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Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

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420
DIPARTIMENTO DI ENERGIA INGEGNERIA DELLโ€™INFORMAZIONE E MODELLI MATEMATICI (DEIM) Lezioni Di Teoria Dei Segnali Giovanni Garbo, Giovanni Mamola, Stefano Mangione 29/12/2014
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DIPARTIMENTO

DI

ENERGIA

INGEGNERIA DELLโ€™INFORMAZIONE

E

MODELLI MATEMATICI

(DEIM)

Lezioni Di

Teoria Dei

Segnali Giovanni Garbo,

Giovanni Mamola,

Stefano Mangione

29/12/2014

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Page 3: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

SOMMARIO

Introduzione 1

CAPITOLO - 1 7

Richiami di Matematica 7

Premessa. ........................................................................... 7 1.1 -

Lโ€™integrazione alla Lebesgue. .......................................... 7 1.2 -

Misura associata a una classe di insiemi. ...................... 10 1.3 -

๐ˆ-Algebra di Borel ........................................................... 11 1.4 -

La misura di Lebesgue su โ„ .......................................... 11 1.5 -

La misura di Lebesgue su โ„๐‘ต ....................................... 12 1.6 -

Funzioni integrabili alla Lebesgue e relative proprietร .13 1.7 -

Funzioni a quadrato sommabile .................................... 16 1.8 - II Teorema di Lebesgue: ............................................................... 18

Spazi metrici. ................................................................... 18 1.9 -

Spazi vettoriali. .............................................................. 20 1.10 -

Spazi normati. ................................................................ 21 1.11 -

Forme bilineari, quadratiche, hermitiane. ................... 21 1.12 -

Riduzione di una forma hermitiana a forma canonica.23 1.13 -

Forme hermitiane semidefinite positive. ..................... 26 1.14 -

Prodotto scalare. ............................................................ 27 1.15 -

Vettori linearmente indipendenti. ................................ 30 1.16 -

CAPITOLO - 2 33

Rappresentazione Vettoriale dei Segnali 33

Premessa. ......................................................................... 33 2.1 -

Lo spazio dei segnali a energia finita. ........................... 34 2.2 -

Prodotto scalare ....................................................................... 35 Distanza .................................................................................... 35 Norma ....................................................................................... 36

Segnali linearmente indipendenti. ................................. 37 2.3 - Teorema 2.1 (di Gram) ................................................................. 37

Rappresentazione geometrica di un segnale. ............... 40 2.4 -

Angolo tra due segnali. ................................................... 44 2.5 -

Page 4: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

2 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Approssimazione dei segnali nel sottospazio S๐’. Teorema 2.6 -

della proiezione. ....................................................................... 46 Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt.2.7 -

................................................................................................... 50 Sviluppo di un segnale in serie di funzioni ortogonali. 52 2.8 -

CAPITOLO - 3 55

Segnali Periodici 55

Generalitร . ....................................................................... 55 3.1 -

Serie di Fourier in forma esponenziale. ........................ 56 3.2 -

Forma trigonometrica della serie di Fourier. ................ 59 3.3 -

Segnali reali. .................................................................... 60 3.4 -

Proprietร  della serie di Fourier. ..................................... 65 3.5 - Linearitร  ....................................................................................... 65 Inversione nel dominio del tempo ................................................ 66 Segnale coniugato ......................................................................... 66 Coefficienti coniugati .................................................................... 66 Traslazione nel dominio del tempo ............................................... 67 Traslazione nel dominio della frequenza ....................................... 67 Convoluzione nel dominio del tempo ........................................... 67 Convoluzione nel dominio della frequenza ................................... 68

Segnali bidimensionali. .................................................. 70 3.6 -

CAPITOLO - 4 73

Segnali a Energia Finita 73

Deduzione elementare della trasformata di Fourier. .... 73 4.1 -

La trasformata di Fourier di segnali ad energia finita. 74 4.2 -

La trasformata in ๐•ท(โ„). ........................................................... 75 La trasformata in ๐•ท(โ„) โˆฉ ๐•ท๐Ÿ(โ„). ........................................... 75 La trasformata in ๐•ท๐Ÿ(โ„). ........................................................ 78 Conclusioni .............................................................................. 81

Principali proprietร  della trasformata di Fourier di un 4.3 -

segnale ...................................................................................... 82 Trasformata di Fourier di segnali reali. ................................. 83

Proprietร  della trasformata di Fourier. .......................... 86 4.4 -

Linearitร  ................................................................................... 86 Simmetria ................................................................................. 87 Segnale coniugato .................................................................... 87 Trasformata coniugata ............................................................ 88

Page 5: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

Introduzione 3

Traslazione nel dominio del tempo ........................................ 88 Traslazione nel dominio della frequenza ............................... 88 Cambiamento di scala ............................................................. 89 Derivazione nel dominio del tempo ....................................... 90 Derivazione nel dominio della frequenza .............................. 90 Convoluzione nel dominio del tempo .................................... 91 Convoluzione nel dominio della frequenza ........................... 94

Limitazioni dello spettro di ampiezza di un segnale. .. 98 4.5 -

Segnali bidimensionali. ................................................ 100 4.6 -

Linearitร  ................................................................................. 101 Traslazione nel dominio dello spazio e della frequenza ..... 101 Cambiamento di scala. .......................................................... 101 Convoluzione nel dominio dello spazio e della frequenza.. 102 Trasformazioni di variabili .................................................... 103

CAPITOLO - 5 107

Segnali a Potenza Finita 107

Cenni di teoria delle distribuzioni. .............................. 107 5.1 -

Esempi di distribuzioni. ............................................... 109 5.2 -

Distribuzioni regolari ............................................................ 109 Gradino unitario ..................................................................... 109 Delta di Dirac ......................................................................... 109 Pseudo funzione t-1 ................................................................ 110

Calcolo delle distribuzioni. .......................................... 111 5.3 -

Uguaglianza ........................................................................... 111 Somma .................................................................................... 111 Traslazione ............................................................................. 111 Derivata di una distribuzione ............................................... 112 Prodotto di una funzione per una distribuzione .................. 115 Distribuzioni a supporto limitato ......................................... 115

Convoluzione tra distribuzioni. ................................... 116 5.4 -

Formula di Poisson. ...................................................... 120 5.5 -

Trasformata di Fourier di una distribuzione. ............. 122 5.6 - Teorema 5.1 ............................................................................... 123

Trasformata di Fourier di distribuzioni a supporto 5.7 -

limitato.................................................................................... 124 Trasformate di Fourier di distribuzioni notevoli. ....... 125 5.8 -

Trasformata di una costante ................................................. 125 Trasformata della delta di Dirac ........................................... 125

Page 6: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

4 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Trasformata della delta di Dirac traslata .............................. 125 Antitrasformata della delta di Dirac traslata ........................ 125 Trasformate delle funzioni seno e coseno ............................ 125 Trasformata di un segnale periodico .................................... 125 Trasformata della funzione segno ........................................ 126 Trasformata del gradino unitario .......................................... 127

Proprietร  delle trasformate delle distribuzioni. .......... 127 5.9 -

Linearitร  ................................................................................. 127 Trasformata della convoluzione ........................................... 127 Derivazione nel dominio del tempo e della frequenza ........ 128 Traslazione nel dominio del tempo e della frequenza ........ 129

CAPITOLO - 6 133

Trasformazioni Lineari dei Segnali 133

Definizioni. Proprietร  generali. .................................... 133 6.1 -

Studio nel dominio del tempo. ..................................... 135 6.2 -

Stabilitร  di un sistema lineare ...................................... 137 6.3 - Risposta impulsiva di trasformazioni lineari prive di 6.4 -

memoria .................................................................................. 138 Studio nel dominio della frequenza. ............................ 138 6.5 - Determinazione della risposta in frequenza di una 6.6 -

trasformazione LTI. ............................................................... 139 Trasmissione senza distorsione. Filtri ideali. ............. 143 6.7 -

CAPITOLO - 7 145

Caratterizzazione Energetica dei Segnali 145 Segnali a energia finita................................................................. 145

Densitร  spettrale di energia.......................................... 145 7.1 -

Funzione di autocorrelazione. ..................................... 149 7.2 -

Teorema di Wiener-Khinchine. ................................... 152 7.3 -

Funzioni di mutua correlazione. ................................. 153 7.4 - Segnali a potenza finita ............................................................... 155

Densitร  spettrale di potenza. ....................................... 155 7.5 -

Funzioni di correlazione. ............................................. 158 7.6 -

CAPITOLO - 8 163

Caratteristiche e Proprietร  dei Segnali 163

Segnale analitico. Trasformata di Hilbert. .................. 163 8.1 -

Page 7: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

Introduzione 5

Componenti del segnale a frequenze positive e negative.8.2 -

................................................................................................. 167 Segnali a banda e durata rigorosamente limitata. ...... 168 8.3 -

Proprietร  dei segnali a banda rigorosamente limitata.169 8.4 -

Segnali passabasso................................................................. 169 Segnali passabanda ................................................................ 170

Banda e durata convenzionali. ..................................... 173 8.5 - Banda e durata quadratica o efficace ........................................... 173 Banda e durata sulla base dellโ€™energia .......................................... 174

CAPITOLO - 9 177

Il Campionamento dei Segnali 177

Il teorema del campionamento. ................................... 177 9.1 -

Il sottospazio dei segnali passabasso. ......................... 179 9.2 -

Campionamento naturale. ............................................ 182 9.3 -

Campionamento istantaneo. ........................................ 185 9.4 -

Errori di ricoprimento spettrale (aliasing). ................. 187 9.5 -

Campionamento ideale dei segnali passabanda. ....... 189 9.6 -

Ricostruzione del segnale passabanda. ....................... 195 9.7 -

Campionamento del secondo ordine. ......................... 196 9.8 - Segnali passabasso. ..................................................................... 196 Segnali passabanda. ..................................................................... 198

CAPITOLO - 10 201

Segnali a tempo discreto 201

Segnali a tempo discreto. Energia e potenza specifica.10.1 -

................................................................................................. 201 Segnali periodici. ......................................................... 202 10.2 -

La trasformata discreta di Fourier ............................. 204 10.3 -

Segnali a potenza finita. .............................................. 209 10.4 - Proprietร  della trasformata di Fourier di un segnale a 10.5 -

tempo discreto. ...................................................................... 211 Funzioni di correlazione e densitร  spettrali. ............. 213 10.6 -

- Segnali periodici. ................................................................. 213 - Segnali ad energia finita. ..................................................... 215 - Segnali a potenza finita. ...................................................... 217

CAPITOLO - 11 219

Trasformazioni lineari discrete 219

Page 8: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

6 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Studio nel dominio del tempo ..................................... 219 11.1 -

Studio nel dominio della frequenza ........................... 223 11.2 -

CAPITOLO - 12 227

Valutazione Numerica della Trasformata di Fourier 227

Valutazione Numerica della Trasformata di Fourier di un 12.1 -

Segnale a tempo continuo ..................................................... 227 Troncamento del segnale. Finestre temporali. ......... 232 12.2 -

La trasformata discreta di Fourier. ............................ 235 12.3 -

CAPITOLO - 13 241

Richiami di Teoria della Probabilitร  241

Lo spazio dei risultati. Gli eventi................................ 241 13.1 -

Lo spazio di probabilitร . ............................................. 244 13.2 - Probabilitร  condizionate - Formula di Bayes - Teorema 13.3 -

delle probabilitร  composte. ................................................... 247

CAPITOLO - 14 253

Variabili Aleatorie 253

Variabili aleatorie monodimensionali. ....................... 253 14.1 -

Funzione di distribuzione di probabilitร . .................. 254 14.2 -

- intervallo semiaperto a sinistra ........................................... 254 - semiretta dโ€™origine destra aperta ........................................ 255 - intervallo chiuso ................................................................... 255 - punto isolato ........................................................................ 255 - intervallo aperto ................................................................... 256 - intervallo semiaperto a destra ............................................. 256

Proprietร  della distribuzione di probabilitร . ............. 256 14.3 -

- valori limite .......................................................................... 256 - monotonia e limitatezza ...................................................... 257 - continuitร  a destra ............................................................... 257 - limiti da sinistra ................................................................... 258 - numero di discontinuitร  ...................................................... 258

Densitร  di probabilitร  di una variabile aleatoria continua.14.4 -

................................................................................................. 260 Densitร  di probabilitร  di una variabile aleatoria discreta.14.5 -

................................................................................................. 261 Variabili aleatorie bidimensionali. Funzioni di 14.6 -

probabilitร  congiunte. ........................................................... 262

Page 9: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

Introduzione 7

Funzioni di probabilitร  condizionate. ....................... 266 14.7 -

Funzioni di probabilitร  dโ€™ordine superiore. .............. 267 14.8 -

CAPITOLO - 15 269

Funzioni di variabili aleatorie 269

Funzioni di una variabile aleatoria. ............................ 269 15.1 -

CAPITOLO - 16 275

Medie Statistiche 275

Valore medio di funzioni di variabili aleatorie. ......... 275 16.1 -

Momenti. ..................................................................... 276 16.2 -

Teorema della media. ................................................. 282 16.3 -

Funzione caratteristica. .............................................. 283 16.4 -

CAPITOLO - 17 288

Variabili Aleatorie Notevoli 288

Premessa. ..................................................................... 288 17.1 -

Distribuzione uniforme. ............................................. 288 17.2 -

Distribuzione esponenziale. ....................................... 289 17.3 -

Distribuzione di Laplace. ........................................... 290 17.4 -

Distribuzione normale o gaussiana. .......................... 290 17.5 -

Distribuzione di Rayleigh. .......................................... 295 17.6 -

Distribuzione di Bernoulli. ......................................... 296 17.7 -

Distribuzione binomiale. ............................................ 296 17.8 -

Distribuzione di Poisson. ........................................... 298 17.9 -

CAPITOLO - 18 302

Caratterizzazione Statistica dei Segnali 302

Segnale aleatorio. Funzioni di probabilitร  del primo 18.1 -

ordine. ..................................................................................... 302 Funzioni di probabilitร  del secondo ordine e funzioni di 18.2 -

probabilitร  condizionate........................................................ 306 Funzioni di probabilitร  dโ€™ordine superiore. .............. 310 18.3 -

Segnali aleatori deterministici. ................................... 312 18.4 - Segnali dipendenti da una variabile aleatoria 18.5 -

monodimensionale ................................................................ 312 funzioni di probabilitร  del primo ordine. ............................. 312 funzioni di probabilitร  dโ€™ordine superiore al primo. ........... 316

Segnali dipendenti da un vettore aleatorio. ............... 318 18.6 -

Page 10: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

8 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Segnali distinti. Funzioni di probabilitร  congiunte. . 321 18.7 -

CAPITOLO - 19 325

Valori Medi, Stazionarietร  ed Ergodicitร  325

Medie statistiche. ........................................................ 325 19.1 -

Stazionarietร . ............................................................... 329 19.2 -

Medie temporali ed ergodicitร . .................................. 332 19.3 - Ergodicitร  delle funzioni di probabilitร  del primo ordine.19.4 -

................................................................................................. 336

CAPITOLO - 20 341

Segnali Gaussiani 341

Variabili aleatorie congiuntamente gaussiane. ......... 341 20.1 - Funzione caratteristica di variabili aleatorie 20.2 -

congiuntamente gaussiane. .................................................. 341 Densitร  di probabilitร  di ordine inferiore.................. 344 20.3 -

Caratterizzazione degli elementi del vettore ๐’Ž e della 20.4 -

matrice ๐œฎ. ............................................................................... 345 Segnali gaussiani. ....................................................... 346 20.5 -

Distribuzioni singolari. ............................................... 347 20.6 - Densitร  di probabilitร  del secondo ordine e condizionali.20.7 -

................................................................................................. 351 Trasformazioni lineari di segnali gaussiani. ............. 353 20.8 - Statistica della somma di variabili aleatorie indipendenti.20.9 -

................................................................................................. 356

CAPITOLO - 21 359

Caratterizzazione Energetica di Segnali a Tempo Continuo ...................... 359

Funzione di autocorrelazione. .................................... 359 21.1 -

la funzione di autocorrelazione normalizzata ...................... 362 la funzione di autocovarianza ............................................... 362 la funzione di autocovarianza normalizzata, o coefficiente di

autocorrelazione ..................................................................... 362 Densitร  spettrale di potenza. ...................................... 363 21.2 - Caratterizzazione dei segnali nel dominio della 21.3 -

frequenza. ............................................................................... 366 Segnali ciclostazionari. ............................................... 371 21.4 - Segnali distinti. Funzioni di correlazione e densitร  21.5 -

spettrale incrociate. ................................................................ 376

Page 11: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

Introduzione 9

CAPITOLO - 22 381 Caratterizzazione Energetica di Segnali Aleatori a Tempo Discreto 381

Funzione di autocorrelazione. .................................... 381 22.1 -

Densitร  spettrale di potenza....................................... 383 22.2 -

Caratterizzazione nel dominio della frequenza ........ 385 22.3 -

CAPITOLO - 23 389

Segnali Passabanda 389

Il rumore bianco. ......................................................... 389 23.1 -

-Rumore bianco passabasso. ..................................... 389 23.2 -

-Rumore bianco passabanda. ..................................... 390 23.3 -

Segnali aleatori passabasso. ....................................... 391 23.4 -

Segnali aleatori passabanda. ...................................... 393 23.5 -

Segnali gaussiani. ....................................................... 402 23.6 - Segnale gaussiano a banda stretta sovrapposto a un 23.7 -

segnale deterministico di tipo sinusoidale. .......................... 404

Page 12: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf
Page 13: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

INTRODUZIONE

Una grandezza fisica, alla cui variazione in funzione di determina-

te variabili, quali, ad esempio, il tempo, le coordinate di un punto nel

piano o entrambe, รจ associata una certa quantitร  di informazione, costi-

tuisce un segnale.

La tensione o la corrente all'ingresso di un biporta, la pressione

acustica incidente sulla membrana di un microfono, l'intensitร  di un'im-

magine in un punto di uno schermo o la successione temporale di im-

magini quali quelle che si ottengono in una ripresa televisiva, sono

esempi di segnali.

A seconda degli aspetti che interessa mettere in evidenza รจ possi-

bile classificare i segnali secondo criteri diversi.

Una prima classificazione รจ di natura fenomenologica. Essa รจ ba-

sata sul tipo d'evoluzione subita dal segnale in funzione delle variabili

indipendenti. Su questa base i segnali si distinguono in segnali determi-

nati e segnali aleatori.

Limitandosi per il momento a considerare segnali che dipendono

esclusivamente dal tempo, un segnale si dice determinato quando i valo-

ri che esso assume in corrispondenza ad un qualsiasi istante sono cono-

sciuti esattamente.

Per contro i segnali aleatori sono quelli il cui andamento tempora-

le รจ imprevedibile, anche se รจ possibile determinarne alcune caratteristi-

che medie. Di conseguenza, mentre un segnale determinato รจ perfetta-

mente ripetibile, altrettanto non si puรฒ dire per un segnale aleatorio

giacchรฉ, per la sua natura casuale, esso puรฒ assumere forme diverse an-

che se viene osservato in esperimenti effettuati nelle medesime condi-

zioni.

Da quanto detto discende che, mentre รจ possibile rappresentare

un segnale determinato mediante una funzione (reale o complessa) di un

certo numero di variabili indipendenti, ciรฒ non puรฒ essere fatto nel caso

di segnali aleatori, a meno che, una tale funzione, non venga costruita

sulla base di una manifestazione del segnale ottenuta โ€œa posterioriโ€. Di

conseguenza mentre รจ possibile affrontare lo studio dei segnali determi-

nati utilizzando algoritmi matematici che presuppongono una rappre-

sentazione analitica del segnale, nel caso di segnali aleatori si deve ricor-

Page 14: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

2 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

rere a metodologie di analisi di tipo statistico quali quelle basate sulla

Teoria della Probabilitร .

Una seconda classificazione dei segnali รจ di natura morfologica.

Essa si basa sul carattere continuo o discreto dell'ampiezza del segnale o

dalle variabili da cui dipende la sua evoluzione.

Facendo riferimento a segnali dipendenti soltanto dal tempo, si

possono distinguere i segnali continui nel tempo (segnali a tempo conti-

nuo) e i segnali discreti nel tempo (segnali a tempo discreto).

Nel primo caso la variabile ๐‘ก puรฒ assumere un qualsiasi valore

appartenente ad un assegnato intervallo di ampiezza finita o infinita (ve-

di Figura 1,a). Nel secondo caso la variabile indipendente รจ definita in

un insieme al piรน numerabile di valori {๐‘ก๐‘›} con ๐‘ก๐‘›โˆ’1 < ๐‘ก๐‘› < ๐‘ก๐‘›+1 (vedi

Figura 1,b). Di norma gli istanti ๐‘ก๐‘› si succedono con regolaritร  cioรจ si ha:

(i.1) ๐‘ก๐‘› = ๐‘›๐‘‡

cosicchรฉ l'insieme {๐‘ก๐‘›} รจ completamente specificato individuando il pe-

riodo ๐‘‡ ed il campo di variabilitร  dell'indice ๐‘›.

Se infine l'ampiezza del segnale puรฒ assumere un insieme finito o

al piรน numerabile di valori {๐‘ž๐‘›} con ๐‘ž๐‘›โˆ’1 โ‰ค ๐‘ž๐‘› โ‰ค ๐‘ž๐‘›+1, il segnale si dice

Figura 1 - a) Segnale a tempo-continuo b) segnale a tempo discreto, c) segnale quantiz-

zato, d) segnale numerico.

Page 15: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

Introduzione 3

discreto in ampiezza. Un segnale discreto in ampiezza puรฒ essere ulte-

riormente classificato in segnale quantizzato (vedi Figura 1,c) e in segna-

le numerico (vedi Figura 1,d) se esso รจ a tempo continuo o discreto.

Una terza classificazione รจ di natura energetica.

A tale scopo si definisce energia specifica associata ad un segnale

rappresentato da una funzione definita su tutto l'asse dei tempi a valori

generalmente complessi, la quantitร :

(i.2) ๐ธ = โˆซ |๐‘ (๐‘ก)|2๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

La precedente รจ detta energia specifica in quanto essa rappresen-

terebbe l'energia effettivamente dissipata su una resistenza di valore uni-

tario che venisse attraversata da una corrente ๐‘ (๐‘ก).

La potenza (media) specifica, in armonia con la (i.2), รจ definita dal

limite:

(i.3) ๐‘ƒ = lim๐‘‡โ†’โˆž

1

๐‘‡โˆซ |๐‘ (๐‘ก)|2๐‘‘๐‘ก

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

Le definizioni di energia specifica e di potenza specifica appena

fornite per i segnali a tempo continuo possono essere facilmente estese

ai segnali a tempo discreto. In tal caso l'energia e la potenza specifica del

segnale sono rispettivamente definite dalle:

(i.4) ๐ธ = ๐‘‡ โˆ‘ |๐‘ (๐‘›๐‘‡)|2โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(i.5) ๐‘ƒ = lim๐‘โ†’โˆž

1

2๐‘ + 1โˆ‘ |๐‘ (๐‘›๐‘‡)|2๐‘

๐‘›=โˆ’๐‘

Si noti che un segnale ad energia finita presenta una potenza spe-

cifica nulla; inoltre se la potenza specifica definita dalla (i.3) o dalla (i.5) รจ

maggiore di zero, le quantitร  a secondo membro delle (i.2) e (i.4) non

sono finite.

Ciรฒ premesso, si definiscono segnali ad energia finita quei segnali

per cui lโ€™energia specifica รจ finita. Si dicono a potenza finita i segnali per

i quali รจ finita e non nulla la potenza specifica.

Un'ulteriore classificazione รจ di natura dimensionale. Essa รจ basa-

ta sul numero di variabili indipendenti da cui il segnale dipende. Ad

Page 16: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

4 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

esempio i segnali che dipendendo soltanto dal tempo sono monodimen-

sionali, mentre una immagine fissa e una sequenza di immagini in bianco

e nero sono esempi di un segnale rispettivamente bi e tridimensionale.

Esempio 1

Si consideri il segnale

๐‘ (๐‘ก) = ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“0๐‘ก

la sua energia specifica vale:

๐ธ = โˆซ ๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

= โˆž

Viceversa la sua potenza specifica vale:

๐‘ƒ = lim๐‘‡โ†’โˆž

1

2๐‘‡โˆซ |๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“0๐‘ก|2๐‘‘๐‘ก๐‘‡

โˆ’๐‘‡

= lim๐‘‡โ†’โˆž

1

2๐‘‡โˆซ ๐‘‘๐‘ก๐‘‡

โˆ’๐‘‡

= 1

๐‘ (๐‘ก) รจ pertanto un segnale a potenza finita.

Esempio 2

Si consideri il segnale

๐‘ (๐‘ก) = ๐‘’โˆ’๐›ผ|๐‘ก|

con ๐›ผ costante.

A secondo del valore di ๐›ผ, ๐‘ (๐‘ก) puรฒ essere classificato come segnale a ener-

gia o a potenza finita.

a) s(t) รจ un segnale a energia finita se l'integrale:

๐ธ = โˆซ ๐‘’โˆ’2๐›ผ|๐‘ก|๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

รจ finito. Poichรฉ si ha:

๐ธ = lim๐‘‡โ†’โˆž

โˆซ ๐‘’โˆ’2๐›ผ|๐‘ก|๐‘‘๐‘ก๐‘‡

โˆ’๐‘‡

= lim๐‘‡โ†’โˆž

{โˆซ ๐‘’โˆ’2๐›ผ|๐‘ก|๐‘‘๐‘ก0

โˆ’๐‘‡

+โˆซ ๐‘’โˆ’2๐›ผ|๐‘ก|๐‘‘๐‘ก๐‘‡

0

}

= lim๐‘‡โ†’โˆž

{โˆซ ๐‘’โˆ’2๐›ผ๐‘ก๐‘‘๐‘ก๐‘‡

0

+โˆซ ๐‘’โˆ’2๐›ผ๐‘ก๐‘‘๐‘ก๐‘‡

0

} = lim๐‘‡โ†’โˆž

1 โˆ’ ๐‘’โˆ’2๐›ผ๐‘‡

๐›ผ

il segnale รจ a energia finita se รจ ๐›ผ > 0. In tal caso ๐ธ vale:

๐ธ =1

๐›ผ(๐›ผ > 0)

b) ๐‘ (๐‘ก) รจ un segnale a potenza finita se la quantitร 

๐‘ƒ = lim๐‘‡โ†’โˆž

1

๐‘‡โˆซ ๐‘’โˆ’2๐›ผ|๐‘ก|๐‘‘๐‘ก

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

= lim๐‘‡โ†’โˆž

1 โˆ’ ๐‘’โˆ’๐›ผ๐‘‡

๐›ผ๐‘‡= lim

๐‘‡โ†’โˆž๐‘’โˆ’๐›ผ๐‘‡

converge a un valore non nullo.

Page 17: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

Introduzione 5

Il segnale รจ a potenza finita se รจ ๐›ผ = 0. In tal caso รจ

๐‘ƒ = 1; (๐›ผ = 0)

b) Per ๐›ผ < 0 il segnale non รจ nรจ a potenza nรจ a energia finita.

Page 18: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf
Page 19: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 1

RICHIAMI DI MATEMATICA

Premessa. 1.1 -

In questo capitolo si accenna brevemente, senza alcuna pretesa di

rigore, ai fondamenti dellโ€™integrazione alla Lebesgue, alla teoria della mi-

sura degli insiemi, agli spazi vettoriali e alle forme quadratiche, con il so-

lo scopo di porre lโ€™accento su alcuni aspetti che si ritengono importanti

per la comprensione di quanto esposto in questo testo, sia con riferi-

mento alla parte concernente allโ€™analisi dei segnali determinati, sia a

quella riguardante i segnali aleatori.

Lโ€™integrazione alla Lebesgue. 1.2 -

In quel che segue, รจ richiamata lโ€™integrazione alla Lebesgue. Essa

verrร  applicata inizialmente a delle funzioni elementari, per poi estender-

la alla piรน ampia classe delle cosiddette funzioni misurabili.

Si prenda in considerazione lโ€™insieme delle funzioni limitate defi-

nite su un intervallo chiuso e limitato A = [๐‘Ž, ๐‘]. Per una qualsiasi fun-

zione appartenente a detto insieme si ha in pratica:

๐‘“(๐ด) โŠ† [๐‘š,๐‘€] (1.2.1)

essendo rispettivamente ๐‘š ed ๐‘€ lโ€™estremo inferiore e lโ€™estremo superio-

re della funzione considerata.

Si consideri inoltre, nellโ€™insieme anzidetto, il sottoinsieme costi-

tuito dalle funzioni a valori non negativi, tali che, comunque scelto

I = [๐›ผ, ๐›ฝ] โŠ† [๐‘š,๐‘€], lโ€™immagine inversa di detto insieme secondo la fun-

zione ๐‘“, cioรจ lโ€™insieme ๐‘“โˆ’1(I) dei punti ๐‘ฅ โˆˆ A per cui risulta ๐›ผ โ‰ค ๐‘“(๐‘ฅ) โ‰ค

๐›ฝ, รจ costituito dallโ€™unione di un numero finito di intervalli chiusi a due a

due disgiunti.

รˆ noto che per calcolare lโ€™integrale di una funzione alla Riemann

sul suo dominio, si procede alla scomposizione di questโ€™ultimo in un

certo numero dโ€™intervalli chiusi in esso contenuti, privi a due a due di

punti interni in comune e tali che la loro unione coincida con [๐‘Ž, ๐‘]. Si

costruisce cosรฌ una partizione puntuale dellโ€™intervallo [๐‘Ž, ๐‘]. A partire da

Page 20: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

8 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

detta partizione, si generano le seguenti somme inferiori e superiori di

Darboux:

{

๐‘ ๐‘… =โˆ‘๐‘š๐‘–(๐‘ฅ๐‘– โˆ’ ๐‘ฅ๐‘–โˆ’1)

๐‘

๐‘–=1

;

๐‘†๐‘… =โˆ‘๐‘€๐‘–(๐‘ฅ๐‘– โˆ’ ๐‘ฅ๐‘–โˆ’1)

๐‘

๐‘–=1

;

(๐‘Ž = ๐‘ฅ0 < ๐‘ฅ1 <. . . . < ๐‘ฅ๐‘ = ๐‘) (1.2.2)

dove ๐‘š๐‘– ed ๐‘€๐‘– rappresentano rispettivamente lโ€™estremo inferiore e

lโ€™estremo superiore della funzione integranda nellโ€™intervallo [๐‘ฅ๐‘–โˆ’1, ๐‘ฅ๐‘–].

Comโ€™รจ noto lโ€™integrale cerca-

to รจ, se esiste, (per la particolare

classe di funzioni prese in esame esi-

ste certamente) lโ€™elemento di sepa-

razione delle due classi {๐‘ ๐‘…} e {๐‘†๐‘…}

ottenute in corrispondenza a tutte le

possibili partizioni puntuali.

Volendo integrare la medesi-

ma funzione alla Lebesgue si scompone non giร  lโ€™intervallo [๐‘Ž, ๐‘], ma

lโ€™intervallo [๐‘š,๐‘€] in ๐‘ intervalli del tipo, I๐‘– =]๐‘ฆ๐‘–โˆ’1, ๐‘ฆ๐‘–]. Poichรฉ il generi-

co ๐‘“โˆ’1(I๐‘–) รจ costituito da un numero finito ๐‘›๐‘– dโ€™intervalli disgiunti con-

tenuti in [๐‘Ž, ๐‘], indicando con โ„Ž๐‘–,๐‘— la lunghezza del ๐‘—-esimo di tali inter-

valli, (vedi Fig. 1.1) si possono definire le quantitร :

{

๐‘ ๐ฟ =โˆ‘๐‘ฆ๐‘–โˆ’1โˆ‘โ„Ž๐‘–,๐‘—

๐‘›๐‘–

๐‘—=1

๐‘

๐‘–=1

;

๐‘†๐ฟ =โˆ‘๐‘ฆ๐‘–โˆ‘โ„Ž๐‘–,๐‘—

๐‘›๐‘–

๐‘—=1

๐‘

๐‘–=1

;

(m=y0<y1<โ€ฆ<yN=M) (1.2.3)

E conseguentemente al variare delle possibili scelte degli I๐‘– due classi {๐‘ ๐ฟ}

e {๐‘†๐ฟ}

รˆ evidente che, comunque scelto un ํœ€ > 0, รจ sempre possibile far

sรฌ che la misura del piรน ampio degli I๐‘– sia minore di ํœ€ cioรจ che risulti:

max{๐‘ฆ๐‘– โˆ’ ๐‘ฆ๐‘–โˆ’1, } < ํœ€, 1 โ‰ค ๐‘– โ‰ค ๐‘ (1.2.4)

Per le funzioni prese in esame, si avrร :

Fig. 1.1

Page 21: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 1 - Richiami di Matematica - 9

๐‘†๐ฟ โˆ’ ๐‘ ๐ฟ =โˆ‘(๐‘ฆ๐‘– โˆ’ ๐‘ฆ๐‘–โˆ’1)โˆ‘โ„Ž๐‘–,๐‘—

๐‘›๐‘–

๐‘—=1

๐‘

๐‘–=1

< ํœ€โˆ‘โˆ‘โ„Ž๐‘–,๐‘—

๐‘›๐‘–

๐‘—=1

๐‘

๐‘–=1

= ํœ€(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)

(1.2.5)

Poichรฉ si puรฒ facilmente verificare che le famiglie {๐‘ ๐ฟ}, {๐‘†๐ฟ} sono

separate, cioรจ che comunque scelto elemento di {๐‘†๐ฟ} esso รจ maggiore o

uguale di ogni elemento della classe {๐‘ ๐ฟ}, dalla (1.2.5) consegue che le

due classi sono sono contigue.

Si definisce integrale alla Lebesgue della funzione, lโ€™elemento di

separazione di dette classi.

รˆ facile convincersi che, per lโ€™insieme di funzioni considerate,

lโ€™integrazione alla Lebesgue condurrebbe al medesimo risultato cui si sa-

rebbe pervenuti integrando secondo Riemann.

La tecnica di integrazione alla Lebesgue appena introdotta, tutta-

via รจ piรน generale di quella alla Riemann, nel senso che la classe delle

funzioni integrabili alla Lebesgue contiene quella delle funzioni integra-

bili in senso proprio alla Riemann.

La possibilitร  di ampliare lโ€™insieme delle funzioni integrabili se-

condo Lebesgue discende dal fatto che la quantitร  โˆ‘ โ„Ž๐‘–,๐‘—๐‘›๐‘–๐‘—=1 , nella (1.2.3),

puรฒ essere interpretata come misura dellโ€™insieme ๐‘“โˆ’1(I๐‘–). Infatti essa รจ

una somma di lunghezze di intervalli. Quindi indicando con ๐œ‡(๐‘“โˆ’1(I๐‘–))

la misura dellโ€™immagine inversa di I๐‘– le (1.2.3) si riscrivono in forma piรน

compatta:

{

๐‘ ๐ฟ =โˆ‘๐‘ฆ๐‘–โˆ’1๐œ‡(๐‘“

โˆ’1(I๐‘–))

๐‘

๐‘–=1

;

๐‘†๐ฟ =โˆ‘๐‘ฆ๐‘–๐œ‡(๐‘“โˆ’1(I๐‘–))

๐‘

๐‘–=1

;

(1.2.6)

Da queste ultime si evince che, se si introducesse una misura per

una classe di insiemi numerici piรน vasta di quella fino a ora implicita-

mente considerata, sarebbe conseguentemente possibile estendere a una

classe piรน ampia di funzioni la tecnica di integrazione appena introdotta.

Il concetto di misura di un insieme interviene anche nello studio

della teoria della probabilitร , su cui si fonda lโ€™analisi dei segnali aleatori.

In tale contesto si considerano insiemi la cui natura non รจ necessaria-

Page 22: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

10 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

mente numerica. รˆ pertanto utile per i nostri scopi accennare al proble-

ma della misura dโ€™insiemi in termini piรน generali.

Misura associata a una classe di insiemi. 1.3 -

Dato un generico insieme U, finito o infinito, sโ€™individui in esso

una classe ๐”‰ di suoi sottoinsiemi tale che:

๐ด โˆˆ ๐”‰ โ‡’ ๐‘ˆ โˆ’ ๐ด โˆˆ ๐”‰ (1.3.1)

Inoltre, se {A๐‘–} รจ una qualunque famiglia al piรน numerabile di sottoin-

siemi appartenenti ad ๐”‰ deve risultare:

{A๐‘–โˆˆI} โŠ† ๐”‰ โ‡’ โˆช A๐‘–๐‘–โˆˆI

โˆˆ ๐”‰ (1.3.2)

Dove con I indichiamo lโ€™insieme (al piรน numerabile) cui appar-

tengono gli indici utilizzati per gli insiemi della famiglia.

Innanzi tutto si osservi che le (1.3.1), (1.3.2) implicano che U โˆˆ ๐”‰,

e ad ๐”‰ deve appartenere anche lโ€™insieme vuoto. Inoltre si verifica facil-

mente che anche lโ€™intersezione di una famiglia al piรน numerabile di sot-

toinsiemi appartenenti ad ๐”‰, deve appartenere ad ๐”‰.

Data una generica famiglia di sottoinsiemi โ„˜ di U, da essa si puรฒ

sempre ottenere, aggiungendovi degli ulteriori sottoinsiemi di U, oppor-

tunamente scelti, una classe del tipo definito dalle (1.3.1), (1.3.2), che

contiene โ„˜, e viene chiamata classe minima generata dalla famiglia โ„˜.

Ad esempio dato un insieme A e la famiglia โ„˜ contenente soltanto

lโ€™insieme B โŠ‚ A la classe minima verificante le (1.3.1), (1.3.2), generata da

โ„˜ รจ la seguente:

โ„˜ = {โˆ…,B,A โˆ’ B,A} (1.3.3)

Si dice che una classe non vuota che gode delle proprietร  anzidet-

te รจ una ๐œŽ-algebra.

In altri termini, una famiglia non vuota di sottoinsiemi di U รจ una

๐œŽ-algebra se รจ chiusa rispetto a qualsiasi operazione elementare (unione,

intersezione complementazione) tra insiemi in essa contenuti, cioรจ se il

risultato di una tale operazione da luogo ad un insieme che appartiene

alla famiglia anche se gli insiemi su cui si opera sono unโ€™infinitร  numera-

bile.

Dato un insieme U ed una ๐œŽ-algebra ๐”‰ di suoi sottoinsiemi, si dice

che al generico insieme A โˆˆ ๐”‰ di detta classe si รจ associata una misura

๐œ‡(A), ovvero che A รจ misurabile, se si รจ individuata unโ€™applicazione, de-

Page 23: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 1 - Richiami di Matematica - 11

finita su ๐”‰, a valori in โ„+ โˆช {+โˆž}, che per ogni famiglia {A๐‘›โˆˆI} โŠ† ๐”‰ al

piรน numerabile, tale che โˆ€๐‘– โ‰  ๐‘— โˆˆ I โ‡’ A๐‘– โˆฉ A๐‘— = โˆ…, soddisfa la proprietร :

๐œ‡ (โˆช A๐‘–๐‘–โˆˆI

) =โˆ‘๐œ‡(๐ด๐‘–)

๐‘–โˆˆI

(1.3.4)

Dalle (1.3.1), (1.3.2) e dalla precedente derivano le seguenti con-

siderazioni di carattere generale:

- qualunque sia la misura introdotta, lโ€™insieme U รจ misurabile in quan-

to appartiene alla classe ๐”‰; la sua misura puรฒ eventualmente essere

infinita;

- lโ€™insieme vuoto appartiene a ๐”‰; esso quindi รจ misurabile ed ha misu-

ra nulla, se in ๐”‰ esiste almeno un insieme non vuoto di misura di-

versa da zero;

- se A, B โˆˆ ๐”‰ e A โŠ† B si ha certamente ๐œ‡(A) โ‰ค ๐œ‡(B).

๐ˆ-Algebra di Borel 1.4 -

Si prenda in considerazione lโ€™insieme dei numeri reali โ„ e quello

contenente tutte le semirette di origine destra chiuse ]โˆ’โˆž, ๐‘ฅ] in esso

contenute, la classe minima che contiene detto insieme prende il nome

di ๐œŽ-algebra di Borel o classe di Borel e gli insiemi in essa contenuti vengono

detti Borelliani. A detta classe appartengono anche tutti i sottoinsiemi di

โ„ generabili mediante operazioni di intersezione, unione e complemen-

tazione su un numero finito o al piรน su unโ€™infinitร  numerabile

dโ€™intervalli chiusi o aperti, limitati e non.

Si รจ indotti a pensare che tale classe coincida con quella costituita

da tutti i possibili sottoinsiemi di โ„. Ciรฒ non รจ vero in quanto si possono

costruire insiemi, particolarmente astrusi, non ottenibili nel modo an-

zidetto. Tali insiemi, non appartenendo alla classe appena individuata,

non sono misurabili, ma non rivestono alcun interesse nelle applicazioni

pratiche.

La misura di Lebesgue su โ„ 1.5 -

Sulla classe di Borel appena introdotta si possono definire misure

diverse. La piรน importante รจ la cosiddetta misura di Lebesgue, che costitui-

sce una generalizzazione di quella normalmente associata ai segmenti.

Secondo Lebesgue, si assume come misura di un generico inter-

vallo aperto e limitato I =]๐‘Ž, ๐‘[ il suo diametro, cioรจ si pone ๐œ‡(I) = ๐‘ โˆ’

๐‘Ž.

Page 24: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

12 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

รˆ facile dedurre che, coerentemente con la (1.3.4), la misura da

associare a un insieme costituito da un punto isolato deve essere nulla.

Basta infatti osservare che dalla:

๐‘Ž < ๐‘ < ๐‘ โ‡’]๐‘Ž, ๐‘[=]๐‘Ž, ๐‘[โˆช]๐‘, ๐‘[โˆช {๐‘} (1.5.1)

discende:

๐œ‡(]๐‘Ž, ๐‘[) โˆ’ ๐œ‡(]๐‘Ž, ๐‘[) โˆ’ ๐œ‡(]๐‘, ๐‘[) = ๐œ‡({๐‘}) = 0 (1.5.2)

Dalle precedenti discende che un intervallo chiuso e limitato ha misura

uguale al suo corrispondente aperto.

Inoltre si puรฒ verificare facilmente che:

- la misura di un insieme finito o numerabile di punti รจ nulla;1

- un insieme aperto รจ misurabile, in quanto costituito da unโ€™unione al

piรน numerabile di intervalli aperti a due a due disgiunti; la sua misura

puรฒ ovviamente non essere finita;

- un insieme chiuso รจ misurabile, in quanto tale รจ il suo complementa-

re che รจ un aperto.

La misura di Lebesgue su โ„๐‘ต 1.6 -

La misura di Lebesgue appena introdotta per la classe di Borel

puรฒ essere facilmente estesa allโ€™analoga classe di sottoinsiemi di โ„๐‘. In-

dicando con ๐’™ = (๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2, โ€ฆ , ๐‘ฅ๐‘) il generico punto di โ„๐‘ e intendendo

come misura di un generico intervallo aperto e limitato:

I๐’‚,๐’ƒ = {๐’™ | ๐‘Ž1 < ๐‘ฅ1 < ๐‘1, ๐‘Ž2 < ๐‘ฅ2 < ๐‘2, โ€ฆ , ๐‘Ž๐‘ < ๐‘ฅ๐‘ < ๐‘๐‘} (1.6.1)

la quantitร :

๐œ‡(I๐’‚,๐’ƒ) =โˆ(๐‘๐‘– โˆ’ ๐‘Ž๐‘–)

๐‘

๐‘–=1

(1.6.2)

convenendo che se almeno uno dei fattori della produttoria (1.6.2) รจ

nullo, indipendentemente dal fatto che un qualsiasi altro fattore di essa

possa risultare infinito, si deve assumere ๐œ‡(I๐’‚,๐’ƒ) = 0.

1 รˆ opportuno osservare che รจ anche possibile costruire insiemi di misura nulla che hanno la po-

tenza del continuo.

Page 25: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 1 - Richiami di Matematica - 13

Funzioni integrabili alla Lebesgue e relative proprie-1.7 - tร .

Allo scopo di estendere la classe delle funzioni integrabili alla Le-

besgue รจ utile fornire la seguente definizione:

Definizione 1.1 (funzioni misurabili)

Una funzione definita su un insieme ๐ด โŠ† โ„๐‘ a valori in โ„ si dice misurabi-

le se per ogni ๐‘ฆ โˆˆ โ„, detto I๐‘ฆ =] โˆ’ โˆž, ๐‘ฆ], il sottoinsieme ๐‘“โˆ’1(I๐‘ฆ) di ๐ด, eventual-

mente vuoto, รจ misurabile essendo la sua misura non necessariamente finita.

************

Prendendo momentaneamente in esame soltanto funzioni misu-

rabili non negative, appare evidente che, se una tale funzione รจ misurabi-

le in un certo insieme A โŠ† โ„๐‘, allora per essa si possono scrivere le

somme inferiori e superiori di Lebesgue definite dalla (1.2.6), essendo

misurabili gli insiemi, ๐‘“โˆ’1(]๐‘ฆ๐‘– , ๐‘ฆ๐‘–+1]), che compaiono in dette somme.

Lโ€™integrale alla Lebesgue di una funzione misurabile non negativa

๐‘“:A โŠ† โ„๐‘ โ†’ โ„ esteso a un generico sottoinsieme misurabile di A รจ, se

esiste finito, lโ€™elemento di separazione delle classi {๐‘ ๐ฟ}, {๐‘†๐ฟ}.

Nel caso in cui la funzione ๐‘“:A โŠ† โ„๐‘ โ†’ โ„ assuma anche valori

negativi, detto A1 il sottoinsieme di A in cui la funzione รฉ non negativa e

A2 il suo complementare rispetto ad A, lโ€™integrale alla Lebesgue della

funzione รจ definito come segue:

โˆซ๐‘“(๐’™)

A

๐‘‘๐’™ = โˆซ๐‘“(๐’™)

A1

๐‘‘๐’™ โˆ’ โˆซ|๐‘“(๐’™)|

A2

๐‘‘๐’™ (1.7.1)

Si noti che nella (1.7.1), la variabile indipendente รจ eventualmente intesa

come multidimensionale.

La necessitร  della definizione (1.7.1) รจ legata al fatto che in gene-

rale, non รจ detto nรฉ che la funzione ๐‘“(โ‹…) si mantenga limitata in A, nรฉ

che la misura di A sia finita. In sostanza, quindi, non รจ detto che

lโ€™integrale sia proprio nel senso di Riemann, ovviamente, affinchรฉ la

funzione sia integrabile con integrale finito, entrambi gli addendi a se-

condo membro della (1.7.1) devono essere finiti.

A chiarimento della (1.7.1) si consideri il seguente esempio.

Page 26: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

14 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Esempio 1.1

Sia data la funzione:

๐‘“(๐‘ฅ) = {

0; ๐‘ฅ < 0

(โˆ’1)โŒŠ๐‘ฅโŒ‹

โŒˆ๐‘ฅโŒ‰ + 1; โ€‰๐‘ฅ โ‰ฅ 0

rappresentata in Fig.E 1.1. (โŒŠ๐‘ฅโŒ‹ indica il piรน

grande intero โ‰ค ๐‘ฅ). Essa si puรฒ pensare come

somma di una infinitร  numerabile di funzioni

del tipo:

๐‘“๐‘›(๐‘ฅ) = {(โˆ’1)๐‘›

๐‘› + 1; ๐‘› โ‰ค ๐‘ฅ < ๐‘› + 1

0 ; altrove

ciascuna delle quali รจ integrabile con integrale ๐ผ๐‘› =(โˆ’1)๐‘›

๐‘›+1. Lโ€™integrale della

funzione sul suo dominio รจ, se esiste, in virtรน della linearitร 

dellโ€™integrazione, dato dalla somma degli integrali ๐ผ๐‘›.

In sostanza quindi si รจ indotti a scrivere:

๐ผ = โˆซ ๐‘“(๐‘ฅ)โˆž

โˆ’โˆž

๐‘‘๐‘ฅ = โˆ‘ ๐ผ๐‘›

โˆž

๐‘›=0

a patto che la sommatoria che compare nella precedente conduca allo stesso

risultato indipendentemente dallโ€™ordine seguito per calcolarla.

Si osservi che:

โˆ‘๐ผ๐‘›

โˆž

๐‘›=0

= โˆ‘(โˆ’1)๐‘›

๐‘› + 1

โˆž

๐‘›=0

intesa come serie, converge a log2. Tuttavia รจ altrettanto legittimo procedere

al calcolo della stessa somma come segue:

โˆ‘๐ผ๐‘›

โˆž

๐‘›=0

= โˆ‘(๐ผ2๐‘˜+1 + ๐ผ4๐‘˜ + ๐ผ2๐‘˜+2)

โˆž

๐‘›=0

in quanto al variare dellโ€™indice ๐‘˜, vengono comunque considerati tutti gli

addendi che compaiono nel calcolo di ๐ผ.

Esplicitando il generico addendo di tale somma, si ottiene:

๐ผ2๐‘˜+1 + ๐ผ4๐‘˜ + ๐ผ2๐‘˜+2 =1

4๐‘˜+3+

1

4๐‘˜+1โˆ’

1

2๐‘˜+2>

1

4๐‘˜+4+

1

4๐‘˜+4โˆ’

1

2๐‘˜+2= 0

pertanto la โˆ‘ (๐ผ2๐‘˜+1 + ๐ผ4๐‘˜ + ๐ผ4๐‘˜+2)โˆž

๐‘˜=0, intesa come serie, รจ a termini positivi.

Essa รจ anche convergente, come si deduce facilmente osservando che la suc-

cessione cui essa รจ associata tende a 0 come 1๐‘›2โ„ . La sua somma รจ quindi

Fig.E 1.1

Page 27: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 1 - Richiami di Matematica - 15

superiore a una qualunque sua ridotta ed in particolare anche a quella di or-

dine 0 che vale 5

6> log2.

Si conclude pertanto che lโ€™integrale alla Lebesgue della funzione consi-

derata non esiste.

Dโ€™altro canto ci si rende facilmente conto che la funzione in questione

non soddisfa la condizione (1.7.1). Il problema non si sarebbe posto se la se-

rie โˆ‘ ๐ผ๐‘›โˆž๐‘›=0 fosse stata assolutamente convergente. Condizione questa che,

come รจ noto, occorre e basta per assicurare la convergenza alla stesso limite

della serie indipendentemente dallโ€™ordine seguito per sommarla.

La condizione di assoluta convergenza equivale a quella che entrambe le

serie dei termini positivi e negativi, estratte dalla serie originaria, siano con-

vergenti.

รˆ altrettanto interessante osservare che lโ€™integrale della stessa funzione

alla Riemann esiste e vale log2, in quanto lโ€™integrale improprio alla Rie-

mann, come รจ noto, รจ definito come segue:

โˆซ ๐‘“(๐‘ฅ)โˆž

0

๐‘‘๐‘ฅ = lim๐‘Žโ†’โˆž

โˆซ ๐‘“(๐‘ฅ)๐‘Ž

0

๐‘‘๐‘ฅ

e quindi lโ€™ordine da seguire nel calcolo della somma di cui sopra รจ chiara-

mente definito.

Un altro esempio di funzione integrabile secondo Riemann, ma non inte-

grabile secondo Lebesgue รจ la funzione sin ๐‘ฅ

๐‘ฅ che ricorrerร  molto spesso in

questo testo.

In generale si puรฒ affermare che ogni funzione integrabile secon-

do Riemann, in senso proprio, รจ certamente integrabile secondo Le-

besgue, e che seguendo le due procedure si perviene al medesimo risul-

tato, come pure si perviene allo stesso risultato in tutti i casi in cui si ha

a che fare con funzioni che siano assolutamente integrabili secondo

Riemann anche non in senso proprio.

A titolo di esempio si consideri la funzione di Dirichlet:

โ„Ž(๐‘ฅ) = {0; โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰๐‘ฅ โˆˆ โ„š โˆฉ [0,1];

1; โ€‰๐‘ฅ โˆˆ (โ„ โˆ’ โ„š) โˆฉ [0,1]; (1.7.2)

questa funzione non รจ integrabile alla Riemann. Essa risulta invece inte-

grabile alla Lebesgue e lโ€™integrale esteso al suo dominio vale 1, come si

verifica facilmente visto che lโ€™insieme โ„š dei numeri razionali, in quanto

numerabile, ha misura nulla, e quindi anche i suoi sottoinsiemi hanno

misura nulla.

Page 28: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

16 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Una funzione a valori complessi si dirร  integrabile alla Lebesgue

se tali risultano la sua parte reale e la sua parte immaginaria.

Due funzioni misurabili, definite sullo stesso insieme misurabile

E, si dicono uguali quasi ovunque (q.o.), se il sottoinsieme di E in cui es-

se assumono valori diversi ha misura nulla.

Due funzioni definite su uno stesso insieme che risultino quasi

ovunque uguali hanno lo stesso integrale alla Lebesgue.

Una funzione si dice sommabile su un insieme E, o anche che ap-

partiene a ๐”(E) se risulta:

โˆซ|๐‘“(๐‘ฅ)|๐‘‘๐‘ฅE

< โˆž (1.7.3)

Si puรฒ mostrare che la sommabilitร  su un insieme รจ condizione

necessaria e sufficiente affinchรฉ sullo stesso insieme la funzione sia inte-

grabile con integrale finito.

Se la funzione ๐‘“(๐‘ฅ) รจ sommabile su E, e se su E q.o. |๐‘”(๐‘ฅ)| โ‰ค

|๐‘“(๐‘ฅ)| anche ๐‘”(๐‘ฅ) รจ sommabile su E.

Per una funzione integrabile reale o complessa vale la disugua-

glianza:

|โˆซ๐‘“(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅ๐ธ

| โ‰ค โˆซ|๐‘“(๐‘ฅ)|๐‘‘๐‘ฅE

(1.7.4)

Funzioni a quadrato sommabile 1.8 -

In generale si dice che una funzione ๐‘“(๐‘ฅ) โˆˆ ๐”๐‘(E) con ๐‘ โˆˆ โ„• se

risulta:

โˆซ|๐‘“(๐‘ฅ)|๐‘๐‘‘๐‘ฅE

< โˆž (1.8.1)

Se la precedente vale per ๐‘ = 2, si dice che la funzione รจ a quadra-

to sommabile su E.

Siano ๐‘“1(๐‘ฅ), ๐‘“2(๐‘ฅ) due funzioni generalmente complesse apparte-

nenti a ๐”2(E). In ogni punto di detto insieme risulta |๐‘“1(๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘“2(๐‘ฅ)|2 โ‰ฅ

0 che implica ๐‘“1(๐‘ฅ)๐‘“2โˆ—(๐‘ฅ) + ๐‘“2(๐‘ฅ)๐‘“1

โˆ—(๐‘ฅ) โ‰ค |๐‘“1(๐‘ฅ)|2 + |๐‘“2(๐‘ฅ)|

2. Si ha quin-

di:

Page 29: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 1 - Richiami di Matematica - 17

|๐‘“1(๐‘ฅ) + ๐‘“2(๐‘ฅ)|2

= |๐‘“1(๐‘ฅ)|2 + |๐‘“2(๐‘ฅ)|

2 + ๐‘“1(๐‘ฅ)๐‘“2โˆ—(๐‘ฅ) + ๐‘“2(๐‘ฅ)๐‘“1

โˆ—(๐‘ฅ)

โ‰ค 2(|๐‘“1(๐‘ฅ)|2 + |๐‘“2(๐‘ฅ)|

2)

(1.8.2)

Lโ€™ultimo membro della (1.8.2) รจ sommabile su E, tale deve quindi essere

anche il primo membro. Integrando termine a termine si ottiene:

โˆซ|๐‘“1(๐‘ฅ) + ๐‘“2(๐‘ฅ)|2๐‘‘๐‘ฅ

E

โ‰ค 2โˆซ(|๐‘“1(๐‘ฅ)|2 + |๐‘“2(๐‘ฅ)|

2)๐‘‘๐‘ฅ < โˆžE

(1.8.3)

Questโ€™ultimo risultato consente di affermare che la somma di due fun-

zioni a quadrato sommabile รจ ancora una funzione a quadrato sommabi-

le.

Piรน in generale la combinazione lineare di funzioni a quadrato

sommabile รจ ancora una funzione a quadrato sommabile.

Se ๐‘“(โ‹…), ๐‘”(โ‹…) sono due funzioni a quadrato sommabile su uno

stesso insieme, la funzione prodotto รจ sommabile e vale la disuguaglianza

di Schwarz.

โˆซ|๐‘“(๐‘ฅ)๐‘”(๐‘ฅ)|E

๐‘‘๐‘ฅ โ‰ค (โˆซ|๐‘“(๐‘ฅ)|2๐‘‘๐‘ฅ๐ธ

)

1

2

(โˆซ|๐‘”(๐‘ฅ)|2๐‘‘๐‘ฅ๐ธ

)

1

2

(1.8.4)

La precedente รจ banalmente verificata se almeno una delle due funzioni

รจ quasi ovunque nulla.

Premesso che, se ๐‘Ž, ๐‘ sono due reali non negativi, da (๐‘Ž โˆ’ ๐‘)2 โ‰ฅ

0 segue ๐‘Ž๐‘ โ‰ค๐‘Ž2

2+

๐‘2

2. Se nessuna delle due funzioni รจ nulla q.o., si puรฒ

porre:

๐‘Ž =|๐‘“(๐‘ฅ)|

(โˆซ |๐‘“(๐‘ฅ)|2๐‘‘๐‘ฅ๐ธ

)1

2

, ๐‘ =|๐‘”(๐‘ฅ)|

(โˆซ |๐‘”(๐‘ฅ)|2๐‘‘๐‘ฅ๐ธ

)1

2

(1.8.5)

quindi vale la disuguaglianza:

|๐‘“(๐‘ฅ)๐‘”(๐‘ฅ)|

(โˆซ |๐‘“(๐‘ฅ)|2๐‘‘๐‘ฅ๐ธ

)1

2(โˆซ |๐‘”(๐‘ฅ)|2๐‘‘๐‘ฅ๐ธ

)1

2

โ‰ค|๐‘“(๐‘ฅ)|2

2โˆซ |๐‘“(๐‘ฅ)|2๐‘‘๐‘ฅE

+|๐‘”(๐‘ฅ)|2

2โˆซ |๐‘”(๐‘ฅ)|2๐‘‘๐‘ฅE

(1.8.6)

che integrata membro a membro su E conduce alla (1.8.4).

Page 30: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

18 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Nel caso in cui quasi ovunque risulti ๐‘“(๐‘ฅ) = ๐‘˜๐‘”(๐‘ฅ), (๐‘˜ โˆˆ โ„‚) si ve-

rifica facilmente che la (1.8.4) vale come uguaglianza.

Per le funzioni sommabili vale inoltre il seguente teorema

II Teorema di Lebesgue2:

Sia {๐‘“๐‘›(๐‘ฅ)}๐‘›=1โˆž una successione di funzioni sommabili su di un insieme mi-

surabile ๐ธ che converge q.o. ad una funzione ๐‘“(๐‘ฅ).

Se esiste una ๐œ‘(๐‘ฅ) sommabile su ๐ธ, tale che โˆ€๐‘› risulti |๐‘“๐‘›(๐‘ฅ)| โ‰ค ๐œ‘(๐‘ฅ),

allora:

- ๐‘“(๐‘ฅ) รจ sommabile su ๐ธ;

- si ha:

lim๐‘›โ†’โˆž

โˆซ๐‘“๐‘›(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅE

=โˆซ lim๐‘›โ†’โˆž

๐‘“๐‘›(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅE

= โˆซ๐‘“(๐‘ฅ)E

๐‘‘๐‘ฅ (1.8.7)

***********

Il teorema appena enunciato รจ di particolare importanza perchรฉ

fornisce delle condizioni sotto le quali รจ certamente consentito invertire

il passaggio al limite con l'integrazione.

Spazi metrici. 1.9 -

Si dice che su un generico insieme A si รจ indotta una metrica, se

su di esso si รจ definita unโ€™applicazione che a ogni elemento (๐‘ฅ, ๐‘ฆ) di

A ร— A associa un numero reale non negativo, indicato con ๐‘‘(๐‘ฅ, ๐‘ฆ), che

soddisfa le proprietร :

{

๐‘Ž) ๐‘‘(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) = ๐‘‘(๐‘ฆ, ๐‘ฅ)โ€Š;

๐‘) ๐‘‘(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) = 0โ€Šโ€Š โ‡” โ€Š๐‘ฅ = ๐‘ฆ;

๐‘) ๐‘‘(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘‘(๐‘ฅ, ๐‘ง) + ๐‘‘(๐‘ฆ, ๐‘ง); โ€Šโ€Š

โˆ€๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘ง โˆˆ A (1.9.1)

Si osservi che il concetto di metrica, in sostanza, costituisce una

generalizzazione di quello geometrico di distanza tra punti di uno spazio

euclideo. La (1.9.1)c รจ detta disuguaglianza triangolare per la sua ovvia

interpretazione geometrica.

Se all'insieme A si associa una metrica, sโ€™individua uno spazio me-

trico. Si osservi che metriche diverse definite su uno stesso insieme in-

dividuano spazi metrici diversi.

2 Per la dimostrazione vedi F.G. Tricomi: Istituzioni di analisi superiore, pag. 94 e sgg, Edizio

ni CEDAM Padova 1964.

Page 31: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 1 - Richiami di Matematica - 19

รˆ importante osservare che l'avere associato a un insieme una

metrica comporta la possibilitร  di generalizzare concetti quale quello di

limite e di continuitร .

Ad esempio se si considera una successione ๐‘ฅ๐‘› di elementi di un

insieme X dotato di metrica, si dice che detta successione converge, ri-

spetto alla metrica ๐‘‘, a un elemento ๐‘ฅ โˆˆ X se, comunque scelto un reale

positivo ํœ€, esiste in corrispondenza ad esso un indice ๐‘› dal quale in poi

si ha:

๐‘‘(๐‘ฅ๐‘› , ๐‘ฅ) < ํœ€; (1.9.2)

รˆ noto che, per le successioni di numeri reali, una condizione ne-

cessaria e sufficiente alla convergenza รจ data dal teorema di Cauchy.

Detto teorema non รจ in generale esportabile al caso di uno spazio

metrico. Non รจ, infatti, detto che una successione di Cauchy di elementi

dello spazio metrico sia convergente, non fosse altro in quanto a priori

non รจ detto che il limite della successione appartenga allo spazio in cui la

successione รจ stata definita.

Esempio 1.2

Si consideri l'insieme delle funzioni appar-

tenenti a ๐”(โ„) a cui si associa la metrica

๐‘‘(๐‘“1 , ๐‘“2) = โˆซ |๐‘“1(๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘“2(๐‘ฅ)|๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

In detto insieme si consideri il sottoinsieme

A delle funzioni continue. In [โˆ’1,1] si consi-

deri la successione il cui generico elemento (vedi Fig.E 1.2) vale:

๐‘“๐‘›(๐‘ฅ) =

{

1; |๐‘ฅ| < 1 โˆ’

1

๐‘›

๐‘›(1 โˆ’ |๐‘ฅ|); 1 โˆ’1

๐‘›โ‰ค |๐‘ฅ| โ‰ค 1

0; |๐‘ฅ| > 1

;

Detta successione รจ di Cauchy. Infatti โˆ€ํœ€ > 0, ๐‘ > ๐‘ž > โŒˆ1โŒ‰ risulta:

๐‘‘(๐‘“๐‘, ๐‘“๐‘ž) = โˆซ |๐‘“๐‘(๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘“๐‘ž(๐‘ฅ)|๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ ๐‘“๐‘(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

โˆ’โˆซ ๐‘“๐‘ž(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

=1

๐‘žโˆ’1

๐‘< ํœ€

Tale successione non รจ tuttavia convergente in A. Infatti essa in ๐”(โ„) con-

verge alla funzione โŠ“(๐‘ฅ

2) dove:

Fig.E 1.2

Page 32: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

20 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

โŠ“ (๐‘ฅ) = {1; |๐‘ฅ| โ‰ค

1

2

0; |๐‘ฅ| >1

2

;

Infatti per โˆ€ํœ€ > 0, ๐‘› > โŒˆ1โŒ‰ implica:

๐‘‘ (๐‘“๐‘›(๐‘ฅ),โŠ“ (๐‘ฅ

2)) = โˆซ โŠ“ (

๐‘ฅ

2) ๐‘‘๐‘ฅ

โˆž

โˆ’โˆž

โˆ’โˆซ ๐‘“๐‘›(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

=1

๐‘›< ํœ€

La funzione โŠ“(๐‘ฅ

2) non รจ continua quindi non appartiene all'insieme A

che quindi non รจ completo rispetto alla metrica considerata.

Spazi vettoriali. 1.10 -

Sia dato un insieme X, i cui elementi vengono denominati vettori.

Si dice che X ha la struttura di spazio vettoriale se:

รจ un gruppo commutativo rispetto a una legge di composizione interna,

che verrร  indicata con il simbolo +;

esiste un campo ๐”ฝ, i cui elementi sono detti scalari, e una legge di com-

posizione detta prodotto per scalari che soddisfa le proprietร :

{

๐‘Ž) โˆ€๐œ† โˆˆ ๐”ฝโ€Šโ€Š, ๐’™ โˆˆ X โ‡’ ๐œ†๐’™ โˆˆ X;

๐‘) โˆ€๐œ†1 โ€Šโ€Š,โ€Šโ€Š๐œ†2 โˆˆ ๐”ฝโ€Šโ€Š, ๐’™ โˆˆ X โ‡’ ๐œ†1(๐œ†2๐’™) = (๐œ†1๐œ†2)๐’™;

๐‘) โˆ€๐œ†1 โ€Šโ€Š,โ€Šโ€Š๐œ†2 โˆˆ ๐”ฝโ€Šโ€Š, ๐’™ โˆˆ X โ‡’ (๐œ†1 + ๐œ†2)โ€Š๐’™ = ๐œ†1๐’™ + ๐œ†2๐’™;

๐‘‘) โˆ€๐’™1 โ€Šโ€Š,โ€Šโ€Š๐’™2 โˆˆ Xโ€Šโ€Š, ๐œ† โˆˆ ๐”ฝ โ‡’ ๐œ†โ€Šโ€Š(๐’™1 + ๐’™2) = ๐œ†๐’™1 + ๐œ†๐’™2;

๐‘’)โ€Š โˆ€๐’™ โˆˆ X โ‡’ 1 ๐’™ = ๐’™โ€Šโ€Šโ€Šโ€Šโ€Š; โ€Šโ€Š0 ๐’™ = ๐จ;

(1.10.1)

Dove ๐จ, detto vettore nullo o origine, indica l'elemento neutro rispetto

alla legge di composizione interna definita su X; 1 e 0 indicano rispetti-

vamente l'elemento neutro rispetto al prodotto e rispetto alla somma nel

campo ๐”ฝ.

Si ricorda che un insieme X ha la struttura di gruppo commutati-

vo rispetto a una data legge di composizione interna se, comunque scelti

due suoi elementi, si ha:

{

๐‘Ž) ๐’™1 + ๐’™2 = ๐’™2 + ๐’™1 โˆˆ X;

๐‘) ๐’™1 + (๐’™2 + ๐’™3) = (๐’™1 + ๐’™2) + ๐’™3;

๐‘) โˆƒโ€Šโ€Šโ€Š๐’ โˆˆ X | โˆ€๐’™ โˆˆ X โ‡’ ๐’™ + ๐จ = ๐’™;

๐‘‘) โˆ€ ๐’™ โˆƒโ€Šโ€Šโ€Š(โˆ’๐’™)|๐’™ + (โˆ’๐’™) = ๐จ;

(1.10.2)

In quel che segue il campo ๐”ฝ si identificherร , salvo avviso contra-

rio, con il campo โ„‚ dei numeri complessi.

Page 33: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 1 - Richiami di Matematica - 21

Spazi normati. 1.11 -

Sia dato uno spazio vettoriale X si dice che esso รจ normato, se si รจ

individuata una applicazione, denotata con โ€–๐’™โ€–, definita su X a valori

nell'insieme โ„+ dei reali non negativi che โˆ€โ€‰๐’™,โ€Š๐’š โˆˆ X soddisfa le proprie-

tร :

{

๐‘Ž) โ€–๐’™โ€– โ‰ฅ 0, โ€–๐’™โ€– = 0 โ‡” ๐’™ = ๐จ;

๐‘) โ€–๐œ†๐’™โ€– = |๐œ†|โ€–๐’™โ€–;

๐‘) โ€–๐’™ + ๐’šโ€– โ‰ค โ€–๐’™โ€– + โ€–๐’šโ€–; (1.11.1)

Si osservi che uno spazio normato รจ implicitamente anche uno

spazio metrico in quanto si puรฒ assumere come distanza tra due elemen-

ti di esso la norma dell'elemento differenza cioรจ:

๐‘‘(๐’™, ๐’š) = โ€–๐’™ โˆ’ ๐’šโ€–; (1.11.2)

Uno spazio normato si dice completo, o anche spazio di Banach,

se comunque scelta una successione di Cauchy di suoi elementi, essa

converge a un elemento dello spazio, o, che รจ lo stesso, se in detto spa-

zio la condizione di Cauchy รจ necessaria e sufficiente alla convergenza di

una successione di suoi elementi.

Forme bilineari, quadratiche, hermitiane. 1.12 -

Una polinomio a valori complessi nelle 2๐‘› variabili generalmente

complesse ๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2, โ€ฆ , ๐‘ฅ๐‘› , ๐‘ฆ1, ๐‘ฆ2, โ€ฆ , ๐‘ฆ๐‘› del tipo:

๐‘„(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2, โ€ฆ , ๐‘ฅ๐‘› , ๐‘ฆ1 , ๐‘ฆ2, โ€ฆ , ๐‘ฆ๐‘›) =โˆ‘โˆ‘๐‘Ž๐‘–๐‘—๐‘ฅ๐‘–๐‘ฆ๐‘—

๐‘›

๐‘—=1

๐‘›

๐‘–=1

(1.12.1)

viene chiamata forma bilineare.

Introducendo i vettori:

๐’™ = [

๐‘ฅ1โ‹ฎ๐‘ฅ๐‘›] ; ๐’š = [

๐‘ฆ1โ‹ฎ๐‘ฆ๐‘›] (1.12.2)

e la matrice a coefficienti generalmente complessi

๐ด = [

๐‘Ž11 ๐‘Ž12 โ€ฆ ๐‘Ž1๐‘›๐‘Ž21 ๐‘Ž22 โ€ฆ ๐‘Ž2๐‘›โ€ฆ โ€ฆ โ€ฆ โ€ฆ๐‘Ž๐‘›1 ๐‘Ž๐‘›2 โ€ฆ ๐‘Ž๐‘›๐‘›

] (1.12.3)

la (1.12.1) si puรฒ riscrivere nella seguente forma matriciale:

Page 34: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

22 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

๐‘„(๐’™, ๐’š) = ๐’™๐‘‡๐ด๐’š (1.12.4)

Per forma quadratica nelle ๐‘› variabili complesse ๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2โ€ฆ๐‘ฅ๐‘› si in-

tende un polinomio omogeneo del tipo:

๐‘„(๐’™) = ๐’™๐‘‡๐ด๐’™ =โˆ‘โˆ‘๐‘Ž๐‘–๐‘—๐‘ฅ๐‘–๐‘ฅ๐‘—

๐‘›

๐‘—=1

๐‘›

๐‘–=1

=โˆ‘โˆ‘1

2(๐‘Ž๐‘–๐‘— + ๐‘Ž๐‘—๐‘–)๐‘ฅ๐‘–๐‘ฅ๐‘—

๐‘›

๐‘—=1

๐‘›

๐‘–=1

(1.12.5)

Dall'ultimo membro della precedente si evince che ad una forma

quadratica si puรฒ sempre associare una e una sola matrice simmetrica. Se

detta matrice รจ reale e se ๐’™ โˆˆ โ„๐‘› la ๐‘„(๐’™) รจ una forma quadratica reale.

Data una matrice ๐ด hermitiana, cioรจ tale che risulti:

๐‘Ž๐‘–๐‘— = ๐‘Ž๐‘—๐‘–โˆ— ๐‘–, ๐‘— = 1,2, โ€ฆ , ๐‘› (1.12.6)

e definito ๐’™ secondo la (1.12.2) il polinomio:

๐‘„(๐’™) =โˆ‘โˆ‘๐‘Ž๐‘–๐‘—๐‘ฅ๐‘–โˆ—๐‘ฅ๐‘—

๐‘›

๐‘—=1

๐‘›

๐‘–=1

(1.12.7)

nelle ๐‘› variabili complesse ๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2โ€ฆ๐‘ฅ๐‘› รจ una forma hermitiana.

Indicato con ๐’™โ€  il trasposto coniugato del vettore ๐’™, la ๐‘„(๐’™) si

puรฒ porre nella forma matriciale: ๐‘„(๐’™) = ๐’™โ€ A๐’™.

Per una forma hermitiana ๐‘„(๐’™) si ha:

๐‘„โˆ—(๐’™) = โˆ‘โˆ‘๐‘Ž๐‘–๐‘—โˆ— ๐‘ฅ๐‘–๐‘ฅ๐‘—

โˆ—

๐‘›

๐‘—=1

๐‘›

๐‘–=1

=โˆ‘โˆ‘๐‘Ž๐‘—๐‘–๐‘ฅ๐‘–๐‘ฅ๐‘—โˆ—

๐‘›

๐‘—=1

๐‘›

๐‘–=1

= ๐‘„(๐’™) (1.12.8)

essa assume quindi valori reali per ogni ๐’™ appartenente a โ„‚๐‘›.

ponendo:

๐ด = ๐ด๐‘… + ๐‘—๐ด๐ผ (1.12.9)

con ๐ด๐‘… e ๐ด๐ผ matrici reali e analogamente:

๐‘ฅ๐‘– = ๐‘ข๐‘– + ๐‘—๐‘ฃ๐‘– ,โ€‰โ€‰โ€‰๐‘– = 1,2โ€ฆ๐‘› (1.12.10)

la forma hermitiana ๐‘„(๐‘ฅ) diventa:

๐‘„(๐’™) = (๐’–๐‘‡ โˆ’ ๐‘—๐’—๐‘‡)(๐ด๐‘… + ๐‘—๐ด๐ผ)(๐’– + ๐‘—๐’—)

= (๐’–๐‘‡๐ด๐‘…๐’– โˆ’ ๐’–๐‘‡๐ด๐ผ๐’— + ๐‘ฃ

๐‘‡๐ด๐‘…๐’— + ๐’—๐‘‡๐ด๐ผ๐’–) +

๐‘—(๐’–๐‘‡๐ด๐‘…๐’— + ๐’–๐‘‡๐ด๐ผ๐’– โˆ’ ๐’—

๐‘‡๐ด๐‘…๐’– + ๐’—๐‘‡๐ด๐ผ๐’—)

(1.12.11)

Page 35: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 1 - Richiami di Matematica - 23

Poichรฉ, tenendo conto della (1.12.8), e valendo la condizione

(1.12.6) sussistono le uguaglianze:

๐ด๐‘…๐‘‡ = ๐ด๐‘…; ๐ด๐ผ

๐‘‡ = โˆ’๐ด๐ผ (1.12.12)

da cui discendono le ulteriori identitร :

{

โˆ’๐’–๐‘‡๐ด๐ผ๐’— + ๐’—

๐‘‡๐ด๐ผ๐’– = โˆ’(๐’—๐‘‡๐ด๐ผ๐‘‡๐’–)๐‘‡ + ๐’—๐‘‡๐ด๐ผ๐’–

= (๐’—๐‘‡๐ด๐ผ๐’–)๐‘‡ + ๐’—๐‘‡๐ด๐ผ๐’– = ๐’—

๐‘‡๐ด๐ผ๐’–๐’— + ๐’—๐‘‡๐ด๐ผ๐’– = 2๐’—๐‘‡๐ด๐ผ๐’–;

๐’–๐‘‡๐ด๐‘…๐’— โˆ’ ๐’—๐‘‡๐ด๐‘…๐’– = (๐’—

๐‘‡๐ด๐‘…๐‘‡๐’–)๐‘‡ โˆ’ ๐’—๐‘‡๐ด๐‘…๐’–

= (๐’—๐‘‡๐ด๐‘…๐’–)๐‘‡ โˆ’ ๐’—๐‘‡๐ด๐‘…๐’– = ๐’—

๐‘‡๐ด๐‘…๐’– โˆ’ ๐’—๐‘‡๐ด๐‘…๐’– = 0;

๐’–๐‘‡๐ด๐ผ๐’– = (๐’–๐‘‡๐ด๐ผ๐‘‡๐’–)๐‘‡ = โˆ’๐’–๐‘‡๐ด๐ผ๐’– โ‡’ ๐’–๐‘‡๐ด๐ผ๐’– = 0;

(1.12.13)

la ๐‘„(๐’™) si puรฒ anche riscrivere:

๐‘„(๐’™) = ๐’–๐‘‡๐ด๐‘…๐’– + ๐’—๐‘‡๐ด๐‘…๐’— + 2๐‘ฃ

๐‘‡๐ด๐ผ๐’–

= [๐’–๐‘‡ โ€‰๐’—๐‘‡] [๐ด๐‘… ๐ด๐ผ

๐‘‡

๐ด๐ผ ๐ด๐‘…] [๐’–๐’—]

(1.12.14)

Una forma hermitiana puรฒ quindi essere rappresentata anche da

una forma quadratica nelle 2๐‘› variabili reali ๐‘ข1, ๐‘ข2โ€ฆ๐‘ข๐‘›; ๐‘ฃ1, ๐‘ฃ2โ€ฆ๐‘ฃ๐‘›.

Riduzione di una forma hermitiana a forma canonica. 1.13 -

Si consideri una forma hermitiana ๐‘„(๐’™) nelle ๐‘› variabili ๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2, โ€ฆ , ๐‘ฅ๐‘›.

Data una matrice ๐‘‡ di ordine ๐‘› non singolare, esiste una unica ๐‘›-

upla ๐‘ง1, ๐‘ง2, โ€ฆ , ๐‘ง๐‘› che soddisfa il sistema:

๐‘‡๐’› = ๐’™ (1.13.1)

La forma ๐‘„(๐’™) riferita a ๐’› si muta nella:

๐‘„(๐‘‡๐’›) = (๐‘‡๐’›)โ€ ๐ด(๐‘‡๐’›) = ๐’›โ€ ๐‘‡โ€ ๐ด๐‘‡๐’› = ๐’›โ€ ๐ดโ€ฒ๐’› = ๐‘„โ€ฒ(๐’›) (1.13.2)

in cui si รจ posto:

๐ดโ€ฒ = ๐‘‡โ€ ๐ด๐‘‡ (1.13.3)

๐‘„โ€ฒ(๐’›)รจ una forma hermitiana in ๐’› poichรฉ risulta:

๐ดโ€ฒโ€ = (๐‘‡โ€ ๐ด๐‘‡)โ€  = ๐‘‡โ€ ๐ดโ€ ๐‘‡ = ๐‘‡โ€ ๐ด๐‘‡ = ๐ดโ€ฒ (1.13.4)

๐ดโ€ฒ รจ hermitiana.

Per autovettore associato ad una matrice quadrata di ordine ๐‘› si

intende una soluzione non banale del sistema di equazioni dipendente

dal parametro ๐œ†:

Page 36: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

24 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

(๐ด โˆ’ ๐œ†๐ผ)๐’— = 0 (1.13.5)

Poichรฉ il sistema รจ omogeneo, esso ammette soluzioni non banali solo

se รจ nullo il determinante della matrice dei coefficienti. L'imposizione di

tale condizione conduce a una equazione polinomiale di grado ๐‘› nell'in-

cognita ๐œ†. Detta equazione ammette al piรน ๐‘› soluzioni distinte, dette au-

tovalori della matrice.

Ogni vettore non banale ๐’—๐‘– che soddisfa l'equazione:

๐ด๐’—๐‘– = ๐œ†๐‘–๐’—๐‘– (1.13.6)

cioรจ alla (1.13.5) scritta per l'autovalore ๐œ†๐‘–, รจ chiamato autovettore asso-

ciato all'autovalore considerato.

Ci si convince facilmente del fatto che se ๐’—๐‘– รฉ un autovettore di

๐ด, tale รจ anche un qualunque vettore ๐’–๐‘– = ๐›ผ๐’—๐‘– dove ๐›ผ รจ un complesso

qualsiasi. In particolare ponendo ๐›ผ = (โˆš๐’—๐‘–โ€ ๐’—๐‘–)

โˆ’1

si ottiene un autovet-

tore ๐’–๐‘– che soddisfa la condizione di normalizzazione

๐’–๐‘–โ€ ๐’–๐‘– = 1 (1.13.7)

e viene quindi chiamato autoversore della matrice.

Si osservi che gli autovalori di una matrice hermitiana ๐ด sono rea-

li. Infatti premoltimplicando ambo i membri della (1.13.6) per ๐’—๐‘–โ€  si ha:

๐’—๐‘–โ€ ๐ด๐’—๐‘– = ๐’—๐‘–

โ€ ๐œ†๐‘–๐’—๐‘– = ๐œ†๐‘–๐’—๐‘–โ€ ๐’—๐‘– . (1.13.8)

Ricordando che in virtรน della (1.12.8) una forma hermitiana assume solo

valori reali e poichรฉ ๐’—๐‘–โ€ ๐’—๐‘– รจ, come si verifica facilmente, reale, ๐œ†๐‘– deve es-

sere necessariamente reale.

Si puรฒ anche mostrare che autovettori ๐’—๐‘–, ๐’—๐‘—, associati a una ma-

trice hermitiana ๐ด, relativi a due autovalori distinti ๐œ†๐‘–, ๐œ†๐‘—, sono mutua-

mente ortogonali, cioรจ soddisfano lโ€™uguaglianza:

๐’—๐‘–โ€ ๐’—๐‘— = 0 (1.13.9)

Infatti, in virtรน della (1.13.6) e della appartenenza ad โ„ degli au-

tovalori, si puรฒ scrivere:

๐œ†๐‘—๐’—๐‘–

โ€ ๐’—๐‘— = ๐’—๐‘–โ€ ๐œ†๐‘—๐’—๐‘— = ๐’—๐‘–

โ€ ๐ด๐’—๐‘— = (๐’—๐‘—โ€ ๐ดโ€ ๐’—๐‘–)

โ€  =

= (๐’—๐‘—โ€ ๐ด๐’—๐‘–)

โ€  = (๐’—๐‘—โ€ ๐œ†๐‘–๐’—๐‘–)

โ€  = ๐œ†๐‘–โˆ—๐’—๐‘–

โ€ ๐’—๐‘— = ๐œ†๐‘–๐’—๐‘–โ€ ๐’—๐‘—

(1.13.10)

Page 37: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 1 - Richiami di Matematica - 25

Essendo per ipotesi ๐œ†๐‘– โ‰  ๐œ†๐‘— dalla precedente discende la (1.13.9).

In quel che segue si ipotizza per semplicitร  che tutti gli autovalori

della matrice hermitiana ๐ด abbiano molteplicitร  1, o che รจ lo stesso, che

il suo polinomio caratteristico ammette ๐‘› radici distinte.

Si vuole provare che, mediante una trasformazione del tipo

(1.13.3), รจ possibile individuare un riferimento rispetto al quale la forma

hermitiana si presenta in forma diagonale3.

A tal fine si consideri la matrice ๐‘‡ degli autovettori normalizzati

di ๐ด:

๐‘‡ = [๐’–1 ๐’–2 โ‹ฏ ๐’–๐‘›] (1.13.11)

Risulta:

๐‘‡โ€ ๐‘‡ = [๐’–1โ€ 

โ‹ฎ

๐’–๐‘›โ€ ] [๐’–1 โ‹ฏ ๐’–๐‘›] = ๐ผ (1.13.12)

da cui immediatamente si evince che ๐‘‡โ€  = ๐‘‡โˆ’1 e che ๐‘‡ ha determinante

unitario.

Sostituendo la matrice ๐‘‡ appena introdotta nella (1.13.3) si ottie-

ne:

๐ดโ€ฒ =

[ ๐’–1

โ€ 

๐’–2โ€ 

โ‹ฎ

๐’–๐‘›โ€  ]

๐ด[๐’–1, ๐’–2, โ€ฆ , ๐’–๐‘›]

=

[ ๐’–1

โ€ ๐ด๐’–1 ๐’–1โ€ ๐ด๐’–2 โ€ฆ ๐’–1

โ€ ๐ด๐’–๐‘›

๐’–2โ€ ๐ด๐’–1 ๐’–2

โ€ ๐ด๐’–2 โ€ฆ ๐’–2โ€ ๐ด๐’–๐‘›

โ€ฆ โ€ฆ โ€ฆ โ€ฆ

๐’–๐‘›โ€ ๐ด๐’–1 ๐’–๐‘›

โ€ ๐ด๐’–2 โ€ฆ ๐’–๐‘›โ€ ๐ด๐’–๐‘›]

(1.13.13)

che, ricordando le (1.13.6), (1.13.7) e la (1.13.9) diventa:

๐ดโ€ฒ =

[ ๐œ†1๐’–1

โ€ ๐’–1 0 โ€ฆ 0

0 ๐œ†2๐’–2โ€ ๐’–2 โ€ฆ 0

โ€ฆ โ€ฆ โ€ฆ โ€ฆ

0 0 โ€ฆ ๐œ†๐‘›๐’–๐‘›โ€ ๐’–๐‘›]

= diag(๐œ†1, ๐œ†2, โ€ฆ , ๐œ†๐‘›)

(1.13.14)

3 Si noti che la diagonalizzazione di una forma hermitiana รจ possibile anche nel caso in cui gli

autovalori non abbiano tutti molteplicitร  1

Page 38: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

26 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Per effetto di tale trasformazione quindi la forma hermitiana si ri-

scrive:

๐‘„โ€ฒ(๐’›) =โˆ‘๐œ†๐‘–๐‘ง๐‘–๐‘ง๐‘–โˆ—

๐‘›

๐‘–=1

(1.13.15)

Si osservi che, il determinante di ๐ด รจ uguale al determinante di ๐ดโ€ฒ,

che a sua volta รจ dato da โˆ ๐œ†๐‘–๐‘›๐‘–=1 . Se ne conclude che una matrice hermi-

tiana ha determinante reale.

Forme hermitiane semidefinite positive. 1.14 -

Una forma hermitiana si dice semidefinita positiva se per ogni ๐’™ risulta:

๐‘„(๐’™) โ‰ฅ 0 (1.14.1)

Se risulta ๐‘„(๐’™) = 0 solo per ๐’™ = ๐จ la forma si dice definita positi-

va.

Se una forma hermitiana รจ semidefinita positiva ovviamente tale รจ

anche la sua forma equivalente ๐‘„โ€ฒ(๐’›). In particolare ciรฒ comporta:

๐œ†1 โ‰ฅ 0,โ€‰โ€‰๐œ†2 โ‰ฅ 0,โ€‰โ€ฆ , ๐œ†๐‘› โ‰ฅ 0 (1.14.2)

quindi deve anche essere:

det(๐ด) โ‰ฅ 0 (1.14.3)

Ci si convince facilmente che attribuendo valore zero a ๐‘› โˆ’ ๐‘Ÿ va-

riabili di una forma hermitiana semidefinita positiva si ottiene ancora

una forma hermitiana semidefinita positiva nelle ๐‘Ÿ variabili non nulle.

Assumendo, senza per questo ledere la generalitร , che le variabili non

necessariamente nulle siano le prime ๐‘Ÿ, si deduce che la condizione di

semidefinitezza positiva comporta anche:

๐‘Ž11 โ‰ฅ 0; โ€‰โ€‰โ€‰ |๐‘Ž11 ๐‘Ž12๐‘Ž21 ๐‘Ž22

| โ‰ฅ 0; โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰ |

๐‘Ž11 ๐‘Ž12 โ€ฆ ๐‘Ž1๐‘›๐‘Ž21 ๐‘Ž22 โ€ฆ ๐‘Ž2๐‘›โ€ฆ โ€ฆ โ€ฆ โ€ฆ๐‘Ž๐‘›1 ๐‘Ž๐‘›2 โ€ฆ ๐‘Ž๐‘›๐‘›

| โ‰ฅ 0; (1.14.4)

Cioรจ i determinanti dei minori principali della matrice di una forma

hermitiana semidefinita positiva non possono essere negativi.

Si puรฒ dimostrare che tale condizione รจ anche sufficiente affinchรฉ

la forma sia semidefinita positiva.

Esempio 1.3

La forma

Page 39: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 1 - Richiami di Matematica - 27

๐‘„(๐’™) = (4๐œ‰ + 5)๐‘ฅ1๐‘ฅ1โˆ— + ๐‘ฅ1

โˆ—๐‘ฅ2 + ๐‘ฅ1๐‘ฅ2โˆ— + (๐œ‰ + 2)๐‘ฅ2๐‘ฅ2

โˆ—

รจ una forma hermitiana nelle variabili ๐’™ = [๐‘ฅ1 ๐‘ฅ2]๐‘‡ dipendente dal para-

metro ๐œ‰, in quanto la matrice ad essa associata, essendo reale รจ simmetrica

soddisfa la (1.12.6).

Per studiarne la natura, occorre prendere in considerazione la matrice ad

essa associata

๐ด = [4๐œ‰ + 5 11 ๐œ‰ + 2

]

il cui determinate vale:

๐‘‘๐‘’๐‘ก(๐ด) = (4๐œ‰ + 5)(๐œ‰ + 2) โˆ’ 1 = 4๐œ‰2 + 13๐œ‰ + 9

Esso si annulla in corrispondenza dei valori di ๐œ‰ dati dalle:

{

๐œ‰1 =

โˆ’13 โˆ’ โˆš132 โˆ’ 16 โ‹… 9

8=โˆ’13 โˆ’ 5

8= โˆ’1

๐œ‰2 =โˆ’13 + โˆš132 โˆ’ 16 โ‹… 9

8=โˆ’13 + 5

8= โˆ’

9

4

Poichรฉ risulta:

det(๐ด) โ‰ฅ 0 per ๐œ‰ โ‰ค โˆ’9

4 โ‹ ๐œ‰ โ‰ฅ โˆ’1

e anche

4๐œ‰ + 5 โ‰ฅ 0 per ๐œ‰ โ‰ฅ โˆ’5

4

la forma hermitiana รจ semidefinita positiva solo se:

๐œ‰ โ‰ฅ โˆ’1

Prodotto scalare. 1.15 -

Lo spazio vettoriale X sul campo โ„‚ dei numeri complessi si puรฒ

dotare di prodotto scalare, se รจ possibile definire una applicazione, qui

indicata con la notazione โŸจ๐’™, ๐’šโŸฉ, di X ร— X su โ„‚ che soddisfa le seguenti

proprietร :

{

๐‘Ž) โŸจ๐’™, ๐’šโŸฉ = โŸจ๐’š, ๐’™โŸฉโˆ—;

๐‘) โŸจ๐’™, ๐’™โŸฉ โ‰ฅ 0; โŸจ๐’™, ๐’™โŸฉ = 0 โ‡” ๐’™ = ๐’;

๐‘) โŸจ๐œ†๐’™, ๐’šโŸฉ = ๐œ†โŸจ๐’™, ๐’šโŸฉ = โŸจ๐’™, ๐œ†โˆ—๐’šโŸฉ;

๐‘‘) โŸจ(๐’™ + ๐’š), ๐’›โŸฉ = โŸจ๐’™, ๐’›โŸฉ + โŸจ๐’š, ๐’›โŸฉ;

(1.15.1)

Si noti che la proprietร  (1.15.1)a, implica che la quantitร  a primo

membro della (1.15.1)b deve essere reale. Tale osservazione consente di

dedurre dai primi due l'ultimo membro della (1.15.1)c.

Page 40: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

28 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

La proprietร  (1.15.1)c si riassume dicendo che il prodotto scalare

รจ lineare a sinistra ed antilineare a destra.

Detti ๐’™1, ๐’™2 due elementi di X e ๐‘˜1, ๐‘˜2 due complessi, si ha:

0 โ‰ค โŸจ๐‘˜1๐’™1 + ๐‘˜2๐’™2, ๐‘˜1๐’™1 + ๐‘˜2๐’™2โŸฉ

= ๐‘˜1โŸจ๐’™1, ๐‘˜1๐’™1 + ๐‘˜2๐’™2โŸฉ + ๐‘˜2โŸจ๐’™2, ๐‘˜1๐’™1 + ๐‘˜2๐’™2โŸฉ (1.15.2)

e per la proprietร  (1.15.1)a:

0 โ‰ค ๐‘˜1โŸจ๐‘˜1๐’™1 + ๐‘˜2๐’™2, ๐’™1โŸฉโˆ— + ๐‘˜2โŸจ๐‘˜1๐’™1 + ๐‘˜2๐’™2, ๐’™2โŸฉ

โˆ—

= โŸจ๐’™1, ๐’™1โŸฉโˆ—๐‘˜1๐‘˜1

โˆ— + โŸจ๐’™2, ๐’™1โŸฉโˆ—๐‘˜1๐‘˜2

โˆ— + โŸจ๐’™1, ๐’™2โŸฉโˆ—๐‘˜1

โˆ—๐‘˜2

+ โŸจ๐’™2, ๐’™2โŸฉโˆ—๐‘˜2๐‘˜2

โˆ—

= โŸจ๐’™1, ๐’™1โŸฉ๐‘˜1๐‘˜1โˆ— + โŸจ๐’™1, ๐’™2โŸฉ๐‘˜1๐‘˜2

โˆ— + โŸจ๐’™1, ๐’™2โŸฉ โˆ— ๐‘˜1โˆ—๐‘˜2

+ โŸจ๐’™2, ๐’™2โŸฉ๐‘˜2๐‘˜2โˆ—

(1.15.3)

Ciรฒ significa che la forma hermitiana

โ„Ž(๐‘˜1, ๐‘˜2) = ๐‘Ž11๐‘˜1๐‘˜1โˆ— + ๐‘Ž12๐‘˜1๐‘˜2

โˆ— + ๐‘Ž21๐‘˜1โˆ—๐‘˜2 + ๐‘Ž22๐‘˜2๐‘˜2

โˆ— (1.15.4)

dove:

๐‘Ž11 = โŸจ๐’™1, ๐’™1โŸฉ ๐‘Ž12 = โŸจ๐’™1, ๐’™2โŸฉ๐‘Ž21 = โŸจ๐’™1, ๐’™2โŸฉ

โˆ— ๐‘Ž22 = โŸจ๐’™2, ๐’™2โŸฉ (1.15.5)

รจ semidefinita positiva. Pertanto deve essere ๐‘Ž11๐‘Ž22 โˆ’ ๐‘Ž12๐‘Ž21 โ‰ฅ 0.

Tenendo conto delle (1.15.5), si deduce che vale la disuguaglianza

di Schwarz:

|โŸจ๐’™1, ๐’™2โŸฉ| โ‰ค โŸจ๐’™1, ๐’™1โŸฉ1

2 โ‹… โŸจ๐’™2, ๐’™2โŸฉ1

2 (1.15.6)

Che รจ verificata come uguaglianza quando, in accordo con la

proprietร  (1.15.1)b, si ha ๐’™1 = ๐’ e/o ๐’™2 = ๐’, ovvero se risulta:

๐’™1 = ๐‘˜๐’™2 (1.15.7)

dove ๐‘˜ โˆˆ โ„‚.

Se uno spazio รจ dotato di prodotto scalare esso รจ implicitamente

anche uno spazio normato nel senso che la quantitร  โˆšโŸจ๐’™, ๐’™โŸฉ รจ una possi-

bile norma per X. Essa infatti รจ una quantitร  reale e non negativa; inoltre

risulta:

โŸจ๐‘˜๐’™, ๐‘˜๐’™โŸฉ = ๐‘˜โŸจ๐’™, ๐‘˜๐’™โŸฉ = ๐‘˜โŸจ๐‘˜๐’™, ๐’™โŸฉโˆ— = |๐‘˜|2โŸจ๐’™, ๐’™โŸฉ (1.15.8)

e quindi

Page 41: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 1 - Richiami di Matematica - 29

โŸจ๐‘˜๐’™, ๐‘˜๐’™โŸฉ1

2 = |๐‘˜|โŸจ๐’™, ๐’™โŸฉ1

2 (1.15.9)

il che significa che la proprietร  (1.11.1)b della norma รจ verificata.

In base alla proprietร  (1.15.1)c si ottiene facilmente:

โŸจ(๐’™1 + ๐’™2), (๐’™1 + ๐’™2)โŸฉ = โŸจ๐’™1, ๐’™1โŸฉ + 2Re[โŸจ๐’™1, ๐’™2โŸฉ] + โŸจ๐’™2, ๐’™2โŸฉ (1.15.10)

dalla quale applicando la disuguaglianza di Schwarz si deduce:

โŸจ๐’™1 + ๐’™2, ๐’™1 + ๐’™2โŸฉ1

2 โ‰ค (โŸจ๐’™1, ๐’™1โŸฉ + 2|โŸจ๐’™1, ๐’™2โŸฉ| + โŸจ๐’™2, ๐’™2โŸฉ)1

2

โ‰ค (โŸจ๐’™1, ๐’™1โŸฉ + 2โŸจ๐’™1, ๐’™1โŸฉ1

2โŸจ๐’™2, ๐’™2โŸฉ1

2 + โŸจ๐’™2, ๐’™2โŸฉ)

1

2

= โŸจ๐’™1, ๐’™1โŸฉ1

2 + โŸจ๐’™2, ๐’™2โŸฉ1

2

(1.15.11)

che corrisponde alla proprietร  (1.11.1)c della norma.

In definitiva se X รจ dotato di prodotto scalare a esso si puรฒ anche

associare la norma cosรฌ definita:

โ€–๐’™โ€– = โŸจ๐’™, ๐’™โŸฉ1

2 (1.15.12)

Se due vettori ๐’™1 e ๐’™2 sono tali che il loro prodotto scalare si an-

nulla si dicono ortogonali. Se essi hanno anche norma unitaria cioรจ se:

โŸจ๐’™1, ๐’™2โŸฉ = 0โ€‰โ€‰ โˆง โ€‰โ€‰โ€–๐’™1โ€– = โ€–๐’™2โ€–โ€‰ = 1 (1.15.13)

si dicono ortonormali.

Uno spazio vettoriale dotato di prodotto scalare, รจ anche uno

spazio metrico. Infatti รจ possibile assumere come distanza tra due ele-

menti qualsiasi dello spazio la quantitร :

๐‘‘(๐’™๐Ÿ, ๐’™๐Ÿ) = โ€–๐’™๐Ÿ โˆ’ ๐’™๐Ÿโ€– = โˆšโŸจ๐’™๐Ÿ โˆ’ ๐’™๐Ÿ, ๐’™๐Ÿ โˆ’ ๐’™๐ŸโŸฉ (1.15.14)

Con ciรฒ non si intende dire che non รจ possibile definire su uno

spazio dotato di prodotto scalare altre metriche o altre norme, ma sem-

plicemente che, se si definisce su uno spazio un prodotto scalare, a esso

naturalmente si associano la metrica e la norma da esso indotte e con es-

so coerenti.

Uno spazio vettoriale dotato di prodotto scalare che sia anche

completo รจ detto spazio di Hilbert.

Page 42: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

30 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Vettori linearmente indipendenti. 1.16 -

Sia dato uno spazio vettoriale X sul campo โ„‚, si considerino ๐‘›

suoi vettori (๐’™1, ๐’™2, โ€ฆ , ๐’™๐‘›) e una ๐‘›-upla di complessi (๐›ผ1, ๐›ผ2, โ€ฆ , ๐›ผ๐‘›) e sia

๐’™ il vettore di X ottenuto combinando linearmente i vettori anzidetti a

mezzo della ๐‘›-upla di costanti. In simboli:

๐’™ =โˆ‘๐›ผ๐‘–๐’™๐‘–

๐‘›

๐‘–=1

(1.16.1)

se risulta:

๐’™ =โˆ‘๐›ผ๐‘–๐’™๐‘–

๐‘›

๐‘–=1

= ๐’ โ‡”โˆ‘|๐›ผ๐‘–|

๐‘›

๐‘–=1

= 0 (1.16.2)

cioรจ se l'unica ๐‘›-upla di scalari (๐›ผ1, ๐›ผ2, โ€ฆ , ๐›ผ๐‘›) che porta nell'origine dello

spazio รจ quella i cui elementi sono tutti nulli, si dice che i vettori

(๐’™1, ๐’™2, โ€ฆ , ๐’™๐‘›) sono linearmente indipendenti.

Si verifica facilmente che il sottoinsieme di X generato da tutte le

possibili combinazioni lineari di ๐‘› vettori รจ a sua volta uno spazio vetto-

riale, generalmente un sottospazio, non necessariamente proprio, di X.

Se gli ๐‘› vettori sono linearmente indipendenti, e se lo spazio da

essi generato coincide con X, si dice che gli ๐‘› vettori sono una base per

X.

รˆ Inoltre facile convincersi del fatto che se ๐‘› vettori sono una ba-

se per lo spazio vettoriale X e ad essi si aggiunge un ulteriore vettore gli

๐‘› + 1 vettori cosรฌ ottenuti sono linearmente dipendenti. Inoltre se ๐‘› vet-

tori linearmente indipendenti generano X comunque presa un'altra ๐‘›-

upla di vettori linearmente indipendenti di X anche essa generร  X. Ciรฒ si-

gnifica che il parametro ๐‘› รจ caratteristico dello spazio vettoriale conside-

rato e ne individua la dimensione.

รˆ opportuno osservare che uno spazio vettoriale non deve neces-

sariamente avere dimensione finita; in questo caso si dice che lo spazio

ha dimensione infinita.

Dato uno spazio vettoriale X di dimensione ๐‘›, finita o infinita,

๐‘˜ < ๐‘› vettori linearmente indipendenti di detto spazio generano uno

spazio vettoriale di dimensione ๐‘˜ contenuto propriamente in X.

Si osservi che scegliere una base per uno spazio vettoriale X di

dimensione ๐‘ equivale a definire una corrispondenza biunivoca tra i vet-

Page 43: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 1 - Richiami di Matematica - 31

tori dello spazio e tutte le possibili ๐‘-uple ordinate (๐›ผ1, ๐›ผ2, โ€ฆ , ๐›ผ๐‘) di

numeri complessi cioรจ tra il generico vettore di X e il generico punto di

โ„‚๐‘ che รจ a sua volta uno spazio vettoriale. Il generico elemento ๐›ผ๐‘– di tale

๐‘-upla รจ la componente ๐‘–-esima del vettore rispetto alla base prescelta. Il

vettore ๐›ผ๐‘–๐’™๐‘– รจ il componente ๐‘–-esimo rispetto alla predetta base.

Page 44: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf
Page 45: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 2

RAPPRESENTAZIONE VETTORIALE DEI SEGNALI

Premessa. 2.1 -

Un segnale a tempo continuo puรฒ essere identificato mediante

una funzione generalmente complessa di ๐‘ variabili reali definita in

D โŠ† โ„๐‘.

In quel che segue, si considerano prevalentemente segnali dipen-

denti da una sola variabile che generalmente รจ il tempo. Essi sono quindi

rappresentati da funzioni del tipo:

๐‘ : ๐‘ก โˆˆ T โŠ† โ„ โ†’ โ„‚ (2.1.1)

Il primo passo nell'analisi di un segnale consiste nella sua classifi-

cazione, che si effettua sulla base delle proprietร  di cui gode. Ciรฒ equiva-

le a considerare il segnale come appartenente a una data classe o insie-

me. Se S denota un tale insieme e ๐‘ (๐‘ก) รจ un suo elemento, si scrive:

๐‘ (๐‘ก) โˆˆ S (2.1.2)

Esempi di tali insiemi sono:

- l'insieme S๐‘† dei segnali sinusoidali, definito dalla seguente regola di

appartenenza:

๐‘ (๐‘ก) โˆˆ S๐‘† โ‡” ๐‘ (๐‘ก) = ๐‘‰0Re[๐‘’๐‘—(2๐œ‹๐‘“๐‘ก+๐œ‘)]; (๐‘‰0 โ‰ฅ ,0, ๐‘“, ๐œ‘ โˆˆ โ„) (2.1.3)

- l'insieme S๐‘ƒ dei segnali periodici che obbedisce alla:

๐‘ (๐‘ก) โˆˆ S๐‘ƒ โ‡’ โˆƒ ๐‘‡ > 0 | โˆ€ ๐‘ก โ‡’ ๐‘ (๐‘ก) = ๐‘ (๐‘ก + ๐‘‡) (2.1.4)

- l'insieme ๐‘†๐ท dei segnali a durata limitata cosi definiti:

๐‘ (๐‘ก) โˆˆ S๐ท โ‡’ โˆƒ๐‘ก1 โˆง ๐‘ก2 โˆˆ โ„ | ๐‘ (๐‘ก) = 0 โˆ€ ๐‘ก โˆ‰ [๐‘ก1, ๐‘ก2] (2.1.5)

- L'insieme ๐‘†๐ต dei segnali a banda limitata cioรจ quelli per cui si ha:

๐‘ (๐‘ก) โˆˆ S๐ต โ‡’ โˆƒ ๐‘“1 โˆง ๐‘“2 โˆˆ โ„ | โˆซ ๐‘ (๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘ก

โˆž

โˆ’โˆž

= 0,

โˆ€ ๐‘“ | |๐‘“| โˆ‰ [๐‘“1, ๐‘“2]

(2.1.6)

Page 46: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

34 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

รˆ evidente che se si riesce ad associare a un dato insieme di se-

gnali una struttura algebrica, si possono meglio evidenziare particolari

caratteristiche degli elementi che lo compongono. Ad esempio se su un

dato insieme si definisce una metrica diventa possibile associare una di-

stanza a ogni coppia di suoi elementi.

L'individuazione di una struttura algebrica piรน complessa, su un

dato insieme di segnali, come ad esempio quella di spazio vettoriale,

permette di utilizzare gli strumenti propri dell'Algebra lineare. Ad esem-

pio, lo sviluppo di un segnale in termini di unโ€™opportuna base dello spa-

zio, permetterebbe di rappresentare il segnale mediante una sequenza al

piรน numerabile di coefficienti. Tale tipo di rappresentazione ha come

immediata conseguenza una notevole semplificazione nell'applicazione

di tecniche numeriche all'analisi dei segnali. Inoltre, la struttura di spazio

vettoriale rende alcune proprietร  evidenti e intuitivamente accettabili, in

quanto si presta a semplici analogie di tipo geometrico. Dette analogie

risultano inoltre particolarmente efficaci nell'approccio a molti problemi,

la cui soluzione, affrontata per via puramente analitica, risulterebbe ol-

tremodo complessa.

Una classe di segnali di particolare interesse รจ costituita dai segnali

ad energia finita. Se si vuole associare a tale classe la desiderata struttura

di spazio vettoriale, รจ necessario tuttavia raffinare la definizione di se-

gnale come verrร  chiarito nel prossimo paragrafo.

Lo spazio dei segnali a energia finita. 2.2 -

Si consideri l'insieme delle funzioni reali o complesse appartenen-

ti a ๐”2(โ„). In detto insieme sโ€™introduce la relazione di equivalenza: due

funzioni sono equivalenti se assumono valori diversi solo in un sottoin-

sieme di โ„ di misura nulla cioรจ se le funzioni sono uguali quasi ovunque.

La relazione di equivalenza appena introdotta definisce una parti-

zione S di ๐”2(โ„). S รจ cioรจ una famiglia di sottoinsiemi disgiunti di

๐”2(โ„), detti classi di equivalenza, la cui unione ricopre ๐”2(โ„).

Ciascun elemento ๐‘  di S รจ un segnale. In altri termini due funzioni

in ๐”2(โ„) uguali quasi ovunque rappresentano lo stesso segnale in quan-

to appartengono alla medesima classe di equivalenza.

Siano ๐‘ 1(๐‘ก), ๐‘ 2(๐‘ก) due funzioni scelte arbitrariamente nelle rispet-

tive classi di equivalenza ๐’”1, ๐’”2. La funzione ๐‘ (๐‘ก) = ๐‘ 1(๐‘ก) + ๐‘ 2(๐‘ก), appar-

tenendo, in virtรน della (1.8.3), a ๐”2(โ„), individua un solo segnale ๐’” โˆˆ S

Page 47: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 2 โ€“ Rappresentazione Vettoriale dei Segnali -35-

che costituisce la somma dei segnali ๐’”1, ๐’”2. In modo analogo si puรฒ de-

finire in S l'elemento ๐›ผ๐’” con ๐›ผ costante complessa.

รˆ facile verificare che S รจ un gruppo commutativo rispetto all'o-

perazione di somma sopra definita. L'elemento neutro di detto gruppo รจ

la classe delle funzioni quasi ovunque nulle.

Dalle ultime considerazioni svolte, discende che S ha la struttura

di spazio vettoriale. Esso รจ denominato spazio dei segnali a energia fini-

ta. Tale nome รจ giustificato dal fatto che a ogni elemento ๐’” โˆˆ S si puรฒ

associare la quantitร :

๐ธ = โˆซ |๐‘ (๐‘ก)|2๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

< โˆž (2.2.1)

che, essendo invariante rispetto alla scelta di ๐‘ (๐‘ก) nella classe ๐’”, esprime

l'energia specifica associata al segnale ๐’”.

In quel che segue, per brevitร , spesso un segnale ๐‘  verrร  denotato

mediante una qualunque funzione ๐‘ (๐‘ก) appartenente alla classe di equi-

valenza associata al segnale in esame.

Prodotto scalare

Dati due generici elementi ๐’”1 ed ๐’”2 dello spazio S ad essi si puรฒ

associare la quantitร  generalmente complessa definita dalla:

โŸจ๐’”1, ๐’”2โŸฉ = โˆซ ๐‘ 1(๐‘ก)๐‘ 2โˆ—(๐‘ก)๐‘‘๐‘ก

โˆž

โˆ’โˆž

(2.2.2)

Detta quantitร  esiste ed รจ limitata in modulo. Infatti tenendo conto della

(1.8.4), risulta:

|โˆซ ๐‘ 1(๐‘ก)๐‘ 2โˆ—(๐‘ก)๐‘‘๐‘ก

โˆž

โˆ’โˆž

| โ‰ค โˆซ |๐‘ 1(๐‘ก)๐‘ 2โˆ—(๐‘ก)|๐‘‘๐‘ก

โˆž

โˆ’โˆž

โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰ โ‰ค (โˆซ |๐‘ 1(๐‘ก)|2๐‘‘๐‘ก

โˆž

โˆ’โˆž

)

1

2

(โˆซ |๐‘ 2(๐‘ก)|2๐‘‘๐‘ก

โˆž

โˆ’โˆž

)

1

2

< โˆž

(2.2.3)

La (2.2.2) definisce un prodotto scalare in quanto รจ facile verifica-

re che essa soddisfa le proprietร  (1.15.1) che lo caratterizzano.

Distanza

Da quanto esposto nel Capitolo precedente, discende che lo spa-

zio S, essendo dotato di prodotto scalare, รจ uno spazio metrico. La di-

Page 48: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

36 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

stanza ๐‘‘(๐’”1, ๐’”2) tra due qualsiasi suoi elementi, coerente con la (2.2.2), รจ

definita dalla:

๐‘‘(๐’”1, ๐’”2) = โŸจ๐’”1 โˆ’ ๐’”2, ๐’”1 โˆ’ ๐’”2โŸฉ1

2 = (โˆซ |๐‘ 1(๐‘ก) โˆ’ ๐‘ 2(๐‘ก)|2๐‘‘๐‘ก

โˆž

โˆ’โˆž

)

1

2

(2.2.4)

Norma

Lo spazio S รจ normato. Infatti ad esso puรฒ associarsi la seguente

norma:

โ€–๐’”โ€– = โˆšโŸจ๐’”, ๐’”โŸฉ = (โˆซ |๐‘ (๐‘ก)|2๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

)

1

2

(2.2.5)

รˆ opportuno sottolineare che รจ possibile definire in S diversi

prodotti scalari, tuttavia quello definito dalla (2.2.2), come si nota facil-

mente, induce una norma che รจ legata all'energia specifica del segnale.

Le (2.2.4), (2.2.5) si chiamano rispettivamente distanza e norma

euclidea per la loro evidente analogia alle corrispondenti grandezze defi-

nite nello spazio euclideo.

Ad ogni segnale non nullo corrisponde un segnale normalizzato:

๐’– =๐’”

โ€–๐’”โ€– (2.2.6)

che ha evidentemente norma unitaria.

Esempio 2.1

Si valuti la distanza fra i segnali rappresentati dalle seguenti funzioni:

๐‘ 1(๐‘ก) = cos (2๐œ‹๐‘ก

๐‘‡)โŠ“ (

๐‘ก

๐‘‡) , ๐‘ 2(๐‘ก) = cos (

2๐œ‹(๐‘ก + ๐œ)

๐‘‡)โŠ“ (

๐‘ก

๐‘‡)

Essendo:

|๐‘ 1(๐‘ก) โˆ’ ๐‘ 2(๐‘ก)| = 2 |sin (๐œ‹๐œ

๐‘‡) sin (

๐œ‹(2๐‘ก + ๐œ)

๐‘‡)|โŠ“ (

๐‘ก

๐‘‡)

risulta:

๐‘‘2(๐’”๐Ÿ, ๐’”๐Ÿ) = 4sin2 (๐œ‹๐œ

๐‘‡)โˆซ sin2 (

๐œ‹(2๐‘ก + ๐œ)

๐‘‡)๐‘‘๐‘ก

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

= 2๐‘‡sin2 (๐œ‹๐œ

๐‘‡)

da cui:

๐‘‘(๐’”๐Ÿ, ๐’”๐Ÿ) = โˆš2๐‘‡ |sin (๐œ‹๐œ

๐‘‡)|

Page 49: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 2 โ€“ Rappresentazione Vettoriale dei Segnali -37-

Segnali linearmente indipendenti. 2.3 -

Un insieme di ๐‘› segnali appartenenti allo spazio dei segnali genera

un sottospazio di dimensione finita. A priori, non รจ detto che la dimen-

sione di detto sottospazio sia uguale al numero dei segnali presi in con-

siderazione, in quanto si puรฒ verificare il caso in cui almeno uno dei se-

gnali considerati รจ esprimibile mediante una opportuna combinazione

lineare dei restanti. รˆ quindi evidente l'opportunitร  di individuare dei

metodi per stabilire se ๐‘› segnali sono linearmente indipendenti al fine di

determinare lโ€™effettiva dimensione del sottospazio da essi generato.

Un metodo generale per stabilire la lineare indipendenza di ๐‘› se-

gnali si ottiene osservando il determinante della seguente matrice di

Gram:

[

โŸจ๐’”1, ๐’”1โŸฉ โŸจ๐’”1, ๐’”2โŸฉ โ€ฆ โŸจ๐’”1, ๐’”๐‘›โŸฉโŸจ๐’”2, ๐’”1โŸฉ โŸจ๐’”2, ๐’”2โŸฉ โ€ฆ โŸจ๐’”2, ๐’”๐‘›โŸฉโ€ฆ โ€ฆ โ€ฆ โ€ฆ

โŸจ๐’”๐‘›, ๐’”1โŸฉ โŸจ๐’”๐‘› , ๐’”2โŸฉ โ€ฆ โŸจ๐’”๐‘›, ๐’”๐‘›โŸฉ

] (2.3.1)

Vale il seguente teorema:

Teorema 2.1 (di Gram)

๐‘› segnali sono linearmente dipendenti se e solo se il determinante di Gram

๐บ(๐’”1, ๐’”2, โ€ฆ , ๐’”๐‘›) ad essi relativo รจ nullo.

Necessarietร :

se con {๐‘ ๐‘–}๐‘–=1๐‘› si denota un insieme di ๐‘› segnali linearmente dipendenti,

devono esistere ๐‘› costanti {๐‘๐‘–}, non tutte nulle, tali che:

โˆ‘๐‘๐‘–๐’”๐‘– = ๐’

๐‘›

๐‘–=1

(2.3.2)

Effettuando il prodotto scalare tra il primo membro della precedente e il

generico segnale ๐‘ ๐‘— si ottengono le ๐‘› equazioni:

โˆ‘๐‘๐‘–โŸจ๐‘ ๐‘– , ๐‘ ๐‘—โŸฉ = 0;

๐‘›

๐‘–=1

j=1,2,โ€ฆ,n (2.3.3)

che, riguardate come un sistema lineare omogeneo di ๐‘› equazioni nelle

๐‘› incognite {๐‘๐‘–}, devono ammettere una soluzione non banale. Pertanto

la matrice dei coefficienti di detto sistema deve essere singolare.

Sufficienza:

Page 50: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

38 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

se รจ ๐บ(๐’”1, ๐’”2, โ€ฆ , ๐’”๐‘›) = 0 il sistema omogeneo (2.3.3) ammette anche so-

luzioni diverse dall'identica. Detta {๐œ†๐‘–} una tale soluzione, si consideri il

segnale:

๐’” =โˆ‘๐œ†๐‘–๐’”๐‘–

๐‘›

๐‘–=1

(2.3.4)

Si ha:

โ€–๐’”โ€–2 = โŸจโˆ‘๐œ†๐‘–๐’”๐‘–

๐‘›

๐‘–=1

,โˆ‘๐œ†๐‘—๐’”๐‘—

๐‘›

๐‘—=1

โŸฉ = โˆ‘ ๐œ†๐‘–๐œ†๐‘—โˆ—โŸจ๐’”๐‘– , ๐‘ ๐‘—โŸฉ

๐‘›

๐‘–,๐‘—=1

=โˆ‘๐œ†๐‘—โˆ— (โˆ‘๐œ†๐‘–โŸจ๐’”๐‘– , ๐’”๐‘—โŸฉ

๐‘›

๐‘–=1

)

๐‘›

๐‘—=1

= 0

(2.3.5)

essendo per ipotesi le {๐œ†๐‘–} una soluzione del sistema (2.3.3).

Il segnale definito dalla (2.3.4), avendo norma nulla, รจ il segnale

nullo. Pertanto i segnali {๐’”๐‘–}๐‘–=1๐‘› sono linearmente dipendenti.

***********

Si osservi che, se il determinante di Gram รจ nullo, la matrice di

Gram ha rango ๐‘Ÿ < ๐‘›. Data la simmetria hermitiana della matrice si puรฒ

dimostrare che essa ammette almeno un minore non nullo contenente ๐‘Ÿ

elementi della sua diagonale principale. Detto minore si puรฒ interpretare

quindi come la matrice di Gram associata agli ๐‘Ÿ segnali con cui รจ costi-

tuito. Ciรฒ significa che il rango della matrice di Gram รจ uguale al numero

massimo di segnali indipendenti contenuti nella ๐‘›-upla.

รˆ interessante osservare che la matrice di Gram รจ semidefinita

positiva. Infatti la norma del generico segnale ๐’” appartenente al sotto-

spazio generato da un insieme di segnali {๐’”๐‘–}๐‘–=1๐‘› รจ non negativa. Si puรฒ

quindi scrivere:

0 โ‰ค โ€–๐’”โ€–2 = โŸจโˆ‘๐‘๐‘–๐’”๐‘–

๐‘›

๐‘–=1

,โˆ‘๐‘๐‘—๐’”๐‘—

๐‘›

๐‘—=1

โŸฉ = โˆ‘ ๐‘๐‘–๐‘๐‘—โˆ—โŸจ๐’”๐‘– , ๐’”๐‘—โŸฉ

๐‘›

๐‘–,๐‘—=1

(2.3.6)

Si noti che l'ultimo membro della disuguaglianza precedente รจ la forma

hermitiana nelle variabili ๐‘1, ๐‘2, โ€ฆ , ๐‘๐‘› associata alla matrice di Gram che รจ

quindi semidefinita positiva.

Esempio 2.2

Verificare che i segnali rappresentati dalle seguenti funzioni:

Page 51: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 2 โ€“ Rappresentazione Vettoriale dei Segnali -39-

๐‘ ๐‘›(๐‘ก) = ๐‘ก๐‘›

โŠ“(๐‘ก โˆ’1

2) ; nโˆˆ{1,2,3}

sono linearmente indipendenti.

Il generico prodotto scalare vale:

โŸจ๐’”๐‘– , ๐’”๐‘—โŸฉ = โˆซ ๐‘ก๐‘–+๐‘—๐‘‘๐‘ก1

0

=1

1 + ๐‘– + ๐‘—

da cui si ottiene il determinante di Gram associato ai segnali considerati:

๐บ(๐’”1, ๐’”2, ๐’”3) = ||

1

3

1

4

1

51

4

1

5

1

61

5

1

6

1

7

|| =1

378.000

Poichรฉ ๐บ(๐’”1, ๐’”2, ๐’”3) โ‰  0 i tre segnali sono linearmente indipendenti.

Esempio 2.3

Dati i segnali rappresentati in Fig.E 2.1: determinare la dimensione del

sottospazio da essi generato.

Si ha:

โŸจ๐’”1, ๐’”1โŸฉ = 5 โ€‰โŸจ๐’”1, ๐’”2โŸฉ = โˆ’6 โŸจ๐’”1, ๐’”3โŸฉ = โˆ’1 โŸจ๐’”2, ๐’”1โŸฉ = โˆ’6 โŸจ๐’”2, ๐’”2โŸฉ = 8 โŸจ๐’”2, ๐’”3โŸฉ = 2โŸจ๐’”3, ๐’”1โŸฉ = โˆ’1 โŸจ๐’”3, ๐’”2โŸฉ = 2 โŸจ๐’”3, ๐’”3โŸฉ = 1

pertanto il determinante di Gram vale:

๐บ = |5 โˆ’6 โˆ’1โˆ’6 8 2โˆ’1 2 1

| = 0

quindi i segnali sono linearmente dipendenti.

Poichรฉ, come รจ facile

verificare, il rango della

matrice di Gram vale 2,

solo due segnali risulta-

no linearmente indipen-

denti; conseguentemente

il sottospazio da essi ge-

nerato ha dimensione 2.

La lineare dipendenza dei segnali poteva essere verificata semplicemente

osservando che:

โˆ’๐’”1(๐’•) โˆ’ ๐’”2(๐’•) + ๐’”3(๐’•) = ๐ŸŽ

Fig.E 2.1

Page 52: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

40 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Rappresentazione geometrica di un segnale. 2.4 -

Siano {๐’–๐‘–}๐‘–=1๐‘› ๐‘› segnali linearmente indipendenti. L'insieme S๐‘› dei segna-

li esprimibili nella forma

๐’” =โˆ‘๐›ผ๐‘–๐’–๐‘–

๐‘›

๐‘–=1

(2.4.1)

al variare dei coefficienti {๐›ผ๐‘–} in โ„‚๐‘›, รจ, come รจ noto, un sottospazio vet-

toriale di dimensione ๐‘› generato dai segnali {๐’–๐‘–}. Ogni segnale ivi con-

tenuto individua univocamente, in virtรน della lineare indipendenza degli

{๐‘ข๐‘–}๐‘–=1๐‘› , una ๐‘›-upla di coefficienti.

Reciprocamente, comunque scelto un punto in โ„‚๐‘›, ad esso, trami-

te la (2.4.1), corrisponde un unico se-

gnale in S๐‘›.

I coefficienti {๐›ผ๐‘–}๐‘–=1๐‘› si possono

interpretare come le โ€œcoordinateโ€ del

segnale ๐‘  nel sistema di riferimento in-

dividuato dai vettori {๐’–๐‘–}๐‘–=1๐‘› . Queste

considerazioni, nel caso in cui i segnali

{๐’–๐‘–}๐‘–=1๐‘› siano rappresentabili mediante

funzioni reali e i coefficienti {๐›ผ๐‘–}๐‘–=1๐‘›

siano anchโ€™essi reali, suggeriscono la

rappresentazione geometrica mostrata

in Fig. 2.1 per il caso tridimensionale.

L'insieme dei vettori {๐’–๐‘–}๐‘–=1๐‘› costituisce quindi una base del sotto-

spazio vettoriale S๐‘› di S.

รˆ opportuno ricordare che un qualsiasi altro insieme {๐‘ฃ๐‘–}๐‘–=1๐‘› di

vettori linearmente indipendenti appartenenti a S๐‘› costituisce a sua volta

una base per il sottospazio; la base pertanto non รจ unica.

I coefficienti {๐›ผ๐‘–}๐‘–=1๐‘› , di un dato segnale appartenente a S๐‘›, pos-

sono essere calcolati effettuando in ambo i membri della (2.4.1) il pro-

dotto scalare per il generico vettore di base ๐’–๐‘—. Si ottengono cosรฌ le ๐‘›

equazioni:

โŸจ๐’”, ๐’–๐‘—โŸฉ = โˆ‘๐›ผ๐‘–โŸจ๐’–i,๐’–๐‘—โŸฉ

๐‘›

๐‘–=1

; j=1,2,โ€ฆ,n (2.4.2)

Fig. 2.1 - Rappresentazione vetto-riale del segnale ๐’”.

Page 53: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 2 โ€“ Rappresentazione Vettoriale dei Segnali -41-

che costituiscono un sistema lineare nelle incognite {๐›ผ๐‘–}. In forma ma-

triciale il sistema (2.4.2) si scrive:

[

โŸจ๐’–1, ๐’–1โŸฉ โŸจ๐’–2, ๐’–1โŸฉ โ€ฆ โŸจ๐’–๐‘›, ๐’–1โŸฉโŸจ๐’–1, ๐’–2โŸฉ โŸจ๐’–2, ๐’–2โŸฉ โ€ฆ โŸจ๐’–๐‘›, ๐’–2โŸฉโ€ฆ โ€ฆ โ€ฆ โ€ฆ

โŸจ๐’–1, ๐’–๐‘›โŸฉ โŸจ๐’–๐Ÿ, ๐’–๐‘›โŸฉ โ€ฆ โŸจ๐’–๐‘›, ๐’–๐‘›โŸฉ

] [

๐›ผ1๐›ผ2โ€ฆ๐›ผ๐‘›

] = [

โŸจ๐’”,๐’–1โŸฉโŸจ๐’”,๐’–2โŸฉโ€ฆ

โŸจ๐’”,๐’–๐‘›โŸฉ

] (2.4.3)

Detto sistema ammette un'unica soluzione, poichรฉ la matrice dei coeffi-

cienti ad esso associata รจ la trasposta della matrice di Gram associata a

un insieme di segnali linearmente indipendenti.

Un altro metodo per calcolare i coefficienti {๐›ผ๐‘–}๐‘–=1๐‘› consiste nel

determinare ๐‘› vettori {๐‘ฃ๐‘–}๐‘–=1๐‘› che godano della proprietร :

โŸจ๐’”, ๐’—๐‘—โŸฉ = ๐›ผ๐‘—; ๐‘— = 1,2, โ€ฆ , ๐‘› (2.4.4)

Tenendo conto della (2.4.1) si ottiene:

๐›ผ๐‘— = โŸจ๐’”, ๐’—๐‘—โŸฉ = โŸจโˆ‘๐›ผ๐‘–๐’–๐‘–

๐‘›

๐‘–=1

, ๐’—๐‘—โŸฉ

โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰ =โˆ‘๐›ผ๐‘–โŸจ๐’–๐‘– , ๐’—๐‘—โŸฉ;

๐‘›

๐‘–=1

๐‘— = 1,2, โ€ฆ , ๐‘›

(2.4.5)

che ammette la soluzione:

โŸจ๐‘ข๐‘–, ๐‘ฃ๐‘—โŸฉ = {1; ๐‘– = ๐‘—0; ๐‘– โ‰  ๐‘—

= ๐›ฟ๐‘–๐‘— (2.4.6)

Il generico ๐’—๐‘— risulta pertanto ortogonale a ciascun vettore della base

{๐’–๐‘–}๐‘–=1๐‘› fatta eccezione per il ๐‘—-esimo. L'insieme di vettori {๐’—๐‘–}๐‘–=1

๐‘› costi-

tuisce a sua volta una base del sottospazio che รจ detta base reciproca as-

sociata alla base {๐’–๐‘–}๐‘–=1๐‘› .

Si osservi che dalla (2.4.6) discende che la reciproca di una base

reciproca รจ la base di partenza.

Esempio 2.4

Dati i segnali individuati dalle seguenti funzioni:

{

๐‘ข1(๐‘ก) =โŠ“ (๐‘ก โˆ’1

2)

๐‘ข2(๐‘ก) =โŠ“(๐‘ก โˆ’ 1)๐‘ข3(๐‘ก) =โŠ“ (๐‘ก โˆ’

3

2)

Page 54: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

42 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

verificare che essi costituiscono una base per il sottospazio da essi generato

e quindi determinare la base reciproca associata.

I tre segnali sono linearmente indipendenti, in quanto comunque scelti

due di essi, da una loro combinazione lineare non si puรฒ ottenere il terzo. In-

fatti esiste un insieme di misura non nulla in cui il terzo segnale รจ diverso da

zero mentre gli altri due segnali sono entrambi identicamente nulli.

