โ
0
=2๐
๐[๐โ2๐๐(๐โ๐๐ก)
โ2๐(๐๐๐ก)]0
โ
=1
๐(๐ โ ๐๐ก)
o anche:
๐ง(๐ก) =1
๐ก2 + ๐2+ ๐
๐ก
๐(๐ก2 + ๐2)
Il suo modulo vale:
๐(๐ก) =1
๐
1
โ๐ก2 + ๐2
ed il suo argomento:
๐(๐ก) = arctg (๐ก
๐)
Nel piano complesso (Re[๐ง], Im[๐ง]) lโestremo del vettore ๐ง(๐ก) descrive il
luogo individuato dallโequazione:
๐2(๐ฅ2 + ๐ฆ2) = ๐ฅ
che รจ una circonferenza di centro ๐ถ โก (1
2๐2, 0) e raggio ๐ =
1
๐2 come รจ indi-
cato nella Fig. E.VII.3.
Componenti del segnale a frequenze positive e nega-8.2 - tive.
Nellโanalisi dei segnali reali risulta talvolta utile introdurre le quan-
titร ๐+(๐) e ๐โ(๐) definite dalle:
๐+(๐) = ๐(๐)u(๐) (8.2.1)
e
๐โ(๐) = ๐(๐)u(โ๐) (8.2.2)
che individuano il contenuto di frequenze positive e negative di un se-
gnale ๐ (๐ก) il cui spettro รจ stato denotato con ๐(๐).
Alle quantitร ๐+(๐) e ๐โ(๐), sopra definite, si possono associare
due segnali complessi ๐ +(๐ก) e ๐ โ(๐ก) ottenuti per mezzo delle seguenti
antitrasformate:
๐ +(๐ก) = ๐โ1[๐+(๐)]; ๐ โ(๐ก) = ๐[๐โ(๐)] (8.2.3)
denominati componenti a frequenze positive e negative del segnale.
Poichรฉ risulta manifestamente:
168 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
๐(๐) = ๐+(๐) + ๐โ(๐) (8.2.4)
si ha:
๐ (๐ก) = ๐ +(๐ก) + ๐ โ(๐ก) (8.2.5)
Tenendo conto della (8.2.4), la trasformata di Fourier di ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก) vale:
๏ฟฝ๏ฟฝ(๐) = โ๐sgm(๐) โ [๐+(๐) + ๐โ(๐)] = โ๐๐+(๐) + ๐๐โ(๐) (8.2.6)
da cui antitrasformando:
๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก) = โ๐[๐ +(๐ก) โ ๐ โ(๐ก)] (8.2.7)
che permette di esprimere la trasformata di Hilbert di un segnale in ter-
mini delle sue componenti a frequenze positive e negative.
Invertendo le (8.2.5) e (8.2.7) si ottiene infine:
๐ +(๐ก) =1
2[๐ (๐ก) + ๐๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก)], ๐ โ(๐ก) =
1
2[๐ (๐ก) โ ๐๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก)] (8.2.8)
Segnali a banda e durata rigorosamente limitata. 8.3 -
Un segnale ๐ (๐ก) si dice a banda rigorosamente limitata quando la
sua trasformata di Fourier soddisfa la condizione:
โ ๐โฒ, ๐โณ (0 โค ๐โฒ < ๐โณ < โ) | ๐(๐) = 0 โ ๐| |๐| โ [๐โฒ, ๐โณ] (8.3.1)
Detti ๐1 l'estremo superiore dell'insieme {๐โฒ} ed ๐2 l'estremo infe-
riore dell'insieme {๐โณ}, la quantitร :
๐ต = ๐2 โ ๐1 (8.3.2)
esprime lโampiezza di banda del segnale
e le frequenze ๐1 e ๐2 vengono rispetti-
vamente dette frequenza di taglio infe-
riore e superiore (vedi Fig. 8.2).
Se per un segnale ๐ (๐ก) a banda
rigorosamente limitata risulta ๐1 = 0 il
segnale si dice passabasso, altrimenti si
parla di segnale passabanda.
Un segnale ๐ (๐ก) si dice a durata rigorosamente limitata quando รจ
soddisfatta la condizione:
โ ๐กโฒโ ๐กโณ| ๐ (๐ก) = 0 โ ๐ก โ [๐กโฒ, ๐กโณ] (8.3.3)
Fig. 8.2 โ Segnale a banda rigoro-samente limitata
CAPITOLO - 8 - Caratteristiche e Proprietร dei Segnali - 169
La misura dell'intersezione tra tutti gli intervalli [๐กโฒ, ๐กโณ] che verificano la
(8.3.3) definisce la durata ๐ del segnale.
Con riferimento alla Fig. 8.2 si puรฒ osservare che, se ๐(๐) denota
la trasformata di Fourier di un segnale a banda rigorosamente limitata, si
puรฒ scrivere:
๐(๐) = ๐(๐)โ (๐ โ ๐0๐ต
) + ๐(๐)โ (๐ + ๐0๐ต
) (8.3.4)
avendo denotato con ๐0 il valore della frequenza di centro banda:
๐0 =๐1 + ๐22
(8.3.5)
Antitrasformando la (8.3.4), essendo:
๐โ1 [โ (๐ ยฑ ๐0๐ต
)] = ๐ตsinc(๐ต๐ก)๐โ๐2๐๐0๐ก (8.3.6)
si ottiene facilmente l'identitร :
๐ (๐ก) = ๐ (๐ก) โ ๐ต(sinc(๐ต๐ก)๐๐2๐๐0๐ก + sinc(๐ต๐ก)๐โ๐2๐๐0๐ก) (8.3.7)
dalla quale si deduce che il segnale ๐ (๐ก) non puรฒ avere durata limitata
giacchรฉ esso si puรฒ esprimere mediante una convoluzione in cui uno dei
due operandi ha supporto non limitato.
Di converso, se ๐ (๐ก) รจ a durata rigorosamente limitata, la sua tra-
sformata si estenderร su tutto lโasse delle frequenze. In altre parole non
esistono segnali che siano simultaneamente a banda e a durata rigoro-
samente limitate.
Proprietร dei segnali a banda rigorosamente limitata. 8.4 - Segnali passabasso
Se ๐ (๐ก) รจ un segnale passabasso, รจ anche rappresentabile mediante
una funzione continua e derivabile infinite volte (vedi ยง. 5.7 - ). Si ha:
๐ (๐ก) = โซ ๐(๐)๐๐2๐๐๐ก๐๐๐๐
โ๐๐
(8.4.1)
dove ๐๐ denota la frequenza di taglio.
Dalla precedente discende:
|๐ (๐ก)| โค โซ |๐(๐)|๐๐๐๐
โ๐๐
< โ (8.4.2)
170 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
Derivando la (8.4.1)rispetto a t si ottiene:
๐๐ (๐ก)
๐๐ก= โซ ๐2๐๐ โ ๐(๐)๐๐2๐๐๐ก๐๐
๐๐
โ๐๐
(8.4.3)
da cui:
|๐๐ (๐ก)
๐๐ก| โค โซ |2๐๐| โ |๐(๐)|๐๐
๐๐
โ๐๐
โค 2๐๐๐โซ |๐(๐)|๐๐๐๐
โ๐๐
(8.4.4)
Procedendo analogamente per la derivata ๐-esima si ottiene la se-
guente limitazione:
|๐๐๐ (๐ก)
๐๐ก๐| โค (2๐๐๐)
๐โซ |๐(๐)|๐๐๐๐
โ๐๐
(8.4.5)
cioรจ: il modulo di un segnale passabasso รจ limitato, come pure i moduli
di tutte le sue derivate. Tali limiti dipendono dallโampiezza ๐๐ della ban-
da del segnale. Un segnale passabasso, pertanto, ha un andamento rego-
lare nel tempo con variazioni tanto piรน lente quanto piรน piccola รจ la sua
frequenza di taglio.
Segnali passabanda
Con riferimento alla Fig. 8.2 se ๐ (๐ก) รจ reale, si puรฒ scrivere:
๐ (๐ก) = โซ ๐(๐)๐๐2๐๐๐ก๐๐โ๐1
โ๐2
+โซ ๐(๐)๐๐2๐๐๐ก๐๐๐2
๐1
= 2Re [โซ ๐(๐)๐๐2๐๐๐ก๐๐๐2
๐1
]
(8.4.6)
che con la posizione ๐ = ๐0 + ๐ diventa:
๐ (๐ก) = 2Re [๐๐2๐๐0๐กโซ ๐(๐0 + ๐)๐๐2๐๐๐ก๐๐
๐ต
2
โ๐ต
2
] (8.4.7)
Definendo il segnale:
๐ค(๐ก) = 2โซ ๐(๐0 + ๐)๐๐2๐๐๐ก๐๐
๐ต
2
โ๐ต
2
(8.4.8)
la (8.4.7) si puรฒ riscrivere nella forma:
๐ (๐ก) = Re[๐ค(๐ก)๐๐2๐๐0๐ก] (8.4.9)
CAPITOLO - 8 - Caratteristiche e Proprietร dei Segnali - 171
Il segnale ๐ค(๐ก), definito dalla (8.4.8), รจ in generale complesso a
meno che la ๐(๐) non soddisfi la condizione di simmetria:
๐(๐0 โ ๐) = ๐โ(๐0 + ๐) (8.4.10)
Indicando con ๐(๐ก) e con ๐(๐ก) il modulo e lโargomento di ๐ค(๐ก):
๐ค(๐ก) = ๐(๐ก)๐๐๐(๐ก) (8.4.11)
dalla (8.4.9) discende:
๐ (๐ก) = ๐(๐ก) cos(2๐๐0๐ก + ๐(๐ก))
= ๐ ๐(๐ก) cos(2๐๐0๐ก) โ ๐ ๐(๐ก) sin(2๐๐0๐ก) (8.4.12)
laddove le quantitร ๐ ๐(๐ก) e ๐ ๐(๐ก) definite dalle:
๐) ๐ ๐(๐ก) = ๐(๐ก) cos ๐(๐ก) = 2Re [โซ ๐(๐0 + ๐)๐๐2๐๐๐ก๐๐
๐ต
2
โ๐ต
2
]
๐) ๐ ๐(๐ก) = ๐(๐ก) sin ๐(๐ก) = 2Im [โซ ๐(๐0 + ๐)๐๐2๐๐๐ก๐๐
๐ต
2
โ๐ต
2
]
(8.4.13)
prendono il nome rispettivamente di componenti in fase e in quadratura
del segnale.
Le (8.4.9) e
(8.4.13) suggerisco-
no una particolare
rappresentazione
grafica di ๐ (๐ก). In-
fatti se il vettore ๐๐
individua nel piano
complesso di Fig.
8.3 la quantitร ๐ค(๐ก) a
un istante generico
๐ก, il valore ๐ (๐ก) del
segnale si potrร ottenere dalla proiezione sullโasse reale del vettore ๐๐โฒ
ottenuto ruotando ๐๐ di un angolo pari a 2๐๐0๐ก. Il segnale ๐ (๐ก) รจ noto se
si conosce la posizione del vettore ๐๐ al variare di ๐ก. Ciรฒ significa che
๐ (๐ก) puรฒ essere rappresentato dal luogo ๐พ dell'estremo di tale vettore. Si
perviene cosรฌ alla naturale estensione dellโusuale rappresentazione di una
grandezza sinusoidale mediante un vettore rotante. In questโultimo caso,
Fig. 8.3 - Rappresentazione vettoriale di un segnale passa-banda
172 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
il vettore rappresentativo del segnale non varia nel tempo cosicchรฉ la
curva ๐พ si riduce a un punto.
Le quantitร ๐(๐ก) e ๐(๐ก) prendono rispettivamente il nome di invi-
luppo e fase istantanei del segnale; si definisce frequenza istantanea la
quantitร ๐(๐ก):
๐(๐ก) = ๐0 +1
2๐
๐๐(๐ก)
๐๐ก (8.4.14)
Dalla (8.4.12) si deduce che un segnale passabanda assume la
forma di unโoscillazione modulata in ampiezza e fase; le quantitร ๐ ๐(๐ก) e
๐ ๐(๐ก) rappresentano due segnali i cui spettri, in virtรน delle (8.4.13), sono
contenuti nellโintervallo (โ๐ต
2,๐ต
2). Tali funzioni pertanto corrispondono
a segnali di tipo passabasso, e le loro variazioni nel tempo risultano tan-
to piรน lente quanto piรน stretta รจ la banda ๐ต del segnale.
Prendendo le trasformate di Fourier della (8.4.9), si ottiene:
๐(๐) = โซ Re[๐ค(๐ก)๐๐2๐๐0๐ก]๐โ๐2๐๐๐ก๐๐กโ
โโ
=1
2โซ [๐ค(๐ก)๐๐2๐๐0๐ก + ๐คโ(๐ก)๐โ๐2๐๐0๐ก]๐โ๐2๐๐๐ก๐๐กโ
โโ
=1
2โซ ๐ค(๐ก)๐โ๐2๐(๐โ๐0)๐ก๐๐กโ
โโ
+1
2(โซ ๐ค(๐ก)๐๐2๐(๐+๐0)๐ก๐๐ก
โ
โโ
)
โ
(8.4.15)
che, detta ๐(๐) la trasformata di ๐ค(๐ก), si puรฒ scrivere nella forma:
๐(๐) =1
2๐(๐ โ ๐0) +
1
2๐โ(โ๐ โ ๐0) (8.4.16)
Esempio 8.4
Detto ๐0 il valore della frequen-
za di centro banda, il segnale ๐ (๐ก),
il cui spettro ๐(๐) รจ rappresentato
in Fig. E.VII.4, puรฒ ottenersi sulla
base della (8.4.13) determinando le
quantitร ๐ ๐(๐ก) e ๐ ๐(๐ก). A tal fine si
osservi che lo spettro ๐(๐0 + ๐)
limitatamente all'intervallo (โ๐ต
2,๐ต
2) si presenta come รจ mostrato in Fig.
E.VII.5, la cui antitrasformata risulta:
Fig.E 8.4
CAPITOLO - 8 - Caratteristiche e Proprietร dei Segnali - 173
๐โ1[๐(๐0 +๐)] = (1 โ cos(๐๐ต๐ก)
2๐ต๐2๐ก2+sin(๐๐ต๐ก)
2๐๐ก) + ๐ (
sin(๐๐ต๐ก)
2๐ต๐2๐ก2โcos(๐๐ต๐ก)
2๐๐ก)
Le componenti in fase e in quadratura allora sono:
{๐ ๐(๐ก) =
1 โ cos(๐๐ต๐ก)
2๐ต๐2๐ก2+sin(๐๐ต๐ก)
2๐๐ก;
๐ ๐(๐ก) =sin(๐๐ต๐ก)
2๐ต๐2๐ก2โcos(๐๐ต๐ก)
2๐๐ก;
Il segnale ๐ (๐ก) vale allora:
๐ (๐ก)
= (1 โ cos(๐๐ต๐ก)
2๐ต๐2๐ก2+sin(๐๐ต๐ก)
2๐๐ก) cos(2๐๐0๐ก)
โ (sin(๐๐ต๐ก)
2๐ต๐2๐ก2โcos(๐๐ต๐ก)
2๐๐ก) sin(2๐๐0๐ก)
Banda e durata convenzionali. 8.5 -
Se ๐ (๐ก) non รจ a banda o durata rigorosamente limitata, pur essen-
do a energia finita, puรฒ essere in certi casi conveniente attribuire al se-
gnale una banda o durata convenzionali.
In quel che segue ๐ (๐ก) si suppone reale passabasso; tuttavia le
considerazioni svolte si possono facilmente estendere ai segnali reali
passabanda.
Banda e durata quadratica o efficace
Si definisce banda quadratica ๐ต๐ la quantitร :
๐ต๐ = (1
๐ธโซ ๐2|๐(๐)|2๐๐โ
โโ
)
1
2
(8.5.1)
dove ๐ธ รจ l'energia specifica del segnale.
Si noti che la banda quadratica ๐ต๐ di un segnale dร una misura
della dispersione dei valori di |๐(๐)|2 attorno all'asse delle frequenze.
In maniera simile si puรฒ definire una durata quadratica ๐๐. Detta ๏ฟฝ๏ฟฝ
lโascissa baricentrica di |๐ (๐ก)|:
๏ฟฝ๏ฟฝ =1
๐ธโซ ๐ก|๐ (๐ก)|2๐๐กโ
โโ
(8.5.2)
la quantitร ๐๐ vale:
Fig.E 8.5
174 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
๐๐ = (1
๐ธโซ (๐ก โ ๏ฟฝ๏ฟฝ)2|๐ (๐ก)|2๐๐กโ
โโ
)
1
2
(8.5.3)
che, riferendo l'origine dei tempi a ๏ฟฝ๏ฟฝ, assumerebbe la forma piรน sempli-
ce:
๐๐ = (1
๐ธโซ ๐ก2|๐ (๐ก)|2๐๐กโ
โโ
)
1
2
(8.5.4)
analoga alla (8.5.1).
Banda e durata sulla base dellโenergia
La durata convenzionale di un segnale รจ definita dall'ampiezza
dell'intervallo centrato sull'ascissa baricentrica nel quale รจ contenuta una
prefissata aliquota ํ๐2 โค 1 dell'energia totale del segnale. Detta durata
puรฒ essere calcolata risolvendo l'equazione nell'incognita ๐:
ํ๐2 =
1
๐ธโซ |๐ (๐ก โ ๏ฟฝ๏ฟฝ)|2๐๐ก
๐
2
โ๐
2
(8.5.5)
รโ ovvio che la quantitร ๐ รจ una funzione non decrescente di ํ๐2 .
Analogamente si introduce una banda equivalente che si ottiene
risolvendo l'equazione nell'incognita ๐:
ํ๐ต2 =
1
๐ธโซ |๐(๐)|2๐๐๐
โ๐
(8.5.6)
dove ํ๐ต2 รจ una prefissata quantitร non superiore a 1.
Esempio 8.5
Si determino la durata e banda convenzionali del segnale:
๐ (๐ก) = u(๐ก)๐โ๐๐ก(๐ > 0)
Lโenergia specifica del segnale vale:
๐ธ = โซ ๐โ2๐๐ก๐๐กโ
0
=1
2๐
a) Durata quadratica:
Lโascissa baricentrica vale:
๏ฟฝ๏ฟฝ = 2๐โซ ๐ก๐โ2๐๐ก๐๐กโ
0
=2
๐
quindi la durata quadratica รจ ottenuta dalla:
CAPITOLO - 8 - Caratteristiche e Proprietร dei Segnali - 175
๐๐2 = 2๐โซ (๐ก โ
2
๐)2
๐โ2๐๐ก๐๐ก
โ
0
=5
2๐2
Risulta quindi:
๐๐ =1
๐โ5
2
b) Durata sulla base dellโenergia:
Riferendo il segnale alla sua ascissa baricentrica ๏ฟฝ๏ฟฝ si ottiene:
๐ฅ(๐ก) = ๐ (๐ก โ ๏ฟฝ๏ฟฝ) = u(๐ก โ2
๐)๐โ๐(๐กโ
2
๐)
e quindi la durata si deduce dallโequazione:
ํ๐2
2๐= โซ u(๐ก โ
2
๐) ๐โ2๐(๐กโ
2
๐)๐๐ก
๐
2
โ๐
2
=1 โ ๐4โ๐๐
2๐
da cui:
๐ =1
๐[4 โ log(1 โ ํ๐
2)]
Poichรฉ la trasformata del segnale vale: S(f ) a j2f 1
risulta:
a) Banda quadratica:
Si ha:
๐ต๐2 =
1
2๐โซ
๐2๐๐
๐2 + (2๐๐)2
โ
โโ
= โ
b) Banda sulla base dellโenergia:
La banda si determina dalla condizione:
ํ๐ต2
2๐= โซ
๐๐
๐2 + (2๐๐)2
๐
โ๐
=arctg(๐)
๐๐
dalla quale si deduce:
๐ = tan (๐
2ํ๐ต2)
CAPITOLO - 9
IL CAMPIONAMENTO DEI SEGNALI
Il teorema del campionamento. 9.1 -
Un'importante caratteristica di un segnale a banda limitata รจ quel-
la di potere essere ricostruito a partire dalla conoscenza dei valori, cam-
pioni, assunti da esso in corrispondenza di un'opportuna sequenza di
istanti.
Quanto detto, in altri termini, significa che รจ possibile stabilire
una corrispondenza biunivoca tra funzioni del tempo rappresentative di
segnali a banda limitata e sequenze numeriche.
In linea di principio
per poter ricostruire il se-
gnale non รจ necessario che
i campioni vengano prele-
vati con cadenza regolare.
Tuttavia, poichรฉ in genere
si adottano campionatori
uniformi, in quel che segue
si considererร soltanto il
campionamento uniforme;
cioรจ si assumerร che l'in-
tervallo di tempo ๐ =
๐ก๐+1 โ ๐ก๐ che intercorre tra
due campioni consecutivi,
detto periodo di campio-
namento, sia costante.
Dato un segnale ๐ (๐ก) reale rigorosamente passa basso, cioรจ tale
che detta ๐(๐) la sua trasformata di Fourier (vedi Fig. 9.1a)), risulti:
๐(๐) = ๐(๐)โ (๐
2๐๐), โ๐ โ โ (9.1.1)
si consideri la funzione ๐๐(๐), ottenuta ripetendo periodicamente lo
spettro ๐(๐) con periodicitร ๐๐ (v. Fig. 9.1,b):
Fig. 9.1 - a) Spettro di un segnale passabasso; b) sua ripetizione periodica.
178 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
๐๐(๐) = โ ๐(๐ โ ๐๐๐)
โ
๐=โโ
(9.1.2)
ร evidente che se si sceglie
๐๐ โฅ 2๐๐ (9.1.3)
si ha:
๐(๐) = ๐๐(๐)โ (๐
๐๐) (9.1.4)
In questo caso cioรจ la trasformata di Fourier del segnale e la funzione
๐๐(๐) coincidono nell'intervallo (โ๐๐
2,๐๐
2).
Poichรฉ ๐๐(๐) รจ periodica, puรฒ essere sviluppata in serie di Fourier:
๐๐(๐) = โ ๐ถ๐๐๐2๐๐
๐
๐๐
โ
๐=โโ
(9.1.5)
dove:
๐ถ๐ =1
๐๐โซ ๐(๐)๐
โ๐2๐๐๐
๐๐๐๐
๐๐2
โ๐๐2
=1
๐๐๐ (โ
๐
๐๐) (9.1.6)
Sostituendo la (9.1.5) e la (9.1.6) nella (9.1.4) si ottiene la seguente
espressione per ๐(๐):
๐(๐) =1
๐๐โ (
๐
๐๐) โ ๐ (โ
๐
๐๐) ๐
๐2๐๐๐
๐๐
โ
๐=โโ
=1
๐๐โ (
๐
๐๐) โ ๐ (
๐
๐๐) ๐
โ๐2๐๐๐
๐๐
โ
๐=โโ
(9.1.7)
dove nell'ultima sommatoria si รจ mutato ๐ in โ๐.
Tenendo infine presente che ๐โ1 [โ (๐
๐๐)] = ๐๐sinc(๐๐๐ก) si ha:
๐ (๐ก) = โ ๐ (๐
๐๐) sinc [๐๐ (๐ก โ
๐
๐๐)]
โ
๐=โโ
(9.1.8)
La precedente costituisce l'espressione formale del teorema del
campionamento. Da essa risulta infatti evidente che รจ possibile ricostrui-
CAPITOLO - 9 - Il Campionamento dei Segnali - 179
re un segnale passabasso a partire dalla sequenza {๐ (๐
๐๐)}๐=โโ
โ
dei suoi
campioni.
Si osservi che, in base alla (9.1.8), la ricostruzione del segnale vie-
ne effettuata sommando una serie di funzioni del tipo sinc(๐๐๐ก) oppor-
tunamente ritardate e pesate per mezzo dei campioni di ๐ (๐ก) come indi-
cato in Fig. 9.2.
Si sottolinea che la (9.1.8) vale soltanto se la (9.1.3) รจ verificata. La
minima frequenza di campionamento che soddisfa tale limitazione รจ det-
ta frequenza di Nyquist, e il corrispondente massimo periodo di campio-
namento periodo di Nyquist. Essi valgono rispettivamente:
๐๐ = 2๐๐; ๐๐ =1
2๐๐; (9.1.9)
Il sottospazio dei segnali passabasso. 9.2 -
Dalla (9.1.8) si deduce che l'insieme di funzioni normalizzate:
๐ข๐(๐ก) = โ๐๐sinc [๐๐ (๐ก โ๐
๐๐)] (9.2.1)
รจ completo rispetto all'insieme dei segnali passabasso ad energia finita
con frequenza di taglio non superiore ad ๐๐
2. Inoltre le (9.2.1) sono orto-
gonali. Infatti detta ๐๐(๐) la trasformata di Fourier di ๐ข๐(๐ก) si ha:
Fig. 9.2 - Ricostruzione di un segnale a partire dai suoi campioni
180 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
๐๐(๐) = โ๐๐๐โ๐2๐๐
๐
๐๐๐[sinc(๐๐๐ก)] =1
โ๐๐โ (
๐
๐๐) ๐
โ๐2๐๐๐
๐๐ (9.2.2)
Applicando il teorema di Parseval si ottiene:
โซ ๐ข๐(๐ก)๐ข๐(๐ก)๐๐กโ
โโ
= โซ ๐๐(๐)๐๐โ (๐)๐๐
โ
โโ
=1
๐๐โซ ๐
โ๐2๐(๐โ๐)๐
๐๐ ๐๐
๐๐2
โ๐๐2
= sinc(๐-๐)
(9.2.3)
In termini delle funzioni ๐ข๐(๐ก), la (9.1.8) si traduce nella:
๐ (๐ก) = โ ๐ผ๐๐ข๐(๐ก)
โ
๐=โโ
(9.2.4)
dove:
๐ผ๐ =1
โ๐๐๐ (๐
๐๐)
(9.2.5)
Si noti che l'ortogonali-
tร delle ๐ข๐(๐ก) implica che la
famiglia di dette funzioni co-
stituisce un set completo per
lo spazio dei segnali passa-
basso di banda non superiore
a ๐๐
2, e conseguentemente im-
plica anche che la sequenza di
coefficienti definiti dalla
(9.2.5) รจ l'unica che consente
la ricostruzione del generico
elemento di detto spazio per
mezzo della base in questio-
ne.
ร evidente che se ๐๐ < 2๐๐, ๐๐(๐) non coincide con ๐(๐) nell'in-
tervallo (โ๐๐, ๐๐) del segnale ๐ (๐ก) (vedi Fig. 9.3). La sua ricostruzione
non รจ effettuabile mediante la (9.1.8).
Fig. 9.3 โ Campionamento con ๐๐ < 2๐๐
CAPITOLO - 9 - Il Campionamento dei Segnali - 181
D'altra parte, se la frequenza di campionamento รจ superiore a
quella di Nyquist, cioรจ se risulta ๐๐ > 2๐๐, ci si convince che, in alterna-
tiva alla (9.1.7), ๐(๐) puรฒ anche essere ricostruito a partire dalla:
๐(๐) = โ (๐
2๐๐) ๐๐(๐) =
1
๐๐โ (
๐
2๐๐) โ ๐ (
๐
๐๐) ๐
โ๐2๐๐๐
๐๐
โ
๐=โโ
(9.2.6)
dalla quale si perviene alla seguente formula di ricostruzione:
๐ (๐ก) =2๐๐๐๐
โ ๐ (๐
๐๐) sinc [2๐๐ (๐ก โ
๐
๐๐)]
โ
๐=โโ
(9.2.7)
che analogamente alla (9.2.4) puรฒ essere scritta nella forma:
con
๐ฃ๐(๐ก) = โ2๐๐sinc [2๐๐ (๐ก โ๐
๐๐)] (9.2.8)
e
๐ฝ๐ =โ2๐๐๐๐
๐ (๐
๐๐) (9.2.9)
Tuttavia in questo caso, la (9.2.8) individua una famiglia di fun-
zioni normalizzate che non sono mutuamente ortogonali. Si ha infatti:
โซ ๐ข๐(๐ก)๐ข๐(๐ก)๐๐กโ
โโ
=1
2๐๐โซ ๐
โ๐2๐(๐โ๐)๐
๐๐๐๐๐๐
โ๐๐
= sinc [2๐๐๐๐(๐ โ ๐)]
(9.2.10)
Si consideri una generica combinazione lineare delle {๐ฃ๐(๐ก)}:
๐(๐ก) = โ ๐พ๐๐ฃ๐(๐ก)
โ
๐=โโ
(9.2.11)
la cui trasformata vale:
๐ท(๐) = โ ๐พ๐๐๐(๐)
โ
๐=โโ
=1
โ2๐๐โ (
๐
2๐๐) โ ๐พ๐๐
โ๐2๐๐๐
๐๐
โ
๐=โโ
(9.2.12)
Si osservi che la sommatoria โ ๐พ๐๐โ๐2๐๐
๐
๐๐โ๐=โโ individua una funzione
periodica di periodo ๐๐. Scegliendo opportunamente la sequenza di coef-
182 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
ficienti ๐พ๐ รจ possibile generare una funzione nulla nell'intervallo
(โ๐๐, ๐๐) e diversa da zero nel suo complementare rispetto all'intervallo
(โ๐๐
2,๐๐
2). Sostituendo una tale sequenza nella (9.2.12) si ottiene, in virtรน
della presenza della funzione โ (๐
2๐๐), una ๐ท(๐) e quindi una ๐(๐ก) nulla
in corrispondenza di una sequenza di coefficienti non identicamente
nulla. Pertanto le funzioni ๐ฃ๐(๐ก), pur generando lo spazio dei segnali
passabasso di banda ๐๐, non sono tra loro linearmente indipendenti,
quindi non ne costituiscono una base.
Campionamento naturale. 9.3 -
La ripetizione periodica del segnale ๐(๐) con periodicitร ๐๐, defi-
nita dalla (9.1.2) corrisponde nel dominio del tempo al segnale:
๐ ๐(๐ก) = โ ๐โ1[๐(๐ โ ๐๐๐)] = ๐ (๐ก) โ ๐๐2๐๐๐๐๐กโ
๐=โโ
โ
๐=โโ
(9.3.1)
Il segnale campionato puรฒ quindi essere ottenuto comโรจ schematizzato
in Fig. 9.4, cioรจ dal prodotto di ๐ (๐ก) per la fun-
zione:
๐ฃ0(๐ก) = โ ๐๐2๐๐๐๐๐กโ
๐=โโ
(9.3.2)
detta funzione campionatrice.
La (9.3.2), utilizzando la formula di Pois-
son (5.5.8), puรฒ essere espressa nella
๐ฃ0(๐ก) = ๐๐ โ ๐ฟ(๐ก โ ๐๐๐)
โ
๐=โโ
(9.3.3)
Il campionatore del tipo mostrato in Fig. 9.4 non รจ quindi fisica-
mente realizzabile a causa della presenza della delta di Dirac.
Si puรฒ pensare di approssimare la funzione campionatrice (9.3.3)
con un treno dโimpulsi che sia la ripetizione periodica con passo ๐๐ di un
impulso ๐(๐ก) di durata ๐ < ๐๐ e trasformata di Fourier ๐(๐). cioรจ assu-
mendo che ๐ฃ0(๐ก) valga:
๐ฃ0(๐ก) = โ ๐(๐ก โ ๐๐๐๐
)
โ
๐=โโ
(9.3.4)
Fig. 9.4 - Campionatore
CAPITOLO - 9 - Il Campionamento dei Segnali - 183
con ๐ < ๐๐. Il segnale campionato, in questo caso, si presenta (vedi Fig.
9.5) nella forma:
๐ ๐(๐ก) = ๐ (๐ก) โ ๐ฃ0(๐ก) = ๐ (๐ก) โ ๐(๐ก โ ๐๐๐๐
)
โ
๐=โโ
(9.3.5)
e si parla di campionamento naturale.
La trasformata di ๐ ๐(๐ก) si puรฒ calcolare tramite il teorema della
convoluzione nel dominio della frequenza ottenendo:
๐๐(๐) = ๐(๐) โ ๐0(๐) (9.3.6)
dove:
๐0(๐) = ๐[๐ฃ0(๐ก)] = ๐ [ โ ๐0๐๐๐2๐๐
๐ก
๐๐
โ
๐=โโ
]
= โ ๐0๐๐ฟ(๐ โ ๐๐๐)
โ
๐=โโ
(9.3.7)
in cui
๐0๐ =1
๐๐โซ ๐(๐ก)๐โ๐2๐๐๐๐๐ก๐๐ก
๐
2
โ๐
2
=๐(๐๐๐๐)
๐๐ (9.3.8)
Fig. 9.5 - Campionamento naturale.
184 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
Si ha quindi:
๐๐(๐) = โ ๐0๐โซ ๐(๐)๐ฟ(๐ โ ๐ โ ๐๐๐)๐๐โ
โโ
โ
๐=โโ
= โ ๐0๐๐(๐ โ ๐๐๐) =1
๐๐โ ๐(๐๐๐๐)๐(๐ โ ๐๐๐)
โ
๐=โโ
โ
๐=โโ
(9.3.9)
La (9.3.9) mostra che nel campionamento naturale lโennesima ri-
petizione dello spet-
tro risulta moltiplica-
ta per il fattore ๐(๐๐๐๐)
๐๐. Pertanto
nell'intervallo
(โ๐๐
2,๐๐
2), la forma
dello spettro rimane
immutata, รจ quindi
evidente che il segna-
le puรฒ essere ancora
ricostruito. Nel caso
in cui ๐(๐ก) =โ (๐ก
๐) si ha ๐(๐) = ๐sinc(๐๐) da cui sostituendo nella (9.3.9) si
ottiene:
๐๐(๐) =๐
๐๐โ sinc(๐๐๐๐)๐(๐ โ ๐๐๐)
โ
๐=โโ
(9.3.10)
In questo caso lo spettro di ampiezza |๐๐(๐)| del segnale ๐ ๐(๐ก) si presen-
ta come รจ mostrato in Fig. 9.6. Tornando alla Fig. 9.5 possiamo osserva-
re che nel campionamento naturale il generico impulso ๐(๐ก โ ๐๐๐) viene
in realtร distorto dal segnale quindi non possiamo parlare di vero e pro-
prio campionamento nel senso che non potremmo ricostruire il segnale
a partire dalla sola conoscenza dei valori che esso assume in una se-
quenza di istanti, tale campionamento potrebbe al piรน essere utilizzato
per una multiplazione di piรน segnali su uno stesso mezzo fisico (multi-
plazione a divisione di tempo), in quanto sarebbe possibile inserire tra
gli impulsi associati ad un segnale quelli relativi ad altri.
Fig. 9.6 - Spettro del segnale campionato: campionamento
ideale, campionamento naturale.
CAPITOLO - 9 - Il Campionamento dei Segnali - 185
Campionamento istantaneo. 9.4 -
Un'altra modalitร di campionamento consiste nel cosiddetto cam-
pionamento istantaneo (vedi Fig. 9.7). In questo caso il segnale campionato
vale:
๐ ๐(๐ก) = โ ๐ (๐๐๐)๐ (๐ก โ ๐๐๐๐
)
โ
๐=โโ
(9.4.1)
Nel campiona-
mento istantaneo gli
impulsi che costitui-
scono ๐ ๐(๐ก) mantengo-
no cioรจ la loro forma
mentre le loro ampiez-
ze sono proporzionali
ai campioni ๐ (๐๐๐) del
segnale.
Per valutare lo
spettro del segnale
espresso dalla (9.4.1) รจ
conveniente scrivere ๐ (๐กโ๐๐๐
๐) mediante la seguente convoluzione:
๐ (๐ก โ ๐๐๐๐
) = ๐ (๐ก
๐) โ ๐ฟ(๐ก โ ๐๐๐) (9.4.2)
Di conseguenza:
๐ ๐(๐ก) = ๐ (๐ก
๐) โ ( โ ๐ (๐๐๐)๐ฟ(๐ก โ ๐๐๐)
โ
๐=โโ
)
= ๐ (๐ก
๐) โ (๐ (๐ก) โ ๐ฟ(๐ก โ ๐๐๐)
โ
๐=โโ
)
(9.4.3)
Nella precedente abbiamo ricordato che:
๐ (๐๐๐)๐ฟ(๐ก โ ๐๐๐) = ๐ (๐ก)๐ฟ(๐ก โ ๐๐๐) (9.4.4)
e utilizzando la (5.8.5) per la trasformata di ๐ ๐(๐ก), si ottiene:
Fig. 9.7 Campionamento Istantaneo
186 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
๐๐(๐) = ๐(๐)๐ [๐ (๐ก) โ ๐ฟ(๐ก โ ๐๐๐)
โ
๐=โโ
]
= ๐(๐) (๐(๐) โ1
๐๐โ ๐ฟ(๐ โ ๐๐๐)
โ
๐=โโ
)
=๐(๐)
๐๐โ ๐(๐ โ ๐๐๐)
โ
๐=โโ
(9.4.5)
Nel caso in cui ๐(๐ก) =โ (๐ก
๐) avremmo:
๐๐(๐) = ๐sinc(๐๐)๐ [๐ (๐ก) โ ๐ฟ(๐ก โ ๐๐๐)
โ
๐=โโ
]
= ๐sinc(๐๐) (๐(๐) โ1
๐๐โ ๐ฟ(๐ โ ๐๐๐)
โ
๐=โโ
)
=๐
๐๐sinc(๐๐) โ ๐(๐ โ ๐๐๐)
โ
๐=โโ
(9.4.6)
In questo caso lo spettro del segnale campionato รจ mostrato in blu in
Fig. 9.8, da cui si rileva che, a causa del fattore ๐
๐๐sinc(๐๐) tale spettro ha
una forma diversa da quello del segnale nella porzione contenuta nell'in-
Fig. 9.8 - Campionamento naturale, campionamento istantaneo.
CAPITOLO - 9 - Il Campionamento dei Segnali - 187
tervallo (โ๐๐
2,๐๐
2).
Di conseguenza un filtro passabasso non รจ in grado di ricostruire
il segnale. Tuttavia, poichรฉ il legame tra lo spettro del segnale campiona-
to e quello di ๐ (๐ก) รจ noto, รจ possibile eliminare la distorsione introdotta
dal campionatore.
Si osservi inoltre che, se ๐ << ๐๐ , la distorsione introdotta diven-
ta trascurabile in quanto il fattore sinc(๐๐) varia poco nella banda di in-
teresse. Tale riduzione tuttavia, comporta anche una notevole attenua-
zione del segnale a causa del fattore ๐
๐๐<< 1.
Errori di ricoprimento spettrale (aliasing). 9.5 -
Se si suppone che il segnale ๐ (๐ก), se pur non rigorosamente pas-
sabasso, abbia la maggior parte della sua energia concentrata in una
banda (โ๐๐, ๐๐), si puรฒ pensare di effettuare un campionamento, che
per semplicitร si suppone ideale, utilizzando una ๐๐ = 2๐๐. In questo ca-
so il segnale ricostruito ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก) non puรฒ riprodurre fedelmente ๐ (๐ก) (vedi
fig. Fig. 9.9). Si rende quindi necessario stimare l'entitร dell'errore com-
messo. A tal fine si calcoli la distanza euclidea tra il segnale e la sua ver-
sione ricostruita:
๐ = โซ |๐ (๐ก) โ ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก)|2๐๐กโ
โโ
(9.5.1)
Applicando il teorema di Parseval la precedente si puรฒ anche scrivere:
๐ = โซ |๐(๐) โ ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐)|2๐๐โ
โโ
(9.5.2)
Fig. 9.9 - Campionamento di un segnale a banda non limitata.
188 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
Ricordando che la ricostruzione del segnale avviene mediante un filtro
passabasso, e che quindi ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐) รจ nullo all'esterno di (โ๐๐, ๐๐), รจ lecito ri-
formulare la (9.5.2) come segue:
๐ = โซ |๐(๐)|2๐๐|๐|>๐๐
+โซ |๐(๐) โ ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐)|2๐๐๐๐
โ๐๐
(9.5.3)
La presenza del primo addendo della (9.5.3) รจ inevitabile, in quan-
to esso รจ dovuto alle componenti spettrali di ๐ (๐ก) che cadono al di fuori
della banda di interesse. Il secondo addendo nasce a causa del ricopri-
mento spettrale (aliasing).
Se si provvede a prefiltrare il segnale mediante un filtro passa
basso, che per semplicitร supponiamo ideale, di banda ๐๐ prima di cam-
pionarlo (vedi Fig. 9.10), la distanza euclidea (9.5.1) diventa:
๏ฟฝ๏ฟฝ = โซ |๐(๐)|2๐๐|๐|>๐๐
(9.5.4)
in quanto in questo caso viene a mancare il contributo allโerrore dovuto
allโaliasing.
Poichรฉ evidentemente risulta ๐ > ๏ฟฝ๏ฟฝ si conclude che l'introduzione
di un prefiltro รจ sempre auspicabile in quanto comunque comporta una
riduzione dell'errore di ricostruzione.
Esempio 9.1
Il segnale
๐(๐) = ๐โ|๐|
๐๐
รจ un segnale a banda non limitata. Supponendo di campionarlo con frequen-
za ๐๐, lo spettro del segnale campionato vale:
Fig. 9.10 Campionamento con prefiltraggio
CAPITOLO - 9 - Il Campionamento dei Segnali - 189
๐๐(๐) = โ ๐โ|๐โ๐๐๐|
๐๐
โ
๐=โโ
=๐โ๐๐๐๐
1 โ ๐โ๐๐๐๐
(๐๐
๐๐ + ๐โ๐
๐๐) + ๐โ|๐|
๐๐
Di conseguenza lo spettro del segnale ricostruito vale:
๏ฟฝ๏ฟฝ(๐) = ๐๐(๐)โ (๐
๐๐)
e risulta:
๐ = 2โซ ๐โ2๐
๐๐๐๐โ
๐๐2
+ ๐โ2๐๐๐๐ (1 โ ๐
โ๐๐๐๐)
โ2
โซ (๐๐
๐๐ + ๐โ๐
๐๐)2
๐๐
๐๐2
โ๐๐2
L'errore ๐ risulta allora:
๐ = 2 [๐๐ (๐๐๐๐๐ โ 1)
โ2
+ ๐๐ (๐๐๐๐๐ โ 1)
โ1
]
In presenza di prefiltro l'errore vale:
๏ฟฝ๏ฟฝ = โซ ๐โ2|๐|
๐๐ ๐๐|๐|>
๐๐2
= ๐๐๐โ๐๐๐๐
Campionamento ideale dei segnali passabanda. 9.6 -
Le considerazioni svolte precedentemente possono essere estese
al caso di un segnale passabanda, effettuando il campionamento con
frequenza non inferiore al doppio della massima frequenza contenuta
nel suo spettro.
Per i segnali di tipo passabanda, tuttavia, รจ talvolta possibile effet-
tuare un campionamento ad una frequenza inferiore a quella di Nyquist.
Infatti รจ chiaro che, almeno in linea di principio, la ricostruzione di un
segnale a partire dalla sequenza dei suoi campioni รจ possibile a patto che
il suo spettro coincida, dove non รจ nullo, con la sua ripetizione periodi-
ca. In altre parole รจ possibile ricostruire il segnale, purchรฉ si scelga una
frequenza di campionamento che non dia luogo al fenomeno dell'alia-
sing.
Una condizione che deve necessariamente essere soddisfatta da
una possibile frequenza di campionamento ๐๐ รจ la seguente:
๐๐ โ ๐ต โฅ ๐ต (9.6.1)
ovvero:
๐๐ โฅ 2๐ต (9.6.2)
dove ๐ต indica la banda del segnale.
190 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
Ci si convince che, data la generica ripetizione dello spettro:
๐(๐ โ ๐๐๐) = ๐โ(๐ โ ๐๐๐) + ๐+(๐ โ ๐๐๐) (9.6.3)
l'eventuale interferenza si puรฒ verificare, o a causa di un termine
๐โ(๐ โ ๐๐๐) che, in corrispondenza di un dato valore dell'indice ๐ posi-
tivo, va a sovrapporsi a ๐+(๐), o, dualmente, a causa di un termine
๐+(๐ โ ๐๐๐) che, per un qualche ๐ < 0, interferisce con ๐โ(๐).
Ci si rende conto che ๐๐ รจ una possibile frequenza di campiona-
mento se, in corrispondenza al massimo valore ๏ฟฝ๏ฟฝ dell'indice ๐ per cui la
componente ๐โ(๐ โ ๐๐๐) si mantiene alla sinistra di ๐+(๐), risulta che il
termine ๐โ(๐ โ (๐ + 1)๐๐), relativo alla successiva ripetizione dello spet-
tro del segnale, rimane alla destra di ๐+(๐).
Quanto detto (vedi Fig. 9.11) si traduce nelle disuguaglianze:
๐๐๐ โ (๐0 โ๐ต
2) โค ๐0 โ
๐ต
2 (9.6.4)
(๐ + 1)๐๐ โ (๐0 +๐ต
2) โฅ ๐0 +
๐ต
2 (9.6.5)
Combinando le precedenti si ottiene:
2๐0 + ๐ต
๐ + 1โค ๐๐ โค
2๐0 โ ๐ต
k (9.6.6)
La quale definisce un intervallo di frequenze di campionamento
solo per quei valori di ๐ per cui risulta 2๐0+๐ต
๐+1โค
2๐0โ๐ต
๐; ciรฒ implica il fatto
che ๏ฟฝ๏ฟฝ deve soddisfare la seguente limitazione:
Fig. 9.11 - frequenze di campionamento per un segnale passabanda
CAPITOLO - 9 - Il Campionamento dei Segnali - 191
๐ โค โ๐0๐ตโ1
2โ (9.6.7)
dove la notazione โ๐ฅโ indica la parte intera di ๐ฅ.
In conclusione, ad ogni valore di ๐ che soddisfa la (9.6.7) corri-
sponde un intervallo di frequenze di campionamento. Il numero di tali
intervalli cresce all'aumentare del rapporto ๐0
๐ต.
Il diagramma di Fig. 9.12 consente di dedurre tutti i possibili valori
delle frequenze di campionamento (regioni non ombreggiate). Si osservi
inoltre che, tanto piรน grande รจ ๐0
๐ต tanto piรน piccola puรฒ essere la frequen-
za di campionamento rispetto alla frequenza di centro banda del segnale,
compatibilmente con l'estremo inferiore definito dalla (9.6.2).
Fig. 9.12 - Intervalli di frequenze di campionamento per un segnale passa-banda.
192 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
Tuttavia, si osservi che, l'ampiezza degli intervalli di campiona-
mento a frequenza bassa al crescere di ๐0
๐ต diventa piccola imponendo
conseguentemente condizioni stringenti sulle specifiche di stabilitร in
frequenza del generatore della funzione campionatrice.
Esempio 9.2
Si determinino le possibili frequenze di campionamento per un segnale
passa banda avente le seguenti caratteristiche
๐0 = 10๐๐ป๐ง , ๐ต = 1,0๐๐ป๐ง
Gli intervalli di possibili frequenze di campionamento (espresse in ๐๐ป๐ง)
sono date dalla 21
๐ + 1โค ๐๐ โค
19
๐
essendo
1 โค ๐ โค โ10 โ1
2โ = 9
Esistono allora 9 intervalli di frequenze di campionamento possibili oltre
ovviamente a quello che contiene le frequenze non inferiori alla frequenza di
Nyquist. Detti intervalli, espressi in ๐๐ป๐ง, valgono:
๐ผ0 โก (21, โ) ๐ = 0
๐ผ1 โก (10.5, 19) ๐ = 1
๐ผ2 โก (7, 9.5) ๐ = 2
๐ผ3 โก (5.25, 6.333) ๐ = 3
๐ผ4 โก (4.2, 4.75) ๐ = 4
๐ผ5 โก (3.5, 3.8) ๐ = 5
๐ผ6 โก (3, 3.16) ๐ = 6
๐ผ7 โก (2.625, 2.714) ๐ = 7
๐ผ8 โก (2.333, 2.375) ๐ = 8
๐ผ9 โก (2.1, 2.111) ๐ = 9
Per realizzare il campionamento alla minima frequenza si richiede quindi
una tolleranza nella frequenza del generatore della funzione campionatrice
inferiore allo: 2,111 โ 2,12,111+2,1
2
โ 100 = 0,53%
Esempio 9.3
Un'interessante applicazione del campionamento si riscontra nel funzio-
namento degli oscilloscopi campionatori tramite i quali รจ possibile rappre-
CAPITOLO - 9 - Il Campionamento dei Segnali - 193
sentare segnali periodici anche quando il loro contenuto armonico supera
l'ampiezza di banda propria dello strumento.
Per chiarire il principio di funzionamento di dette apparecchiature si con-
sideri un segnale ๐ (๐ก) periodico di periodo ๐0 = 1 ๐0โ come mostra la Fig.E
9.1 dove si รจ rappresentato anche lo spettro che nel caso in questione รจ costi-
tuito dalle righe in blu centrate a ยฑ๐0, ยฑ2๐0, ยฑ3๐0.
Supponendo di campionare il segnale ๐ (๐ก) con una frequenza di campio-
namento ๐๐ inferiore a ๐0, cioรจ pari a ๐๐ = ๐ผ๐0, con 0 < ๐ผ < 1 (nella figura
si รจ scelto ๐ผ = 0,9) si ottiene un segnale campionato il cui spettro ๐๐(๐) รจ
costituito dalla ripetizione periodica, con periodo ๐๐, di quello ๐(๐) di ๐ (๐ก).
Precisamente
๐๐(๐) = โ ๐(๐ โ ๐๐๐)
โ
๐=โโ
Lo spettro di ๐ (๐ก) รจ a righe in quanto periodico. La prima armonica di ๐ (๐ก)
genera in ๐๐(๐) una sequenza di delta di Dirac della sua stessa ampiezza
centrate alle frequenze ๐0 โ ๐๐๐ = (1 โ ๐๐ผ)๐0, ๐ โ โ.
Le altre componenti armoniche genereranno a loro volta delle ulteriori
sequenze di righe spettrali. Di conseguenza lo spettro del segnale campiona-
to si presenta come รจ indicato nella stessa Fig.E 9.1 in cui ogni ripetizione
dello spettro รจ stata riportata con un colore diverso.
Filtrando il segnale campionato mediante un filtro passabasso di banda ๐๐
2, che si suppone inferiore alla banda propria dello strumento, si ottiene un
segnale ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก) il cui spettro รจ costituito soltanto dalle righe di ๐๐(๐) apparte-
nenti all'intervallo (โ๐๐
2,๐๐
2) cioรจ quelle per cui รจ verificata la disuguaglian-
za:
โ๐ผ๐02โค ๐๐0 โ ๐๐ผ๐0 โค
๐ผ๐02
dalla quale si ricava che i valori di ๐ devono appartenere allโintervallo di mis
ura 1:
[๐
๐ผโ1
2,๐
๐ผ+1
2]
194 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
Purchรฉ gli estremi di tale intervallo non siano interi, cosa che non accade
se si sceglie un valore di ๐ผ che soddisfi la condizione:
๐ผ โ 2๐
2๐ + 1 ๐, ๐ โ โ
ad ogni valore di ๐ corrisponde un unico valore di ๐ = โ๐
๐ผ+
1
2โ. Cioรจ una so-
la ripetizione di una data armonica del segnale viene a cadere nell'intervallo
(โ๐๐
2,๐๐
2). L'armonica dโindice ๐ del segnale, di frequenza ๐๐0, viene quindi
riportata in una riga di pari ampiezza centrata alla frequenza:
๐๐โฒ = (๐ โ ๐ผ โ
๐
๐ผ+1
2โ) ๐0
Affinchรฉ il segnale all'uscita del filtro riproduca la forma di ๐ (๐ก) le righe
che cadono all'interno della banda (โ๐๐
2,๐๐
2) devono rispettare la sequenza
delle armoniche del segnale originario e devono essere tra loro spaziate di un
intervallo pari alla frequenza in cui viene riportata la prima armonica del se-
gnale.
Posto:
๐๐ = โ๐
๐ผ+1
2โ
Si deve cioรจ avere;
๐โฒ๐= ๐๐0
โฒ โ (๐ โ ๐ผ๐๐)๐0 = ๐(1 โ ๐ผ๐0)๐0 โ ๐๐ = ๐๐0
Fig.E 9.1
CAPITOLO - 9 - Il Campionamento dei Segnali - 195
che comporta per ๐ la seguente limitazione.
|๐ โ ๐ผ๐๐0| <๐ผ
2
o equivalentemente:
๐ <๐ผ
2|1 โ ๐ผ๐0|
ammesso che si sia scelto un valore ๐ผ che consenta di soddisfare la prece-
dente disuguaglianza per tutte le armoniche contenute nel segnale, ovvero
che le armoniche che non la soddisfano abbiano ampiezza trascurabile. Il se-
gnale ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก) ottenuto all'uscita del filtro assume la forma:
๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก) = โ ๐๐๐๐2๐๐(1โ๐ผ๐0)๐0๐ก
๐
๐=โ๐
dove ๐๐ rappresenta il generico coefficiente dello sviluppo in serie di Fourier
di ๐ (๐ก).
Ricostruzione del segnale passabanda. 9.7 -
Anche per i segnali passabanda si puรฒ dedurre una formula di ri-
costruzione del tipo della (9.1.8). Basta osservare che indicando con ๐๐
un possibile valore della frequenza di campionamento, la ripetizione pe-
riodica del segnale puรฒ essere sviluppata in serie di Fourier:
๐๐(๐) = โ ๐(๐ โ ๐๐๐)
โ
๐=โโ
= โ ๐ถ๐๐โ๐2๐
๐๐
๐๐
โ
๐=โโ
(9.7.1)
osservando che in ogni periodo ๐๐ di ๐๐(๐) cadono una sola ripetizione
di ๐โ(๐) e una di ๐+(๐), ๐ถ๐ puรฒ essere calcolato come segue:
๐ถ๐ = โซ ๐(๐)๐๐2๐๐๐
๐๐ ๐๐
โ๐0+๐๐4
โ๐0โ๐๐4
+ โซ ๐(๐)๐๐2๐๐๐
๐๐ ๐๐
๐0+๐๐4
๐0โ๐๐4
= ๐ (๐
๐๐) (9.7.2)
La trasformata del segnale vale:
๐(๐) =1
๐๐[โ (2
๐ โ ๐0๐๐
) +โ (2๐ + ๐0๐๐
)] โ ๐ (๐
๐๐) ๐
โ๐2๐๐๐
๐๐
โ
๐=โโ
(9.7.3)
quindi:
๐ (๐ก)
=1
๐๐โ ๐ (
๐
๐๐) [โซ ๐
๐2๐๐(๐กโ๐
๐๐)๐๐
โ๐0+๐๐4
โ๐0โ๐๐4
+โซ ๐๐2๐๐(๐กโ
๐
๐๐)๐๐
๐0+๐๐4
๐0โ๐๐4
]
โ
๐=โโ
(9.7.4)
196 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
Operando rispettivamente nel primo e nel secondo integrale le sostitu-
zioni:
๐ = ๐ โ ๐0; ๐ = ๐ + ๐0 (9.7.5)
la precedente puรฒ essere riscritta:
๐ (๐ก) =1
๐๐โ ๐ (
๐
๐๐) [๐
โ๐2๐๐0(๐กโ๐
๐๐)โซ ๐
๐2๐๐(๐กโ๐
๐๐)๐๐
๐๐4
โ๐๐4
โ
๐=โโ
+
+๐๐2๐๐0(๐กโ
๐
๐๐)โซ ๐
๐2๐๐(๐กโ๐
๐๐)๐๐
๐๐4
โ๐๐4
] =
=2
๐๐โ ๐ (
๐
๐๐) cos [2๐๐0 (๐ก โ
๐
๐๐)]โซ ๐
๐2๐๐(๐กโ๐
๐๐)๐๐
๐๐4
โ๐๐4
โ
๐=โโ
(9.7.6)
In definitiva quindi si ottiene:
๐ (๐ก) = โ ๐ (๐
๐๐) cos [2๐๐0 (๐ก โ
๐
๐๐)] sinc [
๐๐2(๐ก โ
๐
๐๐)]
โ
๐=โโ
(9.7.7)
che rappresenta la formula di ricostruzione per i segnali passabanda.
Campionamento del secondo ordine. 9.8 -
Dalle (9.1.8) e (9.7.7) si deduce che la ricostruzione di un segnale
a banda limitata รจ possibile a partire da una sequenza di valori campio-
nati ๐ (๐
๐๐); tale tipo di campionamento prende il nome di campionamen-
to del primo ordine. ร anche possibile dedurre formule di ricostruzione
utilizzando due sequenze distinte di campioni, una ottenuta da ๐ (๐ก), l'al-
tra da una sua opportuna trasformazione.
Segnali passabasso.
Sia ๐ (๐ก) un segnale passabasso di banda ๐๐. Il segnale analitico
๐ง(๐ก) ad esso associato รจ:
๐ง(๐ก) = ๐ (๐ก) + ๐๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก) (9.8.1)
dove ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก) รจ la trasformata di Hilbert di ๐ (๐ก). Poichรฉ, comโรจ noto, lo
spettro di ๐ง(๐ก) รจ contenuto nell'intervallo (0, ๐๐), si ha (vedi Fig. 9.13):
๐(๐) =โ (๐
๐๐โ1
2) โ ๐(๐ โ ๐๐๐)
โ
๐=โโ
(9.8.2)
purchรฉ risulti:
CAPITOLO - 9 - Il Campionamento dei Segnali - 197
๐๐ โฅ ๐๐ (9.8.3)
la (9.8.2) si puรฒ anche scrivere nella forma:
๐(๐) =1
๐๐โ (
๐
๐๐โ1
2) โ ๐ง (
๐
๐๐) ๐
โ๐2๐๐๐
๐๐
โ
๐=โโ
(9.8.4)
Antitrasformando si ottiene quindi:
๐ง(๐ก) =1
๐๐โ ๐ง(
๐
๐๐)โซ โ (
๐
๐๐โ1
2) ๐
๐2๐๐(๐กโ๐
๐๐)๐๐
โ
โโ
=
โ
๐=โโ
=1
๐๐โ ๐ง(
๐
๐๐)โซ ๐
๐2๐๐(๐กโ๐
๐๐)๐๐
๐๐
0
=
โ
๐=โโ
โ ๐ง(๐
๐๐) sinc [๐๐ (๐ก โ
๐
๐๐)] ๐
๐๐๐๐(๐กโ๐
๐๐)
โ
๐=โโ
(9.8.5)
ma ๐ (๐ก) = Re[๐ง(๐ก)], pertanto:
๐ (๐ก) = โ ๐ (๐
๐๐) sinc [๐๐ (๐ก โ
๐
๐๐)] cos [๐๐๐ (๐ก โ
๐
๐๐)] +
โ
๐=โโ
โ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ (๐
๐๐) sinc [๐๐ (๐ก โ
๐
๐๐)] sin [๐๐๐ (๐ก โ
๐
๐๐)]
โ
๐=โโ
(9.8.6)
che รจ la formula di ricostruzione del segnale a partire da due diverse se-
quenze di campioni ottenuti da ๐ (๐ก) e da ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก) rispettivamente.
La minima possibile frequenza di campionamento, in questo ca-
so, รจ pari alla banda del segnale ๐ (๐ก) quindi รจ la metร di quella minima
per il campionamento del primo ordine. Tuttavia va sottolineato il fatto
che il numero minimo di campioni al secondo per poter effettuare la ri-
Fig. 9.13 - - Ripetizione periodica dello spettro del segnale analitico.
198 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
costruzione รจ ancora una volta pari a 2๐๐; ne occorrono infatti almeno
๐๐ al secondo per la sequenza ottenuta da ๐ (๐ก) ed altrettanti per quella
ottenuta da ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก). L'unico vantaggio nell'impiego di questo tipo di cam-
pionamento รจ quello di poter utilizzare dei campionatori a frequenza in-
feriore a condizione perรฒ di disporre di un sistema in grado di generare
la trasformata di Hilbert del segnale.
Segnali passabanda.
Le considerazioni sopra svolte possono essere estese al caso di
segnali passabanda. In questo caso ๐(๐) รจ contenuto nell'intervallo
(๐1, ๐2). Pertanto pur di scegliere:
๐๐ โฅ ๐2 โ ๐1 (9.8.7)
si puรฒ scrivere:
๐(๐) =1
๐๐โ (
๐ โ ๐0๐๐
) โ ๐ง (๐
๐๐) ๐
โ๐2๐๐๐
๐๐
โ
๐=โโ
(9.8.8)
che antitrasformata fornisce:
๐ง(๐ก) =1
๐๐โ ๐ง(
๐
๐๐)โซ ๐
๐2๐๐(๐กโ๐
๐๐)๐๐
๐0+๐๐2
๐0โ๐๐2
โ
๐=โโ
(9.8.9)
Effettuando la sostituzione di variabile ๐ = ๐0 + ๐ si ottiene:
๐ง(๐ก) =1
๐๐โ ๐ง(
๐
๐๐) ๐
๐2๐๐0(๐กโ๐
๐๐)โซ ๐
๐2๐๐(๐กโ๐
๐๐)๐๐
๐๐2
โ๐๐2
โ
๐=โโ
=
= โ ๐ง (๐
๐๐) sinc [๐๐ (๐ก โ
๐
๐๐)] ๐
๐2๐๐0(๐กโ๐
๐๐)
โ
๐=โโ
(9.8.10)
Prendendo infine la parte reale della precedente si ha:
๐ (๐ก) = โ ๐ (๐
๐๐) sinc [๐๐ (๐ก โ
๐
๐๐)] cos [2๐๐0 (๐ก โ
๐
๐๐)] +
โ
๐=โโ
โ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ (๐
๐๐) sinc [๐๐ (๐ก โ
๐
๐๐)] sin [2๐๐0 (๐ก โ
๐
๐๐)]
โ
๐=โโ
(9.8.11)
che permette di ricostruire un segnale passabanda dai campioni di ๐ (๐ก) e
di ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก). Si noti che la frequenza di campionamento รจ dell'ordine della
CAPITOLO - 9 - Il Campionamento dei Segnali - 199
banda del segnale e quindi risulta molto inferiore a quella necessaria per
il campionamento del primo ordine.
In questo caso, inoltre, l'unica limitazione sulla scelta della fre-
quenza di campionamento รจ fornita dalla (9.8.7), a differenza del cam-
pionamento del primo ordine dei segnali passabanda, in cui รจ invece ne-
cessario scegliere frequenze di campionamento appartenenti ad oppor-
tuni intervalli.
CAPITOLO - 10
SEGNALI A TEMPO DISCRETO
Segnali a tempo discreto. Energia e potenza specifica. 10.1 -
Un segnale a tempo discreto รจ rappresentato da una funzione rea-
le o complessa ๐ (๐ก๐) definita su un insieme, al piรน numerabile, di istanti
di tempo. In quel che segue la successione degli istanti ๐ก๐ si suppone re-
golare, cioรจ si suppone che:
๐ก๐ = ๐๐; ๐ โ โค (10.1.1)
dove ๐ รจ detto quanto temporale.
Assumendo che ๐ (๐ก๐) valga zero in corrispondenza di tutti i valo-
ri dell'indice in cui non รจ altrimenti definito, si dice che il segnale รจ ad
energia specifica finita se la quantitร :
๐ธ = ๐ โ |๐ (๐๐)|2โ
๐=โโ
(10.1.2)
รจ finita. Nel caso in cui sia finita la quantitร :
๐ = lim๐โโ
1
2๐ + 1โ |๐ (๐๐)|2๐
๐=โ๐
(10.1.3)
si dice che il segnale รจ a potenza specifica finita.
Risulta evidente che, come per il caso dei segnali a tempo conti-
nuo, un segnale a tempo discreto a potenza specifica finita, ha energia
specifica infinita; un segnale ad energia finita ha potenza specifica nulla.
Esempio 10.1
Il segnale Fig.E 10.1:
๐ข(๐๐) = {1; ๐ โฅ 00; ๐ < 0
costituisce il cosiddetto gra-
dino unitario a tempo discre-
to. Eโ un segnale a potenza
finita, dal momento che si
verifica facilmente che:
Fig.E 10.1
202 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
๐ = ๐๐๐๐โโ
1
2๐ + 1โ๐ข2(๐๐)
๐
๐=0
= ๐๐๐๐โโ
๐ + 1
2๐ + 1=1
2
Esempio 10.2
Il segnale (vedi Fig.E
10.2):
๐ฟ(๐๐) = {1; ๐ = 00; ๐ โ 0
รจ detto impulso unitario a
tempo discreto ed รจ un
segnale ad energia finita. Infatti:
๐ธ = ๐ โ ๐ฟ2(๐๐)
โ
๐=โโ
= ๐
Esempio 10.3
Si consideri il segnale:
๐ (๐๐) = ๐โ๐๐๐ข(๐๐), ๐ โ โ
La sua energia specifica
๐ธ = ๐โ |๐|โ2๐๐โ
๐=0
รจ finita, solo se la serie geometrica di ragione |๐|โ2๐ converge, cioรจ se risul-
ta |๐| > 1.
In tal caso si ha:
๐ธ =๐
1 โ |๐|โ2๐
Segnali periodici. 10.2 -
Un segnale ๐ (๐๐) si dice periodico se esistono interi positivi ๏ฟฝ๏ฟฝ
tali che risulti:
๐ (๐๐) = ๐ (๐๐ + ๐๏ฟฝ๏ฟฝ๐); โ๐ โ โค (10.2.1)
Detto ๐ = min{๏ฟฝ๏ฟฝ}, la quantitร ๐0 = ๐๐ si dice periodo principale del se-
gnale o semplicemente periodo.
Esempio 10.4
Il segnale
๐ (๐๐) = cos(2๐๐๐0๐)
รจ periodico se esistono ๏ฟฝ๏ฟฝ โ โ tali che risulti:
Fig.E 10.2
CAPITOLO - 10 - Segnali a Tempo Discreto - 203
cos(2๐๐๐0๐) = cos[2๐(๐ + ๏ฟฝ๏ฟฝ)๐0๐] ; โ๐ โ โค
Detta condizione รจ soddisfatta solo se
โ๐ โ โ | ๐0๐ =๐
๏ฟฝ๏ฟฝ
La quantitร ๐0๐ deve quindi essere un numero razionale. Il periodo principa-
le ๐0 = ๐๐ del segnale si determina riducendo ๐0๐ ai minimi termini: cioรจ
scrivendolo nella forma:
๐0๐ =๐โฒ
๐
con ๐โฒ e ๐ primi tra loro.
Si osservi che per qualsiasi intero ๐, รจ:
cos [2๐๐ (๐0 +๐
๐)๐] = cos(2๐๐๐0๐)
Ciรฒ significa che il campionamento dei due segnali a tempo continuo:
๐ 1(๐ก) = cos(2๐๐๐0๐ก) ; โ๐ 2(๐ก) = cos [2๐ (๐0 +๐
๐) ๐ก]
effettuato con passo ๐ produce la stessa sequenza di campioni (ambiguitร
della frequenza) come รจ mostrato in Fig.E 10.3.
L'energia specifica di un segnale periodico non identicamente nul-
lo รจ infinita.
Fig.E 10.3
204 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
Ci si rende inoltre facilmente conto del fatto che la potenza speci-
fica di un segnale periodico si puรฒ anche esprimere nella forma:
๐ =1
๐โ |๐ (๐๐)|2๐
๐=1
(10.2.2)
dalla quale si deduce che un segnale periodico รจ a potenza finita a meno
che non sia illimitato.
La trasformata discreta di Fourier 10.3 -
In quel che segue si mostrerร che il generico elemento di un se-
gnale periodico puรฒ essere espresso nella forma:
๐ (๐๐) = โ ๐๐๐๐2๐๐
๐๐
๐0
๐
๐=1
(10.3.1)
Quest'ultima, tenuto conto della definizione di T0 si puรฒ riscrivere:
๐ (๐๐) = โ ๐๐๐๐2๐
๐๐
๐
๐
๐=1
(10.3.2)
Infatti si osservi che un segnale periodico รจ univocamente deter-
minato da una ๐-upla ordinata di numeri complessi corrispondenti ai
valori assunti dal segnale in un periodo prefissato. In altri termini un se-
gnale periodico รจ univocamente individuato da un vettore in โ๐.
Si considerino i seguenti ๐ vettori in โ๐ riferiti alla sua base ca-
nonica:
๐๐ = [
1
โ๐๐๐2๐๐
1
๐1
โ๐๐๐2๐๐
2
๐ โฆ1
โ๐๐๐2๐๐
๐
๐]๐
โ;โโโโ
โโโm = 1,2,โฆ , ๐
(10.3.3)
Essi costituiscono una base ortonormale per โ๐, si ha infatti:
โจ๐๐ , ๐๐โฉ =1
๐โ๐๐2๐
๐๐
๐
๐
๐=1
๐โ๐2๐๐๐
๐ =1
๐โ๐๐2๐
(๐โ๐)๐
๐
๐
๐=1
=1
๐โ๐๐2๐
(๐โ๐)๐
๐
๐
๐=0
โ1
๐
= {
1; ๐ = ๐
1
๐
๐๐2๐(๐โ๐)(๐+1)
๐ โ 1
๐๐2๐(๐โ๐)
๐ โ 1โ1
๐= 0; ๐ โ ๐
(10.3.4)
CAPITOLO - 10 - Segnali a Tempo Discreto - 205
Pertanto ogni elemento ๐ โ โ๐ si puรฒ univocamente esprimere
nella seguente forma:
๐ = โโจ๐, ๐๐โฉ๐๐
๐
๐=1
(10.3.5)
La generica componente di ๐ rispetto alla base canonica vale
quindi:
๐ ๐ = โโจ๐, ๐๐โฉ1
โ๐๐๐2๐
๐๐
๐
๐
๐=1
; ๐ = 1,2, โฆ , ๐ (10.3.6)
La (10.3.6)dal momento che per 1 โค ๐ โค ๐ risulta ๐ ๐ = ๐ (๐๐) si
identifica con la (10.3.2) qualora si ponga:
๐๐ =1
๐โ๐ (๐๐)๐โ๐2๐
๐๐
๐ ;
๐
๐=1
๐ = 1,2, โฆ , ๐ (10.3.7)
Si osservi che ๐๐ puรฒ essere interpretato come il generico ele-
mento di una sequenza {๐๐} periodica di periodo ๐ essendo:
๐๐+๐ =
1
๐โ๐ (๐๐)๐โ๐2๐(๐+๐)
๐
๐
๐
๐=1
=1
๐โ๐ (๐๐)๐โ๐2๐
๐๐
๐
๐
๐=1
= ๐๐
(10.3.8)
La (10.3.2) ricorda l'espansione in serie di Fourier di un segnale
periodico a tempo continuo. ร da osservare tuttavia che, mentre l'e-
spansione in serie di Fourier dei segnali periodici a tempo continuo con-
tiene una infinitร numerabile di funzioni del tipo ๐๐2๐๐๐ก ๐0โ , nella (10.3.2)
compaiono soltanto gli ๐ esponenziali ๐๐2๐๐๐/๐.
Si osservi inoltre che, in virtรน della periodicitร del segnale ๐ (๐๐),
della sequenza {๐๐} e dei fattori ๐ยฑ๐2๐๐๐/๐ rispetto agli indici ๐ e ๐, le
somme che compaiono nelle (10.3.1), (10.3.2) e (10.3.7) possono partire
da un indice qualsiasi purchรฉ siano estese a ๐ termini consecutivi.
Normalizzando il quanto temporale, cioรจ ponendo ๐ = 1, la
(10.3.1) e la (10.3.7) si riscrivono:
206 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
{
๐ ๐ = โ ๐๐๐
๐2๐๐๐
๐ ; ๐ = 1,2, โฆ , ๐
๐
๐=1
๐๐ =1
๐โ๐ ๐๐
โ๐2๐๐๐
๐ ; ๐ = 1,2, โฆ , ๐
๐
๐=1
(10.3.9)
che mettono in corrispondenza due sequenze periodiche definite in do-
mini distinti.
Esempio 10.5
Si consideri il segnale a tempo discreto, periodico di periodo NT , che,
nel suo periodo fondamentale, รจ definito dalla:
๐ (๐๐) = ๐๐๐; |๐| < 1, ๐ = 0,1,2,โฆ , ๐ โ 1
I coefficienti del suo sviluppo valgono:
๐๐ =1
๐โ ๐๐๐๐โ๐
2๐๐๐
๐
๐โ1
๐=0
=1
๐โ (๐๐๐โ๐
2๐๐
๐ )๐
๐โ1
๐=0
=1
๐
๐๐๐ โ 1
๐๐๐โ๐2๐๐
๐ โ 1
=1
๐
1 โ ๐๐๐
1 โ ๐๐ [cos (2๐๐
๐) โ ๐ sin (
2๐๐
๐)]=
=1
๐
1 โ ๐๐๐
โ1 โ 2๐๐ cos (2๐๐
๐) + ๐2๐
โ ๐(โjโ arctg
๐๐ sin(2๐๐๐
)
1โ๐๐ cos(2๐๐๐
))
Segnali ad energia finita.
Sia ๐ (๐๐) un segnale a tempo discreto ad energia finita. Ad esso,
per un assegnato valore ๐, che senza ledere la generalitร supporremo
pari, si puรฒ associare il segnale troncato definito dalla:
๐ ๐(๐๐) = {๐ (๐๐); ๐ = โ
๐
2,โฆ ,
๐
2โ 1
0; ๐๐๐ก๐๐๐ฃ๐ (10.3.10)
ed il segnale ๏ฟฝ๏ฟฝ๐(๐๐) ottenuto ripetendo periodicamente, con periodicitร
๐๐, il segnale ๐ ๐(๐๐):
๏ฟฝ๏ฟฝ๐(๐๐) = โ ๐ ๐(๐๐ + ๐๐๐)
โ
๐=โโ
(10.3.11)
CAPITOLO - 10 - Segnali a Tempo Discreto - 207
Poichรฉ il segnale ๏ฟฝ๏ฟฝ๐(๐๐) รจ periodico, puรฒ per la (10.3.2), essere
scritto:
๏ฟฝ๏ฟฝ๐(๐๐) = โ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐๐
๐
2โ1
๐=โ๐
2
๐๐2๐๐๐
๐ ; ๐ = โ๐
2,โฆ ,
๐
2โ 1 (10.3.12)
dove
๏ฟฝ๏ฟฝ๐๐ =1
๐โ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐(๐๐)
๐
2โ1
๐=โ๐
2
๐โ๐2๐๐๐
๐ ; ๐ = โ๐
2,โฆ ,
๐
2โ 1 (10.3.13)
Sostituendo la (10.3.13) nella (10.3.12) si perviene alla:
๏ฟฝ๏ฟฝ๐(๐๐) = ๐ โ (1
๐๐โ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐(๐๐)๐
โ๐2๐๐๐
๐
๐
2โ1
๐=โ๐
2
)๐๐2๐๐๐
๐
๐
2โ1
๐=โ๐
2
(10.3.14)
Si osservi che al crescere di ๐ il segnale ๏ฟฝ๏ฟฝ๐(๐๐) tende a ๐ (๐๐) e i
coefficienti ๏ฟฝ๏ฟฝ๐๐ assumono valori sempre piรน piccoli a causa del fattore 1
๐. Inoltre, gli esponenziali ๐๐2๐๐๐ ๐โ , rappresentando le radici ๐-esime
dell'unitร , giacciono sulla circonferenza di centro l'origine e raggio unita-
rio del piano complesso, indipendentemente dal valore di ๐.
Al crescere di ๐, detti punti tendono a ricoprire completamente
detta circonferenza. Di conseguenza, al limite, la quantitร ๐
๐๐ tende a
confondersi con una variabile continua. Ponendo allora al limite:
๐
๐๐โ ๐;
1
๐๐โ ๐๐ (10.3.15)
la (10.3.14), per ๐ โ โ, si puรฒ scrivere:
๐ (๐๐) = ๐โซ ( โ ๐ (๐๐)๐โ๐2๐๐๐๐โ
๐=โโ
) ๐๐2๐๐๐๐๐๐
1
2๐
โ1
2๐
(10.3.16)
che, ponendo
๐(๐) = ๐ โ ๐ (๐๐)๐โ๐2๐๐๐๐โ
๐=โโ
(10.3.17)
208 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
assume la forma:
๐ (๐๐) = โซ ๐(๐)๐๐2๐๐๐๐๐๐
1
2๐
โ1
2๐
(10.3.18)
Le (10.3.17) e (10.3.18) costituiscono rispettivamente la trasfor-
mata e l'antitrasformata di Fourier di un segnale a tempo discreto a
energia finita.
Un segnale a tempo discreto definisce una sequenza numerica
{๐ ๐}, il cui generico elemento si ottiene ponendo ๐ ๐ = ๐ (๐๐). Le
(10.3.17) e (10.3.18), ponendo ๐ = 1 e ๐ =๐
๐, si possono facilmente
reinterpretare come trasformazioni che associano ad una sequenza nu-
merica una funzione di una variabile continua.
Si ottiene:
๐(๐) = โ ๐ ๐๐โ๐2๐๐๐
โ
๐=โโ
(10.3.19)
e
๐ ๐ = โซ ๐(๐)๐๐2๐๐๐๐๐
1
2
โ1
2
(10.3.20)
Si noti che, a differenza dei segnali a tempo continuo, la funzione
๐(๐) รจ periodica in ๐ di periodo 1. Infatti, per ogni intero ๐, si puรฒ scri-
vere:
๐(๐ + ๐) = โ ๐ ๐๐โ๐2๐๐(๐+๐)
โ
๐=โโ
= โ ๐ ๐๐โ๐2๐๐๐
โ
๐=โโ
= ๐(๐) (10.3.21)
Ciรฒ comporta che l'integrale nella (10.3.20) puรฒ essere esteso ad un
qualsiasi intervallo purchรฉ di ampiezza unitaria.
Esempio 10.6
La sequenza ๐ฟ๐, definita nellEsempio 10.2 ammette trasformata di Fourier
data dalla:
๐(๐) = โ ๐ฟ๐๐โ๐2๐๐๐
โ
๐=โโ
= 1
CAPITOLO - 10 - Segnali a Tempo Discreto - 209
Esempio 10.7
La trasformata di Fourier normalizzata del segnale:
๐ ๐ = ๐๐u๐, 0<a<1
dove u๐ รจ il gradino unitario, vale:
๐(๐) = โ ๐๐๐โ๐2๐๐๐โ
๐=0=
โ (๐๐โ๐2๐๐)๐โ
๐=0=
1
1โ๐๐โ๐2๐๐=
1
โ1โ2arccos(2๐๐)+๐2๐[โ๐arctg(
arcsin(2๐๐)
1โarccos(2๐๐))]
il cui modulo ad argomento sono riportati in
Fig.E 10.4.
Esempio 10.8
La trasformata di Fourier della sequenza:
๐ ๐ = {1; |๐| โค ๐0; |๐| > ๐
= ๐ข๐+๐ โ ๐ข๐โ๐
รจ data dalla:
๐(๐) = โ ๐โ๐2๐๐๐๐
๐=โ๐
= โ๐๐2๐๐๐๐
๐=0
+โ๐โ๐2๐๐๐๐
๐=0
โ 1
= {
sin[๐(2๐ + 1)๐]
sin(๐๐); ๐ โ โค
2๐ + 1; ๐ โ โค
ed รจ riportata in Fig.E 10.5
Segnali a potenza finita. 10.4 -
Sia {๐ ๐} una sequenza a potenza finita. Ad essa si puรฒ formalmen-
te associare la trasformata di Fou-
rier (10.3.19) e la corrispondente
antitrasformata (10.3.20). Tuttavia
la serie bilatera che compare nella
(10.3.19) non converge in senso
ordinario. Essa puรฒ tuttavia essere
reinterpretata come una distribu-
zione.
Esempio 10.9
Sia data la sequenza costante:
๐ ๐ = 1
Fig.E 10.4
Fig.E 10.5
210 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
la sua trasformata di Fourier vale:
๐(๐) = โ ๐โ๐2๐๐๐โ
๐=โโ
= โ ๐ฟ(๐ โ ๐)
โ
๐=โโ
per ottenere la quale si รจ applicata la formula di Poisson.
Esempio 10.10
Sia data la sequenza:
๐ ๐ = ๐ยฑ๐2๐๐๐0
la sua trasformata di Fourier vale:
๐(๐) = โ ๐โ๐2๐๐(๐โ๐0)โ
๐=โโ
= โ ๐ฟ(๐ โ ๐0 โ ๐)
โ
๐=โโ
Esempio 10.11
Siano date le sequenze:
๐ฅ๐ = cos(2๐๐๐0)๐ฆ๐ = sin(2๐๐๐0)
poichรฉ risulta rispettivamente:
๐ฅ๐ =1
2๐๐2๐๐๐0 +
1
2๐โ๐2๐๐๐0
๐ฆ๐ =1
2๐๐๐2๐๐๐0 โ
1
2๐๐โ๐2๐๐๐0
tenendo conto del risultato dell'esempio precedente si ottiene per le rispettive
trasformate di Fourier:
๐(๐) =1
2( โ ๐ฟ(๐ โ ๐0 โ ๐) + โ ๐ฟ(๐ + ๐0 โ ๐)
โ
๐=โโ
โ
๐=โโ
)
๐(๐) =1
2๐( โ ๐ฟ(๐ โ ๐0 โ ๐) โ โ ๐ฟ(๐ + ๐0 โ ๐)
โ
๐=โโ
โ
๐=โโ
)
Esempio 10.12
Sia data la sequenza:
๐ ๐(๐) = ๐โ๐๐๐ข๐ โ ๐
๐๐๐ขโ๐; ๐ > 0
la sua trasformata di Fourier vale:
๐(๐, ๐) = โ ๐โ๐๐๐โ๐2๐๐๐โ
๐=0
โ โ ๐๐๐๐โ๐2๐๐๐0
๐=โโ
=1
1 โ ๐โ(๐+๐2๐๐)โ
1
1 โ ๐โ(๐โ๐2๐๐)
CAPITOLO - 10 - Segnali a Tempo Discreto - 211
Esempio 10.13
Sia data la sequenza ๐ ๐๐๐ cosi definita:
sgm๐ = ๐ข๐ โ ๐ขโ๐
poichรฉ risulta (vedi Esempio 10.12):
sgm๐ = lim๐โ0
๐ ๐(๐)
la sua trasformata di Fourier si puรฒ scrivere:
๐[sgm๐] = lim๐โ0
๐(๐, ๐) = lim๐โ0
(1
1 โ ๐โ(๐+๐2๐๐)โ
1
1 โ ๐โ(๐โ๐2๐๐)) =
=1
1 โ ๐โ๐2๐๐โ
1
1 โ ๐๐2๐๐=
โ๐sin(2๐๐)
1 โ cos(2๐๐)
Esempio 10.14
Sia data la sequenza gradino unitario un. Poichรฉ risulta:
๐ข๐ =1
2+1
2sgm๐ +
1
2๐ฟ๐
in base agli esempi precedenti la sua trasformata di Fourier vale:
๐(๐) =1
2โ ๐ฟ(๐ โ ๐)
โ
๐=โโ
+1
2
1 โ ๐๐2๐๐
1 โ cos(2๐๐)
Proprietร della trasformata di Fourier di un segnale a 10.5 - tempo discreto.
Le proprietร della trasformata di Fourier di un segnale a tempo
discreto sono riassunte nella Tabella 10.1. Per esse vengono omesse le
dimostrazioni, essendo del tutto analoghe a quelle relative alla trasfor-
mata di Fourier dei segnali a tempo continuo.
Si noti che nel campo dei segnali a tempo discreto l'operazione di
derivazione รจ sostituita con l'operazione differenza, la quale si distingue
in differenza in avanti (forward difference) e differenza all'indietro (backward
difference)
a) ๐ฅ๐ (๐๐) = ๐ ((๐ + 1)๐) โ ๐ (๐๐) (10.5.1)
b) ๐ป๐ (๐๐) = ๐ (๐๐) โ ๐ ((๐ โ 1)๐)
Applicando la proprietร di traslazione in ๐, le trasformate di Fou-
rier dei segnali ๐ฅ๐ (๐๐) e ๐ป๐ (๐๐) valgono rispettivamente:
a) ๐[๐ฅ๐ (๐๐)] = (๐๐2๐๐๐ โ 1)๐(๐) (10.5.2)
b) ๐[๐ป๐ (๐๐)] = (1 โ ๐โ๐2๐๐๐)๐(๐)
212 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
essendo ๐(๐) la trasformata di ๐ (๐๐).
In maniera analoga possono definirsi le differenze seconde:
a) ๐ฅ2๐ (๐๐) = ๐ฅ๐ ((๐ + 1)๐) โ ๐ฅ๐ (๐๐)
= ๐ ((๐ + 2)๐) โ 2๐ ((๐ + 1)๐) + ๐ (๐๐) (10.5.3)
Tabella 10.1
Proprietร della trasformata di Fourier di un segnale a tempo discreto
Proprietร Segnale Trasformata
Linearitร โ๐๐๐ ๐(๐๐)
๐
๐=1
โ๐๐๐๐(๐)
๐
๐=1
Segnale coniugato ๐ โ(๐๐) ๐โ(โ๐)
Trasformata co-
niugata ๐ โ(โ๐๐) ๐โ(๐)
Traslazione in n ๐ ((๐ โ ๐0)๐) ๐โ๐2๐๐0๐๐๐(๐)
Traslazione in f ๐๐2๐๐๐0๐๐ (๐๐) ๐(๐ โ ๐0)
Differenza in avan-
ti ๐ฅ๐ (๐๐) [๐๐2๐๐๐ โ 1]๐(๐)
Differenza all'in-
dietro ๐ป๐ (๐๐) [1 โ ๐โ๐2๐๐๐]๐(๐)
Derivazione nel
dominio della fre-
quenza
(โ๐2๐๐๐)๐๐ (๐๐) ๐๐๐(๐)
๐๐๐
Convoluzione in ๐
๐ โ ๐ 1(๐๐)๐ 2((๐ โ ๐)๐)
โ
๐=โโ
๐ โ ๐ 1((๐ โ ๐)๐)๐ 2(๐๐)
โ
๐=โโ
๐1(๐) โ ๐2(๐)
Convoluzione in ๐ ๐ 1(๐๐) โ ๐ 2(๐๐)
โซ ๐1(๐)๐2(๐ โ ๐)๐๐
1
2
โ1
2
โซ ๐1(๐ โ ๐)๐2(๐)๐๐
1
2
โ1
2
CAPITOLO - 10 - Segnali a Tempo Discreto - 213
b) ๐ป2๐ (๐๐) = ๐ป๐ (๐๐) โ ๐ป๐ ((๐ โ 1)๐)
= ๐ (๐๐) โ 2๐ ((๐ โ 1)๐) + ๐ ((๐ โ 2)๐)
alle quali corrispondono le rispettive trasformate:
a) ๐[๐ฅ2๐ (๐๐)] = (๐๐4๐๐๐ โ 2๐๐2๐๐๐ + 1)๐(๐)
= (๐๐2๐๐๐ โ 1)2๐(๐)
(10.5.4)
b) ๐[๐ป2๐ (๐๐)] = (1 โ 2๐โ๐2๐๐๐ + ๐โ๐4๐๐๐)๐(๐)
= (1 โ ๐โ๐2๐๐๐)2๐(๐)
Piรน in generale, per le differenze di ordine ๐ puรฒ scriversi:
a) ๐[๐ฅ๐๐ (๐๐)] = (๐๐2๐๐๐ โ 1)๐น[๐ฅ๐โ1๐ (๐๐)]
= (๐๐2๐๐๐ โ 1)๐๐(๐)
(10.5.5)
(10.5.6) b)
๐[๐ป๐๐ (๐๐)] = (1 โ ๐โ๐2๐๐๐)๐น[๐ป๐โ1๐ (๐๐)]
= (1 โ ๐โ๐2๐๐๐)๐๐(๐)
Funzioni di correlazione e densitร spettrali. 10.6 -
Procedendo in maniera analoga al caso dei segnali a tempo conti-
nuo, possono essere definite le funzioni di correlazione e le corrispon-
denti densitร spettrali per i segnali a tempo discreto.
- Segnali periodici.
Siano ๐ 1(๐๐) e ๐ 2(๐๐) due segnali a tempo discreto, generalmente
complessi, periodici, aventi lo stesso periodo ๐๐. Le quantitร
a) ๐พ12(๐๐) =1
๐โ๐ 1((๐ + ๐)๐)๐ 2
โ(๐๐)
๐
๐=1
(10.6.1)
b) ๐พ21(๐๐) =1
๐โ๐ 2((๐ + ๐)๐)๐ 1
โ(๐๐)
๐
๐=1
sono le correlazioni incrociate a tempo discreto fra i segnali ๐ 1(๐๐) e
๐ 2(๐๐). Si ha:
๐พ21(โ๐๐) =1
๐โ๐ 2((๐ โ ๐)๐)๐ 1
โ(๐๐)
๐
๐=1
= (10.6.2)
214 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
=1
๐(โ๐ 1(๐๐)๐ 2
โ((๐ โ ๐)๐)
๐
๐=1
)
โ
=1
๐( โ ๐ 1((๐
โฒ โ ๐)๐)๐ 2โ(๐โฒ๐)
๐โ๐
๐โฒ=1โ๐
)
โ
=1
๐(โ ๐ 1((๐
โฒ โ ๐)๐)๐ 2โ(๐โฒ๐)
๐
๐โฒ=1
)
โ
= ๐พ12โ (๐๐)
dove si รจ posto ๐โฒ = ๐ โ ๐ e si รจ tenuto conto della periodicitร .
Le correlazioni ๐พ12(๐๐) e ๐พ21(๐๐) sono entrambe periodiche di
periodo ๐๐; esse pertanto risultano sviluppabili in serie di Fourier. Il ge-
nerico coefficiente dello sviluppo di ๐พ12(๐๐) vale:
๐ค12๐ =1
๐โ๐พ12(๐๐)๐
โ๐2๐๐๐
๐
๐
๐=1
=1
๐2โ(โ๐ 1((๐ + ๐)๐)๐ 2
โ(๐๐)
๐
๐=1
)๐โ๐2๐๐๐
๐
๐
๐=1
=1
๐2โ๐ 2
โ(๐๐)
๐
๐=1
(โ๐ 1((๐ + ๐)๐)๐โ๐
2๐๐๐
๐
๐
๐=1
)
=1
๐2โ๐ 2
โ(๐๐)๐๐2๐๐๐
๐
๐
๐=1
โ๐ 1((๐ + ๐)๐)๐โ๐
2๐๐(๐+๐)
๐
๐
๐=1
=1
๐โ๐ 2
โ(๐๐)
๐
๐=1
๐๐2๐๐๐
๐ โ 1
๐โ ๐ 1(๐
โฒ๐)๐โ๐2๐๐๐โฒ
๐
๐+๐
๐โฒ=1+๐
= ๐1๐ โ ๐2๐โ
(10.6.3)
avendo denotato con ๐1๐ e ๐2๐ i generici coefficienti degli sviluppi dei
segnali ๐ 1(๐๐) e ๐ 2(๐๐) rispettivamente.
In modo analogo si mostra che il generico coefficiente dello svi-
luppo di ๐พ21(๐๐) vale:
๐ค21๐ = ๐1๐โ โ ๐2๐ (10.6.4)
L'autocorrelazione tempo discreta si definisce come segue:
๐พ(๐๐) =1
๐โ๐ ((๐ + ๐)๐)๐ โ(๐๐)
๐
๐=1
(10.6.5)
il cui generico coefficiente del suo sviluppo in serie di Fourier รจ:
CAPITOLO - 10 - Segnali a Tempo Discreto - 215
๐ค๐ = ๐๐ โ ๐๐โ = |๐๐|
2 (10.6.6)
come discende immediatamente osservando che l'autocorrelazione si
puรฒ intendere come mutua correlazione tra un segnale e se stesso.
Dalla (10.6.5)si deduce facilmente l'espressione dell'elemento
๐พ(0)
๐พ(0) =1
๐โ๐ (๐๐)๐ โ (๐๐)
๐
๐=1
=1
๐โ|๐ (๐๐)|2๐
๐=1
(10.6.7)
che รจ uguale alla potenza specifica associata al segnale a tempo discreto
periodico.
Si ha pertanto:
1
๐โ |๐ (๐๐)|2๐
๐=1
= ๐พ(0) = โ ๐ค๐
๐
๐=1
= โ |๐๐|2
๐
๐=1
(10.6.8)
che รจ la formulazione del teorema di Parseval per i segnali periodici a
tempo discreto.
- Segnali ad energia finita.
Se ๐ 1(๐๐) e ๐ 2(๐๐) sono due segnali a tempo discreto ad energia
finita, le loro correlazioni incrociate sono definite dalle:
๐พ12(๐๐) = ๐ โ ๐ 1((๐ + ๐)๐)๐ 2โ(๐๐)
โ
๐=โโ
(10.6.9)
e
๐พ21(๐๐) = ๐ โ ๐ 2((๐ + ๐)๐)๐ 1โ(๐๐)
โ
๐=โโ
(10.6.10)
Risulta, come รจ facile verificare:
๐พ21(โ๐๐) = ๐พ12โ (๐๐) (10.6.11)
La trasformata di Fourier di ๐พ12(๐๐) vale:
216 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
๐ค12(๐) = ๐ โ ๐พ12(๐๐)๐โ๐2๐๐๐๐
โ
๐=โโ
= ๐2 โ ๐โ๐2๐๐๐๐ โ ๐ 1((๐ + ๐)๐)๐ 2โ(๐๐)
โ
๐=โโ
โ
๐=โโ
= ๐ โ ๐ 2โ(๐๐)๐๐2๐๐๐๐
โ
๐=โโ
โ ๐ โ ๐ 1((๐ + ๐)๐)๐โ๐2๐(๐+๐)๐๐
โ
๐=โโ
(10.6.12)
la quale, denotando con ๐1(๐) e ๐2(๐) rispettivamente le trasformate di
Fourier dei segnali ๐ 1(๐๐) e ๐ 2(๐๐), fornisce:
๐ค12(๐) = ๐1(๐) โ ๐2โ(๐) (10.6.13)
Analogamente si ha:
๐ค21(๐) = ๐1โ(๐) โ ๐2(๐) (10.6.14)
L'autocorrelazione a tempo discreto รจ definita dalla:
๐พ(๐๐) = ๐ โ ๐ ((๐ + ๐)๐)๐ โ(๐๐)
โ
๐=โโ
(10.6.15)
la cui trasformata di Fourier vale:
๐ค(๐) = ๐(๐)๐โ(๐) = |๐(๐)|2 (10.6.16)
che costituisce l'estensione del teorema di Wiener al caso di segnali a
tempo discreto.
Ponendo ๐ = 0 nella (10.6.15) si ha:
๐พ(0) = ๐ โ |๐ (๐๐)|2โ
๐=โโ
(10.6.17)
e di conseguenza:
๐ โ |๐ (๐๐)|2โ
๐=โโ
= โซ ๐ค(๐)๐๐
1
2๐
โ1
2๐
= โซ |๐(๐)|2๐๐
1
2๐
โ1
2๐
(10.6.18)
che costituisce l'espressione del Teorema di Parseval per i segnali a tem-
po discreto ad energia finita.
CAPITOLO - 10 - Segnali a Tempo Discreto - 217
- Segnali a potenza finita.
Dati due segnali, ๐ 1(๐๐) e ๐ 2(๐๐), a tempo discreto a potenza fi-
nita, ad essi si possono associare le seguenti correlazioni incrociate:
๐) ๐พ12(๐๐) = ๐ lim๐โโ
1
2๐ + 1โ ๐ 1((๐ + ๐)๐)๐ 2
โ(๐๐)
๐
๐=โ๐
๐) ๐พ21(๐๐) = ๐ lim๐โโ
1
2๐ + 1โ ๐ 2((๐ + ๐)๐)๐ 1
โ(๐๐)
๐
๐=โ๐
(10.6.19)
Le (10.6.19), con considerazioni analoghe a quelle viste per il caso
della mutua correlazione tra segnali a tempo continuo a potenza finita, si
possono riformulare, ottenendo:
๐) ๐พ12(๐๐) = lim๐โโ
๐พ๐12(๐๐)
2๐ + 1
๐) ๐พ21(๐๐) = lim๐โโ
๐พ๐21(๐๐)
2๐ + 1
(10.6.20)
in cui ๐พ๐21(๐๐) e ๐พ๐12(๐๐) sono le mutue correlazioni associate ai cor-
rispondenti segnali troncati definiti dalla:
๐ ๐(๐๐) = {๐ (๐๐); |๐| โค ๐0; |๐| > ๐
(10.6.21)
Seguendo una procedura analoga a quella adottata per i segnali a
tempo continuo si ottiene anche:
๐พ21(โ๐๐) = ๐พ12โ (๐๐) (10.6.22)
Le trasformate di Fourier delle funzioni di mutua correlazione ri-
spettivamente valgono:
a)
๐ค12(๐) = ๐ โ ๐พ12(๐๐)๐โ๐2๐๐๐๐
โ
๐=โโ
= ๐ โ ๐โ๐2๐๐๐๐ lim๐โโ
๐พ๐12(๐๐)
2๐ + 1
โ
๐=โโ
=
(10.6.23)
218 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
= ๐2 lim๐โโ
1
2๐ + 1โ โ ๐ 1๐((๐
โ
๐=โโ
โ
๐=โโ
+ ๐)๐)๐ 2๐โ (๐๐) ๐โ๐2๐๐๐๐
= ๐2 lim๐โโ
1
2๐ + 1โ ๐ 2๐
โ (๐๐)๐๐2๐๐๐๐ โ ๐ 1๐((๐
โ
๐=โโ
โ
๐=โโ
+ ๐)๐) ๐โ๐2๐(๐+๐)๐๐ = lim๐โโ
๐1๐(๐)๐2๐โ (๐)
2๐ + 1;
b) ๐ค21(๐) = lim๐โโ
๐2๐(๐)๐1๐โ (๐)
2๐ + 1
Per l'autocorrelazione a tempo discreto si ha ovviamente:
๐พ(๐๐) = lim๐โโ
๐พ๐(๐๐)
2๐ + 1 (10.6.24)
e la sua trasformata di Fourier vale:
๐ค(๐) = lim๐โโ
๐๐(๐)๐๐โ (๐)
2๐ + 1= lim
๐โโ
|๐๐(๐)|2
2๐ + 1 (10.6.25)
Ponendo ๐ = 0 nella (10.6.24)si ha:
๐พ(0) = lim๐โโ
๐พ๐(0)
2๐ + 1= ๐ lim
๐โโ
1
2๐ + 1โ |๐ ๐(๐๐)|
2
โ
๐=โโ
(10.6.26)
di conseguenza:
๐ lim๐โโ
1
2๐ + 1โ |๐ ๐(๐๐)|
2 =
โ
๐=โโ
โซ ๐ค(๐)๐๐
1
2๐
โ1
2๐
= โซ lim๐โโ
|๐๐(๐)|2
2๐ + 1๐๐
1
2๐
โ1
2๐
(10.6.27)
che รจ la formulazione del teorema di Parseval per i segnali a tempo di-
screto a potenza finita.
CAPITOLO - 11
TRASFORMAZIONI LINEARI DISCRETE
Studio nel dominio del tempo 11.1 -
Nei sistemi numerici i segnali che intervengono in ingresso e in
uscita sono dei segnali tempo discreti denotati con ๐ฅ(๐๐) e ๐ฆ(๐๐) rispet-
tivamente. In quel che segue รจ conveniente normalizzare il quanto tem-
porale ๐ ponendo ๐ = 1. Questo comporta che ci si riferisce a sequenze
numeriche ๐ฅ๐ e ๐ฆ๐ in uscita. e il sistema numerico รจ caratterizzato dalla
seguente trasformazione lineare:
๐ฆ๐ = ๐{๐ฅ๐} (11.1.1)
Come nel caso dei sistemi lineari analogici, per caratterizzare la
trasformazione ๐ basta esprimere il segnale in ingresso nella forma:
๐ฅ๐ = โ ๐ฅ๐๐ฟ๐โ๐
โ
๐=โ
(11.1.2)
essendo ๐ฟ๐ la sequenza impulsiva definita dalla:
๐ฟ๐ = {1; ๐ = 00; ๐ โ 0
(11.1.3)
Se la trasformazione ๐ รจ lineare, risulta:
๐ฆ๐ = โ ๐ฅ๐๐{๐ฟ๐โ๐}
โ
๐=โ
(11.1.4)
la quale, ponendo:
โ๐,๐ = ๐{๐ฟ๐โ๐} (11.1.5)
assume la forma:
๐ฆ๐ = โ ๐ฅ๐
โ
๐=โ
โ๐,๐ (11.1.6)
La sequenza โ๐,๐ , definita dalla (11.1.5), corrisponde alla risposta
del sistema quando al suo ingresso รจ applicata la sequenza impulsiva
(11.1.3) ritardata di ๐ passi e pertanto costituisce la cosiddetta risposta im-
220 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
pulsiva del sistema.
Se la trasformazione ๐ oltre che lineare รจ anche tempo invariante,
la (11.1.6) diviene:
๐ฆ๐ = โ ๐ฅ๐
โ
๐=โ
โ๐โ๐ = โ ๐ฅ๐โ๐
โ
๐=โ
โ๐ (11.1.7)
essendo:
โ๐ = ๐{๐ฟ๐} (11.1.8)
In sostanza, come per i sistemi a tempo continuo, il segnale in uscita da
un sistema discreto lineare e tempo invariante si ottiene dalla convolu-
zione della sequenza dโingresso con la risposta impulsiva โ๐.
Nel caso di sistemi discreti la condizione di causalitร comporta:
โ๐,๐ = 0 ๐๐๐ ๐ < ๐ (11.1.9)
che, nel caso di trasformazioni tempo invarianti, si semplifica nella:
โ๐ = 0 ๐๐๐ ๐ < 0 (11.1.10)
Per sistemi causali tempo varianti la (11.1.6) diventa:
๐ฆ๐ = โ ๐ฅ๐
๐
๐=โ
โ๐,๐ (11.1.11)
e per sistemi tempo invarianti la (I.43) si semplifica nella:
๐ฆ๐ = โ ๐ฅ๐
๐
๐=โ
โ๐โ๐ =โ๐ฅ๐โ๐
โ
๐=0
โ๐ (11.1.12)
Nell'ambito dei sistemi discreti la risposta impulsiva โ๐,๐ puรฒ pre-
sentare una durata finita o infinita. Si ottengono cosรฌ i cosiddetti sistemi
a risposta impulsiva a durata finita (sistemi FIR Finite Impulse Response) o i
sistemi a risposta impulsiva a durata infinita (sistemi IIR Infinite Impulsive
Response). Nel caso di sistemi lineari FIR causali, tempo invarianti si puรฒ
porre, senza ledere le generalitร :
โ๐ = 0 ๐๐๐ ๐ < 0 ๐ ๐ > ๐ (11.1.13)
e questo comporta:
CAPITOLO - 11 - Trasformazioni Lineari Discrete. 221
๐ฆ๐ = โ ๐ฅ๐
๐
๐=๐โ๐+1
โ๐โ๐ = โ ๐ฅ๐โ๐
๐โ1
๐=0
โ๐ (11.1.14)
Si osservi che il sistema presenta una memoria finita giacchรจ solo ๐ va-
lori del segnale in ingresso contribuiscono alla determinazione dellโuscita
๐ฆ๐ . Per contro i sistemi IIR sono caratterizzati da una memoria infinita.
Un sistema discreto lineare e tempo invariante puรฒ essere caratte-
rizzato da unโequazione alle differenze del tipo:
๐ฆ๐ +โ๐๐
๐
๐=1
๐ฆ๐โ๐ =โ๐๐
๐
๐=0
๐ฅ๐โ๐ (11.1.15)
Il valore ๐ฆ๐ dellโuscita dipende cosรฌ dagli ๐ valori ๐ฆ๐โ1, ๐ฆ๐โ2, โฆ ๐ฆ๐โ๐
precedenti. Un sistema di questo tipo viene denominato sistema ricorsi-
vo.
Se รจ:
๐ฆ๐ =โ๐๐
๐
๐=0
๐ฅ๐โ๐ (11.1.16)
il sistema รจ detto non ricorsivo;.
Eโ interessante osservare che la risposta impulsiva di un sistema
non ricorsivo vale:
โ๐ =โ๐๐
๐
๐=0
๐ฟ๐โ๐ = {๐๐; 0 โค ๐ โค ๐0; ๐๐๐ก๐๐๐ฃ๐
(11.1.17)
il che significa che un sistema non ricorsivo รจ un sistema FIR.
Un caso interessante รจ costituito dal sistema retto dalla seguente
equazione alle differenze:
๐ฆ๐ +โ๐๐
๐
๐=1
๐ฆ๐โ๐ = ๐ฅ๐ (11.1.18)
La sua risposta impulsiva รจ definita dalla:
โ๐ +โ๐๐
๐
๐=1
โ๐โ๐ = ๐ฟ๐ (11.1.19)
Per ottenere la soluzione basta porre:
222 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
โ๐ = ๐ด๐๐ (11.1.20)
dove ๐ด e ๐ sono due costanti. Sostituendo lโespressione della โ๐ nella
(11.1.19)si ottiene:
๐ด๐๐ +โ๐๐
๐
๐=1
๐ด๐๐โ๐ = ๐ด๐๐โ๐ (๐๐ +โ๐๐๐๐โ๐
๐
๐=1
) = 0;
๐ > 0
(11.1.21)
che, dovendo essere verificata per tutti i valori di ๐, comporta
lโannullamento del polinomio:
๐๐ + ๐1๐๐โ1 + ๐2๐
๐โ2 +โฏ ๐๐ (11.1.22)
detto polinomio caratteristico del sistema. Un parametro ๐, che individua
una soluzione della(11.1.21), deve pertanto essere uno zero del polino-
mio caratteristico. Esistono ๐ zeri di detto polinomio, non necessaria-
mente distinti, che possono essere reali o complessi. Nel secondo caso,
se i coefficienti ๐๐ โ โ, gli zeri complessi si presentano in coppie coniu-
gate. Se gli zeri sono distinti la risposta impulsiva assume la forma:
โ๐ =โ๐ด๐
๐
๐=1
๐ง๐๐ (11.1.23)
dove z๐ denota il generico zero del polinomio caratteristico. Se il poli-
nomio caratteristico contiene zeri multipli, la forma della (11.1.23) deve
essere modificata. Ad esempio se z1 รจ uno zero di molteplicitร ๐ e gli
altri ๐ โ๐ sono semplici, si ha:
โ๐ =โ๐ด๐
๐
๐=1
๐๐โ1๐ง1๐โ๐ด๐
๐
๐=1
๐ง๐๐ (11.1.24)
Le costanti ๐ด๐ che compaiono nella (11.1.23) o (11.1.24) si de-
terminano imponendo che siano nulle le condizioni iniziali e cioรจ:
โโ1 = โโ2 = โฏ = โโ๐ = 0 (11.1.25)
Esempio 11.1
Per determinare la risposta impulsiva del sistema del secondo ordine se-
guente:
๐ฆ๐ = 3๐ฆ๐โ1 + 4๐ฆ๐โ2 + ๐ฅ๐
CAPITOLO - 11 - Trasformazioni Lineari Discrete. 223
basta porre ๐ฅ๐ = ๐ฟ๐. Si ha:
(*) โ๐ = 3โ๐โ1 + 4โ๐โ2 + ๐ฟ๐
le radici del polinomio caratteristico:
๐๐ โ 3๐ โ 4 = 0
valgono ๐ง1 = 1 e ๐ง2 = 4 , la risposta impulsiva รจ della forma:
โ๐ = ๐ด1(โ1)๐ + ๐ด24
๐; ๐ โฅ 0
Per determinare le costanti ๐ด1 e ๐ด2 basta porre nella (*) ๐ = 0 e ๐ = 1.
Tenendo presente che deve essere โโ1 = โโ2 = 0, si deduce:
โ0 = 3โโ1 + 4โโ2 + ๐ฟ0 = 1
โ1 = 3โ0 + 4โโ1 + ๐ฟ1 = 3
che, tenendo conto dellโespressione della โ๐ , forniscono il seguente sistema
di equazioni:
{๐ด1 + ๐ด2 = 1;โ๐ด1 + 4๐ด2 = 3;
la cui soluzione รจ:
๐ด1 =1
5; ๐ด2 =
4
5
Si ha di conseguenza:
โ๐ =1
5(โ1)๐ +
4
54๐; ๐ โฅ 0
Studio nel dominio della frequenza 11.2 -
Prendendo la trasformata di Fourier della sequenza ๐ฆ๐ definita
dalla (11.1.6) si ottiene:
๐(๐) = โ ๐ฆ๐๐โ๐2๐๐๐
โ
๐=โโ
= โ ๐โ๐2๐๐๐ โ ๐ฅ๐โ๐,๐
โ
๐=โ
โ
๐=โโ
(11.2.1)
che, esprimendo la sequenza dโingresso ๐ฅ๐ mediante la sua trasformata di Fourier ๐(๐) diventa:
๐(๐) = โ ๐โ๐2๐๐๐ โ โ๐,๐โซ ๐(๐)๐๐2๐๐๐๐๐
1
2
โ1
2
โ
๐=โ
โ
๐=โโ
= โซ ๐(๐)
1
2
โ1
2
โ โ โ๐,๐๐โ๐2๐(๐๐โ๐๐)
โ
๐=โ
โ
๐=โโ
๐๐
(11.2.2)
Denotando con:
224 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
๐ป(๐,โ๐) = โ โ โ๐,๐๐โ๐2๐(๐๐โ๐๐)
โ
๐=โ
โ
๐=โโ
(11.2.3)
la trasformata bidimensionale di Fourier della risposta impulsiva โ(๐, ๐),
valutata in ๐ ed in โ๐, si ha:
๐(๐) = โซ ๐ป(๐, โ๐)๐(๐)
1
2
โ1
2
๐๐ (11.2.4)
Nel caso di trasformazioni tempo invarianti, la (11.2.3) diventa:
๐ป(๐,โ๐) = โ โ โ๐โ๐๐โ๐2๐(๐๐โ๐๐)
โ
๐=โ
โ
๐=โโ
= โ โ โ๐๐โ๐2๐(๐๐โ๐(๐โ๐))
โ
๐=โ
โ
๐=โโ
= โ โ๐๐โ๐2๐๐๐ โ ๐โ๐2๐๐(๐โ๐)
โ
๐=โ
โ
๐=โโ
(11.2.5)
Si osservi adesso che:
โ โ๐๐โ๐2๐๐๐
โ
๐=โโ
= ๐ป(๐) (11.2.6)
รจ la trasformata di Fourier della risposta impulsiva del sistema, inoltre, lโuguaglianza di Poisson (5.5.8) ci permette di scrivere:
โ ๐โ๐2๐๐(๐โ๐)โ
๐=โ
= โ ๐ฟ(๐ โ ๐ โ๐)
โ
๐=โ
(11.2.7)
Quindi, se il sistema รจ tempo invariante possiamo ulteriormente scrive-
re:
๐ป(๐, โ๐) = โ โ๐๐โ๐2๐๐๐ โ ๐โ๐2๐๐(๐โ๐)
โ
๐=โ
โ
๐=โโ
= ๐ป(๐) โ ๐ฟ(๐ โ ๐ โ๐)
โ
๐=โ
(11.2.8)
Che, sostituita nella (11.2.4) fornisce:
CAPITOLO - 11 - Trasformazioni Lineari Discrete. 225
๐(๐) = ๐ป(๐)โซ โ ๐ฟ(๐ โ ๐ โ๐)
โ
๐=โ
๐(๐)
1
2
โ1
2
๐๐
= ๐ป(๐) โ ๐(๐ โ ๐)โซ ๐ฟ(๐ โ (๐ โ ๐))
1
2
โ1
2
๐๐
โ
๐=โ
= ๐ป(๐) โ ๐(๐ โ ๐)โ(๐ โ ๐)โ
๐=โ
= ๐ป(๐)๐(๐)
(11.2.9)
Le funzioni ๐ป(๐,โ๐) e ๐ป (๐) denotano la risposta in frequenza di un sistema lineare tempo variante e tempo invariante rispettivamente. Nel caso di sistemi tempo invarianti la risposta in frequenza puรฒ essere facilmente calcolata sulla base della risposta del sistema ad un in-gresso cisoidale del tipo: ๐ฅ๐ = ๐๐2๐๐๐ (11.2.10)
Si ha infatti, per la (11.1.7):
๐ฆ๐ = โ ๐๐2๐(๐โ๐)๐
โ
๐=โโ
โ๐ = ๐๐2๐๐๐ โ โ๐๐
โ๐2๐๐๐
โ
๐=โโ
= ๐๐2๐๐๐๐ป(๐)
(11.2.11)
La risposta del sistema presenta la stessa forma della sollecitazione in in-gresso, l'ampiezza perรฒ dipende dalla risposta in frequenza del sistema
CAPITOLO - 12
VALUTAZIONE NUMERICA DELLA TRASFORMATA DI
FOURIER
Valutazione Numerica della Trasformata di Fourier di 12.1 - un Segnale a tempo continuo
Uno dei fondamentali problemi della Teoria dei segnali consiste
nella valutazione numerica della trasformata di Fourier ๐(๐) di un segna-
le ๐ (๐ก) a tempo continuo e a energia finita.
A tal fine si consideri un segnale che, seppur non rigorosamente
passabasso, permetta comunque di definire un opportuno intervallo di
frequenze [โ1
2๐,1
2๐] al di fuori del quale resta una frazione trascurabile
della sua energia specifica. Sotto questa ipotesi la trasformata di Fourier
del segnale si puรฒ approssimare, trascurando cioรจ gli effetti del ricopri-
mento spettrale, in base alla (9.1.7) utilizzando la sequenza dei suoi
campioni:
๐(๐) โ ๐โ(๐๐) โ ๐ (๐๐)๐โ๐2๐๐๐๐โ
๐=โโ
(12.1.1)
Osseviamo che, per lโipotesi fatta nel paragrafo precedente, se si
campionasse ๐(๐) nel dominio della frequenza, si otterebbe solo un
numero finito, diciamo ๐, di campioni significativamente diversi da ze-
ro, precisamente quelli ricadenti all'interno dell'intervallo [โ1
2๐,1
2๐].
Il generico campione della trasformata si puรฒ esprimere mediante
la (12.1.1) nella forma:
๐ (๐
๐๐) โ ๐โ (
๐
๐) โ ๐ (๐๐)๐โ๐
2๐๐๐
๐
โ
๐=โโ
(12.1.2)
dove si รจ implicitamente scelto un passo di campionamento pari a 1
๐๐.
Supponendo, per semplicitร , di scegliere un valore dispari per ๐,
la precedente puรฒ essere riscritta come segue:
228 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
๐ (๐
๐๐) โ ๐โ (
๐
๐) โ โ โ ๐ (๐๐)๐โ๐
2๐๐๐
๐
๐๐+๐โ1
2
๐=๐๐โ๐โ1
2
โ
๐=โโ
(12.1.3)
la quale, effettuando la sostituzione di indice ๐โฒ = ๐ โ ๐๐, scambiando
l'ordine delle sommatorie, e tenendo conto della periodicitร del fattore
esponenziale, diventa:
๐ (๐
๐๐) โ ๐โ (
๐
๐) โ [โ ๐ ((๐โฒ + ๐๐)๐)
โ
๐=โโ
]
๐โ1
2
๐โฒ=โ๐โ1
2
๐โ๐2๐๐๐โฒ
๐ (12.1.4)
Si nota che la sommatoria interna รจ la ripetizione periodica della
sequenza ๐ (๐๐) dei campioni del segnale effettuata con periodicitร ๐๐.
ร ovvio che detta ripetizione periodica รจ in genere, diversa da ๐ (๐๐),
anche nell'intervallo [โ๐โ1
2๐,
๐โ1
2๐], a causa del ricoprimento temporale
che insorge in quanto il segnale puรฒ non essere a durata rigorosamente
limitata.
Se tuttavia il segnale in esame consente di determinare un valore
della quantitร ๐๐ che renda trascurabile l'effetto del ricoprimento tem-
porale, si puรฒ scrivere:
โ (๐
๐) โ ๐ ((๐ + ๐๐)๐)
โ
๐=โโ
โ โ(๐
๐) ๐ (๐๐) (12.1.5)
quindi la (12.1.4) diviene:
๐ (๐
๐๐) โ ๐โ (
๐
๐) โ ๐ (๐๐)๐โ๐
2๐๐๐
๐
๐โ1
2
๐=โ๐โ1
2
(12.1.6)
la quale, sfruttando l'ortogonalitร delle sequenze โ (๐
๐) ๐โ๐2๐๐๐ ๐โ , puรฒ
essere facilmente invertita:
๐ (๐๐) โ 1
๐๐โ (
๐
๐) โ ๐ (
๐
๐๐) ๐๐
2๐๐๐
๐
๐โ1
2
๐=โ๐โ1
2
(12.1.7)
CAPITOLO - 12 - Valutazione Numerica della Trasformata di Fourier - 229
La (12.1.6) e la (12.1.7) definiscono una coppia di trasformate di-
screte di Fourier di ordine ๐. Esse costituiscono il punto di partenza per
valutare numericamente la trasformata e l'antitrasformata di Fourier di
un segnale a tempo continuo.
Esempio 12.1
Si consideri il segnale a tempo continuo dato dalla:
๐ (๐ก) =โ (๐ก
๐0โ1
2)
ร noto che la sua trasformata di Fourier vale:
๐(๐) = ๐0sinc(๐๐0)๐โ๐๐๐๐0
Tenendo presente la (12.1.5), si scelgono un passo di campionamento T ed
un valore di N tali che risulti NT T0 , Quindi la (12.1.5) vale, in questo
caso, come uguaglianza. Si avrร :
๐ (๐๐) = {1; 0 โค ๐ โค ๐0; ๐๐๐ก๐๐๐ฃ๐
๐ = โ๐0๐โ
D'altra parte la scelta del passo di campionamento ๐ incide sull'entitร
dell'errore dovuto al ricoprimento spettrale.
Volendo limitare tale errore, occorre rendere sufficientemente elevata la
quantitร 1 ๐โ , in accordo con la (12.1.6). Scegliere un valore ๐ equivale ad
ipotizzare che il segnale abbia una banda ๐ต = 1 2๐โ .
Nel caso specifico, si puรฒ procedere assumendo che il segnale abbia una
banda equivalente ๐ต๐ =k๐0โ (๐ > 1) e quindi assumere:
๐ โค๐02๐
il che comporta:
๐ โฅ โ๐0
๐โ โฅ 2๐
In tali condizioni si ottiene:
๐ (๐
๐๐) = ๐โ ๐ (๐๐)๐โ๐
2๐๐๐
๐ =
๐โ1
๐=0
๐ โ ๐โ๐2๐๐๐
๐
๐โ1
๐=0
= { ๐๐โ๐
2๐๐๐
๐ โ 1
๐โ๐2๐๐
๐ โ 1; ๐ = โ
๐
2,โฆ ,โ1,1, โฆ ,
๐
2โ 1
๐๐; ๐ = 0
230 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
il cui modulo vale:
|๐ (๐
๐๐)| =
{
๐ โ |
๐ ๐๐ (๐๐๐
๐)
๐ ๐๐ (๐๐
๐)| ; ๐ = โ
๐
2,โฆ ,โ1,1, โฆ ,
๐
2โ 1
๐๐; ๐ = 0
In Fig.E 12.1sono riportati gli andamenti di |๐ (๐
๐๐)| per diversi valori di
๐ e di ๐ unitamente al modulo di ๐(๐). Si noti che al crescere del parametro
๐ le righe dello spettro si infittiscono e l'errore tra il valore vero dello spettro
e quello stimato si riduce, in quanto la banda aumenta e si riduce di conse-
guenza lโaliasing.
Esempio 12.2
Si consideri il seguente segnale tempo continuo:
๐ (๐ก) = ๐ข(๐ก)๐โ๐ก
Fig.E 12.1
CAPITOLO - 12 - Valutazione Numerica della Trasformata di Fourier - 231
la cui trasformata di Fourier vale:
๐(๐) =1
1 + ๐2๐๐
Il segnale considerato non presenta nรฉ durata nรฉ banda rigorosamente li-
mitata per cui รจ necessaria un'adeguata scelta di ๐ e ๐ per limitare sia l'erro-
re di ricoprimento temporale sia quello di ricoprimento spettrale.
In tal caso si puรฒ scrivere:
๐ (๐
๐๐) โ โ ๐(
๐
๐๐+๐
๐)
โ
๐=โโ
; 0 โค ๐ โค ๐ โ 1
e quindi in base alla (12.1.6)si ha:
๐ (๐
๐๐) โ ๐โ ๐ (๐๐)๐โ๐
2๐๐๐
๐ = ๐1 โ ๐โ๐๐
1 โ ๐โ๐2๐๐
๐โ๐; ๐ = 0,1,โฆ , ๐ โ 1
๐โ1
๐=0
Fig.E 12.2
232 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
il cui modulo รจ dato dalla:
|๐ (๐
๐๐)| = ๐
1 โ ๐โ๐๐
โ1 + ๐โ2๐ โ 2๐โ๐๐๐๐ (2๐๐
๐)
; ๐ = 0,1,โฆ , ๐ โ 1
In Fig. E.IX.8 sono paragonati i valori delle quantitร |๐ (๐
๐๐)| al variare
dei parametri ๐ e ๐ con il modulo dello spettro del segnale ๐ (๐ก):
|๐(๐)| =1
โ1 + (2๐๐)2
allo scopo di illustrare l'influenza del numero dei punti e della periodicitร
nella valutazione numerica dello spettro di un segnale che non presenta nรฉ
durata nรฉ banda rigorosamente limitata.
Troncamento del segnale. Finestre temporali. 12.2 -
Un modo per eliminare gli errori di ricoprimento temporale รจ
quello di considerare una versione troncata del segnale ๐ (๐ก)
๐ ๐ค(๐ก) = ๐ (๐ก) โ ๐ค(๐ก) (12.2.1)
ottenuta moltiplicando ๐ (๐ก) per una funzione finestra temporale ๐ค(๐ก) ta-
le che risulti:
{๐ค(๐ก) = 0; |๐ก| >
๐02;
๐ค(0) = 1; (12.2.2)
La (12.2.1) comporta un errore nella valutazione della ๐(๐); tutta-
via se ๐0 si sceglie in
modo tale che i valori
del segnale ๐ (๐ก) al di
fuori dell'intervallo
[โ๐0/2, ๐0/2] siano
piccoli rispetto a quelli
assunti dal segnale al
suo interno, tale erro-
re puรฒ ritenersi trascu-
rabile.
Per rendersi
conto dell'entitร di tale
Fig. 12.1 Spettro della finestra di Hanning
CAPITOLO - 12 - Valutazione Numerica della Trasformata di Fourier - 233
errore basta trasformare la (12.2.1). Indicando con ๐๐ค(๐), ๐(๐) e ๐(๐)
le trasformate di ๐ ๐ค(๐ก), ๐ (๐ก) e ๐ค(๐ก) rispettivamente si ha:
๐๐ค(๐) = ๐(๐) โ ๐(๐) = โซ ๐(๐)๐(๐ โ ๐)๐๐โ
โโ
(12.2.3)
Si osservi che la for-
ma tipica dello spettro di
ampiezza |๐(๐)| di una
funzione finestra si presenta
come indicato in Fig. 12.1,
cioรจ ha un lobo fondamen-
tale simmetrico rispetto
all'asse delle ordinate che in-
siste su un intervallo di am-
piezza ฮ๐ e un insieme di
lobi laterali con ampiezze
massime via via decrescenti . Se lo spettro ๐(๐) del segnale ๐ (๐ก) non รจ
continuo nel punto ๐0, lo spettro del segnale troncato si presenta quali-
tativamente come indicato in Fig. 12.2. Esso รจ cioรจ continuo e ha anda-
mento oscillatorio in prossimitร di ๐0. Si puรฒ verificare che lโampiezza
delle oscillazioni dipende dal rapporto |๐(๐๐ )
๐(0)|, cioรจ dal livello di picco re-
lativo dei lobi secondari dello spettro di ๐ค(๐ก), mentre la transizione da
๐(๐0โ) a ๐(๐0
+) si verifica in una banda la cui ampiezza รจ proporzionale a
๐ฅ๐. Le quantitร |๐(๐๐ )
๐(0)| e ๐ฅ๐ pertanto caratterizzano una funzione finestra
dato che i loro valori influenzano la precisione con cui viene approssi-
mato lo spettro.
Le caratteristiche di alcune funzioni finestra comunemente usate
sono riportate nella Tabella 12.1
Fig. 12.2 Effetto della funzione finestra sullo spet-tro di un segnale
234 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
Tabella 12.1 Caratteristiche di alcune funzioni finestra
๐ฅ๐ |๐(๐๐ )
๐(0)|
Ret
tan
gola
re
๐ค(๐ก) โ(๐ก
๐0)
2
๐0
0.22
-13.2 dB ๐(๐) ๐0sinc(๐๐0)
Bar
tle
tt ๐ค(๐ก) (1 โ
|2๐ก|
๐0)โ (
๐ก
๐0)
4
๐0
0.047
-26.5 dB
๐(๐) ๐02sinc [
๐๐02]2
Han
nin
g ๐ค(๐ก) cos2 (๐๐ก
๐0)โ (
๐ก
๐0)
4
๐0
0.027
-31.5db ๐(๐)
๐0sinc[๐๐0]
2(1 โ ๐2๐02)
Ham
min
g ๐ค(๐ก) (0,54 + 0,46cos (2๐๐ก
๐0))โ(
๐ก
๐0)
4
๐0
0.0062
-44 dB
๐(๐) ๐0(โ0.54 + 0.08๐2๐0
2)
(โ1 + ๐2๐02)
sinc[๐๐0]
Tuke
y
๐ค(๐ก) โ(๐ก
๐ผ๐0) +
(1 + cos [๐(2|๐ก|โ๐ผ๐๐)
(1โ๐ผ)๐๐]) โ (
4|๐ก|โ๐๐(1+๐ผ)
2๐๐(1โ๐ผ))
2
4
(1 + ๐ผ)๐0
๐(๐) ๐0sinc[๐๐0] + ๐ผsinc[๐๐ผ๐0]
2[1 โ (๐๐0(๐ผ โ 1))2]
Tayl
or-
Kai
ser
๐ค(๐ก) ๐ผ0 (๐๐ฝโ1 โ (
2๐ก
๐0)2
)
๐ผ0(๐๐ฝ)โ (
๐ก
๐0)
2๐ฝ
๐0
0,22๐๐ฝ
sinh(๐๐ฝ)
๐(๐) ๐0sinh[๐โ๐ฝ2 โ ๐2๐0
2]
๐ผ0(๐๐ฝ)๐โ๐ฝ2 โ ๐2๐0
2
N. B. ๐ผ0(๐ฅ) รจ la funzione di Bessel modificata di prima specie di ordine zero.
CAPITOLO - 12 - Valutazione Numerica della Trasformata di Fourier - 235
La trasformata discreta di Fourier. 12.3 -
Come visto al - ยง. 12.1 - , le trasformate di Fourier diretta e in-
versa di un segnale a tempo continuo, possono effettuarsi mediante le
(12.1.6) e (12.1.7), purchรฉ la scelta del quanto temporale ๐ e del numero
dei campioni ๐ sia tale che gli errori di ricoprimento temporale e spet-
trale risultino trascurabili.
Usualmente le (10.3.9), vengono presentate nella forma:
a) ๐๐ = โ ๐ ๐๐๐2๐๐๐
๐
๐โ1
๐=0
; ๐ = 0,1, โฆ , ๐ โ 1
(12.3.1)
b) ๐ ๐ =1
๐โ ๐๐๐
๐2๐๐๐
๐ ;
๐โ1
๐=0
๐ = 0,1, โฆ , ๐ โ 1
Queste ultime si ottengono normalizzando il quanto temporale (๐ = 1).
In esse si sono denotati con ๐ ๐ e ๐๐ i campioni del segnale e della sua
trasformata di Fourier rispettivamente.
Le (12.3.1) sono delle sequenze periodiche di periodo ๐, cosicchรฉ
esse possono essere prolungate al di fuori degli intervalli (0 โค ๐,๐ โค
๐ โ 1). Ciรฒ significa che ๐ ๐ e ๐๐ sono uguali ai campioni di ๐ (๐ก) e ๐(๐)
nell'insieme {0, ๐ โ 1} ma non al di fuori di esso. Per sottolineare tale
differenza รจ allora opportuno denotare con ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ e ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ le sequenze periodi-
cizzate, di conseguenza le (12.3.1) possono essere riscritte nella forma:
a) ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ = โ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐๐๐2๐๐๐
๐
๐โ1
๐=0
(12.3.2)
b) ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ =1
๐โ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐๐
๐2๐๐๐
๐
๐โ1
๐=0
essendo:
a) ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ = ๐ ๐; 0 โค ๐ โค ๐ โ 1
(12.3.3) b) ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ = ๐๐; 0 โค ๐ โค ๐ โ 1
Le (12.3.2), costituiscono una coppia di trasformazioni denomi-
nate trasformate (diretta e inversa) discrete di Fourier (DFT).
Denotando con ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ e ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ i vettori:
236 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
๏ฟฝ๏ฟฝ๐ = [๏ฟฝ๏ฟฝ0 ๏ฟฝ๏ฟฝ1 โฆ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐โ1]
๐
๏ฟฝ๏ฟฝ๐ = [๏ฟฝ๏ฟฝ0 ๏ฟฝ๏ฟฝ1 โฆ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐โ1]๐ (12.3.4)
e con ๐พ๐ la matrice:
๐พ๐ =
[ 1 1 โฆ 1
1 ๐โ๐2๐
๐ โฆ ๐โ๐2๐(๐โ1)
๐
โฆ โฆ โฆ โฆ
1 ๐โ๐2๐(๐โ1)
๐ โฆ ๐โ๐2๐(๐โ1)2
๐ ]
=
[ ๐๐
0 ๐๐0 โฆ ๐๐
0
๐๐0 ๐๐
1 โฆ ๐๐(๐โ1)
โฆ โฆ โฆ โฆ
๐๐0 ๐๐
(๐โ1)โฆ ๐๐
(๐โ1)2
]
(12.3.5)
in cui ๐๐ = ๐โ๐
2๐
๐ denota la radice ๐-esima dell'unitร , le (12.3.2) si pos-
sono riscrivere come segue:
a)
b)
๏ฟฝ๏ฟฝ๐ = ๐พ๐๏ฟฝ๏ฟฝ๐
๏ฟฝ๏ฟฝ๐ =1
๐๐พ๐
โ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ (12.3.6)
Confrontando le (12.3.6)si ottiene facilmente:
๐พ๐โ1 =
1
๐๐พ๐
โ (12.3.7)
che equivale a scrivere:
๐พ๐๐พ๐โ = ๐๐ฐ๐ (12.3.8)
dove ๐ฐ๐ รจ la matrice unitaria di ordine ๐. La matrice ๐พ๐ รจ pertanto una
matrice ortogonale.
Come nel caso delle altre trasformate di Fourier, la DFT gode di
proprietร che vengono riassunte nella Tabella 12.2.
Esempio 12.3
Siano:
๏ฟฝ๏ฟฝ1 = {
โ1; ๐ = 02; ๐ = 14; ๐ = 2โ2; ๐ = 3
; ๏ฟฝ๏ฟฝ2 = {
1; ๐ = 0โ1; ๐ = 12; ๐ = 2โ3; ๐ = 3
due distinte sequenze periodiche di periodo ๐ = 4. La loro convoluzione
CAPITOLO - 12 - Valutazione Numerica della Trasformata di Fourier - 237
๏ฟฝ๏ฟฝ๐ =โ ๏ฟฝ๏ฟฝ1,๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ2,(๐โ๐)
3
๐=0
si valuta facilmente tenendo conto delle proprietร di periodicitร delle se-
quenze.
Si ha infatti, per ๐ = 0:
๏ฟฝ๏ฟฝ0 = โ ๏ฟฝ๏ฟฝ1,๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ2,(โ๐)
3
๐=0
dove รจ:
{
๏ฟฝ๏ฟฝ2,0 = 1;
๏ฟฝ๏ฟฝ2,(โ1) = ๏ฟฝ๏ฟฝ2,(4โ1) = ๏ฟฝ๏ฟฝ2,3 = โ3;
๏ฟฝ๏ฟฝ2,(โ2) = ๏ฟฝ๏ฟฝ2,(4โ2) = ๏ฟฝ๏ฟฝ2,2 = 2;
๏ฟฝ๏ฟฝ2,(โ3) = ๏ฟฝ๏ฟฝ2,(4โ3) = ๏ฟฝ๏ฟฝ2,1 = โ1;
per cui risulta:
๏ฟฝ๏ฟฝ1 = โ1 โ 6 + 8 + 2 = 3
In modo analogo, per ๐ = 1, รจ:
๏ฟฝ๏ฟฝ1 = โ ๏ฟฝ๏ฟฝ1,๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ2,(1โ๐)
4
๐=0
con:
{
๏ฟฝ๏ฟฝ2,(1โ0) = ๏ฟฝ๏ฟฝ2,(1) = โ1;
๏ฟฝ๏ฟฝ2,(1โ1) = ๏ฟฝ๏ฟฝ2,(0) = 1;
๏ฟฝ๏ฟฝ2,(1โ2) = ๏ฟฝ๏ฟฝ2,(โ1) = ๏ฟฝ๏ฟฝ2,(4โ1)=๏ฟฝ๏ฟฝ2,(3) = โ3;
๏ฟฝ๏ฟฝ2,(1โ3) = ๏ฟฝ๏ฟฝ2,(โ2) = ๏ฟฝ๏ฟฝ2,(4โ2)=๏ฟฝ๏ฟฝ2,(2) = 2;
Si ha:
๏ฟฝ๏ฟฝ1 = 1 + 2 โ 12 โ 4 = โ13
Per ๐ = 2 รจ:
๏ฟฝ๏ฟฝ2 = โ ๏ฟฝ๏ฟฝ1,๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ2,(2โ๐)
3
๐=0
con
{
๏ฟฝ๏ฟฝ2,(2โ0) = ๏ฟฝ๏ฟฝ2,2 = 2;
๏ฟฝ๏ฟฝ2,(2โ1) = ๏ฟฝ๏ฟฝ2,1 = โ1;
๏ฟฝ๏ฟฝ2,(2โ2) = ๏ฟฝ๏ฟฝ2,0 = 1;
๏ฟฝ๏ฟฝ2,(2โ3) = ๏ฟฝ๏ฟฝ2(โ1) = ๏ฟฝ๏ฟฝ2(4โ1) = ๏ฟฝ๏ฟฝ2,3 = โ3;
ร quindi:
๏ฟฝ๏ฟฝ2 = โ2 โ 2 + 4 + 6 = 6
238 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -
Si ha infine, per ๐ = 3:
๏ฟฝ๏ฟฝ3 = โ ๏ฟฝ๏ฟฝ1๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ2,(3โ๐)
4
๐=0
Si ha:
{
๏ฟฝ๏ฟฝ2,(3โ0) = ๏ฟฝ๏ฟฝ2,3 = โ3;
๏ฟฝ๏ฟฝ2,(3โ0) = ๏ฟฝ๏ฟฝ2,2 = 2;
๏ฟฝ๏ฟฝ2,(3โ2) = ๏ฟฝ๏ฟฝ2,1 = โ1;
๏ฟฝ๏ฟฝ2,(3โ3) = ๏ฟฝ๏ฟฝ2,0 = 1;
e quindi:
๏ฟฝ๏ฟฝ3 = 3 + 4 โ 4 โ 2 = 1
In definitiva risulta:
๏ฟฝ๏ฟฝ = {
3; ๐ = 0โ13; ๐ = 16; ๐ = 21; ๐ = 3
CAPITOLO - 12 - Valutazione Numerica della Trasformata di Fourier - 239
Tabella 12.2
Proprietร della DFT
Proprietร Segnale Coefficiente
Linearitร โ๐๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐๐
๐
๐=1
โ๐๐๏ฟฝ๏ฟฝ๐๐
๐
๐=1
Segnale coniugato ๏ฟฝ๏ฟฝ๐โ ๏ฟฝ๏ฟฝโ๐
โ
Trasformata coniu-
gata ๐ ๐โ(โ๐) ๐๐
โ(๐)
Traslazione in ๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐โ๐0 ๐โ๐2๐๐0๐
๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐
Traslazione in ๐ ๐๐2๐๐๐0
๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐โ๐0
Differenza in avanti
in ๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐+1 โ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ [๐๐
2๐๐
๐ โ 1]๏ฟฝ๏ฟฝ๐
Differenza all'indie-
tro in ๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐โ1 [1 โ ๐โ๐
2๐๐
๐ ]๏ฟฝ๏ฟฝ๐
Differenza in avanti
in ๐ (๐โ๐
2๐๐
๐ โ 1) ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐+1 โ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐
Differenza all'indie-
tro
in ๐
(1 โ ๐๐2๐๐
๐ ) ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐โ1
Convoluzione in ๐
โ๏ฟฝ๏ฟฝ1๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ2(๐โ๐)
๐โ1
๐=0
=โ ๏ฟฝ๏ฟฝ1(๐โ๐)๏ฟฝ๏ฟฝ2๐
๐โ1
๐=0
๏ฟฝ๏ฟฝ1๐๏ฟฝ๏ฟฝ2๐
Convoluzione in ๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ1๐๏ฟฝ๏ฟฝ2๐
1
๐โ ๏ฟฝ๏ฟฝ1๐๏ฟฝ๏ฟฝ2(๐โ๐)
๐โ1
๐=0
=1
๐โ ๏ฟฝ๏ฟฝ1(๐โ๐)๏ฟฝ๏ฟฝ2๐
๐โ1
๐=0
CAPITOLO - 13
RICHIAMI DI TEORIA DELLA PROBABILITร
Lo spazio dei risultati. Gli eventi. 13.1 -
Spesso nella realtร ci sโimbatte in fenomeni i cui esiti non posso-
no essere esattamente previsti, basti pensare all'estrazione del biglietto
vincente di una lotteria, o al numero di chiamate in arrivo in una centra-
le telefonica nel corso di un'ora della giornata. Tuttavia se, osservando
ripetutamente il fenomeno, si prende nota dei risultati, ci si accorge che,
nella quasi totalitร dei casi, essi obbediscono ad una certa โregolaritร stati-
stica โ, nel senso che il rapporto tra le volte in cui si verifica un determi-
nato risultato e il numero totale dโosservazioni tende a stabilizzarsi at-
torno ad un dato valore al crescere di queste ultime. Cosรฌ, ad esempio, se
da un'urna contenente palline nere e bianche si รจ estratta nel 90% dei ca-
si una pallina bianca, e nel restante 10%, una nera, si รจ indotti a ritenere
che l'evento: โestrazione di una pallina bianca โ abbia una maggiore
probabilitร di verificarsi dell'evento: โestrazione di una pallina nera โ, o
che รจ lo stesso che nellโurna vi siano molte piรน palline bianche che nere.