Il generico elemento della base reciproca si puรฒ esprimere nella forma:

๐’—๐’Š =โˆ‘๐›ผ๐‘–,๐‘—๐’–๐’‹

3

๐‘—=1

Imponendo per ciascun vettore ๐’—๐‘– la condizione (2.4.6), si ottengono i tre si-

stemi lineari:

{

โŸจ๐’—๐Ÿ, ๐’–๐’ŠโŸฉ =โˆ‘๐›ผ1,๐‘—โŸจ๐’–๐’‹, ๐’–๐’ŠโŸฉ

3

๐‘—=1

= ๐›ฟ๐‘–,1

โŸจ๐’—๐Ÿ, ๐’–๐’ŠโŸฉ =โˆ‘๐›ผ2,๐‘—โŸจ๐’–๐’‹, ๐’–๐’ŠโŸฉ

3

๐‘—=1

= ๐›ฟ๐‘–,2

โŸจ๐’—๐Ÿ‘, ๐’–๐’ŠโŸฉ =โˆ‘๐›ผ3,๐‘—โŸจ๐’–๐’‹, ๐’–๐’ŠโŸฉ

3

๐‘—=1

= ๐›ฟ๐‘–,3

; ๐‘– = 1,2,3

le cui soluzioni forniscono:

๐’—๐Ÿ =๐Ÿ‘

๐Ÿ๐’–๐Ÿ โˆ’ ๐’–๐Ÿ +

๐Ÿ

๐Ÿ๐’–๐Ÿ‘

๐’—๐Ÿ = โˆ’๐’–๐Ÿ + ๐Ÿ๐’–๐Ÿ โˆ’ ๐’–๐Ÿ‘

๐’—๐Ÿ‘ =๐Ÿ

๐Ÿ๐’–๐Ÿ โˆ’ ๐’–๐Ÿ +

๐Ÿ‘

๐Ÿ๐’–๐Ÿ‘

Si perviene a una notevole semplificazione scegliendo una base

{๐‘ข๐‘–}๐‘–=1๐‘› composta da vettori di norma unitaria a due a due ortogonali

detta base ortonormale. In simboli:

โŸจ๐’–๐‘– , ๐’–๐‘—โŸฉ = ๐›ฟ๐‘–,๐‘— (2.4.7)

In questo caso la matrice di Gram diventa unitaria e la (2.4.2) si riduce

alla:

๐›ผ๐‘– = โŸจ๐’”, ๐’–๐‘–โŸฉ; โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰๐‘– = 1,2, โ€ฆ , ๐‘› (2.4.8)

Un segnale appartenente al sottospazio riferito a una base orto-

normale si esprime pertanto nella forma:

๐’” =โˆ‘โŸจ๐’”, ๐’–๐‘–โŸฉ๐’–๐‘–

๐‘›

๐‘–=1

(2.4.9)

Page 55: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 2 โ€“ Rappresentazione Vettoriale dei Segnali -43-

Dal confronto tra la (2.4.6) e la (2.4.7) discende che la base reci-

proca associata ad una base ortonormale รจ la base stessa. Le basi orto-

normali sono quindi anche basi autoreciproche.

Se si fa riferimento a una base ortonormale si ottiene la seguente

espressione per il prodotto scalare tra segnali appartenenti al sottospazio

S๐‘›:

โŸจ๐’”1, ๐’”2โŸฉ = โˆ‘โˆ‘๐›ผ1๐‘–๐›ผ2๐‘—โˆ— โŸจ๐’–๐‘–, ๐’–๐‘—โŸฉ

๐‘›

๐‘—=1

=

๐‘›

๐‘–=1

โˆ‘๐›ผ1๐‘–๐›ผ2๐‘–โˆ—

๐‘›

๐‘–=1

(2.4.10)

analogamente per la norma e per la distanza euclidea si ha:

โ€–๐’”โ€– = โŸจ๐’”, ๐’”โŸฉ1 2โ„ = (โˆ‘|๐›ผ๐‘–|2

๐‘›

๐‘–=1

)

1 2โ„

(2.4.11)

๐‘‘(๐’”1, ๐’”2) = โ€–๐’”1 โˆ’ ๐’”2โ€– = (โˆ‘|๐›ผ1๐‘– โˆ’ ๐›ผ2๐‘–|2

๐‘›

๐‘–=1

)

1 2โ„

(2.4.12)

Queste ultime evidenziano un ulteriore motivo per cercare, quan-

do รจ possibile, di adottare una base ortonormale. Infatti se si riguardano

le componenti {๐›ผ1๐‘–}๐‘–=1๐‘› , {๐›ผ2๐‘–}๐‘–=1

๐‘› dei due segnali, riferiti ad una stessa ba-

se ortonormale, come vettori riga dello spazio โ„‚๐‘›, le (2.4.10), (2.4.11) e

la (2.4.12) possono essere riscritte sotto forma matriciale:

โŸจ๐’”1, ๐’”2โŸฉ = ๐œถ1๐œถ2โ€  (2.4.13)

โ€–๐’”โ€– = (๐œถ๐œถโ€ )1

2 (2.4.14)

๐‘‘(๐’”1, ๐’”2) = [(๐œถ1 โˆ’ ๐œถ2)(๐œถ1 โˆ’ ๐œถ2)โ€ ]1

2 (2.4.15)

In altri termini, se in un sottospazio si individua una base orto-

normale, il prodotto scalare, la norma e la distanza euclidee possono es-

sere calcolati in modo semplice effettuando le medesime operazioni sui

vettori delle componenti dei segnali in โ„‚๐‘›.

Esempio 2.5

Sia ๐‘„(๐’™) = ๐’™โ€ ๐ด๐’™ una forma hermitiana.

Se gli autovalori della matrice ad essa associata hanno tutti molteplicitร 

1, gli autoversori associati a ciascun autovalore di ๐ด, sono mutuamente orto-

gonali e quindi costituiscono una base ortonormale per lo spazio โ„‚๐‘› a cui ๐’™

appartiene.

Page 56: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

44 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Nel caso in cui tutti gli autovalori di ๐ด hanno molteplicitร  1 ad eccezione

di uno che ha molteplicitร  2 tra gli autovettori associati a quest'ultimo, se ne

possono certamente scegliere 2 linearmente indipendenti. Essi individuano

un sottospazio di dimensione due (autospazio) che contiene tutti e soli gli

autovettori relativi all'autovalore in questione. Ciascun vettore di questo au-

tospazio รจ ortogonale ad ogni autovettore relativo ad un altro autovalore.

Inoltre รจ sempre possibile riferire l'autospazio ad una base ortonormale, gli

autoversori che la costituiscono, uniti ai restanti autoversori, generano una

base (autobase) per lo spazio โ„‚๐‘› associata alla ๐‘„(๐’™) .

La generalizzazione di quanto esposto al caso di matrici hermitiane con

autovalori di molteplicitร  qualsiasi รจ immediata.

Per quanto riguarda la riduzione a forma canonica di una forma hermi-

tiana, si osservi che, individuata una autobase {๐’–๐‘–}๐‘–=1๐‘› , il generico vettore ๐’™

di โ„‚๐‘› si puรฒ scrivere:

๐’™ =โˆ‘๐›ผ๐‘–๐’–๐‘–

๐‘›

๐‘–=1

Pertanto:

๐‘„(๐‘ฅ) = ๐’™โ€ ๐‘จ๐’™ =โˆ‘๐›ผ๐‘–โˆ—๐’–๐‘–

โ€ 

๐‘›

๐‘–=1

๐‘จโˆ‘๐›ผ๐‘—๐’–๐‘—

๐‘›

๐‘—=1

=โˆ‘โˆ‘๐›ผ๐‘–โˆ—๐›ผ๐‘—๐’–๐‘–

โ€ ๐‘จ๐’–๐‘—

๐‘›

๐‘—=1

๐‘›

๐‘–=1

=โˆ‘โˆ‘๐›ผ๐‘–โˆ—๐›ผ๐‘—๐’–๐‘–

โ€ ๐œ†๐‘—๐’–๐‘—

๐‘›

๐‘—=1

๐‘›

๐‘–=1

=โˆ‘โˆ‘๐›ผ๐‘–โˆ—๐›ผ๐‘—๐€๐’‹๐’–๐‘–

โ€ ๐’–๐‘—

๐‘›

๐‘—=1

๐‘›

๐‘–=1

=โˆ‘๐œ†๐‘–|๐›ผ๐‘–|2

๐‘›

๐‘–=1

= ๐œถโ€  โ‹… diag(๐œ†1, ๐œ†2, โ€ฆ , ๐œ†๐‘›) โ‹… ๐œถ

nell'ultimo membro della precedente, ogni autovalore viene ripetuto un nu-

mero di volte pari alla sua molteplicitร .

Angolo tra due segnali. 2.5 -

Siano dati due segnali reali ad energia finita ๐’”1,โ€‰๐’”2. Per essi vale la

disuguaglianza di Schwarz (1.15.6) che, in virtรน della natura reale dei due

segnali, puรฒ essere riscritta nella forma:

โˆ’1 โ‰คโˆซ ๐‘ 1(๐‘ก)โˆž

โˆ’โˆž๐‘ 2(๐‘ก)๐‘‘๐‘ก

โˆšโˆซ |๐‘ 1(๐‘ก)|2โˆž

โˆ’โˆž๐‘‘๐‘ก โˆซ |๐‘ 2(๐‘ก)|

2โˆž

โˆ’โˆž๐‘‘๐‘ก

โ‰ค 1 (2.5.1)

dalla quale si deduce che รจ sempre possibile individuare un unico angolo

๐œ— appartenente all'intervallo [0, ๐œ‹] che verifica l'uguaglianza:

โŸจ๐’”1, ๐’”2โŸฉ = โ€–๐’”1โ€– โ‹… โ€–๐’”2โ€–cos๐œ— (2.5.2)

Page 57: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 2 โ€“ Rappresentazione Vettoriale dei Segnali -45-

I due segnali in questione sono

certamente contenuti in un sottospazio

di dimensione due che รจ unico se i se-

gnali sono linearmente indipendenti.

Fissata che sia una base ortonormale

{๐’–๐‘–}๐‘–=12 in detto sottospazio, รจ possibile

esprimere i due segnali nella forma:

๐’”1 = ๐›ผ11๐’–1 + ๐›ผ12๐’–2; ๐’”2 = ๐›ผ21๐’–1 + ๐›ผ22๐’–2; (2.5.3)

D'altro canto, tenendo conto delle (2.4.10) e (2.4.11) la (2.5.2) puรฒ esse-

re anche scritta come segue:

< ๐’”1, ๐’”2 >= ๐›ผ11๐›ผ21 + ๐›ผ12๐›ผ22

= โˆš๐›ผ112 + ๐›ผ12

2 โ‹… โˆš๐›ผ212 + ๐›ผ22

2 cos๐œ— (2.5.4)

il cui ultimo membro si puรฒ immediatamente interpretare come il pro-

dotto scalare in โ„2 tra due vettori aventi rispettivamente modulo

โˆš๐›ผ112 + ๐›ผ12

2 e โˆš๐›ผ212 + ๐›ผ22

2 , formanti un angolo ๐œ—. Si verifica facilmente

che detto angolo รจ indipendente dalla base ortonormale scelta nel sotto-

spazio in cui i segnali sono contenuti.

รˆ quindi possibile fornire una rappresentazione grafica dei due

segnali reali come mostrato in Fig. 2.2, รˆ questo il motivo per cui in ge-

nerale due segnali si dicono ortogonali se il loro prodotto scalare รจ nullo.

Esempio 2.6

Dati i segnali mostrati in Fig.E 2.2,a). se ne costruisca una rappresenta-

zione vettoriale.

Come si riconosce facilmente i due segnali hanno entrambi norma unita-

ria.

Se si associa al primo segnale un vettore ๐’” di modulo unitario, il secondo

segnale sarร  rappresentato da un vettore ๐’”๐œ anch'esso di modulo unitario la

cui componente ortogonale su ๐’” si ottiene effettuando il seguente prodotto

scalare:

โŸจ๐’”, ๐’”๐‰โŸฉ = โˆซ ๐‘ (๐‘ก)๐‘ ๐œ(๐‘ก)๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

= {1 โˆ’ ๐œ; 0 โ‰ค ๐œ โ‰ค 1 1 + ๐œ; โˆ’1 โ‰ค ๐œ < 00; |๐œ| > 1

โ€‰โ€‰ = โ€‰โ€‰(1 โˆ’ |๐œ|)โŠ“ (๐œ

2)

Fig. 2.2 - Angolo tra due segnali

Page 58: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

46 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

La rappresentazione geometrica dei due segnali si presenta come in Fig.E

2.2,b). Si noti che se |๐œ| โ‰ฅ 1 i due segnali risultano ortonormali.

Approssimazione dei segnali nel sottospazio S๐’. Teo-2.6 - rema della proiezione.

Sia S๐‘› un sottospazio vettoriale ad ๐‘› dimensioni e ๐’” un segnale

non necessariamente appartenente ad S๐‘›.

In alcune applicazioni puรฒ essere utile costruire un segnale

๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘› โˆˆ S๐‘› che, in base a un assegnato criterio, ne costituisca la migliore

approssimazione. Il criterio piรน naturale per determinare la migliore ap-

prossimazione di ๐’” in S๐‘› consiste nello scegliere quell'elemento di S๐‘›

che si trova alla minima distanza euclidea dal segnale considerato ๐’”.

Poichรฉ un generico segnale ๐’”๐‘› โˆˆ S๐‘› si puรฒ sempre riferire ad una

base ortonormale {๐’–๐‘–}๐‘–=1๐‘› di detto sottospazio:

๐’”๐‘› =โˆ‘๐›ผ๐‘–๐’–๐‘–

๐‘›

๐‘–=1

(2.6.1)

l'approssimazione ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘› cercata รจ individuata dalla ๐‘›-upla di coefficienti

{๐›ผ๐‘–} che minimizzano la quantitร :

โ€–๐’†โ€–2 = โ€–๐’” โˆ’โˆ‘๐›ผ๐‘–๐’–๐‘–

๐‘›

๐‘–=1

โ€–2 (2.6.2)

Esplicitando la precedente si ha:

โ€–๐’†โ€–2 = โ€–๐’”โ€–2 โˆ’โˆ‘๐›ผ๐‘–โŸจ๐’”, ๐’–๐‘–โŸฉโˆ—

๐‘›

๐‘–=1

โˆ’โˆ‘๐›ผ๐‘–โˆ—โŸจ๐’”, ๐’–๐‘–โŸฉ +

๐‘›

๐‘–=1

โˆ‘|๐›ผ๐‘–|2

๐‘›

๐‘–=1

(2.6.3)

Se nella (2.6.3) si somma e si sottrae la quantitร  โˆ‘ |โŸจ๐’”, ๐’–๐‘–โŸฉ|2๐‘›

๐‘–=1 si ottiene:

Fig.E 2.2

Page 59: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 2 โ€“ Rappresentazione Vettoriale dei Segnali -47-

โ€–๐’†โ€–2 = โ€–๐’”โ€–2 โˆ’โˆ‘|โŸจ๐’”, ๐’–๐‘–โŸฉ|2 +

๐‘›

๐‘–=1

โˆ‘|๐›ผ๐‘– โˆ’ โŸจ๐’”, ๐’–๐‘–โŸฉ|2

๐‘›

๐‘–=1

(2.6.4)

Poichรฉ l'ultimo addendo a secondo membro della precedente รจ certa-

mente non negativo il minimo cercato si ottiene quando esso si annulla

cioรจ quando risulta:

๐›ผ๐‘– = โŸจ๐‘ , ๐‘ข๐‘–โŸฉ; ๐‘– = 1,2, โ€ฆ ๐‘› (2.6.5)

Pertanto si ha:

๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘› =โˆ‘โŸจ๐’”,๐’–๐‘–โŸฉ๐’–๐‘–

๐‘›

๐‘–=1

(2.6.6)

I coefficienti {๐›ผ๐‘–}๐‘–=1๐‘› definiti dalle (2.6.5) sono chiamati coeffi-

cienti di Fourier generalizzati del

segnale ๐’” rispetto alla base orto-

normale . {๐’–๐‘–}๐‘–=1๐‘›

Un interessante conseguenza

del risultato appena ottenuto รจ il co-

siddetto Teorema della proiezione

che stabilisce che, detta ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘› la mi-

gliore approssimazione di ๐’” in S๐‘›, secondo il criterio della minima di-

stanza euclidea, il vettore ๐’” โˆ’ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘› รจ ortogonale a ogni vettore appartenen-

te ad S๐‘› e quindi al sottospazio S๐‘› (vedi Fig. 2.3 ).

Per dimostrarlo รจ sufficiente verificare che il vettore ๐’” โˆ’ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘› รจ or-

togonale a ciascun vettore di una qualsiasi base {๐’–๐‘–}๐‘–=1๐‘› ortonormale di

S๐‘›. Tenendo conto delle (2.6.5) e (2.6.6) risulta:

โŸจ๐’” โˆ’ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘›, ๐’–๐‘–โŸฉ = โŸจ๐’”, ๐’–๐‘–โŸฉ โˆ’ โŸจ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘›, ๐’–๐‘–โŸฉ = 0 (2.6.7)

Per questo motivo ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘› si dice proiezione ortogonale di ๐’” nel sotto-

spazio S๐‘›.

Nel caso in cui si scelga in S๐‘› una base {๐’—๐‘–}๐‘–=1๐‘› non ortonormale,

tenendo presente che, in base alla (2.6.7), risulta per ogni ๐’— โˆˆ S๐‘›:

โŸจ๐’”, ๐’—โŸฉ = โŸจ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘›, ๐’—โŸฉ (2.6.8)

si deduce che le componenti {๐›ฝ๐‘–}๐‘–=1๐‘› del segnale ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘› rispetto alla base

{๐’—๐‘–}๐‘–=1๐‘› si ottengono risolvendo il sistema:

Fig. 2.3 Proiezione ortogonale

Page 60: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

48 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

โŸจ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘›, ๐’—๐‘–โŸฉ = โˆ‘๐›ฝ๐‘—

๐‘›

๐‘—=1

โŸจ๐’—๐‘— , ๐’—๐‘–โŸฉ = โŸจ๐’”, ๐’—๐‘–โŸฉ; ๐‘– = 1, โ€ฆ , ๐‘› (2.6.9)

รˆ interessante osservare che un sottospazio lineare a ๐‘› dimensio-

ni determina nello spazio dei segnali S una partizione in classi di equiva-

lenza: due segnali appartengono alla stessa classe di equivalenza se am-

mettono la stessa approssimazione in S๐‘› o, che รจ lo stesso, se la loro dif-

ferenza รจ ortogonale a S๐‘›.

La quantitร 

๐’† = ๐’” โˆ’ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘› (2.6.10)

รจ l'errore di approssimazione; la sua norma โ€–๐‘’โ€– ne misura l'entitร . Si ha:

โ€–๐’†โ€–2 = โ€–๐’” โˆ’ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘›โ€–2 = โŸจ๐’” โˆ’ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘›, ๐’” โˆ’ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘›โŸฉ

= โŸจ๐’”, ๐’” โˆ’ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘›โŸฉ โˆ’ โŸจ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘›, ๐’” โˆ’ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘›โŸฉโ€‰ = โŸจ๐’” โˆ’ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘›, ๐’”โŸฉโˆ— = โŸจ๐’”, ๐’”โŸฉ โˆ’ โŸจ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘›, ๐’”โŸฉ

โˆ—

= โ€–๐’”โ€–2 โˆ’ โŸจ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘› , ๐’”โŸฉโˆ— = โ€–๐’”โ€–2 โˆ’ โ€–๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘›โ€–

2

(2.6.11)

poichรฉ, essendo ๐’† ortogonale a ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘›, risulta โŸจ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘›, ๐’”โŸฉ = โ€–๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘›โ€–2.

La (2.6.11) costituisce l'estensione della relazione pitagorica agli

spazi normati.

Se il vettore ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘› si riferisce ad una base ortonormale {๐’–๐‘–}๐‘–=1๐‘› si ha:

โ€–๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘›โ€–2 =โˆ‘|โŸจ๐’”, ๐’–๐‘–โŸฉ|

2

๐‘›

๐‘–=1

(2.6.12)

in questo caso la (2.6.11) assume la forma:

โ€–๐’†โ€–2 = โ€–๐’”โ€–2 โˆ’โˆ‘|โŸจ๐’”, ๐’–๐‘–โŸฉ|2

๐‘›

๐‘–=1

(2.6.13)

Essendo, d'altra parte, โ€–๐’†โ€– โ‰ฅ 0 si deduce:

โˆ‘|โŸจ๐’”, ๐’–๐‘–โŸฉ|2 โ‰ค โ€–๐’”โ€–2

๐‘›

๐‘–=1

(2.6.14)

nota come disuguaglianza di Bessel.

Esempio 2.7

Determinare la proiezione dell'impulso โŠ“(๐‘ก โˆ’1

2) nel sottospazio lineare

S3 individuato dai segnali rappresentabili me diante le funzioni:

Page 61: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 2 โ€“ Rappresentazione Vettoriale dei Segnali -49-

๐‘ฃ๐‘›(๐‘ก) = {๐‘’โˆ’๐‘›๐‘ก โ€‰โ€‰โ€‰๐‘ก โ‰ฅ 00โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰๐‘ก < 0

;โ€‰โ€‰ โ€‰n=1,2,3

Indicando con ๐’“ lโ€™impulso ret-

tangolare, risulta:

โŸจ๐’“, ๐’—๐‘›โŸฉ = โˆซ ๐‘’โˆ’๐‘›๐‘ก๐‘‘๐‘ก1

0

โ€‰ =1 โˆ’ ๐‘’โˆ’๐‘›

๐‘›

il sistema (2.6.9) diventa

[ 1

2

1

3

1

41

3

1

4

1

51

4

1

5

1

6]

โ‹… [

๐›ฝ1๐›ฝ2๐›ฝ3

] =

[ 1 โˆ’ ๐‘’โˆ’1

1 โˆ’ ๐‘’โˆ’2

21 โˆ’ ๐‘’โˆ’3

3 ]

da cui:

[

๐›ฝ1๐›ฝ2๐›ฝ3

] = [12 โˆ’ 72๐‘’โˆ’1 + 120๐‘’โˆ’2 โˆ’ 60๐‘’โˆ’3

โˆ’30 + 240๐‘’โˆ’1 โˆ’ 450๐‘’โˆ’2 + 240๐‘’โˆ’3

20 โˆ’ 180๐‘’โˆ’1 + 360๐‘’โˆ’2 โˆ’ 200๐‘’โˆ’3]

per cui l'approssimazione dell'impulso rettangolare nel

sottospazio in questione vale:

๐‘ 3(๐‘ก) =โˆ‘๐›ฝ๐‘–๐‘ฃ๐‘–(๐‘ก)

3

๐‘–=1

= (12 โˆ’ 72๐‘’โˆ’1 + 120๐‘’โˆ’2 โˆ’ 60๐‘’โˆ’3)๐‘’โˆ’๐‘ก + (โˆ’30 + 240๐‘’โˆ’1

โˆ’ 450๐‘’โˆ’2 + 240๐‘’โˆ’3)๐‘’โˆ’2๐‘ก + (20 โˆ’ 180๐‘’โˆ’1 + 360๐‘’โˆ’2

โˆ’ 200๐‘’โˆ’3)๐‘’โˆ’3๐‘ก

In Fig.E 2.3 รจ rappresentata la migliore approssima-

zione dell'impulso rettangolare nel sottospazio S3.

Esempio 2.8

Le funzioni rappresentate in Fig.E 2.4 sono i primi

quattro elementi dell'insieme (ortonormale) delle fun-

zioni di Walsh. Esse definiscono un sottospazio S4 a

quattro dimensioni. I coefficienti, rispetto alla citata ba-

se, della proiezione ortogonale su S4 del segnale ๐’” indi-

viduato dalla:

๐‘ (๐‘ก) = ๐‘ก โŠ“ (๐‘ก โˆ’1

2)

valgono:

Fig.E 2.4

Fig.E 2.3

Page 62: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

50 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

{

๐›ผ1 = โˆซ ๐‘ก๐‘ค0(๐‘ก)๐‘‘๐‘ก

1

0

=1

2[๐‘ก2]0

1 =1

2;

๐›ผ2 = โˆซ ๐‘ก๐‘ค1(๐‘ก)๐‘‘๐‘ก1

0

=1

2([๐‘ก2]0

1

2 โˆ’ [๐‘ก2]12

1) โˆ’1

4;

๐›ผ3 = โˆซ ๐‘ก๐‘ค2(๐‘ก)๐‘‘๐‘ก1

0

=1

2([๐‘ก2]0

1

4 โˆ’ [๐‘ก2]14

3

4 + [๐‘ก2]34

1) = 0;

๐›ผ4 = โˆซ ๐‘ก๐‘ค3(๐‘ก)๐‘‘๐‘ก1

0

=1

2([๐‘ก2]0

1

8 โˆ’ [๐‘ก2]18

1

4 + [๐‘ก2]14

3

8 โˆ’ [๐‘ก2]38

1) = โˆ’1

8;

In Fig.E 2.5 sono mostrate le funzioni rappresentative dei segnali

๏ฟฝ๏ฟฝ1,โ€‰๏ฟฝ๏ฟฝ2,โ€‰๏ฟฝ๏ฟฝ3,โ€‰๏ฟฝ๏ฟฝ4โ€‰ che costituiscono le approssimazioni di ๐’”, rispettivamente nei

sottospazi generati da ๐’˜0, da ๐’˜0, ๐’˜1, da ๐’˜0, ๐’˜1, ๐’˜2, e da ๐’˜0, ๐’˜1, ๐’˜2, ๐’˜3.

In particolare ๏ฟฝ๏ฟฝ4(๐‘ก), cioรจ la funzione rappresentativa del segnale ๏ฟฝ๏ฟฝ4 apparte-

nente al sottospazio S4 a minima distanza Euclidea da ๐’”, รจ data da:

๏ฟฝ๏ฟฝ๐Ÿ’(๐‘ก) =1

2๐’˜๐ŸŽ(๐‘ก) โˆ’

1

4๐’˜๐Ÿ(๐‘ก) โˆ’

1

8๐’˜๐Ÿ‘(๐‘ก)

Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-2.7 - Schmidt.

Da quanto detto risulta evidente l'opportunitร  di disporre di un

algoritmo che permetta di costruire una base ortonormale per il sotto-

spazio generato da un assegnato insieme {๐’”๐‘–}๐‘–=1๐‘› di segnali. Un tale algo-

ritmo, noto come procedimento di ortonormalizzazione di Gram-

Schmidt, รจ basato sul teorema della proiezione. Esso consiste nel gene-

rare ricorsivamente sottospazi di dimensione crescente annidati l'uno

dentro l'altro.

Si procede come segue:

Si considera il segnale ๐’”1. Il primo elemento della base รจ:

๐’–1 =๐’”1โ€–๐’”1โ€–

(2.7.1)

che genera un sottospazio S1 di dimensione 1.

Si considera quindi ๐’”2 e si costruisce il segnale:

Fig.E 2.5 Proiezioni di un segnale in sottospazi annidati di dimensione crescente.

Page 63: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 2 โ€“ Rappresentazione Vettoriale dei Segnali -51-

๐’†2 = ๐’”2 โˆ’ โŸจ๐’”2, ๐’–1โŸฉ๐’–1 (2.7.2)

Se ๐’†2 รจ il segnale nullo, ๐’”2 appartiene ad S1 e si salta al passo suc-

cessivo. In caso contrario, in virtรน del teorema della proiezione, ๐’†2 รจ or-

togonale al sottospazio S1. Pertanto si puรฒ assumere come secondo

elemento della base il segnale:

๐’–2 =๐’†2โ€–๐’†2โ€–

(2.7.3)

I due segnali ๐’–1 e ๐’–2 generano quindi un sottospazio S2 in cui รจ

annidato S1.

Si ripete il passo precedente fino ad esaurire i segnali dell'insieme {๐’”๐‘–}.

Al passo ๐‘–-esimo supposto che tutti i segnali precedentemente

considerati siano tra loro linearmente indipendenti l'๐‘–-esimo vettore di

base รจ dato da:

๐’–๐‘– =๐’†๐‘–โ€–๐’†๐‘–โ€–

(2.7.4)

dove:

๐’†๐‘– = ๐’”๐‘– โˆ’โˆ‘โŸจ๐’”๐‘– , ๐’–๐‘—โŸฉ๐’–๐‘—

๐‘–โˆ’1

๐‘—=1

(2.7.5)

L'algoritmo appena descritto consente, in genere, per un dato in-

sieme {๐’”๐‘–}๐‘–=1๐‘› , di costruire piรน basi ortonormali, dipendentemente dall'or-

dinamento scelto all'interno dell'insieme {๐’”๐‘–}๐‘–=1๐‘› . Evidentemente una

qualunque base ottenuta con il procedimento descritto genera lo stesso

sottospazio di S. Detto sottospazio ha la minima dimensione necessaria

per contenere i segnali dell'insieme {๐’”๐‘–}๐‘–=1๐‘› . Tale dimensione ovviamente

non puรฒ superare la cardinalitร  di {๐’”๐‘–}๐‘–=1๐‘› .

Si osservi inoltre che la procedura descritta in virtรน della sua natu-

ra ricorsiva si puรฒ applicare anche al caso in cui l'insieme dei segnali sia

di cardinalitร  infinita, purchรฉ numerabile.

Esempio 2.9

Determinare una base ortonormale per il sottospazio lineare individuato

dai segnali rappresentati dalle funzioni:

๐‘ ๐‘›(๐‘ก) = {๐‘’โˆ’๐‘›๐‘ก; ๐‘ก โ‰ฅ 00; ๐‘ก < 0

; n=1,2,3

Page 64: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

52 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

mediante il procedimento di Gram-Schmidt.

Si sceglie come primo elemento della base ortonormale il segnale:

๐’–๐Ÿ =๐’”๐Ÿโ€–๐’”๐Ÿโ€–

= โˆš2๐’”๐Ÿ

Si scompone quindi il secondo segnale nei suoi componenti parallelo ed or-

togonale al sottospazio individuato da ๐’–1. Si ha:

๐’”๐Ÿ = โŸจ๐’”๐Ÿ, ๐’–๐ŸโŸฉ๐’–๐Ÿ + ๐’†๐Ÿ =โˆš2

3๐’–๐Ÿ + ๐’†๐Ÿ โ‡’ ๐’†๐Ÿ = ๐’”๐Ÿ โˆ’

โˆš๐Ÿ

3๐’–๐Ÿ

Pertanto risulta:

๐’–๐Ÿ =๐’†๐Ÿโ€–๐’†๐Ÿโ€–

= 6๐’†๐Ÿ

Si procede quindi al calcolo di ๐’†3:

๐’†๐Ÿ‘ = ๐’”๐Ÿ‘ โˆ’ โŸจ๐’”๐Ÿ‘, ๐’–๐ŸโŸฉ๐’–๐Ÿ โˆ’ โŸจ๐’”๐Ÿ‘, ๐’–๐ŸโŸฉ๐’–๐Ÿ = ๐’”๐Ÿ‘ โˆ’1

2โˆš2๐’–๐Ÿ โˆ’

1

5๐’–๐Ÿ

Quindi:

๐’–๐Ÿ‘ =๐’†๐Ÿ‘โ€–๐’†๐Ÿ‘โ€–

= 10โˆš6๐’†๐Ÿ‘

Sviluppo di un segnale in serie di funzioni ortogonali. 2.8 -

Sia S๐‘˜ un sottospazio lineare a ๐‘˜ dimensioni generato da un base

B๐‘˜ โ‰ก {๐’–๐‘–}๐‘–=1๐‘˜ di vettori ortonormali e sia ๐’”๐‘˜ la proiezione ortogonale di

un segnale ๐’”๐‘˜ nel sottospazio S๐‘˜. L'errore quadratico medio di tale ap-

prossimazione รจ espresso dalla (2.6.13).

Se alla base B๐‘˜ si aggiunge un vettore normale ๐’–๐‘˜+1 ortogonale ai

precedenti, si ottiene un nuovo insieme di vettori {๐’–๐‘–}๐‘–=1๐‘˜+1 che costituisce

una nuova base B๐‘˜+1 che genera un sottospazio lineare S๐‘˜+1. Denotando

con s๐‘˜+1 la proiezione di ๐’” su S๐‘˜+1 l'errore quadratico medio, ottenuto

con questa nuova approssimazione, sarร :

โ€–๐’†๐‘˜+1โ€–2 = โ€–๐’”โ€–2 โˆ’โˆ‘|โŸจ๐’”, ๐’–๐‘–โŸฉ|

2

๐‘˜+1

๐‘–=1

= โ€–๐’”โ€–2 โˆ’โˆ‘|โŸจ๐’”, ๐’–๐‘–โŸฉ|2 โˆ’ |โŸจ๐’”, ๐’–๐‘˜+1โŸฉ|

2

๐‘˜

๐‘–=1

(2.8.1)

che, ricordando la (2.6.13), si scrive:

โ€–๐’†๐‘˜+1โ€–2 = โ€–๐’†๐‘˜โ€–

2 โˆ’ |โŸจ๐’”, ๐’–๐‘˜+1โŸฉ|2 (2.8.2)

Page 65: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 2 โ€“ Rappresentazione Vettoriale dei Segnali -53-

Cioรจ โ€–๐’†๐‘˜+1โ€–2 โ‰ค โ€–๐’†๐‘˜โ€–

2. Se ne conclude che, aumentando la dimensione

del sottospazio su cui si proietta il vettore ๐’”, la norma dell'errore non

aumenta. La successione {โ€–๐’†๐‘˜โ€–} degli errori quadratici medi รจ quindi una

successione non crescente a termini non negativi. Essa รจ pertanto una

successione convergente.

Si รจ portati quindi a concludere che, disponendo di un sistema di

vettori ๐’–1, ๐’–2, โ€ฆ , ๐’–๐‘› , โ€ฆ ortonormale, che individua un sottospazio linea-

re ad infinite dimensioni, si puรฒ anche ottenere un'approssimazione del

segnale ๐’” con un errore quadratico medio nullo. In altri termini, si รจ in-

dotti a ritenere che la disuguaglianza di Bessel (2.6.14) diventi:

โ€–๐’”โ€–2 =โˆ‘|โŸจ๐’”, ๐’–๐‘–โŸฉ|2

โˆž

๐‘–=1

(2.8.3)

nota come relazione di Parseval.

Ammettendo che la (2.8.3) sia soddisfatta, il segnale ๐’” puรฒ essere

espresso mediante la:

๐’” =โˆ‘โŸจ๐’”, ๐’–๐‘–โŸฉ๐’–๐‘–

โˆž

๐‘–=1

(2.8.4)

Ricordando il significato energetico che si รจ attribuito alla norma,

la (2.8.3) esprime l'energia specifica di un segnale in termini dei coeffi-

cienti ๐›ผ๐‘– = โŸจ๐’”, ๐’–๐‘–โŸฉ, cosicchรฉ la quantitร  ๐›ผ๐‘– = โŸจ๐’”, ๐’–๐‘–โŸฉ rappresenta l'aliquota

con cui il generico componente ๐›ผ๐‘–๐’–๐‘– contribuisce all'energia di ๐’”.

Si noti che non tutti gli insiemi composti da un'infinitร  numerabi-

le di segnali mutuamente ortonormali garantiscono l'annullarsi dell'erro-

re quadratico medio. Se si riesce a determinare un insieme per il quale la

(2.8.3) รจ verificata per ogni elemento di un certo spazio a dimensione in-

finita, l'insieme in questione si dice completo rispetto allo spazio consi-

derato.

Page 66: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf
Page 67: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 3

SEGNALI PERIODICI

Generalitร . 3.1 -

Una funzione reale o complessa ๐‘ (๐‘ก) si dice periodica se esistono

valori di ๐‘‡, che soddisfano la seguente equazione:

๐‘ (๐‘ก) = ๐‘ (๐‘ก + ๐‘‡) (3.1.1)

per ogni ๐‘ก, salvo al piรน su un sottoinsieme di valori di ๐‘ก di misura nulla.

รˆ immediato constatare che ๐‘ (๐‘ก) deve necessariamente essere definita

quasi ovunque in โ„. Inoltre se ๐‘‡0 รจ una soluzione della (3.1.1), anche i

suoi multipli interi lo sono.

Si puรฒ assumere come periodo di ๐‘ (๐‘ก) una qualunque soluzione

non negativa della (3.1.1), la minima delle quali costituisce il periodo

principale della funzione o del segnale periodico ad essa associato e in

quel che segue verrร  denominata semplicemente periodo.

Se un segnale periodico รจ a potenza specifica finita si ha:

๐‘ƒ = lim๐‘‡โ†’โˆž

1

๐‘‡โˆซ |๐‘ (๐‘ก)|2๐‘‘๐‘ก

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

= lim๐‘˜โ†’โˆž

1

๐‘˜๐‘‡0 + ๐‘‡โ€ฒโˆซ |๐‘ (๐‘ก)|2๐‘‘๐‘ก

๐‘˜๐‘‡0+๐‘‡โ€ฒ

2

โˆ’๐‘˜๐‘‡0+๐‘‡

โ€ฒ

2

(3.1.2)

dove ๐‘˜ = โŒŠ๐‘‡

๐‘‡0โŒ‹ e 0 โ‰ค ๐‘‡โ€ฒ = ๐‘‡ โˆ’ ๐‘˜๐‘‡0 < ๐‘‡0.

Poichรฉ risulta:

0 < โˆซ |๐‘ (๐‘ก)|2๐‘‘๐‘กT0

< โˆž (3.1.3)

dove ๐‘‡0 indica un qualsiasi intervallo temporale di durata pari al periodo

๐‘‡0, la (3.1.2) si riscrive:

๐‘ƒ = lim๐‘˜โ†’โˆž

1

๐‘˜๐‘‡0+๐‘‡โ€ฒ (โˆซ |๐‘ (๐‘ก)|2๐‘‘๐‘ก

๐‘˜๐‘‡02

โˆ’๐‘˜๐‘‡02

+โˆซ |๐‘ (๐‘ก)|2๐‘‘๐‘กโˆ’๐‘˜

๐‘‡02

โˆ’๐‘˜๐‘‡0+๐‘‡

โ€ฒ

2

+โˆซ |๐‘ (๐‘ก)|2๐‘‘๐‘ก

๐‘˜๐‘‡0+๐‘‡โ€ฒ

2

๐‘˜๐‘‡02

) (3.1.4)

Page 68: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

56 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

= lim๐‘˜โ†’โˆž

๐‘˜

๐‘˜๐‘‡0+๐‘‡โ€ฒโˆซ |๐‘ (๐‘ก)|2๐‘‘๐‘ก

๐‘‡02

โˆ’๐‘‡02

+ lim๐‘˜โ†’โˆž

1

๐‘˜๐‘‡0+๐‘‡โ€ฒ(โˆซ |๐‘ (๐‘ก)|2๐‘‘๐‘ก

โˆ’๐‘˜๐‘‡02

โˆ’๐‘˜๐‘‡0+๐‘‡

โ€ฒ

2

+โˆซ |๐‘ (๐‘ก)|2๐‘‘๐‘ก

๐‘˜๐‘‡0+๐‘‡โ€ฒ

2

๐‘˜๐‘‡02

)

Gli ultimi due integrali della precedente, in virtรน della (3.1.3), si manten-

gono limitati; quindi il secondo limite vale zero e la potenza specifica di

un segnale periodico si puรฒ pertanto esprimere anche nella forma piรน

semplice

๐‘ƒ =1

๐‘‡0โˆซ |๐‘ (๐‘ก)|2๐‘‘๐‘ก

๐‘‡02

โˆ’๐‘‡02

(3.1.5)

che coincide con la potenza specifica media in un periodo.

Serie di Fourier in forma esponenziale. 3.2 -

Per poter applicare ad un segnale periodico a potenza finita ๐‘ (๐‘ก) i

metodi di analisi sviluppati nel CAPITOLO - 2 validi per segnali ad

energia finita รจ opportuno considerare il segnale troncato ๐‘ ๐‘‡0(๐‘ก) cosรฌ de-

finito:

๐‘ ๐‘‡0(๐‘ก) = ๐‘ (๐‘ก)โŠ“ (๐‘ก

๐‘‡0) (3.2.1)

manifestamente si ha (vedi Fig. 3.1):

๐‘ (๐‘ก) = โˆ‘ ๐‘ ๐‘‡0(๐‘ก โˆ’ ๐‘›๐‘‡0)

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(3.2.2)

Si noti che, in effetti, l'uguaglianza nella precedente, vale q.o., a meno di

non ridefinire opportunamente la funzione โŠ“(๐‘ก). La (3.2.2)ci dice che

un segnale periodico a potenza finita puรฒ essere considerato come la ri-

petizione periodica, con periodo ๐‘‡0, di una funzione elementare ๐‘ ๐‘‡0(๐‘ก) a

quadrato sommabile, definita in un intervallo T0 di durata pari al suo pe-

riodo.

Page 69: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 3 - Segnali Periodici - 57

Risulta:

โˆซ |๐‘ ๐‘‡0(๐‘ก)|2๐‘‘๐‘ก

โˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ |๐‘ (๐‘ก)|2๐‘‘๐‘ก

๐‘‡02

โˆ’๐‘‡02

= ๐‘‡0๐‘ƒ < โˆž (3.2.3)

๐‘ ๐‘‡0(๐‘ก) pertanto rappresenta un segnale a energia finita ๐’”๐‘‡0.

รˆ quindi chiaro che se sโ€™individua un insieme di segnali {๐’–๐‘›}๐‘›=โˆ’โˆžโˆž

appartenenti ad S, completo rispetto alla classe dei segnali S๐‘‡0, รจ possibi-

le esprimere un qualsiasi suo elemento ๐’”๐‘‡0 come combinazione lineare

degli {๐’–๐‘›}๐‘›=โˆ’โˆžโˆž .

A tal fine si prenda in considerazione l'insieme di segnali orto-

normali {๐’–๐‘›}๐‘›=โˆ’โˆžโˆž . Rappresentabili mediante le seguenti funzioni:

๐‘ข๐‘›(๐‘ก) =1

โˆš๐‘‡0๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘ก

๐‘‡0 โŠ“ (๐‘ก

๐‘‡0) , ๐‘› โˆˆ โ„ค

(3.2.4)

Detto insieme, come รจ possibile dimostrare4, รจ completo rispetto all'in-

sieme dei segnali appartenenti a S๐‘‡0, cioรจ di quei segnali che sono rap-

presentabili mediante funzioni a quadrato sommabile, nulle all'esterno

dell'intervallo (โˆ’๐‘‡0

2,๐‘‡0

2).

Il generico elemento di S๐‘‡0, puรฒ quindi essere rappresentato me-

diante una serie bilatera del tipo:

4 Cfr.: F. G. Tricomi: Istituzioni di analisi superiore. Edizioni Cedam. Padova. 1964. pag. 186 e

seg.

Fig. 3.1- Ripetizione periodica di un segnale

Page 70: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

58 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

๐‘ ๐‘‡0 = โˆ‘ ๐›ผ๐‘›๐‘ข๐‘›

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(3.2.5)

dove, in base a quanto esposto nel ยง 2.4 - , i coefficienti ๐›ผ๐‘› valgono:

๐›ผ๐‘› = โŸจ๐‘ ๐‘‡0 , ๐‘ข๐‘›โŸฉ = โˆซ ๐‘ ๐‘‡0(๐‘ก)๐‘ข๐‘›โˆ— (๐‘ก)๐‘‘๐‘ก

โˆž

โˆ’โˆž

=1

โˆš๐‘‡0โˆซ ๐‘ (๐‘ก)๐‘’

โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘ก

๐‘‡0๐‘‘๐‘ก

๐‘‡02

โˆ’๐‘‡02

(3.2.6)

Se si sostituisce la (3.2.5) nella (3.2.2) si ottiene:

๐‘ (๐‘ก) = โˆ‘ ๐‘ ๐‘‡0(๐‘ก โˆ’ ๐‘š๐‘‡0)

โˆž

๐‘š=โˆ’โˆž

= โˆ‘ โˆ‘๐›ผ๐‘›

โˆš๐‘‡0๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›

๐‘กโˆ’๐‘š๐‘‡0๐‘‡0 โŠ“ (

๐‘ก โˆ’ ๐‘š๐‘‡0๐‘‡0

)

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

โˆž

๐‘š=โˆ’โˆž

= โˆ‘ โŠ“ (๐‘ก โˆ’ ๐‘š๐‘‡0๐‘‡0

) โˆ‘๐›ผ๐‘›

โˆš๐‘‡0๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›

๐‘ก

๐‘‡0

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

=

โˆž

๐‘š=โˆ’โˆž

โˆ‘๐›ผ๐‘›

โˆš๐‘‡0๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›

๐‘ก

๐‘‡0

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(3.2.7)

dove si รจ tenuto conto della periodicitร  di ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘ก

๐‘‡0 e del fatto che, quasi

ovunque, risulta โˆ‘ โŠ“ (๐‘กโˆ’๐‘š๐‘‡0๐‘‡0

) = 1โˆž๐‘š=โˆ’โˆž . Ponendo infine:

๐‘“0 =1

๐‘‡0 (3.2.8)

e

๐‘†๐‘› =1

๐‘‡0โˆซ ๐‘ (๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“0๐‘ก๐‘‘๐‘ก

๐‘‡02

โˆ’๐‘‡02

(3.2.9)

la (3.2.7) assume la forma:

๐‘ (๐‘ก) = โˆ‘ ๐‘†๐‘›๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“0๐‘ก

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(3.2.10)

che costituisce la ben nota espansione di un segnale periodico in serie di

Fourier espressa in forma esponenziale o euleriana.

Si osservi che nel calcolo del generico coefficiente ๐‘†๐‘›, l'integrale

puรฒ estendersi ad un qualsiasi intervallo di durata ๐‘‡0.

Page 71: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 3 - Segnali Periodici - 59

รˆ opportuno precisare che la serie (3.2.10) converge al segnale

๐‘ (๐‘ก) secondo la metrica di ๐”2(โ„). Ciรฒ significa che l'errore quadratico

medio fra ๐‘ (๐‘ก) e la ridotta ๐‘-esima di detta serie tende a zero al crescere

di ๐‘, cioรจ:

lim๐‘โ†’โˆž

โˆซ |๐‘ (๐‘ก) โˆ’ โˆ‘ ๐‘†๐‘›๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“0๐‘ก

๐‘

๐‘›=โˆ’๐‘

|

2

๐‘‘๐‘ก

๐‘‡02

โˆ’๐‘‡02

= 0 (3.2.11)

Per quanto riguarda la convergenza puntuale, รจ facile dimostrare

che la serie di Fourier converge ad ๐‘ (๐‘ก) in tutti i punti in cui la funzione

รจ continua; negli eventuali punti di discontinuitร  la serie converge al va-

lore 1

2(๐‘ (๐œ+) + ๐‘ (๐œโˆ’)) avendo denotato con ๐‘ (๐œ+) e ๐‘ (๐œโˆ’) rispettiva-

mente i limiti destro e sinistro in corrispondenza della discontinuitร .5

Dalla (3.2.10) si deduce che la conoscenza dell'insieme numerabi-

le dei coefficienti, generalmente complessi, ๐‘†๐‘› e del periodo, consente la

ricostruzione di un segnale periodico ๐‘ (๐‘ก). Ciรฒ suggerisce una rappre-

sentazione grafica del segnale che si ottiene mediante dei diagrammi a

righe in cui sono riportati i moduli |๐‘†๐‘›| e gli argomenti ๐œ—๐‘› di ๐‘†๐‘› detti ri-

spettivamente spettri di ampiezza e di fase del segnale ๐’”.

Forma trigonometrica della serie di Fourier. 3.3 -

La serie (3.2.10) si puรฒ riscrivere come segue:

๐‘ (๐‘ก) = ๐‘†0 + โˆ‘ ๐‘†๐‘›๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“0๐‘ก

โˆ’1

๐‘›=โˆ’โˆž

+โˆ‘๐‘†๐‘›๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“0๐‘ก

โˆž

๐‘›=1

(3.3.1)

effettuando nella prima sommatoria la sostituzione ๐‘› โ†’ โˆ’๐‘› si ha:

๐‘ (๐‘ก) = ๐‘†0 +โˆ‘(๐‘†๐‘›๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“0๐‘ก + ๐‘†โˆ’๐‘›๐‘’

โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“0๐‘ก)

โˆž

๐‘›=1

(3.3.2)

d'altra parte, sviluppando la (3.2.9), si ottiene:

๐‘†๐‘› =1

๐‘‡0โˆซ ๐‘ (๐‘ก)cos(2๐œ‹๐‘›๐‘“0๐‘ก)๐‘‘๐‘ก

T0

โˆ’ ๐‘—1

๐‘‡0โˆซ ๐‘ (๐‘ก)sin(2๐œ‹๐‘›๐‘“0๐‘ก)๐‘‘๐‘ก

T0

(3.3.3)

Ponendo:

5 Un'ampia discussione del teorema di convergenza della serie di Fourier si trova in

R.V.Churchill: Fourier series and boundary value problems. McGraw Hill, N.Y., 1963.

Page 72: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

60 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

{

๐ด๐‘› =

2

๐‘‡0โˆซ ๐‘ (๐‘ก)cos(2๐œ‹๐‘›๐‘“0๐‘ก)๐‘‘๐‘ก;T0

๐ต๐‘› =2

๐‘‡0โˆซ ๐‘ (๐‘ก)sin(2๐œ‹๐‘›๐‘“0๐‘ก)๐‘‘๐‘กT0

;

(3.3.4)

si puรฒ quindi scrivere:

๐‘†๐‘› =๐ด๐‘› โˆ’ ๐‘—๐ต๐‘›

2 (3.3.5)

Sostituendo la (3.3.5) nella (3.3.2) si ottiene ancora:

๐‘ (๐‘ก) = ๐‘†0 +โˆ‘(๐ด๐‘› โˆ’ ๐‘—๐ต๐‘›

2๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“0๐‘ก +

๐ดโˆ’๐‘› โˆ’ ๐‘—๐ตโˆ’๐‘›2

๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“0๐‘ก)

โˆž

๐‘›=1

(3.3.6)

Poichรฉ dalle (3.3.4) discende:

๐ดโˆ’๐‘› = ๐ด๐‘›; ๐ตโˆ’๐‘› = โˆ’๐ต๐‘›; ๐‘†0 =๐ด02โ‰ก ๐‘Ž0 (3.3.7)

la (3.3.6) diventa:

๐‘ (๐‘ก) = ๐‘Ž0 +โˆ‘ [๐ด๐‘›

2(๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“0๐‘ก + ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“0๐‘ก) +

๐ต๐‘›

2๐‘—(๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“0๐‘ก โˆ’ ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“0๐‘ก)]

โˆž

๐‘›=1

(3.3.8)

dalla quale, ricordando le formule di Eulero, si ottiene:

๐‘ (๐‘ก) = ๐‘Ž0 +โˆ‘๐ด๐‘› cos(2๐œ‹๐‘›๐‘“0๐‘ก) + ๐ต๐‘› sin(2๐œ‹๐‘›๐‘“0๐‘ก)

โˆž

๐‘›=1

(3.3.9)

dove ๐‘Ž0 vale:

๐‘Ž0 =1

๐‘‡0โˆซ ๐‘ (๐‘ก)๐‘‘๐‘ก

T0

(3.3.10)

La (3.3.9) costituisce la forma trigonometrica della serie di Fou-

rier. Il termine ๐ด๐‘› cos(2๐œ‹๐‘›๐‘“0๐‘ก) + ๐ต๐‘› sin(2๐œ‹๐‘›๐‘“0๐‘ก) si chiama armonica di

ordine ๐‘› della funzione ๐‘ (๐‘ก). L'armonica di ordine 1 รจ detta armonica

fondamentale.

Segnali reali. 3.4 -

Se il segnale ๐‘ (๐‘ก) รจ reale, anche le quantitร  ๐ด๐‘› e ๐ต๐‘› lo sono. In

questo caso la (3.3.9) puรฒ porsi nella forma equivalente:

Page 73: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 3 - Segnali Periodici - 61

๐‘ (๐‘ก) = ๐‘Ž0 +โˆ‘๐ถ๐‘›cos(2๐œ‹๐‘›๐‘“0๐‘ก โˆ’ ๐œ—๐‘›)

โˆž

๐‘›=1

(3.4.1)

in cui le quantitร  ๐ถ๐‘› e ๐œ—๐‘› valgono:

๐ถ๐‘› = โˆš๐ด๐‘›2 + ๐ต๐‘›

2 ; ๐œ—๐‘› = arctg๐ต๐‘›๐ด๐‘›; (3.4.2)

e individuano rispettivamente l'ampiezza e la fase propria della compo-

nente armonica di ordine ๐‘› del segnale. Inoltre, tenendo presente le

(3.3.7)si deduce:

Pertanto lo spettro di ampiezza ha simmetria pari, quello di fase simmetria

dispari rispetto all'indice ๐‘› come mostrato qualitativamente in Fig. 3.2.

Esempio 3.1

Si consideri la sequenza periodica di im-

pulsi rettangolari di durata ๐‘‡ e periodo ๐‘‡0

mostrata in Fig.E 3.1. Nellโ€™intervallo

(โˆ’๐‘‡0

2,๐‘‡0

2) il segnale รจ descritto dalla:

๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก) = โŠ“ (๐‘ก๐‘‡). Pertanto il segnale ๐‘ (๐‘ก) puรฒ

|๐‘†๐‘›| = |๐‘†โˆ’๐‘›|; ๐œ—โˆ’๐‘› = โˆ’๐œ—๐‘›; (3.4.3)

Fig. 3.2 - Spettri di ampiezza a) e di fase b) di un segnale reale.

Fig.E 3.1

Page 74: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

62 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

scriversi come ripetizione periodica con passo ๐‘‡0 di ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก) otenendo:

๐‘ (๐‘ก) = โˆ‘ ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก โˆ’ ๐‘›๐‘‡0) =โˆž๐‘›=โˆ’โˆž โˆ‘ โŠ“ (๐‘กโˆ’๐‘›๐‘‡0

๐‘‡)โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

Per la (3.2.9) il coefficiente ๐‘†๐‘› dello sviluppo in forma Euleriana vale:

๐‘†๐‘› =1

๐‘‡0โˆซ ๐‘’

โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘ก

๐‘‡0 ๐‘‘๐‘ก

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

=

{

sin (๐œ‹๐‘›

๐‘‡

๐‘‡0)

๐œ‹๐‘›; ๐‘› โ‰  0

๐‘‡

๐‘‡0; ๐‘› = 0

che, tramite la funzione sinc(๐‘ฅ) cosรฌ definita:

Fig.E 3.2 Sviluppo in serie di Fourier del segnale โˆ‘ โŠ“ (๐‘กโˆ’๐‘›

0.25)โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

Page 75: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 3 - Segnali Periodici - 63

sinc(๐‘ฅ) = {sin(๐œ‹๐‘ฅ)

๐œ‹๐‘ฅ; ๐‘ฅ โ‰  0

1; โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰ ๐‘ฅ = 0

puรฒ essere scritto come segue:

๐‘†๐‘› =๐‘‡

๐‘‡0sinc (

๐‘›๐‘‡

๐‘‡0)

L'andamento degli ๐‘†๐‘› per ๐‘‡

๐‘‡0=

1

4

รจ riportato in Fig.E 3.2.

La funzione sinc(๐‘ฅ), ricorre

molto spesso nella teoria dei se-

gnali. Essa, come รจ mostrato in

Fig.E 3.3, vale 0 se il suo argo-

mento รจ intero e non nullo, in 0

vale 1. che รจ il suo massimo as-

soluto. รˆ una funzione continua,

derivabile infinite volte su tutto

l'asse reale e per ๐‘ฅ โ†’ ยฑโˆž, รจ infinitesima dello stesso ordine di 1

๐‘ฅ.

I coefficienti dello sviluppo di ๐‘ (๐‘ก) in foram trigonometrica si possono cal-

colare facilmente tenuto conto che dalle (3.3.5) e (3.3.7) si deduce

{

๐ด๐‘› = ๐‘†๐‘› + ๐‘†โˆ’๐‘› =

๐‘‡

๐‘‡0sinc (

๐‘›๐‘‡

๐‘‡0) +

๐‘‡

๐‘‡0sinc (

โˆ’๐‘›๐‘‡

๐‘‡0) =

2๐‘‡

๐‘‡0sinc (

๐‘›๐‘‡

๐‘‡0)

๐ต๐‘› = ๐‘—(๐‘†๐‘› โˆ’ ๐‘†โˆ’๐‘›) = ๐‘— (๐‘‡

๐‘‡0sinc (

๐‘›๐‘‡

๐‘‡0) โˆ’

๐‘‡

๐‘‡0sinc (

โˆ’๐‘›๐‘‡

๐‘‡0)) = 0

Pertanto lo sviluppo in forma trigonometrica รจ dato da:

๐‘ (๐‘ก) = ๐‘Ž0 +โˆ‘๐ด๐‘› cos (2๐œ‹๐‘›๐‘ก

๐‘‡0) + ๐ต๐‘› sin (2๐œ‹

๐‘›๐‘ก

๐‘‡0)

โˆž

๐‘›=1

=๐‘‡

๐‘‡0+2๐‘‡

๐‘‡0โˆ‘sinc (

๐‘›๐‘‡

๐‘‡0) cos (2๐œ‹

๐‘›๐‘ก

๐‘‡0)

โˆž

๐‘›=1

Come caso particolare si osservi che per ๐‘‡

๐‘‡0=

1

2 si ottiene:

๐‘ (๐‘ก) =1

2+โˆ‘ sinc (

๐‘›

2) cos (2๐œ‹

๐‘›๐‘ก

๐‘‡0)

โˆž

๐‘›=1

Fig.E 3.3

Page 76: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

64 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

In questo caso le armoniche di indice pari dello sviluppo hanno coefficiente

nullo poichรฉ in corrispondenza ad esse la sinc ha argomento intero. In Fig.E

3.4sono riportate alcune somme parziali per ๐‘‡0 = 1 e ๐‘‡ = 0.5. Si osservino

le sovraelongazioni in corrispondenza alle discontinuitร  (fenomeno di

Gibbs).

Esempio 3.2

Il segnale ๐‘ (๐‘ก) di Fig.E 3.5, รจ definito dalla:

๐‘ (๐‘ก) = โˆ‘2(๐‘ก โˆ’ ๐‘›๐‘‡0)

๐‘‡0โŠ“ (

๐‘ก โˆ’ ๐‘›๐‘‡0๐‘‡0

)

โˆž

๐‘›=โˆž

Il generico coefficiente ๐‘†๐‘› vale:

๐‘†๐‘› =1

๐‘‡0โˆซ

2๐‘ก

๐‘‡0๐‘’โˆ’๐‘—

2๐œ‹๐‘›๐‘ก

๐‘‡0 ๐‘‘๐‘ก

๐‘‡02

โˆ’๐‘‡02

=2

(2๐œ‹๐‘›)2โˆซ ๐‘ฅ๐‘’๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฅ๐‘—๐œ‹๐‘›

โˆ’๐‘—๐œ‹๐‘›

=2

(2๐œ‹๐‘›)2[(๐‘ฅ โˆ’ 1)๐‘’๐‘ฅ]โˆ’๐‘—๐œ‹๐‘›

๐‘—๐œ‹๐‘›

Si ha dunque:

{

๐‘†๐‘› = ๐‘—

cos(๐œ‹๐‘›)

๐œ‹๐‘›; ๐‘› โ‰  0

๐‘†0 =2

๐‘‡0โˆซ ๐‘ก๐‘‘๐‘ก

๐‘‡02

โˆ’๐‘‡02

= 0;

Gli spettri di ampiezza e fase per ๐‘‡0 = 1 so-

no riportati in Fig.E 3.6.

Fig.E 3.5

Fig.E 3.4

Page 77: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 3 - Segnali Periodici - 65

Proprietร  della serie di Fourier. 3.5 -

Linearitร 

Se il segnale ๐‘ (๐‘ก) รจ ottenuto da una combinazione lineare di ๐‘˜ se-

gnali componenti ๐‘ ๐‘–(๐‘ก) aventi tutti lo stesso periodo ๐‘‡0:

๐‘ (๐‘ก) = โˆ‘๐‘Ž๐‘–๐‘ ๐‘–(๐‘ก)

๐‘˜

๐‘–=1

(3.5.1)

con ๐‘Ž๐‘– coefficienti reali o complessi, il coefficiente ๐‘†๐‘› del suo sviluppo

in serie vale:

๐‘†๐‘› =1

๐‘‡0โˆ‘๐‘Ž๐‘–

๐‘˜

๐‘–=1

โˆซ ๐‘ ๐‘–(๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“0๐‘ก๐‘‘๐‘ก

T0

(3.5.2)

che, ponendo:

๐‘†๐‘–๐‘› =1

๐‘‡0โˆซ ๐‘ ๐‘–(๐‘ก)๐‘’

โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“0๐‘ก๐‘‘๐‘กT0

(3.5.3)

si scrive:

Fig.E 3.6 โ€“ sviluppo del segnale ๐‘ (๐‘ก) = โˆ‘2(๐‘กโˆ’๐‘›๐‘‡0)

๐‘‡0โŠ“ (

๐‘กโˆ’๐‘›๐‘‡0

๐‘‡0)โˆž

๐‘›=โˆž

Page 78: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

66 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

๐‘†๐‘› =โˆ‘๐‘Ž๐‘–๐‘†๐‘–๐‘›

๐‘˜

๐‘–=1

(3.5.4)

cioรจ: il coefficiente ๐‘†๐‘› di un segnale combinazione lineare di ๐‘˜ segnali,

aventi tutti lo stesso periodo ๐‘‡0, risulta espresso dalla stessa combina-

zione lineare tra i coefficienti ๐‘†๐‘–๐‘› dei segnali componenti.

Inversione nel dominio del tempo

Se ๐‘†๐‘› denota il generico coefficiente del segnale ๐‘ (๐‘ก), il generico

coefficiente ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘› del segnale ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก) = ๐‘ (โˆ’๐‘ก) risulta:

๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘› =1

๐‘‡0โˆซ ๐‘ (โˆ’๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“0๐‘ก๐‘‘๐‘ก

T0

=1

๐‘‡0โˆซ ๐‘ (๐‘ก)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“0๐‘ก๐‘‘๐‘ก

T0

= ๐‘†โˆ’๐‘› (3.5.5)

Segnale coniugato

Sia ๐‘†๐‘› il generico coefficiente del segnale ๐‘ (๐‘ก). Il generico coeffi-

ciente ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘› del segnale ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก) = ๐‘ โˆ—(๐‘ก) sarร  allora:

๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘› =1

๐‘‡0โˆซ ๐‘ โˆ—(๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“0๐‘ก๐‘‘๐‘ก

T0

=1

๐‘‡0(โˆซ ๐‘ (๐‘ก)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“0๐‘ก๐‘‘๐‘ก

๐‘‡0

)

โˆ—

= ๐‘†โˆ’๐‘›โˆ— (3.5.6)

In particolare, se il segnale รจ reale, dal fatto che in questo caso

๐‘ (๐‘ก) = ๐‘ โˆ—(๐‘ก) (3.5.7)

discende:o

๐‘†๐‘› = ๐‘†โˆ’๐‘›โˆ— (3.5.8)

precedentemente ottenuta (vedi (3.4.3)).

Coefficienti coniugati

Sia ๐‘ (๐‘ก) un segnale il cui sviluppo in serie di Fourier ha per coef-

ficienti ๐‘†๐‘›. Il segnale ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก) corrispondente allo sviluppo che ha per gene-

rico coefficiente ๐‘†๐‘›โˆ— รจ:

๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก) =โˆ‘๐‘†๐‘›โˆ—๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“0๐‘ก

โˆž

โˆ’โˆž

= (โˆ‘๐‘†๐‘›๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“0๐‘ก

โˆž

โˆ’โˆž

)

โˆ—

= ๐‘ โˆ—(โˆ’๐‘ก) (3.5.9)

che coincide con il segnale ๐‘ (๐‘ก) coniugato ed invertito nel tempo.

Se la quantitร  ๐‘†๐‘› รจ reale, risulta:

๐‘†๐‘› = ๐‘†๐‘›โˆ— (3.5.10)

Page 79: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 3 - Segnali Periodici - 67

la (3.5.9) diventa:

๐‘ (๐‘ก) = ๐‘ โˆ—(โˆ’๐‘ก) (3.5.11)

cioรจ un segnale che invertito nel tempo coincide con il proprio coniuga-

to ammette uno sviluppo i cui coefficienti ๐‘†๐‘› sono reali.

Traslazione nel dominio del tempo

Sia ๐‘†๐‘› il generico coefficiente dello sviluppo di un segnale ๐‘ (๐‘ก). Il

segnale ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก) = ๐‘ (๐‘ก โˆ’ ๐‘ก0), ottenuto ritardando ๐‘ (๐‘ก) di una quantitร  ๐‘ก0,

ammette uno sviluppo il cui generico coefficiente vale:

๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘› =1

๐‘‡0โˆซ ๐‘ (๐‘ก โˆ’ ๐‘ก0)๐‘’

โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“0๐‘ก๐‘‘๐‘กT0

=๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“0๐‘ก0

๐‘‡0โˆซ ๐‘ (๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“0๐‘ก๐‘‘๐‘ก

T0

= ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“0๐‘ก0๐‘†๐‘›

(3.5.12)

Pertanto la traslazione nel dominio del tempo comporta nel gene-

rico coefficiente ๐‘†๐‘› la presenza di un fattore esponenziale del tipo

๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“0๐‘ก0 di modulo unitario ed argomento โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“0๐‘ก0. In altri termini, la

traslazione lascia inalterati i moduli dei coefficienti ๐‘†๐‘›, ma aggiunge ai

loro argomenti un termine proporzionale al ritardo ๐‘ก0.

Traslazione nel dominio della frequenza

Sia ๐‘†๐‘› il generico coefficiente del segnale ๐‘ (๐‘ก). Il segnale ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก) il

cui generico coefficiente รจ ๐‘†๐‘›โˆ’๐‘ con ๐‘ โˆˆ โ„ค vale:

๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก) =โˆ‘๐‘†๐‘›โˆ’๐‘๐‘’

๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“0๐‘ก

โˆž

โˆ’โˆž

= ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘๐‘“0๐‘กโˆ‘๐‘†๐‘›๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“0๐‘ก

โˆž

โˆ’โˆž

= ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘๐‘“0๐‘ก๐‘ (๐‘ก)

(3.5.13)

La traslazione di ๐‘†๐‘› di una quantitร  ๐‘ equivale alla moltiplicazione

di ๐‘ (๐‘ก) per un fattore esponenziale del tipo ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘๐‘“0๐‘ก0.

Convoluzione nel dominio del tempo

Siano ๐‘ 1(๐‘ก) e ๐‘ 2(๐‘ก) due segnali periodici a potenza finita e aventi

lo stesso periodo ๐‘‡0. Si definisce convoluzione nel dominio del tempo

fra ๐‘ 1(๐‘ก) e ๐‘ 2(๐‘ก) il segnale ๐œ™(๐‘ก) dato dalla:

Page 80: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

68 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

๐œ™(๐‘ก) =1

๐‘‡0โˆซ ๐‘ 1(๐œ)๐‘ 2(๐‘ก โˆ’ ๐œ)๐‘‘๐œ

T0

=1

๐‘‡0โˆซ ๐‘ 1(๐‘ก โˆ’ ๐œ)๐‘ 2(๐œ)๐‘‘๐œ

T0

(3.5.14)

Si verifica che ๐œ™(๐‘ก) รจ anch'esso periodico di periodo ๐‘‡0.

Detti ๐‘†1๐‘› e ๐‘†2๐‘› i generici coefficienti dello sviluppo di ๐‘ 1(๐‘ก) e

๐‘ 2(๐‘ก) rispettivamente, il coefficiente ๐›ท๐‘› dello sviluppo del segnale ๐œ™(๐‘ก)

vale:

๐›ท๐‘› =1

๐‘‡0โˆซ (

1

๐‘‡0โˆซ ๐‘ 1(๐‘ก โˆ’ ๐œ)๐‘ 2(๐œ)๐‘‘๐œ

T0

) ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“0๐‘ก๐‘‘๐‘กT0

(3.5.15)

che, invertendo l'ordine di integrazione, diventa:

๐›ท๐‘› =1

๐‘‡0โˆซ ๐‘ 2(๐œ) (

1

๐‘‡0โˆซ ๐‘ 1(๐‘ก โˆ’ ๐œ)๐‘’

โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“0๐‘ก๐‘‘๐‘กT0

)๐‘‘๐œT0

(3.5.16)

Applicando il teorema della traslazione nel dominio del tempo si ha:

๐›ท๐‘› = ๐‘†1๐‘›1

๐‘‡0โˆซ ๐‘ 2(๐œ)๐‘’

โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“0๐œ๐‘‘๐œT0

= ๐‘†1๐‘› โ‹… ๐‘†2๐‘› (3.5.17)

cioรจ il generico coefficiente ๐›ท๐‘› dello sviluppo in serie di Fourier del se-

gnale ๐œ™(๐‘ก) si ottiene dal prodotto dei corrispondenti coefficienti degli

sviluppi in serie dei segnali convolvendi.

Convoluzione nel dominio della frequenza

Siano ๐‘ 1(๐‘ก) e ๐‘ 2(๐‘ก) due segnali periodici di periodo ๐‘‡0, sviluppabi-

li in serie di Fourier con generici coefficienti espressi da ๐‘†1๐‘› e ๐‘†2๐‘› rispet-

tivamente. Si costruiscano i coefficienti ๐›ท๐‘› definiti, al variare di ๐‘›, dalla:

๐›ท๐‘› = โˆ‘ ๐‘†1๐‘š๐‘†2(๐‘›โˆ’๐‘š)

โˆž

๐‘š=โˆ’โˆž

= โˆ‘ ๐‘†1(๐‘›โˆ’๐‘š)๐‘†2๐‘š

โˆž

๐‘š=โˆ’โˆž

(3.5.18)

La sequenza ๐›ท๐‘› รจ detta convoluzione nel dominio della frequen-

za. A quest'ultima si puรฒ associare il segnale:

๐œ™(๐‘ก) = โˆ‘ ๐›ท๐‘›

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“0๐‘ก

= โˆ‘ ( โˆ‘ ๐‘†1(๐‘›โˆ’๐‘š)๐‘†2๐‘š

โˆž

๐‘š=โˆ’โˆž

) ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“0๐‘กโˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(3.5.19)

che, invertendo lโ€™ordine delle sommatorie, diventa:

Page 81: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 3 - Segnali Periodici - 69

๐œ™(๐‘ก) = โˆ‘ ๐‘†2๐‘š ( โˆ‘ ๐‘†1(๐‘›โˆ’๐‘š)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“0๐‘ก

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

)

โˆž

๐‘š=โˆ’โˆž

(3.5.20)

Applicando alla precedente il teorema della traslazione in frequenza si

ha:

๐œ™(๐‘ก) = ๐‘ 1(๐‘ก) โˆ‘ ๐‘†2๐‘š๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘š๐‘“0๐‘ก = ๐‘ 1(๐‘ก) โ‹… ๐‘ 2(๐‘ก)

โˆž

๐‘š=โˆ’โˆž

(3.5.21)

Ciรฒ significa che alla convoluzione nel dominio della frequenza

corrisponde il prodotto dei due segnali ๐‘ 1(๐‘ก) โ‹… ๐‘ 2(๐‘ก) nel dominio del

tempo.

Nella Tabella 3.1 sono riassunte le proprietร  della serie di Fou-

rier precedentemente dedotte.

Tabella 3.1

Proprietร  della serie di Fourier

Proprietร  Segnale Trasformata

Linearitร  โˆ‘๐‘Ž๐‘–๐‘ ๐‘–(๐‘ก)

๐‘˜

๐‘–=1

โˆ‘๐‘Ž๐‘–๐‘†๐‘–๐‘›

๐‘˜

๐‘–=1

Inversione nel dominio

del tempo ๐‘ (โˆ’๐‘ก) ๐‘†โˆ’๐‘›

Segnale coniugato ๐‘ โˆ—(๐‘ก) ๐‘†โˆ’๐‘›โˆ—

Coefficienti coniugati ๐‘ โˆ—(โˆ’๐‘ก) ๐‘†๐‘›โˆ—

Traslazione nel dominio

del tempo ๐‘ (๐‘ก โˆ’ ๐‘ก0) ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“0๐‘ก๐‘†๐‘›

Traslazione nel dominio

della frequenza ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘๐‘“0๐‘ก๐‘ (๐‘ก) ๐‘†๐‘›+๐‘

Convoluzione nel domi-

nio del tempo

1

๐‘‡โˆซ ๐‘ 1(๐‘ก โˆ’ ๐œ)๐‘ 2(๐œ)๐‘‘๐œ

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

๐‘†1๐‘› โ‹… ๐‘†2๐‘›

Convoluzione nel domi-

nio della frequenza ๐‘ 1(๐‘ก) โ‹… ๐‘ 2(๐‘ก) โˆ‘ ๐‘†1๐‘š๐‘†2(๐‘›โˆ’๐‘š)

โˆž

๐‘š=โˆ’โˆž

Page 82: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

70 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Segnali bidimensionali. 3.6 -

Un segnale ๐‘ (๐‘ฅ, ๐‘ฆ), funzione di due variabili indipendenti, si dirร 

periodico in ๐‘ฅ e ๐‘ฆ se l'equazione

๐‘ (๐‘ฅ + ๐‘‹, ๐‘ฆ + ๐‘Œ) = ๐‘ (๐‘ฅ, ๐‘ฆ) (3.6.1)

ammette soluzioni

diverse da zero nelle

incognite ๐‘‹, ๐‘Œ indi-

pendenti dalla coppia

di variabili ๐‘ฅ, ๐‘ฆ. Ana-

logamente al caso

monodimensionale si

possono definire i

periodi principali ๐‘‹0

e ๐‘Œ0.

La potenza

specifica del segnale

vale:

๐‘ƒ = lim๐‘‹,๐‘Œโ†’โˆž

1

๐‘‹๐‘Œโˆซ โˆซ |๐‘ (๐‘ฅ, ๐‘ฆ)|2๐‘‘๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฆ

๐‘Œ

2

โˆ’๐‘Œ

2

๐‘‹

2

โˆ’๐‘‹

2

=1

๐‘‹0๐‘Œ0โˆซ โˆซ |๐‘ (๐‘ฅ, ๐‘ฆ)|2๐‘‘๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฆ

๐‘Œ0๐‘‹0

(3.6.2)

dove l'integrale che compare all'ultimo membro della precedente รจ este-

so ad un dominio rettangolare qualsiasi di dimensioni ๐‘‹0 e ๐‘Œ0 rispetti-

vamente. Se detto integrale ha valore finito e non nullo allora il segnale

periodico รจ a potenza finita.

Un segnale periodico bidimensionale a potenza finita puรฒ essere

sviluppato mediante la seguente serie doppia di Fourier:

๐‘ (๐‘ฅ, ๐‘ฆ) = โˆ‘ โˆ‘ ๐‘†๐‘›,๐‘š๐‘’๐‘—2๐œ‹(๐‘›๐‘“๐‘ฅ๐‘ฅ+๐‘š๐‘“๐‘ฆ๐‘ฆ)

โˆž

๐‘š=โˆ’โˆž

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(3.6.3)

dove:

๐‘“๐‘ฅ =1

๐‘‹0; ๐‘“๐‘ฆ =

1

๐‘Œ0 (3.6.4)

sono generalmente denominate frequenze spaziali.

Fig.E 3.7

Page 83: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 3 - Segnali Periodici - 71

Il generico coefficiente ๐‘†๐‘›๐‘š della serie (3.6.3) รจ espresso dalla:

๐‘†๐‘›๐‘š =1

๐‘‹0๐‘Œ0โˆซ โˆซ ๐‘ (๐‘ฅ, ๐‘ฆ)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹(๐‘›๐‘“๐‘ฅ๐‘ฅ+๐‘š๐‘“๐‘ฆ๐‘ฆ)๐‘‘๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฆ

Y0X0

(3.6.5)

Esempio 3.3

Si consideri il segnale periodico ๐‘ (๐‘ฅ, ๐‘ฆ) cosรฌ definito:

๐‘ (๐‘ฅ, ๐‘ฆ) =โŠ“ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘˜1๐‘‹02๐‘Ž

)โŠ“ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘˜2๐‘Œ02๐‘

) ; โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰โˆ€โ€‰๐‘˜1, ๐‘˜2 โˆˆ โ„ค, ๐‘Ž <๐‘‹02, ๐‘ <

๐‘Œ02

che risulta essere uguale ad 1 nei domini tratteggiati in Fig.E 3.7 e nullo al-

trove.

Si ha:

๐‘†๐‘›๐‘š =1

๐‘‹0๐‘Œ0โˆซ ๐‘‘๐‘ฅโˆซ ๐‘‘๐‘ฆ๐‘’

โˆ’๐‘—2๐œ‹(๐‘›๐‘ฅ

๐‘‹0+๐‘š๐‘ฆ

๐‘Œ0)

๐‘

โˆ’๐‘

๐‘Ž

โˆ’๐‘Ž,

โ€‰ = 4๐‘Ž๐‘

๐‘‹0๐‘Œ0sinc (

2๐‘›๐‘Ž

๐‘‹0) sinc (

2๐‘š๐‘

๐‘Œ0)

Esempio 3.4

Si consideri il segnale ๐‘ (๐‘ฅ, ๐‘ฆ) cosรฌ definito:

๐‘ (๐‘ฅ, ๐‘ฆ) =โŠ“(โˆš(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘˜1๐‘‹0)

2 + (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘˜2๐‘Œ0)2 โˆ’

๐‘‘

2

๐‘‘) ; โˆ€๐‘˜1, ๐‘˜2 โˆˆ โ„ค

Esso รจ periodico ed, in particolare, diverso da 0 e pari ad 1 solo nei domini

tratteggiati in Fig.E 3.8.

Volendo valutare i coefficienti ๐‘†๐‘›๐‘š del suo sviluppo รจ opportuno espri-

mere la (3.6.5) in coordinate polari effettuando la nota trasformazione di va-

riabili:

{๐‘ฅ = ๐œŒcos๐œ—;๐‘ฆ = ๐œŒsin๐œ—;

come รจ noto:

๐‘‘๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฆ = |๐ฝ|๐‘‘๐œŒ๐‘‘๐œ—

dove ๐ฝ denota lo Jacobiano della trasformazione che vale:

๐ฝ = |๐œ•๐‘ฅ/๐œ•๐œŒ ๐œ•๐‘ฅ/๐œ•๐œ—๐œ•๐‘ฆ/๐œ•๐œŒ ๐œ•๐‘ฆ/๐œ•๐œ—

| = |cos๐œ— โˆ’๐œŒsin๐œ—sin๐œ— ๐œŒ๐‘os๐œ—

| = ๐œŒ(cos2๐œ— + sin2๐œ—) = ๐œŒ

si ha:

๐‘†๐‘›๐‘š =1

๐‘‹0๐‘Œ0โˆซ โˆซ ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐œŒ(๐‘›๐‘“๐‘ฅcos๐œ—+๐‘š๐‘“๐‘ฆsin๐œ—)๐œŒ๐‘‘๐œŒ๐‘‘๐œ—

๐‘‘

0

๐œ‹

โˆ’๐œ‹

Ponendo adesso:

Page 84: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

72 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

{

sin๐œ“ =

๐‘›๐‘“๐‘ฅ

โˆš(๐‘›๐‘“๐‘ฅ)2 + (๐‘š๐‘“๐‘ฆ)

2;

cos๐œ“ =๐‘š๐‘“๐‘ฆ

โˆš(๐‘›๐‘“๐‘ฅ)2 + (๐‘š๐‘“๐‘ฆ)

2

;

risulta:

๐‘›๐‘“๐‘ฅcos๐œ— + ๐‘š๐‘“๐‘ฆsin๐œ— = โˆš(๐‘›๐‘“๐‘ฅ)2 + (๐‘š๐‘“๐‘ฆ)

2[sin๐œ“cos๐œ— + cos๐œ“sin๐œ—]

= sin(๐œ— + ๐œ“) โ‹… โˆš(๐‘›๐‘“๐‘ฅ)2 + (๐‘š๐‘“๐‘ฆ)

2

Ponendo inoltre:

๐›พ๐‘›๐‘š = 2๐œ‹โˆš(๐‘›๐‘“๐‘ฅ)2 + (๐‘š๐‘“๐‘ฆ)

2

๐‘†๐‘›๐‘š si scrive:

๐‘†๐‘›๐‘š =1

๐‘‹0๐‘Œ0โˆซ ๐œŒ๐‘‘๐œŒโˆซ ๐‘’๐‘—๐›พ๐‘›๐‘š๐œŒsin๐œ—๐‘‘๐œ—

๐œ“+๐œ‹

๐œ“โˆ’๐œ‹

๐‘‘

0

Per valutare ๐‘†๐‘›๐‘š si ricordi che:

๐ฝ๐‘›(๐‘ฅ) =1

2๐œ‹โˆซ ๐‘’๐‘—(๐‘ฅsin๐‘งโˆ’๐‘›๐‘ง)๐‘‘๐‘ง๐œ‹

โˆ’๐œ‹

dove Jn(๐‘ฅ) rappresenta la funzione di Bessel di prima specie di ordine ๐‘› che

si puรฒ anche esprimere mediante la

serie:

๐ฝ๐‘›(๐‘ฅ) = (๐‘ฅ

2)๐‘›

โˆ‘1

๐‘˜! (๐‘› + ๐‘˜)!(โˆ’

๐‘ฅ2

4)

๐‘˜โˆž

๐‘˜=0

Si ha pertanto:

๐‘†๐‘›๐‘š =2๐œ‹

๐‘‹0๐‘Œ0โˆซ ๐œŒ๐ฝ0(๐œŒ๐›พ๐‘›๐‘š)๐‘‘๐œŒ๐‘‘

0

Poichรฉ, d'altra parte รจ:

โˆซ ๐‘ฅ๐ฝ0(๐‘Ž๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅ =1

0

๐ฝ1(๐‘Ž)

๐‘Ž

ponendo ๐‘ฅ =2๐œŒ

๐‘‘ si ottiene infine:

๐‘†๐‘›๐‘š =2๐œ‹๐‘‘

๐‘‹0๐‘Œ0

๐ฝ1(๐›พ๐‘›๐‘š๐‘‘)

๐›พ๐‘›๐‘š

Fig.E 3.8

Page 85: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 4

SEGNALI A ENERGIA FINITA

Deduzione elementare della trasformata di Fourier. 4.1 -

Sia ๐‘ (๐‘ก) una funzione sommabile rappresentativa di un segnale ๐’”

ad energia finita, e sia

๐‘ ๐‘‡(๐‘ก) = ๐‘ (๐‘ก)โŠ“ (๐‘ก

๐‘‡) (4.1.1)

la corrispondente funzione

troncata (vedi Fig. 4.1).

Il segnale ๐’”๐‘‡, indivi-

duato dalla (4.1.1), appartiene

allo spazio S๐‘‡ definito nel

ยง 3.2 - . Pertanto una sua rap-

presentazione puรฒ essere

espressa mediante il seguente

insieme di funzioni ortonor-

mali:

๐‘ข๐‘›(๐‘ก) =1

โˆš๐‘‡๐‘’๐‘—

2๐œ‹๐‘›๐‘ก

๐‘‡ โŠ“ (๐‘ก

๐‘‡) ; ๐‘› = 0, ยฑ1, ยฑ2, โ€ฆ (4.1.2)

nella forma:

๐‘ ๐‘‡(๐‘ก) =1

โˆš๐‘‡โŠ“ (

๐‘ก

๐‘‡) โˆ‘ ๐›ผ๐‘›๐‘’

๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘ก

๐‘‡

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(4.1.3)

dove:

๐›ผ๐‘› =1

โˆš๐‘‡โˆซ ๐‘ (๐œ)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›

๐œ

๐‘‡๐‘‘๐œ

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

(4.1.4)

Sostituendo la (4.1.4) nella (4.1.3) si ottiene:

๐‘ ๐‘‡(๐‘ก) = โŠ“ (๐‘ก

๐‘‡) โˆ‘

1

๐‘‡(โˆซ ๐‘ (๐œ)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›

๐œ

๐‘‡๐‘‘๐œ

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

) ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘ก

๐‘‡

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(4.1.5)

Fig. 4.1 โ€“ Segnale ๐’”, segnale troncato ๐’”๐‘‡.

Page 86: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

74 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

che ponendo:

๐‘† (๐‘›

๐‘‡) = โˆซ ๐‘ (๐œ)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›

๐œ

๐‘‡๐‘‘๐œ

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

(4.1.6)

diventa:

๐‘ ๐‘‡(๐‘ก) = โŠ“ (๐‘ก

๐‘‡) โˆ‘

1

๐‘‡๐‘† (๐‘›

๐‘‡) ๐‘’๐‘—2๐œ‹

๐‘›

๐‘‡๐‘ก

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(4.1.7)

Poichรฉ:

๐‘ (๐‘ก) = lim๐‘‡โ†’โˆž

๐‘ ๐‘‡(๐‘ก) (4.1.8)

la funzione ๐‘ (๐‘ก) puรฒ essere espressa effettuando nella (4.1.7) il limite su

indicato. A tal proposito si osservi che, al crescere di ๐‘‡, le quantitร 

๐‘“๐‘› =๐‘›

๐‘‡, aventi le dimensioni di una frequenza, tendono ad addensarsi nel

senso che la differenza 1

๐‘‡ fra due termini consecutivi tende a zero. Di

conseguenza al divergere di ๐‘‡, ๐‘“๐‘› tende ad identificarsi con una variabile

continua ๐‘“ e 1

๐‘‡ con il corrispondente incremento infinitesimo ๐‘‘๐‘“. Da tali

considerazioni discende che le (4.1.6) e (4.1.7) tendono ad assumere ri-

spettivamente le forme:

a) ๐‘†(๐‘“) = โˆซ ๐‘ (๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

;

(4.1.9)

b) โ€‰๐‘ (๐‘ก) = โˆซ ๐‘†(๐‘“)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘“โˆž

โˆ’โˆž

;

che, se esistono, costituiscono rispettivamente le espressioni della tra-

sformata e dellโ€™antitrasformata di Fourier.

La trasformata di Fourier di segnali ad energia finita. 4.2 -

L'applicazione delle (4.1.9) a segnali ad energia finita, in realtร ,

non รจ sempre possibile, perchรฉ gli integrali che in esse compaiono per-

dono di significato quando le rispettive funzioni integrande non sono

sommabili. Poichรฉ un segnale ad energia finita รจ rappresentabile median-

te una funzione a quadrato sommabile, che non รจ necessariamente an-

che sommabile, nasce la necessitร  di modificare opportunamente le de-

finizioni (4.1.9), al fine di pervenire alla definizione di una trasformazio-

ne di Fourier sulle funzioni appartenenti ad ๐”2(โ„).

Page 87: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 4 - Segnali a Energia Finita - 75

Quanto sopra, in altri termini, equivale ad individuare due opera-

tori ๐”‰ ed ๏ฟฝ๏ฟฝ, che costituiscano una naturale estensione delle (4.1.9), en-

trambi definiti in ๐”2(โ„), che, qualunque sia ๐‘“ โˆˆ ๐”2(โ„), godano della

proprietร 

๐‘“ = ๏ฟฝ๏ฟฝ[๐”‰[๐‘“]] = ๐”‰[๏ฟฝ๏ฟฝ[๐‘“]] (4.2.1)

La trasformata in ๐•ท(โ„).

Se una funzione ๐‘ (๐‘ก) appartiene a ๐”(โ„), cioรจ se:

โˆซ |๐‘ (๐‘ก)|๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

< โˆž (4.2.2)

la definizione (4.1.9) a della trasformata di Fourier ha certamente senso

dato che risulta:

|๐‘†(๐‘“)| = |โˆซ ๐‘ (๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

| โ‰ค โˆซ |๐‘ (๐‘ก)|๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

< โˆž (4.2.3)

La trasformata di una funzione sommabile quindi certamente esiste ed รจ

limitata; inoltre essa รจ anche continua. Infatti, essendo |๐‘ (๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก| =

|๐‘ (๐‘ก)|, l'applicazione del II Teorema di Lebesgue consente di scrivere:

lim๐‘“โ†’๐‘“0

๐‘†(๐‘“) = lim๐‘“โ†’๐‘“0

โˆซ ๐‘ (๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ lim๐‘“โ†’๐‘“0

๐‘ (๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก ๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ ๐‘ (๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“0๐‘ก๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

= ๐‘†(๐‘“0)

(4.2.4)

Si noti che la trasformata di una funzione in ๐”(โ„) non appartiene

necessariamente a ๐”(โ„). Per convincersene basta prendere in considera-

zione lโ€™impulso rettangolare la cui trasformata di Fourier ๐”‰ [โŠ“ (๐‘ก๐‘‡)] =

๐‘‡sinc(๐‘“๐‘‡) non รจ sommabile in โ„.

La trasformata in ๐•ท(โ„) โˆฉ ๐•ท๐Ÿ(โ„).

Si consideri adesso una funzione ๐‘ (๐‘ก) appartenente ad ๐”2(โ„) che

sia anche sommabile, cioรจ:

๐‘ (๐‘ก) โˆˆ ๐”(โ„) โˆฉ ๐”2(โ„) (4.2.5)

Al fine di identificare lo spazio funzionale cui appartiene la tra-

sformata ๐‘†(๐‘“) di una tale funzione, si consideri una funzione ausiliaria

๐œ™(๐‘ก) โˆˆ ๐”(โ„), limitata, la cui trasformata di Fourier ฮฆ(๐‘“) appartenga an-

Page 88: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

76 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

ch'essa a ๐”(โ„) e per la quale si possa verificare che ๐”‰โˆ’1[๐”‰[๐œ™(๐‘ก)]] =

๐œ™(๐‘ก)6 e si consideri la seguente espressione:

๐ผ(๐›ฟ) = โˆซ ฮฆ(๐›ฟ๐‘“)|๐‘†(๐‘“)|2๐‘‘๐‘“โˆž

โˆ’โˆž

(4.2.6)

che, se ha senso, definisce una funzione del parametro ๐›ฟ che si assume

reale positivo.

Tenendo conto della definizione (4.1.9),a possiamo scrivere:

|๐‘†(๐‘“)|2 = ๐‘†(๐‘“)๐‘†โˆ—(๐‘“)

= โˆซ ๐‘ (๐‘ก1)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก1๐‘‘๐‘ก1

โˆž

โˆ’โˆž

โˆซ ๐‘ โˆ—(๐‘ก2)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก2๐‘‘๐‘ก2

โˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ โˆซ ๐‘ (๐‘ก1)โˆž

โˆ’โˆž

๐‘ โˆ—(๐‘ก2)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“(๐‘ก2โˆ’๐‘ก1)๐‘‘๐‘ก1๐‘‘๐‘ก2

โˆž

โˆ’โˆž

(4.2.7)

Sostituendo nella (4.2.6) e invertendo lโ€™ordine di integrazione otteniamo:

๐ผ(๐›ฟ) = โˆซ ฮฆ(๐›ฟ๐‘“)โˆซ โˆซ ๐‘ (๐‘ก1)โˆž

โˆ’โˆž

๐‘ โˆ—(๐‘ก2)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“(๐‘ก2โˆ’๐‘ก1)๐‘‘๐‘ก1๐‘‘๐‘ก2

โˆž

โˆ’โˆž

๐‘‘๐‘“โˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ โˆซ ๐‘ (๐‘ก1)๐‘ โˆ—(๐‘ก2) [โˆซ ฮฆ(๐›ฟ๐‘“)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“(๐‘ก2โˆ’๐‘ก1)๐‘‘๐‘“

โˆž

โˆ’โˆž

] ๐‘‘๐‘ก1

โˆž

โˆ’โˆž

๐‘‘๐‘ก2

โˆž

โˆ’โˆž

(4.2.8)

ma ฮฆ(๐‘“) โˆˆ ๐”(โ„), sarร  quindi sommabile anche ฮฆ(๐›ฟ๐‘“) โˆ€โ€‰๐›ฟ > 0. Potremo

pertanto scrivere:

โˆซ ฮฆ(๐›ฟ๐‘“)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“(๐‘ก2โˆ’๐‘ก1)๐‘‘๐‘“โˆž

โˆ’โˆž

=1

๐›ฟโˆซ ฮฆ(๐›ฟ๐‘“)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐›ฟ๐‘“

๐‘ก2โˆ’๐‘ก1๐›ฟ ๐‘‘(๐›ฟ๐‘“)

โˆž

โˆ’โˆž

=1

๐›ฟ๐œ™ (

๐‘ก2 โˆ’ ๐‘ก1๐›ฟ

)

(4.2.9)

che sostituita nella (4.2.8) fornisce:

๐ผ(๐›ฟ) =1

๐›ฟโˆซ โˆซ ๐‘ (๐‘ก1)๐‘ 

โˆ—(๐‘ก2)๐œ™ (๐‘ก2 โˆ’ ๐‘ก1๐›ฟ

) ๐‘‘๐‘ก1๐‘‘๐‘ก2

โˆž

โˆ’โˆž

โˆž

โˆ’โˆž

(4.2.10)

Operando la trasformazione di variabili:

{

๐‘ก = ๐‘ก1;

๐œ =๐‘ก2 โˆ’ ๐‘ก1๐›ฟ

; (4.2.11)

6 Tale รจ ad esempio ๐œ™(๐‘ก) = ๐‘’โˆ’๐‘ก

2 la cui trasformata vale ฮฆ(๐‘“) = โˆš๐œ‹๐‘’โˆ’๐œ‹

2๐‘“2 (vedi Esempio 4.6).

Page 89: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 4 - Segnali a Energia Finita - 77

il cui Jacobiano vale

๐ฝ = |

๐œ•๐‘ก1๐œ•๐‘ก

๐œ•๐‘ก1๐œ•๐œ

๐œ•๐‘ก2๐œ•๐‘ก

๐œ•๐‘ก2๐œ•๐œ

| = |1 01 ๐›ฟ

| = ๐›ฟ (4.2.12)

la (4.2.10) diventa:

๐ผ(๐›ฟ) = โˆซ โˆซ ๐‘ (๐‘ก)๐‘ โˆ—(๐‘ก + ๐›ฟ๐œ)๐œ™(๐œ)๐‘‘๐‘ก๐‘‘๐œโˆž

โˆ’โˆž

โˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ ๐œ™(๐œ) (โˆซ ๐‘ (๐‘ก)๐‘ โˆ—(๐‘ก + ๐›ฟ๐œ)๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

)๐‘‘๐œโˆž

โˆ’โˆž

(4.2.13)

applicando all'integrale piรน interno che compare allโ€™ultimo membro della

precedente la disuguaglianza di Schwarz si ottiene:

|โˆซ ๐‘ (๐‘ก)๐‘ โˆ—(๐‘ก + ๐›ฟ๐œ)๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

|

โ‰ค (โˆซ |๐‘ (๐‘ก)|2๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

โ‹… โˆซ |๐‘ (๐‘ก + ๐›ฟ๐œ)|2๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

)

1

2

= โˆซ |๐‘ (๐‘ก)|2๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

(4.2.14)

da cui discende:

|๐ผ(๐›ฟ)| โ‰ค โˆซ |๐œ™(๐œ) (โˆซ ๐‘ (๐‘ก)๐‘ โˆ—(๐‘ก + ๐›ฟ๐œ)๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

)| ๐‘‘๐œโˆž

โˆ’โˆž

โ‰ค โˆซ |๐œ™(๐œ)|๐‘‘๐œโˆซ |๐‘ (๐‘ก)|2๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

โˆž

โˆ’โˆž

(4.2.15)

ne segue che l'integrale (4.2.6) esiste.

Eguagliando i secondi membri delle (4.2.6) e (4.2.13) si ottiene:

โˆซ ฮฆ(๐›ฟ๐‘“)|๐‘†(๐‘“)|2๐‘‘๐‘“โˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ ๐œ™(๐œ) (โˆซ ๐‘ (๐‘ก)๐‘ โˆ—(๐‘ก + ๐›ฟ๐œ)๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

)๐‘‘๐œโˆž

โˆ’โˆž

(4.2.16)

poichรฉ si ha:

|ฮฆ(๐›ฟ๐‘“)||๐‘†(๐‘“)|2 โ‰ค |๐‘†(๐‘“)|2โˆซ |๐œ™(๐œ)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐›ฟ๐‘“๐œ|๐‘‘๐œโˆž

โˆ’โˆž

= |๐‘†(๐‘“)|2โˆซ |๐œ™(๐œ)|๐‘‘๐œโˆž

โˆ’โˆž

(4.2.17)

e, ricordando la (4.2.14):

Page 90: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

78 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

|๐œ™(๐œ) (โˆซ ๐‘ (๐‘ก)๐‘ โˆ—(๐‘ก + ๐›ฟ๐œ)๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

)| โ‰ค |๐œ™(๐œ)|โˆซ |๐‘ (๐‘ก)|2๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

(4.2.18)

puรฒ applicarsi ad entrambi i membri della (4.2.16) il II Teorema di Le-

besgue, il quale ci assicura che si puรฒ scrivere:

lim๐›ฟโ†’0

โˆซ ฮฆ(๐›ฟ๐‘“)|๐‘†(๐‘“)|2๐‘‘๐‘“โˆž

โˆ’โˆž

= ฮฆ(0)โˆซ |๐‘†(๐‘“)|2๐‘‘๐‘“โˆž

โˆ’โˆž

โ€‰

= lim๐›ฟโ†’0

โˆซ ๐œ™(๐œ) (โˆซ ๐‘ (๐‘ก)๐‘ โˆ—(๐‘ก + ๐›ฟ๐œ)๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

)๐‘‘๐œโˆž

โˆ’โˆž

โ€‰

= โˆซ ๐œ™(๐œ)๐‘‘๐œโˆž

โˆ’โˆž

โˆซ |๐‘ (๐‘ก)|2๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

(4.2.19)

Osservando che ฮฆ(0) = โˆซ ๐œ™(๐œ)๐‘‘๐œโˆž

โˆ’โˆž, dalla precedente si ottiene:

โˆซ |๐‘ (๐‘ก)|2๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ |๐‘†(๐‘“)|2๐‘‘๐‘“โˆž

โˆ’โˆž

(4.2.20)

Concludendo si รจ pervenuti al fatto che, se ๐‘ (๐‘ก) โˆˆ ๐”(โ„) โˆฉ ๐”2(โ„),

la sua trasformata ๐‘†(๐‘“) รจ una funzione a quadrato sommabile in โ„.

Con procedimento analogo si puรฒ mostrare che se ๐‘ 1(๐‘ก) e ๐‘ 2(๐‘ก)

appartengono entrambe ad ๐”(โ„) โˆฉ ๐”2(โ„), dette rispettivamente ๐‘†1(๐‘“) e

๐‘†2(๐‘“) le loro trasformate, si ha:

โˆซ ๐‘ 1(๐‘ก)๐‘ 2โˆ—(๐‘ก)๐‘‘๐‘ก

โˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ ๐‘†1(๐‘“)๐‘†2โˆ—(๐‘“)๐‘‘๐‘“

โˆž

โˆ’โˆž

(4.2.21)

La trasformata in ๐•ท๐Ÿ(โ„).

Per definire la trasformata di Fourier di una funzione a quadrato

sommabile รจ opportuno riferirsi nuovamente alla funzione troncata

๐‘ ๐‘‡(๐‘ก).

La funzione ๐‘ ๐‘‡(๐‘ก), nella metrica di ๐”2(โ„), tende a ๐‘ (๐‘ก). Ciรฒ signi-

fica che la distanza euclidea tra ๐‘ ๐‘‡(๐‘ก) e ๐‘ (๐‘ก) tende a zero quando ๐‘‡ โ†’ โˆž:

lim๐‘‡โ†’โˆž

โˆซ |๐‘ (๐‘ก) โˆ’ ๐‘ ๐‘‡(๐‘ก)|2๐‘‘๐‘ก

โˆž

โˆ’โˆž

= 0 (4.2.22)

รˆ bene osservare che la funzione ๐‘ ๐‘‡(๐‘ก) essendo identicamente

nulla all'esterno di un intervallo limitato, oltre ad essere a quadrato

sommabile, รจ anche sommabile in โ„. Di conseguenza essa ammette tra-

sformata di Fourier ๐‘†๐‘‡(๐‘“):

Page 91: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 4 - Segnali a Energia Finita - 79

๐‘†๐‘‡(๐‘“) = โˆซ ๐‘ ๐‘‡(๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘ก

โˆž

โˆ’โˆž

(4.2.23)

che soddisfa la condizione (4.2.20), cioรจ:

โ€–๐‘†๐‘‡(๐‘“)โ€– = โ€–๐‘ ๐‘‡(๐‘ก)โ€– (4.2.24)

inoltre รจ evidente che:

โ€–๐‘†๐‘‡โ€ฒ(๐‘“) โˆ’ ๐‘†๐‘‡(๐‘“)โ€– = โ€–๐‘ ๐‘‡โ€ฒ(๐‘ก) โˆ’ ๐‘ ๐‘‡(๐‘ก)โ€– (4.2.25)

D'altro canto, poichรฉ ๐‘ ๐‘‡(๐‘ก) โˆˆ ๐”2(โ„), comunque scelta una successione

๐‘‡๐‘› โ†’ โˆž, esiste un ๐‘› tale che, ๐‘, ๐‘ž > ๐‘› implicano โ€–๐‘ ๐‘‡๐‘(๐‘ก) โˆ’ ๐‘ ๐‘‡๐‘ž(๐‘ก)โ€– < ํœ€.

Per la (4.2.25) si ha anche:

โ€–๐‘†๐‘‡๐‘(๐‘“) โˆ’ ๐‘†๐‘‡๐‘ž(๐‘“)โ€– < ํœ€ (4.2.26)

{๐‘†๐‘‡๐‘›(๐‘“)}๐‘›=1โˆž รจ pertanto una successione di Cauchy, quindi, in virtรน della

completezza di ๐”2(โ„), {๐‘†๐‘‡๐‘›(๐‘“)}๐‘›=1โˆž รจ convergente,. Inoltre l'arbitrarietร 

nella scelta della {๐‘‡๐‘›}๐‘›=1โˆž assicura che la famiglia di funzioni ๐‘†๐‘‡(๐‘“), al di-

vergere di ๐‘‡, tende, secondo la metrica di ๐”2(โ„), ad una ๐‘†(๐‘“) โˆˆ ๐”2(โ„),

che si assume come trasformata di Fourier della funzione ๐‘ (๐‘ก) โˆˆ ๐”2(โ„).

Esplicitando la funzione ๐‘†๐‘‡(๐‘“), quanto detto, equivale a scrivere

lim๐‘‡โ†’โˆž

โˆซ |๐‘†(๐‘“) โˆ’ โˆซ ๐‘ (๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘ก

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

|

2

๐‘‘๐‘“โˆž

โˆ’โˆž

= 0 (4.2.27)

Per definire la trasformata inversa di una funzione ๐‘†(๐‘“) โˆˆ ๐”2(โ„)

si puรฒ procedere analogamente. In particolare, la trasformata troncata

๐‘†๐ต(๐‘“) = ๐‘†(๐‘“)โŠ“ (๐‘“

๐ต) (4.2.28)

รจ anche sommabile, essendo identicamente nulla al di fuori di un inter-

vallo finito. Essa quindi รจ antitrasformabile, e la sua antitrasformata รจ:

๏ฟฝ๏ฟฝ๐น(๐‘ก) = โˆซ ๐‘†๐ต(๐‘“)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘“

โˆž

โˆ’โˆž

(4.2.29)

che, evidentemente gode della proprietร :

โˆซ |๐‘†๐ต(๐‘“)|2๐‘‘๐‘“

โˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ |๏ฟฝ๏ฟฝ๐ต(๐‘ก)|2๐‘‘๐‘ก

โˆž

โˆ’โˆž

(4.2.30)

Page 92: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

80 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Al crescere di ๐น la funzione ๏ฟฝ๏ฟฝ๐น(๐‘ก) ammette, nella metrica di

๐”2(โ„), il limite ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก), cioรจ:

lim๐ตโ†’โˆž

โˆซ |๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก) โˆ’ โˆซ ๐‘†(๐‘“)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘“

๐ต

2

โˆ’๐ต

2

|

2

๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

= 0 (4.2.31)

Tale valore limite appartiene a ๐”2(โ„) e soddisfa la relazione:

โˆซ |๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก)|2๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ |๐‘†(๐‘“)|2๐‘‘๐‘“โˆž

โˆ’โˆž

(4.2.32)

Resta quindi soltanto da dimostrare che, detta ๐‘†(๐‘“) la trasformata

di ๐‘ (๐‘ก), la sua antitrasformata ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก) รจ uguale, almeno quasi ovunque, a

๐‘ (๐‘ก).

A tal proposito, essendo ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก), ๐‘ (๐‘ก) โˆˆ ๐”2(โ„), si puรฒ scrivere:

โ€–๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก) โˆ’ ๐‘ (๐‘ก)โ€–2 = โˆซ |๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก) โˆ’ ๐‘ (๐‘ก)|2๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ |๐‘ (๐‘ก)|2๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

โˆ’โˆซ ๐‘ (๐‘ก)๏ฟฝ๏ฟฝโˆ—(๐‘ก)๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

โˆ’โˆซ ๐‘ โˆ—(๐‘ก)๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก)๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

+โˆซ |๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก)|2๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

(4.2.33)

Per le (4.2.20) e (4.2.32) risulta:

โˆซ |๐‘ (๐‘ก)|2๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ |๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก)|2๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ |๐‘†(๐‘“)|2๐‘‘๐‘“โˆž

โˆ’โˆž

(4.2.34)

Inoltre in virtรน delle (4.2.23) e (4.2.29) si ha:

โˆซ ๐‘ (๐‘ก)๏ฟฝ๏ฟฝโˆ—(๐‘ก)๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ lim๐‘‡โ†’โˆž

๐‘ ๐‘‡(๐‘ก) [ lim๐ตโ†’โˆž

โˆซ ๐‘†๐ต(๐‘“)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘“

โˆž

โˆ’โˆž

]

โˆ—

๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

= lim๐‘‡โ†’โˆž๐ตโ†’โˆž

โˆซ ๐‘ ๐‘‡(๐‘ก) [โˆซ ๐‘†๐ตโˆ— (๐‘“)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘“

โˆž

โˆ’โˆž

]โˆž

โˆ’โˆž

๐‘‘๐‘ก

(4.2.35)

Page 93: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 4 - Segnali a Energia Finita - 81

= lim๐‘‡โ†’โˆž๐ตโ†’โˆž

โˆซ ๐‘†๐ตโˆ—(๐‘“) [โˆซ ๐‘ ๐‘‡(๐‘ก)๐‘’

โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

] ๐‘‘๐‘“โˆž

โˆ’โˆž

= lim๐‘‡โ†’โˆž๐ตโ†’โˆž

โˆซ ๐‘†๐ตโˆ—(๐‘“)๐‘†๐‘‡(๐‘“)๐‘‘๐‘“

โˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ |๐‘†(๐‘“)|2๐‘‘๐‘“โˆž

โˆ’โˆž

Con procedimento analogo si mostra anche che:

โˆซ ๐‘ (๐‘ก)โˆ—๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก)๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ |๐‘†(๐‘“)|2๐‘‘๐‘“โˆž

โˆ’โˆž

(4.2.36)

Finalmente, sostituendo le (4.2.35) e, (4.2.36) nella (4.2.33) si ot-

tiene

โ€–๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก) โˆ’ ๐‘ (๐‘ก)โ€–2 = 0 (4.2.37)

che necessariamente comporta:

๐‘ (๐‘ก) =โž๐‘ž.๐‘œ.

๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก) (4.2.38)

Conclusioni

La trasformata di Fourier di una generica rappresentazione di un

segnale s ad energia finita รจ impicitamente definita dalla (4.2.27) che qui

ripetiamo per comoditร :

lim๐‘‡โ†’โˆž

โˆซ |๐‘†(๐‘“) โˆ’ โˆซ ๐‘ (๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘ก

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

|

2

๐‘‘๐‘“โˆž

โˆ’โˆž

= 0 (4.2.39)

Ciรฒ equivale a dire che per trasformata di ๐‘ (๐‘ก) si deve intendere

quella ๐‘†(๐‘“) che soddisfa la (4.2.27) cioรจ la cui distanza euclidea da

โˆซ ๐‘ (๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘ก๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

tende a zero al divergere di ๐‘‡.

Si osservi che se una ๐‘†(๐‘“) soddisfa la precedente per una rappre-

sentazione ๐‘ (๐‘ก) di un segnale ๐’”, essa la soddisferร  anche per tutte le altre

rappresentazioni dello stesso segnale, cioรจ per tutte le funzioni del tem-

po che differiscono da ๐‘ (๐‘ก) solo su un insieme di misura nulla di punti.

Reciprocamente, l'antitrasformata di Fourier di una generica rap-

presentazione ๐‘† รจ definita dalla:

lim๐ตโ†’โˆž

โˆซ |๐‘ (๐‘ก) โˆ’ โˆซ ๐‘†(๐‘“)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘“

๐ต

2

โˆ’๐ต

2

|

2

๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

= 0 (4.2.40)

Page 94: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

82 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Ciรฒ equivale a dire che per antitrasformata di ๐‘†(๐‘“) si deve inten-

dere quella ๐‘ (๐‘ก) che soddisfa la (4.2.31) cioรจ la cui distanza euclidea da

โˆซ ๐‘†(๐‘“)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘“๐ต

2

โˆ’๐ต

2

tende a zero al divergere di ๐ต. Dโ€™altro canto se funzio-

ne ๐‘ (๐‘ก) soddisfa la (4.2.40) per una data ๐‘†(๐‘“) essa la soddisfa anche per

tutte le funzioni che ad ๐‘†(๐‘“) sono uguali quasi ovunque. ๐‘ (๐‘ก) pertanto

puรฒ essere intesa come antitrasformata di ciascuna di esse.

In definitiva un segnale ad energia finita ๐’” puรฒ essere quindi rap-

presentato indifferentemente sia mediante funzioni nel dominio del

tempo sia attraverso funzioni nel dominio della frequenza

ร‰ opportuno ricordare che se ๐’” รจ rappresentabile mediante una

funzione che รจ anche sommabile, il limite (4.2.39) puรฒ essere calcolato

anche secondo la metrica di ๐”(โ„), cioรจ:

lim๐‘‡โ†’โˆž

|๐‘†(๐‘“) โˆ’ โˆซ ๐‘ (๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘ก

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

| = 0 (4.2.41)

La convergenza dell'integrale โˆซ ๐‘ (๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘ก๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

รจ quindi uniforme.

Conclusioni analoghe valgono per l'antitrasformata.

Principali proprietร  della trasformata di Fourier di un 4.3 - segnale

In quel che segue per semplicitร  di esposizione la trasformata e

l'antitrasformata di Fourie verranno rispettivamente denotate in una del-

le forme equivalenti:

a) ๐‘†(๐‘“) = ๐”‰[๐‘ (๐‘ก)] = โˆซ ๐‘ (๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

;

(4.3.1)

b) โ€‰โ€‰๐‘ (๐‘ก) = ๐”‰โˆ’1[๐‘†(๐‘“)] = โˆซ ๐‘†(๐‘“)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘“;โˆž

โˆ’โˆž

Negli ultimi membri delle quali si sottintendono cioรจ gli eventuali pas-

saggi al limite nel senso di ๐”2(โ„).

La trasformata di una funzione risulta in generale complessa, essa

si puรฒ quindi scrivere in una delle forme:

๐‘†(๐‘“) = ๐‘†๐‘…(๐‘“) + ๐‘—๐‘†๐ผ(๐‘“) = |๐‘†(๐‘“)|๐‘’๐‘—๐œ—(๐‘“) (4.3.2)

Page 95: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 4 - Segnali a Energia Finita - 83

dove ๐‘†๐‘…(๐‘“) e ๐‘†๐ผ(๐‘“) sono funzioni reali.

Dalla precedente si deduce che

per rappresentare un segnale nel domi-

nio della frequenza sono necessari due

diagrammi che mostrano gli andamenti

della parte reale ๐‘†๐‘…(๐‘“) e del coefficiente

della parte immaginaria ๐‘†๐ผ(๐‘“), o equiva-

lentemente, quelli del modulo |๐‘†(๐‘“)| e

dell'argomento ๐œ—(๐‘“) di ๐‘†(๐‘“) al variare di

๐‘“. Questi ultimi due diagrammi prendo-

no rispettivamente il nome di spettro di

ampiezza e spettro di fase del segnale.

Trasformata di Fourier di segnali reali.

La trasformata di un segnale reale

adottando la notazione (4.3.1) si puรฒ

anche porre nella forma:

๐‘†(๐‘“) = โˆซ ๐‘ (๐‘ก)cos(2๐œ‹๐‘“๐‘ก)๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

โˆ’ ๐‘—โˆซ ๐‘ (๐‘ก)sin(2๐œ‹๐‘“๐‘ก)๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

(4.3.3)

Pertanto, se ๐‘ (๐‘ก) รจ reale, le quantitร  ๐‘†๐‘…(๐‘“) e ๐‘†๐ผ(๐‘“) assumono la forma:

a) ๐‘†๐‘…(๐‘“) = โˆซ ๐‘ (๐‘ก)cos(2๐œ‹๐‘“๐‘ก)๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

;

(4.3.4)

b) โ€‰๐‘†๐ผ(๐‘“) = โˆ’โˆซ ๐‘ (๐‘ก)sin(2๐œ‹๐‘“๐‘ก)๐‘‘๐‘ก;โˆž

โˆ’โˆž

Dalle (4.3.4) si deduce che la parte reale (coefficiente della parte

immaginaria) di ๐‘†(๐‘“) รจ una funzione pari (dispari) di ๐‘“; di conseguenza il

modulo |๐‘†(๐‘“)| รจ ancora una funzione pari e l'argomento ๐œ—(๐‘“) รจ una

funzione dispari di ๐‘“; quindi:

๐‘†(โˆ’๐‘“) = ๐‘†โˆ—(๐‘“) (4.3.5)

che equivale a dire che la trasformata di Fourier di un segnale reale deve

presentare una simmetria di tipo hermitiano.

In Fig. 4.2 sono mostrati gli andamenti tipici di ๐‘†๐‘…(๐‘“) e ๐‘†๐ผ(๐‘“) e

quelli di |๐‘†(๐‘“)| e ๐œ—(๐‘“) per un segnale reale.

Casi particolari:

Fig. 4.2 - Rappresentazione della tra-sformata di Fourier di un segnale rea-le.

Page 96: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

84 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

๐‘ (๐‘ก)รจ a simmetria pari cioรจ:

๐‘ (๐‘ก)=๐‘ (โˆ’๐‘ก) (4.3.6)

Si osservi che gli integrandi nelle (4.3.4) risultano essere rispettivamente

funzioni pari e dispari del tempo. Quindi:

๐‘Ž)โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰๐‘†๐‘…(๐‘“) = 2โˆซ ๐‘ (๐‘ก)cos(2๐œ‹๐‘“๐‘ก)๐‘‘๐‘ก

โˆž

0

;

๐‘)โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰๐‘†๐ผ(๐‘“) = 0;

(4.3.7)

Pertanto:

๐‘†(๐‘“) = 2โˆซ ๐‘ (๐‘ก)cos(2๐œ‹๐‘“๐‘ก)๐‘‘๐‘กโˆž

0

(4.3.8)

๐‘ (๐‘ก) รจ a simmetria dispari cioรจ:

๐‘ (๐‘ก) = โˆ’๐‘ (โˆ’๐‘ก) (4.3.9)

Risulta:

๐‘Ž)โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰๐‘†๐‘…(๐‘“) = 0;

๐‘)โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰๐‘†๐ผ(๐‘“) = โˆ’2โˆซ ๐‘ (๐‘ก)sin(2๐œ‹๐‘“๐‘ก)๐‘‘๐‘ก;โˆž

0

(4.3.10)

quindi:

๐‘†(๐‘“) = โˆ’2๐‘—โˆซ ๐‘ (๐‘ก)sin(2๐œ‹๐‘“๐‘ก)๐‘‘๐‘กโˆž

0

(4.3.11)

In altri termini, la trasformata di Fourier di una funzione pari รจ

pari, mentre la trasformata di una funzione dispari รจ una funzione im-

maginaria dispari.

Dalla (4.3.1),b si deduce:

๐‘ (๐‘ก) = (โˆซ +โˆซ ๐‘†( ๐‘“)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘“โˆž

0

0

โˆ’โˆž

) (4.3.12)

che, cambiando ๐‘“ in โˆ’๐‘“ nel primo integrale, diventa:

๐‘ (๐‘ก) = โˆซ [๐‘†(โˆ’๐‘“)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก + ๐‘†(๐‘“)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก]๐‘‘๐‘“โˆž

0

(4.3.13)

Tenendo presente la condizione (4.3.5), si riconosce facilmente

che le due quantitร  ๐‘†(๐‘“)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก e ๐‘†(โˆ’๐‘“)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก rappresentano due gran-

dezze complesse coniugate la cui somma รจ uguale al doppio della loro

Page 97: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 4 - Segnali a Energia Finita - 85

parte reale. Ciรฒ permette, interpretando l'integrale come limite di una

somma di contributi elementari, di scrivere la (4.3.13) nella forma:

๐‘ (๐‘ก) = 2โˆซ Re[๐‘†(๐‘“)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก]๐‘‘๐‘“โˆž

0

= 2โˆซ |๐‘†(๐‘“)|cos[2๐œ‹๐‘“๐‘ก + ๐œ—(๐‘“)]๐‘‘๐‘“โˆž

0

= lim๐›ฅ๐‘“โ†’0

โˆ‘2|๐‘†(๐‘›๐›ฅ๐‘“)|๐›ฅ๐‘“cos[2๐œ‹๐‘›๐›ฅ๐‘“๐‘ก + ๐œ—(๐‘›๐›ฅ๐‘“)]

โˆž

๐‘›=0

(4.3.14)

Osservandone l'ultimo membro,

si deduce che al modulo della trasforma-

ta di Fourier si puรฒ attribuire il significa-

to di densitร  spettrale di ampiezza, in

quanto esso รจ proporzionale al limite del

rapporto tra l'ampiezza dell'armonica di

frequenza ๐‘›๐›ฅ๐‘“ e ๐›ฅ๐‘“ al tendere a zero di

quest'ultimo.

Esempio 4.1

La trasformata di Fourier dell'impulso

rettangolare di durataT :

๐‘ (๐‘ก)=โŠ“ (๐‘ก

๐‘‡)

รจ reale e vale:

๐”‰ [โŠ“ (๐‘ก

๐‘‡)] = โˆซ ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘ก

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

= {๐‘‡sin(๐œ‹๐‘“๐‘‡)

๐œ‹๐‘“๐‘‡; ๐‘“ โ‰  0

๐‘‡; ๐‘“ = 0

โ€‰ = ๐‘‡sinc(๐‘“๐‘‡)

Esempio 4.2

Sia ๐‘ข(๐‘ก) la funzione gradino unitario definita come segue:

u(๐‘ก) = {1; ๐‘ก โ‰ฅ 00; ๐‘ก < 0

La trasformata di Fourier dell'impulso esponenziale riportato in Fig.E 4.1a,

definito dalla

๐‘ (๐‘ก) = u(๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘Ž๐‘ก

Fig.E 4.1

Page 98: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

86 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

vale:

๐‘†(๐‘“) = โˆซ ๐‘’โˆ’๐‘Ž๐‘ก๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘กโˆž

0

=1

๐‘Ž + ๐‘—2๐œ‹๐‘“

che si puรฒ anche scrivere(vedi Fig.E 4.1c):

๐‘†(๐‘“) =๐‘Ž

๐‘Ž2 + 4๐œ‹2๐‘“2โˆ’ ๐‘—

2๐œ‹๐‘“

๐‘Ž2 + 4๐œ‹2๐‘“2โ€‰ =

๐‘’โˆ’๐‘—arctg(

2๐œ‹๐‘“

๐‘Ž)

โˆš๐‘Ž2 + 4๐œ‹2๐‘“2

Gli spettri di ampiezza e fase dell'impulso esponenziale sono riportati

nella Fig.E 4.1b

Esempio 4.3

La trasformata di Fourier dell'impulso cosinusoidale:

๐‘ (๐‘ก) = cos (๐œ‹๐‘ก

๐‘‡)โŠ“ (

๐‘ก

๐‘‡)

di Fig.E 4.2a, รจ reale e vale:

๐‘†(๐‘“) = โˆซ cos (๐œ‹๐‘ก

๐‘‡) ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘ก

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

โ€‰ =2๐‘‡

๐œ‹

cos(๐œ‹๐‘“๐‘‡)

1 โˆ’ (2๐‘“๐‘‡)2

il cui andamento รจ riportato in Fig.E 4.2 b.

Proprietร  della trasformata di Fourier. 4.4 - Linearitร 

Se il segnale ๐’” รจ ottenuto combinando linearmente ๐‘˜ segnali ๐’”๐‘–,

cioรจ se esso si puรฒ esprimere nella forma:

๐’” =โˆ‘๐‘Ž๐‘–

๐‘˜

๐‘–=1

๐’”๐‘– (4.4.1)

con ๐‘Ž๐‘– costanti reali o complesse, la sua trasformata vale:

Fig.E 4.2

Page 99: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 4 - Segnali a Energia Finita - 87

๐‘†(๐‘“) = โˆซ โˆ‘๐‘Ž๐‘–๐‘ ๐‘–(๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘ก =

๐‘˜

๐‘–=1

โˆž

โˆ’โˆž

โˆ‘๐‘Ž๐‘–โˆซ ๐‘ ๐‘–(๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘ก

โˆž

โˆ’โˆž

๐‘˜

๐‘–=1

(4.4.2)

Ponendo ๐‘†๐‘– = ๐”‰[๐‘ ๐‘–], la precedente diviene:

๐‘† =โˆ‘๐‘Ž๐‘–๐‘†๐‘–

๐‘˜

๐‘–=1

(4.4.3)

La trasformata di Fourier della combinazione lineare di ๐‘˜ segnali รจ quin-

di la combinazione lineare delle loro trasformate. L'operatore definito

dalla (4.3.1) รจ pertanto lineare.

Simmetria

Dalla (4.3.1)b, si ottiene:

๐‘ (โˆ’๐‘ก) = โˆซ ๐‘†(๐‘“)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘“โˆž

โˆ’โˆž

(4.4.4)

che, operando le sostituzioni ๐‘ก โ†” ๐‘“, si trasforma nella:

๐‘ (โˆ’๐‘“) = โˆซ ๐‘†(๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

(4.4.5)

Dal confronto della precedente con la (4.3.1)a, si deduce che la

(4.4.5) puรฒ essere interpretata come la trasformata di Fourier del segnale

๐‘†(๐‘ก). In altri termini se ๐‘ (๐‘ก) ammette come trasformata ๐‘†(๐‘“), allora la

trasformata di ๐‘†(๐‘ก) รจ uguale a ๐‘ (โˆ’๐‘“). In formule:

๐”‰[๐‘ (๐‘ก)] = ๐‘†(๐‘“) โ‡’ ๐”‰โˆ’1[๐‘ (โˆ’๐‘“)] = ๐‘†(๐‘ก) (4.4.6)

Esempio 4.4

Applicando alla coppia di trasformate:

โŠ“ (๐‘ก

๐‘‡) โ†” ๐‘‡sinc(๐‘“๐‘‡)

ricavata nell'Esempio 4.1 la proprietร  di simmetria si ottiene:

๐ตsinc(๐ต๐‘ก) โ†”โŠ“ (โˆ’๐‘“

๐ต)

dove si รจ posto ๐‘‡ =1

๐ต. Si ha dunque:

๐”‰[sinc(๐ต๐‘ก)] =1

๐ตโŠ“ (

๐‘“

๐ต)

Segnale coniugato

Se ๐”‰[๐‘ (๐‘ก)] = ๐‘†(๐‘“) risulta:

Page 100: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

88 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

๐”‰[๐‘  โˆ— (๐‘ก)] = โˆซ ๐‘  โˆ— (๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘ก

โˆž

โˆ’โˆž

= [โˆซ ๐‘ (๐‘ก)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

]

โˆ—

= ๐‘†โˆ—(โˆ’๐‘“)

(4.4.7)

Se ๐‘ (๐‘ก) รจ reale, essendo:

๐‘ (๐‘ก) = ๐‘ โˆ—(๐‘ก) (4.4.8)

dalla (4.4.7) discende la nota condizione di simmetria hermitiana:

๐‘†(๐‘“) = ๐‘†โˆ—(โˆ’๐‘“) (4.4.9)

Trasformata coniugata

Se ๐”‰[๐‘ (๐‘ก)] = ๐‘†(๐‘“) risulta:

๐”‰โˆ’1[๐‘†โˆ—(๐‘“)] = โˆซ ๐‘†โˆ—(๐‘“)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘“

โˆž

โˆ’โˆž

= [โˆซ ๐‘†(๐‘“)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘“โˆž

โˆ’โˆž

]

โˆ—

= ๐‘ โˆ—(โˆ’๐‘ก)

(4.4.10)

Se ๐‘†(๐‘“) รจ reale, dalla precedente discende facilmente:

๐‘ (๐‘ก) = ๐‘ โˆ—(โˆ’๐‘ก) (4.4.11)

Traslazione nel dominio del tempo

La trasformata di Fourier del segnale ๐‘ (๐‘ก โˆ’ ๐‘ก0), che si ottiene da

๐‘ (๐‘ก) traslando l'origine dei tempi di una quantitร  pari a ๐‘ก0, (v.Fig. 4.3),

vale:

๐”‰[๐‘ (๐‘ก โˆ’ ๐‘ก0)] = โˆซ ๐‘ (๐‘ก โˆ’ ๐‘ก0)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘ก

โˆž

โˆ’โˆž

โ€‰ = ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก0๐”‰[๐‘ (๐‘ก)] (4.4.12)

cioรจ la trasformata del segnale ๐‘ (๐‘ก โˆ’ ๐‘ก0)

ritardato di ๐‘ก0 rispetto a ๐‘ (๐‘ก) si ottiene

moltiplicando quella di ๐‘ (๐‘ก) per

๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก0. La traslazione di un segnale la-

scia quindi inalterato lo spettro di am-

piezza e aggiunge a quello di fase il

termine โˆ’2๐œ‹๐‘“๐‘ก0 proporzionale alla fre-

quenza.

Traslazione nel dominio della frequenza

Detta ๐‘†(๐‘“) la trasformata del segnale ๐‘ (๐‘ก), l'antitrasformata della

funzione ๐‘†(๐‘“ โˆ’ ๐‘“0), ottenuta da ๐‘†(๐‘“) traslando l'origine dell'asse delle

frequenze della quantitร  ๐‘“0, vale:

Fig. 4.3 Segnale traslato

Page 101: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 4 - Segnali a Energia Finita - 89

๐”‰โˆ’1[๐‘†(๐‘“ โˆ’ ๐‘“0)] = โˆซ ๐‘†(๐‘“ โˆ’ ๐‘“0)๐‘’

๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘“โˆž

โˆ’โˆž

= ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“0๐‘ก๐”‰โˆ’1[๐‘†(๐‘“)]

(4.4.13)

cioรจ: l'antitrasformata di ๐‘†(๐‘“ โˆ’ ๐‘“0) รจ il prodotto tra il segnale ๐‘ (๐‘ก) e il

fattore esponenziale ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“0๐‘ก.

Cambiamento di scala

La trasformata di Fourier del segnale ๐‘ (๐‘Ž๐‘ก) dove ๐‘Ž รจ una costante

reale positiva vale:

๐”‰[๐‘ (๐‘Ž๐‘ก)] = โˆซ ๐‘ (๐‘Ž๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

=1

๐‘Žโˆซ ๐‘ (๐‘ฅ)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹

๐‘“

๐‘Ž๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฅ

โˆž

โˆ’โˆž

=1

๐‘Ž๐‘† (๐‘“

๐‘Ž) ; ๐‘Ž > 0

(4.4.14)

Dove ๐”‰[๐‘ (๐‘ก)] = ๐‘†(๐‘“).

In maniera analoga, si dimostra che, per ๐‘Ž < 0, si ha:

๐”‰[๐‘ (๐‘Ž๐‘ก)] = โˆ’1

๐‘Ž๐‘† (๐‘“

๐‘Ž) ; ๐‘Ž < 0 (4.4.15)

cosicchรฉ in generale puรฒ scriversi:

๐”‰[๐‘ (๐‘Ž๐‘ก)] =1

|๐‘Ž|๐‘† (๐‘“

๐‘Ž) ; ๐‘Ž โ‰  0 (4.4.16)

In particolare per ๐‘Ž = โˆ’1, dalla (4.4.16) discende:

๐”‰[๐‘ (โˆ’๐‘ก)] = ๐‘†(โˆ’๐‘“) (4.4.17)

L'inversione dell'asse dei tempi implica quella dell'asse delle frequenze.

Esempio 4.5

Se si pone ๐‘ก = โˆ’๐‘ก nell'impulso esponenziale

dell'Esempio 4.2, si ottiene il segnale ๐‘ (๐‘ก) rap-

presentato in Fig.E 4.3 la cui trasformata di Fou-

rier รจ, in base alla (4.4.17):

๐‘†(๐‘“) =1

๐‘Ž โˆ’ ๐‘—2๐œ‹๐‘“

In base a questo risultato e all'Esempio 4.2, si

puรฒ ottenere facilmente la trasformata del segna-

le ๐‘ (๐‘ก) riportato in Fig.E 4.4a:

๐‘ (๐‘ก) = ๐‘’โˆ’๐‘Ž|๐‘ก|

Fig.E 4.3

Page 102: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

90 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

In effetti, essendo:

๐‘ (๐‘ก) = u(๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘Ž๐‘ก + u(โˆ’๐‘ก)๐‘’๐‘Ž๐‘ก

risulta:

๐‘†(๐‘“) =1

๐‘Ž + ๐‘—2๐œ‹๐‘“+

1

๐‘Ž โˆ’ ๐‘—2๐œ‹๐‘“

=2๐‘Ž

๐‘Ž2 + (2๐œ‹๐‘“)2

il cui andamento รจ mostrato

in Fig.E 4.4b.

Derivazione nel dominio del tempo

Derivando rispetto a ๐‘ก ambo i membri della (4.3.1),b si ottiene:

๐‘‘๐‘ (๐‘ก)

๐‘‘๐‘ก= โˆซ (๐‘—2๐œ‹๐‘“)๐‘†(๐‘“)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘“

โˆž

โˆ’โˆž

(4.4.18)

ammesso che ๐‘ (๐‘ก) sia continua e derivabile quasi dappertutto e che la

sua derivata appartenga ad ๐”2(โ„).