Si รจ cosรฌ portati ad associare ad ogni evento casuale una certa
probabilitร che esso si manifesti. Tuttavia, per definire correttamente il
concetto di probabilitร associato ad un evento casuale, occorre richiama-
re alcune nozioni fondamentali concernenti il cosiddetto spazio di probabi-
litร .
Per schematizzare il comportamento di un fenomeno aleatorio รจ
opportuno introdurre il concetto di esperimento casuale che consiste in
un procedimento di osservazione di risultati, ottenuti ripetendo la mede-
sima prova tutte le volte che si voglia. Ad esempio nell'esperimento ca-
suale lancio di una moneta, i possibili risultati osservabili sono testa (T )
e croce (C ). Qualcuno potrebbe osservare che la casualitร del risultato
nel lancio della moneta รจ in realtร dovuto allโimperizia del lanciatore.
Si consideri un esperimento casuale e sia ํ un suo possibile risul-
tato. L'insieme ฮฉ costituito da tutti i risultati che si possono manifestare
prende il nome di spazio dei risultati.
Nell'esempio precedente del lancio di una moneta si ha:
242 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
ฮฉ = {๐, ๐ถ} (13.1.1)
Nel lancio di un dado, lo spazio dei risultati รจ costituito dall'insieme del-
le sei facce e si ha:
ฮฉ = {๐1, ๐2, ๐3, ๐4, ๐5, ๐6} (13.1.2)
Per studiare un esperimento casuale รจ opportuno identificare una
classe di sottoinsiemi dello spazio dei risultati, (cioรจ un insieme di sot-
toinsiemi dello spazio dei risultati) il generico elemento di tale classe
viene chiamato evento. Un evento ๐ธ si dice verificato tutte le volte che
l'esperimento casuale da luogo ad un risultato ํ che appartiene ad ๐ธ. La
scelta della classe, seppure nel rispetto di alcune proprietร che vedremo
piรน avanti, non รฉ obbligata e dipende da quali aspetti dellโesperimento si
intendono evidenziare.
Ad esempio, nel caso del lancio del dado, se si ha interesse al
punteggio della faccia superiore, si devono necessariamente assumere
come eventi gli insiemi contenenti i singoli risultati; mentre se si รจ in-
teressati solo al fatto che il risultato sia pari o dispari ci si puรฒ limitare a
prendere in considerazione gli eventi:
E๐ = {๐2, ๐4, ๐6}; E๐ = {๐1, ๐3, ๐5}; (13.1.3)
L'intero spazio dei risultati ๐บ รจ un evento, come pure lo รจ l'in-
sieme vuoto โ . Nel primo caso si parla di evento certo, poichรฉ l'evento
E = ๐บ si manifesta ogniqualvolta si compie l'esperimento; nel secondo si
parla di evento impossibile, dato che l'evento E = โ non si puรฒ manife-
stare.
Agli eventi si puรฒ applicare l'algebra degli insiemi ed in particolare
le note operazioni di unione, intersezione, e complementazione (Fig.
13.1)
Fig. 13.1 โ Da sinistra: unione, intersezione complementazione.
CAPITOLO - 13 - Richiami di Teoria della Probabilitร - 243
Due eventi si dicono disgiunti o incompatibili quando il manifestarsi
dell'uno implica il non manifestarsi dell'altro e viceversa, in altre parole
se la loro intersezione รจ l'evento impossibile:
๐ธ1 โฉ ๐ธ2 = โ (13.1.4)
Si supponga adesso di ripetere ๐ volte un certo esperimento ca-
suale e sia ๐ฅ๐ il numero di volte in cui un dato evento E si รจ verificato.
La quantitร lim๐โโ
๐ฅ๐
๐ รจ detta probabilitร associata all'evento E:
Pr{๐ธ} = lim๐โโ
๐ฅ๐
๐ (13.1.5)
In altre parole per probabilitร di un evento sโintende il limite della โfre-
quenza relativaโ ๐ฅ๐
๐ al tendere all'infinito del numero di ripetizioni
dellโesperimento.
Essendo necessariamente 0 โค ๐ฅ๐ โค ๐ risulta:
0 โค Pr{E} โค 1 (13.1.6)
Nel caso dell'evento certo, essendo ๐ฅ๐ = ๐, si ha
Pr{ฮฉ} = 1 (13.1.7)
Infine, se gli eventi E1 ed E2 sono disgiunti, dallโovvia condizio-
ne:
๐ฅ๐E1โชE2 = ๐ฅ๐E1 + ๐ฅ๐E2 (13.1.8)
segue:
Pr{E1 โช E2} = Pr{E1} + Pr{E2} (13.1.9)
Si osservi che, purtroppo, poichรฉ in ogni esperimento fisico il
numero delle prove, per quanto grande, non puรฒ mai essere infinito, il
limite Pr{E} non puรฒ pertanto essere calcolato, nรฉ si puรฒ affermare che
esso esista. Per questo motivo tale definizione, per quanto intuitiva, non
puรฒ essere presa in considerazione come base per lo sviluppo di una
teoria matematica della probabilitร . ร quindi necessario definire il con-
cetto di probabilitร per via assiomatica, prescindendo da quello di fre-
quenza relativa.
Lโapproccio in termini di frequenza relativa, va tuttavia tenuto in
considerazione, in quanto, in molti casi, esso si rivela utile nella giu-
244 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
stificazione intuitiva, di alcuni sviluppi teorici la cui dimostrazione sa-
rebbe inutilmente onerosa.
Lo spazio di probabilitร . 13.2 -
Si consideri lo spazio dei risultati ฮฉ di un esperimento casuale, ad
esso si associ una classe ๐ di suoi sottoinsiemi i cui elementi vengono
chiamati eventi. Al generico evento E si associ un numero Pr{E}, detto
probabilitร dell'evento, che soddisfi le seguenti proprietร :
a) 0 โค Pr{E} โค 1
(13.2.1)
b) Pr{ฮฉ} = 1
c) E1 โฉ E2 = โ โ Pr{E1 โช E2} = Pr{E1} + Pr{E2}
cโ) E๐ โฉ E๐ = โ โ ๐ โ ๐ โ Pr{ โช E๐โ
๐=1} =โPr{E๐}
โ
๐=1
In altre parole la probabilitร associata all'evento ๐ธ deve assumere
valore non negativo e non maggiore di 1; inoltre essa deve godere della
proprietร additiva rispetto all'unione di eventi disgiunti. La probabilitร
dell'evento certo si pone uguale ad 1.
La (13.2.1)cโ deve valere in alternativa alla (13.2.1)c, nel caso in
cui la classe ๐ contenga un numero infinito di elementi.
Quanto sopra esposto, equivale ad affermare che la probabilitร
Pr{โ } รจ un'applicazione ๐ โPr[0,1].
Va precisato che la classe ๐ degli eventi non puรฒ essere scelta in
modo totalmente arbitrario; essa deve, infatti, soddisfare le seguenti
proprietร :
a) E โ ๐ โ E๐ โ ๐
(13.2.2) b) ๐ธ1, ๐ธ2 โ ๐ โ ๐ธ1 โช ๐ธ2 โ ๐
bโ) ๐ธ๐ โ ๐ โ โช ๐ธ๐โ
๐=1โ ๐
Dove la proprietร (13.2.2)bโ vale in alternativa la (13.2.2)b
se la classe ๐ contiene infiniti elementi.
Dalle (13.2.2) discende facilmente:
โ โ ๐; ฮฉ โ ๐; (13.2.3)
CAPITOLO - 13 - Richiami di Teoria della Probabilitร - 245
La proprietร (13.2.2)a รจ intuitivamente giustificata dal fatto che se
ad un certo evento รจ associata una probabilitร , resta implicitamente de-
finita la probabilitร che l'evento non si sia verificato, cioรจ che l'esperi-
mento casuale dia luogo ad un qualche risultato che non appartiene
all'evento considerato. Pertanto l'insieme di detti risultati deve a sua vol-
ta costituire un evento.
In conclusione si dice che si รจ definito uno spazio di probabilitร
๐ se si รจ assegnato:
- un insieme di risultati ฮฉ (spazio dei risultati):
- una classe ๐ di sottoinsiemi di ฮฉ (eventi) che soddisfi le (13.2.2));
- un'applicazione ๐ โPr[0,1] definita su ๐ (probabilitร ) che soddisfi le
(13.2.1).
Ciรฒ viene di norma sintetizzato dalla notazione:
๐=(ฮฉ,๐,๐๐) (13.2.4)
Si osservi che definire uno spazio di probabilitร significa sempli-
cemente associare una particolare misura ad una classe di sottoinsiemi
dell'insieme di risultati. Le proprietร (13.2.2) cui deve soddisfare la classe
๐ sono infatti le stesse giร viste nel CAPITOLO - 1 con riferimento alla
misura degli insiemi. Inoltre l'applicazione Pr{โ } soddisfa tutte le pro-
prietร richieste ad una misura su una classe di insiemi.
ร opportuno ribadire che non tutti i sottoinsiemi di ฮฉ sono ne-
cessariamente eventi. Gli eventi sono soltanto i sottoinsiemi di ฮฉ appar-
tenenti alla classe ๐, quindi misurabili secondo la misura Pr{โ }.
Dagli assiomi (13.2.1) discendono facilmente le seguenti proprie-
tร :
- Gli eventi โ e ฮฉ sono manifestamente disgiunti, pertanto in base alla
(13.2.1)c si puรฒ scrivere:
Pr{โ โช ๐บ} = Pr{โ } + Pr{๐บ} (13.2.5)
dalla quale, notando che รจ:
โ โช ฮฉ = ฮฉ (13.2.6)
consegue:
Pr{โ } = 0 (13.2.7)
Ciรฒ significa che la probabilitร associata all'evento impossibile รจ nulla.
246 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
- Piรน in generale essendo E๐ ed E, disgiunti e poichรฉ E๐ โช E = ๐บ ri-
sulta:
Pr{E๐ โช E} = Pr{E๐} + Pr{E} = Pr{ฮฉ} = 1 (13.2.8)
Discende:
Pr{E๐} = 1 โ Pr{E} (13.2.9)
Pertanto la probabilitร associata al complementare di un evento E รจ il
complemento ad 1 della probabilitร associata ad E.
- Dati E1 e E2, l'evento E1 puรฒ essere scomposto nei due eventi di-
sgiunti (v. Fig.13.2) E1 โฉ E2 e E1 โฉ E2๐ . Risulta quindi:
a) Pr{E1} = Pr{E1 โฉ E2} + Pr{E1 โฉ E2๐}
(13.2.10) b) Pr{E2} = Pr{E1 โฉ E2} + Pr{E1
๐ โฉ E2}
sommate termine a termine le (13.2.10)forniscono:
Pr{E1} + Pr{E2}
= 2Pr{E1 โฉ E2} + Pr{E1 โฉ E2๐} + Pr{E1
๐ โฉ E2} (13.2.11)
Poichรฉ gli eventi E1 โฉ E2, E1 โฉ E2๐ e E1
๐ โฉ E2
sono disgiunti e la loro unione vale E1 โช E2, si
ha:
cosicchรฉ dalle precedenti si deduce facilmente:
Pr{E1 โช E2} = Pr{E1} + Pr{E2} โ Pr{E1 โฉ E2} (13.2.13)
che costituisce una generalizzazione della proprietร (13.2.1)c al caso di
eventi non disgiunti (vedi Fig.13.2).
Esempio 13.1
Un calcolatore cercherร di collegarsi per dieci minuti, a partire da un
istante a caso di una data ora, ad un server. Il quale, in un istante a caso di
quella stessa ora, verrร spento per subire un intervento di manutenzione.
Quanto dovrร durare al piรน lโintervento di manutenzione affinchรฉ vi sia una
probabilitร maggiore o uguale al 50% che il collegamento vada a buon fine?
Pr{E1 โช E2}
= Pr{E1 โฉ E2} + Pr{E1 โฉ E2๐}
+ Pr{E1๐ โฉ E2}
(13.2.12)
Fig.13.2 โ Partizione dellโu-nione in eventi disgiunti.
CAPITOLO - 13 - Richiami di Teoria della Probabilitร - 247
*****
Come risultato dellโesperimento casua-
le, si puรฒ assumere la coppia degli istanti t1
in cui inizia la trasmissione e t2 dโinizio
dellโintervento di manutenzione. Lโinsieme
dei risultati si puรฒ quindi rappresentare
mediante un quadrato di lato 60 minuti
(vedi Fig.E 13.1). Gli eventi sono rappre-
sentabili mediante sottoinsiemi di punti del
quadrato. La probabilitร di un generico
evento, data la pura casualitร di t1 e t2, รจ da-
ta dal rapporto tra lโarea del sottoinsieme e lโarea del quadrato.
Osserviamo che il collegamento andrร a buon fine se la manutenzione si
รจ giร conclusa quando il calcolatore si connette al server ovvero se la manu-
tenzione inizia dopo che il calcolatore ha finito di trasmettere. Detta T la du-
rata dellโintervento di manutenzione le eventualitร appena descritte si tradu-
cono nelle disuguaglianze:
๐ก2 + ๐ โค ๐ก1
๐ก1 + 10 โค ๐ก2
le quali individuano i due eventi incompatibili E1 e E2 evidenziati in figura
Fig.E 13.1.
Lโevento dโinteresse รจ quindi costituito dallโunione dei due eventi in que-
stione e, per quanto detto sopra, la sua probabilitร vale:
๐๐{E1 โช E2} =1250+
(60โ๐)2
2
3600
Il valore di ๐ si ottiene quindi risolvendo la disequazione PrE1E2 โฅ .
Si ha:
๐2 โ 120๐ + 2500 โฅ 0
Che รจ soddisfatta allโesterno dellโintervallo (10(6 โ โ11), 10(6 +
โ11)) considerato che lโestremo superiore di detto intervallo รจ maggiore di
60 la soluzione รจ:
๐ โค 10(6 โ โ11) โ 26,83๐๐๐ โก 26โฒ50โณ
Probabilitร condizionate - Formula di Bayes - Teore-13.3 - ma delle probabilitร composte.
Siano E1 ed E2 due eventi associati ad un esperimento casuale, e
si denotino rispettivamente con ๐ฅ๐E1 e ๐ฅ๐E1โฉE2
il numero di volte che,
Fig.E 13.1
248 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
su un totale di ๐ ripetizioni dell'esperimento casuale, si manifestano gli
eventi E1 e E1 โฉ E2. Dallโuguaglianza:
๐ฅ๐E1โฉE2๐
=๐ฅ๐E1โฉE2๐ฅ๐E1
โ ๐ฅ๐E1๐
(13.3.1)
si ottiene, passando al limite per ๐ โ โ
Pr{E1 โฉ E2} = Pr{E2|E1}Pr{E1} (13.3.2)
dove:
Pr{E2|E1} = lim๐โโ
๐ฅ๐E1โฉE2๐ฅ๐E1
(13.3.3)
Osservando che ๐ฅ๐E1โฉE2
๐ฅ๐E1
rappresenta il rapporto fra il numero di
volte in cui, in un totale di ๐ ripetizioni dell'esperimento casuale, si veri-
fica l'evento E1 โฉ E2 e il numero di volte con cui si verifica l'evento E1,
la Pr{E2|E1} puรฒ essere interpretata come la probabilitร che si verifichi
l'evento E2 sotto l'ipotesi che E1 sia soddisfatto. Per questo motivo
Pr{E2|E1} รจ detta probabilitร dell'evento E2 condizionata allโevento E1.
In modo analogo puรฒ scriversi:
Pr{E1 โฉ E2} = Pr{E1|E2}๐๐{E2} (13.3.4)
dove Pr{E1|E2} denota la probabilitร che si manifesti E1 atteso che E2
sia verificato.
Eguagliando i secondi membri delle (13.3.2) e (13.3.4) si ottiene:
Pr{E1|E2} = Pr{E2|E1}Pr{E1}
Pr{E2} (13.3.5)
nota come formula di Bayes. Essa stabilisce la relazione tra le probabilitร
condizionate e quelle non condizionate degli eventi E1 e E2.
Se risulta:
Pr{E1|E2} = Pr{E1}, o Pr{E2|E1} = Pr{E2} (13.3.6)
cioรจ se la probabilitร con cui si manifesta E1 (E2) รจ indipendente dalla
circostanza che E2 (E1) sia verificato, i due eventi si dicono statisticamente
indipendenti. Pertanto, in base alle (13.3.2) e (13.3.4) si ha:
Pr{E1 โฉ E2} = Pr{E1}Pr{E2} (13.3.7)
CAPITOLO - 13 - Richiami di Teoria della Probabilitร - 249
La probabilitร dell'intersezione di due eventi indipendenti si ridu-
ce cioรจ semplicemente al prodotto delle probabilitร associate ai singoli
eventi. Ci si convince facilmente che due eventi disgiunti aventi entram-
bi probabilitร non nulla di verificarsi non possono essere statisticamente
indipendenti.
Esempio 13.2
Nellโesperimento consistente nel lancio
di due dadi si consideri lโevento E1:โil risul-
tato del lancio del primo dado รจ la faccia
treโ e lโevento E2: โil risultato del lancio
del secondo dado รจ la faccia quattroโ. Si ve-
rifichi che i due eventi sono statisticamente
indipendenti.
Lo spazio dei risultati dellโesperimento
considerato รฉ costituito da 36 elementi (tutte
le possibili coppie ordinate di risultati).
Lโevento E1 รจ dato da:
E1 = {(๐3, ๐1), (๐3, ๐2), (๐3, ๐3), (๐3, ๐4), (๐3, ๐5), (๐3, ๐6)}
la sua probabilitร vale 1/6. Lโevento E2 รจ dato da:
E2 = {(๐1, ๐4), (๐2, ๐4), (๐3, ๐4), (๐4, ๐4), (๐5, ๐4), (๐6, ๐4)}
anche la sua probabilitร vale 1/6.
Lโevento E1 โฉ E2{(๐1, ๐2)} ha probabilitร 1/36 di verificarsi. Poichรฉ
risulta anche Pr(E1)Pr(E2)36 i due eventi in questione sono sta-
tisticamente indipendenti.
Si consideri una famiglia al piรน numerabile {E๐} di sottoinsiemi di
ฮฉ a due a due disgiunti, tale che โE๐ = ฮฉ. Un qualunque evento si puรฒ
scrivere (v. Fig. 13.3):
E = โช (๐ธ โฉ ๐ธ๐)โ
๐=1 (13.3.8)
Essendo:
(E โฉ E๐) โฉ (E โฉ E๐) = โ โ๐ โ ๐ (13.3.9)
si ha:
๐๐{E} = โPr{E โฉ E๐}
โ
๐=1
(13.3.10)
Fig. 13.3 - Teorema delle pro-babilitร composte.
250 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
che, utilizzando la (13.3.2), fornisce:
Pr{E} = โPr{E|E๐}Pr{E๐}
โ
๐=1
(13.3.11)
nota come teorema delle probabilitร composte.
Esempio 13.3
Un ricevitore si connette casualmente con una di tre sorgenti di segnali
๐1, ๐2 e ๐3 che emettono due messaggi ๐ด e ๐ต secondo lo schema sotto ripor-
tato:
๐1 โ {๐ด; ๐๐{๐ด} =
7
10
๐ต; ๐๐{๐ต} =3
10
; ๐2 โ {๐ด; ๐๐{๐ด} =
1
2
๐ต; ๐๐{๐ต} =1
2
๐3 โ {๐ด; ๐๐{๐ด} =
3
5
๐ต; ๐๐{๐ต} =2
5
;
- Supposto che il ricevitore riceva il messaggio ๐ด qual รจ la probabilitร che
esso provenga dalla sorgente ๐3?
- Se al ricevitore perviene il messaggio B qual รจ la probabilitร che esso
provenga dalla sorgente S3?
*****
Lo spazio dei risultati รจ costituito dal prodotto cartesiano tra lโinsieme
delle sorgenti e lโinsieme dei messaggi ricevuti:
Z = {(๐1, ๐ด), (๐1, ๐ต), (๐2, ๐ด), (๐2, ๐ต), (๐3, ๐ด), (๐3, ๐ต)}
Lโevento โร stato ricevuto il messaggio ๐ดโ รจ il sottoinsieme:
E๐ด = {(๐1, ๐ด), (๐2, ๐ด), (๐3, ๐ด)}
Lโevento โร connessa ๐3โ รจ il sottoinsieme:
E๐3 = {(๐3, ๐ด), (๐3, ๐ต)}
La prima probabilitร richiesta รจ data dalla probabilitร condizionata
Pr{๐ธ๐3| ๐ธ๐ด} la quale, in base alla formula di Bayes, vale:
Pr{E๐3|E๐ด} =Pr{E๐ด|E๐3}Pr{E๐3}
Pr{E๐ด}
Supponendo che le connessioni del ricevitore con le tre sorgenti av-
vengano con eguale probabilitร , รจ facile riconoscere che si ha:
Pr{E๐ด|E๐3} =3
5; Pr{E๐3} =
1
3
D'altra parte la probabilitร che al ricevitore si presenti il messaggio ๐ด,
dato che gli eventi ๐ธ๐1 , ๐ธ๐2 ed ๐ธ๐3 sono disgiunti, vale:
CAPITOLO - 13 - Richiami di Teoria della Probabilitร - 251
Pr{E๐ด} = Pr{E๐ด|E๐1}Pr{E๐1} + Pr{E๐ด|E๐2}Pr{E๐2} + Pr{E๐ด|E๐3}Pr{E๐3}
=7
10
1
3+1
2
1
3+3
5
1
3=3
5
Risulta allora:
โPr{E๐3|E๐ต} =
2
5
1
32
5
=1
3
Procedendo in modo analogo si ha per il secondo quesito posto:
Pr{E๐3|E๐ต} =Pr{E๐ต|E๐3}Pr{E๐3}
Pr{E๐ต}
Essendo
Pr{E๐ต|E๐3} =2
5
e
โโPr{E๐ต} = Pr{E๐ต|E๐1}Pr{E๐1} + Pr{E๐ต|E๐2}๐๐{E๐2} + Pr{E๐ต|E๐3}๐๐{E๐3} =2
5
= 1 โ Pr{E๐ด}
risulta:
Pr{E๐3|E๐ต} =1
3
Inoltre essendo Pr{๐ธ๐3| ๐ธ๐ต} = Pr{๐ธ๐3| ๐ธ๐ด}, si conclude che la deci-
sione a favore della terza sorgente non dipende dal messaggio ricevuto.
CAPITOLO - 14
VARIABILI ALEATORIE
Variabili aleatorie monodimensionali. 14.1 -
Si consideri un esperimento casuale caratterizzato da uno spazio
di probabilitร :
๐=(ฮฉ,โฐ,๐๐) (14.1.1)
e sia ๐(โ ) un'applicazione che fa corrispondere ad ogni risultato ํ โ ฮฉ
un numero reale. Il dominio di tale applicazione รจ quindi l'intero spazio
dei risultati, il suo codominio รจ il campo reale โ.
Se โ๐ฅ โ โ il sottoinsieme E๐ฅ = ๐โ1(]โโ, ๐ฅ]), composto cioรจ da
tutti i risultati a cui, tramite l'applicazione ๐(โ ), corrisponde un valore
non superiore a ๐ฅ, costituisce un evento, cioรจ se:
E๐ฅ = {ํ / ๐(ํ) โค ๐ฅ} โ โฐ (14.1.2)
si dice che ๐11 รจ una variabile aleatoria associata all'esperimento casuale.
Ad esempio se nell'esperimento casuale โlancio di una monetaโ, as-
sumendo โฐ={โ , {testa}, {croce}, ฮฉ}, si definisce l'applicazione ๐(โ ) che as-
socia al risultato โtestaโ il valore 0 e al risultato โcroceโ il valore 1, si รจ de-
finita una variabile aleatoria. Infatti:
- ogni semiretta ]โโ, ๐ฅ]con ๐ฅ < 0 ha come controimmagine nell'insieme
dei risultati l'insieme vuoto che รจ un evento;
- ogni semiretta ]โโ, ๐ฅ] con 0 โค ๐ฅ < 1 ha come controimmagine l'in-
sieme E๐ฅ = {testa} โ โฐ;
- ogni semiretta ]โโ, ๐ฅ] con ๐ฅ โฅ 1 ha come controimmagine l'insieme ฮฉ
che รจ anch'esso un evento.
In sostanza definire una variabile aleatoria equivale a costruire un
nuovo esperimento casuale che ha come spazio dei risultati l'insieme โ,
e come classe di eventi โฌ la classe minima che contiene tutte le semirette
del tipo ]โโ, ๐ฅ] e che soddisfa le (13.2.2). Detta classe coincide con
11 Il fatto che la variabile aleatoria venga abitualmente indicata con una lettera maiuscola ad es.
๐ e non con ๐(ํ) รจ unโulteriore motivo di confusione per lo studente che dimentica facilmente
che malgrado venga chiamata variabile, si tratta di unโapplicazione.
254 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
quella costituita da tutti i possibili sottoinsiemi di โ che siano misurabili
secondo Lebesgue (la classe di Borel). Gli insiemi in essa contenuti sono
detti insiemi di Borel. Detto B il generico elemento di tale classe, la proba-
bilitร ad esso associata รจ uguale a quella della sua controimmagine
๐โ1(B), che, in virtรน della definizione di variabile aleatoria, รจ certamente
un evento nello spazio di probabilitร ๐. In altri termini, la probabilitร
dell'evento B โ โ vale Pr{๐โ1(B)}.
In conclusione definire una variabile aleatoria su un esperimento
casuale equivale a definire una misura sulla classe di Borel di โ. Detta
misura dipende sia dall'esperimento casuale considerato, sia dalla parti-
colare variabile aleatoria che in esso si รจ definita. Quindi variabili aleato-
rie distinte definiscono misure distinte in โ.
Funzione di distribuzione di probabilitร . 14.2 -
Si consideri un esperimento casuale caratterizzato da uno spazio
di probabilitร ๐=(ฮฉ,โฐ,Prโฐ). Come giร detto, definire una variabile aleato-
ria ๐ equivale a costruire un nuovo esperimento casuale ๐ = (ฮฉ,โฌ, Prโฌ).
Ci si rende facilmente conto che รจ possibile calcolare la probabilitร
Prโฌ{B} da attribuire al generico evento B โ โฌ se si definisce la seguente
applicazione avente โ come dominio:
๐๐(๐ฅ) = Pr(๐ธ๐ฅ) (14.2.1)
Essa รจ detta funzione di distribuzione di probabilitร , (Probability Distribution
Function), associata alla variabile aleatoria ๐. Poichรฉ, in base alla sua stes-
sa definizione la ๐๐(โ ) associa ad ogni ๐ฅ โ โ la probabilitร dell'evento
E๐ฅ = ๐โ1(]โโ, ๐ฅ]), essa puรฒ assumere soltanto valori appartenenti
all'intervallo [0,1].
Nel seguito sarร dedotta la probabilitร da associare ad alcuni sot-
toinsiemi di โ, nota che sia la funzione di distribuzione di probabilitร
della variabile aleatoria ๐:
- intervallo semiaperto a sinistra
Sia:
B = ]๐, ๐] (14.2.2)
poichรฉ:
]โโ, ๐] = ]โโ, ๐] โช B (14.2.3)
e
CAPITOLO - 14 - Variabili Aleatorie - 255
]โโ, ๐] โฉ B = โ (14.2.4)
si puรฒ scrivere:
Pr(B) = ๐๐(๐) โ ๐๐(๐) (14.2.5)
- semiretta dโorigine destra aperta
Sia
B = (โโ, ๐) (14.2.6)
Sia {๐ฅ๐} una qualunque successione convergente ad ๐, non decrescente,
e tale che โ๐ โ โ risulti ๐ฅ๐ โ ๐, detto B๐ = (โโ, ๐ฅ๐] si puรฒ scrivere:
B = โช B๐โ
๐=1 (14.2.7)
โช B๐โ๐=1 รจ un evento in quanto unione numerabile di eventi; inoltre, poi-
chรฉ ๐ > ๐ โ B๐ โ B๐ risulta Pr{โช B๐๐๐=1 } = Pr{B๐} = ๐๐(๐ฅ๐).
Si ha quindi:
Pr(B) = ๐๐(๐โ) (14.2.8)
dove ๐๐(๐โ) = Pr{โช B๐
โ๐=1 }. Ci si convince facilmente che la quantitร
๐๐(๐โ) รจ indipendente dalla successione {๐ฅ๐} considerata, e coincide con
il limite della funzione di distribuzione ๐๐(๐ฅ) per ๐ฅ che tende ad ๐ dalla
sinistra.
- intervallo chiuso
Sia
B = [๐, ๐] (14.2.9)
Poichรฉ risulta:
]โโ, ๐] = (โโ, ๐) โช B (14.2.10)
essendo (โโ, ๐) โฉ B = โ , utilizzando la (14.2.8) si ottiene:
Pr(B) = ๐๐(๐) โ ๐๐(๐โ) (14.2.11)
- punto isolato
Sia:
B = {๐ฅ0} (14.2.12)
Ponendo nella (14.2.9) ๐ = ๐ = ๐ฅ0 la (14.2.11) fornisce:
Pr(B) = ๐๐(๐ฅ0) โ ๐๐(๐ฅ0โ) (14.2.13)
256 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
- intervallo aperto
Posto:
B = (๐, ๐) (14.2.14)
dato che:
(โโ, ๐) = ]โโ, ๐] โช B (14.2.15)
si ottiene:
Pr(B) = ๐๐(๐โ) โ ๐๐(๐) (14.2.16)
- intervallo semiaperto a destra
Sia
B = [๐, ๐) (14.2.17)
Risulta facilmente:
Pr{B} = ๐๐(๐โ) โ ๐๐(๐
โ) (14.2.18)
Quanto sopra esposto, evidenzia chiaramente che la distribuzione
di probabilitร fornisce una descrizione statistica completa della variabile
aleatoria X . Cosicchรฉ, normalmente, si fa riferimento allo spazio di pro-
babilitร indotto in โ dalla variabile aleatoria, piuttosto che allo spazio di
probabilitร originario ๐.
Ad esempio nel caso della variabile aleatoria ๐, che nel lancio di
una moneta associa 0 al risultato testa e 1 al risultato croce, si ottiene,
assumendo gli eventi {testa} e {croce} equiprobabili:
๐๐(๐ฅ) = {
0; ๐ฅ < 01
2; 0 โค ๐ฅ < 1
1; ๐ฅ โฅ 1
; (14.2.19)
Proprietร della distribuzione di probabilitร . 14.3 -
La distribuzione di probabilitร caratterizza completamente una
variabile aleatoria. ร quindi importante studiarne le proprietร . In quel
che segue se nโelencano alcune.
- valori limite
Sia ๐๐(๐ฅ) la distribuzione di probabilitร di una variabile aleatoria
๐. Se si fa tendere il suo argomento a โโ l'insieme ]โโ, ๐ฅ] si identifica
con l'insieme vuoto, che ha se stesso come controimmagine in ฮฉ.
CAPITOLO - 14 - Variabili Aleatorie - 257
Deve quindi essere:
lim๐ฅโโโ
๐๐(๐ฅ) = Pr{โ } = 0 (14.3.1)
Se viceversa si fa tendere ๐ฅ a +โ l'insieme ]โโ, ๐ฅ] si identifica
con โ la cui controimmagine, secondo ๐, รจ ฮฉ cosicchรฉ risulta:
lim๐ฅโโ
๐๐(๐ฅ) = Pr(โ) = 1 (14.3.2)
indipendentemente dalla variabile aleatoria considerata.
- monotonia e limitatezza
Si considerino ๐ฅ1 ed ๐ฅ2 con ๐ฅ1 < ๐ฅ2. La probabilitร dell'evento
controimmagine di ]๐ฅ1, ๐ฅ2] secondo la variabile aleatoria ๐, non puรฒ es-
sere negativa. Utilizzando la (14.2.5) si ottiene:
0 โค Pr{๐โ1(]๐ฅ1, ๐ฅ2])} = ๐๐(๐ฅ2) โ ๐๐(๐ฅ1) (14.3.3)
Ne segue, data l'arbitrarietร nella scelta di ๐ฅ1 ed ๐ฅ2, che la distri-
buzione di probabilitร รจ una funzione non decrescente del suo argomen-
to. Inoltre, tenendo presente la (14.3.2), รจ:
๐๐(๐ฅ) โค ๐๐(+โ) = 1 (14.3.4)
Pertanto, la distribuzione di probabilitร รจ una funzione limitata.
- continuitร a destra
Sia data una qualunque successione {โ๐} tendente a zero, non
crescente e tale che โ๐ โ N risulti โ๐ > 0. Si consideri la famiglia di
eventi {]๐ฅ0, ๐ฅ0 + โ๐]}. La probabilitร dell'evento ]๐ฅ0, ๐ฅ0 + โ๐] vale per la
(14.2.5):
Pr{๐โ1(]๐ฅ0, ๐ฅ0 + โ๐])} = ๐๐(๐ฅ0 + โ๐) โ ๐๐(๐ฅ0) (14.3.5)
Poichรฉ evidentemente:
โฉ ]๐ฅ0, ๐ฅ0 + โ๐]๐
๐=1= ]๐ฅ0, ๐ฅ0 + โ๐] (14.3.6)
e visto che, indipendentemente dalla scelta della successione, รจ
โฉ (๐ฅ0, ๐ฅ0 + โ๐]โ๐=1 = โ si ha:
0 = Pr{๐โ1( lim๐โโ
โฉ ]๐ฅ0, ๐ฅ0 + โ๐]๐
๐=1)}
= Pr{๐โ1( lim๐โโ
]๐ฅ0, ๐ฅ0 + โ๐])} = lim๐โโ
๐๐(๐ฅ0 + โ๐) โ ๐๐(๐ฅ0)
= ๐๐(๐ฅ0+) โ ๐๐(๐ฅ0)
(14.3.7)
258 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
che equivale ad affermare che la distribuzione di probabilitร รจ una fun-
zione continua a destra. Risulta cioรจ:
lim๐ฅโ๐ฅ0
+๐๐(๐ฅ) โก ๐๐(๐ฅ0
+) = ๐๐(๐ฅ0) (14.3.8)
- limiti da sinistra
Sia data la famiglia dโeventi {(๐ฅ0 โ โ๐, ๐ฅ0]} dove {โ๐} รจ una suc-
cessione del tipo appena introdotto. La probabilitร del generico evento
della famiglia, espressa in termini della distribuzione di probabilitร della
variabile aleatoria, vale:
Pr{๐โ1]๐ฅ0 โ โ๐ , ๐ฅ0]} = ๐๐(๐ฅ0) โ ๐๐(๐ฅ0 โ โ๐) (14.3.9)
Poichรฉ, indipendentemente dalla {โ๐}, รจ โฉ (๐ฅ0 โ โ๐ , ๐ฅ0]โ๐=1 = {๐ฅ0},
si ha:
lim๐ฅโ๐ฅ0
โ๐๐(๐ฅ) โก ๐๐(๐ฅ0
โ) = ๐๐(๐ฅ0) โ Pr{๐โ1({๐ฅ0})} (14.3.10)
Ciรฒ significa che, solo se la probabilitร dell'evento controimmagine di
{๐ฅ0} รจ nulla, la ๐๐(โ ) รจ continua a sinistra in ๐ฅ0 e quindi รจ una funzione
continua in ๐ฅ0. Ciรฒ puรฒ verificarsi o perchรฉ la variabile aleatoria non at-
tribuisce il valore ๐ฅ0 a nessun risultato dell'esperimento casuale, il che in
altri termini significa che ๐โ1({๐ฅ0}) = โ , ovvero se, pur essendo
๐โ1({๐ฅ0}) โ โ , la probabilitร di questโevento รจ nulla.
- numero di discontinuitร
Sia D l'insieme dei punti di discontinuitร della ๐๐(โ ). L'insieme D
puรฒ essere ottenuto come unione di una famiglia dโinsiemi disgiunti, il
cui generico elemento B๐ contiene tutti i punti di discontinuitร in corri-
spondenza dei quali il salto della ๐๐(โ ) ha unโampiezza contenuta nell'in-
tervallo I๐ = ]1
2๐,
1
2๐โ1]. Risulta evidentemente:
โช I๐โ
๐=1= (0,1] (14.3.11)
Dal fatto che per qualunque evento B deve necessariamente essere
Pr{๐โ1(B)} โค 1 discende che ciascun B๐ deve essere finito, in particola-
re esso puรฒ contenere al piรน 2๐ elementi.
In virtรน delle considerazioni appena fatte, si puรฒ affermare che
l'insieme dei punti di discontinuitร di una funzione di distribuzione di
probabilitร รจ al piรน numerabile, in quanto unione numerabile di insiemi
finiti.
CAPITOLO - 14 - Variabili Aleatorie - 259
L'andamento della funzione di distribuzione di probabilitร asso-
ciata ad una data variabile aleatoria, suggerisce una possibile classifica-
zione delle variabili aleatorie. Precisamente, se la ๐๐(๐ฅ) รจ continua in โ,
la variabile aleatoria cui essa รจ associata si dice di tipo continuo, se la ๐๐(๐ฅ)
รจ una funzione costante a tratti la variabile si dice di tipo discreto, nei re-
stanti casi si parla di variabile aleatoria di tipo misto.
Per maggior chiarezza, gli andamenti tipici della funzione di di-
stribuzione di probabilitร per i diversi tipi di variabili aleatorie sono mo-
strati in Fig. 14.1
Si noti che una variabile aleatoria discreta รจ completamente defi-
nita una volta che siano noti l'insieme D = {๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ } dei punti di di-
scontinuitร e l'ampiezza dei salti ๐๐ โก Pr{๐โ1({๐ฅ๐})} che la distribuzione
di probabilitร presenta in corrispondenza ad essi.
L'applicazione ๐(๐ฅ๐) che associa ad ogni elemento di D la rispet-
tiva ๐๐ prende il nome di distribuzione di massa. ร evidente che la cono-
scenza della distribuzione di massa, per una variabile aleatoria discreta, รจ
in tutto equivalente alla conoscenza della sua distribuzione di probabili-
tร , in quanto, nota la prima, si puรฒ ricavare facilmente la seconda e vice-
versa.
Quale che sia la variabile aleatoria discreta, risulta ovviamente:
โ๐๐๐
= 1 (14.3.12)
dove la sommatoria sโintende estesa a tutti gli elementi di D che รจ, come
sopra mostrato, al piรน numerabile.
In particolare la probabilitร che la variabile aleatoria ๐ assuma va-
lori appartenenti ad un generico insieme I vale:
Fig. 14.1 PX ( x) tipica di una variabile aleatoria di tipo continuo, discreto, misto
260 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
Pr{๐โ1(I)} = Pr{๐โ1(I โฉ D)} = โ ๐๐๐|๐ฅ๐โ๐ผ
(14.3.13)
Densitร di probabilitร di una variabile aleatoria con-14.4 - tinua.
Una variabile aleatoria di tipo continuo che ammetta una distri-
buzione di probabilitร derivabile in tutto โ puรฒ essere caratterizzata an-
che mediante la cosiddetta densitร di probabilitร ๐๐(โ ) (probability density
function):
๐๐(๐ฅ) =๐๐๐(๐ฅ)
๐๐ฅ (14.4.1)
Dalle proprietร viste nel paragrafo precedente, relative alla distri-
buzione di probabilitร , si deducono facilmente le corrispondenti pro-
prietร che caratterizzano la funzione densitร di probabilitร di una varia-
bile aleatoria.
Poichรฉ la distribuzione di probabilitร รจ una primitiva della rispet-
tiva densitร deve risultare:
โซ ๐๐(๐ฅ)๐๐ฅ =๐
๐
๐๐(๐) โ ๐๐(๐) โก Pr{๐โ1((๐, ๐])} (14.4.2)
Se l'integrale si estende all'intero asse reale si ottiene:
โซ ๐๐(๐ฅ)๐๐ฅ =โ
โโ
๐๐(โ) โ ๐๐(โโ) = 1 (14.4.3)
che รจ la cosiddetta condizione di normalizzazione. Essa in sostanza significa
che l'area sottesa dalla densitร di probabilitร di una variabile aleatoria รจ
sempre unitaria.
Inoltre poichรฉ la ๐๐(๐ฅ) รจ una funzione non decrescente del suo
argomento, la densitร di probabilitร di una variabile aleatoria non puรฒ
assumere valori negativi.
๐๐(๐ฅ) โฅ 0 (14.4.4)
Volendo attribuire un significato non puramente formale alla
densitร di probabilitร , si osservi che essa, espressa sotto forma di limite
del rapporto incrementale della corrispondente distribuzione, puรฒ porsi
nella forma:
CAPITOLO - 14 - Variabili Aleatorie - 261
๐๐(๐ฅ0) = lim๐ฅ๐ฅโ0
๐๐(๐ฅ0 + ๐ฅ๐ฅ) โ ๐๐(๐ฅ0)
๐ฅ๐ฅ
= lim๐ฅ๐ฅโ0+
Pr{๐โ1((๐ฅ0, ๐ฅ0 + ๐ฅ๐ฅ])}
|๐ฅ๐ฅ|
= lim๐ฅ๐ฅโ0โ
Pr{๐โ1((๐ฅ0 + ๐ฅ๐ฅ, ๐ฅ0])}
|๐ฅ๐ฅ|
(14.4.5)
da cui si deduce facilmente che, a meno di infinitesimi di ordine supe-
riore a |๐ฅ๐ฅ|, risulta:
Pr{๐โ1((๐ฅ0, ๐ฅ0 + ๐ฅ๐ฅ])} = Pr{๐
โ1((๐ฅ0 + ๐ฅ๐ฅ, ๐ฅ0])}
= ๐๐(๐ฅ0)|๐ฅ๐ฅ| (14.4.6)
che sโinterpreta affermando che, il prodotto ๐๐(๐ฅ0)|๐ฅ๐ฅ| esprime indiffe-
rentemente la probabilitร di uno dei due eventi che compaiono nella
precedente.
Densitร di probabilitร di una variabile aleatoria di-14.5 - screta.
Il concetto di densitร di probabilitร puรฒ essere esteso facilmente
anche al caso di variabili aleatorie di tipo discreto, pur di intendere la de-
rivata che compare nella (14.4.1) in senso distribuzionale.
Una variabile di tipo discreto ha quindi una densitร di probabilitร
costituita da un insieme di delta di Dirac localizzate nei punti di di-
scontinuitร e di ampiezza pari ai rispettivi salti della corrispondente di-
stribuzione di probabilitร .
ร facile rendersi conto che la condizione di normalizzazione vale
anche per le variabili aleatorie di tipo discreto. Risulta infatti:
โซ ๐๐(๐ฅ)๐๐ฅโ
โโ
= โซ โ (๐๐(๐ฅ๐) โ ๐๐(๐ฅ๐_))๐ฟ(๐ฅ โ ๐ฅ๐)
๐|๐ฅ๐โ๐ท
๐๐ฅโ
โโ
=โ๐๐๐
= 1
(14.5.1)
Inoltre, poichรฉ il peso di ciascuna delta esprime la probabilitร dell'evento
๐โ1({๐ฅ๐}), esso non puรฒ essere negativo.
La generalizzazione del concetto di densitร di probabilitร al caso
delle variabili aleatorie di tipo misto รจ immediata.
262 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
ร opportuno precisare che, nel caso di variabili aleatorie discrete
o miste, occorre procedere con cautela nel calcolo dโintegrali della ๐๐(โ ).
Si considerino ad esempio i due integrali:
a) โซ ๐๐(๐ฅ)๐๐ฅ๐+
๐+= ๐๐{๐โ1((๐, ๐])}
(14.5.2)
b) โซ ๐๐(๐ฅ)๐๐ฅ๐โ
๐+= ๐๐{๐โ1((๐, ๐))}
Se ๐ รจ una variabile aleatoria continua, essi evidentemente conducono
allo stesso risultato, se invece la variabile aleatoria รจ di tipo misto, effet-
tuare il calcolo secondo la (14.5.2)a, o la (14.5.2)b equivale a considerare
o neno il contributo all'integrale di una delta di Dirac, dovuta
allโeventuale presenza in corrispondenza del punto ๐ di una disconti-
nuitร della ๐๐(๐ฅ). I risultati ottenuti potrebbero quindi essere sostan-
zialmente diversi.
Variabili aleatorie bidimensionali. Funzioni di proba-14.6 - bilitร congiunte.
Sia ๐=(ฮฉ,โฐ,Pr) uno spazio di probabilitร e siano ๐ ed ๐ due va-
riabili aleatorie definite sull'insieme dei risultati. Ad ogni coppia (๐ฅ, ๐ฆ) di
numeri reali, si puรฒ associare il sottoinsieme di ฮฉ cosรฌ definito:
E๐ฅ๐ฆ = E๐ฅ โฉ E๐ฆ = {ํ | ๐(ํ) โค ๐ฅ โ ๐(ํ) โค ๐ฆ} (14.6.1)
Detto insieme costituisce un evento, in quanto intersezione di
due eventi. Si dice allora che la coppia di variabili aleatorie ๐, ๐ definisce
una variabile aleatoria bidimensionale associata ad ๐.
Come nel caso monodimensionale, una variabile aleatoria bidi-
mensionale รจ statisticamente caratterizzata dalla funzione ๐๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) cosรฌ
definita:
๐๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) = Pr{E๐ฅ๐ฆ} (14.6.2)
che prende il nome di distribuzione di probabilitร congiunta.
Dal momento che evidentemente {ํ|๐(ํ) < โ} = {ํ|๐(ํ) < โ} = ฮฉ
e poichรฉ ฮฉ โฉ E = E valgono le: a) ๐๐๐(โ, ๐ฆ) = ๐๐(๐ฆ)
(14.6.3) b) ๐๐๐(๐ฅ,โ) = ๐๐(๐ฅ)
CAPITOLO - 14 - Variabili Aleatorie - 263
cioรจ le distribuzioni di probabilitร (monodimensionali) associate alle va-
riabili aleatorie ๐ ed ๐ possono essere dedotte dalla distribuzione di
probabilitร congiunta associata alla variabile aleatoria bidimensionale
(๐, ๐). In omaggio a questa circostanza, talvolta le funzioni ๐๐(๐ฅ) e
๐๐(๐ฆ) sono denominate distribuzioni marginali.
La funzione distribuzione di probabilitร congiunta gode delle
proprietร qui sotto elencate:
- Se si fa tendere ๐ฅ o ๐ฆ a โโ, l'insieme E๐ฅ๐ฆ tende all'insieme vuoto. Si
ha pertanto:
a) ๐๐๐(โโ, ๐ฆ) = 0 (14.6.4)
b) ๐๐๐(๐ฅ, โโ) = 0
- Se si fanno tendere entrambe le quantitร ๐ฅ e ๐ฆ a +โ l'insieme Exy
tende a ฮฉ, ciรฒ comporta
๐๐๐(โ,โ) = 1 (14.6.5)
- Poichรฉ ๐ฅ1 โค ๐ฅ2 e ๐ฆ1 โค ๐ฆ2 implica E๐ฅ1๐ฆ1 โ E๐ฅ2๐ฆ2 la PXY(โ ,โ ) deve
soddisfare la proprietร :
๐๐๐(๐ฅ1, ๐ฆ1) โค ๐๐๐(๐ฅ2, ๐ฆ2) (14.6.6)
La caratterizzazione statistica di una variabile bidimensionale
(๐, ๐) puรฒ essere ottenuta per mezzo della cosiddetta densitร di probabilitร
congiunta:
๐๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) =๐2๐๐๐(๐ฅ, ๐ฆ)
๐๐ฅ๐๐ฆ (14.6.7)
ร possibile mostrare che, analogamente al caso delle variabili con-
tinue monodimensionali, nel caso di variabili aleatorie continue bidi-
mensionali, ๐๐๐(๐ฅ, ๐ฆ)|๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฆ| esprime, a meno di infinitesimi di ordine
superiore, la probabilitร dell'evento {ํ|๐ฅ < ๐(ํ) < ๐ฅ + ๐ฅ๐ฅ โ ๐ฆ < ๐(ํ) <
๐ฆ + ๐ฅ๐ฆ}.
Se la derivata che compare nella (14.6.7) รจ intesa in senso genera-
lizzato, il concetto di densitร di probabilitร puรฒ essere esteso al caso di
variabili aleatorie bidimensionali discrete o miste per le quali la funzione
๐๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) puรฒ presentare dei salti di ampiezza finita.
264 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
Le proprietร della funzione ๐๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) sopra riportate, si traducono
facilmente in termini della funzione ๐๐๐(๐ฅ, ๐ฆ). Si ha cosรฌ:
๐๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) โฅ 0 (14.6.8)
e
โซ โซ ๐๐๐(๐, ํ)๐๐๐ํ
๐ฆ2
๐ฆ1
๐ฅ2
๐ฅ1
= Pr{ํ|๐ฅ1 < ๐(ํ) โค ๐ฅ2 โ ๐ฆ1 < ๐(ํ)
โค ๐ฆ2}
(14.6.9)
In particolare dalla (14.6.9) si ha:
๐๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) = โซ โซ ๐๐๐(๐, ํ)๐๐๐ํ๐ฆ
โโ
๐ฅ
โโ
(14.6.10)
La condizione (14.4.3) si traduce nella seguente condizione di
normalizzazione:
โฌ ๐๐๐(๐, ํ)๐๐๐ํR2
= 1 (14.6.11)
Per quanto riguarda le densitร di probabilitร marginali dalle
(14.6.3), tenendo conto della (14.6.10), si ottengono le:
a) ๐๐(๐ฅ) = โซ โซ ๐๐๐(๐, ํ)๐๐๐ํโ
โโ
๐ฅ
โโ
(14.6.12)
b) ๐๐(๐ฆ) = โซ โซ ๐๐๐(๐, ํ)๐๐๐ํโ
โโ
๐ฆ
โโ
le quali derivate rispettivamente rispetto a ๐ฅ e a ๐ฆ forniscono:
a) ๐๐(๐ฅ) = โซ ๐๐๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฆโ
โโ
(14.6.13)
b) ๐๐(๐ฆ) = โซ ๐๐๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฅโ
โโ
Le variabili aleatorie ๐ e ๐ si dicono statisticamente indipendenti se la
loro distribuzione di probabilitร congiunta si puรฒ esprimere come pro-
dotto delle due distribuzioni marginali:
๐๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐๐(๐ฅ) โ ๐๐(๐ฆ) (14.6.14)
o, in modo equivalente, la densitร congiunta si puรฒ scrivere:
CAPITOLO - 14 - Variabili Aleatorie - 265
๐๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐๐(๐ฅ) โ ๐๐(๐ฆ) (14.6.15)
cioรจ due variabili aleatorie associate ad uno stesso esperimento casuale si
dicono statisticamente indipendenti se le funzioni di probabilitร con-
giunte si fattorizzano in termini delle rispettive funzioni di probabilitร
marginali.
Tutte le considerazioni fin qui esposte nel caso di due variabili
aleatorie possono essere facilmente generalizzate al caso di ๐ variabili
aleatorie definite su uno stesso esperimento casuale o, che รจ lo stesso, al
caso di un vettore aleatorio ๐-dimensionale.
Esempio 14.1
Siano ๐ e ๐ due variabili aleatorie caratterizzate da una densitร di proba-
bilitร congiunta data dalla:
๐๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) = {2; |๐ฅ| โค
1
2 โ โ
1
2โค ๐ฆ โค ๐ฅ
0; altrove
cioรจ la pX Y(x,y ) รจ costante e uguale a 2 nella
regione indicata nella Fig. Fig.E 14.1e vale 0
altrove.
Le densitร di probabilitร marginali sono date
da (vedi Fig.E 14.1):
๐๐(๐ฅ) = โซ ๐๐๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฆโ
โโ
=
{
โซ 2๐๐ฆ
๐ฅ
โ1
2
= 2๐ฅ + 1; |๐ฅ| โค1
2
0; |๐ฅ| >1
2
;
e
๐๐(๐ฆ) = โซ ๐๐๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฅโ
โโ
=
{
โซ 2๐๐ฅ
1
2
๐ฆ
= 1 โ 2๐ฆ; |๐ฆ| โค1
2
0; |๐ฆ| >1
2
;
Si puรฒ facilmente verificare la corretteza dei risultati mostrando che รจ soddi-
sfatta la propritร di normalizzazione per entrambe le densitร di probabilitร
marginali:
โซ ๐๐(๐ฅ)๐๐ฅโ
โโ
= โซ (2๐ฅ + 1)๐๐ฅ
1
2
โ1
2
= [๐ฅ2 + ๐ฅ]โ1
2
1
2 = 1;
Fig.E 14.1
266 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
โซ ๐๐(๐ฆ)๐๐ฆโ
โโ
= โซ (1 โ 2๐ฆ)๐๐ฆ
1
2
โ1
2
= [๐ฆ โ ๐ฆ2]โ1
2
1
2 = 1;
Funzioni di probabilitร condizionate. 14.7 -
Date due varaibili aleatorie ๐ ed ๐ definite sullo stesso esperi-
mento casuale aventi densitร di probabilitร congiunta ๐๐๐(๐ฅ๐ฆ), si pren-
dano in considerazione i due eventi:
๐ธ1 = {๐ โค ๐ฅ}, ๐ธ2 = {๐ฆ โ|โ๐ฆ|
2< ๐ < ๐ฆ +
|โ๐ฆ|
2} ; (14.7.1)
La probabilitร dell'evento ๐ธ1 condizionata dal manifestarsi dell'evento
๐ธ2, nellโipotesi che quest'ultimo abbia probabilitร diversa da zero, per la
formula di Bayes vale:
Pr{๐ธ1|๐ธ2} =Pr{๐ธ1โ๐ธ2}
Pr{๐ธ1}=
โซ โซ ๐๐๐(๐ผ, ๐ฝ)๐๐ผ๐๐ฝ๐ฅ
โโ
๐ฆ+|โ๐ฆ|
2
๐ฆโ|โ๐ฆ|
2
โซ ๐๐(๐ฝ)๐๐ฝ๐ฆ+
|โ๐ฆ|
2
๐ฆโ|โ๐ฆ|
2
(14.7.2)
Se si fa tendere ฮ๐ฆ a zero, ammesso che la ๐๐(๐ฆ), sia continua in
๐ฆ, ๐ธ2 si riduce all'evento singolare ๐ธ2 = {๐ = ๐ฆ} e si ha:
limโ๐ฆโ0
Pr{๐ธ1|๐ธ2} = limโ๐ฆโ0
โซ โซ ๐๐๐(๐ผ, ๐ฝ)๐๐ผ๐๐ฝ๐ฅ
โโ
๐ฆ+|โ๐ฆ|
2
๐ฆโ|โ๐ฆ|
2
โซ ๐๐(๐ฝ)๐๐ฝ๐ฆ+
|โ๐ฆ|
2
๐ฆโ|โ๐ฆ|
2
= limโ๐ฆโ0
โซ ๐๐๐(๐ผ, ๏ฟฝ๏ฟฝ)|โ๐ฆ|๐๐ผ๐ฅ
โโ
๐๐(๏ฟฝ๏ฟฝ)|โ๐ฆ|=โซ ๐๐๐(๐ผ, ๐ฆ)๐๐ผ๐ฅ
โโ
๐๐(๐ฆ)
(14.7.3)
Si noti il limite (14.7.3) esiste finito se risulta ๐๐(๐ฆ) โ 0 e, per
ogni valore di ๐ฆ definisce una funzione della variabile ๐ฅ che soddisfa tut-
te le proprietร di una distribuzione di probabilitร . Denoteremo tale fun-
zione, ๐๐|๐(๐ฅ, ๐ฆ) e la chiameremo distribuzione di probabilitร condizionata.
Alla ๐๐|๐(๐ฅ, ๐ฆ) corrisponde una densitร di probabilitร condizionata data dal-
la:
๐๐|๐(๐ฅ, ๐ฆ) =๐๐๐|๐(๐ฅ, ๐ฆ)
๐๐ฅ=๐๐๐(๐ฅ, ๐ฆ)
๐๐(๐ฆ) (14.7.4)
Dalla precedente si ottiene facilmente:
CAPITOLO - 14 - Variabili Aleatorie - 267
๐๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐๐(๐ฆ)๐๐|๐(๐ฅ, ๐ฆ) (14.7.5)
In modo analogo, introducendo la densitร di probabilitร condi-
zionata ๐๐|๐(๐ฆ, ๐ฅ) si deduce:
๐๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐๐(๐)๐๐|๐(๐ฆ, ๐ฅ) (14.7.6)
Inoltre tenuto conto delle condizioni di normalizzazione:
โซ ๐๐|๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฅ = โซ ๐๐|๐(๐ฆ, ๐ฅ)๐๐ฆ =โ
โโ
โ
โโ
1 (14.7.7)
Funzioni di probabilitร dโordine superiore. 14.8 -
In maniera analoga a quanto fatto nei paragrafi precedenti, dato
una variabile aleatoria multi dimensionale, cioรจ una n-upla di variabili
aleatorie ๐ฟ = [๐1, ๐2, โฆ , ๐๐] definite sullo stesso esperimento casuale, si
denota con
๐๐1,๐2,โฆ,๐๐ (๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐) = ๐๐ฟ (๐) (14.8.1)
la distribuzione di probabilitร congiunta associata a detta variabile, essa
in ogni ๐ esprimerร la probabilitร dell'evento:
๐ธ๐ = {๐ฟ: ๐1 โค ๐ฅ1 โง ๐2 โค ๐ฅ2โฆโง ๐๐ โค ๐ฅ๐} (14.8.2)
Si puรฒ anche definire una densitร di probabilitร congiunta della variabile
๐ฟ = [๐1, ๐2, โฆ , ๐๐]:
๐๐ฟ (๐) =๐๐๐๐1,๐2,โฆ,๐๐ (๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐)
๐๐ฅ1๐๐ฅ2โฆ๐๐ฅ๐ (14.8.3)
in cui la derivata, anche in questo caso, va eventualmente intesa in senso
generalizzato.
Dalla ๐๐ฟ (๐) si possono dedurre tutte le densitร congiunte relative
ad un qualunque sottoinsieme delle componenti di ๐ฟ per successiva
marginalizzazione, cioรจ integerando su tutto lโasse reale ๐๐ฟ (๐) rispetto a
tutte le componenti di ๐ฟ . Si ha infatti, generalizzando le (14.6.13):
๐๐1,๐2,โฆ,๐๐โ1 (๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐โ1) =
โซ ๐๐1,๐2,โฆ,๐๐ (๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐)๐๐ฅ๐โ
โโ;
๐๐1,๐2,โฆ,๐๐โ1 (๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐โ2) =
โซ โซ ๐๐1,๐2,โฆ,๐๐ (๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐)๐๐ฅ๐โ
โโ
โ
โโ๐๐ฅ๐โ1;
(14.8.4)
268 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
โฆ.
๐๐1, (๐ฅ1) = โซ โฆโซ ๐๐1,โฆ,๐๐ (๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐)๐๐ฅ๐
โ
โโ
๐๐ฅ๐โ1โฆ๐๐ฅ2
โ
โโ
;
Vale anche la condizione di normalizzazione:
โซ โฆโซ ๐๐ฟ (๐)๐๐โ
โโ
โ
โโ
= 1 (14.8.5)
ovviamente risulta:
๐๐ฟ (๐) = โซ โฆโซ ๐๐ฟ (๐)๐๐๐ฅ๐
โโ
๐ฅ1
โโ
(14.8.6)
e sono soddisfatte le uguaglianze:
๐๐1,๐2,โฆ,๐๐ (โโ,โโ,โฆ ,โโ) = 0;
๐๐1,๐2,โฆ,๐๐ (โ,โ,โฆ ,โ) = 1 (14.8.7)
CAPITOLO - 15
FUNZIONI DI VARIABILI ALEATORIE
Funzioni di una variabile aleatoria. 15.1 -
Data una funzione reale ๐(โ) definita in โ misurabile e una varia-
bile aleatoria ๐(ํ) definita su un esperimento casuale โฐ. Si consideri
lโapplicazione definita su ฮฉ a valori in โ:
๐ = ๐(๐(ํ)) (15.1.1)
Ci si convince facilmente che ๐ รจ a sua volta una variabile aleatoria defi-
nita sullโesperimento casuale ๐=(ฮฉ,โฐ,Pr).
Infatti, la misurabilitร della funzione ๐(โ) garantisce che la con-
troimmagine secondo ๐(โ) di ogni semiretta di origine destra chiusa sia
un insieme misurabile secondo Lebesgue. A sua volta la controimmagi-
ne secondo la variabile aleatoria ๐ di un sottoinsieme di โ misurabile รจ
certamente un evento, cioรจ appartiene alla classe โฐ, quindi ad esso si
puรฒ attribuire una probabilitร .
Ci si propone di calcolare la distribuzione di probabilitร ๐๐(๐ฆ)
della variabile aleatoria ๐ nota che sia quella della variabile aleatoria ๐.
A tal fine si ricorda che la ๐๐(๐ฆ) eguaglia la probabilitร che la va-
riabile ๐ assuma un valore non superiore ad ๐ฆ. Tale eventualitร si verifi-
ca tutte e sole le volte che la variabile aleatoria ๐ assume valori apparte-
nenti allโinsieme ๐ธ๐ฆ = ๐โ1(]โโ, ๐ฆ]). In altri termini
๐๐(๐ฆ) = Pr{๐ธ๐ฆ}= Pr{๐โ1(๐ธ๐ฆ)}.
Se รจ nota la densitร di probabilitร di ๐, potremo scrivere:
๐๐(๐ฆ) = Pr{๐ธ๐ฆ} = โซ ๐๐(๐ฅ)๐๐ฅ๐ผ๐ฆ
(15.1.2)
ร opportuno sottolineare che lโintegrale che compare nella pre-
cedente va inteso in senso delle distribuzioni qualora la ๐๐(๐ฅ) contenga
delle delta di Dirac.
Esiste anche un metodo alternativo per calcolare la densitร di
probabilitร della variabile aleatoria ๐.
270 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
A tale scopo si consideri una funzione ๐(โ) derivabile quasi ovun-
que priva di tratti costanti e la variabile aleatoria ๐ sia di tipo continuo.
Data la funzione
๐ = ๐(๐) nel piano (๐, ๐, ๐), si
consideri sullโasse ๐ lโintervallo
I๐ฆ = ]๐ฆ โ๐ฅ๐ฆ
2, ๐ฆ +
๐ฅ๐ฆ
2]; ad esso
corrisponde un'immagine in-
versa ๐โ1(I๐ฆ), costituita, per il
tipo di funzione considerata,
da unโunione finita o al piรน
numerabile di intervalli a due a
due disgiunti I๐ฅ๐, centrati nelle soluzioni ๐ฅ๐ dellโequazione ๐ฆ = ๐(๐)
nellโincognita ๐ (v. Fig. 15.1). Si ha cioรจ:
๐โ1(I๐ฆ) =โI๐ฅ๐๐
(15.1.3)
Si osservi adesso che la probabilitร che la variabile aleatoria ๐ as-
suma un valore appartenente all'intervallo I๐ฆ, รจ uguale alla probabilitร
che la variabile aleatoria ๐ assuma un valore appartenente all'evento
๐ธ = โ I๐ฅ๐๐ . Si puรฒ quindi scrivere:
Pr{I๐ฆ} = Pr{E} = โPr{I๐ฅ๐}
๐
(15.1.4)
dal momento che, come gia scritto, gli eventi che costituiscono E sono a
due a due disgiunti.
Si osservi inoltre che date le ipotesi fatte sul segnale, al tendere a
zero della misura |๐ฅ๐ฆ| di I๐ฆ anche la misura |๐ฅ๐ฅ๐| del generico I๐ฅ๐ tende
a zero. Quindi, ricordando il significato della densitร di probabilitร di
una variabile aleatoria, la (15.1.4) si puรฒ riscrivere, a meno dโinfinitesimi
di ordine superiore al primo, nella forma:
๐๐(๐ฆ)|๐ฅ๐ฆ| โ โ๐๐(๐ฅ๐)|๐ฅ๐ฅ๐|
๐
(15.1.5)
Osserviamo che tutti gli addendi della sommatoria a secondo membro
sono non negativi pertanto la ๐๐(๐ฆ) sarร nulla soltanto per quei valori di
Fig. 15.1
CAPITOLO - 15 - Funzioni di Variabili Aleatorie - 271
๐ฆ per i quali risulti ๐๐(๐ฅ๐) = 0 per ogni valore dellโindice ๐, cioรจ in corri-
spondenza ad ogni soluzione dellโequazione ๐ฆ = ๐(๐)
Per tutti i valori di ๐ฆ in corrispondenza ai quali โ๐ฅ๐ risulti
|๐๐(๐)
๐๐|๐ฅ=๐ฅ๐
โ 0 dividendo ambo i membri della (15.1.5) per |๐ฅ๐ฆ| e pas-
sando al limite per ๐ฅ๐ฆ โ 0, si ottiene:
๐๐(๐ฆ) = lim
๐ฅ๐ฆโ0โ
๐๐(๐ฅ๐)|๐ฅ๐ฆ|
|๐ฅ๐ฅ๐|๐
=โ๐๐(๐ฅ๐)
|๐๐(๐)
๐๐|๐=๐ฅ๐
๐
(15.1.6)
In corrispondenza agli eventuali valori di ๐ฅ per i quali risulta che
|๐๐(๐)
๐๐|๐=๐ฅ๐
= 0, ovvero per i quali la ๐(๐) non risulti derivabile la ๐๐(๐ฆ)
non รจ definita; tuttavia la ๐๐(๐ฆ) risulta definita quasi ovunque dalla
(15.1.6), in quanto tali punti costituiscono, per le ipotesi fatte sulla fun-
zione ๐(โ) un insieme al piรน numerabile.