Pertanto la derivazione nel dominio del tempo si traduce nel do-

minio della frequenza nel prodotto di ๐‘†(๐‘“) per il fattore ๐‘—2๐œ‹๐‘“ cioรจ:

๐”‰ [๐‘‘๐‘ (๐‘ก)

๐‘‘๐‘ก] = (๐‘—2๐œ‹๐‘“)๐”‰[๐‘ (๐‘ก)] (4.4.19)

La proprietร  sopra enunciata puรฒ facilmente estendersi alle deri-

vate di qualunque ordine. Se il segnale ๐‘ (๐‘ก) รจ derivabile fino allโ€™ordine

๐‘› โˆ’ 1 con derivata continua, se la sua derivata ๐‘› โˆ’ 1-esima รจ continua e

derivabile quasi ovunque e se inoltre ๐‘‘๐‘›๐‘ (๐‘ก)

๐‘‘๐‘ก๐‘›โˆˆ ๐”2(โ„), derivando successi-

vamente la (4.3.1),b si ottiene:

๐‘‘๐‘›๐‘ (๐‘ก)

๐‘‘๐‘ก๐‘›= โˆซ (๐‘—2๐œ‹๐‘“)๐‘›๐‘†(๐‘“)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘‘๐‘“

โˆž

โˆ’โˆž

(4.4.20)

che equivale a scrivere:

๐”‰ [๐‘‘๐‘›๐‘ (๐‘ก)

๐‘‘๐‘ก๐‘›] = (๐‘—2๐œ‹๐‘“)๐‘›๐”‰[๐‘ (๐‘ก)] (4.4.21)

Derivazione nel dominio della frequenza

Supposta ๐‘†(๐‘“) derivabile fino allโ€™ordine ๐‘› โˆ’ 1 con derivata conti-

nua, se la derivata ๐‘› โˆ’ 1-esima รจ continua e derivabile quasi ovunque e

Fig.E 4.4

Page 103: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 4 - Segnali a Energia Finita - 91

se inoltre ๐‘‘๐‘›๐‘†(๐‘“)

๐‘‘๐‘“๐‘›โˆˆ ๐”2(โ„), derivando successivamente la (4.3.1)a rispetto

a ๐‘“ si ottiene:

๐‘‘๐‘›๐‘†(๐‘“)

๐‘‘๐‘“๐‘›= โˆซ (โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘ก)๐‘›๐‘ (๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘ก

โˆž

โˆ’โˆž

(4.4.22)

cioรจ:

๐”‰[(โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘ก)๐‘›๐‘ (๐‘ก)] =๐‘‘๐‘›๐‘†(๐‘“)

๐‘‘๐‘“๐‘› (4.4.23)

ossia: la trasformata del segnale (โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘ก)๐‘›๐‘ (๐‘ก) รจ data dalla derivata ๐‘›-

esima, rispetto a ๐‘“, della trasformata del segnale ๐‘ (๐‘ก).

Esempio 4.6

Sia ๐‘ (๐‘ก) = ๐‘’โˆ’๐›ผ๐‘ก2 un impulso gaussiano. La cui derivata รจ:

๐‘ โ€ฒ(๐‘ก) = โˆ’2๐›ผ๐‘ก๐‘’โˆ’๐›ผ๐‘ก2= โˆ’2๐›ผ๐‘ก๐‘ (๐‘ก)

dalla quale, tenendo presenti le (4.4.21) e (4.4.23), si deduce:

๐‘‘๐‘†(๐‘“)

๐‘‘๐‘“= โˆ’

2๐œ‹2๐‘“

๐›ผ๐‘†(๐‘“)

La trasformata ๐‘†(๐‘“) obbedisce quindi ad unโ€™equazione differenziale dello

stesso tipo di quella soddisfatta dal segnale, solo che in tal caso, la costante

che compare nell'esponenziale vale ๐œ‹2

๐›ผ. Si avrร  pertanto:

๐‘†(๐‘“) = ๐ด๐‘’โˆ’๐œ‹2๐‘“2

๐›ผ

in cui la quantitร  ๐ด puรฒ determinarsi dalla condizione:

๐‘†(0) = โˆซ ๐‘ (๐‘ก)๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

ottenuta ponendo ๐‘“ = 0 nella (4.3.1),b.

Poichรฉ รจ:

๐ด = โˆซ ๐‘’โˆ’๐›ผ๐‘ก2๐‘‘๐‘ก

โˆž

โˆ’โˆž

=1

โˆš๐›ผโˆซ ๐‘’โˆ’๐‘ฅ

2๐‘‘๐‘ฅ

โˆž

โˆ’โˆž

= โˆš๐œ‹

๐›ผ

risulta:

๐‘†(๐‘“) = โˆš๐œ‹

๐›ผ๐‘’โˆ’

๐œ‹2๐‘“2

๐›ผ

Convoluzione nel dominio del tempo

Siano ๐‘ 1(๐‘ก) e ๐‘ 2(๐‘ก) due segnali e ๐‘†1(๐‘“) e ๐‘†2(๐‘“) le loro trasformate.

Page 104: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

92 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Il segnale ๐œ™(๐‘ก) definito dalla7:

๐œ™(๐‘ก) = ๐‘ 1 โˆ— ๐‘ 2 = โˆซ ๐‘ 1(๐œ)๐‘ 2(๐‘ก โˆ’ ๐œ)๐‘‘๐œโˆž

โˆ’โˆž

(4.4.24)

prende il nome di convoluzione fra ๐‘ 1(๐‘ก) e ๐‘ 2(๐‘ก). Effettuando nella pre-

cedente la sostituzione di variabili ๐œโ€ฒ = ๐‘ก โˆ’ ๐œ, si ottiene:

๐œ™(๐‘ก) = โˆซ ๐‘ 1(๐‘ก โˆ’ ๐œโ€ฒ)๐‘ 2(๐œโ€ฒ)๐‘‘๐œโ€ฒโˆž

โˆ’โˆž

= ๐‘ 2 โˆ— ๐‘ 1 (4.4.25)

pertanto la convoluzione gode della proprietร  commutativa. Inoltre รจ fa-

cile verificare che per essa vale anche la proprietร  distributiva.

Per meglio comprendere il significato della convoluzione in Fig.

4.4 sono indicate le varie fasi che conducono alla (4.4.24).

Una funzione si dice di durata limitata, o a supporto limitato, se esiste

un intervallo limitato tale che al di fuori di esso la funzione รจ quasi

ovunque nulla.

Dalla Fig. 4.4 si deduce anche che se i segnali convolvendi sono

rappresentabili mediante funzioni a durata limitata, anche la loro convo-

luzione lo รจ.

Infatti detti (๐‘ก1, ๐‘‡1) e (๐‘ก2, ๐‘‡2) gli intervalli di minima ampiezza che indi-

viduano le durate dei segnali ๐‘ 1(๐‘ก) e ๐‘ 2(๐‘ก) rispettivamente, la durata del

segnale ๐‘ 2(โˆ’๐œ) รจ anch'essa limitata dallโ€™intervallo (โˆ’๐‘‡2, โˆ’๐‘ก2) e quindi la

durata di ๐‘ 2(๐‘ก โˆ’ ๐œ) รจ definita dallโ€™intervallo (๐‘ก โˆ’ ๐‘‡2, ๐‘ก โˆ’ ๐‘ก2). รˆ evidente

che l'integrale che compare nella (4.2.24) รจ nullo quando gli intervalli

(๐‘ก1, ๐‘‡1) e (๐‘ก โˆ’ ๐‘‡2, ๐‘ก โˆ’ ๐‘ก2) sono disgiunti. Questo accade quando รจ verifi-

cata una delle due condizioni:

๐‘ก1 > ๐‘ก โˆ’ ๐‘ก2; ๐‘‡1 < ๐‘ก โˆ’ ๐‘‡2 (4.4.26)

Ciรฒ significa che la durata della convoluzione รจ individuata dalla

seguente catena di disuguaglianze:

๐‘ก1 + ๐‘ก2 < ๐‘ก < ๐‘‡1 + ๐‘‡2 (4.4.27)

e quindi vale:

(๐‘‡1 โˆ’ ๐‘ก1) + (๐‘‡2 โˆ’ ๐‘ก) (4.4.28)

7 Si precisa che la convoluzione ๐œ™(๐‘ก) = โˆซ ๐‘ 1(๐œ)๐‘ 2(๐‘ก โˆ’ ๐œ)๐‘‘๐œ

โˆž

โˆ’โˆž va intesa come la funzione cui

tende nella metrica di ๐”2(โ„) l'integrale โˆซ ๐‘ 1(๐œ)๐‘ 2(๐‘ก โˆ’ ๐œ)๐‘‘๐œ๐‘‡

โˆ’๐‘‡ quando ๐‘‡ diverge.

Page 105: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 4 - Segnali a Energia Finita - 93

Essa cioรจ รจ pari alla somma delle durate ๐›ฅ1 e ๐›ฅ2 dei due segnali.

รˆ immediato verificare che se anche uno soltanto di due segnali

non รจ a durata limitata la convoluzione non ha durata limitata.

La trasformata di Fourier di ๐œ™(๐‘ก) si ottiene dalla:

๐›ท(๐‘“) = โˆซ ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก [โˆซ ๐‘ 1(๐œ)๐‘ 2(๐‘ก โˆ’ ๐œ)๐‘‘๐œโˆž

โˆ’โˆž

] ๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

(4.4.29)

che, invertendo l'ordine di integrazione e tenendo conto della (4.4.12), si

trasforma nella:

Fig. 4.4 - Convoluzione fra due segnali nel dominio del tempo

Page 106: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

94 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

๐›ท(๐‘“) = โˆซ ๐‘ 1(๐œ) [โˆซ ๐‘ 2(๐‘ก โˆ’ ๐œ)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘ก

โˆž

โˆ’โˆž

] ๐‘‘๐œโˆž

โˆ’โˆž

= ๐‘†2(๐‘“)โˆซ ๐‘ 1(๐œ)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐œ๐‘‘๐œ

โˆž

โˆ’โˆž

(4.4.30)

Si conclude quindi che:

๐›ท(๐‘“) = ๐”‰(๐‘ 1 โˆ— ๐‘ 2) = ๐‘†1(๐‘“) โ‹… ๐‘†2(๐‘“) (4.4.31)

In altri termini: la trasformata della convoluzione di due segnali ๐’”1e ๐’”2 รจ

il prodotto delle loro trasformate.

Convoluzione nel dominio della frequenza

Siano ๐‘†1(๐‘“) e ๐‘†2(๐‘“) le trasformate di Fourier dei segnali ๐’”1 e ๐’”2

rispettivamente. L'antitrasformata della convoluzione fra ๐‘†1(๐‘“) e ๐‘†2(๐‘“)

definita dalla8:

๐›ท(๐‘“) = ๐‘†1 โˆ— ๐‘†2 = โˆซ ๐‘†1(๐œ—)๐‘†2(๐‘“ โˆ’ ๐œ—)๐‘‘๐œ—โˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ ๐‘†1(๐‘“ โˆ’ ๐œ—)๐‘†2(๐œ—)๐‘‘๐œ—โˆž

โˆ’โˆž

(4.4.32)

vale:

๐œ™(๐‘ก) = โˆซ ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก [โˆซ ๐‘†1(๐œ—)๐‘†2(๐‘“ โˆ’ ๐œ—)๐‘‘๐œ—โˆž

โˆ’โˆž

] ๐‘‘๐‘“โˆž

โˆ’โˆž

(4.4.33)

che, invertendo l'ordine di integrazione e ricordando la (4.4.13), ci da:

๐œ™(๐‘ก) = โˆซ ๐‘†1(๐œ—)[โˆซ ๐‘†2(๐‘“ โˆ’ ๐œ—)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘“

โˆž

โˆ’โˆž

]๐‘‘๐œ—โˆž

โˆ’โˆž

โ€‰

= ๐‘ 2(๐‘ก)โˆซ ๐‘†1(๐œ—)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐œ—๐‘‘๐œ—

โˆž

โˆ’โˆž

= ๐‘ 1(๐‘ก)๐‘ 2(๐‘ก)

(4.4.34)

Pertanto la trasformata del prodotto di due segnali รจ data dalla convolu-

zione in frequenza delle loro trasformate.

Esempio 4.7

8 Per la convoluzione in frequenza valgono le considerazioni della nota relativa alla convoluzio-

ne nel dominio del tempo.

Page 107: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 4 - Segnali a Energia Finita - 95

La convoluzione di un rettango-

lo unitario di durata ๐‘‡ con se stesso

รจ espressa dalla:

๐œ™(๐‘ก) = โˆซ โŠ“ (๐œ

๐‘‡)โŠ“ (

๐‘ก โˆ’ ๐œ

๐‘‡)๐‘‘๐œ

โˆž

โˆ’โˆž

Quest'ultima, riferendosi alla Fig.E

4.5, si puรฒ riscrivere per ๐‘ก โ‰ฅ 0:

๐œ™(๐‘ก) = {โˆซ ๐‘‘๐œ— = ๐‘‡ โˆ’ ๐‘ก;

๐‘‡

2โˆ’๐‘ก

โˆ’๐‘‡

2

0 < ๐‘ก < ๐‘‡

0; ๐‘ก > ๐‘‡

e analogamente per ๐‘ก < 0:

๐œ™(๐‘ก) = {โˆซ ๐‘‘๐œ— = ๐‘‡ + ๐‘ก;

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2+๐‘ก

โˆ’ ๐‘‡ < ๐‘ก < 0

0; ๐‘ก < โˆ’๐‘‡

In definitiva introducendo lโ€™impulso triangolare โˆง (๐‘ก) = (1 โˆ’ |2๐‘ก|) โŠ“ (๐‘ก) ri-

sulta:

๐œ™(๐‘ก) = (๐‘‡ โˆ’ |๐‘ก|)โŠ“ (๐‘ก

2๐‘‡) = ๐‘‡โˆง ( ๐‘ก

2๐‘‡)

pertanto la convoluzione ๐œ™(๐‘ก) รจ un impulso triangolare di durata 2๐‘‡ed altez-

za ๐‘‡.

Applicando la proprietร  (4.4.31) si ha infine:

๐›ท(๐‘“) = ๐‘‡sinc(๐‘“๐‘‡) โ‹… ๐‘‡sinc(๐‘“๐‘‡) = ๐‘‡2sinc2(๐‘“๐‘‡)

Esempio 4.8

Sia ๐‘ (๐‘ก) un segnale la cui trasformata di

Fourier ๐‘†(๐‘“) si annulla al di fuori dell'inter-

vallo [โˆ’๐ต, ๐ต] come mostrato in Fig.E 4.6. La

trasformata del quadrato ๐‘ 2(๐‘ก) del segnale, si

puรฒ ottenere dalla convoluzione di ๐‘†(๐‘“) con

se stessa. Si puรฒ cioรจ scrivere:

๐”‰[๐‘ 2(๐‘ก)] = โˆซ ๐‘†(๐œ—)๐‘†(๐‘“ โˆ’ ๐œ—)๐‘‘๐œ—โˆž

โˆ’โˆž

Risulta:

๐”‰[๐‘ 2(๐‘ก)] = 0; |๐‘“| > 2๐ต

Pertanto la trasformata di Fourier del segnale ๐‘ 2(๐‘ก) รจ nulla al di fuori dell'in-

tervallo [โˆ’2๐ต, 2๐ต].

Fig.E 4.5

Fig.E 4.6

Page 108: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

96 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

In generale la trasformata di

Fourier di ๐‘ ๐‘›(๐‘ก) vale zero al di

fuori dell'intervallo [โˆ’๐‘›๐ต, ๐‘›๐ต].

Esempio 4.9

Si consideri la seguente fun-

zione:

๐‘†(๐‘“) =โŠ“ (๐‘“

2๐ต) sinc(๐‘“๐‘‡)

(vedi Fig.E 4.8). ottenuta annul-

lando lo spettro dell'impulso

rettangolare al di fuori dell'in-

tervallo ,B B .

Risulta:

๐”‰โˆ’1[๐‘‡๐‘ ๐‘–๐‘›๐‘(๐‘“๐‘‡)] =โŠ“ (๐‘ก

๐‘‡)

Pertanto in virtรน della (4.4.6) si

ottiene:

๐”‰โˆ’1 [โŠ“ (๐‘“

2๐ต)] = 2๐ตsinc(2๐ต๐‘ก)

L'antitrasformata vale quin-

di:

๐‘ (๐‘ก) = 2๐ตโˆซ sinc[2๐ต(๐‘ก โˆ’ ๐œ)]๐‘‘๐œ

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

che, si puรฒ esprimere in termini

della funzione "seno integrale":

๐‘†๐‘–(๐‘ฅ) = โˆซsin๐‘ก

๐‘ก๐‘‘๐‘ก

๐‘ฅ

0

rappresentata in Fig.E 4.9. Si

noti che Si(๐‘ฅ) รจ una funzione dispari.

Effettuando il cambiamento di variabile ๐‘ฅ = ๐œ‹2๐ต(๐‘ก โˆ’ ๐œ), ๐‘ (๐‘ก) diviene:

๐‘ (๐‘ก) =1

๐œ‹[Si (๐œ‹2๐ต (๐‘ก +

๐‘‡

2)) โˆ’ Si (๐œ‹2๐ต (๐‘ก โˆ’

๐‘‡

2))]

In Fig.E 4.7 รจ riportato l'andamento di ๐‘ (๐‘ก) in funzione del tempo. Dalla

stessa figura si evince che un troncamento in frequenza del segnale comporta

l'eliminazione delle discontinuitร  presenti nell'impulso rettangolare origina-

Fig.E 4.8

Fig.E 4.9

Fig.E 4.7

Page 109: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 4 - Segnali a Energia Finita - 97

rio nei punti ๐‘ก = ยฑ๐‘‡ 2โ„ . Per contro la durata nel tempo di un segnale il cui

spettro รจ null o al di fuori di un certo intervallo di frequenze รจ infinita.

Nella Tabella 4.1 sono riassunte tutte le proprietร  della trasfor-

mata di Fourier precedentemente discusse.

Tabella 4.1

Proprietร  della trasformata di Fourier

Proprietร  Segnale Trasformata Note

Linearitร  โˆ‘๐‘Ž๐‘–๐‘ ๐‘–(๐‘ก)

๐‘˜

๐‘–=1

โˆ‘๐‘Ž๐‘–๐‘†๐‘–(๐‘“)

๐‘˜

๐‘–=1

๐‘Ž๐‘– cos-

tanti

Simmetria ๐‘†(๐‘ก) ๐‘ (โˆ’๐‘“)

Segnale coniuga-

to ๐‘  โˆ— (๐‘ก) ๐‘† โˆ— (โˆ’๐‘“)

Trasformata co-

niugata ๐‘  โˆ— (โˆ’๐‘ก) ๐‘† โˆ— (๐‘“)

Traslazione nel

dominio del

tempo

๐‘ (๐‘ก โˆ’ ๐‘ก0) ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก0๐‘†(๐‘“) โˆ€ ๐‘ก0

โˆˆ โ„

Traslazione nel

dominio della

frequenza

๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“0๐‘ก๐‘ (๐‘ก) ๐‘†(๐‘“ โˆ’ ๐‘“0) โˆ€ ๐‘“0

โˆˆ โ„

Cambiamento di

scala ๐‘ (๐‘Ž๐‘ก)

1

|๐‘Ž|๐‘† (๐‘“

๐‘Ž) ๐‘Ž โ‰  0

Derivazione nel

dominio del

tempo

๐‘‘๐‘›๐‘ (๐‘ก)

๐‘‘๐‘ก๐‘› (๐‘—2๐œ‹๐‘“)๐‘›๐‘†(๐‘“)

Derivazione nel

dominio della

frequenza

(โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘ก)๐‘›๐‘ (๐‘ก) ๐‘‘๐‘›๐‘†(๐‘“)

๐‘‘๐‘“๐‘›

Convoluzione

nel dominio del

tempo

โˆซ ๐‘ 1(๐œ)๐‘ 2(๐‘ก โˆ’ ๐œ)๐‘‘๐œโˆž

โˆ’โˆž

๐‘†1(๐‘“) โ‹… ๐‘†2(๐‘“)

Convoluzione

nel dominio del-

la frequenza

๐‘ 1(๐‘ก) โ‹… ๐‘ 2(๐‘ก) โˆซ ๐‘†1(๐œ—)๐‘†2(๐‘“ โˆ’ ๐œ—)๐‘‘๐œ—โˆž

โˆ’โˆž

Page 110: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

98 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Limitazioni dello spettro di ampiezza di un segnale. 4.5 -

Sia ๐’” un segnale rappresentabile mediante una funzione ๐‘ (๐‘ก)

sommabile che sia derivabile a tratti. La sua trasformata di Fourier si

puรฒ allora scrivere:

๐‘†(๐‘“) = โˆซ ๐‘ (๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

= โˆ‘ โˆซ ๐‘ (๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘ก๐‘ก๐‘–

๐‘ก๐‘–โˆ’1

โˆž

๐‘–=โˆ’โˆž

= โˆ‘ {[๐‘ (๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก

โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“]๐‘ก๐‘–โˆ’1+

๐‘ก๐‘–โˆ’

+1

๐‘—2๐œ‹๐‘“โˆซ ๐‘ โ€ฒ(๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘ก๐‘ก๐‘–

๐‘ก๐‘–โˆ’1

}

โˆž

๐‘–=โˆ’โˆž

=1

๐‘—2๐œ‹๐‘“โˆ‘ [(๐‘ (๐‘ก๐‘–

+) โˆ’ ๐‘ (๐‘ก๐‘–โˆ’))๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘– +โˆซ ๐‘ โ€ฒ(๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘ก

๐‘ก๐‘–

๐‘ก๐‘–โˆ’1

]

โˆž

๐‘–=โˆ’โˆž

(4.5.1)

essendo {๐‘ก๐‘›} l'insieme degli estremi degli intervalli all'interno dei quali

๐‘ (๐‘ก) risulta derivabile. Dalla precedente si deduce la limitazione:

|๐‘†(๐‘“)|

=1

|2๐œ‹๐‘“|| โˆ‘ [(๐‘ (๐‘ก๐‘–

+) โˆ’ ๐‘ (๐‘ก๐‘–โˆ’))๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘– +โˆซ ๐‘ โ€ฒ(๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘ก

๐‘ก๐‘–

๐‘ก๐‘–โˆ’1

]

โˆž

๐‘–=โˆ’โˆž

|

โ‰ค1

|2๐œ‹๐‘“|โˆ‘ (|๐‘ (๐‘ก๐‘–

+) โˆ’ ๐‘ (๐‘ก๐‘–โˆ’)| + โˆซ |๐‘ โ€ฒ(๐‘ก)|๐‘‘๐‘ก

๐‘ก๐‘–

๐‘ก๐‘–โˆ’1

)

โˆž

๐‘–=โˆ’โˆž

(4.5.2)

che, se la sommatoria che vi compare si mantiene finita, comporta:

|๐‘†(๐‘“)| โ‰ค๐‘˜1

|2๐œ‹๐‘“| (4.5.3)

dove si รจ posto:

๐‘˜1 = โˆ‘ (|๐‘ (๐‘ก๐‘–+) โˆ’ ๐‘ (๐‘ก๐‘–

โˆ’)| + โˆซ |๐‘ โ€ฒ(๐‘ก)|๐‘‘๐‘ก๐‘ก๐‘–

๐‘ก๐‘–โˆ’1

)

โˆž

๐‘–=โˆ’โˆž

(4.5.4)

se ๐‘ (๐‘ก) รจ continua, la (4.5.4) si semplifica nella:

๐‘˜1 = โˆซ |๐‘ โ€ฒ(๐‘ก)|๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

(4.5.5)

In queste ipotesi, se ๐‘ โ€ฒ(๐‘ก) รจ a sua volta derivabile a tratti, la (4.5.1) puรฒ

ulteriormente scriversi:

Page 111: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 4 - Segnali a Energia Finita - 99

๐‘†(๐‘“) = โˆซ ๐‘ (๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

= โˆ‘ {1

๐‘—2๐œ‹๐‘“โˆซ ๐‘ โ€ฒ(๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘ก๐‘ก๐‘–

๐‘ก๐‘–โˆ’1

} =

โˆž

๐‘–=โˆ’โˆž

โˆ’1

(2๐œ‹๐‘“)2โˆ‘ [(๐‘ โ€ฒ(๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘–

+) โˆ’ ๐‘ โ€ฒ(๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘–โˆ’))๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘– +โˆซ ๐‘ โ€ณ(๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘ก

๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘–

๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘–โˆ’1

]

โˆž

๐‘–=โˆ’โˆž

(4.5.6)

nella quale si รจ fatto riferimento all'insieme {๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘›} โŠ‡ {๐‘ก๐‘›} degli estremi de-

gli intervalli all'interno dei quali la ๐‘ โ€ฒ(๐‘ก) รจ derivabile. La (4.5.6) comporta

evidentemente la ulteriore limitazione:

|๐‘†(๐‘“)| โ‰ค๐‘˜2

|2๐œ‹๐‘“|2 (4.5.7)

con

๐‘˜2 = โˆ‘ (|๐‘ โ€ฒ(๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘–+) โˆ’ ๐‘ โ€ฒ(๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘–

โˆ’)| + โˆซ |๐‘ โ€ณ(๐‘ก)|๐‘‘๐‘ก๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘–

๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘–โˆ’1

)

โˆž

๐‘–=โˆ’โˆž

(4.5.8)

ovvero se anche ๐‘ โ€ณ(๐‘ก) รจ continua:

๐‘˜2 = โˆซ |๐‘ โ€ณ(๐‘ก)|๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

(4.5.9)

รˆ immediato constatare che il procedimento seguito puรฒ iterarsi

fino all'ordine ๐‘› di derivazione se la derivata di ordine ๐‘› โˆ’ 2 รจ continua

e derivabile a tratti e se la derivata ๐‘› โˆ’ 1 pur essendo derivabile a tratti

presenta discontinuitร  non eliminabili.

Si ottengono cosรฌ le seguenti limitazioni per lo spettro di ampiez-

za del segnale:

|๐‘†(๐‘“)| โ‰ค๐‘˜๐‘–

|2๐œ‹๐‘“|๐‘–; ๐‘– = 0, โ€ฆ , ๐‘› (4.5.10)

in cui si รจ anche tenuto conto che |๐‘†(๐‘“)| โ‰ค โˆซ |๐‘ (๐‘ก)|โˆž

โˆ’โˆž๐‘‘๐‘ก = ๐‘˜0.

Dalle (4.5.10) si deduce che la trasformata del segnale รจ infinite-

sima almeno di ordine ๐‘› rispetto ad 1

๐‘“. Inoltre l'insieme delle (4.5.10) puรฒ

essere utilizzato per delimitare nel piano ๐‘“, |๐‘†(๐‘“)| la regione che contie-

ne lo spettro di ampiezza del segnale.

Si osservi che un ragionamento analogo puรฒ essere sviluppato per de-

durre delle limitazioni sul segnale nota che sia la sua trasformata.

Page 112: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

100 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Esempio 4.10

Sia dato il segnale s rappre-

sentato in Fig.E 4.10. La sua tra-

sformata รจ data da:

๐‘†(๐‘“) = 3sinc(๐‘“)sinc(3๐‘“)

Poichรฉ il segnale รจ rappresen-

tabile mediante una funzione con-

tinua e derivabile a tratti per essa valgono, per ๐‘– = 0,1,2, le limitazioni

(4.5.10) con:

{

๐‘˜0 = โˆซ |๐‘ (๐‘ก)|๐‘‘๐‘ก

โˆž

โˆ’โˆž

= 3

๐‘˜1 = โˆซ |๐‘ โ€ฒ(๐‘ก)|๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

= 2

๐‘˜2 = โˆ‘ (|๐‘ โ€ฒ(๐‘ก๐‘–+) โˆ’ ๐‘ โ€ฒ(๐‘ก๐‘–

โˆ’)| + โˆซ |๐‘ โ€ณ(๐‘ก)|๐‘‘๐‘ก๐‘ก๐‘–

๐‘ก๐‘–โˆ’1

)

โˆž

๐‘–=โˆ’โˆž

= โˆ‘ (|๐‘ โ€ฒ(๐‘ก๐‘–+) โˆ’ ๐‘ โ€ฒ(๐‘ก๐‘–

โˆ’)|)

โˆž

๐‘–=โˆ’โˆž

= 4

da cui:

{

|๐‘†(๐‘“)| โ‰ค 3;

โ€‰|๐‘†(๐‘“)| โ‰ค1

๐œ‹|๐‘“|;

โ€‰|๐‘†(๐‘“)| โ‰ค1

๐œ‹2๐‘“2;

In Fig.E 4.11 sono rap-

presentate graficamente la

trasformata di Fourier e le

limitazioni ricavate per lo

spettro di ampiezza, tenen-

do conto del fatto che la tra-

sformata del segnale consi-

derato รจ reale, in quanto il

segnale in oggetto รจ rappresentato da una funzione reale pari.

Segnali bidimensionali. 4.6 -

Lo studio di un segnale nel dominio della frequenza, affrontato

nel caso di segnali monodimensionali, puรฒ essere esteso al caso di se-

gnali bidimensionali o, multidimensionali in generale.

Sia ๐‘ (๐‘ฅ, ๐‘ฆ) un segnale bidimensionale a energia finita tale cioรจ che

risulti:

Fig.E 4.10

Fig.E 4.11

Page 113: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 4 - Segnali a Energia Finita - 101

๐ธ = โˆซ โˆซ |๐‘ (๐‘ฅ, ๐‘ฆ)|2๐‘‘๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฆโˆž

โˆ’โˆž

โˆž

โˆ’โˆž

< โˆž (4.6.1)

la trasformata di Fourier ๐‘†(๐‘“๐‘ฅ, ๐‘“๐‘ฆ) di ๐‘ (๐‘ฅ, ๐‘ฆ) รจ definita come segue:

๐‘†(๐‘“๐‘ฅ, ๐‘“๐‘ฆ) = ๐”‰[๐‘ (๐‘ฅ, ๐‘ฆ)] = โˆซ โˆซ ๐‘ (๐‘ฅ, ๐‘ฆ)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹(๐‘“๐‘ฅ๐‘ฅ+๐‘“๐‘ฆ๐‘ฆ)๐‘‘๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฆโˆž

โˆ’โˆž

โˆž

โˆ’โˆž

(4.6.2)

e la corrispondente antitrasformata:

๐‘ (๐‘ฅ, ๐‘ฆ) = ๐”‰โˆ’1[๐‘†(๐‘“๐‘ฅ, ๐‘“๐‘ฆ)]

= โˆซ โˆซ ๐‘†(๐‘“๐‘ฅ, ๐‘“๐‘ฆ)๐‘’๐‘—2๐œ‹(๐‘“๐‘ฅ๐‘ฅ+๐‘“๐‘ฆ๐‘ฆ)๐‘‘๐‘“๐‘ฅ๐‘‘๐‘“๐‘ฆ

โˆž

โˆ’โˆž

โˆž

โˆ’โˆž

(4.6.3)

Nella (4.6.1) e (4.6.2), le variabili ๐‘“๐‘ฅ ed ๐‘“๐‘ฆ rappresentano le frequenze

spaziali che corrispondono alla variabile ๐‘“ utilizzata per i segnali mo-

nodimensionali.

La trasformata bidimensionale gode di proprietร  analoghe a quel-

le giร  viste nello studio della trasformata monodimensionale.

Le predette proprietร  vengono qui di seguito elencate, ometten-

done le dimostrazioni,

Linearitร 

Se ๐‘ (๐‘ฅ, ๐‘ฆ) = ๐‘˜1๐‘ 1(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) + ๐‘˜2๐‘ 2(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) con ๐‘˜1 e ๐‘˜2 costanti comples-

se, รจ:

๐‘†(๐‘“๐‘ฅ, ๐‘“๐‘ฆ) = ๐‘˜1๐‘†1(๐‘“๐‘ฅ, ๐‘“๐‘ฆ) + ๐‘˜2๐‘†2(๐‘“๐‘ฅ, ๐‘“๐‘ฆ) (4.6.4)

essendo ๐‘†(๐‘“๐‘ฅ, ๐‘“๐‘ฆ), ๐‘†1(๐‘“๐‘ฅ, ๐‘“๐‘ฆ) e ๐‘†2(๐‘“๐‘ฅ, ๐‘“๐‘ฆ) le trasformate di ๐‘ (๐‘ฅ, ๐‘ฆ), ๐‘ 1(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)

e ๐‘ 2(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) rispettivamente.

Traslazione nel dominio dello spazio e della frequenza

Se ๐‘ (๐‘ฅ, ๐‘ฆ) รจ un segnale che ammette trasformata di Fourier data da

๐‘†(๐‘“๐‘ฅ , ๐‘“๐‘ฆ) risulta:

๐”‰[๐‘ (๐‘ฅ โˆ’ ๐œ๐‘ฅ, ๐‘ฆ โˆ’ ๐œ๐‘ฆ)] = ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹(๐‘“๐‘ฅ๐œ๐‘ฅ+๐‘“๐‘ฆ๐œ๐‘ฆ)๐‘†(๐‘“๐‘ฅ, ๐‘“๐‘ฆ) (4.6.5)

come pure:

๐”‰โˆ’1[๐‘†(๐‘“๐‘ฅ โˆ’ ๐œ‘๐‘ฅ , ๐‘“๐‘ฆ โˆ’ ๐œ‘๐‘ฆ)] = ๐‘’๐‘—2๐œ‹(๐œ‘๐‘ฅ๐‘ฅ+๐œ‘๐‘ฆ๐‘ฆ)๐‘ (๐‘ฅ, ๐‘ฆ) (4.6.6)

Cambiamento di scala.

Se ๐‘†(๐‘“๐‘ฅ, ๐‘“๐‘ฆ) รจ la trasformata di Fourier di ๐‘ (๐‘ฅ, ๐‘ฆ) si ha:

Page 114: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

102 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

๐”‰[๐‘ (๐‘Ž๐‘ฅ, ๐‘๐‘ฆ)] =1

|๐‘Ž๐‘|๐‘† (๐‘“๐‘ฅ๐‘Ž,๐‘“๐‘ฆ

๐‘) ; ๐‘Ž, ๐‘ โ‰  0 (4.6.7)

Convoluzione nel dominio dello spazio e della frequenza

Se ๐‘ 1(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) e ๐‘ 2(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) sono due segnali le cui trasformate sono ri-

spettivamente ๐‘†1(๐‘“๐‘ฅ , ๐‘“๐‘ฆ) e ๐‘†2(๐‘“๐‘ฅ , ๐‘“๐‘ฆ), il segnale ๐‘ (๐‘ฅ, ๐‘ฆ) definito dalla:

๐œ™(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) = ๐‘ 1 โˆ—โˆ— ๐‘ 2

= โˆซ โˆซ ๐‘ 1(๐‘ฅ0, ๐‘ฆ0)๐‘ 2(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ0, ๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฆ0)๐‘‘๐‘ฅ0๐‘‘๐‘ฆ0

โˆž

โˆ’โˆž

โˆž

โˆ’โˆž

(4.6.8)

รจ detto convoluzione di ๐‘ 1(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) con ๐‘ 2(๐‘ฅ, ๐‘ฆ); esso รจ trasformabile se-

condo Fourier e la sua trasformata vale:

๐›ท(๐‘“๐‘ฅ, ๐‘“๐‘ฆ) = ๐‘†1(๐‘“๐‘ฅ, ๐‘“๐‘ฆ) โ‹… ๐‘†2(๐‘“๐‘ฅ, ๐‘“๐‘ฆ) (4.6.9)

In maniera analoga, alla convoluzione nel dominio della frequen-

za:

๐›ท(๐‘“๐‘ฅ, ๐‘“๐‘ฆ) = ๐‘†1 โˆ—โˆ— ๐‘†2

= โˆซ โˆซ ๐‘†1(๐œ™0, ๐œ—0)๐‘†2(๐‘“๐‘ฅ โˆ’ ๐œ™0, ๐‘“๐‘ฆ โˆ’ ๐œ—0)๐‘‘๐œ™0๐‘‘๐œ—0

โˆž

โˆ’โˆž

โˆž

โˆ’โˆž

(4.6.10)

corrisponde il segnale ๐œ™(๐‘ฅ, ๐‘ฆ):

๐œ™(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) = ๐‘ 1(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) โ‹… ๐‘ 2(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) (4.6.11)

dove ๐‘ 1(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) ed ๐‘ 2(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) sono rispettivamente le trasformate inverse di

๐‘†1(๐‘“๐‘ฅ, ๐‘“๐‘ฆ) e ๐‘†2(๐‘“๐‘ฅ, ๐‘“๐‘ฆ).

Esempio 4.11

Si consideri il segnale ๐‘ (๐‘ฅ, ๐‘ฆ) che vale 1 nella re-

gione tratteggiata di Fig.E 4.12 ed รจ identicamente

nullo altrove. La sua trasformata bidimensionale vale:

๐‘†(๐‘“๐‘ฅ , ๐‘“๐‘ฆ) = โˆซ ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ฅ๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฅ

๐‘Ž

2

โˆ’๐‘Ž

2

โˆซ ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ฆ๐‘ฆ๐‘‘๐‘ฆ

๐‘

2

โˆ’๐‘

2

= ๐‘Ž๐‘ โ‹… sinc(๐‘“๐‘ฅ๐‘Ž)sinc(๐‘“๐‘ฆ๐‘)

Fig.E 4.12

Page 115: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 4 - Segnali a Energia Finita - 103

Vedi Fig.E 4.13

Trasformazioni di variabili

Se il segnale ๐‘ (๐‘ฅ, ๐‘ฆ) presenta una simmetria di tipo circolare รจ op-

portuno rappresentare sia il segnale sia la sua trasformata ๐‘†(๐‘“๐‘ฅ, ๐‘“๐‘ฆ) in

coordinate polari ponendo:

{๐‘ฅ = ๐œŒ cos๐œ™๐‘ฆ = ๐œŒ sin๐œ™

; โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰ {๐‘“๐‘ฅ = ๐›พ cos ๐œ—๐‘“๐‘ฆ = ๐›พ sin ๐œ—

; (4.6.12)

Si puรฒ scrivere:

๐‘ (๐‘ฅ, ๐‘ฆ) = ๐‘ (๐œŒ cos๐œ™ , ๐œŒ sin๐œ™ , ๐‘ฆ) = ๐‘“(๐œŒ) (4.6.13)

Tenendo presente che i determinanti Jacobiani delle trasformazioni

(4.6.13) valgono ๐œŒ e ๐›พ rispettivamente e che risulta:

๐‘“๐‘ฅ๐‘ฅ + ๐‘“๐‘ฆ๐‘ฆ = ๐œŒ๐›พ(cos ๐œ™ cos ๐œ— + sin๐œ™ sin ๐œ—) = ๐œŒ๐›พ cos(๐œ™ โˆ’ ๐œ—) (4.6.14)

La (4.6.2) nei nuovi riferimenti si riscrive come segue:

๐‘†(๐›พ, ๐œ—) = โˆซ ๐œŒ๐‘“(๐œŒ)โˆซ ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐œŒ๐›พ cos(๐œ™โˆ’๐œ—))๐‘‘๐œ™๐œ‹

โˆ’๐œ‹

๐‘‘๐œŒโˆž

0

(4.6.15)

Fig.E 4.13

Page 116: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

104 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Ricordando che l'espressione della funzione di Bessel di prima

specie di ordine zero vale:

๐ฝ0(๐‘ง) =1

2๐œ‹โˆซ ๐‘’โˆ’๐‘—๐‘ง cos๐‘ข๐‘‘๐‘ข๐œ‹

โˆ’๐œ‹

(4.6.16)

la (4.6.16) si puรฒ riscrivere:

๐‘†(๐›พ cos ๐œ— , ๐›พ sin ๐œ—) = 2๐œ‹โˆซ ๐œŒ๐‘“(๐œŒ)๐ฝ0(2๐œ‹๐œŒ๐›พ)๐‘‘๐œŒโˆž

0

= ๐น(๐›พ) (4.6.17)

รˆ immediato constatare che la precedente รจ indipendente dalla variabile

๐œ— pertanto si conclude che la simmetria circolare del segnale comporta

quella della sua trasformata e viceversa.

La (4.6.17) รจ detta trasformata di Hankel:

โ„‹[๐‘“(๐œŒ)] = 2๐œ‹โˆซ ๐œŒ๐‘“(๐œŒ)๐ฝ0(2๐œ‹๐œŒ๐›พ)๐‘‘๐œŒโˆž

0

(4.6.18)

Si puรฒ facilmente verificare che, in virtรน della simmetria pari di

0( )J z , si ha:

โ„‹-1[๐น(๐›พ)] = 2๐œ‹โˆซ ๐›พ๐น(๐›พ)๐ฝ0(2๐œ‹๐œŒ๐›พ)๐‘‘๐›พโˆž

0

= ๐‘“(๐œŒ) (4.6.19)

Pertanto la trasformata di Hankel inversa ha la stessa struttura di quella

diretta.

Esempio 4.12

Nel caso in cui il segnale ๐‘ (๐‘ฅ, ๐‘ฆ) valga 1 nel

cerchio tratteggiato in Fig.E 4.14 e 0 altrove, si

ha:

๐น(๐›พ) = โˆซ ๐‘‘๐œ™ โˆซ ๐œŒ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐œŒ๐›พ cos(๐œ™โˆ’๐œ—)๐‘‘๐œŒ๐‘…

0

๐œ‹

โˆ’๐œ‹=

โˆซ โˆซ ๐œŒ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐œŒ๐›พ cos(๐œ™โˆ’๐œ—)๐‘‘๐œ™๐œ‹

โˆ’๐œ‹๐‘‘๐œŒ

๐‘…

0โ€‰ =

2๐œ‹ โˆซ ๐œŒ๐ฝ0(2๐œ‹๐œŒ๐›พ)๐‘‘๐œŒ๐‘…

0

Poichรฉ risulta:

โˆซ ๐‘ง๐ฝ0(๐‘ง)๐‘‘๐‘ง๐‘ฅ

0

= ๐‘ฅ๐ฝ1(๐‘ฅ)

si ha:

Fig.E 4.14

Page 117: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 4 - Segnali a Energia Finita - 105

2๐œ‹โˆซ ๐œŒ๐ฝ0(2๐œ‹๐œŒ๐›พ)๐‘‘๐œŒ๐‘…

0

=๐‘…

๐›พโ‹… ๐ฝ1(2๐œ‹๐‘…๐›พ)

Vedi Fig.E 4.15

Fig.E 4.15

Page 118: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf
Page 119: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 5

SEGNALI A POTENZA FINITA

Cenni di teoria delle distribuzioni. 5.1 -

Una classe di segnali particolarmente importante รจ quella dei se-

gnali a potenza finita; i quali, non essendo rappresentabili mediante fun-

zioni a quadrato sommabile, non ammettono trasformata di Fourier. Al

fine di estendere a tali segnali la rappresentazione nel dominio della fre-

quenza รจ necessario introdurre il concetto di distribuzione.

A tal fine si premettono alcune definizioni:

unโ€™applicazione ๐‘”(โ‹…) si dice lineare se per ogni coppia di elementi ๐‘ฅ, ๐‘ฆ

del suo dominio risulta:

๐‘”(๐œ†๐‘ฅ + ๐œ‡๐‘ฆ) = ๐œ†๐‘”(๐‘ฅ) + ๐œ‡๐‘”(๐‘ฆ); โˆ€๐œ† โˆง ๐œ‡ โˆˆ โ„‚ (5.1.1)

Si noti che il dominio e l'insieme immagine di ๐‘”(โ‹…) devono necessaria-

mente essere spazi vettoriali.

Unโ€™applicazione ๐‘”(โ‹…) si dice continua se ad ogni successione di

elementi del suo dominio che sia convergente, secondo il criterio di

convergenza in esso individuato, corrisponde una successione di imma-

gini convergente in base al criterio di convergenza individuato nel co-

dominio dipendentemente dalla sua struttura topologica.

Ciรฒ premesso si definisce insieme delle funzioni di prova lo spa-

zio (lineare) D delle funzioni ๐œ™(๐‘ก) a valori reali o complessi, definite in

โ„, ivi a supporto limitato e dotate di derivate di qualunque ordine.

Per supporto sโ€™intende la chiusura dell'insieme che contiene punti

del dominio in cui la funzione assume valori diversi da zero.

Si noti che lo spazio D non รจ vuoto, poichรฉ la funzione:

๐œ™๐‘Ž(๐‘ก) = ๐‘’(

๐‘Ž2

๐‘ก2โˆ’๐‘Ž2)โŠ“ (

๐‘ก

2๐‘Ž) (5.1.2)

Page 120: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

108 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

vi appartiene (vedi Fig. 5.1).

In D sโ€™introduce il seguente

criterio di convergenza: una suc-

cessione {๐œ™๐‘˜}๐‘˜=0โˆž converge alla fun-

zione ๐œ™ di D se:

- esiste un aperto limitato ๐ด che

contiene i supporti delle funzioni

๐œ™๐‘˜;

- per ogni ๐‘ก โˆˆ โ„ e qualunque sia

l'ordine ๐‘› di derivazione si ha:

lim๐‘˜โ†’โˆž

๐œ™๐‘˜(๐‘›)(๐‘ก) = ๐œ™(๐‘›)(๐‘ก); โˆ€ ๐‘ก โˆˆ ๐‘… โ‹€ โˆ€ ๐‘› โˆˆ โ„• (5.1.3)

Ciรฒ premesso si dice distribuzione ๐‘‡ ogni applicazione lineare e

continua, a valori generalmente complessi, definita sullo spazio D delle

funzioni di prova. Il valore assunto dalla distribuzione ๐‘‡ in corrispon-

denza ad una data funzione di prova ๐œ™ sarร  nel seguito indifferentemen-

te indicato mediante una delle seguenti forme:

๐‘‡(๐œ™) o โŸจ๐‘‡, ๐œ™โŸฉ (5.1.4)

Si consideri l'insieme Dโ€ฒ, detto spazio duale, contenente tutte le

distribuzioni in D. In detto insieme si definisce somma di due distribu-

zioni ๐‘‡1, ๐‘‡2 la distribuzione ๐‘‡ che associa alla generica funzione di prova

la somma dei valori che le associano le due distribuzioni ๐‘‡1, ๐‘‡2, cioรจ:

๐‘‡ = ๐‘‡1 + ๐‘‡2, se, โˆ€๐œ™ โˆˆ D, โ€‰๐‘‡(๐œ™) = ๐‘‡1(๐œ™) + ๐‘‡2(๐œ™) (5.1.5)

ci si rende conto che, comunque si scelgano in Dโ€ฒ ๐‘‡1 e ๐‘‡2, la loro somma

รจ ancora una distribuzione in Dโ€ฒ, e che Dโ€ฒ รจ un gruppo commutativo ri-

spetto a tale operazione, il cui elemento neutro รจ la distribuzione che as-

socia il valore 0 ad ogni elemento di D.

Inoltre รจ possibile definire in Dโ€ฒ la legge di composizione esterna

tra Dโ€ฒ e il campo โ„‚ dei complessi come segue:

๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐œ†๐‘‡, se, โˆ€๐œ™ โˆˆ D, ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐œ™) = ๐œ†๐‘‡(๐œ™) (5.1.6)

รˆ facile verificare che le (5.1.5) e (5.1.6) soddisfano le (5.1.1) pertanto Dโ€ฒ

รจ uno spazio vettoriale.

Fig. 5.1 - e(

๐‘Ž2

๐‘ก2โˆ’๐‘Ž2)โŠ“ (

๐‘ก

2๐‘Ž)

Page 121: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 5 - Segnali a Potenza Finita - 109

Esempi di distribuzioni. 5.2 - Distribuzioni regolari

Una funzione ๐‘“(๐‘ก) localmente sommabile in โ„, cioรจ sommabile

in ogni suo sottoinsieme limitato, individua la distribuzione ๐‘‡๐‘“ :

๐‘‡๐‘“(๐œ™) = โˆซ ๐‘“(๐‘ก)๐œ™(๐‘ก)๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

(5.2.1)

dove ๐œ™(๐‘ก) rappresenta un generico elemento di D.

Una distribuzione che si puรฒ esprimere nella forma (5.2.1) si dice

regolare in caso contrario la distribuzione si dice singolare.

Funzioni che assumono valori diversi solo su un insieme di misu-

ra nulla definiscono la stessa distribuzione.

Gradino unitario

La distribuzione ๐‘ข gradino unitario รจ cosรฌ definita:

u(ฯ•) = โˆซ ฯ•(t)dtโˆž

0

(5.2.2)

รˆ una distribuzione regolare associata alla

funzione:

u(๐‘ก) = {1; ๐‘ก โ‰ฅ 00; ๐‘ก < 0

(5.2.3)

rappresentata in Fig. 5.2.

Delta di Dirac

La distribuzione delta di Dirac, ๐›ฟ, รจ

definita dalla:

๐›ฟ(๐œ™) = ๐œ™(0) (5.2.4)

La delta di Dirac associa cioรจ ad ogni fun-

zione ๐œ™(๐‘ก) in D il valore che essa assume

all'origine.

La delta di Dirac รจ una distribuzione singolare, tuttavia puรฒ essere

utile introdurre una notazione impropria analoga alla (5.2.1):

โˆซ ๐›ฟ(๐‘ก)๐œ™(๐‘ก)๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

= ๐œ™(0) (5.2.5)

Fig. 5.2 - Gradino unitario

Fig. 5.3 - Delta di Dirac

Page 122: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

110 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

dove ๐›ฟ(๐‘ก) denota il cosiddetto impulso di Dirac, che viene rappresenta-

to mediante una freccia rivolta verso l'alto spiccata nel punto ๐‘ก = 0 (ve-

di. Fig. 5.3).

La (5.2.5) si puรฒ pensare come limite della successione di distri-

buzioni regolari associata ad impulsi rettangolari aventi supporto ten-

dente a zero ed area costante e pari a uno (vedi Fig. 5.4):

๐‘‡๐‘›(๐œ™) = โˆซ ๐‘›โŠ“(๐‘›๐‘ก)๐œ™(๐‘ก)๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

= ๐‘›โˆซ ๐œ™(๐‘ก)๐‘‘๐‘ก

1

2๐‘›

โˆ’1

2๐‘›

= ๐œ™(๐œ‰) (5.2.6)

essendo ๐œ‰ un opportuno punto che giace all'interno dell'intervallo di in-

tegrazione. Al tendere di ๐‘› ad infinito, poichรฉ l'intervallo di integrazione

tende all'insieme {0}, ๐œ‰ tende a zero, di conseguenza la {๐‘‡๐‘›} tende ad as-

sumere il valore della funzione di prova in zero. Pertanto si รจ indotti a

scrivere:

lim๐‘›โ†’โˆž

๐‘›โŠ“(๐‘›๐‘ก) = ๐›ฟ(๐‘ก) (5.2.7)

Tuttavia la (5.2.7) non ha senso se si

considera la ๐›ฟ(๐‘ก) una funzione ordina-

ria, in quanto il supporto della ๐›ฟ(๐‘ก) sa-

rebbe solo il punto 0. Pertanto l'inte-

grale (5.2.5) dovrebbe essere nullo in-

dipendentemente dalla scelta della ๐œ™.

Dโ€™altro canto, possiamo anche osser-

vare che la successione ๐‘›โŠ“(๐‘›๐‘ก) ri-

guardata come una successione in โ„’2

non รจ di Cauchy quindi non รจ conver-

gente.

Tuttavia la (5.2.7) รจ utile in

quanto dร  ragione della rappresenta-

zione grafica della ๐›ฟ, e mostra che,

comunque, la distribuzione in parola si

puรฒ approssimare, bene quanto si vuole, mediante distribuzioni regolari.

Pseudo funzione t-1

La funzione ๐‘กโˆ’1 non รจ localmente sommabile su un qualsiasi in-

tervallo contenente l'origine e tanto meno lo รจ ๐‘กโˆ’1๐œ™(๐‘ก) se ๐œ™(๐‘ก) non ri-

Fig. 5.4 - Approssimazione della di-stribuzione delta.

Page 123: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 5 - Segnali a Potenza Finita - 111

sulta infinitesima nell'origine. Ciononostante, โˆ€๐œ™ โˆˆ D, il valore principa-

le di Cauchy dell'integrale ๐‘กโˆ’1๐œ™(๐‘ก), definito come segue:

VPโˆซ ๐‘กโˆ’1๐œ™(๐‘ก)๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

= limโ†’0(โˆซ ๐‘กโˆ’1๐œ™(๐‘ก)๐‘‘๐‘ก

โˆ’

โˆ’โˆž

+โˆซ ๐‘กโˆ’1๐œ™(๐‘ก)๐‘‘๐‘กโˆž

) (5.2.8)

esiste finito, ed รจ una forma lineare e continua su D. Ciรฒ significa che al-

la funzione ๐‘กโˆ’1 si puรฒ associare la distribuzione Pf(๐‘กโˆ’1) detta pseudo

funzione ๐‘กโˆ’1, definita dalla:

โŸจPf(๐‘กโˆ’1), ๐œ™โŸฉ = VPโˆซ ๐‘กโˆ’1๐œ™(๐‘ก)๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

(5.2.9)

Risulta:

VPโˆซ ๐‘กโˆ’1๐œ™(๐‘ก)๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

= limโ†’0โˆซ ๐‘กโˆ’1๐œ™(๐‘ก)๐‘‘๐‘กโˆ’

โˆ’โˆž

+limโ†’0โˆซ ๐‘กโˆ’1๐œ™(๐‘ก)๐‘‘๐‘กโˆž

= limโ†’0โˆซ ๐‘กโˆ’1(๐œ™(๐‘ก) โˆ’ ๐œ™(โˆ’๐‘ก))๐‘‘๐‘ก = โˆซ ๐‘กโˆ’1(๐œ™(๐‘ก) โˆ’ ๐œ™(โˆ’๐‘ก))๐‘‘๐‘ก

โˆž

0

โˆž

(5.2.10)

in quanto la funzione ๐œ™(๐‘ก) โˆ’ ๐œ™(โˆ’๐‘ก) รจ infinitesima nell'origine.

In definitiva quindi si puรฒ scrivere:

โŸจ๐‘ƒ๐‘“(๐‘กโˆ’1), ๐œ™โŸฉ = ๐‘‰๐‘ƒโˆซ ๐‘กโˆ’1๐œ™(๐‘ก)๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ ๐‘กโˆ’1(๐œ™(๐‘ก) โˆ’ ๐œ™(โˆ’๐‘ก))๐‘‘๐‘กโˆž

0

(5.2.11)

Calcolo delle distribuzioni. 5.3 - Uguaglianza

Due distribuzioni ๐‘ˆ e ๐‘‰ si dicono uguali quando sono uguali i va

lori da esse assunti in corrispondenza ad ogni elemento di D, cioรจ:

๐‘ˆ = ๐‘‰ se, โˆ€ ๐œ™ โˆˆ D, ๐‘ˆ(๐œ™) = ๐‘‰(๐œ™) (5.3.1)

Somma

La somma ๐‘ˆ + ๐‘‰ di due distribuzioni รจ la distribuzione che asso-

cia, ad ogni ๐œ™ โˆˆ D, la somma dei valori che le distribuzioni ๐‘ˆ e ๐‘‰ prese

singolarmente associano alla generica funzione di prova ๐œ™:

๐‘‡ = ๐‘ˆ + ๐‘‰โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰se,โ€‰โ€‰โˆ€๐œ™ โˆˆ D, ๐‘‡(๐œ™) = ๐‘ˆ(๐œ™) + ๐‘‰(๐œ™) (5.3.2)

Traslazione

Per ogni distribuzione regolare, si ha ovviamente:

Page 124: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

112 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

โŸจ๐‘“(๐‘ก โˆ’ ๐‘ก0), ๐œ™(๐‘ก)โŸฉ = โˆซ ๐‘“(๐‘ก โˆ’ ๐‘ก0)๐œ™(๐‘ก)๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ ๐‘“(๐‘ก)๐œ™(๐‘ก + ๐‘ก0)๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

= โŸจ๐‘“(๐‘ก), ๐œ™(๐‘ก + ๐‘ก0)โŸฉ

(5.3.3)

Estendendo le conclusioni della precedente anche alle distribu-

zioni singolari si puรฒ definire traslata ๐‘‡๐‘ก0 di una distribuzione ๐‘‡ la distri-

buzione:

โŸจ๐‘‡๐‘ก0 , ๐œ™(๐‘ก)โŸฉ = โŸจ๐‘‡, ๐œ™(๐‘ก + ๐‘ก0)โŸฉ (5.3.4)

cioรจ, la traslata ๐‘‡๐‘ก0 della distribuzione ๐‘‡ รจ la distribuzione che associa alla

generica funzione di prova il valore che la distribuzione originaria asso-

cerebbe alla medesima funzione di prova anticipata di ๐‘ก0.

Ad esempio applicando la (5.3.4) alla ๐›ฟ si ottiene:

โŸจ๐›ฟ๐‘ก0 , ๐œ™(๐‘ก)โŸฉ = โŸจ๐›ฟ, ๐œ™(๐‘ก + ๐‘ก0)โŸฉ = ๐œ™(๐‘ก0) (5.3.5)

che, adottando la formulazione (5.2.5), equivale a scrivere:

โˆซ ๐›ฟ(๐‘ก โˆ’ ๐‘ก0)๐œ™(๐‘ก)๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

= ๐œ™(๐‘ก0) (5.3.6)

La rappresentazione della ๐›ฟ(๐‘ก โˆ’ ๐‘ก0) รจ riportata in Fig. 5.3.

Derivata di una distribuzione

Si consideri una funzione ๐‘“ derivabile in โ„ con derivata continua;

alla sua derivata ๐‘“โ€ฒ si puรฒ associare la seguente distribuzione regolare:

โˆซ ๐‘“โ€ฒ(๐‘ก)โˆž

โˆ’โˆž

๐œ™(๐‘ก)๐‘‘๐‘ก (5.3.7)

Applicando alla precedente la regola dโ€™integrazione per parti si ottiene:

โŸจ๐‘“โ€ฒ, ๐œ™โŸฉ = โˆซ ๐‘“โ€ฒ(๐‘ก)๐œ™(๐‘ก)๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

โ€‰

= โˆ’โˆซ ๐‘“(๐‘ก)๐œ™โ€ฒ(๐‘ก)๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

+ [๐‘“(๐‘ก)๐œ™(๐‘ก)]โˆ’โˆžโˆž = โŸจ๐‘“,โˆ’๐œ™โ€ฒโŸฉ

(5.3.8)

dove si รจ tenuto conto del fatto che la ๐œ™, appartenendo allo spazio del le

funzioni di prova, รจ a supporto limitato.

La (5.3.8) si generalizza sia al caso delle distribuzioni regolari as-

sociate a funzioni localmente sommabili, sia al caso delle distribuzioni

singolari. La (5.3.8) definisce quindi la derivata di una distribuzione.

Page 125: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 5 - Segnali a Potenza Finita - 113

Applicando ricorsivamente (5.3.8) si deduce l'espressione della

derivata generalizzata di ordine ๐‘˜ di una distribuzione:

โŸจ๐‘‡๐‘˜ , ๐œ™โŸฉ = โŸจ๐‘‡, (โˆ’1)๐‘˜๐œ™๐‘˜โŸฉ (5.3.9)

Ricordando che lo spazio D รจ costituito da funzioni infinitamente

derivabili, dalla precedente si deduce che la distribuzione รจ un ente ma-

tematico infinitamente derivabile.

Ad esempio:

- La derivata della distribuzione associata al gradino unitario vale:

โŸจuโ€ฒ, ๐œ™โŸฉ = โŸจ๐‘ข, โˆ’๐œ™โ€ฒโŸฉ = โˆ’โˆซ ๐œ™โ€ฒ(๐‘ก)๐‘‘๐‘กโˆž

0

= โˆ’[๐œ™(๐‘ก)]0โˆž = ๐œ™(0) (5.3.10)

pertanto:

โŸจuโ€ฒ, ๐œ™โŸฉ = โŸจ๐›ฟ, ๐œ™โŸฉ (5.3.11)

La precedente, adottando la notazione utilizzata nella (5.2.5), suggerisce

di scrivere:

๐‘‘u(๐‘ก)

๐‘‘๐‘ก= ๐›ฟ(๐‘ก) (5.3.12)

- La derivata della delta di Dirac vale:

โŸจ๐›ฟโ€ฒ, ๐œ™โŸฉ = โŸจ๐›ฟ, โˆ’๐œ™โ€ฒโŸฉ = โˆ’๐œ™โ€ฒ(0) (5.3.13)

Essa definisce quindi una distribuzione ๐›ฟโ€ฒ, detta doppietta unitaria, che

viene talvolta espressa, impropriamente, nella forma:

โˆซ ๐›ฟโ€ฒ(๐‘ก)โˆž

โˆ’โˆž

๐œ™(๐‘ก)๐‘‘๐‘ก = โˆ’๐œ™โ€ฒ(0) (5.3.14)

Per la derivata ๐‘˜-esima della delta di Dirac, si deduce facilmente:

โŸจ๐›ฟ๐‘˜ , ๐œ™โŸฉ = โŸจ๐›ฟ, (โˆ’1)๐‘˜๐œ™๐‘˜โŸฉ = (โˆ’1)๐‘˜๐œ™๐‘˜(0) (5.3.15)

che si esprime anche mediante la scrittura:

โˆซ ๐›ฟ๐‘˜(๐‘ก)โˆž

โˆ’โˆž

๐œ™(๐‘ก)๐‘‘๐‘ก = (โˆ’1)๐‘˜๐œ™๐‘˜(0) (5.3.16)

Sia ๐‘”(๐‘ก) una funzione continua e derivabile ovunque fatta eccezione per

il punto ๐‘ก0 in corrispondenza del quale esistono finite le seguenti quanti-

tร : ๐‘”(๐‘ก0โˆ’), ๐‘”(๐‘ก0

+), ๐‘”โ€ฒ(๐‘ก0โˆ’) e ๐‘”โ€ฒ(๐‘ก0

+).

Page 126: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

114 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Sia ๐‘”1(๐‘ก) una funzione ottenuta da ๐‘”(๐‘ก) eliminando il salto che si pre-

senta nel punto di ascissa ๐‘ก0 (vedi Fig. 5.5). La ๐‘”(๐‘ก) si puรฒ quindi espri-

mere come segue:

๐‘”(๐‘ก) = ๐‘”1(๐‘ก) + ๐œŽ0๐‘ข(๐‘ก โˆ’ ๐‘ก0) (5.3.17)

dove:

๐œŽ0 = ๐‘”(๐‘ก0+) โˆ’ ๐‘”(๐‘ก0

โˆ’) (5.3.18)

Si consideri adesso la distribuzione regolare associata alla ๐‘”(๐‘ก):

โŸจ๐‘”, ๐œ™โŸฉ = โŸจ๐‘”1, ๐œ™โŸฉ + ๐œŽ0โŸจu๐‘ก0 , ๐œ™โŸฉ = โŸจ๐‘”1, ๐œ™โŸฉ + ๐œŽ0โŸจu, ๐œ™(๐‘ก + ๐‘ก0)โŸฉ (5.3.19)

In virtรน della linearitร , la sua derivata vale ovviamente:

โŸจ๐‘”โ€ฒ, ๐œ™โŸฉ = โŸจ๐‘”1โ€ฒ , ๐œ™โŸฉ + ๐œŽ0โŸจ๐›ฟ๐‘ก0 , ๐œ™(๐‘ก)โŸฉ (5.3.20)

Si puรฒ quindi scrivere

๐‘”โ€ฒ(๐‘ก) = ๐‘”1โ€ฒ (๐‘ก) + ๐œŽ0๐›ฟ(๐‘ก โˆ’ ๐‘ก0) (5.3.21)

La funzione ๐‘”โ€ฒ1(๐‘ก) non รจ de-

finita per ๐‘ก = ๐‘ก0, e potrebbe ivi pre-

sentare una discontinuitร  non elimi-

nabile. รˆ opportuno osservare che

laddove esiste ๐‘”โ€ฒ(๐‘ก) risulta ovvia-

mente ๐‘”1โ€ฒ (๐‘ก) = ๐‘”โ€ฒ(๐‘ก).

Osserviamo inoltre che ๐‘”โ€ฒ(๐‘ก)

individua una distribuzione regolare

in quanto {๐‘ก0} ha misura nulla.

La (5.3.20) si puรฒ generalizzare al caso di funzioni che presentino

un insieme al piรน numerabile di punti del tipo sopra considerato scri-

vendo:

โŸจ๐‘”โ€ฒ, ๐œ™โŸฉ = โŸจ๐‘”1โ€ฒ , ๐œ™โŸฉ +โˆ‘๐œŽ๐‘–โŸจ๐›ฟ๐‘ก๐‘– , ๐œ™(๐‘ก)โŸฉ

๐‘–โˆˆI

(5.3.22)

che equivale a:

๐‘”โ€ฒ(๐‘ก) = ๐‘”1โ€ฒ (๐‘ก) +โˆ‘๐œŽ๐‘–๐›ฟ(๐‘ก โˆ’ ๐‘ก๐‘–)

๐‘–โˆˆI

(5.3.23)

avendo denotato con:

๐œŽ๐‘– = ๐‘”(๐‘ก๐‘–+) โˆ’ ๐‘”(๐‘ก๐‘–

โˆ’); โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰๐‘– โˆˆ I (5.3.24)

Fig. 5.5 - Segnale continuo a tratti

Page 127: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 5 - Segnali a Potenza Finita - 115

i salti che subisce la funzione ๐‘”(๐‘ก) nei punti di discontinuitร  ๐‘ก๐‘–.

Prodotto di una funzione per una distribuzione

Sia ๐›ผ(๐‘ก) una funzione appartenente allo spazio E delle funzioni

continue e derivabili infinite volte in โ„. Se ๐‘“(๐‘ก) รจ una distribuzione re-

golare si ha:

โŸจ๐›ผ๐‘“, ๐œ™โŸฉ = โˆซ [๐›ผ(๐‘ก)๐‘“(๐‘ก)]๐œ™(๐‘ก)๐‘‘๐‘ก

โˆž

โˆ’โˆž

โ€‰ = โˆซ ๐‘“(๐‘ก)[๐›ผ(๐‘ก)๐œ™(๐‘ก)]๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

= โŸจ๐‘“, ๐›ผ๐œ™โŸฉ

(5.3.25)

la quale, generalizzata ad una distribuzione ๐‘‡ singolare, diventa:

< ๐›ผ๐‘‡, ๐œ™ >=< ๐‘‡, ๐›ผ๐œ™ > (5.3.26)

Ad esempio per la distribuzione ๐›ฟ si ha:

โŸจ๐›ผ๐›ฟ๐‘ก0, ๐œ™โŸฉ = โŸจ๐›ฟ๐‘ก0 , ๐›ผ๐œ™โŸฉ = ๐›ผ(๐‘ก0)๐œ™(๐‘ก0) = ๐›ผ(๐‘ก0)โŸจ๐›ฟ๐‘ก0, ๐œ™โŸฉ (5.3.27)

che si suole scrivere anche nella forma impropria:

๐›ผ(๐‘ก)๐›ฟ(๐‘ก โˆ’ ๐‘ก0) = ๐›ผ(๐‘ก0)๐›ฟ(๐‘ก โˆ’ ๐‘ก0) (5.3.28)

Nel caso della pseudo funzione ๐‘กโˆ’1, si osservi che se la ๐›ผ(๐‘ก) รจ in-

finitesima nell'origine si puรฒ scrivere:

โŸจ๐›ผ(๐‘ก)๐‘ƒ๐‘“(๐‘กโˆ’1), ๐œ™โŸฉ = ๐‘‰๐‘ƒโˆซ

๐›ผ(๐‘ก)

๐‘ก๐œ™(๐‘ก)๐‘‘๐‘ก

โˆž

โˆ’โˆž

โ€‰ = โˆซ๐›ผ(๐‘ก)

๐‘ก๐œ™(๐‘ก)๐‘‘๐‘ก

โˆž

โˆ’โˆž

= โŸจ๐›ผ(๐‘ก)๐‘กโˆ’1, ๐œ™โŸฉ

(5.3.29)

cioรจ:

๐›ผ(๐‘ก)๐‘ƒ๐‘“(๐‘กโˆ’1) =๐›ผ(๐‘ก)

๐‘ก (5.3.30)

Distribuzioni a supporto limitato

Per supporto di una distribuzione ๐‘‡ si intende il complementare

dell'unione dei sottoinsiemi di โ„ tali che si abbia โŸจ๐‘‡, ๐œ™โŸฉ = 0 per ogni

funzione di prova ๐œ™ il cui supporto รจ in essi contenuto.

Ad esempio:

- il supporto della delta di Dirac รจ l'insieme che contiene esclusi-

vamente l'origine, giacche la ฮด(ฯ•) vale 0, per ogni ฯ• il cui sup-

porto non contiene l'origine;

- il supporto del gradino unitario รจ il semiasse reale positivo poichรฉ

รจ u(ฯ•) = 0 per ogni ฯ• il cui supporto sia contenuto in (โˆ’โˆž, 0).

Page 128: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

116 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Ci si rende conto facilmente che per ogni funzione ๐›ผ(๐‘ก) โˆˆ E e

qualunque sia ๐œ™(๐‘ก) โˆˆ D la funzione ๐›ผ(๐‘ก)๐œ™(๐‘ก) โˆˆ D

Si consideri una distribuzione ๐‘‡ a supporto limitato e si scelga la

funzione di prova ๐œ™ nel sottoinsieme di D costituito da tutte le funzioni

che valgono 1 in un qualsiasi insieme che contiene il supporto di ๐‘‡. In

corrispondenza a dette funzioni, e qualunque sia ๐›ผ(๐‘ก) โˆˆ E, si puรฒ scrive-

re:

โŸจ๐‘‡, ๐›ผ๐œ™โŸฉ = โŸจ๐‘‡, ๐›ผโŸฉ (5.3.31)

Ciรฒ significa che le distribuzioni a supporto limitato possono es-

sere definite anche sullo spazio E. In altri termini una distribuzione a

supporto limitato in Dโ€ฒ รจ anche una distribuzione su E. Si puรฒ dimostra-

re che vale il viceversa, cioรจ che ogni distribuzione appartenente allo

spazio Eโ€ฒ, duale di E, รจ una distribuzione a supporto limitato in D, e

quindi che Eโ€ฒ โŠ‚ Dโ€ฒ.

Convoluzione tra distribuzioni. 5.4 -

Siano ๐‘“(๐‘ก) e ๐‘”(๐‘ก) due funzioni localmente sommabili, la loro

convoluzione ๐‘“ โˆ— ๐‘” รจ, se esiste per ogni ๐‘ก la funzione โ„Ž(๐‘ก) definita dalla:

โ„Ž(๐‘ก) = โˆซ ๐‘“(๐œ)๐‘”(๐‘ก โˆ’ ๐œ)๐‘‘๐œโˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ ๐‘“(๐‘ก โˆ’ ๐œ)๐‘”(๐œ)๐‘‘๐œโˆž

โˆ’โˆž

(5.4.1)

Se โ„Ž(๐‘ก) รจ localmente sommabile essa individua una distribuzione regola-

re. Si ha cioรจ per ogni ๐œ™ โˆˆ D:

โŸจโ„Ž, ๐œ™โŸฉ = โˆซ โ„Ž(๐‘ก)๐œ™(๐‘ก)๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ ๐œ™(๐‘ก) (โˆซ ๐‘“(๐œ)๐‘”(๐‘ก โˆ’ ๐œ)๐‘‘๐œโˆž

โˆ’โˆž

)๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ โˆซ ๐œ™(๐‘ก)๐‘“(๐œ)๐‘”(๐‘ก โˆ’ ๐œ)๐‘‘๐œโˆž

โˆ’โˆž

๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

(5.4.2)

che, introducendo la trasformazione di variabili

๐‘ก โˆ’ ๐œ = ๐œ— (5.4.3)

diviene:

โŸจโ„Ž, ๐œ™โŸฉ = โˆซ ๐‘”(๐œ—) (โˆซ ๐‘“(๐œ)๐œ™(๐œ + ๐œ—)๐‘‘๐œโˆž

โˆ’โˆž

)๐‘‘๐œ—โˆž

โˆ’โˆž

(5.4.4)

Page 129: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 5 - Segnali a Potenza Finita - 117

Analogamente, procedendo sulla base del secondo integrale che

compare nella (5.4.1), si ha:

โŸจโ„Ž, ๐œ™โŸฉ = โˆซ ๐‘“(๐œ) (โˆซ ๐‘”(๐œ—)๐œ™(๐œ + ๐œ—)๐‘‘๐œ—โˆž

โˆ’โˆž

)โˆž

โˆ’โˆž

๐‘‘๐œ (5.4.5)

Si รจ quindi portati a riscrivere le (5.4.4) e (5.4.5) nella forma:

โŸจโ„Ž, ๐œ™โŸฉ = โŸจ๐‘”(๐œ—), โŸจ๐‘“(๐œ), ๐œ™(๐œ + ๐œ—)โŸฉโŸฉ = โŸจ๐‘“(๐œ), โŸจ๐‘”(๐œ—), ๐œ™(๐œ + ๐œ—)โŸฉโŸฉ (5.4.6)

Si osservi tuttavia che gli integrali interni delle (5.4.4) e (5.4.5), in quanto

distribuzioni regolari, definiscono due funzioni nelle variabili ๐œ— e ๐œ, che,

pur essendo infinitamente derivabili, in genere non presentano supporto

limitato. Conseguentemente, l'interpretazione degli integrali esterni delle

(5.4.4) e (5.4.5) come distribuzioni non รจ sempre legittima

Le (5.4.6) consentono tuttavia di generalizzare il concetto di con-

voluzione alle distribuzioni.

Siano ๐‘ˆ e ๐‘‰ due distribuzioni; la loro convoluzione รจ, se esiste,

una distribuzione ๐‘‡ = ๐‘ˆ โˆ— ๐‘‰, definita dalla:

โŸจ๐‘‡, ๐œ™โŸฉ = โŸจ๐‘ˆ โˆ— ๐‘‰, ๐œ™โŸฉ = โŸจ๐‘ˆ๐œ , โŸจ๐‘‰๐œ—, ๐œ™(๐œ + ๐œ—)โŸฉโŸฉโ€‰

= โŸจ๐‘‰๐œ—, โŸจ๐‘ˆ๐œ , ๐œ™(๐œ + ๐œ—)โŸฉโŸฉ (5.4.7)

dove i pedici indicano la variabile da cui dipende la funzione di prova a

cui la distribuzione รจ applicata.

A proposito dell'esistenza della convoluzione tra distribuzioni va-

le la seguente condizione sufficiente: detti rispettivamente ๐›บ๐‘ˆ e ๐›บ๐‘‰ i

supporti delle distribuzioni ๐‘ˆ e ๐‘‰, si puรฒ dimostrare che la convoluzione

tra distribuzioni ha senso tutte le volte che l'intersezione fra il prodotto

cartesiano ๐›บ๐‘ˆ ร— ๐›บ๐‘‰ ed il supporto della funzione ๐œ™(๐œ + ๐œ—) pensata come

funzione delle variabili ๐œ, ๐œ— รจ limitato in โ„2.

Si osservi che la ๐œ™(๐‘ก) โˆˆ D, quindi รจ a supporto limitato; pertanto,

certamente, esiste un intervallo (๐‘Ž, ๐‘) limitato che contiene il supporto

di ๐œ™. Altrettanto non puรฒ dirsi del supporto della ๐œ™(๐œ + ๐œ—) in โ„2. In ef-

fetti il supporto della ๐œ™(๐œ + ๐œ—) รจ contenuto nella striscia limitata dalle

rette:

๐œ + ๐œ— = ๐‘Ž๐œ + ๐œ— = ๐‘

(5.4.8)

Page 130: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

118 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

rappresentata in Fig. 5.6. Con riferimento alla stessa figura, si deduce

che, se la ๐œ™(๐‘ก) โˆˆ D, la convoluzione ๐‘‡ tra due distribuzioni ha certamen-

te senso quando:

a) almeno una delle due distribuzioni ๐‘ˆ o ๐‘‰ ha supporto limitato (vedi

Fig. 5.6a e Fig. 5.6b);

b) entrambe le distribuzioni ๐‘ˆ e ๐‘‰ hanno supporti limitati inferiormen-

te (vedi Fig. 5.6c);

c) entrambe le distribuzioni ๐‘ˆ e ๐‘‰ hanno supporti limitati superior-

mente (vedi Fig. 5.6d).

Ad esempio, essendo la delta di Dirac una distribuzione a suppor-

to limitato, si ha, qualunque sia la distribuzione ๐‘‡:

โŸจ๐‘‡ โˆ— ๐›ฟ, ๐œ™โŸฉ = โŸจ๐‘‡๐œ, โŸจ๐›ฟ๐œ—, ๐œ™(๐œ + ๐œ—)โŸฉโŸฉ = โŸจ๐‘‡๐œ, ๐œ™(๐œ)โŸฉ = โŸจ๐‘‡, ๐œ™โŸฉ (5.4.9)

cioรจ:

๐‘‡ โˆ— ๐›ฟ = ๐‘‡ (5.4.10)

La delta di Dirac quindi รจ elemento neutro nell'operazione di

convoluzione.

In maniera analoga si verifica che:

๐‘‡ โˆ— ๐›ฟโ€ฒ = ๐‘‡โ€ฒ (5.4.11)

e piรน in generale:

๐‘‡ โˆ— ๐›ฟ(๐‘˜) = ๐‘‡(๐‘˜) (5.4.12)

Infatti รจ:

โŸจ๐‘‡ โˆ— ๐›ฟ(๐‘˜), ๐œ™โŸฉ = โŸจ๐‘‡๐œ , โŸจ๐›ฟ๐œ—

(๐‘˜), ๐œ™(๐œ + ๐œ—)โŸฉโŸฉ

= โŸจ๐‘‡๐œ , โˆ’๐œ™(๐‘˜)(๐œ)โŸฉ = โŸจ๐‘‡(๐‘˜), ๐œ™โŸฉ

(5.4.13)

Ponendo nella (5.4.11) ๐‘‡ = ๐‘ˆ โˆ— ๐‘‰ si ottiene:

(๐‘ˆ โˆ— ๐‘‰)โ€ฒ = (๐‘ˆ โˆ— ๐‘‰) โˆ— ๐›ฟโ€ฒ = ๐‘ˆ โˆ— ๐‘‰ โˆ— ๐›ฟโ€ฒ = ๐‘ˆ โˆ— (๐‘‰ โˆ— ๐›ฟโ€ฒ)

= ๐‘ˆ โˆ— ๐‘‰โ€ฒ (5.4.14)

o anche, per la commutativitร  della convoluzione:

Page 131: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 5 - Segnali a Potenza Finita - 119

(๐‘ˆ โˆ— ๐‘‰)โ€ฒ = (๐‘ˆ โˆ— ๐‘‰) โˆ— ๐›ฟโ€ฒ = ๐‘ˆ โˆ— ๐›ฟโ€ฒ โˆ— ๐‘‰ = (๐‘ˆ โˆ— ๐›ฟโ€ฒ) โˆ— ๐‘‰ = ๐‘ˆโ€ฒ โˆ— ๐‘‰ (5.4.15)

dalle quali si deduce che per derivare un prodotto di convoluzione basta

derivare uno qualsiasi dei fattori.

Esempio 5.1

La proprietร  di derivazione (5.4.14) puรฒ essere

utilmente impiegata per il calcolo della convolu-

zione dei segnali. Cosรฌ ad esempio per valutare la

convoluzione fra l'impulso rettangolare โŠ“ (๐‘ก

๐‘‡) e

l'impulso triangolare โˆง (๐‘ก

๐‘‡) (vedi Fig. E 5.1):

๐œ™(๐‘ก) =โŠ“ (๐‘ก

๐‘‡) โˆ—โˆง (

๐‘ก

๐‘‡)

Applicando la (5.4.15) si ha:

๐œ™โ€ฒ(๐‘ก) =๐‘‘

๐‘‘๐‘ก(โŠ“ (

๐‘ก

๐‘‡)) โˆ—โˆง (

๐‘ก

๐‘‡)

da cui essendo:

Fig. 5.6

Fig.E 5.1

Page 132: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

120 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

๐‘‘

๐‘‘๐‘ก(โŠ“ (

๐‘ก

๐‘‡)) = ๐›ฟ (๐‘ก +

๐‘‡

2) โˆ’ ๐›ฟ (๐‘ก โˆ’

๐‘‡

2)

risulta:

๐œ™โ€ฒ(๐‘ก) = (๐›ฟ (๐‘ก +๐‘‡

2) โˆ’ ๐›ฟ (๐‘ก โˆ’

๐‘‡

2)) โˆ—โˆง (

๐‘ก

๐‘‡)

che equivale a scrivere:

๐œ™โ€ฒ(๐‘ก) = โˆง (๐‘ก

๐‘‡+1

2) โˆ’โˆง (

๐‘ก

๐‘‡โˆ’1

2)

L'andamento di ๐œ™โ€ฒ(๐‘ก) in funzione di ๐‘ก รจ ri-

portato in Fig.E 5.2.

Si ha allora integrando:

๐œ™(๐‘ก) = ๐œ™(โˆ’๐‘‡) + โˆซ ๐œ™โ€ฒ(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅ๐‘ก

โˆ’๐‘‡=

{

๐‘‡ (

๐‘ก

๐‘‡+ 1)

2; โˆ’๐‘‡ โ‰ค ๐‘ก โ‰ค โˆ’

๐‘‡

2

๐‘‡ (โˆ’(๐‘ก

๐‘‡)2+1

2) ; โˆ’

๐‘‡

2โ‰ค ๐‘ก โ‰ค

๐‘‡

2

๐‘‡ (๐‘ก

๐‘‡โˆ’ 1)

2;

๐‘‡

2โ‰ค ๐‘ก โ‰ค ๐‘‡

0; |๐‘ก| โ‰ฅ ๐‘‡

Essendo ๐œ™(โˆ’๐‘‡) = 0. ๐œ™(๐‘ก) รจ rappresentato

in Fig.E 5.3.

Formula di Poisson. 5.5 -

Si consideri adesso la distribuzione generata dalla funzione:

๐‘“๐‘(๐‘ก) =1

๐‘‡โˆ‘ ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›

๐‘ก

๐‘‡

๐‘

๐‘›=โˆ’๐‘

(5.5.1)

Detta distribuzione associa alla generica funzione di prova il valore:

โŸจ๐‘“๐‘, ๐œ™โŸฉ = โˆซ ๐œ™(๐‘ก)1

๐‘‡โˆ‘ ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›

๐‘ก

๐‘‡

๐‘

๐‘›=โˆ’๐‘

โˆž

โˆ’โˆž

๐‘‘๐‘ก

=1

๐‘‡โˆ‘ โˆซ ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›

๐‘ก

๐‘‡

โˆž

โˆ’โˆž

๐œ™(๐‘ก)๐‘‘๐‘ก

๐‘

๐‘›=โˆ’๐‘

= โˆ‘ โˆ‘1

๐‘‡โˆซ ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›

๐‘ก

๐‘‡๐œ™(t)๐‘‘๐‘ก(k+1)๐‘‡

kT

โˆž

๐‘˜=โˆ’โˆž

๐‘

๐‘›=โˆ’๐‘

(5.5.2)

Fig.E 5.3

Fig.E 5.2

Page 133: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 5 - Segnali a Potenza Finita - 121

= โˆ‘ โˆ‘1

๐‘‡โˆซ ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›

๐‘กโ€ฒ+๐‘˜๐‘‡

๐‘‡ ๐œ™(๐‘กโ€ฒ + ๐‘˜๐‘‡)๐‘‘๐‘กโ€ฒ๐‘‡

0

โˆž

๐‘˜=โˆ’โˆž

๐‘

๐‘›=โˆ’๐‘

= โˆ‘ โˆ‘1

๐‘‡โˆซ ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›

๐‘กโ€ฒ

๐‘‡๐œ™(๐‘กโ€ฒ + ๐‘˜๐‘‡)๐‘‘๐‘กโ€ฒ๐‘‡

0

โˆž

๐‘˜=โˆ’โˆž

๐‘

๐‘›=โˆ’๐‘

= โˆ‘1

๐‘‡โˆซ ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›

๐‘กโ€ฒ

๐‘‡ โˆ‘ ๐œ™(๐‘กโ€ฒ โˆ’ ๐‘˜๐‘‡)๐‘‘๐‘กโ€ฒโˆž

๐‘˜=โˆ’โˆž

๐‘‡

0

๐‘

๐‘›=โˆ’๐‘

dove si รจ utilizzata la trasformazione di variabili ๐‘กโ€ฒ = ๐‘ก + ๐‘˜๐‘‡. Si noti che,

la sommatoria che compare all'interno dell'integrale dell'ultimo membro

della precedente, costituisce la cosiddetta ripetizione periodica ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘‡(๐‘ก) di

๐œ™(๐‘ก).

Si osservi che, in virtรน della limitatezza del supporto della funzio-

ne di prova, per ogni istante, soltanto un numero finito di repliche tra-

slate di ๐œ™(๐‘ก) sarร  diverso da zero; pertanto la ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘‡, oltre ad essere periodi-

ca รจ limitata in โ„. Inoltre l'appartenenza della ๐œ™ allo spazio D assicura la

infinita derivabilitร  di ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘‡ in โ„. La ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘‡ puรฒ essere sviluppata in serie di

Fourier; serie che convergerร  al valore assunto dalla ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘‡ per ogni ๐‘ก. Si ha

quindi:

๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘‡(๐‘ก) = โˆ‘ ๐œ™(๐‘ก โˆ’ ๐‘˜๐‘‡)

โˆž

๐‘˜=โˆ’โˆž

= โˆ‘ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘‡๐‘›๐‘’๐‘—2๐œ‹

๐‘›๐‘ก

๐‘‡

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(5.5.3)

che sostituita nella (5.5.2) fornisce:

โŸจ๐‘“๐‘ , ๐œ™โŸฉ = โˆ‘1

๐‘‡โˆซ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘‡(๐‘ก)๐‘’

๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘ก

๐‘‡๐‘‘๐‘ก๐‘‡

0

๐‘

๐‘›=โˆ’๐‘

= โˆ‘ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘‡๐‘›

๐‘

๐‘›=โˆ’๐‘

(5.5.4)

Se nella (5.5.4) si fa tendere ๐‘ ad infinito si ottiene:

lim๐‘โ†’โˆž

โŸจ๐‘“๐‘, ๐œ™โŸฉ = lim๐‘โ†’โˆž

โˆ‘ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘‡๐‘›

๐‘

๐‘›=โˆ’๐‘

= ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘‡(0) = โˆ‘ ๐œ™(โˆ’๐‘˜๐‘‡)

โˆž

๐‘˜=โˆ’โˆž

= โˆ‘ ๐œ™(๐‘˜๐‘‡)

โˆž

๐‘˜=โˆ’โˆž

< โˆž

(5.5.5)

che puรฒ quindi essere interpretato come una distribuzione che si

indica con:

Page 134: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

122 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

โŸจ1

๐‘‡โˆ‘ ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›

๐‘ก

๐‘‡

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

, ๐œ™(๐‘ก)โŸฉ = lim๐‘โ†’โˆž

1

๐‘‡โˆ‘ โŸจ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›

๐‘ก

๐‘‡, ๐œ™(๐‘ก)โŸฉ

๐‘

๐‘›=โˆ’๐‘

(5.5.6)

D'altra parte poichรฉ per la (5.3.5) risulta anche:

โŸจ โˆ‘ ๐›ฟ(๐‘ก โˆ’ ๐‘˜๐‘‡)

โˆž

๐‘˜=โˆ’โˆž

, ๐œ™(๐‘ก)โŸฉ = โˆ‘ ๐œ™(๐‘˜๐‘‡)

โˆž

๐‘˜=โˆ’โˆž

(5.5.7)

si deduce immediatamente la seguente fondamentale uguaglianza:

1

๐‘‡โˆ‘ ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›

๐‘ก

๐‘‡

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

= โˆ‘ ๐›ฟ(๐‘ก โˆ’ ๐‘›๐‘‡)

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(5.5.8)

che va sotto il nome di formula di Poisson.

Trasformata di Fourier di una distribuzione. 5.6 -

Sia ๐‘ฅ(๐‘ก) localmente sommabile e dotata di trasformata di Fourier:

๐‘‹(๐‘“) = โˆซ ๐‘ฅ(๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

(5.6.1)

Alla ๐‘‹(๐‘“) si puรฒ associare la distribuzione:

โŸจ๐‘‹(๐‘“), ๐œ™๐‘“โŸฉ = โˆซ ๐‘‹(๐‘“)๐œ™(๐‘“)๐‘‘๐‘“โˆž

โˆ’โˆž

(5.6.2)

che si puรฒ scrivere come:

โŸจ๐น[๐‘ฅ(๐‘ก)], ๐œ™๐‘“โŸฉ = โˆซ ๐œ™(๐‘“) (โˆซ ๐‘ฅ(๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

)๐‘‘๐‘“โˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ ๐‘ฅ(๐‘ก) (โˆซ ๐œ™(๐‘“)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘“โˆž

โˆ’โˆž

)๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ ๐‘ฅ(๐‘ก)๐›ท(๐‘ก)๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

(5.6.3)

avendo denotato con ๐›ท(๐‘ก) la trasformata della funzione ๐œ™(๐‘“). รˆ da os-

servare che l'ultimo termine della precedente non costituisce una distri-

buzione in D, poichรฉ, come sarร  dimostrato nel Cap. VII, la trasformata

di Fourier di una funzione a supporto limitato non puรฒ avere supporto

limitato, quindi, se ๐œ™(๐‘“) โˆˆ D, la sua trasformata ๐›ท(๐‘ก) โˆ‰ D.

Per estendere la trasformata di Fourier alle distribuzioni รจ quindi

necessario definire uno spazio di funzioni di prova piรน ampio, che sia

cioรจ tale da contenere la trasformata di Fourier di ogni suo elemento.

A tal proposito vale il seguente

Page 135: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 5 - Segnali a Potenza Finita - 123

Teorema 5.1

Sia ๐œ™(๐‘ก) una funzione dotata di derivate di qualsiasi ordine continue, tali che co-

munque presi ๐‘˜, ๐‘ โˆˆ โ„• risulti:

lim|๐‘ก|โ†’โˆž

|๐‘ก๐‘˜๐œ™(๐‘)(๐‘ก)| = 0 (5.6.4)

Allora ๐œ™(๐‘ก) รจ trasformabile secondo Fourier, e la sua trasformata ๐›ท(๐‘“) รจ continua,

dotata di derivate di qualsiasi ordine continue e tali che:

lim|๐‘“|โ†’โˆž

|๐‘“๐‘˜๐›ท(๐‘)(๐‘“)| = 0 (5.6.5)

************

Le funzioni che soddisfano la (5.6.5) prendono il nome di fun-

zioni temperate e lo spazio da esse definito viene denotato con S. Tale

spazio non รจ banale giacchรฉ la funzione ๐‘’โˆ’๐‘ก2 la cui trasformata di Fou-

rier vale โˆš๐œ‹๐‘’โˆ’๐œ‹2๐‘“2 vi appartiene. Si noti inoltre che lo spazio delle fun-

zioni di prova D, precedentemente definito, รจ contenuto nello spazio

delle funzioni temperate.

Le distribuzioni su S si chiamano distribuzioni temperate, per es-

se valgono tutte le proprietร  giร  dimostrate per le distribuzioni in ๐ท.

Lโ€™unica sostanziale differenza risiede nel fatto che ad una funzione che

sia solo localmente sommabile non si puรฒ piรน associare una distribuzio-

ne regolare.

Ciรฒ posto, se si assume come spazio delle funzioni di prova lo

spazio S, l'ultimo termine della (5.6.3) puรฒ interpretarsi come una distri-

buzione regolare su tale spazio. Estendendo la (5.6.3) anche al caso delle

distribuzioni singolari su S si ottiene la seguente definizione per la tra-

sformata ๐”‰[๐‘‡] di una distribuzione temperata:

โŸจ๐”‰[๐‘‡], ๐œ™๐‘“โŸฉ = โŸจ๐‘‡, ๐›ท๐‘กโŸฉ; โˆ€๐œ™, ๐›ท โˆˆ S (5.6.6)

La trasformata di Fourier ๐”‰[๐‘‡] di una distribuzione ๐‘‡ รจ dunque

quella distribuzione che opera sulla funzione ๐œ™๐‘“ come la distribuzione ๐‘‡

opererebbe sulla trasformata ๐›ท๐‘ก della ๐œ™๐‘“.

In maniera analoga si definisce antitrasformata di Fourier di una

distribuzione ๐‘‡ la distribuzione, denotata con ๐”‰โˆ’1[๐‘‡], tale che si abbia:

โŸจ๐”‰โˆ’1[๐‘‡], ๐›ท๐‘กโŸฉ = โŸจ๐‘‡, ๐œ™๐‘“โŸฉ; โˆ€๐›ท, ๐œ™ โˆˆ S (5.6.7)

Page 136: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

124 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Trasformata di Fourier di distribuzioni a supporto 5.7 - limitato.

Se ๐‘ฅ(๐‘ก) รจ una funzione sommabile a supporto limitato, la (5.6.3)

si puรฒ porre nella forma:

โŸจ๐”‰[๐‘ฅ], ๐œ™๐‘“โŸฉ = โˆซ (โˆซ ๐‘ฅ(๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

)๐œ™(๐‘“)๐‘‘๐‘“โˆž

โˆ’โˆž

(5.7.1)

L'integrale interno, poichรฉ ๐‘ฅ(๐‘ก) รจ a supporto limitato e poichรฉ ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก per

ogni ๐‘“ รจ un elemento dello spazio E, definisce una distribuzione regolare

in E โ€ฒ dipendente dal parametro ๐‘“. Pertanto la (5.7.1) si puรฒ riscrivere

come segue:

โŸจ๐”‰[๐‘ฅ], ๐œ™๐‘“โŸฉ = โˆซ (โˆซ ๐‘ฅ(๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

)๐œ™(๐‘“)๐‘‘๐‘“โˆž

โˆ’โˆž

(5.7.2)

da cui:

๐”‰[๐‘ฅ] = โŸจ๐‘ฅ(๐‘ก), ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘กโŸฉ (5.7.3)

La precedente puรฒ essere generalizzata anche alle distribuzioni ๐‘‡

singolari a supporto limitato, scrivendo:

๐”‰[๐‘‡] = โŸจ๐‘‡, ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘กโŸฉ; โˆ€๐‘‡ โˆˆ E ' (5.7.4)

Analogamente si ha:

๐”‰โˆ’1[๐‘‡] = โŸจ๐‘‡, ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘กโŸฉ; โˆ€๐‘‡ โˆˆ E ' (5.7.5)

Le (5.7.4) e (5.7.5) definiscono funzioni di variabile ๐‘“ e ๐‘ก rispetti-

vamente.

Il limite del rapporto incrementale della (5.7.4) vale:

lim๐›ฅ๐‘“โ†’0

โŸจ๐‘‡, ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹(๐‘“+๐›ฅ๐‘“)๐‘กโŸฉ โˆ’ โŸจ๐‘‡, ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘กโŸฉ

๐›ฅ๐‘“

โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰ = โŸจ๐‘‡, lim๐›ฅ๐‘“โ†’0

๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹(๐‘“+๐›ฅ๐‘“)๐‘ก โˆ’ ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก

๐›ฅ๐‘“โŸฉ = โŸจ๐‘‡, โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘ก ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘กโŸฉ

(5.7.6)

Esso esiste finito โˆ€๐‘“ dal momento che โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘ก โ‹… ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก โˆˆ E.

La (5.7.6) comporta che la trasformata di Fourier di una distribu-

zione a supporto limitato essendo derivabile รจ continua. รˆ inoltre im-

mediato constatare che รจ anche derivabile infinite volte.

Considerazioni analoghe valgono per l'antitrasformata di Fourier

delle distribuzioni a supporto limitato.

Page 137: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 5 - Segnali a Potenza Finita - 125

Trasformate di Fourier di distribuzioni notevoli. 5.8 - Trasformata di una costante

๐‘ (๐‘ก) = 1 non ammette trasformata di Fourier. Tuttavia nell'ambi-

to delle distribuzioni si ha, ricordando la (5.6.7):

โŸจ๐”‰[1], ๐œ™๐‘“โŸฉ = โŸจ1, ๐›ท๐‘กโŸฉ = โˆซ ๐›ท(๐‘ก)๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

= ๐œ™(0) = โŸจ๐›ฟ, ๐œ™๐‘“โŸฉ (5.8.1)

che equivale a scrivere:

๐”‰[1] = ๐›ฟ(๐‘“) (5.8.2)

Trasformata della delta di Dirac

Essendo la delta di Dirac a supporto limitato la sua trasformata di

Fourier vale:

๐”‰[๐›ฟ] = โŸจ๐›ฟ, ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘กโŸฉ = 1 (5.8.3)

Trasformata della delta di Dirac traslata

La trasformata di Fourier della traslata della distribuzione delta di

Dirac รจ:

๐”‰[๐›ฟ(๐‘ก โˆ’ ๐‘ก0)] = โŸจ๐›ฟ(๐‘ก โˆ’ ๐‘ก0), ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘กโŸฉ = ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก0 (5.8.4)

Applicando quest'ultimo risultato alla (5.5.8) si ottiene:

๐”‰ [ โˆ‘ ๐›ฟ(๐‘ก โˆ’ ๐‘›๐‘‡)

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

] = โˆ‘ ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“๐‘‡โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

=1

๐‘‡โˆ‘ ๐›ฟ (๐‘“ โˆ’

๐‘›

๐‘‡)

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(5.8.5)

Antitrasformata della delta di Dirac traslata

L'antitrasformata della distribuzione ๐›ฟ(๐‘“ โˆ’ ๐‘“0) vale:

๐”‰โˆ’1[๐›ฟ(๐‘“ โˆ’ ๐‘“0)] = โŸจ๐›ฟ(๐‘“ โˆ’ ๐‘“0), ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘กโŸฉ = ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“0๐‘ก (5.8.6)

Trasformate delle funzioni seno e coseno

In base alla (5.8.6) utilizzando le formule di Eulero, si ottiene:

๐”‰[cos(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก)] =1

2[๐›ฟ(๐‘“ โˆ’ ๐‘“0) + ๐›ฟ(๐‘“ + ๐‘“0)] (5.8.7)

๐”‰[sin(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก)] =1

2๐‘—[๐›ฟ(๐‘“ โˆ’ ๐‘“0) โˆ’ ๐›ฟ(๐‘“ + ๐‘“0)] (5.8.8)

Trasformata di un segnale periodico

La trasformata di un segnale periodico di periodo ๐‘‡0

๐‘ (๐‘ก) = โˆ‘ ๐‘†๐‘›๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›

๐‘ก

๐‘‡0

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(5.8.9)

Page 138: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

126 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

vale:

๐”‰[๐‘ (๐‘ก)] = โˆ‘ ๐‘†๐‘›๐›ฟ (๐‘“ โˆ’๐‘›

๐‘‡0)

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(5.8.10)

Trasformata della funzione segno

Si consideri la funzione "segno", vedi Fig. 5.7,

definita dalla:

sgm(๐‘ก) = { 1; ๐‘ก โ‰ฅ 0โˆ’1; ๐‘ก < 0

(5.8.11)

Applicando la (5.6.6) si puรฒ scrivere:

โŸจ๐”‰[sgm(๐‘ก)], ๐œ‘๐‘“โŸฉ = โŸจsgm(๐‘ก), ๐›ท๐‘กโŸฉ = โˆซ sgm(๐‘ก)๐›ท(๐‘ก)๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

โ€‰โ€‰

= โˆซ sgm(๐‘ก) (โˆซ ๐œ‘(๐‘“)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘“โˆž

โˆ’โˆž

)๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

โ€‰

= โˆซ (โˆซ ๐œ‘(๐‘“)(๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก โˆ’ ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก)๐‘‘๐‘“โˆž

โˆ’โˆž

)๐‘‘๐‘กโˆž

0

โ€‰

= โˆ’2๐‘—โˆซ (โˆซ ๐œ‘(๐‘“) sin(2๐œ‹๐‘“๐‘ก) ๐‘‘๐‘“โˆž

โˆ’โˆž

)๐‘‘๐‘กโˆž

0

(5.8.12)

Invertendo l'ordine di integrazione ed esplicitando l'integrale improprio

si ottiene ancora:

โŸจ๐”‰[sgm(๐‘ก)], ๐œ‘๐‘“โŸฉ = โˆ’2๐‘— lim๐‘‡โ†’โˆž

โˆซ ๐œ‘(๐‘“) (โˆซ sin(2๐œ‹๐‘“๐‘ก) ๐‘‘๐‘ก๐‘‡

0

)๐‘‘๐‘“โˆž

โˆ’โˆž

= lim๐‘‡โ†’โˆž

โˆซ ๐œ‘(๐‘“)1 โˆ’ cos(2๐œ‹๐‘“๐‘‡)

๐‘—๐œ‹๐‘“๐‘‘๐‘“

โˆž

โˆ’โˆž

= lim๐‘‡โ†’โˆž

โˆซ (๐œ‘(๐‘“) โˆ’ ๐œ‘(โˆ’๐‘“))1 โˆ’ cos(2๐œ‹๐‘“๐‘‡)

๐‘—๐œ‹๐‘“๐‘‘๐‘“

โˆž

0

= โˆซ๐œ‘(๐‘“) โˆ’ ๐œ‘(โˆ’๐‘“)

๐‘—๐œ‹๐‘“๐‘‘๐‘“

โˆž

0

โˆ’ lim๐‘‡โ†’โˆž

โˆซ๐œ‘(๐‘“) โˆ’ ๐œ‘(โˆ’๐‘“)

๐‘—๐œ‹๐‘“cos(2๐œ‹๐‘“๐‘‡) ๐‘‘๐‘“

โˆž

0

(5.8.13)

Poichรฉ la funzione ๐œ‘(๐‘“)โˆ’๐œ‘(โˆ’๐‘“)

๐‘“ รจ sommabile in (0,โˆž) ci si convince del

fatto che il limite che compare nell'ultimo membro della precedente vale

0.

Fig. 5.7 - sgm(๐‘ก)

Page 139: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 5 - Segnali a Potenza Finita - 127

In definitiva ricordando la (5.2.10) si ha:

โŸจ๐”‰[sgm(๐‘ก)], ๐œ‘๐‘“โŸฉ =1

๐‘—๐œ‹VPโˆซ

๐œ‘(๐‘“)

๐‘“๐‘‘๐‘“

โˆž

โˆ’โˆž

=1

๐‘—๐œ‹โŸจPf(๐‘“โˆ’1), ๐œ‘๐‘“โŸฉ (5.8.14)

In conclusione quindi:

๐”‰[sgm(๐‘ก)] =1

๐‘—๐œ‹Pf(๐‘“โˆ’1) (5.8.15)

Trasformata del gradino unitario

Poichรฉ si ha, com'รจ facile riconoscere:

u(๐‘ก) =1

2+1

2sgm(๐‘ก) (5.8.16)

รจ, tenendo conto del risultato precedente:

๐”‰[u(๐‘ก)] =1

2๐›ฟ(๐‘“) + Pf (

1

๐‘—2๐œ‹๐‘“) (5.8.17)

Si noti la presenza della delta di Dirac dovuta al termine 1

2 cioรจ alla com-

ponente continua della u(๐‘ก).

Proprietร  delle trasformate delle distribuzioni. 5.9 -

La trasformata di Fourier di una distribuzione possiede tutte le

proprietร  della trasformata di Fourier di una funzione ordinaria giร  di-

scusse nel CAPITOLO - 4; in particolare:

Linearitร 

Dalla proprietร  di linearitร  per le distribuzioni discende:

๐”‰[๐‘† + ๐‘‡] = ๐”‰[๐‘†] + ๐”‰[๐‘‡] (5.9.1)

quali che siano le distribuzioni ๐‘† e ๐‘‡.

Trasformata della convoluzione

Siano ๐‘ˆ e ๐‘‰ due distribuzionila prima temperata e la seconda a

supporto limitato.

Per le (5.6.6) e (5.4.7) si ha:

Page 140: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

128 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

โŸจ๐”‰[๐‘ˆ โˆ— ๐‘‰], ๐œ™๐‘“โŸฉ = โŸจ๐‘ˆ โˆ— ๐‘‰, ๐›ท๐‘กโŸฉ = โŸจ๐‘ˆ๐œ , โŸจ๐‘‰๐œ—, ๐›ท(๐œ + ๐œ—)โŸฉโŸฉ

= โŸจ๐‘ˆ๐œ , โŸจ๐‘‰๐œ—, โˆซ ๐œ™(๐‘“)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“(๐œ+๐œ—)๐‘‘๐‘“โˆž

โˆ’โˆž

โŸฉโŸฉ

= โŸจ๐‘ˆ๐œ , โˆซ ๐œ™(๐‘“)โŸจ๐‘‰๐œ—, ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐œ—โŸฉ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐œ๐‘‘๐‘“

โˆž

โˆ’โˆž

โŸฉ

(5.9.2)

Poichรฉ, essendo per ipotesi ๐‘‰ a supporto limitato, โŸจ๐‘‰๐œ—, ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐œ—โŸฉ รจ la tra-

sformata di ๐‘‰ che รจ una funzione continua ed infinitamente derivabile di

๐‘“ (vedi ยง.5.7 - ). Pertanto dalla precedente discende:

โŸจ๐”‰[๐‘ˆ โˆ— ๐‘‰], ๐œ™๐‘“โŸฉ โ€‰= โŸจ๐‘ˆ๐œ , โˆซ ๐œ™(๐‘“)๐”‰[๐‘‰]๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐œ๐‘‘๐‘“

โˆž

โˆ’โˆž

โŸฉ

= โŸจ๐‘ˆ๐œ , ๐”‰[๐”‰[๐‘‰]๐œ™๐‘“]โŸฉ = โŸจ๐”‰[๐‘ˆ], ๐”‰[๐‘‰]๐œ™๐‘“โŸฉ = โŸจ๐”‰[๐‘ˆ]๐”‰[๐‘‰], ๐œ™๐‘“โŸฉ

(5.9.3)

Quindi nel caso in esame risulta:

๐”‰[๐‘ˆ โˆ— ๐‘‰] = ๐”‰[๐‘ˆ] โ‹… ๐”‰[๐‘‰] (5.9.4)

Si perviene allo stesso risultato anche nel caso in cui ๐‘‰ รจ una di-

stribuzione regolare individuata da una funzione temperata ๐‘ฃ(๐‘ก) e ๐‘ˆ รจ

una distribuzione temperata. Si ha infatti:

โŸจ๐”‰[๐‘ˆ โˆ— ๐‘‰], ๐œ™๐‘“โŸฉ = โŸจ๐‘ˆ๐œ, โˆซ ๐‘ฃ(๐œ—)โˆซ ๐œ™(๐‘“)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“(๐œ+๐œ—)๐‘‘๐‘“๐‘‘โˆž

โˆ’โˆž

๐œ—โˆž

โˆ’โˆž

โŸฉ

= โŸจ๐‘ˆ๐œ , โˆซ ๐œ™(๐‘“)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐œ (โˆซ ๐‘ฃ(๐œ—)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐œ—๐‘‘๐œ—โˆž

โˆ’โˆž

)๐‘‘๐‘“โˆž

โˆ’โˆž

โŸฉ

= โŸจ๐‘ˆ๐œ , โˆซ ๐”‰[๐‘ฃ]๐œ™(๐‘“)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐œ๐‘‘๐‘“โˆž

โˆ’โˆž

โŸฉ = โŸจ๐‘ˆ๐œ , ๐”‰[๐”‰[๐‘ฃ]๐œ™(๐‘“)]โŸฉ

= โŸจ๐”‰[๐‘ˆ], ๐”‰[๐‘ฃ]๐œ™(๐‘“)โŸฉ = โŸจ๐”‰[๐‘ฃ] โ‹… ๐”‰[๐‘ˆ], ๐œ™(๐‘“)โŸฉ

(5.9.5)

Derivazione nel dominio del tempo e della frequenza

Se ๐‘‡ รจ una distribuzione temperata si puรฒ scrivere:

โŸจ๐”‰[๐‘‡(๐‘š)], ๐œ™๐‘“โŸฉ = โŸจ๐‘‡(๐‘š), ๐›ท๐‘กโŸฉ = โŸจ๐‘‡, (โˆ’1)๐‘š๐›ท๐‘ก

(๐‘š)โŸฉ

= โŸจ๐‘‡, ๐”‰[(๐‘—2๐œ‹๐‘“)๐‘š๐œ™(๐‘“)โŸฉ] = โŸจ๐”‰[๐‘‡], (๐‘—2๐œ‹๐‘“)๐‘š๐œ™(๐‘“)โŸฉ

= โŸจ(๐‘—2๐œ‹๐‘“)๐‘š๐”‰[๐‘‡], ๐œ™๐‘“โŸฉ

(5.9.6)

dalla quale discende:

๐”‰[๐‘‡(๐‘š)] = (๐‘—2๐œ‹๐‘“)๐‘š๐”‰[๐‘‡] (5.9.7)

Page 141: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 5 - Segnali a Potenza Finita - 129

In maniera analoga si puรฒ dimostrare:

๐”‰โˆ’1[๐‘‡(๐‘š)] = (โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“)๐‘š๐”‰โˆ’1[๐‘‡] (5.9.8)

La (5.9.8) puรฒ essere usata per valutare la trasformata di Fourier

di un segnale quando la sua derivata prima o le sue derivate successive

sono facilmente trasformabili. Occorre tuttavia procedere con cautela

nell'invertire le operazioni in essa indicate.

Se ๐‘ (๐‘ก) ammette limite finito per |๐‘ก| โ†’ โˆž e se รจ derivabile in senso

generalizzato, si puรฒ scrivere:

๐‘ (๐‘ก) = โˆซ ๐‘ โ€ฒ(๐œ)๐‘‘๐œ + ๐‘ (โˆ’โˆž)๐‘ก

โˆ’โˆž

= โˆซ ๐‘ โ€ฒ(๐œ)๐‘ข(๐‘ก โˆ’ ๐œ)๐‘‘๐œ + ๐‘ (โˆ’โˆž)โˆž

โˆ’โˆž

โ€‰โ€‰ = ๐‘ โ€ฒ โˆ— ๐‘ข + ๐‘ (โˆ’โˆž)

(5.9.9)

La trasformata di Fourier della distribuzione in S associata a ๐‘ (๐‘ก)

si puรฒ calcolare quindi, applicando la (5.9.4).

Tenendo conto della (5.8.17) si ha;

๐‘†(๐‘“) = ๐‘†๐ท(๐‘“) (1

2๐›ฟ(๐‘“) + Pf (

1

๐‘—2๐œ‹๐‘“)) + ๐‘ (โˆ’โˆž)๐›ฟ(๐‘“) (5.9.10)

avendo denotato con ๐‘†๐ท(๐‘“) la trasformata di Fourier di ๐‘ โ€ฒ(๐‘ก).

Si osservi che la (5.9.10) quindi ha senso quando ๐‘ โ€ฒ(๐‘ก) individua o

una distribuzione a supporto limitato o รจ una funzione temperata.

Poichรฉ nei casi citati ๐‘†๐ท(๐‘“) รจ una funzione continua si puรฒ ulte-

riormente scrivere:

๐‘†(๐‘“) =1

2๐‘†๐ท(0)๐›ฟ(๐‘“) + ๐‘†๐ท(๐‘“)Pf (

1

๐‘—2๐œ‹๐‘“) + ๐‘ (โˆ’โˆž)๐›ฟ(๐‘“) (5.9.11)

dalla quale, se ๐‘ โ€ฒ(๐‘ก) รจ trasformabile in senso ordinario, si deduce:

๐‘†(๐‘“) =1

2(๐‘ (โˆž) + ๐‘ (โˆ’โˆž))๐›ฟ(๐‘“) + ๐‘†๐ท(๐‘“) โ‹… ๐‘ƒ๐‘“ (

1

๐‘—2๐œ‹๐‘“) (5.9.12)

essendo:

๐‘†๐ท(0) = โˆซ ๐‘ โ€ฒ(๐œ)๐‘‘๐œโˆž

โˆ’โˆž

= ๐‘ (โˆž) โˆ’ ๐‘ (โˆ’โˆž) (5.9.13)

Traslazione nel dominio del tempo e della frequenza

Se ๐‘‡ รจ una distribuzione temperata, si ha:

Page 142: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

130 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

โŸจ๐”‰[๐‘‡๐‘กโˆ’๐‘ก0], ๐œ™๐‘“โŸฉ = โŸจ๐‘‡๐‘กโˆ’๐‘ก0 , ๐›ท๐‘กโŸฉ = โŸจ๐‘‡๐‘ก , ๐›ท๐‘ก+๐‘ก0โŸฉ = โŸจ๐‘‡, ๐‘’

โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก0๐›ท๐‘กโŸฉ

= โŸจ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก0๐”‰[๐‘‡], ๐œ™๐‘“โŸฉ (5.9.14)

e cioรจ:

๐”‰[๐‘‡๐‘กโˆ’๐‘ก0] = ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก0๐”‰[๐‘‡] (5.9.15)

Analogamente risulta:

๐”‰โˆ’1[๐‘‡๐‘กโˆ’๐‘ก0] = ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก0๐”‰โˆ’1[๐‘‡] (5.9.16)

Esempio 5.2

Derivando due volte, nel senso delle distribuzioni, l'impulso triangolare

โˆง (๐‘ก

๐‘‡) di durata ๐‘‡, si ha:

โˆงโ€ฒ (๐‘ก

๐‘‡) =

2

๐‘‡(โŠ“ (

๐‘ก + ๐‘‡/2

๐‘‡) โˆ’โŠ“ (

๐‘ก โˆ’ ๐‘‡/2

๐‘‡))

E

โˆงโ€ณ (๐‘ก

๐‘‡) =

2

๐‘‡(๐›ฟ (๐‘ก +

๐‘‡

2) โˆ’ 2๐›ฟ(๐‘ก) + ๐›ฟ (๐‘ก โˆ’

๐‘‡

2))

La trasformata di Fourier di โˆงโ€ณ (๐‘ก

๐‘‡) vale allora:

๐”‰ [โˆงโ€ณ (๐‘ก

๐‘‡)] =

2

๐‘‡(๐‘’โˆ’๐‘—๐œ‹๐‘“๐‘‡ โˆ’ 2 + ๐‘’๐‘—๐œ‹๐‘“๐‘‡) =

4

๐‘‡(cos(๐œ‹๐‘“๐‘‡) โˆ’ 1)

Applicando la (5.9.8) si deduce:

๐”‰[โˆงโ€ฒ (๐‘ก)] =4

๐‘‡

cos(๐œ‹๐‘“๐‘‡) โˆ’ 1

๐‘—2๐œ‹๐‘“

Unโ€™ulteriore applicazione della (5.9.8) conduce alla:

๐”‰ [โˆง (๐‘ก

๐‘‡)] =

4

๐‘‡

1 โˆ’ cos(๐œ‹๐‘“๐‘‡)

(2๐œ‹๐‘“)2=๐‘‡

2sinc2 (

๐‘“๐‘‡

2)

essendo โˆง (โˆž) =โˆง (โˆ’โˆž) = 0.

Esempio 5.3

Derivando successivamente l'impulso cosinusoidale definito dalla:

๐‘ (๐‘ก) = cos (๐œ‹๐‘ก

๐‘‡)โŠ“ (

๐‘ก

๐‘‡)

Si ha

๐‘ โ€ฒ(๐‘ก) = โˆ’๐œ‹

๐‘‡sin (

๐œ‹๐‘ก

๐‘‡)โŠ“ (

๐‘ก

๐‘‡)

e

Page 143: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 5 - Segnali a Potenza Finita - 131

๐‘ โ€ณ(๐‘ก) = โˆ’ (๐œ‹

๐‘‡)2

cos (๐œ‹๐‘ก

๐‘‡)โŠ“ (

๐‘ก

๐‘‡) +

๐œ‹

๐‘‡๐›ฟ (๐‘ก +

๐‘‡

2) โˆ’

๐œ‹

๐‘‡๐›ฟ (๐‘ก โˆ’

๐‘‡

2)

cioรจ:

๐‘ โ€ณ(๐‘ก) = โˆ’(๐œ‹

๐‘‡)2

๐‘ (๐‘ก) +๐œ‹

๐‘‡๐›ฟ (๐‘ก +

๐‘‡

2) โˆ’

๐œ‹

๐‘‡๐›ฟ (๐‘ก โˆ’

๐‘‡

2)

da cui trasformando:

๐”‰[๐‘ โ€ณ(๐‘ก)] = โˆ’(๐œ‹

๐‘‡)2

๐”‰[๐‘ (๐‘ก)] +๐œ‹

๐‘‡(๐‘’๐‘—๐œ‹๐‘“๐‘‡ โˆ’ ๐‘’โˆ’๐‘—๐œ‹๐‘“๐‘‡)

In definitiva si ha:

๐”‰[๐‘ (๐‘ก)] =

{

1

2๐œ‹๐‘‡

cos(๐œ‹๐‘“๐‘‡)

(1

2๐‘‡)2โˆ’ ๐‘“2

; |๐‘“| โ‰ 1

2๐‘‡

๐‘‡

2; |๐‘“| =

1

2๐‘‡

Esempio 5.4

La derivata del segnale ๐‘ (๐‘ก) riportato in

Fig.E 5.4 vale:

๐‘ โ€ฒ(๐‘ก) =2

๐‘‡โŠ“ (

๐‘ก

๐‘‡)

Quindi

๐‘†๐ท(๐‘“) = ๐”‰[๐‘ โ€ฒ(๐‘ก)] = 2sinc(๐‘“๐‘‡)

Essendo ๐‘†๐ท(0) = 2 e ๐‘ (โˆ’โˆž) = โˆ’1, risulta:

๐‘†(๐‘“) = 2sinc(๐‘“๐‘‡)Pf (1

๐‘—๐œ‹๐‘“)

Tabella 5.1

Trasformate di Fourier di alcune distribuzioni notevoli

๐”‰[๐›ฟ(๐‘ก)] = 1

๐”‰[๐›ฟ(๐‘ก โˆ’ ๐‘ก0)] = ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก0

๐”‰[1] = ๐›ฟ(๐‘“)

๐”‰[๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“0๐‘ก] = ๐›ฟ(๐‘“ โˆ’ ๐‘“0)

๐”‰[sgm(๐‘ก)] =1

๐‘—๐œ‹Pf (

1

๐‘“)

๐”‰[u(๐‘ก)] =1

2๐›ฟ(๐‘“) +

1

๐‘—2๐œ‹Pf (

1

๐‘“)

๐”‰[cos(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก)] =1

2[๐›ฟ(๐‘“ โˆ’ ๐‘“0) + ๐›ฟ(๐‘“ + ๐‘“0)]

Fig.E 5.4

Page 144: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

132 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

๐”‰[sin(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก)] =1

2๐‘—[๐›ฟ(๐‘“ โˆ’ ๐‘“0) โˆ’ ๐›ฟ(๐‘“ + ๐‘“0)]

๐”‰ [ โˆ‘ ๐‘†(๐‘›)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘ก

๐‘‡0

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

] =โˆ‘๐‘†(๐‘›)๐›ฟ (๐‘“ โˆ’๐‘›

๐‘‡0)

โˆž

โˆ’โˆž

Page 145: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 6

TRASFORMAZIONI LINEARI DEI SEGNALI

Definizioni. Proprietร  generali. 6.1 -

Un sistema di elaborazione dei segnali รจ un dispositivo che effettua

su uno o piรน segnali in ingresso un insieme di trasformazioni, come ad

esempio amplificazione, filtraggio, modulazione o rivelazione, trasmis-

sione, etc. Un tale dispositivo รจ normalmente rappresentato mediante un

blocco funzionale caratterizzato

da un segnale in ingresso ๐‘ฅ(๐‘ก) e

da un segnale in uscita ๐‘ฆ(๐‘ก) (ve-

di Fig. 6.1). La trasformazione

operata dal blocco รจ identificata da un operatore ๐‘† ed รจ simbolicamente

rappresentata dalla relazione:

๐‘ฆ(๐‘ก) = ๐‘†{๐‘ฅ(๐œ)}; ๐‘ก, ๐œ โˆˆ ๐ผ (6.1.1)

Se ๐ผ รจ un insieme continuo (limitato o illimitato) la trasformazione si di-

ce analogica; se ๐ผ รจ un insieme discreto (finito o numerabile) la trasfor-

mazione รจ detta numerica รจ anche possibile che il segnale in ingresso sia

a tempo continuo e quello di uscita a tempo discreto (ad es. conver-

titori analogico-digitali) o viceversa.

Il segnale in uscita al generico istante ๐‘ก, in generale, dipende dalla

forma dell'ingresso ๐‘ฅ(๐œ) per ๐œ < ๐‘ก (passato), ๐œ = ๐‘ก (presente) e ๐œ > ๐‘ก (fu-

turo). Quando ๐‘ฆ(๐‘ก) dipende solo dal valore assunto dallโ€™ingresso nello

stesso istante ๐‘ก, la trasformazione si dice priva di memoria.

La trasformazione รจ detta inoltre non anticipativa se ๐‘ฆ(๐‘ก) dipende

solo dal segnale in ingresso ๐‘ฅ(๐œ) per ๐œ โ‰ค ๐‘ก. In caso contrario essa si dirร 

anticipativa. Naturalmente se la trasformazione ๐‘† rappresentasse un si-

stema fisico la risposta non potrebbe esistere prima che la sollecitazione

fosse applicata all'ingresso (Principio di causalitร ); di conseguenza ogni

Fig. 6.1 - Trasformazione di segnali

Page 146: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

134 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

sistema fisicamente realizzabile รจ necessariamente non anticipativo. Tut-

tavia se l'elaborazione del segnale avvenisse in tempo virtuale a mezzo

ad esempio di un calcolatore nella cui memoria siano stati giร  stati inseri-

ti i dati ๐‘ฅ(๐‘ก), la condizione di causalitร  potrebbe essere rimossa.

Un'importante classificazione delle trasformazioni di segnali รจ ba-

sata sul concetto di linearitร .

Una trasformazione si dice lineare se ad ogni ingresso del tipo:

๐‘ฅ(๐œ) =โˆ‘๐‘Ž๐‘–๐‘ฅ๐‘–(๐œ);

๐‘

๐‘–=1

๐œ โˆˆ ๐ผ (6.1.2)

costituito cioรจ dalla combinazione lineare di ๐‘ segnali componenti, con

le ๐‘Ž๐‘– costanti reali o complesse non tutte nulle, fa corrispondere un'usci-

ta data dalla:

๐‘ฆ(๐‘ก) =โˆ‘๐‘Ž๐‘–๐‘†{๐‘ฅ๐‘–(๐œ)};

๐‘

๐‘–=1

๐‘ก, ๐œ โˆˆ ๐ผ (6.1.3)

Detto in altre parole, la trasformazione รจ lineare quando soddisfa

il principio di omogeneitร :

๐‘†{๐‘˜๐‘ฅ(๐œ)} = ๐‘˜๐‘†{๐‘ฅ(๐œ)}; ๐‘˜ โˆˆ โ„ (6.1.4)

e di additivitร :

๐‘†{๐‘ฅ1(๐œ) + ๐‘ฅ2(๐œ)} = ๐‘†{๐‘ฅ1(๐œ)} + ๐‘†{๐‘ฅ2(๐œ)} (6.1.5)

Una trasformazione infine si dice tempo invariante se detta ๐‘ฆ(๐‘ก) la

risposta all'ingresso ๐‘ฅ(๐œ), all'ingresso ๐‘ฅ(๐œ โˆ’ ๐œˆ) corrisponde l'uscita:

๐‘ฆ(๐‘ก โˆ’ ๐œˆ) = ๐‘†{๐‘ฅ(๐œ โˆ’ ๐œˆ)}; ๐‘ก, ๐œ,๐œˆ โˆˆ ๐ผ (6.1.6)

Ciรฒ equivale a dire che ad un ritardo nel segnale in ingresso corrisponde

un identico ritardo nel segnale in uscita.

Esempio 6.1

La trasformazione

๐‘ฆ(๐‘›๐‘‡) = ๐‘ฅ2(๐‘›๐‘‡)

รจ discreta, non lineare e priva di memoria.

Esempio 6.2

La trasformazione:

๐‘ฆ(๐‘ก) = ๐‘ก๐‘ฅ(๐‘ก)

Page 147: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 6- Trasformazioni Lineari dei Segnali - 135

รจ analogica, lineare, priva di memoria e tempo variante giacche รจ:

๐‘ก๐‘ฅ(๐‘ก โˆ’ ๐œ) โ‰  (๐‘ก โˆ’ ๐œ)๐‘ฅ(๐‘ก โˆ’ ๐œ)

Esempio 6.3

La trasformazione definita dalla seguente equazione differenziale:

๐‘ฆโ€ฒ(๐‘ก) + ๐›ผ๐‘ฆ(๐‘ก) = ๐‘ฅ(๐‘ก)

รจ lineare e tempo invariante.

Linearitร . Per gli ingressi ๐‘ฅ1(๐‘ก) e ๐‘ฅ2(๐‘ก) si ha:

๐‘ฆโ€ฒ1(๐‘ก) + ๐›ผ๐‘ฆ1(๐‘ก) = ๐‘ฅ1(๐‘ก)

๐‘ฆโ€ฒ2(๐‘ก) + ๐›ผ๐‘ฆ2(๐‘ก) = ๐‘ฅ2(๐‘ก)

da cui, sommando la prima della precedente moltiplicata per ๐‘Ž1 con la se-

conda moltiplicata per ๐‘Ž2, รจ:

[๐‘Ž1๐‘ฆโ€ฒ1(๐‘ก) + ๐‘Ž2๐‘ฆ

โ€ฒ2(๐‘ก)] + ๐›ผ[๐‘Ž1๐‘ฆ1(๐‘ก) + ๐‘Ž2๐‘ฆ2(๐‘ก)] = ๐‘Ž1๐‘ฅ1(๐‘ก) + ๐‘Ž2๐‘ฅ2(๐‘ก)

che mostra che la risposta del sistema allโ€™ingresso ๐‘Ž1๐‘ฅ1(๐‘ก) + ๐‘Ž2๐‘ฅ2(๐‘ก) รจ

๐‘Ž1๐‘ฆ1(๐‘ก) + ๐‘Ž2๐‘ฆ2(๐‘ก).

Tempo invarianza. Effettuando, nellโ€™equazione differenziale, la trasforma-

zione ๐‘ก โ†’ ๐‘ก โˆ’ ๐œ si ha:

๐‘ฆโ€ฒ(๐‘ก โˆ’ ๐œ) + ๐›ผ๐‘ฆ(๐‘ก โˆ’ ๐œ) = ๐‘ฅ(๐‘ก โˆ’ ๐œ)

che mostra che la risposta del sistema allโ€™ingresso ๐‘ฅ(๐‘ก โˆ’ ๐œ) รจ ๐‘ฆ(๐‘ก โˆ’ ๐œ).

Il sistema รจ anche dotato di memoria in quanto lโ€™uscita dipende dalla sto-

ria dellโ€™ingresso.

Studio nel dominio del tempo. 6.2 -

In quel che segue ci occuperemo delle trasformazioni lineari a

tempo continuo.

Per definire la forma della trasformazione ๐‘†, basta partire dall'i-

dentitร :

๐‘ฅ(๐‘ก) = โˆซ ๐‘ฅ(๐œ)๐›ฟ(๐‘ก โˆ’ ๐œ)๐‘‘๐œโˆž

โˆ’โˆž

(6.2.1)

Se la trasformazione ๐‘† รจ lineare, si ottiene:

๐‘ฆ(๐‘ก) = ๐‘†{๐‘ฅ(๐œ)} = ๐‘† {โˆซ ๐‘ฅ(๐œˆ)๐›ฟ(๐œ โˆ’ ๐œˆ)๐‘‘๐œˆโˆž

โˆ’โˆž

}

= โˆซ ๐‘ฅ(๐œˆ)๐‘†{๐›ฟ(๐œ โˆ’ ๐œˆ)}๐‘‘๐œˆโˆž

โˆ’โˆž

(6.2.2)

la quale, ponendo:

Page 148: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

136 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

โ„Ž(๐‘ก, ๐œˆ) = ๐‘†{๐›ฟ(๐œ โˆ’ ๐œˆ)} (6.2.3)

diventa:

๐‘ฆ(๐‘ก) = โˆซ ๐‘ฅ(๐œˆ)โ„Ž(๐‘ก, ๐œˆ)๐‘‘๐œˆโˆž

โˆ’โˆž

(6.2.4)

La โ„Ž(๐‘ก, ๐œˆ), definita dalla (6.2.3), corrisponde alla risposta del sistema os-

servata all'istante ๐‘ก ad un impulso di Dirac applicato all'istante ๐œˆ.

Nel linguaggio proprio delle trasformazioni lineari la funzione

โ„Ž(๐‘ก, ๐œˆ) costituisce il cosiddetto nucleo della trasformazione (6.2.4).

Esempio 6.4

Il sistema lineare:

๐‘ฆ(๐‘ก) = ๐‘ก๐‘ฅ(๐‘ก)

รจ caratterizzato dalla seguente risposta impulsiva

โ„Ž(๐‘ก, ๐œˆ) = ๐‘ก๐›ฟ(๐‘ก โˆ’ ๐œˆ)

Si osservi che il sistema in parola รจ tempovariante.

Nel caso in cui la trasformazione lineare รจ tempo invariante, la

(6.2.2) diviene:

โ„Ž(๐‘ก, ๐œˆ) = ๐‘†{๐›ฟ(๐œ โˆ’ ๐œˆ)} = โ„Ž(๐‘ก โˆ’ ๐œˆ) (6.2.5)

la precedente sta a significare che, nel caso di trasformazioni Li-

neari e Tempo Invarianti (LTI), la risposta impulsiva non dipende in

realtร  dalle due variabili ๐‘ก e ๐œˆ, ma dalla loro differenza essa sarร  cioรจ ri-

conducibile ad una funzione โ„Ž(๐‘ก) di una sola variabile. In sostanza ab-

biamo indicato con:

โ„Ž(๐‘ก) = ๐‘†{๐›ฟ(๐œ)} (6.2.6)

La funzione โ„Ž(๐‘ก) rappresenta cioรจ la risposta della trasformazione LTI

ad una delta di Dirac centrata nellโ€™origine dei tempi, essa รจ pertando

chiamata risposta impulsiva della trasformazione LTI. Sostituendo nella

(6.2.2) si ottiene:

๐‘ฆ(๐‘ก) = โˆซ ๐‘ฅ(๐œˆ)โ„Ž(๐‘ก โˆ’ ๐œˆ)๐‘‘๐œˆโˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ ๐‘ฅ(๐‘ก โˆ’ ๐œˆ)โ„Ž(๐œˆ)๐‘‘๐œˆโˆž

โˆ’โˆž

= ๐’™ โˆ— ๐’‰ (6.2.7)

cioรจ: il segnale in uscita da un sistema LTI si ottiene convolvendo il se-

gnale in ingresso con la risposta impulsiva del sistema.

Page 149: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 6- Trasformazioni Lineari dei Segnali - 137

Stabilitร  di un sistema lineare 6.3 -

Una trasformazione lineare รจ detta stabile se ad ogni ingresso li-

mitato corrisponde unโ€™uscita limitata (Stabilitร  BIBO: Bounded Input Boun-

ded Output). Cioรจ, con

|๐‘ฅ(๐‘ก)| < ๐‘€๐‘ฅ (6.3.1)

si deve avere

|๐‘ฆ(๐‘ก)| < ๐‘€๐‘ฆ (6.3.2)

Utilizzando la (6.2.4) si ha:

|๐‘ฆ(๐‘ก)| = |โˆซ ๐‘ฅ(๐œ)โ„Ž(๐‘ก, ๐œ)๐‘‘๐œโˆž

โˆ’โˆž

| โ‰ค ๐‘€๐‘ฅโˆซ |โ„Ž(๐‘ก, ๐œ)|๐‘‘๐œโˆž

โˆ’โˆž

โ‰ค ๐‘€๐‘ฆ (6.3.3)

che equivale a scrivere:

โˆซ |โ„Ž(๐‘ก, ๐œ)|๐‘‘๐œโˆž

โˆ’โˆž

< โˆž (6.3.4)

La precedente รจ dunque una condizione sufficiente alla stabilitร  BIBO di

una trasformazione lineare.

Se la trasformazione รจ anche tempo invariante la precedente di-

venta:

โˆซ |โ„Ž(๐‘ก โˆ’ ๐œ)|๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ |โ„Ž(๐‘ก)|๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

< โˆž (6.3.5)

รˆ da osservare che, nel caso di trasformazioni LTI, la condizione

(6.3.5) รจ anche necessaria.

Infatti, si supponga che sia โˆซ |โ„Ž(๐‘ก)|๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž= โˆž, cioรจ che la risposta

impulsiva non sia sommabile. Si scelga un ingresso del tipo

๐‘ฅ(๐‘ก) = sgm[โ„Ž(โˆ’๐‘ก)] (6.3.6)

Esso รจ manifestamente limitato, ma in corrispondenza ad esso lโ€™uscita,

calcolata in ๐‘ก = 0, sarebbe:

๐‘ฆ(0) = โˆซ ๐‘ฅ(๐œ)โ„Ž(๐‘ก โˆ’ ๐œ)๐‘‘๐œโˆž

โˆ’โˆž

|๐‘ก=0

= โˆซ sgm[โ„Ž(โˆ’๐œ)]โ„Ž(โˆ’๐œ)๐‘‘๐œโˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ |โ„Ž(๐‘ก)|๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

= โˆž

(6.3.7)

Quindi il sistema non sarebbe stabile in senso BIBO.

Page 150: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

138 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Risposta impulsiva di trasformazioni lineari prive di 6.4 - memoria

Se la risposta impulsiva della trasformazione รจ del tipo

โ„Ž(๐‘ก, ๐œ) = ๐œ™(๐‘ก)๐›ฟ(๐‘ก โˆ’ ๐œ) (6.4.1)

la risposta ad un ingresso ๐‘ฅ(๐‘ก) รจ data dalla:

๐‘ฆ(๐‘ก) = โˆซ ๐‘ฅ(๐œ)๐œ™(๐‘ก)๐›ฟ(๐‘ก โˆ’ ๐œ)๐‘‘๐œโˆž

โˆ’โˆž

= ๐œ™(๐‘ก)๐‘ฅ(๐‘ก) (6.4.2)

Ciรฒ equivale a dire che il sistema รจ privo di memoria perchรจ la risposta

dipende solo dallโ€™ingresso valutato allโ€™istante presente ๐‘ก. Se la trasforma-

zione รจ anche tempoinvariante, la condizione (6.4.1) si muta nella

โ„Ž(๐‘ก) = ๐‘˜๐›ฟ(๐‘ก).

Studio nel dominio della frequenza. 6.5 -

Lo studio delle trasformazioni lineari puรฒ essere condotto nel

dominio della frequenza in termini cioรจ delle trasformate di Fourier

๐‘‹(๐‘“) e ๐‘Œ(๐‘“),rispettivamente dei segnali dโ€™ingresso e di uscita. Nel do-

minio della frequenza, la (6.2.4) assume la forma:

๐‘Œ(๐‘“) = ๐”‰[๐‘ฆ(๐‘ก)] = ๐”‰ [โˆซ ๐‘ฅ(๐œˆ)โ„Ž(๐‘ก, ๐œˆ)๐‘‘๐œˆโˆž

โˆ’โˆž

]

= โˆซ [โˆซ (โˆซ ๐‘‹(๐œ‘)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐œ‘๐œˆ๐‘‘๐œ‘โˆž

โˆ’โˆž

) โ„Ž(๐‘ก, ๐œˆ)๐‘‘๐œˆ โˆž

โˆ’โˆž

] ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘กโˆ’โˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ ๐‘‹(๐œ‘) [โˆซ โˆซ โ„Ž(๐‘ก, ๐œˆ)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹(๐‘“๐‘กโˆ’๐œ‘๐œˆ)๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

๐‘‘๐œˆ โˆž

โˆ’โˆž

] ๐‘‘๐œ‘โˆ’โˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ ๐‘‹(๐œ‘)๐ป(๐‘“, โˆ’๐œ‘)๐‘‘๐œ‘โˆ’โˆž

โˆ’โˆž

(6.5.1)

Dove ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘“, ๐œ‘) รจ la trasformata di Fourier bidimensionale della โ„Ž(๐‘ก, ๐œˆ). La

(6.5.1) rappresenta la trasformazione duale.

Se la trasformazione รจ LTI, la relazione ingresso uscita รจ espressa

dallโ€™integrale di convoluzione (6.2.7), e la precedente diventa:

๐‘Œ(๐‘“) = ๐ป(๐‘“) โ‹… ๐‘‹(๐‘“) (6.5.2)

๐ป(๐‘“) definita dalla:

๐ป(๐‘“) = ๐”‰[โ„Ž(๐‘ก)] = โˆซ โ„Ž(๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

(6.5.3)

Page 151: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 6- Trasformazioni Lineari dei Segnali - 139

prende il nome di risposta in frequenza del sistema. La trasformazione dua-

le di un sistema LTI si riduce quindi al prodotto della ๐‘‹(๐‘“) per la rispo-

sta in frequenza del sistema.

La deduzione della (6.5.2) dalla (6.2.7) รจ immediata, รจ tuttavia in-

teressante, come utile esercizio, ottenerla anche introducendo lโ€™ipotesi di

tempo invarianza nella (6.5.1):

๐‘Œ(๐‘“) = ๐”‰ [โˆซ ๐‘ฅ(๐œˆ)โ„Ž(๐‘ก โˆ’ ๐œˆ)๐‘‘๐œˆโˆž

โˆ’โˆž

]

= โˆซ [โˆซ (โˆซ ๐‘‹(๐œ‘)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐œ‘๐œˆ๐‘‘๐œ‘โˆž

โˆ’โˆž

) โ„Ž(๐‘ก โˆ’ ๐œˆ)๐‘‘๐œˆ โˆž

โˆ’โˆž

] ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘กโˆ’โˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ ๐‘‹(๐œ‘) [โˆซ ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐œ‘๐œˆ (โˆซ โ„Ž(๐‘ก โˆ’ ๐œˆ)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

) ๐‘‘๐œˆโˆž

โˆ’โˆž

] ๐‘‘๐œ‘โˆ’โˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ ๐‘‹(๐œ‘) [โˆซ ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐œ‘๐œˆ(๐ป(๐‘“)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐œˆ) ๐‘‘๐œˆโˆž

โˆ’โˆž

] ๐‘‘๐œ‘โˆ’โˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ ๐‘‹(๐œ‘) [๐ป(๐‘“)โˆซ ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹(๐‘“โˆ’๐œ‘)๐œˆ ๐‘‘๐œˆโˆž

โˆ’โˆž

] ๐‘‘๐œ‘โˆ’โˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ ๐‘‹(๐œ‘)[๐ป(๐‘“)ฮด(๐‘“ โˆ’ ๐œ‘)]๐‘‘๐œ‘โˆ’โˆž

โˆ’โˆž

= ๐ป(๐‘“)๐‘‹(๐‘“)

(6.5.4)

In pratica dalla precedente si evince che il modulo della ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘“, โˆ’๐œ‘) di un

sistema LTI si presenta come una โ€œlamaโ€di delta di Dirac โ€œadagiateโ€ sul-

la bisettrice del piano (๐‘“, ๐œ‘) inviluppata da |๐ป(๐‘“)|.

Determinazione della risposta in frequenza di una 6.6 - trasformazione LTI.

Nel caso generale puรฒ risultare complicata la determinazione della

risposta in frequenza di un sistema lineare. Tuttavia nel caso di trasfor-

mazioni lineari e tempo invarianti il calcolo della ๐ป(๐‘“) risulta molto piรน

semplice. Infatti la risposta ad un ingresso del tipo:

๐‘ฅ0(๐‘ก) = ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“0๐‘ก (6.6.1)

vale:

๐‘ฆ0(๐‘ก) = โˆซ ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“0(๐‘กโˆ’๐œ)โ„Ž(๐œ)๐‘‘๐œโˆž

โˆ’โˆž

= ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“0๐‘กโˆซ โ„Ž(๐œ)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“0๐œ๐‘‘๐œโˆž

โˆ’โˆž

(6.6.2)

che, ricordando la (6.5.3), si scrive: ๐‘ฆ0(๐‘ก) = ๐ป(๐‘“0)๐‘’

๐‘—2๐œ‹๐‘“0๐‘ก (6.6.3)

Page 152: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

140 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Fig.E 6.1

Fig.E 6.2

Cioรจ, un sistema LTI sollecitato da un segnale del tipo ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“0๐‘ก ri-

sponde con un segnale che differisce da esso per unfattore moltipicativo

complesso coincidente con il valore, ๐ป(๐‘“0), della risposta in frequenza

alla frequenza ๐‘“0

Esempio 6.5

Si determini la risposta in frequenza del sistema definito dalla seguente

equazione differenziale:

๐‘ฆโ€ฒ(๐‘ก) + ๐›ผ๐‘ฆ(๐‘ก) = ๐‘ฅ(๐‘ก)

Ponendo:

๐‘ฅ0(๐‘ก) = ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก

๐‘ฆ0(๐‘ก) = ๐ป(๐‘“)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก

si ottiene:

๐‘—2๐œ‹๐‘“๐ป(๐‘“)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก + ๐›ผ๐ป(๐‘“)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก = ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก

dalla quale si deduce:

๐ป(๐‘“) =1

๐›ผ + ๐‘—2๐œ‹๐‘“

Esempio 6.6

Si determini la risposta in frequenza del

filtro RC passa basso rappresentato in Fig.E

6.1dove ๐‘ฅ(๐‘ก) e ๐‘ฆ(๐‘ก) denotato le tensioni applicate ai morsetti di ingresso e di

uscita rispettivamente.

L'equazione differenziale della rete รจ

๐‘…๐ถ๐‘ฆโ€ฒ(๐‘ก) + ๐‘ฆ(๐‘ก) = ๐‘ฅ(๐‘ก)

Ponendo:

๐‘ฅ(๐‘ก) โ‰ก ๐‘ฅ0(๐‘ก) = ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰๐‘ฆ(๐‘ก) โ‰ก ๐‘ฆ0(๐‘ก) = ๐ป(๐‘“)๐‘’

๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก

si ha:

๐ป(๐‘“) =1

1 + ๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘…๐ถ

E' da osservare che quanto detto equivale a determinare la risposta del si-

stema nel regime sinusoidale permanente; ciรฒ puรฒ essere fatto direttamente

sulla base dello schema di Fig.E 6.2 dove al condensatore ๐ถ si รจ sostituita

lโ€™impedenza 1

๐‘—2๐œ‹๐‘“๐ถ. Dalla Fig.E 6.2 si deduce infatti:

๐‘Œ(๐‘“) = ๐‘‹(๐‘“)1

๐‘—2๐œ‹๐‘“๐ถ

1

๐‘… +1

๐‘—2๐œ‹๐‘“๐ถ

Page 153: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 6- Trasformazioni Lineari dei Segnali - 141

Fig.E 6.3

Il modulo della ๐ป(๐‘“) vale:

|๐ป(๐‘“)| =1

โˆš1 + (2๐œ‹๐‘“๐‘…๐ถ)2

ed il suo argomento:

๐œ—(๐‘“) = โˆ’arctang(2๐œ‹๐‘“๐‘…๐ถ)

Come si evince dallaFig.E 6.3, che riporta gli andamenti di |๐ป(๐‘“)| e di

๐œ—(๐‘“) in funzione della frequenza, il sistema presenta un comportamento del

tipo "passa-basso".

Esempio 6.7

Si determini la risposta impulsiva

del sistema lineare e tempo invariante

caratterizzato dalla seguente equazione

differenziale:

๐‘ฆโ€ณ(๐‘ก) + ๐‘ฆโ€ฒ(๐‘ก) + ๐‘ฆ(๐‘ก) = ๐‘ฅ(๐‘ก)

Metodo diretto

La risposta impulsiva si ottiene dalla so-

luzione dellโ€™equazione

(a) โ„Žโ€ณ(๐‘ก) + โ„Žโ€ฒ(๐‘ก) + โ„Ž(๐‘ก) = ๐›ฟ(๐‘ก)

Poichรฉ lโ€™impulso di Dirac รจ identica-

mente nullo per ๐‘ก โ‰  0, la risposta impulsiva

puรฒ essere considerata come una risposta

con ingresso zero partendo dallโ€™istante ๐‘ก = 0+.

Questo comporta che, dette ๐›ผ e ๐›ฝ le soluzioni dellโ€™equazione caratteristi-

ca:

๐‘ 2 + ๐‘  + 1 = 0

cioรจ

{

๐›ผ = โˆ’

1

2โˆ’ ๐‘—

โˆš3

2

๐›ฝ = โˆ’1

2+ ๐‘—

โˆš3

2

la soluzione con ingresso zero รจ del tipo:

(b) โ„Ž(๐‘ก) = ๐‘˜1๐‘’๐›ผ๐‘ก + ๐‘˜2๐‘’

๐›ฝ๐‘ก = ๐‘˜1๐‘’(โˆ’1

2+๐‘—

โˆš3

2)๐‘ก + ๐‘˜2๐‘’

(โˆ’1

2โˆ’๐‘—

โˆš3

2)๐‘ก

dove le costanti ๐‘˜1 e ๐‘˜2 dipendono dalle condizioni iniziali a ๐‘ก = 0+ dovute

allโ€™impulso di Dirac. A tale proposito si integri lโ€™equazione (a) da ๐‘ก = 0โˆ’a

๐‘ก = 0+. Si ha:

(c) โ„Žโ€ฒ(0+) + โ„Ž(0+) + โˆซ โ„Ž(๐‘ก)๐‘‘๐‘ก0+

0โˆ’= 1

essendo manifestamente โ„Žโ€ฒ(0โˆ’) = 0; โ„Ž(0โˆ’) = 0; โˆซ ๐›ฟ(๐‘ก)๐‘‘๐‘ก0+

0โˆ’= 1.

Page 154: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

142 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

La risposta impulsiva non puรฒ avere discontinuitร  in ๐‘ก = 0, perchรจ se co-

sรฌ fosse sostituendo nella (a) a primo membro comparirebbe la derivata della

distribuzione delta di Dirac che non รจ compare nel secondo membro quindi

la (a) non potrebbe essere soddisfatta. Pertano:

โˆซ โ„Ž(๐‘ก)๐‘‘๐‘ก0+

0โˆ’= 0

che comporta

(d) โ„Ž(0+) = 0

e quindi dalla (c) si ottiene:

(e) hโ€ฒ(0+) = 1

Le (d) e (e) costituiscono le condizioni iniziali da imporre alla (b). Si pervie-

ne cosรฌ alla seguente espressione:

โ„Ž(๐‘ก) = (๐‘—

โˆš3๐‘’โˆ’

1

2๐‘กโˆ’๐‘—

โˆš3

2๐‘ก โˆ’

๐‘—

โˆš3๐‘’โˆ’

1

2๐‘ก+๐‘—

โˆš3

2๐‘ก) u(๐‘ก) =

2

โˆš3๐‘’โˆ’

1

2๐‘กsin (

โˆš3

2๐‘ก)u(๐‘ก)

Allo stesso risultato si puรฒ pervenire ricavando la risposta in frequenza,

la risposta impulsiva puรฒ essere cioรจ determinata come trasformata in-

versa di Fourier della risposta in frequenza. A tal proposito ponendo:

๐‘ฅ0(๐‘ก) = ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก

si ottiene:

(๐‘—2๐œ‹๐‘“)2๐ป(๐‘“)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก + (๐‘—2๐œ‹๐‘“)๐ป(๐‘“)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก + ๐ป(๐‘“)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก = ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก

da cui:

๐ป(๐‘“) =1

(๐‘—2๐œ‹๐‘“)2 + (๐‘—2๐œ‹๐‘“) + 1

che, ponendo adesso ๐‘ = ๐‘—2๐œ‹๐‘“, diventa:

๐ป(๐‘) =1

๐‘2 + ๐‘ + 1=

1

(๐‘ +1

2โˆ’ ๐‘—

โˆš3

2)(๐‘ +

1

2+ ๐‘—

โˆš3

2)

Espandendo la funzione ๐ป(๐‘), cosรฌ ottenuta, in fratti semplici, si ottiene:

๐ป(๐‘) =๐ด

๐‘ +1

2โˆ’ ๐‘—

โˆš3

2

+๐ต

๐‘ +1

2+ ๐‘—

โˆš3

2

dove i coefficienti ๐ดe ๐ต valgono:

๐ด = [1

๐‘ +1

2+ ๐‘—

โˆš3

2

]

๐‘=โˆ’1

2+๐‘—

โˆš3

2

= โˆ’๐‘—1

โˆš3; ๐ต = [

1

๐‘ +1

2โˆ’ ๐‘—

โˆš3

2

]

๐‘=โˆ’1

2โˆ’๐‘—

โˆš3

2

= ๐‘—1

โˆš3

Si ottiene allora:

Page 155: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 6- Trasformazioni Lineari dei Segnali - 143

Fig. 6.2 โ€“ Risposta di un sistema

di trasmissione senza di-

storsione

Fig. 6.3 - Risposta in fre-quenza di un sistema senza distorsione

๐ป(๐‘“) =1

โˆš3

1

๐‘—2๐œ‹๐‘“ +1

2+ ๐‘—

โˆš3

2

โˆ’ ๐‘—1

โˆš3

1

๐‘—2๐œ‹๐‘“ +1

2โˆ’ ๐‘—

โˆš3

2

la cui antitrasformata coincide con la risposta impulsiva precedentemente

determinata.

Trasmissione senza distorsione. Filtri ideali. 6.7 -

Un sistema di trasmissione si defi-

nisce senza distorsione quando il segnale

in uscita รจ proporzionale a quello in in-

gresso seppur ritardato di una quantitร  ๐‘‡.

(Fig. 6.2). Per un sistema senza distorsione

si ha quindi:

๐‘ฆ(๐‘ก) = โ„Ž0๐‘ฅ(๐‘ก โˆ’ ๐‘‡) (6.7.1)

dove la costante โ„Ž0 rappresenta il guada-

gno (โ„Ž0 > 1) o lโ€™attenuazione (0 < โ„Ž0 < 1) del sistema.

Trasformando secondo Fourier ambo i

membri della (6.7.1) si ottiene:

๐‘Œ(๐‘“) = โ„Ž0๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘‡๐‘‹(๐‘“) (6.7.2)

dalla quale si deduce:

๐ป(๐‘“) = โ„Ž0๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘‡ (6.7.3)

In un sistema di trasmissione senza di-

storsione lโ€™ampiezza della ๐ป(๐‘“) รจ costante

mentre il suo argomento risulta proporzionale alla frequenza come รจ

mostrato in Fig. 6.3.

Un sistema di trasmissione che non introduce distorsioni entro

una certa banda (finita) di frequenza ma non permette, al di fuori di es-

sa, la trasmissione del segnale, costituisce un filtro ideale. A seconda del-

la dislocazione della banda i filtri ideali si distinguono in filtri passa-basso e

filtri passa-banda.

La risposta in frequenza per un filtro passa-basso ideale di banda

๐‘“๐‘š, che introduce un ritardo ๐‘‡ ed unโ€™attenuazione โ„Ž0 รจ:

๐ป(๐‘“) = โ„Ž0โŠ“ (๐‘“

2๐‘“๐‘š) ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘‡ (6.7.4)

Page 156: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

144 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Fig. 6.4 - Risposte in frequenza di un filtro ideale: a) passa-basso, b) passa-banda

vedi Fig. 6.4 a), la risposta in frequenza di un filtro passabanda ideale

centrato alla frequenza ๐‘“0 con banda ๐ต ritardo ๐‘‡ ed attenuazione โ„Ž0 vale

๐ป(๐‘“) = โ„Ž0 (โŠ“ (๐‘“ โˆ’ ๐‘“0๐ต

) +โŠ“ (๐‘“ + ๐‘“0๐ต

)) ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘‡ (6.7.5)

vedi Fig. 6.4 b)

Le corrispondenti risposte impulsive valgono:

a) filtro passa-basso:

โ„Ž(๐‘ก) = 2โ„Ž0๐‘“๐‘šsinc[2๐‘“๐‘š(๐‘ก โˆ’ ๐‘‡)] (6.7.6)

b) filtro passa-banda:

โ„Ž(๐‘ก) = 2โ„Ž0๐ต cos[2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก โˆ’ ๐‘‡)] sinc[๐ต(๐‘ก โˆ’ ๐‘‡)] (6.7.7)

rappresentano lโ€™ampiezza di banda e la fre-

quenza centrale del filtro.

Come si deduce dalle (6.7.6) e (6.7.7),

risulta โ„Ž(๐‘ก) โ‰  0 per ๐‘ก < 0 quindi il principio

di causalitร  รจ violato, pertanto tali filtri non

sono fisicamente realizzabili, la loro risposta

impulsiva puรฒ comunque essere approssia-

mata introducendo un ritardo temporale,

ovvero se si accetta di avere una risposta in

frequenza che rientri in una prefissata ma-

schera di tolleranza ad esempio rispetto alle

piattezza in banda o alla ripiditร  dei fronti di

discesa al di fuori di essa.

Page 157: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 7

CARATTERIZZAZIONE ENERGETICA DEI SEGNALI

Segnali a energia finita

Densitร  spettrale di energia. 7.1 - Lโ€™energia specifica ๐ธ associata al segnale ๐’” vale:

๐ธ = โˆซ |๐‘ (๐‘ก)|2๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ ๐‘ (๐‘ก)๐‘ โˆ—(๐‘ก)๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

(7.1.1)

dove ๐‘ (๐‘ก) รจ una qualsiasi rappresentazione del segnale ๐’”.

Esprimendo ๐‘ (๐‘ก) in termini della sua trasformata di Fourier, si ha:

๐ธ = โˆซ ๐‘ โˆ—(๐‘ก) (โˆซ ๐‘†(๐‘“)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘“โˆž

โˆ’โˆž

)๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

โ€‰โ€‰

= โˆซ ๐‘†(๐‘“) (โˆซ ๐‘ (๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

)

โˆ—

๐‘‘๐‘“โˆž

โˆ’โˆž

โ€‰ = โˆซ ๐‘†(๐‘“)โˆž

โˆ’โˆž

๐‘†โˆ—(๐‘“)๐‘‘๐‘“

= โˆซ |๐‘†(๐‘“)|2โˆž

โˆ’โˆž

๐‘‘๐‘“

(7.1.2)

Lโ€™energia specifica di un segnale si puรฒ quindi calcolare integrando il

quadrato del modulo della sua trasformata di Fourier (Teorema di Parseval 9).

Se il segnale รจ reale il modulo della sua trasformata di Fourier รจ

pari per cui la (7.1.2) si puรฒ scrivere:

๐ธ = 2โˆซ |๐‘†(๐‘“)|2๐‘‘๐‘“โˆž

0

(7.1.3)

Da quest'ultima si evince che la porzione ๐‘‘๐ธ di energia specifica

associata al pacchetto di componenti armoniche del segnale le cui fre-

quenze cadono nellโ€™intervallo (๐‘“, ๐‘“ + ๐‘‘๐‘“) รจ data da 2|๐‘†(๐‘“)|2๐‘‘๐‘“; ciรฒ si-

9 Il Teorema di Parseval รจ stato giร  provato in modo formalmente piรน corretto nel CAPITOLO -

4. In tutto questo capitolo si รจ preferito sacrificare il rigore formale a vantaggio di una piรน im-

mediata interpretazione dei risultati.

Page 158: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

146 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

gnifica che la funzione |๐‘†(๐‘“)|2 รจ proporzionale al rapporto ๐‘‘๐ธ

๐‘‘๐‘“, e pertan-

to assume il significato di densitร  di energia.

Piรน in generale, si definisce densitร  spettrale di energia di un segnale la

quantitร :

๐‘Š(๐‘“) = |๐‘†(๐‘“)|2 (7.1.4)

Essa รจ una funzione reale e non negativa di ๐‘“:

๐‘Š(๐‘“) โ‰ฅ 0 (7.1.5)

e tale che il suo integrale risulta pari a ๐ธ:

๐ธ = โˆซ ๐‘Š(๐‘“)๐‘‘๐‘“โˆž

โˆ’โˆž

(7.1.6)

Nel caso di segnali reali, dalla condizione di simmetria hermitiana

๐‘†(โˆ’๐‘“) = ๐‘†โˆ—(๐‘“), discende:

๐‘Š(โˆ’๐‘“) = ๐‘Š(๐‘“) (7.1.7)

La densitร  spettrale di energia di un segnale reale รจ quindi una

funzione reale e pari di ๐‘“.

Le considerazioni svolte possono essere estese al caso di due se-

gnali distinti ๐’”1 e ๐’”2. In tal caso, si introducono le energie specifiche in-

crociate, o mutue, ๐ธ12 e ๐ธ21 definite dalle:

๐ธ12 = โˆซ ๐‘ 1(๐‘ก)๐‘ 2โˆ—(๐‘ก)๐‘‘๐‘ก;

โˆž

โˆ’โˆž

๐ธ21 = โˆซ ๐‘ 2(๐‘ก)๐‘ 1โˆ—(๐‘ก)(๐‘ก)๐‘‘๐‘ก;

โˆž

โˆ’โˆž

(7.1.8)

Si osservi che le precedenti esprimono anche i prodotti scalari

โŸจ๐’”1, ๐’”2โŸฉ e โŸจ๐’”2, ๐’”1โŸฉ tra i segnali; cosicchรฉ la condizione di ortogonalitร  di

detti segnali si traduce nella:

๐ธ12 = ๐ธ21 = 0 (7.1.9)

Le energie incrociate sono quantitร , in generale, complesse e ri-

sulta:

๐ธ12 = ๐ธ21โˆ— (7.1.10)

Facendo uso della disuguaglianza di Schwarz, si ottiene:

|๐ธ12| โ‰ค โˆš๐ธ1 โ‹… โˆš๐ธ2, |๐ธ21| โ‰ค โˆš๐ธ1 โ‹… โˆš๐ธ2 (7.1.11)

Page 159: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 7 - Caratterizzazione Energetica dei Segnali - 147

o anche:

๐ธ12๐ธ21 โ‰ค ๐ธ1๐ธ2 (7.1.12)

essendo ๐ธ1 ed ๐ธ2 le energie specifiche associate a ๐’”1 e ๐’”2 rispettivamen-

te.

Se i segnali sono reali le quantitร  ๐ธ12 e ๐ธ21 sono anch'esse reali; in

tal caso si ha:

๐ธ12 = ๐ธ21 = โˆซ ๐‘ 1(๐‘ก)๐‘ 2(๐‘ก)๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

(7.1.13)

Denotando con ๐‘†1(๐‘“) e ๐‘†2(๐‘“) le trasformate di Fourier di ๐‘ 1(๐‘ก) e

๐‘ 2(๐‘ก) rispettivamente, dalle (7.1.8) discende:

๐ธ12 = โˆซ ๐‘ 1(๐‘ก) (โˆซ ๐‘†2โˆ—(โˆ’๐‘“)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘“

โˆž

โˆ’โˆž

)โˆž

โˆ’โˆž

๐‘‘๐‘ก

= โˆซ ๐‘†2โˆ—(โˆ’๐‘“) (โˆซ ๐‘ 1(๐‘ก)๐‘’

๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

)โˆž

โˆ’โˆž

๐‘‘๐‘“

= โˆซ ๐‘†1(โˆ’๐‘“)๐‘†2โˆ—(โˆ’๐‘“)๐‘‘๐‘“

โˆž

โˆ’โˆž

(7.1.14)

che con un cambiamento di variabile puรฒ ancora scriversi:

๐ธ12 = โˆซ ๐‘†1(๐‘“)๐‘†2โˆ—(๐‘“)๐‘‘๐‘“

โˆž

โˆ’โˆž

= โŸจ๐‘ 1, ๐‘ 2โŸฉ (7.1.15)

Analogamente si ha:

๐ธ21 = โˆซ ๐‘†2(๐‘“)๐‘†1โˆ—(๐‘“)๐‘‘๐‘“

โˆž

โˆ’โˆž

= โŸจ๐‘ 2, ๐‘ 1โŸฉ (7.1.16)

Queste ultime costituiscono la forma piรน generale del Teorema di Par-

seval.

Introducendo le densitร  spettrali di energia incrociate, o mutue:

๐‘Š12(๐‘“) = ๐‘†1(๐‘“) โ‹… ๐‘†2โˆ—(๐‘“); ๐‘Š21(๐‘“) = ๐‘†2(๐‘“) โ‹… ๐‘†1

โˆ—(๐‘“); (7.1.17)

le (7.1.15) e (7.1.16) divengono rispettivamente:

๐ธ12 = โˆซ ๐‘Š12(๐‘“)๐‘‘๐‘“โˆž

โˆ’โˆž

; ๐ธ21 = โˆซ ๐‘Š21(๐‘“)๐‘‘๐‘“โˆž

โˆ’โˆž

; (7.1.18)

Le densitร  spettrali incrociate sono, in generale, complesse e risul-

ta:

Page 160: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

148 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

๐‘Š12(๐‘“) = ๐‘Š21โˆ— (๐‘“); (7.1.19)

Tuttavia, se i segnali sono reali, la precedente, in virtรน della sim-

metria hermitiana, si semplifica nella:

๐‘Š12(๐‘“) = ๐‘Š21(โˆ’๐‘“) (7.1.20)

Esempio 7.1

Si considerino i due segnali:

๐‘ 1(๐‘ก) =โŠ“ (๐‘ก

๐‘‡)

๐‘ 2(๐‘ก) = u(๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘ก

๐‘‡0

Essi sono segnali a energia fini-

ta poichรฉ risulta:

๐ธ1 = ๐‘‡;๐ธ2 =๐‘‡02;

La loro energia incrociata vale:

๐ธ12 = ๐ธ21 = โˆซ ๐‘’โˆ’๐‘ก/๐‘‡0๐‘‘๐‘ก

๐‘‡

2

0

= ๐‘‡0 (1 โˆ’ ๐‘’โˆ’

๐‘‡

2๐‘‡0)

Lโ€™energia normalizzata vale:

๐œŒ =๐ธ12

โˆš๐ธ1๐ธ2= โˆš

2๐‘‡0๐‘‡(1 โˆ’ ๐‘’

โˆ’๐‘‡

2๐‘‡0)

e risulta manifestamente |๐œŒ| โ‰ค 1 in accordo con la condizione (7.1.12). In

Fig.E 7.1 รจ riportato lโ€™andamento di ๐œŒ al variare di ๐‘‡ 2๐‘‡0โ„ . Il suo valore mas-

simo si ottiene quando รจ verificata la condizione:

๐‘’โˆ’

๐‘‡

2๐‘‡0 =1

1 +๐‘‡

๐‘‡0

Il massimo di ๐œŒ si raggiunge per ๐‘‡ 2๐‘‡0โ„ โ‰ˆ 1,256 e vale 0,638.

Esempio 7.2

Per il segnale:

๐‘ (๐‘ก) = u(๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘Ž๐‘ก; ๐‘Ž > 0

si calcoli il contributo all'energia specifica dovuto alla parte del suo spettro

compresa nell'intervallo di frequenze [โˆ’๐‘Ž

2๐œ‹,๐‘Ž

2๐œ‹].

Tenendo conto dei risultati dellโ€™Esempio 7.1, la densitร  spettrale di ๐‘ (๐‘ก)

vale:

Fig.E 7.1

Page 161: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 7 - Caratterizzazione Energetica dei Segnali - 149

๐‘Š(๐‘“) =1

๐‘Ž2 + (2๐œ‹๐‘“)2

Pertanto si ha:

๐ธ๐‘Ž = โˆซ๐‘‘๐‘“

๐‘Ž2 + (2๐œ‹๐‘“)2

๐‘Ž

2๐œ‹

โˆ’๐‘Ž

2๐œ‹

=1

2๐œ‹๐‘Žโˆซ

๐‘‘๐‘ฅ

1 + ๐‘ฅ2

1

โˆ’1

=1

4๐‘Ž

Esempio 7.3

Sia ๐’” un segnale ottenuto sommando sue segnali ๐’”1 e ๐’”2 a energia finita:

๐’” = ๐’”1 + ๐’”2

Dette ๐‘†1(๐‘“) e ๐‘†1(๐‘“) le trasformate di Fourier di ๐’”1 e ๐’”2 rispettivamente, la

densitร  spettrale di potenza di ๐’” vale:

๐‘Š(๐‘“) = ๐‘†(๐‘“) โ‹… ๐‘†โˆ—(๐‘“) = [๐‘†1(๐‘“) + ๐‘†2(๐‘“)] โ‹… [๐‘†1โˆ—(๐‘“) + ๐‘†2

โˆ—(๐‘“)]

= ๐‘†1(๐‘“) โ‹… ๐‘†1โˆ—(๐‘“) + ๐‘†1(๐‘“) โ‹… ๐‘†2

โˆ—(๐‘“) + ๐‘†2(๐‘“) โ‹… ๐‘†1โˆ—(๐‘“) + ๐‘†2(๐‘“) โ‹… ๐‘†2

โˆ—(๐‘“)

la quale, denotando con ๐‘Š1(๐‘“) e ๐‘Š2(๐‘“) le densitร  spettrali di energia asso-

ciate a ๐’”1 e ๐’”2 e con ๐‘Š12(๐‘“) e ๐‘Š21(๐‘“) le corrispondenti densitร  spettrali di

energia incrociate, si puรฒ riscrivere:

๐‘Š(๐‘“) = ๐‘Š1(๐‘“) +๐‘Š12(๐‘“) +๐‘Š21(๐‘“) +๐‘Š2(๐‘“)

Per caratterizzare completamente dal punto di vista energetico la somma

di due segnali occorre definire pertanto quattro densitร  spettrali che possono

essere disposte nella seguente matrice:

๐‘พ(๐‘“) = [๐‘Š1(๐‘“) ๐‘Š12(๐‘“)๐‘Š21(๐‘“) ๐‘Š2(๐‘“)

]

che costituisce la matrice delle densitร  spettrali. Essa รจ una matrice hermi-

tiana giacchรฉ gli elementi della diagonale secondaria risultano complessi co-

niugati.

Funzione di autocorrelazione. 7.2 -

Dato un segnale ๐’” a energia finita, la funzione a valori general-

mente complessi

๐›พ(๐œ) = โˆซ ๐‘ (๐‘ก + ๐œ)๐‘ โˆ—(๐‘ก)๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

(7.2.1)

costituisce la funzione di autocorrelazione ad esso associata. Se il segnale รจ

reale la sua autocorrelazione รจ anch'essa reale.

Ponendo nella (7.2.1) ๐œ = 0 si ottiene:

Page 162: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

150 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

๐›พ(0) = โˆซ |๐‘ (๐‘ก)|2๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

(7.2.2)

Pertanto la funzione di autocorrelazione valutata nellโ€™origine eguaglia

lโ€™energia specifica del segnale.

Effettuando la trasformazione ๐œ โ†’ โˆ’๐œ, nella (7.2.1) si ottiene:

๐›พ(โˆ’๐œ) = โˆซ ๐‘ (๐‘ก โˆ’ ๐œ)๐‘ โˆ—(๐‘ก)๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

(7.2.3)

che, con la ulteriore sostituzione ๐‘ก โˆ’ ๐œ = ๐œ—, diviene:

๐›พ(โˆ’๐œ) = โˆซ ๐‘ (๐œ—)๐‘ โˆ—(๐œ— + ๐œ)๐‘‘๐œ—โˆž

โˆ’โˆž

= [โˆซ ๐‘ (๐œ— + ๐œ)๐‘ โˆ—(๐œ—)๐‘‘๐œ—โˆž

โˆ’โˆž

]

โˆ—

(7.2.4)

Dal confronto con la (7.2.1), discende:

๐›พโˆ—(๐œ) = ๐›พ(โˆ’๐œ) (7.2.5)

Quindi lโ€™autocorrelazione di un segnale รจ una funzione a simmetria

hermitiana.

Applicando la disuguaglianza di Schwarz alla (7.2.1) si ottiene:

|โˆซ ๐‘ (๐‘ก + ๐œ)๐‘ โˆ—(๐‘ก)๐‘‘๐‘ก

โˆž

โˆ’โˆž

|

2

โ‰ค โˆซ |๐‘ (๐‘ก + ๐œ)|2๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

โˆซ |๐‘ (๐‘ก)|2๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

= ๐›พ2(0)

(7.2.6)

da cui si evince:

|๐›พ(๐œ)| โ‰ค ๐›พ(0) (7.2.7)

Se il segnale รจ reale, la (7.2.5) diventa:

๐›พ(โˆ’๐œ) = ๐›พ(๐œ) (7.2.8)

cioรจ, la funzione di autocorrelazione di un segnale reale ha simmetria pa-

ri. La (7.2.7) inoltre assicura che la ๐›พ(๐œ) raggiunge il suo valore massimo

๐›พ(0) nell'origine.

La conoscenza della funzione di autocorrelazione fornisce inte-

ressanti informazioni riguardo l'andamento del segnale nel dominio del

tempo.

A tal fine si consideri, per semplicitร , un segnale reale e si prenda

in esame il seguente integrale:

Page 163: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 7 - Caratterizzazione Energetica dei Segnali - 151

๐‘‘2(๐œ) = โˆซ [๐‘ (๐‘ก) โˆ’ ๐‘ (๐‘ก + ๐œ)]2๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

(7.2.9)

che rappresenta il quadrato del-

la distanza euclidea fra il segna-

le ๐‘ (๐‘ก) e la sua versione antici-

pata di ๐œ. รˆ ovvio che, se ๐‘ (๐‘ก)

varia molto lentamente nel

tempo, l'integrando si manterrร 

piccolo, almeno per valori di ๐œ

non troppo elevati. Viceversa,

ci si dovrebbero attendere valo-

ri elevati di [๐‘ (๐‘ก) โˆ’ ๐‘ (๐‘ก + ๐œ)]2,

quando il segnale varia rapida-

mente nel tempo. Sviluppando la (7.2.9) si ha:

๐‘‘2(๐œ)

= โˆซ ๐‘ 2(๐‘ก)๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

โˆ’ 2โˆซ ๐‘ (๐‘ก)๐‘ (๐‘ก + ๐œ)๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

+โˆซ ๐‘ 2(๐‘ก + ๐œ)๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

(7.2.10)

che, utilizzando la funzione di autocorrelazione si puรฒ riscrivere:

๐‘‘2(๐œ) = 2[๐›พ(0) โˆ’ ๐›พ(๐œ)] (7.2.11)

Si puรฒ quindi concludere che, tanto piรน rapide sono le variazioni

del segnale nel tempo, tanto piรน rapidamente decresce la funzione di au-

tocorrelazione e viceversa.

Osservando la Fig. 7.1, ad esempio, si nota che la curva a) rappre-

senta l'autocorrelazione di un segnale che varia nel tempo piรน lentamen-

te del segnale cui รจ associata l'autocorrelazione rappresentata dalla curva

b).

Esempio 7.4

La funzione di autocorrelazione della derivata di un segnale รจ data dalla:

๐›พ๐‘ โ€ฒ๐‘ โ€ฒ(๐œ) = โˆซ ๐‘ โ€ฒ(๐‘ก + ๐œ)๐‘ โ€ฒโˆ—(๐‘ก)๐‘‘๐‘ก

โˆž

โˆ’โˆž

Essa puรฒ essere messa in relazione con la funzione di autocorrelazione di

๐‘ (๐‘ก):

๐›พ๐‘ ๐‘ (๐œ) = โˆซ ๐‘ (๐‘ก + ๐œ)๐‘ โˆ—(๐‘ก)๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

Fig. 7.1 โ€“ autocorrelazioni dei segnali:

๐‘Ž) cos(2ฯ€t)โŠ“(2t3); ๐‘) cos(10๐œ‹๐‘ก)โŠ“(2๐‘ก

3).

Page 164: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

152 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Derivando una prima volta ๐›พ๐‘ ๐‘ (๐œ) rispetto a ๐œ si ottiene:

๐‘‘๐›พ๐‘ ๐‘ (๐œ)

๐‘‘๐œ= โˆซ ๐‘ โ€ฒ(๐‘ก + ๐œ)๐‘ โˆ—(๐‘ก)๐‘‘๐‘ก

โˆž

โˆ’โˆž

che, con un opportuno cambiamento di variabili, puรฒ essere scritta nella

forma:

๐‘‘๐›พ๐‘ ๐‘ (๐œ)

๐‘‘๐œ= โˆซ ๐‘ โ€ฒ(๐‘ฅ)๐‘ โˆ—(๐‘ฅ โˆ’ ๐œ)๐‘‘๐‘ฅ

โˆž

โˆ’โˆž

Derivando una seconda volta rispetto a ๐œ si ha:

๐‘‘2๐›พ๐‘ ๐‘ (๐œ)

๐‘‘๐œ2= โˆ’โˆซ ๐‘ โ€ฒ

โˆ—(๐‘ฅ โˆ’ ๐œ)๐‘ โ€ฒ(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅ

โˆž

โˆ’โˆž

= โˆ’โˆซ ๐‘ โ€ฒโˆ—(๐‘ก)๐‘ โ€ฒ(๐‘ก + ๐œ)๐‘‘๐œ

โˆž

โˆ’โˆž

che fornisce:

๐›พ๐‘ โ€ฒ๐‘ โ€ฒ(๐œ) = โˆ’๐‘‘2๐›พ๐‘ ๐‘ (๐œ)

๐‘‘๐œ2

Teorema di Wiener-Khinchine. 7.3 -

Si consideri la trasformata della funzione di autocorrelazione:

๐”‰[๐›พ(๐œ)] = โˆซ ๐›พ(๐œ)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐œ๐‘‘๐œโˆž

โˆ’โˆž

(7.3.1)

che, tenendo conto della (7.2.1), diventa:

๐”‰[๐›พ(๐œ)] = โˆซ ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐œ (โˆซ ๐‘ โˆ—(๐‘ก)๐‘ (๐‘ก + ๐œ)๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

) ๐‘‘๐œโˆž

โˆ’โˆž

(7.3.2)

Invertendo lโ€™ordine dโ€™integrazione si ottiene:

๐”‰[๐›พ(๐œ)] = โˆซ ๐‘ โˆ—(๐‘ก) (โˆซ ๐‘ (๐‘ก + ๐œ)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐œ๐‘‘๐œโˆž

โˆ’โˆž

) ๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

(7.3.3)

la quale, denotando con ๐‘†(๐‘“) la trasformata di Fourier del segnale puรฒ

essere scritta nella forma:

๐”‰[๐›พ(๐œ)] = ๐‘†(๐‘“)โˆซ ๐‘ โˆ—(๐‘ก)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

= ๐‘†(๐‘“) โ‹… ๐‘†โˆ—(๐‘“) (7.3.4)

Tenendo infine conto della (7.1.4), si ha:

๐”‰[๐›พ(๐œ)] = ๐‘Š(๐‘“) (7.3.5)

che รจ lโ€™espressione formale del Teorema di Wiener-Khinchine.

Page 165: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 7 - Caratterizzazione Energetica dei Segnali - 153

Funzioni di mutua correlazione. 7.4 -

Siano ๐’”1 e ๐’”2 due segnali ad energia finita. A essi si possono asso-

ciare le seguenti funzioni generalmente complesse:

๐›พ12(๐œ) = โˆซ ๐‘ 1(๐‘ก + ๐œ)๐‘ 2โˆ—(๐‘ก)๐‘‘๐‘ก

โˆž

โˆ’โˆž

;

๐›พ21(๐œ) = โˆซ ๐‘ 2(๐‘ก + ๐œ)๐‘ 1โˆ—(๐‘ก)๐‘‘๐‘ก

โˆž

โˆ’โˆž

;

(7.4.1)

che sono dette correlazioni mutue o incrociate.

Si noti che ๐›พ12(๐œ) e ๐›พ21(๐œ) soddisfano la seguente relazione:

๐›พ12(๐œ) = ๐›พ21โˆ— (โˆ’๐œ) (7.4.2)

come si dimostra facilmente effettuando nella (7.4.1) la trasformazione

๐‘ก + ๐œ = ๐‘ฅ. Si ha infatti:

๐›พ12(๐œ) = โˆซ ๐‘ 1(๐‘ฅ)๐‘ 2โˆ—(๐‘ฅ โˆ’ ๐œ)๐‘‘๐‘ฅ

โˆž

โˆ’โˆž

= (โˆซ ๐‘ 2(๐‘ฅ โˆ’ ๐œ)๐‘ 1โˆ—(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅ

โˆž

โˆ’โˆž

)

โˆ—

(7.4.3)

che dร  luogo alla (7.4.2) ove si tenga presente la definizione (7.4.1).

Se i segnali sono reali le funzioni ๐›พ12(๐œ) e ๐›พ21(๐œ) sono anch'esse

reali e la condizione (7.4.2) si semplifica nella:

๐›พ12(๐œ) = ๐›พ21(โˆ’๐œ) (7.4.4)

Ponendo nella (7.4.1) ๐œ = 0 si ottiene:

๐›พ12(0) = โˆซ ๐‘ 1(๐‘ก)๐‘ 2โˆ—(๐‘ก)๐‘‘๐‘ก

โˆž

โˆ’โˆž

= ๐ธ12;

๐›พ21(0) = โˆซ ๐‘ 2(๐‘ก)๐‘ 1โˆ—(๐‘ก)๐‘‘๐‘ก

โˆž

โˆ’โˆž

= ๐ธ21;

(7.4.5)

cioรจ i valori assunti nel punto ๐œ = 0 dalle due funzioni di mutua correla-

zione coincidono con le corrispondenti energie incrociate.

Applicando la disuguaglianza di Schwarz alle (7.4.1) si deduce:

|๐›พ12(๐œ)|

2 โ‰ค ๐›พ1(0) โ‹… ๐›พ2(0) = ๐ธ1 โ‹… ๐ธ2;

|๐›พ21(๐œ)|2 โ‰ค ๐›พ1(0) โ‹… ๐›พ2(0) = ๐ธ1 โ‹… ๐ธ2;

(7.4.6)

dove ๐ธ1 e ๐ธ2 denotano le energie specifiche associate rispettivamente ai

segnali ๐’”1 e ๐’”2.

Se risulta:

Page 166: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

154 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

๐›พ12(๐œ) = ๐›พ21(๐œ) = 0 (7.4.7)

i due segnali si dicono incorrelati. Ponendo nella (7.4.3), ๐œ = 0 si ottiene:

โˆซ ๐‘ 1(๐‘ก)๐‘ 2โˆ—(๐‘ก)๐‘‘๐‘ก

โˆž

โˆ’โˆž

= 0 (7.4.8)

che corrisponde alla condizione di ortogonalitร  tra i due segnali. Ciรฒ si-

gnifica che se due segnali sono incorrelati sono anche ortogonali; il vice-

versa in genere non vale. La condizione dโ€™incorrelazione pertanto รจ piรน

forte di quella di ortogonalitร .

รˆ facile infine riconoscere che con procedimento analogo a quel-

lo seguito per dedurre la (7.3.5) si ottengono le:

๐”‰[๐›พ12(๐œ)] = ๐‘Š12(๐‘“); โ€‰โ€‰โ€‰ โ€‰โ€‰๐”‰[๐›พ21(๐œ)] = ๐‘Š21(๐‘“); (7.4.9)

che costituiscono una naturale estensione del teorema di Wiener-

Khinchine al caso delle funzioni

di mutua correlazione.

Esempio 7.5

La funzione di correlazione in-

crociata ๐›พ12(๐œ) per i segnali

๐‘ 1(๐‘ก) = u(๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘ก

๐‘‡0

๐‘ 2(๐‘ก) =โŠ“ (๐‘ก

๐‘‡0) ;

vale:

๐›พ12(๐œ) = โˆซ โŠ“ (๐‘ก

๐‘‡0) u(๐‘ก + ๐œ)๐‘’

โˆ’๐‘ก+๐œ

๐‘‡0 ๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ u(๐‘ก + ๐œ)๐‘’โˆ’๐‘ก+๐œ

๐‘‡0 ๐‘‘๐‘ก

๐‘‡02

โˆ’๐‘‡02

=โŠ“ (๐œ

๐‘‡0) ๐‘’

โˆ’๐œ

๐‘‡0โˆซ ๐‘’โˆ’๐‘ก

๐‘‡0๐‘‘๐‘ก

๐‘‡02

โˆ’๐œ

+ u(๐œ โˆ’๐‘‡02) ๐‘’

โˆ’๐œ

๐‘‡0โˆซ ๐‘’โˆ’๐‘ก

๐‘‡0๐‘‘๐‘ก

๐‘‡02

โˆ’๐‘‡02

= ๐‘‡0๐‘’โˆ’๐œ

๐‘‡0 [(๐‘’๐œ

๐‘‡0 โˆ’ ๐‘’โˆ’1

2)โŠ“ (๐œ

๐‘‡0) + (๐‘’

1

2 โˆ’ ๐‘’โˆ’1

2) u (๐œ

๐‘‡0โˆ’1

2)]

il cui andamento in funzione di ๐œ ๐‘‡0โ„ รจ riportato in Fig.E 7.2

In maniera analoga si ha (vedi Fig.E 7.2):

๐›พ21(๐œ) = ๐›พ12(โˆ’๐œ) = ๐‘‡0๐‘’๐œ

๐‘‡0 [(๐‘’โˆ’๐œ

๐‘‡0 โˆ’ ๐‘’โˆ’1

2)โŠ“ (๐œ

๐‘‡0) + (๐‘’

1

2 โˆ’ ๐‘’โˆ’1

2) u (โˆ’๐œ

๐‘‡0+1

2)]

Fig.E 7.2

Page 167: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 7 - Caratterizzazione Energetica dei Segnali - 155

Segnali a potenza finita

Densitร  spettrale di potenza. 7.5 -

รˆ noto che se un segnale รจ a potenza finita, la quantitร :

๐‘ƒ = lim๐‘‡โ†’โˆž

1

๐‘‡โˆซ |๐‘ (๐‘ก)|2๐‘‘๐‘ก

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

(7.5.1)

รจ positiva e limitata.

Introducendo il segnale troncato ๐‘ ๐‘‡(๐‘ก) la (7.5.1) diventa:

๐‘ƒ = lim๐‘‡โ†’โˆž

1

๐‘‡โˆซ |๐‘ ๐‘‡(๐‘ก)|

2๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

(7.5.2)

Per un fissato valore di ๐‘‡ il segnale ๐‘ ๐‘‡(๐‘ก) รจ ad energia finita; per-

tanto, detta ๐‘†๐‘‡(๐‘“) la sua trasformata di Fourier, utilizzando il teorema di

Parseval, si puรฒ scrivere:

โˆซ |๐‘ (๐‘ก)|2๐‘‘๐‘ก๐‘‡

โˆ’๐‘‡

= โˆซ |๐‘ ๐‘‡(๐‘ก)|2๐‘‘๐‘ก

โˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ |๐‘†๐‘‡(๐‘“)|2๐‘‘๐‘“

โˆž

โˆ’โˆž

(7.5.3)

Di conseguenza la potenza specifica ๐‘ƒ puรฒ essere posta nella

forma:

๐‘ƒ = lim๐‘‡โ†’โˆž

1

๐‘‡โˆซ |๐‘†๐‘‡(๐‘“)|

2๐‘‘๐‘“โˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ lim๐‘‡โ†’โˆž

|๐‘†๐‘‡(๐‘“)|2

๐‘‡๐‘‘๐‘“

โˆž

โˆ’โˆž

(7.5.4)

Risulta quindi immediato associare al segnale ๐‘ (๐‘ก) la seguente espressio-

ne per la densitร  spettrale di potenza10

๐‘Š(๐‘“) = lim๐‘‡โ†’โˆž

|๐‘†๐‘‡(๐‘“)|2

๐‘‡ (7.5.5)

La potenza specifica del segnale cosรฌ diventa:

๐‘ƒ = โˆซ ๐‘Š(๐‘“)๐‘‘๐‘“โˆž

โˆ’โˆž

(7.5.6)

10

Si osservi che il simbolo adottato per la densitร  spettrale di potenza รจ lo stesso di quello

adoperato per la densitร  spettrale di energia. Al fine di non incorrere in spiacevoli equivoci รจ necessario pertanto precisare la classe di segnali (ad energia finita o a potenza finita) che via via si prendono in considerazione. Le stesse precauzioni si dovranno prendere a proposito del-le funzioni di correlazione piรน avanti definite.

Page 168: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

156 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Analogamente alla densitร  spettrale di energia introdotta nel ยง

7.1 - , la densitร  spettrale di potenza รจ una funzione reale e non negativa

della variabile ๐‘“. Nel caso in cui ๐‘ (๐‘ก) sia reale รจ manifestamente:

๐‘Š(โˆ’๐‘“) = ๐‘Š(๐‘“) (7.5.7)

La densitร  spettrale di potenza associata ad un segnale reale รจ quindi una

funzione reale, non negativa e pari della frequenza.

Se ๐‘ 1(๐‘ก) e ๐‘ 2(๐‘ก) denotano due segnali a potenza finita le loro po-

tenze specifiche mutue o potenze specifiche incrociate sono:

๐‘ƒ12 = lim๐‘‡โ†’โˆž

1

๐‘‡โˆซ ๐‘ 1(๐‘ก)๐‘ 2

โˆ—(๐‘ก)๐‘‘๐‘ก

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

;

๐‘ƒ21 = lim๐‘‡โ†’โˆž

1

๐‘‡โˆซ ๐‘ 2(๐‘ก)๐‘ 1

โˆ—(๐‘ก)๐‘‘๐‘ก.

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

(7.5.8)

Le quantitร  ๐‘ƒ12e ๐‘ƒ21 sono, in generale, complesse. Esse inoltre obbedi-

scono alla condizione:

๐‘ƒ12 = ๐‘ƒ21โˆ— (7.5.9)

Applicando la disuguaglianza di Schwarz si ottiene:

|โˆซ ๐‘ 1(๐‘ก)๐‘ 2โˆ—๐‘‘๐‘ก

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

|

2

โ‰ค โˆซ |๐‘ 1(๐‘ก)|2๐‘‘๐‘ก

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

โˆซ |๐‘ 2(๐‘ก)|2๐‘‘๐‘ก

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

;

|โˆซ ๐‘ 1โˆ—(๐‘ก)๐‘ 2๐‘‘๐‘ก

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

|

2

โ‰ค โˆซ |๐‘ 1(๐‘ก)|2๐‘‘๐‘ก

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

โˆซ |๐‘ 2(๐‘ก)|2๐‘‘๐‘ก

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

;

(7.5.10)

dalla quale, tenendo conto delle (7.5.8), discende:

|๐‘ƒ12| โ‰ค โˆš๐‘ƒ1โˆš๐‘ƒ2; โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰|๐‘ƒ21| โ‰ค โˆš๐‘ƒ1โˆš๐‘ƒ2 (7.5.11)

dove ๐‘ƒ1 e ๐‘ƒ2 sono le potenze specifiche associate a ๐‘ 1(๐‘ก) e ๐‘ 2(๐‘ก).

Due segnali a potenza finita si dicono ortogonali se risulta:

๐‘ƒ12 = ๐‘ƒ21 = 0 (7.5.12)

Indicando con ๐‘ 1๐‘‡(๐‘ก) e ๐‘ 2๐‘‡(๐‘ก) i segnali troncati associati a ๐‘ 1(๐‘ก) e

๐‘ 2(๐‘ก) rispettivamente รจ facile riconoscere che le potenze mutue si pos-

sono porre nella forma seguente:

Page 169: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 7 - Caratterizzazione Energetica dei Segnali - 157

๐‘ƒ12 = โˆซ lim๐‘‡โ†’โˆž

๐‘†1๐‘‡โˆ— (๐‘“)๐‘†2๐‘‡(๐‘“)

๐‘‡๐‘‘๐‘“

โˆž

โˆ’โˆž

;

๐‘ƒ21 = โˆซ lim๐‘‡โ†’โˆž

๐‘†1๐‘‡(๐‘“)๐‘†2๐‘‡โˆ— (๐‘“)

๐‘‡๐‘‘๐‘“

โˆž

โˆ’โˆž

;

(7.5.13)

avendo denotato con ๐‘†1๐‘‡(๐‘“) e ๐‘†2๐‘‡(๐‘“) le trasformate di Fourier di ๐‘ 1๐‘‡(๐‘ก)

e ๐‘ 2๐‘‡(๐‘ก) rispettivamente.

Dalle espressioni di ๐‘ƒ12 e ๐‘ƒ21 si deducono le seguenti definizioni

per le densitร  spettrali di potenza mutue (o incrociate):

๐‘Š12(๐‘“) = lim๐‘‡โ†’โˆž

๐‘†1๐‘‡(๐‘“)๐‘†2๐‘‡โˆ— (๐‘“)

๐‘‡;

๐‘Š21(๐‘“) = lim๐‘‡โ†’โˆž

๐‘†2๐‘‡(๐‘“)๐‘†1๐‘‡โˆ— (๐‘“)

๐‘‡;

(7.5.14)

Si ha:

๐‘ƒ12 = โˆซ ๐‘Š12(๐‘“)๐‘‘๐‘“;โˆž

โˆ’โˆž

๐‘ƒ21 = โˆซ ๐‘Š21(๐‘“)๐‘‘๐‘“โˆž

โˆ’โˆž

;

(7.5.15)

Per ๐‘Š12(๐‘“) e ๐‘Š21(๐‘“), si ha:

๐‘Š12(๐‘“) = ๐‘Š21โˆ— (๐‘“) (7.5.16)

Esempio 7.6

Il segnale:

๐‘ (๐‘ก) =โˆ‘๐‘‰๐‘– cos(2๐œ‹๐‘“๐‘–๐‘ก)

๐‘›

๐‘–=1

รจ un segnale a potenza finita. Infatti essendo:

๐‘ 2(๐‘ก)

= โˆ‘ ๐‘‰๐‘–๐‘‰๐‘— cos(2๐œ‹๐‘“๐‘–๐‘ก) cos(2๐œ‹๐‘“๐‘—๐‘ก)

๐‘›

๐‘–,๐‘—=1

=โˆ‘๐‘‰๐‘–2 cos2(2๐œ‹๐‘“๐‘–๐‘ก) +

๐‘›

๐‘–=1

1

2โˆ‘ ๐‘‰๐‘–๐‘‰๐‘—[cos(2๐œ‹(๐‘“๐‘– โˆ’ ๐‘“๐‘—)๐‘ก) + cos(2๐œ‹(๐‘“๐‘– + ๐‘“๐‘—)๐‘ก)]

๐‘›

๐‘–,๐‘—=1๐‘–โ‰ ๐‘—

risulta:

Page 170: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

158 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

๐‘ƒ

= lim๐‘‡โ†’โˆž

1

2๐‘‡

[

โˆ‘ ๐‘‰๐‘–๐‘‰๐‘—โˆซ [cos(2๐œ‹(๐‘“๐‘– โˆ’ ๐‘“๐‘—)๐‘ก) + cos(2๐œ‹(๐‘“๐‘– + ๐‘“๐‘—)๐‘ก)]๐‘‘๐‘ก๐‘‡

โˆ’๐‘‡

๐‘›

๐‘–,๐‘—=1โ€‰๐‘–โ‰ ๐‘—

+โˆ‘๐‘‰๐‘–2โˆซ (cos(4๐œ‹๐‘“๐‘–๐‘ก) + 1)๐‘‘๐‘ก

๐‘‡

โˆ’๐‘‡

๐‘›

๐‘–=1]

=1

2lim๐‘‡โ†’โˆž

{

โˆ‘ ๐‘‰๐‘–๐‘‰๐‘— [sin(๐œ‹(๐‘“๐‘– โˆ’ ๐‘“๐‘—)๐‘‡)

๐œ‹(๐‘“๐‘– โˆ’ ๐‘“๐‘—)๐‘‡+sin(๐œ‹(๐‘“๐‘– + ๐‘“๐‘—)๐‘‡)

๐œ‹(๐‘“๐‘– + ๐‘“๐‘—)๐‘‡]

๐‘›

๐‘–,๐‘—=1โ€‰๐‘–โ‰ ๐‘—

+โˆ‘๐‘‰๐‘–2sin(2๐œ‹๐‘“๐‘–๐‘‡)

2๐œ‹๐‘“๐‘–๐‘‡+โˆ‘๐‘‰๐‘–

2

๐‘›

๐‘–=1

๐‘›

๐‘–=1}

=โˆ‘๐‘‰๐‘–2

๐‘›

๐‘–=1

Funzioni di correlazione. 7.6 -

La funzione di autocorrelazione di un segnale ๐‘ (๐‘ก) a potenza fini-

ta รจ definita dalla:

๐›พ(๐œ) = lim๐‘‡โ†’โˆž

1

๐‘‡โˆซ ๐‘ (๐‘ก + ๐œ)๐‘ โˆ—(๐‘ก)๐‘‘๐‘ก

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

(7.6.1)

Essa รจ una funzione, in generale complessa, della quantitร  ๐œ; รจ reale nel

caso di segnali reali. Nel punto ๐œ = 0 la ๐›พ(๐œ) vale:

๐›พ(0) = lim๐‘‡โ†’โˆž

1

๐‘‡โˆซ ๐‘ (๐‘ก)๐‘ โˆ—(๐‘ก)๐‘‘๐‘ก

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

(7.6.2)

ed รจ quindi uguale alla potenza specifica del segnale.

Ponendo nella (7.6.1) ๐œ โ†’ โˆ’๐œ e successivamente ๐‘ก โˆ’ ๐œ = ๐œ— si ot-

tiene:

๐›พ(โˆ’๐œ) = lim๐‘‡โ†’โˆž

1

๐‘‡โˆซ ๐‘ (๐‘ก โˆ’ ๐œ)๐‘ โˆ—(๐‘ก)๐‘‘๐‘ก

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

= lim๐‘‡โ†’โˆž

1

๐‘‡โˆซ ๐‘ (๐œ—)๐‘ โˆ—(๐œ— + ๐œ)๐‘‘๐œ—

๐‘‡

2โˆ’๐œ

โˆ’๐‘‡

2โˆ’๐œ

= lim๐‘‡โ†’โˆž

1

๐‘‡โˆซ ๐‘ (๐œ—)๐‘ โˆ—(๐œ—+ ๐œ)๐‘‘๐œ—

๐‘‡2

โˆ’๐‘‡2

+ lim๐‘‡โ†’โˆž

1

๐‘‡(โˆซ ๐‘ (๐œ—)๐‘ โˆ—(๐œ— + ๐œ)๐‘‘๐œ— +

โˆ’๐‘‡2

โˆ’๐‘‡2โˆ’๐œ

โˆซ ๐‘ (๐œ—)๐‘ โˆ—(๐œ— + ๐œ)๐‘‘๐œ—

๐‘‡2โˆ’๐œ

๐‘‡2

)

= ๐›พโˆ—(๐œ)

(7.6.3)

Page 171: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 7 - Caratterizzazione Energetica dei Segnali - 159

dove si รจ tenuto conto del fatto che, per ogni valore di ๐œ, gli integrali che

compaiono nel secondo limite al penultimo membro sono certamente

finiti. In conclusione si puรฒ affermare che la funzione di autocorrelazio-

ne di un segnale a potenza finita รจ a simmetria hermitiana.

Per segnali reali la (7.6.3) si riduce alla:

๐›พ(๐œ) = ๐›พ(โˆ’๐œ) (7.6.4)

In virtรน della disuguaglianza di Schwarz, si puรฒ infine scrivere:

|๐›พ(๐œ)| โ‰ค ๐›พ(0) = ๐‘ƒ (7.6.5)

Per segnali reali, quindi, la funzione ๐›พ(๐œ)raggiunge in ๐œ = 0 un massimo

assoluto. Detta ๐›พ๐‘‡(๐œ) la funzione di autocorrelazione del segnale tronca-

to, si ha (vedi Fig. 7.2):

๐›พ๐‘‡(๐œ) = โˆซ ๐‘ ๐‘‡โˆ—(๐‘ก)๐‘ ๐‘‡(๐‘ก + ๐œ)๐‘‘๐‘ก

โˆž

โˆ’โˆž

= u(โˆ’๐œ)โˆซ ๐‘ โˆ—(๐‘ก)๐‘ (๐‘ก + ๐œ)๐‘‘๐‘ก

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2โˆ’๐œ

+ u(๐œ)โˆซ ๐‘ โˆ—(๐‘ก)๐‘ (๐‘ก + ๐œ)๐‘‘๐‘ก

๐‘‡

2โˆ’๐œ

โˆ’๐‘‡

2

(7.6.6)

Considerazioni analoghe a

quelle che hanno condotto al-

la (7.6.3) consentono di scri-

vere:

๐›พ(๐œ) = lim๐‘‡โ†’โˆž

๐›พ๐‘‡(๐œ)

๐‘‡ (7.6.7)

Si osservi adesso che

poichรฉ ๐‘ ๐‘‡(๐‘ก) รจ ad energia fi-

nita, per esso vale il teorema

di WienerKhinchine per cui, detta ๐‘†๐‘‡(๐‘“) la sua trasformata di Fourier, si

ha:

๐”‰[๐›พ๐‘‡(๐œ)] = |๐‘†๐‘‡(๐‘“)|2 (7.6.8)

Trasformando ambo i membri della (7.6.7) risulta:

๐”‰[๐›พ(๐œ)] = lim๐‘‡โ†’โˆž

|๐‘†๐‘‡(๐‘“)|2

๐‘‡ (7.6.9)

Dal confronto con la (7.5.5), si deduce quindi:

๐”‰[๐›พ(๐œ)] = ๐‘Š(๐‘“) (7.6.10)

Fig. 7.2 - Segnale troncato e sue traslazioni.

Page 172: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

160 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

che estende il teorema di Wiener-Khinchine anche al caso dei segnali a

potenza finita.

Nel caso di due segnali ๐‘ 1(๐‘ก) e ๐‘ 2(๐‘ก) a potenza finita si possono

definire le correlazioni incrociate, o mutue mediante le:

๐›พ12(๐œ) = lim๐‘‡โ†’โˆž

1

2๐‘‡โˆซ ๐‘ 1(๐‘ก + ๐œ)๐‘ 2

โˆ—(๐‘ก)๐‘‘๐‘ก

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

๐›พ21(๐œ) = lim๐‘‡โ†’โˆž

1

2๐‘‡โˆซ ๐‘ 2(๐‘ก + ๐œ)๐‘ 1

โˆ—(๐‘ก)๐‘‘๐‘ก

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

(7.6.11)

Si verifica facilmente che:

๐›พ12(๐œ) = ๐›พ21โˆ— (โˆ’๐œ) (7.6.12)

e che, dette ๐›พ1(๐œ) e ๐›พ2(๐œ), ๐‘ƒ1 e ๐‘ƒ2 le autocorrelazioni e le potenze speci-

fiche associate a ๐‘ 1(๐‘ก) e a ๐‘ 2(๐‘ก) rispettivamente, si ha:

|๐›พ21(โˆ’๐œ)|2 = |๐›พ12(๐œ)|

2 โ‰ค ๐›พ1(0) โ‹… ๐›พ2(0) = ๐‘ƒ1 โ‹… ๐‘ƒ2 (7.6.13)

Quando risulta ๐›พ12(๐œ) = ๐›พ21(๐œ) = 0 i segnali si dicono incorrelati.

Si noti che ponendo ๐œ = 0 nella condizione di incorrelazione si ottiene

๐‘ƒ12 = ๐‘ƒ21 = 0; ciรฒ significa che, l'ortogonalitร  รจ soltanto una condizione

necessaria per la incorrelazione.

Procedendo come per il caso della funzione di autocorrelazione,

si puรฒ mostrare che valgono le relazioni:

๐”‰[๐›พ12(๐œ)] = ๐‘Š12(๐‘“)

๐”‰[๐›พ21(๐œ)] = ๐‘Š21(๐‘“) (7.6.14)

cioรจ le funzioni di mutua correlazione e le rispettive densitร  spettrali co-

stituiscono coppie di trasformate di Fourier.

Esempio 7.7

La funzione di autocorrelazione del segnale di cui allโ€™Esempio 7.6 vale:

๐›พ(๐œ) = โˆ‘ ๐‘‰๐‘–๐‘‰๐‘— lim๐‘‡โ†’โˆž

1

๐‘‡โˆซ cos(2๐œ‹๐‘“๐‘–๐‘ก) cos (2๐œ‹๐‘“๐‘—(๐‘ก + ๐œ)) ๐‘‘๐‘ก

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

๐‘›

๐‘–,๐‘—=1

= โˆ‘๐‘‰๐‘–๐‘‰๐‘—

2lim๐‘‡โ†’โˆž

1

๐‘‡โˆซ {cos [2๐œ‹ ((๐‘“๐‘– + ๐‘“๐‘—)๐‘ก + ๐‘“๐‘—๐œ)] + cos[2๐œ‹(๐‘“๐‘– โˆ’ ๐‘“๐‘—)๐‘ก โˆ’ ๐‘“๐‘—๐œ]} ๐‘‘๐‘ก

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

๐‘›

๐‘–,๐‘—=1๐‘–โ‰ ๐‘—

+โˆ‘๐‘‰๐‘–2

2lim๐‘‡โ†’โˆž

1

๐‘‡โˆซ {cos(2๐œ‹๐‘“๐‘–(2๐‘ก + ๐œ)) + cos(2๐œ‹๐‘“๐‘–๐œ)}๐‘‘๐‘ก

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

๐‘›

๐‘–=1

Page 173: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 7 - Caratterizzazione Energetica dei Segnali - 161

= โˆ‘๐‘‰๐‘–๐‘‰๐‘—

2lim๐‘‡โ†’โˆž

{

[sin [2๐œ‹ ((๐‘“๐‘– + ๐‘“๐‘—)๐‘ก + ๐‘“๐‘—๐œ)]

2๐œ‹(๐‘“๐‘– + ๐‘“๐‘—)๐‘‡]

โˆ’๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2๐‘›

๐‘–,๐‘—=1๐‘–โ‰ ๐‘—

+ [sin [2๐œ‹ ((๐‘“๐‘– โˆ’ ๐‘“๐‘—)๐‘ก โˆ’ ๐‘“๐‘—๐œ)]

2๐œ‹(๐‘“๐‘– โˆ’ ๐‘“๐‘—)๐‘‡]

โˆ’๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

}

+โˆ‘๐‘‰๐‘–2

2lim๐‘‡โ†’โˆž

{[sin(2๐œ‹๐‘“๐‘–(2๐‘ก + ๐œ))

4๐œ‹๐‘“๐‘–๐‘‡]โˆ’๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

+ cos(2๐œ‹๐‘“๐‘–๐œ)}

๐‘›

๐‘–=1

=1

2โˆ‘๐‘‰๐‘–

2 cos(2๐œ‹๐‘“๐‘–๐œ)

๐‘›

๐‘–=1

La corrispondente densitร  spettrale vale quindi:

๐‘Š(๐‘“) = ๐”‰[๐›พ(๐œ)] =โˆ‘๐‘‰๐‘–2

4[๐›ฟ(๐‘“ โˆ’ ๐‘“๐‘–) + ๐›ฟ(๐‘“ + ๐‘“๐‘–)]

๐‘›

๐‘–=1

Esempio 7.8

Sia ๐‘ (๐‘ก) un segnale, periodico di periodo ๐‘‡0, che puรฒ essere quindi svi-

luppato in serie di Fourier:

๐‘ (๐‘ก) = โˆ‘ ๐‘†๐‘›๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘ก

๐‘‡0

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

Esso รจ un segnale a potenza finita e la sua funzione di autocorrelazione puรฒ

essere scritta nella forma:

๐›พ(๐œ) = lim๐‘‡โ†’โˆž

1

๐‘‡โˆซ ( โˆ‘ ๐‘†๐‘›

โˆ—๐‘’โˆ’๐‘—

2๐œ‹๐‘›๐‘ก

๐‘‡0

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

โˆ‘ ๐‘†๐‘š๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘š(๐‘ก+๐œ)

๐‘‡0

โˆž

๐‘š=โˆ’โˆž

)

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

๐‘‘๐‘ก

= โˆ‘ ๐‘†๐‘›โˆ—๐‘†๐‘š๐‘’

๐‘—2๐œ‹๐‘š๐œ

๐‘‡ lim๐‘‡โ†’โˆž

1

๐‘‡โˆซ ๐‘’

๐‘—2๐œ‹(๐‘šโˆ’๐‘›)๐‘ก

๐‘‡0 ๐‘‘๐‘ก

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

โˆž

๐‘›,๐‘š=โˆ’โˆž

= โˆ‘ ๐‘†๐‘›โˆ—๐‘†๐‘›๐‘’

๐‘—2๐œ‹๐‘›๐œ

๐‘‡

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

+ โˆ‘ ๐‘†๐‘›โˆ—๐‘†๐‘š๐‘’

๐‘—2๐œ‹๐‘š๐œ

๐‘‡ lim๐‘‡โ†’โˆž

sin [๐œ‹(๐‘š โˆ’ ๐‘›)๐‘‡

๐‘‡0]

๐œ‹(๐‘š โˆ’ ๐‘›)๐‘‡

๐‘‡0

โˆž

๐‘›,๐‘š=โˆ’โˆž๐‘›โ‰ ๐‘š

= โˆ‘ |๐‘†๐‘›|2๐‘’

๐‘—2๐œ‹๐‘›๐œ

๐‘‡0

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

La funzione di autocorrelazione รจ dunque una funzione periodica di pe-

riodo ๐‘‡0 ed il generico coefficiente del suo sviluppo in serie di Fourier vale:

๐›ค๐‘› = |๐‘†๐‘›|2

Page 174: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

162 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Si osservi che l'integrale che compare nel calcolo dell'autocorrelazione,

puรฒ essere espresso anche utilizzando la funzione sinc(โ‹…). Si puรฒ infatti scri-

vere:

1

๐‘‡โˆซ ๐‘’

๐‘—2๐œ‹(๐‘šโˆ’๐‘›)๐‘ก

๐‘‡0 ๐‘‘๐‘ก

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

= sinc ((๐‘š โˆ’ ๐‘›)๐‘‡

๐‘‡0)

รˆ evidente che la precedente รจ valida anche se l'argomento dell'e-

sponenziale รจ identicamente nullo, non si rende quindi necessaria la distin-

zione tra i casi ๐‘› = ๐‘š, ๐‘› โ‰  ๐‘š.

Page 175: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 8

CARATTERISTICHE E PROPRIETร€ DEI SEGNALI

Segnale analitico. Trasformata di Hilbert. 8.1 -

In alcune applicazioni della teoria della modulazione, come pure

nello studio della risposta dei filtri

passabanda, รจ opportuno caratte-

rizzare i segnali reali fornendo una

rappresentazione che generalizza

quella che usualmente si adotta per

lo studio dei circuiti in regime sinu-

soidale. Tale generalizzazione si ba-

sa sul concetto di segnale analitico. Si consideri un segnale reale

๐‘ (๐‘ก) la cui trasformata di Fourier

๐‘†(๐‘“) รจ rappresentata in Fig. 8.1. Al-

la ๐‘†(๐‘“) si puรฒ associare una funzione ๐‘(๐‘“):

๐‘(๐‘“) = ๐‘†(๐‘“)[1 + sgm(๐‘“)] (8.1.1)

come รจ mostrato nella stessa Fig. 8.1. Tale funzione รจ manifestamente

unilatera giacchรฉ essa รจ identicamente nulla per ๐‘“ < 0; pertanto la sua

antitrasformata ๐‘ง(๐‘ก) รจ una funzione complessa poichรฉ la ๐‘(๐‘“) non รจ a

simmetria hermitiana. L'antitrasformata di ๐‘(๐‘“) si puรฒ effettuare facil-

mente applicando il teorema della convoluzione nel dominio del tempo

e osservando che lโ€™espressione dellโ€™antitrasformata della funzione

sgm(๐‘“) risulta, per la proprietร  di simmetria:

๐”‰-1[sgm(๐‘“)] = โˆ’Pf (1

๐‘—๐œ‹๐‘ก) = ๐‘—Pf (

1

๐œ‹๐‘ก) (8.1.2)

Si ottiene cosรฌ:

๐‘ง(๐‘ก) = ๐‘ (๐‘ก) โˆ— (๐›ฟ(๐‘ก) + ๐‘—Pf (1

๐œ‹๐‘ก)) (8.1.3)

che, ponendo:

Fig. 8.1 - a) Modulo della trasformata di

๐‘ (๐‘ก); b) modulo dellatrasformata del se-

gnale analitico ๐‘ง(๐‘ก) ad esso associato.

Page 176: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

164 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

s(๐‘ก) =1

๐œ‹VPโˆซ

๐‘ (๐œ)

๐‘ก โˆ’ ๐œ๐‘‘๐œ

โˆž

โˆ’โˆž

(8.1.4)

si puรฒ riscrivere:

๐‘ง(๐‘ก) = ๐‘ (๐‘ก) + ๐‘—๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก) (8.1.5)

Dalla (8.1.4) si deduce che s(๐‘ก) รจ ottenuta dalla convoluzione tra

๐‘ (๐‘ก) e la pseudofunzione Pf (1

๐œ‹๐‘ก) cioรจ:

๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก) = ๐‘ (๐‘ก) โˆ— Pf (1

๐œ‹๐‘ก) (8.1.6)

che trasformata secondo Fourier dร  luogo alla:

๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘“) = ๐”‰[๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก)] = โˆ’๐‘—๐‘†(๐‘“)sgm(๐‘“) (8.1.7)

quindi:

๐‘†(๐‘“) =๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘“)

โˆ’๐‘—sgm(๐‘“)= ๐‘—๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘“)sgm(๐‘“) (8.1.8)

da cui antitrasformando:

๐‘ (๐‘ก) = โˆ’1

๐œ‹VPโˆซ

๏ฟฝ๏ฟฝ(๐œ)

๐‘ก โˆ’ ๐œ๐‘‘๐œ

โˆž

โˆ’โˆž

(8.1.9)

Le trasformazioni (8.1.4) (8.1.9) vengono dette rispettivamente

trasformata e antitrasformata di Hilbert. Esse si denotano con i simboli:

โ„‹[โˆ™], โ„‹โˆ’1[โˆ™] (8.1.10)

Il segnale complesso ๐‘ง(๐‘ก), definito dalla (8.1.5), prende il nome di

segnale analitico associato a ๐‘ (๐‘ก); la ragione di questa denominazione sta

nel fatto che se una funzione complessa ๐‘“(๐‘ค), di variabile complessa

๐‘ค = ๐‘ข + ๐‘—๐‘ฃ, รจ analitica su tutto il semipiano superiore (๐‘ข > 0), la parte

reale ed il coefficiente della parte immaginaria di ๐‘“(๐‘ค) costituiscono una

coppia di trasformate di Hilbert e viceversa.

Osserviamo inoltre che se ๐‘ (๐‘ก) rappresenta un segnale ๐’” ad energia fini-

ta, tale รจ anche la sua trasformata di Hilbert e risulta:

โŸจ๐’”, ๏ฟฝ๏ฟฝโŸฉ=โŸจ๐‘บ, ๏ฟฝ๏ฟฝโŸฉ = โˆซ ๐‘†(๐‘“)๏ฟฝ๏ฟฝโˆ—(๐‘“)โˆž

โˆ’โˆž๐‘‘๐‘“ =

๐‘— โˆซ ๐‘†(๐‘“)โˆž

โˆ’โˆž๐‘†โˆ—(๐‘“)sgm(๐‘“)๐‘‘๐‘“ = 0

(8.1.11)

Page 177: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 8 - Caratteristiche e Proprietร  dei Segnali - 165

Il risultato รจ zero in

quanto essendo il segna-

le reale la funzione inte-

granda รจ dispari. Pos-

siamo quindi affermare

che un segnale ๐’” e quel-

lo associato alla tra-

sformata di Hilbert di

una funzione che lo

rappresenta sono orto-

gonali.

Esempio 8.1

Applicando la definizione (8.1.4) al rettangolo unitario di durata T si ha:

โ„‹ [โŠ“ (๐‘ก

๐‘‡)] =

1

๐œ‹VPโˆซ

โŠ“ (๐œ

๐‘‡)

๐‘ก โˆ’ ๐œ๐‘‘๐œ

โˆž

โˆ’โˆž

=1

๐œ‹VPโˆซ

๐‘‘๐œ

๐‘ก โˆ’ ๐œ

T

2

-T

2

=1

๐œ‹limโ†’0(โˆซ

๐‘‘๐œ

๐‘ก โˆ’ ๐œ

โˆ’

โˆ’๐‘‡

2

+โˆซ๐‘‘๐œ

๐‘ก โˆ’ ๐œ

๐‘‡

2

)

=1

๐œ‹limโ†’0(log |๐‘ก +

๐‘‡

2| โˆ’ log|๐‘ก + ํœ€| + log |๐‘ก โˆ’ ํœ€| โˆ’ log |๐‘ก โˆ’

๐‘‡

2|) =

1

๐œ‹log |

๐‘ก +๐‘‡

2

๐‘ก โˆ’๐‘‡

2

|

Il segnale โŠ“(๐‘ก

๐‘‡) e la sua trasformata di Hil-

bert sono mostrati in Fig.E 8.1.

Il segnale analitico associato a โŠ“(๐‘ก

๐‘‡) vale

quindi:

๐‘ง(๐‘ก) =โŠ“ (๐‘ก

๐‘‡) + ๐‘—

1

๐œ‹log |

๐‘ก +๐‘‡

2

๐‘ก โˆ’๐‘‡

2

|

la cui rappresentazione nel piano complesso รจ ri-

portata in Fig.E 8.2.

Esempio 8.2

Determinare la trasformata di Hilbert del se-

gnale ๐‘’ยฑ๐‘—2๐œ‹๐‘“0๐‘ก.

Poichรฉ si ha:

๐”‰[๐‘’ยฑ๐‘—2๐œ‹๐‘“0๐‘ก] = ๐›ฟ(๐‘“ โˆ“ ๐‘“0)

รจ per la (8.1.7)

๐”‰[โ„‹[๐‘’ยฑ๐‘—2๐œ‹๐‘“0๐‘ก]] = โˆ’๐‘—๐›ฟ(๐‘“ โˆ“ ๐‘“0)sgm(๐‘“)

Fig.E 8.2

Fig.E 8.1

Page 178: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

166 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

da cui antitrasformando:

โ„‹[๐‘’ยฑ๐‘—2๐œ‹๐‘“0๐‘ก] = โˆ’๐‘—โˆซ ๐›ฟ(๐‘“ โˆ“ ๐‘“0)sgm(๐‘“)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘“

โˆž

โˆ’โˆž

= โˆ’๐‘—sgm(ยฑ๐‘“0)๐‘’ยฑ๐‘—2๐œ‹๐‘“0๐‘ก

cioรจ:

โ„‹[๐‘’ยฑ๐‘—2๐œ‹๐‘“0๐‘ก] = โˆ“๐‘—๐‘’ยฑ๐‘—2๐œ‹๐‘“0๐‘ก

In particolare si deduce, eguagliando le parti reali e i coefficienti delle

parti immaginarie:

โ„‹[cos(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก)] = sin(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก)

โ„‹[sin(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก)] = โˆ’ cos(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก)

Esempio 8.3

Determinare il segnale analitico associato al segnale ๐’” rappresentabile

mediante la funzione:

๐‘ (๐‘ก) =1

๐‘ก2 + ๐œ2

Potendosi scrivere: 1

๐‘ก2 + ๐œ2=๐‘—

2๐œ[1

๐‘ก + ๐‘—๐œโˆ’

1

๐‘ก โˆ’ ๐‘—๐œ]

la trasformata di Fourier del segnale ๐’” vale:

๐‘†(๐‘“) =๐‘—

2๐œ{๐”‰ [

1

๐‘ก + ๐‘—๐œ] โˆ’ ๐”‰ [

1

๐‘ก โˆ’ ๐‘—๐œ]}

Ricordando l' Esempio 4.2, applicando la proprietร  di simmetria si ottie-

ne:

๐”‰ [1

๐›ผ + ๐‘—2๐œ‹๐‘ก] = u(โˆ’๐‘“)๐‘’๐›ผ๐‘“

quindi:

๐”‰ [1

๐‘ก โˆ’ ๐‘—๐œ] = ๐‘—2๐œ‹๐”‰ [

1

2๐œ‹๐œ + ๐‘—2๐œ‹๐‘ก]

= ๐‘—2๐œ‹u(โˆ’๐‘“)๐‘’2๐œ‹๐œ๐‘“

Applicando ora la proprietร  della co-

niugazione nel dominio del tempo si ha

poi:

๐”‰ [1

๐‘ก + ๐‘—๐œ] = โˆ’๐‘—2๐œ‹ u(๐‘“)๐‘’โˆ’2๐œ‹๐œ๐‘“

Di conseguenza ๐‘†(๐‘“) diviene:

๐‘†(๐‘“) =๐‘—

2๐œ(โˆ’๐‘—2๐œ‹u(๐‘“)๐‘’โˆ’2๐œ‹๐œ๐‘“ โˆ’ ๐‘—2๐œ‹u(โˆ’๐‘“)๐‘’2๐œ‹๐œ๐‘“) =

๐œ‹

๐œ๐‘’โˆ’2๐œ‹๐œ|๐‘“|

Fig.E 8.3

Page 179: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 8 - Caratteristiche e Proprietร  dei Segnali - 167

Il segnale analitico ๐‘ง(๐‘ก) associato a ๐‘ (๐‘ก) vale dunque:

๐‘ง(๐‘ก) = 2โˆซ๐œ‹

๐œ๐‘’โˆ’2๐œ‹๐œ|๐‘“|๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘“

โˆž

0

=2๐œ‹

๐œ[๐‘’โˆ’2๐œ‹๐‘“(๐œโˆ’๐‘—๐‘ก)

โˆ’2๐œ‹(๐‘—๐œ๐‘ก)]0

โˆž

=1

๐œ(๐œ โˆ’ ๐‘—๐‘ก)

o anche:

๐‘ง(๐‘ก) =1

๐‘ก2 + ๐œ2+ ๐‘—

๐‘ก

๐œ(๐‘ก2 + ๐œ2)

Il suo modulo vale:

๐‘Ÿ(๐‘ก) =1

๐œ

1

โˆš๐‘ก2 + ๐œ2

ed il suo argomento:

๐œ—(๐‘ก) = arctg (๐‘ก

๐œ)

Nel piano complesso (Re[๐‘ง], Im[๐‘ง]) lโ€™estremo del vettore ๐‘ง(๐‘ก) descrive il

luogo individuato dallโ€™equazione:

๐œ2(๐‘ฅ2 + ๐‘ฆ2) = ๐‘ฅ

che รจ una circonferenza di centro ๐ถ โ‰ก (1

2๐œ2, 0) e raggio ๐‘… =

1

๐œ2 come รจ indi-

cato nella Fig. E.VII.3.

Componenti del segnale a frequenze positive e nega-8.2 - tive.

Nellโ€™analisi dei segnali reali risulta talvolta utile introdurre le quan-

titร  ๐‘†+(๐‘“) e ๐‘†โˆ’(๐‘“) definite dalle:

๐‘†+(๐‘“) = ๐‘†(๐‘“)u(๐‘“) (8.2.1)

e

๐‘†โˆ’(๐‘“) = ๐‘†(๐‘“)u(โˆ’๐‘“) (8.2.2)

che individuano il contenuto di frequenze positive e negative di un se-

gnale ๐‘ (๐‘ก) il cui spettro รจ stato denotato con ๐‘†(๐‘“).

Alle quantitร  ๐‘†+(๐‘“) e ๐‘†โˆ’(๐‘“), sopra definite, si possono associare

due segnali complessi ๐‘ +(๐‘ก) e ๐‘ โˆ’(๐‘ก) ottenuti per mezzo delle seguenti

antitrasformate:

๐‘ +(๐‘ก) = ๐”‰โˆ’1[๐‘†+(๐‘“)]; ๐‘ โˆ’(๐‘ก) = ๐”‰[๐‘†โˆ’(๐‘“)] (8.2.3)

denominati componenti a frequenze positive e negative del segnale.

Poichรฉ risulta manifestamente:

Page 180: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

168 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

๐‘†(๐‘“) = ๐‘†+(๐‘“) + ๐‘†โˆ’(๐‘“) (8.2.4)

si ha:

๐‘ (๐‘ก) = ๐‘ +(๐‘ก) + ๐‘ โˆ’(๐‘ก) (8.2.5)

Tenendo conto della (8.2.4), la trasformata di Fourier di ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก) vale:

๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘“) = โˆ’๐‘—sgm(๐‘“) โ‹… [๐‘†+(๐‘“) + ๐‘†โˆ’(๐‘“)] = โˆ’๐‘—๐‘†+(๐‘“) + ๐‘—๐‘†โˆ’(๐‘“) (8.2.6)

da cui antitrasformando:

๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก) = โˆ’๐‘—[๐‘ +(๐‘ก) โˆ’ ๐‘ โˆ’(๐‘ก)] (8.2.7)

che permette di esprimere la trasformata di Hilbert di un segnale in ter-

mini delle sue componenti a frequenze positive e negative.

Invertendo le (8.2.5) e (8.2.7) si ottiene infine:

๐‘ +(๐‘ก) =1

2[๐‘ (๐‘ก) + ๐‘—๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก)], ๐‘ โˆ’(๐‘ก) =

1

2[๐‘ (๐‘ก) โˆ’ ๐‘—๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก)] (8.2.8)

Segnali a banda e durata rigorosamente limitata. 8.3 -

Un segnale ๐‘ (๐‘ก) si dice a banda rigorosamente limitata quando la

sua trasformata di Fourier soddisfa la condizione:

โˆƒ ๐‘“โ€ฒ, ๐‘“โ€ณ (0 โ‰ค ๐‘“โ€ฒ < ๐‘“โ€ณ < โˆž) | ๐‘†(๐‘“) = 0 โˆ€ ๐‘“| |๐‘“| โˆ‰ [๐‘“โ€ฒ, ๐‘“โ€ณ] (8.3.1)

Detti ๐‘“1 l'estremo superiore dell'insieme {๐‘“โ€ฒ} ed ๐‘“2 l'estremo infe-

riore dell'insieme {๐‘“โ€ณ}, la quantitร :

๐ต = ๐‘“2 โˆ’ ๐‘“1 (8.3.2)

esprime lโ€™ampiezza di banda del segnale

e le frequenze ๐‘“1 e ๐‘“2 vengono rispetti-

vamente dette frequenza di taglio infe-

riore e superiore (vedi Fig. 8.2).

Se per un segnale ๐‘ (๐‘ก) a banda

rigorosamente limitata risulta ๐‘“1 = 0 il

segnale si dice passabasso, altrimenti si

parla di segnale passabanda.

Un segnale ๐‘ (๐‘ก) si dice a durata rigorosamente limitata quando รจ

soddisfatta la condizione:

โˆƒ ๐‘กโ€ฒโ‹€ ๐‘กโ€ณ| ๐‘ (๐‘ก) = 0 โˆ€ ๐‘ก โˆ‰ [๐‘กโ€ฒ, ๐‘กโ€ณ] (8.3.3)

Fig. 8.2 โ€“ Segnale a banda rigoro-samente limitata

Page 181: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 8 - Caratteristiche e Proprietร  dei Segnali - 169

La misura dell'intersezione tra tutti gli intervalli [๐‘กโ€ฒ, ๐‘กโ€ณ] che verificano la

(8.3.3) definisce la durata ๐‘‡ del segnale.

Con riferimento alla Fig. 8.2 si puรฒ osservare che, se ๐‘†(๐‘“) denota

la trasformata di Fourier di un segnale a banda rigorosamente limitata, si

puรฒ scrivere:

๐‘†(๐‘“) = ๐‘†(๐‘“)โŠ“ (๐‘“ โˆ’ ๐‘“0๐ต

) + ๐‘†(๐‘“)โŠ“ (๐‘“ + ๐‘“0๐ต

) (8.3.4)

avendo denotato con ๐‘“0 il valore della frequenza di centro banda:

๐‘“0 =๐‘“1 + ๐‘“22

(8.3.5)

Antitrasformando la (8.3.4), essendo:

๐”‰โˆ’1 [โŠ“ (๐‘“ ยฑ ๐‘“0๐ต

)] = ๐ตsinc(๐ต๐‘ก)๐‘’โˆ“๐‘—2๐œ‹๐‘“0๐‘ก (8.3.6)

si ottiene facilmente l'identitร :

๐‘ (๐‘ก) = ๐‘ (๐‘ก) โˆ— ๐ต(sinc(๐ต๐‘ก)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“0๐‘ก + sinc(๐ต๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“0๐‘ก) (8.3.7)

dalla quale si deduce che il segnale ๐‘ (๐‘ก) non puรฒ avere durata limitata

giacchรฉ esso si puรฒ esprimere mediante una convoluzione in cui uno dei

due operandi ha supporto non limitato.

Di converso, se ๐‘ (๐‘ก) รจ a durata rigorosamente limitata, la sua tra-

sformata si estenderร  su tutto lโ€™asse delle frequenze. In altre parole non

esistono segnali che siano simultaneamente a banda e a durata rigoro-

samente limitate.

Proprietร  dei segnali a banda rigorosamente limitata. 8.4 - Segnali passabasso

Se ๐‘ (๐‘ก) รจ un segnale passabasso, รจ anche rappresentabile mediante

una funzione continua e derivabile infinite volte (vedi ยง. 5.7 - ). Si ha:

๐‘ (๐‘ก) = โˆซ ๐‘†(๐‘“)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘“๐‘“๐‘š

โˆ’๐‘“๐‘š

(8.4.1)

dove ๐‘“๐‘š denota la frequenza di taglio.

Dalla precedente discende:

|๐‘ (๐‘ก)| โ‰ค โˆซ |๐‘†(๐‘“)|๐‘‘๐‘“๐‘“๐‘š

โˆ’๐‘“๐‘š

< โˆž (8.4.2)

Page 182: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

170 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Derivando la (8.4.1)rispetto a t si ottiene:

๐‘‘๐‘ (๐‘ก)

๐‘‘๐‘ก= โˆซ ๐‘—2๐œ‹๐‘“ โ‹… ๐‘†(๐‘“)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘“

๐‘“๐‘š

โˆ’๐‘“๐‘š

(8.4.3)

da cui:

|๐‘‘๐‘ (๐‘ก)

๐‘‘๐‘ก| โ‰ค โˆซ |2๐œ‹๐‘“| โ‹… |๐‘†(๐‘“)|๐‘‘๐‘“

๐‘“๐‘š

โˆ’๐‘“๐‘š

โ‰ค 2๐œ‹๐‘“๐‘šโˆซ |๐‘†(๐‘“)|๐‘‘๐‘“๐‘“๐‘š

โˆ’๐‘“๐‘š

(8.4.4)

Procedendo analogamente per la derivata ๐‘›-esima si ottiene la se-

guente limitazione:

|๐‘‘๐‘›๐‘ (๐‘ก)

๐‘‘๐‘ก๐‘›| โ‰ค (2๐œ‹๐‘“๐‘š)

๐‘›โˆซ |๐‘†(๐‘“)|๐‘‘๐‘“๐‘“๐‘š

โˆ’๐‘“๐‘š

(8.4.5)

cioรจ: il modulo di un segnale passabasso รจ limitato, come pure i moduli

di tutte le sue derivate. Tali limiti dipendono dallโ€™ampiezza ๐‘“๐‘š della ban-

da del segnale. Un segnale passabasso, pertanto, ha un andamento rego-

lare nel tempo con variazioni tanto piรน lente quanto piรน piccola รจ la sua

frequenza di taglio.

Segnali passabanda

Con riferimento alla Fig. 8.2 se ๐‘ (๐‘ก) รจ reale, si puรฒ scrivere:

๐‘ (๐‘ก) = โˆซ ๐‘†(๐‘“)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘“โˆ’๐‘“1

โˆ’๐‘“2

+โˆซ ๐‘†(๐‘“)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘“๐‘“2

๐‘“1

= 2Re [โˆซ ๐‘†(๐‘“)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘“๐‘“2

๐‘“1

]

(8.4.6)

che con la posizione ๐‘“ = ๐‘“0 + ๐œ‘ diventa:

๐‘ (๐‘ก) = 2Re [๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“0๐‘กโˆซ ๐‘†(๐‘“0 + ๐œ‘)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐œ‘๐‘ก๐‘‘๐œ‘

๐ต

2

โˆ’๐ต

2

] (8.4.7)

Definendo il segnale:

๐‘ค(๐‘ก) = 2โˆซ ๐‘†(๐‘“0 + ๐œ‘)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐œ‘๐‘ก๐‘‘๐œ‘

๐ต

2

โˆ’๐ต

2

(8.4.8)

la (8.4.7) si puรฒ riscrivere nella forma:

๐‘ (๐‘ก) = Re[๐‘ค(๐‘ก)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“0๐‘ก] (8.4.9)

Page 183: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 8 - Caratteristiche e Proprietร  dei Segnali - 171

Il segnale ๐‘ค(๐‘ก), definito dalla (8.4.8), รจ in generale complesso a

meno che la ๐‘†(๐‘“) non soddisfi la condizione di simmetria:

๐‘†(๐‘“0 โˆ’ ๐œ‘) = ๐‘†โˆ—(๐‘“0 + ๐œ‘) (8.4.10)

Indicando con ๐‘Ÿ(๐‘ก) e con ๐œ—(๐‘ก) il modulo e lโ€™argomento di ๐‘ค(๐‘ก):

๐‘ค(๐‘ก) = ๐‘Ÿ(๐‘ก)๐‘’๐‘—๐œ—(๐‘ก) (8.4.11)

dalla (8.4.9) discende:

๐‘ (๐‘ก) = ๐‘Ÿ(๐‘ก) cos(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก + ๐œ—(๐‘ก))

= ๐‘ ๐‘“(๐‘ก) cos(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก) โˆ’ ๐‘ ๐‘ž(๐‘ก) sin(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก) (8.4.12)

laddove le quantitร  ๐‘ ๐‘“(๐‘ก) e ๐‘ ๐‘ž(๐‘ก) definite dalle:

๐‘Ž) ๐‘ ๐‘“(๐‘ก) = ๐‘Ÿ(๐‘ก) cos ๐œ—(๐‘ก) = 2Re [โˆซ ๐‘†(๐‘“0 + ๐œ‘)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐œ‘๐‘ก๐‘‘๐œ‘

๐ต

2

โˆ’๐ต

2

]

๐‘) ๐‘ ๐‘ž(๐‘ก) = ๐‘Ÿ(๐‘ก) sin ๐œ—(๐‘ก) = 2Im [โˆซ ๐‘†(๐‘“0 + ๐œ‘)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐œ‘๐‘ก๐‘‘๐œ‘

๐ต

2

โˆ’๐ต

2

]

(8.4.13)

prendono il nome rispettivamente di componenti in fase e in quadratura

del segnale.

Le (8.4.9) e

(8.4.13) suggerisco-

no una particolare

rappresentazione

grafica di ๐‘ (๐‘ก). In-

fatti se il vettore ๐‘‚๐‘ƒ

individua nel piano

complesso di Fig.

8.3 la quantitร  ๐‘ค(๐‘ก) a

un istante generico

๐‘ก, il valore ๐‘ (๐‘ก) del

segnale si potrร  ottenere dalla proiezione sullโ€™asse reale del vettore ๐‘‚๐‘ƒโ€ฒ

ottenuto ruotando ๐‘‚๐‘ƒ di un angolo pari a 2๐œ‹๐‘“0๐‘ก. Il segnale ๐‘ (๐‘ก) รจ noto se

si conosce la posizione del vettore ๐‘‚๐‘ƒ al variare di ๐‘ก. Ciรฒ significa che

๐‘ (๐‘ก) puรฒ essere rappresentato dal luogo ๐›พ dell'estremo di tale vettore. Si

perviene cosรฌ alla naturale estensione dellโ€™usuale rappresentazione di una

grandezza sinusoidale mediante un vettore rotante. In questโ€™ultimo caso,

Fig. 8.3 - Rappresentazione vettoriale di un segnale passa-banda

Page 184: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

172 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

il vettore rappresentativo del segnale non varia nel tempo cosicchรฉ la

curva ๐›พ si riduce a un punto.

Le quantitร  ๐‘Ÿ(๐‘ก) e ๐œ—(๐‘ก) prendono rispettivamente il nome di invi-

luppo e fase istantanei del segnale; si definisce frequenza istantanea la

quantitร  ๐‘“(๐‘ก):

๐‘“(๐‘ก) = ๐‘“0 +1

2๐œ‹

๐‘‘๐œ—(๐‘ก)

๐‘‘๐‘ก (8.4.14)

Dalla (8.4.12) si deduce che un segnale passabanda assume la

forma di unโ€™oscillazione modulata in ampiezza e fase; le quantitร  ๐‘ ๐‘“(๐‘ก) e

๐‘ ๐‘ž(๐‘ก) rappresentano due segnali i cui spettri, in virtรน delle (8.4.13), sono

contenuti nellโ€™intervallo (โˆ’๐ต

2,๐ต

2). Tali funzioni pertanto corrispondono

a segnali di tipo passabasso, e le loro variazioni nel tempo risultano tan-

to piรน lente quanto piรน stretta รจ la banda ๐ต del segnale.

Prendendo le trasformate di Fourier della (8.4.9), si ottiene:

๐‘†(๐‘“) = โˆซ Re[๐‘ค(๐‘ก)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“0๐‘ก]๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

=1

2โˆซ [๐‘ค(๐‘ก)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“0๐‘ก + ๐‘คโˆ—(๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“0๐‘ก]๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

=1

2โˆซ ๐‘ค(๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹(๐‘“โˆ’๐‘“0)๐‘ก๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

+1

2(โˆซ ๐‘ค(๐‘ก)๐‘’๐‘—2๐œ‹(๐‘“+๐‘“0)๐‘ก๐‘‘๐‘ก

โˆž

โˆ’โˆž

)

โˆ—

(8.4.15)

che, detta ๐‘Š(๐‘“) la trasformata di ๐‘ค(๐‘ก), si puรฒ scrivere nella forma:

๐‘†(๐‘“) =1

2๐‘Š(๐‘“ โˆ’ ๐‘“0) +

1

2๐‘Šโˆ—(โˆ’๐‘“ โˆ’ ๐‘“0) (8.4.16)

Esempio 8.4

Detto ๐‘“0 il valore della frequen-

za di centro banda, il segnale ๐‘ (๐‘ก),

il cui spettro ๐‘†(๐‘“) รจ rappresentato

in Fig. E.VII.4, puรฒ ottenersi sulla

base della (8.4.13) determinando le

quantitร  ๐‘ ๐‘“(๐‘ก) e ๐‘ ๐‘ž(๐‘ก). A tal fine si

osservi che lo spettro ๐‘†(๐‘“0 + ๐œ‘)

limitatamente all'intervallo (โˆ’๐ต

2,๐ต

2) si presenta come รจ mostrato in Fig.

E.VII.5, la cui antitrasformata risulta:

Fig.E 8.4

Page 185: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 8 - Caratteristiche e Proprietร  dei Segnali - 173

๐”‰โˆ’1[๐‘†(๐‘“0 +๐œ‘)] = (1 โˆ’ cos(๐œ‹๐ต๐‘ก)

2๐ต๐œ‹2๐‘ก2+sin(๐œ‹๐ต๐‘ก)

2๐œ‹๐‘ก) + ๐‘— (

sin(๐œ‹๐ต๐‘ก)

2๐ต๐œ‹2๐‘ก2โˆ’cos(๐œ‹๐ต๐‘ก)

2๐œ‹๐‘ก)

Le componenti in fase e in quadratura allora sono:

{๐‘ ๐‘“(๐‘ก) =

1 โˆ’ cos(๐œ‹๐ต๐‘ก)

2๐ต๐œ‹2๐‘ก2+sin(๐œ‹๐ต๐‘ก)

2๐œ‹๐‘ก;

๐‘ ๐‘ž(๐‘ก) =sin(๐œ‹๐ต๐‘ก)

2๐ต๐œ‹2๐‘ก2โˆ’cos(๐œ‹๐ต๐‘ก)

2๐œ‹๐‘ก;

Il segnale ๐‘ (๐‘ก) vale allora:

๐‘ (๐‘ก)

= (1 โˆ’ cos(๐œ‹๐ต๐‘ก)

2๐ต๐œ‹2๐‘ก2+sin(๐œ‹๐ต๐‘ก)

2๐œ‹๐‘ก) cos(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก)

โˆ’ (sin(๐œ‹๐ต๐‘ก)

2๐ต๐œ‹2๐‘ก2โˆ’cos(๐œ‹๐ต๐‘ก)

2๐œ‹๐‘ก) sin(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก)

Banda e durata convenzionali. 8.5 -

Se ๐‘ (๐‘ก) non รจ a banda o durata rigorosamente limitata, pur essen-

do a energia finita, puรฒ essere in certi casi conveniente attribuire al se-

gnale una banda o durata convenzionali.

In quel che segue ๐‘ (๐‘ก) si suppone reale passabasso; tuttavia le

considerazioni svolte si possono facilmente estendere ai segnali reali

passabanda.

Banda e durata quadratica o efficace

Si definisce banda quadratica ๐ต๐‘ž la quantitร :

๐ต๐‘ž = (1

๐ธโˆซ ๐‘“2|๐‘†(๐‘“)|2๐‘‘๐‘“โˆž

โˆ’โˆž

)

1

2

(8.5.1)

dove ๐ธ รจ l'energia specifica del segnale.

Si noti che la banda quadratica ๐ต๐‘ž di un segnale dร  una misura

della dispersione dei valori di |๐‘†(๐‘“)|2 attorno all'asse delle frequenze.

In maniera simile si puรฒ definire una durata quadratica ๐‘‡๐‘ž. Detta ๏ฟฝ๏ฟฝ

lโ€™ascissa baricentrica di |๐‘ (๐‘ก)|:

๏ฟฝ๏ฟฝ =1

๐ธโˆซ ๐‘ก|๐‘ (๐‘ก)|2๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

(8.5.2)

la quantitร  ๐‘‡๐‘ž vale:

Fig.E 8.5

Page 186: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

174 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

๐‘‡๐‘ž = (1

๐ธโˆซ (๐‘ก โˆ’ ๏ฟฝ๏ฟฝ)2|๐‘ (๐‘ก)|2๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

)

1

2

(8.5.3)

che, riferendo l'origine dei tempi a ๏ฟฝ๏ฟฝ, assumerebbe la forma piรน sempli-

ce:

๐‘‡๐‘ž = (1

๐ธโˆซ ๐‘ก2|๐‘ (๐‘ก)|2๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

)

1

2

(8.5.4)

analoga alla (8.5.1).

Banda e durata sulla base dellโ€™energia

La durata convenzionale di un segnale รจ definita dall'ampiezza

dell'intervallo centrato sull'ascissa baricentrica nel quale รจ contenuta una

prefissata aliquota ํœ€๐‘‡2 โ‰ค 1 dell'energia totale del segnale. Detta durata

puรฒ essere calcolata risolvendo l'equazione nell'incognita ๐œ:

ํœ€๐‘‡2 =

1

๐ธโˆซ |๐‘ (๐‘ก โˆ’ ๏ฟฝ๏ฟฝ)|2๐‘‘๐‘ก

๐œ

2

โˆ’๐œ

2

(8.5.5)

รˆโ€™ ovvio che la quantitร  ๐œ รจ una funzione non decrescente di ํœ€๐‘‡2 .

Analogamente si introduce una banda equivalente che si ottiene

risolvendo l'equazione nell'incognita ๐œŽ:

ํœ€๐ต2 =

1

๐ธโˆซ |๐‘†(๐‘“)|2๐‘‘๐‘“๐œŽ

โˆ’๐œŽ

(8.5.6)

dove ํœ€๐ต2 รจ una prefissata quantitร  non superiore a 1.

Esempio 8.5

Si determino la durata e banda convenzionali del segnale:

๐‘ (๐‘ก) = u(๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘Ž๐‘ก(๐‘Ž > 0)

Lโ€™energia specifica del segnale vale:

๐ธ = โˆซ ๐‘’โˆ’2๐‘Ž๐‘ก๐‘‘๐‘กโˆž

0

=1

2๐‘Ž

a) Durata quadratica:

Lโ€™ascissa baricentrica vale:

๏ฟฝ๏ฟฝ = 2๐‘Žโˆซ ๐‘ก๐‘’โˆ’2๐‘Ž๐‘ก๐‘‘๐‘กโˆž

0

=2

๐‘Ž

quindi la durata quadratica รจ ottenuta dalla:

Page 187: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 8 - Caratteristiche e Proprietร  dei Segnali - 175

๐‘‡๐‘ž2 = 2๐‘Žโˆซ (๐‘ก โˆ’

2

๐‘Ž)2

๐‘’โˆ’2๐‘Ž๐‘ก๐‘‘๐‘ก

โˆž

0

=5

2๐‘Ž2

Risulta quindi:

๐‘‡๐‘ž =1

๐‘Žโˆš5

2

b) Durata sulla base dellโ€™energia:

Riferendo il segnale alla sua ascissa baricentrica ๏ฟฝ๏ฟฝ si ottiene:

๐‘ฅ(๐‘ก) = ๐‘ (๐‘ก โˆ’ ๏ฟฝ๏ฟฝ) = u(๐‘ก โˆ’2

๐‘Ž)๐‘’โˆ’๐‘Ž(๐‘กโˆ’

2

๐‘Ž)

e quindi la durata si deduce dallโ€™equazione:

ํœ€๐‘‡2

2๐‘Ž= โˆซ u(๐‘ก โˆ’

2

๐‘Ž) ๐‘’โˆ’2๐‘Ž(๐‘กโˆ’

2

๐‘Ž)๐‘‘๐‘ก

๐œ

2

โˆ’๐œ

2

=1 โˆ’ ๐‘’4โˆ’๐‘Ž๐œ

2๐‘Ž

da cui:

๐œ =1

๐‘Ž[4 โˆ’ log(1 โˆ’ ํœ€๐‘‡

2)]

Poichรฉ la trasformata del segnale vale: S(f ) a j2f 1

risulta:

a) Banda quadratica:

Si ha:

๐ต๐‘ž2 =

1

2๐‘Žโˆซ

๐‘“2๐‘‘๐‘“

๐‘Ž2 + (2๐œ‹๐‘“)2

โˆž

โˆ’โˆž

= โˆž

b) Banda sulla base dellโ€™energia:

La banda si determina dalla condizione:

ํœ€๐ต2

2๐‘Ž= โˆซ

๐‘‘๐‘“

๐‘Ž2 + (2๐œ‹๐‘“)2

๐œŽ

โˆ’๐œŽ

=arctg(๐œŽ)

๐œ‹๐‘Ž

dalla quale si deduce:

๐œŽ = tan (๐œ‹

2ํœ€๐ต2)

Page 188: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf
Page 189: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 9

IL CAMPIONAMENTO DEI SEGNALI

Il teorema del campionamento. 9.1 -

Un'importante caratteristica di un segnale a banda limitata รจ quel-

la di potere essere ricostruito a partire dalla conoscenza dei valori, cam-

pioni, assunti da esso in corrispondenza di un'opportuna sequenza di

istanti.

Quanto detto, in altri termini, significa che รจ possibile stabilire

una corrispondenza biunivoca tra funzioni del tempo rappresentative di

segnali a banda limitata e sequenze numeriche.

In linea di principio

per poter ricostruire il se-

gnale non รจ necessario che

i campioni vengano prele-

vati con cadenza regolare.

Tuttavia, poichรฉ in genere

si adottano campionatori

uniformi, in quel che segue

si considererร  soltanto il

campionamento uniforme;

cioรจ si assumerร  che l'in-

tervallo di tempo ๐‘‡ =

๐‘ก๐‘–+1 โˆ’ ๐‘ก๐‘– che intercorre tra

due campioni consecutivi,

detto periodo di campio-

namento, sia costante.

Dato un segnale ๐‘ (๐‘ก) reale rigorosamente passa basso, cioรจ tale

che detta ๐‘†(๐‘“) la sua trasformata di Fourier (vedi Fig. 9.1a)), risulti:

๐‘†(๐‘“) = ๐‘†(๐‘“)โŠ“ (๐‘“

2๐‘“๐‘š), โˆ€๐‘“ โˆˆ โ„ (9.1.1)

si consideri la funzione ๐‘†๐‘(๐‘“), ottenuta ripetendo periodicamente lo

spettro ๐‘†(๐‘“) con periodicitร  ๐‘“๐‘ (v. Fig. 9.1,b):

Fig. 9.1 - a) Spettro di un segnale passabasso; b) sua ripetizione periodica.

Page 190: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

178 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

๐‘†๐‘(๐‘“) = โˆ‘ ๐‘†(๐‘“ โˆ’ ๐‘›๐‘“๐‘)

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(9.1.2)

รˆ evidente che se si sceglie

๐‘“๐‘ โ‰ฅ 2๐‘“๐‘š (9.1.3)

si ha:

๐‘†(๐‘“) = ๐‘†๐‘(๐‘“)โŠ“ (๐‘“

๐‘“๐‘) (9.1.4)

In questo caso cioรจ la trasformata di Fourier del segnale e la funzione

๐‘†๐‘(๐‘“) coincidono nell'intervallo (โˆ’๐‘“๐‘

2,๐‘“๐‘

2).

Poichรฉ ๐‘†๐‘(๐‘“) รจ periodica, puรฒ essere sviluppata in serie di Fourier:

๐‘†๐‘(๐‘“) = โˆ‘ ๐ถ๐‘›๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›

๐‘“

๐‘“๐‘

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(9.1.5)

dove:

๐ถ๐‘› =1

๐‘“๐‘โˆซ ๐‘†(๐‘“)๐‘’

โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“

๐‘“๐‘๐‘‘๐‘“

๐‘“๐‘2

โˆ’๐‘“๐‘2

=1

๐‘“๐‘๐‘  (โˆ’

๐‘›

๐‘“๐‘) (9.1.6)

Sostituendo la (9.1.5) e la (9.1.6) nella (9.1.4) si ottiene la seguente

espressione per ๐‘†(๐‘“):

๐‘†(๐‘“) =1

๐‘“๐‘โŠ“ (

๐‘“

๐‘“๐‘) โˆ‘ ๐‘  (โˆ’

๐‘›

๐‘“๐‘) ๐‘’

๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“

๐‘“๐‘

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

=1

๐‘“๐‘โŠ“ (

๐‘“

๐‘“๐‘) โˆ‘ ๐‘  (

๐‘›

๐‘“๐‘) ๐‘’

โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“

๐‘“๐‘

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(9.1.7)

dove nell'ultima sommatoria si รจ mutato ๐‘› in โˆ’๐‘›.

Tenendo infine presente che ๐”‰โˆ’1 [โŠ“ (๐‘“

๐‘“๐‘)] = ๐‘“๐‘sinc(๐‘“๐‘๐‘ก) si ha:

๐‘ (๐‘ก) = โˆ‘ ๐‘  (๐‘›

๐‘“๐‘) sinc [๐‘“๐‘ (๐‘ก โˆ’

๐‘›

๐‘“๐‘)]

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(9.1.8)

La precedente costituisce l'espressione formale del teorema del

campionamento. Da essa risulta infatti evidente che รจ possibile ricostrui-

Page 191: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 9 - Il Campionamento dei Segnali - 179

re un segnale passabasso a partire dalla sequenza {๐‘  (๐‘›

๐‘“๐‘)}๐‘›=โˆ’โˆž

โˆž

dei suoi

campioni.

Si osservi che, in base alla (9.1.8), la ricostruzione del segnale vie-

ne effettuata sommando una serie di funzioni del tipo sinc(๐‘“๐‘๐‘ก) oppor-

tunamente ritardate e pesate per mezzo dei campioni di ๐‘ (๐‘ก) come indi-

cato in Fig. 9.2.

Si sottolinea che la (9.1.8) vale soltanto se la (9.1.3) รจ verificata. La

minima frequenza di campionamento che soddisfa tale limitazione รจ det-

ta frequenza di Nyquist, e il corrispondente massimo periodo di campio-

namento periodo di Nyquist. Essi valgono rispettivamente:

๐‘“๐‘ = 2๐‘“๐‘š; ๐‘‡๐‘ =1

2๐‘“๐‘š; (9.1.9)

Il sottospazio dei segnali passabasso. 9.2 -

Dalla (9.1.8) si deduce che l'insieme di funzioni normalizzate:

๐‘ข๐‘›(๐‘ก) = โˆš๐‘“๐‘sinc [๐‘“๐‘ (๐‘ก โˆ’๐‘›

๐‘“๐‘)] (9.2.1)

รจ completo rispetto all'insieme dei segnali passabasso ad energia finita

con frequenza di taglio non superiore ad ๐‘“๐‘

2. Inoltre le (9.2.1) sono orto-

gonali. Infatti detta ๐‘ˆ๐‘›(๐‘“) la trasformata di Fourier di ๐‘ข๐‘›(๐‘ก) si ha:

Fig. 9.2 - Ricostruzione di un segnale a partire dai suoi campioni

Page 192: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

180 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

๐‘ˆ๐‘›(๐‘“) = โˆš๐‘“๐‘๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›

๐‘“

๐‘“๐‘๐”‰[sinc(๐‘“๐‘๐‘ก)] =1

โˆš๐‘“๐‘โŠ“ (

๐‘“

๐‘“๐‘) ๐‘’

โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“

๐‘“๐‘ (9.2.2)

Applicando il teorema di Parseval si ottiene:

โˆซ ๐‘ข๐‘›(๐‘ก)๐‘ข๐‘š(๐‘ก)๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ ๐‘ˆ๐‘›(๐‘“)๐‘ˆ๐‘šโˆ— (๐‘“)๐‘‘๐‘“

โˆž

โˆ’โˆž

=1

๐‘“๐‘โˆซ ๐‘’

โˆ’๐‘—2๐œ‹(๐‘›โˆ’๐‘š)๐‘“

๐‘“๐‘ ๐‘‘๐‘“

๐‘“๐‘2

โˆ’๐‘“๐‘2

= sinc(๐‘š-๐‘›)

(9.2.3)

In termini delle funzioni ๐‘ข๐‘›(๐‘ก), la (9.1.8) si traduce nella:

๐‘ (๐‘ก) = โˆ‘ ๐›ผ๐‘›๐‘ข๐‘›(๐‘ก)

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(9.2.4)

dove:

๐›ผ๐‘› =1

โˆš๐‘“๐‘๐‘  (๐‘›

๐‘“๐‘)

(9.2.5)

Si noti che l'ortogonali-

tร  delle ๐‘ข๐‘›(๐‘ก) implica che la

famiglia di dette funzioni co-

stituisce un set completo per

lo spazio dei segnali passa-

basso di banda non superiore

a ๐‘“๐‘

2, e conseguentemente im-

plica anche che la sequenza di

coefficienti definiti dalla

(9.2.5) รจ l'unica che consente

la ricostruzione del generico

elemento di detto spazio per

mezzo della base in questio-

ne.

รˆ evidente che se ๐‘“๐‘ < 2๐‘“๐‘š, ๐‘†๐‘(๐‘“) non coincide con ๐‘†(๐‘“) nell'in-

tervallo (โˆ’๐‘“๐‘š, ๐‘“๐‘š) del segnale ๐‘ (๐‘ก) (vedi Fig. 9.3). La sua ricostruzione

non รจ effettuabile mediante la (9.1.8).

Fig. 9.3 โ€“ Campionamento con ๐‘“๐‘ < 2๐‘“๐‘š

Page 193: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 9 - Il Campionamento dei Segnali - 181

D'altra parte, se la frequenza di campionamento รจ superiore a

quella di Nyquist, cioรจ se risulta ๐‘“๐‘ > 2๐‘“๐‘š, ci si convince che, in alterna-

tiva alla (9.1.7), ๐‘†(๐‘“) puรฒ anche essere ricostruito a partire dalla:

๐‘†(๐‘“) = โŠ“ (๐‘“

2๐‘“๐‘š) ๐‘†๐‘(๐‘“) =

1

๐‘“๐‘โŠ“ (

๐‘“

2๐‘“๐‘š) โˆ‘ ๐‘  (

๐‘›

๐‘“๐‘) ๐‘’

โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“

๐‘“๐‘

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(9.2.6)

dalla quale si perviene alla seguente formula di ricostruzione:

๐‘ (๐‘ก) =2๐‘“๐‘š๐‘“๐‘

โˆ‘ ๐‘ (๐‘›

๐‘“๐‘) sinc [2๐‘“๐‘š (๐‘ก โˆ’

๐‘›

๐‘“๐‘)]

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(9.2.7)

che analogamente alla (9.2.4) puรฒ essere scritta nella forma:

con

๐‘ฃ๐‘›(๐‘ก) = โˆš2๐‘“๐‘šsinc [2๐‘“๐‘š (๐‘ก โˆ’๐‘›

๐‘“๐‘)] (9.2.8)

e

๐›ฝ๐‘› =โˆš2๐‘“๐‘š๐‘“๐‘

๐‘  (๐‘›

๐‘“๐‘) (9.2.9)

Tuttavia in questo caso, la (9.2.8) individua una famiglia di fun-

zioni normalizzate che non sono mutuamente ortogonali. Si ha infatti:

โˆซ ๐‘ข๐‘›(๐‘ก)๐‘ข๐‘š(๐‘ก)๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

=1

2๐‘“๐‘šโˆซ ๐‘’

โˆ’๐‘—2๐œ‹(๐‘›โˆ’๐‘š)๐‘“

๐‘“๐‘๐‘‘๐‘“๐‘“๐‘š

โˆ’๐‘“๐‘š

= sinc [2๐‘“๐‘š๐‘“๐‘(๐‘› โˆ’ ๐‘š)]

(9.2.10)

Si consideri una generica combinazione lineare delle {๐‘ฃ๐‘›(๐‘ก)}:

๐œ‘(๐‘ก) = โˆ‘ ๐›พ๐‘›๐‘ฃ๐‘›(๐‘ก)

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(9.2.11)

la cui trasformata vale:

๐›ท(๐‘“) = โˆ‘ ๐›พ๐‘›๐‘‰๐‘›(๐‘“)

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

=1

โˆš2๐‘“๐‘šโŠ“ (

๐‘“

2๐‘“๐‘š) โˆ‘ ๐›พ๐‘›๐‘’

โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“

๐‘“๐‘

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(9.2.12)

Si osservi che la sommatoria โˆ‘ ๐›พ๐‘›๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›

๐‘“

๐‘“๐‘โˆž๐‘›=โˆ’โˆž individua una funzione

periodica di periodo ๐‘“๐‘. Scegliendo opportunamente la sequenza di coef-

Page 194: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

182 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

ficienti ๐›พ๐‘› รจ possibile generare una funzione nulla nell'intervallo

(โˆ’๐‘“๐‘š, ๐‘“๐‘š) e diversa da zero nel suo complementare rispetto all'intervallo

(โˆ’๐‘“๐‘

2,๐‘“๐‘

2). Sostituendo una tale sequenza nella (9.2.12) si ottiene, in virtรน

della presenza della funzione โŠ“ (๐‘“

2๐‘“๐‘š), una ๐›ท(๐‘“) e quindi una ๐œ‘(๐‘ก) nulla

in corrispondenza di una sequenza di coefficienti non identicamente

nulla. Pertanto le funzioni ๐‘ฃ๐‘›(๐‘ก), pur generando lo spazio dei segnali

passabasso di banda ๐‘“๐‘š, non sono tra loro linearmente indipendenti,

quindi non ne costituiscono una base.

Campionamento naturale. 9.3 -

La ripetizione periodica del segnale ๐‘†(๐‘“) con periodicitร  ๐‘“๐‘, defi-

nita dalla (9.1.2) corrisponde nel dominio del tempo al segnale:

๐‘ ๐‘(๐‘ก) = โˆ‘ ๐”‰โˆ’1[๐‘†(๐‘“ โˆ’ ๐‘›๐‘“๐‘)] = ๐‘ (๐‘ก) โˆ‘ ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“๐‘๐‘กโˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(9.3.1)

Il segnale campionato puรฒ quindi essere ottenuto comโ€™รจ schematizzato

in Fig. 9.4, cioรจ dal prodotto di ๐‘ (๐‘ก) per la fun-

zione:

๐‘ฃ0(๐‘ก) = โˆ‘ ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“๐‘๐‘กโˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(9.3.2)

detta funzione campionatrice.

La (9.3.2), utilizzando la formula di Pois-

son (5.5.8), puรฒ essere espressa nella

๐‘ฃ0(๐‘ก) = ๐‘‡๐‘ โˆ‘ ๐›ฟ(๐‘ก โˆ’ ๐‘›๐‘‡๐‘)

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(9.3.3)

Il campionatore del tipo mostrato in Fig. 9.4 non รจ quindi fisica-

mente realizzabile a causa della presenza della delta di Dirac.

Si puรฒ pensare di approssimare la funzione campionatrice (9.3.3)

con un treno dโ€™impulsi che sia la ripetizione periodica con passo ๐‘‡๐‘ di un

impulso ๐‘(๐‘ก) di durata ๐‘‡ < ๐‘‡๐‘ e trasformata di Fourier ๐‘ƒ(๐‘“). cioรจ assu-

mendo che ๐‘ฃ0(๐‘ก) valga:

๐‘ฃ0(๐‘ก) = โˆ‘ ๐‘(๐‘ก โˆ’ ๐‘›๐‘‡๐‘๐‘‡

)

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(9.3.4)

Fig. 9.4 - Campionatore

Page 195: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 9 - Il Campionamento dei Segnali - 183

con ๐‘‡ < ๐‘‡๐‘. Il segnale campionato, in questo caso, si presenta (vedi Fig.

9.5) nella forma:

๐‘ ๐‘(๐‘ก) = ๐‘ (๐‘ก) โ‹… ๐‘ฃ0(๐‘ก) = ๐‘ (๐‘ก) โˆ‘ ๐‘(๐‘ก โˆ’ ๐‘›๐‘‡๐‘๐‘‡

)

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(9.3.5)

e si parla di campionamento naturale.

La trasformata di ๐‘ ๐‘(๐‘ก) si puรฒ calcolare tramite il teorema della

convoluzione nel dominio della frequenza ottenendo:

๐‘†๐‘(๐‘“) = ๐‘†(๐‘“) โˆ— ๐‘‰0(๐‘“) (9.3.6)

dove:

๐‘‰0(๐‘“) = ๐”‰[๐‘ฃ0(๐‘ก)] = ๐”‰ [ โˆ‘ ๐‘‰0๐‘›๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›

๐‘ก

๐‘‡๐‘

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

]

= โˆ‘ ๐‘‰0๐‘›๐›ฟ(๐‘“ โˆ’ ๐‘›๐‘“๐‘)

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(9.3.7)

in cui

๐‘‰0๐‘› =1

๐‘‡๐‘โˆซ ๐‘(๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“๐‘๐‘ก๐‘‘๐‘ก

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

=๐‘ƒ(๐‘›๐‘“๐‘๐‘‡)

๐‘‡๐‘ (9.3.8)

Fig. 9.5 - Campionamento naturale.

Page 196: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

184 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Si ha quindi:

๐‘†๐‘(๐‘“) = โˆ‘ ๐‘‰0๐‘›โˆซ ๐‘†(๐œ‘)๐›ฟ(๐‘“ โˆ’ ๐œ‘ โˆ’ ๐‘›๐‘“๐‘)๐‘‘๐œ‘โˆž

โˆ’โˆž

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

= โˆ‘ ๐‘‰0๐‘›๐‘†(๐‘“ โˆ’ ๐‘›๐‘“๐‘) =1

๐‘‡๐‘โˆ‘ ๐‘ƒ(๐‘›๐‘“๐‘๐‘‡)๐‘†(๐‘“ โˆ’ ๐‘›๐‘“๐‘)

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(9.3.9)

La (9.3.9) mostra che nel campionamento naturale lโ€™ennesima ri-

petizione dello spet-

tro risulta moltiplica-

ta per il fattore ๐‘ƒ(๐‘›๐‘“๐‘๐‘‡)

๐‘‡๐‘. Pertanto

nell'intervallo

(โˆ’๐‘“๐‘

2,๐‘“๐‘

2), la forma

dello spettro rimane

immutata, รจ quindi

evidente che il segna-

le puรฒ essere ancora

ricostruito. Nel caso

in cui ๐‘(๐‘ก) =โŠ“ (๐‘ก

๐‘‡) si ha ๐‘ƒ(๐‘“) = ๐‘‡sinc(๐‘“๐‘‡) da cui sostituendo nella (9.3.9) si

ottiene:

๐‘†๐‘(๐‘“) =๐‘‡

๐‘‡๐‘โˆ‘ sinc(๐‘›๐‘“๐‘๐‘‡)๐‘†(๐‘“ โˆ’ ๐‘›๐‘“๐‘)

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(9.3.10)

In questo caso lo spettro di ampiezza |๐‘†๐‘(๐‘“)| del segnale ๐‘ ๐‘(๐‘ก) si presen-

ta come รจ mostrato in Fig. 9.6. Tornando alla Fig. 9.5 possiamo osserva-

re che nel campionamento naturale il generico impulso ๐‘(๐‘ก โˆ’ ๐‘›๐‘‡๐‘) viene

in realtร  distorto dal segnale quindi non possiamo parlare di vero e pro-

prio campionamento nel senso che non potremmo ricostruire il segnale

a partire dalla sola conoscenza dei valori che esso assume in una se-

quenza di istanti, tale campionamento potrebbe al piรน essere utilizzato

per una multiplazione di piรน segnali su uno stesso mezzo fisico (multi-

plazione a divisione di tempo), in quanto sarebbe possibile inserire tra

gli impulsi associati ad un segnale quelli relativi ad altri.