Consideriamo adesso il caso in cui la ๐(๐) sia costante a tratti cioรจ
la funzione, puรฒ assumere soltanto valori appartenenti ad un sottoin-
sieme di A โ โ al piรน numerabile, comโรจ indicato in Fig. 15.2.
Ci si convince facil-
mente che la ๐๐(๐ฆ) in questo
caso รจ di tipo discreto. Infatti,
facendo riferimento alla Fig.
15.2, la probabilitร ๐๐ che il la
variabile ๐ il valore ๐ฆ๐ รจ data
da:
๐๐ = Pr{๐ = ๐ฆ๐} = โซ๐๐(๐ฅ)๐๐ฅ๐ผ๐
(15.1.7)
dove lโintegrale รจ esteso a I๐ = ๐โ1({๐ฆ๐}), cioรจ alla controimmagine
dellโinsieme {๐ฆ๐}.
La funzione distribuzione di probabilitร ๐๐(๐ฆ) presenterร , in cor-
rispondenza al generico ๐ฆ๐ , un salto di valore ๐๐ . Il valore da essa assun-
to sarร ๐๐(๐ฆ๐) = โ ๐๐๐โค๐ e tale resterร a ๐ฆ๐+1. La ๐๐(๐ฆ) si presenterร
quindi come una funzione a scala, pertanto la variabile aleatoria ๐ sarร in
questo caso di tipo discreto.
Fig. 15.2
272 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
La densitร di probabilitร ๐๐(๐ฆ) รจ conseguentemente espressa dal-
la:
๐๐(๐ฆ) = โ๐๐๐ฟ(๐ฆ โ ๐ฆ๐)
๐
(15.1.8)
Esempio 15.1
Si consideri la funzione
๐ = cos(๐ท)
dove ฮฆ denota una variabile casua-
le caratterizzata da una densitร di
probabilitร ๐ฮฆ(๐)
Se |๐ฆ| โค 1 l'equazione
๐ฆ = cos(๐ท)
presenta le soluzioni generate dalle
(v. Fig.E 15.1)
๐๐ = arccos(๐ฆ) + 2๐๐;
โ๐โฒ๐= โarccos(๐ฆ) + 2๐๐
Poichรฉ รจ:
๐๐
๐๐ท= โsin(๐ท)
risulta:
|๐๐
๐๐ท|๐๐
= |sin(๐๐)| = โ(1 โ cos2(๐๐))
|๐๐
๐๐ท|๐โฒ๐๐
= |sin(๐โฒ๐)| = โ(1 โ cos2(๐โฒ๐))
}
= โ1 โ ๐ฆ2
Ne consegue:
๐๐(๐ฆ) =โ (๐๐ท(๐๐) + ๐๐ท(๐โฒ๐))๐,๐
โ1 โ ๐ฆ2
Se ๐ ad esempio, รจ uniformemente distribuita in [0, 2, qualunque sia
l'istante t, la sommatoria che compare nella precedente, contiene due soli
termini non nulli ottenuti in corrispondenza al valore 0 dellโindice ๐ e 1 di j,
precisamente:
๐0 = arccos(๐ฆ);
โ๐โฒ1= 2๐ โ arccos(๐ฆ)
Quindi risulta:
Fig.E 15.1
CAPITOLO - 15 - Funzioni di Variabili Aleatorie - 273
๐๐(๐ฆ) =โ(๐ฆ
2)
2๐โ1โ๐ฆ2+
โ(๐ฆ2)
2๐โ1โ๐ฆ2=
โ(๐ฆ2)
๐โ1โ๐ฆ2
il cui andamento in funzione di ๐ฆ รจ riportato in Fig. E.IV.4. a).
La distribuzione di probabilitร si ottiene per integrazione della prece-
dente. Si ha:
๐๐(๐ฆ) = (1
2+arcsin(๐ฆ)
๐)โ (
๐ฆ
2) + u(๐ฆ โ 1)
ed รจ rappresentata nella Fig. E.IV.4 b).
Fig.E 15.2
CAPITOLO - 16
MEDIE STATISTICHE
Valore medio di funzioni di variabili aleatorie. 16.1 -
Sia ๐(ํ) una variabile aleatoria continua definita sull'insieme dei
risultati di un esperimento casuale ๐=(ฮฉ,โฐ,Pr), caratterizzata da una
densitร di probabilitร ๐๐(๐ฅ). Si consideri unโapplicazione ๐(๐), dove
๐(โ ) รจ una funzione misurabile definita quasi ovunque in โ.
La quantitร :
๐ธ{๐(๐)} = ๐(๐) = โซ ๐(๐ฅ)๐๐(๐ฅ)๐๐ฅโ
โโ
(16.1.1)
ammesso che esista e che sia anche limitata, viene chiamata valore medio
statistico della funzione ๐(๐) associata alla variabile aleatoria ๐.
Per chiarire il significato della (16.1.1) รจ opportuno ragionare in
termini di frequenza relativa. A tale scopo, si suddivida l'intervallo
dโintegrazione in un insieme dโintervalli contigui del tipo (๐๐ฅ๐ฅ, (๐ +
1)๐ฅ๐ฅ) e si scelga arbitrariamente all'interno di ciascuno di essi un punto
๐ฅ๐. Se l'integrale (16.1.1) esiste, si puรฒ scrivere:
๐(๐) = lim๐ฅ๐ฅโ0
โ ๐(๐ฅ๐)๐๐(๐ฅ๐)๐ฅ๐ฅ
โ
๐=โโ
(16.1.2)
Si osservi adesso che la quantitร ๐๐(๐ฅ๐)๐ฅ๐ฅ approssima la probabi-
litร che occorra l'evento
E๐ = (๐๐ฅ๐ฅ, (๐ + 1)๐ฅ๐ฅ] (16.1.3)
la quale in termini di frequenza relativa puรฒ essere espressa come segue:
๐๐(๐ฅ๐)๐ฅ๐ฅ = lim๐โโ
๐ฅ๐๐๐
(16.1.4)
Dove ๐ rappresenta il numero dโesperimenti effettuati, e ๐ฅ๐๐ quello de-
gli esperimenti che hanno dato esito favorevole, cioรจ quelli al cui risulta-
to la variabile aleatoria associa un valore appartenente ad E๐ , Si osservi
che tale numero dipende anche dall'ampiezza ๐ฅ๐ฅ di E๐ . Sostituendo la
(16.1.4) nella (16.1.2) si ottiene:
276 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
๐(๐) = lim๐ฅ๐ฅโ0๐โโ
1
๐โ ๐(๐ฅ๐)๐ฅ๐๐
โ
๐=โโ
(16.1.5)
Eโ facile convincersi che la sommatoria a secondo membro, rap-
presenta la somma di tutti i valori assunti dalla funzione ๐(๐) in corri-
spondenza alle ๐ prove effettuate. Di conseguenza ๐(๐) si puรฒ anche
scrivere nella forma:
๐(๐) = lim๐โโ
1
๐โ๐(๐(ํ๐))
๐
๐=1
(16.1.6)
dove ํ๐ rappresenta il risultato ottenuto nell' ๐-esima ripetizione dell'e-
sperimento casuale.
ร opportuno ricordare (vedi CAPITOLO - 15) che poichรฉ ๐(๐) รจ
misurabile, ๐ = ๐(๐) รจ anchโessa una variabile aleatoria definita sull'in-
sieme ฮฉ, caratterizzabile mediante la sua densitร di probabilitร ๐๐(๐ฆ).
Il concetto di valore medio di una funzione di variabile aleatoria
si puรฒ estendere al caso di una funzione misurabile su โ๐ di ๐ variabili
aleatorie definite sull'insieme dei risultati di uno stesso esperimento ca-
suale. In questo caso si ha:
๐ธ{๐(๐1, ๐2, โฆ , ๐๐)} = ๐(๐1, ๐2, โฆ , ๐๐) =
= โซ๐(๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐)๐๐1๐2โฆ๐๐(๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐)๐๐ฅ1๐๐ฅ2โฆ๐๐ฅ๐
๐ ๐
(16.1.7)
dove ๐๐1๐2โฆ๐๐(๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐) rappresenta la densitร di probabilitร con-
giunta delle ๐ variabili aleatorie.
Momenti. 16.2 -
Se ๐(๐) = (๐ โ ๐ผ)๐ (con ๐ intero ed ๐ผ โ โ) dalla (16.1.1) si ot-
tiene il momento ๐-esimo, ๐๐ผ,๐, riferito ad ๐ผ, si pone cioรจ:
๐๐ผ,๐ = โซ (๐ฅ โ ๐ผ)๐๐๐(๐ฅ)๐๐ฅโ
โโ
(16.2.1)
a patto, ovviamente, che lโintegrale che compare nella precedente as-
suma un valore finito. Si puรฒ dimostrare che lโesistenza del momento di
ordine ๐ comporta quella di tutti i momenti di ordine inferiore.
CAPITOLO - 16 - Medie Statistiche - 277
Se nella (16.1.2) si pone ๐ผ = 0, essa restituisce il cosiddetto valore
medio della potenza ๐-esima, o momento ๐-esimo ๐๐ della variabile aleato-
ria ๐:
๐๐ โ ๐0,๐ = โซ ๐ฅ๐๐๐(๐ฅ)๐๐ฅโ
โโ
(16.2.2)
In particolare la (14.4.3) comporta che:
๐0 = โซ ๐๐(๐ฅ)๐๐ฅโ
โโ
= 1 (16.2.3)
Per ๐ = 1 la (16.2.2) assume la forma:
๐1 โ ๐ = โซ ๐ฅ๐๐(๐ฅ)๐๐ฅโ
โโ
(16.2.4)
che prende il nome di valore medio della variabile aleatoria.
Per ๐ = 2 la (16.2.2) restituisce il cosiddetto valore quadratico medio:
๐2 = โซ ๐ฅ2๐๐(๐ฅ)๐๐ฅโ
โโ
(16.2.5)
Se nella (16.2.1) si pone ๐ผ = ๐ si ottengono al variare di ๐ i mo-
menti centrali ๐-esimi della variabile aleatoria:
๐๐ โ (๐ โ ๐1)๐ = โซ (๐ฅ โ ๐1)
๐๐๐(๐ฅ)๐๐ฅโ
โโ
(16.2.6)
Risulta: ๐0 = 1, ๐1 = 0 indipendentemente dalla variabile aleatoria in
considerazione.
La (16.2.6), scritta per ๐ = 2, fornisce il momento centrale del se-
condo ordine:
๐2 โ ๐2 = โซ (๐ฅ โ ๐1)2๐๐(๐ฅ)๐๐ฅ
โ
โโ
(16.2.7)
che prende il nome di varianza della variabile aleatoria.
La (16.2.1) puรฒ essere ulteriormente elaborata fornendo:
๐๐ผ,๐ = โซ โ(โ1)๐ (๐๐) ๐ฅ๐โ๐๐ผ๐
๐
๐=0
๐๐(๐ฅ)๐๐ฅโ
โโ
=
=โ(โ1)๐ (๐๐) ๐ผ๐โซ ๐ฅ๐โ๐๐๐(๐ฅ)๐๐ฅ
โ
โโ
๐
๐=0
=โ(โ1)๐ (๐๐)๐ผ๐๐๐โ๐
๐
๐=0
(16.2.8)
278 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
La precedente mostra che la conoscenza dei momenti fino allโordine ๐
consente di conoscere anche tutti i momenti riferiti ad un reale ๐ผ qual-
siasi.
La (16.2.8) in particolare implica:
๐2 =โ(โ1)๐ (2๐)๐๐ ๐ ๐๐โ๐
2
๐=0
= ๐2 โ๐2 (16.2.9)
Derivando la (16.2.8) valutata per ๐ = 2 rispetto ad ๐ผ si ottiene:
๐๐๐ผ,2๐๐ผ
= โ(โ1)๐ (2๐) ๐๐ผ๐โ1๐2โ๐
2
๐=0
= โ2๐ + 2๐ผ (16.2.10)
La derivata appena scritta si annulla per ๐ผ = ๐, se ne conclude che la
varianza รฉ il minimo momento del secondo ordine.
La radice quadrata della varianza
๐ = โ๐2 โ๐12 (16.2.11)
prende il nome di scarto quadratico medio o deviazione standard della variabile
aleatoria.
Esempio 16.1
Sia data una variabile aleatoria ๐ la cui varianza sia finita. Si mostri che, se
ํ รจ un reale positivo qualsiasi, vale la seguente disuguaglianza
๐๐{|๐ โ๐| โฅ ํ} โค๐2
ํ2
Esplicitando il primo membro della precedente si ottiene:
โซ ๐๐(๐ฅ)๐๐ฅ๐โ
โโ
+โซ ๐๐(๐ฅ)๐๐ฅโ
๐+
โค1
ํ2(โซ (๐ฅ โ๐)2๐๐(๐ฅ)๐๐ฅ
๐โ
โโ
+โซ (๐ฅ โ๐)2๐๐(๐ฅ)๐๐ฅโ
๐+
)
โค1
ํ2(โซ (๐ฅ โ ๐)2๐๐(๐ฅ)๐๐ฅ
โ
โโ
) =๐2
ํ2
per ottenere la quale si รฉ sfruttata la circostanza che (๐ฅ โ ๐)2/ํ21 allโin-
terno del dominio di integrazione.
La disuguaglianza appena provata รฉ nota come disuguaglianza di Che-
byshev. Unโimmediata conseguenza di essa รฉ che se una variabile aleatoria
CAPITOLO - 16 - Medie Statistiche - 279
ha varianza nulla, allora essa รฉ uguale al suo valor medio con probabilitร
uno.
Si possono anche definire dei momenti assoluti dโordine ๐ riferiti
ad un qualsiasi reale ๐ผ come:
|๐ โ ๐ผ|๐ = โซ |๐ฅ โ ๐ผ|๐๐๐(๐ฅ)๐๐ฅโ
โโ
(16.2.12)
anche in questo caso, ponendo ๐ผ = 0, si ottengono i momenti assoluti:
๐๐ โ |๐|๐ = โซ |๐ฅ|๐๐๐(๐ฅ)๐๐ฅโ
โโ
(16.2.13)
e, ponendo ๐ผ = ๐, si hanno i momenti assoluti centrali.
Esempio 16.2
Siano ๐ผ, ๐ฝ due reali qualsiasi e ๐ un numero naturale; risulta:
0 โค โซ (๐ผ|๐ฅ|๐
2 + ๐ฝ|๐ฅ|๐+2
2 )2๐๐(๐ฅ)๐๐ฅโ
โโ
Questโultima fornisce:
0 โค โซ (๐ผ2|๐ฅ|๐ + 2๐ผ๐ฝ|๐ฅ|๐+1 + ๐ฝ2|๐ฅ|๐+2)๐๐(๐ฅ)๐๐ฅโ
โโ
= ๐ผ2๐๐ + 2๐ผ๐ฝ๐๐+1 + ๐ฝ2๐๐+2
la quale comporta che la forma quadratica
๐ผ2๐๐ + 2๐ผ๐ฝ๐๐+1 + ๐ฝ2๐๐+2
sia semidefinita positiva. Pertanto il determinante ad essa associato รจ non
negativo. Deve quindi essere:
๐๐+12 โค ๐๐๐๐+2
Elevando a ๐ ambo i membri si ottiene:
๐๐+12(๐+1)
โค ๐๐๐+1๐๐+2
๐+1
questโultima al variare di ๐ fornisce le disuguaglianze:
{
๐12 โค ๐0๐2;
๐24 โค ๐1
2๐32;
๐36 โค ๐2
3๐43;
โฏโฏ
๐๐+12(๐+1)
โค ๐๐๐+1๐๐+2
๐+1;
che moltiplicate termine a termine forniscono:
โ๐๐+12(๐+1)
๐
๐=0
โคโ๐๐๐+1๐๐+2
๐+1
๐
๐=0
280 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
Eliminando dallโultima disuguaglianza i fattori comuni, e tenendo presente
che ๐01 si ottiene:
โ๐๐+1๐+1
๐
๐=0
โ๐๐+1๐+1
๐
๐=0
โค ๐0โ๐๐+1๐+2
๐โ1
๐=0
โ๐๐+1๐
๐+1
๐=1
;
๐๐+12(๐+1)
โ๐๐+1๐
๐โ1
๐=0
โคโ๐๐+1๐
๐+1
๐=1
;
๐๐+12(๐+1)
โ๐๐+1๐
๐โ1
๐=1
โค ๐๐+1๐ ๐๐+2
๐+1โ๐๐+1๐
๐โ1
๐=1
;
๐๐+1๐+2 โค ๐๐+2
๐+1;
lโultima disuguaglianza ottenuta comporta:
๐๐+1
๐+2
(๐+2)(๐+1) โค ๐๐+2
๐+1
(๐+2)(๐+1);
๐๐+1
1
๐+1 โค ๐๐+2
1
๐+2
Dalla quale si conclude che, indipendentemente dalla variabile aleatoria con-
siderata, se i momenti assoluti esistono, soddisfano la catena di disugua-
glianze:
๐1 โค ๐2
1
2 โค ๐3
1
3 โค โฏ โค ๐๐+2
1
๐+2
Nel caso di una funzione di due variabili aleatorie definite su di
uno stesso esperimento casuale, se si pone: ๐(๐, ๐) = ๐๐๐๐
si ottiene un momento congiunto (๐ + ๐)-esimo
๐๐๐ = ๐๐๐๐ = ๐ธ{๐๐๐๐} = โซ โซ ๐ฅ๐๐ฆ๐๐๐๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฅ๐๐ฆ
โ
โโ
โ
โโ
(16.2.14)
Ovviamente per ๐ = ๐ = 0 si ha:
๐00 = โซ โซ ๐๐๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฅ๐๐ฆโ
โโ
โ
โโ
= 1 (16.2.15)
In maniera analoga alla (16.2.6) possono definirsi i momenti cen-
trali (๐ + ๐)-esimi del secondo ordine mediante le:
๐๐๐ = ๐ธ{(๐ โ ๐๐)๐(๐ โ ๐๐)
๐}
= โซ โซ (๐ฅ โ๐๐)๐(๐ฆ โ ๐๐)
๐๐๐๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฅ๐๐ฆโ
โโ
โ
โโ
(16.2.16)
dove ๐๐ e ๐๐ sono i valori medi delle variabili ๐ e ๐ rispettivamente.
CAPITOLO - 16 - Medie Statistiche - 281
In particolare il momento centrale ๐11 prende il nome di cova-
rianza e risulta:
๐๐๐ โก (๐ โ ๐๐)(๐ โ ๐๐) = ๐๐ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐๐ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐๐ +๐๐๐๐
= ๐๐ โ ๐๐๐๐ (16.2.17)
Se le due variabili sono statisticamente indipendenti risulta:
๐ธ{๐๐๐๐} = ๐ธ{๐๐}๐ธ{๐๐} (16.2.18)
Cioรจ il valore medio del binomio ๐๐๐๐ รจ dato dal prodotto dei valori
medi di ๐๐ e ๐๐ .
Esempio 16.3
Sia ๐ una variabile aleatoria ottenuta dalla combinazione lineare di ๐ va-
riabili aleatorie, ๐1, ๐2,โฆ,๐๐ definite sull'insieme dei risultati di uno stesso
esperimento casuale. Sia cioรจ:
๐ =โ๐๐๐๐
๐
๐=1
con ๐๐ costanti reali.
Il valore medio statistico di ๐ รจ dato da:
๏ฟฝ๏ฟฝ = โ๐๐๐๏ฟฝ๏ฟฝ
๐
๐=1
cioรจ dalla combinazione lineare effettuata con le stesse costanti ๐๐ degli ๐
valori medi delle variabili aleatorie componenti, indipendentemente dal fatto
che queste siano o meno statisticamente indipendenti.
Per quanto riguarda il valore quadratico medio si ha:
๐2 = (โ๐๐๐๐
๐
๐=1
)
2
ร:
(โ๐๐๐๐
๐
๐=1
)
2
=โ๐๐2๐๐
2
๐
๐=1
+ โ ๐๐๐๐๐๐๐๐
๐
๐,๐=1(๐โ ๐)
pertanto:
๐2 = โ๐๐2๐๐
2๐
๐=1
+ โ ๐๐๐๐๐๐๐๐
๐
๐,๐=1(๐โ ๐)
282 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
In maniera analoga si puรฒ verificare che la varianza vale:
๐๐2 =โ๐๐
2๐๐๐2
๐
๐=1
+ โ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๐
๐,๐=1(๐โ ๐)
In particolare, se le ๐ variabili sono statisticamente indipendenti, risulta:
๐2 = โ๐๐2๐๐
2๐
๐=1
+ โ ๐๐๐๐๐๐
๐
๐,๐=1(๐โ ๐)
โ ๐๐
e:
๐๐2 =โ๐๐
2๐๐๐2
๐
๐=1
Teorema della media. 16.3 -
Sia ๐ = ๐(๐) una funzione di una variabile aleatoria ๐, dove ๐(โ )
รจ una funzione misurabile definita q.o. in โ. La ๐ รจ a sua volta una va-
riabile aleatoria il cui valore medio รจ dato per la (16.2.4) da:
๐๐ = โซ ๐ฆ๐๐(๐ฆ)๐๐ฆโ
โโ
(16.3.1)
Si scomponga adesso l'asse reale in intervalli elementari E๐ = (๐ฆ๐ , ๐ฆ๐ +
๐ฅ๐ฆ] a due a due disgiunti, la probabilitร che la variabile aleatoria
๐ = ๐(๐) assuma un valore appartenente al generico intervallo E๐ , รจ ov-
viamente uguale alla probabilitร che la variabile ๐ assuma un valore ap-
partenente all'insieme ๐โ1(E๐) controimmagine di E๐
Supponendo per semplicitร che la controimmagine in questione
sia costituita da un'unione al piรน numerabile dโintervalli elementari a due
a due disgiunti di misura ๐ฅ๐ฅ๐๐ , si deduce che:
๐๐{E๐} โ ๐๐(๐ฆ๐)๐ฅ๐ฆ โ โ๐๐(๐ฅ๐๐)๐ฅ๐ฅ๐๐
๐๐
๐=1
= ๐๐{๐โ1(E๐)} (16.3.2)
Moltiplicando ambo i membri della precedente per ๐ฆ๐ = ๐(๐ฅ๐๐) si per-
viene alla:
๐ฆ๐๐๐(๐ฆ๐)๐ฅ๐ฆ โ โ๐(๐ฅ๐๐)๐๐(๐ฅ๐๐)๐ฅ๐ฅ๐๐
๐๐
๐=1
(16.3.3)
CAPITOLO - 16 - Medie Statistiche - 283
dalla quale si deduce che il contributo di ogni intervallo elementare
all'integrale (16.3.1) รจ esprimibile come somma di quelli di opportuni in-
tervalli disgiunti nel dominio di ๐. Poichรฉ al variare dell'indice ๐ viene ri-
coperto l'intero asse reale la cui controimmagine secondo la ๐(โ ) รจ โ
stesso, ci si convince facilmente che l'integrale (16.3.1) puรฒ essere calco-
lato anche come segue:
โซ ๐ฆ๐๐(๐ฆ)๐๐ฆโ
โโ
= โซ ๐(๐ฅ)๐๐(๐ฅ)๐๐ฅโ
โโ
(16.3.4)
che costituisce lโespressione formale del teorema della media.
Il risultato appena ottenuto si puรฒ facilmente generalizzare al ca-
so di una variabile aleatoria definita tramite una funzione misurabile su
โ๐ di ๐ variabili aleatorie definite sull'insieme dei risultati di uno stesso
esperimento casuale. Cioรจ se รจ ๐ = ๐(๐1, ๐2, โฆ ๐๐), il valor medio di ๐
puรฒ essere calcolato come segue:
๐๐ = โซ ๐ฆ๐๐(๐ฆ)๐๐ฆโ
โโ
= โซ๐(๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐)๐๐1๐2โฆ๐๐(๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐)๐๐ฅ1๐๐ฅ2โฆ๐๐ฅ๐
๐ ๐
(16.3.5)
Funzione caratteristica. 16.4 -
Una media di notevole importanza associata ad una variabile alea-
toria ๐ รจ la cosiddetta funzione caratteristica ๐น๐(๐ข) definita come valore
medio statistico della quantitร ๐๐๐ข๐. Si ha cioรจ:
๐น๐(๐ข) = ๐๐๐ข๐ = โซ ๐๐๐ข๐ฅ๐๐(๐ฅ)๐๐ฅ
โ
โโ
(16.4.1)
Poichรฉ ๐๐(๐ฅ) รจ una quantitร non negativa e ๐๐๐ข๐ฅ ha modulo uni-
tario, dalla precedente risulta:
|โซ ๐๐๐ข๐ฅ๐๐(๐ฅ)๐๐ฅโ
โโ
| โค โซ ๐๐(๐ฅ)๐๐ฅโ
โโ
= 1 (16.4.2)
cioรจ
|๐น๐(๐ข)| โค ๐น๐(0) = 1 (16.4.3)
Si ha inoltre
๐น๐โ(๐ข) = ๐น๐(โ๐ข) (16.4.4)
284 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
Confrontando la (16.4.1) con l'espressione della trasformata di
Fourier si riconosce che vale la seguente relazione:
๐น๐(2๐๐ข) = โซ ๐๐2๐๐ข๐ฅ๐๐(๐ฅ)๐๐ฅ =โ
โโ
โฑโ[๐๐(๐ฅ)] (16.4.5)
Che puรฒ essere facilmente invertita ottenendo:
๐๐(๐ฅ) =1
2๐โซ ๐น๐
โ(๐ข)๐๐๐ข๐ฅ๐๐ขโ
โโ
=1
2๐โซ ๐น๐(๐ข)๐
โ๐๐ข๐ฅ๐๐ขโ
โโ
(16.4.6)
Le derivate della ๐น๐(๐ข) rispetto ๐ข valgono:
{
๐๐น๐๐๐ข
= ๐โซ ๐๐๐ข๐ฅ๐ฅ๐๐(๐ฅ)๐๐ฅโ
โโ
;
๐2๐น๐๐๐ข2
= ๐2โซ ๐๐๐ข๐ฅ๐ฅ2๐๐(๐ฅ)๐๐ฅโ
โโ
;
โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ๐๐๐น๐๐๐ข๐
= ๐๐โซ ๐๐๐ข๐ฅ๐ฅ๐๐๐(๐ฅ)๐๐ฅโ
โโ
;
(16.4.7)
che confrontate con l'espressione (16.2.1) del momento ๐ - esimo
di una variabile aleatoria, danno luogo alle:
{
๐1 = โ๐ [
๐๐น๐๐๐ข
]๐ข=0
;
๐2 = โ [๐2๐น๐๐๐ข2
]๐ข=0
;
โฆโฆโฆโฆโฆโฆ
๐๐ = (โ๐)๐ [๐๐๐น๐๐๐ข๐
]๐ข=0
;
(16.4.8)
Si osservi che, se una variabile aleatoria ๐ ammette tutti i momen-
ti, la sua funzione caratteristica ๐น๐(๐ข) รจ infinitamente derivabile in ๐ข =
0. Sviluppando la ๐น๐(๐ข) in serie di Mac Laurin si ottiene:
๐น๐(๐ข)
= ๐น๐(0) + [๐๐น๐๐๐ข
]0๐ข + [
๐2๐น๐๐๐ข2
]0
๐ข2
2+ โฏ+ [
๐๐๐น๐๐๐ข๐
]0
๐ข๐
๐!+ โฏ
= 1 + ๐๐ข๐1 +(๐๐ข)2
2๐2 +โฏ+
(๐๐ข)๐
๐!๐๐ +โฏ
(16.4.9)
CAPITOLO - 16 - Medie Statistiche - 285
Se ne conclude che la conoscenza di tutti i momenti della variabi-
le aleatoria ๐, individua univocamente la sua funzione caratteristica, e
quindi, tramite la (16.4.6), la sua densitร di probabilitร .
Generalizzando quanto detto in precedenza, รจ possibile definire la
funzione caratteristica, associata a ๐ variabili aleatorie ๐1, ๐2, โฆ , ๐๐ defi-
nite sull'insieme dei risultati di uno stesso esperimento casuale, come
media statistica della quantitร ๐๐(๐ข1๐1+๐ข2๐2+โฏ+๐ข๐๐๐) cioรจ:
๐น๐1,๐2,โฆ,๐๐(๐ข1, ๐ข2, โฆ , ๐ข๐)
= โซ ๐๐(๐ข1๐ฅ1+๐ข2๐ฅ2+โฏ+๐ข๐๐ฅ๐)
โ๐
โ ๐๐1,๐2,โฆ,๐๐(๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐)๐๐ฅ1๐๐ฅ2โฆ๐๐ฅ๐
(16.4.10)
Anche in questo caso la precedente puรฒ essere interpretata utilizzando la
trasformata multipla di Fourier della densitร di probabilitร congiunta
delle ๐ variabili aleatorie
๐น๐1,๐2,โฆ,๐๐(2๐๐ข1, 2๐๐ข2, โฆ ,2๐๐ข๐)
= โฑ*[๐๐1,๐2,โฆ,๐๐(๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐)] (16.4.11)
Conseguentemente, la densitร di probabilitร congiunta, nota la corri-
spondente funzione caratteristica, puรฒ essere ottenuta dalla:
๐๐1,โฆ,๐๐(๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐)
=1
(2๐)๐โซ ๐น๐1,โฆ,๐๐(๐ข1, โฆ , ๐ข๐)๐ ๐
โ ๐โ๐(๐ข1๐ฅ1+๐ข2๐ฅ2+โฏ+๐ข๐๐ฅ๐)๐๐ข1โฆ๐๐ข๐
(16.4.12)
D'altra parte si ha:
๐๐โ ๐ข๐๐ฅ๐๐๐=1
=โ๐๐๐ข๐๐ฅ๐
๐
๐=1
= (โ(๐๐ข1๐ฅ1)
๐1
๐1!
โ
๐1=0
)(โ(๐๐ข2๐ฅ2)
๐2
๐2!
โ
๐2=0
)โฆ(โ(๐๐ข๐๐ฅ๐)
๐๐
๐๐!
โ
๐๐=0
)
(16.4.13)
per cui la (16.4.11) diviene:
286 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
๐น๐1,๐2,โฆ,๐๐(๐ข1, ๐ข2, โฆ , ๐ข๐)
= โ๐(๐1+๐2+โฏ๐๐)
๐1! ๐2! โฆ ๐๐!๐ข1๐1๐ข2
๐2 โฆ๐ข๐๐๐
โ
๐1,๐2,โฆ,๐๐=0
โ โซ ๐ฅ1๐1 , ๐ฅ2
๐2 โฆ๐ฅ๐๐๐๐๐1,๐2,โฆ,๐๐(๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐)๐๐ฅ1๐๐ฅ2โฆ๐๐ฅ๐
๐ ๐
(16.4.14)
che utilizzando i momenti congiunti si puรฒ riscrivere:
๐น๐1,๐2,โฆ,๐๐(๐ข1, ๐ข2, โฆ , ๐ข๐)
= โ๐(๐1+๐2+โฏ๐๐)
๐1! ๐2! โฆ ๐๐!๐ข1๐1๐ข2
๐2 โฆ๐ข๐๐๐๐๐1,๐2,โฆ,๐๐
โ
๐1,๐2,โฆ,๐๐=0
(16.4.15)
Anche in questo caso quindi la conoscenza di tutti i momenti
congiunti ๐๐1,๐2,โฆ,๐๐ consente tramite la precedente di determinare la
funzione caratteristica e quindi, la corrispondente densitร di probabilitร
congiunta.
Esempio 16.4
Si consideri la variabile aleatoria
๐ =โ๐๐๐๐
๐
๐=1
giร presa in considerazione nell'Esempio 16.1
La sua funzione caratteristica vale:
๐น๐(๐ข) = ๐ธ{๐๐๐ข๐} = ๐ธ{๐๐๐ขโ ๐๐๐๐
๐๐=1 } = ๐ธ {โ๐๐๐ข๐๐๐๐
๐
๐=1
}
Se le variabili aleatorie ๐1, ๐2, โฆ , ๐๐ sono statisticamente indipendenti,
si possono invertire le operazioni di prodotto e di media statistica, ottenendo:
๐น๐(๐ข) =โ๐ธ{๐๐๐ข๐๐๐๐}
๐
๐=1
=โ(๐ธ{๐๐๐ข๐๐})๐๐
๐
๐=1
=โ[๐น๐๐(๐ข)]๐๐
๐
๐=1
avendo denotato con ๐น๐๐(๐ข) la funzione caratteristica associata alla variabile
aleatoria ๐๐ .
In particolare se ๐ รจ ottenuta dalla somma di ๐ variabili aleatorie ๐๐ sta-
tisticamente indipendenti, la funzione caratteristica ๐น๐(๐ข) si ottiene ponendo
nella precedente ๐๐ 1, (๐ = 1,2, โฆ , ๐). Si ha quindi:
CAPITOLO - 16 - Medie Statistiche - 287
๐น๐(๐ข) =โ๐น๐๐(๐ข)
๐
๐=1
che nel caso di due sole variabili si riduce alla:
๐น๐(๐ข) = ๐น๐1(๐ข)๐น๐2(๐ข)
quindi per la (16.4.6) la densitร di probabilitร di ๐ vale:
๐๐(๐ฆ) =1
2๐โซ ๐น๐1(๐ข)๐น๐2(๐ข)๐
โ๐๐ข๐ฆ๐๐ขโ
โโ
la quale, osservando che ๐ = ๐1 + ๐2 e ricordando l'espressione della ๐น๐(๐ข)
puรฒ scriversi:
๐๐(๐ฆ) =1
2๐โซ ๐น๐1(๐ข) (โซ ๐๐๐ข๐ฅ2๐๐2(๐ฅ2)
โ
โโ
๐๐ฅ2) ๐โ๐๐ข๐ฆ๐๐ข
โ
โโ
Invertendo l'ordine dโintegrazione si ha:
๐๐(๐ฆ) = โซ ๐๐2(๐ฅ2) (1
2๐โซ ๐น๐1(๐ข)๐
โ๐๐ข(๐ฆโ๐ฅ2)๐๐ขโ
โโ
)๐๐ฅ2
โ
โโ
Ma poichรฉ:
1
2๐โซ ๐น๐1(๐ข)๐
โ๐๐ข(๐ฆโ๐ฅ2)๐๐ขโ
โโ
= ๐๐1(๐ฆ โ ๐ฅ2)
la ๐๐(๐ฆ) si riduce alla:
๐๐(๐ฆ) = โซ ๐๐2(๐ฅ2)๐๐1(๐ฆ โ ๐ฅ2)๐๐ฅ2
โ
โโ
In altri termini, la densitร di probabilitร della somma di due variabili
aleatorie statisticamente indipendenti si ottiene dalla convoluzione delle
densitร di probabilitร delle variabili componenti.
Piรน in generale si puรฒ verificare che una variabile somma di ๐ variabili a
due a due statisticamente indipendenti, presenta una densitร di probabilitร
data dalla successiva convoluzione di tutte le densitร di probabilitร delle sin-
gole variabili che la compongono. Cioรจ:
๐๐ = ๐๐1 โ ๐๐2 โ โฆ โ ๐๐๐
Fig. 17.1 - Densitร e distribuzione uniforme
CAPITOLO - 17
VARIABILI ALEATORIE NOTEVOLI
Premessa. 17.1 -
In quel che segue sono riportate le funzioni di probabilitร ,
densitร e distribuzione, di alcune variabili aleatorie, sia continue sia
discrete, in cui di frequente ci sโimbatte nelle applicazioni.
Distribuzione uniforme. 17.2 -
Una variabile aleatoria si dice uniformemente distribuita
nell'intervallo (๐, ๐) se la sua densitร di probabilitร si mantiene co-
stante in detto intervallo ed รจ nulla in tutti i punti esterni ad esso.
Ovviamente, la condizione di normalizzazione (14.4.3) impone che la
densitร di probabilitร di una variabile uniformemente distribuita, do-
ve non รจ nulla abbia un'ampiezza pari all'inverso del diametro dell'in-
tervallo (๐, ๐): (v. Fig. 17.1, a):
๐๐(๐ฅ) =1
๐ โ ๐โ(
๐ฅ โ๐+๐
2
๐ โ ๐) (17.2.1)
Essa descrive il comportamento di una quantitร aleatoria che assume
con eguale probabilitร un qualsiasi valore appartenente ad (๐, ๐).
La funzione di distribuzione associata ad una variabile aleato-
ria uniformemente distribuita in (๐, ๐) vale (v. Fig. 17.1, b):
๐๐(๐ฅ) =โ(๐ฅ โ
๐+๐
2
๐ โ ๐)๐ฅ โ ๐
๐ โ ๐+ ๐ข(๐ฅ โ ๐) (17.2.2)
CAPITOLO - 18 - Caratterizzazione Statistica dei Segnali - 289
Il valore medio di una variabile distribuita secondo la (17.2.1)
vale:
๏ฟฝ๏ฟฝ = โซ ๐ฅ๐๐(๐ฅ)๐๐ฅโ
โโ
= โซ๐ฅ
๐ โ ๐๐๐ฅ
๐
๐
=๐ + ๐
2 (17.2.3)
il suo valore quadratico medio:
๐2 = โซ ๐ฅ2๐๐(๐ฅ)๐๐ฅโ
โโ
= โซ๐ฅ2
๐ โ ๐๐๐ฅ
๐
๐
=๐2 + ๐๐ + ๐2
3 (17.2.4)
la sua varianza:
๐2 = ๐2 โ ๏ฟฝ๏ฟฝ2 =(๐ โ ๐)2
12 (17.2.5)
Distribuzione esponenziale. 17.3 -
Una varia-
bile aleatoria si
dice a distribu-
zione espo-
nenziale se la sua
densitร di pro-
babilitร รจ del tipo
(Fig. 17.2 a):
๐๐(๐ฅ) = ๐ผ๐โ๐ผ๐ฅ๐ข(๐ฅ) (17.3.1)
dove ๐ผ รจ una costante positiva.
La corrispondente distribuzione di probabilitร vale:
๐๐(๐ฅ) = (1 โ ๐โ๐ผ๐ฅ)๐ข(๐ฅ) (17.3.2)
il cui andamento รจ riportato nella (Fig. 17.2 b).
Il valore medio di una variabile aleatoria di tipo esponenziale
vale:
๏ฟฝ๏ฟฝ = โซ ๐ผ๐ฅ๐โ๐ผ๐ฅ๐๐ฅโ
0
= [๐โ๐ผ๐ฅ (๐ฅ +1
๐ผ)]โ
0
=1
๐ผ (17.3.3)
il suo valore quadratico medio:
๐2 = โซ ๐ผ๐ฅ2๐โ๐ผ๐ฅ๐๐ฅโ
0
= [๐โ๐ผ๐ฅ (๐ฅ2 +2๐ฅ
๐ผ+2
๐ผ2)]โ
0
=2
๐ผ2 (17.3.4)
e la sua varianza:
Fig. 17.2 - Densitร e distribuzione esponenziale
290 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
๐2 = ๐2 โ ๏ฟฝ๏ฟฝ2 =1
๐ผ2 (17.3.5)
Distribuzione di Laplace. 17.4 -
La densitร di probabilitร in questo caso vale (v. Fig. 17.3 a):
๐๐(๐ฅ) =๐ผ
2๐โ๐ผ|๐ฅ| (17.4.1)
dove ๐ผ รจ una costante positiva.
La distribuzione di probabilitร risulta quindi: (v. Fig. 17.3 b):
๐๐(๐ฅ) =1
2+1
2sgm(๐ฅ)(1 โ ๐โ๐ผ|๐ฅ|) (17.4.2)
La variabile aleatoria in questione ha per evidenti motivi di
simmetria valore medio nullo. Il suo valore quadratico medio รจ ugua-
le alla sua varianza che come si deduce facilmente vale:
๐2 =4
๐ผ2 (17.4.3)
Distribuzione normale o gaussiana. 17.5 -
Una variabile aleatoria si
dice gaussiana o normale se la sua
densitร di probabilitร รจ del tipo:
๐๐(๐ฅ)
=1
โ2๐๐2๐โ(๐ฅโ๐)2
2๐2 (17.5.1)
qualunque sia ๐ โ โ e ๐2 โ โ+.
L'andamento della densitร di
Fig. 17.3 - Densitร e distribuzione di Laplace
Fig. 17.4 โ ddp gaussiane per diversi valo-ri di media e varianza.
CAPITOLO - 18 - Caratterizzazione Statistica dei Segnali - 291
probabilitร di una variabile gaussiana per alcuni valori dei parametri
๐ e ๐2 รจ mostrato in Fig. 17.4.
La funzione di distribuzione di probabilitร di una variabile
aleatoria gaussiana vale:
๐๐(๐ฅ) =1
โ2๐๐2โซ ๐
โ(๐งโ๐)2
2๐2 ๐๐ง๐ฅ
โโ
(17.5.2)
L'integrale che com-
pare nella preceden-
te non puรฒ essere
calcolato in forma
chiusa. Tuttavia esso
si puรฒ esprimere in
termini della cosid-
detta funzione dโerrore,
che รจ definita come
segue(vedi Fig. 17.5):
erf(๐ฅ) =2
โ๐โซ ๐โ๐ข
2d๐ข
๐ฅ
0
(17.5.3)
Infatti, effettuando nell'integrale che compare nella (17.5.2) la se-
guente trasformazione di variabili:
๐ข =๐ง โ ๐
โ2๐2 (17.5.4)
Si ottiene:
P๐(๐ฅ)
=1
โ๐โซ ๐โ๐ข
2๐๐ข =
1
โ๐(โซ ๐โ๐ข
2๐๐ข
0
โโ
+โซ ๐โ๐ข2๐๐ข
๐ฅโ๐
โ2๐
0
)
๐ฅโ๐
โ2๐
โโ
(17.5.5)
Tenuto conto che, comโรจ noto (vedi Esempio 17.1):
โซ ๐โ๐ข2๐๐ข
0
โโ
= โซ ๐โ๐ข2๐๐ข
โ
0
=โ๐
2 (17.5.6)
si puรฒ ancora scrivere:
P๐(๐ฅ) =1
2{1 +
2
โ๐โซ ๐โ๐ข
2๐๐ข
๐ฅโ๐
โ2๐
0
} (17.5.7)
Fig. 17.5 - Funzioni dโerrore e complementare dโerrore.
292 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
Da quest'ultima innanzi tutto discende che la (17.5.1) verifica
la condizione di normalizzazione, indipendentemente dal valore della
costante ๐ e dalla scelta di ๐2, in quanto ๐๐(โ) = 1.
Inoltre ricordando la (17.5.3) si constata facilmente che la pre-
cedente puรฒ essere riscritta nella forma:
P๐(๐ฅ) =1
2[1 + erf (
๐ฅ โ ๐
โ2๐2)] (17.5.8)
Utilizzando la funzione complementare dโerrore:
erfc(๐ฅ) = 1 โ erf(๐ฅ) =2
โ๐โซ ๐โ๐ข
2๐๐ข
โ
๐ฅ
(17.5.9)
il cui andamento รจ riportato nella stessa Fig. 17.5, la (17.5.8) puรฒ scri-
versi anche come segue:
P๐(๐ฅ) = 1 โ1
2erfc (
๐ฅ โ ๐
โ2๐2) (17.5.10)
Dalle (17.5.3) e (17.5.9) si deduce facilmente che la erf(๐ฅ) e la
erfc(๐ฅ) soddisfano rispettivamente le seguenti condizioni di simme-
tria:
erf(โ๐ฅ) = โerf(๐ฅ)
erfc(โ๐ฅ) = 2 โ erfc(๐ฅ) (17.5.11)
Il valore medio di una variabile aleatoria gaussiana vale:
๏ฟฝ๏ฟฝ = โซ ๐ฅ1
โ2๐๐2๐โ(๐ฅโ๐)2
2๐2 ๐๐ฅ
โ
โโ
= โซ (๐ง + ๐)1
โ2๐๐2๐โ๐ง2
2๐2๐๐ง
โ
โโ
=
= โซ ๐ง1
โ2๐๐2๐โ๐ง2
2๐2๐๐ง
โ
โโ
+๐โซ1
โ2๐๐2๐โ๐ง2
2๐2๐๐ง
โ
โโ
= ๐
(17.5.12)
per dedurre il quale, si รจ effettuato il cambiamento di variabili
๐ง = ๐ฅ โ๐ e si รจ considerato che la funzione che compare nel primo
integrale del penultimo membro ha simmetria dispari, mentre il se-
condo integrale vale uno, in quanto la funzione integranda si puรฒ in-
tendere come la densitร di probabilitร di una variabile aleatoria gaus-
siana con parametro ๐ = 0.
Al fine di dedurre la varianza di una variabile gaussiana si os-
servi che la condizione di normalizzazione consente di scrivere:
CAPITOLO - 18 - Caratterizzazione Statistica dei Segnali - 293
I(๐) = โซ1
โ2๐๐2๐โ(๐ฅโ๐)2
2๐2 ๐๐ฅโ
โโ
= 1 (17.5.13)
Derivando due volte ambo i membri della precedente rispetto ad ๐
si ottiene:
๐I
๐๐= โซ
1
โ2๐๐2
(๐ฅ โ ๐)
๐2๐โ(๐ฅโ๐)2
2๐2 ๐๐ฅโ
โโ
= 0
๐2I
๐๐2= โโซ
1
๐2โ2๐๐2๐โ(๐ฅโ๐)2
2๐2 ๐๐ฅโ
โโ
+
+โซ1
โ2๐๐2
(๐ฅ โ ๐)2
๐4๐โ(๐ฅโ๐)2
2๐2 ๐๐ฅโ
โโ
= 0
(17.5.14)
Da quest'ultima discende:
โซ1
โ2๐๐2
(๐ฅ โ ๐)2
๐4๐โ(๐ฅโ๐)2
2๐2 ๐๐ฅโ
โโ
=1
๐2โซ ๐๐(๐ฅ)๐๐ฅโ
โโ
=1
๐2 (17.5.15)
da cui si ottiene:
โซ(๐ฅ โ ๐)2
โ2๐๐2๐โ(๐ฅโ๐)2
2๐2 ๐๐ฅโ
โโ
= โซ (๐ฅ โ๐)2๐๐(๐ฅ)๐๐ฅโ
โโ
= ๐2 (17.5.16)
Il parametro ๐2 che compare nella (17.5.1)rappresenta quindi
la varianza della variabile aleatoria.
Il valore quadratico medio vale ovviamente:
๐2 = ๐2 +๐2 (17.5.17)
Esempio 17.1
Si consideri lโintegrale improprio:
๐ผ = โซ ๐โ๐ฅ2๐๐ฅ
โ
โโ
= 2โซ ๐โ๐ฅ2๐๐ฅ
โ
0
Esso esiste finito in quanto la funzione integranda รฉ infinitesima di ordi-
ne infinito.
Al fine del calcolo di detto integrale si osservi che vale la catena di
uguaglianze:
๐ผ
2= โซ ๐โ๐ฅ
2๐๐ฅ
โ
0
= โ(โซ ๐โ๐ฅ2๐๐ฅ
โ
0
)
2
= โโซ โซ ๐โ(๐ฅ2+๐ฆ2)๐๐ฅ
โ
0
๐๐ฆโ
0
Lโintegrale che compare allโultimo membro della precedente come si no-
ta facilmente รจ esteso al primo quadrante del piano (๐, ๐ฅ, ๐ฆ) passando al
sistema di coordinate polari si ottiene infine:
294 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
๐ผ = 2โโซ โซ ๐โ๐2๐๐๐
โ
0
๐๐
๐
2
0
= 2โ๐
2โซ ๐โ๐
2๐๐๐
โ
0
= โ๐[โ๐โ๐2]0โ = โ๐
Esempio 17.2
Sia X una variabile aleatoria caratterizzata dalla seguente densitร di
probabilitร gaussiana:
๐๐(๐ฅ) =1
โ2๐๐โ
๐ฅ2
2
Si vuole calcolare la densitร di probabilitร condizionata ๐๐|๐ธ(๐ฅ), dove ๐ธ
denota l'evento:
E = {๐ โฅ 0}
Al fine di calcolare la densitร di probabilitร cercata si procede al cal-
colo della corrispondente funzione di distribuzione di probabilitร
๐๐|๐ธ(๐ฅ),.
Sulla base della (13.3.4), si
puรฒ scrivere:
๐๐|E(๐ฅ) = Pr{๐ โค ๐ฅ|E}
=Pr{{๐ โค ๐ฅ} โฉ E}
Pr{E}
D'altra parte รจ facile verificare
che:
๐ฅ > 0 โ {๐ โค ๐ฅ} โฉ E = {0 โค ๐ โค ๐ฅ}
๐ฅ < 0 โ {๐ โค ๐ฅ} โฉ E = โ
Di conseguenza si ha:
๐๐|E(๐ฅ) =Pr{0 โค ๐ โค ๐ฅ}
Pr{E}u(๐ฅ)
Osservando adesso che per la (14.4.2):
Pr{๐ โ [0, ๐ฅ]} = โซ1
โ2๐
๐ฅ
0
๐โ๐ง2
2 ๐๐ง
e
Pr{E} = โซ1
โ2๐
โ
0
๐โ๐ง2
2 ๐๐ง =1
2
si deduce:
๐๐|๐ธ(๐ฅ) = 2u(๐ฅ)โซ1
โ2๐
๐ฅ
0
๐โ๐ง2
2 ๐๐ง
Infine derivando la precedente rispetto a x si ottiene:
Fig.E 17.1
CAPITOLO - 18 - Caratterizzazione Statistica dei Segnali - 295
๐๐|E(๐ฅ) = u(๐ฅ)โ2
๐๐โ
๐ฅ2
2
il cui andamento รจ riportato in Fig.E 17.1 insieme con quello della densi-
tร di probabilitร pX(x) .
Distribuzione di Rayleigh. 17.6 -
Una variabile aleatoria รจ distribuita secondo Rayleigh se la sua
densitร di probabilitร รจ del tipo:
๐๐(๐ฅ) =๐ฅ
๐2๐โ๐ฅ2
2๐2u(๐ฅ) (17.6.1)
Si deduce facilmente che la sua funzione di distribuzione di probabi-
litร vale:
๐๐(๐ฅ) = (1 โ ๐โ๐ฅ2
2๐2) u(๐ฅ) (17.6.2)
Nella Fig. 17.6 sono riportati gli andamenti di ๐๐(๐ฅ) e di ๐๐(๐ฅ)
rispettivamente per diversi valori del parametro ๐2.
Il valore medio di ๐ si puรฒ calcolare facilmente se si tiene con-
to della (17.5.16)in cui si pone ๐ = 0. Risulta infatti:
๏ฟฝ๏ฟฝ = โซ๐ฅ2
๐2๐โ๐ฅ2
2๐2๐๐ฅโ
0
=1
2โซ
๐ฅ2
๐2๐โ๐ฅ2
2๐2๐๐ฅโ
โโ
= โ๐
2๐2โซ
๐ฅ2
โ2๐๐2๐โ๐ฅ2
2๐2๐๐ฅโ
โโ
= โ๐
2๐2๐2 = โ
๐๐2
2
(17.6.3)
Il valore quadratico medio vale:
Fig. 17.6 โ Densitร e distribuzione di Rayleigh.
296 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
๐2 = โซ๐ฅ3
๐2๐โ๐ฅ2
2๐2๐๐ฅโ
0
= [(๐ฅ2 + 2๐2)๐โ๐ฅ2
2๐2]โ
0
= 2๐2 (17.6.4)
Distribuzione di Bernoulli. 17.7 -
Una variabile aleatoria discreta รจ di Bernoulli se essa puรฒ as-
sumere solo due valori ๐ฅ0 e ๐ฅ1 con probabilitร ๐ e ๐ = 1 โ ๐ rispetti-
vamente.
La distribuzione e la densitร di probabilitร valgono rispettiva-
mente:
๐๐(๐ฅ) = ๐u(๐ฅ โ ๐ฅ0) + ๐u(๐ฅ โ ๐ฅ1) (17.7.1)
e
๐๐(๐ฅ) = ๐๐ฟ(๐ฅ โ ๐ฅ0) + ๐๐ฟ(๐ฅ โ ๐ฅ1) (17.7.2)
Il valore medio e il valore quadratico medio di una variabile di
Bernoulli valgono rispettivamente:
๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐ฅ0๐ + ๐ฅ1๐ (17.7.3)
๐2 = ๐ฅ02๐ + ๐ฅ1
2๐ (17.7.4)
che nel caso particolare in cui i due valori che la variabile aleatoria
puรฒ assumere siano equiprobabili si scrivono:
๏ฟฝ๏ฟฝ =๐ฅ0 + ๐ฅ12
(17.7.5)
๐2 =๐ฅ02 + ๐ฅ1
2
2 (17.7.6)
Si osservi che ad eccezione del caso banale in cui ๐ o ๐ siano
nulli il valore medio non coincide con un valore che puรฒ essere as-
sunto dalla variabile aleatoria.
Distribuzione binomiale. 17.8 -
Sia dato un esperimento casuale ๐ il cui insieme dei risultati ฮฉ
abbia come generico elemento una ๐-upla di risultati ottenuti da ๐ ri-
petizioni di uno stesso esperimento casuale. A titolo esemplificativo
si pensi all'esperimento casuale consistente in ๐ lanci di una moneta.
Ad ๐ si associ quindi la variabile aleatoria ๐ ottenuta dalla
somma di ๐ variabili aleatorie ๐๐ identiche, ciascuna definita su uno
degli esperimenti elementari di cui ๐ รจ composto.
CAPITOLO - 18 - Caratterizzazione Statistica dei Segnali - 297
Le variabili ๐๐ si assume siano di Bernoulli. Si puรฒ quindi por-
re:
Pr{๐๐ = 1} = ๐; Pr{๐๐ = 0} = ๐ = 1 โ ๐ (17.8.1)
La variabile aleatoria ๐ = โ ๐๐๐๐=1 รจ pertanto di tipo discreto e
puรฒ assumere soltanto valori appartenenti all'insieme {0,1, โฆ , ๐}.
Ammettendo inoltre che il risultato ottenuto nella ๐-esima ri-
petizione dellโesperimento ementare, sia statisticamente indipendente
da quelli ottenuti nelle restanti ๐ โ 1 ripetizioni, la probabilitร che ๐
assuma il valore ๐, (0 โค ๐ โค ๐) dipende dalla circostanza che ๐ va-
riabili ๐๐ assumano il valore 1 e le rimanenti il valore 0. ร evidente
che la probabilitร di un tale evento vale ๐๐๐๐โ๐ = ๐๐(1 โ ๐)๐โ๐.
D'altra parte ci sono (๐๐) =
๐!
๐!(๐โ๐)! modi distinti per ottenere tale ri-
sultato; di conseguenza si ha:
Pr{๐ = ๐} = (๐๐) ๐๐(1 โ ๐)๐โ๐ (17.8.2)
che costituisce la cosiddetta distribuzione (di massa) binomiale.
Si verifica facilmente che la condizione di normalizzazione รจ
soddisfatta. Infatti risulta:
โPr{๐ = ๐}
๐
๐=0
=โ(๐๐) ๐๐๐๐โ๐
๐
๐=0
= (๐ + ๐)๐ = 1 (17.8.3)
Il valor medio di ๐ si puรฒ calcolare facilmente esso รจ infatti
dato dalla somma dei valori medi delle variabili aleatorie di cui ๐ รจ la
somma:
๏ฟฝ๏ฟฝ =โ๐๐
๐
๐=1
=โ๐๏ฟฝ๏ฟฝ
๐
๐=1
=โ(1๐ + 0๐) =
๐
๐=1
๐๐ (17.8.4)
Anche la varianza si puรฒ calcolare facilmente in virtรน del fatto
che le ๐๐ sono mutuamente statisticamente indipendenti. Si ha:
๐๐2 =โ๐๐๐
2
๐
๐=1
=โ(๐ โ ๐2) =
๐
๐=1
๐๐๐ (17.8.5)
Il valor quadratico medio vale:
๐2 = ๐๐2 + ๏ฟฝ๏ฟฝ2 = ๐๐๐ + ๐2๐2 (17.8.6)
298 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
Distribuzione di Poisson. 17.9 -
Una variabile aleatoria discreta, che puรฒ assumere un qualsiasi
valore intero non negativo, che sia caratterizzata da una distribuzione
di massa del tipo
Pr{๐ฅ = ๐} = ๐โ๐ฌ๐ฌ๐
๐!; ๐ = 0,1,2, โฆ (17.9.1)
prende il nome di variabile di Poisson con parametro ๐ฌ > 0.
La corrispondente densitร di probabilitร รจ data dalla seguente
sequenza di delta di Dirac:
๐๐(๐ฅ) = ๐โ๐ฌโ
๐ฌ๐
๐!๐ฟ(๐ฅ โ ๐)
โ
๐=0
(17.9.2)
La sua funzione di distribuzione vale:
๐๐(๐ฅ) = ๐โ๐ฌโ๐ฌ๐
๐!๐ข(๐ฅ โ ๐)
โ
๐=0
(17.9.3)
Ricordando che ๐๐ฅ = โ๐ฅ๐
๐!โ๐=0 , si deduce facilmente che il valor me-
dio di una variabile di Poisson vale:
๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐โ๐ฌโ๐๐ฌ๐
๐!
โ
๐=0
= ๐ฌ๐โ๐ฌโ๐ฌ๐โ1
(๐ โ 1)!
โ
๐=1
= ๐ฌ (17.9.4)
il suo valore quadratico medio:
๐2 = ๐โ๐ฌโ๐2๐ฌ๐
๐!
โ
๐=0
= ๐ฌ๐โ๐ฌโ๐๐ฌ๐โ1
(๐ โ 1)!
โ
๐=1
= ๐ฌ๐โ๐ฌโ(๐ โ 1)๐ฌ๐โ1
(๐ โ 1)!
โ
๐=1
+ ๐ฌ๐โ๐ฌโ๐ฌ๐โ1
(๐ โ 1)!
โ
๐=1
= ๐ฌ2๐โ๐ฌโ๐ฌ๐โ2
(๐ โ 2)!
โ
๐=2
+ ๐ฌ๐โ๐ฌโ๐ฌ๐โ1
(๐ โ 1)!
โ
๐=1
= ๐ฌ2 + ๐ฌ
(17.9.5)
infine la sua varianza risulta:
๐2 = ๐ฌ (17.9.6)
CAPITOLO - 18 - Caratterizzazione Statistica dei Segnali - 299
Esempio 17.3
Si vuole caratterizzare il traffico telefonico in arrivo ad una centrale.
A tal fine si denoti con n il numero di telefonate in arrivo nell'intervallo
di tempo (0, ๐ก).
Per determinare la statistica di questo processo รจ opportuno introdurre
le seguenti ipotesi:
a) il numero di telefonate in arrivo in intervalli di tempo disgiunti sono
statisticamente indipendenti;
b) il numero di telefonate in arrivo nell'intervallo (๐ก, ๐ก + ฮ๐ก) dipende solo
dalla durata ฮ๐ก e non dall'istante iniziale ๐ก.
c) Se ฮ๐ก รจ sufficientemente piccolo, la probabilitร che in (0, ฮ๐ก) arrivi
una sola telefonata รจ pari a ๐ฮ๐ก; mentre la probabilitร che nello stesso in-
tervallo di tempo pervenga piรน di una chiamata รจ un infinitesimo di ordi-
ne superiore a ฮ๐ก ciรฒ significa anche che la probabilitร che in un interval-
lo di durata . ฮ๐ก non giunga nessuna chiamata vale, a meno di infinitesi-
mi di ordine superiore, 1 โ ๐๐ฅ๐ก
Detta ๐๐(๐ก) la probabilitร che, nell'intervallo (0, ๐ก), arrivino ๐ chia-
mate si consideri l'evento: โNellโintervallo (0, ๐ก + ฮ๐ก) pervengono ๐
chiamate. Tale evento, per le ipotesi fatte, si puรฒ verificare solo in uno
dei seguenti modi:
1) in (0, ๐ก) sono pervenute n chiamate e in (๐ก, ๐ก + ฮ๐ก) non ne รจ pervenuta
alcuna;
2) in (0, ๐ก) vi sono state ๐ โ 1 chiamate e in (๐ก, ๐ก + ฮ๐ก) una sola.
Poichรฉ gli eventi 1) e 2) si escludono a vicenda, per la legge delle
probabilitร composte, e per le ipotesi a), b) e c) si puรฒ scrivere:
๐) ๐๐(๐ก + ๐ฅ๐ก) = ๐๐(๐ก)[1 โ ๐๐ฅ๐ก] + ๐๐โ1(๐ก)[๐๐ฅ๐ก]; ๐ > 0
Nel caso di ๐ = 0 la precedente deve essere modificata come segue:
๐) ๐0(๐ก + ๐ฅ๐ก) = ๐0(๐ก)[1 โ ๐๐ฅ๐ก]; ๐ = 0
Dalle (a) e (b) discende:
{
๐๐(๐ก + ๐ฅ๐ก) โ ๐๐(๐ก)
๐ฅ๐ก= โ๐๐๐(๐ก) + ๐๐๐โ1(๐ก); ๐ โฅ 1
๐0(๐ก + ๐ฅ๐ก) โ ๐0(๐ก)
๐ฅ๐ก= โ๐๐0(๐ก); ๐ = 0
dalle quali, passando al limite per ฮ๐ก โ 0, si ottiene il seguente sistema
di equazioni differenziali alle differenze:
๐) {
๐๐๐(๐ก)
๐๐ก= โ๐๐๐(๐ก) + ๐๐๐โ1(๐ก); ๐ โฅ 1
๐๐0(๐ก)
๐๐ก= โ๐๐0(๐ก); ๐ = 0
300 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
cui si associa la seguente condizione iniziale:
๐) ๐๐(0) = {1; ๐ = 00; ๐ โฅ 1
che corrisponde alla condizione che all'istante iniziale (๐ก = 0) non vi
siano chiamate in arrivo.
Per risolvere il sistema in oggetto basta trasformare secondo Laplace
la prima delle (c). Denotando con
๏ฟฝ๏ฟฝ๐(๐ ) = ๐{๐๐(๐ก)}
la trasformata di Laplace di ๐๐(๐ก) si ha:
๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐(๐ ) โ ๐๐(0) = โ๐๏ฟฝ๏ฟฝ๐(๐ ) + ๐๏ฟฝ๏ฟฝ๐โ1(๐ ); ๐ > 0
che, tenendo conto della condizione iniziale, puรฒ essere riscritta nella
forma:
๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐(๐ ) + ๐๏ฟฝ๏ฟฝ๐(๐ ) = ๐๏ฟฝ๏ฟฝ๐โ1(๐ ); ๐ > 0
Si ottiene allora successivamente:
๏ฟฝ๏ฟฝ๐(๐ ) =๐๏ฟฝ๏ฟฝ๐โ1(๐ )
๐ + ๐=๐2๏ฟฝ๏ฟฝ๐โ2(๐ )
(๐ + ๐)2= โฏ =
๐๐๏ฟฝ๏ฟฝ0(๐ )
(๐ + ๐)๐
D'altra parte, trasformando la seconda delle (c), si ha:
๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ0(๐ ) โ ๐0(0) = โ๐๏ฟฝ๏ฟฝ0(๐ )
che, in virtรน della (d), fornisce:
๏ฟฝ๏ฟฝ0(๐ ) =๐0(0)
๐ + ๐=
1
๐ + ๐
ร pertanto:
Fig.E 17.2
CAPITOLO - 18 - Caratterizzazione Statistica dei Segnali - 301
๏ฟฝ๏ฟฝ๐(๐ ) =๐๐
(๐ + ๐)๐+1
da cui, antitrasformando, si deduce:
๐๐(๐ก) = ๐โ๐๐ก
(๐๐ก)๐
๐!u(๐ก); ๐ โฅ 0
Si ottiene cosรฌ una distribuzione di Poisson con parametro t. Gli an-
damenti di Pn ( t ) per alcuni valori di n sono riportati in Fig.E 17.2
CAPITOLO - 18
CARATTERIZZAZIONE STATISTICA DEI SEGNALI
Segnale aleatorio. Funzioni di probabilitร del pri-18.1 - mo ordine.
Sia dato un esperimento casuale individuato da uno spazio di
probabilitร S = (ฮฉ, ๐, Pr). Per segnale aleatorio reale sโintende un'ap-
plicazione che fa corrispondere a ciascun possibile risultato ํ โ ฮฉ
dell'esperimento casuale una funzione reale del tempo:
โํ โ ฮฉ โ ๐ (๐ก, ํ) | T โ โ โ โ (18.1.1)
tale da identificare una variabile aleatoria ๐ (๐ก, ํ) per ogni fissato
๐ก โ T.
Il sottoinsieme
T puรฒ coincidere
con lโasse reale, o
essere in esso con-
tenuto.
Da quanto det-
to discende che se
si fissa un valore di
๐ก il segnale aleato-
rio individua una variabile aleatoria su ฮฉ; mentre se si fissa un risulta-
to ํ si ottiene una funzione della sola variabile ๐ก, ๐ (๐ก, ํ), che costitui-
sce una manifestazione del segnale come รจ schematicamente indicato nel-
la Fig. 18.1.
In quel che segue un segnale aleatorio verrร denotato talvolta
con ๐ (๐ก), sottintendendo la dipendenza dal risultato dellโesperimento
casuale ํ. Dal contesto sarร chiaro quando ci si sta riferendo ad una
variabile casuale, ๐ก assegnato, o a ad una particolare manifestazione,
ํ fissato.
Ad esempio si consideri il segnale aleatorio la cui generica
manifestazione รจ data dalla:
๐ (๐ก, ๐) = cos(2๐๐0๐ก + ๐) (18.1.2)
Fig. 18.1 - Generazione di un segnale aleatorio.
CAPITOLO - 19 โ Valori Medi, Stazionarietร ed Ergodicitร - 303
dove ๐ รจ una variabile aleatoria che assume valori nell'intervallo
[0,2๐]. In questo caso le manifestazioni del segnale sono costituite da
tutte le possibili cosinusoidi di frequenza ๐0 ottenute in corrispon-
denza ai possibili valori di ๐. In Fig. 18.2, a titolo e-
semplificativo, si sono ripor-
tate tre possibili manifesta-
zioni di un segnale ๐ (๐ก, ํ).
Con riferimento alla figura, si
consideri l'evento E๐ฅ =
{๐ (๐ก, ํ)|๐ (๐ก, ํ) โค ๐ฅ} costituito
da tutte le manifestazioni del
segnale che allโistante ๐ก as-
sumono un valore non maggiore di ๐ฅ. Per il segnale di Fig. 18.2, la
manifestazione ๐ (๐ก, ํ2) e la ๐ (๐ก, ํ3) appartengono a E๐ฅ mentre la
๐ (๐ก, ํ1) non vi appartiene.
La probabilitร che si verifichi lโevento E๐ฅ dipende dal valore ๐ฅ
e dallโistante ๐ก, essa si puรฒ quindi esprimere nella forma:
Pr{E๐ฅ} = ๐๐ (๐ก)(๐ฅ) (18.1.3)
La funzione ๐๐ (๐ก)(๐ฅ), definita nella (18.1.3), costituisce la distri-
buzione di probabilitร del primo ordine associata al segnale ๐ (๐ก). Ci si ren-
de facilmente conto che la ๐๐ (๐ก)(๐ฅ) coincide con la funzione di distri-
buzione di probabilitร della variabile aleatoria individuata dal segnale
in corrispondenza allโistante ๐ก.
Alla ๐๐ (๐ก)(๐ฅ) si puรฒ associare una densitร di probabilitร del
primo ordine ๐๐ (๐ก)(๐ฅ) cosรฌ definita:
๐๐ (๐ก)(๐ฅ) =๐๐๐ (๐ก)(๐ฅ)
๐๐ฅ (18.1.4)
in quanto sia ๐๐ (๐ก)(๐ฅ) sia ๐๐ (๐ก)(๐ฅ) sono in genere funzioni anche del-
l'istante ๐ก in cui si osserva il segnale. ร opportuno inoltre sottolineare
che la derivazione nella (18.1.4) va intesa in senso generalizzato, la
presenza dโeventuali discontinuitร non eliminabili nella ๐๐ (๐ก)(๐ฅ) si tra-
duce infatti nella presenza di delta di Dirac di peso e posizione op-
portuni nella corrispondente densitร ๐๐ (๐ก)(๐ฅ).
Fig. 18.2 - Manifestazioni di un segnale aleatorio
304 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
Si osservi che la ๐๐ (๐ก)(๐ฅ) รจ una funzione non decrescente di ๐ฅ,
pertanto, qualunque sia l'istante ๐ก, per tutti i valori di ๐ฅ in cui la
๐๐ (๐ก)(๐ฅ) รจ derivabile in senso ordinario, risulta:
๐๐ (๐ก)(๐ฅ) โฅ 0 (18.1.5)
Inoltre i pesi delle eventuali delta di Dirac presenti nella ๐๐ (๐ก)(๐ฅ) non
possono essere negativi.
Vale la condizione:
๐๐ (๐ก)(+โ) = 1 (18.1.6)
che dร conto del fatto che i valori assunti da una qualsiasi manifesta-
zione del segnale appartengono certamente ad โ per ogni ๐ก โ T.
Deve inoltre necessariamente essere:
๐๐ (๐ก)(โโ) = 0 (18.1.7)
in quanto la probabilitร che in un qualunque istante ๐ก risulti ๐ (๐ก) =
โโ รจ nulla (evento impossibile).
La (18.1.4) e la (18.1.7) consentono di scrivere:
๐๐ (๐ก)(๐ฅ) = โซ ๐๐ (๐ก)(๐ฆ)๐๐ฆ๐ฅ
โโ
(18.1.8)
Inoltre, indipendentemente dal valore di ๐ก la (18.1.6) si traduce
per la ps(t )(x) nella condizione di normalizzazione:
โซ ๐๐ (๐ก)(๐ฅ)๐๐ฅโ
โโ
= 1 (18.1.9)
La probabilitร che il segnale, in un assegnato istante ๐ก, assuma
un valore appartenente allโintervallo (๐, ๐] vale:
Pr{๐ (๐ก) โ (๐, ๐]} = ๐๐ (๐ก)(๐) โ ๐๐ (๐ก)(๐) = โซ ๐๐ (๐ก)(๐ฅ)๐๐ฅ๐
๐
(18.1.10)
Esempio 18.1
Si consideri il segnale:
๐ (๐ก, ๐) =โ (๐ก โ ๐
๐)
dove ๐ rappresenta una variabile aleatoria caratterizzata da una densitร di
probabilitร del primo ordine data da ๐๐(ํ).
CAPITOLO - 19 โ Valori Medi, Stazionarietร ed Ergodicitร - 305
La generica manife-
stazione del segnale รจ ri-
portata in Fig.E 18.1. Da
tale figura si deduce che,
in corrispondenza ad un
certo istante ๐ก, ๐ (๐ก, ๐)
puรฒ assumere solo due
valori e precisamente:
{๐ (๐ก, ๐) = 1; ๐ก โ
๐
2โค ๐ โค ๐ก +
๐
2๐ (๐ก, ๐) = 0; altrove
Ciรฒ significa che la probabilitร che ๐ (๐ก, ๐) assuma in un certo istante il
valore 1 รจ data dalla:
๐1(๐ก) โก ๐๐{๐ (๐ก, ๐) = 1} = Pr {๐ก โ๐
2โค ๐ โค ๐ก +
๐
2}
mentre la probabilitร che ๐ (๐ก, ๐) assuma il valore 0 vale:
๐0(๐ก) โก Pr{๐ (๐ก, ๐) = 0} = 1 โ Pr{๐ (๐ก, ๐) = 1}
dal momento che gli eventi ๐ (๐ก, ๐)=0 e ๐ (๐ก, ๐)=1 sono mutuamente esclu-
sivi.
Si ha:
๐1(๐ก) = โซ ๐๐(ํ)๐ํ๐ก+
๐
2
๐กโ๐
2
Ciรฒ premesso si consideri la funzio-
ne di distribuzione ๐๐ (๐ก)(๐ฅ) associata al
segnale ๐ (๐ก, ๐). Per ogni ๐ฅ < 0 la
๐๐ (๐ก)(๐ฅ) รจ nulla poichรฉ il segnale non
puรฒ assumere valori negativi, mentre
per valori di ๐ฅ โฅ 1 la ๐๐ (๐ก)(๐ฅ) vale 1
poichรฉ i valori che il segnale puรฒ assu-
mere non possono essere superiori ad 1.
Per 0 โค ๐ฅ < 1 si ha:
๐๐ (๐ก)(๐ฅ) = ๐0(๐ก)u(๐ฅ)
In definitiva quindi risulta:
๐๐ (๐ก)(๐ฅ) = ๐0(๐ก)u(๐ฅ) + ๐1(๐ก)u(๐ฅ โ 1)
Pertanto la corrispondente densitร di probabilitร vale:
๐๐ (๐ก)(๐ฅ) =๐๐๐ (๐ก)(๐ฅ)
๐๐ฅ= ๐0(๐ก)๐ฟ(๐ฅ) + ๐1(๐ก)๐ฟ(๐ฅ โ 1)
Fig.E 18.2
Fig.E 18.1
306 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
Le funzioni ๐๐ (๐ก)(๐ฅ) e ๐๐ (๐ก)(๐ฅ) sono rappresentate nella Fig.E 18.2.
Se in particolare la variabile ๐ รจ uniformemente distribuita in
(-๐/2, ๐/2), cioรจ รจ caratterizzata da una densitร di probabilitร del primo
ordine data dalla:
๐๐(ํ) =1
๐โ (
ํ
๐)
si ha:
๐1(๐ก) = โซ1
๐โ (
ํ
๐)๐ํ
๐ก+๐
2
๐กโ๐
2
= {1 โ|๐ก|
๐; |๐ก| โค ๐
0; |๐ก| > ๐= (1 โ
|๐ก|
๐)โ (
๐ก
2๐)
di conseguenza:
๐0(๐ก) = 1 โ (1 โ|๐ก|
๐)โ (
๐ก
2๐)
Funzioni di probabilitร del secondo ordine e fun-18.2 - zioni di probabilitร condizionate.
Dati due reali qualsiasi ๐ฅ1, ๐ฅ2 si prenda in considerazione
lโevento:
E๐ฅ1๐ฅ2 = {๐ (๐ก)|๐ 1 โค ๐ฅ1โ ๐ 2 โค ๐ฅ2} (18.2.1)
Dove, per comoditร di no-
tazione, ๐ 1 ed ๐ 2 indicano i
valori assunti dalla generi-
ca manifestazione del se-
gnale agli istanti ๐ก1 e ๐ก2 ri-
spettivamente. E๐ฅ1๐ฅ2 rap-
presenta cioรจ lโevento co-
stituito da tutte le manife-
stazioni del segnale ๐ (๐ก)
che assumono all'istante ๐ก1
un valore non maggiore di ๐ฅ1, e all'istante ๐ก2 un valore non maggiore
di ๐ฅ2.
Nellโesempio di Fig. 18.3soltanto la manifestazione ๐ (๐ก, ํ1) รจ
contenuta in E๐ฅ1๐ฅ2.
La probabilitร che si verifichi lโevento ๐ธ๐ฅ1๐ฅ2dipende evidente-
mente sia dagli istanti di tempo considerati sia dalla coppia ๐ฅ1, ๐ฅ2; es-
sa si puรฒ pertanto esprimere nella forma:
Pr{E๐ฅ1๐ฅ2} = ๐๐ 1๐ 2(๐ฅ1, ๐ฅ2) (18.2.2)
Fig. 18.3 - Manifestazioni di un segnale aleato-rio.
CAPITOLO - 19 โ Valori Medi, Stazionarietร ed Ergodicitร - 307
La funzione ๐๐ 1๐ 2(๐ฅ1, ๐ฅ2), appena introdotta, costituisce la di-
stribuzione di probabilitร del secondo ordine associata al segnale aleatorio
๐ (๐ก) relativa ai due istanti ๐ก1, ๐ก2 in cui il segnale aleatorio viene osser-
vato.
Anche in questo caso รจ possibile individuare una densitร di pro-
babilitร del secondo ordine associata al segnale:
๐๐ 1๐ 2(๐ฅ1, ๐ฅ2) =๐2๐๐ 1๐ 2(๐ฅ1, ๐ฅ2)
๐๐ฅ1๐๐ฅ2 (18.2.3)
nella quale la derivazione รจ da intendersi in senso generalizzato.
La ๐๐ 1๐ 2(๐ฅ1, ๐ฅ2) deve necessariamente soddisfare le uguaglian-
ze:
{
๐๐ 1๐ 2(โ,โ) = 1;
๐๐ 1๐ 2(โโ,โโ) = 0;
๐๐ 1๐ 2(0, โโ) = 0;
๐๐ 1๐ 2(โโ, 0) = 0;
(18.2.4)
la prima delle quali esprime la probabilitร associata allโevento certo;
le restanti quelle dโeventi impossibili, indipendentemente dagli istanti
dโosservazione considerati.
Dalla (18.2.3)si deduce inoltre che la probabilitร che all'istante
๐ก1 il valore ๐ (๐ก1) = ๐ 1, assunto dalla generica manifestazione del se-
gnale, sia compreso nell'intervallo (๐1, ๐1] e che a ๐ก2 il valore
๐ (๐ก2) = ๐ 2, assunto dalla stessa manifestazione, appartenga all'inter-
vallo (๐2, ๐2] si puรฒ calcolare in uno dei seguenti modi:
Pr{{๐ (๐ก)|(๐ 1, ๐ 2) โ (๐1, ๐1] ร (๐2, ๐2]}}= ๐๐ 1๐ 2(๐2, ๐2) โ ๐๐ 1๐ 2(๐1, ๐2) โ ๐๐ 1๐ 2(๐2, ๐1)
+ ๐๐ 1๐ 2(๐1, ๐1) = โซ โซ ๐๐ 1๐ 2(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฅ๐๐ฆ๐2
๐2
๐1
๐1
(18.2.5)
ร inoltre evidente che si ha:
๐๐ 1๐ 2(๐ฅ1, ๐ฅ2) = โซ โซ ๐๐ 1๐ 2(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฅ๐๐ฆ๐ฅ2
โโ
๐ฅ1
โโ
(18.2.6)
Dato che l'evento E๐ฅ1๐ฅ2 รจ contenuto nell'evento
E๐ฅ1+|๐ฅ๐ฅ1|,๐ฅ2+|๐ฅ๐ฅ2| deve necessariamente essere ๐๐ 1๐ 2(๐ฅ1, ๐ฅ2) โค
๐๐ 1๐ 2(๐ฅ1 + |๐ฅ๐ฅ1|, ๐ฅ2 + |๐ฅ๐ฅ2|), il che comporta:
๐๐ 1๐ 2(๐ฅ1, ๐ฅ2) โฅ 0 (18.2.7)
308 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
in tutti i punti in cui la derivazione (18.2.3) si puรฒ effettuare in senso
ordinario, inoltre, i pesi delle delta di Dirac, eventualmente presenti
nella ๐๐ 1๐ 2(๐ฅ1, ๐ฅ2), non possono essere negativi.
Si osservi che tutti I risultati ottenuti si potevano dedurre os-
servando che ๐ (๐ก1) ed ๐ (๐ก2) sono due variabili aleatorie definite su di
uno stesso esperimento casuale, di cui la ๐๐ 1๐ 2(๐ฅ1, ๐ฅ2) e la ๐๐ 1๐ 2(๐ฅ1, ๐ฅ2)
costituiscono le funzioni di probabilitร congiunte.
Si considerino gli eventi:
E2 = {๐ (๐ก)|๐ 2 โค ๐ฅ2}; E1 = {๐ (๐ก)|๐ฅ1 โ|๐ฅ๐ฅ1|
2< ๐ 1
โค ๐ฅ1 +|๐ฅ๐ฅ1|
2}
(18.2.8)
La probabilitร dell'evento E2 condizionata dal manifestarsi dell'even-
to E1, nellโipotesi che quest'ultimo abbia probabilitร diversa da zero,
per la formula di Bayes vale:
Pr{E2|E1} =Pr{E2 โฉ E1}
Pr{E1}=
โซ โซ ๐๐ 1๐ 2(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฅ๐๐ฆ๐ฅ2
โโ
๐ฅ1+|๐ฅ๐ฅ1|
2
๐ฅ1โ|๐ฅ๐ฅ1|
2
โซ ๐๐ 1(๐ฅ)๐๐ฅ๐ฅ1+
|๐ฅ๐ฅ1|
2
๐ฅ1โ|๐ฅ๐ฅ1|
2
(18.2.9)
Se si fa tendere ๐ฅ๐ฅ1 a zero, ammesso che la ๐๐ 1(๐ฅ1), sia conti-
nua in ๐ฅ1, E1 si riduce all'evento singolare E1 = {๐ (๐ก)|๐ 1 = ๐ฅ1} e si ha:
lim๐ฅ๐ฅ1โ0
Pr{E2|E1} = lim๐ฅ๐ฅ1โ0
โซ โซ ๐๐ 1๐ 2(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฅ๐๐ฆ๐ฅ2
โโ
๐ฅ1+|๐ฅ๐ฅ1|
2
๐ฅ1โ|๐ฅ๐ฅ1|
2
โซ ๐๐ 1(๐ฅ)๐๐ฅ๐ฅ1+
|๐ฅ๐ฅ1|
2
๐ฅ1โ|๐ฅ๐ฅ1|
2
=โซ ๐๐ 1๐ 2(๐ฅ1, ๐ฆ)๐๐ฆ๐ฅ2
โโ
๐๐ 1(๐ฅ1)
(18.2.10)
Si noti il limite (18.2.10) esiste finito se risulta ๐๐ 1(๐ฅ1) โ 0 e
definisce una funzione della variabile ๐ฅ1che soddisfa tutte le proprie-
tร di una distribuzione di probabilitร . Tale funzione, che si denota
con ๐๐ 2|๐ 1(๐ฅ2, ๐ฅ1) e prende il nome di distribuzione di probabilitร condi-
zionata. Alla ๐๐ 2|๐ 1(๐ฅ2, ๐ฅ1) corrisponde la densitร di probabilitร condiziona-
ta data dalla:
CAPITOLO - 19 โ Valori Medi, Stazionarietร ed Ergodicitร - 309
๐๐ 2|๐ 1(๐ฅ2, ๐ฅ1) =๐๐๐ 2|๐ 1(๐ฅ2, ๐ฅ1)
๐๐ฅ2 (18.2.11)
ร facile rendersi conto che tale densitร di probabilitร puรฒ
esprimersi in termini delle densitร del primo e del secondo ordine as-
sociate al segnale ๐ (๐ก) come segue:
๐๐ 1๐ 2(๐ฅ1, ๐ฅ2) = ๐๐ 1(๐ฅ1) โ ๐๐ 2|๐ 1(๐ฅ2, ๐ฅ1) (18.2.12)
In modo analogo, introducendo la densitร di probabilitร con-
dizionata ๐๐ 1|๐ 2(๐ฅ1, ๐ฅ2) si deduce:
๐๐ 1๐ 2(๐ฅ1๐ฅ2) = ๐๐ 2(๐ฅ2) โ ๐๐ 1|๐ 2(๐ฅ1, ๐ฅ2) (18.2.13)
Si noti infine che risulta:
lim๐ก2โ๐ก1
๐๐ 2|๐ 1(๐ฅ2, ๐ฅ1) = lim๐ก1โ๐ก2
๐๐ 1|๐ 2(๐ฅ1, ๐ฅ2) = ๐ฟ(๐ฅ1 โ ๐ฅ2) (18.2.14)
che discende immediatamente dal fatto che una stessa manifestazio-
ne del segnale non puรฒ assumere due valori distinti nello stesso istan-
te .
Inoltre tenuto conto delle condizioni di normalizzazione:
โซ ๐๐ 1|๐ 2(๐ฅ1, ๐ฅ2)๐๐ฅ1
โ
โโ
= โซ ๐๐ 2|๐ 1(๐ฅ2, ๐ฅ1)๐๐ฅ2
โ
โโ
= 1 (18.2.15)
dalle (18.2.12) e (18.2.13) si deduce che le densitร del primo ordine
del segnale valgono rispettivamente:
a) ๐๐ 1(๐ฅ1) = โซ ๐๐ 1๐ 2(๐ฅ1, ๐ฅ2)๐๐ฅ2
โ
โโ
(18.2.16)
b) ๐๐ 2(๐ฅ2) = โซ ๐๐ 1๐ 2(๐ฅ1, ๐ฅ2)๐๐ฅ1
โ
โโ
dalle quali si evince che la densitร di probabilitร del primo ordine di
un segnale aleatorio รจ direttamente deducibile da quella del secondo
ordine per marginalizzazione.
ร inoltre evidente che:
a) ๐๐ 1(๐ฅ1) = lim
๐ฅ2โโ๐๐ 1๐ 2(๐ฅ1, ๐ฅ2)
(18.2.17)
b) ๐๐ 2(๐ฅ2) = lim
๐ฅ1โโ๐๐ 1๐ 2(๐ฅ1, ๐ฅ2)
310 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
Funzioni di probabilitร dโordine superiore. 18.3 -
In maniera analoga a quanto fatto nei paragrafi precedenti, si
puรฒ denotare con
๐๐ 1๐ 2โฆ๐ ๐(๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ ๐ฅ๐) (18.3.1)
la probabilitร dellโevento
E๐ฅ1๐ฅ2โฆ๐ฅ๐ = {๐ (๐ก)|๐ 1 โค ๐ฅ1, ๐ 2 โค ๐ฅ2, โฆ , ๐ ๐ โค ๐ฅ๐} (18.3.2)
costituito cioรจ da tutte le manifestazioni del segnale ๐ (๐ก) che, in cor-
rispondenza agli istanti di tempo ๐ก1, ๐ก2, โฆ , ๐ก๐, assumono valori rispet-
tivamente non superiori a ๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ ๐ฅ๐.
La ๐๐ 1๐ 2โฆ๐ ๐(๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ ๐ฅ๐) costituisce la distribuzione di probabilitร
di ordine ๐ associata al segnale. Ad essa corrisponde la relativa densitร
di probabilitร di ordine ๐: ๐๐ 1๐ 2โฆ๐ ๐(๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐):
๐๐ 1๐ 2โฆ๐ ๐(๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐) =๐๐๐๐ 1๐ 2โฆ๐ ๐(๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ ๐ฅ๐)
๐๐ฅ1๐๐ฅ2โฆ๐๐ฅ๐ (18.3.3)
in cui la derivata, anche in questo caso, รจ intesa in senso generalizza-
to.
Dalla ๐๐ 1๐ 2โฆ๐ ๐(๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐) si possono dedurre tutte le densitร
dโordine inferiore per successiva marginalizzazione. Si ha infatti, ge-
neralizzando le (18.2.16):
๐๐ 1๐ 2โฆ๐ ๐โ1(๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐โ1) = โซ ๐๐ 1๐ 2โฆ๐ ๐(๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐)๐๐ฅ๐
โ
โโ
๐๐ 1๐ 2โฆ๐ ๐โ2(๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐โ2) = โซ โซ ๐๐ 1๐ 2โฆ๐ ๐(๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐)๐๐ฅ๐๐๐ฅ๐โ1
โ
โโ
โ
โโ. . . . . . . . . . . . . . . . . .
๐๐ 1(๐ฅ1) = โซ โฆโซ ๐๐ 1๐ 2โฆ๐ ๐(๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐)๐๐ฅ๐๐๐ฅ๐โ1
โ
โโ
โ
โโ
โฆ๐๐ฅ2
(18.3.4)
La densitร di probabilitร dโordine ๐ deve inoltre soddisfare la
seguente condizione di normalizzazione:
โซ โฆโซ ๐๐ 1๐ 2โฆ๐ ๐(๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐)๐๐ฅ๐๐๐ฅ๐โ1
โ
โโ
โ
โโ
โฆ๐๐ฅ2๐๐ฅ1 = 1 (18.3.5)
che esprime la circostanza che i valori assunti dal segnale negli istanti
๐ก1, ๐ก2, โฆ , ๐ก๐ sono certamente limitati.
Si ha:
CAPITOLO - 19 โ Valori Medi, Stazionarietร ed Ergodicitร - 311
๐๐ 1๐ 2โฆ๐ ๐(๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐)
= โซ โฆโซ ๐๐ 1๐ 2โฆ๐ ๐(๐ฆ1, โฆ , ๐ฆ๐)๐๐ฆ1โฆ๐๐ฆ๐
๐ฅ๐
โโ
๐ฅ1
โโ
(18.3.6)
e sono soddisfatte le uguaglianze:
๐๐ 1๐ 2โฆ๐ ๐(โโ,โฆ ,โโ) = 0, ๐๐ 1๐ 2โฆ๐ ๐(โ,โฆ ,โ) = 1 (18.3.7)
Da considerazioni analoghe a quelle fatte per dedurre la
(18.2.7) discende:
๐๐ 1๐ 2โฆ๐ ๐(๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐) โฅ 0 (18.3.8)
in tutti i punti in cui ๐๐ 1๐ 2โฆ๐ ๐(๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐) รจ derivabile in senso ordina-
rio; inoltre i pesi delle eventuali delta di Dirac nella
๐๐ 1๐ 2โฆ๐ ๐(๐ฅ1, ๐ฅ2โฆ , ๐ฅ๐) non possono essere negativi.
Quando sono note le funzioni di probabilitร fino a allโordine ๐
di un segnale aleatorio, si dice che esso รจ statisticamente noto fino
all'ordine ๐. ร evidente che quanto piรน ๐ รจ elevato tanto maggiori
sono le informazioni che si hanno sulla natura del segnale.
Se i valori assunti dalla generica manifestazione del segnale ne-
gli istanti ๐ก1, ๐ก2, โฆ , ๐ก๐ sono statisticamente indipendenti cioรจ se risulta,
qualunque sia l'ordine ๐ e comunque scelti gli istanti ๐ก1, ๐ก2, โฆ , ๐ก๐:
๐๐ 1๐ 2โฆ๐ ๐(๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐) = ๐๐ 1(๐ฅ1)๐๐ 2(๐ฅ2) โฆ๐๐ ๐(๐ฅ๐) (18.3.9)
il segnale si dice puramente casuale. In tal caso la densitร di probabilitร
del primo ordine contiene giร tutte le informazioni necessarie alla de-
scrizione statistica del segnale.
La funzione di distribuzione di probabilitร dโordine ๐ per un
tale segnale risulta:
๐๐ 1โฆ๐ ๐(๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐)
= โซ ๐๐ 1(๐ฅ)๐๐ฅ๐ฅ1
โโ
โซ ๐๐ 2(๐ฅ)๐๐ฅ๐ฅ2
โโ
โฆโซ ๐๐ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ๐ฅ๐
โโ
=โ๐๐ ๐(๐ฅ๐)
๐
๐=1
(18.3.10)
essa, cioรจ, come la corrispondente densitร di probabilitร , si puรฒ espri-
mere come prodotto di ๐ distribuzioni di probabilitร del primo ordi-
ne rispettivamente valutate in corrispondenza degli ๐ istanti di os-
servazione.
312 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
Segnali aleatori deterministici. 18.4 -
Una classe particolare di segnali aleatori รจ costituita dai cosid-
detti segnali deterministici. Per essi l'evoluzione della generica manifesta-
zione per valori di ๐ก โฅ ๐ puรฒ essere dedotta dalla conoscenza del se-
gnale per ๐ก < ๐.
Il segnale ๐ (๐ก, ๐) = cos(2๐๐0๐ก + ๐) ne รจ un esempio, dal mo-
mento che nota la frequenza ๐0 l'osservazione del segnale in almeno
due istanti distinti consente di determinare il valore della fase ๐ e
quindi la manifestazione.
In generale un segnale aleatorio deterministico รจ rappresenta-
bile mediante una funzione ๐ (๐ก, ๐) in cui ๐ = [๐1, ๐2, โฆ , ๐๐] รจ un ๐-
vettore di variabili aleatorie definite su uno stesso esperimento casua-
le caratterizzato da una distribuzione di probabilitร congiunta
๐๐(๐ง1, ๐ง2, โฆ , ๐ง๐).
Segnali dipendenti da una variabile aleatoria mo-18.5 - nodimensionale
funzioni di probabilitร del primo ordine.
Sia ๐ = ๐ (๐ก, ๐) un segnale dipendente da una variabile aleatoria
monodimensionale ๐. Si vuole determinare la distribuzione di pro-
babilitร del primo ordine ad esso associata, nota che sia la densitร di
probabilitร di ๐.
A tal fine si ricorda che la ๐๐ (๏ฟฝ๏ฟฝ)(๐ฅ) eguaglia la probabilitร che il
segnale allโistante ๏ฟฝ๏ฟฝ assuma un valore non superiore ad ๐ฅ. Tale even-
tualitร si verifica tutte e sole le volte che la variabile aleatoria ๐ assu-
me valori appartenenti allโinsieme I๏ฟฝ๏ฟฝ,๐ฅ = ๐ โ1(๏ฟฝ๏ฟฝ, (โโ, ๐ฅ]) โ โ In altri
termini ๐๐ (๏ฟฝ๏ฟฝ)(๐ฅ) = Pr{I๏ฟฝ๏ฟฝ,๐ฅ}, nellโipotesi in cui I๏ฟฝ๏ฟฝ,๐ฅ costituisca un even-
to per ๐.
Questโultima ipotesi รจ certamente soddisfatta, in quanto il se-
gnale, in virtรน della sua definizione, individua in ogni istante una va-
riabile aleatoria sullo spazio dei risultati dellโesperimento casuale. Nel
caso in esame lโinsieme dei risultati รจ โ, quindi ๐ (๏ฟฝ๏ฟฝ, ๐) รจ una funzione
misurabile di ๐. Ciรฒ significa che lโinsieme I๏ฟฝ๏ฟฝ,๐ฅ รจ di Borel, (misurabile
nel senso di Lebesgue) ad esso รจ quindi possibile attribuire una pro-
babilitร nota che sia la densitร di probabilitร ๐๐(๐ง) della variabile
aleatoria ๐. In definitiva si puรฒ quindi scrivere:
CAPITOLO - 19 โ Valori Medi, Stazionarietร ed Ergodicitร - 313
๐๐ (๏ฟฝ๏ฟฝ)(๐ฅ) = Pr{๐
โ1(๏ฟฝ๏ฟฝ, (โโ, ๐ฅ])} = โซ ๐๐(๐ง)๐๐ง๐ผ๏ฟฝ๏ฟฝ,๐ฅ
(18.5.1)
ร opportuno sottolineare che lโintegrale che compare nella
precedente va inteso come una distribuzione qualora la ๐๐(๐ง) con-
tenga delle delta di Dirac.
Si consideri adesso il caso particolare in cui la variabile aleato-
ria ๐ = ๐ (๐ก, ๐) sia di tipo continuo, la variabile aleatoria ๐ sia anche
essa di tipo continuo caratterizzata da una distribuzione di probabili-
tร ๐๐(๐ง) derivabile dappertutto. Si supponga inoltre che il segnale in
ogni istante sia rappresentabile mediante una funzione derivabile di ๐
che sia priva di tratti costanti.
Si osservi che lโequazione ๐ = ๐ (๐ก, ๐) nel piano (๐, ๐, ๐ ) รจ rap-
presentabile mediante una famiglia di curve parametrizzate dal tem-
po.
Assegnato un istante ๏ฟฝ๏ฟฝ si consideri la funzione di ๐, ๐ =
๐ (๏ฟฝ๏ฟฝ, ๐), (v. Fig. 18.4.
Si consideri quindi
sullโasse ๐ lโintervallo
I๐ฅ = (๐ฅ โ๐ฅ๐ฅ
2, ๐ฅ +
๐ฅ๐ฅ
2];
ad esso corrisponde
un'immagine inversa
๐ โ1(๏ฟฝ๏ฟฝ, I๐ฅ), che si sup-
pone costituita da
unโunione finita o al
piรน numerabile di intervalli a due a due disgiunti I๐๐, cui appartengo-
no rispettivamente le soluzioni ๐๐ dellโequazione ๐ฅ = ๐ (๏ฟฝ๏ฟฝ, ๐) (v. Fig.
18.4 sia cioรจ:
๐ โ1(๏ฟฝ๏ฟฝ, I๐ฅ) = โช I๐๐โ
๐=1
(18.5.2)
La probabilitร che nell'istante ๏ฟฝ๏ฟฝ il segnale assuma un valore
appartenente all'intervallo I๐ฅ, รจ uguale alla probabilitร che la variabile
aleatoria Z assuma un valore appartenente all'evento E = โช I๐๐โ๐=1 . Si
puรฒ quindi scrivere:
Pr{๐ผ๐ฅ} = Pr{E} =โPr{I๐๐}
โ
๐=1
(18.5.3)
Fig. 18.4 - rappresentazione sul piano . (O, Z, s)
314 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
dal momento che gli eventi che costituiscono E sono a due a due di-
sgiunti. Si osservi inoltre che per le ipotesi fatte sul segnale, al tende-
re a zero della misura |๐ฅ๐ฅ| di ๐ผ๐ฅ anche la misura |๐ฅ๐๐| del generico ๐ผ๐๐
tende a zero; la (18.5.3) quindi, a meno dโinfinitesimi di ordine supe-
riore al primo, si puรฒ riscrivere nella forma:
๐๐ (๏ฟฝ๏ฟฝ)(๐ฅ)|๐ฅ๐ฅ| =โ ๐๐(๐๐)|๐ฅ๐๐|โ
๐=1
(18.5.4)
dalla quale si puรฒ concludere che:
๐๐ (๏ฟฝ๏ฟฝ)(๐ฅ) = 0 se: โ๏ฟฝ๏ฟฝ|๐ฅ = ๐ (๏ฟฝ๏ฟฝ, ๏ฟฝ๏ฟฝ) โ ๐๐(๏ฟฝ๏ฟฝ) = 0 (18.5.5)
Inoltre, per tutti i valori di ๐ฅ in corrispondenza ai quali risulta
|๐๐ (๐ก,๐)
๐๐|๏ฟฝ๏ฟฝ,๐๐ โ 0โ๐๐, dividendo ambo i membri della (18.5.4) per |๐ฅ๐ฅ|
e passando al limite per ๐ฅ๐ฅ โ 0, si ottiene:
๐๐ (๏ฟฝ๏ฟฝ)(๐ฅ) = lim
๐ฅ๐ฅโ0โ
๐๐(๐๐)|๐ฅ๐ฅ|
|๐ฅ๐๐|
โ
๐=1
=โ๐๐(๐๐)
|๐๐ (๐ก,๐)
๐๐|๏ฟฝ๏ฟฝ,๐๐
โ
๐=1
(18.5.6)
In corrispondenza agli eventuali valori di ๐ฅ per i quali risulta che
|๐๐ (๐ก,๐)
๐๐|๏ฟฝ๏ฟฝ,๐๐
= 0 la ๐๐ (๏ฟฝ๏ฟฝ)(๐ฅ) non รจ definita; tuttavia la ๐๐ (๏ฟฝ๏ฟฝ)(๐ฅ) risulta de-
finita quasi ovunque dalle (18.5.5) e (18.5.6), in quanto tali punti co-
stituiscono, per le ipotesi fatte, un insieme al piรน numerabile.
Si faccia ora riferimento al caso in cui il segnale ๐ = ๐ (๐ก, ๐) sia
rappresentato da una funzione co-
stante a tratti della variabile aleato-
ria continua ๐; cioรจ il segnale, fatta
eccezione al piรน per un insieme di
manifestazioni che si presentano
con probabilitร nulla, puรฒ assume-
re soltanto valori appartenenti ad
un sottoinsieme di A โ โ al piรน
numerabile, comโรจ indicato in Fig.
18.5.
Ci si convince facilmente che la ๐๐ (๐ก)(๐ฅ) in questo caso รจ di ti-
po discreto. Infatti, facendo riferimento alla Fig. 18.5, la probabilitร
che il segnale assuma il valore ๐ฅ๐ รจ data da:
Fig. 18.5 - rappresentazione sul piano
, costante a tratti. (O, Z, s)
CAPITOLO - 19 โ Valori Medi, Stazionarietร ed Ergodicitร - 315
๐๐ = Pr{๐ (๐ก, ๐) = ๐ฅ๐} = โซ๐๐(๐ง)๐๐ง
๐ผ๐
(18.5.7)
dove lโintegrale รจ esteso a I๐ = ๐ โ1(๏ฟฝ๏ฟฝ, {๐ฅ๐}), cioรจ alla controimmagine
dellโinsieme {๐ฅ๐}, che il segnale individua nel generico istante di tem-
po nellโinsieme dei valori assunti dalla variabile aleatoria ๐ cui esso รจ
associato.
La funzione distribuzione di probabilitร del primo ordine
๐๐ (๐ก)(๐ฅ) associata al segnale presenta, in corrispondenza al generico
๐ฅ๐, un salto di valore ๐๐(๐ก). Il valore da essa assunto รจ dato da
โ ๐๐(๐ก)๐
๐=โโ e ๐๐ (๐ก)(๐ฅ) mantiene tale valore fino ad ๐ฅ๐+1. La ๐๐ (๐ก)(๐ฅ)
si presenta quindi in ogni istante fissato come una funzione a scala.
La densitร di probabilitร ๐๐ (๐ก)(๐ฅ) รจ conseguentemente espressa
dalla:
๐๐ (๐ก)(๐ฅ) = โ ๐๐(๐ก)๐ฟ(๐ฅ โ ๐ฅ๐)
โ
๐=โโ
(18.5.8)
Esempio 18.2
Si consideri il segnale
๐ (๐ก, ๐) = cos(2๐๐0๐ก + ๐)
dove ๐ denota una variabile
casuale caratterizzata da una
densitร di probabilitร del primo
ordine data da ๐๐(ํ).
Se |๐ฅ| < 1 l'equazione
๐ฅ = cos(2๐๐0๐ก + ๐)
presenta soluzioni generate dalle (v. Fig.E 18.3)
2๐๐0๐ก + ๐๐ = arccos๐ฅ + 2๐๐
2๐๐0๐ก + ๐โฒ๐= โarccos๐ฅ + 2๐๐
Poichรฉ รจ:
๐๐
๐๐= โsin(2๐๐0๐ก + ๐)
risulta:
|๐๐
๐๐|๐๐
= |sin(2๐๐0๐ก + ๐๐)| = โ1 โ cos2(2๐๐0๐ก + ๐๐)
|๐๐
๐๐|๐โฒ๐
= |sin(2๐๐0๐ก + ๐โฒ๐)| = โ1 โ cos2(2๐๐0๐ก + ๐
โฒ๐)}
= โ1 โ ๐ฅ2
Fig.E 18.3
Fig. E.IV.3
316 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
Quindi:
๐๐ (๐ก)(๐ฅ) =1
โ1 โ ๐ฅ2โ[๐๐(๐๐) + ๐๐(๐
โฒ๐)]
๐
Se ๐ รจ uniformemente distribuita in [0, 2๐], qualunque sia l'istante ๐ก,
la sommatoria che compare nella precedente, contiene due soli termini
non nulli ottenuti in corrispondenza ai valori di ๐ dati dalla:
๐ = โ๐0๐ก ยฑarccos๐ฅ
2๐โ
In definitiva risulta:
๐๐ (๐ก)(๐ฅ) =1
๐โ1 โ ๐ฅ2โ (
๐ฅ
2)
il cui andamento in funzione di ๐ฅ รจ riportato in Fig.E 18.4a).
La distribuzione di
probabilitร si ottiene per
integrazione della prece-
dente. Si ha:
๐๐ (๐ก)(๐ฅ)
= (1
2+arcsin๐ฅ
๐)โ (
๐ฅ
2)
+ u(๐ฅ โ 1)
ed รจ rappresentata nella Fig.E 18.4 b).
funzioni di probabilitร dโordine superiore al primo.
Sia ๐ (๐ก, ๐) un segnale aleatorio rappresentato da una funzione
che, rispetto alla variabile aleatoria continua ๐, sia derivabile e non
presenti tratti costanti.
Posto I1 = (๐ฅ1 โ๐ฅ๐ 1
2, ๐ฅ1 +
๐ฅ๐ 1
2), I2 = (๐ฅ2 โ
๐ฅ๐ 2
2, ๐ฅ2 +
๐ฅ๐ 2
2) la
probabilitร che si verifichi l'evento:
E = {๐ (๐ก, ๐)|๐ 2 = ๐ (๐ก2, ๐) โ I2 โง ๐ 1 = ๐ (๐ก1, ๐) โ I1} (18.5.9)
a meno di infinitesimi dโordine superiore , vale:
Pr{E} = ๐๐ 2๐ 1(๐ฅ2, ๐ฅ1)๐ฅ๐ 2๐ฅ๐ 1 (18.5.10)
Questโultima puรฒ essere espressa in termini della variabile aleatoria ๐
osservando che all'istante ๐ก1 esiste un numero finito, o al piรน unโinfi-
nitร numerabile, di intervalli elementari a due a due disgiunti tali che
risulti:
Fig.E 18.4
CAPITOLO - 19 โ Valori Medi, Stazionarietร ed Ergodicitร - 317
โช J1๐โ๐=1 = ๐ โ1(๐ก1, I1) (18.5.11)
Ciascuno di questi intervalli, a meno dโinfinitesimi dโordine superio-
re, se risulta |๐๐ (๐ก1,๐)
๐๐|๐=๐๐
โ 0 รจ dato da:
J1๐ = (๐๐ โ๐ฅ๐ 1
2 |๐๐ (๐ก1,๐)
๐๐|๐=๐๐
, ๐๐ +๐ฅ๐ 1
2 |๐๐ (๐ก1,๐)
๐๐|๐=๐๐
) (18.5.12)
dove ๐๐ rappresenta la generica soluzione dellโequazione ๐ฅ1 =
๐ (๐ก1, ๐).
La probabilitร che la variabile aleatoria ๐ appartenga ad uno di
questi intervalli vale a sua volta:
Pr{{๐ โ J1๐}} = ๐๐(๐๐)
๐ฅ๐ 1
|๐๐ (๐ก1,๐)
๐๐|๐=๐๐
(18.5.13)
dove la ๐๐(โ ) indica la densitร di probabilitร di ๐.
Si constata che:
Pr{E} = ๐๐ 1๐ 2(๐ฅ2, ๐ฅ1)๐ฅ๐ 1๐ฅ๐ 2
=โ๐๐๐ 2(๐๐, ๐ฅ2)๐ฅ๐ 1
|๐๐ (๐ก1,๐)
๐๐|๐=๐๐
๐ฅ๐ 2
โ
๐=1
(18.5.14)
Ma se ๐ = ๐๐ il segnale allโistante ๐ก2 assumerร con certezza il valore
๐ (๐ก2, ๐๐). Pertanto si puรฒ scrivere:
๐๐๐ 2(๐๐ , ๐ฅ2) = ๐ฟ(๐ฅ2 โ ๐ (๐ก2, ๐๐))๐๐(๐๐) (18.5.15)
che, sostituita nella (18.5.14), consente di scrivere la densitร di proba-
bilitร del secondo ordine di un segnale deterministico associato ad
una variabile aleatoria monodimensionale:
๐๐ 1๐ 2(๐ฅ1, ๐ฅ2) = โ
๐ฟ(๐ฅ2 โ ๐ (๐ก2, ๐๐))๐๐(๐๐)
|๐๐ (๐ก1,๐)
๐๐|๐=๐๐
โ
๐=1
(18.5.16)
Le densitร di probabilitร di ordine piรน elevato possono rica-
varsi con procedimento analogo.
318 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
Esempio 18.3
La densitร di probabilitร del secondo ordine per il segnale dellโe-
sempio precedente per |x 1 |<1 ed |x 2 |<1 puรฒ essere scritta nella forma:
๐๐ 1๐ 2(๐ฅ1, ๐ฅ2)
= โ [๐๐(๐๐)
|๐๐ (๐ก1,๐)
๐๐|๐=๐๐
๐ฟ(๐ฅ2 โ ๐ (๐ก2, ๐๐)) +๐๐(๏ฟฝ๏ฟฝ๐)
|๐๐ (๐ก1,๐)
๐๐|๐=๏ฟฝ๏ฟฝ๐
๐ฟ(๐ฅ2 โ ๐ (๐ก2, ๏ฟฝ๏ฟฝ๐))]
โ
๐=โโ
dove รจ
๐ (๐ก2, ๐๐) = cos(2๐๐0๐ก2 +๐๐) = cos(2๐๐0(๐ก2 โ ๐ก1) + arccos(๐ฅ1))
๐ (๐ก2, ๏ฟฝ๏ฟฝ๐) = cos(2๐๐0๐ก2 + ๏ฟฝ๏ฟฝ๐) = cos(2๐๐0(๐ก2 โ ๐ก1) โ arccos(๐ฅ1))
e
๐๐ = arccos(๐ฅ1) โ 2๐๐0๐ก1 + 2๐๐
๏ฟฝ๏ฟฝ๐ = โarccos(๐ฅ1) โ 2๐๐0๐ก1 + 2๐๐
i valori della fase che soddisfano la condizione:
๐ฅ1 = cos(2๐๐0๐ก1 + ๐)
conseguentemente, per |๐ฅ1| โค 1 ed |๐ฅ2| โค 1, si ha:
๐๐ 1,๐ 2(๐ฅ1, ๐ฅ2) =1
2๐โ1 โ ๐ฅ12{๐ฟ[๐ฅ2 โ cos(2๐๐0(๐ก2 โ ๐ก1) โ arccos(๐ฅ1))] +
+๐ฟ[๐ฅ2 โ cos(2๐๐0(๐ก2 โ ๐ก1) + arccos(๐ฅ1))]}
mentre evidentemente per |๐ฅ1| > 1 o per |๐ฅ2| > 1 risulta:
๐๐ 1,๐ 2(๐ฅ1, ๐ฅ2) = 0
Segnali dipendenti da un vettore aleatorio. 18.6 -
Si consideri per semplicitร il caso di un segnale deterministico
๐ (๐ก, ๐) in cui ๐ รจ un vettore aleatorio continuo bidimensionale; inoltre
il segnale sia una funzione continua e priva di tratti costanti delle
componenti di ๐, parzialmente derivabile ovunque.
Posto ๐ผ1 = (๐ฅ1 โ๐ฅ๐ 1
2, ๐ฅ1 +
๐ฅ๐ 1
2), ๐ผ2 = (๐ฅ2 โ
๐ฅ๐ 2
2, ๐ฅ2 +
๐ฅ๐ 2
2), la
probabilitร che si verifichi l'evento:
๐ธ = {๐ (๐ก, ๐)|๐ 2 โ ๐ผ2 โง ๐ 1 โ ๐ผ1} (18.6.1)
รจ a meno di infinitesimi di ordine superiore รจ data da:
Pr{E} = ๐๐ 1๐ 2(๐ฅ1, ๐ฅ2)๐ฅ๐ 1๐ฅ๐ 2= Pr{๐ โ A=๐ โ1(๐ก1, I1) โฉ ๐
โ1(๐ก2, I2)} (18.6.2)
CAPITOLO - 19 โ Valori Medi, Stazionarietร ed Ergodicitร - 319
L'insieme A รจ evidentemente costituito, per le ipotesi fatte sul segna-
le, da una unione al piu numerabile di sottoinsiemi A๐ in โ2 a due a
due disgiunti. La (18.6.2) si puรฒ quindi scrivere:
๐๐ 1๐ 2(๐ฅ1, ๐ฅ2)๐ฅ๐ 1๐ฅ๐ 2 =โ๐๐(๐ง1๐ , ๐ง2๐)๐ฅ๐ 1๐ฅ๐ 2|๐ฝ|๐ง=๐ง๐
โ
๐=1
(18.6.3)
dove la coppia๐ง1๐ , ๐ง2๐rappresenta lโ๐-esima soluzione del sistema:
{๐ฅ1 = ๐ (๐ก1, ๐ง1, ๐ง2);
๐ฅ2 = ๐ (๐ก2, ๐ง1, ๐ง2);
(18.6.4)
e |๐ฝ| il modulo del determinante Jacobiano
๐ฝ =๐(๐ 1, ๐ 2)
๐(๐ง1, ๐ง2)= ||
๐๐ (๐ก1, ๐ง1, ๐ง2)
๐๐ง1
๐๐ (๐ก1, ๐ง1, ๐ง2)
๐๐ง2๐๐ (๐ก2, ๐ง1, ๐ง2)
๐๐ง1
๐๐ (๐ก2, ๐ง1, ๐ง2)
๐๐ง2
|| (18.6.5)
Si osservi che per valutare le densitร di probabilitร del primo
ordine basta marginalizzare le (18.6.3)rispetto ad una delle due varia-
bili ๐ฅ1, ๐ฅ2.
In modo analogo si determinano le densitร di probabilitร nel
caso in cui il segnale dipenda da un vettore aleatorio ๐-dimensionale.
In tal caso si procede alla determinazione della densitร di probabilitร
dโordine ๐ e per successive marginalizzazioni si possono via via otte-
nere le densitร di probabilitร dโordine inferiore.
Esempio 18.4
Sia
๐ (๐ก, ๐, ๐) = ๐cos(2๐๐0๐ก + ๐)
un segnale aleatorio dipendente da due variabili aleatorie V, che si sup-
pongono statisticamente indipendenti e caratterizzate da densitร di pro-
babilitร del primo ordine che valgono:
๐๐(๐ฃ) =๐ฃ
๐2๐โ
๐2
2๐2u(๐ฃ); ๐๐(๐) =1
2๐โ (
๐ โ ๐
2๐)
Il sistema (IV.2.20) in tal caso diventa:
{๐ฅ1 = ๐ฃcos(2๐๐0๐ก1 + ๐);
๐ฅ2 = ๐ฃcos(2๐๐0๐ก2 + ๐);
La prima delle (a) fornisce
๐1 = arccos๐ฅ1๐ฃโ 2๐๐0๐ก1๏ฟฝ๏ฟฝ1 = โarccos
๐ฅ1๐ฃโ 2๐๐0๐ก1
320 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
pertanto risulta:
cos๐1 = cos (arccos๐ฅ1๐ฃโ 2๐๐0๐ก1)
= cos (arccos๐ฅ1๐ฃ) cos2๐๐0๐ก1 + sin (arccos
๐ฅ1๐ฃ) sin2ฯf0t1
=๐ฅ1๐ฃcos2๐๐0๐ก1 +โ1 โ
๐ฅ12
๐ฃ2sin2ฯf0t1
sin๐1 = sin (arccos๐ฅ1๐ฃโ 2๐๐0๐ก1)
= sin (arccos๐ฅ1๐ฃ) cos2๐๐0๐ก1 โ cos (arccos
๐ฅ1๐ฃ) sin(2๐๐0๐ก1)
= โ1 โ๐ฅ12
๐ฃ2cos2๐๐0๐ก1 โ
๐ฅ1๐ฃsin2๐๐0๐ก1
ed analogamente:
{
๐๐๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ1 =
๐ฅ1๐ฃcos(2๐๐0๐ก1) โ โ1 โ
๐ฅ12
๐ฃ2sin(2ฯf0t1);
sin๏ฟฝ๏ฟฝ1 = โ๐ฅ1๐ฃcos(2๐๐0๐ก1) โ โ1 โ
๐ฅ12
๐ฃ2sin(2ฯf0t1);
D'altra parte la seconda delle (a) puรฒ anche scriversi:
๐ฅ2 = ๐ฃ(cos(2๐๐0๐ก2)cos๐ โ sin(2๐๐0๐ก2)sin๐)
sostituendo si ottiene:
๐ฅ2
= ๐ฃ(๐ฅ1๐ฃcos(2๐๐0๐ก1)cos(2๐๐0๐ก2) + โ1 โ
๐ฅ12
๐ฃ2cos(2๐๐0๐ก1)sin(2๐๐0๐ก2)
โ โ1 โ๐ฅ12
๐ฃ2sin(2ฯf0t1)cos(2๐๐0๐ก2) +
๐ฅ1๐ฃsin(2ฯf0t1)sin(2๐๐0๐ก2))
= ๐ฅ1cos2๐๐0(๐ก2 โ ๐ก1) โ โ๐ฃ2 โ ๐ฅ1
2sin(2๐๐0(๐ก2 โ ๐ก1))
che risolta rispetto a fornisce
๐ฃ =โ๐ฅ1
2 + ๐ฅ22 โ 2๐ฅ1๐ฅ2cos(2๐๐0(๐ก2 โ ๐ก1))
|sin(2๐๐0(๐ก2 โ ๐ก1))|
supposto 2๐๐0(๐ก2 โ ๐ก1) โ ๐.
Per la soluzione 1 analogamente si ottiene
CAPITOLO - 19 โ Valori Medi, Stazionarietร ed Ergodicitร - 321
๏ฟฝ๏ฟฝ2 = ๐ฅ1cos(2๐๐0(๐ก2 โ ๐ก1)) + โ๐ฃ2 โ ๐ฅ1
2sin(2๐๐0(๐ก2 โ ๐ก1))
che risolta rispetto a fornisce
๏ฟฝ๏ฟฝ =โ๐ฅ1
2 + ๏ฟฝ๏ฟฝ22 โ 2๐ฅ1๏ฟฝ๏ฟฝ2cos(2๐๐0(๐ก2 โ ๐ก1))
|sin(2๐๐0(๐ก2 โ ๐ก1))|= ๐ฃ
Lo Jacobiano della trasformazione vale
๐ฝ = |cos(2๐๐0๐ก1 + ๐) โ๐ฃsin(2๐๐0๐ก1 + ๐)cos(2๐๐0๐ก2 + ๐) โ๐ฃsin(2๐๐0๐ก2 + ๐)
| = โ๐ฃsin(2๐๐0(๐ก2 โ ๐ก1))
quindi la densitร di probabilitร del secondo ordine cercata รจ data da:
๐๐ 1๐ 2(๐ฅ1, ๐ฅ2) =๐๐(๐ฃ)
2๐๐ฃ|sin(2๐๐0(๐ก2 โ ๐ก1))|+
๐๐(๏ฟฝ๏ฟฝ)
2๐๏ฟฝ๏ฟฝ|sin(2๐๐0(๐ก2 โ ๐ก1))|
=๐๐(๐ฃ)
๐|sin(2๐๐0(๐ก2 โ ๐ก1))|
che sostituendo alla variabile la sua espressione in termini di x1 ed x2
diventa:
๐๐ 1๐ 2(๐ฅ1, ๐ฅ2) =โ๐ฅ1
2 + ๐ฅ22 โ 2๐ฅ1๐ฅ2cos(2๐๐0(๐ก2 โ ๐ก1))
๐2๐sin2(2๐๐0(๐ก2 โ ๐ก1))๐โ๐ฅ12+๐ฅ2
2โ2๐ฅ1๐ฅ2cos(2๐๐0(๐ก2โ๐ก1))
2๐2sin2(2๐๐0(๐ก2โ๐ก1))
Segnali distinti. Funzioni di probabilitร congiunte. 18.7 -
Siano ๐(๐ก) e ํ(๐ก) due segnali aleatori a tempo continuo, defi-
niti sullo stesso spazio di probabilitร . Si prenda in considerazione l'e-
vento ๐ผ๐ฅ๐ฆ il cui generico elemento รจ una coppia di manifestazioni
(๐(๐ก), ํ(๐ก)) tale che ๐(๐ก) all'istante ๐ก1, assuma un valore appartenente
alla semiretta ๐ผ๐ฅ = (โโ, ๐ฅ] e che, all'istante ๐ก2, ํ(๐ก) assuma un valore
appartente a ๐ผ๐ฆ = (โโ, ๐ฆ].
Si osservi che la probabilitร dellโevento ๐ผ๐ฅ๐ฆ , oltre che da ๐ฅ e da
๐ฆ, dipende evidentemente anche dagli istanti ๐ก1 e ๐ก2 dโosservazione,
risulta:
Pr{๐ผ๐ฅ๐ฆ} = ๐๐1๐2(๐ฅ, ๐ฆ) (18.7.1)
dove la funzione ๐๐1๐2(๐ฅ, ๐ฆ) rappresenta la distribuzione di probabilitร
congiunta associata ai due segnali.
Naturalmente tale distribuzione di probabilitร , indipendente-
mente dagli istanti di tempo considerati, soddisfa le condizioni:
a) ๐๐1๐2(โ,โ) = 1
(18.7.2) b) ๐๐1๐2(โโ,โโ) = 0
322 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
La corrispondente funzione di densitร di probabilitร congiunta
๐๐1๐2(๐ฅ, ๐ฆ) รจ la derivata mista, eventualmente intesa in senso genera-
lizzato, della ๐๐1๐2(๐ฅ, ๐ฆ) e soddisfa le condizioni:
โฌ ๐๐1๐2(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฅ๐๐ฆโ2
= 1 (18.7.3)
๐๐1๐2(๐ฅ, ๐ฆ) = โซ โซ ๐๐1๐2(๐, ๐)๐๐๐๐๐ฆ
โโ
๐ฅ
โโ
(18.7.4)
Introducendo le densitร di probabilitร condizionate la funzio-
ne ๐๐1๐2(๐ฅ, ๐ฆ) puรฒ essere scritta come segue:
a) ๐๐1๐2(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐๐1(๐ฅ) โ ๐๐2|๐1(๐ฆ, ๐ฅ)
(18.7.5) b) ๐๐1๐2(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐๐2(๐ฆ) โ ๐๐1|๐2(๐ฅ, ๐ฆ)
dove ๐๐1(๐ฅ) e ๐๐2(๐ฆ) denotano le densitร di probabilitร del primo
ordine associate ai segnali ๐(๐ก) e ํ(๐ก), valutate negli istanti ๐ก1 e ๐ก2 ri-
spettivamente.
Essendo peraltro:
โซ ๐๐1|๐2(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฅโ
โโ
= โซ ๐๐2|๐1(๐ฆ, ๐ฅ)๐๐ฆโ
โโ
= 1 (18.7.6)
si ottiene per integrazione delle (18.7.5)
a) ๐๐1(๐ฅ) = โซ ๐๐1๐2(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฆโ
โโ
(18.7.7)
b) ๐๐2(๐ฆ) = โซ ๐๐1๐2(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฅโ
โโ
che consentono di determinare le densitร di probabilitร del primo
ordine associate ai segnali ๐(๐ก) e ํ(๐ก) nota che sia la loro densitร di
probabilitร congiunta.
Se risulta:
๐๐1๐2(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐๐1(๐ฅ) โ ๐๐2(๐ฆ) (18.7.8)
i segnali si dicono congiuntamente statisticamente indipendenti. Dal con-
fronto tra le (18.7.5) e la 0(18.7.8) discende che in questo caso:
a) ๐๐1|๐2(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐๐1(๐ฅ)
(18.7.9) b) ๐๐2|๐1(๐ฆ, ๐ฅ) = ๐๐2(๐ฆ)
CAPITOLO - 19 โ Valori Medi, Stazionarietร ed Ergodicitร - 323
cioรจ: la probabilitร che una manifestazione del segnale ๐(๐ก) (ํ(๐ก)) as-
suma all'istante ๐ก1 (๐ก2) un valore compreso nell'intervallo ]๐ฅ โ๐ฅ๐ฅ
2, ๐ฅ +
๐ฅ๐ฅ
2] (]๐ฆ โ
๐ฅ๐ฆ
2, ๐ฆ +
๐ฅ๐ฆ
2]) รจ indipendente dal valore assunto dal sgnale
ํ(๐ก) (๐(๐ก)) all'istante ๐ก2 (๐ก1).
Esempio 18.5
Sia z(t) un segnale aleatorio
dato da:
๐ง(๐ก) = ๐(๐ฅ(๐ก), ๐ฆ(๐ก))
funzione cioรจ di due segnali ๐ฅ(๐ก)
e ๐ฆ(๐ก) dei quali sia assegnata la
densitร di probabilitร congiunta.
Per determinare la densitร di
probabilitร del primo ordine di
๐ง(๐ก) basta osservare che la corri-
spondente funzione di distribuzione di probabilitร si ottiene dalla:
๐๐ง(๐ก)(๐) = Pr{๐ง(๐ก) โค ๐}
Detta allora ฮฉ๐ la regione del piano (๐, ๐ฅ, ๐ฆ) (v. Fig.E 18.5) costituita da
tutte le coppie (๐ฅ, ๐ฆ) per le quali risulti ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โค ๐. ร evidente che il
valore assunto dalla ๐๐ง(๐ก)(โ ) quando il suo argomento รจ ๐ รจ dato da:
๐๐ง(๐ก)(๐) = Pr{(๐ฅ, ๐ฆ) โ ฮฉ๐} = โฌ ๐๐ฅ(๐ก)๐ฆ(๐ก)(๐, ํ)๐๐๐ํ๐บ๐
E' da notare che la regione ฮฉ๐ po-
trebbe non essere semplicemente con-
nessa come mostra la Fig. E.IV.5
Dalla ๐๐ง(๐ก)(๐) si deduce immedia-
tamente:
๐๐ง(๐ก)(๐) =๐๐๐ง(๐ก)(๐)
๐๐
Nel caso in cui il segnale ๐ง(๐ก) รจ la
somma dei segnali ๐ฅ(๐ก) e ๐ฆ(๐ก), la re-
gione ฮฉ๐ costituita da tutte le coppie (๐ฅ, ๐ฆ) che soddisfano la disugua-
lianza:
๐ฅ + ๐ฆ โค ๐
tale regione รจ il semipiano evidenziato in Fig. E.IV.6.
Si ha pertanto:
Fig.E 18.5
Fig.E 18.6
324 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
๐๐ง(๐ก)(๐) = โซ โซ ๐๐ฅ(๐ก)๐ฆ(๐ก)(๐, ํ)๐๐๐ํ๐งโ๐ฅ
โโ
โ
โโ
quindi:
๐๐ง(๐ก)(๐) = โซ ๐๐ฅ(๐ก)๐ฆ(๐ก)(๐, ๐ โ ๐)๐๐โ
โโ
Nellโulteriore eventualitร in cui i segnali ๐ฅ(๐ก) e ๐ฆ(๐ก), siano statistica-
mente indipendenti la precedente assume la forma:
๐๐ง(๐ก)(๐) = โซ ๐๐ฅ(๐ก)(๐)๐๐ฆ(๐ก)(๐ โ ๐)๐๐โ
โโ
la densitร di probabilitร cercata รจ quindi in questo caso data dalla convo-
luzione tra le densitร di probabilitร dei due segnali.
CAPITOLO - 19
VALORI MEDI, STAZIONARIETร ED ERGODICITร
Medie statistiche. 19.1 -
Sia ๐ (๐ก, ํ) un segnale aleatorio associato ad un esperimento
casuale di cui ํ rappresenta il generico risultato, al quale corrisponde
una densitร di probabilitร del primo ordine data da ๐๐ (๐ก)(๐ฅ). Per un
assegnato valore di ๐ก รจ individuata una variabile aleatoria ๐ = ๐ (๐ก, ํ)
della quale si puรฒ calcolare il valore medio, il valore quadratico me-
dio, la varianza, o piรน in generale, la media di una qualunque fun-
zione misurabile ๐ฆ = ๐(๐ ):
๐ธ{๐(๐ )} = ๐(๐ ) = โซ ๐(๐ฅ)๐๐ (๐ก)(๐ฅ)๐๐ฅโ
โโ
(19.1.1)
ร opportuno qui sottolineare che la media espressa dalla
(19.1.1) dipende in genere dall'istante di osservazione ๐ก.
Se ๐(๐ ) = ๐ ๐ (con ๐ intero) dalla (19.1.1) si ottiene il valore
medio statistico della potenza ๐-esima del segnale:
๐๐(๐ก) = โซ ๐ฅ๐๐๐ (๐ก)(๐ฅ)๐๐ฅโ
โโ
(19.1.2)
che costituisce il momento ๐ -esimo del primo ordine del segnale
๐ (๐ก).
In particolare risulta:
๐0(๐ก) = โซ ๐๐ (๐ก)(๐ฅ)๐๐ฅโ
โโ
= 1 (19.1.3)
Per ๐ = 1 si ha:
๐(๐ก) = ๐ธ{๐ (๐ก, ํ)} = ๏ฟฝ๏ฟฝ = โซ ๐ฅ๐๐ (๐ก)(๐ฅ)๐๐ฅโ
โโ
(19.1.4)
che prende il nome di valore medio statistico del segnale.
Per ๐ = 2 si deduce:
๐2(๐ก) = ๐ธ{๐ 2(๐ก, ํ)} = ๐ 2 = โซ ๐ฅ2๐๐ (๐ก)(๐ฅ)๐๐ฅ
โ
โโ
(19.1.5)
326 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
che rappresenta il valore quadratico medio statistico del segnale.
La varianza del segnale vale evidentemente:
๐2(๐ก) = ๐ธ{(๐ (๐ก, ํ) โ ๐(๐ก))2} = (๐ โ ๐(๐ก))2
= โซ (๐ฅ โ๐(๐ก))2๐๐ (๐ก)(๐ฅ)๐๐ฅโ
โโ
(19.1.6)
Piรน in generale il suo momento centrale ๐ -esimo del primo ordine
vale:
๐๐(๐ก) โก ๐๐(๐ก) = โซ (๐ฅ โ ๐(๐ก))๐๐๐ (๐ก)(๐ฅ)๐๐ฅโ
โโ
(19.1.7)
risulta:
๐2(๐ก) = ๐2(๐ก) โ ๐2(๐ก) (19.1.8)
Nel caso in cui la generica manifestazione del segnale ๐ (๐ก, ๐)
dipenda dal valore assunto da un vettore aleatorio ๐ a ๐ dimensioni,
il valore medio di una qualunque funzione ๐(๐ (๐ก, ๐)) misurabile puรฒ
essere calcolato anche utilizzando il teorema della:
๐(๐ ) = โซ ๐(๐ฅ)๐๐ (๐ก)(๐ฅ)๐๐ฅโ
โโ
= โซ ๐(๐ (๐ก, ๐ง)๐๐(๐)๐๐โ๐
(19.1.9)
dove ๐๐(๐) denota la densitร di probabilitร congiunta associata al
vettore aleatorio ๐ da cui dipende il segnale.
In generale dato un segnale ๐ = ๐ (๐ก, ํ) fissata ๐ upla ๐ก1, โฆ , ๐ก๐
viene individuato un vettore ๐ di variabili aleatorie definite su di uno
stesso esperimento casuale le cui componenti sono rispettivamente:
๐ 1 = ๐ (๐ก1, ํ), โฆ , ๐ ๐ = ๐ (๐ก๐, ํ). Data una generica funzione misurabile
๐(๐) definita in uno spazio ๐-dimensionale รจ possibile definire la
media statitistica di tale funzione ponendo:
๐(๐ ) = ๐ธ{๐(๐ )} = โซ ๐(๐ฅ)๐๐ 1๐ 2โฆ๐ ๐(๐ฅ)๐๐ฅโ๐
(19.1.10)
dove ๐๐ 1๐ 2โฆ๐ ๐(๐) indica la densitร di probabilitร di ordine ๐ del se-
gnale.
In particolare, considerando solo due istanti di tempo ๐ก1, ๐ก2 la
precedente si riduce alla:
๐(๐ 1, ๐ 2) = โฌ ๐(๐ฅ1, ๐ฅ2)๐๐ 1๐ 2(๐ฅ1, ๐ฅ2)๐๐ฅ1๐๐ฅ2โ2
(19.1.11)
CAPITOLO - 19 โ Valori Medi, Stazionarietร ed Ergodicitร - 327
Se in particolare ๐(๐ 1, ๐ 2) = ๐ 1๐๐ 2๐ dalla (19.1.11) si ottiene il
momento (๐ + ๐)-esimo del secondo ordine del segnale:
๐๐๐(๐ก1, ๐ก2) = ๐ 1๐๐ 2๐ = ๐ธ{๐ 1
๐๐ 2๐}
= โฌ ๐ฅ1๐๐ฅ2๐๐๐ 1๐ 2(๐ฅ1, ๐ฅ2)๐๐ฅ1๐๐ฅ2
โ2 (19.1.12)
che in particolare per ๐ = ๐ = 0 si riduce alla:
๐00(๐ก1, ๐ก2) = โฌ ๐๐ 1๐ 2(๐ฅ1, ๐ฅ2)๐๐ฅ1๐๐ฅ2โ2
= 1 (19.1.13)
e per ๐ = ๐ = 1 fornisce la cosiddetta funzione di autocorrelazione
๐ ๐ (๐ก1, ๐ก2) del segnale:
๐ ๐ (๐ก1, ๐ก2) โก ๐11(๐ก1, ๐ก2) = โฌ ๐ฅ1๐ฅ2๐๐ 1๐ 2(๐ฅ1, ๐ฅ2)๐๐ฅ1๐๐ฅ2โ2
(19.1.14)
Si possono anche definire dei momenti centrali (๐ + ๐)-esimi
del secondo ordine:
๐๐๐(๐ก1, ๐ก2) = (๐ 1 โ๐(๐ก1))๐(๐ 2 โ๐(๐ก2))
๐
= โฌ โซ (๐ฅ1 โ๐(๐ก1))๐(๐ฅ2
โ
โโR2
โ๐(๐ก2))๐๐๐ 1๐ 2(๐ฅ1, ๐ฅ2)๐๐ฅ1๐๐ฅ2
(19.1.15)
in particolare il momento centrale 11 prende il nome di autocova-
rianza e risulta:
๐๐ (๐ก1, ๐ก2) โก (๐ 1 โ๐(๐ก1))(๐ 2 โ๐(๐ก2))
= ๐ 1๐ 2 โ ๐ 1 โ ๐(๐ก2) โ ๐(๐ก1) โ ๐ 2 +๐(๐ก1)๐(๐ก2)= ๐ 1๐ 2 โ ๐(๐ก1)๐(๐ก2) = ๐ ๐ (๐ก1, ๐ก2) โ ๐ 1 โ ๐ 2
(19.1.16)
I momenti centrali ๐20 e ๐02 individuano la varianza del segna-
le valutata negli istanti ๐ก1 e ๐ก2 rispettivamente:
a) ๐20(๐ก1) = ๐2(๐ก1) = (๐ 1 โ๐(๐ก1))2
(19.1.17) b) ๐02(๐ก2) = ๐2(๐ก2) = (๐ 2 โ๐(๐ก2))
2
Anche nel caso di due segnali aleatori distinti ๐ฅ(๐ก) e ๐ฆ(๐ก), si
puรฒ definire il valore medio statistico della funzione ๐(๐ฅ1, ๐ฆ2) me-
diante la:
๐(๐ฅ1, ๐ฆ2) = ๐ธ{๐(๐ฅ1, ๐ฆ2)} = โฌ ๐(๐, ํ)๐๐ฅ1๐ฆ2(๐, ํ)๐๐๐ํโ2
(19.1.18)
328 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
essendo rispettivamente ๐ฅ1 e ๐ฆ1 le variabili aleatorie ๐ฅ(๐ก1) e ๐ฆ(๐ก2) e
dove ๐๐ฅ1๐ฆ2(๐, ํ) denota la densitร di probabilitร congiunta dei due
segnali.
Il momento incrociato (๐ + ๐)-esimo รจ allora definito dalla:
๐ฅ1๐๐ฆ2๐ = ๐ธ{๐ฅ1
๐๐ฆ2๐} = โฌ ๐๐ํ๐๐๐ฅ1๐ฆ2(๐, ํ)๐๐๐ํ
โ2 (19.1.19)
Qualora i segnali siano statisticamente indipendenti risulta evidente-
mente:
๐ฅ1๐๐ฆ2๐ = ๐ฅ1
๐ โ ๐ฆ2๐ (19.1.20)
cioรจ il valore medio del binomio ๐ฅ1๐๐ฆ2๐
si ottiene dal prodotto dei va-
lori medi delle quantitร ๐ฅ1๐ e ๐ฆ2
๐
Se si pone nella (19.1.19) ๐ = ๐ = 1 si ha:
๐ ๐ฅ๐ฆ(๐ก1, ๐ก2) = ๐ฅ1๐ฆ2 = ๐ธ{๐ฅ1๐ฆ2} = โฌ ๐ํ๐๐ฅ1๐ฆ2(๐, ํ)๐๐๐ํโ2
(19.1.21)
che costituisce la funzione di correlazione incrociata o di mutua correlazione
associata ai due segnali.