Fig. 9.6 - Spettro del segnale campionato: campionamento

ideale, campionamento naturale.

Page 197: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 9 - Il Campionamento dei Segnali - 185

Campionamento istantaneo. 9.4 -

Un'altra modalitร  di campionamento consiste nel cosiddetto cam-

pionamento istantaneo (vedi Fig. 9.7). In questo caso il segnale campionato

vale:

๐‘ ๐‘(๐‘ก) = โˆ‘ ๐‘ (๐‘›๐‘‡๐‘)๐‘ (๐‘ก โˆ’ ๐‘›๐‘‡๐‘๐‘‡

)

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(9.4.1)

Nel campiona-

mento istantaneo gli

impulsi che costitui-

scono ๐‘ ๐‘(๐‘ก) mantengo-

no cioรจ la loro forma

mentre le loro ampiez-

ze sono proporzionali

ai campioni ๐‘ (๐‘›๐‘‡๐‘) del

segnale.

Per valutare lo

spettro del segnale

espresso dalla (9.4.1) รจ

conveniente scrivere ๐‘ (๐‘กโˆ’๐‘›๐‘‡๐‘

๐‘‡) mediante la seguente convoluzione:

๐‘ (๐‘ก โˆ’ ๐‘›๐‘‡๐‘๐‘‡

) = ๐‘ (๐‘ก

๐‘‡) โˆ— ๐›ฟ(๐‘ก โˆ’ ๐‘›๐‘‡๐‘) (9.4.2)

Di conseguenza:

๐‘ ๐‘(๐‘ก) = ๐‘ (๐‘ก

๐‘‡) โˆ— ( โˆ‘ ๐‘ (๐‘›๐‘‡๐‘)๐›ฟ(๐‘ก โˆ’ ๐‘›๐‘‡๐‘)

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

)

= ๐‘ (๐‘ก

๐‘‡) โˆ— (๐‘ (๐‘ก) โˆ‘ ๐›ฟ(๐‘ก โˆ’ ๐‘›๐‘‡๐‘)

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

)

(9.4.3)

Nella precedente abbiamo ricordato che:

๐‘ (๐‘›๐‘‡๐‘)๐›ฟ(๐‘ก โˆ’ ๐‘›๐‘‡๐‘) = ๐‘ (๐‘ก)๐›ฟ(๐‘ก โˆ’ ๐‘›๐‘‡๐‘) (9.4.4)

e utilizzando la (5.8.5) per la trasformata di ๐‘ ๐‘(๐‘ก), si ottiene:

Fig. 9.7 Campionamento Istantaneo

Page 198: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

186 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

๐‘†๐‘(๐‘“) = ๐‘ƒ(๐‘“)๐”‰ [๐‘ (๐‘ก) โˆ‘ ๐›ฟ(๐‘ก โˆ’ ๐‘›๐‘‡๐‘)

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

]

= ๐‘ƒ(๐‘“) (๐‘†(๐‘“) โˆ—1

๐‘‡๐‘โˆ‘ ๐›ฟ(๐‘“ โˆ’ ๐‘›๐‘“๐‘)

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

)

=๐‘ƒ(๐‘“)

๐‘‡๐‘โˆ‘ ๐‘†(๐‘“ โˆ’ ๐‘›๐‘“๐‘)

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(9.4.5)

Nel caso in cui ๐‘(๐‘ก) =โŠ“ (๐‘ก

๐‘‡) avremmo:

๐‘†๐‘(๐‘“) = ๐‘‡sinc(๐‘“๐‘‡)๐”‰ [๐‘ (๐‘ก) โˆ‘ ๐›ฟ(๐‘ก โˆ’ ๐‘›๐‘‡๐‘)

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

]

= ๐‘‡sinc(๐‘“๐‘‡) (๐‘†(๐‘“) โˆ—1

๐‘‡๐‘โˆ‘ ๐›ฟ(๐‘“ โˆ’ ๐‘›๐‘“๐‘)

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

)

=๐‘‡

๐‘‡๐‘sinc(๐‘“๐‘‡) โˆ‘ ๐‘†(๐‘“ โˆ’ ๐‘›๐‘“๐‘)

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(9.4.6)

In questo caso lo spettro del segnale campionato รจ mostrato in blu in

Fig. 9.8, da cui si rileva che, a causa del fattore ๐‘‡

๐‘‡๐‘sinc(๐‘“๐‘‡) tale spettro ha

una forma diversa da quello del segnale nella porzione contenuta nell'in-

Fig. 9.8 - Campionamento naturale, campionamento istantaneo.

Page 199: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 9 - Il Campionamento dei Segnali - 187

tervallo (โˆ’๐‘“๐‘

2,๐‘“๐‘

2).

Di conseguenza un filtro passabasso non รจ in grado di ricostruire

il segnale. Tuttavia, poichรฉ il legame tra lo spettro del segnale campiona-

to e quello di ๐‘ (๐‘ก) รจ noto, รจ possibile eliminare la distorsione introdotta

dal campionatore.

Si osservi inoltre che, se ๐‘‡ << ๐‘‡๐‘ , la distorsione introdotta diven-

ta trascurabile in quanto il fattore sinc(๐‘“๐‘‡) varia poco nella banda di in-

teresse. Tale riduzione tuttavia, comporta anche una notevole attenua-

zione del segnale a causa del fattore ๐‘‡

๐‘‡๐‘<< 1.

Errori di ricoprimento spettrale (aliasing). 9.5 -

Se si suppone che il segnale ๐‘ (๐‘ก), se pur non rigorosamente pas-

sabasso, abbia la maggior parte della sua energia concentrata in una

banda (โˆ’๐‘“๐‘š, ๐‘“๐‘š), si puรฒ pensare di effettuare un campionamento, che

per semplicitร  si suppone ideale, utilizzando una ๐‘“๐‘ = 2๐‘“๐‘š. In questo ca-

so il segnale ricostruito ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก) non puรฒ riprodurre fedelmente ๐‘ (๐‘ก) (vedi

fig. Fig. 9.9). Si rende quindi necessario stimare l'entitร  dell'errore com-

messo. A tal fine si calcoli la distanza euclidea tra il segnale e la sua ver-

sione ricostruita:

๐‘’ = โˆซ |๐‘ (๐‘ก) โˆ’ ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก)|2๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

(9.5.1)

Applicando il teorema di Parseval la precedente si puรฒ anche scrivere:

๐‘’ = โˆซ |๐‘†(๐‘“) โˆ’ ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘“)|2๐‘‘๐‘“โˆž

โˆ’โˆž

(9.5.2)

Fig. 9.9 - Campionamento di un segnale a banda non limitata.

Page 200: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

188 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Ricordando che la ricostruzione del segnale avviene mediante un filtro

passabasso, e che quindi ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘“) รจ nullo all'esterno di (โˆ’๐‘“๐‘š, ๐‘“๐‘š), รจ lecito ri-

formulare la (9.5.2) come segue:

๐‘’ = โˆซ |๐‘†(๐‘“)|2๐‘‘๐‘“|๐‘“|>๐‘“๐‘š

+โˆซ |๐‘†(๐‘“) โˆ’ ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘“)|2๐‘‘๐‘“๐‘“๐‘š

โˆ’๐‘“๐‘š

(9.5.3)

La presenza del primo addendo della (9.5.3) รจ inevitabile, in quan-

to esso รจ dovuto alle componenti spettrali di ๐‘ (๐‘ก) che cadono al di fuori

della banda di interesse. Il secondo addendo nasce a causa del ricopri-

mento spettrale (aliasing).

Se si provvede a prefiltrare il segnale mediante un filtro passa

basso, che per semplicitร  supponiamo ideale, di banda ๐‘“๐‘š prima di cam-

pionarlo (vedi Fig. 9.10), la distanza euclidea (9.5.1) diventa:

๏ฟฝ๏ฟฝ = โˆซ |๐‘†(๐‘“)|2๐‘‘๐‘“|๐‘“|>๐‘“๐‘š

(9.5.4)

in quanto in questo caso viene a mancare il contributo allโ€™errore dovuto

allโ€™aliasing.

Poichรฉ evidentemente risulta ๐‘’ > ๏ฟฝ๏ฟฝ si conclude che l'introduzione

di un prefiltro รจ sempre auspicabile in quanto comunque comporta una

riduzione dell'errore di ricostruzione.

Esempio 9.1

Il segnale

๐‘†(๐‘“) = ๐‘’โˆ’|๐‘“|

๐‘“๐‘Ž

รจ un segnale a banda non limitata. Supponendo di campionarlo con frequen-

za ๐‘“๐‘, lo spettro del segnale campionato vale:

Fig. 9.10 Campionamento con prefiltraggio

Page 201: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 9 - Il Campionamento dei Segnali - 189

๐‘†๐‘(๐‘“) = โˆ‘ ๐‘’โˆ’|๐‘“โˆ’๐‘›๐‘“๐‘|

๐‘“๐‘Ž

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

=๐‘’โˆ’๐‘“๐‘๐‘“๐‘Ž

1 โˆ’ ๐‘’โˆ’๐‘“๐‘๐‘“๐‘Ž

(๐‘’๐‘“

๐‘“๐‘Ž + ๐‘’โˆ’๐‘“

๐‘“๐‘Ž) + ๐‘’โˆ’|๐‘“|

๐‘“๐‘Ž

Di conseguenza lo spettro del segnale ricostruito vale:

๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘“) = ๐‘†๐‘(๐‘“)โŠ“ (๐‘“

๐‘“๐‘)

e risulta:

๐‘’ = 2โˆซ ๐‘’โˆ’2๐‘“

๐‘“๐‘Ž๐‘‘๐‘“โˆž

๐‘“๐‘2

+ ๐‘’โˆ’2๐‘“๐‘๐‘“๐‘Ž (1 โˆ’ ๐‘’

โˆ’๐‘“๐‘๐‘“๐‘Ž)

โˆ’2

โˆซ (๐‘’๐‘“

๐‘“๐‘Ž + ๐‘’โˆ’๐‘“

๐‘“๐‘Ž)2

๐‘‘๐‘“

๐‘“๐‘2

โˆ’๐‘“๐‘2

L'errore ๐‘’ risulta allora:

๐‘’ = 2 [๐‘“๐‘ (๐‘’๐‘“๐‘๐‘“๐‘Ž โˆ’ 1)

โˆ’2

+ ๐‘“๐‘Ž (๐‘’๐‘“๐‘๐‘“๐‘Ž โˆ’ 1)

โˆ’1

]

In presenza di prefiltro l'errore vale:

๏ฟฝ๏ฟฝ = โˆซ ๐‘’โˆ’2|๐‘“|

๐‘“๐‘Ž ๐‘‘๐‘“|๐‘“|>

๐‘“๐‘2

= ๐‘“๐‘Ž๐‘’โˆ’๐‘“๐‘๐‘“๐‘Ž

Campionamento ideale dei segnali passabanda. 9.6 -

Le considerazioni svolte precedentemente possono essere estese

al caso di un segnale passabanda, effettuando il campionamento con

frequenza non inferiore al doppio della massima frequenza contenuta

nel suo spettro.

Per i segnali di tipo passabanda, tuttavia, รจ talvolta possibile effet-

tuare un campionamento ad una frequenza inferiore a quella di Nyquist.

Infatti รจ chiaro che, almeno in linea di principio, la ricostruzione di un

segnale a partire dalla sequenza dei suoi campioni รจ possibile a patto che

il suo spettro coincida, dove non รจ nullo, con la sua ripetizione periodi-

ca. In altre parole รจ possibile ricostruire il segnale, purchรฉ si scelga una

frequenza di campionamento che non dia luogo al fenomeno dell'alia-

sing.

Una condizione che deve necessariamente essere soddisfatta da

una possibile frequenza di campionamento ๐‘“๐‘ รจ la seguente:

๐‘“๐‘ โˆ’ ๐ต โ‰ฅ ๐ต (9.6.1)

ovvero:

๐‘“๐‘ โ‰ฅ 2๐ต (9.6.2)

dove ๐ต indica la banda del segnale.

Page 202: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

190 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Ci si convince che, data la generica ripetizione dello spettro:

๐‘†(๐‘“ โˆ’ ๐‘˜๐‘“๐‘) = ๐‘†โˆ’(๐‘“ โˆ’ ๐‘˜๐‘“๐‘) + ๐‘†+(๐‘“ โˆ’ ๐‘˜๐‘“๐‘) (9.6.3)

l'eventuale interferenza si puรฒ verificare, o a causa di un termine

๐‘†โˆ’(๐‘“ โˆ’ ๐‘˜๐‘“๐‘) che, in corrispondenza di un dato valore dell'indice ๐‘˜ posi-

tivo, va a sovrapporsi a ๐‘†+(๐‘“), o, dualmente, a causa di un termine

๐‘†+(๐‘“ โˆ’ ๐‘˜๐‘“๐‘) che, per un qualche ๐‘˜ < 0, interferisce con ๐‘†โˆ’(๐‘“).

Ci si rende conto che ๐‘“๐‘ รจ una possibile frequenza di campiona-

mento se, in corrispondenza al massimo valore ๏ฟฝ๏ฟฝ dell'indice ๐‘˜ per cui la

componente ๐‘†โˆ’(๐‘“ โˆ’ ๐‘˜๐‘“๐‘) si mantiene alla sinistra di ๐‘†+(๐‘“), risulta che il

termine ๐‘†โˆ’(๐‘“ โˆ’ (๐‘˜ + 1)๐‘“๐‘), relativo alla successiva ripetizione dello spet-

tro del segnale, rimane alla destra di ๐‘†+(๐‘“).

Quanto detto (vedi Fig. 9.11) si traduce nelle disuguaglianze:

๐‘˜๐‘“๐‘ โˆ’ (๐‘“0 โˆ’๐ต

2) โ‰ค ๐‘“0 โˆ’

๐ต

2 (9.6.4)

(๐‘˜ + 1)๐‘“๐‘ โˆ’ (๐‘“0 +๐ต

2) โ‰ฅ ๐‘“0 +

๐ต

2 (9.6.5)

Combinando le precedenti si ottiene:

2๐‘“0 + ๐ต

๐‘˜ + 1โ‰ค ๐‘“๐‘ โ‰ค

2๐‘“0 โˆ’ ๐ต

k (9.6.6)

La quale definisce un intervallo di frequenze di campionamento

solo per quei valori di ๐‘˜ per cui risulta 2๐‘“0+๐ต

๐‘˜+1โ‰ค

2๐‘“0โˆ’๐ต

๐‘˜; ciรฒ implica il fatto

che ๏ฟฝ๏ฟฝ deve soddisfare la seguente limitazione:

Fig. 9.11 - frequenze di campionamento per un segnale passabanda

Page 203: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 9 - Il Campionamento dei Segnali - 191

๐‘˜ โ‰ค โŒŠ๐‘“0๐ตโˆ’1

2โŒ‹ (9.6.7)

dove la notazione โŒŠ๐‘ฅโŒ‹ indica la parte intera di ๐‘ฅ.

In conclusione, ad ogni valore di ๐‘˜ che soddisfa la (9.6.7) corri-

sponde un intervallo di frequenze di campionamento. Il numero di tali

intervalli cresce all'aumentare del rapporto ๐‘“0

๐ต.

Il diagramma di Fig. 9.12 consente di dedurre tutti i possibili valori

delle frequenze di campionamento (regioni non ombreggiate). Si osservi

inoltre che, tanto piรน grande รจ ๐‘“0

๐ต tanto piรน piccola puรฒ essere la frequen-

za di campionamento rispetto alla frequenza di centro banda del segnale,

compatibilmente con l'estremo inferiore definito dalla (9.6.2).

Fig. 9.12 - Intervalli di frequenze di campionamento per un segnale passa-banda.

Page 204: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

192 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Tuttavia, si osservi che, l'ampiezza degli intervalli di campiona-

mento a frequenza bassa al crescere di ๐‘“0

๐ต diventa piccola imponendo

conseguentemente condizioni stringenti sulle specifiche di stabilitร  in

frequenza del generatore della funzione campionatrice.

Esempio 9.2

Si determinino le possibili frequenze di campionamento per un segnale

passa banda avente le seguenti caratteristiche

๐‘“0 = 10๐‘˜๐ป๐‘ง , ๐ต = 1,0๐‘˜๐ป๐‘ง

Gli intervalli di possibili frequenze di campionamento (espresse in ๐‘˜๐ป๐‘ง)

sono date dalla 21

๐‘˜ + 1โ‰ค ๐‘“๐‘  โ‰ค

19

๐‘˜

essendo

1 โ‰ค ๐‘˜ โ‰ค โŒŠ10 โˆ’1

2โŒ‹ = 9

Esistono allora 9 intervalli di frequenze di campionamento possibili oltre

ovviamente a quello che contiene le frequenze non inferiori alla frequenza di

Nyquist. Detti intervalli, espressi in ๐‘˜๐ป๐‘ง, valgono:

๐ผ0 โ‰ก (21, โˆž) ๐‘˜ = 0

๐ผ1 โ‰ก (10.5, 19) ๐‘˜ = 1

๐ผ2 โ‰ก (7, 9.5) ๐‘˜ = 2

๐ผ3 โ‰ก (5.25, 6.333) ๐‘˜ = 3

๐ผ4 โ‰ก (4.2, 4.75) ๐‘˜ = 4

๐ผ5 โ‰ก (3.5, 3.8) ๐‘˜ = 5

๐ผ6 โ‰ก (3, 3.16) ๐‘˜ = 6

๐ผ7 โ‰ก (2.625, 2.714) ๐‘˜ = 7

๐ผ8 โ‰ก (2.333, 2.375) ๐‘˜ = 8

๐ผ9 โ‰ก (2.1, 2.111) ๐‘˜ = 9

Per realizzare il campionamento alla minima frequenza si richiede quindi

una tolleranza nella frequenza del generatore della funzione campionatrice

inferiore allo: 2,111 โˆ’ 2,12,111+2,1

2

โˆ— 100 = 0,53%

Esempio 9.3

Un'interessante applicazione del campionamento si riscontra nel funzio-

namento degli oscilloscopi campionatori tramite i quali รจ possibile rappre-

Page 205: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 9 - Il Campionamento dei Segnali - 193

sentare segnali periodici anche quando il loro contenuto armonico supera

l'ampiezza di banda propria dello strumento.

Per chiarire il principio di funzionamento di dette apparecchiature si con-

sideri un segnale ๐‘ (๐‘ก) periodico di periodo ๐‘‡0 = 1 ๐‘“0โ„ come mostra la Fig.E

9.1 dove si รจ rappresentato anche lo spettro che nel caso in questione รจ costi-

tuito dalle righe in blu centrate a ยฑ๐‘“0, ยฑ2๐‘“0, ยฑ3๐‘“0.

Supponendo di campionare il segnale ๐‘ (๐‘ก) con una frequenza di campio-

namento ๐‘“๐‘ inferiore a ๐‘“0, cioรจ pari a ๐‘“๐‘ = ๐›ผ๐‘“0, con 0 < ๐›ผ < 1 (nella figura

si รจ scelto ๐›ผ = 0,9) si ottiene un segnale campionato il cui spettro ๐‘†๐‘(๐‘“) รจ

costituito dalla ripetizione periodica, con periodo ๐‘“๐‘, di quello ๐‘†(๐‘“) di ๐‘ (๐‘ก).

Precisamente

๐‘†๐‘(๐‘“) = โˆ‘ ๐‘†(๐‘“ โˆ’ ๐‘˜๐‘“๐‘)

โˆž

๐‘˜=โˆ’โˆž

Lo spettro di ๐‘ (๐‘ก) รจ a righe in quanto periodico. La prima armonica di ๐‘ (๐‘ก)

genera in ๐‘†๐‘(๐‘“) una sequenza di delta di Dirac della sua stessa ampiezza

centrate alle frequenze ๐‘“0 โˆ’ ๐‘˜๐‘“๐‘ = (1 โˆ’ ๐‘˜๐›ผ)๐‘“0, ๐‘˜ โˆˆ โ„•.

Le altre componenti armoniche genereranno a loro volta delle ulteriori

sequenze di righe spettrali. Di conseguenza lo spettro del segnale campiona-

to si presenta come รจ indicato nella stessa Fig.E 9.1 in cui ogni ripetizione

dello spettro รจ stata riportata con un colore diverso.

Filtrando il segnale campionato mediante un filtro passabasso di banda ๐‘“๐‘

2, che si suppone inferiore alla banda propria dello strumento, si ottiene un

segnale ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก) il cui spettro รจ costituito soltanto dalle righe di ๐‘†๐‘(๐‘“) apparte-

nenti all'intervallo (โˆ’๐‘“๐‘

2,๐‘“๐‘

2) cioรจ quelle per cui รจ verificata la disuguaglian-

za:

โˆ’๐›ผ๐‘“02โ‰ค ๐‘›๐‘“0 โˆ’ ๐‘˜๐›ผ๐‘“0 โ‰ค

๐›ผ๐‘“02

dalla quale si ricava che i valori di ๐‘˜ devono appartenere allโ€™intervallo di mis

ura 1:

[๐‘›

๐›ผโˆ’1

2,๐‘›

๐›ผ+1

2]

Page 206: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

194 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Purchรฉ gli estremi di tale intervallo non siano interi, cosa che non accade

se si sceglie un valore di ๐›ผ che soddisfi la condizione:

๐›ผ โ‰ 2๐‘

2๐‘ž + 1 ๐‘, ๐‘ž โˆˆ โ„•

ad ogni valore di ๐‘› corrisponde un unico valore di ๐‘˜ = โŒŠ๐‘›

๐›ผ+

1

2โŒ‹. Cioรจ una so-

la ripetizione di una data armonica del segnale viene a cadere nell'intervallo

(โˆ’๐‘“๐‘

2,๐‘“๐‘

2). L'armonica dโ€™indice ๐‘› del segnale, di frequenza ๐‘›๐‘“0, viene quindi

riportata in una riga di pari ampiezza centrata alla frequenza:

๐‘“๐‘›โ€ฒ = (๐‘› โˆ’ ๐›ผ โŒŠ

๐‘›

๐›ผ+1

2โŒ‹) ๐‘“0

Affinchรฉ il segnale all'uscita del filtro riproduca la forma di ๐‘ (๐‘ก) le righe

che cadono all'interno della banda (โˆ’๐‘“๐‘

2,๐‘“๐‘

2) devono rispettare la sequenza

delle armoniche del segnale originario e devono essere tra loro spaziate di un

intervallo pari alla frequenza in cui viene riportata la prima armonica del se-

gnale.

Posto:

๐œˆ๐‘› = โŒŠ๐‘›

๐›ผ+1

2โŒ‹

Si deve cioรจ avere;

๐‘“โ€ฒ๐‘›= ๐‘›๐‘“0

โ€ฒ โ‡’ (๐‘› โˆ’ ๐›ผ๐œˆ๐‘›)๐‘“0 = ๐‘›(1 โˆ’ ๐›ผ๐œˆ0)๐‘“0 โ‡’ ๐œˆ๐‘› = ๐‘›๐œˆ0

Fig.E 9.1

Page 207: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 9 - Il Campionamento dei Segnali - 195

che comporta per ๐‘› la seguente limitazione.

|๐‘› โˆ’ ๐›ผ๐‘›๐œˆ0| <๐›ผ

2

o equivalentemente:

๐‘› <๐›ผ

2|1 โˆ’ ๐›ผ๐œˆ0|

ammesso che si sia scelto un valore ๐›ผ che consenta di soddisfare la prece-

dente disuguaglianza per tutte le armoniche contenute nel segnale, ovvero

che le armoniche che non la soddisfano abbiano ampiezza trascurabile. Il se-

gnale ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก) ottenuto all'uscita del filtro assume la forma:

๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก) = โˆ‘ ๐‘†๐‘˜๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘˜(1โˆ’๐›ผ๐œˆ0)๐‘“0๐‘ก

๐‘›

๐‘˜=โˆ’๐‘›

dove ๐‘†๐‘˜ rappresenta il generico coefficiente dello sviluppo in serie di Fourier

di ๐‘ (๐‘ก).

Ricostruzione del segnale passabanda. 9.7 -

Anche per i segnali passabanda si puรฒ dedurre una formula di ri-

costruzione del tipo della (9.1.8). Basta osservare che indicando con ๐‘“๐‘

un possibile valore della frequenza di campionamento, la ripetizione pe-

riodica del segnale puรฒ essere sviluppata in serie di Fourier:

๐‘†๐‘(๐‘“) = โˆ‘ ๐‘†(๐‘“ โˆ’ ๐‘›๐‘“๐‘)

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

= โˆ‘ ๐ถ๐‘›๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹

๐‘›๐‘“

๐‘“๐‘

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(9.7.1)

osservando che in ogni periodo ๐‘“๐‘ di ๐‘†๐‘(๐‘“) cadono una sola ripetizione

di ๐‘†โˆ’(๐‘“) e una di ๐‘†+(๐‘“), ๐ถ๐‘› puรฒ essere calcolato come segue:

๐ถ๐‘› = โˆซ ๐‘†(๐‘“)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“

๐‘“๐‘ ๐‘‘๐‘“

โˆ’๐‘“0+๐‘“๐‘4

โˆ’๐‘“0โˆ’๐‘“๐‘4

+ โˆซ ๐‘†(๐‘“)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“

๐‘“๐‘ ๐‘‘๐‘“

๐‘“0+๐‘“๐‘4

๐‘“0โˆ’๐‘“๐‘4

= ๐‘  (๐‘›

๐‘“๐‘) (9.7.2)

La trasformata del segnale vale:

๐‘†(๐‘“) =1

๐‘“๐‘[โŠ“ (2

๐‘“ โˆ’ ๐‘“0๐‘“๐‘

) +โŠ“ (2๐‘“ + ๐‘“0๐‘“๐‘

)] โˆ‘ ๐‘  (๐‘›

๐‘“๐‘) ๐‘’

โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“

๐‘“๐‘

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(9.7.3)

quindi:

๐‘ (๐‘ก)

=1

๐‘“๐‘โˆ‘ ๐‘ (

๐‘›

๐‘“๐‘) [โˆซ ๐‘’

๐‘—2๐œ‹๐‘“(๐‘กโˆ’๐‘›

๐‘“๐‘)๐‘‘๐‘“

โˆ’๐‘“0+๐‘“๐‘4

โˆ’๐‘“0โˆ’๐‘“๐‘4

+โˆซ ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“(๐‘กโˆ’

๐‘›

๐‘“๐‘)๐‘‘๐‘“

๐‘“0+๐‘“๐‘4

๐‘“0โˆ’๐‘“๐‘4

]

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(9.7.4)

Page 208: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

196 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Operando rispettivamente nel primo e nel secondo integrale le sostitu-

zioni:

๐‘“ = ๐œ‘ โˆ’ ๐‘“0; ๐‘“ = ๐œ‘ + ๐‘“0 (9.7.5)

la precedente puรฒ essere riscritta:

๐‘ (๐‘ก) =1

๐‘“๐‘โˆ‘ ๐‘ (

๐‘›

๐‘“๐‘) [๐‘’

โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“0(๐‘กโˆ’๐‘›

๐‘“๐‘)โˆซ ๐‘’

๐‘—2๐œ‹๐œ‘(๐‘กโˆ’๐‘›

๐‘“๐‘)๐‘‘๐œ‘

๐‘“๐‘4

โˆ’๐‘“๐‘4

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

+

+๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“0(๐‘กโˆ’

๐‘›

๐‘“๐‘)โˆซ ๐‘’

๐‘—2๐œ‹๐œ‘(๐‘กโˆ’๐‘›

๐‘“๐‘)๐‘‘๐œ‘

๐‘“๐‘4

โˆ’๐‘“๐‘4

] =

=2

๐‘“๐‘โˆ‘ ๐‘ (

๐‘›

๐‘“๐‘) cos [2๐œ‹๐‘“0 (๐‘ก โˆ’

๐‘›

๐‘“๐‘)]โˆซ ๐‘’

๐‘—2๐œ‹๐œ‘(๐‘กโˆ’๐‘›

๐‘“๐‘)๐‘‘๐œ‘

๐‘“๐‘4

โˆ’๐‘“๐‘4

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(9.7.6)

In definitiva quindi si ottiene:

๐‘ (๐‘ก) = โˆ‘ ๐‘  (๐‘›

๐‘“๐‘) cos [2๐œ‹๐‘“0 (๐‘ก โˆ’

๐‘›

๐‘“๐‘)] sinc [

๐‘“๐‘2(๐‘ก โˆ’

๐‘›

๐‘“๐‘)]

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(9.7.7)

che rappresenta la formula di ricostruzione per i segnali passabanda.

Campionamento del secondo ordine. 9.8 -

Dalle (9.1.8) e (9.7.7) si deduce che la ricostruzione di un segnale

a banda limitata รจ possibile a partire da una sequenza di valori campio-

nati ๐‘  (๐‘›

๐‘“๐‘); tale tipo di campionamento prende il nome di campionamen-

to del primo ordine. รˆ anche possibile dedurre formule di ricostruzione

utilizzando due sequenze distinte di campioni, una ottenuta da ๐‘ (๐‘ก), l'al-

tra da una sua opportuna trasformazione.

Segnali passabasso.

Sia ๐‘ (๐‘ก) un segnale passabasso di banda ๐‘“๐‘š. Il segnale analitico

๐‘ง(๐‘ก) ad esso associato รจ:

๐‘ง(๐‘ก) = ๐‘ (๐‘ก) + ๐‘—๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก) (9.8.1)

dove ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก) รจ la trasformata di Hilbert di ๐‘ (๐‘ก). Poichรฉ, comโ€™รจ noto, lo

spettro di ๐‘ง(๐‘ก) รจ contenuto nell'intervallo (0, ๐‘“๐‘š), si ha (vedi Fig. 9.13):

๐‘(๐‘“) =โŠ“ (๐‘“

๐‘“๐‘โˆ’1

2) โˆ‘ ๐‘(๐‘“ โˆ’ ๐‘˜๐‘“๐‘)

โˆž

๐‘˜=โˆ’โˆž

(9.8.2)

purchรฉ risulti:

Page 209: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 9 - Il Campionamento dei Segnali - 197

๐‘“๐‘ โ‰ฅ ๐‘“๐‘š (9.8.3)

la (9.8.2) si puรฒ anche scrivere nella forma:

๐‘(๐‘“) =1

๐‘“๐‘โŠ“ (

๐‘“

๐‘“๐‘โˆ’1

2) โˆ‘ ๐‘ง (

๐‘›

๐‘“๐‘) ๐‘’

โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“

๐‘“๐‘

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(9.8.4)

Antitrasformando si ottiene quindi:

๐‘ง(๐‘ก) =1

๐‘“๐‘โˆ‘ ๐‘ง(

๐‘›

๐‘“๐‘)โˆซ โŠ“ (

๐‘“

๐‘“๐‘โˆ’1

2) ๐‘’

๐‘—2๐œ‹๐‘“(๐‘กโˆ’๐‘›

๐‘“๐‘)๐‘‘๐‘“

โˆž

โˆ’โˆž

=

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

=1

๐‘“๐‘โˆ‘ ๐‘ง(

๐‘›

๐‘“๐‘)โˆซ ๐‘’

๐‘—2๐œ‹๐‘“(๐‘กโˆ’๐‘›

๐‘“๐‘)๐‘‘๐‘“

๐‘“๐‘

0

=

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

โˆ‘ ๐‘ง(๐‘›

๐‘“๐‘) sinc [๐‘“๐‘ (๐‘ก โˆ’

๐‘›

๐‘“๐‘)] ๐‘’

๐‘—๐œ‹๐‘“๐‘(๐‘กโˆ’๐‘›

๐‘“๐‘)

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(9.8.5)

ma ๐‘ (๐‘ก) = Re[๐‘ง(๐‘ก)], pertanto:

๐‘ (๐‘ก) = โˆ‘ ๐‘  (๐‘›

๐‘“๐‘) sinc [๐‘“๐‘ (๐‘ก โˆ’

๐‘›

๐‘“๐‘)] cos [๐œ‹๐‘“๐‘ (๐‘ก โˆ’

๐‘›

๐‘“๐‘)] +

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

โˆ’ โˆ‘ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘  (๐‘›

๐‘“๐‘) sinc [๐‘“๐‘ (๐‘ก โˆ’

๐‘›

๐‘“๐‘)] sin [๐œ‹๐‘“๐‘ (๐‘ก โˆ’

๐‘›

๐‘“๐‘)]

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(9.8.6)

che รจ la formula di ricostruzione del segnale a partire da due diverse se-

quenze di campioni ottenuti da ๐‘ (๐‘ก) e da ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก) rispettivamente.

La minima possibile frequenza di campionamento, in questo ca-

so, รจ pari alla banda del segnale ๐‘ (๐‘ก) quindi รจ la metร  di quella minima

per il campionamento del primo ordine. Tuttavia va sottolineato il fatto

che il numero minimo di campioni al secondo per poter effettuare la ri-

Fig. 9.13 - - Ripetizione periodica dello spettro del segnale analitico.

Page 210: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

198 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

costruzione รจ ancora una volta pari a 2๐‘“๐‘š; ne occorrono infatti almeno

๐‘“๐‘š al secondo per la sequenza ottenuta da ๐‘ (๐‘ก) ed altrettanti per quella

ottenuta da ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก). L'unico vantaggio nell'impiego di questo tipo di cam-

pionamento รจ quello di poter utilizzare dei campionatori a frequenza in-

feriore a condizione perรฒ di disporre di un sistema in grado di generare

la trasformata di Hilbert del segnale.

Segnali passabanda.

Le considerazioni sopra svolte possono essere estese al caso di

segnali passabanda. In questo caso ๐‘(๐‘“) รจ contenuto nell'intervallo

(๐‘“1, ๐‘“2). Pertanto pur di scegliere:

๐‘“๐‘ โ‰ฅ ๐‘“2 โˆ’ ๐‘“1 (9.8.7)

si puรฒ scrivere:

๐‘(๐‘“) =1

๐‘“๐‘โŠ“ (

๐‘“ โˆ’ ๐‘“0๐‘“๐‘

) โˆ‘ ๐‘ง (๐‘›

๐‘“๐‘) ๐‘’

โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“

๐‘“๐‘

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(9.8.8)

che antitrasformata fornisce:

๐‘ง(๐‘ก) =1

๐‘“๐‘โˆ‘ ๐‘ง(

๐‘›

๐‘“๐‘)โˆซ ๐‘’

๐‘—2๐œ‹๐‘“(๐‘กโˆ’๐‘›

๐‘“๐‘)๐‘‘๐‘“

๐‘“0+๐‘“๐‘2

๐‘“0โˆ’๐‘“๐‘2

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(9.8.9)

Effettuando la sostituzione di variabile ๐‘“ = ๐‘“0 + ๐œ‘ si ottiene:

๐‘ง(๐‘ก) =1

๐‘“๐‘โˆ‘ ๐‘ง(

๐‘›

๐‘“๐‘) ๐‘’

๐‘—2๐œ‹๐‘“0(๐‘กโˆ’๐‘›

๐‘“๐‘)โˆซ ๐‘’

๐‘—2๐œ‹๐œ‘(๐‘กโˆ’๐‘›

๐‘“๐‘)๐‘‘๐œ‘

๐‘“๐‘2

โˆ’๐‘“๐‘2

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

=

= โˆ‘ ๐‘ง (๐‘›

๐‘“๐‘) sinc [๐‘“๐‘ (๐‘ก โˆ’

๐‘›

๐‘“๐‘)] ๐‘’

๐‘—2๐œ‹๐‘“0(๐‘กโˆ’๐‘›

๐‘“๐‘)

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(9.8.10)

Prendendo infine la parte reale della precedente si ha:

๐‘ (๐‘ก) = โˆ‘ ๐‘  (๐‘›

๐‘“๐‘) sinc [๐‘“๐‘ (๐‘ก โˆ’

๐‘›

๐‘“๐‘)] cos [2๐œ‹๐‘“0 (๐‘ก โˆ’

๐‘›

๐‘“๐‘)] +

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

โˆ’ โˆ‘ ๏ฟฝ๏ฟฝ (๐‘›

๐‘“๐‘) sinc [๐‘“๐‘ (๐‘ก โˆ’

๐‘›

๐‘“๐‘)] sin [2๐œ‹๐‘“0 (๐‘ก โˆ’

๐‘›

๐‘“๐‘)]

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(9.8.11)

che permette di ricostruire un segnale passabanda dai campioni di ๐‘ (๐‘ก) e

di ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก). Si noti che la frequenza di campionamento รจ dell'ordine della

Page 211: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 9 - Il Campionamento dei Segnali - 199

banda del segnale e quindi risulta molto inferiore a quella necessaria per

il campionamento del primo ordine.

In questo caso, inoltre, l'unica limitazione sulla scelta della fre-

quenza di campionamento รจ fornita dalla (9.8.7), a differenza del cam-

pionamento del primo ordine dei segnali passabanda, in cui รจ invece ne-

cessario scegliere frequenze di campionamento appartenenti ad oppor-

tuni intervalli.

Page 212: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf
Page 213: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 10

SEGNALI A TEMPO DISCRETO

Segnali a tempo discreto. Energia e potenza specifica. 10.1 -

Un segnale a tempo discreto รจ rappresentato da una funzione rea-

le o complessa ๐‘ (๐‘ก๐‘›) definita su un insieme, al piรน numerabile, di istanti

di tempo. In quel che segue la successione degli istanti ๐‘ก๐‘› si suppone re-

golare, cioรจ si suppone che:

๐‘ก๐‘› = ๐‘›๐‘‡; ๐‘› โˆˆ โ„ค (10.1.1)

dove ๐‘‡ รจ detto quanto temporale.

Assumendo che ๐‘ (๐‘ก๐‘›) valga zero in corrispondenza di tutti i valo-

ri dell'indice in cui non รจ altrimenti definito, si dice che il segnale รจ ad

energia specifica finita se la quantitร :

๐ธ = ๐‘‡ โˆ‘ |๐‘ (๐‘›๐‘‡)|2โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(10.1.2)

รจ finita. Nel caso in cui sia finita la quantitร :

๐‘ƒ = lim๐‘โ†’โˆž

1

2๐‘ + 1โˆ‘ |๐‘ (๐‘›๐‘‡)|2๐‘

๐‘›=โˆ’๐‘

(10.1.3)

si dice che il segnale รจ a potenza specifica finita.

Risulta evidente che, come per il caso dei segnali a tempo conti-

nuo, un segnale a tempo discreto a potenza specifica finita, ha energia

specifica infinita; un segnale ad energia finita ha potenza specifica nulla.

Esempio 10.1

Il segnale Fig.E 10.1:

๐‘ข(๐‘›๐‘‡) = {1; ๐‘› โ‰ฅ 00; ๐‘› < 0

costituisce il cosiddetto gra-

dino unitario a tempo discre-

to. Eโ€™ un segnale a potenza

finita, dal momento che si

verifica facilmente che:

Fig.E 10.1

Page 214: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

202 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

๐‘ƒ = ๐‘™๐‘–๐‘š๐‘โ†’โˆž

1

2๐‘ + 1โˆ‘๐‘ข2(๐‘›๐‘‡)

๐‘

๐‘›=0

= ๐‘™๐‘–๐‘š๐‘โ†’โˆž

๐‘ + 1

2๐‘ + 1=1

2

Esempio 10.2

Il segnale (vedi Fig.E

10.2):

๐›ฟ(๐‘›๐‘‡) = {1; ๐‘› = 00; ๐‘› โ‰  0

รจ detto impulso unitario a

tempo discreto ed รจ un

segnale ad energia finita. Infatti:

๐ธ = ๐‘‡ โˆ‘ ๐›ฟ2(๐‘›๐‘‡)

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

= ๐‘‡

Esempio 10.3

Si consideri il segnale:

๐‘ (๐‘›๐‘‡) = ๐‘Žโˆ’๐‘›๐‘‡๐‘ข(๐‘›๐‘‡), ๐‘Ž โˆˆ โ„‚

La sua energia specifica

๐ธ = ๐‘‡โˆ‘ |๐‘Ž|โˆ’2๐‘›๐‘‡โˆž

๐‘›=0

รจ finita, solo se la serie geometrica di ragione |๐‘Ž|โˆ’2๐‘‡ converge, cioรจ se risul-

ta |๐‘Ž| > 1.

In tal caso si ha:

๐ธ =๐‘‡

1 โˆ’ |๐‘Ž|โˆ’2๐‘‡

Segnali periodici. 10.2 -

Un segnale ๐‘ (๐‘›๐‘‡) si dice periodico se esistono interi positivi ๏ฟฝ๏ฟฝ

tali che risulti:

๐‘ (๐‘›๐‘‡) = ๐‘ (๐‘›๐‘‡ + ๐‘˜๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘‡); โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„ค (10.2.1)

Detto ๐‘ = min{๏ฟฝ๏ฟฝ}, la quantitร  ๐‘‡0 = ๐‘๐‘‡ si dice periodo principale del se-

gnale o semplicemente periodo.

Esempio 10.4

Il segnale

๐‘ (๐‘›๐‘‡) = cos(2๐œ‹๐‘›๐‘“0๐‘‡)

รจ periodico se esistono ๏ฟฝ๏ฟฝ โˆˆ โ„• tali che risulti:

Fig.E 10.2

Page 215: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 10 - Segnali a Tempo Discreto - 203

cos(2๐œ‹๐‘›๐‘“0๐‘‡) = cos[2๐œ‹(๐‘› + ๏ฟฝ๏ฟฝ)๐‘“0๐‘‡] ; โˆ€๐‘› โˆˆ โ„ค

Detta condizione รจ soddisfatta solo se

โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• | ๐‘“0๐‘‡ =๐‘˜

๏ฟฝ๏ฟฝ

La quantitร  ๐‘“0๐‘‡ deve quindi essere un numero razionale. Il periodo principa-

le ๐‘‡0 = ๐‘๐‘‡ del segnale si determina riducendo ๐‘“0๐‘‡ ai minimi termini: cioรจ

scrivendolo nella forma:

๐‘“0๐‘‡ =๐‘˜โ€ฒ

๐‘

con ๐‘˜โ€ฒ e ๐‘ primi tra loro.

Si osservi che per qualsiasi intero ๐‘š, รจ:

cos [2๐œ‹๐‘› (๐‘“0 +๐‘š

๐‘‡)๐‘‡] = cos(2๐œ‹๐‘›๐‘“0๐‘‡)

Ciรฒ significa che il campionamento dei due segnali a tempo continuo:

๐‘ 1(๐‘ก) = cos(2๐œ‹๐‘›๐‘“0๐‘ก) ; โ€‰๐‘ 2(๐‘ก) = cos [2๐œ‹ (๐‘“0 +๐‘š

๐‘‡) ๐‘ก]

effettuato con passo ๐‘‡ produce la stessa sequenza di campioni (ambiguitร 

della frequenza) come รจ mostrato in Fig.E 10.3.

L'energia specifica di un segnale periodico non identicamente nul-

lo รจ infinita.

Fig.E 10.3

Page 216: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

204 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Ci si rende inoltre facilmente conto del fatto che la potenza speci-

fica di un segnale periodico si puรฒ anche esprimere nella forma:

๐‘ƒ =1

๐‘โˆ‘ |๐‘ (๐‘›๐‘‡)|2๐‘

๐‘›=1

(10.2.2)

dalla quale si deduce che un segnale periodico รจ a potenza finita a meno

che non sia illimitato.

La trasformata discreta di Fourier 10.3 -

In quel che segue si mostrerร  che il generico elemento di un se-

gnale periodico puรฒ essere espresso nella forma:

๐‘ (๐‘›๐‘‡) = โˆ‘ ๐‘†๐‘š๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘š

๐‘›๐‘‡

๐‘‡0

๐‘

๐‘š=1

(10.3.1)

Quest'ultima, tenuto conto della definizione di T0 si puรฒ riscrivere:

๐‘ (๐‘›๐‘‡) = โˆ‘ ๐‘†๐‘š๐‘’๐‘—2๐œ‹

๐‘š๐‘›

๐‘

๐‘

๐‘š=1

(10.3.2)

Infatti si osservi che un segnale periodico รจ univocamente deter-

minato da una ๐‘-upla ordinata di numeri complessi corrispondenti ai

valori assunti dal segnale in un periodo prefissato. In altri termini un se-

gnale periodico รจ univocamente individuato da un vettore in โ„‚๐‘.

Si considerino i seguenti ๐‘ vettori in โ„‚๐‘ riferiti alla sua base ca-

nonica:

๐’–๐‘š = [

1

โˆš๐‘๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘š

1

๐‘1

โˆš๐‘๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘š

2

๐‘ โ€ฆ1

โˆš๐‘๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘š

๐‘

๐‘]๐‘‡

โ€‰;โ€‰โ€‰โ€‰โ€‰

โ€‰โ€‰โ€‰m = 1,2,โ€ฆ , ๐‘

(10.3.3)

Essi costituiscono una base ortonormale per โ„‚๐‘, si ha infatti:

โŸจ๐’–๐‘˜ , ๐’–๐‘™โŸฉ =1

๐‘โˆ‘๐‘’๐‘—2๐œ‹

๐‘˜๐‘›

๐‘

๐‘

๐‘›=1

๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘™๐‘›

๐‘ =1

๐‘โˆ‘๐‘’๐‘—2๐œ‹

(๐‘˜โˆ’๐‘™)๐‘›

๐‘

๐‘

๐‘›=1

=1

๐‘โˆ‘๐‘’๐‘—2๐œ‹

(๐‘˜โˆ’๐‘™)๐‘›

๐‘

๐‘

๐‘›=0

โˆ’1

๐‘

= {

1; ๐‘˜ = ๐‘™

1

๐‘

๐‘’๐‘—2๐œ‹(๐‘˜โˆ’๐‘™)(๐‘+1)

๐‘ โˆ’ 1

๐‘’๐‘—2๐œ‹(๐‘˜โˆ’๐‘™)

๐‘ โˆ’ 1โˆ’1

๐‘= 0; ๐‘˜ โ‰  ๐‘™

(10.3.4)

Page 217: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 10 - Segnali a Tempo Discreto - 205

Pertanto ogni elemento ๐‘  โˆˆ โ„‚๐‘ si puรฒ univocamente esprimere

nella seguente forma:

๐’” = โˆ‘โŸจ๐’”, ๐’–๐‘šโŸฉ๐’–๐‘š

๐‘

๐‘š=1

(10.3.5)

La generica componente di ๐’” rispetto alla base canonica vale

quindi:

๐‘ ๐‘› = โˆ‘โŸจ๐’”, ๐’–๐‘šโŸฉ1

โˆš๐‘๐‘’๐‘—2๐œ‹

๐‘š๐‘›

๐‘

๐‘

๐‘š=1

; ๐‘› = 1,2, โ€ฆ , ๐‘ (10.3.6)

La (10.3.6)dal momento che per 1 โ‰ค ๐‘› โ‰ค ๐‘ risulta ๐‘ ๐‘› = ๐‘ (๐‘›๐‘‡) si

identifica con la (10.3.2) qualora si ponga:

๐‘†๐‘š =1

๐‘โˆ‘๐‘ (๐‘›๐‘‡)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹

๐‘›๐‘š

๐‘ ;

๐‘

๐‘›=1

๐‘š = 1,2, โ€ฆ , ๐‘ (10.3.7)

Si osservi che ๐‘†๐‘š puรฒ essere interpretato come il generico ele-

mento di una sequenza {๐‘†๐‘›} periodica di periodo ๐‘ essendo:

๐‘†๐‘š+๐‘ =

1

๐‘โˆ‘๐‘ (๐‘›๐‘‡)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹(๐‘š+๐‘)

๐‘›

๐‘

๐‘

๐‘›=1

=1

๐‘โˆ‘๐‘ (๐‘›๐‘‡)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹

๐‘š๐‘›

๐‘

๐‘

๐‘›=1

= ๐‘†๐‘š

(10.3.8)

La (10.3.2) ricorda l'espansione in serie di Fourier di un segnale

periodico a tempo continuo. รˆ da osservare tuttavia che, mentre l'e-

spansione in serie di Fourier dei segnali periodici a tempo continuo con-

tiene una infinitร  numerabile di funzioni del tipo ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘ก ๐‘‡0โ„ , nella (10.3.2)

compaiono soltanto gli ๐‘ esponenziali ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘š๐‘›/๐‘.

Si osservi inoltre che, in virtรน della periodicitร  del segnale ๐‘ (๐‘›๐‘‡),

della sequenza {๐‘†๐‘š} e dei fattori ๐‘’ยฑ๐‘—2๐œ‹๐‘š๐‘›/๐‘ rispetto agli indici ๐‘š e ๐‘›, le

somme che compaiono nelle (10.3.1), (10.3.2) e (10.3.7) possono partire

da un indice qualsiasi purchรฉ siano estese a ๐‘ termini consecutivi.

Normalizzando il quanto temporale, cioรจ ponendo ๐‘‡ = 1, la

(10.3.1) e la (10.3.7) si riscrivono:

Page 218: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

206 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

{

๐‘ ๐‘› = โˆ‘ ๐‘†๐‘š๐‘’

๐‘—2๐œ‹๐‘š๐‘›

๐‘ ; ๐‘› = 1,2, โ€ฆ , ๐‘

๐‘

๐‘š=1

๐‘†๐‘š =1

๐‘โˆ‘๐‘ ๐‘›๐‘’

โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘š๐‘›

๐‘ ; ๐‘š = 1,2, โ€ฆ , ๐‘

๐‘

๐‘›=1

(10.3.9)

che mettono in corrispondenza due sequenze periodiche definite in do-

mini distinti.

Esempio 10.5

Si consideri il segnale a tempo discreto, periodico di periodo NT , che,

nel suo periodo fondamentale, รจ definito dalla:

๐‘ (๐‘›๐‘‡) = ๐‘Ž๐‘›๐‘‡; |๐‘Ž| < 1, ๐‘› = 0,1,2,โ€ฆ , ๐‘ โˆ’ 1

I coefficienti del suo sviluppo valgono:

๐‘†๐‘š =1

๐‘โˆ‘ ๐‘Ž๐‘›๐‘‡๐‘’โˆ’๐‘—

2๐œ‹๐‘š๐‘›

๐‘

๐‘โˆ’1

๐‘›=0

=1

๐‘โˆ‘ (๐‘Ž๐‘‡๐‘’โˆ’๐‘—

2๐œ‹๐‘š

๐‘ )๐‘›

๐‘โˆ’1

๐‘›=0

=1

๐‘

๐‘Ž๐‘๐‘‡ โˆ’ 1

๐‘Ž๐‘‡๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘š

๐‘ โˆ’ 1

=1

๐‘

1 โˆ’ ๐‘Ž๐‘๐‘‡

1 โˆ’ ๐‘Ž๐‘‡ [cos (2๐œ‹๐‘š

๐‘) โˆ’ ๐‘— sin (

2๐œ‹๐‘š

๐‘)]=

=1

๐‘

1 โˆ’ ๐‘Ž๐‘๐‘‡

โˆš1 โˆ’ 2๐‘Ž๐‘‡ cos (2๐œ‹๐‘š

๐‘) + ๐‘Ž2๐‘‡

โ‹… ๐‘’(โˆ’jโ‹…arctg

๐‘Ž๐‘‡ sin(2๐œ‹๐‘š๐‘

)

1โˆ’๐‘Ž๐‘‡ cos(2๐œ‹๐‘š๐‘

))

Segnali ad energia finita.

Sia ๐‘ (๐‘›๐‘‡) un segnale a tempo discreto ad energia finita. Ad esso,

per un assegnato valore ๐‘, che senza ledere la generalitร  supporremo

pari, si puรฒ associare il segnale troncato definito dalla:

๐‘ ๐‘(๐‘›๐‘‡) = {๐‘ (๐‘›๐‘‡); ๐‘› = โˆ’

๐‘

2,โ€ฆ ,

๐‘

2โˆ’ 1

0; ๐‘Ž๐‘™๐‘ก๐‘Ÿ๐‘œ๐‘ฃ๐‘’ (10.3.10)

ed il segnale ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘(๐‘›๐‘‡) ottenuto ripetendo periodicamente, con periodicitร 

๐‘๐‘‡, il segnale ๐‘ ๐‘(๐‘›๐‘‡):

๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘(๐‘›๐‘‡) = โˆ‘ ๐‘ ๐‘(๐‘›๐‘‡ + ๐‘˜๐‘๐‘‡)

โˆž

๐‘˜=โˆ’โˆž

(10.3.11)

Page 219: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 10 - Segnali a Tempo Discreto - 207

Poichรฉ il segnale ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘(๐‘›๐‘‡) รจ periodico, puรฒ per la (10.3.2), essere

scritto:

๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘(๐‘›๐‘‡) = โˆ‘ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘๐‘š

๐‘

2โˆ’1

๐‘š=โˆ’๐‘

2

๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘š๐‘›

๐‘ ; ๐‘› = โˆ’๐‘

2,โ€ฆ ,

๐‘

2โˆ’ 1 (10.3.12)

dove

๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘๐‘š =1

๐‘โˆ‘ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘(๐‘›๐‘‡)

๐‘

2โˆ’1

๐‘›=โˆ’๐‘

2

๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘š๐‘›

๐‘ ; ๐‘š = โˆ’๐‘

2,โ€ฆ ,

๐‘

2โˆ’ 1 (10.3.13)

Sostituendo la (10.3.13) nella (10.3.12) si perviene alla:

๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘(๐‘›๐‘‡) = ๐‘‡ โˆ‘ (1

๐‘๐‘‡โˆ‘ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘(๐‘–๐‘‡)๐‘’

โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘š๐‘–

๐‘

๐‘

2โˆ’1

๐‘–=โˆ’๐‘

2

)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘š๐‘›

๐‘

๐‘

2โˆ’1

๐‘š=โˆ’๐‘

2

(10.3.14)

Si osservi che al crescere di ๐‘ il segnale ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘(๐‘›๐‘‡) tende a ๐‘ (๐‘›๐‘‡) e i

coefficienti ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘๐‘š assumono valori sempre piรน piccoli a causa del fattore 1

๐‘. Inoltre, gli esponenziali ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘š๐‘› ๐‘โ„ , rappresentando le radici ๐‘-esime

dell'unitร , giacciono sulla circonferenza di centro l'origine e raggio unita-

rio del piano complesso, indipendentemente dal valore di ๐‘.

Al crescere di ๐‘, detti punti tendono a ricoprire completamente

detta circonferenza. Di conseguenza, al limite, la quantitร  ๐‘š

๐‘๐‘‡ tende a

confondersi con una variabile continua. Ponendo allora al limite:

๐‘š

๐‘๐‘‡โ†’ ๐‘“;

1

๐‘๐‘‡โ†’ ๐‘‘๐‘“ (10.3.15)

la (10.3.14), per ๐‘ โ†’ โˆž, si puรฒ scrivere:

๐‘ (๐‘›๐‘‡) = ๐‘‡โˆซ ( โˆ‘ ๐‘ (๐‘–๐‘‡)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘–๐‘“๐‘‡โˆž

๐‘–=โˆ’โˆž

) ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“๐‘‡๐‘‘๐‘“

1

2๐‘‡

โˆ’1

2๐‘‡

(10.3.16)

che, ponendo

๐‘†(๐‘“) = ๐‘‡ โˆ‘ ๐‘ (๐‘›๐‘‡)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“๐‘‡โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(10.3.17)

Page 220: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

208 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

assume la forma:

๐‘ (๐‘›๐‘‡) = โˆซ ๐‘†(๐‘“)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“๐‘‡๐‘‘๐‘“

1

2๐‘‡

โˆ’1

2๐‘‡

(10.3.18)

Le (10.3.17) e (10.3.18) costituiscono rispettivamente la trasfor-

mata e l'antitrasformata di Fourier di un segnale a tempo discreto a

energia finita.

Un segnale a tempo discreto definisce una sequenza numerica

{๐‘ ๐‘›}, il cui generico elemento si ottiene ponendo ๐‘ ๐‘› = ๐‘ (๐‘›๐‘‡). Le

(10.3.17) e (10.3.18), ponendo ๐‘‡ = 1 e ๐œ‘ =๐‘“

๐‘‡, si possono facilmente

reinterpretare come trasformazioni che associano ad una sequenza nu-

merica una funzione di una variabile continua.

Si ottiene:

๐‘†(๐œ‘) = โˆ‘ ๐‘ ๐‘›๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐œ‘

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(10.3.19)

e

๐‘ ๐‘› = โˆซ ๐‘†(๐œ‘)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐œ‘๐‘‘๐œ‘

1

2

โˆ’1

2

(10.3.20)

Si noti che, a differenza dei segnali a tempo continuo, la funzione

๐‘†(๐œ‘) รจ periodica in ๐œ‘ di periodo 1. Infatti, per ogni intero ๐‘˜, si puรฒ scri-

vere:

๐‘†(๐œ‘ + ๐‘˜) = โˆ‘ ๐‘ ๐‘›๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›(๐œ™+๐‘˜)

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

= โˆ‘ ๐‘ ๐‘›๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐œ‘

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

= ๐‘†(๐œ‘) (10.3.21)

Ciรฒ comporta che l'integrale nella (10.3.20) puรฒ essere esteso ad un

qualsiasi intervallo purchรฉ di ampiezza unitaria.

Esempio 10.6

La sequenza ๐›ฟ๐‘›, definita nellEsempio 10.2 ammette trasformata di Fourier

data dalla:

๐‘†(๐œ‘) = โˆ‘ ๐›ฟ๐‘›๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐œ‘

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

= 1

Page 221: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 10 - Segnali a Tempo Discreto - 209

Esempio 10.7

La trasformata di Fourier normalizzata del segnale:

๐‘ ๐‘› = ๐‘Ž๐‘›u๐‘›, 0<a<1

dove u๐‘› รจ il gradino unitario, vale:

๐‘†(๐œ‘) = โˆ‘ ๐‘Ž๐‘›๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐œ‘โˆž

๐‘›=0=

โˆ‘ (๐‘Ž๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐œ‘)๐‘›โˆž

๐‘›=0=

1

1โˆ’๐‘Ž๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐œ‘=

1

โˆš1โˆ’2arccos(2๐œ‹๐œ‘)+๐‘Ž2๐‘’[โˆ’๐‘—arctg(

arcsin(2๐œ‹๐œ‘)

1โˆ’arccos(2๐œ‹๐œ‘))]

il cui modulo ad argomento sono riportati in

Fig.E 10.4.

Esempio 10.8

La trasformata di Fourier della sequenza:

๐‘ ๐‘› = {1; |๐‘›| โ‰ค ๐‘0; |๐‘›| > ๐‘

= ๐‘ข๐‘›+๐‘ โˆ’ ๐‘ข๐‘›โˆ’๐‘

รจ data dalla:

๐‘†(๐œ‘) = โˆ‘ ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐œ‘๐‘

๐‘›=โˆ’๐‘

= โˆ‘๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐œ‘๐‘

๐‘›=0

+โˆ‘๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐œ‘๐‘

๐‘›=0

โˆ’ 1

= {

sin[๐œ‹(2๐‘ + 1)๐œ‘]

sin(๐œ‹๐œ‘); ๐œ‘ โˆ‰ โ„ค

2๐‘ + 1; ๐œ‘ โˆˆ โ„ค

ed รจ riportata in Fig.E 10.5

Segnali a potenza finita. 10.4 -

Sia {๐‘ ๐‘›} una sequenza a potenza finita. Ad essa si puรฒ formalmen-

te associare la trasformata di Fou-

rier (10.3.19) e la corrispondente

antitrasformata (10.3.20). Tuttavia

la serie bilatera che compare nella

(10.3.19) non converge in senso

ordinario. Essa puรฒ tuttavia essere

reinterpretata come una distribu-

zione.

Esempio 10.9

Sia data la sequenza costante:

๐‘ ๐‘› = 1

Fig.E 10.4

Fig.E 10.5

Page 222: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

210 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

la sua trasformata di Fourier vale:

๐‘†(๐œ‘) = โˆ‘ ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐œ‘โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

= โˆ‘ ๐›ฟ(๐œ‘ โˆ’ ๐‘›)

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

per ottenere la quale si รจ applicata la formula di Poisson.

Esempio 10.10

Sia data la sequenza:

๐‘ ๐‘› = ๐‘’ยฑ๐‘—2๐œ‹๐‘›๐œ‘0

la sua trasformata di Fourier vale:

๐‘†(๐œ‘) = โˆ‘ ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›(๐œ‘โˆ“๐œ‘0)โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

= โˆ‘ ๐›ฟ(๐œ‘ โˆ“ ๐œ‘0 โˆ’ ๐‘›)

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

Esempio 10.11

Siano date le sequenze:

๐‘ฅ๐‘› = cos(2๐œ‹๐‘›๐œ‘0)๐‘ฆ๐‘› = sin(2๐œ‹๐‘›๐œ‘0)

poichรฉ risulta rispettivamente:

๐‘ฅ๐‘› =1

2๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐œ‘0 +

1

2๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐œ‘0

๐‘ฆ๐‘› =1

2๐‘—๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐œ‘0 โˆ’

1

2๐‘—๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐œ‘0

tenendo conto del risultato dell'esempio precedente si ottiene per le rispettive

trasformate di Fourier:

๐‘‹(๐œ‘) =1

2( โˆ‘ ๐›ฟ(๐œ‘ โˆ’ ๐œ‘0 โˆ’ ๐‘›) + โˆ‘ ๐›ฟ(๐œ‘ + ๐œ‘0 โˆ’ ๐‘›)

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

)

๐‘Œ(๐œ‘) =1

2๐‘—( โˆ‘ ๐›ฟ(๐œ‘ โˆ’ ๐œ‘0 โˆ’ ๐‘›) โˆ’ โˆ‘ ๐›ฟ(๐œ‘ + ๐œ‘0 โˆ’ ๐‘›)

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

)

Esempio 10.12

Sia data la sequenza:

๐‘ ๐‘›(๐‘Ž) = ๐‘’โˆ’๐‘Ž๐‘›๐‘ข๐‘› โˆ’ ๐‘’

๐‘Ž๐‘›๐‘ขโˆ’๐‘›; ๐‘Ž > 0

la sua trasformata di Fourier vale:

๐‘†(๐œ‘, ๐‘Ž) = โˆ‘ ๐‘’โˆ’๐‘Ž๐‘›๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐œ‘โˆž

๐‘›=0

โˆ’ โˆ‘ ๐‘’๐‘Ž๐‘›๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐œ‘0

๐‘›=โˆ’โˆž

=1

1 โˆ’ ๐‘’โˆ’(๐‘Ž+๐‘—2๐œ‹๐œ‘)โˆ’

1

1 โˆ’ ๐‘’โˆ’(๐‘Žโˆ’๐‘—2๐œ‹๐œ‘)

Page 223: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 10 - Segnali a Tempo Discreto - 211

Esempio 10.13

Sia data la sequenza ๐‘ ๐‘”๐‘›๐‘› cosi definita:

sgm๐‘› = ๐‘ข๐‘› โˆ’ ๐‘ขโˆ’๐‘›

poichรฉ risulta (vedi Esempio 10.12):

sgm๐‘› = lim๐‘Žโ†’0

๐‘ ๐‘›(๐‘Ž)

la sua trasformata di Fourier si puรฒ scrivere:

๐”‰[sgm๐‘›] = lim๐‘Žโ†’0

๐‘†(๐œ‘, ๐‘Ž) = lim๐‘Žโ†’0

(1

1 โˆ’ ๐‘’โˆ’(๐‘Ž+๐‘—2๐œ‹๐œ‘)โˆ’

1

1 โˆ’ ๐‘’โˆ’(๐‘Žโˆ’๐‘—2๐œ‹๐œ‘)) =

=1

1 โˆ’ ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐œ‘โˆ’

1

1 โˆ’ ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐œ‘=

โˆ’๐‘—sin(2๐œ‹๐œ‘)

1 โˆ’ cos(2๐œ‹๐œ‘)

Esempio 10.14

Sia data la sequenza gradino unitario un. Poichรฉ risulta:

๐‘ข๐‘› =1

2+1

2sgm๐‘› +

1

2๐›ฟ๐‘›

in base agli esempi precedenti la sua trasformata di Fourier vale:

๐‘ˆ(๐œ‘) =1

2โˆ‘ ๐›ฟ(๐œ‘ โˆ’ ๐‘›)

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

+1

2

1 โˆ’ ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐œ‘

1 โˆ’ cos(2๐œ‹๐œ‘)

Proprietร  della trasformata di Fourier di un segnale a 10.5 - tempo discreto.

Le proprietร  della trasformata di Fourier di un segnale a tempo

discreto sono riassunte nella Tabella 10.1. Per esse vengono omesse le

dimostrazioni, essendo del tutto analoghe a quelle relative alla trasfor-

mata di Fourier dei segnali a tempo continuo.

Si noti che nel campo dei segnali a tempo discreto l'operazione di

derivazione รจ sostituita con l'operazione differenza, la quale si distingue

in differenza in avanti (forward difference) e differenza all'indietro (backward

difference)

a) ๐›ฅ๐‘ (๐‘›๐‘‡) = ๐‘ ((๐‘› + 1)๐‘‡) โˆ’ ๐‘ (๐‘›๐‘‡) (10.5.1)

b) ๐›ป๐‘ (๐‘›๐‘‡) = ๐‘ (๐‘›๐‘‡) โˆ’ ๐‘ ((๐‘› โˆ’ 1)๐‘‡)

Applicando la proprietร  di traslazione in ๐‘›, le trasformate di Fou-

rier dei segnali ๐›ฅ๐‘ (๐‘›๐‘‡) e ๐›ป๐‘ (๐‘›๐‘‡) valgono rispettivamente:

a) ๐”‰[๐›ฅ๐‘ (๐‘›๐‘‡)] = (๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘‡ โˆ’ 1)๐‘†(๐‘“) (10.5.2)

b) ๐”‰[๐›ป๐‘ (๐‘›๐‘‡)] = (1 โˆ’ ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘‡)๐‘†(๐‘“)

Page 224: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

212 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

essendo ๐‘†(๐‘“) la trasformata di ๐‘ (๐‘›๐‘‡).

In maniera analoga possono definirsi le differenze seconde:

a) ๐›ฅ2๐‘ (๐‘›๐‘‡) = ๐›ฅ๐‘ ((๐‘› + 1)๐‘‡) โˆ’ ๐›ฅ๐‘ (๐‘›๐‘‡)

= ๐‘ ((๐‘› + 2)๐‘‡) โˆ’ 2๐‘ ((๐‘› + 1)๐‘‡) + ๐‘ (๐‘›๐‘‡) (10.5.3)

Tabella 10.1

Proprietร  della trasformata di Fourier di un segnale a tempo discreto

Proprietร  Segnale Trasformata

Linearitร  โˆ‘๐‘Ž๐‘–๐‘ ๐‘–(๐‘›๐‘‡)

๐‘˜

๐‘–=1

โˆ‘๐‘Ž๐‘–๐‘†๐‘–(๐‘“)

๐‘˜

๐‘–=1

Segnale coniugato ๐‘ โˆ—(๐‘›๐‘‡) ๐‘†โˆ—(โˆ’๐‘“)

Trasformata co-

niugata ๐‘ โˆ—(โˆ’๐‘›๐‘‡) ๐‘†โˆ—(๐‘“)

Traslazione in n ๐‘ ((๐‘› โˆ’ ๐‘›0)๐‘‡) ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›0๐‘“๐‘‡๐‘†(๐‘“)

Traslazione in f ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“0๐‘‡๐‘ (๐‘›๐‘‡) ๐‘†(๐‘“ โˆ’ ๐‘“0)

Differenza in avan-

ti ๐›ฅ๐‘ (๐‘›๐‘‡) [๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘‡ โˆ’ 1]๐‘†(๐‘“)

Differenza all'in-

dietro ๐›ป๐‘ (๐‘›๐‘‡) [1 โˆ’ ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘‡]๐‘†(๐‘“)

Derivazione nel

dominio della fre-

quenza

(โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘‡)๐‘˜๐‘ (๐‘›๐‘‡) ๐‘‘๐‘˜๐‘†(๐‘“)

๐‘‘๐‘“๐‘˜

Convoluzione in ๐‘›

๐‘‡ โˆ‘ ๐‘ 1(๐‘˜๐‘‡)๐‘ 2((๐‘› โˆ’ ๐‘˜)๐‘‡)

โˆž

๐‘˜=โˆ’โˆž

๐‘‡ โˆ‘ ๐‘ 1((๐‘› โˆ’ ๐‘˜)๐‘‡)๐‘ 2(๐‘˜๐‘‡)

โˆž

๐‘˜=โˆ’โˆž

๐‘†1(๐‘“) โ‹… ๐‘†2(๐‘“)

Convoluzione in ๐‘“ ๐‘ 1(๐‘›๐‘‡) โ‹… ๐‘ 2(๐‘›๐‘‡)

โˆซ ๐‘†1(๐œ—)๐‘†2(๐œ‘ โˆ’ ๐œ—)๐‘‘๐œ—

1

2

โˆ’1

2

โˆซ ๐‘†1(๐œ‘ โˆ’ ๐œ—)๐‘†2(๐œ—)๐‘‘๐œ—

1

2

โˆ’1

2

Page 225: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 10 - Segnali a Tempo Discreto - 213

b) ๐›ป2๐‘ (๐‘›๐‘‡) = ๐›ป๐‘ (๐‘›๐‘‡) โˆ’ ๐›ป๐‘ ((๐‘› โˆ’ 1)๐‘‡)

= ๐‘ (๐‘›๐‘‡) โˆ’ 2๐‘ ((๐‘› โˆ’ 1)๐‘‡) + ๐‘ ((๐‘› โˆ’ 2)๐‘‡)

alle quali corrispondono le rispettive trasformate:

a) ๐”‰[๐›ฅ2๐‘ (๐‘›๐‘‡)] = (๐‘’๐‘—4๐œ‹๐‘“๐‘‡ โˆ’ 2๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘‡ + 1)๐‘†(๐‘“)

= (๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘‡ โˆ’ 1)2๐‘†(๐‘“)

(10.5.4)

b) ๐”‰[๐›ป2๐‘ (๐‘›๐‘‡)] = (1 โˆ’ 2๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘‡ + ๐‘’โˆ’๐‘—4๐œ‹๐‘“๐‘‡)๐‘†(๐‘“)

= (1 โˆ’ ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘‡)2๐‘†(๐‘“)

Piรน in generale, per le differenze di ordine ๐‘˜ puรฒ scriversi:

a) ๐”‰[๐›ฅ๐‘˜๐‘ (๐‘›๐‘‡)] = (๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘‡ โˆ’ 1)๐น[๐›ฅ๐‘˜โˆ’1๐‘ (๐‘›๐‘‡)]

= (๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘‡ โˆ’ 1)๐‘˜๐‘†(๐‘“)

(10.5.5)

(10.5.6) b)

๐”‰[๐›ป๐‘˜๐‘ (๐‘›๐‘‡)] = (1 โˆ’ ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘‡)๐น[๐›ป๐‘˜โˆ’1๐‘ (๐‘›๐‘‡)]

= (1 โˆ’ ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘‡)๐‘˜๐‘†(๐‘“)

Funzioni di correlazione e densitร  spettrali. 10.6 -

Procedendo in maniera analoga al caso dei segnali a tempo conti-

nuo, possono essere definite le funzioni di correlazione e le corrispon-

denti densitร  spettrali per i segnali a tempo discreto.

- Segnali periodici.

Siano ๐‘ 1(๐‘›๐‘‡) e ๐‘ 2(๐‘›๐‘‡) due segnali a tempo discreto, generalmente

complessi, periodici, aventi lo stesso periodo ๐‘๐‘‡. Le quantitร 

a) ๐›พ12(๐‘›๐‘‡) =1

๐‘โˆ‘๐‘ 1((๐‘› + ๐‘˜)๐‘‡)๐‘ 2

โˆ—(๐‘˜๐‘‡)

๐‘

๐‘˜=1

(10.6.1)

b) ๐›พ21(๐‘›๐‘‡) =1

๐‘โˆ‘๐‘ 2((๐‘› + ๐‘˜)๐‘‡)๐‘ 1

โˆ—(๐‘˜๐‘‡)

๐‘

๐‘˜=1

sono le correlazioni incrociate a tempo discreto fra i segnali ๐‘ 1(๐‘›๐‘‡) e

๐‘ 2(๐‘›๐‘‡). Si ha:

๐›พ21(โˆ’๐‘›๐‘‡) =1

๐‘โˆ‘๐‘ 2((๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)๐‘‡)๐‘ 1

โˆ—(๐‘˜๐‘‡)

๐‘

๐‘˜=1

= (10.6.2)

Page 226: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

214 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

=1

๐‘(โˆ‘๐‘ 1(๐‘˜๐‘‡)๐‘ 2

โˆ—((๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)๐‘‡)

๐‘

๐‘˜=1

)

โˆ—

=1

๐‘( โˆ‘ ๐‘ 1((๐‘˜

โ€ฒ โˆ’ ๐‘›)๐‘‡)๐‘ 2โˆ—(๐‘˜โ€ฒ๐‘‡)

๐‘โˆ’๐‘›

๐‘˜โ€ฒ=1โˆ’๐‘›

)

โˆ—

=1

๐‘(โˆ‘ ๐‘ 1((๐‘˜

โ€ฒ โˆ’ ๐‘›)๐‘‡)๐‘ 2โˆ—(๐‘˜โ€ฒ๐‘‡)

๐‘

๐‘˜โ€ฒ=1

)

โˆ—

= ๐›พ12โˆ— (๐‘›๐‘‡)

dove si รจ posto ๐‘˜โ€ฒ = ๐‘˜ โˆ’ ๐‘› e si รจ tenuto conto della periodicitร .

Le correlazioni ๐›พ12(๐‘›๐‘‡) e ๐›พ21(๐‘›๐‘‡) sono entrambe periodiche di

periodo ๐‘๐‘‡; esse pertanto risultano sviluppabili in serie di Fourier. Il ge-

nerico coefficiente dello sviluppo di ๐›พ12(๐‘›๐‘‡) vale:

๐›ค12๐‘š =1

๐‘โˆ‘๐›พ12(๐‘›๐‘‡)๐‘’

โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘š๐‘›

๐‘

๐‘

๐‘›=1

=1

๐‘2โˆ‘(โˆ‘๐‘ 1((๐‘› + ๐‘˜)๐‘‡)๐‘ 2

โˆ—(๐‘˜๐‘‡)

๐‘

๐‘˜=1

)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘š๐‘›

๐‘

๐‘

๐‘›=1

=1

๐‘2โˆ‘๐‘ 2

โˆ—(๐‘˜๐‘‡)

๐‘

๐‘˜=1

(โˆ‘๐‘ 1((๐‘› + ๐‘˜)๐‘‡)๐‘’โˆ’๐‘—

2๐œ‹๐‘š๐‘›

๐‘

๐‘

๐‘›=1

)

=1

๐‘2โˆ‘๐‘ 2

โˆ—(๐‘˜๐‘‡)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘š๐‘˜

๐‘

๐‘

๐‘˜=1

โˆ‘๐‘ 1((๐‘› + ๐‘˜)๐‘‡)๐‘’โˆ’๐‘—

2๐œ‹๐‘š(๐‘›+๐‘˜)

๐‘

๐‘

๐‘›=1

=1

๐‘โˆ‘๐‘ 2

โˆ—(๐‘˜๐‘‡)

๐‘

๐‘›=1

๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘š๐‘˜

๐‘ โ‹…1

๐‘โˆ‘ ๐‘ 1(๐‘›

โ€ฒ๐‘‡)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘š๐‘›โ€ฒ

๐‘

๐‘+๐‘˜

๐‘›โ€ฒ=1+๐‘˜

= ๐‘†1๐‘š โ‹… ๐‘†2๐‘šโˆ—

(10.6.3)

avendo denotato con ๐‘†1๐‘š e ๐‘†2๐‘š i generici coefficienti degli sviluppi dei

segnali ๐‘ 1(๐‘›๐‘‡) e ๐‘ 2(๐‘›๐‘‡) rispettivamente.

In modo analogo si mostra che il generico coefficiente dello svi-

luppo di ๐›พ21(๐‘›๐‘‡) vale:

๐›ค21๐‘š = ๐‘†1๐‘šโˆ— โ‹… ๐‘†2๐‘š (10.6.4)

L'autocorrelazione tempo discreta si definisce come segue:

๐›พ(๐‘›๐‘‡) =1

๐‘โˆ‘๐‘ ((๐‘› + ๐‘˜)๐‘‡)๐‘ โˆ—(๐‘˜๐‘‡)

๐‘

๐‘˜=1

(10.6.5)

il cui generico coefficiente del suo sviluppo in serie di Fourier รจ:

Page 227: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 10 - Segnali a Tempo Discreto - 215

๐›ค๐‘š = ๐‘†๐‘š โ‹… ๐‘†๐‘šโˆ— = |๐‘†๐‘š|

2 (10.6.6)

come discende immediatamente osservando che l'autocorrelazione si

puรฒ intendere come mutua correlazione tra un segnale e se stesso.

Dalla (10.6.5)si deduce facilmente l'espressione dell'elemento

๐›พ(0)

๐›พ(0) =1

๐‘โˆ‘๐‘ (๐‘˜๐‘‡)๐‘  โˆ— (๐‘˜๐‘‡)

๐‘

๐‘˜=1

=1

๐‘โˆ‘|๐‘ (๐‘˜๐‘‡)|2๐‘

๐‘˜=1

(10.6.7)

che รจ uguale alla potenza specifica associata al segnale a tempo discreto

periodico.

Si ha pertanto:

1

๐‘โˆ‘ |๐‘ (๐‘›๐‘‡)|2๐‘

๐‘›=1

= ๐›พ(0) = โˆ‘ ๐›ค๐‘š

๐‘

๐‘š=1

= โˆ‘ |๐‘†๐‘š|2

๐‘

๐‘š=1

(10.6.8)

che รจ la formulazione del teorema di Parseval per i segnali periodici a

tempo discreto.

- Segnali ad energia finita.

Se ๐‘ 1(๐‘›๐‘‡) e ๐‘ 2(๐‘›๐‘‡) sono due segnali a tempo discreto ad energia

finita, le loro correlazioni incrociate sono definite dalle:

๐›พ12(๐‘›๐‘‡) = ๐‘‡ โˆ‘ ๐‘ 1((๐‘› + ๐‘˜)๐‘‡)๐‘ 2โˆ—(๐‘˜๐‘‡)

โˆž

๐‘˜=โˆ’โˆž

(10.6.9)

e

๐›พ21(๐‘›๐‘‡) = ๐‘‡ โˆ‘ ๐‘ 2((๐‘› + ๐‘˜)๐‘‡)๐‘ 1โˆ—(๐‘˜๐‘‡)

โˆž

๐‘˜=โˆ’โˆž

(10.6.10)

Risulta, come รจ facile verificare:

๐›พ21(โˆ’๐‘›๐‘‡) = ๐›พ12โˆ— (๐‘›๐‘‡) (10.6.11)

La trasformata di Fourier di ๐›พ12(๐‘›๐‘‡) vale:

Page 228: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

216 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

๐›ค12(๐‘“) = ๐‘‡ โˆ‘ ๐›พ12(๐‘›๐‘‡)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“๐‘‡

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

= ๐‘‡2 โˆ‘ ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“๐‘‡ โˆ‘ ๐‘ 1((๐‘› + ๐‘˜)๐‘‡)๐‘ 2โˆ—(๐‘˜๐‘‡)

โˆž

๐‘˜=โˆ’โˆž

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

= ๐‘‡ โˆ‘ ๐‘ 2โˆ—(๐‘˜๐‘‡)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘˜๐‘“๐‘‡

โˆž

๐‘˜=โˆ’โˆž

โ‹… ๐‘‡ โˆ‘ ๐‘ 1((๐‘› + ๐‘˜)๐‘‡)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹(๐‘›+๐‘˜)๐‘“๐‘‡

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(10.6.12)

la quale, denotando con ๐‘†1(๐‘“) e ๐‘†2(๐‘“) rispettivamente le trasformate di

Fourier dei segnali ๐‘ 1(๐‘›๐‘‡) e ๐‘ 2(๐‘›๐‘‡), fornisce:

๐›ค12(๐‘“) = ๐‘†1(๐‘“) โ‹… ๐‘†2โˆ—(๐‘“) (10.6.13)

Analogamente si ha:

๐›ค21(๐‘“) = ๐‘†1โˆ—(๐‘“) โ‹… ๐‘†2(๐‘“) (10.6.14)

L'autocorrelazione a tempo discreto รจ definita dalla:

๐›พ(๐‘›๐‘‡) = ๐‘‡ โˆ‘ ๐‘ ((๐‘› + ๐‘˜)๐‘‡)๐‘ โˆ—(๐‘˜๐‘‡)

โˆž

๐‘˜=โˆ’โˆž

(10.6.15)

la cui trasformata di Fourier vale:

๐›ค(๐‘“) = ๐‘†(๐‘“)๐‘†โˆ—(๐‘“) = |๐‘†(๐‘“)|2 (10.6.16)

che costituisce l'estensione del teorema di Wiener al caso di segnali a

tempo discreto.

Ponendo ๐‘› = 0 nella (10.6.15) si ha:

๐›พ(0) = ๐‘‡ โˆ‘ |๐‘ (๐‘›๐‘‡)|2โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(10.6.17)

e di conseguenza:

๐‘‡ โˆ‘ |๐‘ (๐‘›๐‘‡)|2โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

= โˆซ ๐›ค(๐‘“)๐‘‘๐‘“

1

2๐‘‡

โˆ’1

2๐‘‡

= โˆซ |๐‘†(๐‘“)|2๐‘‘๐‘“

1

2๐‘‡

โˆ’1

2๐‘‡

(10.6.18)

che costituisce l'espressione del Teorema di Parseval per i segnali a tem-

po discreto ad energia finita.

Page 229: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 10 - Segnali a Tempo Discreto - 217

- Segnali a potenza finita.

Dati due segnali, ๐‘ 1(๐‘›๐‘‡) e ๐‘ 2(๐‘›๐‘‡), a tempo discreto a potenza fi-

nita, ad essi si possono associare le seguenti correlazioni incrociate:

๐‘Ž) ๐›พ12(๐‘›๐‘‡) = ๐‘‡ lim๐‘โ†’โˆž

1

2๐‘ + 1โˆ‘ ๐‘ 1((๐‘› + ๐‘˜)๐‘‡)๐‘ 2

โˆ—(๐‘˜๐‘‡)

๐‘

๐‘˜=โˆ’๐‘

๐‘) ๐›พ21(๐‘›๐‘‡) = ๐‘‡ lim๐‘โ†’โˆž

1

2๐‘ + 1โˆ‘ ๐‘ 2((๐‘› + ๐‘˜)๐‘‡)๐‘ 1

โˆ—(๐‘˜๐‘‡)

๐‘

๐‘˜=โˆ’๐‘

(10.6.19)

Le (10.6.19), con considerazioni analoghe a quelle viste per il caso

della mutua correlazione tra segnali a tempo continuo a potenza finita, si

possono riformulare, ottenendo:

๐‘Ž) ๐›พ12(๐‘›๐‘‡) = lim๐‘โ†’โˆž

๐›พ๐‘12(๐‘›๐‘‡)

2๐‘ + 1

๐‘) ๐›พ21(๐‘›๐‘‡) = lim๐‘โ†’โˆž

๐›พ๐‘21(๐‘›๐‘‡)

2๐‘ + 1

(10.6.20)

in cui ๐›พ๐‘21(๐‘›๐‘‡) e ๐›พ๐‘12(๐‘›๐‘‡) sono le mutue correlazioni associate ai cor-

rispondenti segnali troncati definiti dalla:

๐‘ ๐‘(๐‘›๐‘‡) = {๐‘ (๐‘›๐‘‡); |๐‘›| โ‰ค ๐‘0; |๐‘›| > ๐‘

(10.6.21)

Seguendo una procedura analoga a quella adottata per i segnali a

tempo continuo si ottiene anche:

๐›พ21(โˆ’๐‘›๐‘‡) = ๐›พ12โˆ— (๐‘›๐‘‡) (10.6.22)

Le trasformate di Fourier delle funzioni di mutua correlazione ri-

spettivamente valgono:

a)

๐›ค12(๐‘“) = ๐‘‡ โˆ‘ ๐›พ12(๐‘›๐‘‡)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“๐‘‡

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

= ๐‘‡ โˆ‘ ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“๐‘‡ lim๐‘โ†’โˆž

๐›พ๐‘12(๐‘›๐‘‡)

2๐‘ + 1

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

=

(10.6.23)

Page 230: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

218 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

= ๐‘‡2 lim๐‘โ†’โˆž

1

2๐‘ + 1โˆ‘ โˆ‘ ๐‘ 1๐‘((๐‘›

โˆž

๐‘˜=โˆ’โˆž

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

+ ๐‘˜)๐‘‡)๐‘ 2๐‘โˆ— (๐‘˜๐‘‡) ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“๐‘‡

= ๐‘‡2 lim๐‘โ†’โˆž

1

2๐‘ + 1โˆ‘ ๐‘ 2๐‘

โˆ— (๐‘˜๐‘‡)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘˜๐‘“๐‘‡ โˆ‘ ๐‘ 1๐‘((๐‘›

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

โˆž

๐‘˜=โˆ’โˆž

+ ๐‘˜)๐‘‡) ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹(๐‘›+๐‘˜)๐‘“๐‘‡ = lim๐‘โ†’โˆž

๐‘†1๐‘(๐‘“)๐‘†2๐‘โˆ— (๐‘“)

2๐‘ + 1;

b) ๐›ค21(๐‘“) = lim๐‘โ†’โˆž

๐‘†2๐‘(๐‘“)๐‘†1๐‘โˆ— (๐‘“)

2๐‘ + 1

Per l'autocorrelazione a tempo discreto si ha ovviamente:

๐›พ(๐‘›๐‘‡) = lim๐‘โ†’โˆž

๐›พ๐‘(๐‘›๐‘‡)

2๐‘ + 1 (10.6.24)

e la sua trasformata di Fourier vale:

๐›ค(๐‘“) = lim๐‘โ†’โˆž

๐‘†๐‘(๐‘“)๐‘†๐‘โˆ— (๐‘“)

2๐‘ + 1= lim

๐‘โ†’โˆž

|๐‘†๐‘(๐‘“)|2

2๐‘ + 1 (10.6.25)

Ponendo ๐‘› = 0 nella (10.6.24)si ha:

๐›พ(0) = lim๐‘โ†’โˆž

๐›พ๐‘(0)

2๐‘ + 1= ๐‘‡ lim

๐‘โ†’โˆž

1

2๐‘ + 1โˆ‘ |๐‘ ๐‘(๐‘˜๐‘‡)|

2

โˆž

๐‘˜=โˆ’โˆž

(10.6.26)

di conseguenza:

๐‘‡ lim๐‘โ†’โˆž

1

2๐‘ + 1โˆ‘ |๐‘ ๐‘(๐‘˜๐‘‡)|

2 =

โˆž

๐‘˜=โˆ’โˆž

โˆซ ๐›ค(๐‘“)๐‘‘๐‘“

1

2๐‘‡

โˆ’1

2๐‘‡

= โˆซ lim๐‘โ†’โˆž

|๐‘†๐‘(๐‘“)|2

2๐‘ + 1๐‘‘๐‘“

1

2๐‘‡

โˆ’1

2๐‘‡

(10.6.27)

che รจ la formulazione del teorema di Parseval per i segnali a tempo di-

screto a potenza finita.

Page 231: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 11

TRASFORMAZIONI LINEARI DISCRETE

Studio nel dominio del tempo 11.1 -

Nei sistemi numerici i segnali che intervengono in ingresso e in

uscita sono dei segnali tempo discreti denotati con ๐‘ฅ(๐‘›๐‘‡) e ๐‘ฆ(๐‘›๐‘‡) rispet-

tivamente. In quel che segue รจ conveniente normalizzare il quanto tem-

porale ๐‘‡ ponendo ๐‘‡ = 1. Questo comporta che ci si riferisce a sequenze

numeriche ๐‘ฅ๐‘› e ๐‘ฆ๐‘› in uscita. e il sistema numerico รจ caratterizzato dalla

seguente trasformazione lineare:

๐‘ฆ๐‘› = ๐‘†{๐‘ฅ๐‘›} (11.1.1)

Come nel caso dei sistemi lineari analogici, per caratterizzare la

trasformazione ๐‘† basta esprimere il segnale in ingresso nella forma:

๐‘ฅ๐‘› = โˆ‘ ๐‘ฅ๐‘˜๐›ฟ๐‘›โˆ’๐‘˜

โˆž

๐‘˜=โˆž

(11.1.2)

essendo ๐›ฟ๐‘› la sequenza impulsiva definita dalla:

๐›ฟ๐‘› = {1; ๐‘› = 00; ๐‘› โ‰  0

(11.1.3)

Se la trasformazione ๐‘† รจ lineare, risulta:

๐‘ฆ๐‘› = โˆ‘ ๐‘ฅ๐‘˜๐‘†{๐›ฟ๐‘›โˆ’๐‘˜}

โˆž

๐‘˜=โˆž

(11.1.4)

la quale, ponendo:

โ„Ž๐‘›,๐‘˜ = ๐‘†{๐›ฟ๐‘›โˆ’๐‘˜} (11.1.5)

assume la forma:

๐‘ฆ๐‘› = โˆ‘ ๐‘ฅ๐‘˜

โˆž

๐‘˜=โˆž

โ„Ž๐‘›,๐‘˜ (11.1.6)

La sequenza โ„Ž๐‘›,๐‘˜ , definita dalla (11.1.5), corrisponde alla risposta

del sistema quando al suo ingresso รจ applicata la sequenza impulsiva

(11.1.3) ritardata di ๐‘˜ passi e pertanto costituisce la cosiddetta risposta im-

Page 232: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

220 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

pulsiva del sistema.

Se la trasformazione ๐‘† oltre che lineare รจ anche tempo invariante,

la (11.1.6) diviene:

๐‘ฆ๐‘› = โˆ‘ ๐‘ฅ๐‘˜

โˆž

๐‘˜=โˆž

โ„Ž๐‘›โˆ’๐‘˜ = โˆ‘ ๐‘ฅ๐‘›โˆ’๐‘˜

โˆž

๐‘˜=โˆž

โ„Ž๐‘˜ (11.1.7)

essendo:

โ„Ž๐‘› = ๐‘†{๐›ฟ๐‘›} (11.1.8)

In sostanza, come per i sistemi a tempo continuo, il segnale in uscita da

un sistema discreto lineare e tempo invariante si ottiene dalla convolu-

zione della sequenza dโ€™ingresso con la risposta impulsiva โ„Ž๐‘›.

Nel caso di sistemi discreti la condizione di causalitร  comporta:

โ„Ž๐‘›,๐‘˜ = 0 ๐‘๐‘’๐‘Ÿ ๐‘› < ๐‘˜ (11.1.9)

che, nel caso di trasformazioni tempo invarianti, si semplifica nella:

โ„Ž๐‘› = 0 ๐‘๐‘’๐‘Ÿ ๐‘› < 0 (11.1.10)

Per sistemi causali tempo varianti la (11.1.6) diventa:

๐‘ฆ๐‘› = โˆ‘ ๐‘ฅ๐‘˜

๐‘›

๐‘˜=โˆž

โ„Ž๐‘›,๐‘˜ (11.1.11)

e per sistemi tempo invarianti la (I.43) si semplifica nella:

๐‘ฆ๐‘› = โˆ‘ ๐‘ฅ๐‘˜

๐‘›

๐‘˜=โˆž

โ„Ž๐‘›โˆ’๐‘˜ =โˆ‘๐‘ฅ๐‘›โˆ’๐‘˜

โˆž

๐‘˜=0

โ„Ž๐‘˜ (11.1.12)

Nell'ambito dei sistemi discreti la risposta impulsiva โ„Ž๐‘›,๐‘˜ puรฒ pre-

sentare una durata finita o infinita. Si ottengono cosรฌ i cosiddetti sistemi

a risposta impulsiva a durata finita (sistemi FIR Finite Impulse Response) o i

sistemi a risposta impulsiva a durata infinita (sistemi IIR Infinite Impulsive

Response). Nel caso di sistemi lineari FIR causali, tempo invarianti si puรฒ

porre, senza ledere le generalitร :

โ„Ž๐‘› = 0 ๐‘๐‘’๐‘Ÿ ๐‘› < 0 ๐‘’ ๐‘› > ๐‘ (11.1.13)

e questo comporta:

Page 233: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 11 - Trasformazioni Lineari Discrete. 221

๐‘ฆ๐‘› = โˆ‘ ๐‘ฅ๐‘˜

๐‘›

๐‘˜=๐‘›โˆ’๐‘+1

โ„Ž๐‘›โˆ’๐‘˜ = โˆ‘ ๐‘ฅ๐‘›โˆ’๐‘˜

๐‘โˆ’1

๐‘˜=0

โ„Ž๐‘˜ (11.1.14)

Si osservi che il sistema presenta una memoria finita giacchรจ solo ๐‘ va-

lori del segnale in ingresso contribuiscono alla determinazione dellโ€™uscita

๐‘ฆ๐‘› . Per contro i sistemi IIR sono caratterizzati da una memoria infinita.

Un sistema discreto lineare e tempo invariante puรฒ essere caratte-

rizzato da unโ€™equazione alle differenze del tipo:

๐‘ฆ๐‘› +โˆ‘๐‘Ž๐‘˜

๐‘€

๐‘˜=1

๐‘ฆ๐‘›โˆ’๐‘˜ =โˆ‘๐‘๐‘˜

๐‘

๐‘˜=0

๐‘ฅ๐‘›โˆ’๐‘˜ (11.1.15)

Il valore ๐‘ฆ๐‘› dellโ€™uscita dipende cosรฌ dagli ๐‘€ valori ๐‘ฆ๐‘›โˆ’1, ๐‘ฆ๐‘›โˆ’2, โ€ฆ ๐‘ฆ๐‘›โˆ’๐‘€

precedenti. Un sistema di questo tipo viene denominato sistema ricorsi-

vo.

Se รจ:

๐‘ฆ๐‘› =โˆ‘๐‘๐‘˜

๐‘

๐‘˜=0

๐‘ฅ๐‘›โˆ’๐‘˜ (11.1.16)

il sistema รจ detto non ricorsivo;.

Eโ€™ interessante osservare che la risposta impulsiva di un sistema

non ricorsivo vale:

โ„Ž๐‘› =โˆ‘๐‘๐‘˜

๐‘

๐‘˜=0

๐›ฟ๐‘›โˆ’๐‘˜ = {๐‘๐‘›; 0 โ‰ค ๐‘› โ‰ค ๐‘0; ๐‘Ž๐‘™๐‘ก๐‘Ÿ๐‘œ๐‘ฃ๐‘’

(11.1.17)

il che significa che un sistema non ricorsivo รจ un sistema FIR.

Un caso interessante รจ costituito dal sistema retto dalla seguente

equazione alle differenze:

๐‘ฆ๐‘› +โˆ‘๐‘Ž๐‘˜

๐‘€

๐‘˜=1

๐‘ฆ๐‘›โˆ’๐‘˜ = ๐‘ฅ๐‘› (11.1.18)

La sua risposta impulsiva รจ definita dalla:

โ„Ž๐‘› +โˆ‘๐‘Ž๐‘˜

๐‘€

๐‘˜=1

โ„Ž๐‘›โˆ’๐‘˜ = ๐›ฟ๐‘› (11.1.19)

Per ottenere la soluzione basta porre:

Page 234: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

222 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

โ„Ž๐‘› = ๐ด๐œ†๐‘› (11.1.20)

dove ๐ด e ๐œ† sono due costanti. Sostituendo lโ€™espressione della โ„Ž๐‘› nella

(11.1.19)si ottiene:

๐ด๐œ†๐‘› +โˆ‘๐‘Ž๐‘˜

๐‘€

๐‘˜=1

๐ด๐œ†๐‘›โˆ’๐‘˜ = ๐ด๐œ†๐‘›โˆ’๐‘€ (๐œ†๐‘€ +โˆ‘๐‘Ž๐‘˜๐œ†๐‘€โˆ’๐‘˜

๐‘€

๐‘˜=1

) = 0;

๐‘› > 0

(11.1.21)

che, dovendo essere verificata per tutti i valori di ๐‘›, comporta

lโ€™annullamento del polinomio:

๐œ†๐‘€ + ๐‘Ž1๐œ†๐‘€โˆ’1 + ๐‘Ž2๐œ†

๐‘€โˆ’2 +โ‹ฏ ๐‘Ž๐‘€ (11.1.22)

detto polinomio caratteristico del sistema. Un parametro ๐œ†, che individua

una soluzione della(11.1.21), deve pertanto essere uno zero del polino-

mio caratteristico. Esistono ๐‘€ zeri di detto polinomio, non necessaria-

mente distinti, che possono essere reali o complessi. Nel secondo caso,

se i coefficienti ๐‘Ž๐‘˜ โˆˆ โ„, gli zeri complessi si presentano in coppie coniu-

gate. Se gli zeri sono distinti la risposta impulsiva assume la forma:

โ„Ž๐‘› =โˆ‘๐ด๐‘

๐‘€

๐‘=1

๐‘ง๐‘๐‘› (11.1.23)

dove z๐‘ denota il generico zero del polinomio caratteristico. Se il poli-

nomio caratteristico contiene zeri multipli, la forma della (11.1.23) deve

essere modificata. Ad esempio se z1 รจ uno zero di molteplicitร  ๐‘š e gli

altri ๐‘€ โˆ’๐‘š sono semplici, si ha:

โ„Ž๐‘› =โˆ‘๐ด๐‘

๐‘š

๐‘=1

๐‘›๐‘โˆ’1๐‘ง1๐‘›โˆ‘๐ด๐‘

๐‘€

๐‘=1

๐‘ง๐‘๐‘› (11.1.24)

Le costanti ๐ด๐‘ che compaiono nella (11.1.23) o (11.1.24) si de-

terminano imponendo che siano nulle le condizioni iniziali e cioรจ:

โ„Žโˆ’1 = โ„Žโˆ’2 = โ‹ฏ = โ„Žโˆ’๐‘€ = 0 (11.1.25)

Esempio 11.1

Per determinare la risposta impulsiva del sistema del secondo ordine se-

guente:

๐‘ฆ๐‘› = 3๐‘ฆ๐‘›โˆ’1 + 4๐‘ฆ๐‘›โˆ’2 + ๐‘ฅ๐‘›

Page 235: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 11 - Trasformazioni Lineari Discrete. 223

basta porre ๐‘ฅ๐‘› = ๐›ฟ๐‘›. Si ha:

(*) โ„Ž๐‘› = 3โ„Ž๐‘›โˆ’1 + 4โ„Ž๐‘›โˆ’2 + ๐›ฟ๐‘›

le radici del polinomio caratteristico:

๐œ†๐‘› โˆ’ 3๐œ† โˆ’ 4 = 0

valgono ๐‘ง1 = 1 e ๐‘ง2 = 4 , la risposta impulsiva รจ della forma:

โ„Ž๐‘› = ๐ด1(โˆ’1)๐‘› + ๐ด24

๐‘›; ๐‘› โ‰ฅ 0

Per determinare le costanti ๐ด1 e ๐ด2 basta porre nella (*) ๐‘› = 0 e ๐‘› = 1.

Tenendo presente che deve essere โ„Žโˆ’1 = โ„Žโˆ’2 = 0, si deduce:

โ„Ž0 = 3โ„Žโˆ’1 + 4โ„Žโˆ’2 + ๐›ฟ0 = 1

โ„Ž1 = 3โ„Ž0 + 4โ„Žโˆ’1 + ๐›ฟ1 = 3

che, tenendo conto dellโ€™espressione della โ„Ž๐‘› , forniscono il seguente sistema

di equazioni:

{๐ด1 + ๐ด2 = 1;โˆ’๐ด1 + 4๐ด2 = 3;

la cui soluzione รจ:

๐ด1 =1

5; ๐ด2 =

4

5

Si ha di conseguenza:

โ„Ž๐‘› =1

5(โˆ’1)๐‘› +

4

54๐‘›; ๐‘› โ‰ฅ 0

Studio nel dominio della frequenza 11.2 -

Prendendo la trasformata di Fourier della sequenza ๐‘ฆ๐‘› definita

dalla (11.1.6) si ottiene:

๐‘Œ(๐‘“) = โˆ‘ ๐‘ฆ๐‘›๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

= โˆ‘ ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“ โˆ‘ ๐‘ฅ๐‘˜โ„Ž๐‘›,๐‘˜

โˆž

๐‘˜=โˆž

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(11.2.1)

che, esprimendo la sequenza dโ€™ingresso ๐‘ฅ๐‘˜ mediante la sua trasformata di Fourier ๐‘‹(๐‘“) diventa:

๐‘Œ(๐‘“) = โˆ‘ ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“ โˆ‘ โ„Ž๐‘›,๐‘˜โˆซ ๐‘‹(๐œ‘)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘˜๐œ‘๐‘‘๐œ‘

1

2

โˆ’1

2

โˆž

๐‘˜=โˆž

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

= โˆซ ๐‘‹(๐œ‘)

1

2

โˆ’1

2

โˆ‘ โˆ‘ โ„Ž๐‘›,๐‘˜๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹(๐‘›๐‘“โˆ’๐‘˜๐œ‘)

โˆž

๐‘˜=โˆž

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

๐‘‘๐œ‘

(11.2.2)

Denotando con:

Page 236: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

224 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

๐ป(๐‘“,โˆ’๐œ‘) = โˆ‘ โˆ‘ โ„Ž๐‘›,๐‘˜๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹(๐‘›๐‘“โˆ’๐‘˜๐œ‘)

โˆž

๐‘˜=โˆž

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(11.2.3)

la trasformata bidimensionale di Fourier della risposta impulsiva โ„Ž(๐‘›, ๐‘˜),

valutata in ๐‘“ ed in โˆ’๐œ‘, si ha:

๐‘Œ(๐‘“) = โˆซ ๐ป(๐‘“, โˆ’๐œ‘)๐‘‹(๐œ‘)

1

2

โˆ’1

2

๐‘‘๐œ‘ (11.2.4)

Nel caso di trasformazioni tempo invarianti, la (11.2.3) diventa:

๐ป(๐‘“,โˆ’๐œ‘) = โˆ‘ โˆ‘ โ„Ž๐‘›โˆ’๐‘˜๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹(๐‘›๐‘“โˆ’๐‘˜๐œ‘)

โˆž

๐‘˜=โˆž

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

= โˆ‘ โˆ‘ โ„Ž๐œˆ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹(๐œˆ๐‘“โˆ’๐‘˜(๐œ‘โˆ’๐‘“))

โˆž

๐‘˜=โˆž

โˆž

๐œˆ=โˆ’โˆž

= โˆ‘ โ„Ž๐œˆ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐œˆ๐‘“ โˆ‘ ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘˜(๐‘“โˆ’๐œ‘)

โˆž

๐‘˜=โˆž

โˆž

๐œˆ=โˆ’โˆž

(11.2.5)

Si osservi adesso che:

โˆ‘ โ„Ž๐œˆ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐œˆ๐‘“

โˆž

๐œˆ=โˆ’โˆž

= ๐ป(๐‘“) (11.2.6)

รจ la trasformata di Fourier della risposta impulsiva del sistema, inoltre, lโ€™uguaglianza di Poisson (5.5.8) ci permette di scrivere:

โˆ‘ ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘˜(๐‘“โˆ’๐œ‘)โˆž

๐‘˜=โˆž

= โˆ‘ ๐›ฟ(๐‘“ โˆ’ ๐œ‘ โˆ’๐‘š)

โˆž

๐‘š=โˆž

(11.2.7)

Quindi, se il sistema รจ tempo invariante possiamo ulteriormente scrive-

re:

๐ป(๐‘“, โˆ’๐œ‘) = โˆ‘ โ„Ž๐œˆ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐œˆ๐‘“ โˆ‘ ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘˜(๐‘“โˆ’๐œ‘)

โˆž

๐‘˜=โˆž

โˆž

๐œˆ=โˆ’โˆž

= ๐ป(๐‘“) โˆ‘ ๐›ฟ(๐‘“ โˆ’ ๐œ‘ โˆ’๐‘š)

โˆž

๐‘š=โˆž

(11.2.8)

Che, sostituita nella (11.2.4) fornisce:

Page 237: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 11 - Trasformazioni Lineari Discrete. 225

๐‘Œ(๐‘“) = ๐ป(๐‘“)โˆซ โˆ‘ ๐›ฟ(๐‘“ โˆ’ ๐œ‘ โˆ’๐‘š)

โˆž

๐‘š=โˆž

๐‘‹(๐œ‘)

1

2

โˆ’1

2

๐‘‘๐œ‘

= ๐ป(๐‘“) โˆ‘ ๐‘‹(๐‘“ โˆ’ ๐‘š)โˆซ ๐›ฟ(๐œ‘ โˆ’ (๐‘“ โˆ’ ๐‘š))

1

2

โˆ’1

2

๐‘‘๐œ‘

โˆž

๐‘š=โˆž

= ๐ป(๐‘“) โˆ‘ ๐‘‹(๐‘“ โˆ’ ๐‘š)โŠ“(๐‘“ โˆ’ ๐‘š)โˆž

๐‘š=โˆž

= ๐ป(๐‘“)๐‘‹(๐‘“)

(11.2.9)

Le funzioni ๐ป(๐‘“,โˆ’๐œ‘) e ๐ป (๐‘“) denotano la risposta in frequenza di un sistema lineare tempo variante e tempo invariante rispettivamente. Nel caso di sistemi tempo invarianti la risposta in frequenza puรฒ essere facilmente calcolata sulla base della risposta del sistema ad un in-gresso cisoidale del tipo: ๐‘ฅ๐‘› = ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“ (11.2.10)

Si ha infatti, per la (11.1.7):

๐‘ฆ๐‘› = โˆ‘ ๐‘’๐‘—2๐œ‹(๐‘›โˆ’๐‘˜)๐‘“

โˆž

๐‘˜=โˆ’โˆž

โ„Ž๐‘˜ = ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“ โˆ‘ โ„Ž๐‘˜๐‘’

โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘˜๐‘“

โˆž

๐‘˜=โˆ’โˆž

= ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“๐ป(๐‘“)

(11.2.11)

La risposta del sistema presenta la stessa forma della sollecitazione in in-gresso, l'ampiezza perรฒ dipende dalla risposta in frequenza del sistema

Page 238: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf
Page 239: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 12

VALUTAZIONE NUMERICA DELLA TRASFORMATA DI

FOURIER

Valutazione Numerica della Trasformata di Fourier di 12.1 - un Segnale a tempo continuo

Uno dei fondamentali problemi della Teoria dei segnali consiste

nella valutazione numerica della trasformata di Fourier ๐‘†(๐‘“) di un segna-

le ๐‘ (๐‘ก) a tempo continuo e a energia finita.

A tal fine si consideri un segnale che, seppur non rigorosamente

passabasso, permetta comunque di definire un opportuno intervallo di

frequenze [โˆ’1

2๐‘‡,1

2๐‘‡] al di fuori del quale resta una frazione trascurabile

della sua energia specifica. Sotto questa ipotesi la trasformata di Fourier

del segnale si puรฒ approssimare, trascurando cioรจ gli effetti del ricopri-

mento spettrale, in base alla (9.1.7) utilizzando la sequenza dei suoi

campioni:

๐‘†(๐‘“) โ‰… ๐‘‡โŠ“(๐‘“๐‘‡) โˆ‘ ๐‘ (๐‘›๐‘‡)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“๐‘‡โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(12.1.1)

Osseviamo che, per lโ€™ipotesi fatta nel paragrafo precedente, se si

campionasse ๐‘†(๐‘“) nel dominio della frequenza, si otterebbe solo un

numero finito, diciamo ๐‘, di campioni significativamente diversi da ze-

ro, precisamente quelli ricadenti all'interno dell'intervallo [โˆ’1

2๐‘‡,1

2๐‘‡].

Il generico campione della trasformata si puรฒ esprimere mediante

la (12.1.1) nella forma:

๐‘† (๐‘š

๐‘๐‘‡) โ‰… ๐‘‡โŠ“ (

๐‘š

๐‘) โˆ‘ ๐‘ (๐‘›๐‘‡)๐‘’โˆ’๐‘—

2๐œ‹๐‘š๐‘›

๐‘

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(12.1.2)

dove si รจ implicitamente scelto un passo di campionamento pari a 1

๐‘๐‘‡.

Supponendo, per semplicitร , di scegliere un valore dispari per ๐‘,

la precedente puรฒ essere riscritta come segue:

Page 240: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

228 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

๐‘† (๐‘š

๐‘๐‘‡) โ‰… ๐‘‡โŠ“ (

๐‘š

๐‘) โˆ‘ โ€‰ โˆ‘ ๐‘ (๐‘›๐‘‡)๐‘’โˆ’๐‘—

2๐œ‹๐‘š๐‘›

๐‘

๐‘™๐‘+๐‘โˆ’1

2

๐‘›=๐‘™๐‘โˆ’๐‘โˆ’1

2

โˆž

๐‘™=โˆ’โˆž

(12.1.3)

la quale, effettuando la sostituzione di indice ๐‘›โ€ฒ = ๐‘› โˆ’ ๐‘™๐‘, scambiando

l'ordine delle sommatorie, e tenendo conto della periodicitร  del fattore

esponenziale, diventa:

๐‘† (๐‘š

๐‘๐‘‡) โ‰… ๐‘‡โŠ“ (

๐‘š

๐‘) โˆ‘ [โˆ‘ ๐‘ ((๐‘›โ€ฒ + ๐‘™๐‘)๐‘‡)

โˆž

๐‘™=โˆ’โˆž

]

๐‘โˆ’1

2

๐‘›โ€ฒ=โˆ’๐‘โˆ’1

2

๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘š๐‘›โ€ฒ

๐‘ (12.1.4)

Si nota che la sommatoria interna รจ la ripetizione periodica della

sequenza ๐‘ (๐‘›๐‘‡) dei campioni del segnale effettuata con periodicitร  ๐‘๐‘‡.

รˆ ovvio che detta ripetizione periodica รจ in genere, diversa da ๐‘ (๐‘›๐‘‡),

anche nell'intervallo [โˆ’๐‘โˆ’1

2๐‘‡,

๐‘โˆ’1

2๐‘‡], a causa del ricoprimento temporale

che insorge in quanto il segnale puรฒ non essere a durata rigorosamente

limitata.

Se tuttavia il segnale in esame consente di determinare un valore

della quantitร  ๐‘๐‘‡ che renda trascurabile l'effetto del ricoprimento tem-

porale, si puรฒ scrivere:

โŠ“ (๐‘›

๐‘) โˆ‘ ๐‘ ((๐‘› + ๐‘™๐‘)๐‘‡)

โˆž

๐‘™=โˆ’โˆž

โ‰… โŠ“(๐‘›

๐‘) ๐‘ (๐‘›๐‘‡) (12.1.5)

quindi la (12.1.4) diviene:

๐‘† (๐‘š

๐‘๐‘‡) โ‰… ๐‘‡โŠ“ (

๐‘š

๐‘) โˆ‘ ๐‘ (๐‘›๐‘‡)๐‘’โˆ’๐‘—

2๐œ‹๐‘š๐‘›

๐‘

๐‘โˆ’1

2

๐‘›=โˆ’๐‘โˆ’1

2

(12.1.6)

la quale, sfruttando l'ortogonalitร  delle sequenze โŠ“ (๐‘š

๐‘) ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘š๐‘› ๐‘โ„ , puรฒ

essere facilmente invertita:

๐‘ (๐‘›๐‘‡) โ‰…1

๐‘๐‘‡โŠ“ (

๐‘›

๐‘) โˆ‘ ๐‘† (

๐‘š

๐‘๐‘‡) ๐‘’๐‘—

2๐œ‹๐‘š๐‘›

๐‘

๐‘โˆ’1

2

๐‘š=โˆ’๐‘โˆ’1

2

(12.1.7)

Page 241: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 12 - Valutazione Numerica della Trasformata di Fourier - 229

La (12.1.6) e la (12.1.7) definiscono una coppia di trasformate di-

screte di Fourier di ordine ๐‘. Esse costituiscono il punto di partenza per

valutare numericamente la trasformata e l'antitrasformata di Fourier di

un segnale a tempo continuo.

Esempio 12.1

Si consideri il segnale a tempo continuo dato dalla:

๐‘ (๐‘ก) =โŠ“ (๐‘ก

๐‘‡0โˆ’1

2)

รˆ noto che la sua trasformata di Fourier vale:

๐‘†(๐‘“) = ๐‘‡0sinc(๐‘“๐‘‡0)๐‘’โˆ’๐‘—๐œ‹๐‘“๐‘‡0

Tenendo presente la (12.1.5), si scelgono un passo di campionamento T ed

un valore di N tali che risulti NT T0 , Quindi la (12.1.5) vale, in questo

caso, come uguaglianza. Si avrร :

๐‘ (๐‘›๐‘‡) = {1; 0 โ‰ค ๐‘› โ‰ค ๐‘€0; ๐‘Ž๐‘™๐‘ก๐‘Ÿ๐‘œ๐‘ฃ๐‘’

๐‘€ = โŒŠ๐‘‡0๐‘‡โŒ‹

D'altra parte la scelta del passo di campionamento ๐‘‡ incide sull'entitร 

dell'errore dovuto al ricoprimento spettrale.

Volendo limitare tale errore, occorre rendere sufficientemente elevata la

quantitร  1 ๐‘‡โ„ , in accordo con la (12.1.6). Scegliere un valore ๐‘‡ equivale ad

ipotizzare che il segnale abbia una banda ๐ต = 1 2๐‘‡โ„ .

Nel caso specifico, si puรฒ procedere assumendo che il segnale abbia una

banda equivalente ๐ต๐‘’ =k๐‘‡0โ„ (๐‘˜ > 1) e quindi assumere:

๐‘‡ โ‰ค๐‘‡02๐‘˜

il che comporta:

๐‘ โ‰ฅ โŒˆ๐‘‡0

๐‘‡โŒ‰ โ‰ฅ 2๐‘˜

In tali condizioni si ottiene:

๐‘† (๐‘š

๐‘๐‘‡) = ๐‘‡โˆ‘ ๐‘ (๐‘›๐‘‡)๐‘’โˆ’๐‘—

2๐œ‹๐‘š๐‘›

๐‘ =

๐‘โˆ’1

๐‘›=0

๐‘‡ โˆ‘ ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘š๐‘›

๐‘

๐‘€โˆ’1

๐‘›=0

= { ๐‘‡๐‘’โˆ’๐‘—

2๐œ‹๐‘š๐‘€

๐‘ โˆ’ 1

๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘š

๐‘ โˆ’ 1; ๐‘š = โˆ’

๐‘

2,โ€ฆ ,โˆ’1,1, โ€ฆ ,

๐‘

2โˆ’ 1

๐‘‡๐‘€; ๐‘š = 0

Page 242: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

230 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

il cui modulo vale:

|๐‘† (๐‘š

๐‘๐‘‡)| =

{

๐‘‡ โ‹… |

๐‘ ๐‘–๐‘› (๐œ‹๐‘š๐‘€

๐‘)

๐‘ ๐‘–๐‘› (๐œ‹๐‘š

๐‘)| ; ๐‘š = โˆ’

๐‘

2,โ€ฆ ,โˆ’1,1, โ€ฆ ,

๐‘

2โˆ’ 1

๐‘‡๐‘€; ๐‘š = 0

In Fig.E 12.1sono riportati gli andamenti di |๐‘† (๐‘š

๐‘๐‘‡)| per diversi valori di

๐‘ e di ๐‘‡ unitamente al modulo di ๐‘†(๐‘“). Si noti che al crescere del parametro

๐‘‡ le righe dello spettro si infittiscono e l'errore tra il valore vero dello spettro

e quello stimato si riduce, in quanto la banda aumenta e si riduce di conse-

guenza lโ€™aliasing.

Esempio 12.2

Si consideri il seguente segnale tempo continuo:

๐‘ (๐‘ก) = ๐‘ข(๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘ก

Fig.E 12.1

Page 243: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 12 - Valutazione Numerica della Trasformata di Fourier - 231

la cui trasformata di Fourier vale:

๐‘†(๐‘“) =1

1 + ๐‘—2๐œ‹๐‘“

Il segnale considerato non presenta nรฉ durata nรฉ banda rigorosamente li-

mitata per cui รจ necessaria un'adeguata scelta di ๐‘ e ๐‘‡ per limitare sia l'erro-

re di ricoprimento temporale sia quello di ricoprimento spettrale.

In tal caso si puรฒ scrivere:

๐‘† (๐‘š

๐‘๐‘‡) โ‰… โˆ‘ ๐‘†(

๐‘š

๐‘๐‘‡+๐‘˜

๐‘‡)

โˆž

๐‘˜=โˆ’โˆž

; 0 โ‰ค ๐‘š โ‰ค ๐‘ โˆ’ 1

e quindi in base alla (12.1.6)si ha:

๐‘† (๐‘š

๐‘๐‘‡) โ‰… ๐‘‡โˆ‘ ๐‘ (๐‘›๐‘‡)๐‘’โˆ’๐‘—

2๐œ‹๐‘š๐‘›

๐‘ = ๐‘‡1 โˆ’ ๐‘’โˆ’๐‘๐‘‡

1 โˆ’ ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘š

๐‘โˆ’๐‘‡; ๐‘š = 0,1,โ€ฆ , ๐‘ โˆ’ 1

๐‘โˆ’1

๐‘›=0

Fig.E 12.2

Page 244: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

232 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

il cui modulo รจ dato dalla:

|๐‘† (๐‘š

๐‘๐‘‡)| = ๐‘‡

1 โˆ’ ๐‘’โˆ’๐‘๐‘‡

โˆš1 + ๐‘’โˆ’2๐‘‡ โˆ’ 2๐‘’โˆ’๐‘‡๐‘๐‘œ๐‘  (2๐œ‹๐‘š

๐‘)

; ๐‘š = 0,1,โ€ฆ , ๐‘ โˆ’ 1

In Fig. E.IX.8 sono paragonati i valori delle quantitร  |๐‘† (๐‘š

๐‘๐‘‡)| al variare

dei parametri ๐‘ e ๐‘‡ con il modulo dello spettro del segnale ๐‘ (๐‘ก):

|๐‘†(๐‘“)| =1

โˆš1 + (2๐œ‹๐‘“)2

allo scopo di illustrare l'influenza del numero dei punti e della periodicitร 

nella valutazione numerica dello spettro di un segnale che non presenta nรฉ

durata nรฉ banda rigorosamente limitata.

Troncamento del segnale. Finestre temporali. 12.2 -

Un modo per eliminare gli errori di ricoprimento temporale รจ

quello di considerare una versione troncata del segnale ๐‘ (๐‘ก)

๐‘ ๐‘ค(๐‘ก) = ๐‘ (๐‘ก) โ‹… ๐‘ค(๐‘ก) (12.2.1)

ottenuta moltiplicando ๐‘ (๐‘ก) per una funzione finestra temporale ๐‘ค(๐‘ก) ta-

le che risulti:

{๐‘ค(๐‘ก) = 0; |๐‘ก| >

๐‘‡02;

๐‘ค(0) = 1; (12.2.2)

La (12.2.1) comporta un errore nella valutazione della ๐‘†(๐‘“); tutta-

via se ๐‘‡0 si sceglie in

modo tale che i valori

del segnale ๐‘ (๐‘ก) al di

fuori dell'intervallo

[โˆ’๐‘‡0/2, ๐‘‡0/2] siano

piccoli rispetto a quelli

assunti dal segnale al

suo interno, tale erro-

re puรฒ ritenersi trascu-

rabile.

Per rendersi

conto dell'entitร  di tale

Fig. 12.1 Spettro della finestra di Hanning

Page 245: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 12 - Valutazione Numerica della Trasformata di Fourier - 233

errore basta trasformare la (12.2.1). Indicando con ๐‘†๐‘ค(๐‘“), ๐‘†(๐‘“) e ๐‘Š(๐‘“)

le trasformate di ๐‘ ๐‘ค(๐‘ก), ๐‘ (๐‘ก) e ๐‘ค(๐‘ก) rispettivamente si ha:

๐‘†๐‘ค(๐‘“) = ๐‘†(๐‘“) โˆ— ๐‘Š(๐‘“) = โˆซ ๐‘†(๐œ—)๐‘Š(๐‘“ โˆ’ ๐œ—)๐‘‘๐œ—โˆž

โˆ’โˆž

(12.2.3)

Si osservi che la for-

ma tipica dello spettro di

ampiezza |๐‘Š(๐‘“)| di una

funzione finestra si presenta

come indicato in Fig. 12.1,

cioรจ ha un lobo fondamen-

tale simmetrico rispetto

all'asse delle ordinate che in-

siste su un intervallo di am-

piezza ฮ”๐‘“ e un insieme di

lobi laterali con ampiezze

massime via via decrescenti . Se lo spettro ๐‘†(๐‘“) del segnale ๐‘ (๐‘ก) non รจ

continuo nel punto ๐‘“0, lo spettro del segnale troncato si presenta quali-

tativamente come indicato in Fig. 12.2. Esso รจ cioรจ continuo e ha anda-

mento oscillatorio in prossimitร  di ๐‘“0. Si puรฒ verificare che lโ€™ampiezza

delle oscillazioni dipende dal rapporto |๐‘Š(๐‘“๐‘ )

๐‘Š(0)|, cioรจ dal livello di picco re-

lativo dei lobi secondari dello spettro di ๐‘ค(๐‘ก), mentre la transizione da

๐‘†(๐‘“0โˆ’) a ๐‘†(๐‘“0

+) si verifica in una banda la cui ampiezza รจ proporzionale a

๐›ฅ๐‘“. Le quantitร  |๐‘Š(๐‘“๐‘ )

๐‘Š(0)| e ๐›ฅ๐‘“ pertanto caratterizzano una funzione finestra

dato che i loro valori influenzano la precisione con cui viene approssi-

mato lo spettro.

Le caratteristiche di alcune funzioni finestra comunemente usate

sono riportate nella Tabella 12.1

Fig. 12.2 Effetto della funzione finestra sullo spet-tro di un segnale

Page 246: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

234 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Tabella 12.1 Caratteristiche di alcune funzioni finestra

๐›ฅ๐‘“ |๐‘Š(๐‘“๐‘ )

๐‘Š(0)|

Ret

tan

gola

re

๐‘ค(๐‘ก) โŠ“(๐‘ก

๐‘‡0)

2

๐‘‡0

0.22

-13.2 dB ๐‘Š(๐‘“) ๐‘‡0sinc(๐‘“๐‘‡0)

Bar

tle

tt ๐‘ค(๐‘ก) (1 โˆ’

|2๐‘ก|

๐‘‡0)โŠ“ (

๐‘ก

๐‘‡0)

4

๐‘‡0

0.047

-26.5 dB

๐‘Š(๐‘“) ๐‘‡02sinc [

๐‘“๐‘‡02]2

Han

nin

g ๐‘ค(๐‘ก) cos2 (๐œ‹๐‘ก

๐‘‡0)โŠ“ (

๐‘ก

๐‘‡0)

4

๐‘‡0

0.027

-31.5db ๐‘Š(๐‘“)

๐‘‡0sinc[๐‘“๐‘‡0]

2(1 โˆ’ ๐‘“2๐‘‡02)

Ham

min

g ๐‘ค(๐‘ก) (0,54 + 0,46cos (2๐œ‹๐‘ก

๐‘‡0))โŠ“(

๐‘ก

๐‘‡0)

4

๐‘‡0

0.0062

-44 dB

๐‘Š(๐‘“) ๐‘‡0(โˆ’0.54 + 0.08๐‘“2๐‘‡0

2)

(โˆ’1 + ๐‘“2๐‘‡02)

sinc[๐‘“๐‘‡0]

Tuke

y

๐‘ค(๐‘ก) โŠ“(๐‘ก

๐›ผ๐‘‡0) +

(1 + cos [๐œ‹(2|๐‘ก|โˆ’๐›ผ๐‘‡๐‘œ)

(1โˆ’๐›ผ)๐‘‡๐‘œ]) โŠ“ (

4|๐‘ก|โˆ’๐‘‡๐‘œ(1+๐›ผ)

2๐‘‡๐‘œ(1โˆ’๐›ผ))

2

4

(1 + ๐›ผ)๐‘‡0

๐‘Š(๐‘“) ๐‘‡0sinc[๐‘“๐‘‡0] + ๐›ผsinc[๐‘“๐›ผ๐‘‡0]

2[1 โˆ’ (๐‘“๐‘‡0(๐›ผ โˆ’ 1))2]

Tayl

or-

Kai

ser

๐‘ค(๐‘ก) ๐ผ0 (๐œ‹๐›ฝโˆš1 โˆ’ (

2๐‘ก

๐‘‡0)2

)

๐ผ0(๐œ‹๐›ฝ)โŠ“ (

๐‘ก

๐‘‡0)

2๐›ฝ

๐‘‡0

0,22๐œ‹๐›ฝ

sinh(๐œ‹๐›ฝ)

๐‘Š(๐‘“) ๐‘‡0sinh[๐œ‹โˆš๐›ฝ2 โˆ’ ๐‘“2๐‘‡0

2]

๐ผ0(๐œ‹๐›ฝ)๐œ‹โˆš๐›ฝ2 โˆ’ ๐‘“2๐‘‡0

2

N. B. ๐ผ0(๐‘ฅ) รจ la funzione di Bessel modificata di prima specie di ordine zero.

Page 247: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 12 - Valutazione Numerica della Trasformata di Fourier - 235

La trasformata discreta di Fourier. 12.3 -

Come visto al - ยง. 12.1 - , le trasformate di Fourier diretta e in-

versa di un segnale a tempo continuo, possono effettuarsi mediante le

(12.1.6) e (12.1.7), purchรฉ la scelta del quanto temporale ๐‘‡ e del numero

dei campioni ๐‘ sia tale che gli errori di ricoprimento temporale e spet-

trale risultino trascurabili.

Usualmente le (10.3.9), vengono presentate nella forma:

a) ๐‘†๐‘š = โˆ‘ ๐‘ ๐‘›๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘š

๐‘

๐‘โˆ’1

๐‘›=0

; ๐‘š = 0,1, โ€ฆ , ๐‘ โˆ’ 1

(12.3.1)

b) ๐‘ ๐‘› =1

๐‘โˆ‘ ๐‘†๐‘š๐‘’

๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘š

๐‘ ;

๐‘โˆ’1

๐‘š=0

๐‘› = 0,1, โ€ฆ , ๐‘ โˆ’ 1

Queste ultime si ottengono normalizzando il quanto temporale (๐‘‡ = 1).

In esse si sono denotati con ๐‘ ๐‘› e ๐‘†๐‘š i campioni del segnale e della sua

trasformata di Fourier rispettivamente.

Le (12.3.1) sono delle sequenze periodiche di periodo ๐‘, cosicchรฉ

esse possono essere prolungate al di fuori degli intervalli (0 โ‰ค ๐‘›,๐‘š โ‰ค

๐‘ โˆ’ 1). Ciรฒ significa che ๐‘ ๐‘› e ๐‘†๐‘š sono uguali ai campioni di ๐‘ (๐‘ก) e ๐‘†(๐‘“)

nell'insieme {0, ๐‘ โˆ’ 1} ma non al di fuori di esso. Per sottolineare tale

differenza รจ allora opportuno denotare con ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘› e ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘š le sequenze periodi-

cizzate, di conseguenza le (12.3.1) possono essere riscritte nella forma:

a) ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘š = โˆ‘ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘›๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘š

๐‘

๐‘โˆ’1

๐‘›=0

(12.3.2)

b) ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘› =1

๐‘โˆ‘ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘š๐‘’

๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘š

๐‘

๐‘โˆ’1

๐‘š=0

essendo:

a) ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘› = ๐‘ ๐‘›; 0 โ‰ค ๐‘› โ‰ค ๐‘ โˆ’ 1

(12.3.3) b) ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘š = ๐‘†๐‘š; 0 โ‰ค ๐‘š โ‰ค ๐‘ โˆ’ 1

Le (12.3.2), costituiscono una coppia di trasformazioni denomi-

nate trasformate (diretta e inversa) discrete di Fourier (DFT).

Denotando con ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘ e ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘ i vettori:

Page 248: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

236 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘ = [๏ฟฝ๏ฟฝ0 ๏ฟฝ๏ฟฝ1 โ€ฆ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘โˆ’1]

๐‘‡

๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘ = [๏ฟฝ๏ฟฝ0 ๏ฟฝ๏ฟฝ1 โ€ฆ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘โˆ’1]๐‘‡ (12.3.4)

e con ๐‘พ๐‘ la matrice:

๐‘พ๐‘ =

[ 1 1 โ€ฆ 1

1 ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹

๐‘ โ€ฆ ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹(๐‘โˆ’1)

๐‘

โ€ฆ โ€ฆ โ€ฆ โ€ฆ

1 ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹(๐‘โˆ’1)

๐‘ โ€ฆ ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹(๐‘โˆ’1)2

๐‘ ]

=

[ ๐‘Š๐‘

0 ๐‘Š๐‘0 โ€ฆ ๐‘Š๐‘

0

๐‘Š๐‘0 ๐‘Š๐‘

1 โ€ฆ ๐‘Š๐‘(๐‘โˆ’1)

โ€ฆ โ€ฆ โ€ฆ โ€ฆ

๐‘Š๐‘0 ๐‘Š๐‘

(๐‘โˆ’1)โ€ฆ ๐‘Š๐‘

(๐‘โˆ’1)2

]

(12.3.5)

in cui ๐‘Š๐‘ = ๐‘’โˆ’๐‘—

2๐œ‹

๐‘ denota la radice ๐‘-esima dell'unitร , le (12.3.2) si pos-

sono riscrivere come segue:

a)

b)

๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘ = ๐‘พ๐‘๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘

๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘ =1

๐‘๐‘พ๐‘

โˆ— ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘ (12.3.6)

Confrontando le (12.3.6)si ottiene facilmente:

๐‘พ๐‘โˆ’1 =

1

๐‘๐‘พ๐‘

โˆ— (12.3.7)

che equivale a scrivere:

๐‘พ๐‘๐‘พ๐‘โˆ— = ๐‘๐‘ฐ๐‘ (12.3.8)

dove ๐‘ฐ๐‘ รจ la matrice unitaria di ordine ๐‘. La matrice ๐‘พ๐‘ รจ pertanto una

matrice ortogonale.