I momenti centrali (๐ + ๐)-esimi incrociati, sono definiti come
segue:
(๐ฅ1 โ ๏ฟฝ๏ฟฝ1)๐(๐ฆ2 โ ๏ฟฝ๏ฟฝ2)
๐ = ๐ธ{(๐ฅ1 โ ๏ฟฝ๏ฟฝ1)๐(๐ฆ2 โ ๏ฟฝ๏ฟฝ2)
๐}
= โฌ (๐ฅ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ1)๐(๐ฆ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ2)
๐๐๐ฅ1๐ฆ2(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฅ๐๐ฆโ2
(19.1.22)
Ponendo ๐ = ๐ = 1 si ha:
๐๐ฅ๐ฆ(๐ก1, ๐ก2) โก (๐ฅ1 โ ๏ฟฝ๏ฟฝ1)(๐ฆ2 โ ๏ฟฝ๏ฟฝ2)
= ๐ธ{(๐ฅ1 โ ๏ฟฝ๏ฟฝ1)(๐ฆ2 โ ๏ฟฝ๏ฟฝ2)}
= โฌ (๐ฅ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ1)(๐ฆ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ2)๐๐ฅ1๐ฆ2(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฅ๐๐ฆโ2
(19.1.23)
che รจ la covarianza mutua. Si ottiene facilmente:
๐๐ฅ๐ฆ(๐ก1, ๐ก2) = (๐ฅ1 โ ๏ฟฝ๏ฟฝ1)(๐ฆ2 โ ๏ฟฝ๏ฟฝ2)
= ๐ฅ1 โ ๐ฆ2 โ ๐ฅ1 โ ๏ฟฝ๏ฟฝ2 โ ๏ฟฝ๏ฟฝ1 โ ๐ฆ2 + ๏ฟฝ๏ฟฝ1 โ ๏ฟฝ๏ฟฝ2
= ๐ ๐ฅ๐ฆ(๐ก1, ๐ก2) โ ๏ฟฝ๏ฟฝ1 โ ๏ฟฝ๏ฟฝ2 (19.1.24)
Nel caso in cui i segnali siano statisticamente indipendenti ri-
sulta ๐ ๐ฅ๐ฆ(๐ก1, ๐ก2) = ๏ฟฝ๏ฟฝ1 โ ๏ฟฝ๏ฟฝ2, quindi:
๐๐ฅ๐ฆ(๐ก1, ๐ก2) = 0 (19.1.25)
CAPITOLO - 19 โ Valori Medi, Stazionarietร ed Ergodicitร - 329
Esempio 19.1
Si prenda in considerazione il segnale ๐ (๐ก, ๐) = ๐๐๐ (2๐๐0๐ก + ๐)
analizzato nell'Esempio 18.2. Il suo valore medio risulta:
๏ฟฝ๏ฟฝ = โซ ๐ฅ๐๐ (๐ก)(๐ฅ)๐๐ฅโ
โโ
=1
๐โซ
๐ฅ๐๐ฅ
โ1 โ ๐ฅ2
1
โ1
che ponendo ๐ฅ = ๐๐๐ ํ si scrive
๏ฟฝ๏ฟฝ =1
๐โซ cosํ๐ํ๐
0
= 0
Il suo valore quadratico medio vale:
๐ 2 = โซ ๐ฅ2๐๐ (๐ก)(๐ฅ)๐๐ฅโ
โโ
=1
๐โซ
๐ฅ2๐๐ฅ
โ1 โ ๐ฅ2
1
โ1
๐ 2 =1
๐โซ cos2ํ๐ํ๐
0
=1
2
Agli stessi risultati รจ possibile pervenire utilizzando la (19.1.9). Si ha
infatti:
๏ฟฝ๏ฟฝ = โซ ๐ (๐ก, ํ)๐๐(ํ)๐ํโ
โโ
=1
2๐โซ cos(2๐๐0๐ก + ํ)๐ํ2๐
0
= 0
e
๐ 2 = โซ ๐ 2(๐ก, ํ)๐๐(ํ)๐ํโ
โโ
=1
2๐โซ cos2(2๐๐0๐ก + ํ)๐ํ2๐
0
=1
2
Stazionarietร . 19.2 -
Un segnale aleatorio ๐ (๐ก) si dice stazionario in senso stretto se le
sue funzioni di probabilitร , di qualsiasi ordine dipendono esclusiva-
mente dalla posizione relativa degli istanti in cui il segnale viene os-
servato. Cioรจ se risulta:
๐๐ (๐ก1)โฆ๐ (๐ก๐)(๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐)
= ๐๐ (๐ก1+๐)โฆ๐ (๐ก๐+๐)(๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐);
โ๐ โ โ โ โ T โ โ
(19.2.1)
Se la precedente vale solo ๐ โค ๐, il segnale si dice stazionario
all'ordine ๐.
La condizione (19.2.1)comporta che la densitร di probabilitร
di ordine ๐ dipenda dalle differenze ๐๐๐ = ๐ก๐ โ ๐ก๐ fra gli istanti di os-
servazione.
In particolare per ๐ = 2 si ha:
๐๐ (๐ก1)๐ (๐ก2)(๐ฅ1, ๐ฅ2) = ๐๐ (๐กโฒ1)๐ (๐กโฒ2)(๐ฅ1, ๐ฅ2) (19.2.2)
330 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
ogniqualvolta risulti ๐ก2 โ ๐ก1 = ๐กโฒ2 โ ๐กโฒ1, mentre la densitร di probabi-
litร del primo ordine deve risultare indipendente dal tempo:
๐๐ (๐ฅ) = ๐๐ (๐ก1)(๐ฅ) = ๐๐ (๐ก2)(๐ฅ); โ๐ก1, ๐ก2 โ โ (19.2.3)
Si noti che dal momento che la densitร di probabilitร di ordine
๐ โ 1 puรฒ essere dedotta da quella di ordine ๐ la stazionarietร all'or-
dine ๐ comporta quella agli ordini inferiori, ma non il viceversa.
Una classe importante di segnali รจ costituita dai segnali stazio-
nari in senso lato. Un segnale si dice stazionario in senso lato se risulta:
a) ๐ (๐ก, ํ) = cost (19.2.4)
b) ๐ (๐ก1, ํ)๐ (๐ก2, ํ) = ๐ ๐ (๐ก2 โ ๐ก1)
cioรจ se il suo valore medio รจ indipendente dal tempo e se la sua l'au-
tocorrelazione dipende solo dalla differenza fra gli istanti ๐ก2 e ๐ก1.
E' evidente che, essendo ๐ ๐ (0) = ๐ 2(๐ก) la stazionarietร in sen-
so lato implica che anche il valore quadratico medio non dipende da
๐ก.
E' opportuno osservare che un segnale stazionario in senso
stretto lo รจ anche in senso lato, ma non viceversa giacchรฉ, ad esem-
pio, l'invarianza temporale del momento del secondo ordine non im-
plica necessariamente quella della corrispondente densitร di probabi-
litร .
Esempio 19.2
Si prenda in esame il segnale ๐ (๐ก) definito dalla:
๐ (๐ก) = ๐ดcos๐๐ก + ๐ตsin๐๐ก
essendo ๐ด e ๐ต due quantitร aleatorie tali che risulti:
๐ด2 = ๐ต2 = ๐2
๐ด๐ต = 0
Il valor medio di ๐ (๐ก) vale:
๐ (๐ก) = ๏ฟฝ๏ฟฝcos๐๐ก + ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ ๐๐๐๐ก
Per quanto riguarda la funzione di autocorrelazione, si ha:
๐ (๐ก1)๐ (๐ก2)
= ๐ด2 cos๐๐ก1cos๐๐ก2 + ๐ต2 sin๐๐ก1sin๐๐ก2 + ๐ด๐ต [cos๐๐ก1sin๐๐ก2 + sin๐๐ก1cos๐๐ก2]
che per le ipotesi fatte, diventa:
๐ (๐ก1)๐ (๐ก2) = ๐2[cos๐๐ก1cos๐๐ก2 + sin๐๐ก1sin๐๐ก2] = ๐2cos(๐(๐ก2 โ ๐ก1))
Un tale segnale รจ quindi stazionario in senso lato solo se risulta
CAPITOLO - 19 โ Valori Medi, Stazionarietร ed Ergodicitร - 331
๏ฟฝ๏ฟฝ = ๏ฟฝ๏ฟฝ = 0
Esempio 19.3
Si consideri il segnale
๐ (๐ก) = cos(2๐๐0๐ก + ๐)
in cui ๐ รจ una variabile aleatoria definita in (0,2๐) e caratterizzata dalla
densitร di probabilitร del primo ordine ๐๐(ํ).
Per determinare le condizioni sotto le quali ๐ (๐ก) รจ un segnale stazio-
nario in senso stretto, si prenda in considerazione la sua funzione ca-
ratteristica di ordine ๐, che individua univocamente la sua densitร di pro-
babilitร di ordine ๐
Detto ๐ = {๐ก1, ๐ก2, โฆ , ๐ก๐} un insieme di ๐ istanti di tempo, si ha:
๐น๐(๐ข, ๐ก) = exp[๐โ๐ข๐cos(2๐๐0๐ก๐ + ๐)
๐
๐=1
]
= โซ exp[๐โ๐ข๐cos(2๐๐0๐ก๐ + ํ)
๐
๐=1
]๐๐(ํ)๐ํ
2๐
0
per ๐ยด = {๐ก1 + ๐, ๐ก2 + ๐,โฆ , ๐ก๐ + ๐} la funzione caratteristica vale:
๐นโฒ๐(๐ข, ๐ก) = โซ e๐โ ๐ข๐cos(2๐๐0๐ก๐+๐+2๐๐0๐)๐
๐=1 ๐๐(ํ)๐ํ2๐
0
= โซ e๐โ ๐ข๐cos(2๐๐0๐ก๐+๐โฒ)๐
๐=1 ๐๐(ํโฒ + 2๐๐0๐)๐ํ2๐(1+๐0๐)
2๐๐0๐
Affinchรฉ il segnale risulti stazionario in senso stretto ๐น๐(๐, ๐) =
๐นโฒ๐(๐, ๐โฒ) in corrispondenza ad ogni indice ๐, per ogni possibile scelta di
๐ e per ogni valore di ๐.
dato che la quantitร
e๐โ ๐ข๐cos(2๐๐0๐ก๐+๐)๐
๐=1
indipendentemente da ๐ รจ periodica di periodo 2๐ in ํ si intuisce fa-
cilmente che lโunica densitร di probabilitร ๐๐(ํ). che rende il segnale in
questione stazionario in senso stretto รจ quella uniforme deve cioรจ essere:
๐๐(ํ) =1
2๐โ (
ํ โ ๐
2๐)
Esempio 19.4
Si consideri il seguente segnale aleatorio
332 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
๐ (๐ก) =
{
cos2๐๐0๐ก + sin2๐๐0๐กPr =
1
3
โsin2๐๐0๐กPr =1
3
โcos2๐๐0๐กPr =1
3
Ciรฒ significa lo spazio dei risultati รจ partizionato in tre eventi E1, E2, E3,
equiprobabili, ai quali sono associate le tre possibili manifestazioni.
Il segnale qui considerato รจ stazionario in senso lato. Infatti, il suo va-
lor medio:
๐ (๐ก) =1
3(cos2๐๐0๐ก + sin2๐๐0๐ก) โ
1
3sin2๐๐0๐ก โ
1
3cos2๐๐0๐ก = 0
รจ nullo (quindi indipendente da ๐ก) e la sua funzione di autocorrelazione:
๐ (๐ก1)๐ (๐ก2)
=1
3(cos2๐๐0๐ก1 + sin2๐๐0๐ก1)(cos2๐๐0๐ก2 + sin2๐๐0๐ก2) โ
1
3sin2๐๐0๐ก1sin2๐๐0๐ก2
โ1
3cos2๐๐0๐ก1cos2๐๐0๐ก2 =
1
3(cos2๐๐0๐ก1sin2๐๐0๐ก2 + sin2๐๐0๐ก1cos2๐๐0๐ก2)
=1
3cos(2๐๐0(๐ก1 โ ๐ก2))
dipende soltanto dalla differenza ๐ก2 โ ๐ก1.
Il segnale perรฒ non รจ stazionario in senso stretto. Per rendersene con-
to, basta osservare che la densitร di probabilitร del primo ordine all'istan-
te ๐ก = 0 vale:
๐๐ (0)(๐ฅ) =1
3๐ฟ(๐ฅ โ 1) +
1
3๐ฟ(๐ฅ) +
1
3๐ฟ(๐ฅ + 1)
e
๐๐ (
1
8๐0)(๐ฅ) =
2
3๐ฟ(๐ฅ +
โ2
2) +
1
3๐ฟ(๐ฅ โ โ2)
quindi:
๐๐ (0)(๐ฅ) โ ๐๐ (
1
8๐0)(๐ฅ)
Medie temporali ed ergodicitร . 19.3 -
Le considerazioni sin qui svolte mostrano come รจ possibile ot-
tenere delle informazioni su un segnale aleatorio a partire dall'insie-
me delle sue manifestazioni note che siano le sue funzioni di proba-
bilitร .
In molti casi si hanno a disposizione alcune manifestazioni del
segnale (se non una sola) dalle quale possono dedursi solo quelle in-
CAPITOLO - 19 โ Valori Medi, Stazionarietร ed Ergodicitร - 333
formazioni che si ottengono utilizzando le cosiddette medie tempo-
rali.
Se ๐ (๐ก) denota la generica manifestazione di un segnale aleato-
rio, la quantitร
< ๐[๐ (๐ก)] >= lim๐โโ
1
2๐โซ ๐[๐ (๐ก)]๐๐ก๐
โ๐
(19.3.1)
se esiste, costituisce la media temporale della funzione f (s) associata al-
la manifestazione ๐ (๐ก) del segnale.
Dalla (19.3.1) si possono in particolare dedurre il valore medio
temporale:
< ๐ (๐ก) >= lim๐โโ
1
2๐โซ ๐ (๐ก)๐๐ก๐
โ๐
(19.3.2)
e il valore quadratico medio temporale:
< ๐ 2(๐ก) >= lim๐โโ
1
2๐โซ ๐ 2(๐ก)๐๐ก๐
โ๐
(19.3.3)
che esprime la potenza media specifica associata alla manifestazione
๐ (๐ก).
Piรน in generale si puรฒ definire una media temporale associata
alla funzione ๐[๐ (๐ก1 + ๐ก), ๐ (๐ก2 + ๐ก), โฆ , ๐ (๐ก๐ + ๐ก)]
< ๐[๐ (๐ก1 + ๐ก), ๐ (๐ก2 + ๐ก), โฆ , ๐ (๐ก๐ + ๐ก)] >
= lim๐โโ
1
2๐โซ ๐[๐ (๐ก1 + ๐ก), ๐ (๐ก2 + ๐ก), โฆ , ๐ (๐ก๐ + ๐ก)]๐๐ก๐
โ๐
(19.3.4)
Dalla precedente in particolare discende l'espressione della
funzione di autocorrelazione in media temporale (7.6.1), per segnali reali. ร
infatti:
๐พ๐ (๐) =< ๐ (๐ก)๐ (๐ก + ๐) >= lim๐โโ
1
2๐โซ ๐ (๐ก)๐ (๐ก + ๐)๐๐ก๐
โ๐
(19.3.5)
E' da notare che, in ogni caso, le medie temporali, fornite dalla
(19.3.2)o dalla (19.3.4), definiscono altrettante variabili aleatorie, dato
che esse dipendono dalla manifestazione del segnale che si prende in
considerazione. ร quindi possibile definire un loro valore medio sta-
tistico a mezzo della:
334 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
< ๐[๐ (๐ก)] > = lim๐โโ
1
2๐โซ ๐[๐ (๐ก)]๐๐ก๐
โ๐
= lim๐โโ
1
2๐โซ ๐[๐ (๐ก)] ๐๐ก๐
โ๐
=< ๐[๐ (๐ก)] >
(19.3.6)
In maniera analoga, partendo dalla (19.3.4) si perviene alla:
< ๐[๐ (๐ก1 + ๐ก), ๐ (๐ก2 + ๐ก), โฆ , ๐ (๐ก๐ + ๐ก)] > =< ๐[๐ (๐ก1 + ๐ก), ๐ (๐ก2 + ๐ก), โฆ , ๐ (๐ก๐ + ๐ก)] > (19.3.7)
Le (19.3.6) e (19.3.7) stanno a significare che le operazioni di
media temporale e media statistica possono essere tra loro permuta-
te.
Le medie temporali, di per sรจ, non permettono dunque di ot-
tenere delle informazioni di natura statistica del segnale. Tuttavia esi-
ste una particolare classe di segnali per i quali ogni proprietร statistica
puรฒ essere determinata a partire da una qualsiasi manifestazione. In
altri termini, qualsiasi operazione di media effettuata nel tempo su
una generica manifestazione conduce agli stessi risultati se si effettua
l'operazione analoga sulla base dell'insieme delle manifestazioni.
Un segnale di tale tipo si dice ergodico. In genere si รจ interessati
ad un particolare caratteristica del segnale (valore medio, potenza
specifica o autocorrelazione). Di conseguenza l'ergodicitร viene for-
mulata limitatamente alla caratteristica dโinteresse in quanto se un se-
gnale aleatorio รจ ergodico rispetto a certi parametri puรฒ non esserlo
per altri.
In particolare un segnale si dice ergodico in media quando ri-
sulta:
lim๐โโ
1
2๐โซ ๐ (๐ก)๐๐ก๐
โ๐
= โซ ๐ฅ๐๐ (๐ก)(๐ฅ)๐๐ฅโ
โโ
(19.3.8)
si dice ergodico in media quadratica se:
lim๐โโ
1
2๐โซ ๐ 2(๐ก)๐๐ก๐
โ๐
= โซ ๐ฅ2๐๐ (๐ก)(๐ฅ)๐๐ฅโ
โโ
(19.3.9)
La condizione di ergodicitร limitata alla funzione di autocorre-
lazione conduce alla:
๐พ๐ (๐) = ๐ ๐ (๐) (19.3.10)
cioรจ:
CAPITOLO - 19 โ Valori Medi, Stazionarietร ed Ergodicitร - 335
lim๐โโ
1
2๐โซ ๐ (๐ก)๐ (๐ก + ๐)๐๐ก๐
โ๐
=โฌ ๐ฅ๐ฆ๐๐ 1๐ 2(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฅ๐๐ฆR2
(19.3.11)
In questo caso si puรฒ affermare che un segnale ergodico in au-
tocorrelazione deve presentare una media temporale ๐พ๐ (๐) indipen-
dente dalla manifestazione e una media statistica ๐ ๐ (๐) dipendente
solo dalla differenza ๐ tra gli istanti di osservazione ๐ก2 e ๐ก1.
Piรน in generale, affinchรฉ la condizione di ergodicitร sia soddi-
sfatta, e necessario che le medie temporali non dipendano dalla par-
ticolare manifestazione sulla quale vengono calcolate, e che le medie
statistiche non dipendano dallโorigine dei tempi, ma soltanto dalla
posizione relativa tra gli istanti in cui la media statistica รจ valutata.
Ciรฒ significa che una condizione necessaria per lโergodicitร รจ la sta-
zionarietร in senso stretto.
Per meglio comprendere il significato della condizione di er-
godicitร si prenda in considerazione la (19.3.1), l'integrale che vi
compare, puรฒ essere valutato dividendo l'intervallo [โ๐, ๐] in ๐ su-
bintervalli contigui di uguale ampiezza e quindi passando al limite
per ๐ โ โ:
< ๐(๐ (๐ก)) >= lim๐โโ
1
2๐โ
2๐
๐๐ (๐ (โ๐ +
๐
๐2๐))
๐
๐=1
= lim๐โโ
1
๐โ๐(๐ (โ๐ +
๐
๐2๐))
๐
๐=1
(19.3.12)
D'altra parte la media statistica puรฒ essere espressa in una
forma analoga alla (19.3.12) mediante la:
๐[๐ ] = lim๐โโ
1
๐โ๐(๐ (๐ก, ๐๐))
๐
๐=1
(19.3.13)
cioรจ come limite della somma dei valori assunti all'istante ๐ก da un in-
sieme di ๐ manifestazioni del segnale divisa per ๐ al tendere di ๐ al-
l'infinito.
La condizione di ergodicitร in media comporta l'uguaglianza
dei limiti (19.3.12) e (19.3.13) quindi il poter assumere per ๐ suffi-
cientemente elevato
336 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
1
๐โ๐ (๐ (โ๐ + ๐
2๐
๐))
๐
๐=1
โ 1
๐โ๐(๐ (๐ก, ๐๐))
๐
๐=1
(19.3.14)
Ciรฒ significa che la somma dei valori assunti dalla funzione ๐(โ ) in
corrispondenza all'insieme dei valori assunti all'istante ๐ก dalle possibi-
li manifestazioni del segnale, eguaglia la somma dei valori assunti dal-
la funzione valutata in corrispondenza di una qualsiasi manifestazio-
ne al variare del tempo.
In altri termini i valori che assume al variare del tempo una
manifestazione, si ritrovano in una qualsiasi altra, con la stessa fre-
quenza, seppur disposti in un diverso ordine temporale. Ogni mani-
festazione puรฒ quindi pensarsi ottenuta โrimescolandoโ i valori che
tutte le manifestazioni assumono in un istante qualsiasi.
Ergodicitร delle funzioni di probabilitร del primo 19.4 - ordine.
L'ipotesi di ergodicitร ,
discussa nel precedente para-
grafo, puรฒ consentire di valuta-
re le funzioni di probabilitร del
primo ordine di un segnale
aleatorio pur disponendo sol-
tanto di una manifestazione di
esso.
A tale scopo si consideri
un segnale aleatorio ๐ (๐ก, ํ) e sia ๐ฅ un reale qualsiasi. A ๐ (๐ก, ํ) si asso-
ci un nuovo segnale ๐ค๐ฅ(๐ (๐ก, ํ)) cosรฌ definito:
๐ค๐ฅ(๐ (๐ก, ํ)) = u(๐ฅ โ ๐ (๐ก, ํ)) (19.4.1)
Il segnale ๐ค๐ฅ(๐ (๐ก, ํ)) in ogni istante individua una variabile
aleatoria di tipo discreto, che puรฒ assumere solo valori appartenenti
all'insieme {0,1} comโรจ indicato nella Fig. 19.1.
Risulta:
Pr{๐ค๐ฅ(๐ (๐ก, ํ)) = 0} = Pr{๐ (๐ก, ํ) > ๐ฅ}
Pr{๐ค๐ฅ(๐ (๐ก, ํ)) = 1} = Pr{๐ (๐ก, ํ) โค ๐ฅ} (19.4.2)
Il valore medio statistico di ๐ค๐ฅ(๐ (๐ก, ํ)) vale:
Fig. 19.1 - Ergodicitร delle funzioni di probabilitร
CAPITOLO - 19 โ Valori Medi, Stazionarietร ed Ergodicitร - 337
๐ค๐ฅ(๐ (๐ก, ํ)) = 1 โ Pr{๐ (๐ก, ํ) โค ๐ฅ} + 0 โ Pr{๐ (๐ก, ํ) > ๐ฅ}= Pr{๐ (๐ก, ํ) โค ๐ฅ} = ๐๐ (๐ก)(๐ฅ) (19.4.3)
dove ๐๐ (๐ก)(๐ฅ) denota la funzione distribuzione di probabilitร del pri-
mo ordine associata al segnale ๐ (๐ก).
D'altra parte la media temporale di una data manifestazione
๐ค๐ฅ(๐ (๐ก, ํ)) del segnale vale:
< ๐ค๐ฅ(๐ (๐ก, ํ)) >= lim๐โโ
1
๐โซ ๐ค๐ฅ(๐ (๐ก, ํ))๐๐ก
๐
2
โ๐
2
โ
= lim๐โโ
๐[๐ โ1((โโ, ๐ฅ], ํ) โฉ [โ๐
2,๐
2]]
๐
(19.4.4)
Dove ๐ (๐ โ1((โโ, ๐ฅ], ํ) โฉ [โ๐
2,๐
2]) รจ la misura dell'insieme degli
istanti di tempo appartenenti a [โ๐
2,๐
2] in corrispondenza ai quali la
manifestazione del segnale ๐ non supera ๐ฅ (v. Fig. 19.1).
Se la condizione di ergodicitร รจ soddisfatta deve aversi indi-
pendentemente dalla manifestazione considerata:
๐๐ (๐ก)(๐ฅ) = lim๐โโ
๐ (๐ โ1((โโ,๐ฅ], ํ) โฉ [โ๐
2,๐
2])
๐ (19.4.5)
Esempio 19.5
Si consideri ancora il segnale
๐ (๐ก, ๐) = cos(2๐๐0๐ก + ๐)
dove la fase ๐ รจ una variabile uniformemente distribuita in [0,2๐].
Sulla base della Fig.E 19.1 รจ facile riconoscere che un generico i-
stante di tempo per il quale ๐ (๐ก,)๐ฅ deve soddisfare la disuguaglianza:
2๐๐ + arccos๐ฅ โค 2๐๐0๐ก + ๐ โค (2๐ + 1)๐ โ arccos๐ฅ
la quale, al variare dellโintero ๐ e per ๐ฅ[1,1], identifica la famiglia di
intervalli:
๐ผ๐ = [2๐๐ + arccos๐ฅ โ ๐
2๐๐0,(2๐ + 1)๐ โ arccos๐ฅ โ ๐
2๐๐0]
338 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
nei quali la ๐ค๐(๐ (๐ก,)) assume il valore 1. La misura ๐ก๐ di ogni inter-
vallo non dipende nรฉ dalla manifestazione nรฉ dallโindice ๐ e vale
๐โ2arccos๐ฅ
2๐๐0
La ๐ค๐(๐ (๐ก,)) รจ periodica pertanto la sua media temporale coincide
con quella in un periodo si ha quindi:
< ๐ค๐ฅ(๐ (๐ก, ๐)) >= {
0; ๐ฅ โค โ1
๐0๐ฅ๐ก๐ฅ =1
2โarccos๐ฅ
๐; โ1 < ๐ฅ < 1
1; ๐ฅ โฅ โ1
Si puรฒ constatare che la media appena ottenuta coincide con la distri-
buzione di probabilitร
del segnale (vedi
Esempio 18.2).
In effetti il segnale
in questione risulta er-
godico seppur limitata-
mente alle medie del
primo ordine. Infatti,
data una funzione ๐(โ )
integrabile alla Le-
besgue in [1,1], risul-
ta:
< ๐(cos(2๐๐0๐ก + ๐)) >= lim๐โโ
1
2๐โซ ๐(cos(2๐๐0๐ก + ๐))๐๐กโ
โโ
= ๐0โซ ๐(cos(2๐๐0๐ก + ๐))๐๐ก
1
๐0
0
= ๐0โซ ๐(cos(2๐๐0๐ก))๐๐ก
1
๐0
0
=1
2๐โซ ๐(cos(๐))๐๐2๐
0
La corrispondente media statistica vale:
๐(cos(2๐๐0๐ก + ๐)) = โซ ๐(cos(2๐๐0๐ก + ๐))๐๐(๐)๐๐โ
โโ
=1
2๐โซ ๐(cos(2๐๐0๐ก + ๐))๐๐2๐
0
=1
2๐โซ ๐(cos(๐))๐๐2๐
0
Pertanto per le medie del primo ordine la condizione di ergodicitร รจ
soddisfatta poichรฉ risulta:
< ๐(cos(2๐๐0๐ก + ๐)) >= ๐(cos(2๐๐0๐ก + ๐)) =1
2๐โซ ๐(cos(๐))๐๐2๐
0
Fig.E 19.1
CAPITOLO - 19 โ Valori Medi, Stazionarietร ed Ergodicitร - 339
Il segnale in questione non รจ tuttavia ergodico come si puรฒ verificare
calcolando medie di ordine superiore al primo.
CAPITOLO - 20
SEGNALI GAUSSIANI
Variabili aleatorie congiuntamente gaussiane. 20.1 -
Sia dato un vettore ๐ฟ = [๐1, ๐2, โฆ , ๐๐]๐ di ๐ variabili aleatorie
definite su di uno stesso esperimento casuale. Le variabili
๐1, ๐2, โฆ , ๐๐ si dicono congiuntamente gaussiane se la loro densitร di
probabilitร congiunta รจ del tipo:
๐๐(๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ ๐ฅ๐) = ๐พ๐โ1
2๐(๐ฅ1โ๐1,๐ฅ2โ๐2,โฆ,๐ฅ๐โ๐๐) (20.1.1)
dove ๐ รจ una forma quadratica definita positiva:
๐ =โโ๐๐๐(๐ฅ๐ โ๐๐)(๐ฅ๐ โ๐๐);
๐
๐=1
๐
๐=1
๐๐๐ = ๐๐๐ (20.1.2)
๐พ unโopportuna costante di normalizzazione ed ๐1, ๐2, โฆ๐๐ ๐ co-
stanti reali.
Ponendo:
๐ = [๐ฅ1 ๐ฅ2 โฆ ๐ฅ๐]๐; ๐ = [๐1 ๐2 โฆ ๐๐]๐ (20.1.3)
e introducendo la matrice12:
๐ดโ1 = [
๐11 ๐12 โฆ ๐1๐๐21 ๐22 โฆ ๐2๐โฆ โฆ โฆ โฆ๐๐1 ๐๐2 โฆ ๐๐๐
] (20.1.4)
la densitร di probabilitร (20.1.1) puรฒ ulteriormente scriversi:
๐๐ฟ(๐) = ๐พ๐โ1
2(๐โ๐)๐๐ดโ1(๐โ๐)
(20.1.5)
Funzione caratteristica di variabili aleatorie con-20.2 - giuntamente gaussiane.
La funzione caratteristica associata al vettore aleatorio
๐ = ๐ฟ โ๐. Detta funzione per definizione vale:
๐น๐(๐) = ๐๐๐๐๐ = ๐๐๐
๐ป(๐ฟโ๐) (20.2.1)
12 Si noti che la forma quadratica รจ definita positiva quindi la matrice dei coefficienti ad es-sa associata รจ certamente non singolare.
342 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
dove:
๐ = [
๐ข1๐ข2โฆ๐ข๐
] ; ๐ = [
๐ฅ1 โ๐1
๐ฅ2 โ๐2
โฆ๐ฅ๐ โ๐๐
] (20.2.2)
Tenuto conto dell'espressione della densitร di probabilitร (20.1.5), la
(20.2.1) si puรฒ ancora scrivere:
๐น๐(๐)
= ๐พโซ ๐๐๐๐(๐โ๐)โ
1
2(๐โ๐)๐๐ดโ1(๐โ๐)๐๐
๐ ๐
=๐พโซ ๐๐๐๐๐โ
1
2๐๐๐ดโ1๐๐๐
๐ ๐
(20.2.3)
Sia ๐ una matrice ortonormale che diagonalizza la matrice ๐ด,
cioรจ tale che si abbia:
๐๐๐ด๐ = diag[๐1, ๐2, โฆ , ๐๐] (20.2.4)
essendo:
diag[๐1, ๐2, โฆ , ๐๐] = [
๐1 0 โฆ 00 ๐2 โฆ 0โฆ โฆ โฆ โฆ0 0 โฆ ๐๐
] (20.2.5)
i cui elementi, come รจ noto, sono gli autovalori della matrice ๐ด.
Dalla (20.2.4) discende facilmente:
๐๐๐ดโ1๐ = diag [1
๐1,1
๐2, โฆ ,
1
๐๐] (20.2.6)
Se nell'integrale all'ultimo membro della (20.2.3) si effettua la seguen-
te trasformazione di variabili:
๐ = ๐โ1๐ = ๐๐๐ (20.2.7)
cui, in virtรน della ortonormalitร della matrice ๐, corrisponde un de-
terminante Jacobiano di modulo unitario. Si ottiene:
๐น๐(๐) = ๐พโซ ๐๐๐๐๐๐โ
1
2๐๐๐๐๐ดโ1๐๐๐๐
๐ ๐ (20.2.8)
Ponendo inoltre:
๐ = ๐ป๐ (20.2.9)
Tramite la (20.2.4), si ottiene ancora:
CAPITOLO - 20 โ Segnali Gaussiani - 343
๐น๐(๐๐) = ๐พโซ ๐๐๐๐๐โ
1
2๐๐diag(
1๐1,1๐2,โฆ,
1๐๐)๐๐๐
๐ ๐
= ๐พโซ ๐โ (๐๐ฃ๐๐ง๐โ
๐ง๐2
2๐๐)๐
๐=1๐๐
๐ ๐
= ๐พโโซ ๐๐๐ฃ๐๐ง๐โ
๐ง๐2
2๐๐๐๐ง๐
โ
โโ
๐
๐=1
(20.2.10)
Lโintegrale ad argomento della produttoria รจ riconducibile allโintegra-
le noto:
โซ ๐๐ฮฒ๐ฅโฮฑ๐ฅ2๐๐ฅ
โ
โโ
= โ๐
๐ผ๐โ
๐ฝ2
4๐ผ (20.2.11)
Con ๐ผ anche complesso purchรฉ con parte reale strettamente positiva.
ponendo ๐ฃ๐ = ฮฒ e 1
2๐๐= ฮฑ in ogni fattore della produttoria nella (20.2.10),
otteniamo:
๐น๐(๐๐) = ๐พโโซ ๐๐๐ฃ๐๐ง๐โ
1
2๐๐๐ง๐2
๐๐ง๐
โ
โโ
๐
๐=1
= ๐พโโ2๐๐๐๐โ๐๐๐ฃ๐
2
2
๐
๐=1
(20.2.12)
Calcolando la produttoria all'ultimo membro della precedente
si ottiene per la funzione caratteristica associata alle ๐ variabili aleato-
rie ๐ = ๐ฟ โ๐ l'espressione:
๐น๐(๐) = ๐น๐(๐๐) = ๐พ((2๐)๐|๐ด|)
1
2โ๐โ๐๐๐ฃ๐
2
2
๐
๐=1
= ๐พโ(2๐)๐|๐ด|๐โ1
2โ ๐๐๐ฃ๐
2๐๐=1
= ๐พโ(2๐)๐|๐ด|๐โ1
2๐๐diag[๐1,๐2,โฆ,๐๐]๐
= ๐พโ(2๐)๐|๐ด|๐โ1
2๐๐๐diag[๐1,๐2,โฆ,๐๐]๐
๐๐
= ๐พโ(2๐)๐|๐ด|๐โ1
2๐๐๐ด๐
(20.2.13)
dalla quale imponendo la condizione di normalizzazione ๐น(๐) = 1, si
ottiene per la costante ๐พ il valore
๐พ =
1
โ(2๐)๐|๐ด|
(20.2.14)
che sostituito nella (20.2.13) consente finalmente di scrivere:
๐น๐(๐) = ๐โ1
2๐๐๐ด๐ (20.2.15)
Sostituendo il valore appena ottenuto per la costante ๐พ nel-
lโespressione della densitร di probabilitร (20.1.5) di un vettore di va-
riabili aleatorie congiuntamente gaussiane si ottiene:
344 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
๐๐ฟ(๐) =1
โ(2๐)๐|๐ด|๐โ
1
2(๐โ๐)๐๐ดโ1(๐โ๐)
(20.2.16)
che รจ univocamente determinata noti che siano la matrice ๐ด e il vet-
tore ๐.
Densitร di probabilitร di ordine inferiore. 20.3 -
Nota la funzione caratteristica associata ad ๐ variabili aleatorie
รจ in generale possibile dedurre le funzioni caratteristiche relative ad
un qualunque sottoinsieme di esse. A tal fine si consideri un vettore
in โ๐ del tipo ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ = [๐ข1, โฆ ๐ข๐โ1, 0, ๐ข๐+1, โฆ , ๐ข๐], cioรฉ caratterizzato
dall'avere la ๐-esima componente pari a zero. Un vettore del tipo an-
zidetto puรฒ essere ottenuto da un generico vettore ๐ appartenente a
โ๐โ1 premoltiplicando quest'ultimo per una matrice ๐ฏ๐ dโordine
๐ ร (๐ โ 1) ottenuta inserendo nella matrice unitaria di ordine ๐ โ 1
una riga nulla nella ๐-esima posizione. Se si valuta la funzione caratte-
ristica in corrispondenza di ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ si ottiene:
๐น๐ฟ(๏ฟฝ๏ฟฝ๐) = ๐น๐ฟ(๐ป๐๐) = ๐๐(๐ป๐๐)๐๐ = ๐๐๐ค
๐๐ป๐๐๐
(20.3.1)
Si osservi che in virtรน della definizione data per la matrice ๐ฏ๐ ,
๐ = ๐ป๐๐๐ = [๐ง1 = ๐ฅ1, โฆ , ๐ง๐โ1 = ๐ฅ๐โ1, ๐ง๐ = ๐ฅ๐+1, โฆ ๐ง๐โ1 = ๐ฅ๐]
๐ รจ un vet-
tore a ๐ โ 1 dimensioni, ottenuto eliminando la componente ๐-esima
di ๐. In modo analogo sโindividua il vettore di variabili aleatorie
๐ = ๐ป๐๐๐ฟ. In termini dei vettori appena definiti si ottiene:
๐น๐ฟ(๏ฟฝ๏ฟฝ๐) = ๐๐๐๐๐ป๐
๐๐ = ๐๐๐
๐๐ = โซ๐๐๐๐๐ป๐
๐๐๐๐ฟ(๐)๐๐
โ๐
= โซ ๐๐๐๐๐ (โซ ๐๐ฟ(๐)๐๐ฅ๐
โ
โโ
)๐๐
โ๐โ1
= โซ ๐๐๐๐๐๐๐(๐)๐๐
โ๐โ1
= ๐น๐(๐)
(20.3.2)
che rappresenta la funzione caratteristica delle ๐ โ 1 variabili aleato-
rie ๐1, โฆ , ๐๐โ1, ๐๐+1, โฆ , ๐๐.
La (20.3.2) consente di affermare che, nota la funzione carat-
teristica associata a ๐ variabili aleatorie definite su di uno stesso espe-
rimento casuale, รจ possibile ottenere quella associata ad un qualun-
que sottoinsieme di esse. Essa si ottiene ponendo, nella funzione ori-
ginaria, uguali a zero le componenti del vettore ๐ corrispondenti alle
variabili che non appartengono al sottoinsieme di interesse.
CAPITOLO - 20 โ Segnali Gaussiani - 345
Ponendo ๐ = ๐ป๐๐๐ nella (20.2.15), tenuto conto della (20.3.2)si
ottiene:
๐น๐(๐) = ๐น๐(๏ฟฝ๏ฟฝ๐) = ๐โ1
2๏ฟฝ๏ฟฝ๐๐๐ด๏ฟฝ๏ฟฝ๐ = ๐โ
1
2๐๐๐ป๐
๐๐ด๐ป๐๐ = ๐โ1
2๐ค๐๏ฟฝ๏ฟฝ๐๐ (20.3.3)
dove ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ โ ๐ป๐๐๐ด๐ป๐ รจ la matrice che si ottiene da ๐ด cancellando la riga e
la colonna ๐-esima. ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ รจ pertanto una matrice definita positiva.
Ponendo nella (20.3.3) ๐ฝ = ๐ป๐๐๐ฟ, ๐ = ๐ป๐
๐๐ e ๐๐ฃ = ๐ป๐๐๐, si ot-
tiene la densitร di probabilitร :
๐๐ป๐๐๐ฟ(๐ป๐
๐๐) =1
โ(2๐)๐โ1|๏ฟฝ๏ฟฝ๐|๐โ
1
2(๐ป๐
๐(๐โ๐))๐๏ฟฝ๏ฟฝ๐โ1๐ป๐
๐(๐โ๐)
=1
โ(2๐)๐โ1|๏ฟฝ๏ฟฝ๐|๐โ
1
2(๐โ๐๐)
๐๏ฟฝ๏ฟฝ๐โ1๐โ๐๐ = ๐๐ฝ(๐)
(20.3.4)
che assicura che se la densitร di probabilitร congiunta di ๐ varaibili
aleatorie รจ di tipo gaussiano, tale รจ anche la densitร di probabilitร di
un qualunque sottoinsieme proprio di dette variabili.
Inoltre la matrice ๐ด e il vettore ๐ che caratterizzano la densitร
di probabilitร congiunta associata a detto sottoinsieme si ottengono
da quelli originari rispettivamente cancellando dalla prima le righe e
le colonne, e dal secondo le componenti, dโindice corrispondente alle
variabili che non sono contenute nel sottoinsieme di interesse.
Caratterizzazione degli elementi del vettore ๐ e 20.4 - della matrice ๐ฎ.
La conoscenza della funzione caratteristica del vettore ๐ defi-
nito nel - ยง 20.2 - consente di calcolare i momenti di qualsiasi ordine
(vedi CAPITOLO - 19) ed in particolare anche il valore medio di
una qualunque componente di detto vettore. Risulta infatti:
๐๐น๐(๐)
๐๐ข๐=๐ โซ ๐๐ฟ(๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐)๐
๐๐๐๐๐๐โ๐
๐๐ข๐
= โซ ๐๐ฅ๐๐๐(๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐)๐๐๐๐๐๐๐
โ๐
(20.4.1)
che valutata in ๐ = ๐ fornisce:
๐๐น๐(๐)
๐๐ข๐|๐=๐
= โซ ๐๐ฅ๐๐๐ฟ(๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐)๐๐โ๐
= ๐๐๏ฟฝ๏ฟฝ (20.4.2)
Nel caso di variabili aleatorie congiuntamente gaussiane si ottiene:
346 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
๐๏ฟฝ๏ฟฝ = โ๐๐๐น(๐)
๐๐ข๐|๐=๐
= ๐ (๐โ1
2๐๐๐ด๐โ๐๐๐๐ข๐
๐
๐=1
)|
๐=๐
= 0 (20.4.3)
dove ๐๐๐ indica il generico elemento della matrice ๐ด.
Ricordando che ๐ = ๐ฟ โ๐ dalla precedente si deduce facil-
mente che le componenti del vettore ๐ sono i valori medi delle cor-
rispondenti componenti di ๐ฟ.
Al fine di caratterizzare gli elementi della matrice ๐ด si osservi
che in generale risulta:
โ๐2๐น๐ฟ(๐)
๐๐ข๐๐๐ข๐|๐=๐
= ๐๐๐๐ (20.4.4)
quindi:
๐๐๐๐ = (๐๐ โ๐๐)(๐๐ โ๐๐) = โ๐2๐น๐(๐ข)
๐๐ข๐๐๐ข๐|๐=๐
= โ๐โ1
2๐ข๐๐ด๐ขโ๐๐๐๐ข๐
๐
๐=1
โ๐๐๐๐ข๐
๐
๐=1
โ ๐โ1
2๐ข๐๐ด๐ข๐๐๐|
๐=๐
= ๐๐๐ (20.4.5)
La precedente mostra che il generico elemento ๐๐๐ della matri-
ce ๐ด รจ la covarianza delle variabili aleatorie ๐๐ ed ๐๐. La matrice ๐ด
viene pertanto detta matrice di covarianza. Gli elementi che giacciono
sulla diagonale della matrice di covarianza rappresentano le varianze
delle variabili aleatorie cui ๐ด รจ associata.
Segnali gaussiani. 20.5 -
Un segnale aleatorio ๐ (๐ก, ํ) si dice normale o gaussiano se la sua
densitร di probabilitร di qualunque ordine ๐, indipendentemente dal-
la scelta della ๐ -upla dโistanti ๐ = [๐ก1, ๐ก2, โฆ , ๐ก๐], รจ di tipo gaussiano,
cioรฉ se risulta:
๐๐ (๐ก1),โฆ,๐ (๐ก๐)(๐ฅ) =
1
โ(2๐)๐|๐ด|๐โ
1
2(๐โ๐(๐))
๐๐ดโ1(๐โ๐(๐));
โ๐ โ โโ โ ๐ โ โ๐ (20.5.1)
dove ๐(๐) = [๐ (๐ก1) , ๐ (๐ก2) , โฆ , ๐ (๐ก๐) ]๐ รจ un vettore la cui ๐-esima
componente รจ il valore medio del segnale valutato nell'istante ๐ก๐, e il
generico elemento della matrice ๐ด
๐๐๐ = ๐(๐ก๐ , ๐ก๐) = (๐ (๐ก๐) โ ๐ (๐ก๐) )(๐ (๐ก๐) โ ๐ (๐ก๐) ) (20.5.2)
CAPITOLO - 20 โ Segnali Gaussiani - 347
esprime la covarianza delle variabili aleatorie individuate dal segnale
agli istanti ๐ก๐ e ๐ก๐.
Ci si rende facilmente conto del fatto che un segnale gaussia-
no stazionario in senso lato lo รจ anche in senso stretto. Infatti, se il
segnale รจ stazionario in senso lato, gli elementi della sua matrice di
covarianza, a qualunque ordine, dipendono soltanto dalle differenze
tra gli istanti di tempo ๐ก๐ e ๐ก๐. Inoltre il valore medio del segnale รฉ in-
dipendente dal tempo, quindi tale รจ anche il vettore ๐ che compare
nella sua densitร di probabilitร .
Esempio 20.1
Si determini la densitร di probabilitร del terzo ordine di un segnale
gaussiano a media nulla valutata negli istanti ๐ก1 = 0, ๐ก2 = ๐ e ๐ก3 = 2๐.
sapendo la sua funzione di autocovarianza vale:
๐(๐) = exp (โ|๐|
๐)
Lโelemento generico della matrice di autocovarianza vale:
๐๐๐ = exp(โ|๐ก๐ โ ๐ก๐|
๐)
pertanto la matrice di covarianza valutata negli istanti di interesse risulta:
๐ด = [1 ๐โ1 ๐โ2
๐โ1 1 ๐โ1
๐โ2 ๐โ1 1
]
la cui inversa vale:
๐ดโ1 =1
1 โ ๐โ2[1 โ๐โ1 0
โ๐โ1 1 + ๐โ2 โ๐โ1
0 โ๐โ1 1
]
La forma quadratica che definisce la ๐๐ (0)๐ (๐)๐ (2๐)(๐ฅ1, ๐ฅ2, ๐ฅ3) รจ:
๐(๐ฅ1, ๐ฅ2, ๐ฅ3) =1
1 โ ๐โ2[๐ฅ12 + (1 + ๐โ2)๐ฅ2
2 + ๐ฅ32 โ 2๐โ1๐ฅ1๐ฅ2 โ 2๐
โ1๐ฅ2๐ฅ3]
Essendo inoltre:
|๐ด| = (1 โ ๐โ2)2
la densitร di probabilitร cercata si scrive quindi:
๐๐ (0)๐ (๐)๐ (2๐)(๐ฅ1, ๐ฅ2, ๐ฅ3) =1
(2๐)3
2(1 โ ๐โ2)๐โ๐ฅ12+(1+๐โ2)๐ฅ2
2+๐ฅ32โ2๐โ1๐ฅ1๐ฅ2โ2๐
โ1๐ฅ2๐ฅ3
2(1โ๐โ2)
Distribuzioni singolari. 20.6 -
Sia data la funzione definita in โ๐:
348 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
๐น(๐) = ๐โ1
2๐๐๐ด๐
(20.6.1)
dove ๐ด รจ una matrice semidefinita positiva. La (20.6.1), se la matrice
๐ด รจ definita positiva, si puรฒ interpretare come la funzione caratteri-
stica associata ad un opportuno vettore costituito da ๐ variabili alea-
torie congiuntamente gaussiane a media nulla.
Si vuole indagare su come interpretare la (20.6.1) qualora la
matrice ๐ด sia semidefinita positiva senza essere definita positiva. Cioรจ
quando si verifichi il caso che la suddetta matrice presenti degli auto-
valori nulli. In particolare si vuole stabilire se alla (20.6.1) possa an-
cora attribuirsi il significato di funzione caratteristica associata ad un
opportuno vettore ๐ di variabili aleatorie e, in caso affermativo, qua-
le sia la densitร di probabilitร congiunta di dette variabili.
A tal fine si proceda ad antitrasformare la (20.6.1) sulla base
della (16.4.12):
๐(๐) =1
(2๐)๐โซ ๐โ
1
2๐๐๐ด๐
โ๐๐โ๐๐
๐๐๐๐ (20.6.2)
Sia ๐ una opportuna matrice ortonormale (certamente esisten-
te) che diagonalizza la matrice ๐ด e che, inoltre, faccia si che gli auto-
valori non nulli della ๐ด cadano nelle prime ๐ righe della matrice dia-
gonalizzata, cioรจ ๐ sia tale che risulti
๐๐๐ด๐ = ๐ฌ =
[ ๐1 0 โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ00 ๐2โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ0โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ0โฆโฆ โฆโฆ๐๐ 0โฆโฆ00โฆ โฆ โฆ โฆ . . .0. . . . .0โฆ โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ0โฆโฆ .โฆ . . . . . . . . . . . . . .0]
(20.6.3)
dove ๐๐ รจ il generico autovalore non nullo della ๐ด.
Operando al secondo membro della (20.6.2) la trasformazione
di variabili ๐ = ๐๐๐ si ottiene:
๐(๐ฅ) =1
(2๐)๐โซ ๐โ
1
2๐๐๐ฌ๐
โ๐๐โ๐๐
๐๐๐๐๐๐ (20.6.4)
Si osservi che ๐๐๐ฌ๐, in virtรน della particolare composizione
della matrice ๐ฌ, dipende solo dalle prime ๐ componenti del vettore ๐.
Mediante le posizioni:
CAPITOLO - 20 โ Segnali Gaussiani - 349
๐ = [๐๐๐๐โ๐
] =
[ [
๐ฃ1โฎ๐ฃ๐]
[
๐ฃ๐+1โฎ๐ฃ๐
]]
; ๐ฌ = [๐ฌ๐ 00 0
] ; ๐ = [๐๐ ๐๐โ๐] (20.6.5)
l'integrale (20.6.4) puรฒ essere espresso come prodotto di due integra-
li. Piรน precisamente si puรฒ scrivere:
1
(2๐)๐โซ ๐โ
1
2๐ฃ๐๐ฌ๐๐โ๐๐
๐๐๐๐๐๐โ๐
= (1
(2๐)๐โซ ๐โ
1
2๐๐๐๐ฌ๐๐๐โ๐๐๐
๐๐๐๐๐๐๐๐
โ๐)
โ (1
(2๐)๐โ๐โซ ๐โ๐๐ฃ๐โ๐
๐ ๐๐โ๐๐ ๐
โ๐โ๐๐๐๐โ๐)
(20.6.6)
da cui facilmente si ottiene:
๐(๐) =1
โ(2๐)๐|๐ฌ๐|๐โ
1
2๐ฅ๐๐๐๐ฌ๐
โ1๐๐๐๐โ๐ฟ((๐๐โ๐
๐ ๐)๐)
๐โ๐
๐=1
(20.6.7)
dove (๐๐โ๐๐ ๐)๐ indica la ๐-esima componente del vettore ๐๐โ๐
๐ ๐.
๐(๐) รจ non negativa e rispetta la condizione di normalizzazio-
ne, in quanto la (20.6.1) vale uno per ๐ = ๐, quindi la precedente
implica che รจ leggitimo porre:
๐(๐) = ๐๐ฟ(๐) (20.6.8)
cioรจ che รจ possibile interpretare ๐(๐) come la funzione di densitร di
probabilitร congiunta ๐๐ฟ(๐) associata a un opportuno ๐-vettore ๐ฟ di
variabili aleatorie.
Eโ interessante rilevare che la presenza delle delta nella (20.6.7)
porta a concludere che la ๐๐ฟ(๐) รจ nulla ovunque, fatta eccezione che
in corrispondenza alle soluzioni del sistema lineare di equazioni:
๐๐โ๐๐ ๐ = ๐ (20.6.9)
In altri termini, quanto detto significa che il vettore ๐ฟ appartiene con
probabilitร 1 al sottospazio di โ๐ implicitamente definito dalle
(20.6.9). Detto sottospazio, in virtรน dell'ortogonalitร della matrice ๐,
ha certamente dimensione ๐. Inoltre ci si rende facilmente conto del
fatto che se il vettore ๐ฟ viene riferito a una qualsiasi base di detto
350 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
sottospazio le variabili aleatorie componenti di ๐ฟ rispetto a detta ba-
se sarebbero congiuntamente gaussiane.
Esempio 20.2
Si determini la densitร di probabilitร del terzo ordine di un segnale
gaussiano a media nulla e la cui funzione di autocovarianza รจ:
๐(๐) = cos (2๐๐
๐)
valutata negli istanti ๐ก1 = 0, ๐ก2 = ๐/4 e ๐ก3 = ๐/2.
La matrice di covarianza vale:
๐ด = [1 0 โ10 1 0โ1 0 1
]
Essa รจ singolare ed ha rango 2.
Per determinare la varietร lineare sulla quale la ps 1 s 2 s 3
(x1, x
2,x
3) ri-
sulta diversa da zero occorre individuare una matrice ๐ che diagonalizza
la . Detta matrice ha per righe gli autoversori di .
Lโequazione che fornisce gli autovalori come รจ noto รจ:
|๐ด โ ๐๐ผ| โก ๐(๐ โ 1)(๐ โ 2) = 0
le cui soluzioni sono:
๐1 = 0, ๐2 = 1, ๐3 = 2;
I corrispondenti autovettori normalizzati sono:
๐1 =1
โ2[101] , ๐2 = [
010] , ๐3 =
1
โ2[10โ1]
scegliendo come matrice T:
๐ =
[ โ
1
โ20
1
โ20 1 01
โ20
1
โ2]
Risulta:
๐๐๐ด๐ = [2 0 00 1 00 0 0
]
La varietร lineare su cui la ps 1 s 2 s 3
(x1, x
2,x
3) risulta diversa da zero รจ
allora definita dalla:
CAPITOLO - 20 โ Segnali Gaussiani - 351
๐๐โ๐๐ ๐ = ๐;
[ 1
โ201
โ2] ๐
๐ = ๐; ๐1 + ๐3 = ๐
nel caso in esame la matrice Tr รจ data dalle prime due colonne di T,
๐ฌ๐โ1 = [
1
20
0 1
]
si ha:
๐ฅ๐๐๐๐ฌ๐โ1๐๐
๐๐ = ๐๐
[ 1
40 โ
1
40 1 0
โ1
40
1
4 ]
๐ =๐ฅ12
4+ ๐ฅ2
2 โ๐ฅ1๐ฅ32
+๐ฅ32
4
=(๐ฅ1 + ๐ฅ3)
2
4+ ๐ฅ2
2
la ps 1 s 2 s 3
quindi in base alla (20.6.7) รจ data da:
๐๐ 1๐ 2๐ 3(๐ฅ) =1
4๐๐[(๐ฅ1โ๐ฅ3)
2
4+๐ฅ2
2]๐ฟ(๐ฅ1 + ๐ฅ3) =
1
4๐๐(๐ฅ1
2+๐ฅ22)๐ฟ(๐ฅ1 + ๐ฅ3)
Densitร di probabilitร del secondo ordine e con-20.7 - dizionali.
Nel caso di un vettore aleatorio ๐ฟ gaussiano bidimensionale
denotando con
๐11 = (๐1 โ๐1)2 = ๐1
2;
๐22 = (๐2 โ๐2)2 = ๐2
2;
๐12 = ๐21 = (๐1 โ๐1)(๐2 โ๐2)
(20.7.1)
gli elementi della matrice di covarianza, si puo scrivere:
๐ดโ1 =1
๐12๐2
2 โ ๐12๐21[๐22 โ๐12
โ๐21 ๐12 ] (20.7.2)
Di conseguenza la densitร di probabilitร vale:
๐๐ฟ(๐) =๐โ๐22(๐ฅ1โ๐1)
2โ(๐12+๐21)(๐ฅ1โ๐1)(๐ฅ2โ๐2)+๐12(๐ฅ2โ๐2)
2
2(๐12๐22โ๐12๐21)
2๐โ๐12๐2
2 โ ๐12๐21 (20.7.3)
Di norma la precedente si esprime in termini del coefficiente
di correlazione:
352 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
๐ =๐12๐1๐2
=๐21๐1๐2
(20.7.4)
che, in virtรน della definitezza positiva della ๐ด, soddisfa la limitazione
|๐| โค 1.
Risulta allora:
๐๐ 1๐ 2(๐ฅ1, ๐ฅ2)
=๐โ
1
2(1โ๐2)[(๐ฅ1โ๐1)
2
๐12 โ
2๐
๐1๐2(๐ฅ1โ๐1)(๐ฅ2โ๐2)+
(๐ฅ2โ๐2)2
๐22 ]
2๐๐1๐2โ1 โ ๐2
(20.7.5)
Nel piano (๐ฅ1, ๐ฅ2) i luoghi a ๐๐ 1๐ 2 = cost sono rappresentati da
una famiglia dโellissi (|๐| โค 1) concentriche di centro (๐1, ๐2) di
equazioni:
(๐ฅ1 โ๐1)2
๐12 โ
2๐
๐1๐2(๐ฅ1 โ๐1)(๐ฅ2 โ๐2) +
(๐ฅ2 โ๐2)2
๐22
= cost (20.7.6)
Le densitร di probabilitร marginali ๐๐ 1(๐ฅ1) e ๐๐ 2(๐ฅ2) valgono
rispettivamente:
๐๐ 1(๐ฅ1) =1
โ2๐๐12๐โ(๐ฅ1โ๐1)
2
2๐12
;
๐๐ 2(๐ฅ2) =1
โ2๐๐22๐โ(๐ 2โ๐2)
2
2๐22;
(20.7.7)
come si deduce facilmente applicando le regole di marginalizzazione
dedotte precedentemente in questo Capitolo
ร interessante notare che se ๐ = 0, la matrice di covarianza รจ
diagonale, in questo caso evidentemente risulta:
๐๐ 1๐ 2(๐ฅ1, ๐ฅ2) = ๐๐ 1(๐ฅ1)๐๐ 2(๐ฅ2) (20.7.8)
Ciรฒ significa che se risulta ๐(๐ก1, ๐ก2) = 0, le variabili aleatorie ๐ 1 =
๐ (๐ก1) e ๐ 2 = ๐ (๐ก2), estratte da un segnale gaussiano, sono statistica-
mente indipendenti.
Dalle relazioni:
๐๐ 1๐ 2(๐ฅ1, ๐ฅ2) = ๐๐ 1(๐ฅ1)๐๐ 2|๐ 2(๐ฅ2, ๐ฅ1)
= ๐๐ 2(๐ฅ2)๐๐ 1|๐ 2(๐ฅ1, ๐ฅ2) (20.7.9)
si possono dedurre le densitร di probabilitร condizionate:
CAPITOLO - 20 โ Segnali Gaussiani - 353
๐๐ 1|๐ 2(๐ฅ1, ๐ฅ2) =๐โ
1
2๐12(1โ๐2)
[๐ฅ1โ๐1โ๐๐1๐2
(๐ฅ2โ๐2)]2
๐1โ2๐(1 โ ๐2)
(20.7.10)
e
๐๐ 2|๐ 1(๐ฅ2, ๐ฅ1) =๐โ
1
2๐22(1โ๐2)
[๐ฅ2โ๐2โ๐๐2๐1
(๐ฅ1โ๐1)]2
๐2โ2๐(1 โ ๐2)
(20.7.11)
che come si riconosce facilmente, sono due gaussiane rispettivamen-
te caratterizzate dai valori medi ๐1 +๐๐1
๐2(๐ 2 โ๐2), ๐2 +
๐๐2
๐1(๐ 1 โ
๐1) e dalle varianze ๐12(1 โ ๐2), ๐2
2(1 โ ๐2).
Trasformazioni lineari di segnali gaussiani. 20.8 -
Sia
๐ฟ = [๐1 ๐2 โฆ ๐๐]๐ (20.8.1)
un vettore le cui componenti siano variabili aleatorie gaussiane, tali
cioรจ che la loro densitร di probabilitร congiunta sia espressa da una
relazione del tipo della (20.2.16). Se si applica al vettore ๐ฟ una tra-
sformazione lineare del tipo:
๐ = ๐๐ฟ (20.8.2)
essendo ๐ una matrice ๐ ร ๐ รจ facile riconoscere che anche il vettore
aleatorio ๐ cosรฌ ottenuto ha componenti congiuntamente gaussiane.
Infatti detta ๐น๐(๐) la funzione caratteristica del vettore ๐ รจ
๐น๐(๐) = ๐๐๐๐๐ = ๐๐๐
๐๐๐ = ๐๐(๐๐๐)๐๐ = ๐น๐ฟ(๐
๐๐) (20.8.3)
Ricordando la (20.2.15) si verifica facilmente che la funzione
caratteristica associata ad un vettore di variabili gaussiane vale:
๐น๐ฟ(๐) = ๐๐๐๐๐ฟ = ๐๐๐
๐๐๐ฟ๐๐๐๐(๐ฟโ๐๐ฟ) = ๐๐๐
๐๐๐ฟโ1
2๐๐๐ด๐ฟ๐ (20.8.4)
avendo denotato con ๐๐ฟ il vettore dei valori medi:
๐๐ฟ = [๐1 ๐2 โฆ ๐๐ ]๐ (20.8.5)
e con ๐ด๐ฟ la matrice di covarianza. Tenendo conto delle (20.8.2) e
(20.8.4) la (20.8.3) diviene:
๐น๐(๐) = ๐น๐ฟ(๐๐๐) = ๐๐๐
๐๐๐๐ฟโ1
2๐๐(๐ป๐ด๐ฟ๐
๐)๐ (20.8.6)
354 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
che confrontata con la (20.8.4) consente di concludere che il vettore
๐ ha componenti congiuntamente gaussiane caratterizzate da un vet-
tore di valori medi ๐๐ e da una matrice di autocovarianza ๐ด๐ dati ri-
spettivamente dalle:
a) ๐๐ = ๐๐๐ฟ
(20.8.7) b) ๐ด๐ = ๐๐ด๐ฟ๐
๐
Le considerazioni sin qui svolte possono essere estese al caso
di segnali aleatori legati da trasformazioni lineari del tipo:
๐ฆ(๐ก, ํ) = โซ โ(๐ก, ๐)๐ฅ(๐, ํ)๐๐โ
โโ
(20.8.8)
dove โ(๐ก, ๐) denota la risposta della trasformazione ad una delta di
Dirac centrata allโistante ๐.
La (20.8.8) si potrebbe anche interpretare come una distribu-
zione definita su un opportuno spazio di funzioni di prova cui devo-
no appartenere le manifestazioni del segnale ๐ฅ(๐, ํ).
Anche in questo caso si puรฒ dimostrare che, se ๐ฅ(๐, ํ) รจ un
processo gaussiano, tale รจ anche ๐ฆ(๐ก, ํ). Limitandosi a fornirne una
giustificazione intuitiva , si consideri il caso in cui โ(๐ก, ๐) rappresenta
una funzione regolare.
Suddividendo il dominio dโintegrazione nella (20.8.8) in inter-
valli disgiunti di ampiezza ๐ฅ, l'integrale puรฒ essere calcolato mediante
la:
๐ฆ(๐ก, ํ) = lim๐โโ๐ฅโ0
๐ฅ โ โ(๐ก, ๐๐ฅ)๐ฅ(๐๐ฅ, ํ)
๐
๐=โ๐
(20.8.9)
Valutando la precedente in ๐ก = ๐๐ฅ si ottiene:
๐ฆ(๐๐ฅ, ํ) = lim๐โโ๐ฅโ0
๐ฅ โ โ(๐๐ฅ, ๐๐ฅ)๐ฅ(๐๐ฅ, ํ)
๐
๐=โ๐
(20.8.10)
L'argomento del limite puรฒ essere interpretato, per fissati ๐ e
๐ฅ, come la componente ๐-esima ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ = โ โ(๐๐ฅ, ๐๐ฅ)๐ฅ(๐๐ฅ, ํ)๐
๐=โ๐ di un
vettore aleatorio ottenuto dal prodotto tra una matrice ๐ il cui gene-
rico elemento รจ โ(๐๐ฅ, ๐๐ฅ) e un 2๐ + 1 vettore aleatorio gaussiano la
cui ๐-esima componente vale ๐ฅ(๐๐ฅ, ํ). ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ รจ pertanto, indipendente-
CAPITOLO - 20 โ Segnali Gaussiani - 355
mente dai valori di ๐ e ๐ฅ, una variabile aleatoria gaussiana e tale resta
passando al limite per ๐ โ โ e ๐ฅ โ 0.
Essendo ๐ฆ(๐ก, ํ) gaussiano, la sua densitร di probabilitร a qua-
lunque ordine dipende soltanto dal valor medio e dalla funzione di
autocovarianza.
Dalla (20.8.8), prendendo il valore medio statistico di ambo i
membri, si ha:
๐๐ฆ(๐ก) = ๐ฆ(๐ก, ํ) = โซ โ(๐ก, ๐)๐ฅ(๐, ํ) ๐๐โ
โโ
= โซ โ(๐ก, ๐)๐๐ฅ(๐)๐๐โ
โโ
(20.8.11)
dove con ๐๐ฅ(๐ก) si รจ indicato il valore medio del segnale ๐ฅ(๐ก, ํ).
La funzione di covarianza vale:
๐๐ฆ(๐ก1, ๐ก2) = (๐ฆ(๐ก1, ํ) โ ๐๐ฆ(๐ก1))(๐ฆ(๐ก2, ํ) โ ๐๐ฆ(๐ก2))
= ๐ธ {โซ ๐(๐ก1, ๐1)(๐ฅ(๐1, ํ) โ ๐๐ฅ(๐1))๐๐1
โ
โโ
โซ โ(๐ก2, ๐2)(๐ฅ(๐2, ํ)โ
โโ
โ๐๐ฅ(๐2))๐๐2}
= โซ โซ ๐ธ{[๐ฅ(๐1, ํ) โ ๐๐ฅ(๐1)][๐ฅ(๐2, ํ)โ
โโ
โ
โโ
โ๐๐ฅ(๐2)]}โ(๐ก1, ๐1)๐(๐ก2, ๐2)๐๐1๐๐2
= โซ โซ ๐๐ฅ(๐1, ๐2)โ(๐ก1, ๐1)โ(๐ก2, ๐2)๐๐1๐๐2
โ
โโ
โ
โโ
(20.8.12)
avendo denotato con ๐๐ฅ(๐ก1, ๐ก2) la funzione di autocovarianza di
๐ฅ(๐ก, ํ).
Esempio 20.3
Si determini la densitร di probabilitร del secondo ordine del segnale
๐ฆ(๐ก, ํ) =1
๐โซ ๐ฅ(๐, ํ)๐๐๐ก+๐
๐ก
valutata negli istanti t1=0 e t
2=T essendo x( t , ) un segnale gaussiano,
stazionario, a valor medio nullo e funzione dโautocorrelazione t1=0
RX()=()
Se la media di x( t , ) รจ nulla lo รจ anche quella di y( t , ) .
La funzione dโautocorrelazione di y( t , ) vale
๐ ๐ฆ(๐ก1, ๐ก2) =1
๐2โซ โซ ๐ฟ(๐2 โ ๐1)๐๐1๐๐2
๐ก2+๐
๐ก2
๐ก1+๐
๐ก1
=1
๐2โซ โ (
๐1 โ ๐ก2๐
โ1
2)๐๐1
๐ก1+๐
๐ก1
356 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
essendo, come รจ facile verificare:
โซ ๐ฟ(๐ฅ โ ๐ฅ0)๐๐ฅ๐ฝ
๐ผ
= {1; ๐ฅ โ [๐ผ, ๐ฝ]
0; ๐ฅ โ [๐ผ, ๐ฝ]=โ๐ฝโ๐ผ (
๐ฅ
๐ฝ โ ๐ผโ1
2)
Si ha pertanto, ponendo t2 t
1:
๐๐ฆ(๐) = ๐ ๐ฆ(๐) =1
๐2โซ โ (
๐
๐)๐๐
๐
2+๐
๐
2โ๐
=1
๐(1 โ
|๐|
๐)โ (
๐
๐)
La matrice di covarianza negli istanti dโinteresse vale:
๐ด = [
1
๐0
01
๐
]
la densitร di probabilitร richiesta vale quindi:
๐๐ฆ(0),๐ฆ(๐)(๐, ๐) =๐
2๐๐โ
๐(๐2+๐2)
2
Statistica della somma di variabili aleatorie indi-20.9 - pendenti.
Sia {๐๐} una sequenza di variabili aleatorie statisticamente in-
dipendenti. Si assuma per semplicitร che la generica variabile ๐๐ della
sequenza abbia valor medio nullo e si indichi la sua varianza con ๐๐2.
Ci si propone di determinare la densitร di probabilitร della va-
riabile aleatoria ๐ definita come segue:
๐ = lim๐โโ
โ ๐๐๐๐=1
๐ค๐= lim
๐โโโ
๐๐๐ค๐
๐
๐=1= lim
๐โโ๐๐ (20.9.1)
dove:
๐ค๐ = โโ ๐๐2
๐
๐=1 (20.9.2)
sotto l'ipotesi che risulti:
lim๐โโ
๐น๐๐ค๐= 0 (20.9.3)
dove
๐น๐ = โโ|๐๐3|
๐
๐=1
3
(20.9.4)
CAPITOLO - 20 โ Segnali Gaussiani - 357
Sia ๐น๐(๐ข) la funzione caratteristica della variabile aleatoria ๐๐ la
funzione caratteristica ๐น๐๐(๐ข) della variabile aleatoria ๐๐, definita
dalla (20.9.1), in virtรน della supposta statistica indipendenza delle ๐๐,
vale:
๐น๐๐(๐ข) =โ๐น๐ (๐ข
๐ค๐)
๐
๐=1
โ log[๐น๐๐(๐ข)] = โlog(๐น๐ (๐ข
๐ค๐))
๐
๐=1
(20.9.5)
Dโaltra parte puรฒ scriversi:
๐น๐ (๐ข
๐ค๐) = ๐
๐๐ข
๐ค๐๐๐
= 1 + ๐๐๐๐ข
๐ค๐โ๐๐2
2(๐ข
๐ค๐)2
โ ๐๐๐๐
๐ค๐๐๐ ๐๐
3
6(๐ข
๐ค๐)3
= 1 โ๐๐2๐ข2
2๐ค๐2+โ๐๐
๐๐
๐ค๐๐๐๐๐
3
๐ข3
6๐ค๐3
(20.9.6)
dove ๐ รจ un opportuno reale che dipende da ๐ข e da ๐๐.
Si consideri adesso il logaritmo naturale della ๐น๐ (๐ข
๐ค๐):
log (๐น๐ (
๐ข
๐ค๐)) = log(1 โ
๐๐2๐ข2
2๐ค๐2+โ๐๐
๐๐
๐ค๐๐๐๐๐
3
๐ข3
6๐ค๐3
)
= log[1 + ๐ง]
(20.9.7)
avendo posto:
๐ง = โ๐๐2๐ข2
2๐ค๐2+โ๐๐
๐๐
๐ค๐๐๐๐๐
3
๐ข3
6๐ค๐3
(20.9.8)
In virtรน della (20.9.3) si puรฒ affermare che esiste ๐ tale che:
๐ > ๐ โ๐น๐๐ค๐< 1 (20.9.9)
inoltre si puรฒ dimostrare (vedi Esempio 16.2) che se una variabile
aleatoria ammette momento assoluto del terzo ordine vale la disu-
guaglianza:
โ|๐2| 2โค โ|๐3| 3
(20.9.10)
Ciรฒ premesso vale la catena di disuguaglianze:
358 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
|๐ง| = |โ๐๐2๐ข2
2๐ค๐2+โ๐๐
๐๐
๐ค๐๐๐๐๐
3
๐ข3
6๐ค๐3
| โค๐๐2๐ข2
2๐ค๐2+ |๐๐๐
๐ค๐๐๐๐๐
3
๐ข3
6๐ค๐3
|
โค๐๐2๐ข2
2๐ค๐2+|๐๐
3| |๐ข3|
6๐ค๐3
=|๐๐
3| 2
3
๐ค๐2(๐๐2๐ข2
2|๐๐3| 2
3
+|๐๐
3| 1
3|๐ข3|
6๐ค๐)
โค๐น๐2
๐ค๐2(๐๐2๐ข2
2|๐๐3| 2
3
+|๐๐
3| 1
3|๐ข3|
6๐ค๐) โค
๐น๐2
๐ค๐2(๐ข2
2+|๐ข3|
6)
(20.9.11)
Si osservi che al tendere di ๐ ad infinito, indipendentemente
dal valore di ๐ข, l'ultimo membro della precedente tende a zero; per ๐
sufficientemente grande รจ quindi legittimo scrivere:
log (๐น๐ (๐ข
๐ค๐)) = log(1 โ
๐๐2๐ข2
2๐ค๐2+โ๐๐
๐๐
๐ค๐๐๐๐๐
3
๐ข3
6๐ค๐3
)
โ โ๐๐2๐ข2
2๐ค๐2+โ๐๐
๐๐
๐ค๐๐๐๐๐
3
๐ข3
6๐ค๐3
(20.9.12)
quindi per la (20.9.5):
lim๐โโ
log(๐น๐๐(๐ข)) โ lim๐โโ
โ(โ๐๐2๐ข2
2๐ค๐2+โ๐๐
๐๐
๐ค๐๐๐๐๐
3
๐ข3
6๐ค๐3
)
๐
๐=1
= โ๐ข2
2+ lim
๐โโโ
โ๐๐๐๐
๐ค๐๐๐๐๐
3
๐ข3
6๐ค๐3
๐
๐=1
= โ๐ข2
2
(20.9.13)
che corrisponde alla funzione caratteristica di una variabile gaussiana
a media nulla e varianza unitaria.
CAPITOLO - 21
CARATTERIZZAZIONE ENERGETICA DI SEGNALI A
TEMPO CONTINUO
Funzione di autocorrelazione. 21.1 -
Sia ๐ (๐ก, ํ), un segnale aleatorio, reale o complesso a tempo
continuo. La sua funzione di autocorrelazione ๐ ๐ (๐ก1, ๐ก2) รจ definita
dalla seguente media statistica del secondo ordine:
๐ ๐ (๐ก1, ๐ก2) = ๐ โ(๐ก1)๐ (๐ก2) (21.1.1)
Si osservi che, in un fissato istante di tempo, la parte reale e la
parte immaginaria di un segnale aleatorio complesso costituiscono
due variabili aleatorie definite su uno stesso esperimento casuale. Il
loro comportamento รจ quindi descritto dalla densitร di probabilitร
congiunta ad esse associata.
Analogo ragionamento conduce alla definizione delle densitร
di probabilitร dโordine superiore di un segnale aleatorio complesso.
In particolare se ๐ (๐ก, ํ) = ๐ผ(๐ก, ํ) + ๐๐ฝ(๐ก, ํ), con ๐ผ(๐ก, ํ) e ๐ฝ(๐ก, ํ) se-
gnali reali, la (21.1.1) si scrive:
๐ ๐ (๐ก1, ๐ก2)
= โซ(๐ฅ1 โ ๐๐ฆ1)(๐ฅ2 + ๐๐ฆ2)๐๐ผ1๐ฝ1๐ผ2๐ฝ2(๐ฅ1, ๐ฆ1, ๐ฅ2, ๐ฆ2)๐๐ฅ1๐๐ฆ1๐๐ฅ2๐๐ฆ2โ4
(21.1.2)
La funzione di autocorrelazione come si evince dalla (21.1.1)
รจ, in generale funzione delle due variabili ๐ก1 e ๐ก2. Se il segnale รจ sta-
zionario, almeno in senso lato, essa dipende in effetti dalla differenza
๐ = ๐ก2 โ ๐ก1.
Per chiarire il significato da attribuire alla funzione di autocor-
relazione si prenda in considerazione, per semplicitร , un segnale sta-
zionario reale. Sia ๐ฅ๐ la variazione che subisce la generica manifesta-
zione di ๐ (๐ก, ํ) in un intervallo di ampiezza ๐:
๐ฅ๐ = ๐ (๐ก + ๐) โ ๐ (๐ก) (21.1.3)
Il suo valore quadratico medio vale:
360 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
๐ฅ๐2 = [๐ (๐ก + ๐) โ ๐ (๐ก)]2 = 2๐ 2(๐ก) โ 2๐ (๐ก)๐ (๐ก + ๐)
= 2(๐ ๐ (0) โ ๐ ๐ (๐)) (21.1.4)
La quantitร ๐ฅ๐2 รจ quindi tanto piรน piccola quanto meno ๐ ๐ (๐) differi-
sce da ๐ ๐ (0). Ciรฒ, in altri termini, significa che tanto piรน lentamente
varia la funzione ๐ ๐ (๐), tanto piรน elevata รจ la probabilitร che sce-
gliendo a caso una manifestazione del processo questa presenti va-
riazioni lente al variare del tempo.
Inoltre รจ interessante notare che se per un certo valore di ๐0
avviene che ๐ ๐ (๐0) = ๐ ๐ (0) se ne deduce che [๐ (๐ก) โ ๐ (๐ก + ๐0)]2 = 0
il che significa che la generica manifestazione del segnale assume,
con probabilitร uno, valori uguali in istanti di tempo che distano ๐0 o
suoi multipli interi.
Ponendo nella (21.1.1) ๐ก1 = ๐ก2 = ๐ก si ottiene:
๐ ๐ (๐ก, ๐ก) = |๐ (๐ก)|2 โฅ 0 (21.1.5)
Nel punto (๐ก, ๐ก) la ๐ ๐ (๐ก1, ๐ก2) sโidentifica cioรจ con il secondo momen-
to assoluto del primo ordine del segnale ๐ (๐ก, ํ), che รจ reale e non ne-
gativo. In particolare, per segnali reali lโautocorrelazione calcolata in
(๐ก, ๐ก) si riduce al valore quadratico medio del segnale in ๐ก.
Nel caso di segnali stazionari si ha:
๐ ๐ (0) = ๐ (๐ก)๐ โ(๐ก) = |๐ (๐ก)|2 โฅ 0 (21.1.6)
inoltre:
๐ ๐ (๐ก2, ๐ก1) = ๐ โ(๐ก2)๐ (๐ก1) = (๐ โ(๐ก1)๐ (๐ก2) )
โ= ๐ ๐
โ(๐ก1, ๐ก2) (21.1.7)
che, nel caso di segnali stazionari almeno in senso lato, si semplifica
nella:
๐ ๐ (โ๐) = ๐ ๐ โ(๐) (21.1.8)
Se il segnale, oltre che stazionario, รจ anche reale risulta:
๐ ๐ (โ๐) = ๐ ๐ (๐) (21.1.9)
la ๐ ๐ (๐) in questo caso รจ quindi una funzione reale pari del suo argo-
mento.
Lโautocorrelazione รจ una funzione semidefinita positiva. Ciรฒ
significa che per ogni ๐(๐ก) a quadrato sommabile deve aversi:
โฌ ๐(๐ฅ)๐ ๐ (๐ฅ, ๐ฆ)๐โ(๐ฆ)๐๐ฅ๐๐ฆ
โ2โฅ 0 (21.1.10)
CAPITOLO - 21 โ Caratterizzazione Energetica dei Segnali a Tempo Continuo - 361
Per dimostrarlo รจ sufficiente prendere in considerazione la va-
riabile aleatoria ๐ ๐ cosรฌ definita:
๐๐(ํ) = โซ ๐(๐ก)๐ โ(๐ก, ํ)๐๐กโ
โโ
(21.1.11)
Il cui primo momento assoluto del secondo ordine vale:
|๐๐|2 = |โซ ๐(๐ก)๐ โ(๐ก)๐๐ก
โ
โโ
|2
= (โซ ๐(๐ฅ)๐ โ(๐ฅ)๐๐ฅโ
โโ
) (โซ ๐(๐ฆ)๐ โ (๐ฆ)๐๐ฆโ
โโ
)
โ
= โฌ ๐(๐ฅ)๐ โ(๐ฅ)๐ (๐ฆ) ๐โ(๐ฆ)๐๐ฅ๐๐ฆโ2
=โฌ ๐(๐ฅ)๐ ๐ (๐ฅ, ๐ฆ)๐โ(๐ฆ)๐๐ฅ๐๐ฆ
โ2โฅ 0
(21.1.12)
Inoltre, interpretando la (21.1.11) come una distribuzione, po-
nendo:
๐(๐ก) = ๐๐ฟ(๐ก โ ๐ก1) + ๐๐ฟ(๐ก โ ๐ก2) (21.1.13)
con ๐ e ๐ complessi arbitrari, dalla (21.1.12), si ottiene:
0
โคโฌ (๐๐ฟ(๐ฅ โ ๐ก1) + ๐๐ฟ(๐ฅ โ ๐ก2))๐ ๐ (๐ฆ, ๐ฅ)(๐โ๐ฟ(๐ฆ โ ๐ก1)
โ2
+ ๐โ๐ฟ(๐ฆ โ ๐ก2))๐๐ฅ๐๐ฆ= |๐|2๐ ๐ (๐ก1, ๐ก1) + ๐๐
โ๐ ๐ (๐ก2, ๐ก1) + ๐โ๐๐ ๐ (๐ก1, ๐ก2)
+ |๐|2๐ ๐ (๐ก2, ๐ก2)
(21.1.14)
Lโultimo membro della precedente รจ pertanto una forma quadratica
semidefinita positiva nelle variabili ๐ e ๐, il determinante ad essa as-
sociato รจ quindi non negativo. Vale pertanto la disuguaglianza:
0 โค ๐ ๐ (๐ก1, ๐ก1)๐ ๐ (๐ก2, ๐ก2) โ ๐ ๐ (๐ก1, ๐ก2)๐ ๐ (๐ก2, ๐ก1) (21.1.15)
dalla quale, tenendo conto della (21.1.7) si deduce:
|๐ ๐ (๐ก1, ๐ก2)| โค โ๐ ๐ (๐ก1, ๐ก1)โ๐ ๐ (๐ก2, ๐ก2) (21.1.16)
che, se il segnale รจ stazionario assume la forma:
|๐ ๐ (๐)| โค ๐ ๐ (0) (21.1.17)
Dalla (21.1.8) e (21.1.6) si evince che la funzione di autocorre-
lazione di un segnale stazionario almeno in senso lato gode di sim-
362 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
metria hermitiana e che il suo modulo presenta all'origine un massi-
mo assoluto.
Le proprietร della funzione di autocorrelazione sono riassunte
nella Tabella 21.1
Tabella 21.1
Proprietร della funzione di autocorrelazione per segnali a tempo continuo
Segnali stazionari in senso lato Segnali non stazionari
๐ ๐ (๐) = ๐ โ (๐ก)๐ (๐ก + ๐) ๐ ๐ (๐ก1, ๐ก2) = ๐ โ (๐ก1)๐ (๐ก2)
๐ ๐ (0) = |๐ (๐ก)|2 ๐ ๐ (๐ก, ๐ก) = |๐ (๐ก)|2
๐ ๐ (โ๐) = ๐ ๐ โ(๐) ๐ ๐ (๐ก1, ๐ก2) = ๐ ๐
โ(๐ก2, ๐ก1)
|๐ ๐ (๐)| โค ๐ ๐ (0) |๐ ๐ (๐ก1, ๐ก2)| โค โ๐ ๐ (๐ก1, ๐ก1)โ๐ ๐ (๐ก2, ๐ก2)
โฌ ๐(๐ฅ)๐ ๐ (๐ฆ โ ๐ฅ)๐ โ (๐ฆ)๐๐ฅ๐๐ฆโ2
โฅ 0 โฌ ๐(๐ฅ)๐ ๐ (๐ฅ, ๐ฆ)๐ โ (๐ฆ)๐๐ฅ๐๐ฆโ2
โฅ 0
Al posto dellโautocorrelazione รจ utile, in certi casi, introdurre
altre funzioni che ad essa sono sostanzialmente equivalenti, e che si
ottengono per normalizzazione o centratura. Si possono a tale scopo
definire:
la funzione di autocorrelazione normalizzata
๐๐ (๐ก1, ๐ก2) =๐ ๐ (๐ก1, ๐ก2)
โ๐ ๐ (๐ก1, ๐ก1)โ๐ ๐ (๐ก2, ๐ก2)
(21.1.18)
la funzione di autocovarianza
๐๐ (๐ก1, ๐ก2) = [๐ (๐ก1) โ ๐๐ (๐ก1)]
โ[๐ (๐ก2) โ ๐๐ (๐ก2)]
= ๐ ๐ (๐ก1, ๐ก2) โ ๐๐ โ(๐ก1)๐๐ (๐ก2)
(21.1.19)
dove ๐๐ (๐ก) denota il valore medio del segnale valutato allโistante ๐ก.
la funzione di autocovarianza normalizzata, o coefficiente di au-tocorrelazione
๐๐ (๐ก1, ๐ก2) =๐๐ (๐ก1, ๐ก2)
โ๐๐ (๐ก1, ๐ก1)โ๐๐ (๐ก2, ๐ก2)
(21.1.20)
E' da notare che la condizione (21.1.16) comporta:
|๐๐ (๐ก1, ๐ก2)| โค 1; |๐๐ (๐ก1, ๐ก2)|
โค โ๐๐ (๐ก1, ๐ก1)โ๐๐ (๐ก2, ๐ก2); |๐๐ (๐ก1, ๐ก2)| โค 1 (21.1.21)
Nel caso di segnali stazionari, le (21.1.18), (21.1.19), (21.1.20)
assumono rispettivamente la forma:
๐๐ (๐) =๐ ๐ (๐)
๐ ๐ (0) (21.1.22)
CAPITOLO - 21 โ Caratterizzazione Energetica dei Segnali a Tempo Continuo - 363
๐๐ (๐) = [๐ (๐ก) โ ๐๐ ]โ[๐ (๐ก + ๐) โ ๐๐ ] = ๐ ๐ (๐) โ |๐๐ |
2 (21.1.23)
๐๐ (๐) =๐๐ (๐)
๐๐ (0) (21.1.24)
e le (21.1.21) si semplificano come segue:
|๐๐ (๐)| โค 1; |๐๐ (๐)| โค ๐๐ (0); |๐๐ (๐)| โค 1 (21.1.25)
Densitร spettrale di potenza. 21.2 -
Analogamente al caso dei segnali determinati, รจ utile caratte-
rizzare un segnale aleatorio nel dominio della frequenza. A tal fine รจ
opportuno associare, quando possibile, al segnale aleatorio la sua
densitร spettrale di potenza.
Sia dato un processo aleatorio tale che quasi tutte le sue mani-
festazioni abbiano potenza specifica finita, cioรจ tale che l'insieme del-
le manifestazioni di potenza non limitata costituisca un evento di
probabilitร nulla. ร naturale associare ad un tale processo una densitร
spettrale di potenza che sia la media statistica di quelle delle sue ma-
nifestazioni.
Piรน precisamente, sia ๐ (๐ก, ํ) una generica manifestazione di un
segnale aleatorio, comโรจ noto dall'Analisi dei Segnali Determinati, la
densitร spettrale di potenza ๐ค๐ (๐, ํ) della manifestazione ๐ (๐ก, ํ) รจ da-
ta da:
๐ค๐ (๐, ํ) = lim๐โโ
|๐๐(๐, ํ)|2
๐= lim
๐โโ
๐๐(๐, ํ)๐๐โ(๐, ํ)
๐ (21.2.1)
dove ๐๐(๐, ํ) รจ la trasformata di Fourier del segnale troncato
๐ ๐(๐ก, ํ) = ๐ (๐ก, ํ)โ (๐ก
๐) (21.2.2)
cioรจ:
๐๐(๐, ํ) = โซ ๐ ๐(๐ก, ํ)๐โ๐2๐๐๐ก๐๐ก
โ
โโ
= โซ ๐ (๐ก, ํ)๐โ๐2๐๐๐ก๐๐ก
๐
2
โ๐
2
(21.2.3)
La densitร spettrale di potenza ๐๐ (๐) di un segnale aleatorio si
ottiene effettuando la media statistica della quantitร ๐ค๐ (๐, ํ) cioรจ si
pone:
๐๐ (๐) = ๐ค๐ (๐, ํ) (21.2.4)
364 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
Introducendo la (21.2.1) e la (21.2.3) nella (21.2.4) si ottiene:
๐๐ (๐)
= lim๐โโ
1
๐โซ โซ ๐ โ (๐ก1, ํ)๐ (๐ก2, ํ)๐
โ๐2๐๐(๐ก2โ๐ก1)๐๐ก1๐๐ก2
๐
2
โ๐
2
๐
2
โ๐
2
= lim๐โโ
1
๐โซ โซ ๐ โ (๐ก1, ํ)๐ (๐ก2, ํ) ๐โ๐2๐๐(๐ก2โ๐ก1)๐๐ก1๐๐ก2
๐
2
โ๐
2
๐
2
โ๐
2
(21.2.5)
che, ricordando la definizione della funzione di autocorrelazione, si
puรฒ ancora scrivere:
๐๐ (๐) = lim๐โโ
1
๐โซ โซ ๐ ๐ (๐ก1, ๐ก2)๐
โ๐2๐๐(๐ก2โ๐ก1)๐๐ก1๐๐ก2
๐
2
โ๐
2
๐
2
โ๐
2
(21.2.6)
L'antitrasformata della Ws ( f ) allora vale:
โซ ๐๐ (๐)๐๐2๐๐๐๐๐
โ
โโ
= lim๐โโ
1
๐โซ โซ ๐ ๐ (๐ก1, ๐ก2) (โซ ๐โ๐2๐(๐ก2โ๐ก1โ๐)๐๐๐
โ
โโ
)๐๐ก1๐๐ก2
๐
2
โ๐
2
๐
2
โ๐
2
(21.2.7)
poichรจ risulta:
โซ ๐๐2๐๐(๐ก2โ๐ก1โ๐)๐๐โ
โโ
= ๐ฟ(๐ก2 โ ๐ก1 โ ๐) (21.2.8)
la (21.2.7) fornisce ancora:
โซ ๐๐ (๐)๐๐2๐๐๐๐๐
โ
โโ
= lim๐โโ
1
๐โซ ๐ ๐ (๐ก, ๐ก + ๐)๐๐ก
๐
2
โ๐
2
(21.2.9)
Se il segnale รจ stazionario, essendo
lim๐โโ
1
๐โซ ๐ ๐ (๐ก, ๐ก + ๐)๐๐ก
๐
2
โ๐
2
= ๐ ๐ (๐) (21.2.10)
si evince:
๐๐ (๐) = โฑ[๐ ๐ (๐)] (21.2.11)
ร interessante notare che se la densitร spettrale di potenza di
un segnale aleatorio stazionario รจ nulla le sue manifestazioni hanno,
con probabilitร 1, energia finita. Unโulteriore conseguenza dell'annul-
larsi della densitร spettrale di potenza รจ, in virtรน della (21.2.11) l'an-
CAPITOLO - 21 โ Caratterizzazione Energetica dei Segnali a Tempo Continuo - 365
nullarsi della funzione di autocorrelazione. Se ne conclude che un se-
gnale aleatorio ad energia finita, fatta eccezione per il caso banale di
segnale nullo con probabilitร 1 , non puรฒ essere stazionario.
Si osservi che se il segnale ๐ (๐ก, ํ) รจ ergodico in autocorrelazio-
ne, si ha:
๐ ๐ (๐) = ๐พ๐ (๐) (21.2.12)
quindi risulta:
๐๐ (๐) = โฑ[๐ ๐ (๐)] = โฑ[๐พ๐ (๐)] (21.2.13)
la ๐๐ (๐) puรฒ cioรจ calcolarsi sulla base della funzione di autocorrela-
zione in media temporale di una qualsiasi manifestazione del segnale.
Se il segnale non รจ stazionario, se si pone:
๐๐ (๐) = lim๐โโ
1
๐โซ ๐ ๐ (๐ก, ๐ก + ๐)๐๐ก
๐
2
โ๐
2
(21.2.14)
la (21.2.9) fornisce:
๐๐ (๐) = โฑ[๐๐ (๐)] (21.2.15)
La densitร spettrale di potenza di un segnale aleatorio si puรฒ, in altre
parole, calcolare eseguendo la trasformata di Fourier della media
temporale definita dalla (21.2.14).
ร interessante notare che la simmetria hermitiana (21.1.7) di
cui gode lโautocorrelazione di un segnale, condizione che, come giร
visto, รจ indipendente dalla natura reale o complessa del segnale, si
traduce per la ๐๐ (๐) nella condizione ๐๐ (๐) = ๐๐ โ(โ๐) che a sua volta
comporta che la ๐๐ (๐) รจ una funzione reale del suo argomento. Se,
in particolare il segnale aleatorio รจ reale la ๐(๐) รจ anche una funzio-
ne pari.
Esempio 21.1
Lโautocorrelazione della derivata s '( t , ) di un segnale รจ data dalla:
๐ ๐ โฒ(๐) = ๐ โฒโ(๐ก)๐ โฒ(๐ก + ๐)
Se il segnale รจ stazionario si ha:
๐ ๐ โฒ(๐) = limโโ0
๐ โ(๐ก + โ) โ ๐ โ(๐ก)
โโ limโโ0
๐ (๐ก + ๐ + โ) โ ๐ (๐ก + ๐)
โ
= limโโ0
๐ โ(๐ก)๐ (๐ก + ๐ + โ) โ ๐ โ(๐ก + โ)๐ (๐ก + ๐) โ ๐ โ(๐ก)๐ (๐ก + ๐ + โ) + ๐ โ(๐ก)๐ (๐ก + ๐)
โ2
= limโโ0
1
โ(๐ ๐ (๐) โ ๐ ๐ (๐ โ โ)
โโ๐ ๐ (๐ + โ) โ ๐ ๐ (๐)
โ) = โ
๐2๐ ๐ (๐)
๐๐2
366 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
essendo Rs() la funzione di autocorrelazione del segnale s( t , ) .
La densitร spettrale di potenza di s '( t , ) puรฒ essere espressa in ter-
mini della densitร spettrale del segnale di potenza di s( t , ) ; si ha:
๐๐ โฒ(๐) = โฑ [โ๐2๐ ๐ (๐)
๐๐2] = 4๐2๐2๐๐ (๐)
Caratterizzazione dei segnali nel dominio della 21.3 - frequenza.
Per fini che saranno chiari in seguito sโintroduce una funzione
๐บ๐ (๐1, ๐2) che esprime ammesso che esista, eventualmente anche nel
senso delle distribuzioni, la trasformata di Fourier bidimensionale
della funzione di autocorrelazione del segnale ๐ (๐ก, ํ), e se ne elenca-
no le principali proprietร . Si pone:
๐บ๐ (๐1, ๐2) = โฌ ๐ ๐ (๐ก1, ๐ก2)๐โ๐2๐(๐1๐ก1+๐2๐ก2)๐๐ก1๐๐ก2
โ2 (21.3.1)
Evidentemente risulta:
๐ ๐ (๐ก1, ๐ก2) = โฌ ๐บ๐ (๐1, ๐2)๐๐2๐(๐1๐ก1+๐2๐ก2)๐๐1๐๐2
โ2 (21.3.2)
La condizione di simmetria (21.1.7) comporta:
โฌ ๐บ๐ (๐1, ๐2)๐๐2๐(๐1๐ก1+๐2๐ก2)๐๐1๐๐2
โ2
= (โฌ ๐บ๐ (๐1, ๐2)๐๐2๐(๐2๐ก1+๐1๐ก2)๐๐1๐๐2
โ2)
โ
=โฌ ๐บ๐ โ(๐1, ๐2)๐
โ๐2๐(๐2๐ก1+๐1๐ก2)๐๐1๐๐2โ2
=โฌ ๐บ๐ โ(โ๐2, โ๐1)๐
๐2๐(๐1๐ก1+๐2๐ก2)๐๐1๐๐2โ2
(21.3.3)
da cui necessariamente discende:
๐บ๐ (๐1, ๐2) = ๐บ๐ โ(โ๐2, โ๐1) (21.3.4)
Ponendo nella (21.3.2) ๐ก1 = ๐ก2 = ๐ก si ottiene:
๐ ๐ (๐ก, ๐ก) = โฌ ๐บ๐ (๐1, ๐2)๐๐2๐(๐1+๐2)๐ก๐๐1๐๐2
โ2 (21.3.5)
Introducendo la trasformazione di variabili:
{๐1 + ๐2 = ๐;๐2 = ๐;
(21.3.6)
CAPITOLO - 21 โ Caratterizzazione Energetica dei Segnali a Tempo Continuo - 367
si puรฒ riscrivere:
๐ ๐ (๐ก, ๐ก) = โซ (โซ ๐บ๐ (๐ โ ๐, ๐)๐๐โ
โโ
) ๐๐2๐๐๐ก๐๐โ
โโ
(21.3.7)
Dunque nota ๐บ๐ (๐1, ๐2), il momento assoluto del secondo ordine
๐ ๐ (๐ก, ๐ก) si puรฒ ottenere effettuando l'antitrasformata monodimensio-
nale di Fourier della funzione:
๐๐ (๐) = โซ ๐บ๐ (๐ โ ๐, ๐)๐๐โ
โโ
(21.3.8)
Se in particolare il segnale รจ stazionario almeno in senso lato,
operando nella (21.3.1) la trasformazione di variabili ๐ก = ๐ก1, ๐ = ๐ก2 โ
๐ก1, si ha:
๐บ๐ (๐1, ๐2) = โฌ ๐ ๐ (๐ก2 โ ๐ก1)๐โ๐2๐(๐1๐ก1+๐2๐ก2)๐๐ก1๐๐ก2
โ2
=โฌ ๐ ๐ (๐)๐โ๐2๐[๐1๐ก+๐2(๐ก+๐)]๐๐๐๐ก
โ2
= โซ ๐ ๐ (๐)๐โ๐2๐๐2๐๐๐โซ ๐โ๐2๐(๐1+๐2)๐ก๐๐ก
โ
โโ
โ
โโ
= ๐๐ (๐2)๐ฟ(๐1 + ๐2)
(21.3.9)
Nella quale si รจ tenuto conto della (21.2.11) per dedurre lโultimo
membro.
Pertanto la ๐บ๐ (๐1, ๐2) di un segnale stazionario รจ nulla nel pia-
no (๐, ๐1, ๐2), eccezion fatta che sulla sua seconda bisettrice dove
presenta una singolaritร di tipo delta di Dirac il cui peso รจ dato dalla
sua densitร spettrale di potenza. Per un segnale stazionario quindi la
conoscenza della ๐๐ (๐) comporta tramite la (21.3.9) quella della
๐บ๐ (๐1, ๐2).
La (21.3.7) particolarizzata al caso di segnali stazionari almeno
in senso lato diventa:
๐ ๐ (0) = |๐ (๐ก, ํ)|2 = โฌ ๐๐ (๐)๐ฟ(๐)๐
๐2๐๐๐ก๐๐๐๐โ2
= โซ ๐๐ (๐)๐๐โ
โโ
(21.3.10)
la quale sta a significare che il momento assoluto del secondo ordine
di un segnale stazionario in senso lato, che per segnali reali coincide
con il valore quadratico medio, puรฒ essere calcolato integrando su
tutto l'asse reale la densitร spettrale di potenza.
368 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
Se nella (21.1.10) che esprime la semidefinitezza positiva della
funzione di autocorrelazione si sostituisce la (21.3.2) si ottiene:
0 โคโฌ ๐(๐ฅ)๐โ(๐ฆ) (โซ ๐บ๐ (๐1, ๐2)๐๐2๐(๐1๐ฅ+๐2๐ฆ)๐๐1๐๐2
โ2)๐๐ฅ๐๐ฆ
โ2
=โฌ ๐บ๐ (๐1 , ๐2) (โซ ๐(๐ฅ)๐๐2๐๐1๐ฅ๐๐ฅโ
โโ
โซ ๐โ(๐ฆ)๐๐2๐๐2๐ฆ๐๐ฆโ
โโ
)๐๐1๐๐2โ2
=โฌ ๐ท(โ๐1)๐ทโ(๐2)๐บ๐ (๐1, ๐2)๐๐1๐๐2
โ2
=โฌ ๐ท(๐1)๐ทโ(๐2)๐บ๐ (โ๐1, ๐2)๐๐1๐๐2
โ2
(21.3.11)
dove ๐ท(๐) indica la trasformata della funzione di prova ๐(๐ก).
La (21.3.11) comporta il fatto che la ๐บ๐ (โ๐1, ๐2) รจ una funzio-
ne semidefinita positiva.
Per segnali stazionari la ๐บ๐ (๐1, ๐2) assume la forma (21.3.9) In
questo caso la (21.3.11) puรฒ essere ulteriormente elaborata e forni-
sce:
0 โค โฌ ๐ท(โ๐1)๐ทโ(๐2)๐๐ (๐2)๐ฟ(๐1 + ๐2)๐๐1๐๐2
โ2
=โฌ ๐ท(๐1)๐ทโ(๐2)๐๐ (๐2)๐ฟ(๐2 โ ๐1)๐๐1๐๐2
โ2
= โซ |๐ท(๐2)|2๐๐ (๐2)๐๐2
โ
โโ
(21.3.12)
la quale, vista l'arbitrarietร della ๐(๐ก), e quindi anche della ๐ท(๐), im-
plica che la densitร spettrale di potenza di un segnale stazionario รจ
una funzione non negativa del suo argomento.
Le proprietร principali della ๐บ๐ (๐1, ๐2) e della ๐๐ (๐) sono rias-
sunte nella Tabella VII.2
Tabella 21.2
Proprietร della Gs ( f1, f2 ) e della Ws ( f )
Segnali non stazionari Segnali stazionari
๐บ(๐1, ๐2)
= โซ โซ ๐ (๐ก1, ๐ก2)๐โ๐2๐(๐1๐ก1+๐2๐ก2)๐๐ก1๐๐ก2
โ
โโ
โ
โโ
๐๐ (๐) = โซ ๐ (๐)๐โ๐2๐๐๐๐๐
โ
โโ
๐๐ (๐1, ๐2) = ๐๐ โ(โ๐2, โ๐1) ๐๐ (๐) = ๐๐
โ(๐) ๐บ๐ (โ๐1 , ๐2) รจ semidefinita positiva ๐๐ (๐) โฅ 0
๐ ๐ (๐ก, ๐ก)
= โซ (โซ ๐บ๐ (๐ โ ๐, ๐)๐๐โ
โโ
)๐๐2๐๐๐ก๐๐โ
โโ
๐ ๐ (0) = โซ ๐๐ (๐)๐๐
โ
โโ
Tenendo conto della (21.3.2) la (21.2.14) si puรฒ scrivere:
CAPITOLO - 21 โ Caratterizzazione Energetica dei Segnali a Tempo Continuo - 369
๐๐ (๐)
= lim๐โโ
1
๐โซ (โฌ ๐บ๐ (๐1, ๐2)๐
๐2๐๐2๐๐๐2๐(๐1+๐2)๐ก๐๐1๐๐2โ2
)๐๐ก
๐
2
โ๐
2
=โฌ ๐บ๐ (๐1, ๐2)๐๐2๐๐2๐ ( lim
๐โโ
1
๐โซ ๐๐2๐(๐1+๐2)๐ก๐๐ก
๐
2
โ๐
2
)๐๐1๐๐2โ2
(21.3.13)
risulta:
lim๐โโ
1
๐โซ ๐๐2๐(๐1+๐2)๐ก๐๐ก
๐
2
โ๐
2
= {
1; ๐1 + ๐2 = 0;
lim๐โโ
sin[๐(๐1 + ๐2)๐]
๐(๐1 + ๐2)๐= 0; ๐1 + ๐2 โ 0;
(21.3.14)
Si conclude che l'integrale (21.3.13) vale zero a meno che la ๐บ๐ (๐1, ๐2)
non presenti una singolaritร di tipo delta di Dirac lungo la retta di
equazione ๐1 + ๐2 = 0. Alla luce di questa considerazione รจ utile ri-
scrivere la ๐บ๐ (๐1, ๐2) nella forma:
๐บ๐ (๐1, ๐2) = ๐ค(๐1, ๐2) + ๐ท(๐2)๐ฟ(๐1 + ๐2) (21.3.15)
dove la ๐ค(๐1, ๐2) non presenta singolaritร lungo la seconda bisettrice.
Si osservi che รจ sempre possibile scrivere la ๐บ๐ (๐1, ๐2) nella forma
(21.3.15) Infatti, qualora essa non presenti singolaritร lungo la se-
conda bisettrice sarebbe sufficiente porre ๐ท(๐2) = 0 nel qual caso
ovviamente si avrebbe ๐ค(๐1, ๐2) = ๐บ๐ (๐1, ๐2). Sostituendo la (21.3.15)
nella (21.3.13), tenendo conto della (21.3.14) si ottiene:
๐๐ (๐)
= โฌ (๐ค(๐1, ๐2) + ๐ท(๐2)๐ฟ(๐1โ2
+ ๐2))๐๐2๐๐2๐ ( lim
๐โโ
1
๐โซ ๐๐2๐(๐1+๐2)๐ก๐๐ก
๐
2
โ๐
2
)๐๐1๐๐2
=โฌ ๐ท(๐2)๐ฟ(๐1 + ๐2)๐๐2๐๐2๐๐๐1๐๐2
โ2
= โซ ๐ท(๐2)๐๐2๐๐2๐๐๐2
โ
โโ
(21.3.16)
Confrontando la (21.3.13)con la (21.3.16) si conclude che:
๐ท(๐) = ๐(๐) (21.3.17)
370 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
cioรจ la densita spettrale di potenza di un segnale aleatorio รจ data an-
che dalla funzione peso della eventuale singolaritร di tipo delta di Di-
rac che la ๐บ๐ (๐1, ๐2) presenta lungo la seconda bisettrice del piano
(๐, ๐1, ๐2). Qualora detta singolaritร non dovesse presentarsi il pro-
cesso in questione sarebbe ad energia finita.
In Conclusione la densitร spettrale di potenza di un processo
aleatorio puรฒ alternativamente essere calcolata per mezzo della
(21.2.4), ovvero tramite la (21.2.15), o ancora effettuando la trasfor-
mata di Fourier bidimensionale della funzione di autocorrelazione,
ed isolando in quest'ultima il peso della delta di Dirac che essa pre-
senta lungo la seconda bisettrice del piano (๐, ๐1, ๐2).
Esempio 21.2
Sia
๐ (๐ก, ํ) = ๐(๐ก, ํ) โ ๐ฟ(๐ก โ ๐๐)
โ
๐=โโ
un segnale aleatorio in cui a ( t , ) rappresenta un segnale stazionario ca-
ratterizzato dalla funzione di autocorrelazione data da Ra() .
La funzione di autocorrelazione di s( t , ) vale:
๐ ๐ (๐ก1, ๐ก2) = ๐ (๐ก1, ํ)๐ (๐ก2, ํ)
= ๐(๐ก1, ํ)๐(๐ก2, ํ) โ โ ๐ฟ(๐ก1 โ๐๐)๐ฟ(๐ก2 โ ๐๐)
โ
๐=โโ
โ
๐=โโ
= ๐ ๐(๐ก2 โ ๐ก1) โ โ ๐ฟ(๐ก1 โ๐๐)๐ฟ(๐ก2 โ ๐๐)
โ
๐=โโ
โ
๐=โโ
Il segnale s ( t , ) non รจ pertanto stazionario, poichรฉ la sua funzione di
autocorrelazione dipende da entrambe le variabili t1 e t
2. Risulta:
๐บ๐ (๐1, ๐2)
= โฌ ๐ ๐(๐ก2 โ ๐ก1) โ ๐ฟ(๐ก1 โ๐๐)๐ฟ(๐ก2 โ ๐๐)๐โ๐2๐(๐1๐ก1+๐2๐ก2)
โ
๐,๐=โโ
๐๐ก1๐๐ก2โ2
= โ โฌ ๐ ๐(๐ก2 โ ๐ก1)๐ฟ(๐ก1 โ๐๐)๐ฟ(๐ก2 โ ๐๐)๐โ๐2๐(๐1๐ก1+๐2๐ก2)๐๐ก1๐๐ก2
โ2
โ
๐,๐=โโ
= โ ๐ ๐[(๐ โ ๐)๐]๐โ๐2๐(๐๐1+๐๐2)๐โ
๐,๐=โโ
CAPITOLO - 21 โ Caratterizzazione Energetica dei Segnali a Tempo Continuo - 371
Segnali ciclostazionari. 21.4 -
Una classe particolarmente importante di segnali aleatori รจ co-
stituita dai cosiddetti segnali ciclostazionari.
Al fine di definire tale classe si osservi che nella funzione di
autocorrelazione ๐ (๐ก1, ๐ก2) si puรฒ sempre porre:
{๐ก1 = ๐ก; ๐ก2 โ ๐ก1 = ๐;
(21.4.1)
La sostituzione appena definita comporta ๐ (๐ก1, ๐ก2) = ๐ (๐ก, ๐ก + ๐).
L'autocorrelazione puรฒ cioรจ essere pensata come funzione ๐ (๐ก, ๐) di
uno solo dei due istanti di osservazione e dalla differenza tra essi.
Un segnale si dice ciclostazionario se la sua autocorrelazione
espressa nella forma ๐ ๐ (๐ก, ๐) รจ periodica di periodo ๐ rispetto a ๐ก.
L'autocorrelazione di un segnale ciclostazionario puรฒ quindi
essere espansa in serie di Fourier, fermo restando che i coefficienti
che compariranno nella serie dipenderanno da ๐. Si potrร cioรจ scrive-
re:
๐ ๐ (๐ก, ๐) = โ ๐ ๐(๐)๐โ๐2๐
๐๐ก
๐
โ
๐=โโ
(21.4.2)
Espressa in termini delle variabili ๐ก1 e ๐ก2 la precedente diven-ta:
๐ ๐ (๐ก1, ๐ก2) = โ ๐ ๐(๐ก2 โ ๐ก1)๐โ๐2๐
๐๐ก1๐
โ
๐=โโ
(21.4.3)
risulta quindi:
๐บ๐ (๐1, ๐2)
= โ โฌ ๐ ๐(๐ก2 โ ๐ก1)๐โ๐2๐[(๐1โ
๐
๐)๐ก1+๐2๐ก2]๐๐ก1๐๐ก2
R2
โ
๐=โโ
(21.4.4)
che, operando nuovamente la trasformazione (21.4.1), diventa:
๐บ๐ (๐1, ๐2) = โ โฌ ๐ ๐(๐)๐โ๐2๐[(๐1+๐2โ
๐
๐)๐ก+๐2๐]๐๐ก๐๐
โ2
โ
๐=โโ
= โ โซ ๐ ๐(๐)๐โ๐2๐๐2๐๐๐
โ
โโ
โซ ๐โ๐2๐(๐1+๐2โ๐
๐)๐ก๐๐ก
โ
โโ
โ
๐=โโ
= โซ ๐ ๐(๐)๐โ๐2๐๐2๐๐๐
โ
โโ
โ ๐ฟ(๐1 + ๐2 โ๐
๐)
โ
๐=โโ
(21.4.5)
372 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
La quale, detta ๐๐(๐) la trasformata di ๐ ๐(๐) si puรฒ ancora scrivere:
๐บ๐ (๐1, ๐2) = โ ๐๐(๐2)๐ฟ (๐1 + ๐2 โ๐
๐)
โ
๐=โโ
(21.4.6)
La precedente
consente di concludere
che la ๐บ๐ (๐1, ๐2) di un
segnale ciclostazionario
รจ nulla nel piano
(๐, ๐1, ๐2) eccetto che
sulle rette ๐1 + ๐2 =๐
๐
che appartengono al fa-
scio improprio definito
dalla seconda bisettrice
(vedi Fig. 21.1) sulle
quali sono localizzate
delle singolaritร di tipo
delta di Dirac ciascuna
pesata dalla corrispon-
dente ๐๐(๐).
ร interessante notare che un segnale stazionario puรฒ essere pen-
sato come un particolare segnale ciclostazionario per il quale l'unico
coefficiente ๐ ๐(๐) non nullo รจ quello di indice zero. Ci si rende fa-
cilmente conto che in questo caso la (21.4.6) e la (21.1.9) si identifi-
cano.
Esempio 21.3
Si consideri il seguente segnale aleatorio
๐ (๐ก, ๐, ๐) = โ ๐๐โ (๐ก โ ๐๐0 โ ๐
๐0)
โ
๐=โโ
dove ๐ = {๐๐} รจ una sequenza di variabili casuali che assumono valori
appartenenti allโinsieme {โ1,1} e un ritardo uniformemente distribuito
in [-๐0/2, ๐0/2] indipendente dalla sequenza ๐.
Si supponga inoltre che le probabilitร con cui ๐๐ assume il valore 1 o
โ1 siano uguali e a loro volta indipendenti dal valore assunto da ogni al-
tro simbolo ๐๐ con ๐ โ ๐.
Fig. 21.1 - Localizzazione delle singolaritร per se-
gnali ciclostazionari.
CAPITOLO - 21 โ Caratterizzazione Energetica dei Segnali a Tempo Continuo - 373
Una possibile mani-
festazione del segnale si
presenta allora comโรจ
indicato in Fig.E 21.1.
Al fine di calcolare
la densitร spettrale di
potenza del segnale
๐ (๐ก, ๐, ๐) si procede alla
valutazione della funzione di autocorrelazione
๐ ๐ (๐ก, ๐ก + ๐) = ๐ (๐, ๐, ๐ก)๐ (๐, ๐, ๐ก + ๐
= โโ๐๐๐๐ โ โ (๐ก โ ๐๐0 โ ๐
๐0)โ (
๐ก + ๐ โ ๐๐0 โ ๐
๐0)
๐๐
Risulta:
๐๐๐๐ = {๏ฟฝ๏ฟฝ๐ โ ๐ธ{๐๐|๐๐} = ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ = 0; ๐ โ ๐
๐๐2 = 1; ๐ = ๐
poichรฉ:
๏ฟฝ๏ฟฝ๐ = (1)1
2+ (โ1)
1
2= 0
e
๐๐2 = (1)
1
2+ (1)
1
2= 1
Di conseguenza si ha:
๐ ๐ (๐ก, ๐ก + ๐) =โโ (๐ก โ ๐๐0 โ ๐
๐0)โ (
๐ก + ๐ โ ๐๐0 โ ๐
๐0)
๐
Per calcolare la media sopra indicata, basta osservare che il prodotto
tra i due impulsi rettangolari che costituisce il generico addendo della
sommatoria da luogo ad un risultato non nullo solo quando รจ soddisfatta
una delle due disequazioni:
{๐ก โ ๐๐0 +
๐02+ ๐ โฅ ๐ก โ ๐๐0 โ
๐02;
๐ก โ ๐๐0 โ๐02+ ๐ โค ๐ก โ ๐๐0 +
๐02;
cioรจ quando | .
Inoltre ci si rende conto che, ferma restante questโultima limitazione,
fissato un istante ๐ก esiste in corrispondenza ad esso un unico valore dell'
indice ๐ cui corrisponde un addendo diverso da zero. Detto ๐๐ก tale valore
si puรฒ cioรฉ scrivere:
Fig.E 21.1
374 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
๐ ๐ (๐ก, ๐ก + ๐) =โ (๐ก โ ๐๐ก๐0 โ ๐
๐0)โ (
๐ก + ๐ โ ๐๐ก๐0 โ ๐
๐0)
= โซ โ (๐ก โ ๐๐ก๐0 โ ๐ฅ
๐0)โ (
๐ก + ๐ โ ๐๐ก๐0 โ ๐ฅ
๐0) ๐๐(๐ฅ)
โ
โโ
๐๐ฅ
=1
๐0โซ โ(
๐ฅโฒ
๐0)โ(
๐ฅโฒ + ๐
๐0)๐๐ฅโฒ
โ
โโ
Da cui facilmente si ottiene:
๐ ๐ (๐ก, ๐ก + ๐) = (1 โ|๐|
๐0)โ (
๐
2๐0) = ๐ ๐ (๐)
La funzione di autocorrelazione dipende quindi esclusivamente da , os-
servando inoltre che il segnale ha valore medio nullo si conclude che il
segnale in questione รจ stazionario in senso lato, quindi la sua densitร
spettrale di potenza รจ data dalla trasformata di Fourier della sua funzione
di autocorrelazione.
In definitiva quindi risulta:
๐๐ (๐) = โฑ[๐ ๐ (๐)] = ๐0sinc2(๐๐0)
In alternativa la densitร spettrale di potenza del segnale s( t ,a ,) puรฒ
essere calcolata direttamente sulla base della sua definizione (21.2.4).
Ponendo T=(๐ + 1)T0 il segnale troncato assume la forma:
๐ ๐(๐, ๐, ๐ก) = โ ๐๐โ (๐ก โ ๐๐0 โ ๐
๐0)
๐
๐=โ๐
Ad esso corrisponde la seguente trasformata di Fourier:
๐๐(๐, ๐, ๐) = ๐0sinc(๐๐0) โ ๐๐๐โ๐2๐๐(๐๐0+๐)
๐
๐=โ๐
Si ha quindi:
|๐๐(๐, ๐, ๐)|2 = ๐0
2sinc2(๐๐0) โ โ โ ๐๐๐๐๐โ๐2๐(๐โ๐)๐๐0
๐
๐=โ๐
๐
๐=โ๐
= ๐02sinc2(๐๐0) โ โ โ ๐๐๐๐ ๐โ๐2๐(๐โ๐)๐๐0
๐
๐=โ๐
๐
๐=โ๐
= ๐02sinc2(๐๐0)(2๐ + 1)
Pertanto:
๐๐ (๐) = lim๐โโ
|๐๐(๐,๐)|2
๐= lim
๐โโ
2๐+1
2๐๐0+๐0๐02sinc2(๐๐0) = ๐0sinc
2(๐๐0)
CAPITOLO - 21 โ Caratterizzazione Energetica dei Segnali a Tempo Continuo - 375
Esempio 21.4
Si determini la densitร spettrale del segnale:
๐ฃ(๐ก, ํ) = ๐ (๐ก, ํ) cos(2๐๐0๐ก)
dove s( t , ) รจ un segnale stazionario in senso lato caratterizzato da una
funzione di autocorrelazione e da una densitร spettrale di potenza date da
Ra() e W
a( f) rispettivamente.
La funzione di autocorrelazione di ( t , ) vale:
๐ ๐ฃ(๐ก1, ๐ก2) = ๐ฃ(๐ก1)๐ฃ(๐ก2) = ๐ (๐ก1)๐ (๐ก2) cos(2๐๐0๐ก1)cos(2๐๐0๐ก2)
=1
2๐ ๐ (๐ก2 โ ๐ก1) โ {cos[2๐๐0(๐ก1 โ ๐ก2)] + cos[2๐๐0(๐ก1 + ๐ก2)]}
Il segnale ( t , ) รจ pertanto non stazionario dato che la sua funzione
di autocorrelazione non dipende soltanto dalla differenza tra t e t
.
La trasformata bidimensionale di Fourier di R( t
t
) vale:
๐บ๐ฃ(๐1, ๐2) = โฌ ๐ ๐ฃ(๐ก1, ๐ก2)๐โ๐2๐(๐1๐ก1+๐2๐ก2)๐๐ก1๐๐ก2
โ2
=1
2โฌ ๐ ๐ (๐ก2โ2
โ ๐ก1){cos[2๐๐0(๐ก1 โ ๐ก2)] + cos[2๐๐0(๐ก1 + ๐ก2)]}๐โ๐2๐(๐1๐ก1+๐2๐ก2)๐๐ก1๐๐ก2
Introducendo la trasformazione di variabili:
{๐ก1 =
1
2(๐ฅ + ๐ฆ);
๐ก2 =1
2(๐ฅ โ ๐ฆ);
la G( f
f
) diventa:
๐บ๐ฃ(๐1, ๐2) =1
4โฌ ๐ ๐ (๐ฆ)(cos2๐๐0๐ฆ + cos2๐๐0๐ฅ)๐
โ๐๐[(๐1+๐2)๐ฅ+(๐1โ๐2)๐ฆ]๐๐ฅ๐๐ฆ๐ 2
dove si รจ anche tenuto conto che risulta R(y)=R(-y) e che
๐๐ก1๐๐ก2 = |๐(๐ก1,๐ก2)
๐(๐ฅ,๐ฆ)|๐๐ฅ๐๐ฆ = |
๐๐ก1
๐๐ฅ
๐๐ก1
๐๐ฆ
๐๐ก2
๐๐ฅ
๐๐ก2
๐๐ฆ
|๐๐ฅ๐๐ฆ = |
1
2
1
21
2โ1
2
|๐๐ฅ๐๐ฆ =1
2๐๐ฅ๐๐ฆ
Si ottiene allora:
๐บ๐ฃ(๐1, ๐2) =1
4โซ ๐โ๐๐(๐1+๐2)๐ฅ๐๐ฅโ
โโ โซ ๐ ๐ (๐ฆ)cos(2๐๐0๐ฆ)๐โ๐๐(๐1โ๐2)๐ฆ๐๐ฆ
โ
โโ+
โซ cos(2๐๐0๐ฅ)๐โ๐๐(๐1+๐2)๐ฅ๐๐ฅ
โ
โโ โซ ๐ ๐ (๐ฆ)๐โ๐๐(๐1โ๐2)๐ฆ๐๐ฆ
โ
โโ=
1
8[๐๐ (
๐1โ๐2
2โ ๐0) +
๐๐ (๐1โ๐2
2+ ๐0)] โ ๐ฟ(
๐1+๐2
2) + +
1
8๐๐ (
๐1โ๐2
2) โ [๐ฟ(
๐1+๐2
2โ ๐0) + ๐ฟ(
๐1+๐2
2โ ๐0)]
Tenendo conto che risulta:
376 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
๐ฟ (๐ก
๐) = ๐ โ ๐ฟ(๐ก)
la precedente si puรฒ ancora riscrivere:
๐บ๐ฃ(๐1, ๐2) =1
4[๐๐ (
๐1โ๐2
2โ ๐0) +๐๐ (
๐1โ๐2
2+ ๐0)] โ ๐ฟ(๐1 โ ๐2) +
1
4๐๐ (
๐1โ๐2
2) โ
[๐ฟ(๐1 + ๐2 โ 2๐0) + ๐ฟ(๐1 + ๐2 + 2๐0)]
dalla quale si deduce che ๐บ๐(๐1, ๐2) รจ una distribuzione localizzata nei
punti del piano (๐, ๐1, ๐2) appartenenti alle rette di equazione:
๐1 + ๐2 = ๐๐0๐ โ {โ2,0,2}
La densitร spettrale di potenza del segnale vale:
๐๐ฃ(๐) =1
4[๐๐ (๐ โ ๐0) +๐๐ (๐ + ๐0)]
che ovviamente poteva anche calcolarsi direttamente come trasformata di
Fourier del valor medio temporale della funzione ๐ (๐ก, ๐ก + ๐):
๐๐ฃ(๐) = lim๐โโ
1
2๐โซ ๐ ๐ฃ(๐ก, ๐ก + ๐)๐๐ก๐
โ๐
=1
2๐ ๐ (๐)cos(2๐๐0๐)
Segnali distinti. Funzioni di correlazione e densitร 21.5 - spettrale incrociate.
Le considerazioni svolte nei precedenti paragrafi possono es-
sere facilmente estese al caso di n segnali aleatori tempo continui
๐ ๐(๐ก, ํ). In quel che segue รจ conveniente introdurre il vettore
๐ (๐ก, ํ) = [
๐ 1(๐ก, ํ)
๐ 2(๐ก, ํ)โฆ
๐ ๐(๐ก, ํ)
] (21.5.1)
si definisce matrice di correlazione la matrice:
๐ (๐ก1, ๐ก2) = ๐ โ(๐ก1, ํ)๐
๐(๐ก2, ํ)
=
[ ๐ 1โ(๐ก1, ํ)๐ 1(๐ก2, ํ) ๐ 1
โ(๐ก1, ํ)๐ 2(๐ก2, ํ) โฆ ๐ 1โ(๐ก1, ํ)๐ ๐(๐ก2, ํ)
๐ 2โ(๐ก1, ํ)๐ 1(๐ก2, ํ) ๐ 2
โ(๐ก1, ํ)๐ 2(๐ก2, ํ) โฆ ๐ 2โ(๐ก1, ํ)๐ ๐(๐ก2, ํ)
โฆ โฆ โฆ โฆ๐ ๐โ(๐ก1, ํ)๐ 1(๐ก2, ํ) ๐ ๐
โ(๐ก1, ํ)๐ 2(๐ก2, ํ) โฆ ๐ ๐โ(๐ก1, ํ)๐ ๐(๐ก2, ํ) ]
(21.5.2)
Essa dipende dalle variabili ๐ก1 e ๐ก2 a meno che i segnali non siano
congiuntamente stazionari. In questo caso la matrice di correlazione
dipende in effetti dalla differenza tra gli istanti di tempo e si ha:
๐ (๐) = ๐ โ(๐ก, ํ)๐ ๐(๐ก + ๐, ํ) (21.5.3)
CAPITOLO - 21 โ Caratterizzazione Energetica dei Segnali a Tempo Continuo - 377
Con riferimento alla (21.5.2) gli elementi della diagonale prin-
cipale della matrice di correlazione sono le autocorrelazioni dei se-
gnali ๐ ๐(๐ก, ํ), mentre gli altri elementi rappresentano le mutue correla-
zioni o correlazioni incrociate:
Risulta ovviamente:
๐ ๐๐(๐ก2, ๐ก1) = ๐ ๐โ(๐ก2)๐ ๐(๐ก1) = [๐ ๐
โ(๐ก1)๐ ๐(๐ก2) ]โ = ๐ ๐๐โ (๐ก1, ๐ก2) (21.5.4)
Se i segnali ๐ ๐(๐ก, ํ) sono stazionari la precedente diventa:
๐ ๐๐(๐) = ๐ ๐๐โ (โ๐) (21.5.5)
Si consideri adesso il seguente segnale
๐ฅ(๐ก, ํ) = โ๐๐๐ ๐(๐ก, ํ)
๐
๐=1
= ๐๐ โ ๐ (๐ก, ํ) (21.5.6)
in cui ๐ rappresenta un arbitrario vettore di ๐ costanti complesse. La
funzione di autocorrelazione di ๐ฅ(๐ก, ํ) vale:
๐ ๐ฅ(๐ก1, ๐ก2) = ๐ฅ(๐ก1, ํ)๐ฅ(๐ก2, ํ) = ๐โ ๐ (๐ก1, ํ)๐ (๐ก2, ํ) ๐= ๐โ ๐ (๐ก1, ๐ก2)๐ (21.5.7)
dove ๐โ denota il trasposto coniugato del vettore ๐.
In ๐ก1 = ๐ก2 = ๐ก risulta
0 โค |๐ฅ(๐ก, ํ)|2 = ๐ ๐ฅ(๐ก, ๐ก) = ๐โ ๐ ๐ (๐ก, ๐ก)๐ (21.5.8)
dalla quale si evince che la matrice di correlazione รจ semidefinita po-
sitiva in ogni punto della prima bisettrice del piano (๐, ๐ก1, ๐ก2).
Le considerazioni sin qui svolte si possono applicare al se-
guente vettore aleatorio:
๐ฆ(๐ก, ํ) = [๐ 1(๐ก, ํ)
๐ 2(๐ก + ๐, ํ)] (21.5.9)
il quale per un assegnato valore di ๐ dipende solo dall'istante ๐ก. La
matrice di correlazione calcolata in ๐ = 0 vale:
๐ ๐ฆ(๐ก, ๐ก) = ๐ฆโ(๐ก, ํ)๐ฆ๐(๐ก, ํ)
= [๐ 11(๐ก, ๐ก) ๐ 12(๐ก, ๐ก + ๐)
๐ 21(๐ก + ๐, ๐ก) ๐ 22(๐ก + ๐, ๐ก + ๐)] (21.5.10)
Il fatto che ๐ ๐ฆ(๐ก, ๐ก) รจ semidefinta positiva consente di scrivere la di-
suguaglianza:
378 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
๐ 11(๐ก, ๐ก)๐ 22(๐ก + ๐, ๐ก + ๐) โ ๐ 12(๐ก, ๐ก + ๐)๐ 21(๐ก + ๐, ๐ก)โฅ 0 (21.5.11)
dalla quale, ricordando la (21.5.4) e ponendo ๐ก1 = ๐ก; ๐ก2 = ๐ก + ๐ si de-
duce:
|๐ 12(๐ก1, ๐ก2)| โค โ๐ 11(๐ก1, ๐ก1) โ ๐ 22(๐ก2, ๐ก2) (21.5.12)
Se ๐ 1(๐ก, ํ) ed ๐ 2(๐ก + ๐, ํ) sono congiuntamente stazionari, la
precedente si riduce alla:
|๐ 12(๐)| โค โ๐ 11(0) โ ๐ 22(0) (21.5.13)
In certi casi, รจ preferibile caratterizzare ๐ segnali aleatori me-
diante la matrice di covarianza cosรฌ definita:
๐(๐ก1, ๐ก2) = [๐ (๐ก1, ํ) โ ๐(๐ก1)]
โ[๐ (๐ก2, ํ) โ ๐(๐ก2)]๐
= ๐ (๐ก1, ๐ก2) โ ๐โ(๐ก1)๐
๐(๐ก2) (21.5.14)
dove ๐(๐ก) รจ il vettore dei valori medi dei segnali valutato nell'istante
๐ก:
Due segnali aleatori ๐ 1(๐ก, ํ) e ๐ 2(๐ก, ํ) si dicono ortogonali se la
loro funzione di mutua correlazione รจ nulla, incorrelati se รจ nulla la lo-
ro funzione di mutua covarianza.
ร da notare che se i segnali sono statisticamente indipendenti
sono anche incorrelati dal momento che risulta:
๐ 12(๐ก1, ๐ก2) = ๐1โ(๐ก1)๐2(๐ก2) (21.5.15)
Non รจ vero il contrario cioรฉ se due segnali sono incorrelati non รจ
detto che essi siano anche statisticamente indipendenti.
Trasformando secondo Fourier ciascun elemento della matri-
ce di correlazione associata ad un vettore ๐(๐ก, ํ) di segnali aleatori si
ottiene la matrice:
๐ฎ(๐1, ๐2) = [
๐บ11(๐1, ๐2) ๐บ12(๐1, ๐2) โฆ ๐บ1๐(๐1, ๐2)
๐บ21(๐1, ๐2) ๐บ22(๐1, ๐2) โฆ ๐บ2๐(๐1, ๐2)โฆ โฆ โฆ โฆ
๐บ๐1(๐1, ๐2) ๐บ๐2(๐1, ๐2) โฆ ๐บ๐๐(๐1, ๐2)
] (21.5.16)
il cui generico elemento vale:
๐บ๐๐(๐1, ๐2) = โซ โซ ๐ ๐๐(๐ก1, ๐ก2)๐โ๐2๐(๐1๐ก1+๐2๐ก2)๐๐ก1๐๐ก2
โ
โโ
โ
โโ
(21.5.17)
CAPITOLO - 21 โ Caratterizzazione Energetica dei Segnali a Tempo Continuo - 379
Se i segnali ๐ ๐(๐ก, ํ), ๐ ๐(๐ก, ํ) sono congiuntamente stazionari la
(21.5.16) puรฒ porsi nella forma:
๐บ๐๐(๐1, ๐2) = โซ โซ ๐ ๐๐(๐)๐
โ๐2๐[(๐1+๐2)๐ก+๐2๐]๐๐ก๐๐โ
โโ
โ
โโ
= ๐๐๐(๐2)๐ฟ(๐1 + ๐2) (21.5.18)
dove ๐๐๐(๐) rappresenta la trasformata di Fourier di ๐ ๐๐(๐).
Se i segnali che compongono il vettore ๐(๐ก, ํ) sono congiun-
tamente stazionari la matrice ๐ฎ(๐1, ๐2) puรฒ essere quindi immediata-
mente dedotta dalla seguente matrice delle densitร spettrali:
๐พ(๐) = [
๐11(๐) ๐12(๐) โฆ ๐1๐(๐)
๐21(๐) ๐22(๐) โฆ ๐2๐(๐)โฆ โฆ โฆ โฆ
๐๐1(๐) ๐๐2(๐) โฆ ๐๐๐(๐)
] (21.5.19)
La condizione ((21.5.4)) comporta:
๐บ๐๐(๐1, ๐2) = ๐บ๐๐โ (โ๐2, โ๐1) (21.5.20)
che nel caso di segnali congiuntamente stazionari si traduce nella
๐๐๐(๐) = ๐๐๐โ(๐) (21.5.21)
Dalla quale si evince che ๐พ(๐) รจ una matrice hermitiana.
CAPITOLO - 22
CARATTERIZZAZIONE ENERGETICA DI SEGNALI
ALEATORI A TEMPO DISCRETO
Funzione di autocorrelazione. 22.1 -
La caratterizzazione energetica dei segnali a tempo discreto non pre-
senta sostanziali differenze rispetto a quanto visto a proposito dei se-
gnali a tempo continuo, le uniche variazioni sono ovviamente quelle
connesse alla sostituzione della variabile continua ๐ก con la variabile
discreta ๐๐.
Sia ๐ (๐๐, ํ) (โโ < ๐ < โ) un segnale aleatorio, in generale com-
plesso, a tempo discreto. La sua funzione di autocorrelazione รจ defi-
nita dalla:
๐ ๐ (๐๐, ๐๐) = ๐ โ(๐๐)๐ (๐๐) (22.1.1)
la quale, in generale, dipende dagli indici ๐ e ๐.
Se il segnale รจ stazionario (almeno in senso lato) lโautocorrelazione
dipende in effetti dalla differenza ๐๐ = (๐ โ ๐)๐ tra gli istanti di os-
servazione ed รจ quindi funzione di una sola variabile, o meglio da un
solo indice, data la natura discreta del segnale.
Ponendo nella (22.1.1) ๐ = ๐ si ottiene:
๐ ๐ (๐๐, ๐๐) = |๐ (๐๐)|2 โฅ 0 (22.1.2)
che, nel caso di segnali stazionari, si riduce alla:
๐ ๐ (0) = |๐ (๐๐)|2 โฅ 0 (22.1.3)
Dalla (22.1.1) si deduce facilmente:
๐ ๐ (๐๐,๐๐) = ๐
โ(๐๐)๐ (๐๐) = ๐ โ(๐๐)๐ (๐๐) โ
= ๐ ๐ โ(๐๐, ๐๐) (22.1.4)
Che per segnali reali comporta:
๐ ๐ (๐๐,๐๐) = ๐ ๐ (๐๐, ๐๐) (22.1.5)
Nel caso di segnali stazionari la (22.1.3) diviene:
382 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
๐ ๐ (๐๐) = ๐ ๐ โ(โ๐๐) (22.1.6)
che se il segnale รจ anche reale, diventa:
๐ ๐ (๐๐) = ๐ ๐ (โ๐๐) (22.1.7)
Pertanto lโautocorrelazione di un segnale reale e stazionario almeno
in senso lato, รจ una funzione pari rispetto allโindice ๐.
Si consideri adesso una sequenza {๐(๐)}๐=โโโ generalmente com-
plessa a quadrato sommabile:
โ |๐(๐)|2โ
๐=โโ
< โ (22.1.8)
e si calcoli il secondo momento assoluto della variabile aleatoria:
๐ ๐ = โ ๐ โ(๐๐)๐(๐)
โ
๐=โโ
(22.1.9)
Si ha:
0 โค |๐ ๐|2 = โ โ ๐(๐)๐ โ(๐๐)๐ (๐๐) ๐โ(๐)
โ
๐=โโ
โ
๐=โโ
(22.1.10)
Ciรฒ significa che, qualunque sia la sequenza ๐(๐), รฉ soddisfatta la
condizione:
โ โ ๐(๐)๐ ๐ (๐๐, ๐๐)๐โ(๐)
โ
๐=โโ
โ
๐=โโ
โฅ 0 (22.1.11)
che si sintetizza affermando che lโautocorrelazione รจ una funzione
semidefinta positiva.