Come nel caso delle altre trasformate di Fourier, la DFT gode di

proprietร  che vengono riassunte nella Tabella 12.2.

Esempio 12.3

Siano:

๏ฟฝ๏ฟฝ1 = {

โˆ’1; ๐‘› = 02; ๐‘› = 14; ๐‘› = 2โˆ’2; ๐‘› = 3

; ๏ฟฝ๏ฟฝ2 = {

1; ๐‘› = 0โˆ’1; ๐‘› = 12; ๐‘› = 2โˆ’3; ๐‘› = 3

due distinte sequenze periodiche di periodo ๐‘ = 4. La loro convoluzione

Page 249: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 12 - Valutazione Numerica della Trasformata di Fourier - 237

๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘› =โˆ‘ ๏ฟฝ๏ฟฝ1,๐‘˜ ๏ฟฝ๏ฟฝ2,(๐‘›โˆ’๐‘˜)

3

๐‘˜=0

si valuta facilmente tenendo conto delle proprietร  di periodicitร  delle se-

quenze.

Si ha infatti, per ๐‘› = 0:

๏ฟฝ๏ฟฝ0 = โˆ‘ ๏ฟฝ๏ฟฝ1,๐‘˜ ๏ฟฝ๏ฟฝ2,(โˆ’๐‘˜)

3

๐‘˜=0

dove รจ:

{

๏ฟฝ๏ฟฝ2,0 = 1;

๏ฟฝ๏ฟฝ2,(โˆ’1) = ๏ฟฝ๏ฟฝ2,(4โˆ’1) = ๏ฟฝ๏ฟฝ2,3 = โˆ’3;

๏ฟฝ๏ฟฝ2,(โˆ’2) = ๏ฟฝ๏ฟฝ2,(4โˆ’2) = ๏ฟฝ๏ฟฝ2,2 = 2;

๏ฟฝ๏ฟฝ2,(โˆ’3) = ๏ฟฝ๏ฟฝ2,(4โˆ’3) = ๏ฟฝ๏ฟฝ2,1 = โˆ’1;

per cui risulta:

๏ฟฝ๏ฟฝ1 = โˆ’1 โˆ’ 6 + 8 + 2 = 3

In modo analogo, per ๐‘› = 1, รจ:

๏ฟฝ๏ฟฝ1 = โˆ‘ ๏ฟฝ๏ฟฝ1,๐‘˜ ๏ฟฝ๏ฟฝ2,(1โˆ’๐‘˜)

4

๐‘˜=0

con:

{

๏ฟฝ๏ฟฝ2,(1โˆ’0) = ๏ฟฝ๏ฟฝ2,(1) = โˆ’1;

๏ฟฝ๏ฟฝ2,(1โˆ’1) = ๏ฟฝ๏ฟฝ2,(0) = 1;

๏ฟฝ๏ฟฝ2,(1โˆ’2) = ๏ฟฝ๏ฟฝ2,(โˆ’1) = ๏ฟฝ๏ฟฝ2,(4โˆ’1)=๏ฟฝ๏ฟฝ2,(3) = โˆ’3;

๏ฟฝ๏ฟฝ2,(1โˆ’3) = ๏ฟฝ๏ฟฝ2,(โˆ’2) = ๏ฟฝ๏ฟฝ2,(4โˆ’2)=๏ฟฝ๏ฟฝ2,(2) = 2;

Si ha:

๏ฟฝ๏ฟฝ1 = 1 + 2 โˆ’ 12 โˆ’ 4 = โˆ’13

Per ๐‘› = 2 รจ:

๏ฟฝ๏ฟฝ2 = โˆ‘ ๏ฟฝ๏ฟฝ1,๐‘˜ ๏ฟฝ๏ฟฝ2,(2โˆ’๐‘˜)

3

๐‘˜=0

con

{

๏ฟฝ๏ฟฝ2,(2โˆ’0) = ๏ฟฝ๏ฟฝ2,2 = 2;

๏ฟฝ๏ฟฝ2,(2โˆ’1) = ๏ฟฝ๏ฟฝ2,1 = โˆ’1;

๏ฟฝ๏ฟฝ2,(2โˆ’2) = ๏ฟฝ๏ฟฝ2,0 = 1;

๏ฟฝ๏ฟฝ2,(2โˆ’3) = ๏ฟฝ๏ฟฝ2(โˆ’1) = ๏ฟฝ๏ฟฝ2(4โˆ’1) = ๏ฟฝ๏ฟฝ2,3 = โˆ’3;

รˆ quindi:

๏ฟฝ๏ฟฝ2 = โˆ’2 โˆ’ 2 + 4 + 6 = 6

Page 250: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

238 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Si ha infine, per ๐‘› = 3:

๏ฟฝ๏ฟฝ3 = โˆ‘ ๏ฟฝ๏ฟฝ1๐‘˜ ๏ฟฝ๏ฟฝ2,(3โˆ’๐‘˜)

4

๐‘˜=0

Si ha:

{

๏ฟฝ๏ฟฝ2,(3โˆ’0) = ๏ฟฝ๏ฟฝ2,3 = โˆ’3;

๏ฟฝ๏ฟฝ2,(3โˆ’0) = ๏ฟฝ๏ฟฝ2,2 = 2;

๏ฟฝ๏ฟฝ2,(3โˆ’2) = ๏ฟฝ๏ฟฝ2,1 = โˆ’1;

๏ฟฝ๏ฟฝ2,(3โˆ’3) = ๏ฟฝ๏ฟฝ2,0 = 1;

e quindi:

๏ฟฝ๏ฟฝ3 = 3 + 4 โˆ’ 4 โˆ’ 2 = 1

In definitiva risulta:

๏ฟฝ๏ฟฝ = {

3; ๐‘› = 0โˆ’13; ๐‘› = 16; ๐‘› = 21; ๐‘› = 3

Page 251: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 12 - Valutazione Numerica della Trasformata di Fourier - 239

Tabella 12.2

Proprietร  della DFT

Proprietร  Segnale Coefficiente

Linearitร  โˆ‘๐‘Ž๐‘– ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘–๐‘›

๐‘˜

๐‘–=1

โˆ‘๐‘Ž๐‘–๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘–๐‘š

๐‘˜

๐‘–=1

Segnale coniugato ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘›โˆ— ๏ฟฝ๏ฟฝโˆ’๐‘š

โˆ—

Trasformata coniu-

gata ๐‘ ๐‘‘โˆ—(โˆ’๐‘›) ๐‘†๐‘‘

โˆ—(๐‘š)

Traslazione in ๐‘› ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘›โˆ’๐‘›0 ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›0๐‘š

๐‘ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘š

Traslazione in ๐‘š ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘š0

๐‘ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘› ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘šโˆ’๐‘š0

Differenza in avanti

in ๐‘› ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘›+1 โˆ’ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘› [๐‘’๐‘—

2๐œ‹๐‘š

๐‘ โˆ’ 1]๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘š

Differenza all'indie-

tro in ๐‘› ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘› โˆ’ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘›โˆ’1 [1 โˆ’ ๐‘’โˆ’๐‘—

2๐œ‹๐‘š

๐‘ ]๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘š

Differenza in avanti

in ๐‘š (๐‘’โˆ’๐‘—

2๐œ‹๐‘›

๐‘€ โˆ’ 1) ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘› ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘š+1 โˆ’ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘š

Differenza all'indie-

tro

in ๐‘š

(1 โˆ’ ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›

๐‘ ) ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘› ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘š โˆ’ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘šโˆ’1

Convoluzione in ๐‘›

โˆ‘๏ฟฝ๏ฟฝ1๐‘˜ ๏ฟฝ๏ฟฝ2(๐‘›โˆ’๐‘˜)

๐‘โˆ’1

๐‘˜=0

=โˆ‘ ๏ฟฝ๏ฟฝ1(๐‘›โˆ’๐‘˜)๏ฟฝ๏ฟฝ2๐‘˜

๐‘โˆ’1

๐‘˜=0

๏ฟฝ๏ฟฝ1๐‘š๏ฟฝ๏ฟฝ2๐‘š

Convoluzione in ๐‘š ๏ฟฝ๏ฟฝ1๐‘›๏ฟฝ๏ฟฝ2๐‘›

1

๐‘โˆ‘ ๏ฟฝ๏ฟฝ1๐‘˜๏ฟฝ๏ฟฝ2(๐‘šโˆ’๐‘˜)

๐‘โˆ’1

๐‘˜=0

=1

๐‘โˆ‘ ๏ฟฝ๏ฟฝ1(๐‘šโˆ’๐‘˜)๏ฟฝ๏ฟฝ2๐‘˜

๐‘โˆ’1

๐‘˜=0

Page 252: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf
Page 253: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 13

RICHIAMI DI TEORIA DELLA PROBABILITร€

Lo spazio dei risultati. Gli eventi. 13.1 -

Spesso nella realtร  ci sโ€™imbatte in fenomeni i cui esiti non posso-

no essere esattamente previsti, basti pensare all'estrazione del biglietto

vincente di una lotteria, o al numero di chiamate in arrivo in una centra-

le telefonica nel corso di un'ora della giornata. Tuttavia se, osservando

ripetutamente il fenomeno, si prende nota dei risultati, ci si accorge che,

nella quasi totalitร  dei casi, essi obbediscono ad una certa โ€œregolaritร  stati-

stica โ€, nel senso che il rapporto tra le volte in cui si verifica un determi-

nato risultato e il numero totale dโ€™osservazioni tende a stabilizzarsi at-

torno ad un dato valore al crescere di queste ultime. Cosรฌ, ad esempio, se

da un'urna contenente palline nere e bianche si รจ estratta nel 90% dei ca-

si una pallina bianca, e nel restante 10%, una nera, si รจ indotti a ritenere

che l'evento: โ€œestrazione di una pallina bianca โ€ abbia una maggiore

probabilitร  di verificarsi dell'evento: โ€œestrazione di una pallina nera โ€, o

che รจ lo stesso che nellโ€™urna vi siano molte piรน palline bianche che nere.

Si รจ cosรฌ portati ad associare ad ogni evento casuale una certa

probabilitร  che esso si manifesti. Tuttavia, per definire correttamente il

concetto di probabilitร  associato ad un evento casuale, occorre richiama-

re alcune nozioni fondamentali concernenti il cosiddetto spazio di probabi-

litร .

Per schematizzare il comportamento di un fenomeno aleatorio รจ

opportuno introdurre il concetto di esperimento casuale che consiste in

un procedimento di osservazione di risultati, ottenuti ripetendo la mede-

sima prova tutte le volte che si voglia. Ad esempio nell'esperimento ca-

suale lancio di una moneta, i possibili risultati osservabili sono testa (T )

e croce (C ). Qualcuno potrebbe osservare che la casualitร  del risultato

nel lancio della moneta รจ in realtร  dovuto allโ€™imperizia del lanciatore.

Si consideri un esperimento casuale e sia ํœ un suo possibile risul-

tato. L'insieme ฮฉ costituito da tutti i risultati che si possono manifestare

prende il nome di spazio dei risultati.

Nell'esempio precedente del lancio di una moneta si ha:

Page 254: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

242 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

ฮฉ = {๐‘‡, ๐ถ} (13.1.1)

Nel lancio di un dado, lo spazio dei risultati รจ costituito dall'insieme del-

le sei facce e si ha:

ฮฉ = {๐‘“1, ๐‘“2, ๐‘“3, ๐‘“4, ๐‘“5, ๐‘“6} (13.1.2)

Per studiare un esperimento casuale รจ opportuno identificare una

classe di sottoinsiemi dello spazio dei risultati, (cioรจ un insieme di sot-

toinsiemi dello spazio dei risultati) il generico elemento di tale classe

viene chiamato evento. Un evento ๐ธ si dice verificato tutte le volte che

l'esperimento casuale da luogo ad un risultato ํœ che appartiene ad ๐ธ. La

scelta della classe, seppure nel rispetto di alcune proprietร  che vedremo

piรน avanti, non รฉ obbligata e dipende da quali aspetti dellโ€™esperimento si

intendono evidenziare.

Ad esempio, nel caso del lancio del dado, se si ha interesse al

punteggio della faccia superiore, si devono necessariamente assumere

come eventi gli insiemi contenenti i singoli risultati; mentre se si รจ in-

teressati solo al fatto che il risultato sia pari o dispari ci si puรฒ limitare a

prendere in considerazione gli eventi:

E๐‘ = {๐‘“2, ๐‘“4, ๐‘“6}; E๐‘‘ = {๐‘“1, ๐‘“3, ๐‘“5}; (13.1.3)

L'intero spazio dei risultati ๐›บ รจ un evento, come pure lo รจ l'in-

sieme vuoto โˆ…. Nel primo caso si parla di evento certo, poichรฉ l'evento

E = ๐›บ si manifesta ogniqualvolta si compie l'esperimento; nel secondo si

parla di evento impossibile, dato che l'evento E = โˆ… non si puรฒ manife-

stare.

Agli eventi si puรฒ applicare l'algebra degli insiemi ed in particolare

le note operazioni di unione, intersezione, e complementazione (Fig.

13.1)

Fig. 13.1 โ€“ Da sinistra: unione, intersezione complementazione.

Page 255: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 13 - Richiami di Teoria della Probabilitร  - 243

Due eventi si dicono disgiunti o incompatibili quando il manifestarsi

dell'uno implica il non manifestarsi dell'altro e viceversa, in altre parole

se la loro intersezione รจ l'evento impossibile:

๐ธ1 โˆฉ ๐ธ2 = โˆ… (13.1.4)

Si supponga adesso di ripetere ๐‘ volte un certo esperimento ca-

suale e sia ๐›ฅ๐‘ il numero di volte in cui un dato evento E si รจ verificato.

La quantitร  lim๐‘โ†’โˆž

๐›ฅ๐‘

๐‘ รจ detta probabilitร  associata all'evento E:

Pr{๐ธ} = lim๐‘โ†’โˆž

๐›ฅ๐‘

๐‘ (13.1.5)

In altre parole per probabilitร  di un evento sโ€™intende il limite della โ€œfre-

quenza relativaโ€ ๐›ฅ๐‘

๐‘ al tendere all'infinito del numero di ripetizioni

dellโ€™esperimento.

Essendo necessariamente 0 โ‰ค ๐›ฅ๐‘ โ‰ค ๐‘ risulta:

0 โ‰ค Pr{E} โ‰ค 1 (13.1.6)

Nel caso dell'evento certo, essendo ๐›ฅ๐‘ = ๐‘, si ha

Pr{ฮฉ} = 1 (13.1.7)

Infine, se gli eventi E1 ed E2 sono disgiunti, dallโ€™ovvia condizio-

ne:

๐›ฅ๐‘E1โˆชE2 = ๐›ฅ๐‘E1 + ๐›ฅ๐‘E2 (13.1.8)

segue:

Pr{E1 โˆช E2} = Pr{E1} + Pr{E2} (13.1.9)

Si osservi che, purtroppo, poichรฉ in ogni esperimento fisico il

numero delle prove, per quanto grande, non puรฒ mai essere infinito, il

limite Pr{E} non puรฒ pertanto essere calcolato, nรฉ si puรฒ affermare che

esso esista. Per questo motivo tale definizione, per quanto intuitiva, non

puรฒ essere presa in considerazione come base per lo sviluppo di una

teoria matematica della probabilitร . รˆ quindi necessario definire il con-

cetto di probabilitร  per via assiomatica, prescindendo da quello di fre-

quenza relativa.

Lโ€™approccio in termini di frequenza relativa, va tuttavia tenuto in

considerazione, in quanto, in molti casi, esso si rivela utile nella giu-

Page 256: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

244 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

stificazione intuitiva, di alcuni sviluppi teorici la cui dimostrazione sa-

rebbe inutilmente onerosa.

Lo spazio di probabilitร . 13.2 -

Si consideri lo spazio dei risultati ฮฉ di un esperimento casuale, ad

esso si associ una classe ๐“” di suoi sottoinsiemi i cui elementi vengono

chiamati eventi. Al generico evento E si associ un numero Pr{E}, detto

probabilitร  dell'evento, che soddisfi le seguenti proprietร :

a) 0 โ‰ค Pr{E} โ‰ค 1

(13.2.1)

b) Pr{ฮฉ} = 1

c) E1 โˆฉ E2 = โˆ… โ‡’ Pr{E1 โˆช E2} = Pr{E1} + Pr{E2}

cโ€™) E๐‘™ โˆฉ E๐‘˜ = โˆ… โˆ€ ๐‘™ โ‰  ๐‘˜ โ‡’ Pr{ โˆช E๐‘–โˆž

๐‘–=1} =โˆ‘Pr{E๐‘–}

โˆž

๐‘–=1

In altre parole la probabilitร  associata all'evento ๐ธ deve assumere

valore non negativo e non maggiore di 1; inoltre essa deve godere della

proprietร  additiva rispetto all'unione di eventi disgiunti. La probabilitร 

dell'evento certo si pone uguale ad 1.

La (13.2.1)cโ€™ deve valere in alternativa alla (13.2.1)c, nel caso in

cui la classe ๐“” contenga un numero infinito di elementi.

Quanto sopra esposto, equivale ad affermare che la probabilitร 

Pr{โ‹…} รจ un'applicazione ๐“” โ†’Pr[0,1].

Va precisato che la classe ๐“” degli eventi non puรฒ essere scelta in

modo totalmente arbitrario; essa deve, infatti, soddisfare le seguenti

proprietร :

a) E โˆˆ ๐“” โ‡’ E๐‘ โˆˆ ๐“”

(13.2.2) b) ๐ธ1, ๐ธ2 โˆˆ ๐“” โ‡’ ๐ธ1 โˆช ๐ธ2 โˆˆ ๐“”

bโ€™) ๐ธ๐‘– โˆˆ ๐“” โ‡’ โˆช ๐ธ๐‘–โˆž

๐‘–=1โˆˆ ๐“”

Dove la proprietร  (13.2.2)bโ€™ vale in alternativa la (13.2.2)b

se la classe ๐“” contiene infiniti elementi.

Dalle (13.2.2) discende facilmente:

โˆ… โˆˆ ๐“”; ฮฉ โˆˆ ๐“”; (13.2.3)

Page 257: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 13 - Richiami di Teoria della Probabilitร  - 245

La proprietร  (13.2.2)a รจ intuitivamente giustificata dal fatto che se

ad un certo evento รจ associata una probabilitร , resta implicitamente de-

finita la probabilitร  che l'evento non si sia verificato, cioรจ che l'esperi-

mento casuale dia luogo ad un qualche risultato che non appartiene

all'evento considerato. Pertanto l'insieme di detti risultati deve a sua vol-

ta costituire un evento.

In conclusione si dice che si รจ definito uno spazio di probabilitร 

๐•Š se si รจ assegnato:

- un insieme di risultati ฮฉ (spazio dei risultati):

- una classe ๐“” di sottoinsiemi di ฮฉ (eventi) che soddisfi le (13.2.2));

- un'applicazione ๐“” โ†’Pr[0,1] definita su ๐“” (probabilitร ) che soddisfi le

(13.2.1).

Ciรฒ viene di norma sintetizzato dalla notazione:

๐•Š=(ฮฉ,๐“”,๐‘ƒ๐‘Ÿ) (13.2.4)

Si osservi che definire uno spazio di probabilitร  significa sempli-

cemente associare una particolare misura ad una classe di sottoinsiemi

dell'insieme di risultati. Le proprietร  (13.2.2) cui deve soddisfare la classe

๐“” sono infatti le stesse giร  viste nel CAPITOLO - 1 con riferimento alla

misura degli insiemi. Inoltre l'applicazione Pr{โ‹…} soddisfa tutte le pro-

prietร  richieste ad una misura su una classe di insiemi.

รˆ opportuno ribadire che non tutti i sottoinsiemi di ฮฉ sono ne-

cessariamente eventi. Gli eventi sono soltanto i sottoinsiemi di ฮฉ appar-

tenenti alla classe ๐“”, quindi misurabili secondo la misura Pr{โ‹…}.

Dagli assiomi (13.2.1) discendono facilmente le seguenti proprie-

tร :

- Gli eventi โˆ… e ฮฉ sono manifestamente disgiunti, pertanto in base alla

(13.2.1)c si puรฒ scrivere:

Pr{โˆ… โˆช ๐›บ} = Pr{โˆ…} + Pr{๐›บ} (13.2.5)

dalla quale, notando che รจ:

โˆ… โˆช ฮฉ = ฮฉ (13.2.6)

consegue:

Pr{โˆ…} = 0 (13.2.7)

Ciรฒ significa che la probabilitร  associata all'evento impossibile รจ nulla.

Page 258: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

246 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

- Piรน in generale essendo E๐‘ ed E, disgiunti e poichรฉ E๐‘ โˆช E = ๐›บ ri-

sulta:

Pr{E๐‘ โˆช E} = Pr{E๐‘} + Pr{E} = Pr{ฮฉ} = 1 (13.2.8)

Discende:

Pr{E๐‘} = 1 โˆ’ Pr{E} (13.2.9)

Pertanto la probabilitร  associata al complementare di un evento E รจ il

complemento ad 1 della probabilitร  associata ad E.

- Dati E1 e E2, l'evento E1 puรฒ essere scomposto nei due eventi di-

sgiunti (v. Fig.13.2) E1 โˆฉ E2 e E1 โˆฉ E2๐‘ . Risulta quindi:

a) Pr{E1} = Pr{E1 โˆฉ E2} + Pr{E1 โˆฉ E2๐‘}

(13.2.10) b) Pr{E2} = Pr{E1 โˆฉ E2} + Pr{E1

๐‘ โˆฉ E2}

sommate termine a termine le (13.2.10)forniscono:

Pr{E1} + Pr{E2}

= 2Pr{E1 โˆฉ E2} + Pr{E1 โˆฉ E2๐‘} + Pr{E1

๐‘ โˆฉ E2} (13.2.11)

Poichรฉ gli eventi E1 โˆฉ E2, E1 โˆฉ E2๐‘ e E1

๐‘ โˆฉ E2

sono disgiunti e la loro unione vale E1 โˆช E2, si

ha:

cosicchรฉ dalle precedenti si deduce facilmente:

Pr{E1 โˆช E2} = Pr{E1} + Pr{E2} โˆ’ Pr{E1 โˆฉ E2} (13.2.13)

che costituisce una generalizzazione della proprietร  (13.2.1)c al caso di

eventi non disgiunti (vedi Fig.13.2).

Esempio 13.1

Un calcolatore cercherร  di collegarsi per dieci minuti, a partire da un

istante a caso di una data ora, ad un server. Il quale, in un istante a caso di

quella stessa ora, verrร  spento per subire un intervento di manutenzione.

Quanto dovrร  durare al piรน lโ€™intervento di manutenzione affinchรฉ vi sia una

probabilitร  maggiore o uguale al 50% che il collegamento vada a buon fine?

Pr{E1 โˆช E2}

= Pr{E1 โˆฉ E2} + Pr{E1 โˆฉ E2๐‘}

+ Pr{E1๐‘ โˆฉ E2}

(13.2.12)

Fig.13.2 โ€“ Partizione dellโ€™u-nione in eventi disgiunti.

Page 259: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 13 - Richiami di Teoria della Probabilitร  - 247

*****

Come risultato dellโ€™esperimento casua-

le, si puรฒ assumere la coppia degli istanti t1

in cui inizia la trasmissione e t2 dโ€™inizio

dellโ€™intervento di manutenzione. Lโ€™insieme

dei risultati si puรฒ quindi rappresentare

mediante un quadrato di lato 60 minuti

(vedi Fig.E 13.1). Gli eventi sono rappre-

sentabili mediante sottoinsiemi di punti del

quadrato. La probabilitร  di un generico

evento, data la pura casualitร  di t1 e t2, รจ da-

ta dal rapporto tra lโ€™area del sottoinsieme e lโ€™area del quadrato.

Osserviamo che il collegamento andrร  a buon fine se la manutenzione si

รจ giร  conclusa quando il calcolatore si connette al server ovvero se la manu-

tenzione inizia dopo che il calcolatore ha finito di trasmettere. Detta T la du-

rata dellโ€™intervento di manutenzione le eventualitร  appena descritte si tradu-

cono nelle disuguaglianze:

๐‘ก2 + ๐‘‡ โ‰ค ๐‘ก1

๐‘ก1 + 10 โ‰ค ๐‘ก2

le quali individuano i due eventi incompatibili E1 e E2 evidenziati in figura

Fig.E 13.1.

Lโ€™evento dโ€™interesse รจ quindi costituito dallโ€™unione dei due eventi in que-

stione e, per quanto detto sopra, la sua probabilitร  vale:

๐‘ƒ๐‘Ÿ{E1 โˆช E2} =1250+

(60โˆ’๐‘‡)2

2

3600

Il valore di ๐‘‡ si ottiene quindi risolvendo la disequazione PrE1E2 โ‰ฅ .

Si ha:

๐‘‡2 โˆ’ 120๐‘‡ + 2500 โ‰ฅ 0

Che รจ soddisfatta allโ€™esterno dellโ€™intervallo (10(6 โˆ’ โˆš11), 10(6 +

โˆš11)) considerato che lโ€™estremo superiore di detto intervallo รจ maggiore di

60 la soluzione รจ:

๐‘‡ โ‰ค 10(6 โˆ’ โˆš11) โ‰… 26,83๐‘š๐‘–๐‘› โ‰ก 26โ€ฒ50โ€ณ

Probabilitร  condizionate - Formula di Bayes - Teore-13.3 - ma delle probabilitร  composte.

Siano E1 ed E2 due eventi associati ad un esperimento casuale, e

si denotino rispettivamente con ๐›ฅ๐‘E1 e ๐›ฅ๐‘E1โˆฉE2

il numero di volte che,

Fig.E 13.1

Page 260: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

248 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

su un totale di ๐‘ ripetizioni dell'esperimento casuale, si manifestano gli

eventi E1 e E1 โˆฉ E2. Dallโ€™uguaglianza:

๐›ฅ๐‘E1โˆฉE2๐‘

=๐›ฅ๐‘E1โˆฉE2๐›ฅ๐‘E1

โ‹…๐›ฅ๐‘E1๐‘

(13.3.1)

si ottiene, passando al limite per ๐‘ โ†’ โˆž

Pr{E1 โˆฉ E2} = Pr{E2|E1}Pr{E1} (13.3.2)

dove:

Pr{E2|E1} = lim๐‘โ†’โˆž

๐›ฅ๐‘E1โˆฉE2๐›ฅ๐‘E1

(13.3.3)

Osservando che ๐›ฅ๐‘E1โˆฉE2

๐›ฅ๐‘E1

rappresenta il rapporto fra il numero di

volte in cui, in un totale di ๐‘ ripetizioni dell'esperimento casuale, si veri-

fica l'evento E1 โˆฉ E2 e il numero di volte con cui si verifica l'evento E1,

la Pr{E2|E1} puรฒ essere interpretata come la probabilitร  che si verifichi

l'evento E2 sotto l'ipotesi che E1 sia soddisfatto. Per questo motivo

Pr{E2|E1} รจ detta probabilitร  dell'evento E2 condizionata allโ€™evento E1.

In modo analogo puรฒ scriversi:

Pr{E1 โˆฉ E2} = Pr{E1|E2}๐‘ƒ๐‘Ÿ{E2} (13.3.4)

dove Pr{E1|E2} denota la probabilitร  che si manifesti E1 atteso che E2

sia verificato.

Eguagliando i secondi membri delle (13.3.2) e (13.3.4) si ottiene:

Pr{E1|E2} = Pr{E2|E1}Pr{E1}

Pr{E2} (13.3.5)

nota come formula di Bayes. Essa stabilisce la relazione tra le probabilitร 

condizionate e quelle non condizionate degli eventi E1 e E2.

Se risulta:

Pr{E1|E2} = Pr{E1}, o Pr{E2|E1} = Pr{E2} (13.3.6)

cioรจ se la probabilitร  con cui si manifesta E1 (E2) รจ indipendente dalla

circostanza che E2 (E1) sia verificato, i due eventi si dicono statisticamente

indipendenti. Pertanto, in base alle (13.3.2) e (13.3.4) si ha:

Pr{E1 โˆฉ E2} = Pr{E1}Pr{E2} (13.3.7)

Page 261: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 13 - Richiami di Teoria della Probabilitร  - 249

La probabilitร  dell'intersezione di due eventi indipendenti si ridu-

ce cioรจ semplicemente al prodotto delle probabilitร  associate ai singoli

eventi. Ci si convince facilmente che due eventi disgiunti aventi entram-

bi probabilitร  non nulla di verificarsi non possono essere statisticamente

indipendenti.

Esempio 13.2

Nellโ€™esperimento consistente nel lancio

di due dadi si consideri lโ€™evento E1:โ€œil risul-

tato del lancio del primo dado รจ la faccia

treโ€ e lโ€™evento E2: โ€œil risultato del lancio

del secondo dado รจ la faccia quattroโ€. Si ve-

rifichi che i due eventi sono statisticamente

indipendenti.

Lo spazio dei risultati dellโ€™esperimento

considerato รฉ costituito da 36 elementi (tutte

le possibili coppie ordinate di risultati).

Lโ€™evento E1 รจ dato da:

E1 = {(๐‘“3, ๐‘“1), (๐‘“3, ๐‘“2), (๐‘“3, ๐‘“3), (๐‘“3, ๐‘“4), (๐‘“3, ๐‘“5), (๐‘“3, ๐‘“6)}

la sua probabilitร  vale 1/6. Lโ€™evento E2 รจ dato da:

E2 = {(๐‘“1, ๐‘“4), (๐‘“2, ๐‘“4), (๐‘“3, ๐‘“4), (๐‘“4, ๐‘“4), (๐‘“5, ๐‘“4), (๐‘“6, ๐‘“4)}

anche la sua probabilitร  vale 1/6.

Lโ€™evento E1 โˆฉ E2{(๐‘“1, ๐‘“2)} ha probabilitร  1/36 di verificarsi. Poichรฉ

risulta anche Pr(E1)Pr(E2)36 i due eventi in questione sono sta-

tisticamente indipendenti.

Si consideri una famiglia al piรน numerabile {E๐‘–} di sottoinsiemi di

ฮฉ a due a due disgiunti, tale che โ‹ƒE๐‘– = ฮฉ. Un qualunque evento si puรฒ

scrivere (v. Fig. 13.3):

E = โˆช (๐ธ โˆฉ ๐ธ๐‘–)โˆž

๐‘–=1 (13.3.8)

Essendo:

(E โˆฉ E๐‘–) โˆฉ (E โˆฉ E๐‘—) = โˆ… โˆ€๐‘– โ‰  ๐‘— (13.3.9)

si ha:

๐‘ƒ๐‘Ÿ{E} = โˆ‘Pr{E โˆฉ E๐‘–}

โˆž

๐‘–=1

(13.3.10)

Fig. 13.3 - Teorema delle pro-babilitร  composte.

Page 262: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

250 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

che, utilizzando la (13.3.2), fornisce:

Pr{E} = โˆ‘Pr{E|E๐‘–}Pr{E๐‘–}

โˆž

๐‘–=1

(13.3.11)

nota come teorema delle probabilitร  composte.

Esempio 13.3

Un ricevitore si connette casualmente con una di tre sorgenti di segnali

๐‘†1, ๐‘†2 e ๐‘†3 che emettono due messaggi ๐ด e ๐ต secondo lo schema sotto ripor-

tato:

๐‘†1 โ‡’ {๐ด; ๐‘ƒ๐‘Ÿ{๐ด} =

7

10

๐ต; ๐‘ƒ๐‘Ÿ{๐ต} =3

10

; ๐‘†2 โ‡’ {๐ด; ๐‘ƒ๐‘Ÿ{๐ด} =

1

2

๐ต; ๐‘ƒ๐‘Ÿ{๐ต} =1

2

๐‘†3 โ‡’ {๐ด; ๐‘ƒ๐‘Ÿ{๐ด} =

3

5

๐ต; ๐‘ƒ๐‘Ÿ{๐ต} =2

5

;

- Supposto che il ricevitore riceva il messaggio ๐ด qual รจ la probabilitร  che

esso provenga dalla sorgente ๐‘†3?

- Se al ricevitore perviene il messaggio B qual รจ la probabilitร  che esso

provenga dalla sorgente S3?

*****

Lo spazio dei risultati รจ costituito dal prodotto cartesiano tra lโ€™insieme

delle sorgenti e lโ€™insieme dei messaggi ricevuti:

Z = {(๐‘†1, ๐ด), (๐‘†1, ๐ต), (๐‘†2, ๐ด), (๐‘†2, ๐ต), (๐‘†3, ๐ด), (๐‘†3, ๐ต)}

Lโ€™evento โ€œรˆ stato ricevuto il messaggio ๐ดโ€ รจ il sottoinsieme:

E๐ด = {(๐‘†1, ๐ด), (๐‘†2, ๐ด), (๐‘†3, ๐ด)}

Lโ€™evento โ€œรˆ connessa ๐‘†3โ€ รจ il sottoinsieme:

E๐‘†3 = {(๐‘†3, ๐ด), (๐‘†3, ๐ต)}

La prima probabilitร  richiesta รจ data dalla probabilitร  condizionata

Pr{๐ธ๐‘†3| ๐ธ๐ด} la quale, in base alla formula di Bayes, vale:

Pr{E๐‘†3|E๐ด} =Pr{E๐ด|E๐‘†3}Pr{E๐‘†3}

Pr{E๐ด}

Supponendo che le connessioni del ricevitore con le tre sorgenti av-

vengano con eguale probabilitร , รจ facile riconoscere che si ha:

Pr{E๐ด|E๐‘†3} =3

5; Pr{E๐‘†3} =

1

3

D'altra parte la probabilitร  che al ricevitore si presenti il messaggio ๐ด,

dato che gli eventi ๐ธ๐‘†1 , ๐ธ๐‘†2 ed ๐ธ๐‘†3 sono disgiunti, vale:

Page 263: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 13 - Richiami di Teoria della Probabilitร  - 251

Pr{E๐ด} = Pr{E๐ด|E๐‘†1}Pr{E๐‘†1} + Pr{E๐ด|E๐‘†2}Pr{E๐‘†2} + Pr{E๐ด|E๐‘†3}Pr{E๐‘†3}

=7

10

1

3+1

2

1

3+3

5

1

3=3

5

Risulta allora:

โ€‰Pr{E๐‘†3|E๐ต} =

2

5

1

32

5

=1

3

Procedendo in modo analogo si ha per il secondo quesito posto:

Pr{E๐‘†3|E๐ต} =Pr{E๐ต|E๐‘†3}Pr{E๐‘†3}

Pr{E๐ต}

Essendo

Pr{E๐ต|E๐‘†3} =2

5

e

โ€‰โ€‰Pr{E๐ต} = Pr{E๐ต|E๐‘†1}Pr{E๐‘†1} + Pr{E๐ต|E๐‘†2}๐‘ƒ๐‘Ÿ{E๐‘†2} + Pr{E๐ต|E๐‘†3}๐‘ƒ๐‘Ÿ{E๐‘†3} =2

5

= 1 โˆ’ Pr{E๐ด}

risulta:

Pr{E๐‘†3|E๐ต} =1

3

Inoltre essendo Pr{๐ธ๐‘†3| ๐ธ๐ต} = Pr{๐ธ๐‘†3| ๐ธ๐ด}, si conclude che la deci-

sione a favore della terza sorgente non dipende dal messaggio ricevuto.

Page 264: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf
Page 265: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 14

VARIABILI ALEATORIE

Variabili aleatorie monodimensionali. 14.1 -

Si consideri un esperimento casuale caratterizzato da uno spazio

di probabilitร :

๐•Š=(ฮฉ,โ„ฐ,๐‘ƒ๐‘Ÿ) (14.1.1)

e sia ๐‘‹(โ‹…) un'applicazione che fa corrispondere ad ogni risultato ํœ โˆˆ ฮฉ

un numero reale. Il dominio di tale applicazione รจ quindi l'intero spazio

dei risultati, il suo codominio รจ il campo reale โ„.

Se โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ il sottoinsieme E๐‘ฅ = ๐‘‹โˆ’1(]โˆ’โˆž, ๐‘ฅ]), composto cioรจ da

tutti i risultati a cui, tramite l'applicazione ๐‘‹(โ‹…), corrisponde un valore

non superiore a ๐‘ฅ, costituisce un evento, cioรจ se:

E๐‘ฅ = {ํœ / ๐‘‹(ํœ) โ‰ค ๐‘ฅ} โˆˆ โ„ฐ (14.1.2)

si dice che ๐‘‹11 รจ una variabile aleatoria associata all'esperimento casuale.

Ad esempio se nell'esperimento casuale โ€œlancio di una monetaโ€, as-

sumendo โ„ฐ={โˆ…, {testa}, {croce}, ฮฉ}, si definisce l'applicazione ๐‘‹(โ‹…) che as-

socia al risultato โ€œtestaโ€ il valore 0 e al risultato โ€œcroceโ€ il valore 1, si รจ de-

finita una variabile aleatoria. Infatti:

- ogni semiretta ]โˆ’โˆž, ๐‘ฅ]con ๐‘ฅ < 0 ha come controimmagine nell'insieme

dei risultati l'insieme vuoto che รจ un evento;

- ogni semiretta ]โˆ’โˆž, ๐‘ฅ] con 0 โ‰ค ๐‘ฅ < 1 ha come controimmagine l'in-

sieme E๐‘ฅ = {testa} โˆˆ โ„ฐ;

- ogni semiretta ]โˆ’โˆž, ๐‘ฅ] con ๐‘ฅ โ‰ฅ 1 ha come controimmagine l'insieme ฮฉ

che รจ anch'esso un evento.

In sostanza definire una variabile aleatoria equivale a costruire un

nuovo esperimento casuale che ha come spazio dei risultati l'insieme โ„,

e come classe di eventi โ„ฌ la classe minima che contiene tutte le semirette

del tipo ]โˆ’โˆž, ๐‘ฅ] e che soddisfa le (13.2.2). Detta classe coincide con

11 Il fatto che la variabile aleatoria venga abitualmente indicata con una lettera maiuscola ad es.

๐‘‹ e non con ๐‘‹(ํœ) รจ unโ€™ulteriore motivo di confusione per lo studente che dimentica facilmente

che malgrado venga chiamata variabile, si tratta di unโ€™applicazione.

Page 266: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

254 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

quella costituita da tutti i possibili sottoinsiemi di โ„ che siano misurabili

secondo Lebesgue (la classe di Borel). Gli insiemi in essa contenuti sono

detti insiemi di Borel. Detto B il generico elemento di tale classe, la proba-

bilitร  ad esso associata รจ uguale a quella della sua controimmagine

๐‘‹โˆ’1(B), che, in virtรน della definizione di variabile aleatoria, รจ certamente

un evento nello spazio di probabilitร  ๐•Š. In altri termini, la probabilitร 

dell'evento B โŠ† โ„ vale Pr{๐‘‹โˆ’1(B)}.

In conclusione definire una variabile aleatoria su un esperimento

casuale equivale a definire una misura sulla classe di Borel di โ„. Detta

misura dipende sia dall'esperimento casuale considerato, sia dalla parti-

colare variabile aleatoria che in esso si รจ definita. Quindi variabili aleato-

rie distinte definiscono misure distinte in โ„.

Funzione di distribuzione di probabilitร . 14.2 -

Si consideri un esperimento casuale caratterizzato da uno spazio

di probabilitร  ๐•Š=(ฮฉ,โ„ฐ,Prโ„ฐ). Come giร  detto, definire una variabile aleato-

ria ๐‘‹ equivale a costruire un nuovo esperimento casuale ๐• = (ฮฉ,โ„ฌ, Prโ„ฌ).

Ci si rende facilmente conto che รจ possibile calcolare la probabilitร 

Prโ„ฌ{B} da attribuire al generico evento B โˆˆ โ„ฌ se si definisce la seguente

applicazione avente โ„ come dominio:

๐‘ƒ๐‘‹(๐‘ฅ) = Pr(๐ธ๐‘ฅ) (14.2.1)

Essa รจ detta funzione di distribuzione di probabilitร , (Probability Distribution

Function), associata alla variabile aleatoria ๐‘‹. Poichรฉ, in base alla sua stes-

sa definizione la ๐‘ƒ๐‘‹(โ‹…) associa ad ogni ๐‘ฅ โˆˆ โ„ la probabilitร  dell'evento

E๐‘ฅ = ๐‘‹โˆ’1(]โˆ’โˆž, ๐‘ฅ]), essa puรฒ assumere soltanto valori appartenenti

all'intervallo [0,1].

Nel seguito sarร  dedotta la probabilitร  da associare ad alcuni sot-

toinsiemi di โ„, nota che sia la funzione di distribuzione di probabilitร 

della variabile aleatoria ๐‘‹:

- intervallo semiaperto a sinistra

Sia:

B = ]๐‘Ž, ๐‘] (14.2.2)

poichรฉ:

]โˆ’โˆž, ๐‘] = ]โˆ’โˆž, ๐‘Ž] โˆช B (14.2.3)

e

Page 267: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 14 - Variabili Aleatorie - 255

]โˆ’โˆž, ๐‘Ž] โˆฉ B = โˆ… (14.2.4)

si puรฒ scrivere:

Pr(B) = ๐‘ƒ๐‘‹(๐‘) โˆ’ ๐‘ƒ๐‘‹(๐‘Ž) (14.2.5)

- semiretta dโ€™origine destra aperta

Sia

B = (โˆ’โˆž, ๐‘Ž) (14.2.6)

Sia {๐‘ฅ๐‘›} una qualunque successione convergente ad ๐‘Ž, non decrescente,

e tale che โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• risulti ๐‘ฅ๐‘› โ‰  ๐‘Ž, detto B๐‘› = (โˆ’โˆž, ๐‘ฅ๐‘›] si puรฒ scrivere:

B = โˆช B๐‘›โˆž

๐‘›=1 (14.2.7)

โˆช B๐‘–โˆž๐‘–=1 รจ un evento in quanto unione numerabile di eventi; inoltre, poi-

chรฉ ๐‘› > ๐‘š โ‡’ B๐‘› โŠ‡ B๐‘š risulta Pr{โˆช B๐‘–๐‘›๐‘–=1 } = Pr{B๐‘›} = ๐‘ƒ๐‘‹(๐‘ฅ๐‘›).

Si ha quindi:

Pr(B) = ๐‘ƒ๐‘‹(๐‘Žโˆ’) (14.2.8)

dove ๐‘ƒ๐‘‹(๐‘Žโˆ’) = Pr{โˆช B๐‘›

โˆž๐‘›=1 }. Ci si convince facilmente che la quantitร 

๐‘ƒ๐‘‹(๐‘Žโˆ’) รจ indipendente dalla successione {๐‘ฅ๐‘›} considerata, e coincide con

il limite della funzione di distribuzione ๐‘ƒ๐‘‹(๐‘ฅ) per ๐‘ฅ che tende ad ๐‘Ž dalla

sinistra.

- intervallo chiuso

Sia

B = [๐‘Ž, ๐‘] (14.2.9)

Poichรฉ risulta:

]โˆ’โˆž, ๐‘] = (โ€“โˆž, ๐‘Ž) โˆช B (14.2.10)

essendo (โ€“โˆž, ๐‘Ž) โˆฉ B = โˆ…, utilizzando la (14.2.8) si ottiene:

Pr(B) = ๐‘ƒ๐‘‹(๐‘) โˆ’ ๐‘ƒ๐‘‹(๐‘Žโˆ’) (14.2.11)

- punto isolato

Sia:

B = {๐‘ฅ0} (14.2.12)

Ponendo nella (14.2.9) ๐‘ = ๐‘Ž = ๐‘ฅ0 la (14.2.11) fornisce:

Pr(B) = ๐‘ƒ๐‘‹(๐‘ฅ0) โˆ’ ๐‘ƒ๐‘‹(๐‘ฅ0โˆ’) (14.2.13)

Page 268: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

256 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

- intervallo aperto

Posto:

B = (๐‘Ž, ๐‘) (14.2.14)

dato che:

(โˆ’โˆž, ๐‘) = ]โˆ’โˆž, ๐‘Ž] โˆช B (14.2.15)

si ottiene:

Pr(B) = ๐‘ƒ๐‘‹(๐‘โˆ’) โˆ’ ๐‘ƒ๐‘‹(๐‘Ž) (14.2.16)

- intervallo semiaperto a destra

Sia

B = [๐‘Ž, ๐‘) (14.2.17)

Risulta facilmente:

Pr{B} = ๐‘ƒ๐‘‹(๐‘โˆ’) โˆ’ ๐‘ƒ๐‘‹(๐‘Ž

โˆ’) (14.2.18)

Quanto sopra esposto, evidenzia chiaramente che la distribuzione

di probabilitร  fornisce una descrizione statistica completa della variabile

aleatoria X . Cosicchรฉ, normalmente, si fa riferimento allo spazio di pro-

babilitร  indotto in โ„ dalla variabile aleatoria, piuttosto che allo spazio di

probabilitร  originario ๐•Š.

Ad esempio nel caso della variabile aleatoria ๐‘‹, che nel lancio di

una moneta associa 0 al risultato testa e 1 al risultato croce, si ottiene,

assumendo gli eventi {testa} e {croce} equiprobabili:

๐‘ƒ๐‘‹(๐‘ฅ) = {

0; ๐‘ฅ < 01

2; 0 โ‰ค ๐‘ฅ < 1

1; ๐‘ฅ โ‰ฅ 1

; (14.2.19)

Proprietร  della distribuzione di probabilitร . 14.3 -

La distribuzione di probabilitร  caratterizza completamente una

variabile aleatoria. รˆ quindi importante studiarne le proprietร . In quel

che segue se nโ€™elencano alcune.

- valori limite

Sia ๐‘ƒ๐‘‹(๐‘ฅ) la distribuzione di probabilitร  di una variabile aleatoria

๐‘‹. Se si fa tendere il suo argomento a โˆ’โˆž l'insieme ]โˆ’โˆž, ๐‘ฅ] si identifica

con l'insieme vuoto, che ha se stesso come controimmagine in ฮฉ.

Page 269: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 14 - Variabili Aleatorie - 257

Deve quindi essere:

lim๐‘ฅโ†’โˆ’โˆž

๐‘ƒ๐‘‹(๐‘ฅ) = Pr{โˆ…} = 0 (14.3.1)

Se viceversa si fa tendere ๐‘ฅ a +โˆž l'insieme ]โˆ’โˆž, ๐‘ฅ] si identifica

con โ„ la cui controimmagine, secondo ๐‘‹, รจ ฮฉ cosicchรฉ risulta:

lim๐‘ฅโ†’โˆž

๐‘ƒ๐‘‹(๐‘ฅ) = Pr(โ„) = 1 (14.3.2)

indipendentemente dalla variabile aleatoria considerata.

- monotonia e limitatezza

Si considerino ๐‘ฅ1 ed ๐‘ฅ2 con ๐‘ฅ1 < ๐‘ฅ2. La probabilitร  dell'evento

controimmagine di ]๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2] secondo la variabile aleatoria ๐‘‹, non puรฒ es-

sere negativa. Utilizzando la (14.2.5) si ottiene:

0 โ‰ค Pr{๐‘‹โˆ’1(]๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2])} = ๐‘ƒ๐‘‹(๐‘ฅ2) โˆ’ ๐‘ƒ๐‘‹(๐‘ฅ1) (14.3.3)

Ne segue, data l'arbitrarietร  nella scelta di ๐‘ฅ1 ed ๐‘ฅ2, che la distri-

buzione di probabilitร  รจ una funzione non decrescente del suo argomen-

to. Inoltre, tenendo presente la (14.3.2), รจ:

๐‘ƒ๐‘‹(๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘ƒ๐‘‹(+โˆž) = 1 (14.3.4)

Pertanto, la distribuzione di probabilitร  รจ una funzione limitata.

- continuitร  a destra

Sia data una qualunque successione {โ„Ž๐‘›} tendente a zero, non

crescente e tale che โˆ€๐‘› โˆˆ N risulti โ„Ž๐‘› > 0. Si consideri la famiglia di

eventi {]๐‘ฅ0, ๐‘ฅ0 + โ„Ž๐‘›]}. La probabilitร  dell'evento ]๐‘ฅ0, ๐‘ฅ0 + โ„Ž๐‘›] vale per la

(14.2.5):

Pr{๐‘‹โˆ’1(]๐‘ฅ0, ๐‘ฅ0 + โ„Ž๐‘›])} = ๐‘ƒ๐‘‹(๐‘ฅ0 + โ„Ž๐‘›) โˆ’ ๐‘ƒ๐‘‹(๐‘ฅ0) (14.3.5)

Poichรฉ evidentemente:

โˆฉ ]๐‘ฅ0, ๐‘ฅ0 + โ„Ž๐‘–]๐‘›

๐‘–=1= ]๐‘ฅ0, ๐‘ฅ0 + โ„Ž๐‘›] (14.3.6)

e visto che, indipendentemente dalla scelta della successione, รจ

โˆฉ (๐‘ฅ0, ๐‘ฅ0 + โ„Ž๐‘›]โˆž๐‘›=1 = โˆ… si ha:

0 = Pr{๐‘‹โˆ’1( lim๐‘›โ†’โˆž

โˆฉ ]๐‘ฅ0, ๐‘ฅ0 + โ„Ž๐‘–]๐‘›

๐‘–=1)}

= Pr{๐‘‹โˆ’1( lim๐‘›โ†’โˆž

]๐‘ฅ0, ๐‘ฅ0 + โ„Ž๐‘›])} = lim๐‘›โ†’โˆž

๐‘ƒ๐‘‹(๐‘ฅ0 + โ„Ž๐‘›) โˆ’ ๐‘ƒ๐‘‹(๐‘ฅ0)

= ๐‘ƒ๐‘‹(๐‘ฅ0+) โˆ’ ๐‘ƒ๐‘‹(๐‘ฅ0)

(14.3.7)

Page 270: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

258 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

che equivale ad affermare che la distribuzione di probabilitร  รจ una fun-

zione continua a destra. Risulta cioรจ:

lim๐‘ฅโ†’๐‘ฅ0

+๐‘ƒ๐‘‹(๐‘ฅ) โ‰ก ๐‘ƒ๐‘‹(๐‘ฅ0

+) = ๐‘ƒ๐‘‹(๐‘ฅ0) (14.3.8)

- limiti da sinistra

Sia data la famiglia dโ€™eventi {(๐‘ฅ0 โˆ’ โ„Ž๐‘›, ๐‘ฅ0]} dove {โ„Ž๐‘›} รจ una suc-

cessione del tipo appena introdotto. La probabilitร  del generico evento

della famiglia, espressa in termini della distribuzione di probabilitร  della

variabile aleatoria, vale:

Pr{๐‘‹โˆ’1]๐‘ฅ0 โˆ’ โ„Ž๐‘› , ๐‘ฅ0]} = ๐‘ƒ๐‘‹(๐‘ฅ0) โˆ’ ๐‘ƒ๐‘‹(๐‘ฅ0 โˆ’ โ„Ž๐‘›) (14.3.9)

Poichรฉ, indipendentemente dalla {โ„Ž๐‘›}, รจ โˆฉ (๐‘ฅ0 โˆ’ โ„Ž๐‘› , ๐‘ฅ0]โˆž๐‘›=1 = {๐‘ฅ0},

si ha:

lim๐‘ฅโ†’๐‘ฅ0

โˆ’๐‘ƒ๐‘‹(๐‘ฅ) โ‰ก ๐‘ƒ๐‘‹(๐‘ฅ0

โˆ’) = ๐‘ƒ๐‘‹(๐‘ฅ0) โˆ’ Pr{๐‘‹โˆ’1({๐‘ฅ0})} (14.3.10)

Ciรฒ significa che, solo se la probabilitร  dell'evento controimmagine di

{๐‘ฅ0} รจ nulla, la ๐‘ƒ๐‘‹(โ‹…) รจ continua a sinistra in ๐‘ฅ0 e quindi รจ una funzione

continua in ๐‘ฅ0. Ciรฒ puรฒ verificarsi o perchรฉ la variabile aleatoria non at-

tribuisce il valore ๐‘ฅ0 a nessun risultato dell'esperimento casuale, il che in

altri termini significa che ๐‘‹โˆ’1({๐‘ฅ0}) = โˆ…, ovvero se, pur essendo

๐‘‹โˆ’1({๐‘ฅ0}) โ‰  โˆ…, la probabilitร  di questโ€™evento รจ nulla.

- numero di discontinuitร 

Sia D l'insieme dei punti di discontinuitร  della ๐‘ƒ๐‘‹(โ‹…). L'insieme D

puรฒ essere ottenuto come unione di una famiglia dโ€™insiemi disgiunti, il

cui generico elemento B๐‘› contiene tutti i punti di discontinuitร  in corri-

spondenza dei quali il salto della ๐‘ƒ๐‘‹(โ‹…) ha unโ€™ampiezza contenuta nell'in-

tervallo I๐‘› = ]1

2๐‘›,

1

2๐‘›โˆ’1]. Risulta evidentemente:

โˆช I๐‘›โˆž

๐‘›=1= (0,1] (14.3.11)

Dal fatto che per qualunque evento B deve necessariamente essere

Pr{๐‘‹โˆ’1(B)} โ‰ค 1 discende che ciascun B๐‘› deve essere finito, in particola-

re esso puรฒ contenere al piรน 2๐‘› elementi.

In virtรน delle considerazioni appena fatte, si puรฒ affermare che

l'insieme dei punti di discontinuitร  di una funzione di distribuzione di

probabilitร  รจ al piรน numerabile, in quanto unione numerabile di insiemi

finiti.

Page 271: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 14 - Variabili Aleatorie - 259

L'andamento della funzione di distribuzione di probabilitร  asso-

ciata ad una data variabile aleatoria, suggerisce una possibile classifica-

zione delle variabili aleatorie. Precisamente, se la ๐‘ƒ๐‘‹(๐‘ฅ) รจ continua in โ„,

la variabile aleatoria cui essa รจ associata si dice di tipo continuo, se la ๐‘ƒ๐‘‹(๐‘ฅ)

รจ una funzione costante a tratti la variabile si dice di tipo discreto, nei re-

stanti casi si parla di variabile aleatoria di tipo misto.

Per maggior chiarezza, gli andamenti tipici della funzione di di-

stribuzione di probabilitร  per i diversi tipi di variabili aleatorie sono mo-

strati in Fig. 14.1

Si noti che una variabile aleatoria discreta รจ completamente defi-

nita una volta che siano noti l'insieme D = {๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2, โ€ฆ } dei punti di di-

scontinuitร  e l'ampiezza dei salti ๐‘ƒ๐‘– โ‰ก Pr{๐‘‹โˆ’1({๐‘ฅ๐‘–})} che la distribuzione

di probabilitร  presenta in corrispondenza ad essi.

L'applicazione ๐‘ƒ(๐‘ฅ๐‘–) che associa ad ogni elemento di D la rispet-

tiva ๐‘ƒ๐‘– prende il nome di distribuzione di massa. รˆ evidente che la cono-

scenza della distribuzione di massa, per una variabile aleatoria discreta, รจ

in tutto equivalente alla conoscenza della sua distribuzione di probabili-

tร , in quanto, nota la prima, si puรฒ ricavare facilmente la seconda e vice-

versa.

Quale che sia la variabile aleatoria discreta, risulta ovviamente:

โˆ‘๐‘ƒ๐‘–๐‘–

= 1 (14.3.12)

dove la sommatoria sโ€™intende estesa a tutti gli elementi di D che รจ, come

sopra mostrato, al piรน numerabile.

In particolare la probabilitร  che la variabile aleatoria ๐‘‹ assuma va-

lori appartenenti ad un generico insieme I vale:

Fig. 14.1 PX ( x) tipica di una variabile aleatoria di tipo continuo, discreto, misto

Page 272: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

260 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

Pr{๐‘‹โˆ’1(I)} = Pr{๐‘‹โˆ’1(I โˆฉ D)} = โˆ‘ ๐‘ƒ๐‘–๐‘–|๐‘ฅ๐‘–โˆˆ๐ผ

(14.3.13)

Densitร  di probabilitร  di una variabile aleatoria con-14.4 - tinua.

Una variabile aleatoria di tipo continuo che ammetta una distri-

buzione di probabilitร  derivabile in tutto โ„ puรฒ essere caratterizzata an-

che mediante la cosiddetta densitร  di probabilitร  ๐‘๐‘‹(โ‹…) (probability density

function):

๐‘๐‘‹(๐‘ฅ) =๐‘‘๐‘ƒ๐‘‹(๐‘ฅ)

๐‘‘๐‘ฅ (14.4.1)

Dalle proprietร  viste nel paragrafo precedente, relative alla distri-

buzione di probabilitร , si deducono facilmente le corrispondenti pro-

prietร  che caratterizzano la funzione densitร  di probabilitร  di una varia-

bile aleatoria.

Poichรฉ la distribuzione di probabilitร  รจ una primitiva della rispet-

tiva densitร  deve risultare:

โˆซ ๐‘๐‘‹(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅ =๐‘

๐‘Ž

๐‘ƒ๐‘‹(๐‘) โˆ’ ๐‘ƒ๐‘‹(๐‘Ž) โ‰ก Pr{๐‘‹โˆ’1((๐‘Ž, ๐‘])} (14.4.2)

Se l'integrale si estende all'intero asse reale si ottiene:

โˆซ ๐‘๐‘‹(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅ =โˆž

โˆ’โˆž

๐‘ƒ๐‘‹(โˆž) โˆ’ ๐‘ƒ๐‘‹(โˆ’โˆž) = 1 (14.4.3)

che รจ la cosiddetta condizione di normalizzazione. Essa in sostanza significa

che l'area sottesa dalla densitร  di probabilitร  di una variabile aleatoria รจ

sempre unitaria.

Inoltre poichรฉ la ๐‘ƒ๐‘‹(๐‘ฅ) รจ una funzione non decrescente del suo

argomento, la densitร  di probabilitร  di una variabile aleatoria non puรฒ

assumere valori negativi.

๐‘๐‘‹(๐‘ฅ) โ‰ฅ 0 (14.4.4)

Volendo attribuire un significato non puramente formale alla

densitร  di probabilitร , si osservi che essa, espressa sotto forma di limite

del rapporto incrementale della corrispondente distribuzione, puรฒ porsi

nella forma:

Page 273: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 14 - Variabili Aleatorie - 261

๐‘๐‘‹(๐‘ฅ0) = lim๐›ฅ๐‘ฅโ†’0

๐‘ƒ๐‘‹(๐‘ฅ0 + ๐›ฅ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘ƒ๐‘‹(๐‘ฅ0)

๐›ฅ๐‘ฅ

= lim๐›ฅ๐‘ฅโ†’0+

Pr{๐‘‹โˆ’1((๐‘ฅ0, ๐‘ฅ0 + ๐›ฅ๐‘ฅ])}

|๐›ฅ๐‘ฅ|

= lim๐›ฅ๐‘ฅโ†’0โˆ’

Pr{๐‘‹โˆ’1((๐‘ฅ0 + ๐›ฅ๐‘ฅ, ๐‘ฅ0])}

|๐›ฅ๐‘ฅ|

(14.4.5)

da cui si deduce facilmente che, a meno di infinitesimi di ordine supe-

riore a |๐›ฅ๐‘ฅ|, risulta:

Pr{๐‘‹โˆ’1((๐‘ฅ0, ๐‘ฅ0 + ๐›ฅ๐‘ฅ])} = Pr{๐‘‹

โˆ’1((๐‘ฅ0 + ๐›ฅ๐‘ฅ, ๐‘ฅ0])}

= ๐‘๐‘‹(๐‘ฅ0)|๐›ฅ๐‘ฅ| (14.4.6)

che sโ€™interpreta affermando che, il prodotto ๐‘๐‘‹(๐‘ฅ0)|๐›ฅ๐‘ฅ| esprime indiffe-

rentemente la probabilitร  di uno dei due eventi che compaiono nella

precedente.

Densitร  di probabilitร  di una variabile aleatoria di-14.5 - screta.

Il concetto di densitร  di probabilitร  puรฒ essere esteso facilmente

anche al caso di variabili aleatorie di tipo discreto, pur di intendere la de-

rivata che compare nella (14.4.1) in senso distribuzionale.

Una variabile di tipo discreto ha quindi una densitร  di probabilitร 

costituita da un insieme di delta di Dirac localizzate nei punti di di-

scontinuitร  e di ampiezza pari ai rispettivi salti della corrispondente di-

stribuzione di probabilitร .

รˆ facile rendersi conto che la condizione di normalizzazione vale

anche per le variabili aleatorie di tipo discreto. Risulta infatti:

โˆซ ๐‘๐‘‹(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ โˆ‘ (๐‘ƒ๐‘‹(๐‘ฅ๐‘–) โˆ’ ๐‘ƒ๐‘‹(๐‘ฅ๐‘–_))๐›ฟ(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ๐‘–)

๐‘–|๐‘ฅ๐‘–โˆˆ๐ท

๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

=โˆ‘๐‘ƒ๐‘–๐‘–

= 1

(14.5.1)

Inoltre, poichรฉ il peso di ciascuna delta esprime la probabilitร  dell'evento

๐‘‹โˆ’1({๐‘ฅ๐‘–}), esso non puรฒ essere negativo.

La generalizzazione del concetto di densitร  di probabilitร  al caso

delle variabili aleatorie di tipo misto รจ immediata.

Page 274: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

262 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

รˆ opportuno precisare che, nel caso di variabili aleatorie discrete

o miste, occorre procedere con cautela nel calcolo dโ€™integrali della ๐‘๐‘‹(โ‹…).

Si considerino ad esempio i due integrali:

a) โˆซ ๐‘๐‘‹(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅ๐‘+

๐‘Ž+= ๐‘ƒ๐‘Ÿ{๐‘‹โˆ’1((๐‘Ž, ๐‘])}

(14.5.2)

b) โˆซ ๐‘๐‘‹(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅ๐‘โˆ’

๐‘Ž+= ๐‘ƒ๐‘Ÿ{๐‘‹โˆ’1((๐‘Ž, ๐‘))}

Se ๐‘‹ รจ una variabile aleatoria continua, essi evidentemente conducono

allo stesso risultato, se invece la variabile aleatoria รจ di tipo misto, effet-

tuare il calcolo secondo la (14.5.2)a, o la (14.5.2)b equivale a considerare

o neno il contributo all'integrale di una delta di Dirac, dovuta

allโ€™eventuale presenza in corrispondenza del punto ๐‘ di una disconti-

nuitร  della ๐‘ƒ๐‘‹(๐‘ฅ). I risultati ottenuti potrebbero quindi essere sostan-

zialmente diversi.

Variabili aleatorie bidimensionali. Funzioni di proba-14.6 - bilitร  congiunte.

Sia ๐•Š=(ฮฉ,โ„ฐ,Pr) uno spazio di probabilitร  e siano ๐‘‹ ed ๐‘Œ due va-

riabili aleatorie definite sull'insieme dei risultati. Ad ogni coppia (๐‘ฅ, ๐‘ฆ) di

numeri reali, si puรฒ associare il sottoinsieme di ฮฉ cosรฌ definito:

E๐‘ฅ๐‘ฆ = E๐‘ฅ โˆฉ E๐‘ฆ = {ํœ | ๐‘‹(ํœ) โ‰ค ๐‘ฅ โ‹€ ๐‘Œ(ํœ) โ‰ค ๐‘ฆ} (14.6.1)

Detto insieme costituisce un evento, in quanto intersezione di

due eventi. Si dice allora che la coppia di variabili aleatorie ๐‘‹, ๐‘Œ definisce

una variabile aleatoria bidimensionale associata ad ๐•Š.

Come nel caso monodimensionale, una variabile aleatoria bidi-

mensionale รจ statisticamente caratterizzata dalla funzione ๐‘ƒ๐‘‹๐‘Œ(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) cosรฌ

definita:

๐‘ƒ๐‘‹๐‘Œ(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) = Pr{E๐‘ฅ๐‘ฆ} (14.6.2)

che prende il nome di distribuzione di probabilitร  congiunta.

Dal momento che evidentemente {ํœ|๐‘‹(ํœ) < โˆž} = {ํœ|๐‘Œ(ํœ) < โˆž} = ฮฉ

e poichรฉ ฮฉ โˆฉ E = E valgono le: a) ๐‘ƒ๐‘‹๐‘Œ(โˆž, ๐‘ฆ) = ๐‘ƒ๐‘Œ(๐‘ฆ)

(14.6.3) b) ๐‘ƒ๐‘‹๐‘Œ(๐‘ฅ,โˆž) = ๐‘ƒ๐‘‹(๐‘ฅ)

Page 275: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 14 - Variabili Aleatorie - 263

cioรจ le distribuzioni di probabilitร  (monodimensionali) associate alle va-

riabili aleatorie ๐‘‹ ed ๐‘Œ possono essere dedotte dalla distribuzione di

probabilitร  congiunta associata alla variabile aleatoria bidimensionale

(๐‘‹, ๐‘Œ). In omaggio a questa circostanza, talvolta le funzioni ๐‘ƒ๐‘‹(๐‘ฅ) e

๐‘ƒ๐‘Œ(๐‘ฆ) sono denominate distribuzioni marginali.

La funzione distribuzione di probabilitร  congiunta gode delle

proprietร  qui sotto elencate:

- Se si fa tendere ๐‘ฅ o ๐‘ฆ a โˆ’โˆž, l'insieme E๐‘ฅ๐‘ฆ tende all'insieme vuoto. Si

ha pertanto:

a) ๐‘ƒ๐‘‹๐‘Œ(โˆ’โˆž, ๐‘ฆ) = 0 (14.6.4)

b) ๐‘ƒ๐‘‹๐‘Œ(๐‘ฅ, โˆ’โˆž) = 0

- Se si fanno tendere entrambe le quantitร  ๐‘ฅ e ๐‘ฆ a +โˆž l'insieme Exy

tende a ฮฉ, ciรฒ comporta

๐‘ƒ๐‘‹๐‘Œ(โˆž,โˆž) = 1 (14.6.5)

- Poichรฉ ๐‘ฅ1 โ‰ค ๐‘ฅ2 e ๐‘ฆ1 โ‰ค ๐‘ฆ2 implica E๐‘ฅ1๐‘ฆ1 โŠ† E๐‘ฅ2๐‘ฆ2 la PXY(โ‹…,โ‹…) deve

soddisfare la proprietร :

๐‘ƒ๐‘‹๐‘Œ(๐‘ฅ1, ๐‘ฆ1) โ‰ค ๐‘ƒ๐‘‹๐‘Œ(๐‘ฅ2, ๐‘ฆ2) (14.6.6)

La caratterizzazione statistica di una variabile bidimensionale

(๐‘‹, ๐‘Œ) puรฒ essere ottenuta per mezzo della cosiddetta densitร  di probabilitร 

congiunta:

๐‘๐‘‹๐‘Œ(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) =๐œ•2๐‘ƒ๐‘‹๐‘Œ(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)

๐œ•๐‘ฅ๐œ•๐‘ฆ (14.6.7)

รˆ possibile mostrare che, analogamente al caso delle variabili con-

tinue monodimensionali, nel caso di variabili aleatorie continue bidi-

mensionali, ๐‘๐‘‹๐‘Œ(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)|๐›ฅ๐‘ฅ๐›ฅ๐‘ฆ| esprime, a meno di infinitesimi di ordine

superiore, la probabilitร  dell'evento {ํœ|๐‘ฅ < ๐‘‹(ํœ) < ๐‘ฅ + ๐›ฅ๐‘ฅ โ‹€ ๐‘ฆ < ๐‘Œ(ํœ) <

๐‘ฆ + ๐›ฅ๐‘ฆ}.

Se la derivata che compare nella (14.6.7) รจ intesa in senso genera-

lizzato, il concetto di densitร  di probabilitร  puรฒ essere esteso al caso di

variabili aleatorie bidimensionali discrete o miste per le quali la funzione

๐‘ƒ๐‘‹๐‘Œ(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) puรฒ presentare dei salti di ampiezza finita.

Page 276: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

264 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

Le proprietร  della funzione ๐‘ƒ๐‘‹๐‘Œ(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) sopra riportate, si traducono

facilmente in termini della funzione ๐‘๐‘‹๐‘Œ(๐‘ฅ, ๐‘ฆ). Si ha cosรฌ:

๐‘๐‘‹๐‘Œ(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) โ‰ฅ 0 (14.6.8)

e

โˆซ โˆซ ๐‘๐‘‹๐‘Œ(๐œ‰, ํœ‚)๐‘‘๐œ‰๐‘‘ํœ‚

๐‘ฆ2

๐‘ฆ1

๐‘ฅ2

๐‘ฅ1

= Pr{ํœ|๐‘ฅ1 < ๐‘‹(ํœ) โ‰ค ๐‘ฅ2 โ‹€ ๐‘ฆ1 < ๐‘Œ(ํœ)

โ‰ค ๐‘ฆ2}

(14.6.9)

In particolare dalla (14.6.9) si ha:

๐‘ƒ๐‘‹๐‘Œ(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) = โˆซ โˆซ ๐‘๐‘‹๐‘Œ(๐œ‰, ํœ‚)๐‘‘๐œ‰๐‘‘ํœ‚๐‘ฆ

โˆ’โˆž

๐‘ฅ

โˆ’โˆž

(14.6.10)

La condizione (14.4.3) si traduce nella seguente condizione di

normalizzazione:

โˆฌ ๐‘๐‘‹๐‘Œ(๐œ‰, ํœ‚)๐‘‘๐œ‰๐‘‘ํœ‚R2

= 1 (14.6.11)

Per quanto riguarda le densitร  di probabilitร  marginali dalle

(14.6.3), tenendo conto della (14.6.10), si ottengono le:

a) ๐‘ƒ๐‘‹(๐‘ฅ) = โˆซ โˆซ ๐‘๐‘‹๐‘Œ(๐œ‰, ํœ‚)๐‘‘๐œ‰๐‘‘ํœ‚โˆž

โˆ’โˆž

๐‘ฅ

โˆ’โˆž

(14.6.12)

b) ๐‘ƒ๐‘Œ(๐‘ฆ) = โˆซ โˆซ ๐‘๐‘‹๐‘Œ(๐œ‰, ํœ‚)๐‘‘๐œ‰๐‘‘ํœ‚โˆž

โˆ’โˆž

๐‘ฆ

โˆ’โˆž

le quali derivate rispettivamente rispetto a ๐‘ฅ e a ๐‘ฆ forniscono:

a) ๐‘๐‘‹(๐‘ฅ) = โˆซ ๐‘๐‘‹๐‘Œ(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)๐‘‘๐‘ฆโˆž

โˆ’โˆž

(14.6.13)

b) ๐‘๐‘Œ(๐‘ฆ) = โˆซ ๐‘๐‘‹๐‘Œ(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

Le variabili aleatorie ๐‘‹ e ๐‘Œ si dicono statisticamente indipendenti se la

loro distribuzione di probabilitร  congiunta si puรฒ esprimere come pro-

dotto delle due distribuzioni marginali:

๐‘ƒ๐‘‹๐‘Œ(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) = ๐‘ƒ๐‘‹(๐‘ฅ) โ‹… ๐‘ƒ๐‘Œ(๐‘ฆ) (14.6.14)

o, in modo equivalente, la densitร  congiunta si puรฒ scrivere:

Page 277: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 14 - Variabili Aleatorie - 265

๐‘๐‘‹๐‘Œ(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) = ๐‘๐‘‹(๐‘ฅ) โ‹… ๐‘๐‘Œ(๐‘ฆ) (14.6.15)

cioรจ due variabili aleatorie associate ad uno stesso esperimento casuale si

dicono statisticamente indipendenti se le funzioni di probabilitร  con-

giunte si fattorizzano in termini delle rispettive funzioni di probabilitร 

marginali.

Tutte le considerazioni fin qui esposte nel caso di due variabili

aleatorie possono essere facilmente generalizzate al caso di ๐‘› variabili

aleatorie definite su uno stesso esperimento casuale o, che รจ lo stesso, al

caso di un vettore aleatorio ๐‘›-dimensionale.

Esempio 14.1

Siano ๐‘‹ e ๐‘Œ due variabili aleatorie caratterizzate da una densitร  di proba-

bilitร  congiunta data dalla:

๐‘๐‘‹๐‘Œ(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) = {2; |๐‘ฅ| โ‰ค

1

2 โ‹€ โˆ’

1

2โ‰ค ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ

0; altrove

cioรจ la pX Y(x,y ) รจ costante e uguale a 2 nella

regione indicata nella Fig. Fig.E 14.1e vale 0

altrove.

Le densitร  di probabilitร  marginali sono date

da (vedi Fig.E 14.1):

๐‘๐‘‹(๐‘ฅ) = โˆซ ๐‘๐‘‹๐‘Œ(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)๐‘‘๐‘ฆโˆž

โˆ’โˆž

=

{

โˆซ 2๐‘‘๐‘ฆ

๐‘ฅ

โˆ’1

2

= 2๐‘ฅ + 1; |๐‘ฅ| โ‰ค1

2

0; |๐‘ฅ| >1

2

;

e

๐‘๐‘Œ(๐‘ฆ) = โˆซ ๐‘๐‘‹๐‘Œ(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

=

{

โˆซ 2๐‘‘๐‘ฅ

1

2

๐‘ฆ

= 1 โˆ’ 2๐‘ฆ; |๐‘ฆ| โ‰ค1

2

0; |๐‘ฆ| >1

2

;

Si puรฒ facilmente verificare la corretteza dei risultati mostrando che รจ soddi-

sfatta la propritร  di normalizzazione per entrambe le densitร  di probabilitร 

marginali:

โˆซ ๐‘๐‘‹(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ (2๐‘ฅ + 1)๐‘‘๐‘ฅ

1

2

โˆ’1

2

= [๐‘ฅ2 + ๐‘ฅ]โˆ’1

2

1

2 = 1;

Fig.E 14.1

Page 278: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

266 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

โˆซ ๐‘๐‘Œ(๐‘ฆ)๐‘‘๐‘ฆโˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ (1 โˆ’ 2๐‘ฆ)๐‘‘๐‘ฆ

1

2

โˆ’1

2

= [๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฆ2]โˆ’1

2

1

2 = 1;

Funzioni di probabilitร  condizionate. 14.7 -

Date due varaibili aleatorie ๐‘‹ ed ๐‘Œ definite sullo stesso esperi-

mento casuale aventi densitร  di probabilitร  congiunta ๐‘๐‘‹๐‘Œ(๐‘ฅ๐‘ฆ), si pren-

dano in considerazione i due eventi:

๐ธ1 = {๐‘‹ โ‰ค ๐‘ฅ}, ๐ธ2 = {๐‘ฆ โˆ’|โˆ†๐‘ฆ|

2< ๐‘Œ < ๐‘ฆ +

|โˆ†๐‘ฆ|

2} ; (14.7.1)

La probabilitร  dell'evento ๐ธ1 condizionata dal manifestarsi dell'evento

๐ธ2, nellโ€™ipotesi che quest'ultimo abbia probabilitร  diversa da zero, per la

formula di Bayes vale:

Pr{๐ธ1|๐ธ2} =Pr{๐ธ1โ‹‚๐ธ2}

Pr{๐ธ1}=

โˆซ โˆซ ๐‘๐‘‹๐‘Œ(๐›ผ, ๐›ฝ)๐‘‘๐›ผ๐‘‘๐›ฝ๐‘ฅ

โˆ’โˆž

๐‘ฆ+|โˆ†๐‘ฆ|

2

๐‘ฆโˆ’|โˆ†๐‘ฆ|

2

โˆซ ๐‘๐‘Œ(๐›ฝ)๐‘‘๐›ฝ๐‘ฆ+

|โˆ†๐‘ฆ|

2

๐‘ฆโˆ’|โˆ†๐‘ฆ|

2

(14.7.2)

Se si fa tendere ฮ”๐‘ฆ a zero, ammesso che la ๐‘๐‘Œ(๐‘ฆ), sia continua in

๐‘ฆ, ๐ธ2 si riduce all'evento singolare ๐ธ2 = {๐‘Œ = ๐‘ฆ} e si ha:

limโˆ†๐‘ฆโ†’0

Pr{๐ธ1|๐ธ2} = limโˆ†๐‘ฆโ†’0

โˆซ โˆซ ๐‘๐‘‹๐‘Œ(๐›ผ, ๐›ฝ)๐‘‘๐›ผ๐‘‘๐›ฝ๐‘ฅ

โˆ’โˆž

๐‘ฆ+|โˆ†๐‘ฆ|

2

๐‘ฆโˆ’|โˆ†๐‘ฆ|

2

โˆซ ๐‘๐‘Œ(๐›ฝ)๐‘‘๐›ฝ๐‘ฆ+

|โˆ†๐‘ฆ|

2

๐‘ฆโˆ’|โˆ†๐‘ฆ|

2

= limโˆ†๐‘ฆโ†’0

โˆซ ๐‘๐‘‹๐‘Œ(๐›ผ, ๏ฟฝ๏ฟฝ)|โˆ†๐‘ฆ|๐‘‘๐›ผ๐‘ฅ

โˆ’โˆž

๐‘๐‘Œ(๏ฟฝ๏ฟฝ)|โˆ†๐‘ฆ|=โˆซ ๐‘๐‘‹๐‘Œ(๐›ผ, ๐‘ฆ)๐‘‘๐›ผ๐‘ฅ

โˆ’โˆž

๐‘๐‘Œ(๐‘ฆ)

(14.7.3)

Si noti il limite (14.7.3) esiste finito se risulta ๐‘๐‘Œ(๐‘ฆ) โ‰  0 e, per

ogni valore di ๐‘ฆ definisce una funzione della variabile ๐‘ฅ che soddisfa tut-

te le proprietร  di una distribuzione di probabilitร . Denoteremo tale fun-

zione, ๐‘ƒ๐‘‹|๐‘Œ(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) e la chiameremo distribuzione di probabilitร  condizionata.

Alla ๐‘ƒ๐‘‹|๐‘Œ(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) corrisponde una densitร  di probabilitร  condizionata data dal-

la:

๐‘๐‘‹|๐‘Œ(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) =๐œ•๐‘ƒ๐‘‹|๐‘Œ(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)

๐œ•๐‘ฅ=๐‘๐‘‹๐‘Œ(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)

๐‘๐‘Œ(๐‘ฆ) (14.7.4)

Dalla precedente si ottiene facilmente:

Page 279: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 14 - Variabili Aleatorie - 267

๐‘๐‘‹๐‘Œ(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) = ๐‘๐‘Œ(๐‘ฆ)๐‘๐‘‹|๐‘Œ(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) (14.7.5)

In modo analogo, introducendo la densitร  di probabilitร  condi-

zionata ๐‘๐‘Œ|๐‘‹(๐‘ฆ, ๐‘ฅ) si deduce:

๐‘๐‘‹๐‘Œ(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) = ๐‘๐‘‹(๐‘‹)๐‘๐‘Œ|๐‘‹(๐‘ฆ, ๐‘ฅ) (14.7.6)

Inoltre tenuto conto delle condizioni di normalizzazione:

โˆซ ๐‘๐‘‹|๐‘Œ(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)๐‘‘๐‘ฅ = โˆซ ๐‘๐‘Œ|๐‘‹(๐‘ฆ, ๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฆ =โˆž

โˆ’โˆž

โˆž

โˆ’โˆž

1 (14.7.7)

Funzioni di probabilitร  dโ€™ordine superiore. 14.8 -

In maniera analoga a quanto fatto nei paragrafi precedenti, dato

una variabile aleatoria multi dimensionale, cioรจ una n-upla di variabili

aleatorie ๐‘ฟ = [๐‘‹1, ๐‘‹2, โ€ฆ , ๐‘‹๐‘›] definite sullo stesso esperimento casuale, si

denota con

๐‘ƒ๐‘‹1,๐‘‹2,โ€ฆ,๐‘‹๐‘› (๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2, โ€ฆ , ๐‘ฅ๐‘›) = ๐‘ƒ๐‘ฟ (๐’™) (14.8.1)

la distribuzione di probabilitร  congiunta associata a detta variabile, essa

in ogni ๐’™ esprimerร  la probabilitร  dell'evento:

๐ธ๐’™ = {๐‘ฟ: ๐‘‹1 โ‰ค ๐‘ฅ1 โˆง ๐‘‹2 โ‰ค ๐‘ฅ2โ€ฆโˆง ๐‘‹๐‘› โ‰ค ๐‘ฅ๐‘›} (14.8.2)

Si puรฒ anche definire una densitร  di probabilitร  congiunta della variabile

๐‘ฟ = [๐‘‹1, ๐‘‹2, โ€ฆ , ๐‘‹๐‘›]:

๐‘๐‘ฟ (๐’™) =๐œ•๐‘›๐‘ƒ๐‘‹1,๐‘‹2,โ€ฆ,๐‘‹๐‘› (๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2, โ€ฆ , ๐‘ฅ๐‘›)

๐œ•๐‘ฅ1๐œ•๐‘ฅ2โ€ฆ๐œ•๐‘ฅ๐‘› (14.8.3)

in cui la derivata, anche in questo caso, va eventualmente intesa in senso

generalizzato.

Dalla ๐‘๐‘ฟ (๐’™) si possono dedurre tutte le densitร  congiunte relative

ad un qualunque sottoinsieme delle componenti di ๐‘ฟ per successiva

marginalizzazione, cioรจ integerando su tutto lโ€™asse reale ๐‘๐‘ฟ (๐’™) rispetto a

tutte le componenti di ๐‘ฟ . Si ha infatti, generalizzando le (14.6.13):

๐‘๐‘‹1,๐‘‹2,โ€ฆ,๐‘‹๐‘›โˆ’1 (๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2, โ€ฆ , ๐‘ฅ๐‘›โˆ’1) =

โˆซ ๐‘๐‘‹1,๐‘‹2,โ€ฆ,๐‘‹๐‘› (๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2, โ€ฆ , ๐‘ฅ๐‘›)๐‘‘๐‘ฅ๐‘›โˆž

โˆ’โˆž;

๐‘๐‘‹1,๐‘‹2,โ€ฆ,๐‘‹๐‘›โˆ’1 (๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2, โ€ฆ , ๐‘ฅ๐‘›โˆ’2) =

โˆซ โˆซ ๐‘๐‘‹1,๐‘‹2,โ€ฆ,๐‘‹๐‘› (๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2, โ€ฆ , ๐‘ฅ๐‘›)๐‘‘๐‘ฅ๐‘›โˆž

โˆ’โˆž

โˆž

โˆ’โˆž๐‘‘๐‘ฅ๐‘›โˆ’1;

(14.8.4)

Page 280: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

268 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

โ€ฆ.

๐‘๐‘‹1, (๐‘ฅ1) = โˆซ โ€ฆโˆซ ๐‘๐‘‹1,โ€ฆ,๐‘‹๐‘› (๐‘ฅ1, โ€ฆ , ๐‘ฅ๐‘›)๐‘‘๐‘ฅ๐‘›

โˆž

โˆ’โˆž

๐‘‘๐‘ฅ๐‘›โˆ’1โ€ฆ๐‘‘๐‘ฅ2

โˆž

โˆ’โˆž

;

Vale anche la condizione di normalizzazione:

โˆซ โ€ฆโˆซ ๐‘๐‘ฟ (๐’™)๐‘‘๐’™โˆž

โˆ’โˆž

โˆž

โˆ’โˆž

= 1 (14.8.5)

ovviamente risulta:

๐‘ƒ๐‘ฟ (๐’™) = โˆซ โ€ฆโˆซ ๐‘๐‘ฟ (๐’š)๐‘‘๐’š๐‘ฅ๐‘›

โˆ’โˆž

๐‘ฅ1

โˆ’โˆž

(14.8.6)

e sono soddisfatte le uguaglianze:

๐‘ƒ๐‘‹1,๐‘‹2,โ€ฆ,๐‘‹๐‘› (โˆ’โˆž,โˆ’โˆž,โ€ฆ ,โˆ’โˆž) = 0;

๐‘ƒ๐‘‹1,๐‘‹2,โ€ฆ,๐‘‹๐‘› (โˆž,โˆž,โ€ฆ ,โˆž) = 1 (14.8.7)

Page 281: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 15

FUNZIONI DI VARIABILI ALEATORIE

Funzioni di una variabile aleatoria. 15.1 -

Data una funzione reale ๐‘“(โˆ™) definita in โ„ misurabile e una varia-

bile aleatoria ๐‘‹(ํœ) definita su un esperimento casuale โ„ฐ. Si consideri

lโ€™applicazione definita su ฮฉ a valori in โ„:

๐‘Œ = ๐‘“(๐‘‹(ํœ)) (15.1.1)

Ci si convince facilmente che ๐‘Œ รจ a sua volta una variabile aleatoria defi-

nita sullโ€™esperimento casuale ๐•Š=(ฮฉ,โ„ฐ,Pr).

Infatti, la misurabilitร  della funzione ๐‘“(โˆ™) garantisce che la con-

troimmagine secondo ๐‘“(โˆ™) di ogni semiretta di origine destra chiusa sia

un insieme misurabile secondo Lebesgue. A sua volta la controimmagi-

ne secondo la variabile aleatoria ๐‘‹ di un sottoinsieme di โ„ misurabile รจ

certamente un evento, cioรจ appartiene alla classe โ„ฐ, quindi ad esso si

puรฒ attribuire una probabilitร .

Ci si propone di calcolare la distribuzione di probabilitร  ๐‘ƒ๐‘Œ(๐‘ฆ)

della variabile aleatoria ๐‘Œ nota che sia quella della variabile aleatoria ๐‘‹.

A tal fine si ricorda che la ๐‘ƒ๐‘Œ(๐‘ฆ) eguaglia la probabilitร  che la va-

riabile ๐‘Œ assuma un valore non superiore ad ๐‘ฆ. Tale eventualitร  si verifi-

ca tutte e sole le volte che la variabile aleatoria ๐‘‹ assume valori apparte-

nenti allโ€™insieme ๐ธ๐‘ฆ = ๐‘“โˆ’1(]โˆ’โˆž, ๐‘ฆ]). In altri termini

๐‘ƒ๐‘Œ(๐‘ฆ) = Pr{๐ธ๐‘ฆ}= Pr{๐‘‹โˆ’1(๐ธ๐‘ฆ)}.

Se รจ nota la densitร  di probabilitร  di ๐‘‹, potremo scrivere:

๐‘ƒ๐‘Œ(๐‘ฆ) = Pr{๐ธ๐‘ฆ} = โˆซ ๐‘๐‘‹(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅ๐ผ๐‘ฆ

(15.1.2)

รˆ opportuno sottolineare che lโ€™integrale che compare nella pre-

cedente va inteso in senso delle distribuzioni qualora la ๐‘๐‘‹(๐‘ฅ) contenga

delle delta di Dirac.

Esiste anche un metodo alternativo per calcolare la densitร  di

probabilitร  della variabile aleatoria ๐‘Œ.

Page 282: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

270 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

A tale scopo si consideri una funzione ๐‘“(โˆ™) derivabile quasi ovun-

que priva di tratti costanti e la variabile aleatoria ๐‘‹ sia di tipo continuo.

Data la funzione

๐‘Œ = ๐‘“(๐‘‹) nel piano (๐‘‚, ๐‘‹, ๐‘Œ), si

consideri sullโ€™asse ๐‘Œ lโ€™intervallo

I๐‘ฆ = ]๐‘ฆ โˆ’๐›ฅ๐‘ฆ

2, ๐‘ฆ +

๐›ฅ๐‘ฆ

2]; ad esso

corrisponde un'immagine in-

versa ๐‘“โˆ’1(I๐‘ฆ), costituita, per il

tipo di funzione considerata,

da unโ€™unione finita o al piรน

numerabile di intervalli a due a

due disgiunti I๐‘ฅ๐‘—, centrati nelle soluzioni ๐‘ฅ๐‘— dellโ€™equazione ๐‘ฆ = ๐‘“(๐‘‹)

nellโ€™incognita ๐‘‹ (v. Fig. 15.1). Si ha cioรจ:

๐‘“โˆ’1(I๐‘ฆ) =โ‹ƒI๐‘ฅ๐‘—๐‘—

(15.1.3)

Si osservi adesso che la probabilitร  che la variabile aleatoria ๐‘Œ as-

suma un valore appartenente all'intervallo I๐‘ฆ, รจ uguale alla probabilitร 

che la variabile aleatoria ๐‘‹ assuma un valore appartenente all'evento

๐ธ = โ‹ƒ I๐‘ฅ๐‘—๐‘— . Si puรฒ quindi scrivere:

Pr{I๐‘ฆ} = Pr{E} = โˆ‘Pr{I๐‘ฅ๐‘—}

๐‘—

(15.1.4)

dal momento che, come gia scritto, gli eventi che costituiscono E sono a

due a due disgiunti.

Si osservi inoltre che date le ipotesi fatte sul segnale, al tendere a

zero della misura |๐›ฅ๐‘ฆ| di I๐‘ฆ anche la misura |๐›ฅ๐‘ฅ๐‘—| del generico I๐‘ฅ๐‘— tende

a zero. Quindi, ricordando il significato della densitร  di probabilitร  di

una variabile aleatoria, la (15.1.4) si puรฒ riscrivere, a meno dโ€™infinitesimi

di ordine superiore al primo, nella forma:

๐‘๐‘Œ(๐‘ฆ)|๐›ฅ๐‘ฆ| โ‰… โˆ‘๐‘๐‘‹(๐‘ฅ๐‘—)|๐›ฅ๐‘ฅ๐‘—|

๐‘—

(15.1.5)

Osserviamo che tutti gli addendi della sommatoria a secondo membro

sono non negativi pertanto la ๐‘๐‘Œ(๐‘ฆ) sarร  nulla soltanto per quei valori di

Fig. 15.1

Page 283: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 15 - Funzioni di Variabili Aleatorie - 271

๐‘ฆ per i quali risulti ๐‘๐‘‹(๐‘ฅ๐‘—) = 0 per ogni valore dellโ€™indice ๐‘—, cioรจ in corri-

spondenza ad ogni soluzione dellโ€™equazione ๐‘ฆ = ๐‘“(๐‘‹)

Per tutti i valori di ๐‘ฆ in corrispondenza ai quali โˆ€๐‘ฅ๐‘— risulti

|๐‘‘๐‘“(๐‘‹)

๐‘‘๐‘‹|๐‘ฅ=๐‘ฅ๐‘—

โ‰  0 dividendo ambo i membri della (15.1.5) per |๐›ฅ๐‘ฆ| e pas-

sando al limite per ๐›ฅ๐‘ฆ โ†’ 0, si ottiene:

๐‘๐‘Œ(๐‘ฆ) = lim

๐›ฅ๐‘ฆโ†’0โˆ‘

๐‘๐‘‹(๐‘ฅ๐‘—)|๐›ฅ๐‘ฆ|

|๐›ฅ๐‘ฅ๐‘—|๐‘—

=โˆ‘๐‘๐‘‹(๐‘ฅ๐‘—)

|๐‘‘๐‘“(๐‘‹)

๐‘‘๐‘‹|๐‘‹=๐‘ฅ๐‘—

๐‘—

(15.1.6)

In corrispondenza agli eventuali valori di ๐‘ฅ per i quali risulta che

|๐‘‘๐‘“(๐‘‹)

๐‘‘๐‘‹|๐‘‹=๐‘ฅ๐‘—

= 0, ovvero per i quali la ๐‘“(๐‘‹) non risulti derivabile la ๐‘๐‘Œ(๐‘ฆ)

non รจ definita; tuttavia la ๐‘๐‘Œ(๐‘ฆ) risulta definita quasi ovunque dalla

(15.1.6), in quanto tali punti costituiscono, per le ipotesi fatte sulla fun-

zione ๐‘“(โˆ™) un insieme al piรน numerabile.

Consideriamo adesso il caso in cui la ๐‘“(๐‘‹) sia costante a tratti cioรจ

la funzione, puรฒ assumere soltanto valori appartenenti ad un sottoin-

sieme di A โŠ‚ โ„ al piรน numerabile, comโ€™รจ indicato in Fig. 15.2.

Ci si convince facil-

mente che la ๐‘๐‘Œ(๐‘ฆ) in questo

caso รจ di tipo discreto. Infatti,

facendo riferimento alla Fig.

15.2, la probabilitร  ๐‘ƒ๐‘– che il la

variabile ๐‘Œ il valore ๐‘ฆ๐‘– รจ data

da:

๐‘ƒ๐‘– = Pr{๐‘Œ = ๐‘ฆ๐‘–} = โˆซ๐‘๐‘‹(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅ๐ผ๐‘–

(15.1.7)

dove lโ€™integrale รจ esteso a I๐‘– = ๐‘“โˆ’1({๐‘ฆ๐‘–}), cioรจ alla controimmagine

dellโ€™insieme {๐‘ฆ๐‘–}.

La funzione distribuzione di probabilitร  ๐‘ƒ๐‘Œ(๐‘ฆ) presenterร , in cor-

rispondenza al generico ๐‘ฆ๐‘– , un salto di valore ๐‘ƒ๐‘– . Il valore da essa assun-

to sarร  ๐‘ƒ๐‘Œ(๐‘ฆ๐‘–) = โˆ‘ ๐‘ƒ๐‘—๐‘—โ‰ค๐‘– e tale resterร  a ๐‘ฆ๐‘–+1. La ๐‘ƒ๐‘Œ(๐‘ฆ) si presenterร 

quindi come una funzione a scala, pertanto la variabile aleatoria ๐‘Œ sarร  in

questo caso di tipo discreto.

Fig. 15.2

Page 284: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

272 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

La densitร  di probabilitร  ๐‘๐‘Œ(๐‘ฆ) รจ conseguentemente espressa dal-

la:

๐‘๐‘Œ(๐‘ฆ) = โˆ‘๐‘ƒ๐‘–๐›ฟ(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฆ๐‘–)

๐‘–

(15.1.8)

Esempio 15.1

Si consideri la funzione

๐‘Œ = cos(๐›ท)

dove ฮฆ denota una variabile casua-

le caratterizzata da una densitร  di

probabilitร  ๐‘ฮฆ(๐œ‘)

Se |๐‘ฆ| โ‰ค 1 l'equazione

๐‘ฆ = cos(๐›ท)

presenta le soluzioni generate dalle

(v. Fig.E 15.1)

๐œ‘๐‘˜ = arccos(๐‘ฆ) + 2๐‘˜๐œ‹;

โ€‰๐œ‘โ€ฒ๐‘—= โˆ’arccos(๐‘ฆ) + 2๐‘—๐œ‹

Poichรฉ รจ:

๐‘‘๐‘Œ

๐‘‘๐›ท= โˆ’sin(๐›ท)

risulta:

|๐‘‘๐‘Œ

๐‘‘๐›ท|๐œ‘๐‘˜

= |sin(๐œ‘๐‘˜)| = โˆš(1 โˆ’ cos2(๐œ‘๐‘˜))

|๐‘‘๐‘Œ

๐‘‘๐›ท|๐œ‘โ€ฒ๐‘˜๐‘—

= |sin(๐œ‘โ€ฒ๐‘—)| = โˆš(1 โˆ’ cos2(๐œ‘โ€ฒ๐‘—))

}

= โˆš1 โˆ’ ๐‘ฆ2

Ne consegue:

๐‘๐‘Œ(๐‘ฆ) =โˆ‘ (๐‘๐›ท(๐œ‘๐‘˜) + ๐‘๐›ท(๐œ‘โ€ฒ๐‘—))๐‘˜,๐‘—

โˆš1 โˆ’ ๐‘ฆ2

Se ๐œ‘ ad esempio, รจ uniformemente distribuita in [0, 2, qualunque sia

l'istante t, la sommatoria che compare nella precedente, contiene due soli

termini non nulli ottenuti in corrispondenza al valore 0 dellโ€™indice ๐‘˜ e 1 di j,

precisamente:

๐œ‘0 = arccos(๐‘ฆ);

โ€‰๐œ‘โ€ฒ1= 2๐œ‹ โˆ’ arccos(๐‘ฆ)

Quindi risulta:

Fig.E 15.1

Page 285: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 15 - Funzioni di Variabili Aleatorie - 273

๐‘๐‘Œ(๐‘ฆ) =โŠ“(๐‘ฆ

2)

2๐œ‹โˆš1โˆ’๐‘ฆ2+

โŠ“(๐‘ฆ2)

2๐œ‹โˆš1โˆ’๐‘ฆ2=

โŠ“(๐‘ฆ2)

๐œ‹โˆš1โˆ’๐‘ฆ2

il cui andamento in funzione di ๐‘ฆ รจ riportato in Fig. E.IV.4. a).

La distribuzione di probabilitร  si ottiene per integrazione della prece-

dente. Si ha:

๐‘ƒ๐‘Œ(๐‘ฆ) = (1

2+arcsin(๐‘ฆ)

๐œ‹)โŠ“ (

๐‘ฆ

2) + u(๐‘ฆ โˆ’ 1)

ed รจ rappresentata nella Fig. E.IV.4 b).

Fig.E 15.2

Page 286: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf
Page 287: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 16

MEDIE STATISTICHE

Valore medio di funzioni di variabili aleatorie. 16.1 -

Sia ๐‘‹(ํœ) una variabile aleatoria continua definita sull'insieme dei

risultati di un esperimento casuale ๐•Š=(ฮฉ,โ„ฐ,Pr), caratterizzata da una

densitร  di probabilitร  ๐‘๐‘‹(๐‘ฅ). Si consideri unโ€™applicazione ๐‘“(๐‘‹), dove

๐‘“(โ‹…) รจ una funzione misurabile definita quasi ovunque in โ„.

La quantitร :

๐ธ{๐‘“(๐‘‹)} = ๐‘“(๐‘‹) = โˆซ ๐‘“(๐‘ฅ)๐‘๐‘‹(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

(16.1.1)

ammesso che esista e che sia anche limitata, viene chiamata valore medio

statistico della funzione ๐‘“(๐‘‹) associata alla variabile aleatoria ๐‘‹.

Per chiarire il significato della (16.1.1) รจ opportuno ragionare in

termini di frequenza relativa. A tale scopo, si suddivida l'intervallo

dโ€™integrazione in un insieme dโ€™intervalli contigui del tipo (๐‘–๐›ฅ๐‘ฅ, (๐‘– +

1)๐›ฅ๐‘ฅ) e si scelga arbitrariamente all'interno di ciascuno di essi un punto

๐‘ฅ๐‘–. Se l'integrale (16.1.1) esiste, si puรฒ scrivere:

๐‘“(๐‘‹) = lim๐›ฅ๐‘ฅโ†’0

โˆ‘ ๐‘“(๐‘ฅ๐‘–)๐‘๐‘‹(๐‘ฅ๐‘–)๐›ฅ๐‘ฅ

โˆž

๐‘–=โˆ’โˆž

(16.1.2)

Si osservi adesso che la quantitร  ๐‘๐‘‹(๐‘ฅ๐‘–)๐›ฅ๐‘ฅ approssima la probabi-

litร  che occorra l'evento

E๐‘– = (๐‘–๐›ฅ๐‘ฅ, (๐‘– + 1)๐›ฅ๐‘ฅ] (16.1.3)

la quale in termini di frequenza relativa puรฒ essere espressa come segue:

๐‘๐‘‹(๐‘ฅ๐‘–)๐›ฅ๐‘ฅ = lim๐‘โ†’โˆž

๐›ฅ๐‘๐‘–๐‘

(16.1.4)

Dove ๐‘ rappresenta il numero dโ€™esperimenti effettuati, e ๐›ฅ๐‘๐‘– quello de-

gli esperimenti che hanno dato esito favorevole, cioรจ quelli al cui risulta-

to la variabile aleatoria associa un valore appartenente ad E๐‘– , Si osservi

che tale numero dipende anche dall'ampiezza ๐›ฅ๐‘ฅ di E๐‘– . Sostituendo la

(16.1.4) nella (16.1.2) si ottiene:

Page 288: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

276 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

๐‘“(๐‘‹) = lim๐›ฅ๐‘ฅโ†’0๐‘โ†’โˆž

1

๐‘โˆ‘ ๐‘“(๐‘ฅ๐‘–)๐›ฅ๐‘๐‘–

โˆž

๐‘–=โˆ’โˆž

(16.1.5)

Eโ€™ facile convincersi che la sommatoria a secondo membro, rap-

presenta la somma di tutti i valori assunti dalla funzione ๐‘“(๐‘‹) in corri-

spondenza alle ๐‘ prove effettuate. Di conseguenza ๐‘“(๐‘‹) si puรฒ anche

scrivere nella forma:

๐‘“(๐‘‹) = lim๐‘โ†’โˆž

1

๐‘โˆ‘๐‘“(๐‘‹(ํœ๐‘–))

๐‘

๐‘–=1

(16.1.6)

dove ํœ๐‘– rappresenta il risultato ottenuto nell' ๐‘–-esima ripetizione dell'e-

sperimento casuale.

รˆ opportuno ricordare (vedi CAPITOLO - 15) che poichรฉ ๐‘“(๐‘‹) รจ

misurabile, ๐‘Œ = ๐‘“(๐‘‹) รจ anchโ€™essa una variabile aleatoria definita sull'in-

sieme ฮฉ, caratterizzabile mediante la sua densitร  di probabilitร  ๐‘๐‘Œ(๐‘ฆ).

Il concetto di valore medio di una funzione di variabile aleatoria

si puรฒ estendere al caso di una funzione misurabile su โ„๐‘ di ๐‘ variabili

aleatorie definite sull'insieme dei risultati di uno stesso esperimento ca-

suale. In questo caso si ha:

๐ธ{๐‘“(๐‘‹1, ๐‘‹2, โ€ฆ , ๐‘‹๐‘)} = ๐‘“(๐‘‹1, ๐‘‹2, โ€ฆ , ๐‘‹๐‘) =

= โˆซ๐‘“(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2, โ€ฆ , ๐‘ฅ๐‘)๐‘๐‘‹1๐‘‹2โ€ฆ๐‘‹๐‘(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2, โ€ฆ , ๐‘ฅ๐‘)๐‘‘๐‘ฅ1๐‘‘๐‘ฅ2โ€ฆ๐‘‘๐‘ฅ๐‘

๐‘…๐‘

(16.1.7)

dove ๐‘๐‘‹1๐‘‹2โ€ฆ๐‘‹๐‘(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2, โ€ฆ , ๐‘ฅ๐‘) rappresenta la densitร  di probabilitร  con-

giunta delle ๐‘ variabili aleatorie.

Momenti. 16.2 -

Se ๐‘“(๐‘‹) = (๐‘‹ โˆ’ ๐›ผ)๐‘› (con ๐‘› intero ed ๐›ผ โˆˆ โ„) dalla (16.1.1) si ot-

tiene il momento ๐‘›-esimo, ๐œ‡๐›ผ,๐‘›, riferito ad ๐›ผ, si pone cioรจ:

๐œ‡๐›ผ,๐‘› = โˆซ (๐‘ฅ โˆ’ ๐›ผ)๐‘›๐‘๐‘‹(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

(16.2.1)

a patto, ovviamente, che lโ€™integrale che compare nella precedente as-

suma un valore finito. Si puรฒ dimostrare che lโ€™esistenza del momento di

ordine ๐‘› comporta quella di tutti i momenti di ordine inferiore.

Page 289: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 16 - Medie Statistiche - 277

Se nella (16.1.2) si pone ๐›ผ = 0, essa restituisce il cosiddetto valore

medio della potenza ๐‘›-esima, o momento ๐‘›-esimo ๐‘š๐‘› della variabile aleato-

ria ๐‘‹:

๐‘š๐‘› โ‰œ ๐œ‡0,๐‘› = โˆซ ๐‘ฅ๐‘›๐‘๐‘‹(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

(16.2.2)

In particolare la (14.4.3) comporta che:

๐‘š0 = โˆซ ๐‘๐‘‹(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

= 1 (16.2.3)

Per ๐‘› = 1 la (16.2.2) assume la forma:

๐‘š1 โ‰œ ๐‘š = โˆซ ๐‘ฅ๐‘๐‘‹(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

(16.2.4)

che prende il nome di valore medio della variabile aleatoria.

Per ๐‘› = 2 la (16.2.2) restituisce il cosiddetto valore quadratico medio:

๐‘š2 = โˆซ ๐‘ฅ2๐‘๐‘‹(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

(16.2.5)

Se nella (16.2.1) si pone ๐›ผ = ๐‘š si ottengono al variare di ๐‘› i mo-

menti centrali ๐‘›-esimi della variabile aleatoria:

๐œ‡๐‘› โ‰œ (๐‘‹ โˆ’ ๐‘š1)๐‘› = โˆซ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘š1)

๐‘›๐‘๐‘‹(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

(16.2.6)

Risulta: ๐œ‡0 = 1, ๐œ‡1 = 0 indipendentemente dalla variabile aleatoria in

considerazione.

La (16.2.6), scritta per ๐‘› = 2, fornisce il momento centrale del se-

condo ordine:

๐œ‡2 โ‰œ ๐œŽ2 = โˆซ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘š1)2๐‘๐‘‹(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅ

โˆž

โˆ’โˆž

(16.2.7)

che prende il nome di varianza della variabile aleatoria.

La (16.2.1) puรฒ essere ulteriormente elaborata fornendo:

๐œ‡๐›ผ,๐‘› = โˆซ โˆ‘(โˆ’1)๐‘˜ (๐‘›๐‘˜) ๐‘ฅ๐‘›โˆ’๐‘˜๐›ผ๐‘˜

๐‘›

๐‘˜=0

๐‘๐‘‹(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

=

=โˆ‘(โˆ’1)๐‘˜ (๐‘›๐‘˜) ๐›ผ๐‘˜โˆซ ๐‘ฅ๐‘›โˆ’๐‘˜๐‘๐‘‹(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅ

โˆž

โˆ’โˆž

๐‘›

๐‘˜=0

=โˆ‘(โˆ’1)๐‘˜ (๐‘›๐‘˜)๐›ผ๐‘˜๐‘š๐‘›โˆ’๐‘˜

๐‘›

๐‘˜=0

(16.2.8)

Page 290: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

278 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

La precedente mostra che la conoscenza dei momenti fino allโ€™ordine ๐‘›

consente di conoscere anche tutti i momenti riferiti ad un reale ๐›ผ qual-

siasi.

La (16.2.8) in particolare implica:

๐œŽ2 =โˆ‘(โˆ’1)๐‘˜ (2๐‘˜)๐‘š๐‘˜ ๐‘› ๐‘š๐‘›โˆ’๐‘˜

2

๐‘˜=0

= ๐‘š2 โˆ’๐‘š2 (16.2.9)

Derivando la (16.2.8) valutata per ๐‘› = 2 rispetto ad ๐›ผ si ottiene:

๐‘‘๐œ‡๐›ผ,2๐‘‘๐›ผ

= โˆ‘(โˆ’1)๐‘˜ (2๐‘˜) ๐‘˜๐›ผ๐‘˜โˆ’1๐‘š2โˆ’๐‘˜

2

๐‘˜=0

= โˆ’2๐‘š + 2๐›ผ (16.2.10)

La derivata appena scritta si annulla per ๐›ผ = ๐‘š, se ne conclude che la

varianza รฉ il minimo momento del secondo ordine.

La radice quadrata della varianza

๐œŽ = โˆš๐‘š2 โˆ’๐‘š12 (16.2.11)

prende il nome di scarto quadratico medio o deviazione standard della variabile

aleatoria.

Esempio 16.1

Sia data una variabile aleatoria ๐‘‹ la cui varianza sia finita. Si mostri che, se

ํœ€ รจ un reale positivo qualsiasi, vale la seguente disuguaglianza

๐‘ƒ๐‘Ÿ{|๐‘‹ โˆ’๐‘š| โ‰ฅ ํœ€} โ‰ค๐œŽ2

ํœ€2

Esplicitando il primo membro della precedente si ottiene:

โˆซ ๐‘๐‘‹(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅ๐‘šโˆ’

โˆ’โˆž

+โˆซ ๐‘๐‘‹(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅโˆž

๐‘š+

โ‰ค1

ํœ€2(โˆซ (๐‘ฅ โˆ’๐‘š)2๐‘๐‘‹(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅ

๐‘šโˆ’

โˆ’โˆž

+โˆซ (๐‘ฅ โˆ’๐‘š)2๐‘๐‘‹(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅโˆž

๐‘š+

)

โ‰ค1

ํœ€2(โˆซ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘š)2๐‘๐‘‹(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅ

โˆž

โˆ’โˆž

) =๐œŽ2

ํœ€2

per ottenere la quale si รฉ sfruttata la circostanza che (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘š)2/ํœ€21 allโ€™in-

terno del dominio di integrazione.

La disuguaglianza appena provata รฉ nota come disuguaglianza di Che-

byshev. Unโ€™immediata conseguenza di essa รฉ che se una variabile aleatoria

Page 291: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 16 - Medie Statistiche - 279

ha varianza nulla, allora essa รฉ uguale al suo valor medio con probabilitร 

uno.

Si possono anche definire dei momenti assoluti dโ€™ordine ๐‘› riferiti

ad un qualsiasi reale ๐›ผ come:

|๐‘‹ โˆ’ ๐›ผ|๐‘› = โˆซ |๐‘ฅ โˆ’ ๐›ผ|๐‘›๐‘๐‘‹(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

(16.2.12)

anche in questo caso, ponendo ๐›ผ = 0, si ottengono i momenti assoluti:

๐œŒ๐‘› โ‰œ |๐‘‹|๐‘› = โˆซ |๐‘ฅ|๐‘›๐‘๐‘‹(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

(16.2.13)

e, ponendo ๐›ผ = ๐‘š, si hanno i momenti assoluti centrali.

Esempio 16.2

Siano ๐›ผ, ๐›ฝ due reali qualsiasi e ๐‘˜ un numero naturale; risulta:

0 โ‰ค โˆซ (๐›ผ|๐‘ฅ|๐‘˜

2 + ๐›ฝ|๐‘ฅ|๐‘˜+2

2 )2๐‘๐‘‹(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

Questโ€™ultima fornisce:

0 โ‰ค โˆซ (๐›ผ2|๐‘ฅ|๐‘˜ + 2๐›ผ๐›ฝ|๐‘ฅ|๐‘˜+1 + ๐›ฝ2|๐‘ฅ|๐‘˜+2)๐‘๐‘‹(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

= ๐›ผ2๐œŒ๐‘˜ + 2๐›ผ๐›ฝ๐œŒ๐‘˜+1 + ๐›ฝ2๐œŒ๐‘˜+2

la quale comporta che la forma quadratica

๐›ผ2๐œŒ๐‘˜ + 2๐›ผ๐›ฝ๐œŒ๐‘˜+1 + ๐›ฝ2๐œŒ๐‘˜+2

sia semidefinita positiva. Pertanto il determinante ad essa associato รจ non

negativo. Deve quindi essere:

๐œŒ๐‘˜+12 โ‰ค ๐œŒ๐‘˜๐œŒ๐‘˜+2

Elevando a ๐‘˜ ambo i membri si ottiene:

๐œŒ๐‘˜+12(๐‘˜+1)

โ‰ค ๐œŒ๐‘˜๐‘˜+1๐œŒ๐‘˜+2

๐‘˜+1

questโ€™ultima al variare di ๐‘˜ fornisce le disuguaglianze:

{

๐œŒ12 โ‰ค ๐œŒ0๐œŒ2;

๐œŒ24 โ‰ค ๐œŒ1

2๐œŒ32;

๐œŒ36 โ‰ค ๐œŒ2

3๐œŒ43;

โ‹ฏโ‹ฏ

๐œŒ๐‘˜+12(๐‘˜+1)

โ‰ค ๐œŒ๐‘˜๐‘˜+1๐œŒ๐‘˜+2

๐‘˜+1;

che moltiplicate termine a termine forniscono:

โˆ๐œŒ๐‘–+12(๐‘–+1)

๐‘˜

๐‘–=0

โ‰คโˆ๐œŒ๐‘–๐‘–+1๐œŒ๐‘–+2

๐‘–+1

๐‘˜

๐‘–=0

Page 292: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

280 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

Eliminando dallโ€™ultima disuguaglianza i fattori comuni, e tenendo presente

che ๐œŒ01 si ottiene:

โˆ๐œŒ๐‘–+1๐‘–+1

๐‘˜

๐‘–=0

โˆ๐œŒ๐‘–+1๐‘–+1

๐‘˜

๐‘–=0

โ‰ค ๐œŒ0โˆ๐œŒ๐‘–+1๐‘–+2

๐‘˜โˆ’1

๐‘–=0

โˆ๐œŒ๐‘–+1๐‘–

๐‘˜+1

๐‘–=1

;

๐œŒ๐‘˜+12(๐‘˜+1)

โˆ๐œŒ๐‘–+1๐‘–

๐‘˜โˆ’1

๐‘–=0

โ‰คโˆ๐œŒ๐‘–+1๐‘–

๐‘˜+1

๐‘–=1

;

๐œŒ๐‘˜+12(๐‘˜+1)

โˆ๐œŒ๐‘–+1๐‘–

๐‘˜โˆ’1

๐‘–=1

โ‰ค ๐œŒ๐‘˜+1๐‘˜ ๐œŒ๐‘˜+2

๐‘˜+1โˆ๐œŒ๐‘–+1๐‘–

๐‘˜โˆ’1

๐‘–=1

;

๐œŒ๐‘˜+1๐‘˜+2 โ‰ค ๐œŒ๐‘˜+2

๐‘˜+1;

lโ€™ultima disuguaglianza ottenuta comporta:

๐œŒ๐‘˜+1

๐‘˜+2

(๐‘˜+2)(๐‘˜+1) โ‰ค ๐œŒ๐‘˜+2

๐‘˜+1

(๐‘˜+2)(๐‘˜+1);

๐œŒ๐‘˜+1

1

๐‘˜+1 โ‰ค ๐œŒ๐‘˜+2

1

๐‘˜+2

Dalla quale si conclude che, indipendentemente dalla variabile aleatoria con-

siderata, se i momenti assoluti esistono, soddisfano la catena di disugua-

glianze:

๐œŒ1 โ‰ค ๐œŒ2

1

2 โ‰ค ๐œŒ3

1

3 โ‰ค โ‹ฏ โ‰ค ๐œŒ๐‘˜+2

1

๐‘˜+2

Nel caso di una funzione di due variabili aleatorie definite su di

uno stesso esperimento casuale, se si pone: ๐‘“(๐‘‹, ๐‘Œ) = ๐‘‹๐‘๐‘Œ๐‘ž

si ottiene un momento congiunto (๐‘ + ๐‘ž)-esimo

๐‘š๐‘๐‘ž = ๐‘‹๐‘๐‘Œ๐‘ž = ๐ธ{๐‘‹๐‘๐‘Œ๐‘ž} = โˆซ โˆซ ๐‘ฅ๐‘๐‘ฆ๐‘ž๐‘๐‘‹๐‘Œ(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)๐‘‘๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฆ

โˆž

โˆ’โˆž

โˆž

โˆ’โˆž

(16.2.14)

Ovviamente per ๐‘ = ๐‘ž = 0 si ha:

๐‘š00 = โˆซ โˆซ ๐‘๐‘‹๐‘Œ(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)๐‘‘๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฆโˆž

โˆ’โˆž

โˆž

โˆ’โˆž

= 1 (16.2.15)

In maniera analoga alla (16.2.6) possono definirsi i momenti cen-

trali (๐‘ + ๐‘ž)-esimi del secondo ordine mediante le:

๐œ‡๐‘๐‘ž = ๐ธ{(๐‘‹ โˆ’ ๐‘š๐‘‹)๐‘(๐‘Œ โˆ’ ๐‘š๐‘Œ)

๐‘ž}

= โˆซ โˆซ (๐‘ฅ โˆ’๐‘š๐‘‹)๐‘(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘š๐‘Œ)

๐‘ž๐‘๐‘‹๐‘Œ(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)๐‘‘๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฆโˆž

โˆ’โˆž

โˆž

โˆ’โˆž

(16.2.16)

dove ๐‘š๐‘‹ e ๐‘š๐‘Œ sono i valori medi delle variabili ๐‘‹ e ๐‘Œ rispettivamente.

Page 293: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 16 - Medie Statistiche - 281

In particolare il momento centrale ๐œ‡11 prende il nome di cova-

rianza e risulta:

๐œŽ๐‘‹๐‘Œ โ‰ก (๐‘‹ โˆ’ ๐‘š๐‘‹)(๐‘Œ โˆ’ ๐‘š๐‘Œ) = ๐‘‹๐‘Œ โˆ’ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘š๐‘Œ โˆ’ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘š๐‘‹ +๐‘š๐‘‹๐‘š๐‘Œ

= ๐‘‹๐‘Œ โˆ’ ๐‘š๐‘‹๐‘š๐‘Œ (16.2.17)

Se le due variabili sono statisticamente indipendenti risulta:

๐ธ{๐‘‹๐‘๐‘Œ๐‘ž} = ๐ธ{๐‘‹๐‘}๐ธ{๐‘Œ๐‘ž} (16.2.18)

Cioรจ il valore medio del binomio ๐‘‹๐‘๐‘Œ๐‘ž รจ dato dal prodotto dei valori

medi di ๐‘‹๐‘ e ๐‘Œ๐‘ž .

Esempio 16.3

Sia ๐‘Œ una variabile aleatoria ottenuta dalla combinazione lineare di ๐‘ va-

riabili aleatorie, ๐‘‹1, ๐‘‹2,โ€ฆ,๐‘‹๐‘ definite sull'insieme dei risultati di uno stesso

esperimento casuale. Sia cioรจ:

๐‘Œ =โˆ‘๐‘Ž๐‘–๐‘‹๐‘–

๐‘

๐‘–=1

con ๐‘Ž๐‘– costanti reali.

Il valore medio statistico di ๐‘Œ รจ dato da:

๏ฟฝ๏ฟฝ = โˆ‘๐‘Ž๐‘–๐‘‹๏ฟฝ๏ฟฝ

๐‘

๐‘–=1

cioรจ dalla combinazione lineare effettuata con le stesse costanti ๐‘Ž๐‘– degli ๐‘

valori medi delle variabili aleatorie componenti, indipendentemente dal fatto

che queste siano o meno statisticamente indipendenti.

Per quanto riguarda il valore quadratico medio si ha:

๐‘Œ2 = (โˆ‘๐‘Ž๐‘–๐‘‹๐‘–

๐‘

๐‘–=1

)

2

รˆ:

(โˆ‘๐‘Ž๐‘–๐‘‹๐‘–

๐‘

๐‘–=1

)

2

=โˆ‘๐‘Ž๐‘–2๐‘‹๐‘–

2

๐‘

๐‘–=1

+ โˆ‘ ๐‘Ž๐‘š๐‘Ž๐‘›๐‘‹๐‘š๐‘‹๐‘›

๐‘

๐‘š,๐‘›=1(๐‘šโ‰ ๐‘›)

pertanto:

๐‘Œ2 = โˆ‘๐‘Ž๐‘–2๐‘‹๐‘–

2๐‘

๐‘–=1

+ โˆ‘ ๐‘Ž๐‘š๐‘Ž๐‘›๐‘‹๐‘š๐‘‹๐‘›

๐‘

๐‘š,๐‘›=1(๐‘šโ‰ ๐‘›)

Page 294: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

282 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

In maniera analoga si puรฒ verificare che la varianza vale:

๐œŽ๐‘Œ2 =โˆ‘๐‘Ž๐‘–

2๐œŽ๐‘‹๐‘–2

๐‘

๐‘–=1

+ โˆ‘ ๐‘Ž๐‘š๐‘Ž๐‘›๐œŽ๐‘‹๐‘š๐‘‹๐‘›

๐‘

๐‘š,๐‘›=1(๐‘šโ‰ ๐‘›)

In particolare, se le ๐‘ variabili sono statisticamente indipendenti, risulta:

๐‘Œ2 = โˆ‘๐‘Ž๐‘–2๐‘‹๐‘–

2๐‘

๐‘–=1

+ โˆ‘ ๐‘Ž๐‘š๐‘Ž๐‘›๐‘‹๐‘š

๐‘

๐‘š,๐‘›=1(๐‘šโ‰ ๐‘›)

โ‹… ๐‘‹๐‘›

e:

๐œŽ๐‘Œ2 =โˆ‘๐‘Ž๐‘–

2๐œŽ๐‘‹๐‘–2

๐‘

๐‘–=1

Teorema della media. 16.3 -

Sia ๐‘Œ = ๐‘“(๐‘‹) una funzione di una variabile aleatoria ๐‘‹, dove ๐‘“(โ‹…)

รจ una funzione misurabile definita q.o. in โ„. La ๐‘Œ รจ a sua volta una va-

riabile aleatoria il cui valore medio รจ dato per la (16.2.4) da:

๐‘š๐‘Œ = โˆซ ๐‘ฆ๐‘๐‘Œ(๐‘ฆ)๐‘‘๐‘ฆโˆž

โˆ’โˆž

(16.3.1)

Si scomponga adesso l'asse reale in intervalli elementari E๐‘– = (๐‘ฆ๐‘– , ๐‘ฆ๐‘– +

๐›ฅ๐‘ฆ] a due a due disgiunti, la probabilitร  che la variabile aleatoria

๐‘Œ = ๐‘“(๐‘‹) assuma un valore appartenente al generico intervallo E๐‘– , รจ ov-

viamente uguale alla probabilitร  che la variabile ๐‘‹ assuma un valore ap-

partenente all'insieme ๐‘“โˆ’1(E๐‘–) controimmagine di E๐‘–

Supponendo per semplicitร  che la controimmagine in questione

sia costituita da un'unione al piรน numerabile dโ€™intervalli elementari a due

a due disgiunti di misura ๐›ฅ๐‘ฅ๐‘–๐‘— , si deduce che:

๐‘ƒ๐‘Ÿ{E๐‘–} โ‰… ๐‘๐‘Œ(๐‘ฆ๐‘–)๐›ฅ๐‘ฆ โ‰…โˆ‘๐‘๐‘‹(๐‘ฅ๐‘–๐‘—)๐›ฅ๐‘ฅ๐‘–๐‘—

๐‘๐‘–

๐‘—=1

= ๐‘ƒ๐‘Ÿ{๐‘“โˆ’1(E๐‘–)} (16.3.2)

Moltiplicando ambo i membri della precedente per ๐‘ฆ๐‘– = ๐‘“(๐‘ฅ๐‘–๐‘—) si per-

viene alla:

๐‘ฆ๐‘–๐‘๐‘Œ(๐‘ฆ๐‘–)๐›ฅ๐‘ฆ โ‰…โˆ‘๐‘“(๐‘ฅ๐‘–๐‘—)๐‘๐‘‹(๐‘ฅ๐‘–๐‘—)๐›ฅ๐‘ฅ๐‘–๐‘—

๐‘๐‘–

๐‘—=1

(16.3.3)

Page 295: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 16 - Medie Statistiche - 283

dalla quale si deduce che il contributo di ogni intervallo elementare

all'integrale (16.3.1) รจ esprimibile come somma di quelli di opportuni in-

tervalli disgiunti nel dominio di ๐‘‹. Poichรฉ al variare dell'indice ๐‘– viene ri-

coperto l'intero asse reale la cui controimmagine secondo la ๐‘“(โ‹…) รจ โ„

stesso, ci si convince facilmente che l'integrale (16.3.1) puรฒ essere calco-

lato anche come segue:

โˆซ ๐‘ฆ๐‘๐‘Œ(๐‘ฆ)๐‘‘๐‘ฆโˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ ๐‘“(๐‘ฅ)๐‘๐‘‹(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

(16.3.4)

che costituisce lโ€™espressione formale del teorema della media.

Il risultato appena ottenuto si puรฒ facilmente generalizzare al ca-

so di una variabile aleatoria definita tramite una funzione misurabile su

โ„๐‘ di ๐‘ variabili aleatorie definite sull'insieme dei risultati di uno stesso

esperimento casuale. Cioรจ se รจ ๐‘Œ = ๐‘“(๐‘‹1, ๐‘‹2, โ€ฆ ๐‘‹๐‘), il valor medio di ๐‘Œ

puรฒ essere calcolato come segue:

๐‘š๐‘Œ = โˆซ ๐‘ฆ๐‘๐‘Œ(๐‘ฆ)๐‘‘๐‘ฆโˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ๐‘“(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2, โ€ฆ , ๐‘ฅ๐‘)๐‘๐‘‹1๐‘‹2โ€ฆ๐‘‹๐‘(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2, โ€ฆ , ๐‘ฅ๐‘)๐‘‘๐‘ฅ1๐‘‘๐‘ฅ2โ€ฆ๐‘‘๐‘ฅ๐‘

๐‘…๐‘

(16.3.5)

Funzione caratteristica. 16.4 -

Una media di notevole importanza associata ad una variabile alea-

toria ๐‘‹ รจ la cosiddetta funzione caratteristica ๐น๐‘‹(๐‘ข) definita come valore

medio statistico della quantitร  ๐‘’๐‘—๐‘ข๐‘‹. Si ha cioรจ:

๐น๐‘‹(๐‘ข) = ๐‘’๐‘—๐‘ข๐‘‹ = โˆซ ๐‘’๐‘—๐‘ข๐‘ฅ๐‘๐‘‹(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅ

โˆž

โˆ’โˆž

(16.4.1)

Poichรฉ ๐‘๐‘‹(๐‘ฅ) รจ una quantitร  non negativa e ๐‘’๐‘—๐‘ข๐‘ฅ ha modulo uni-

tario, dalla precedente risulta:

|โˆซ ๐‘’๐‘—๐‘ข๐‘ฅ๐‘๐‘‹(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

| โ‰ค โˆซ ๐‘๐‘‹(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

= 1 (16.4.2)

cioรจ

|๐น๐‘‹(๐‘ข)| โ‰ค ๐น๐‘‹(0) = 1 (16.4.3)

Si ha inoltre

๐น๐‘‹โˆ—(๐‘ข) = ๐น๐‘‹(โˆ’๐‘ข) (16.4.4)

Page 296: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

284 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

Confrontando la (16.4.1) con l'espressione della trasformata di

Fourier si riconosce che vale la seguente relazione:

๐น๐‘‹(2๐œ‹๐‘ข) = โˆซ ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘ข๐‘ฅ๐‘๐‘‹(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅ =โˆž

โˆ’โˆž

โ„ฑโˆ—[๐‘๐‘‹(๐‘ฅ)] (16.4.5)

Che puรฒ essere facilmente invertita ottenendo:

๐‘๐‘‹(๐‘ฅ) =1

2๐œ‹โˆซ ๐น๐‘‹

โˆ—(๐‘ข)๐‘’๐‘—๐‘ข๐‘ฅ๐‘‘๐‘ขโˆž

โˆ’โˆž

=1

2๐œ‹โˆซ ๐น๐‘‹(๐‘ข)๐‘’

โˆ’๐‘—๐‘ข๐‘ฅ๐‘‘๐‘ขโˆž

โˆ’โˆž

(16.4.6)

Le derivate della ๐น๐‘‹(๐‘ข) rispetto ๐‘ข valgono:

{

๐‘‘๐น๐‘‹๐‘‘๐‘ข

= ๐‘—โˆซ ๐‘’๐‘—๐‘ข๐‘ฅ๐‘ฅ๐‘๐‘‹(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

;

๐‘‘2๐น๐‘‹๐‘‘๐‘ข2

= ๐‘—2โˆซ ๐‘’๐‘—๐‘ข๐‘ฅ๐‘ฅ2๐‘๐‘‹(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

;

โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ๐‘‘๐‘›๐น๐‘‹๐‘‘๐‘ข๐‘›

= ๐‘—๐‘›โˆซ ๐‘’๐‘—๐‘ข๐‘ฅ๐‘ฅ๐‘›๐‘๐‘‹(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

;

(16.4.7)

che confrontate con l'espressione (16.2.1) del momento ๐‘› - esimo

di una variabile aleatoria, danno luogo alle:

{

๐‘š1 = โˆ’๐‘— [

๐‘‘๐น๐‘‹๐‘‘๐‘ข

]๐‘ข=0

;

๐‘š2 = โˆ’ [๐‘‘2๐น๐‘‹๐‘‘๐‘ข2

]๐‘ข=0

;

โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ

๐‘š๐‘› = (โˆ’๐‘—)๐‘› [๐‘‘๐‘›๐น๐‘‹๐‘‘๐‘ข๐‘›

]๐‘ข=0

;

(16.4.8)

Si osservi che, se una variabile aleatoria ๐‘‹ ammette tutti i momen-

ti, la sua funzione caratteristica ๐น๐‘‹(๐‘ข) รจ infinitamente derivabile in ๐‘ข =

0. Sviluppando la ๐น๐‘‹(๐‘ข) in serie di Mac Laurin si ottiene:

๐น๐‘‹(๐‘ข)

= ๐น๐‘‹(0) + [๐‘‘๐น๐‘‹๐‘‘๐‘ข

]0๐‘ข + [

๐‘‘2๐น๐‘‹๐‘‘๐‘ข2

]0

๐‘ข2

2+ โ‹ฏ+ [

๐‘‘๐‘›๐น๐‘‹๐‘‘๐‘ข๐‘›

]0

๐‘ข๐‘›

๐‘›!+ โ‹ฏ

= 1 + ๐‘—๐‘ข๐‘š1 +(๐‘—๐‘ข)2

2๐‘š2 +โ‹ฏ+

(๐‘—๐‘ข)๐‘›

๐‘›!๐‘š๐‘› +โ‹ฏ

(16.4.9)

Page 297: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 16 - Medie Statistiche - 285

Se ne conclude che la conoscenza di tutti i momenti della variabi-

le aleatoria ๐‘‹, individua univocamente la sua funzione caratteristica, e

quindi, tramite la (16.4.6), la sua densitร  di probabilitร .