Denotando con ๐ฟ(๐) la sequenza definita dalla:
๐ฟ(๐) = {1; ๐ = 00; ๐ โ 0
(22.1.12)
si ponga:
๐(๐) = ๐ผ๐ฟ(๐ โ ๐) + ๐ฝ๐ฟ(๐ โ ๐) (22.1.13)
dove ๐ผ e ๐ฝ sono delle costanti complesse arbitrarie. Con questa scel-
ta della ๐(๐), la (22.1.11) fornisce:
CAPITOLO - 22 โ Caratterizzazione Energetica dei Segnali a Tempo Discreto - 383
|๐ผ|2๐ ๐ (๐๐,๐๐) + ๐ผ๐ฝ
โ๐ ๐ โ(๐๐, ๐๐) + ๐ผโ๐ฝ๐ ๐ (๐๐, ๐๐)
+ |๐ฝ|2๐ ๐ (๐๐, ๐๐) โฅ 0 (22.1.14)
che รจ una forma quadratica semidefinita positiva nelle variabili ๐ผ e ๐ฝ,
il che comporta:
|๐ ๐ (๐๐, ๐๐)| โค โ๐ ๐ (๐๐,๐๐)๐ ๐ (๐๐, ๐๐) (22.1.15)
nel caso di segnale stazionario la precedente si scrive:
|๐ ๐ (๐๐)| โค ๐ ๐ (0) (22.1.16)
Analogamente a quanto visto per i segnali a tempo continuo, il mo-
dulo dellโautocorrelazione di un segnale a tempo discreto stazionario
almeno in senso lato raggiunge il suo massimo assoluto nellโorigine.
Le proprietร dellโautocorrelazione sono riassunte nella Tabella 22.1.
Tabella 22.1
Proprietร della autocorrelazione per segnali a tempo discreto
Segnali stazionari Segnali non stazionari
๐ ๐ (๐๐) = ๐ โ(๐๐)๐ (๐๐ + ๐๐ ๐ ๐ (๐๐, ๐๐) = ๐ โ(๐๐)๐ (๐๐) ๐ ๐ (0) = |๐ (๐๐)|2 ๐ ๐ (๐๐, ๐๐) = |๐ (๐๐)|
2 ๐ ๐ (โ๐๐) = ๐ ๐
โ(๐๐) ๐ ๐ (๐๐,๐๐) = ๐ ๐ โ(๐๐, ๐๐)
|๐ ๐ (๐๐)| โค ๐ ๐ (0) |๐ ๐ (๐๐, ๐๐)|
โค โ๐ ๐ (๐๐,๐๐)๐ ๐ (๐๐, ๐๐)
โ โ ๐(๐)๐ ๐ ((๐ โ ๐)๐)๐โ(๐)
โ
๐=โโ
โ
๐=โโ
โฅ 0
โ โ ๐(๐)๐ ๐ (๐๐, ๐๐)๐โ(๐)
โ
๐=โโ
โ
๐=โโ
โฅ 0
Densitร spettrale di potenza. 22.2 -
La densitร spettrale di potenza ๐๐ (๐) per i segnali a tempo discreto
viene definita, analogamente a quanto visto per i segnali a tempo
continuo, come la media statistica delle densitร spettrali di potenza
delle manifestazioni del processo.
Detto ๐ ๐(๐๐, ํ) il segnale troncato:
(๐๐, ํ) = {๐ (๐๐, ํ); |๐| โค ๐0; |๐| > ๐
(22.2.1)
si ha:
384 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
๐๐ (๐) = lim๐โโ
1
(2๐ + 1)๐|๐๐(๐, ํ)|
2
= lim๐โโ
1
(2๐ + 1)๐๐๐(๐, ํ)๐๐
โ (๐, ํ) (22.2.2)
dove ๐๐(๐, ํ) denota la trasformata di Fourier discreta di ๐ ๐(๐๐, ํ)
cioรจ:
๐๐(๐, ํ) = ๐ โ ๐ ๐(๐๐, ํ)๐โ๐2๐๐๐๐
โ
๐=โโ
= ๐ โ ๐ (๐๐, ํ)๐โ๐2๐๐๐๐๐
๐=โ๐
(22.2.3)
Poichรฉ risulta:
๐๐(๐, ํ)๐๐โ (๐, ํ)
= ๐2 โ โ ๐ โ(๐๐, ํ)๐ (๐๐, ํ)๐โ๐2๐(๐โ๐)๐๐๐
๐=โ๐
๐
๐=โ๐
(22.2.4)
si ottiene:
๐๐ (๐)
= ๐ lim๐โโ
1
2๐ + 1โ โ ๐ ๐
โ (๐๐, ํ)๐ ๐(๐๐, ํ) ๐โ๐2๐(๐โ๐)๐๐๐
๐=โ๐
๐
๐=โ๐
(22.2.5)
che, tenendo conto della (22.1.1), diventa:
๐๐ (๐)
= ๐ lim๐โโ
1
(2๐ + 1)๐โ โ ๐ ๐ (๐๐,๐๐)๐
โ๐2๐(๐โ๐)๐๐
๐
๐=โ๐
๐
๐=โ๐
(22.2.6)
Lโantitrasformata della ๐๐ (๐) vale:
๐๐ (๐๐) = โซ ๐๐ (๐)๐๐2๐๐๐๐๐๐
1
2๐
โ1
2๐
= ๐ lim๐โโ
1
2๐ + 1โ ๐ ๐ (๐๐,๐๐)โซ ๐โ๐2๐(๐โ๐โ๐)๐๐๐๐
1
2๐
โ1
2๐
๐
๐,๐=โ๐
= lim๐โโ
1
2๐ + 1โ ๐ ๐ (๐๐,๐๐)sinc(๐ โ ๐ โ ๐)
๐
๐,๐=โ๐
= lim๐โโ
1
2๐ + 1โ ๐ ๐ (๐๐, (๐ + ๐)๐)
๐
๐=โ๐
(22.2.7)
CAPITOLO - 22 โ Caratterizzazione Energetica dei Segnali a Tempo Discreto - 385
In conclusione:
๐๐ (๐๐) = lim๐โโ
1
2๐ + 1โ ๐ ๐ (๐๐, (๐ + ๐)๐)
๐
๐=โ๐
(22.2.8)
Dalla precedente si desume che, analogamente a quanto visto per i
segnali a tempo continuo, la densitร spettrale di potenza di un segna-
le a tempo discreto si puรฒ ottenere effettuando la trasformata di
Fourier della media temporale espressa dalla (22.2.8).
Inoltre, se il segnale รจ stazionario almeno in senso lato si ha:
๐๐ (๐๐) = ๐ ๐ (๐๐) (22.2.9)
Dalla quale si desume che, analogamente ai segnali a tempo
continuo, la densitร spettrale di potenza di un segnale a tempo di-
screto stazionario, almeno in senso lato, รจ data dalla trasformata di
Fourier della sua autocorrelazione riferita alla differenza tra i due
istanti di osservazione.
La simmetria hermitiana (22.1.4) di cui gode lโautocorrela-
zione, fa sรฌ che risulti ๐๐ (๐๐) = ๐๐ โ(โ๐๐), la quale comporta che la
densitร spettrale di potenza รจ una funzione reale del suo argomento.
Se il segnale aleatorio รจ reale la ๐(๐) รจ anche una funzione pari del
suo argomento.
Caratterizzazione nel dominio della frequenza 22.3 -
Come nel caso dei segnali a tempo continuo รจ utile introdurre
la trasformata discreta di Fourier bidimensionale ๐บ๐ (๐1, ๐2) della auto-
correlazione di un segnale tempo discreto
๐บ๐ (๐1, ๐2) = ๐2 โ โ ๐ ๐ (๐๐, ๐๐)๐โ๐2๐(๐๐1+๐๐2)๐
โ
๐=โโ
โ
๐=โโ
(22.3.1)
A differenza del caso dei segnali a tempo continuo, la ๐บ๐ (๐1, ๐2) รจ una
funzione periodica nelle variabili ๐1 e ๐2 di periodo 1
๐; cioรจ:
๐บ๐ (๐1 +๐1๐, ๐2 +
๐2๐) = ๐บ๐ (๐1, ๐2) (22.3.2)
quali che siano gli interi ๐1 e ๐2.
Per inversione della (22.3.1) si ottiene
386 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
๐ ๐ (๐๐, ๐๐) = โซ โซ ๐บ๐ (๐1, ๐2)๐๐2๐(๐๐1+๐๐2)๐๐๐1๐๐2
1
2๐
โ1
2๐
1
2๐
โ1
2๐
(22.3.3)
La condizione (22.1.4) si puรฒ scrivere:
โซ โซ ๐บ๐ (๐1, ๐2)๐๐2๐(๐๐1+๐๐2)๐๐๐1๐๐2
1
2๐
โ1
2๐
1
2๐
โ1
2๐
= (โซ โซ ๐บ๐ โ(โ๐2, โ๐1)๐
๐2๐(๐๐1+๐๐2)๐๐๐1๐๐2
1
2๐
โ1
2๐
1
2๐
โ1
2๐
)
โ
(22.3.4)
pertanto:
๐บ๐ (๐1, ๐2) = ๐บ๐ โ(โ๐2, โ๐1) (22.3.5)
Nel caso di segnale stazionario operando nella (22.3.1) la trasforma-
zione di indici: ๐ = ๐, ๐ = ๐ โ ๐ ed applicando la formula di Poisson
si ottiene:
๐บ๐ (๐1, ๐2) = ๐2 โ โ ๐ ๐ (๐๐, ๐๐)๐โ๐2๐(๐๐1+๐๐2)๐
โ
๐=โโ
โ
๐=โโ
= ๐2 โ ๐โ๐2๐๐(๐1+๐2)๐ โ ๐ ๐ (๐๐)๐โ๐2๐๐๐1๐
โ
๐=โโ
โ
๐=โโ
= ๐ โ ๐โ๐2๐๐(๐1+๐2)๐๐๐ (๐1)
โ
๐=โโ
= ๐2๐๐ (๐1) โ ๐ฟ (๐1 + ๐2 โ๐
๐)
โ
๐=โโ
(22.3.6)
dove ๐๐ (๐)rappresenta la densitร spettrale di potenza del segnale.
Sostituendo la (22.3.3) nella (22.1.11) si ha:
0 โค โ ๐(๐)๐โ(๐)โซ โซ ๐บ๐ (๐1, ๐2)๐๐2๐(๐๐1+๐๐2)๐๐๐1๐๐2
1
2๐
โ1
2๐
1
2๐
โ1
2๐
โ
๐,๐=โโ
= โซ โซ ๐บ๐ (๐1 , ๐2) โ ๐(๐)๐๐2๐๐๐1๐ โ ๐โ(๐)๐๐2๐๐๐2๐โ
๐=โโ
โ
๐=โโ
๐๐1๐๐2
1
2๐
โ1
2๐
1
2๐
โ1
2๐
=1
๐2โซ โซ ๐บ๐ (๐1, ๐2)๐ท(โ๐1)๐ท
โ(๐2)๐๐1๐๐2
1
2๐
โ1
2๐
1
2๐
โ1
2๐
(22.3.7)
dove con ๐ท(๐) si รจ denotata la trasformata di Fourier della sequenza
๐(๐). Se ๐(๐), e quindi ๐ท(๐), รจ arbitraria la (22.3.7) comporta, analo-
gamente a quanto visto per i segnali a tempo continuo, che
CAPITOLO - 22 โ Caratterizzazione Energetica dei Segnali a Tempo Discreto - 387
๐บ๐ (โ๐1, ๐2) รจ una funzione semidefinita positiva. Si puรฒ anche verifi-
care che per un segnale stazionario la (22.3.7) comporta che deve es-
sere:
๐๐ (๐) โฅ 0 (22.3.8)
la ๐๐ (๐) รจ dunque anche una funzione non negativa della frequenza.
Dalla (22.3.3) si ottiene infine:
๐ ๐ (๐๐, ๐๐) = โซ โซ ๐บ๐ (๐1, ๐2)๐๐2๐๐(๐1+๐2)๐๐๐1๐๐2
1
2๐
โ1
2๐
1
2๐
โ1
2๐
(22.3.9)
Se il segnale รจ stazionario in senso lato si ha:
๐ ๐ (0) = โซ ๐๐ (๐)๐๐
1
2๐
โ1
2๐
(22.3.10)
Si osservi che esprimendo nella (22.2.8) la funzione di auto-
correlazione in termini della ๐บ๐ (๐1, ๐2) si ottiene:
๐๐ (๐๐)
= lim๐โโ
1
2๐ + 1โ โซ โซ ๐บ๐ (๐1, ๐2)๐
๐2๐[๐๐1+(๐+๐)๐2]๐๐๐1๐๐2
1
2๐
โ1
2๐
1
2๐
โ1
2๐
๐
๐=โ๐
= โซ โซ ๐บ๐ (๐1, ๐2)๐๐2๐๐๐2๐ lim
๐โโ
1
2๐ + 1โ ๐๐2๐๐(๐1+๐2)๐๐
๐=โ๐
๐๐1๐๐2
1
2๐
โ1
2๐
1
2๐
โ1
2๐
(22.3.11)
Poichรฉ risulta:
lim๐โโ
1
2๐ + 1โ ๐๐2๐๐(๐1+๐2)๐๐
๐=โ๐
= {
1; (๐1 + ๐2)๐ โ โ
lim๐โโ
1
2๐ + 1
๐โ๐2๐๐(๐1+๐2)๐ [(๐๐2๐(๐1+๐2)๐)2๐+1
โ 1]
๐๐2๐(๐1+๐2)๐ โ 1= 0; (๐1 + ๐2)๐ โ โ
(22.3.12)
lโargomento dellโintegrale ad ultimo membro della (22.3.11) vale ze-
ro, salvo che sullโinsieme di misura nulla costituito dalla famiglia di
rette parallele alla seconda bisettrice spaziate di 1
๐.
Il risultato di tale integrale รจ pertanto nullo a meno che la
๐บ๐ (๐1, ๐2) non presenti delle singolaritร di tipo delta di Dirac disposte
lungo dette rette.
Si osservi che la ๐บ๐ (๐1, ๐2) puรฒ sempre esprimersi come somma di
due contributi:
388 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -
๐บ๐ (๐1, ๐2) = ๐ค(๐1, ๐2) +๐๐ (๐2)๐ฟ(๐1 + ๐2 โ๐
๐) (22.3.13)
in modo tale che ๐ค(๐1, ๐2) non presenti contributi distribuzionali lun-
go le rette in questione sostituendo la (22.3.13) nella (22.3.11) tenuto
conto della (22.3.12) si ottiene:
๐๐ (๐๐) = โซ โซ ๐๐ (๐2)๐ฟ(๐1 + ๐2 โ๐
๐)๐๐2๐๐๐2๐๐๐1๐๐2
1
2๐
โ1
2๐
1
2๐
โ1
2๐
= โซ ๐๐ (๐1)๐๐2๐๐๐1๐๐๐1
1
2๐
โ1
2๐
(22.3.14)
dalla quale si evince che la densitร spettrale di potenza del segnale รฉ
data anche dal peso delle singolaritร eventualmente presentate dalla
๐บ๐ (๐1, ๐2) lungo la citata famiglia di rette parallele alla seconda biset-
trice del piano (๐, ๐1, ๐2).
Si osservi che lโassenza del contributo distribuzionale alla
๐บ๐ (๐1, ๐2), analogamente a quanto visto nel caso dei segnali a tempo
continuo, starebbe a significare che il processo in esame รจ ad energia
finita.
Le proprietร della ๐บ๐ (๐1, ๐2) e della densitร spettrale di potenza
sono riassunte nella Tabella 22.2.
Tabella 22.2
Proprietร della Gs ( f1, f2 ) e della Ws ( f ) per segnali a tempo-discreto
Segnali non stazionari Segnali stazionari ๐บ๐ (๐1, ๐2)
= ๐2 โ โ ๐ ๐ (๐๐, ๐๐)๐โ๐2๐(๐๐1+๐๐2)๐
โ
๐=โโ
โ
๐=โโ
๐๐ (๐)
= ๐ โ ๐ ๐ (๐๐)๐โ๐2๐๐๐๐
โ
๐=โโ
๐บ๐ (๐1, ๐2) = ๐บ๐ โ(โ๐2, โ๐1) ๐๐ (๐) = ๐๐
โ(๐) ๐บ๐ (โ๐1 , ๐2) รจ semidefinita positiva ๐๐ (๐) โฅ 0
๐ ๐ (๐๐, ๐๐)
= โซ โซ ๐บ๐ (๐1, ๐2)๐๐2๐๐(๐1+๐2)๐๐๐1๐๐2
1
2๐
โ1
2๐
1
2๐
โ1
2๐
๐ ๐ (0) = โซ ๐๐ (๐)๐๐
1
2๐
โ1
2๐
CAPITOLO - 23
SEGNALI PASSABANDA
Il rumore bianco. 23.1 -
Un segnale aleatorio ๐(๐ก, ํ) stazionario la cui densitร spettrale
di potenza รจ costante รจ comunemente detto rumore bianco. Posto:
๐๐(๐) = ํ (23.1.1)
Risulta:
โซ ๐๐(๐)๐๐โ
โโ
= โ (23.1.2)
Un tale segnale non รจ pertanto a potenza finita, esso tuttavia si
rivela molto utile come modello, poichรฉ parecchi disturbi, quali ad e-
sempio il rumore termico che si manifesta ai capi di un conduttore e
il rumore atmosferico, presentano una densitร spettrale di potenza
pressochรฉ costante almeno entro la banda di frequenze comunemen-
te utilizzata per trasmettere delle informazioni Nel caso del rumore
termico ad esempio la frequenza alla quale la densitร spettrale di po-
tenza si riduce del 10% rispetto al suo valore massimo, che viene
raggiunto per ๐ = 0 รจ dellโordine di 2000๐บ๐ป๐ง.
La funzione di autocorrelazione del rumore bianco risulta:
๐ ๐(๐) = ํ๐ฟ(๐) (23.1.3)
Ciรฒ significa che i valori ๐(๐ก, ํ) e ๐(๐ก + ๐, ํ) assunti dal rumore in ๐ก e
in ๐ก + ๐ sono fra loro non correlati per ogni valore di ๐ โ 0.
ร in taluni casi utile considerare dei processi caratterizzati da
una densitร spettrale di potenza che si mantiene costante in una ban-
da finita di frequenza, e che vale zero al di fuori di essa.
In funzione della dislocazione della banda sopra citata, si parla
di rumore bianco di tipo passa-basso o passa-banda.
-Rumore bianco passabasso. 23.2 -
Si ha in tal caso (v. Fig. 23.1):
- 390 - Analisi dei segnali aleatori
Fig. 23.2 - Funzione di autocorrelazione di un rumo-
re bianco passabasso.
R ()s
12 fm
2fm
๐๐(๐) = ํโ (๐
2๐๐) (23.2.1)
Lโautocorrelazione del pro-
cesso si ottiene facilmente anti-
trasformando la precedente:
๐ ๐(๐)
= ํโซ ๐๐2๐๐๐๐๐๐๐
โ๐๐
= 2ํ๐๐sinc(2๐๐๐)
(23.2.2)
(vedi Fig. 23.2).
Il segnale in questo caso ha potenza finita che vale:
๐๐ = 2ํ๐๐ (23.2.3)
Inoltre la ๐ ๐(๐) รฉ nulla per ๐๐ =๐
2๐๐, ๐ = ยฑ1,ยฑ2.
Di conseguenza i
valori assunti dal rumo-
re ๐(๐ก, ํ) in corrispon-
denza a coppie dโistanti,
che appartengono al-
lโinsieme {๐๐}, risultano
incorrelati. Tanto piรน
ampia รจ la banda ๐๐ del
segnale, tanto piรน vicini
sono fra loro tali istanti.
Al limite, per
๐๐ โ โ, la correlazione
fra i valori che il segnale assume in corrispondenza di due istanti di-
stinti qualsiasi รจ nulla.
-Rumore bianco passabanda. 23.3 -
Un rumore si dice bianco passabanda se la sua densitร spettra-
le di potenza si presenta come mostrato in Fig. 23.3, quindi รจ del ti-
po:
๐๐(๐) = ํ [โ (๐ + ๐0๐ต
) +โ (๐ โ ๐0๐ต
)] (23.3.1)
dove ๐0 =๐1+๐2
2 e ๐ต sono rispettivamente la frequenza di centro ban-
da e la banda del rumore.
Fig. 23.1 - Densitร spettrale di po-tenza di un rumore bianco passabas-so.
Ws( f )
f f m fm
Segnali passa-banda - 391 -
Fig. 23.4 - Funzione di autocorrelazione di un rumore bianco passa-banda.
Rs ()
2B
Lโautocorrelazione in questo caso vale:
๐ ๐(๐) = ํ (โซ ๐๐2๐๐๐๐๐
โ๐0+๐ต
2
โ๐0โ๐ต
2
+โซ ๐๐2๐๐๐๐๐๐0+
๐ต
2
๐0โ๐ต
2
)
= 2ํ๐ตsinc(๐ต๐)cos(2๐๐0๐)
(23.3.2)
il suo andamento รจ riportato in Fig.
23.4, nella quale รจ stato scelto un va-
lore del rapporto ๐0
๐ต dellโordine
dellโunitร , per chiarirne meglio lโanda-
mento qualitativo. Nella realtร tale va-
lore risulta essere quasi sempre molto
maggiore di 1.
Segnali aleatori passabasso. 23.4 -
Per segnale aleatorio passabasso sโintende un processo ๐ (๐ก, ํ)
per il quale esiste una frequenza ๐๐ tale che per ogni valore di ๐risulti:
๐(๐) = ๐(๐)โ (๐
2๐๐) (23.4.1)
Il minimo valore di |๐๐|che soddisfa la precedente prende il nome di
banda del segnale. Si vuole verifi-care se รจ possibile estendere ad un se-gnale del tipo an-zidetto il teorema del campionamen-to (vedi CAPITO-LO - 9), nellโipo-tesi in cui il segnale sia almeno in sen-so lato stazionario. A tal fine si scelga una frequenza ๐๐ โฅ 2๐๐ e si co-
struisca il segnale aleatorio:
๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก, ํ) = โ ๐ (๐
๐๐, ํ) sinc [๐๐ (๐ก โ
๐
๐๐)]
โ
๐=โโ
(23.4.2)
Fig. 23.3 - Densitร spettrale di un rumore bianco passabanda
Ws ( f )
f
f1 f 1 f 2 f 2
B
f0
- 392 - Analisi dei segnali aleatori
Occorre in sostanza mostrare che il processo ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก, ํ) si identi-
fica con il segnale. A tal fine รจ sufficiente verificare che:
{๐ (๐ก, ํ) โ ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก, ํ)}2 = 0 (23.4.3)
Risulta:
{๐ (๐ก, ํ) โ ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก, ํ)}2 = [๐ (๐ก, ํ)]2 + [๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก, ํ)]2 โ 2๐ (๐ก, ํ)๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก, ํ)
= [๐ (๐ก, ํ)]2
+ โ โ ๐ (๐
๐๐, ํ) ๐ (
๐
๐๐, ํ)
sinc [๐๐ (๐ก โ
๐
๐๐)] sinc [๐๐ (๐ก
โ
๐=โโ
โ
๐=โโ
โ๐
๐๐)] โ 2 โ ๐ (๐ก, ํ)๐ (
๐
๐๐, ํ)
sinc [๐๐ (๐ก โ
๐
๐๐)]
โ
๐=โโ
(23.4.4)
La precedente in virtรน dellโipotizzata stazionarietร puรฒ essere ulte-
riormente elaborata:
{๐ (๐ก, ํ) โ ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก, ํ)}2
= ๐ ๐ (0) + โ ๐ ๐ (๐ โ ๐
๐๐) sinc [๐๐ (๐ก โ
๐
๐๐)] sinc [๐๐ (๐ก โ
๐
๐๐)]
โ
๐,๐=โโ
โ 2 โ ๐ ๐ (๐ก โ๐
๐๐) sinc [๐๐ (๐ก โ
๐
๐๐)]
โ
๐=โโ
= ๐ ๐ (0)
+ โ sinc [๐๐ (๐ก โํ
๐๐)] โ ๐ ๐ (
๐
๐๐) sinc [๐๐ (๐ก โ
ํ โ ๐
๐๐)]
โ
๐=โโ
โ
๐=โโ
โ 2 โ ๐ ๐ (๐ก โ๐
๐๐) sinc [๐๐ (๐ก โ
๐
๐๐)]
โ
๐=โโ
(23.4.5)
Ricordando che, per ipotesi, la trasformata di Fourier della ๐ ๐ (๐) รจ
nulla per |๐| > ๐๐ risulta ancora:
[{๐ (๐ก, ํ) โ ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก, ํ)}]2
= ๐ ๐ (0) + โ ๐ ๐ (๐ก โํ
๐๐) sinc [๐๐ (๐ก โ
ํ
๐๐)]
โ
๐=โโ
โ 2 โ ๐ ๐ (๐ก โ๐
๐๐
) sinc [๐๐(๐ก โ
๐
๐๐
)]
โ
๐=โโ
= ๐ ๐ (0) โ โ ๐ ๐ (๐ก โํ
๐๐) sinc [๐๐ (๐ก โ
ํ
๐๐)]
โ
๐=โโ
(23.4.6)
Si prenda ora in considerazione la funzione ๐ ๐ (๐ก โ ๐) della va-
riabile ๐. Essa per le ipotesi fatte sul processo ammette trasformata di
Fourier in corrispondenza ad ogni valore di ๐ก, inoltre come si evince
Segnali passa-banda - 393 -
facilmente la sua trasformata รจ nulla per |๐| โฅ ๐๐ pertanto si puรฒ
scrivere:
๐ ๐ (๐ก โ ๐) = โ ๐ ๐ (๐ก โํ
๐๐) sinc [๐๐ (๐ โ
ํ
๐๐)]
โ
๐=โโ
(23.4.7)
Si constata che il secondo membro della precedente, valutato in ๐ก, si
identifica con la sommatoria che compare allโultimo membro della
(23.4.6), si puรฒ quindi concludere che:
[๐ (๐ก, ํ) โ ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก, ํ)]2
= ๐ ๐ (0) โ โ ๐ ๐ (๐ก โํ
๐๐) sinc [๐๐ (๐ก โ
ํ
๐๐)]
โ
๐=โโ
= ๐ ๐ (0) โ ๐ ๐ (๐ก โ ๐ก) = 0
(23.4.8)
Pertanto i processi ๐ (๐ก, ํ) ed ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก, ํ) individuano in ogni istan-
te, con probabilitร 1 , la stessa variabile aleatoria. Essi quindi sono di
fatto due rappresentazioni dello stesso processo.
Quanto appena
dedotto consente di af-
fermare, dal momento
che ogni manifestazione
di ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก, ํ) รจ passabasso,
che un segnale aleatorio
passabasso รจ costituito,
eccetto al piรน per un
sottoinsieme di manife-
stazioni che hanno pro-
babilitร nulla di presentarsi, da manifestazioni di tipo passabasso.
Segnali aleatori passabanda. 23.5 -
Un segnale aleatorio ๐ (๐ก, ํ), รจ detto di tipo passabanda se esi-
stono ๐1, ๐2tali che per ogni valore della frequenza risulti:
๐(๐) = ๐(๐) [โ (๐
2๐2) โโ (
๐
2๐1)] (23.5.1)
Si noti che, escludendo il caso banale di una densitร spettrale di po-
tenza identicamente nulla, deve essere 0 < |๐1| โค |๐2| < โ. In altri
termini la (23.5.1) significa che un processo รจ passabanda se esiste un
intervallo [๐1, ๐2] โ โ+ tale che la densitร spettrale di potenza del se-
Fig. 23.5 โ Densitร spettrale di un segnale di tipo passabanda.
f
Be
Ws ( f )
f1 f2f1-- f2
- 394 - Analisi dei segnali aleatori
gnale sia nulla per |๐| โ [๐1, ๐2] (Errore. L'origine riferimento
non รจ stata trovata.).
Il diametro dellโintervallo [๐1, ๐2] di ampiezza minima prende il
nome di banda del segnale.
Ad un tale segnale passabanda si puรฒ associare anche una fre-
quenza ๐0 che generalmente appartiene allโintervallo [๐1, ๐2]. I criteri
in base ai quali tale frequenza viene scelta dipendono dal tipo di se-
gnale, in particolare dal modo in cui ad esso รจ associato il contenuto
informativo. Ad esempio si potrebbe assumere la frequenza di centro
banda ๐0 =๐1+๐2
2, ovvero la frequenza in corrispondenza alla quale ri-
sulta massima la densitร spettrale di potenza del segnale, o ancora
quella frequenza che, pensando alla densitร spettrale di potenza co-
me alla densitร di una massa distribuita lungo lโasse delle frequenze,
minimizza il momento dโinerzia della parte a frequenza positiva cioรจ
che rende minima la quantitร :
โซ (๐ โ ๐0)2๐(๐)๐๐
โ
0
(23.5.2)
Questโultimo criterio si rivela utile, ad esempio, qualora le frequenze
๐1, ๐2 che delimitano la banda del segnale non siano chiaramente de-
finibili, ovvero quando il segnale non รจ rigorosamente passabanda
nel senso che non esistono ๐1, ๐2, ma la potenza risulta comunque, a
meno di una frazione che si puรฒ ritenere trascurabile, concentrata in
due intervalli che non contengono lโorigine e che, supponendo il se-
gnale reale, sono disposti simmetricamente rispetto ad essa.
In taluni casi รจ anche utile definire una banda equivalente:
๐ต๐ =โซ ๐๐ (๐)๐๐โ
โโ
2๐๐ (๐0) (23.5.3)
che corrisponde alla larghezza di banda che dovrebbe avere un ru-
more bianco, con frequenza di centro banda ๐0, per esibire la stessa
potenza media del segnale, nellโipotesi in cui allโinterno di tale banda
la densitร spettrale del rumore valga ๐๐ (๐0). Per questo motivo la ๐ต๐,
appena definita, รจ detta banda equivalente di rumore (vedi Errore. L'o-
rigine riferimento non รจ stata trovata.).
Se la banda equivalente รจ molto piccola rispetto ad ๐0,
๐ต๐ << ๐0, il segnale si dirร a banda stretta o quasi monocromatico.
Segnali passa-banda - 395 -
Prendendo le mosse dalla caratterizzazione dei segnali reali de-
terminati di tipo passa-banda (vedi CAPITOLO - 7), si osservi che,
fatta eccezione al piรน per un insieme di manifestazioni che costitui-
scono un evento che si presenta con probabilitร nulla, la generica
manifestazione ๐ (๐ก, ํ) di un segnale aleatorio passabanda, รจ cioรจ, con
probabilitร 1, un segnale determinato passabanda. Ad esso corri-
sponde pertanto un segnale analitico ๐ง(๐ก, ํ) = ๐ (๐ก, ํ) + ๐๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก, ํ).
Si รจ cosรฌ individuato un segnale aleatorio complesso ๐ง(๐ก, ํ).
Tale processo รจ caratterizzato da unโautocorrelazione:
๐ ๐ง(๐ก1, ๐ก2) = ๐งโ(๐ก1, ํ)๐ง(๐ก2, ํ)
= (๐ (๐ก1, ํ) โ ๐๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก1, ํ))(๐ (๐ก2, ํ) + ๐๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก2, ํ))
= ๐ (๐ก1, ํ)๐ (๐ก2, ํ) + ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก1, ํ)๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก2, ํ) + ๐๐ (๐ก1, ํ)๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก2, ํ)
โ ๐๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก1, ํ)๐ (๐ก2, ํ)
= ๐ ๐ (๐ก1, ๐ก2) + ๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก1, ๐ก2) + ๐(๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ (๐ก1, ๐ก2) โ ๐ ๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก1, ๐ก2))
(23.5.4)
dove ๐ ๐ (๐ก1, ๐ก2)rappresenta lโautocorrelazione del segnale, ๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก1, ๐ก2)
quella del processo ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก, ํ) anchโesso reale, le cui manifestazioni sono
le trasformate di Hilbert delle corrispondenti manifestazioni di
๐ (๐ก, ํ), ed ๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ (๐ก1, ๐ก2), ๐ ๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก1, ๐ก2) rappresentano le correlazioni mutue
tra i due segnali che, come si puรฒ constatare facilmente, sono legate
dalla eguaglianza ๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ (๐ก1, ๐ก2) = ๐ ๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก2, ๐ก1).
Si osservi che, sottintendendo che gli integrali sono effettuati
nel senso del loro valore principale, risulta:
๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก1, ๐ก2) = ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก1)๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก2)
=1
๐โซ
๐ (๐1)
๐ก1 โ ๐1
โ
โโ
๐๐11
๐โซ
๐ (๐2)
๐ก2 โ ๐2๐๐2
โ
โโ
=1
๐2โซ โซ
๐ (๐1)๐ (๐2)
(๐ก1 โ ๐1)(๐ก2 โ ๐2)
โ
โโ
๐๐1๐๐2
โ
โโ
=1
๐2โซ โซ
๐ ๐ (๐1, ๐2)
(๐ก1 โ ๐1)(๐ก2 โ ๐2)
โ
โโ
๐๐1๐๐2
โ
โโ
(23.5.5)
analogamente per ๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ (๐ก1, ๐ก2) si puรฒ scrivere:
๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ (๐ก1, ๐ก2) = ๐ (๐ก1)๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก2) = ๐ (๐ก1)1
๐โซ
๐ (๐)
๐ก2 โ ๐๐๐
โ
โโ
=1
๐โซ
๐ (๐ก1)๐ (๐)
(๐ก2 โ ๐)๐๐
โ
โโ
=1
๐โซ
๐ ๐ (๐ก1, ๐)
(๐ก2 โ ๐)๐๐
โ
โโ
(23.5.6)
Se lโautocorrelazione del segnale ๐ (๐ก, ํ)dipende soltanto dalla
differenza tra ๐ก2 e ๐ก1 le due equazioni precedenti possono essere ulte-
- 396 - Analisi dei segnali aleatori
riormente elaborate. In particolare, se nellโultimo membro della
(23.5.5) si effettua la sostituzione di variabili ๐ = ๐2 โ ๐1, ๐ = ๐1, alla
quale corrispondente un determinante Jacobiano pari a โ1, si ottie-
ne:
๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก1, ๐ก2) =1
๐2โฌ
๐ ๐ (๐2 โ ๐1)
(๐ก1 โ ๐1)(๐ก2 โ ๐2)R2
=1
๐โซ
1
(๐ก1 โ ๐)[1
๐โซ
๐ ๐ (๐)
(๐ก2 โ ๐ โ ๐)
โ
โโ
๐๐]๐๐โโ
โ
=1
๐โซ
๏ฟฝ๏ฟฝ๐ (๐ก2 โ ๐)
(๐ก1 โ ๐)๐๐
โ
โโ
=1
๐โซ
๏ฟฝ๏ฟฝ๐ (โ๐โฒ)
(๐ก1 โ ๐ก2 โ ๐โฒ)๐๐โฒ
โ
โโ
= โ1
๐โซ
๏ฟฝ๏ฟฝ๐ (๐โฒ)
(๐ก1 โ ๐ก2 โ ๐โฒ)๐๐โฒ
โ
โโ
= ๐ ๐ (๐ก1 โ ๐ก2) = ๐ ๐ (๐ก2 โ ๐ก1)
(23.5.7)
per dedurre la quale si รจ tenuto conto del fatto che, come si deduce
facilmente, la trasformata di Hilbert di una funzione pari รจ una fun-
zione dispari del suo argomento.
La (23.5.7) mostra che sotto lโipotesi sopra introdotta il pro-
cesso ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก, ํ) ha la stessa autocorrelazione di ๐ (๐ก, ํ) risulta cioรจ:
๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐) = ๐ ๐ (๐) (23.5.8)
Nella stessa ipotesi in virtรน della (23.5.6) per ๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ (๐ก1, ๐ก2) si ot-
tiene:
๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ (๐ก1, ๐ก2) =1
๐โซ
๐ ๐ (๐ โ ๐ก1)
(๐ก2 โ ๐)๐๐
โ
โโ
=1
๐โซ
๐ ๐ (๐โฒ)
(๐ก2 โ ๐ก1 โ ๐โฒ)๐๐โฒ
โโ
โ
= ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ (๐ก2 โ ๐ก1) (23.5.9)
in conclusione quindi tenendo anche conto delle condizioni di sim-
metria risulta:
๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ (๐) = ๐ ๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ(โ๐) = ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ (๐) (23.5.10)
Se il segnale ha valor medio ๐๐ = ๐ (๐ก, ํ) indipendente dal
tempo si ha:
z(t, ฮถ) = s(t, ฮถ) + js(t, ฮถ) = ms +j
ฯVPโซ
ms
t โ ฯdฯ
โ
โโ
= ms (23.5.11)
dalla quale si evince che risultano indipendenti dal tempo sia il valor
medio di ๐ง(๐ก, ํ) sia quello di ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก, ํ).
Segnali passa-banda - 397 -
Se si prendono in considerazione segnali passabanda staziona-
ri almeno in senso lato, tenendo conto delle (23.5.8) e (23.5.10), dalla
(23.5.4) si ottiene:
๐ ๐ง(๐ก1, ๐ก2)= ๐ ๐ (๐ก1, ๐ก2) + ๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก1, ๐ก2) + ๐(๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ (๐ก1, ๐ก2) โ ๐ ๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก1, ๐ก2))= ๐ ๐ (๐ก2 โ ๐ก1) + ๐ ๐ (๐ก2 โ ๐ก1) + ๐(๏ฟฝ๏ฟฝ๐ (๐ก2 โ ๐ก1) โ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ (๐ก1โ ๐ก2)) = 2๐ ๐ (๐ก2 โ ๐ก1) + 2๐๏ฟฝ๏ฟฝ๐ (๐ก2 โ ๐ก1)
(23.5.12)
Dalle precedenti si conclude che se il segnale รจ stazionario in senso
lato tali risultano essere sia ๐ง(๐ก, ํ) sia ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก, ํ).
Ciรฒ posto, se al segnale passabanda, che in quel che segue si
suppone stazionario almeno in senso lato, si associa una frequenza
๐0, resta definito il segnale aleatorio:
๐ค(๐ก, ํ) = ๐ง(๐ก, ํ)๐โ๐2๐๐0๐ก (23.5.13)
le cui manifestazioni sono cioรจ gli inviluppi complessi delle corri-
spondenti manifestazioni del segnale ๐ (๐ก, ํ).
Tenuto conto del legame tra ๐ (๐ก, ํ) e ๐ง(๐ก, ํ) e della precedente
si puรฒ scrivere:
๐ (๐ก, ํ) = Re[๐ค(๐ก, ํ)๐๐2๐๐0๐ก] (23.5.14)
La precedente, dette ๐ ๐(๐ก, ํ) = Re[๐ค(๐ก, ํ)] ed ๐ ๐(๐ก, ํ) = Im[๐ค(๐ก, ํ)]
rispettivamente le componenti in fase ed in quadratura della generica
manifestazione del segnale, รจ soggetta ad essere ulteriormente elabo-
rata fornendo:
๐ (๐ก, ํ) = ๐ ๐(๐ก, ํ)cos2๐๐0๐ก โ ๐ ๐(๐ก, ํ)๐ ๐๐2๐๐0๐ก (23.5.15)
Volendo caratterizzare i due processi s f (t,) ed sq (t,) , รจ utile
esprimerli in termini del segnale e della sua trasformata di Hilbert,
una tale rappresentazione si ottiene facilmente dalla (23.5.14):
๐ ๐(๐ก, ํ) = Re[๐ค(๐ก, ํ)] = Re[๐ง(๐ก, ํ)๐
โ๐2๐๐0๐ก]
= ๐ (๐ก, ํ)cos2๐๐0๐ก + ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก, ํ)๐ ๐๐2๐๐0๐ก (23.5.16)
Analogamente per ๐ ๐(๐ก, ํ)si ha:
๐ ๐(๐ก, ํ) = Im[๐ง(๐ก, ํ)๐โ๐2๐๐0๐ก]
= ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก, ํ)cos2๐๐0๐ก โ ๐ (๐ก, ํ)๐ ๐๐2๐๐0๐ก (23.5.17)
Lโautocorrelazione ๐ ๐ ๐(๐ก1, ๐ก2) di ๐ ๐(๐ก, ํ), se ๐ (๐ก, ํ) รจ stazio-
nario in senso lato, vale:
- 398 - Analisi dei segnali aleatori
๐ ๐ ๐(๐ก, ๐ก + ๐)
= ๐ธ{(๐ (๐ก, ํ)cos2๐๐0๐ก + ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก, ํ)sin2๐๐0๐ก ๐ (๐ก + ๐, ํ)cos2๐๐0(๐ก + ๐)+ ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก + ๐, ํ)sin2๐๐0(๐ก + ๐))}= ๐ ๐ (๐)cos2๐๐0๐กcos2๐๐0(๐ก + ๐) + ๐ ๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐)sin2๐๐0๐กcos2๐๐0(๐ก + ๐)+ +๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ (๐)cos2๐๐0๐กsin2๐๐0(๐ก + ๐) + ๐ ๐ (๐)sin2๐๐0๐กsin2๐๐0(๐ก + ๐)= ๐ ๐ (๐)(cos2๐๐0๐กcos2๐๐0(๐ก + ๐) + sin2๐๐0๐กsin2๐๐0(๐ก + ๐))+ ๐ ๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐)(sin2๐๐0๐กcos2๐๐0(๐ก + ๐) โ cos2๐๐0๐กsin2๐๐0(๐ก + ๐)) = = ๐ ๐ (๐)cos2๐๐0๐ โ ๐ ๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐)sin2๐๐0๐= ๐ ๐ (๐)cos2๐๐0๐ + ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ (๐)sin2๐๐0๐
(23.5.18)
dove le varie funzioni di correlazione sono state per comoditร
espresse in termini delle variabili ๐ก = ๐ก1e ๐ = ๐ก2 โ ๐ก1, analogamente
per ๐ ๐ ๐(๐ก1, ๐ก2)si ha:
๐ ๐ ๐(๐ก, ๐ก + ๐)
= ๐ธ{(๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก, ํ)cos2๐๐0๐ก โ ๐ (๐ก, ํ)sin2๐๐0๐ก)(๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก + ๐, ํ)cos2๐๐0(๐ก + ๐)โ ๐ (๐ก + ๐, ํ)sin2๐๐0(๐ก + ๐))}= ๐ ๐ (๐)sin2๐๐0๐กsin2๐๐0(๐ก + ๐) โ ๐ ๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐)cos2๐๐0๐กsin2๐๐0(๐ก + ๐)โ ๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ (๐)sin2๐๐0๐กcos2๐๐0(๐ก + ๐) + ๐ ๐ (๐)cos2๐๐0๐กcos2๐๐0(๐ก + ๐)= ๐ ๐ (๐)(๐ ๐๐2๐๐0๐กsin2๐๐0(๐ก + ๐) + cos2๐๐0๐กcos2๐๐0(๐ก + ๐))โ ๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ (๐)(sin2๐๐0๐กcos2๐๐0(๐ก + ๐) โ cos2๐๐0๐กsin2๐๐0(๐ก + ๐))= ๐ ๐ (๐)cos2๐๐0๐ โ ๐ ๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐)sin2๐๐0๐= ๐ ๐ (๐)cos2๐๐0๐ + ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ (๐)sin2๐๐0๐
(23.5.19)
Si รจ quindi giunti allโimportante conclusione che le funzioni di autocorrelazione di ๐ ๐(๐ก, ํ) ed ๐ ๐(๐ก, ํ) sono uguali e dipendono
esclusivamente dalla differenza tra gli istanti di osservazione, risulta cioรจ:
๐ ๐ ๐(๐) = ๐ ๐ ๐(๐) = ๐ ๐ (๐)cos2๐๐0๐ + ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ (๐)๐ ๐๐2๐๐0๐ (23.5.20)
Quanto appena detto, non รจ tuttavia sufficiente per affermare
che i due processi in questione sono stazionari in senso lato. Occor-
rerebbe infatti verificare che i loro valori medi siano indipendenti dal
tempo.
Osservando le (23.5.16) e (23.5.17) ci si convince che la sta-
zionarietร in senso lato di ๐ (๐ก, ํ) non comporta il fatto che il valor
medio di ๐ ๐(๐ก, ํ) ed ๐ ๐(๐ก, ํ) sia indipendente dal tempo, a meno che
il valor medio di ๐ (๐ก, ํ)non sia nullo.
Per quanto riguarda le funzioni di mutua correlazione
๐ ๐ ๐๐ ๐(๐ก1, ๐ก2)ed ๐ ๐ ๐๐ ๐(๐ก1, ๐ก2)si ha:
Segnali passa-banda - 399 -
๐ ๐ ๐๐ ๐(๐ก, ๐ก + ๐) = ๐ ๐(๐ก, ํ)๐ ๐(๐ก + ๐, ํ)
= ๐ธ{(๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก, ํ)cos2๐๐0๐ก โ ๐ (๐ก, ํ)sin2๐๐0๐ก)(๐ (๐ก + ๐, ํ)cos2๐๐0(๐ก + ๐)+ ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก + ๐, ํ)sin2๐๐0(๐ก + ๐))}= โ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ (๐)(cos2๐๐0๐ก1cos2๐๐0(๐ก + ๐) + sin2๐๐0๐กsin2๐๐0(๐ก + ๐))+ ๐ ๐ (๐)(cos2๐๐0๐กsin2๐๐0(๐ก + ๐) โ sin2๐๐0๐กcos2๐๐0(๐ก + ๐))= โ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ (๐)cos2๐๐0(๐) + ๐ ๐ (๐)sin2๐๐0๐
(23.5.21)
In virtรน delle condizioni di simmetria si ottiene facilmente:
๐ ๐ ๐๐ ๐(๐) = ๐ ๐(๐ก, ํ)๐ ๐(๐ก + ๐, ํ)
= ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ (๐)cos2๐๐0(๐) โ ๐ ๐ (๐)sin2๐๐0(๐) = โ๐ ๐ ๐๐ ๐(๐) (23.5.22)
dalla quale si deduce, tra lโaltro, che๐ ๐ ๐๐ ๐(๐) รจ una funzione dispari.
ร adesso possibile ricavare lโautocorrelazione ๐ ๐ค(๐ก1, ๐ก2) del-
lโinviluppo complesso del segnale in termini delle funzioni di correla-
zione delle componenti in fase ed in quadratura:
๐ ๐ค(๐ก, ๐ก + ๐)= (๐ ๐(๐ก, ํ) โ ๐๐ ๐(๐ก, ํ))(๐ ๐(๐ก + ๐, ํ) + ๐๐ ๐(๐ก + ๐, ํ))
= ๐ ๐ ๐(๐) + ๐ ๐ ๐(๐) + ๐(๐ ๐ ๐๐ ๐(๐) โ ๐ ๐ ๐๐ ๐(๐))
= 2๐ ๐ ๐(๐) + ๐2๐ ๐ ๐๐ ๐(๐)
(23.5.23)
che, come era prevedibile, dipende ancora una volta soltanto da ๐.
Dalla precedente utilizzando le (23.5.20) e (23.5.21) si ottiene:
๐ ๐ค(๐)= 2(๐ ๐ (๐)cos2๐๐0๐ + ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ (๐)sin2๐๐0๐)+ ๐2(๏ฟฝ๏ฟฝ๐ (๐)cos2๐๐0(๐) โ ๐ ๐ (๐)sin2๐๐0(๐))= 2[(๐ ๐ (๐) + ๐๏ฟฝ๏ฟฝ๐ (๐))cos2๐๐0๐ โ ๐(๐ ๐ (๐)+ ๐๏ฟฝ๏ฟฝ๐ (๐))sin2๐๐0๐] = ๐ ๐ง(๐)๐
โ๐2๐๐0๐
(23.5.24)
Inoltre eliminando ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ (๐) tra la (23.5.18) e la (23.5.23) si ottie-
ne lโespressione dellโautocorrelazione del segnale ๐ ๐ (๐) in termini di
๐ ๐ ๐(๐) ed ๐ ๐ ๐๐ ๐(๐):
๐ ๐ (๐) = ๐ ๐ ๐(๐)cos2๐๐0(๐) โ ๐ ๐ ๐๐ ๐(๐)sin2๐๐0๐ (23.5.25)
Se il segnale oltre ad essere stazionario in senso lato ha anche
valor medio nullo dalla precedente si deduce:
๐ ๐ ๐(0) = ๐ ๐ ๐(0) = ๐ ๐ (0) โก ๐2 (23.5.26)
cioรจ le componenti in fase e in quadratura presentano la stessa va-
rianza di ๐ (๐ก, ํ).
- 400 - Analisi dei segnali aleatori
Dalla (23.5.21) si deduce facilmente che ๐ ๐ ๐๐ ๐(๐), e quindi an-
che ๐ ๐ ๐๐ ๐(๐), รจ una funzione dispari pertanto essa deve essere nulla
per ๐ = 0 risulta cioรจ:
๐ ๐ ๐๐ ๐(0) = ๐ ๐ ๐๐ ๐(0) = 0 (23.5.27)
le componenti in fase ed in quadratura osservate in uno stesso istante
individuano due variabili aleatorie incorrelate.
In Conclusione si รจ pervenuti ai seguenti risultati: se un segna-
le aleatorio passabanda รจ stazionario almeno in senso lato tale risulta
il segnale analitico ad esso associato; se inoltre il segnale ha anche va-
lor medio nullo, allora sono stazionarie in senso lato ed a media nulla
anche le sue componenti in fase ed in quadratura, e, come si evince
facilmente, il suo inviluppo complesso, indipendentemente dal valore
scelto per la๐0 alla quale detti segnali sono riferiti. Le componenti in
fase ed in quadratura sono anche congiuntamente stazionarie e han-
no uguale funzione di autocorrelazione, inoltre la loro varianza coin-
cide con quella del segnale.
Si vuole a questo punto indagare su come si riflettano le rela-
zioni appena dedotte tra le varie funzioni di auto e mutua correlazio-
ne dei processi legati ad un segnale passabanda (a media nulla, sta-
zionario in senso lato) sulle corrispondenti densitร spettrali di poten-
za.
A tal fine innanzi tutto si osservi che la funzione di autocorre-
lazione di ๐ง(๐ก, ํ) assume forma analoga a quella di un segnale analiti-
co associato ad un segnale passabasso reale. La trasformata di Fou-
rier di detta autocorrelazione assume pertanto valori non nulli solo
per valori di frequenza maggiori di zero, e per tali valori coincide con
il doppio della trasformata di Fourier della sua parte reale. Nel caso
in esame questโultima รจ il doppio della funzione di autocorrelazione
di ๐ (๐ก, ํ), la cui trasformata di Fourier รจ la densitร spettrale di poten-
za ๐(๐) del segnale. La densitร spettrale di potenza di ๐ง(๐ก, ํ) vale
pertanto:
๐๐ง(๐) = 4๐๐ (๐)u(๐) (23.5.28)
essa รจ pari, cioรจ, a quattro volte la densitร spettrale di potenza del se-
gnale per frequenze positive ed รจ nulla per frequenze negative.
Segnali passa-banda - 401 -
Tenuto conto della precedente si deduce facilmente la densitร spettrale dellโinviluppo complesso:
๐๐ค(๐) = ๐๐ง(๐) โ ๐ฟ(๐ โ ๐0) = 4๐๐ (๐ + ๐0)u(๐ + ๐0) (23.5.29)
che, ci si convince facilmente, puรฒ essere non nulla solo per valori di
frequenza appartenenti allโintervallo [๐1 โ ๐0, ๐2 โ ๐0], questa conside-
razione si traduce nel fatto che lโinviluppo complesso รจ un segnale
passabasso tutte le volte che si sceglie una ๐0 appartenente allโinter-
vallo[๐1, ๐2].
Dโaltro canto si puรฒ anche esprimere la ๐๐ค(๐) trasformando
la (23.5.23) in questo caso si ottiene:
๐๐ค(๐) = โฑ[2๐ ๐ ๐(๐) + ๐2๐ ๐ ๐๐ ๐(๐)]
= 2๐๐ ๐(๐) + ๐2๐๐ ๐๐ ๐(๐) (23.5.30)
dove ๐๐ ๐(๐) e ๐๐ ๐๐ ๐(๐), rappresentano rispettivamente la densitร
spettrale di potenza della componente in fase e la densitร spettrale
incrociata tra le componenti in fase ed in quadratura associate al se-
gnale. Risulta evidentemente:
๐๐ ๐(๐) = ๐๐ ๐(๐),๐๐ ๐๐ ๐(๐) = โ๐๐ ๐๐ ๐(๐) (23.5.31)
inoltre ๐๐ ๐(๐) รจ una funzione reale pari, mentre, in quanto trasfor-
mata di una funzione reale dispari, ๐๐ ๐๐ ๐(๐) รจ una funzione pura-
mente immaginaria dispari.
La (23.5.30) costituisce cioรจ la decomposizione della funzione
reale ๐๐ค(๐) nella sua parte pari, 2๐๐ ๐(๐), e nella sua parte dispari
๐2๐๐ ๐๐ ๐(๐).
Questโultima osservazione consente innanzitutto di affermare
che anche ๐๐ ๐(๐) e ๐๐ ๐๐ ๐(๐) possono assumere valore non nullo sol-
tanto in corrispondenza a frequenze appartenenti allโintervallo
[๐1 โ ๐0, ๐2 โ ๐0].
Inoltre nel caso particolare in cui ๐๐ค(๐) รจ una funzione pari
deve necessariamente essere ๐๐ ๐๐ ๐(๐) = 0. Ciรฒ implica ๐ ๐ ๐๐ ๐(๐) = 0,
cioรจ che le componenti in fase ed in quadratura del segnale risultano
incorrelate. Ci si convince facilmente che, in virtรน delle (23.5.28) e
(23.5.29), affinchรฉ ๐๐ค(๐) sia pari, ๐(๐)u(๐)deve essere simmetrica
rispetto a ๐0.
- 402 - Analisi dei segnali aleatori
In questo caso il processo ๐ค(๐ก, ํ) sarebbe reale di tipo passa-
basso, e la sua funzione di autocorrelazione coinciderebbe con il
doppio di quella della componente in fase o, che รจ lo stesso, della
componente in quadratura del segnale, che sarebbero anchโessi dei
processi passabasso.
Segnali gaussiani. 23.6 -
Sia ๐(๐ก, ํ) un segnale reale, gaussiano, stazionario passabanda
caratterizzato da un valor medio nullo e da una densitร spettrale pari
a ๐๐(๐). Esso, per, quanto visto al paragrafo precedente, puรฒ essere
posto nella forma:
๐(๐ก, ํ) = ๐๐(๐ก, ํ)cos2๐๐0๐ก โ ๐๐(๐ก, ํ)sin2๐๐0๐ก (23.6.1)
o alternativamente:
๐(๐ก, ํ) = ๐(๐ก, ํ)cos[2๐๐0๐ก โ ๐(๐ก, ํ)] (23.6.2)
dove:
{
๐(๐ก, ํ) = โ๐๐
2(๐ก, ํ) + ๐๐2(๐ก, ํ)
๐(๐ก, ํ) = arctang๐๐(๐ก, ํ)
๐๐(๐ก, ํ)
(23.6.3)
rappresentano l'ampiezza (o inviluppo) e la fase istantanei di ๐(๐ก, ํ).
Richiamando le conclusioni tratte al paragrafo precedente, le
componenti in fase e in quadratura di ๐(๐ก, ํ) (vedi (23.5.16)
(23.5.17)) possono essere espresse in termini del segnale stesso e del-
la sua trasformata di Hilbert ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก, ํ). Dal momento che ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ก, ํ) รจ otte-
nuto da ๐(๐ก, ํ) mediante una trasformazione lineare, anche ๐๐(๐ก, ํ) e
๐๐(๐ก, ํ) dipendono linearmente da ๐(๐ก, ํ). Ciรฒ comporta che se
๐(๐ก, ํ) รจ un segnale gaussiano, lo sono pure le sue componenti in fa-
se e in quadratura. Per caratterizzare statisticamente ๐๐(๐ก, ํ) e
๐๐(๐ก, ํ) รจ sufficiente quindi valutarne il valor medio e la varianza.
Dal momento che si รจ ipotizzato nullo il valor medio del se-
gnale risulta:
๐๐(๐ก, ํ) = ๐๐(๐ก, ํ) = ๐(๐ก, ํ) = 0 (23.6.4)
ed in virtรน della stazionarietร si ha anche:
Segnali passa-banda - 403 -
๐๐2(๐ก, ํ) = ๐๐
2(๐ก, ํ) = ๐2(๐ก, ํ) = ๐2 = โซ ๐๐(๐)๐๐โ
โโ
(23.6.5)
Inoltre:
๐๐(๐ก, ํ)๐๐(๐ก, ํ) = ๐ ๐๐(0) = 0 (23.6.6)
Ciรฒ significa che i processi ๐๐(๐ก, ํ) e ๐๐(๐ก, ํ), essendo gaussiani, va-
lutati in uno stesso istante individuano una coppia di variabili aleato-
rie statisticamente indipendenti.
Si puรฒ scrivere allora:
๐๐๐(๐ก),๐๐(๐ก)(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐๐๐(๐ก)(๐ฅ) โ ๐๐๐(๐ก)(๐ฆ) =1
2๐๐2๐โ๐ฅ2+๐ฆ2
2๐2 (23.6.7)
la quale puรฒ essere espressa in termini delle variabili aleatorie ๐ e ๐,
definite dalla (IX.4.3). A tal fine, operando la trasformazione:
{๐ฅ = ๐cos๐๐ฆ = ๐sin๐ โ ๐ โค ๐ โค ๐ (23.6.8)
ed eguagliare le probabilitร con cui si verifica un evento elementare
sia che venga riferito al sistema di coordinate (๐, ๐ฅ, ๐ฆ) sia al sistema
di coordinate polari appena introdotto. Si puรฒ scrivere:
๐๐๐(๐ก),๐๐(๐ก)(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฅ๐๐ฆ = ๐๐๐(๐ก),๐๐(๐ก)(๐cos๐, ๐sin๐)|๐ฝ|๐๐๐๐ (23.6.9)
dove |๐ฝ| รจ lo Jacobiano della trasformazione (23.6.8) che vale come รจ
noto ๐.
La ๐๐(๐ก),๐(๐ก)(๐, ๐) assume come si deduce facilmente la forma:
๐๐(๐ก),๐(๐ก)(๐, ๐) = ๐๐๐(๐ก),๐๐(๐ก)(๐cos๐, ๐sin๐)|๐ฝ|
=1
2๐๐๐๐๐ก(
๐
2๐)๐
๐2๐โ๐2
2๐2๐ข(๐) (23.6.10)
che, come si constata facilmente, si puรฒ esprimere come prodotto di
una funzione della sola variabile ๐ e di una della sola ๐. Le due varia-
bili individuate in uno stesso istante dai segnali definiti nella (23.6.3)
sono anchโesse statisticamente indipendenti, in particolare si constata
che la densitร di probabilitร della fase istantanea ๐(๐ก, ํ) รจ uniforme in
[โ๐, ๐], mentre la densitร di probabilitร di ๐(๐ก, ํ) che vale:
๐๐(๐ก)(๐) =๐
๐2๐โ๐2
2๐2u(๐) (23.6.11)
รจ di Rayleigh.
- 404 - Analisi dei segnali aleatori
Segnale gaussiano a banda stretta sovrapposto a 23.7 - un segnale deterministico di tipo sinusoidale.
Sia ๐ (๐ก, ํ) un segnale aleatorio della forma:
๐ (๐ก, ํ) = ๐ดcos(2๐๐0๐ก + ๐) + ๐(๐ก, ํ) (23.7.1)
in cui ๐(๐ก, ํ) รจ un rumore gaussiano a banda stretta, stazionario a va-
lor medio nullo e varianza ๐2, ๐ รจ una variabile casuale uniforme-
mente distribuita in [โ๐, ๐] e indipendente dal segnale ๐(๐ก, ํ).
Adottando per ๐(๐ก, ํ) la rappresentazione fornita dalla (23.5.1) si
puรฒ scrivere:
๐ (๐ก, ํ)= ๐ดcos(2๐๐0๐ก + ๐) + ๐๐cos2๐๐0๐ก(๐ก, ํ)cos2๐๐0๐ก
โ ๐๐(๐ก, ํ)๐ ๐๐2๐๐0๐ก
= (๐ดcos๐ + ๐๐(๐ก, ํ))cos2๐๐0๐ก โ (๐ด๐ ๐๐๐
+ ๐๐(๐ก, ํ))๐ ๐๐2๐๐0๐ก
(23.7.2)
questโultima si lascia facilmente scrivere secondo la forma (23.5.14):
๐ (๐ก, ํ) = Re[๐ค(๐ก, ํ)๐๐2๐๐0๐ก] (23.7.3)
nella quale l'inviluppo dโampiezza |๐ค(๐ก, ํ)| รจ dato da:
|๐ค(๐ก, ํ)| = โ[๐ ๐(๐ก, ํ)]2 + [๐ ๐(๐ก, ํ)]
2 (23.7.4)
nella quale si รจ posto:
{๐ ๐(๐ก, ํ) = ๐ดcos๐ + ๐๐(๐ก, ํ)
๐ ๐(๐ก, ํ) = ๐ด๐ ๐๐๐ + ๐๐(๐ก, ํ) (23.7.5)
Detta ๐(๐ก, ํ) la fase istantanea di ๐ (๐ก, ํ) risulta:
๐(๐ก, ํ) = arctang๐ ๐(๐ก, ํ)
๐ ๐(๐ก, ํ)= arctang
๐ดcos๐ + ๐๐(๐ก, ํ)
๐ด๐ ๐๐๐ + ๐๐(๐ก, ํ) (23.7.6)
Le (23.7.5), possono anche essere facilmente scritte in termini
di |๐ค(๐ก, ํ)| e di ๐(๐ก, ํ):
{๐ ๐(๐ก, ํ) = |๐ค(๐ก, ํ)|cos๐(๐ก, ํ) = Re[๐ค(๐ก, ํ)]
๐ ๐(๐ก, ํ) = |๐ค(๐ก, ํ)|sin๐(๐ก, ํ) = Im[๐ค(๐ก, ํ)] (23.7.7)
Tenendo conto delle (23.6.4), si ottiene:
{๐๐(๐ก, ํ) = ๐ ๐(๐ก, ํ) โ ๐ดcos๐ = |๐ค(๐ก, ํ)|cos๐(๐ก, ํ) โ ๐ดcos๐
๐๐(๐ก, ํ) = ๐ ๐(๐ก, ํ) โ ๐ดsin๐ = |๐ค(๐ก, ํ)|sin๐(๐ก, ํ) โ ๐ดsin๐ (23.7.8)
Segnali passa-banda - 405 -
Dal momento che i segnali ๐๐(๐ก, ํ) e ๐๐(๐ก, ํ) sono gaussiani,
stazionari, a valor medio nullo e varianza ๐2, la densitร di probabilitร
congiunta ๐๐๐(๐ก),๐๐(๐ก),๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐) si puรฒ scrivere nella forma:
๐๐๐(๐ก),๐๐(๐ก),๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐) = ๐๐๐(๐ก)(๐ฅ) โ ๐๐๐(๐ก)(๐ฝ) โ ๐๐(๐)
=1
4๐2๐2๐โ๐ฅ2+๐ฆ2
2๐2 โ (๐
2๐)
(23.7.9)
data la ipotizzata statistica indipendenza della fase ๐ sia da ๐๐ che da
๐๐.
Tenendo conto della (23.6.8), si puรฒ finalmente determinare la
densitร di probabilitร incrociata ๐|๐ค(๐ก)|,๐(๐ก),๐(๐, ๐พ, ๐). Risulta:
๐|๐ค(๐ก)|,๐(๐ก),๐(๐, ๐พ, ๐)
=๐
4๐2๐2๐โ๐2+๐ด2โ2๐๐ดcos(๐โ๐พ)
2๐2 u(๐)โ (๐พ
2๐)โ (
๐
2๐)
(23.7.10)
Per ottenere la densitร di probabilitร del primo ordine dell'in-
viluppo |๐ค(๐ก, ํ)| occorre marginalizzare la precedente rispetto alle
variabili ๐ e ๐. Si ha:
๐|๐ค(๐ก)|(๐) = โฌ ๐|๐ค(๐ก)|,๐(๐ก),๐(๐, ๐พ, ๐)๐๐พ๐๐R2
=๐
4๐2๐2๐โ๐2+๐ด2
2๐2 u(๐)โซ โซ ๐๐๐ดcos(๐โ๐พ)
๐2 ๐๐พ๐๐2๐
0
2๐
0
(23.7.11)
Lโintegrale piรน interno dellโultimo membro della precedente vale:
โซ ๐๐ด๐
๐2cos(๐โ๐พ)
๐๐พ2๐
0
= 2๐๐ผ0 (๐ด๐
๐2) (23.7.12)
dove ๐ผ0(๐ฅ) denota la funzione di Bessel modificata di prima specie
di ordine zero. Si ottiene cosรฌ
๐|๐ค(๐ก)|(๐) =๐
4๐2๐2๐โ๐2+๐ด2
2๐2 ๐ข(๐)โซ 2๐๐ผ0(๐ด๐
๐2)
2๐
0
๐๐
=๐
๐2๐โ๐2+๐ด2
2๐2 ๐ผ0(๐ด๐
๐2)๐ข(๐)
(23.7.13)
nota come distribuzione di Rice o di Rayleigh generalizzata.
- 406 - Analisi dei segnali aleatori
Definendo la variabile aleatoria normalizzata ๐ฌ =๐ค
๐ e intro-
ducendo il parametro ๐ผ =๐ด
๐, la densitร di probabilitร della variabile
aleatoria ๐ฌ in funzione del parametro ๐ผ puรฒ ancora essere riscritta:
๐๐ฌ(๐) = ๐๐โ1
2(๐ผ2+๐2)๐ผ0(๐ผ๐)๐ข(๐) (23.7.14)
il cui andamento in corrispondenza a diversi valori del parametro
รจ riportato in Fig. 23.6
Se si marginalizza la (IX.4.10) rispetto a |๐ค(๐ก)|, si ottiene la
densitร di probabilitร incrociata tra la fase istantanea del rumore ๐(๐ก)
e ๐:
๐๐(๐ก),๐(๐พ, ๐)
= โซ๐
4๐2๐2๐โ๐2+๐ด2โ2๐๐ดcos(๐โ๐พ)
2๐2 โ (๐พ
2๐)โ (
๐
2๐)
โ
0
๐๐
=โ (
๐พ
2๐)โ (
๐
2๐)
4๐2๐2โซ ๐๐
โ๐2+๐ด2โ2๐๐ดcos(๐โ๐พ)
2๐2
โ
0
๐๐
=โ (
๐พ
2๐)โ (
๐
2๐)
4๐2๐2๐โ๐ด2sin2(๐โ๐พ)
2๐2 โซ ๐๐โ(๐โ๐ดcos(๐โ๐พ))2
2๐2
โ
0
๐๐
(23.7.15)
Questโultima รจ suscettibile dellโulteriore elaborazione:
Fig. 23.6 - Densitร di probabilitร dell'inviluppo.
2 4 6 8
0.1
0.2
0.3
0.4
0.6 0
3 4
1
2 5
p (l )
l
Segnali passa-banda - 407 -
๐๐(๐ก),๐(๐พ, ๐)
=โ (
๐พ
2๐)โ (
๐
2๐)
4๐2๐2๐โ๐ด2sin2(๐โ๐พ)
2๐2 โซ ๐๐โ(๐โ๐ดcos(๐โ๐พ))2
2๐2
โ
0
๐๐
=โ (
๐พ
2๐)โ (
๐
2๐)
4๐2๐2{๐2๐
โ๐ด2
2๐2
+ โ๐
2๐ด๐cos(๐ โ ๐พ)๐
โ๐ด2sin2(๐โ๐พ)
2๐2 [1 + erf (๐ดcos(๐ โ ๐พ)
โ2๐)]}
(23.7.16)
che, introducendo il parametro ๐ผ, diventa:
๐๐(๐ก),๐(๐พ, ๐)
=โ (
๐พ
2๐)โ (
๐
2๐)
4๐2{๐
โ๐ด2
2๐2 + โ๐
2๐ผcos(๐
โ ๐พ)๐โ๐ด2sin2(๐โ๐พ)
2๐2 [1 + erf (๐ดcos(๐ โ ๐พ)
โ2๐)]}
(23.7.17)
L'andamento della funzione ๐๐,๐(๐พ, ๐) in funzione di ๐พ โ ๐ รจ
riportato in Fig. 23.7per diversi valori del parametro ๐ผ.
Fig. 23.7
Bibliografia
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