Generalizzando quanto detto in precedenza, รจ possibile definire la

funzione caratteristica, associata a ๐‘ variabili aleatorie ๐‘‹1, ๐‘‹2, โ€ฆ , ๐‘‹๐‘ defi-

nite sull'insieme dei risultati di uno stesso esperimento casuale, come

media statistica della quantitร  ๐‘’๐‘—(๐‘ข1๐‘‹1+๐‘ข2๐‘‹2+โ‹ฏ+๐‘ข๐‘๐‘‹๐‘) cioรจ:

๐น๐‘‹1,๐‘‹2,โ€ฆ,๐‘‹๐‘(๐‘ข1, ๐‘ข2, โ€ฆ , ๐‘ข๐‘)

= โˆซ ๐‘’๐‘—(๐‘ข1๐‘ฅ1+๐‘ข2๐‘ฅ2+โ‹ฏ+๐‘ข๐‘๐‘ฅ๐‘)

โ„๐‘

โˆ™ ๐‘๐‘‹1,๐‘‹2,โ€ฆ,๐‘‹๐‘(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2, โ€ฆ , ๐‘ฅ๐‘)๐‘‘๐‘ฅ1๐‘‘๐‘ฅ2โ€ฆ๐‘‘๐‘ฅ๐‘

(16.4.10)

Anche in questo caso la precedente puรฒ essere interpretata utilizzando la

trasformata multipla di Fourier della densitร  di probabilitร  congiunta

delle ๐‘ variabili aleatorie

๐น๐‘‹1,๐‘‹2,โ€ฆ,๐‘‹๐‘(2๐œ‹๐‘ข1, 2๐œ‹๐‘ข2, โ€ฆ ,2๐œ‹๐‘ข๐‘)

= โ„ฑ*[๐‘๐‘‹1,๐‘‹2,โ€ฆ,๐‘‹๐‘(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2, โ€ฆ , ๐‘ฅ๐‘)] (16.4.11)

Conseguentemente, la densitร  di probabilitร  congiunta, nota la corri-

spondente funzione caratteristica, puรฒ essere ottenuta dalla:

๐‘๐‘‹1,โ€ฆ,๐‘‹๐‘(๐‘ฅ1, โ€ฆ , ๐‘ฅ๐‘)

=1

(2๐œ‹)๐‘โˆซ ๐น๐‘‹1,โ€ฆ,๐‘‹๐‘(๐‘ข1, โ€ฆ , ๐‘ข๐‘)๐‘…๐‘

โˆ™ ๐‘’โˆ’๐‘—(๐‘ข1๐‘ฅ1+๐‘ข2๐‘ฅ2+โ‹ฏ+๐‘ข๐‘๐‘ฅ๐‘)๐‘‘๐‘ข1โ€ฆ๐‘‘๐‘ข๐‘

(16.4.12)

D'altra parte si ha:

๐‘’๐‘—โˆ‘ ๐‘ข๐‘–๐‘ฅ๐‘–๐‘๐‘–=1

=โˆ๐‘’๐‘—๐‘ข๐‘–๐‘ฅ๐‘–

๐‘

๐‘–=1

= (โˆ‘(๐‘—๐‘ข1๐‘ฅ1)

๐‘–1

๐‘–1!

โˆž

๐‘–1=0

)(โˆ‘(๐‘—๐‘ข2๐‘ฅ2)

๐‘–2

๐‘–2!

โˆž

๐‘–2=0

)โ€ฆ(โˆ‘(๐‘—๐‘ข๐‘๐‘ฅ๐‘)

๐‘–๐‘

๐‘–๐‘!

โˆž

๐‘–๐‘=0

)

(16.4.13)

per cui la (16.4.11) diviene:

Page 298: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

286 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

๐น๐‘‹1,๐‘‹2,โ€ฆ,๐‘‹๐‘(๐‘ข1, ๐‘ข2, โ€ฆ , ๐‘ข๐‘)

= โˆ‘๐‘—(๐‘–1+๐‘–2+โ‹ฏ๐‘–๐‘)

๐‘–1! ๐‘–2! โ€ฆ ๐‘–๐‘!๐‘ข1๐‘–1๐‘ข2

๐‘–2 โ€ฆ๐‘ข๐‘๐‘–๐‘

โˆž

๐‘–1,๐‘–2,โ€ฆ,๐‘–๐‘=0

โ‹… โˆซ ๐‘ฅ1๐‘–1 , ๐‘ฅ2

๐‘–2 โ€ฆ๐‘ฅ๐‘๐‘–๐‘๐‘๐‘‹1,๐‘‹2,โ€ฆ,๐‘‹๐‘(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2, โ€ฆ , ๐‘ฅ๐‘)๐‘‘๐‘ฅ1๐‘‘๐‘ฅ2โ€ฆ๐‘‘๐‘ฅ๐‘

๐‘…๐‘

(16.4.14)

che utilizzando i momenti congiunti si puรฒ riscrivere:

๐น๐‘‹1,๐‘‹2,โ€ฆ,๐‘‹๐‘(๐‘ข1, ๐‘ข2, โ€ฆ , ๐‘ข๐‘)

= โˆ‘๐‘—(๐‘–1+๐‘–2+โ‹ฏ๐‘–๐‘)

๐‘–1! ๐‘–2! โ€ฆ ๐‘–๐‘!๐‘ข1๐‘–1๐‘ข2

๐‘–2 โ€ฆ๐‘ข๐‘๐‘–๐‘๐‘š๐‘–1,๐‘–2,โ€ฆ,๐‘–๐‘

โˆž

๐‘–1,๐‘–2,โ€ฆ,๐‘–๐‘=0

(16.4.15)

Anche in questo caso quindi la conoscenza di tutti i momenti

congiunti ๐‘š๐‘–1,๐‘–2,โ€ฆ,๐‘–๐‘ consente tramite la precedente di determinare la

funzione caratteristica e quindi, la corrispondente densitร  di probabilitร 

congiunta.

Esempio 16.4

Si consideri la variabile aleatoria

๐‘Œ =โˆ‘๐‘Ž๐‘–๐‘‹๐‘–

๐‘

๐‘–=1

giร  presa in considerazione nell'Esempio 16.1

La sua funzione caratteristica vale:

๐น๐‘Œ(๐‘ข) = ๐ธ{๐‘’๐‘—๐‘ข๐‘Œ} = ๐ธ{๐‘’๐‘—๐‘ขโˆ‘ ๐‘Ž๐‘–๐‘‹๐‘–

๐‘๐‘–=1 } = ๐ธ {โˆ๐‘’๐‘—๐‘ข๐‘Ž๐‘–๐‘‹๐‘–

๐‘

๐‘–=1

}

Se le variabili aleatorie ๐‘‹1, ๐‘‹2, โ€ฆ , ๐‘‹๐‘ sono statisticamente indipendenti,

si possono invertire le operazioni di prodotto e di media statistica, ottenendo:

๐น๐‘Œ(๐‘ข) =โˆ๐ธ{๐‘’๐‘—๐‘ข๐‘Ž๐‘–๐‘‹๐‘–}

๐‘

๐‘–=1

=โˆ(๐ธ{๐‘’๐‘—๐‘ข๐‘‹๐‘–})๐‘Ž๐‘–

๐‘

๐‘–=1

=โˆ[๐น๐‘‹๐‘–(๐‘ข)]๐‘Ž๐‘–

๐‘

๐‘–=1

avendo denotato con ๐น๐‘‹๐‘–(๐‘ข) la funzione caratteristica associata alla variabile

aleatoria ๐‘‹๐‘– .

In particolare se ๐‘Œ รจ ottenuta dalla somma di ๐‘ variabili aleatorie ๐‘‹๐‘– sta-

tisticamente indipendenti, la funzione caratteristica ๐น๐‘Œ(๐‘ข) si ottiene ponendo

nella precedente ๐‘Ž๐‘– 1, (๐‘– = 1,2, โ€ฆ , ๐‘). Si ha quindi:

Page 299: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 16 - Medie Statistiche - 287

๐น๐‘Œ(๐‘ข) =โˆ๐น๐‘‹๐‘–(๐‘ข)

๐‘

๐‘–=1

che nel caso di due sole variabili si riduce alla:

๐น๐‘Œ(๐‘ข) = ๐น๐‘‹1(๐‘ข)๐น๐‘‹2(๐‘ข)

quindi per la (16.4.6) la densitร  di probabilitร  di ๐‘Œ vale:

๐‘๐‘Œ(๐‘ฆ) =1

2๐œ‹โˆซ ๐น๐‘‹1(๐‘ข)๐น๐‘‹2(๐‘ข)๐‘’

โˆ’๐‘—๐‘ข๐‘ฆ๐‘‘๐‘ขโˆž

โˆ’โˆž

la quale, osservando che ๐‘Œ = ๐‘‹1 + ๐‘‹2 e ricordando l'espressione della ๐น๐‘Œ(๐‘ข)

puรฒ scriversi:

๐‘๐‘Œ(๐‘ฆ) =1

2๐œ‹โˆซ ๐น๐‘‹1(๐‘ข) (โˆซ ๐‘’๐‘—๐‘ข๐‘ฅ2๐‘๐‘‹2(๐‘ฅ2)

โˆž

โˆ’โˆž

๐‘‘๐‘ฅ2) ๐‘’โˆ’๐‘—๐‘ข๐‘ฆ๐‘‘๐‘ข

โˆž

โˆ’โˆž

Invertendo l'ordine dโ€™integrazione si ha:

๐‘๐‘Œ(๐‘ฆ) = โˆซ ๐‘๐‘‹2(๐‘ฅ2) (1

2๐œ‹โˆซ ๐น๐‘‹1(๐‘ข)๐‘’

โˆ’๐‘—๐‘ข(๐‘ฆโˆ’๐‘ฅ2)๐‘‘๐‘ขโˆž

โˆ’โˆž

)๐‘‘๐‘ฅ2

โˆž

โˆ’โˆž

Ma poichรฉ:

1

2๐œ‹โˆซ ๐น๐‘‹1(๐‘ข)๐‘’

โˆ’๐‘—๐‘ข(๐‘ฆโˆ’๐‘ฅ2)๐‘‘๐‘ขโˆž

โˆ’โˆž

= ๐‘๐‘‹1(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ2)

la ๐‘๐‘Œ(๐‘ฆ) si riduce alla:

๐‘๐‘Œ(๐‘ฆ) = โˆซ ๐‘๐‘‹2(๐‘ฅ2)๐‘๐‘‹1(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ2)๐‘‘๐‘ฅ2

โˆž

โˆ’โˆž

In altri termini, la densitร  di probabilitร  della somma di due variabili

aleatorie statisticamente indipendenti si ottiene dalla convoluzione delle

densitร  di probabilitร  delle variabili componenti.

Piรน in generale si puรฒ verificare che una variabile somma di ๐‘ variabili a

due a due statisticamente indipendenti, presenta una densitร  di probabilitร 

data dalla successiva convoluzione di tutte le densitร  di probabilitร  delle sin-

gole variabili che la compongono. Cioรจ:

๐‘๐‘Œ = ๐‘๐‘‹1 โˆ— ๐‘๐‘‹2 โˆ— โ€ฆ โˆ— ๐‘๐‘‹๐‘

Page 300: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

Fig. 17.1 - Densitร  e distribuzione uniforme

CAPITOLO - 17

VARIABILI ALEATORIE NOTEVOLI

Premessa. 17.1 -

In quel che segue sono riportate le funzioni di probabilitร ,

densitร  e distribuzione, di alcune variabili aleatorie, sia continue sia

discrete, in cui di frequente ci sโ€™imbatte nelle applicazioni.

Distribuzione uniforme. 17.2 -

Una variabile aleatoria si dice uniformemente distribuita

nell'intervallo (๐‘Ž, ๐‘) se la sua densitร  di probabilitร  si mantiene co-

stante in detto intervallo ed รจ nulla in tutti i punti esterni ad esso.

Ovviamente, la condizione di normalizzazione (14.4.3) impone che la

densitร  di probabilitร  di una variabile uniformemente distribuita, do-

ve non รจ nulla abbia un'ampiezza pari all'inverso del diametro dell'in-

tervallo (๐‘Ž, ๐‘): (v. Fig. 17.1, a):

๐‘๐‘‹(๐‘ฅ) =1

๐‘ โˆ’ ๐‘ŽโŠ“(

๐‘ฅ โˆ’๐‘Ž+๐‘

2

๐‘ โˆ’ ๐‘Ž) (17.2.1)

Essa descrive il comportamento di una quantitร  aleatoria che assume

con eguale probabilitร  un qualsiasi valore appartenente ad (๐‘Ž, ๐‘).

La funzione di distribuzione associata ad una variabile aleato-

ria uniformemente distribuita in (๐‘Ž, ๐‘) vale (v. Fig. 17.1, b):

๐‘ƒ๐‘‹(๐‘ฅ) =โŠ“(๐‘ฅ โˆ’

๐‘Ž+๐‘

2

๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)๐‘ฅ โˆ’ ๐‘Ž

๐‘ โˆ’ ๐‘Ž+ ๐‘ข(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘) (17.2.2)

Page 301: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 18 - Caratterizzazione Statistica dei Segnali - 289

Il valore medio di una variabile distribuita secondo la (17.2.1)

vale:

๏ฟฝ๏ฟฝ = โˆซ ๐‘ฅ๐‘๐‘‹(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ๐‘ฅ

๐‘ โˆ’ ๐‘Ž๐‘‘๐‘ฅ

๐‘

๐‘Ž

=๐‘Ž + ๐‘

2 (17.2.3)

il suo valore quadratico medio:

๐‘‹2 = โˆซ ๐‘ฅ2๐‘๐‘‹(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ๐‘ฅ2

๐‘ โˆ’ ๐‘Ž๐‘‘๐‘ฅ

๐‘

๐‘Ž

=๐‘Ž2 + ๐‘Ž๐‘ + ๐‘2

3 (17.2.4)

la sua varianza:

๐œŽ2 = ๐‘‹2 โˆ’ ๏ฟฝ๏ฟฝ2 =(๐‘Ž โˆ’ ๐‘)2

12 (17.2.5)

Distribuzione esponenziale. 17.3 -

Una varia-

bile aleatoria si

dice a distribu-

zione espo-

nenziale se la sua

densitร  di pro-

babilitร  รจ del tipo

(Fig. 17.2 a):

๐‘๐‘‹(๐‘ฅ) = ๐›ผ๐‘’โˆ’๐›ผ๐‘ฅ๐‘ข(๐‘ฅ) (17.3.1)

dove ๐›ผ รจ una costante positiva.

La corrispondente distribuzione di probabilitร  vale:

๐‘ƒ๐‘‹(๐‘ฅ) = (1 โˆ’ ๐‘’โˆ’๐›ผ๐‘ฅ)๐‘ข(๐‘ฅ) (17.3.2)

il cui andamento รจ riportato nella (Fig. 17.2 b).

Il valore medio di una variabile aleatoria di tipo esponenziale

vale:

๏ฟฝ๏ฟฝ = โˆซ ๐›ผ๐‘ฅ๐‘’โˆ’๐›ผ๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฅโˆž

0

= [๐‘’โˆ’๐›ผ๐‘ฅ (๐‘ฅ +1

๐›ผ)]โˆž

0

=1

๐›ผ (17.3.3)

il suo valore quadratico medio:

๐‘‹2 = โˆซ ๐›ผ๐‘ฅ2๐‘’โˆ’๐›ผ๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฅโˆž

0

= [๐‘’โˆ’๐›ผ๐‘ฅ (๐‘ฅ2 +2๐‘ฅ

๐›ผ+2

๐›ผ2)]โˆž

0

=2

๐›ผ2 (17.3.4)

e la sua varianza:

Fig. 17.2 - Densitร  e distribuzione esponenziale

Page 302: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

290 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

๐œŽ2 = ๐‘‹2 โˆ’ ๏ฟฝ๏ฟฝ2 =1

๐›ผ2 (17.3.5)

Distribuzione di Laplace. 17.4 -

La densitร  di probabilitร  in questo caso vale (v. Fig. 17.3 a):

๐‘๐‘‹(๐‘ฅ) =๐›ผ

2๐‘’โˆ’๐›ผ|๐‘ฅ| (17.4.1)

dove ๐›ผ รจ una costante positiva.

La distribuzione di probabilitร  risulta quindi: (v. Fig. 17.3 b):

๐‘ƒ๐‘‹(๐‘ฅ) =1

2+1

2sgm(๐‘ฅ)(1 โˆ’ ๐‘’โˆ’๐›ผ|๐‘ฅ|) (17.4.2)

La variabile aleatoria in questione ha per evidenti motivi di

simmetria valore medio nullo. Il suo valore quadratico medio รจ ugua-

le alla sua varianza che come si deduce facilmente vale:

๐œŽ2 =4

๐›ผ2 (17.4.3)

Distribuzione normale o gaussiana. 17.5 -

Una variabile aleatoria si

dice gaussiana o normale se la sua

densitร  di probabilitร  รจ del tipo:

๐‘๐‘‹(๐‘ฅ)

=1

โˆš2๐œ‹๐œŽ2๐‘’โˆ’(๐‘ฅโˆ’๐‘š)2

2๐œŽ2 (17.5.1)

qualunque sia ๐‘š โˆˆ โ„ e ๐œŽ2 โˆˆ โ„+.

L'andamento della densitร  di

Fig. 17.3 - Densitร  e distribuzione di Laplace

Fig. 17.4 โ€“ ddp gaussiane per diversi valo-ri di media e varianza.

Page 303: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 18 - Caratterizzazione Statistica dei Segnali - 291

probabilitร  di una variabile gaussiana per alcuni valori dei parametri

๐‘š e ๐œŽ2 รจ mostrato in Fig. 17.4.

La funzione di distribuzione di probabilitร  di una variabile

aleatoria gaussiana vale:

๐‘ƒ๐‘‹(๐‘ฅ) =1

โˆš2๐œ‹๐œŽ2โˆซ ๐‘’

โˆ’(๐‘งโˆ’๐‘š)2

2๐œŽ2 ๐‘‘๐‘ง๐‘ฅ

โˆ’โˆž

(17.5.2)

L'integrale che com-

pare nella preceden-

te non puรฒ essere

calcolato in forma

chiusa. Tuttavia esso

si puรฒ esprimere in

termini della cosid-

detta funzione dโ€™errore,

che รจ definita come

segue(vedi Fig. 17.5):

erf(๐‘ฅ) =2

โˆš๐œ‹โˆซ ๐‘’โˆ’๐‘ข

2d๐‘ข

๐‘ฅ

0

(17.5.3)

Infatti, effettuando nell'integrale che compare nella (17.5.2) la se-

guente trasformazione di variabili:

๐‘ข =๐‘ง โˆ’ ๐‘š

โˆš2๐œŽ2 (17.5.4)

Si ottiene:

P๐‘‹(๐‘ฅ)

=1

โˆš๐œ‹โˆซ ๐‘’โˆ’๐‘ข

2๐‘‘๐‘ข =

1

โˆš๐œ‹(โˆซ ๐‘’โˆ’๐‘ข

2๐‘‘๐‘ข

0

โˆ’โˆž

+โˆซ ๐‘’โˆ’๐‘ข2๐‘‘๐‘ข

๐‘ฅโˆ’๐‘š

โˆš2๐œŽ

0

)

๐‘ฅโˆ’๐‘š

โˆš2๐œŽ

โˆ’โˆž

(17.5.5)

Tenuto conto che, comโ€™รจ noto (vedi Esempio 17.1):

โˆซ ๐‘’โˆ’๐‘ข2๐‘‘๐‘ข

0

โˆ’โˆž

= โˆซ ๐‘’โˆ’๐‘ข2๐‘‘๐‘ข

โˆž

0

=โˆš๐œ‹

2 (17.5.6)

si puรฒ ancora scrivere:

P๐‘‹(๐‘ฅ) =1

2{1 +

2

โˆš๐œ‹โˆซ ๐‘’โˆ’๐‘ข

2๐‘‘๐‘ข

๐‘ฅโˆ’๐‘š

โˆš2๐œŽ

0

} (17.5.7)

Fig. 17.5 - Funzioni dโ€™errore e complementare dโ€™errore.

Page 304: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

292 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

Da quest'ultima innanzi tutto discende che la (17.5.1) verifica

la condizione di normalizzazione, indipendentemente dal valore della

costante ๐‘š e dalla scelta di ๐œŽ2, in quanto ๐‘ƒ๐‘‹(โˆž) = 1.

Inoltre ricordando la (17.5.3) si constata facilmente che la pre-

cedente puรฒ essere riscritta nella forma:

P๐‘‹(๐‘ฅ) =1

2[1 + erf (

๐‘ฅ โˆ’ ๐‘š

โˆš2๐œŽ2)] (17.5.8)

Utilizzando la funzione complementare dโ€™errore:

erfc(๐‘ฅ) = 1 โˆ’ erf(๐‘ฅ) =2

โˆš๐œ‹โˆซ ๐‘’โˆ’๐‘ข

2๐‘‘๐‘ข

โˆž

๐‘ฅ

(17.5.9)

il cui andamento รจ riportato nella stessa Fig. 17.5, la (17.5.8) puรฒ scri-

versi anche come segue:

P๐‘‹(๐‘ฅ) = 1 โˆ’1

2erfc (

๐‘ฅ โˆ’ ๐‘š

โˆš2๐œŽ2) (17.5.10)

Dalle (17.5.3) e (17.5.9) si deduce facilmente che la erf(๐‘ฅ) e la

erfc(๐‘ฅ) soddisfano rispettivamente le seguenti condizioni di simme-

tria:

erf(โˆ’๐‘ฅ) = โˆ’erf(๐‘ฅ)

erfc(โˆ’๐‘ฅ) = 2 โˆ’ erfc(๐‘ฅ) (17.5.11)

Il valore medio di una variabile aleatoria gaussiana vale:

๏ฟฝ๏ฟฝ = โˆซ ๐‘ฅ1

โˆš2๐œ‹๐œŽ2๐‘’โˆ’(๐‘ฅโˆ’๐‘š)2

2๐œŽ2 ๐‘‘๐‘ฅ

โˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ (๐‘ง + ๐‘š)1

โˆš2๐œ‹๐œŽ2๐‘’โˆ’๐‘ง2

2๐œŽ2๐‘‘๐‘ง

โˆž

โˆ’โˆž

=

= โˆซ ๐‘ง1

โˆš2๐œ‹๐œŽ2๐‘’โˆ’๐‘ง2

2๐œŽ2๐‘‘๐‘ง

โˆž

โˆ’โˆž

+๐‘šโˆซ1

โˆš2๐œ‹๐œŽ2๐‘’โˆ’๐‘ง2

2๐œŽ2๐‘‘๐‘ง

โˆž

โˆ’โˆž

= ๐‘š

(17.5.12)

per dedurre il quale, si รจ effettuato il cambiamento di variabili

๐‘ง = ๐‘ฅ โˆ’๐‘š e si รจ considerato che la funzione che compare nel primo

integrale del penultimo membro ha simmetria dispari, mentre il se-

condo integrale vale uno, in quanto la funzione integranda si puรฒ in-

tendere come la densitร  di probabilitร  di una variabile aleatoria gaus-

siana con parametro ๐‘š = 0.

Al fine di dedurre la varianza di una variabile gaussiana si os-

servi che la condizione di normalizzazione consente di scrivere:

Page 305: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 18 - Caratterizzazione Statistica dei Segnali - 293

I(๐‘š) = โˆซ1

โˆš2๐œ‹๐œŽ2๐‘’โˆ’(๐‘ฅโˆ’๐‘š)2

2๐œŽ2 ๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

= 1 (17.5.13)

Derivando due volte ambo i membri della precedente rispetto ad ๐‘š

si ottiene:

๐‘‘I

๐‘‘๐‘š= โˆซ

1

โˆš2๐œ‹๐œŽ2

(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘š)

๐œŽ2๐‘’โˆ’(๐‘ฅโˆ’๐‘š)2

2๐œŽ2 ๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

= 0

๐‘‘2I

๐‘‘๐‘š2= โˆ’โˆซ

1

๐œŽ2โˆš2๐œ‹๐œŽ2๐‘’โˆ’(๐‘ฅโˆ’๐‘š)2

2๐œŽ2 ๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

+

+โˆซ1

โˆš2๐œ‹๐œŽ2

(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘š)2

๐œŽ4๐‘’โˆ’(๐‘ฅโˆ’๐‘š)2

2๐œŽ2 ๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

= 0

(17.5.14)

Da quest'ultima discende:

โˆซ1

โˆš2๐œ‹๐œŽ2

(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘š)2

๐œŽ4๐‘’โˆ’(๐‘ฅโˆ’๐‘š)2

2๐œŽ2 ๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

=1

๐œŽ2โˆซ ๐‘๐‘‹(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

=1

๐œŽ2 (17.5.15)

da cui si ottiene:

โˆซ(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘š)2

โˆš2๐œ‹๐œŽ2๐‘’โˆ’(๐‘ฅโˆ’๐‘š)2

2๐œŽ2 ๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ (๐‘ฅ โˆ’๐‘š)2๐‘๐‘‹(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

= ๐œŽ2 (17.5.16)

Il parametro ๐œŽ2 che compare nella (17.5.1)rappresenta quindi

la varianza della variabile aleatoria.

Il valore quadratico medio vale ovviamente:

๐‘‹2 = ๐œŽ2 +๐‘š2 (17.5.17)

Esempio 17.1

Si consideri lโ€™integrale improprio:

๐ผ = โˆซ ๐‘’โˆ’๐‘ฅ2๐‘‘๐‘ฅ

โˆž

โˆ’โˆž

= 2โˆซ ๐‘’โˆ’๐‘ฅ2๐‘‘๐‘ฅ

โˆž

0

Esso esiste finito in quanto la funzione integranda รฉ infinitesima di ordi-

ne infinito.

Al fine del calcolo di detto integrale si osservi che vale la catena di

uguaglianze:

๐ผ

2= โˆซ ๐‘’โˆ’๐‘ฅ

2๐‘‘๐‘ฅ

โˆž

0

= โˆš(โˆซ ๐‘’โˆ’๐‘ฅ2๐‘‘๐‘ฅ

โˆž

0

)

2

= โˆšโˆซ โˆซ ๐‘’โˆ’(๐‘ฅ2+๐‘ฆ2)๐‘‘๐‘ฅ

โˆž

0

๐‘‘๐‘ฆโˆž

0

Lโ€™integrale che compare allโ€™ultimo membro della precedente come si no-

ta facilmente รจ esteso al primo quadrante del piano (๐‘‚, ๐‘ฅ, ๐‘ฆ) passando al

sistema di coordinate polari si ottiene infine:

Page 306: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

294 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

๐ผ = 2โˆšโˆซ โˆซ ๐‘’โˆ’๐œŒ2๐œŒ๐‘‘๐œŒ

โˆž

0

๐‘‘๐œ—

๐œ‹

2

0

= 2โˆš๐œ‹

2โˆซ ๐‘’โˆ’๐œŒ

2๐œŒ๐‘‘๐œŒ

โˆž

0

= โˆš๐œ‹[โˆ’๐‘’โˆ’๐œŒ2]0โˆž = โˆš๐œ‹

Esempio 17.2

Sia X una variabile aleatoria caratterizzata dalla seguente densitร  di

probabilitร  gaussiana:

๐‘๐‘‹(๐‘ฅ) =1

โˆš2๐œ‹๐‘’โˆ’

๐‘ฅ2

2

Si vuole calcolare la densitร  di probabilitร  condizionata ๐‘๐‘‹|๐ธ(๐‘ฅ), dove ๐ธ

denota l'evento:

E = {๐‘‹ โ‰ฅ 0}

Al fine di calcolare la densitร  di probabilitร  cercata si procede al cal-

colo della corrispondente funzione di distribuzione di probabilitร 

๐‘ƒ๐‘‹|๐ธ(๐‘ฅ),.

Sulla base della (13.3.4), si

puรฒ scrivere:

๐‘ƒ๐‘‹|E(๐‘ฅ) = Pr{๐‘‹ โ‰ค ๐‘ฅ|E}

=Pr{{๐‘‹ โ‰ค ๐‘ฅ} โˆฉ E}

Pr{E}

D'altra parte รจ facile verificare

che:

๐‘ฅ > 0 โ‡’ {๐‘‹ โ‰ค ๐‘ฅ} โˆฉ E = {0 โ‰ค ๐‘‹ โ‰ค ๐‘ฅ}

๐‘ฅ < 0 โ‡’ {๐‘‹ โ‰ค ๐‘ฅ} โˆฉ E = โˆ…

Di conseguenza si ha:

๐‘ƒ๐‘‹|E(๐‘ฅ) =Pr{0 โ‰ค ๐‘‹ โ‰ค ๐‘ฅ}

Pr{E}u(๐‘ฅ)

Osservando adesso che per la (14.4.2):

Pr{๐‘‹ โˆˆ [0, ๐‘ฅ]} = โˆซ1

โˆš2๐œ‹

๐‘ฅ

0

๐‘’โˆ’๐‘ง2

2 ๐‘‘๐‘ง

e

Pr{E} = โˆซ1

โˆš2๐œ‹

โˆž

0

๐‘’โˆ’๐‘ง2

2 ๐‘‘๐‘ง =1

2

si deduce:

๐‘ƒ๐‘‹|๐ธ(๐‘ฅ) = 2u(๐‘ฅ)โˆซ1

โˆš2๐œ‹

๐‘ฅ

0

๐‘’โˆ’๐‘ง2

2 ๐‘‘๐‘ง

Infine derivando la precedente rispetto a x si ottiene:

Fig.E 17.1

Page 307: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 18 - Caratterizzazione Statistica dei Segnali - 295

๐‘๐‘‹|E(๐‘ฅ) = u(๐‘ฅ)โˆš2

๐œ‹๐‘’โˆ’

๐‘ฅ2

2

il cui andamento รจ riportato in Fig.E 17.1 insieme con quello della densi-

tร  di probabilitร  pX(x) .

Distribuzione di Rayleigh. 17.6 -

Una variabile aleatoria รจ distribuita secondo Rayleigh se la sua

densitร  di probabilitร  รจ del tipo:

๐‘๐‘‹(๐‘ฅ) =๐‘ฅ

๐œŽ2๐‘’โˆ’๐‘ฅ2

2๐œŽ2u(๐‘ฅ) (17.6.1)

Si deduce facilmente che la sua funzione di distribuzione di probabi-

litร  vale:

๐‘ƒ๐‘‹(๐‘ฅ) = (1 โˆ’ ๐‘’โˆ’๐‘ฅ2

2๐œŽ2) u(๐‘ฅ) (17.6.2)

Nella Fig. 17.6 sono riportati gli andamenti di ๐‘๐‘‹(๐‘ฅ) e di ๐‘ƒ๐‘‹(๐‘ฅ)

rispettivamente per diversi valori del parametro ๐œŽ2.

Il valore medio di ๐‘‹ si puรฒ calcolare facilmente se si tiene con-

to della (17.5.16)in cui si pone ๐‘š = 0. Risulta infatti:

๏ฟฝ๏ฟฝ = โˆซ๐‘ฅ2

๐œŽ2๐‘’โˆ’๐‘ฅ2

2๐œŽ2๐‘‘๐‘ฅโˆž

0

=1

2โˆซ

๐‘ฅ2

๐œŽ2๐‘’โˆ’๐‘ฅ2

2๐œŽ2๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

= โˆš๐œ‹

2๐œŽ2โˆซ

๐‘ฅ2

โˆš2๐œ‹๐œŽ2๐‘’โˆ’๐‘ฅ2

2๐œŽ2๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

= โˆš๐œ‹

2๐œŽ2๐œŽ2 = โˆš

๐œ‹๐œŽ2

2

(17.6.3)

Il valore quadratico medio vale:

Fig. 17.6 โ€“ Densitร  e distribuzione di Rayleigh.

Page 308: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

296 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

๐‘‹2 = โˆซ๐‘ฅ3

๐œŽ2๐‘’โˆ’๐‘ฅ2

2๐œŽ2๐‘‘๐‘ฅโˆž

0

= [(๐‘ฅ2 + 2๐œŽ2)๐‘’โˆ’๐‘ฅ2

2๐œŽ2]โˆž

0

= 2๐œŽ2 (17.6.4)

Distribuzione di Bernoulli. 17.7 -

Una variabile aleatoria discreta รจ di Bernoulli se essa puรฒ as-

sumere solo due valori ๐‘ฅ0 e ๐‘ฅ1 con probabilitร  ๐‘ e ๐‘ž = 1 โˆ’ ๐‘ rispetti-

vamente.

La distribuzione e la densitร  di probabilitร  valgono rispettiva-

mente:

๐‘ƒ๐‘‹(๐‘ฅ) = ๐‘u(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ0) + ๐‘žu(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ1) (17.7.1)

e

๐‘๐‘‹(๐‘ฅ) = ๐‘๐›ฟ(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ0) + ๐‘ž๐›ฟ(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ1) (17.7.2)

Il valore medio e il valore quadratico medio di una variabile di

Bernoulli valgono rispettivamente:

๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐‘ฅ0๐‘ + ๐‘ฅ1๐‘ž (17.7.3)

๐‘‹2 = ๐‘ฅ02๐‘ + ๐‘ฅ1

2๐‘ž (17.7.4)

che nel caso particolare in cui i due valori che la variabile aleatoria

puรฒ assumere siano equiprobabili si scrivono:

๏ฟฝ๏ฟฝ =๐‘ฅ0 + ๐‘ฅ12

(17.7.5)

๐‘‹2 =๐‘ฅ02 + ๐‘ฅ1

2

2 (17.7.6)

Si osservi che ad eccezione del caso banale in cui ๐‘ o ๐‘ž siano

nulli il valore medio non coincide con un valore che puรฒ essere as-

sunto dalla variabile aleatoria.

Distribuzione binomiale. 17.8 -

Sia dato un esperimento casuale ๐•Š il cui insieme dei risultati ฮฉ

abbia come generico elemento una ๐‘›-upla di risultati ottenuti da ๐‘› ri-

petizioni di uno stesso esperimento casuale. A titolo esemplificativo

si pensi all'esperimento casuale consistente in ๐‘› lanci di una moneta.

Ad ๐•Š si associ quindi la variabile aleatoria ๐‘‹ ottenuta dalla

somma di ๐‘› variabili aleatorie ๐‘‹๐‘– identiche, ciascuna definita su uno

degli esperimenti elementari di cui ๐•Š รจ composto.

Page 309: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 18 - Caratterizzazione Statistica dei Segnali - 297

Le variabili ๐‘‹๐‘– si assume siano di Bernoulli. Si puรฒ quindi por-

re:

Pr{๐‘‹๐‘– = 1} = ๐‘; Pr{๐‘‹๐‘– = 0} = ๐‘ž = 1 โˆ’ ๐‘ (17.8.1)

La variabile aleatoria ๐‘‹ = โˆ‘ ๐‘‹๐‘–๐‘›๐‘–=1 รจ pertanto di tipo discreto e

puรฒ assumere soltanto valori appartenenti all'insieme {0,1, โ€ฆ , ๐‘›}.

Ammettendo inoltre che il risultato ottenuto nella ๐‘–-esima ri-

petizione dellโ€™esperimento ementare, sia statisticamente indipendente

da quelli ottenuti nelle restanti ๐‘› โˆ’ 1 ripetizioni, la probabilitร  che ๐‘‹

assuma il valore ๐‘˜, (0 โ‰ค ๐‘˜ โ‰ค ๐‘›) dipende dalla circostanza che ๐‘˜ va-

riabili ๐‘‹๐‘– assumano il valore 1 e le rimanenti il valore 0. รˆ evidente

che la probabilitร  di un tale evento vale ๐‘๐‘˜๐‘ž๐‘›โˆ’๐‘˜ = ๐‘๐‘˜(1 โˆ’ ๐‘)๐‘›โˆ’๐‘˜.

D'altra parte ci sono (๐‘›๐‘˜) =

๐‘›!

๐‘˜!(๐‘›โˆ’๐‘˜)! modi distinti per ottenere tale ri-

sultato; di conseguenza si ha:

Pr{๐‘‹ = ๐‘˜} = (๐‘›๐‘˜) ๐‘๐‘˜(1 โˆ’ ๐‘)๐‘›โˆ’๐‘˜ (17.8.2)

che costituisce la cosiddetta distribuzione (di massa) binomiale.

Si verifica facilmente che la condizione di normalizzazione รจ

soddisfatta. Infatti risulta:

โˆ‘Pr{๐‘‹ = ๐‘˜}

๐‘›

๐‘˜=0

=โˆ‘(๐‘›๐‘˜) ๐‘๐‘˜๐‘ž๐‘›โˆ’๐‘˜

๐‘›

๐‘˜=0

= (๐‘ + ๐‘ž)๐‘› = 1 (17.8.3)

Il valor medio di ๐‘‹ si puรฒ calcolare facilmente esso รจ infatti

dato dalla somma dei valori medi delle variabili aleatorie di cui ๐‘‹ รจ la

somma:

๏ฟฝ๏ฟฝ =โˆ‘๐‘‹๐‘–

๐‘›

๐‘–=1

=โˆ‘๐‘‹๏ฟฝ๏ฟฝ

๐‘›

๐‘–=1

=โˆ‘(1๐‘ + 0๐‘ž) =

๐‘›

๐‘–=1

๐‘›๐‘ (17.8.4)

Anche la varianza si puรฒ calcolare facilmente in virtรน del fatto

che le ๐‘‹๐‘– sono mutuamente statisticamente indipendenti. Si ha:

๐œŽ๐‘‹2 =โˆ‘๐œŽ๐‘‹๐‘–

2

๐‘›

๐‘–=1

=โˆ‘(๐‘ โˆ’ ๐‘2) =

๐‘›

๐‘–=1

๐‘›๐‘๐‘ž (17.8.5)

Il valor quadratico medio vale:

๐‘‹2 = ๐œŽ๐‘‹2 + ๏ฟฝ๏ฟฝ2 = ๐‘›๐‘๐‘ž + ๐‘›2๐‘2 (17.8.6)

Page 310: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

298 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

Distribuzione di Poisson. 17.9 -

Una variabile aleatoria discreta, che puรฒ assumere un qualsiasi

valore intero non negativo, che sia caratterizzata da una distribuzione

di massa del tipo

Pr{๐‘ฅ = ๐‘›} = ๐‘’โˆ’๐›ฌ๐›ฌ๐‘›

๐‘›!; ๐‘› = 0,1,2, โ€ฆ (17.9.1)

prende il nome di variabile di Poisson con parametro ๐›ฌ > 0.

La corrispondente densitร  di probabilitร  รจ data dalla seguente

sequenza di delta di Dirac:

๐‘๐‘‹(๐‘ฅ) = ๐‘’โˆ’๐›ฌโˆ‘

๐›ฌ๐‘›

๐‘›!๐›ฟ(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘›)

โˆž

๐‘›=0

(17.9.2)

La sua funzione di distribuzione vale:

๐‘ƒ๐‘‹(๐‘ฅ) = ๐‘’โˆ’๐›ฌโˆ‘๐›ฌ๐‘›

๐‘›!๐‘ข(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘›)

โˆž

๐‘›=0

(17.9.3)

Ricordando che ๐‘’๐‘ฅ = โˆ‘๐‘ฅ๐‘›

๐‘›!โˆž๐‘›=0 , si deduce facilmente che il valor me-

dio di una variabile di Poisson vale:

๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐‘’โˆ’๐›ฌโˆ‘๐‘›๐›ฌ๐‘›

๐‘›!

โˆž

๐‘›=0

= ๐›ฌ๐‘’โˆ’๐›ฌโˆ‘๐›ฌ๐‘›โˆ’1

(๐‘› โˆ’ 1)!

โˆž

๐‘›=1

= ๐›ฌ (17.9.4)

il suo valore quadratico medio:

๐‘‹2 = ๐‘’โˆ’๐›ฌโˆ‘๐‘›2๐›ฌ๐‘›

๐‘›!

โˆž

๐‘›=0

= ๐›ฌ๐‘’โˆ’๐›ฌโˆ‘๐‘›๐›ฌ๐‘›โˆ’1

(๐‘› โˆ’ 1)!

โˆž

๐‘›=1

= ๐›ฌ๐‘’โˆ’๐›ฌโˆ‘(๐‘› โˆ’ 1)๐›ฌ๐‘›โˆ’1

(๐‘› โˆ’ 1)!

โˆž

๐‘›=1

+ ๐›ฌ๐‘’โˆ’๐›ฌโˆ‘๐›ฌ๐‘›โˆ’1

(๐‘› โˆ’ 1)!

โˆž

๐‘›=1

= ๐›ฌ2๐‘’โˆ’๐›ฌโˆ‘๐›ฌ๐‘›โˆ’2

(๐‘› โˆ’ 2)!

โˆž

๐‘›=2

+ ๐›ฌ๐‘’โˆ’๐›ฌโˆ‘๐›ฌ๐‘›โˆ’1

(๐‘› โˆ’ 1)!

โˆž

๐‘›=1

= ๐›ฌ2 + ๐›ฌ

(17.9.5)

infine la sua varianza risulta:

๐œŽ2 = ๐›ฌ (17.9.6)

Page 311: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 18 - Caratterizzazione Statistica dei Segnali - 299

Esempio 17.3

Si vuole caratterizzare il traffico telefonico in arrivo ad una centrale.

A tal fine si denoti con n il numero di telefonate in arrivo nell'intervallo

di tempo (0, ๐‘ก).

Per determinare la statistica di questo processo รจ opportuno introdurre

le seguenti ipotesi:

a) il numero di telefonate in arrivo in intervalli di tempo disgiunti sono

statisticamente indipendenti;

b) il numero di telefonate in arrivo nell'intervallo (๐‘ก, ๐‘ก + ฮ”๐‘ก) dipende solo

dalla durata ฮ”๐‘ก e non dall'istante iniziale ๐‘ก.

c) Se ฮ”๐‘ก รจ sufficientemente piccolo, la probabilitร  che in (0, ฮ”๐‘ก) arrivi

una sola telefonata รจ pari a ๐œ†ฮ”๐‘ก; mentre la probabilitร  che nello stesso in-

tervallo di tempo pervenga piรน di una chiamata รจ un infinitesimo di ordi-

ne superiore a ฮ”๐‘ก ciรฒ significa anche che la probabilitร  che in un interval-

lo di durata . ฮ”๐‘ก non giunga nessuna chiamata vale, a meno di infinitesi-

mi di ordine superiore, 1 โˆ’ ๐œ†๐›ฅ๐‘ก

Detta ๐‘ƒ๐‘›(๐‘ก) la probabilitร  che, nell'intervallo (0, ๐‘ก), arrivino ๐‘› chia-

mate si consideri l'evento: โ€œNellโ€™intervallo (0, ๐‘ก + ฮ”๐‘ก) pervengono ๐‘›

chiamate. Tale evento, per le ipotesi fatte, si puรฒ verificare solo in uno

dei seguenti modi:

1) in (0, ๐‘ก) sono pervenute n chiamate e in (๐‘ก, ๐‘ก + ฮ”๐‘ก) non ne รจ pervenuta

alcuna;

2) in (0, ๐‘ก) vi sono state ๐‘› โˆ’ 1 chiamate e in (๐‘ก, ๐‘ก + ฮ”๐‘ก) una sola.

Poichรฉ gli eventi 1) e 2) si escludono a vicenda, per la legge delle

probabilitร  composte, e per le ipotesi a), b) e c) si puรฒ scrivere:

๐‘Ž) ๐‘ƒ๐‘›(๐‘ก + ๐›ฅ๐‘ก) = ๐‘ƒ๐‘›(๐‘ก)[1 โˆ’ ๐œ†๐›ฅ๐‘ก] + ๐‘ƒ๐‘›โˆ’1(๐‘ก)[๐œ†๐›ฅ๐‘ก]; ๐‘› > 0

Nel caso di ๐‘› = 0 la precedente deve essere modificata come segue:

๐‘) ๐‘ƒ0(๐‘ก + ๐›ฅ๐‘ก) = ๐‘ƒ0(๐‘ก)[1 โˆ’ ๐œ†๐›ฅ๐‘ก]; ๐‘› = 0

Dalle (a) e (b) discende:

{

๐‘ƒ๐‘›(๐‘ก + ๐›ฅ๐‘ก) โˆ’ ๐‘ƒ๐‘›(๐‘ก)

๐›ฅ๐‘ก= โˆ’๐œ†๐‘ƒ๐‘›(๐‘ก) + ๐œ†๐‘ƒ๐‘›โˆ’1(๐‘ก); ๐‘› โ‰ฅ 1

๐‘ƒ0(๐‘ก + ๐›ฅ๐‘ก) โˆ’ ๐‘ƒ0(๐‘ก)

๐›ฅ๐‘ก= โˆ’๐œ†๐‘ƒ0(๐‘ก); ๐‘› = 0

dalle quali, passando al limite per ฮ”๐‘ก โ†’ 0, si ottiene il seguente sistema

di equazioni differenziali alle differenze:

๐‘) {

๐‘‘๐‘ƒ๐‘›(๐‘ก)

๐‘‘๐‘ก= โˆ’๐œ†๐‘ƒ๐‘›(๐‘ก) + ๐œ†๐‘ƒ๐‘›โˆ’1(๐‘ก); ๐‘› โ‰ฅ 1

๐‘‘๐‘ƒ0(๐‘ก)

๐‘‘๐‘ก= โˆ’๐œ†๐‘ƒ0(๐‘ก); ๐‘› = 0

Page 312: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

300 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

cui si associa la seguente condizione iniziale:

๐‘‘) ๐‘ƒ๐‘›(0) = {1; ๐‘› = 00; ๐‘› โ‰ฅ 1

che corrisponde alla condizione che all'istante iniziale (๐‘ก = 0) non vi

siano chiamate in arrivo.

Per risolvere il sistema in oggetto basta trasformare secondo Laplace

la prima delle (c). Denotando con

๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘›(๐‘ ) = ๐”{๐‘ƒ๐‘›(๐‘ก)}

la trasformata di Laplace di ๐‘ƒ๐‘›(๐‘ก) si ha:

๐‘ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘›(๐‘ ) โˆ’ ๐‘ƒ๐‘›(0) = โˆ’๐œ†๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘›(๐‘ ) + ๐œ†๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘›โˆ’1(๐‘ ); ๐‘› > 0

che, tenendo conto della condizione iniziale, puรฒ essere riscritta nella

forma:

๐‘ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘›(๐‘ ) + ๐œ†๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘›(๐‘ ) = ๐œ†๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘›โˆ’1(๐‘ ); ๐‘› > 0

Si ottiene allora successivamente:

๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘›(๐‘ ) =๐œ†๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘›โˆ’1(๐‘ )

๐‘  + ๐œ†=๐œ†2๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘›โˆ’2(๐‘ )

(๐‘  + ๐œ†)2= โ‹ฏ =

๐œ†๐‘›๏ฟฝ๏ฟฝ0(๐‘ )

(๐‘  + ๐œ†)๐‘›

D'altra parte, trasformando la seconda delle (c), si ha:

๐‘ ๏ฟฝ๏ฟฝ0(๐‘ ) โˆ’ ๐‘ƒ0(0) = โˆ’๐œ†๏ฟฝ๏ฟฝ0(๐‘ )

che, in virtรน della (d), fornisce:

๏ฟฝ๏ฟฝ0(๐‘ ) =๐‘ƒ0(0)

๐‘  + ๐œ†=

1

๐‘  + ๐œ†

รˆ pertanto:

Fig.E 17.2

Page 313: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 18 - Caratterizzazione Statistica dei Segnali - 301

๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘›(๐‘ ) =๐œ†๐‘›

(๐‘  + ๐œ†)๐‘›+1

da cui, antitrasformando, si deduce:

๐‘ƒ๐‘›(๐‘ก) = ๐‘’โˆ’๐œ†๐‘ก

(๐œ†๐‘ก)๐‘›

๐‘›!u(๐‘ก); ๐‘› โ‰ฅ 0

Si ottiene cosรฌ una distribuzione di Poisson con parametro t. Gli an-

damenti di Pn ( t ) per alcuni valori di n sono riportati in Fig.E 17.2

Page 314: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 18

CARATTERIZZAZIONE STATISTICA DEI SEGNALI

Segnale aleatorio. Funzioni di probabilitร  del pri-18.1 - mo ordine.

Sia dato un esperimento casuale individuato da uno spazio di

probabilitร  S = (ฮฉ, ๐“”, Pr). Per segnale aleatorio reale sโ€™intende un'ap-

plicazione che fa corrispondere a ciascun possibile risultato ํœ โˆˆ ฮฉ

dell'esperimento casuale una funzione reale del tempo:

โˆ€ํœ โˆˆ ฮฉ โˆƒ ๐‘ (๐‘ก, ํœ) | T โŠ† โ„ โ†’ โ„ (18.1.1)

tale da identificare una variabile aleatoria ๐‘ (๐‘ก, ํœ) per ogni fissato

๐‘ก โˆˆ T.

Il sottoinsieme

T puรฒ coincidere

con lโ€™asse reale, o

essere in esso con-

tenuto.

Da quanto det-

to discende che se

si fissa un valore di

๐‘ก il segnale aleato-

rio individua una variabile aleatoria su ฮฉ; mentre se si fissa un risulta-

to ํœ si ottiene una funzione della sola variabile ๐‘ก, ๐‘ (๐‘ก, ํœ), che costitui-

sce una manifestazione del segnale come รจ schematicamente indicato nel-

la Fig. 18.1.

In quel che segue un segnale aleatorio verrร  denotato talvolta

con ๐‘ (๐‘ก), sottintendendo la dipendenza dal risultato dellโ€™esperimento

casuale ํœ. Dal contesto sarร  chiaro quando ci si sta riferendo ad una

variabile casuale, ๐‘ก assegnato, o a ad una particolare manifestazione,

ํœ fissato.

Ad esempio si consideri il segnale aleatorio la cui generica

manifestazione รจ data dalla:

๐‘ (๐‘ก, ๐œ‘) = cos(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก + ๐œ‘) (18.1.2)

Fig. 18.1 - Generazione di un segnale aleatorio.

Page 315: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 19 โ€“ Valori Medi, Stazionarietร  ed Ergodicitร  - 303

dove ๐œ‘ รจ una variabile aleatoria che assume valori nell'intervallo

[0,2๐œ‹]. In questo caso le manifestazioni del segnale sono costituite da

tutte le possibili cosinusoidi di frequenza ๐‘“0 ottenute in corrispon-

denza ai possibili valori di ๐œ‘. In Fig. 18.2, a titolo e-

semplificativo, si sono ripor-

tate tre possibili manifesta-

zioni di un segnale ๐‘ (๐‘ก, ํœ).

Con riferimento alla figura, si

consideri l'evento E๐‘ฅ =

{๐‘ (๐‘ก, ํœ)|๐‘ (๐‘ก, ํœ) โ‰ค ๐‘ฅ} costituito

da tutte le manifestazioni del

segnale che allโ€™istante ๐‘ก as-

sumono un valore non maggiore di ๐‘ฅ. Per il segnale di Fig. 18.2, la

manifestazione ๐‘ (๐‘ก, ํœ2) e la ๐‘ (๐‘ก, ํœ3) appartengono a E๐‘ฅ mentre la

๐‘ (๐‘ก, ํœ1) non vi appartiene.

La probabilitร  che si verifichi lโ€™evento E๐‘ฅ dipende dal valore ๐‘ฅ

e dallโ€™istante ๐‘ก, essa si puรฒ quindi esprimere nella forma:

Pr{E๐‘ฅ} = ๐‘ƒ๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ) (18.1.3)

La funzione ๐‘ƒ๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ), definita nella (18.1.3), costituisce la distri-

buzione di probabilitร  del primo ordine associata al segnale ๐‘ (๐‘ก). Ci si ren-

de facilmente conto che la ๐‘ƒ๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ) coincide con la funzione di distri-

buzione di probabilitร  della variabile aleatoria individuata dal segnale

in corrispondenza allโ€™istante ๐‘ก.

Alla ๐‘ƒ๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ) si puรฒ associare una densitร  di probabilitร  del

primo ordine ๐‘๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ) cosรฌ definita:

๐‘๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ) =๐œ•๐‘ƒ๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ)

๐œ•๐‘ฅ (18.1.4)

in quanto sia ๐‘๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ) sia ๐‘ƒ๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ) sono in genere funzioni anche del-

l'istante ๐‘ก in cui si osserva il segnale. รˆ opportuno inoltre sottolineare

che la derivazione nella (18.1.4) va intesa in senso generalizzato, la

presenza dโ€™eventuali discontinuitร  non eliminabili nella ๐‘ƒ๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ) si tra-

duce infatti nella presenza di delta di Dirac di peso e posizione op-

portuni nella corrispondente densitร  ๐‘๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ).

Fig. 18.2 - Manifestazioni di un segnale aleatorio

Page 316: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

304 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

Si osservi che la ๐‘ƒ๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ) รจ una funzione non decrescente di ๐‘ฅ,

pertanto, qualunque sia l'istante ๐‘ก, per tutti i valori di ๐‘ฅ in cui la

๐‘ƒ๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ) รจ derivabile in senso ordinario, risulta:

๐‘๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ) โ‰ฅ 0 (18.1.5)

Inoltre i pesi delle eventuali delta di Dirac presenti nella ๐‘๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ) non

possono essere negativi.

Vale la condizione:

๐‘ƒ๐‘ (๐‘ก)(+โˆž) = 1 (18.1.6)

che dร  conto del fatto che i valori assunti da una qualsiasi manifesta-

zione del segnale appartengono certamente ad โ„ per ogni ๐‘ก โˆˆ T.

Deve inoltre necessariamente essere:

๐‘ƒ๐‘ (๐‘ก)(โˆ’โˆž) = 0 (18.1.7)

in quanto la probabilitร  che in un qualunque istante ๐‘ก risulti ๐‘ (๐‘ก) =

โˆ’โˆž รจ nulla (evento impossibile).

La (18.1.4) e la (18.1.7) consentono di scrivere:

๐‘ƒ๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ) = โˆซ ๐‘๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฆ)๐‘‘๐‘ฆ๐‘ฅ

โˆ’โˆž

(18.1.8)

Inoltre, indipendentemente dal valore di ๐‘ก la (18.1.6) si traduce

per la ps(t )(x) nella condizione di normalizzazione:

โˆซ ๐‘๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

= 1 (18.1.9)

La probabilitร  che il segnale, in un assegnato istante ๐‘ก, assuma

un valore appartenente allโ€™intervallo (๐‘Ž, ๐‘] vale:

Pr{๐‘ (๐‘ก) โˆˆ (๐‘Ž, ๐‘]} = ๐‘ƒ๐‘ (๐‘ก)(๐‘) โˆ’ ๐‘ƒ๐‘ (๐‘ก)(๐‘Ž) = โˆซ ๐‘๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅ๐‘

๐‘Ž

(18.1.10)

Esempio 18.1

Si consideri il segnale:

๐‘ (๐‘ก, ๐œ) =โŠ“ (๐‘ก โˆ’ ๐œ

๐‘‡)

dove ๐œ rappresenta una variabile aleatoria caratterizzata da una densitร  di

probabilitร  del primo ordine data da ๐‘๐œ(ํœ‚).

Page 317: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 19 โ€“ Valori Medi, Stazionarietร  ed Ergodicitร  - 305

La generica manife-

stazione del segnale รจ ri-

portata in Fig.E 18.1. Da

tale figura si deduce che,

in corrispondenza ad un

certo istante ๐‘ก, ๐‘ (๐‘ก, ๐œ)

puรฒ assumere solo due

valori e precisamente:

{๐‘ (๐‘ก, ๐œ) = 1; ๐‘ก โˆ’

๐‘‡

2โ‰ค ๐œ โ‰ค ๐‘ก +

๐‘‡

2๐‘ (๐‘ก, ๐œ) = 0; altrove

Ciรฒ significa che la probabilitร  che ๐‘ (๐‘ก, ๐œ) assuma in un certo istante il

valore 1 รจ data dalla:

๐‘ƒ1(๐‘ก) โ‰ก ๐‘ƒ๐‘Ÿ{๐‘ (๐‘ก, ๐œ) = 1} = Pr {๐‘ก โˆ’๐‘‡

2โ‰ค ๐œ โ‰ค ๐‘ก +

๐‘‡

2}

mentre la probabilitร  che ๐‘ (๐‘ก, ๐œ) assuma il valore 0 vale:

๐‘ƒ0(๐‘ก) โ‰ก Pr{๐‘ (๐‘ก, ๐œ) = 0} = 1 โˆ’ Pr{๐‘ (๐‘ก, ๐œ) = 1}

dal momento che gli eventi ๐‘ (๐‘ก, ๐œ)=0 e ๐‘ (๐‘ก, ๐œ)=1 sono mutuamente esclu-

sivi.

Si ha:

๐‘ƒ1(๐‘ก) = โˆซ ๐‘๐œ(ํœ‚)๐‘‘ํœ‚๐‘ก+

๐‘‡

2

๐‘กโˆ’๐‘‡

2

Ciรฒ premesso si consideri la funzio-

ne di distribuzione ๐‘ƒ๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ) associata al

segnale ๐‘ (๐‘ก, ๐œ). Per ogni ๐‘ฅ < 0 la

๐‘ƒ๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ) รจ nulla poichรฉ il segnale non

puรฒ assumere valori negativi, mentre

per valori di ๐‘ฅ โ‰ฅ 1 la ๐‘ƒ๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ) vale 1

poichรฉ i valori che il segnale puรฒ assu-

mere non possono essere superiori ad 1.

Per 0 โ‰ค ๐‘ฅ < 1 si ha:

๐‘ƒ๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ) = ๐‘ƒ0(๐‘ก)u(๐‘ฅ)

In definitiva quindi risulta:

๐‘ƒ๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ) = ๐‘ƒ0(๐‘ก)u(๐‘ฅ) + ๐‘ƒ1(๐‘ก)u(๐‘ฅ โˆ’ 1)

Pertanto la corrispondente densitร  di probabilitร  vale:

๐‘๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ) =๐œ•๐‘ƒ๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ)

๐œ•๐‘ฅ= ๐‘ƒ0(๐‘ก)๐›ฟ(๐‘ฅ) + ๐‘ƒ1(๐‘ก)๐›ฟ(๐‘ฅ โˆ’ 1)

Fig.E 18.2

Fig.E 18.1

Page 318: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

306 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

Le funzioni ๐‘๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ) e ๐‘ƒ๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ) sono rappresentate nella Fig.E 18.2.

Se in particolare la variabile ๐œ รจ uniformemente distribuita in

(-๐‘‡/2, ๐‘‡/2), cioรจ รจ caratterizzata da una densitร  di probabilitร  del primo

ordine data dalla:

๐‘๐œ(ํœ‚) =1

๐‘‡โŠ“ (

ํœ‚

๐‘‡)

si ha:

๐‘ƒ1(๐‘ก) = โˆซ1

๐‘‡โŠ“ (

ํœ‚

๐‘‡)๐‘‘ํœ‚

๐‘ก+๐‘‡

2

๐‘กโˆ’๐‘‡

2

= {1 โˆ’|๐‘ก|

๐‘‡; |๐‘ก| โ‰ค ๐‘‡

0; |๐‘ก| > ๐‘‡= (1 โˆ’

|๐‘ก|

๐‘‡)โŠ“ (

๐‘ก

2๐‘‡)

di conseguenza:

๐‘ƒ0(๐‘ก) = 1 โˆ’ (1 โˆ’|๐‘ก|

๐‘‡)โŠ“ (

๐‘ก

2๐‘‡)

Funzioni di probabilitร  del secondo ordine e fun-18.2 - zioni di probabilitร  condizionate.

Dati due reali qualsiasi ๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2 si prenda in considerazione

lโ€™evento:

E๐‘ฅ1๐‘ฅ2 = {๐‘ (๐‘ก)|๐‘ 1 โ‰ค ๐‘ฅ1โ‹€ ๐‘ 2 โ‰ค ๐‘ฅ2} (18.2.1)

Dove, per comoditร  di no-

tazione, ๐‘ 1 ed ๐‘ 2 indicano i

valori assunti dalla generi-

ca manifestazione del se-

gnale agli istanti ๐‘ก1 e ๐‘ก2 ri-

spettivamente. E๐‘ฅ1๐‘ฅ2 rap-

presenta cioรจ lโ€™evento co-

stituito da tutte le manife-

stazioni del segnale ๐‘ (๐‘ก)

che assumono all'istante ๐‘ก1

un valore non maggiore di ๐‘ฅ1, e all'istante ๐‘ก2 un valore non maggiore

di ๐‘ฅ2.

Nellโ€™esempio di Fig. 18.3soltanto la manifestazione ๐‘ (๐‘ก, ํœ1) รจ

contenuta in E๐‘ฅ1๐‘ฅ2.

La probabilitร  che si verifichi lโ€™evento ๐ธ๐‘ฅ1๐‘ฅ2dipende evidente-

mente sia dagli istanti di tempo considerati sia dalla coppia ๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2; es-

sa si puรฒ pertanto esprimere nella forma:

Pr{E๐‘ฅ1๐‘ฅ2} = ๐‘ƒ๐‘ 1๐‘ 2(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2) (18.2.2)

Fig. 18.3 - Manifestazioni di un segnale aleato-rio.

Page 319: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 19 โ€“ Valori Medi, Stazionarietร  ed Ergodicitร  - 307

La funzione ๐‘ƒ๐‘ 1๐‘ 2(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2), appena introdotta, costituisce la di-

stribuzione di probabilitร  del secondo ordine associata al segnale aleatorio

๐‘ (๐‘ก) relativa ai due istanti ๐‘ก1, ๐‘ก2 in cui il segnale aleatorio viene osser-

vato.

Anche in questo caso รจ possibile individuare una densitร  di pro-

babilitร  del secondo ordine associata al segnale:

๐‘๐‘ 1๐‘ 2(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2) =๐œ•2๐‘ƒ๐‘ 1๐‘ 2(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2)

๐œ•๐‘ฅ1๐œ•๐‘ฅ2 (18.2.3)

nella quale la derivazione รจ da intendersi in senso generalizzato.

La ๐‘ƒ๐‘ 1๐‘ 2(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2) deve necessariamente soddisfare le uguaglian-

ze:

{

๐‘ƒ๐‘ 1๐‘ 2(โˆž,โˆž) = 1;

๐‘ƒ๐‘ 1๐‘ 2(โˆ’โˆž,โˆ’โˆž) = 0;

๐‘ƒ๐‘ 1๐‘ 2(0, โˆ’โˆž) = 0;

๐‘ƒ๐‘ 1๐‘ 2(โˆ’โˆž, 0) = 0;

(18.2.4)

la prima delle quali esprime la probabilitร  associata allโ€™evento certo;

le restanti quelle dโ€™eventi impossibili, indipendentemente dagli istanti

dโ€™osservazione considerati.

Dalla (18.2.3)si deduce inoltre che la probabilitร  che all'istante

๐‘ก1 il valore ๐‘ (๐‘ก1) = ๐‘ 1, assunto dalla generica manifestazione del se-

gnale, sia compreso nell'intervallo (๐‘Ž1, ๐‘1] e che a ๐‘ก2 il valore

๐‘ (๐‘ก2) = ๐‘ 2, assunto dalla stessa manifestazione, appartenga all'inter-

vallo (๐‘Ž2, ๐‘2] si puรฒ calcolare in uno dei seguenti modi:

Pr{{๐‘ (๐‘ก)|(๐‘ 1, ๐‘ 2) โˆˆ (๐‘Ž1, ๐‘1] ร— (๐‘Ž2, ๐‘2]}}= ๐‘ƒ๐‘ 1๐‘ 2(๐‘Ž2, ๐‘2) โˆ’ ๐‘ƒ๐‘ 1๐‘ 2(๐‘Ž1, ๐‘2) โˆ’ ๐‘ƒ๐‘ 1๐‘ 2(๐‘Ž2, ๐‘1)

+ ๐‘ƒ๐‘ 1๐‘ 2(๐‘Ž1, ๐‘1) = โˆซ โˆซ ๐‘๐‘ 1๐‘ 2(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)๐‘‘๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฆ๐‘2

๐‘Ž2

๐‘1

๐‘Ž1

(18.2.5)

รˆ inoltre evidente che si ha:

๐‘ƒ๐‘ 1๐‘ 2(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2) = โˆซ โˆซ ๐‘๐‘ 1๐‘ 2(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)๐‘‘๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฆ๐‘ฅ2

โˆ’โˆž

๐‘ฅ1

โˆ’โˆž

(18.2.6)

Dato che l'evento E๐‘ฅ1๐‘ฅ2 รจ contenuto nell'evento

E๐‘ฅ1+|๐›ฅ๐‘ฅ1|,๐‘ฅ2+|๐›ฅ๐‘ฅ2| deve necessariamente essere ๐‘ƒ๐‘ 1๐‘ 2(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2) โ‰ค

๐‘ƒ๐‘ 1๐‘ 2(๐‘ฅ1 + |๐›ฅ๐‘ฅ1|, ๐‘ฅ2 + |๐›ฅ๐‘ฅ2|), il che comporta:

๐‘๐‘ 1๐‘ 2(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2) โ‰ฅ 0 (18.2.7)

Page 320: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

308 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

in tutti i punti in cui la derivazione (18.2.3) si puรฒ effettuare in senso

ordinario, inoltre, i pesi delle delta di Dirac, eventualmente presenti

nella ๐‘๐‘ 1๐‘ 2(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2), non possono essere negativi.

Si osservi che tutti I risultati ottenuti si potevano dedurre os-

servando che ๐‘ (๐‘ก1) ed ๐‘ (๐‘ก2) sono due variabili aleatorie definite su di

uno stesso esperimento casuale, di cui la ๐‘๐‘ 1๐‘ 2(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2) e la ๐‘ƒ๐‘ 1๐‘ 2(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2)

costituiscono le funzioni di probabilitร  congiunte.

Si considerino gli eventi:

E2 = {๐‘ (๐‘ก)|๐‘ 2 โ‰ค ๐‘ฅ2}; E1 = {๐‘ (๐‘ก)|๐‘ฅ1 โˆ’|๐›ฅ๐‘ฅ1|

2< ๐‘ 1

โ‰ค ๐‘ฅ1 +|๐›ฅ๐‘ฅ1|

2}

(18.2.8)

La probabilitร  dell'evento E2 condizionata dal manifestarsi dell'even-

to E1, nellโ€™ipotesi che quest'ultimo abbia probabilitร  diversa da zero,

per la formula di Bayes vale:

Pr{E2|E1} =Pr{E2 โˆฉ E1}

Pr{E1}=

โˆซ โˆซ ๐‘๐‘ 1๐‘ 2(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)๐‘‘๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฆ๐‘ฅ2

โˆ’โˆž

๐‘ฅ1+|๐›ฅ๐‘ฅ1|

2

๐‘ฅ1โˆ’|๐›ฅ๐‘ฅ1|

2

โˆซ ๐‘๐‘ 1(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅ๐‘ฅ1+

|๐›ฅ๐‘ฅ1|

2

๐‘ฅ1โˆ’|๐›ฅ๐‘ฅ1|

2

(18.2.9)

Se si fa tendere ๐›ฅ๐‘ฅ1 a zero, ammesso che la ๐‘๐‘ 1(๐‘ฅ1), sia conti-

nua in ๐‘ฅ1, E1 si riduce all'evento singolare E1 = {๐‘ (๐‘ก)|๐‘ 1 = ๐‘ฅ1} e si ha:

lim๐›ฅ๐‘ฅ1โ†’0

Pr{E2|E1} = lim๐›ฅ๐‘ฅ1โ†’0

โˆซ โˆซ ๐‘๐‘ 1๐‘ 2(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)๐‘‘๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฆ๐‘ฅ2

โˆ’โˆž

๐‘ฅ1+|๐›ฅ๐‘ฅ1|

2

๐‘ฅ1โˆ’|๐›ฅ๐‘ฅ1|

2

โˆซ ๐‘๐‘ 1(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅ๐‘ฅ1+

|๐›ฅ๐‘ฅ1|

2

๐‘ฅ1โˆ’|๐›ฅ๐‘ฅ1|

2

=โˆซ ๐‘๐‘ 1๐‘ 2(๐‘ฅ1, ๐‘ฆ)๐‘‘๐‘ฆ๐‘ฅ2

โˆ’โˆž

๐‘๐‘ 1(๐‘ฅ1)

(18.2.10)

Si noti il limite (18.2.10) esiste finito se risulta ๐‘๐‘ 1(๐‘ฅ1) โ‰  0 e

definisce una funzione della variabile ๐‘ฅ1che soddisfa tutte le proprie-

tร  di una distribuzione di probabilitร . Tale funzione, che si denota

con ๐‘ƒ๐‘ 2|๐‘ 1(๐‘ฅ2, ๐‘ฅ1) e prende il nome di distribuzione di probabilitร  condi-

zionata. Alla ๐‘ƒ๐‘ 2|๐‘ 1(๐‘ฅ2, ๐‘ฅ1) corrisponde la densitร  di probabilitร  condiziona-

ta data dalla:

Page 321: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 19 โ€“ Valori Medi, Stazionarietร  ed Ergodicitร  - 309

๐‘๐‘ 2|๐‘ 1(๐‘ฅ2, ๐‘ฅ1) =๐œ•๐‘ƒ๐‘ 2|๐‘ 1(๐‘ฅ2, ๐‘ฅ1)

๐œ•๐‘ฅ2 (18.2.11)

รˆ facile rendersi conto che tale densitร  di probabilitร  puรฒ

esprimersi in termini delle densitร  del primo e del secondo ordine as-

sociate al segnale ๐‘ (๐‘ก) come segue:

๐‘๐‘ 1๐‘ 2(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2) = ๐‘๐‘ 1(๐‘ฅ1) โ‹… ๐‘๐‘ 2|๐‘ 1(๐‘ฅ2, ๐‘ฅ1) (18.2.12)

In modo analogo, introducendo la densitร  di probabilitร  con-

dizionata ๐‘๐‘ 1|๐‘ 2(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2) si deduce:

๐‘๐‘ 1๐‘ 2(๐‘ฅ1๐‘ฅ2) = ๐‘๐‘ 2(๐‘ฅ2) โ‹… ๐‘๐‘ 1|๐‘ 2(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2) (18.2.13)

Si noti infine che risulta:

lim๐‘ก2โ†’๐‘ก1

๐‘๐‘ 2|๐‘ 1(๐‘ฅ2, ๐‘ฅ1) = lim๐‘ก1โ†’๐‘ก2

๐‘๐‘ 1|๐‘ 2(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2) = ๐›ฟ(๐‘ฅ1 โˆ’ ๐‘ฅ2) (18.2.14)

che discende immediatamente dal fatto che una stessa manifestazio-

ne del segnale non puรฒ assumere due valori distinti nello stesso istan-

te .

Inoltre tenuto conto delle condizioni di normalizzazione:

โˆซ ๐‘๐‘ 1|๐‘ 2(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2)๐‘‘๐‘ฅ1

โˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ ๐‘๐‘ 2|๐‘ 1(๐‘ฅ2, ๐‘ฅ1)๐‘‘๐‘ฅ2

โˆž

โˆ’โˆž

= 1 (18.2.15)

dalle (18.2.12) e (18.2.13) si deduce che le densitร  del primo ordine

del segnale valgono rispettivamente:

a) ๐‘๐‘ 1(๐‘ฅ1) = โˆซ ๐‘๐‘ 1๐‘ 2(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2)๐‘‘๐‘ฅ2

โˆž

โˆ’โˆž

(18.2.16)

b) ๐‘๐‘ 2(๐‘ฅ2) = โˆซ ๐‘๐‘ 1๐‘ 2(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2)๐‘‘๐‘ฅ1

โˆž

โˆ’โˆž

dalle quali si evince che la densitร  di probabilitร  del primo ordine di

un segnale aleatorio รจ direttamente deducibile da quella del secondo

ordine per marginalizzazione.

รˆ inoltre evidente che:

a) ๐‘ƒ๐‘ 1(๐‘ฅ1) = lim

๐‘ฅ2โ†’โˆž๐‘ƒ๐‘ 1๐‘ 2(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2)

(18.2.17)

b) ๐‘ƒ๐‘ 2(๐‘ฅ2) = lim

๐‘ฅ1โ†’โˆž๐‘ƒ๐‘ 1๐‘ 2(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2)

Page 322: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

310 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

Funzioni di probabilitร  dโ€™ordine superiore. 18.3 -

In maniera analoga a quanto fatto nei paragrafi precedenti, si

puรฒ denotare con

๐‘ƒ๐‘ 1๐‘ 2โ€ฆ๐‘ ๐‘›(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2, โ€ฆ ๐‘ฅ๐‘›) (18.3.1)

la probabilitร  dellโ€™evento

E๐‘ฅ1๐‘ฅ2โ€ฆ๐‘ฅ๐‘› = {๐‘ (๐‘ก)|๐‘ 1 โ‰ค ๐‘ฅ1, ๐‘ 2 โ‰ค ๐‘ฅ2, โ€ฆ , ๐‘ ๐‘› โ‰ค ๐‘ฅ๐‘›} (18.3.2)

costituito cioรจ da tutte le manifestazioni del segnale ๐‘ (๐‘ก) che, in cor-

rispondenza agli istanti di tempo ๐‘ก1, ๐‘ก2, โ€ฆ , ๐‘ก๐‘›, assumono valori rispet-

tivamente non superiori a ๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2, โ€ฆ ๐‘ฅ๐‘›.

La ๐‘ƒ๐‘ 1๐‘ 2โ€ฆ๐‘ ๐‘›(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2, โ€ฆ ๐‘ฅ๐‘›) costituisce la distribuzione di probabilitร 

di ordine ๐‘› associata al segnale. Ad essa corrisponde la relativa densitร 

di probabilitร  di ordine ๐‘›: ๐‘๐‘ 1๐‘ 2โ€ฆ๐‘ ๐‘›(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2, โ€ฆ , ๐‘ฅ๐‘›):

๐‘๐‘ 1๐‘ 2โ€ฆ๐‘ ๐‘›(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2, โ€ฆ , ๐‘ฅ๐‘›) =๐œ•๐‘›๐‘ƒ๐‘ 1๐‘ 2โ€ฆ๐‘ ๐‘›(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2, โ€ฆ ๐‘ฅ๐‘›)

๐œ•๐‘ฅ1๐œ•๐‘ฅ2โ€ฆ๐œ•๐‘ฅ๐‘› (18.3.3)

in cui la derivata, anche in questo caso, รจ intesa in senso generalizza-

to.

Dalla ๐‘๐‘ 1๐‘ 2โ€ฆ๐‘ ๐‘›(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2, โ€ฆ , ๐‘ฅ๐‘›) si possono dedurre tutte le densitร 

dโ€™ordine inferiore per successiva marginalizzazione. Si ha infatti, ge-

neralizzando le (18.2.16):

๐‘๐‘ 1๐‘ 2โ€ฆ๐‘ ๐‘›โˆ’1(๐‘ฅ1, โ€ฆ , ๐‘ฅ๐‘›โˆ’1) = โˆซ ๐‘๐‘ 1๐‘ 2โ€ฆ๐‘ ๐‘›(๐‘ฅ1, โ€ฆ , ๐‘ฅ๐‘›)๐‘‘๐‘ฅ๐‘›

โˆž

โˆ’โˆž

๐‘๐‘ 1๐‘ 2โ€ฆ๐‘ ๐‘›โˆ’2(๐‘ฅ1, โ€ฆ , ๐‘ฅ๐‘›โˆ’2) = โˆซ โˆซ ๐‘๐‘ 1๐‘ 2โ€ฆ๐‘ ๐‘›(๐‘ฅ1, โ€ฆ , ๐‘ฅ๐‘›)๐‘‘๐‘ฅ๐‘›๐‘‘๐‘ฅ๐‘›โˆ’1

โˆž

โˆ’โˆž

โˆž

โˆ’โˆž. . . . . . . . . . . . . . . . . .

๐‘๐‘ 1(๐‘ฅ1) = โˆซ โ€ฆโˆซ ๐‘๐‘ 1๐‘ 2โ€ฆ๐‘ ๐‘›(๐‘ฅ1, โ€ฆ , ๐‘ฅ๐‘›)๐‘‘๐‘ฅ๐‘›๐‘‘๐‘ฅ๐‘›โˆ’1

โˆž

โˆ’โˆž

โˆž

โˆ’โˆž

โ€ฆ๐‘‘๐‘ฅ2

(18.3.4)

La densitร  di probabilitร  dโ€™ordine ๐‘› deve inoltre soddisfare la

seguente condizione di normalizzazione:

โˆซ โ€ฆโˆซ ๐‘๐‘ 1๐‘ 2โ€ฆ๐‘ ๐‘›(๐‘ฅ1, โ€ฆ , ๐‘ฅ๐‘›)๐‘‘๐‘ฅ๐‘›๐‘‘๐‘ฅ๐‘›โˆ’1

โˆž

โˆ’โˆž

โˆž

โˆ’โˆž

โ€ฆ๐‘‘๐‘ฅ2๐‘‘๐‘ฅ1 = 1 (18.3.5)

che esprime la circostanza che i valori assunti dal segnale negli istanti

๐‘ก1, ๐‘ก2, โ€ฆ , ๐‘ก๐‘› sono certamente limitati.

Si ha:

Page 323: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 19 โ€“ Valori Medi, Stazionarietร  ed Ergodicitร  - 311

๐‘ƒ๐‘ 1๐‘ 2โ€ฆ๐‘ ๐‘›(๐‘ฅ1, โ€ฆ , ๐‘ฅ๐‘›)

= โˆซ โ€ฆโˆซ ๐‘๐‘ 1๐‘ 2โ€ฆ๐‘ ๐‘›(๐‘ฆ1, โ€ฆ , ๐‘ฆ๐‘›)๐‘‘๐‘ฆ1โ€ฆ๐‘‘๐‘ฆ๐‘›

๐‘ฅ๐‘›

โˆ’โˆž

๐‘ฅ1

โˆ’โˆž

(18.3.6)

e sono soddisfatte le uguaglianze:

๐‘ƒ๐‘ 1๐‘ 2โ€ฆ๐‘ ๐‘›(โˆ’โˆž,โ€ฆ ,โˆ’โˆž) = 0, ๐‘ƒ๐‘ 1๐‘ 2โ€ฆ๐‘ ๐‘›(โˆž,โ€ฆ ,โˆž) = 1 (18.3.7)

Da considerazioni analoghe a quelle fatte per dedurre la

(18.2.7) discende:

๐‘๐‘ 1๐‘ 2โ€ฆ๐‘ ๐‘›(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2, โ€ฆ , ๐‘ฅ๐‘›) โ‰ฅ 0 (18.3.8)

in tutti i punti in cui ๐‘ƒ๐‘ 1๐‘ 2โ€ฆ๐‘ ๐‘›(๐‘ฅ1, โ€ฆ , ๐‘ฅ๐‘›) รจ derivabile in senso ordina-

rio; inoltre i pesi delle eventuali delta di Dirac nella

๐‘๐‘ 1๐‘ 2โ€ฆ๐‘ ๐‘›(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2โ€ฆ , ๐‘ฅ๐‘›) non possono essere negativi.

Quando sono note le funzioni di probabilitร  fino a allโ€™ordine ๐‘›

di un segnale aleatorio, si dice che esso รจ statisticamente noto fino

all'ordine ๐‘›. รˆ evidente che quanto piรน ๐‘› รจ elevato tanto maggiori

sono le informazioni che si hanno sulla natura del segnale.

Se i valori assunti dalla generica manifestazione del segnale ne-

gli istanti ๐‘ก1, ๐‘ก2, โ€ฆ , ๐‘ก๐‘› sono statisticamente indipendenti cioรจ se risulta,

qualunque sia l'ordine ๐‘› e comunque scelti gli istanti ๐‘ก1, ๐‘ก2, โ€ฆ , ๐‘ก๐‘›:

๐‘๐‘ 1๐‘ 2โ€ฆ๐‘ ๐‘›(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2, โ€ฆ , ๐‘ฅ๐‘›) = ๐‘๐‘ 1(๐‘ฅ1)๐‘๐‘ 2(๐‘ฅ2) โ€ฆ๐‘๐‘ ๐‘›(๐‘ฅ๐‘›) (18.3.9)

il segnale si dice puramente casuale. In tal caso la densitร  di probabilitร 

del primo ordine contiene giร  tutte le informazioni necessarie alla de-

scrizione statistica del segnale.

La funzione di distribuzione di probabilitร  dโ€™ordine ๐‘› per un

tale segnale risulta:

๐‘ƒ๐‘ 1โ€ฆ๐‘ ๐‘›(๐‘ฅ1, โ€ฆ , ๐‘ฅ๐‘›)

= โˆซ ๐‘๐‘ 1(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅ๐‘ฅ1

โˆ’โˆž

โˆซ ๐‘๐‘ 2(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅ๐‘ฅ2

โˆ’โˆž

โ€ฆโˆซ ๐‘๐‘ ๐‘›(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅ๐‘ฅ๐‘›

โˆ’โˆž

=โˆ๐‘ƒ๐‘ ๐‘–(๐‘ฅ๐‘–)

๐‘›

๐‘–=1

(18.3.10)

essa, cioรจ, come la corrispondente densitร  di probabilitร , si puรฒ espri-

mere come prodotto di ๐‘› distribuzioni di probabilitร  del primo ordi-

ne rispettivamente valutate in corrispondenza degli ๐‘› istanti di os-

servazione.

Page 324: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

312 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

Segnali aleatori deterministici. 18.4 -

Una classe particolare di segnali aleatori รจ costituita dai cosid-

detti segnali deterministici. Per essi l'evoluzione della generica manifesta-

zione per valori di ๐‘ก โ‰ฅ ๐œ puรฒ essere dedotta dalla conoscenza del se-

gnale per ๐‘ก < ๐œ.

Il segnale ๐‘ (๐‘ก, ๐œ‘) = cos(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก + ๐œ‘) ne รจ un esempio, dal mo-

mento che nota la frequenza ๐‘“0 l'osservazione del segnale in almeno

due istanti distinti consente di determinare il valore della fase ๐œ‘ e

quindi la manifestazione.

In generale un segnale aleatorio deterministico รจ rappresenta-

bile mediante una funzione ๐‘ (๐‘ก, ๐’) in cui ๐’ = [๐‘1, ๐‘2, โ€ฆ , ๐‘๐‘›] รจ un ๐‘›-

vettore di variabili aleatorie definite su uno stesso esperimento casua-

le caratterizzato da una distribuzione di probabilitร  congiunta

๐‘ƒ๐’(๐‘ง1, ๐‘ง2, โ€ฆ , ๐‘ง๐‘›).

Segnali dipendenti da una variabile aleatoria mo-18.5 - nodimensionale

funzioni di probabilitร  del primo ordine.

Sia ๐‘  = ๐‘ (๐‘ก, ๐‘) un segnale dipendente da una variabile aleatoria

monodimensionale ๐‘. Si vuole determinare la distribuzione di pro-

babilitร  del primo ordine ad esso associata, nota che sia la densitร  di

probabilitร  di ๐‘.

A tal fine si ricorda che la ๐‘ƒ๐‘ (๏ฟฝ๏ฟฝ)(๐‘ฅ) eguaglia la probabilitร  che il

segnale allโ€™istante ๏ฟฝ๏ฟฝ assuma un valore non superiore ad ๐‘ฅ. Tale even-

tualitร  si verifica tutte e sole le volte che la variabile aleatoria ๐‘ assu-

me valori appartenenti allโ€™insieme I๏ฟฝ๏ฟฝ,๐‘ฅ = ๐‘ โˆ’1(๏ฟฝ๏ฟฝ, (โˆ’โˆž, ๐‘ฅ]) โŠ† โ„ In altri

termini ๐‘ƒ๐‘ (๏ฟฝ๏ฟฝ)(๐‘ฅ) = Pr{I๏ฟฝ๏ฟฝ,๐‘ฅ}, nellโ€™ipotesi in cui I๏ฟฝ๏ฟฝ,๐‘ฅ costituisca un even-

to per ๐‘.

Questโ€™ultima ipotesi รจ certamente soddisfatta, in quanto il se-

gnale, in virtรน della sua definizione, individua in ogni istante una va-

riabile aleatoria sullo spazio dei risultati dellโ€™esperimento casuale. Nel

caso in esame lโ€™insieme dei risultati รจ โ„, quindi ๐‘ (๏ฟฝ๏ฟฝ, ๐‘) รจ una funzione

misurabile di ๐‘. Ciรฒ significa che lโ€™insieme I๏ฟฝ๏ฟฝ,๐‘ฅ รจ di Borel, (misurabile

nel senso di Lebesgue) ad esso รจ quindi possibile attribuire una pro-

babilitร  nota che sia la densitร  di probabilitร  ๐‘๐‘(๐‘ง) della variabile

aleatoria ๐‘. In definitiva si puรฒ quindi scrivere:

Page 325: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 19 โ€“ Valori Medi, Stazionarietร  ed Ergodicitร  - 313

๐‘ƒ๐‘ (๏ฟฝ๏ฟฝ)(๐‘ฅ) = Pr{๐‘ 

โˆ’1(๏ฟฝ๏ฟฝ, (โˆ’โˆž, ๐‘ฅ])} = โˆซ ๐‘๐‘(๐‘ง)๐‘‘๐‘ง๐ผ๏ฟฝ๏ฟฝ,๐‘ฅ

(18.5.1)

รˆ opportuno sottolineare che lโ€™integrale che compare nella

precedente va inteso come una distribuzione qualora la ๐‘๐‘(๐‘ง) con-

tenga delle delta di Dirac.

Si consideri adesso il caso particolare in cui la variabile aleato-

ria ๐‘  = ๐‘ (๐‘ก, ๐‘) sia di tipo continuo, la variabile aleatoria ๐‘ sia anche

essa di tipo continuo caratterizzata da una distribuzione di probabili-

tร  ๐‘ƒ๐‘(๐‘ง) derivabile dappertutto. Si supponga inoltre che il segnale in

ogni istante sia rappresentabile mediante una funzione derivabile di ๐‘

che sia priva di tratti costanti.

Si osservi che lโ€™equazione ๐‘  = ๐‘ (๐‘ก, ๐‘) nel piano (๐‘‚, ๐‘, ๐‘ ) รจ rap-

presentabile mediante una famiglia di curve parametrizzate dal tem-

po.

Assegnato un istante ๏ฟฝ๏ฟฝ si consideri la funzione di ๐‘, ๐‘  =

๐‘ (๏ฟฝ๏ฟฝ, ๐‘), (v. Fig. 18.4.

Si consideri quindi

sullโ€™asse ๐‘  lโ€™intervallo

I๐‘ฅ = (๐‘ฅ โˆ’๐›ฅ๐‘ฅ

2, ๐‘ฅ +

๐›ฅ๐‘ฅ

2];

ad esso corrisponde

un'immagine inversa

๐‘ โˆ’1(๏ฟฝ๏ฟฝ, I๐‘ฅ), che si sup-

pone costituita da

unโ€™unione finita o al

piรน numerabile di intervalli a due a due disgiunti I๐‘๐‘—, cui appartengo-

no rispettivamente le soluzioni ๐‘๐‘— dellโ€™equazione ๐‘ฅ = ๐‘ (๏ฟฝ๏ฟฝ, ๐‘) (v. Fig.

18.4 sia cioรจ:

๐‘ โˆ’1(๏ฟฝ๏ฟฝ, I๐‘ฅ) = โˆช I๐‘๐‘—โˆž

๐‘—=1

(18.5.2)

La probabilitร  che nell'istante ๏ฟฝ๏ฟฝ il segnale assuma un valore

appartenente all'intervallo I๐‘ฅ, รจ uguale alla probabilitร  che la variabile

aleatoria Z assuma un valore appartenente all'evento E = โˆช I๐‘๐‘—โˆž๐‘—=1 . Si

puรฒ quindi scrivere:

Pr{๐ผ๐‘ฅ} = Pr{E} =โˆ‘Pr{I๐‘๐‘—}

โˆž

๐‘—=1

(18.5.3)

Fig. 18.4 - rappresentazione sul piano . (O, Z, s)

Page 326: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

314 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

dal momento che gli eventi che costituiscono E sono a due a due di-

sgiunti. Si osservi inoltre che per le ipotesi fatte sul segnale, al tende-

re a zero della misura |๐›ฅ๐‘ฅ| di ๐ผ๐‘ฅ anche la misura |๐›ฅ๐‘๐‘—| del generico ๐ผ๐‘๐‘—

tende a zero; la (18.5.3) quindi, a meno dโ€™infinitesimi di ordine supe-

riore al primo, si puรฒ riscrivere nella forma:

๐‘๐‘ (๏ฟฝ๏ฟฝ)(๐‘ฅ)|๐›ฅ๐‘ฅ| =โˆ‘ ๐‘๐‘(๐‘๐‘—)|๐›ฅ๐‘๐‘—|โˆž

๐‘—=1

(18.5.4)

dalla quale si puรฒ concludere che:

๐‘๐‘ (๏ฟฝ๏ฟฝ)(๐‘ฅ) = 0 se: โˆ€๏ฟฝ๏ฟฝ|๐‘ฅ = ๐‘ (๏ฟฝ๏ฟฝ, ๏ฟฝ๏ฟฝ) โ‡’ ๐‘๐‘(๏ฟฝ๏ฟฝ) = 0 (18.5.5)

Inoltre, per tutti i valori di ๐‘ฅ in corrispondenza ai quali risulta

|๐œ•๐‘ (๐‘ก,๐‘)

๐œ•๐‘|๏ฟฝ๏ฟฝ,๐‘๐‘— โ‰  0โˆ€๐‘๐‘—, dividendo ambo i membri della (18.5.4) per |๐›ฅ๐‘ฅ|

e passando al limite per ๐›ฅ๐‘ฅ โ†’ 0, si ottiene:

๐‘๐‘ (๏ฟฝ๏ฟฝ)(๐‘ฅ) = lim

๐›ฅ๐‘ฅโ†’0โˆ‘

๐‘๐‘(๐‘๐‘—)|๐›ฅ๐‘ฅ|

|๐›ฅ๐‘๐‘—|

โˆž

๐‘—=1

=โˆ‘๐‘๐‘(๐‘๐‘—)

|๐œ•๐‘ (๐‘ก,๐‘)

๐œ•๐‘|๏ฟฝ๏ฟฝ,๐‘๐‘—

โˆž

๐‘—=1

(18.5.6)

In corrispondenza agli eventuali valori di ๐‘ฅ per i quali risulta che

|๐œ•๐‘ (๐‘ก,๐‘)

๐œ•๐‘|๏ฟฝ๏ฟฝ,๐‘๐‘—

= 0 la ๐‘๐‘ (๏ฟฝ๏ฟฝ)(๐‘ฅ) non รจ definita; tuttavia la ๐‘๐‘ (๏ฟฝ๏ฟฝ)(๐‘ฅ) risulta de-

finita quasi ovunque dalle (18.5.5) e (18.5.6), in quanto tali punti co-

stituiscono, per le ipotesi fatte, un insieme al piรน numerabile.

Si faccia ora riferimento al caso in cui il segnale ๐‘  = ๐‘ (๐‘ก, ๐‘) sia

rappresentato da una funzione co-

stante a tratti della variabile aleato-

ria continua ๐‘; cioรจ il segnale, fatta

eccezione al piรน per un insieme di

manifestazioni che si presentano

con probabilitร  nulla, puรฒ assume-

re soltanto valori appartenenti ad

un sottoinsieme di A โŠ‚ โ„ al piรน

numerabile, comโ€™รจ indicato in Fig.

18.5.

Ci si convince facilmente che la ๐‘๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ) in questo caso รจ di ti-

po discreto. Infatti, facendo riferimento alla Fig. 18.5, la probabilitร 

che il segnale assuma il valore ๐‘ฅ๐‘– รจ data da:

Fig. 18.5 - rappresentazione sul piano

, costante a tratti. (O, Z, s)

Page 327: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 19 โ€“ Valori Medi, Stazionarietร  ed Ergodicitร  - 315

๐‘ƒ๐‘– = Pr{๐‘ (๐‘ก, ๐‘) = ๐‘ฅ๐‘–} = โˆซ๐‘๐‘(๐‘ง)๐‘‘๐‘ง

๐ผ๐‘–

(18.5.7)

dove lโ€™integrale รจ esteso a I๐‘– = ๐‘ โˆ’1(๏ฟฝ๏ฟฝ, {๐‘ฅ๐‘–}), cioรจ alla controimmagine

dellโ€™insieme {๐‘ฅ๐‘–}, che il segnale individua nel generico istante di tem-

po nellโ€™insieme dei valori assunti dalla variabile aleatoria ๐‘ cui esso รจ

associato.

La funzione distribuzione di probabilitร  del primo ordine

๐‘ƒ๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ) associata al segnale presenta, in corrispondenza al generico

๐‘ฅ๐‘–, un salto di valore ๐‘ƒ๐‘–(๐‘ก). Il valore da essa assunto รจ dato da

โˆ‘ ๐‘ƒ๐‘—(๐‘ก)๐‘–

๐‘—=โˆ’โˆž e ๐‘ƒ๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ) mantiene tale valore fino ad ๐‘ฅ๐‘–+1. La ๐‘ƒ๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ)

si presenta quindi in ogni istante fissato come una funzione a scala.

La densitร  di probabilitร  ๐‘๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ) รจ conseguentemente espressa

dalla:

๐‘๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ) = โˆ‘ ๐‘ƒ๐‘–(๐‘ก)๐›ฟ(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ๐‘–)

โˆž

๐‘–=โˆ’โˆž

(18.5.8)

Esempio 18.2

Si consideri il segnale

๐‘ (๐‘ก, ๐œ‘) = cos(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก + ๐œ‘)

dove ๐œ‘ denota una variabile

casuale caratterizzata da una

densitร  di probabilitร  del primo

ordine data da ๐‘๐œ‘(ํœƒ).

Se |๐‘ฅ| < 1 l'equazione

๐‘ฅ = cos(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก + ๐œ‘)

presenta soluzioni generate dalle (v. Fig.E 18.3)

2๐œ‹๐‘“0๐‘ก + ๐œ‘๐‘˜ = arccos๐‘ฅ + 2๐‘˜๐œ‹

2๐œ‹๐‘“0๐‘ก + ๐œ‘โ€ฒ๐‘˜= โˆ’arccos๐‘ฅ + 2๐‘˜๐œ‹

Poichรฉ รจ:

๐œ•๐‘ 

๐œ•๐œ‘= โˆ’sin(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก + ๐œ‘)

risulta:

|๐œ•๐‘ 

๐œ•๐œ‘|๐œ‘๐‘˜

= |sin(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก + ๐œ‘๐‘˜)| = โˆš1 โˆ’ cos2(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก + ๐œ‘๐‘˜)

|๐œ•๐‘ 

๐œ•๐œ‘|๐œ‘โ€ฒ๐‘˜

= |sin(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก + ๐œ‘โ€ฒ๐‘˜)| = โˆš1 โˆ’ cos2(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก + ๐œ‘

โ€ฒ๐‘˜)}

= โˆš1 โˆ’ ๐‘ฅ2

Fig.E 18.3

Fig. E.IV.3

Page 328: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

316 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

Quindi:

๐‘๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ) =1

โˆš1 โˆ’ ๐‘ฅ2โˆ‘[๐‘๐œ‘(๐œ‘๐‘˜) + ๐‘๐œ‘(๐œ‘

โ€ฒ๐‘˜)]

๐‘˜

Se ๐œ‘ รจ uniformemente distribuita in [0, 2๐œ‹], qualunque sia l'istante ๐‘ก,

la sommatoria che compare nella precedente, contiene due soli termini

non nulli ottenuti in corrispondenza ai valori di ๐‘˜ dati dalla:

๐‘˜ = โŒˆ๐‘“0๐‘ก ยฑarccos๐‘ฅ

2๐œ‹โŒ‰

In definitiva risulta:

๐‘๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ) =1

๐œ‹โˆš1 โˆ’ ๐‘ฅ2โŠ“ (

๐‘ฅ

2)

il cui andamento in funzione di ๐‘ฅ รจ riportato in Fig.E 18.4a).

La distribuzione di

probabilitร  si ottiene per

integrazione della prece-

dente. Si ha:

๐‘ƒ๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ)

= (1

2+arcsin๐‘ฅ

๐œ‹)โŠ“ (

๐‘ฅ

2)

+ u(๐‘ฅ โˆ’ 1)

ed รจ rappresentata nella Fig.E 18.4 b).

funzioni di probabilitร  dโ€™ordine superiore al primo.

Sia ๐‘ (๐‘ก, ๐‘) un segnale aleatorio rappresentato da una funzione

che, rispetto alla variabile aleatoria continua ๐‘, sia derivabile e non

presenti tratti costanti.

Posto I1 = (๐‘ฅ1 โˆ’๐›ฅ๐‘ 1

2, ๐‘ฅ1 +

๐›ฅ๐‘ 1

2), I2 = (๐‘ฅ2 โˆ’

๐›ฅ๐‘ 2

2, ๐‘ฅ2 +

๐›ฅ๐‘ 2

2) la

probabilitร  che si verifichi l'evento:

E = {๐‘ (๐‘ก, ๐‘)|๐‘ 2 = ๐‘ (๐‘ก2, ๐‘) โˆˆ I2 โˆง ๐‘ 1 = ๐‘ (๐‘ก1, ๐‘) โˆˆ I1} (18.5.9)

a meno di infinitesimi dโ€™ordine superiore , vale:

Pr{E} = ๐‘๐‘ 2๐‘ 1(๐‘ฅ2, ๐‘ฅ1)๐›ฅ๐‘ 2๐›ฅ๐‘ 1 (18.5.10)

Questโ€™ultima puรฒ essere espressa in termini della variabile aleatoria ๐‘

osservando che all'istante ๐‘ก1 esiste un numero finito, o al piรน unโ€™infi-

nitร  numerabile, di intervalli elementari a due a due disgiunti tali che

risulti:

Fig.E 18.4

Page 329: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 19 โ€“ Valori Medi, Stazionarietร  ed Ergodicitร  - 317

โˆช J1๐‘—โˆž๐‘—=1 = ๐‘ โˆ’1(๐‘ก1, I1) (18.5.11)

Ciascuno di questi intervalli, a meno dโ€™infinitesimi dโ€™ordine superio-

re, se risulta |๐œ•๐‘ (๐‘ก1,๐‘)

๐œ•๐‘|๐‘=๐‘๐‘—

โ‰  0 รจ dato da:

J1๐‘— = (๐‘๐‘— โˆ’๐›ฅ๐‘ 1

2 |๐œ•๐‘ (๐‘ก1,๐‘)

๐œ•๐‘|๐‘=๐‘๐‘—

, ๐‘๐‘— +๐›ฅ๐‘ 1

2 |๐œ•๐‘ (๐‘ก1,๐‘)

๐œ•๐‘|๐‘=๐‘๐‘—

) (18.5.12)

dove ๐‘๐‘— rappresenta la generica soluzione dellโ€™equazione ๐‘ฅ1 =

๐‘ (๐‘ก1, ๐‘).

La probabilitร  che la variabile aleatoria ๐‘ appartenga ad uno di

questi intervalli vale a sua volta:

Pr{{๐‘ โˆˆ J1๐‘—}} = ๐‘๐‘(๐‘๐‘—)

๐›ฅ๐‘ 1

|๐œ•๐‘ (๐‘ก1,๐‘)

๐œ•๐‘|๐‘=๐‘๐‘—

(18.5.13)

dove la ๐‘๐‘(โ‹…) indica la densitร  di probabilitร  di ๐‘.

Si constata che:

Pr{E} = ๐‘๐‘ 1๐‘ 2(๐‘ฅ2, ๐‘ฅ1)๐›ฅ๐‘ 1๐›ฅ๐‘ 2

=โˆ‘๐‘๐‘๐‘ 2(๐‘๐‘—, ๐‘ฅ2)๐›ฅ๐‘ 1

|๐œ•๐‘ (๐‘ก1,๐‘)

๐œ•๐‘|๐‘=๐‘๐‘—

๐›ฅ๐‘ 2

โˆž

๐‘—=1

(18.5.14)

Ma se ๐‘ = ๐‘๐‘— il segnale allโ€™istante ๐‘ก2 assumerร  con certezza il valore

๐‘ (๐‘ก2, ๐‘๐‘—). Pertanto si puรฒ scrivere:

๐‘๐‘๐‘ 2(๐‘๐‘— , ๐‘ฅ2) = ๐›ฟ(๐‘ฅ2 โˆ’ ๐‘ (๐‘ก2, ๐‘๐‘—))๐‘๐‘(๐‘๐‘—) (18.5.15)

che, sostituita nella (18.5.14), consente di scrivere la densitร  di proba-

bilitร  del secondo ordine di un segnale deterministico associato ad

una variabile aleatoria monodimensionale:

๐‘๐‘ 1๐‘ 2(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2) = โˆ‘

๐›ฟ(๐‘ฅ2 โˆ’ ๐‘ (๐‘ก2, ๐‘๐‘—))๐‘๐‘(๐‘๐‘—)

|๐œ•๐‘ (๐‘ก1,๐‘)

๐œ•๐‘|๐‘=๐‘๐‘—

โˆž

๐‘—=1

(18.5.16)

Le densitร  di probabilitร  di ordine piรน elevato possono rica-

varsi con procedimento analogo.

Page 330: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

318 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

Esempio 18.3

La densitร  di probabilitร  del secondo ordine per il segnale dellโ€™e-

sempio precedente per |x 1 |<1 ed |x 2 |<1 puรฒ essere scritta nella forma:

๐‘๐‘ 1๐‘ 2(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2)

= โˆ‘ [๐‘๐œ‘(๐œ‘๐‘˜)

|๐œ•๐‘ (๐‘ก1,๐œ‘)

๐œ•๐œ‘|๐œ‘=๐œ‘๐‘˜

๐›ฟ(๐‘ฅ2 โˆ’ ๐‘ (๐‘ก2, ๐œ‘๐‘˜)) +๐‘๐œ‘(๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘˜)

|๐œ•๐‘ (๐‘ก1,๐œ‘)

๐œ•๐œ‘|๐œ‘=๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘˜

๐›ฟ(๐‘ฅ2 โˆ’ ๐‘ (๐‘ก2, ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘˜))]

โˆž

๐‘˜=โˆ’โˆž

dove รจ

๐‘ (๐‘ก2, ๐œ‘๐‘˜) = cos(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก2 +๐œ‘๐‘˜) = cos(2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก2 โˆ’ ๐‘ก1) + arccos(๐‘ฅ1))

๐‘ (๐‘ก2, ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘˜) = cos(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก2 + ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘˜) = cos(2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก2 โˆ’ ๐‘ก1) โˆ’ arccos(๐‘ฅ1))

e

๐œ‘๐‘˜ = arccos(๐‘ฅ1) โˆ’ 2๐œ‹๐‘“0๐‘ก1 + 2๐‘˜๐œ‹

๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘˜ = โˆ’arccos(๐‘ฅ1) โˆ’ 2๐œ‹๐‘“0๐‘ก1 + 2๐‘˜๐œ‹

i valori della fase che soddisfano la condizione:

๐‘ฅ1 = cos(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก1 + ๐œ‘)

conseguentemente, per |๐‘ฅ1| โ‰ค 1 ed |๐‘ฅ2| โ‰ค 1, si ha:

๐‘๐‘ 1,๐‘ 2(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2) =1

2๐œ‹โˆš1 โˆ’ ๐‘ฅ12{๐›ฟ[๐‘ฅ2 โˆ’ cos(2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก2 โˆ’ ๐‘ก1) โˆ’ arccos(๐‘ฅ1))] +

+๐›ฟ[๐‘ฅ2 โˆ’ cos(2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก2 โˆ’ ๐‘ก1) + arccos(๐‘ฅ1))]}

mentre evidentemente per |๐‘ฅ1| > 1 o per |๐‘ฅ2| > 1 risulta:

๐‘๐‘ 1,๐‘ 2(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2) = 0

Segnali dipendenti da un vettore aleatorio. 18.6 -

Si consideri per semplicitร  il caso di un segnale deterministico

๐‘ (๐‘ก, ๐’) in cui ๐’ รจ un vettore aleatorio continuo bidimensionale; inoltre

il segnale sia una funzione continua e priva di tratti costanti delle

componenti di ๐’, parzialmente derivabile ovunque.

Posto ๐ผ1 = (๐‘ฅ1 โˆ’๐›ฅ๐‘ 1

2, ๐‘ฅ1 +

๐›ฅ๐‘ 1

2), ๐ผ2 = (๐‘ฅ2 โˆ’

๐›ฅ๐‘ 2

2, ๐‘ฅ2 +

๐›ฅ๐‘ 2

2), la

probabilitร  che si verifichi l'evento:

๐ธ = {๐‘ (๐‘ก, ๐’)|๐‘ 2 โˆˆ ๐ผ2 โˆง ๐‘ 1 โˆˆ ๐ผ1} (18.6.1)

รจ a meno di infinitesimi di ordine superiore รจ data da:

Pr{E} = ๐‘๐‘ 1๐‘ 2(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2)๐›ฅ๐‘ 1๐›ฅ๐‘ 2= Pr{๐’ โˆˆ A=๐‘ โˆ’1(๐‘ก1, I1) โˆฉ ๐‘ 

โˆ’1(๐‘ก2, I2)} (18.6.2)

Page 331: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 19 โ€“ Valori Medi, Stazionarietร  ed Ergodicitร  - 319

L'insieme A รจ evidentemente costituito, per le ipotesi fatte sul segna-

le, da una unione al piu numerabile di sottoinsiemi A๐‘– in โ„2 a due a

due disgiunti. La (18.6.2) si puรฒ quindi scrivere:

๐‘๐‘ 1๐‘ 2(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2)๐›ฅ๐‘ 1๐›ฅ๐‘ 2 =โˆ‘๐‘๐‘(๐‘ง1๐‘– , ๐‘ง2๐‘–)๐›ฅ๐‘ 1๐›ฅ๐‘ 2|๐ฝ|๐‘ง=๐‘ง๐‘–

โˆž

๐‘–=1

(18.6.3)

dove la coppia๐‘ง1๐‘– , ๐‘ง2๐‘–rappresenta lโ€™๐‘–-esima soluzione del sistema:

{๐‘ฅ1 = ๐‘ (๐‘ก1, ๐‘ง1, ๐‘ง2);

๐‘ฅ2 = ๐‘ (๐‘ก2, ๐‘ง1, ๐‘ง2);

(18.6.4)

e |๐ฝ| il modulo del determinante Jacobiano

๐ฝ =๐œ•(๐‘ 1, ๐‘ 2)

๐œ•(๐‘ง1, ๐‘ง2)= ||

๐œ•๐‘ (๐‘ก1, ๐‘ง1, ๐‘ง2)

๐œ•๐‘ง1

๐œ•๐‘ (๐‘ก1, ๐‘ง1, ๐‘ง2)

๐œ•๐‘ง2๐œ•๐‘ (๐‘ก2, ๐‘ง1, ๐‘ง2)

๐œ•๐‘ง1

๐œ•๐‘ (๐‘ก2, ๐‘ง1, ๐‘ง2)

๐œ•๐‘ง2

|| (18.6.5)

Si osservi che per valutare le densitร  di probabilitร  del primo

ordine basta marginalizzare le (18.6.3)rispetto ad una delle due varia-

bili ๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2.

In modo analogo si determinano le densitร  di probabilitร  nel

caso in cui il segnale dipenda da un vettore aleatorio ๐‘›-dimensionale.

In tal caso si procede alla determinazione della densitร  di probabilitร 

dโ€™ordine ๐‘› e per successive marginalizzazioni si possono via via otte-

nere le densitร  di probabilitร  dโ€™ordine inferiore.

Esempio 18.4

Sia

๐‘ (๐‘ก, ๐‘‰, ๐œ‘) = ๐‘‰cos(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก + ๐œ‘)

un segnale aleatorio dipendente da due variabili aleatorie V, che si sup-

pongono statisticamente indipendenti e caratterizzate da densitร  di pro-

babilitร  del primo ordine che valgono:

๐‘๐‘‰(๐‘ฃ) =๐‘ฃ

๐œŽ2๐‘’โˆ’

๐‘‰2

2๐œŽ2u(๐‘ฃ); ๐‘๐œ‘(๐œ—) =1

2๐œ‹โŠ“ (

๐œ— โˆ’ ๐œ‹

2๐œ‹)

Il sistema (IV.2.20) in tal caso diventa:

{๐‘ฅ1 = ๐‘ฃcos(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก1 + ๐œ—);

๐‘ฅ2 = ๐‘ฃcos(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก2 + ๐œ—);

La prima delle (a) fornisce

๐œ—1 = arccos๐‘ฅ1๐‘ฃโˆ’ 2๐œ‹๐‘“0๐‘ก1๏ฟฝ๏ฟฝ1 = โˆ’arccos

๐‘ฅ1๐‘ฃโˆ’ 2๐œ‹๐‘“0๐‘ก1

Page 332: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

320 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

pertanto risulta:

cos๐œ—1 = cos (arccos๐‘ฅ1๐‘ฃโˆ’ 2๐œ‹๐‘“0๐‘ก1)

= cos (arccos๐‘ฅ1๐‘ฃ) cos2๐œ‹๐‘“0๐‘ก1 + sin (arccos

๐‘ฅ1๐‘ฃ) sin2ฯ€f0t1

=๐‘ฅ1๐‘ฃcos2๐œ‹๐‘“0๐‘ก1 +โˆš1 โˆ’

๐‘ฅ12

๐‘ฃ2sin2ฯ€f0t1

sin๐œ—1 = sin (arccos๐‘ฅ1๐‘ฃโˆ’ 2๐œ‹๐‘“0๐‘ก1)

= sin (arccos๐‘ฅ1๐‘ฃ) cos2๐œ‹๐‘“0๐‘ก1 โˆ’ cos (arccos

๐‘ฅ1๐‘ฃ) sin(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก1)

= โˆš1 โˆ’๐‘ฅ12

๐‘ฃ2cos2๐œ‹๐‘“0๐‘ก1 โˆ’

๐‘ฅ1๐‘ฃsin2๐œ‹๐‘“0๐‘ก1

ed analogamente:

{

๐‘๐‘œ๐‘ ๏ฟฝ๏ฟฝ1 =

๐‘ฅ1๐‘ฃcos(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก1) โˆ’ โˆš1 โˆ’

๐‘ฅ12

๐‘ฃ2sin(2ฯ€f0t1);

sin๏ฟฝ๏ฟฝ1 = โˆ’๐‘ฅ1๐‘ฃcos(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก1) โˆ’ โˆš1 โˆ’

๐‘ฅ12

๐‘ฃ2sin(2ฯ€f0t1);

D'altra parte la seconda delle (a) puรฒ anche scriversi:

๐‘ฅ2 = ๐‘ฃ(cos(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก2)cos๐œ— โˆ’ sin(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก2)sin๐œ—)

sostituendo si ottiene:

๐‘ฅ2

= ๐‘ฃ(๐‘ฅ1๐‘ฃcos(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก1)cos(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก2) + โˆš1 โˆ’

๐‘ฅ12

๐‘ฃ2cos(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก1)sin(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก2)

โˆ’ โˆš1 โˆ’๐‘ฅ12

๐‘ฃ2sin(2ฯ€f0t1)cos(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก2) +

๐‘ฅ1๐‘ฃsin(2ฯ€f0t1)sin(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก2))

= ๐‘ฅ1cos2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก2 โˆ’ ๐‘ก1) โˆ’ โˆš๐‘ฃ2 โˆ’ ๐‘ฅ1

2sin(2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก2 โˆ’ ๐‘ก1))

che risolta rispetto a fornisce

๐‘ฃ =โˆš๐‘ฅ1

2 + ๐‘ฅ22 โˆ’ 2๐‘ฅ1๐‘ฅ2cos(2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก2 โˆ’ ๐‘ก1))

|sin(2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก2 โˆ’ ๐‘ก1))|

supposto 2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก2 โˆ’ ๐‘ก1) โ‰  ๐‘˜.

Per la soluzione 1 analogamente si ottiene

Page 333: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 19 โ€“ Valori Medi, Stazionarietร  ed Ergodicitร  - 321

๏ฟฝ๏ฟฝ2 = ๐‘ฅ1cos(2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก2 โˆ’ ๐‘ก1)) + โˆš๐‘ฃ2 โˆ’ ๐‘ฅ1

2sin(2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก2 โˆ’ ๐‘ก1))

che risolta rispetto a fornisce

๏ฟฝ๏ฟฝ =โˆš๐‘ฅ1

2 + ๏ฟฝ๏ฟฝ22 โˆ’ 2๐‘ฅ1๏ฟฝ๏ฟฝ2cos(2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก2 โˆ’ ๐‘ก1))

|sin(2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก2 โˆ’ ๐‘ก1))|= ๐‘ฃ

Lo Jacobiano della trasformazione vale

๐ฝ = |cos(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก1 + ๐œ—) โˆ’๐‘ฃsin(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก1 + ๐œ—)cos(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก2 + ๐œ—) โˆ’๐‘ฃsin(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก2 + ๐œ—)

| = โˆ’๐‘ฃsin(2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก2 โˆ’ ๐‘ก1))

quindi la densitร  di probabilitร  del secondo ordine cercata รจ data da:

๐‘๐‘ 1๐‘ 2(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2) =๐‘๐‘‰(๐‘ฃ)

2๐œ‹๐‘ฃ|sin(2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก2 โˆ’ ๐‘ก1))|+

๐‘๐‘‰(๏ฟฝ๏ฟฝ)

2๐œ‹๏ฟฝ๏ฟฝ|sin(2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก2 โˆ’ ๐‘ก1))|

=๐‘๐‘‰(๐‘ฃ)

๐œ‹|sin(2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก2 โˆ’ ๐‘ก1))|

che sostituendo alla variabile la sua espressione in termini di x1 ed x2

diventa:

๐‘๐‘ 1๐‘ 2(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2) =โˆš๐‘ฅ1

2 + ๐‘ฅ22 โˆ’ 2๐‘ฅ1๐‘ฅ2cos(2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก2 โˆ’ ๐‘ก1))

๐œŽ2๐œ‹sin2(2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก2 โˆ’ ๐‘ก1))๐‘’โˆ’๐‘ฅ12+๐‘ฅ2

2โˆ’2๐‘ฅ1๐‘ฅ2cos(2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก2โˆ’๐‘ก1))

2๐œŽ2sin2(2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก2โˆ’๐‘ก1))

Segnali distinti. Funzioni di probabilitร  congiunte. 18.7 -

Siano ๐œ‰(๐‘ก) e ํœ‚(๐‘ก) due segnali aleatori a tempo continuo, defi-

niti sullo stesso spazio di probabilitร . Si prenda in considerazione l'e-

vento ๐ผ๐‘ฅ๐‘ฆ il cui generico elemento รจ una coppia di manifestazioni

(๐œ‰(๐‘ก), ํœ‚(๐‘ก)) tale che ๐œ‰(๐‘ก) all'istante ๐‘ก1, assuma un valore appartenente

alla semiretta ๐ผ๐‘ฅ = (โˆ’โˆž, ๐‘ฅ] e che, all'istante ๐‘ก2, ํœ‚(๐‘ก) assuma un valore

appartente a ๐ผ๐‘ฆ = (โˆ’โˆž, ๐‘ฆ].

Si osservi che la probabilitร  dellโ€™evento ๐ผ๐‘ฅ๐‘ฆ , oltre che da ๐‘ฅ e da

๐‘ฆ, dipende evidentemente anche dagli istanti ๐‘ก1 e ๐‘ก2 dโ€™osservazione,

risulta:

Pr{๐ผ๐‘ฅ๐‘ฆ} = ๐‘ƒ๐œ‰1๐œ‚2(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) (18.7.1)

dove la funzione ๐‘ƒ๐œ‰1๐œ‚2(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) rappresenta la distribuzione di probabilitร 

congiunta associata ai due segnali.

Naturalmente tale distribuzione di probabilitร , indipendente-

mente dagli istanti di tempo considerati, soddisfa le condizioni:

a) ๐‘ƒ๐œ‰1๐œ‚2(โˆž,โˆž) = 1

(18.7.2) b) ๐‘ƒ๐œ‰1๐œ‚2(โˆ’โˆž,โˆ’โˆž) = 0

Page 334: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

322 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

La corrispondente funzione di densitร  di probabilitร  congiunta

๐‘๐œ‰1๐œ‚2(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) รจ la derivata mista, eventualmente intesa in senso genera-

lizzato, della ๐‘ƒ๐œ‰1๐œ‚2(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) e soddisfa le condizioni:

โˆฌ ๐‘๐œ‰1๐œ‚2(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)๐‘‘๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฆโ„2

= 1 (18.7.3)

๐‘ƒ๐œ‰1๐œ‚2(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) = โˆซ โˆซ ๐‘๐œ‰1๐œ‚2(๐œ†, ๐œ‡)๐‘‘๐œ†๐‘‘๐œ‡๐‘ฆ

โˆ’โˆž

๐‘ฅ

โˆ’โˆž

(18.7.4)

Introducendo le densitร  di probabilitร  condizionate la funzio-

ne ๐‘๐œ‰1๐œ‚2(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) puรฒ essere scritta come segue:

a) ๐‘๐œ‰1๐œ‚2(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) = ๐‘๐œ‰1(๐‘ฅ) โ‹… ๐‘๐œ‚2|๐œ‰1(๐‘ฆ, ๐‘ฅ)

(18.7.5) b) ๐‘๐œ‰1๐œ‚2(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) = ๐‘๐œ‚2(๐‘ฆ) โ‹… ๐‘๐œ‰1|๐œ‚2(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)

dove ๐‘๐œ‰1(๐‘ฅ) e ๐‘๐œ‚2(๐‘ฆ) denotano le densitร  di probabilitร  del primo

ordine associate ai segnali ๐œ‰(๐‘ก) e ํœ‚(๐‘ก), valutate negli istanti ๐‘ก1 e ๐‘ก2 ri-

spettivamente.

Essendo peraltro:

โˆซ ๐‘๐œ‰1|๐œ‚2(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ ๐‘๐œ‚2|๐œ‰1(๐‘ฆ, ๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฆโˆž

โˆ’โˆž

= 1 (18.7.6)

si ottiene per integrazione delle (18.7.5)

a) ๐‘๐œ‰1(๐‘ฅ) = โˆซ ๐‘๐œ‰1๐œ‚2(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)๐‘‘๐‘ฆโˆž

โˆ’โˆž

(18.7.7)

b) ๐‘๐œ‚2(๐‘ฆ) = โˆซ ๐‘๐œ‰1๐œ‚2(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

che consentono di determinare le densitร  di probabilitร  del primo

ordine associate ai segnali ๐œ‰(๐‘ก) e ํœ‚(๐‘ก) nota che sia la loro densitร  di

probabilitร  congiunta.

Se risulta:

๐‘๐œ‰1๐œ‚2(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) = ๐‘๐œ‰1(๐‘ฅ) โ‹… ๐‘๐œ‚2(๐‘ฆ) (18.7.8)

i segnali si dicono congiuntamente statisticamente indipendenti. Dal con-

fronto tra le (18.7.5) e la 0(18.7.8) discende che in questo caso:

a) ๐‘๐œ‰1|๐œ‚2(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) = ๐‘๐œ‰1(๐‘ฅ)

(18.7.9) b) ๐‘๐œ‚2|๐œ‰1(๐‘ฆ, ๐‘ฅ) = ๐‘๐œ‚2(๐‘ฆ)

Page 335: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 19 โ€“ Valori Medi, Stazionarietร  ed Ergodicitร  - 323

cioรจ: la probabilitร  che una manifestazione del segnale ๐œ‰(๐‘ก) (ํœ‚(๐‘ก)) as-

suma all'istante ๐‘ก1 (๐‘ก2) un valore compreso nell'intervallo ]๐‘ฅ โˆ’๐›ฅ๐‘ฅ

2, ๐‘ฅ +

๐›ฅ๐‘ฅ

2] (]๐‘ฆ โˆ’

๐›ฅ๐‘ฆ

2, ๐‘ฆ +

๐›ฅ๐‘ฆ

2]) รจ indipendente dal valore assunto dal sgnale

ํœ‚(๐‘ก) (๐œ‰(๐‘ก)) all'istante ๐‘ก2 (๐‘ก1).

Esempio 18.5

Sia z(t) un segnale aleatorio

dato da:

๐‘ง(๐‘ก) = ๐‘“(๐‘ฅ(๐‘ก), ๐‘ฆ(๐‘ก))

funzione cioรจ di due segnali ๐‘ฅ(๐‘ก)

e ๐‘ฆ(๐‘ก) dei quali sia assegnata la

densitร  di probabilitร  congiunta.

Per determinare la densitร  di

probabilitร  del primo ordine di

๐‘ง(๐‘ก) basta osservare che la corri-

spondente funzione di distribuzione di probabilitร  si ottiene dalla:

๐‘ƒ๐‘ง(๐‘ก)(๐œˆ) = Pr{๐‘ง(๐‘ก) โ‰ค ๐œˆ}

Detta allora ฮฉ๐œ la regione del piano (๐‘‚, ๐‘ฅ, ๐‘ฆ) (v. Fig.E 18.5) costituita da

tutte le coppie (๐‘ฅ, ๐‘ฆ) per le quali risulti ๐‘“(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) โ‰ค ๐œ. รˆ evidente che il

valore assunto dalla ๐‘ƒ๐‘ง(๐‘ก)(โ‹…) quando il suo argomento รจ ๐œ รจ dato da:

๐‘ƒ๐‘ง(๐‘ก)(๐œˆ) = Pr{(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) โˆˆ ฮฉ๐œˆ} = โˆฌ ๐‘๐‘ฅ(๐‘ก)๐‘ฆ(๐‘ก)(๐œ‰, ํœ)๐‘‘๐œ‰๐‘‘ํœ๐›บ๐œˆ

E' da notare che la regione ฮฉ๐œ po-

trebbe non essere semplicemente con-

nessa come mostra la Fig. E.IV.5

Dalla ๐‘ƒ๐‘ง(๐‘ก)(๐œ) si deduce immedia-

tamente:

๐‘๐‘ง(๐‘ก)(๐œˆ) =๐œ•๐‘ƒ๐‘ง(๐‘ก)(๐œˆ)

๐œ•๐œˆ

Nel caso in cui il segnale ๐‘ง(๐‘ก) รจ la

somma dei segnali ๐‘ฅ(๐‘ก) e ๐‘ฆ(๐‘ก), la re-

gione ฮฉ๐œ costituita da tutte le coppie (๐‘ฅ, ๐‘ฆ) che soddisfano la disugua-

lianza:

๐‘ฅ + ๐‘ฆ โ‰ค ๐œˆ

tale regione รจ il semipiano evidenziato in Fig. E.IV.6.

Si ha pertanto:

Fig.E 18.5

Fig.E 18.6

Page 336: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

324 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

๐‘ƒ๐‘ง(๐‘ก)(๐œˆ) = โˆซ โˆซ ๐‘๐‘ฅ(๐‘ก)๐‘ฆ(๐‘ก)(๐œ‰, ํœ)๐‘‘๐œ‰๐‘‘ํœ๐‘งโˆ’๐‘ฅ

โˆ’โˆž

โˆž

โˆ’โˆž

quindi:

๐‘๐‘ง(๐‘ก)(๐œˆ) = โˆซ ๐‘๐‘ฅ(๐‘ก)๐‘ฆ(๐‘ก)(๐œ‰, ๐œˆ โˆ’ ๐œ‰)๐‘‘๐œ‰โˆž

โˆ’โˆž

Nellโ€™ulteriore eventualitร  in cui i segnali ๐‘ฅ(๐‘ก) e ๐‘ฆ(๐‘ก), siano statistica-

mente indipendenti la precedente assume la forma:

๐‘๐‘ง(๐‘ก)(๐œˆ) = โˆซ ๐‘๐‘ฅ(๐‘ก)(๐œ‰)๐‘๐‘ฆ(๐‘ก)(๐œˆ โˆ’ ๐œ‰)๐‘‘๐œ‰โˆž

โˆ’โˆž

la densitร  di probabilitร  cercata รจ quindi in questo caso data dalla convo-

luzione tra le densitร  di probabilitร  dei due segnali.

Page 337: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 19

VALORI MEDI, STAZIONARIETร€ ED ERGODICITร€

Medie statistiche. 19.1 -

Sia ๐‘ (๐‘ก, ํœ) un segnale aleatorio associato ad un esperimento

casuale di cui ํœ rappresenta il generico risultato, al quale corrisponde

una densitร  di probabilitร  del primo ordine data da ๐‘๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ). Per un

assegnato valore di ๐‘ก รจ individuata una variabile aleatoria ๐‘  = ๐‘ (๐‘ก, ํœ)

della quale si puรฒ calcolare il valore medio, il valore quadratico me-

dio, la varianza, o piรน in generale, la media di una qualunque fun-

zione misurabile ๐‘ฆ = ๐‘“(๐‘ ):

๐ธ{๐‘“(๐‘ )} = ๐‘“(๐‘ ) = โˆซ ๐‘“(๐‘ฅ)๐‘๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

(19.1.1)

รˆ opportuno qui sottolineare che la media espressa dalla

(19.1.1) dipende in genere dall'istante di osservazione ๐‘ก.

Se ๐‘“(๐‘ ) = ๐‘ ๐‘› (con ๐‘› intero) dalla (19.1.1) si ottiene il valore

medio statistico della potenza ๐‘›-esima del segnale:

๐‘š๐‘›(๐‘ก) = โˆซ ๐‘ฅ๐‘›๐‘๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

(19.1.2)

che costituisce il momento ๐‘› -esimo del primo ordine del segnale

๐‘ (๐‘ก).

In particolare risulta:

๐‘š0(๐‘ก) = โˆซ ๐‘๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

= 1 (19.1.3)

Per ๐‘› = 1 si ha:

๐‘š(๐‘ก) = ๐ธ{๐‘ (๐‘ก, ํœ)} = ๏ฟฝ๏ฟฝ = โˆซ ๐‘ฅ๐‘๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

(19.1.4)

che prende il nome di valore medio statistico del segnale.

Per ๐‘› = 2 si deduce:

๐‘š2(๐‘ก) = ๐ธ{๐‘ 2(๐‘ก, ํœ)} = ๐‘ 2 = โˆซ ๐‘ฅ2๐‘๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅ

โˆž

โˆ’โˆž

(19.1.5)

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326 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

che rappresenta il valore quadratico medio statistico del segnale.

La varianza del segnale vale evidentemente:

๐œ‡2(๐‘ก) = ๐ธ{(๐‘ (๐‘ก, ํœ) โˆ’ ๐‘š(๐‘ก))2} = (๐‘  โˆ’ ๐‘š(๐‘ก))2

= โˆซ (๐‘ฅ โˆ’๐‘š(๐‘ก))2๐‘๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

(19.1.6)

Piรน in generale il suo momento centrale ๐‘› -esimo del primo ordine

vale:

๐œŽ๐‘›(๐‘ก) โ‰ก ๐œ‡๐‘›(๐‘ก) = โˆซ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘š(๐‘ก))๐‘›๐‘๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

(19.1.7)

risulta:

๐œŽ2(๐‘ก) = ๐‘š2(๐‘ก) โˆ’ ๐‘š2(๐‘ก) (19.1.8)

Nel caso in cui la generica manifestazione del segnale ๐‘ (๐‘ก, ๐’)

dipenda dal valore assunto da un vettore aleatorio ๐’ a ๐‘› dimensioni,

il valore medio di una qualunque funzione ๐‘“(๐‘ (๐‘ก, ๐’)) misurabile puรฒ

essere calcolato anche utilizzando il teorema della:

๐‘“(๐‘ ) = โˆซ ๐‘“(๐‘ฅ)๐‘๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ ๐‘“(๐‘ (๐‘ก, ๐‘ง)๐‘๐’(๐’›)๐‘‘๐’›โ„๐‘›

(19.1.9)

dove ๐‘๐’(๐’›) denota la densitร  di probabilitร  congiunta associata al

vettore aleatorio ๐’ da cui dipende il segnale.

In generale dato un segnale ๐‘  = ๐‘ (๐‘ก, ํœ) fissata ๐‘› upla ๐‘ก1, โ€ฆ , ๐‘ก๐‘›

viene individuato un vettore ๐’” di variabili aleatorie definite su di uno

stesso esperimento casuale le cui componenti sono rispettivamente:

๐‘ 1 = ๐‘ (๐‘ก1, ํœ), โ€ฆ , ๐‘ ๐‘› = ๐‘ (๐‘ก๐‘›, ํœ). Data una generica funzione misurabile

๐‘“(๐’”) definita in uno spazio ๐‘›-dimensionale รจ possibile definire la

media statitistica di tale funzione ponendo:

๐‘“(๐‘ ) = ๐ธ{๐‘“(๐‘ )} = โˆซ ๐‘“(๐‘ฅ)๐‘๐‘ 1๐‘ 2โ€ฆ๐‘ ๐‘›(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅโ„๐‘›

(19.1.10)

dove ๐‘๐‘ 1๐‘ 2โ€ฆ๐‘ ๐‘›(๐’™) indica la densitร  di probabilitร  di ordine ๐‘› del se-

gnale.

In particolare, considerando solo due istanti di tempo ๐‘ก1, ๐‘ก2 la

precedente si riduce alla:

๐‘“(๐‘ 1, ๐‘ 2) = โˆฌ ๐‘“(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2)๐‘๐‘ 1๐‘ 2(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2)๐‘‘๐‘ฅ1๐‘‘๐‘ฅ2โ„2

(19.1.11)

Page 339: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 19 โ€“ Valori Medi, Stazionarietร  ed Ergodicitร  - 327

Se in particolare ๐‘“(๐‘ 1, ๐‘ 2) = ๐‘ 1๐‘๐‘ 2๐‘ž dalla (19.1.11) si ottiene il

momento (๐‘ + ๐‘ž)-esimo del secondo ordine del segnale:

๐‘š๐‘๐‘ž(๐‘ก1, ๐‘ก2) = ๐‘ 1๐‘๐‘ 2๐‘ž = ๐ธ{๐‘ 1

๐‘๐‘ 2๐‘ž}

= โˆฌ ๐‘ฅ1๐‘๐‘ฅ2๐‘ž๐‘๐‘ 1๐‘ 2(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2)๐‘‘๐‘ฅ1๐‘‘๐‘ฅ2

โ„2 (19.1.12)

che in particolare per ๐‘ = ๐‘ž = 0 si riduce alla:

๐‘š00(๐‘ก1, ๐‘ก2) = โˆฌ ๐‘๐‘ 1๐‘ 2(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2)๐‘‘๐‘ฅ1๐‘‘๐‘ฅ2โ„2

= 1 (19.1.13)

e per ๐‘ = ๐‘ž = 1 fornisce la cosiddetta funzione di autocorrelazione

๐‘…๐‘ (๐‘ก1, ๐‘ก2) del segnale:

๐‘…๐‘ (๐‘ก1, ๐‘ก2) โ‰ก ๐‘š11(๐‘ก1, ๐‘ก2) = โˆฌ ๐‘ฅ1๐‘ฅ2๐‘๐‘ 1๐‘ 2(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2)๐‘‘๐‘ฅ1๐‘‘๐‘ฅ2โ„2

(19.1.14)

Si possono anche definire dei momenti centrali (๐‘ + ๐‘ž)-esimi

del secondo ordine:

๐œ‡๐‘๐‘ž(๐‘ก1, ๐‘ก2) = (๐‘ 1 โˆ’๐‘š(๐‘ก1))๐‘(๐‘ 2 โˆ’๐‘š(๐‘ก2))

๐‘ž

= โˆฌ โˆซ (๐‘ฅ1 โˆ’๐‘š(๐‘ก1))๐‘(๐‘ฅ2

โˆž

โˆ’โˆžR2

โˆ’๐‘š(๐‘ก2))๐‘ž๐‘๐‘ 1๐‘ 2(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2)๐‘‘๐‘ฅ1๐‘‘๐‘ฅ2

(19.1.15)

in particolare il momento centrale 11 prende il nome di autocova-

rianza e risulta:

๐œŽ๐‘ (๐‘ก1, ๐‘ก2) โ‰ก (๐‘ 1 โˆ’๐‘š(๐‘ก1))(๐‘ 2 โˆ’๐‘š(๐‘ก2))

= ๐‘ 1๐‘ 2 โˆ’ ๐‘ 1 โ‹… ๐‘š(๐‘ก2) โˆ’ ๐‘š(๐‘ก1) โ‹… ๐‘ 2 +๐‘š(๐‘ก1)๐‘š(๐‘ก2)= ๐‘ 1๐‘ 2 โˆ’ ๐‘š(๐‘ก1)๐‘š(๐‘ก2) = ๐‘…๐‘ (๐‘ก1, ๐‘ก2) โˆ’ ๐‘ 1 โ‹… ๐‘ 2

(19.1.16)

I momenti centrali ๐œ‡20 e ๐œ‡02 individuano la varianza del segna-

le valutata negli istanti ๐‘ก1 e ๐‘ก2 rispettivamente:

a) ๐œ‡20(๐‘ก1) = ๐œŽ2(๐‘ก1) = (๐‘ 1 โˆ’๐‘š(๐‘ก1))2

(19.1.17) b) ๐œ‡02(๐‘ก2) = ๐œŽ2(๐‘ก2) = (๐‘ 2 โˆ’๐‘š(๐‘ก2))

2

Anche nel caso di due segnali aleatori distinti ๐‘ฅ(๐‘ก) e ๐‘ฆ(๐‘ก), si

puรฒ definire il valore medio statistico della funzione ๐‘“(๐‘ฅ1, ๐‘ฆ2) me-

diante la:

๐‘“(๐‘ฅ1, ๐‘ฆ2) = ๐ธ{๐‘“(๐‘ฅ1, ๐‘ฆ2)} = โˆฌ ๐‘“(๐œ‰, ํœ‚)๐‘๐‘ฅ1๐‘ฆ2(๐œ‰, ํœ‚)๐‘‘๐œ‰๐‘‘ํœ‚โ„2

(19.1.18)

Page 340: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

328 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

essendo rispettivamente ๐‘ฅ1 e ๐‘ฆ1 le variabili aleatorie ๐‘ฅ(๐‘ก1) e ๐‘ฆ(๐‘ก2) e

dove ๐‘๐‘ฅ1๐‘ฆ2(๐œ‰, ํœ‚) denota la densitร  di probabilitร  congiunta dei due

segnali.

Il momento incrociato (๐‘ + ๐‘ž)-esimo รจ allora definito dalla:

๐‘ฅ1๐‘๐‘ฆ2๐‘ž = ๐ธ{๐‘ฅ1

๐‘๐‘ฆ2๐‘ž} = โˆฌ ๐œ‰๐‘ํœ‚๐‘ž๐‘๐‘ฅ1๐‘ฆ2(๐œ‰, ํœ‚)๐‘‘๐œ‰๐‘‘ํœ‚

โ„2 (19.1.19)

Qualora i segnali siano statisticamente indipendenti risulta evidente-

mente:

๐‘ฅ1๐‘๐‘ฆ2๐‘ž = ๐‘ฅ1

๐‘ โ‹… ๐‘ฆ2๐‘ž (19.1.20)

cioรจ il valore medio del binomio ๐‘ฅ1๐‘๐‘ฆ2๐‘ž

si ottiene dal prodotto dei va-

lori medi delle quantitร  ๐‘ฅ1๐‘ e ๐‘ฆ2

๐‘ž

Se si pone nella (19.1.19) ๐‘ = ๐‘ž = 1 si ha:

๐‘…๐‘ฅ๐‘ฆ(๐‘ก1, ๐‘ก2) = ๐‘ฅ1๐‘ฆ2 = ๐ธ{๐‘ฅ1๐‘ฆ2} = โˆฌ ๐œ‰ํœ‚๐‘๐‘ฅ1๐‘ฆ2(๐œ‰, ํœ‚)๐‘‘๐œ‰๐‘‘ํœ‚โ„2

(19.1.21)

che costituisce la funzione di correlazione incrociata o di mutua correlazione

associata ai due segnali.

I momenti centrali (๐‘ + ๐‘ž)-esimi incrociati, sono definiti come

segue:

(๐‘ฅ1 โˆ’ ๏ฟฝ๏ฟฝ1)๐‘(๐‘ฆ2 โˆ’ ๏ฟฝ๏ฟฝ2)

๐‘ž = ๐ธ{(๐‘ฅ1 โˆ’ ๏ฟฝ๏ฟฝ1)๐‘(๐‘ฆ2 โˆ’ ๏ฟฝ๏ฟฝ2)

๐‘ž}

= โˆฌ (๐‘ฅ โˆ’ ๏ฟฝ๏ฟฝ1)๐‘(๐‘ฆ โˆ’ ๏ฟฝ๏ฟฝ2)

๐‘ž๐‘๐‘ฅ1๐‘ฆ2(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)๐‘‘๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฆโ„2

(19.1.22)

Ponendo ๐‘ = ๐‘ž = 1 si ha:

๐œŽ๐‘ฅ๐‘ฆ(๐‘ก1, ๐‘ก2) โ‰ก (๐‘ฅ1 โˆ’ ๏ฟฝ๏ฟฝ1)(๐‘ฆ2 โˆ’ ๏ฟฝ๏ฟฝ2)

= ๐ธ{(๐‘ฅ1 โˆ’ ๏ฟฝ๏ฟฝ1)(๐‘ฆ2 โˆ’ ๏ฟฝ๏ฟฝ2)}

= โˆฌ (๐‘ฅ โˆ’ ๏ฟฝ๏ฟฝ1)(๐‘ฆ โˆ’ ๏ฟฝ๏ฟฝ2)๐‘๐‘ฅ1๐‘ฆ2(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)๐‘‘๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฆโ„2

(19.1.23)

che รจ la covarianza mutua. Si ottiene facilmente:

๐œŽ๐‘ฅ๐‘ฆ(๐‘ก1, ๐‘ก2) = (๐‘ฅ1 โˆ’ ๏ฟฝ๏ฟฝ1)(๐‘ฆ2 โˆ’ ๏ฟฝ๏ฟฝ2)

= ๐‘ฅ1 โ‹… ๐‘ฆ2 โˆ’ ๐‘ฅ1 โ‹… ๏ฟฝ๏ฟฝ2 โˆ’ ๏ฟฝ๏ฟฝ1 โ‹… ๐‘ฆ2 + ๏ฟฝ๏ฟฝ1 โ‹… ๏ฟฝ๏ฟฝ2

= ๐‘…๐‘ฅ๐‘ฆ(๐‘ก1, ๐‘ก2) โˆ’ ๏ฟฝ๏ฟฝ1 โ‹… ๏ฟฝ๏ฟฝ2 (19.1.24)

Nel caso in cui i segnali siano statisticamente indipendenti ri-

sulta ๐‘…๐‘ฅ๐‘ฆ(๐‘ก1, ๐‘ก2) = ๏ฟฝ๏ฟฝ1 โ‹… ๏ฟฝ๏ฟฝ2, quindi:

๐œŽ๐‘ฅ๐‘ฆ(๐‘ก1, ๐‘ก2) = 0 (19.1.25)

Page 341: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 19 โ€“ Valori Medi, Stazionarietร  ed Ergodicitร  - 329

Esempio 19.1

Si prenda in considerazione il segnale ๐‘ (๐‘ก, ๐œ‘) = ๐‘๐‘œ๐‘ (2๐œ‹๐‘“0๐‘ก + ๐œ‘)

analizzato nell'Esempio 18.2. Il suo valore medio risulta:

๏ฟฝ๏ฟฝ = โˆซ ๐‘ฅ๐‘๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

=1

๐œ‹โˆซ

๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฅ

โˆš1 โˆ’ ๐‘ฅ2

1

โˆ’1

che ponendo ๐‘ฅ = ๐‘๐‘œ๐‘ ํœƒ si scrive

๏ฟฝ๏ฟฝ =1

๐œ‹โˆซ cosํœƒ๐‘‘ํœƒ๐œ‹

0

= 0

Il suo valore quadratico medio vale:

๐‘ 2 = โˆซ ๐‘ฅ2๐‘๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

=1

๐œ‹โˆซ

๐‘ฅ2๐‘‘๐‘ฅ

โˆš1 โˆ’ ๐‘ฅ2

1

โˆ’1

๐‘ 2 =1

๐œ‹โˆซ cos2ํœƒ๐‘‘ํœƒ๐œ‹

0

=1

2

Agli stessi risultati รจ possibile pervenire utilizzando la (19.1.9). Si ha

infatti:

๏ฟฝ๏ฟฝ = โˆซ ๐‘ (๐‘ก, ํœƒ)๐‘๐œ‘(ํœƒ)๐‘‘ํœƒโˆž

โˆ’โˆž

=1

2๐œ‹โˆซ cos(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก + ํœƒ)๐‘‘ํœƒ2๐œ‹

0

= 0

e

๐‘ 2 = โˆซ ๐‘ 2(๐‘ก, ํœƒ)๐‘๐œ‘(ํœƒ)๐‘‘ํœƒโˆž

โˆ’โˆž

=1

2๐œ‹โˆซ cos2(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก + ํœƒ)๐‘‘ํœƒ2๐œ‹

0

=1

2

Stazionarietร . 19.2 -

Un segnale aleatorio ๐‘ (๐‘ก) si dice stazionario in senso stretto se le

sue funzioni di probabilitร , di qualsiasi ordine dipendono esclusiva-

mente dalla posizione relativa degli istanti in cui il segnale viene os-

servato. Cioรจ se risulta:

๐‘๐‘ (๐‘ก1)โ€ฆ๐‘ (๐‘ก๐‘›)(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2, โ€ฆ , ๐‘ฅ๐‘›)

= ๐‘๐‘ (๐‘ก1+๐‘‡)โ€ฆ๐‘ (๐‘ก๐‘›+๐‘‡)(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2, โ€ฆ , ๐‘ฅ๐‘›);

โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• โ‹€ โˆ€ T โˆˆ โ„

(19.2.1)

Se la precedente vale solo ๐‘› โ‰ค ๐‘˜, il segnale si dice stazionario

all'ordine ๐‘˜.

La condizione (19.2.1)comporta che la densitร  di probabilitร 

di ordine ๐‘› dipenda dalle differenze ๐œ๐‘–๐‘— = ๐‘ก๐‘– โˆ’ ๐‘ก๐‘— fra gli istanti di os-

servazione.

In particolare per ๐‘› = 2 si ha:

๐‘๐‘ (๐‘ก1)๐‘ (๐‘ก2)(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2) = ๐‘๐‘ (๐‘กโ€ฒ1)๐‘ (๐‘กโ€ฒ2)(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2) (19.2.2)

Page 342: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

330 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

ogniqualvolta risulti ๐‘ก2 โˆ’ ๐‘ก1 = ๐‘กโ€ฒ2 โˆ’ ๐‘กโ€ฒ1, mentre la densitร  di probabi-

litร  del primo ordine deve risultare indipendente dal tempo:

๐‘๐‘ (๐‘ฅ) = ๐‘๐‘ (๐‘ก1)(๐‘ฅ) = ๐‘๐‘ (๐‘ก2)(๐‘ฅ); โˆ€๐‘ก1, ๐‘ก2 โˆˆ โ„ (19.2.3)

Si noti che dal momento che la densitร  di probabilitร  di ordine

๐‘› โˆ’ 1 puรฒ essere dedotta da quella di ordine ๐‘› la stazionarietร  all'or-

dine ๐‘˜ comporta quella agli ordini inferiori, ma non il viceversa.

Una classe importante di segnali รจ costituita dai segnali stazio-

nari in senso lato. Un segnale si dice stazionario in senso lato se risulta:

a) ๐‘ (๐‘ก, ํœ) = cost (19.2.4)

b) ๐‘ (๐‘ก1, ํœ)๐‘ (๐‘ก2, ํœ) = ๐‘…๐‘ (๐‘ก2 โˆ’ ๐‘ก1)

cioรจ se il suo valore medio รจ indipendente dal tempo e se la sua l'au-

tocorrelazione dipende solo dalla differenza fra gli istanti ๐‘ก2 e ๐‘ก1.

E' evidente che, essendo ๐‘…๐‘ (0) = ๐‘ 2(๐‘ก) la stazionarietร  in sen-

so lato implica che anche il valore quadratico medio non dipende da

๐‘ก.

E' opportuno osservare che un segnale stazionario in senso

stretto lo รจ anche in senso lato, ma non viceversa giacchรฉ, ad esem-

pio, l'invarianza temporale del momento del secondo ordine non im-

plica necessariamente quella della corrispondente densitร  di probabi-

litร .

Esempio 19.2

Si prenda in esame il segnale ๐‘ (๐‘ก) definito dalla:

๐‘ (๐‘ก) = ๐ดcos๐œ”๐‘ก + ๐ตsin๐œ”๐‘ก

essendo ๐ด e ๐ต due quantitร  aleatorie tali che risulti:

๐ด2 = ๐ต2 = ๐œŽ2

๐ด๐ต = 0

Il valor medio di ๐‘ (๐‘ก) vale:

๐‘ (๐‘ก) = ๏ฟฝ๏ฟฝcos๐œ”๐‘ก + ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘ ๐‘–๐‘›๐œ”๐‘ก

Per quanto riguarda la funzione di autocorrelazione, si ha:

๐‘ (๐‘ก1)๐‘ (๐‘ก2)

= ๐ด2 cos๐œ”๐‘ก1cos๐œ”๐‘ก2 + ๐ต2 sin๐œ”๐‘ก1sin๐œ”๐‘ก2 + ๐ด๐ต [cos๐œ”๐‘ก1sin๐œ”๐‘ก2 + sin๐œ”๐‘ก1cos๐œ”๐‘ก2]

che per le ipotesi fatte, diventa:

๐‘ (๐‘ก1)๐‘ (๐‘ก2) = ๐œŽ2[cos๐œ”๐‘ก1cos๐œ”๐‘ก2 + sin๐œ”๐‘ก1sin๐œ”๐‘ก2] = ๐œŽ2cos(๐œ”(๐‘ก2 โˆ’ ๐‘ก1))

Un tale segnale รจ quindi stazionario in senso lato solo se risulta

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CAPITOLO - 19 โ€“ Valori Medi, Stazionarietร  ed Ergodicitร  - 331

๏ฟฝ๏ฟฝ = ๏ฟฝ๏ฟฝ = 0

Esempio 19.3

Si consideri il segnale

๐‘ (๐‘ก) = cos(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก + ๐œ‘)

in cui ๐œ‘ รจ una variabile aleatoria definita in (0,2๐œ‹) e caratterizzata dalla

densitร  di probabilitร  del primo ordine ๐‘๐œ‘(ํœƒ).

Per determinare le condizioni sotto le quali ๐‘ (๐‘ก) รจ un segnale stazio-

nario in senso stretto, si prenda in considerazione la sua funzione ca-

ratteristica di ordine ๐‘›, che individua univocamente la sua densitร  di pro-

babilitร  di ordine ๐‘›

Detto ๐’• = {๐‘ก1, ๐‘ก2, โ€ฆ , ๐‘ก๐‘›} un insieme di ๐‘› istanti di tempo, si ha:

๐น๐‘›(๐‘ข, ๐‘ก) = exp[๐‘—โˆ‘๐‘ข๐‘–cos(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก๐‘– + ๐œ‘)

๐‘›

๐‘–=1

]

= โˆซ exp[๐‘—โˆ‘๐‘ข๐‘–cos(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก๐‘– + ํœƒ)

๐‘›

๐‘–=1

]๐‘๐œ‘(ํœƒ)๐‘‘ํœƒ

2๐œ‹

0

per ๐’•ยด = {๐‘ก1 + ๐‘‡, ๐‘ก2 + ๐‘‡,โ€ฆ , ๐‘ก๐‘› + ๐‘‡} la funzione caratteristica vale:

๐นโ€ฒ๐‘›(๐‘ข, ๐‘ก) = โˆซ e๐‘—โˆ‘ ๐‘ข๐‘–cos(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก๐‘–+๐œƒ+2๐œ‹๐‘“0๐‘‡)๐‘›

๐‘–=1 ๐‘๐œ‘(ํœƒ)๐‘‘ํœƒ2๐œ‹

0

= โˆซ e๐‘—โˆ‘ ๐‘ข๐‘–cos(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก๐‘–+๐œƒโ€ฒ)๐‘›

๐‘–=1 ๐‘๐œ‘(ํœƒโ€ฒ + 2๐œ‹๐‘“0๐‘‡)๐‘‘ํœƒ2๐œ‹(1+๐‘“0๐‘‡)

2๐œ‹๐‘“0๐‘‡

Affinchรฉ il segnale risulti stazionario in senso stretto ๐น๐‘›(๐’–, ๐’•) =

๐นโ€ฒ๐‘›(๐’–, ๐’•โ€ฒ) in corrispondenza ad ogni indice ๐‘›, per ogni possibile scelta di

๐’• e per ogni valore di ๐‘‡.

dato che la quantitร 

e๐‘—โˆ‘ ๐‘ข๐‘–cos(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก๐‘–+๐œƒ)๐‘›

๐‘–=1

indipendentemente da ๐‘› รจ periodica di periodo 2๐œ‹ in ํœƒ si intuisce fa-

cilmente che lโ€™unica densitร  di probabilitร  ๐‘๐œ‘(ํœƒ). che rende il segnale in

questione stazionario in senso stretto รจ quella uniforme deve cioรจ essere:

๐‘๐œ‘(ํœƒ) =1

2๐œ‹โŠ“ (

ํœƒ โˆ’ ๐œ‹

2๐œ‹)

Esempio 19.4

Si consideri il seguente segnale aleatorio

Page 344: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

332 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

๐‘ (๐‘ก) =

{

cos2๐œ‹๐‘“0๐‘ก + sin2๐œ‹๐‘“0๐‘กPr =

1

3

โˆ’sin2๐œ‹๐‘“0๐‘กPr =1

3

โˆ’cos2๐œ‹๐‘“0๐‘กPr =1

3

Ciรฒ significa lo spazio dei risultati รจ partizionato in tre eventi E1, E2, E3,

equiprobabili, ai quali sono associate le tre possibili manifestazioni.

Il segnale qui considerato รจ stazionario in senso lato. Infatti, il suo va-

lor medio:

๐‘ (๐‘ก) =1

3(cos2๐œ‹๐‘“0๐‘ก + sin2๐œ‹๐‘“0๐‘ก) โˆ’

1

3sin2๐œ‹๐‘“0๐‘ก โˆ’

1

3cos2๐œ‹๐‘“0๐‘ก = 0

รจ nullo (quindi indipendente da ๐‘ก) e la sua funzione di autocorrelazione:

๐‘ (๐‘ก1)๐‘ (๐‘ก2)

=1

3(cos2๐œ‹๐‘“0๐‘ก1 + sin2๐œ‹๐‘“0๐‘ก1)(cos2๐œ‹๐‘“0๐‘ก2 + sin2๐œ‹๐‘“0๐‘ก2) โˆ’

1

3sin2๐œ‹๐‘“0๐‘ก1sin2๐œ‹๐‘“0๐‘ก2

โˆ’1

3cos2๐œ‹๐‘“0๐‘ก1cos2๐œ‹๐‘“0๐‘ก2 =

1

3(cos2๐œ‹๐‘“0๐‘ก1sin2๐œ‹๐‘“0๐‘ก2 + sin2๐œ‹๐‘“0๐‘ก1cos2๐œ‹๐‘“0๐‘ก2)

=1

3cos(2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก1 โˆ’ ๐‘ก2))

dipende soltanto dalla differenza ๐‘ก2 โˆ’ ๐‘ก1.

Il segnale perรฒ non รจ stazionario in senso stretto. Per rendersene con-

to, basta osservare che la densitร  di probabilitร  del primo ordine all'istan-

te ๐‘ก = 0 vale:

๐‘๐‘ (0)(๐‘ฅ) =1

3๐›ฟ(๐‘ฅ โˆ’ 1) +

1

3๐›ฟ(๐‘ฅ) +

1

3๐›ฟ(๐‘ฅ + 1)

e

๐‘๐‘ (

1

8๐‘“0)(๐‘ฅ) =

2

3๐›ฟ(๐‘ฅ +

โˆš2

2) +

1

3๐›ฟ(๐‘ฅ โˆ’ โˆš2)

quindi:

๐‘๐‘ (0)(๐‘ฅ) โ‰  ๐‘๐‘ (

1

8๐‘“0)(๐‘ฅ)

Medie temporali ed ergodicitร . 19.3 -

Le considerazioni sin qui svolte mostrano come รจ possibile ot-

tenere delle informazioni su un segnale aleatorio a partire dall'insie-

me delle sue manifestazioni note che siano le sue funzioni di proba-

bilitร .

In molti casi si hanno a disposizione alcune manifestazioni del

segnale (se non una sola) dalle quale possono dedursi solo quelle in-

Page 345: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 19 โ€“ Valori Medi, Stazionarietร  ed Ergodicitร  - 333

formazioni che si ottengono utilizzando le cosiddette medie tempo-

rali.

Se ๐‘ (๐‘ก) denota la generica manifestazione di un segnale aleato-

rio, la quantitร 

< ๐‘“[๐‘ (๐‘ก)] >= lim๐‘‡โ†’โˆž

1

2๐‘‡โˆซ ๐‘“[๐‘ (๐‘ก)]๐‘‘๐‘ก๐‘‡

โˆ’๐‘‡

(19.3.1)

se esiste, costituisce la media temporale della funzione f (s) associata al-

la manifestazione ๐‘ (๐‘ก) del segnale.

Dalla (19.3.1) si possono in particolare dedurre il valore medio

temporale:

< ๐‘ (๐‘ก) >= lim๐‘‡โ†’โˆž

1

2๐‘‡โˆซ ๐‘ (๐‘ก)๐‘‘๐‘ก๐‘‡

โˆ’๐‘‡

(19.3.2)

e il valore quadratico medio temporale:

< ๐‘ 2(๐‘ก) >= lim๐‘‡โ†’โˆž

1

2๐‘‡โˆซ ๐‘ 2(๐‘ก)๐‘‘๐‘ก๐‘‡

โˆ’๐‘‡

(19.3.3)

che esprime la potenza media specifica associata alla manifestazione

๐‘ (๐‘ก).

Piรน in generale si puรฒ definire una media temporale associata

alla funzione ๐‘“[๐‘ (๐‘ก1 + ๐‘ก), ๐‘ (๐‘ก2 + ๐‘ก), โ€ฆ , ๐‘ (๐‘ก๐‘› + ๐‘ก)]

< ๐‘“[๐‘ (๐‘ก1 + ๐‘ก), ๐‘ (๐‘ก2 + ๐‘ก), โ€ฆ , ๐‘ (๐‘ก๐‘› + ๐‘ก)] >

= lim๐‘‡โ†’โˆž

1

2๐‘‡โˆซ ๐‘“[๐‘ (๐‘ก1 + ๐‘ก), ๐‘ (๐‘ก2 + ๐‘ก), โ€ฆ , ๐‘ (๐‘ก๐‘› + ๐‘ก)]๐‘‘๐‘ก๐‘‡

โˆ’๐‘‡

(19.3.4)

Dalla precedente in particolare discende l'espressione della

funzione di autocorrelazione in media temporale (7.6.1), per segnali reali. รˆ

infatti:

๐›พ๐‘ (๐œ) =< ๐‘ (๐‘ก)๐‘ (๐‘ก + ๐œ) >= lim๐‘‡โ†’โˆž

1

2๐‘‡โˆซ ๐‘ (๐‘ก)๐‘ (๐‘ก + ๐œ)๐‘‘๐‘ก๐‘‡

โˆ’๐‘‡

(19.3.5)

E' da notare che, in ogni caso, le medie temporali, fornite dalla

(19.3.2)o dalla (19.3.4), definiscono altrettante variabili aleatorie, dato

che esse dipendono dalla manifestazione del segnale che si prende in

considerazione. รˆ quindi possibile definire un loro valore medio sta-

tistico a mezzo della:

Page 346: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

334 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

< ๐‘“[๐‘ (๐‘ก)] > = lim๐‘‡โ†’โˆž

1

2๐‘‡โˆซ ๐‘“[๐‘ (๐‘ก)]๐‘‘๐‘ก๐‘‡

โˆ’๐‘‡

= lim๐‘‡โ†’โˆž

1

2๐‘‡โˆซ ๐‘“[๐‘ (๐‘ก)] ๐‘‘๐‘ก๐‘‡

โˆ’๐‘‡

=< ๐‘“[๐‘ (๐‘ก)] >

(19.3.6)

In maniera analoga, partendo dalla (19.3.4) si perviene alla:

< ๐‘“[๐‘ (๐‘ก1 + ๐‘ก), ๐‘ (๐‘ก2 + ๐‘ก), โ€ฆ , ๐‘ (๐‘ก๐‘› + ๐‘ก)] > =< ๐‘“[๐‘ (๐‘ก1 + ๐‘ก), ๐‘ (๐‘ก2 + ๐‘ก), โ€ฆ , ๐‘ (๐‘ก๐‘› + ๐‘ก)] > (19.3.7)

Le (19.3.6) e (19.3.7) stanno a significare che le operazioni di

media temporale e media statistica possono essere tra loro permuta-

te.

Le medie temporali, di per sรจ, non permettono dunque di ot-

tenere delle informazioni di natura statistica del segnale. Tuttavia esi-

ste una particolare classe di segnali per i quali ogni proprietร  statistica

puรฒ essere determinata a partire da una qualsiasi manifestazione. In

altri termini, qualsiasi operazione di media effettuata nel tempo su

una generica manifestazione conduce agli stessi risultati se si effettua

l'operazione analoga sulla base dell'insieme delle manifestazioni.

Un segnale di tale tipo si dice ergodico. In genere si รจ interessati

ad un particolare caratteristica del segnale (valore medio, potenza

specifica o autocorrelazione). Di conseguenza l'ergodicitร  viene for-

mulata limitatamente alla caratteristica dโ€™interesse in quanto se un se-

gnale aleatorio รจ ergodico rispetto a certi parametri puรฒ non esserlo

per altri.

In particolare un segnale si dice ergodico in media quando ri-

sulta:

lim๐‘‡โ†’โˆž

1

2๐‘‡โˆซ ๐‘ (๐‘ก)๐‘‘๐‘ก๐‘‡

โˆ’๐‘‡

= โˆซ ๐‘ฅ๐‘๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

(19.3.8)

si dice ergodico in media quadratica se:

lim๐‘‡โ†’โˆž

1

2๐‘‡โˆซ ๐‘ 2(๐‘ก)๐‘‘๐‘ก๐‘‡

โˆ’๐‘‡

= โˆซ ๐‘ฅ2๐‘๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

(19.3.9)

La condizione di ergodicitร  limitata alla funzione di autocorre-

lazione conduce alla:

๐›พ๐‘ (๐œ) = ๐‘…๐‘ (๐œ) (19.3.10)

cioรจ:

Page 347: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 19 โ€“ Valori Medi, Stazionarietร  ed Ergodicitร  - 335

lim๐‘‡โ†’โˆž

1

2๐‘‡โˆซ ๐‘ (๐‘ก)๐‘ (๐‘ก + ๐œ)๐‘‘๐‘ก๐‘‡

โˆ’๐‘‡

=โˆฌ ๐‘ฅ๐‘ฆ๐‘๐‘ 1๐‘ 2(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)๐‘‘๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฆR2

(19.3.11)

In questo caso si puรฒ affermare che un segnale ergodico in au-

tocorrelazione deve presentare una media temporale ๐›พ๐‘ (๐œ) indipen-

dente dalla manifestazione e una media statistica ๐‘…๐‘ (๐œ) dipendente

solo dalla differenza ๐œ tra gli istanti di osservazione ๐‘ก2 e ๐‘ก1.

Piรน in generale, affinchรฉ la condizione di ergodicitร  sia soddi-

sfatta, e necessario che le medie temporali non dipendano dalla par-

ticolare manifestazione sulla quale vengono calcolate, e che le medie

statistiche non dipendano dallโ€™origine dei tempi, ma soltanto dalla

posizione relativa tra gli istanti in cui la media statistica รจ valutata.

Ciรฒ significa che una condizione necessaria per lโ€™ergodicitร  รจ la sta-

zionarietร  in senso stretto.

Per meglio comprendere il significato della condizione di er-

godicitร  si prenda in considerazione la (19.3.1), l'integrale che vi

compare, puรฒ essere valutato dividendo l'intervallo [โˆ’๐‘‡, ๐‘‡] in ๐‘› su-

bintervalli contigui di uguale ampiezza e quindi passando al limite

per ๐‘› โ†’ โˆž:

< ๐‘“(๐‘ (๐‘ก)) >= lim๐‘›โ†’โˆž

1

2๐‘‡โˆ‘

2๐‘‡

๐‘›๐‘“ (๐‘  (โˆ’๐‘‡ +

๐‘–

๐‘›2๐‘‡))

๐‘›

๐‘–=1

= lim๐‘›โ†’โˆž

1

๐‘›โˆ‘๐‘“(๐‘  (โˆ’๐‘‡ +

๐‘–

๐‘›2๐‘‡))

๐‘›

๐‘–=1

(19.3.12)

D'altra parte la media statistica puรฒ essere espressa in una

forma analoga alla (19.3.12) mediante la:

๐‘“[๐‘ ] = lim๐‘›โ†’โˆž

1

๐‘›โˆ‘๐‘“(๐‘ (๐‘ก, ๐œ๐‘–))

๐‘›

๐‘–=1

(19.3.13)

cioรจ come limite della somma dei valori assunti all'istante ๐‘ก da un in-

sieme di ๐‘› manifestazioni del segnale divisa per ๐‘› al tendere di ๐‘› al-

l'infinito.

La condizione di ergodicitร  in media comporta l'uguaglianza

dei limiti (19.3.12) e (19.3.13) quindi il poter assumere per ๐‘› suffi-

cientemente elevato

Page 348: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

336 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

1

๐‘›โˆ‘๐‘“ (๐‘  (โˆ’๐‘‡ + ๐‘–

2๐‘‡

๐‘›))

๐‘›

๐‘–=1

โ‰…1

๐‘›โˆ‘๐‘“(๐‘ (๐‘ก, ๐œ๐‘–))

๐‘›

๐‘–=1

(19.3.14)

Ciรฒ significa che la somma dei valori assunti dalla funzione ๐‘“(โ‹…) in

corrispondenza all'insieme dei valori assunti all'istante ๐‘ก dalle possibi-

li manifestazioni del segnale, eguaglia la somma dei valori assunti dal-

la funzione valutata in corrispondenza di una qualsiasi manifestazio-

ne al variare del tempo.

In altri termini i valori che assume al variare del tempo una

manifestazione, si ritrovano in una qualsiasi altra, con la stessa fre-

quenza, seppur disposti in un diverso ordine temporale. Ogni mani-

festazione puรฒ quindi pensarsi ottenuta โ€œrimescolandoโ€ i valori che

tutte le manifestazioni assumono in un istante qualsiasi.

Ergodicitร  delle funzioni di probabilitร  del primo 19.4 - ordine.

L'ipotesi di ergodicitร ,

discussa nel precedente para-

grafo, puรฒ consentire di valuta-

re le funzioni di probabilitร  del

primo ordine di un segnale

aleatorio pur disponendo sol-

tanto di una manifestazione di

esso.

A tale scopo si consideri

un segnale aleatorio ๐‘ (๐‘ก, ํœ) e sia ๐‘ฅ un reale qualsiasi. A ๐‘ (๐‘ก, ํœ) si asso-

ci un nuovo segnale ๐‘ค๐‘ฅ(๐‘ (๐‘ก, ํœ)) cosรฌ definito:

๐‘ค๐‘ฅ(๐‘ (๐‘ก, ํœ)) = u(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ (๐‘ก, ํœ)) (19.4.1)

Il segnale ๐‘ค๐‘ฅ(๐‘ (๐‘ก, ํœ)) in ogni istante individua una variabile

aleatoria di tipo discreto, che puรฒ assumere solo valori appartenenti

all'insieme {0,1} comโ€™รจ indicato nella Fig. 19.1.

Risulta:

Pr{๐‘ค๐‘ฅ(๐‘ (๐‘ก, ํœ)) = 0} = Pr{๐‘ (๐‘ก, ํœ) > ๐‘ฅ}

Pr{๐‘ค๐‘ฅ(๐‘ (๐‘ก, ํœ)) = 1} = Pr{๐‘ (๐‘ก, ํœ) โ‰ค ๐‘ฅ} (19.4.2)

Il valore medio statistico di ๐‘ค๐‘ฅ(๐‘ (๐‘ก, ํœ)) vale:

Fig. 19.1 - Ergodicitร  delle funzioni di probabilitร 

Page 349: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 19 โ€“ Valori Medi, Stazionarietร  ed Ergodicitร  - 337

๐‘ค๐‘ฅ(๐‘ (๐‘ก, ํœ)) = 1 โ‹… Pr{๐‘ (๐‘ก, ํœ) โ‰ค ๐‘ฅ} + 0 โ‹… Pr{๐‘ (๐‘ก, ํœ) > ๐‘ฅ}= Pr{๐‘ (๐‘ก, ํœ) โ‰ค ๐‘ฅ} = ๐‘ƒ๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ) (19.4.3)

dove ๐‘ƒ๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ) denota la funzione distribuzione di probabilitร  del pri-

mo ordine associata al segnale ๐‘ (๐‘ก).

D'altra parte la media temporale di una data manifestazione

๐‘ค๐‘ฅ(๐‘ (๐‘ก, ํœ)) del segnale vale:

< ๐‘ค๐‘ฅ(๐‘ (๐‘ก, ํœ)) >= lim๐‘‡โ†’โˆž

1

๐‘‡โˆซ ๐‘ค๐‘ฅ(๐‘ (๐‘ก, ํœ))๐‘‘๐‘ก

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

โ€‰

= lim๐‘‡โ†’โˆž

๐œ‡[๐‘ โˆ’1((โˆ’โˆž, ๐‘ฅ], ํœ) โˆฉ [โˆ’๐‘‡

2,๐‘‡

2]]

๐‘‡

(19.4.4)

Dove ๐œ‡ (๐‘ โˆ’1((โˆ’โˆž, ๐‘ฅ], ํœ) โˆฉ [โˆ’๐‘‡

2,๐‘‡

2]) รจ la misura dell'insieme degli

istanti di tempo appartenenti a [โˆ’๐‘‡

2,๐‘‡

2] in corrispondenza ai quali la

manifestazione del segnale ๐’” non supera ๐‘ฅ (v. Fig. 19.1).

Se la condizione di ergodicitร  รจ soddisfatta deve aversi indi-

pendentemente dalla manifestazione considerata:

๐‘ƒ๐‘ (๐‘ก)(๐‘ฅ) = lim๐‘‡โ†’โˆž

๐œ‡ (๐‘ โˆ’1((โˆ’โˆž,๐‘ฅ], ํœ) โˆฉ [โˆ’๐‘‡

2,๐‘‡

2])

๐‘‡ (19.4.5)

Esempio 19.5

Si consideri ancora il segnale

๐‘ (๐‘ก, ๐œ‘) = cos(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก + ๐œ‘)

dove la fase ๐œ‘ รจ una variabile uniformemente distribuita in [0,2๐œ‹].

Sulla base della Fig.E 19.1 รจ facile riconoscere che un generico i-

stante di tempo per il quale ๐‘ (๐‘ก,)๐‘ฅ deve soddisfare la disuguaglianza:

2๐‘˜๐œ‹ + arccos๐‘ฅ โ‰ค 2๐œ‹๐‘“0๐‘ก + ๐œ‘ โ‰ค (2๐‘˜ + 1)๐œ‹ โˆ’ arccos๐‘ฅ

la quale, al variare dellโ€™intero ๐‘˜ e per ๐‘ฅ[1,1], identifica la famiglia di

intervalli:

๐ผ๐‘˜ = [2๐‘˜๐œ‹ + arccos๐‘ฅ โˆ’ ๐œ‘

2๐œ‹๐‘“0,(2๐‘˜ + 1)๐œ‹ โˆ’ arccos๐‘ฅ โˆ’ ๐œ‘

2๐œ‹๐‘“0]

Page 350: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

338 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

nei quali la ๐‘ค๐‘‹(๐‘ (๐‘ก,)) assume il valore 1. La misura ๐‘ก๐‘‹ di ogni inter-

vallo non dipende nรฉ dalla manifestazione nรฉ dallโ€™indice ๐‘˜ e vale

๐œ‹โˆ’2arccos๐‘ฅ

2๐œ‹๐‘“0

La ๐‘ค๐‘‹(๐‘ (๐‘ก,)) รจ periodica pertanto la sua media temporale coincide

con quella in un periodo si ha quindi:

< ๐‘ค๐‘ฅ(๐‘ (๐‘ก, ๐œ‘)) >= {

0; ๐‘ฅ โ‰ค โˆ’1

๐‘“0๐›ฅ๐‘ก๐‘ฅ =1

2โˆ’arccos๐‘ฅ

๐œ‹; โˆ’1 < ๐‘ฅ < 1

1; ๐‘ฅ โ‰ฅ โˆ’1

Si puรฒ constatare che la media appena ottenuta coincide con la distri-

buzione di probabilitร 

del segnale (vedi

Esempio 18.2).

In effetti il segnale

in questione risulta er-

godico seppur limitata-

mente alle medie del

primo ordine. Infatti,

data una funzione ๐œ“(โ‹…)

integrabile alla Le-

besgue in [1,1], risul-

ta:

< ๐œ“(cos(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก + ๐œ‘)) >= lim๐‘‡โ†’โˆž

1

2๐‘‡โˆซ ๐œ“(cos(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก + ๐œ‘))๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

= ๐‘“0โˆซ ๐œ“(cos(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก + ๐œ‘))๐‘‘๐‘ก

1

๐‘“0

0

= ๐‘“0โˆซ ๐œ“(cos(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก))๐‘‘๐‘ก

1

๐‘“0

0

=1

2๐œ‹โˆซ ๐œ“(cos(๐œ—))๐‘‘๐œ—2๐œ‹

0

La corrispondente media statistica vale:

๐œ“(cos(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก + ๐œ‘)) = โˆซ ๐œ“(cos(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก + ๐œ—))๐‘๐œ‘(๐œ—)๐‘‘๐œ—โˆž

โˆ’โˆž

=1

2๐œ‹โˆซ ๐œ“(cos(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก + ๐œ—))๐‘‘๐œ—2๐œ‹

0

=1

2๐œ‹โˆซ ๐œ“(cos(๐œ—))๐‘‘๐œ—2๐œ‹

0

Pertanto per le medie del primo ordine la condizione di ergodicitร  รจ

soddisfatta poichรฉ risulta:

< ๐œ“(cos(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก + ๐œ‘)) >= ๐œ“(cos(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก + ๐œ‘)) =1

2๐œ‹โˆซ ๐œ“(cos(๐œ—))๐‘‘๐œ—2๐œ‹

0

Fig.E 19.1

Page 351: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 19 โ€“ Valori Medi, Stazionarietร  ed Ergodicitร  - 339

Il segnale in questione non รจ tuttavia ergodico come si puรฒ verificare

calcolando medie di ordine superiore al primo.

Page 352: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf
Page 353: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 20

SEGNALI GAUSSIANI

Variabili aleatorie congiuntamente gaussiane. 20.1 -

Sia dato un vettore ๐‘ฟ = [๐‘‹1, ๐‘‹2, โ€ฆ , ๐‘‹๐‘›]๐‘‡ di ๐‘› variabili aleatorie

definite su di uno stesso esperimento casuale. Le variabili

๐‘‹1, ๐‘‹2, โ€ฆ , ๐‘‹๐‘› si dicono congiuntamente gaussiane se la loro densitร  di

probabilitร  congiunta รจ del tipo:

๐‘๐‘‹(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2, โ€ฆ ๐‘ฅ๐‘›) = ๐พ๐‘’โˆ’1

2๐‘„(๐‘ฅ1โˆ’๐‘š1,๐‘ฅ2โˆ’๐‘š2,โ€ฆ,๐‘ฅ๐‘›โˆ’๐‘š๐‘›) (20.1.1)

dove ๐‘„ รจ una forma quadratica definita positiva:

๐‘„ =โˆ‘โˆ‘๐‘Ž๐‘–๐‘—(๐‘ฅ๐‘– โˆ’๐‘š๐‘–)(๐‘ฅ๐‘— โˆ’๐‘š๐‘—);

๐‘›

๐‘—=1

๐‘›

๐‘–=1

๐‘Ž๐‘–๐‘— = ๐‘Ž๐‘—๐‘– (20.1.2)

๐พ unโ€™opportuna costante di normalizzazione ed ๐‘š1, ๐‘š2, โ€ฆ๐‘š๐‘› ๐‘› co-

stanti reali.

Ponendo:

๐’™ = [๐‘ฅ1 ๐‘ฅ2 โ€ฆ ๐‘ฅ๐‘›]๐‘‡; ๐’Ž = [๐‘š1 ๐‘š2 โ€ฆ ๐‘š๐‘›]๐‘‡ (20.1.3)

e introducendo la matrice12:

๐›ดโˆ’1 = [

๐‘Ž11 ๐‘Ž12 โ€ฆ ๐‘Ž1๐‘›๐‘Ž21 ๐‘Ž22 โ€ฆ ๐‘Ž2๐‘›โ€ฆ โ€ฆ โ€ฆ โ€ฆ๐‘Ž๐‘›1 ๐‘Ž๐‘›2 โ€ฆ ๐‘Ž๐‘›๐‘›

] (20.1.4)

la densitร  di probabilitร  (20.1.1) puรฒ ulteriormente scriversi:

๐‘๐‘ฟ(๐’™) = ๐พ๐‘’โˆ’1

2(๐’™โˆ’๐’Ž)๐‘‡๐›ดโˆ’1(๐’™โˆ’๐’Ž)

(20.1.5)

Funzione caratteristica di variabili aleatorie con-20.2 - giuntamente gaussiane.

La funzione caratteristica associata al vettore aleatorio

๐’€ = ๐‘ฟ โˆ’๐’Ž. Detta funzione per definizione vale:

๐น๐’€(๐’–) = ๐‘’๐‘—๐’–๐‘‡๐’€ = ๐‘’๐‘—๐’–

๐‘ป(๐‘ฟโˆ’๐’Ž) (20.2.1)

12 Si noti che la forma quadratica รจ definita positiva quindi la matrice dei coefficienti ad es-sa associata รจ certamente non singolare.

Page 354: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

342 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

dove:

๐’– = [

๐‘ข1๐‘ข2โ€ฆ๐‘ข๐‘›

] ; ๐’š = [

๐‘ฅ1 โˆ’๐‘š1

๐‘ฅ2 โˆ’๐‘š2

โ€ฆ๐‘ฅ๐‘› โˆ’๐‘š๐‘›

] (20.2.2)

Tenuto conto dell'espressione della densitร  di probabilitร  (20.1.5), la

(20.2.1) si puรฒ ancora scrivere:

๐น๐’€(๐’–)

= ๐พโˆซ ๐‘’๐‘—๐’–๐‘‡(๐’™โˆ’๐’Ž)โˆ’

1

2(๐’™โˆ’๐’Ž)๐‘‡๐›ดโˆ’1(๐’™โˆ’๐’Ž)๐‘‘๐’™

๐‘…๐‘›

=๐พโˆซ ๐‘’๐‘—๐’–๐‘‡๐’šโˆ’

1

2๐’š๐‘‡๐›ดโˆ’1๐’š๐‘‘๐’š

๐‘…๐‘›

(20.2.3)

Sia ๐‘‡ una matrice ortonormale che diagonalizza la matrice ๐›ด,

cioรจ tale che si abbia:

๐‘‡๐‘‡๐›ด๐‘‡ = diag[๐œ†1, ๐œ†2, โ€ฆ , ๐œ†๐‘›] (20.2.4)

essendo:

diag[๐œ†1, ๐œ†2, โ€ฆ , ๐œ†๐‘›] = [

๐œ†1 0 โ€ฆ 00 ๐œ†2 โ€ฆ 0โ€ฆ โ€ฆ โ€ฆ โ€ฆ0 0 โ€ฆ ๐œ†๐‘›

] (20.2.5)

i cui elementi, come รจ noto, sono gli autovalori della matrice ๐›ด.

Dalla (20.2.4) discende facilmente:

๐‘‡๐‘‡๐›ดโˆ’1๐‘‡ = diag [1

๐œ†1,1

๐œ†2, โ€ฆ ,

1

๐œ†๐‘›] (20.2.6)

Se nell'integrale all'ultimo membro della (20.2.3) si effettua la seguen-

te trasformazione di variabili:

๐’› = ๐‘‡โˆ’1๐’š = ๐‘‡๐‘‡๐’š (20.2.7)

cui, in virtรน della ortonormalitร  della matrice ๐‘‡, corrisponde un de-

terminante Jacobiano di modulo unitario. Si ottiene:

๐น๐’€(๐’–) = ๐พโˆซ ๐‘’๐‘—๐’–๐‘‡๐‘‡๐’›โˆ’

1

2๐’›๐‘‡๐‘‡๐‘‡๐›ดโˆ’1๐‘‡๐’›๐‘‘๐’›

๐‘…๐‘› (20.2.8)

Ponendo inoltre:

๐’– = ๐‘ป๐’— (20.2.9)

Tramite la (20.2.4), si ottiene ancora:

Page 355: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 20 โ€“ Segnali Gaussiani - 343

๐น๐’€(๐‘‡๐’—) = ๐พโˆซ ๐‘’๐‘—๐’—๐‘‡๐’›โˆ’

1

2๐’›๐‘‡diag(

1๐œ†1,1๐œ†2,โ€ฆ,

1๐œ†๐‘›)๐’›๐‘‘๐’›

๐‘…๐‘›

= ๐พโˆซ ๐‘’โˆ‘ (๐‘—๐‘ฃ๐‘–๐‘ง๐‘–โˆ’

๐‘ง๐‘–2

2๐œ†๐‘–)๐‘›

๐‘–=1๐‘‘๐’›

๐‘…๐‘›

= ๐พโˆโˆซ ๐‘’๐‘—๐‘ฃ๐‘–๐‘ง๐‘–โˆ’

๐‘ง๐‘–2

2๐œ†๐‘–๐‘‘๐‘ง๐‘–

โˆž

โˆ’โˆž

๐‘›

๐‘–=1

(20.2.10)

Lโ€™integrale ad argomento della produttoria รจ riconducibile allโ€™integra-

le noto:

โˆซ ๐‘’๐‘—ฮฒ๐‘ฅโˆ’ฮฑ๐‘ฅ2๐‘‘๐‘ฅ

โˆž

โˆ’โˆž

= โˆš๐œ‹

๐›ผ๐‘’โˆ’

๐›ฝ2

4๐›ผ (20.2.11)

Con ๐›ผ anche complesso purchรฉ con parte reale strettamente positiva.

ponendo ๐‘ฃ๐‘– = ฮฒ e 1

2๐œ†๐‘–= ฮฑ in ogni fattore della produttoria nella (20.2.10),

otteniamo:

๐น๐’€(๐‘‡๐’—) = ๐พโˆโˆซ ๐‘’๐‘—๐‘ฃ๐‘–๐‘ง๐‘–โˆ’

1

2๐œ†๐‘–๐‘ง๐‘–2

๐‘‘๐‘ง๐‘–

โˆž

โˆ’โˆž

๐‘›

๐‘–=1

= ๐พโˆโˆš2๐œ‹๐œ†๐‘–๐‘’โˆ’๐œ†๐‘–๐‘ฃ๐‘–

2

2

๐‘›

๐‘–=1

(20.2.12)

Calcolando la produttoria all'ultimo membro della precedente

si ottiene per la funzione caratteristica associata alle ๐‘› variabili aleato-

rie ๐’€ = ๐‘ฟ โˆ’๐’Ž l'espressione:

๐น๐’€(๐’–) = ๐น๐’€(๐‘‡๐’—) = ๐พ((2๐œ‹)๐‘›|๐›ด|)

1

2โˆ๐‘’โˆ’๐œ†๐‘–๐‘ฃ๐‘–

2

2

๐‘›

๐‘–=1

= ๐พโˆš(2๐œ‹)๐‘›|๐›ด|๐‘’โˆ’1

2โˆ‘ ๐œ†๐‘–๐‘ฃ๐‘–

2๐‘›๐‘–=1

= ๐พโˆš(2๐œ‹)๐‘›|๐›ด|๐‘’โˆ’1

2๐’—๐‘‡diag[๐œ†1,๐œ†2,โ€ฆ,๐œ†๐‘›]๐’—

= ๐พโˆš(2๐œ‹)๐‘›|๐›ด|๐‘’โˆ’1

2๐’–๐‘‡๐‘‡diag[๐œ†1,๐œ†2,โ€ฆ,๐œ†๐‘›]๐‘‡

๐‘‡๐’–

= ๐พโˆš(2๐œ‹)๐‘›|๐›ด|๐‘’โˆ’1

2๐’–๐‘‡๐›ด๐’–

(20.2.13)

dalla quale imponendo la condizione di normalizzazione ๐น(๐’) = 1, si

ottiene per la costante ๐พ il valore

๐พ =

1

โˆš(2๐œ‹)๐‘›|๐›ด|

(20.2.14)

che sostituito nella (20.2.13) consente finalmente di scrivere:

๐น๐’€(๐’–) = ๐‘’โˆ’1

2๐’–๐‘‡๐›ด๐’– (20.2.15)

Sostituendo il valore appena ottenuto per la costante ๐พ nel-

lโ€™espressione della densitร  di probabilitร  (20.1.5) di un vettore di va-

riabili aleatorie congiuntamente gaussiane si ottiene:

Page 356: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

344 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

๐‘๐‘ฟ(๐’™) =1

โˆš(2๐œ‹)๐‘›|๐›ด|๐‘’โˆ’

1

2(๐’™โˆ’๐’Ž)๐‘‡๐›ดโˆ’1(๐’™โˆ’๐’Ž)

(20.2.16)

che รจ univocamente determinata noti che siano la matrice ๐›ด e il vet-

tore ๐’Ž.

Densitร  di probabilitร  di ordine inferiore. 20.3 -

Nota la funzione caratteristica associata ad ๐‘› variabili aleatorie

รจ in generale possibile dedurre le funzioni caratteristiche relative ad

un qualunque sottoinsieme di esse. A tal fine si consideri un vettore

in โ„๐‘› del tipo ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘– = [๐‘ข1, โ€ฆ ๐‘ข๐‘–โˆ’1, 0, ๐‘ข๐‘–+1, โ€ฆ , ๐‘ข๐‘›], cioรฉ caratterizzato

dall'avere la ๐‘–-esima componente pari a zero. Un vettore del tipo an-

zidetto puรฒ essere ottenuto da un generico vettore ๐’˜ appartenente a

โ„๐‘›โˆ’1 premoltiplicando quest'ultimo per una matrice ๐‘ฏ๐‘– dโ€™ordine

๐‘› ร— (๐‘› โˆ’ 1) ottenuta inserendo nella matrice unitaria di ordine ๐‘› โˆ’ 1

una riga nulla nella ๐‘–-esima posizione. Se si valuta la funzione caratte-

ristica in corrispondenza di ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘– si ottiene:

๐น๐‘ฟ(๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘–) = ๐น๐‘ฟ(๐ป๐‘–๐’˜) = ๐‘’๐‘—(๐ป๐‘–๐’˜)๐‘‡๐’™ = ๐‘’๐‘—๐‘ค

๐‘‡๐ป๐‘–๐‘‡๐’™

(20.3.1)

Si osservi che in virtรน della definizione data per la matrice ๐‘ฏ๐‘– ,

๐’› = ๐ป๐‘–๐‘‡๐’™ = [๐‘ง1 = ๐‘ฅ1, โ€ฆ , ๐‘ง๐‘–โˆ’1 = ๐‘ฅ๐‘–โˆ’1, ๐‘ง๐‘– = ๐‘ฅ๐‘–+1, โ€ฆ ๐‘ง๐‘›โˆ’1 = ๐‘ฅ๐‘›]

๐‘‡ รจ un vet-

tore a ๐‘› โˆ’ 1 dimensioni, ottenuto eliminando la componente ๐‘–-esima

di ๐’™. In modo analogo sโ€™individua il vettore di variabili aleatorie

๐’ = ๐ป๐‘–๐‘‡๐‘ฟ. In termini dei vettori appena definiti si ottiene:

๐น๐‘ฟ(๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘–) = ๐‘’๐‘—๐’˜๐‘‡๐ป๐‘–

๐‘‡๐’™ = ๐‘’๐‘—๐’˜

๐‘‡๐’› = โˆซ๐‘’๐‘—๐’˜๐‘‡๐ป๐‘–

๐‘‡๐’™๐‘๐‘ฟ(๐’™)๐‘‘๐’™

โ„๐‘›

= โˆซ ๐‘’๐‘—๐’˜๐‘‡๐’› (โˆซ ๐‘๐‘ฟ(๐’™)๐‘‘๐‘ฅ๐‘–

โˆž

โˆ’โˆž

)๐‘‘๐’›

โ„๐‘›โˆ’1

= โˆซ ๐‘’๐‘—๐’˜๐‘‡๐’›๐‘๐’(๐’›)๐‘‘๐’›

โ„๐‘›โˆ’1

= ๐น๐’(๐’˜)

(20.3.2)

che rappresenta la funzione caratteristica delle ๐‘› โˆ’ 1 variabili aleato-

rie ๐‘‹1, โ€ฆ , ๐‘‹๐‘–โˆ’1, ๐‘‹๐‘–+1, โ€ฆ , ๐‘‹๐‘›.

La (20.3.2) consente di affermare che, nota la funzione carat-

teristica associata a ๐‘› variabili aleatorie definite su di uno stesso espe-

rimento casuale, รจ possibile ottenere quella associata ad un qualun-

que sottoinsieme di esse. Essa si ottiene ponendo, nella funzione ori-

ginaria, uguali a zero le componenti del vettore ๐’– corrispondenti alle

variabili che non appartengono al sottoinsieme di interesse.

Page 357: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 20 โ€“ Segnali Gaussiani - 345

Ponendo ๐’ = ๐ป๐‘–๐‘‡๐’€ nella (20.2.15), tenuto conto della (20.3.2)si

ottiene:

๐น๐’(๐’˜) = ๐น๐’€(๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘–) = ๐‘’โˆ’1

2๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘–๐‘‡๐›ด๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘– = ๐‘’โˆ’

1

2๐’˜๐‘‡๐ป๐‘–

๐‘‡๐›ด๐ป๐‘–๐’˜ = ๐‘’โˆ’1

2๐‘ค๐‘‡๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘–๐’˜ (20.3.3)

dove ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘– โ‰œ ๐ป๐‘–๐‘‡๐›ด๐ป๐‘– รจ la matrice che si ottiene da ๐›ด cancellando la riga e

la colonna ๐‘–-esima. ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘– รจ pertanto una matrice definita positiva.

Ponendo nella (20.3.3) ๐‘ฝ = ๐ป๐‘–๐‘‡๐‘ฟ, ๐’— = ๐ป๐‘–

๐‘‡๐’™ e ๐’Ž๐‘ฃ = ๐ป๐‘–๐‘‡๐’Ž, si ot-

tiene la densitร  di probabilitร :

๐‘๐ป๐‘–๐‘‡๐‘ฟ(๐ป๐‘–

๐‘‡๐’™) =1

โˆš(2๐œ‹)๐‘›โˆ’1|๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘–|๐‘’โˆ’

1

2(๐ป๐‘–

๐‘‡(๐’™โˆ’๐’Ž))๐‘‡๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘–โˆ’1๐ป๐‘–

๐‘‡(๐’™โˆ’๐’Ž)

=1

โˆš(2๐œ‹)๐‘›โˆ’1|๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘–|๐‘’โˆ’

1

2(๐’—โˆ’๐’Ž๐’—)

๐‘‡๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘–โˆ’1๐’—โˆ’๐’Ž๐’— = ๐‘๐‘ฝ(๐’—)

(20.3.4)

che assicura che se la densitร  di probabilitร  congiunta di ๐‘› varaibili

aleatorie รจ di tipo gaussiano, tale รจ anche la densitร  di probabilitร  di

un qualunque sottoinsieme proprio di dette variabili.

Inoltre la matrice ๐›ด e il vettore ๐’Ž che caratterizzano la densitร 

di probabilitร  congiunta associata a detto sottoinsieme si ottengono

da quelli originari rispettivamente cancellando dalla prima le righe e

le colonne, e dal secondo le componenti, dโ€™indice corrispondente alle

variabili che non sono contenute nel sottoinsieme di interesse.

Caratterizzazione degli elementi del vettore ๐’Ž e 20.4 - della matrice ๐œฎ.

La conoscenza della funzione caratteristica del vettore ๐’€ defi-

nito nel - ยง 20.2 - consente di calcolare i momenti di qualsiasi ordine

(vedi CAPITOLO - 19) ed in particolare anche il valore medio di

una qualunque componente di detto vettore. Risulta infatti:

๐œ•๐น๐‘‹(๐’–)

๐œ•๐‘ข๐‘–=๐œ• โˆซ ๐‘๐‘ฟ(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2, โ€ฆ , ๐‘ฅ๐‘›)๐‘’

๐‘—๐’–๐‘‡๐’™๐‘‘๐’™โ„๐‘›

๐œ•๐‘ข๐‘–

= โˆซ ๐‘—๐‘ฅ๐‘–๐‘๐‘‹(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2, โ€ฆ , ๐‘ฅ๐‘›)๐‘’๐‘—๐’–๐‘‡๐’™๐‘‘๐’™

โ„๐‘›

(20.4.1)

che valutata in ๐’– = ๐’ fornisce:

๐œ•๐น๐‘‹(๐’–)

๐œ•๐‘ข๐‘–|๐’–=๐’

= โˆซ ๐‘—๐‘ฅ๐‘–๐‘๐‘ฟ(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2, โ€ฆ , ๐‘ฅ๐‘›)๐‘‘๐’™โ„๐‘›

= ๐‘—๐‘‹๏ฟฝ๏ฟฝ (20.4.2)

Nel caso di variabili aleatorie congiuntamente gaussiane si ottiene:

Page 358: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

346 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

๐‘Œ๏ฟฝ๏ฟฝ = โˆ’๐‘—๐œ•๐น(๐’–)

๐œ•๐‘ข๐‘–|๐’–=๐’

= ๐‘— (๐‘’โˆ’1

2๐’–๐‘‡๐›ด๐’–โˆ‘๐œŽ๐‘–๐‘˜๐‘ข๐‘˜

๐‘›

๐‘˜=1

)|

๐’–=๐’

= 0 (20.4.3)

dove ๐œŽ๐‘–๐‘˜ indica il generico elemento della matrice ๐›ด.

Ricordando che ๐’€ = ๐‘ฟ โˆ’๐’Ž dalla precedente si deduce facil-

mente che le componenti del vettore ๐’Ž sono i valori medi delle cor-

rispondenti componenti di ๐‘ฟ.

Al fine di caratterizzare gli elementi della matrice ๐›ด si osservi

che in generale risulta:

โˆ’๐œ•2๐น๐‘ฟ(๐’–)

๐œ•๐‘ข๐‘–๐œ•๐‘ข๐‘—|๐’–=๐’

= ๐‘‹๐‘–๐‘‹๐‘— (20.4.4)

quindi:

๐‘Œ๐‘–๐‘Œ๐‘— = (๐‘‹๐‘– โˆ’๐‘š๐‘–)(๐‘‹๐‘— โˆ’๐‘š๐‘—) = โˆ’๐œ•2๐น๐‘Œ(๐‘ข)

๐œ•๐‘ข๐‘–๐œ•๐‘ข๐‘—|๐’–=๐’

= โˆ’๐‘’โˆ’1

2๐‘ข๐‘‡๐›ด๐‘ขโˆ‘๐œŽ๐‘—๐‘˜๐‘ข๐‘˜

๐‘›

๐‘˜=1

โˆ‘๐œŽ๐‘–๐‘˜๐‘ข๐‘˜

๐‘›

๐‘˜=1

โˆ’ ๐‘’โˆ’1

2๐‘ข๐‘‡๐›ด๐‘ข๐œŽ๐‘–๐‘—|

๐’–=๐’

= ๐œŽ๐‘–๐‘— (20.4.5)

La precedente mostra che il generico elemento ๐œŽ๐‘–๐‘— della matri-

ce ๐›ด รจ la covarianza delle variabili aleatorie ๐‘‹๐‘– ed ๐‘‹๐‘—. La matrice ๐›ด

viene pertanto detta matrice di covarianza. Gli elementi che giacciono

sulla diagonale della matrice di covarianza rappresentano le varianze

delle variabili aleatorie cui ๐›ด รจ associata.

Segnali gaussiani. 20.5 -

Un segnale aleatorio ๐‘ (๐‘ก, ํœ) si dice normale o gaussiano se la sua

densitร  di probabilitร  di qualunque ordine ๐‘›, indipendentemente dal-

la scelta della ๐‘› -upla dโ€™istanti ๐’• = [๐‘ก1, ๐‘ก2, โ€ฆ , ๐‘ก๐‘›], รจ di tipo gaussiano,

cioรฉ se risulta:

๐‘๐‘ (๐‘ก1),โ€ฆ,๐‘ (๐‘ก๐‘›)(๐‘ฅ) =

1

โˆš(2๐œ‹)๐‘›|๐›ด|๐‘’โˆ’

1

2(๐’™โˆ’๐’Ž(๐’•))

๐‘‡๐›ดโˆ’1(๐’™โˆ’๐’Ž(๐’•));

โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•โ‹€ โˆ€ ๐’• โˆˆ โ„๐‘› (20.5.1)

dove ๐’Ž(๐’•) = [๐‘ (๐‘ก1) , ๐‘ (๐‘ก2) , โ€ฆ , ๐‘ (๐‘ก๐‘›) ]๐‘‡ รจ un vettore la cui ๐‘–-esima

componente รจ il valore medio del segnale valutato nell'istante ๐‘ก๐‘–, e il

generico elemento della matrice ๐›ด

๐œŽ๐‘–๐‘— = ๐œŽ(๐‘ก๐‘– , ๐‘ก๐‘—) = (๐‘ (๐‘ก๐‘–) โˆ’ ๐‘ (๐‘ก๐‘–) )(๐‘ (๐‘ก๐‘—) โˆ’ ๐‘ (๐‘ก๐‘—) ) (20.5.2)

Page 359: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 20 โ€“ Segnali Gaussiani - 347

esprime la covarianza delle variabili aleatorie individuate dal segnale

agli istanti ๐‘ก๐‘– e ๐‘ก๐‘—.

Ci si rende facilmente conto del fatto che un segnale gaussia-

no stazionario in senso lato lo รจ anche in senso stretto. Infatti, se il

segnale รจ stazionario in senso lato, gli elementi della sua matrice di

covarianza, a qualunque ordine, dipendono soltanto dalle differenze

tra gli istanti di tempo ๐‘ก๐‘– e ๐‘ก๐‘—. Inoltre il valore medio del segnale รฉ in-

dipendente dal tempo, quindi tale รจ anche il vettore ๐’Ž che compare

nella sua densitร  di probabilitร .

Esempio 20.1

Si determini la densitร  di probabilitร  del terzo ordine di un segnale

gaussiano a media nulla valutata negli istanti ๐‘ก1 = 0, ๐‘ก2 = ๐‘‡ e ๐‘ก3 = 2๐‘‡.

sapendo la sua funzione di autocovarianza vale:

๐œŽ(๐œ) = exp (โˆ’|๐œ|

๐‘‡)

Lโ€™elemento generico della matrice di autocovarianza vale:

๐œŽ๐‘–๐‘— = exp(โˆ’|๐‘ก๐‘– โˆ’ ๐‘ก๐‘—|

๐‘‡)

pertanto la matrice di covarianza valutata negli istanti di interesse risulta:

๐›ด = [1 ๐‘’โˆ’1 ๐‘’โˆ’2

๐‘’โˆ’1 1 ๐‘’โˆ’1

๐‘’โˆ’2 ๐‘’โˆ’1 1

]

la cui inversa vale:

๐›ดโˆ’1 =1

1 โˆ’ ๐‘’โˆ’2[1 โˆ’๐‘’โˆ’1 0

โˆ’๐‘’โˆ’1 1 + ๐‘’โˆ’2 โˆ’๐‘’โˆ’1

0 โˆ’๐‘’โˆ’1 1

]

La forma quadratica che definisce la ๐‘๐‘ (0)๐‘ (๐‘‡)๐‘ (2๐‘‡)(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2, ๐‘ฅ3) รจ:

๐‘„(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2, ๐‘ฅ3) =1

1 โˆ’ ๐‘’โˆ’2[๐‘ฅ12 + (1 + ๐‘’โˆ’2)๐‘ฅ2

2 + ๐‘ฅ32 โˆ’ 2๐‘’โˆ’1๐‘ฅ1๐‘ฅ2 โˆ’ 2๐‘’

โˆ’1๐‘ฅ2๐‘ฅ3]

Essendo inoltre:

|๐›ด| = (1 โˆ’ ๐‘’โˆ’2)2

la densitร  di probabilitร  cercata si scrive quindi:

๐‘๐‘ (0)๐‘ (๐‘‡)๐‘ (2๐‘‡)(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2, ๐‘ฅ3) =1

(2๐œ‹)3

2(1 โˆ’ ๐‘’โˆ’2)๐‘’โˆ’๐‘ฅ12+(1+๐‘’โˆ’2)๐‘ฅ2

2+๐‘ฅ32โˆ’2๐‘’โˆ’1๐‘ฅ1๐‘ฅ2โˆ’2๐‘’

โˆ’1๐‘ฅ2๐‘ฅ3

2(1โˆ’๐‘’โˆ’2)

Distribuzioni singolari. 20.6 -

Sia data la funzione definita in โ„๐‘›:

Page 360: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

348 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

๐น(๐’–) = ๐‘’โˆ’1

2๐’–๐‘‡๐›ด๐’–

(20.6.1)

dove ๐›ด รจ una matrice semidefinita positiva. La (20.6.1), se la matrice

๐›ด รจ definita positiva, si puรฒ interpretare come la funzione caratteri-

stica associata ad un opportuno vettore costituito da ๐‘› variabili alea-

torie congiuntamente gaussiane a media nulla.

Si vuole indagare su come interpretare la (20.6.1) qualora la

matrice ๐›ด sia semidefinita positiva senza essere definita positiva. Cioรจ

quando si verifichi il caso che la suddetta matrice presenti degli auto-

valori nulli. In particolare si vuole stabilire se alla (20.6.1) possa an-

cora attribuirsi il significato di funzione caratteristica associata ad un

opportuno vettore ๐‘‹ di variabili aleatorie e, in caso affermativo, qua-

le sia la densitร  di probabilitร  congiunta di dette variabili.

A tal fine si proceda ad antitrasformare la (20.6.1) sulla base

della (16.4.12):

๐‘“(๐’™) =1

(2๐œ‹)๐‘›โˆซ ๐‘’โˆ’

1

2๐’–๐‘‡๐›ด๐’–

โ„๐‘›๐‘’โˆ’๐‘—๐’–

๐‘‡๐’™๐‘‘๐’– (20.6.2)

Sia ๐‘‡ una opportuna matrice ortonormale (certamente esisten-

te) che diagonalizza la matrice ๐›ด e che, inoltre, faccia si che gli auto-

valori non nulli della ๐›ด cadano nelle prime ๐‘Ÿ righe della matrice dia-

gonalizzata, cioรจ ๐‘‡ sia tale che risulti

๐‘‡๐‘‡๐›ด๐‘‡ = ๐›ฌ =

[ ๐œ†1 0 โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ00 ๐œ†2โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ0โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ0โ€ฆโ€ฆ โ€ฆโ€ฆ๐œ†๐‘Ÿ 0โ€ฆโ€ฆ00โ€ฆ โ€ฆ โ€ฆ โ€ฆ . . .0. . . . .0โ€ฆ โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ0โ€ฆโ€ฆ .โ€ฆ . . . . . . . . . . . . . .0]

(20.6.3)

dove ๐œ†๐‘– รจ il generico autovalore non nullo della ๐›ด.

Operando al secondo membro della (20.6.2) la trasformazione

di variabili ๐’— = ๐‘‡๐‘‡๐’– si ottiene:

๐‘“(๐‘ฅ) =1

(2๐œ‹)๐‘›โˆซ ๐‘’โˆ’

1

2๐’—๐‘‡๐›ฌ๐’—

โ„๐‘›๐‘’โˆ’๐‘—๐’—

๐‘‡๐‘‡๐‘‡๐’™๐‘‘๐’— (20.6.4)

Si osservi che ๐’—๐‘‡๐›ฌ๐’—, in virtรน della particolare composizione

della matrice ๐›ฌ, dipende solo dalle prime ๐‘Ÿ componenti del vettore ๐’—.

Mediante le posizioni:

Page 361: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 20 โ€“ Segnali Gaussiani - 349

๐’— = [๐’—๐‘Ÿ๐’—๐‘›โˆ’๐‘Ÿ

] =

[ [

๐‘ฃ1โ‹ฎ๐‘ฃ๐‘Ÿ]

[

๐‘ฃ๐‘Ÿ+1โ‹ฎ๐‘ฃ๐‘›

]]

; ๐›ฌ = [๐›ฌ๐‘Ÿ 00 0

] ; ๐‘‡ = [๐‘‡๐‘Ÿ ๐‘‡๐‘›โˆ’๐‘Ÿ] (20.6.5)

l'integrale (20.6.4) puรฒ essere espresso come prodotto di due integra-

li. Piรน precisamente si puรฒ scrivere:

1

(2๐œ‹)๐‘›โˆซ ๐‘’โˆ’

1

2๐‘ฃ๐‘‡๐›ฌ๐’—๐‘’โˆ’๐‘—๐’—

๐‘‡๐‘‡๐‘‡๐’™๐‘‘๐’—โ„๐‘›

= (1

(2๐œ‹)๐‘Ÿโˆซ ๐‘’โˆ’

1

2๐’—๐‘Ÿ๐‘‡๐›ฌ๐‘Ÿ๐’—๐‘’โˆ’๐‘—๐’—๐‘Ÿ

๐‘‡๐‘‡๐‘Ÿ๐‘‡๐’™๐‘‘๐’—๐‘Ÿ

โ„๐‘Ÿ)

โ‹… (1

(2๐œ‹)๐‘›โˆ’๐‘Ÿโˆซ ๐‘’โˆ’๐‘—๐‘ฃ๐‘›โˆ’๐‘Ÿ

๐‘‡ ๐‘‡๐‘›โˆ’๐‘Ÿ๐‘‡ ๐’™

โ„๐‘›โˆ’๐‘Ÿ๐‘‘๐’—๐‘›โˆ’๐‘Ÿ)

(20.6.6)

da cui facilmente si ottiene:

๐‘“(๐’™) =1

โˆš(2๐œ‹)๐‘Ÿ|๐›ฌ๐‘Ÿ|๐‘’โˆ’

1

2๐‘ฅ๐‘‡๐‘‡๐‘Ÿ๐›ฌ๐‘Ÿ

โˆ’1๐‘‡๐‘Ÿ๐‘‡๐’™โˆ๐›ฟ((๐‘‡๐‘›โˆ’๐‘Ÿ

๐‘‡ ๐’™)๐‘˜)

๐‘›โˆ’๐‘Ÿ

๐‘˜=1

(20.6.7)

dove (๐‘‡๐‘›โˆ’๐‘Ÿ๐‘‡ ๐’™)๐‘˜ indica la ๐‘˜-esima componente del vettore ๐‘‡๐‘›โˆ’๐‘Ÿ

๐‘‡ ๐’™.

๐‘“(๐’™) รจ non negativa e rispetta la condizione di normalizzazio-

ne, in quanto la (20.6.1) vale uno per ๐’– = ๐’, quindi la precedente

implica che รจ leggitimo porre:

๐‘“(๐’™) = ๐‘๐‘ฟ(๐’™) (20.6.8)

cioรจ che รจ possibile interpretare ๐‘“(๐’™) come la funzione di densitร  di

probabilitร  congiunta ๐‘๐‘ฟ(๐’™) associata a un opportuno ๐‘›-vettore ๐‘ฟ di

variabili aleatorie.

Eโ€™ interessante rilevare che la presenza delle delta nella (20.6.7)

porta a concludere che la ๐‘๐‘ฟ(๐’™) รจ nulla ovunque, fatta eccezione che

in corrispondenza alle soluzioni del sistema lineare di equazioni:

๐‘‡๐‘›โˆ’๐‘Ÿ๐‘‡ ๐’™ = ๐’ (20.6.9)

In altri termini, quanto detto significa che il vettore ๐‘ฟ appartiene con

probabilitร  1 al sottospazio di โ„๐‘› implicitamente definito dalle

(20.6.9). Detto sottospazio, in virtรน dell'ortogonalitร  della matrice ๐‘‡,

ha certamente dimensione ๐‘Ÿ. Inoltre ci si rende facilmente conto del

fatto che se il vettore ๐‘ฟ viene riferito a una qualsiasi base di detto

Page 362: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

350 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

sottospazio le variabili aleatorie componenti di ๐‘ฟ rispetto a detta ba-

se sarebbero congiuntamente gaussiane.

Esempio 20.2

Si determini la densitร  di probabilitร  del terzo ordine di un segnale

gaussiano a media nulla e la cui funzione di autocovarianza รจ:

๐œŽ(๐œ) = cos (2๐œ‹๐œ

๐‘‡)

valutata negli istanti ๐‘ก1 = 0, ๐‘ก2 = ๐‘‡/4 e ๐‘ก3 = ๐‘‡/2.

La matrice di covarianza vale:

๐›ด = [1 0 โˆ’10 1 0โˆ’1 0 1

]

Essa รจ singolare ed ha rango 2.

Per determinare la varietร  lineare sulla quale la ps 1 s 2 s 3

(x1, x

2,x

3) ri-

sulta diversa da zero occorre individuare una matrice ๐‘‡ che diagonalizza

la . Detta matrice ha per righe gli autoversori di .

Lโ€™equazione che fornisce gli autovalori come รจ noto รจ:

|๐›ด โˆ’ ๐œ†๐ผ| โ‰ก ๐œ†(๐œ† โˆ’ 1)(๐œ† โˆ’ 2) = 0

le cui soluzioni sono:

๐œ†1 = 0, ๐œ†2 = 1, ๐œ†3 = 2;

I corrispondenti autovettori normalizzati sono:

๐’†1 =1

โˆš2[101] , ๐’†2 = [

010] , ๐’†3 =

1

โˆš2[10โˆ’1]

scegliendo come matrice T:

๐‘‡ =

[ โˆ’

1

โˆš20

1

โˆš20 1 01

โˆš20

1

โˆš2]

Risulta:

๐‘‡๐‘‡๐›ด๐‘‡ = [2 0 00 1 00 0 0

]

La varietร  lineare su cui la ps 1 s 2 s 3

(x1, x

2,x

3) risulta diversa da zero รจ

allora definita dalla:

Page 363: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 20 โ€“ Segnali Gaussiani - 351

๐‘‡๐‘›โˆ’๐‘Ÿ๐‘‡ ๐’™ = ๐’;

[ 1

โˆš201

โˆš2] ๐‘‡

๐’™ = ๐’; ๐’™1 + ๐’™3 = ๐’

nel caso in esame la matrice Tr รจ data dalle prime due colonne di T,

๐›ฌ๐‘Ÿโˆ’1 = [

1

20

0 1

]

si ha:

๐‘ฅ๐‘‡๐‘‡๐‘Ÿ๐›ฌ๐‘Ÿโˆ’1๐‘‡๐‘Ÿ

๐‘‡๐’™ = ๐’™๐‘‡

[ 1

40 โˆ’

1

40 1 0

โˆ’1

40

1

4 ]

๐’™ =๐‘ฅ12

4+ ๐‘ฅ2

2 โˆ’๐‘ฅ1๐‘ฅ32

+๐‘ฅ32

4

=(๐‘ฅ1 + ๐‘ฅ3)

2

4+ ๐‘ฅ2

2

la ps 1 s 2 s 3

quindi in base alla (20.6.7) รจ data da:

๐‘๐‘ 1๐‘ 2๐‘ 3(๐‘ฅ) =1

4๐œ‹๐‘’[(๐‘ฅ1โˆ’๐‘ฅ3)

2

4+๐‘ฅ2

2]๐›ฟ(๐‘ฅ1 + ๐‘ฅ3) =

1

4๐œ‹๐‘’(๐‘ฅ1

2+๐‘ฅ22)๐›ฟ(๐‘ฅ1 + ๐‘ฅ3)

Densitร  di probabilitร  del secondo ordine e con-20.7 - dizionali.

Nel caso di un vettore aleatorio ๐‘ฟ gaussiano bidimensionale

denotando con

๐œŽ11 = (๐‘‹1 โˆ’๐‘š1)2 = ๐œŽ1

2;

๐œŽ22 = (๐‘‹2 โˆ’๐‘š2)2 = ๐œŽ2

2;

๐œŽ12 = ๐œŽ21 = (๐‘‹1 โˆ’๐‘š1)(๐‘‹2 โˆ’๐‘š2)

(20.7.1)

gli elementi della matrice di covarianza, si puo scrivere:

๐›ดโˆ’1 =1

๐œŽ12๐œŽ2

2 โˆ’ ๐œŽ12๐œŽ21[๐œŽ22 โˆ’๐œŽ12

โˆ’๐œŽ21 ๐œŽ12 ] (20.7.2)

Di conseguenza la densitร  di probabilitร  vale:

๐‘๐‘ฟ(๐’™) =๐‘’โˆ’๐œŽ22(๐‘ฅ1โˆ’๐‘š1)

2โˆ’(๐œŽ12+๐œŽ21)(๐‘ฅ1โˆ’๐‘š1)(๐‘ฅ2โˆ’๐‘š2)+๐œŽ12(๐‘ฅ2โˆ’๐‘š2)

2

2(๐œŽ12๐œŽ22โˆ’๐œŽ12๐œŽ21)

2๐œ‹โˆš๐œŽ12๐œŽ2

2 โˆ’ ๐œŽ12๐œŽ21 (20.7.3)

Di norma la precedente si esprime in termini del coefficiente

di correlazione:

Page 364: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

352 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

๐œŒ =๐œŽ12๐œŽ1๐œŽ2

=๐œŽ21๐œŽ1๐œŽ2

(20.7.4)

che, in virtรน della definitezza positiva della ๐›ด, soddisfa la limitazione

|๐œŒ| โ‰ค 1.

Risulta allora:

๐‘๐‘ 1๐‘ 2(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2)

=๐‘’โˆ’

1

2(1โˆ’๐œŒ2)[(๐‘ฅ1โˆ’๐‘š1)

2

๐œŽ12 โˆ’

2๐œŒ

๐œŽ1๐œŽ2(๐‘ฅ1โˆ’๐‘š1)(๐‘ฅ2โˆ’๐‘š2)+

(๐‘ฅ2โˆ’๐‘š2)2

๐œŽ22 ]

2๐œ‹๐œŽ1๐œŽ2โˆš1 โˆ’ ๐œŒ2

(20.7.5)

Nel piano (๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2) i luoghi a ๐‘๐‘ 1๐‘ 2 = cost sono rappresentati da

una famiglia dโ€™ellissi (|๐œŒ| โ‰ค 1) concentriche di centro (๐‘š1, ๐‘š2) di

equazioni:

(๐‘ฅ1 โˆ’๐‘š1)2

๐œŽ12 โˆ’

2๐œŒ

๐œŽ1๐œŽ2(๐‘ฅ1 โˆ’๐‘š1)(๐‘ฅ2 โˆ’๐‘š2) +

(๐‘ฅ2 โˆ’๐‘š2)2

๐œŽ22

= cost (20.7.6)

Le densitร  di probabilitร  marginali ๐‘๐‘ 1(๐‘ฅ1) e ๐‘๐‘ 2(๐‘ฅ2) valgono

rispettivamente:

๐‘๐‘ 1(๐‘ฅ1) =1

โˆš2๐œ‹๐œŽ12๐‘’โˆ’(๐‘ฅ1โˆ’๐‘š1)

2

2๐œŽ12

;

๐‘๐‘ 2(๐‘ฅ2) =1

โˆš2๐œ‹๐œŽ22๐‘’โˆ’(๐‘ 2โˆ’๐‘š2)

2

2๐œŽ22;

(20.7.7)

come si deduce facilmente applicando le regole di marginalizzazione

dedotte precedentemente in questo Capitolo

รˆ interessante notare che se ๐œŒ = 0, la matrice di covarianza รจ

diagonale, in questo caso evidentemente risulta:

๐‘๐‘ 1๐‘ 2(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2) = ๐‘๐‘ 1(๐‘ฅ1)๐‘๐‘ 2(๐‘ฅ2) (20.7.8)

Ciรฒ significa che se risulta ๐œŒ(๐‘ก1, ๐‘ก2) = 0, le variabili aleatorie ๐‘ 1 =

๐‘ (๐‘ก1) e ๐‘ 2 = ๐‘ (๐‘ก2), estratte da un segnale gaussiano, sono statistica-

mente indipendenti.

Dalle relazioni:

๐‘๐‘ 1๐‘ 2(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2) = ๐‘๐‘ 1(๐‘ฅ1)๐‘๐‘ 2|๐‘ 2(๐‘ฅ2, ๐‘ฅ1)

= ๐‘๐‘ 2(๐‘ฅ2)๐‘๐‘ 1|๐‘ 2(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2) (20.7.9)

si possono dedurre le densitร  di probabilitร  condizionate:

Page 365: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 20 โ€“ Segnali Gaussiani - 353

๐‘๐‘ 1|๐‘ 2(๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2) =๐‘’โˆ’

1

2๐œŽ12(1โˆ’๐œŒ2)

[๐‘ฅ1โˆ’๐‘š1โˆ’๐œŒ๐œŽ1๐œŽ2

(๐‘ฅ2โˆ’๐‘š2)]2

๐œŽ1โˆš2๐œ‹(1 โˆ’ ๐œŒ2)

(20.7.10)

e

๐‘๐‘ 2|๐‘ 1(๐‘ฅ2, ๐‘ฅ1) =๐‘’โˆ’

1

2๐œŽ22(1โˆ’๐œŒ2)

[๐‘ฅ2โˆ’๐‘š2โˆ’๐œŒ๐œŽ2๐œŽ1

(๐‘ฅ1โˆ’๐‘š1)]2

๐œŽ2โˆš2๐œ‹(1 โˆ’ ๐œŒ2)

(20.7.11)

che come si riconosce facilmente, sono due gaussiane rispettivamen-

te caratterizzate dai valori medi ๐‘š1 +๐œŒ๐œŽ1

๐œŽ2(๐‘ 2 โˆ’๐‘š2), ๐‘š2 +

๐œŒ๐œŽ2

๐œŽ1(๐‘ 1 โˆ’

๐‘š1) e dalle varianze ๐œŽ12(1 โˆ’ ๐œŒ2), ๐œŽ2

2(1 โˆ’ ๐œŒ2).

Trasformazioni lineari di segnali gaussiani. 20.8 -

Sia

๐‘ฟ = [๐‘‹1 ๐‘‹2 โ€ฆ ๐‘‹๐‘›]๐‘‡ (20.8.1)

un vettore le cui componenti siano variabili aleatorie gaussiane, tali

cioรจ che la loro densitร  di probabilitร  congiunta sia espressa da una

relazione del tipo della (20.2.16). Se si applica al vettore ๐‘ฟ una tra-

sformazione lineare del tipo:

๐’€ = ๐‘‡๐‘ฟ (20.8.2)

essendo ๐‘‡ una matrice ๐‘š ร— ๐‘› รจ facile riconoscere che anche il vettore

aleatorio ๐’€ cosรฌ ottenuto ha componenti congiuntamente gaussiane.

Infatti detta ๐น๐’€(๐’–) la funzione caratteristica del vettore ๐’€ รจ

๐น๐’€(๐’–) = ๐‘’๐‘—๐’–๐‘‡๐’š = ๐‘’๐‘—๐’–

๐‘‡๐‘‡๐’™ = ๐‘’๐‘—(๐‘‡๐‘‡๐’–)๐‘‡๐’™ = ๐น๐‘ฟ(๐‘‡

๐‘‡๐’–) (20.8.3)

Ricordando la (20.2.15) si verifica facilmente che la funzione

caratteristica associata ad un vettore di variabili gaussiane vale:

๐น๐‘ฟ(๐’–) = ๐‘’๐‘—๐’–๐‘‡๐‘ฟ = ๐‘’๐‘—๐’–

๐‘‡๐’Ž๐‘ฟ๐‘’๐‘—๐’–๐‘‡(๐‘ฟโˆ’๐’Ž๐‘ฟ) = ๐‘’๐‘—๐’–

๐‘‡๐’Ž๐‘ฟโˆ’1

2๐’–๐‘‡๐›ด๐‘ฟ๐’– (20.8.4)

avendo denotato con ๐’Ž๐‘ฟ il vettore dei valori medi:

๐’Ž๐‘ฟ = [๐‘‹1 ๐‘‹2 โ€ฆ ๐‘‹๐‘› ]๐‘‡ (20.8.5)

e con ๐›ด๐‘ฟ la matrice di covarianza. Tenendo conto delle (20.8.2) e

(20.8.4) la (20.8.3) diviene:

๐น๐’€(๐’–) = ๐น๐‘ฟ(๐‘‡๐‘‡๐’–) = ๐‘’๐‘—๐’–

๐‘‡๐‘‡๐’Ž๐‘ฟโˆ’1

2๐’–๐‘‡(๐‘ป๐›ด๐‘ฟ๐‘‡

๐‘‡)๐’– (20.8.6)

Page 366: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

354 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

che confrontata con la (20.8.4) consente di concludere che il vettore

๐’€ ha componenti congiuntamente gaussiane caratterizzate da un vet-

tore di valori medi ๐’Ž๐’€ e da una matrice di autocovarianza ๐›ด๐’€ dati ri-

spettivamente dalle:

a) ๐’Ž๐’€ = ๐‘‡๐’Ž๐‘ฟ

(20.8.7) b) ๐›ด๐’€ = ๐‘‡๐›ด๐‘ฟ๐‘‡

๐‘‡

Le considerazioni sin qui svolte possono essere estese al caso

di segnali aleatori legati da trasformazioni lineari del tipo:

๐‘ฆ(๐‘ก, ํœ) = โˆซ โ„Ž(๐‘ก, ๐œ)๐‘ฅ(๐œ, ํœ)๐‘‘๐œโˆž

โˆ’โˆž

(20.8.8)

dove โ„Ž(๐‘ก, ๐œ) denota la risposta della trasformazione ad una delta di

Dirac centrata allโ€™istante ๐œ.

La (20.8.8) si potrebbe anche interpretare come una distribu-

zione definita su un opportuno spazio di funzioni di prova cui devo-

no appartenere le manifestazioni del segnale ๐‘ฅ(๐œ, ํœ).

Anche in questo caso si puรฒ dimostrare che, se ๐‘ฅ(๐œ, ํœ) รจ un

processo gaussiano, tale รจ anche ๐‘ฆ(๐‘ก, ํœ). Limitandosi a fornirne una

giustificazione intuitiva , si consideri il caso in cui โ„Ž(๐‘ก, ๐œ) rappresenta

una funzione regolare.

Suddividendo il dominio dโ€™integrazione nella (20.8.8) in inter-

valli disgiunti di ampiezza ๐›ฅ, l'integrale puรฒ essere calcolato mediante

la:

๐‘ฆ(๐‘ก, ํœ) = lim๐‘โ†’โˆž๐›ฅโ†’0

๐›ฅ โˆ‘ โ„Ž(๐‘ก, ๐‘–๐›ฅ)๐‘ฅ(๐‘–๐›ฅ, ํœ)

๐‘

๐‘–=โˆ’๐‘

(20.8.9)

Valutando la precedente in ๐‘ก = ๐‘—๐›ฅ si ottiene:

๐‘ฆ(๐‘—๐›ฅ, ํœ) = lim๐‘โ†’โˆž๐›ฅโ†’0

๐›ฅ โˆ‘ โ„Ž(๐‘—๐›ฅ, ๐‘–๐›ฅ)๐‘ฅ(๐‘–๐›ฅ, ํœ)

๐‘

๐‘–=โˆ’๐‘

(20.8.10)

L'argomento del limite puรฒ essere interpretato, per fissati ๐‘ e

๐›ฅ, come la componente ๐‘—-esima ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘— = โˆ‘ โ„Ž(๐‘—๐›ฅ, ๐‘–๐›ฅ)๐‘ฅ(๐‘–๐›ฅ, ํœ)๐‘

๐‘–=โˆ’๐‘ di un

vettore aleatorio ottenuto dal prodotto tra una matrice ๐‘‡ il cui gene-

rico elemento รจ โ„Ž(๐‘—๐›ฅ, ๐‘–๐›ฅ) e un 2๐‘ + 1 vettore aleatorio gaussiano la

cui ๐‘–-esima componente vale ๐‘ฅ(๐‘–๐›ฅ, ํœ). ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘— รจ pertanto, indipendente-

Page 367: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 20 โ€“ Segnali Gaussiani - 355

mente dai valori di ๐‘ e ๐›ฅ, una variabile aleatoria gaussiana e tale resta

passando al limite per ๐‘ โ†’ โˆž e ๐›ฅ โ†’ 0.

Essendo ๐‘ฆ(๐‘ก, ํœ) gaussiano, la sua densitร  di probabilitร  a qua-

lunque ordine dipende soltanto dal valor medio e dalla funzione di

autocovarianza.

Dalla (20.8.8), prendendo il valore medio statistico di ambo i

membri, si ha:

๐‘š๐‘ฆ(๐‘ก) = ๐‘ฆ(๐‘ก, ํœ) = โˆซ โ„Ž(๐‘ก, ๐œ)๐‘ฅ(๐œ, ํœ) ๐‘‘๐œโˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ โ„Ž(๐‘ก, ๐œ)๐‘š๐‘ฅ(๐œ)๐‘‘๐œโˆž

โˆ’โˆž

(20.8.11)

dove con ๐‘š๐‘ฅ(๐‘ก) si รจ indicato il valore medio del segnale ๐‘ฅ(๐‘ก, ํœ).

La funzione di covarianza vale:

๐œŽ๐‘ฆ(๐‘ก1, ๐‘ก2) = (๐‘ฆ(๐‘ก1, ํœ) โˆ’ ๐‘š๐‘ฆ(๐‘ก1))(๐‘ฆ(๐‘ก2, ํœ) โˆ’ ๐‘š๐‘ฆ(๐‘ก2))

= ๐ธ {โˆซ ๐œ‘(๐‘ก1, ๐œ1)(๐‘ฅ(๐œ1, ํœ) โˆ’ ๐‘š๐‘ฅ(๐œ1))๐‘‘๐œ1

โˆž

โˆ’โˆž

โˆซ โ„Ž(๐‘ก2, ๐œ2)(๐‘ฅ(๐œ2, ํœ)โˆž

โˆ’โˆž

โˆ’๐‘š๐‘ฅ(๐œ2))๐‘‘๐œ2}

= โˆซ โˆซ ๐ธ{[๐‘ฅ(๐œ1, ํœ) โˆ’ ๐‘š๐‘ฅ(๐œ1)][๐‘ฅ(๐œ2, ํœ)โˆž

โˆ’โˆž

โˆž

โˆ’โˆž

โˆ’๐‘š๐‘ฅ(๐œ2)]}โ„Ž(๐‘ก1, ๐œ1)๐œ‘(๐‘ก2, ๐œ2)๐‘‘๐œ1๐‘‘๐œ2

= โˆซ โˆซ ๐œŽ๐‘ฅ(๐œ1, ๐œ2)โ„Ž(๐‘ก1, ๐œ1)โ„Ž(๐‘ก2, ๐œ2)๐‘‘๐œ1๐‘‘๐œ2

โˆž

โˆ’โˆž

โˆž

โˆ’โˆž

(20.8.12)

avendo denotato con ๐œŽ๐‘ฅ(๐‘ก1, ๐‘ก2) la funzione di autocovarianza di

๐‘ฅ(๐‘ก, ํœ).

Esempio 20.3

Si determini la densitร  di probabilitร  del secondo ordine del segnale

๐‘ฆ(๐‘ก, ํœ) =1

๐‘‡โˆซ ๐‘ฅ(๐œ, ํœ)๐‘‘๐œ๐‘ก+๐‘‡

๐‘ก

valutata negli istanti t1=0 e t

2=T essendo x( t , ) un segnale gaussiano,

stazionario, a valor medio nullo e funzione dโ€™autocorrelazione t1=0

RX()=()

Se la media di x( t , ) รจ nulla lo รจ anche quella di y( t , ) .

La funzione dโ€™autocorrelazione di y( t , ) vale

๐‘…๐‘ฆ(๐‘ก1, ๐‘ก2) =1

๐‘‡2โˆซ โˆซ ๐›ฟ(๐œ2 โˆ’ ๐œ1)๐‘‘๐œ1๐‘‘๐œ2

๐‘ก2+๐‘‡

๐‘ก2

๐‘ก1+๐‘‡

๐‘ก1

=1

๐‘‡2โˆซ โŠ“ (

๐œ1 โˆ’ ๐‘ก2๐‘‡

โˆ’1

2)๐‘‘๐œ1

๐‘ก1+๐‘‡

๐‘ก1

Page 368: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

356 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

essendo, come รจ facile verificare:

โˆซ ๐›ฟ(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ0)๐‘‘๐‘ฅ๐›ฝ

๐›ผ

= {1; ๐‘ฅ โˆˆ [๐›ผ, ๐›ฝ]

0; ๐‘ฅ โˆ‰ [๐›ผ, ๐›ฝ]=โŠ“๐›ฝโˆ’๐›ผ (

๐‘ฅ

๐›ฝ โˆ’ ๐›ผโˆ’1

2)

Si ha pertanto, ponendo t2 t

1:

๐œŽ๐‘ฆ(๐œ) = ๐‘…๐‘ฆ(๐œ) =1

๐‘‡2โˆซ โŠ“ (

๐œ—

๐‘‡)๐‘‘๐œ—

๐‘‡

2+๐œ

๐‘‡

2โˆ’๐œ

=1

๐‘‡(1 โˆ’

|๐œ|

๐‘‡)โŠ“ (

๐œ

๐‘‡)

La matrice di covarianza negli istanti dโ€™interesse vale:

๐›ด = [

1

๐‘‡0

01

๐‘‡

]

la densitร  di probabilitร  richiesta vale quindi:

๐‘๐‘ฆ(0),๐‘ฆ(๐‘‡)(๐œ†, ๐œˆ) =๐‘‡

2๐œ‹๐‘’โˆ’

๐‘‡(๐œ†2+๐œˆ2)

2

Statistica della somma di variabili aleatorie indi-20.9 - pendenti.

Sia {๐‘‹๐‘›} una sequenza di variabili aleatorie statisticamente in-

dipendenti. Si assuma per semplicitร  che la generica variabile ๐‘‹๐‘– della

sequenza abbia valor medio nullo e si indichi la sua varianza con ๐œŽ๐‘–2.

Ci si propone di determinare la densitร  di probabilitร  della va-

riabile aleatoria ๐‘Š definita come segue:

๐‘Š = lim๐‘›โ†’โˆž

โˆ‘ ๐‘‹๐‘–๐‘›๐‘–=1

๐›ค๐‘›= lim

๐‘›โ†’โˆžโˆ‘

๐‘‹๐‘–๐›ค๐‘›

๐‘›

๐‘–=1= lim

๐‘›โ†’โˆž๐‘Š๐‘› (20.9.1)

dove:

๐›ค๐‘› = โˆšโˆ‘ ๐œŽ๐‘–2

๐‘›

๐‘–=1 (20.9.2)

sotto l'ipotesi che risulti:

lim๐‘›โ†’โˆž

๐›น๐‘›๐›ค๐‘›= 0 (20.9.3)

dove

๐›น๐‘› = โˆšโˆ‘|๐‘‹๐‘–3|

๐‘›

๐‘–=1

3

(20.9.4)

Page 369: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 20 โ€“ Segnali Gaussiani - 357

Sia ๐น๐‘–(๐‘ข) la funzione caratteristica della variabile aleatoria ๐‘‹๐‘– la

funzione caratteristica ๐น๐‘Š๐‘›(๐‘ข) della variabile aleatoria ๐‘Š๐‘›, definita

dalla (20.9.1), in virtรน della supposta statistica indipendenza delle ๐‘‹๐‘–,

vale:

๐น๐‘Š๐‘›(๐‘ข) =โˆ๐น๐‘– (๐‘ข

๐›ค๐‘›)

๐‘›

๐‘–=1

โ‡’ log[๐น๐‘Š๐‘›(๐‘ข)] = โˆ‘log(๐น๐‘– (๐‘ข

๐›ค๐‘›))

๐‘›

๐‘–=1

(20.9.5)

Dโ€™altra parte puรฒ scriversi:

๐น๐‘– (๐‘ข

๐›ค๐‘›) = ๐‘’

๐‘—๐‘ข

๐›ค๐‘›๐‘‹๐‘–

= 1 + ๐‘—๐‘‹๐‘–๐‘ข

๐›ค๐‘›โˆ’๐‘‹๐‘–2

2(๐‘ข

๐›ค๐‘›)2

โˆ’ ๐‘—๐‘’๐‘—๐œ‰

๐›ค๐‘›๐‘‹๐‘– ๐‘‹๐‘–

3

6(๐‘ข

๐›ค๐‘›)3

= 1 โˆ’๐œŽ๐‘–2๐‘ข2

2๐›ค๐‘›2+โˆ’๐‘—๐‘’

๐‘—๐œ‰

๐›ค๐‘›๐‘‹๐‘–๐‘‹๐‘–

3

๐‘ข3

6๐›ค๐‘›3

(20.9.6)

dove ๐œ‰ รจ un opportuno reale che dipende da ๐‘ข e da ๐‘‹๐‘–.

Si consideri adesso il logaritmo naturale della ๐น๐‘– (๐‘ข

๐›ค๐‘›):

log (๐น๐‘– (

๐‘ข

๐›ค๐‘›)) = log(1 โˆ’

๐œŽ๐‘–2๐‘ข2

2๐›ค๐‘›2+โˆ’๐‘—๐‘’

๐‘—๐œ‰

๐›ค๐‘›๐‘‹๐‘–๐‘‹๐‘–

3

๐‘ข3

6๐›ค๐‘›3

)

= log[1 + ๐‘ง]

(20.9.7)

avendo posto:

๐‘ง = โˆ’๐œŽ๐‘–2๐‘ข2

2๐›ค๐‘›2+โˆ’๐‘—๐‘’

๐‘—๐œ‰

๐›ค๐‘›๐‘‹๐‘–๐‘‹๐‘–

3

๐‘ข3

6๐›ค๐‘›3

(20.9.8)

In virtรน della (20.9.3) si puรฒ affermare che esiste ๐œˆ tale che:

๐‘› > ๐œˆ โ‡’๐›น๐‘›๐›ค๐‘›< 1 (20.9.9)

inoltre si puรฒ dimostrare (vedi Esempio 16.2) che se una variabile

aleatoria ammette momento assoluto del terzo ordine vale la disu-

guaglianza:

โˆš|๐‘‹2| 2โ‰ค โˆš|๐‘‹3| 3

(20.9.10)

Ciรฒ premesso vale la catena di disuguaglianze:

Page 370: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

358 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

|๐‘ง| = |โˆ’๐œŽ๐‘–2๐‘ข2

2๐›ค๐‘›2+โˆ’๐‘—๐‘’

๐‘—๐œ‰

๐›ค๐‘›๐‘‹๐‘–๐‘‹๐‘–

3

๐‘ข3

6๐›ค๐‘›3

| โ‰ค๐œŽ๐‘–2๐‘ข2

2๐›ค๐‘›2+ |๐‘’๐‘—๐œ‰

๐›ค๐‘›๐‘‹๐‘–๐‘‹๐‘–

3

๐‘ข3

6๐›ค๐‘›3

|

โ‰ค๐œŽ๐‘–2๐‘ข2

2๐›ค๐‘›2+|๐‘‹๐‘–

3| |๐‘ข3|

6๐›ค๐‘›3

=|๐‘‹๐‘–

3| 2

3

๐›ค๐‘›2(๐œŽ๐‘–2๐‘ข2

2|๐‘‹๐‘–3| 2

3

+|๐‘‹๐‘–

3| 1

3|๐‘ข3|

6๐›ค๐‘›)

โ‰ค๐›น๐‘›2

๐›ค๐‘›2(๐œŽ๐‘–2๐‘ข2

2|๐‘‹๐‘–3| 2

3

+|๐‘‹๐‘–

3| 1

3|๐‘ข3|

6๐›ค๐‘›) โ‰ค

๐›น๐‘›2

๐›ค๐‘›2(๐‘ข2

2+|๐‘ข3|

6)

(20.9.11)

Si osservi che al tendere di ๐‘› ad infinito, indipendentemente

dal valore di ๐‘ข, l'ultimo membro della precedente tende a zero; per ๐‘›

sufficientemente grande รจ quindi legittimo scrivere:

log (๐น๐‘– (๐‘ข

๐›ค๐‘›)) = log(1 โˆ’

๐œŽ๐‘–2๐‘ข2

2๐›ค๐‘›2+โˆ’๐‘—๐‘’

๐‘—๐œ‰

๐›ค๐‘›๐‘‹๐‘–๐‘‹๐‘–

3

๐‘ข3

6๐›ค๐‘›3

)

โ‰… โˆ’๐œŽ๐‘–2๐‘ข2

2๐›ค๐‘›2+โˆ’๐‘—๐‘’

๐‘—๐œ‰

๐›ค๐‘›๐‘‹๐‘–๐‘‹๐‘–

3

๐‘ข3

6๐›ค๐‘›3

(20.9.12)

quindi per la (20.9.5):

lim๐‘›โ†’โˆž

log(๐น๐‘Š๐‘›(๐‘ข)) โ‰… lim๐‘›โ†’โˆž

โˆ‘(โˆ’๐œŽ๐‘–2๐‘ข2

2๐›ค๐‘›2+โˆ’๐‘—๐‘’

๐‘—๐œ‰

๐›ค๐‘›๐‘‹๐‘–๐‘‹๐‘–

3

๐‘ข3

6๐›ค๐‘›3

)

๐‘›

๐‘–=1

= โˆ’๐‘ข2

2+ lim

๐‘›โ†’โˆžโˆ‘

โˆ’๐‘—๐‘’๐‘—๐œ‰

๐›ค๐‘›๐‘‹๐‘–๐‘‹๐‘–

3

๐‘ข3

6๐›ค๐‘›3

๐‘›

๐‘–=1

= โˆ’๐‘ข2

2

(20.9.13)

che corrisponde alla funzione caratteristica di una variabile gaussiana

a media nulla e varianza unitaria.

Page 371: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 21

CARATTERIZZAZIONE ENERGETICA DI SEGNALI A

TEMPO CONTINUO

Funzione di autocorrelazione. 21.1 -

Sia ๐‘ (๐‘ก, ํœ), un segnale aleatorio, reale o complesso a tempo

continuo. La sua funzione di autocorrelazione ๐‘…๐‘ (๐‘ก1, ๐‘ก2) รจ definita

dalla seguente media statistica del secondo ordine:

๐‘…๐‘ (๐‘ก1, ๐‘ก2) = ๐‘ โˆ—(๐‘ก1)๐‘ (๐‘ก2) (21.1.1)

Si osservi che, in un fissato istante di tempo, la parte reale e la

parte immaginaria di un segnale aleatorio complesso costituiscono

due variabili aleatorie definite su uno stesso esperimento casuale. Il

loro comportamento รจ quindi descritto dalla densitร  di probabilitร 

congiunta ad esse associata.

Analogo ragionamento conduce alla definizione delle densitร 

di probabilitร  dโ€™ordine superiore di un segnale aleatorio complesso.

In particolare se ๐‘ (๐‘ก, ํœ) = ๐›ผ(๐‘ก, ํœ) + ๐‘—๐›ฝ(๐‘ก, ํœ), con ๐›ผ(๐‘ก, ํœ) e ๐›ฝ(๐‘ก, ํœ) se-

gnali reali, la (21.1.1) si scrive:

๐‘…๐‘ (๐‘ก1, ๐‘ก2)

= โˆซ(๐‘ฅ1 โˆ’ ๐‘—๐‘ฆ1)(๐‘ฅ2 + ๐‘—๐‘ฆ2)๐‘๐›ผ1๐›ฝ1๐›ผ2๐›ฝ2(๐‘ฅ1, ๐‘ฆ1, ๐‘ฅ2, ๐‘ฆ2)๐‘‘๐‘ฅ1๐‘‘๐‘ฆ1๐‘‘๐‘ฅ2๐‘‘๐‘ฆ2โ„4

(21.1.2)

La funzione di autocorrelazione come si evince dalla (21.1.1)

รจ, in generale funzione delle due variabili ๐‘ก1 e ๐‘ก2. Se il segnale รจ sta-

zionario, almeno in senso lato, essa dipende in effetti dalla differenza

๐œ = ๐‘ก2 โˆ’ ๐‘ก1.

Per chiarire il significato da attribuire alla funzione di autocor-

relazione si prenda in considerazione, per semplicitร , un segnale sta-

zionario reale. Sia ๐›ฅ๐œ la variazione che subisce la generica manifesta-

zione di ๐‘ (๐‘ก, ํœ) in un intervallo di ampiezza ๐œ:

๐›ฅ๐œ = ๐‘ (๐‘ก + ๐œ) โˆ’ ๐‘ (๐‘ก) (21.1.3)

Il suo valore quadratico medio vale:

Page 372: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

360 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

๐›ฅ๐œ2 = [๐‘ (๐‘ก + ๐œ) โˆ’ ๐‘ (๐‘ก)]2 = 2๐‘ 2(๐‘ก) โˆ’ 2๐‘ (๐‘ก)๐‘ (๐‘ก + ๐œ)

= 2(๐‘…๐‘ (0) โˆ’ ๐‘…๐‘ (๐œ)) (21.1.4)

La quantitร  ๐›ฅ๐œ2 รจ quindi tanto piรน piccola quanto meno ๐‘…๐‘ (๐œ) differi-

sce da ๐‘…๐‘ (0). Ciรฒ, in altri termini, significa che tanto piรน lentamente

varia la funzione ๐‘…๐‘ (๐œ), tanto piรน elevata รจ la probabilitร  che sce-

gliendo a caso una manifestazione del processo questa presenti va-

riazioni lente al variare del tempo.

Inoltre รจ interessante notare che se per un certo valore di ๐œ0

avviene che ๐‘…๐‘ (๐œ0) = ๐‘…๐‘ (0) se ne deduce che [๐‘ (๐‘ก) โˆ’ ๐‘ (๐‘ก + ๐œ0)]2 = 0

il che significa che la generica manifestazione del segnale assume,

con probabilitร  uno, valori uguali in istanti di tempo che distano ๐œ0 o

suoi multipli interi.

Ponendo nella (21.1.1) ๐‘ก1 = ๐‘ก2 = ๐‘ก si ottiene:

๐‘…๐‘ (๐‘ก, ๐‘ก) = |๐‘ (๐‘ก)|2 โ‰ฅ 0 (21.1.5)

Nel punto (๐‘ก, ๐‘ก) la ๐‘…๐‘ (๐‘ก1, ๐‘ก2) sโ€™identifica cioรจ con il secondo momen-

to assoluto del primo ordine del segnale ๐‘ (๐‘ก, ํœ), che รจ reale e non ne-

gativo. In particolare, per segnali reali lโ€™autocorrelazione calcolata in

(๐‘ก, ๐‘ก) si riduce al valore quadratico medio del segnale in ๐‘ก.

Nel caso di segnali stazionari si ha:

๐‘…๐‘ (0) = ๐‘ (๐‘ก)๐‘ โˆ—(๐‘ก) = |๐‘ (๐‘ก)|2 โ‰ฅ 0 (21.1.6)

inoltre:

๐‘…๐‘ (๐‘ก2, ๐‘ก1) = ๐‘ โˆ—(๐‘ก2)๐‘ (๐‘ก1) = (๐‘ โˆ—(๐‘ก1)๐‘ (๐‘ก2) )

โˆ—= ๐‘…๐‘ 

โˆ—(๐‘ก1, ๐‘ก2) (21.1.7)

che, nel caso di segnali stazionari almeno in senso lato, si semplifica

nella:

๐‘…๐‘ (โˆ’๐œ) = ๐‘…๐‘ โˆ—(๐œ) (21.1.8)

Se il segnale, oltre che stazionario, รจ anche reale risulta:

๐‘…๐‘ (โˆ’๐œ) = ๐‘…๐‘ (๐œ) (21.1.9)

la ๐‘…๐‘ (๐œ) in questo caso รจ quindi una funzione reale pari del suo argo-

mento.

Lโ€™autocorrelazione รจ una funzione semidefinita positiva. Ciรฒ

significa che per ogni ๐œ™(๐‘ก) a quadrato sommabile deve aversi:

โˆฌ ๐œ™(๐‘ฅ)๐‘…๐‘ (๐‘ฅ, ๐‘ฆ)๐œ™โˆ—(๐‘ฆ)๐‘‘๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฆ

โ„2โ‰ฅ 0 (21.1.10)

Page 373: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 21 โ€“ Caratterizzazione Energetica dei Segnali a Tempo Continuo - 361

Per dimostrarlo รจ sufficiente prendere in considerazione la va-

riabile aleatoria ๐‘ ๐œ™ cosรฌ definita:

๐‘†๐œ™(ํœ) = โˆซ ๐œ™(๐‘ก)๐‘ โˆ—(๐‘ก, ํœ)๐‘‘๐‘กโˆž

โˆ’โˆž

(21.1.11)

Il cui primo momento assoluto del secondo ordine vale:

|๐‘†๐œ™|2 = |โˆซ ๐œ™(๐‘ก)๐‘ โˆ—(๐‘ก)๐‘‘๐‘ก

โˆž

โˆ’โˆž

|2

= (โˆซ ๐œ™(๐‘ฅ)๐‘ โˆ—(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

) (โˆซ ๐œ™(๐‘ฆ)๐‘  โˆ— (๐‘ฆ)๐‘‘๐‘ฆโˆž

โˆ’โˆž

)

โˆ—

= โˆฌ ๐œ™(๐‘ฅ)๐‘ โˆ—(๐‘ฅ)๐‘ (๐‘ฆ) ๐œ™โˆ—(๐‘ฆ)๐‘‘๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฆโ„2

=โˆฌ ๐œ™(๐‘ฅ)๐‘…๐‘ (๐‘ฅ, ๐‘ฆ)๐œ™โˆ—(๐‘ฆ)๐‘‘๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฆ

โ„2โ‰ฅ 0

(21.1.12)

Inoltre, interpretando la (21.1.11) come una distribuzione, po-

nendo:

๐œ™(๐‘ก) = ๐œ†๐›ฟ(๐‘ก โˆ’ ๐‘ก1) + ๐œ‡๐›ฟ(๐‘ก โˆ’ ๐‘ก2) (21.1.13)

con ๐œ† e ๐œ‡ complessi arbitrari, dalla (21.1.12), si ottiene:

0

โ‰คโˆฌ (๐œ†๐›ฟ(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ก1) + ๐œ‡๐›ฟ(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ก2))๐‘…๐‘ (๐‘ฆ, ๐‘ฅ)(๐œ†โˆ—๐›ฟ(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ก1)

โ„2

+ ๐œ‡โˆ—๐›ฟ(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ก2))๐‘‘๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฆ= |๐œ†|2๐‘…๐‘ (๐‘ก1, ๐‘ก1) + ๐œ†๐œ‡

โˆ—๐‘…๐‘ (๐‘ก2, ๐‘ก1) + ๐œ†โˆ—๐œ‡๐‘…๐‘ (๐‘ก1, ๐‘ก2)

+ |๐œ‡|2๐‘…๐‘ (๐‘ก2, ๐‘ก2)

(21.1.14)

Lโ€™ultimo membro della precedente รจ pertanto una forma quadratica

semidefinita positiva nelle variabili ๐œ† e ๐œ‡, il determinante ad essa as-

sociato รจ quindi non negativo. Vale pertanto la disuguaglianza:

0 โ‰ค ๐‘…๐‘ (๐‘ก1, ๐‘ก1)๐‘…๐‘ (๐‘ก2, ๐‘ก2) โˆ’ ๐‘…๐‘ (๐‘ก1, ๐‘ก2)๐‘…๐‘ (๐‘ก2, ๐‘ก1) (21.1.15)

dalla quale, tenendo conto della (21.1.7) si deduce:

|๐‘…๐‘ (๐‘ก1, ๐‘ก2)| โ‰ค โˆš๐‘…๐‘ (๐‘ก1, ๐‘ก1)โˆš๐‘…๐‘ (๐‘ก2, ๐‘ก2) (21.1.16)

che, se il segnale รจ stazionario assume la forma:

|๐‘…๐‘ (๐œ)| โ‰ค ๐‘…๐‘ (0) (21.1.17)

Dalla (21.1.8) e (21.1.6) si evince che la funzione di autocorre-

lazione di un segnale stazionario almeno in senso lato gode di sim-

Page 374: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

362 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

metria hermitiana e che il suo modulo presenta all'origine un massi-

mo assoluto.

Le proprietร  della funzione di autocorrelazione sono riassunte

nella Tabella 21.1

Tabella 21.1

Proprietร  della funzione di autocorrelazione per segnali a tempo continuo

Segnali stazionari in senso lato Segnali non stazionari

๐‘…๐‘ (๐œ) = ๐‘  โˆ— (๐‘ก)๐‘ (๐‘ก + ๐œ) ๐‘…๐‘ (๐‘ก1, ๐‘ก2) = ๐‘  โˆ— (๐‘ก1)๐‘ (๐‘ก2)

๐‘…๐‘ (0) = |๐‘ (๐‘ก)|2 ๐‘…๐‘ (๐‘ก, ๐‘ก) = |๐‘ (๐‘ก)|2

๐‘…๐‘ (โˆ’๐œ) = ๐‘…๐‘ โˆ—(๐œ) ๐‘…๐‘ (๐‘ก1, ๐‘ก2) = ๐‘…๐‘ 

โˆ—(๐‘ก2, ๐‘ก1)

|๐‘…๐‘ (๐œ)| โ‰ค ๐‘…๐‘ (0) |๐‘…๐‘ (๐‘ก1, ๐‘ก2)| โ‰ค โˆš๐‘…๐‘ (๐‘ก1, ๐‘ก1)โˆš๐‘…๐‘ (๐‘ก2, ๐‘ก2)

โˆฌ ๐œ™(๐‘ฅ)๐‘…๐‘ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)๐œ™ โˆ— (๐‘ฆ)๐‘‘๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฆโ„2

โ‰ฅ 0 โˆฌ ๐œ™(๐‘ฅ)๐‘…๐‘ (๐‘ฅ, ๐‘ฆ)๐œ™ โˆ— (๐‘ฆ)๐‘‘๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฆโ„2

โ‰ฅ 0

Al posto dellโ€™autocorrelazione รจ utile, in certi casi, introdurre

altre funzioni che ad essa sono sostanzialmente equivalenti, e che si

ottengono per normalizzazione o centratura. Si possono a tale scopo

definire:

la funzione di autocorrelazione normalizzata

๐‘Ÿ๐‘ (๐‘ก1, ๐‘ก2) =๐‘…๐‘ (๐‘ก1, ๐‘ก2)

โˆš๐‘…๐‘ (๐‘ก1, ๐‘ก1)โˆš๐‘…๐‘ (๐‘ก2, ๐‘ก2)

(21.1.18)

la funzione di autocovarianza

๐œŽ๐‘ (๐‘ก1, ๐‘ก2) = [๐‘ (๐‘ก1) โˆ’ ๐‘š๐‘ (๐‘ก1)]

โˆ—[๐‘ (๐‘ก2) โˆ’ ๐‘š๐‘ (๐‘ก2)]

= ๐‘…๐‘ (๐‘ก1, ๐‘ก2) โˆ’ ๐‘š๐‘ โˆ—(๐‘ก1)๐‘š๐‘ (๐‘ก2)

(21.1.19)

dove ๐‘š๐‘ (๐‘ก) denota il valore medio del segnale valutato allโ€™istante ๐‘ก.

la funzione di autocovarianza normalizzata, o coefficiente di au-tocorrelazione

๐œŒ๐‘ (๐‘ก1, ๐‘ก2) =๐œŽ๐‘ (๐‘ก1, ๐‘ก2)

โˆš๐œŽ๐‘ (๐‘ก1, ๐‘ก1)โˆš๐œŽ๐‘ (๐‘ก2, ๐‘ก2)

(21.1.20)

E' da notare che la condizione (21.1.16) comporta:

|๐‘Ÿ๐‘ (๐‘ก1, ๐‘ก2)| โ‰ค 1; |๐œŽ๐‘ (๐‘ก1, ๐‘ก2)|

โ‰ค โˆš๐œŽ๐‘ (๐‘ก1, ๐‘ก1)โˆš๐œŽ๐‘ (๐‘ก2, ๐‘ก2); |๐œŒ๐‘ (๐‘ก1, ๐‘ก2)| โ‰ค 1 (21.1.21)

Nel caso di segnali stazionari, le (21.1.18), (21.1.19), (21.1.20)

assumono rispettivamente la forma:

๐‘Ÿ๐‘ (๐œ) =๐‘…๐‘ (๐œ)

๐‘…๐‘ (0) (21.1.22)

Page 375: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 21 โ€“ Caratterizzazione Energetica dei Segnali a Tempo Continuo - 363

๐œŽ๐‘ (๐œ) = [๐‘ (๐‘ก) โˆ’ ๐‘š๐‘ ]โˆ—[๐‘ (๐‘ก + ๐œ) โˆ’ ๐‘š๐‘ ] = ๐‘…๐‘ (๐œ) โˆ’ |๐‘š๐‘ |

2 (21.1.23)

๐œŒ๐‘ (๐œ) =๐œŽ๐‘ (๐œ)

๐œŽ๐‘ (0) (21.1.24)

e le (21.1.21) si semplificano come segue:

|๐‘Ÿ๐‘ (๐œ)| โ‰ค 1; |๐œŽ๐‘ (๐œ)| โ‰ค ๐œŽ๐‘ (0); |๐œŒ๐‘ (๐œ)| โ‰ค 1 (21.1.25)

Densitร  spettrale di potenza. 21.2 -

Analogamente al caso dei segnali determinati, รจ utile caratte-

rizzare un segnale aleatorio nel dominio della frequenza. A tal fine รจ

opportuno associare, quando possibile, al segnale aleatorio la sua

densitร  spettrale di potenza.

Sia dato un processo aleatorio tale che quasi tutte le sue mani-

festazioni abbiano potenza specifica finita, cioรจ tale che l'insieme del-

le manifestazioni di potenza non limitata costituisca un evento di

probabilitร  nulla. รˆ naturale associare ad un tale processo una densitร 

spettrale di potenza che sia la media statistica di quelle delle sue ma-

nifestazioni.

Piรน precisamente, sia ๐‘ (๐‘ก, ํœ) una generica manifestazione di un

segnale aleatorio, comโ€™รจ noto dall'Analisi dei Segnali Determinati, la

densitร  spettrale di potenza ๐‘ค๐‘ (๐‘“, ํœ) della manifestazione ๐‘ (๐‘ก, ํœ) รจ da-

ta da:

๐‘ค๐‘ (๐‘“, ํœ) = lim๐‘‡โ†’โˆž

|๐‘†๐‘‡(๐‘“, ํœ)|2

๐‘‡= lim

๐‘‡โ†’โˆž

๐‘†๐‘‡(๐‘“, ํœ)๐‘†๐‘‡โˆ—(๐‘“, ํœ)

๐‘‡ (21.2.1)

dove ๐‘†๐‘‡(๐‘“, ํœ) รจ la trasformata di Fourier del segnale troncato

๐‘ ๐‘‡(๐‘ก, ํœ) = ๐‘ (๐‘ก, ํœ)โŠ“ (๐‘ก

๐‘‡) (21.2.2)

cioรจ:

๐‘†๐‘‡(๐‘“, ํœ) = โˆซ ๐‘ ๐‘‡(๐‘ก, ํœ)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘ก

โˆž

โˆ’โˆž

= โˆซ ๐‘ (๐‘ก, ํœ)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘ก

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

(21.2.3)

La densitร  spettrale di potenza ๐‘Š๐‘ (๐‘“) di un segnale aleatorio si

ottiene effettuando la media statistica della quantitร  ๐‘ค๐‘ (๐‘“, ํœ) cioรจ si

pone:

๐‘Š๐‘ (๐‘“) = ๐‘ค๐‘ (๐‘“, ํœ) (21.2.4)

Page 376: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

364 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

Introducendo la (21.2.1) e la (21.2.3) nella (21.2.4) si ottiene:

๐‘Š๐‘ (๐‘“)

= lim๐‘‡โ†’โˆž

1

๐‘‡โˆซ โˆซ ๐‘  โˆ— (๐‘ก1, ํœ)๐‘ (๐‘ก2, ํœ)๐‘’

โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“(๐‘ก2โˆ’๐‘ก1)๐‘‘๐‘ก1๐‘‘๐‘ก2

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

= lim๐‘‡โ†’โˆž

1

๐‘‡โˆซ โˆซ ๐‘  โˆ— (๐‘ก1, ํœ)๐‘ (๐‘ก2, ํœ) ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“(๐‘ก2โˆ’๐‘ก1)๐‘‘๐‘ก1๐‘‘๐‘ก2

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

(21.2.5)

che, ricordando la definizione della funzione di autocorrelazione, si

puรฒ ancora scrivere:

๐‘Š๐‘ (๐‘“) = lim๐‘‡โ†’โˆž

1

๐‘‡โˆซ โˆซ ๐‘…๐‘ (๐‘ก1, ๐‘ก2)๐‘’

โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“(๐‘ก2โˆ’๐‘ก1)๐‘‘๐‘ก1๐‘‘๐‘ก2

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

(21.2.6)

L'antitrasformata della Ws ( f ) allora vale:

โˆซ ๐‘Š๐‘ (๐‘“)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐œ๐‘‘๐‘“

โˆž

โˆ’โˆž

= lim๐‘‡โ†’โˆž

1

๐‘‡โˆซ โˆซ ๐‘…๐‘ (๐‘ก1, ๐‘ก2) (โˆซ ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹(๐‘ก2โˆ’๐‘ก1โˆ’๐œ)๐‘“๐‘‘๐‘“

โˆž

โˆ’โˆž

)๐‘‘๐‘ก1๐‘‘๐‘ก2

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

(21.2.7)

poichรจ risulta:

โˆซ ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“(๐‘ก2โˆ’๐‘ก1โˆ’๐œ)๐‘‘๐‘“โˆž

โˆ’โˆž

= ๐›ฟ(๐‘ก2 โˆ’ ๐‘ก1 โˆ’ ๐œ) (21.2.8)

la (21.2.7) fornisce ancora:

โˆซ ๐‘Š๐‘ (๐‘“)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐œ๐‘‘๐‘“

โˆž

โˆ’โˆž

= lim๐‘‡โ†’โˆž

1

๐‘‡โˆซ ๐‘…๐‘ (๐‘ก, ๐‘ก + ๐œ)๐‘‘๐‘ก

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

(21.2.9)

Se il segnale รจ stazionario, essendo

lim๐‘‡โ†’โˆž

1

๐‘‡โˆซ ๐‘…๐‘ (๐‘ก, ๐‘ก + ๐œ)๐‘‘๐‘ก

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

= ๐‘…๐‘ (๐œ) (21.2.10)

si evince:

๐‘Š๐‘ (๐‘“) = โ„ฑ[๐‘…๐‘ (๐œ)] (21.2.11)

รˆ interessante notare che se la densitร  spettrale di potenza di

un segnale aleatorio stazionario รจ nulla le sue manifestazioni hanno,

con probabilitร  1, energia finita. Unโ€™ulteriore conseguenza dell'annul-

larsi della densitร  spettrale di potenza รจ, in virtรน della (21.2.11) l'an-

Page 377: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 21 โ€“ Caratterizzazione Energetica dei Segnali a Tempo Continuo - 365

nullarsi della funzione di autocorrelazione. Se ne conclude che un se-

gnale aleatorio ad energia finita, fatta eccezione per il caso banale di

segnale nullo con probabilitร  1 , non puรฒ essere stazionario.

Si osservi che se il segnale ๐‘ (๐‘ก, ํœ) รจ ergodico in autocorrelazio-

ne, si ha:

๐‘…๐‘ (๐œ) = ๐›พ๐‘ (๐œ) (21.2.12)

quindi risulta:

๐‘Š๐‘ (๐‘“) = โ„ฑ[๐‘…๐‘ (๐œ)] = โ„ฑ[๐›พ๐‘ (๐œ)] (21.2.13)

la ๐‘Š๐‘ (๐‘“) puรฒ cioรจ calcolarsi sulla base della funzione di autocorrela-

zione in media temporale di una qualsiasi manifestazione del segnale.

Se il segnale non รจ stazionario, se si pone:

๐œ™๐‘ (๐œ) = lim๐‘‡โ†’โˆž

1

๐‘‡โˆซ ๐‘…๐‘ (๐‘ก, ๐‘ก + ๐œ)๐‘‘๐‘ก

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

(21.2.14)

la (21.2.9) fornisce:

๐‘Š๐‘ (๐‘“) = โ„ฑ[๐œ™๐‘ (๐œ)] (21.2.15)

La densitร  spettrale di potenza di un segnale aleatorio si puรฒ, in altre

parole, calcolare eseguendo la trasformata di Fourier della media

temporale definita dalla (21.2.14).

รˆ interessante notare che la simmetria hermitiana (21.1.7) di

cui gode lโ€™autocorrelazione di un segnale, condizione che, come giร 

visto, รจ indipendente dalla natura reale o complessa del segnale, si

traduce per la ๐œ™๐‘ (๐œ) nella condizione ๐œ™๐‘ (๐œ) = ๐œ™๐‘ โˆ—(โˆ’๐œ) che a sua volta

comporta che la ๐‘Š๐‘ (๐‘“) รจ una funzione reale del suo argomento. Se,

in particolare il segnale aleatorio รจ reale la ๐‘Š(๐‘“) รจ anche una funzio-

ne pari.

Esempio 21.1

Lโ€™autocorrelazione della derivata s '( t , ) di un segnale รจ data dalla:

๐‘…๐‘ โ€ฒ(๐œ) = ๐‘ โ€ฒโˆ—(๐‘ก)๐‘ โ€ฒ(๐‘ก + ๐œ)

Se il segnale รจ stazionario si ha:

๐‘…๐‘ โ€ฒ(๐œ) = limโ„Žโ†’0

๐‘ โˆ—(๐‘ก + โ„Ž) โˆ’ ๐‘ โˆ—(๐‘ก)

โ„Žโ‹… limโ„Žโ†’0

๐‘ (๐‘ก + ๐œ + โ„Ž) โˆ’ ๐‘ (๐‘ก + ๐œ)

โ„Ž

= limโ„Žโ†’0

๐‘ โˆ—(๐‘ก)๐‘ (๐‘ก + ๐œ + โ„Ž) โˆ’ ๐‘ โˆ—(๐‘ก + โ„Ž)๐‘ (๐‘ก + ๐œ) โˆ’ ๐‘ โˆ—(๐‘ก)๐‘ (๐‘ก + ๐œ + โ„Ž) + ๐‘ โˆ—(๐‘ก)๐‘ (๐‘ก + ๐œ)

โ„Ž2

= limโ„Žโ†’0

1

โ„Ž(๐‘…๐‘ (๐œ) โˆ’ ๐‘…๐‘ (๐œ โˆ’ โ„Ž)

โ„Žโˆ’๐‘…๐‘ (๐œ + โ„Ž) โˆ’ ๐‘…๐‘ (๐œ)

โ„Ž) = โˆ’

๐‘‘2๐‘…๐‘ (๐œ)

๐‘‘๐œ2

Page 378: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

366 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

essendo Rs() la funzione di autocorrelazione del segnale s( t , ) .

La densitร  spettrale di potenza di s '( t , ) puรฒ essere espressa in ter-

mini della densitร  spettrale del segnale di potenza di s( t , ) ; si ha:

๐‘Š๐‘ โ€ฒ(๐‘“) = โ„ฑ [โˆ’๐‘‘2๐‘…๐‘ (๐œ)

๐‘‘๐œ2] = 4๐œ‹2๐‘“2๐‘Š๐‘ (๐‘“)

Caratterizzazione dei segnali nel dominio della 21.3 - frequenza.

Per fini che saranno chiari in seguito sโ€™introduce una funzione

๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2) che esprime ammesso che esista, eventualmente anche nel

senso delle distribuzioni, la trasformata di Fourier bidimensionale

della funzione di autocorrelazione del segnale ๐‘ (๐‘ก, ํœ), e se ne elenca-

no le principali proprietร . Si pone:

๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2) = โˆฌ ๐‘…๐‘ (๐‘ก1, ๐‘ก2)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹(๐‘“1๐‘ก1+๐‘“2๐‘ก2)๐‘‘๐‘ก1๐‘‘๐‘ก2

โ„2 (21.3.1)

Evidentemente risulta:

๐‘…๐‘ (๐‘ก1, ๐‘ก2) = โˆฌ ๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2)๐‘’๐‘—2๐œ‹(๐‘“1๐‘ก1+๐‘“2๐‘ก2)๐‘‘๐‘“1๐‘‘๐‘“2

โ„2 (21.3.2)

La condizione di simmetria (21.1.7) comporta:

โˆฌ ๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2)๐‘’๐‘—2๐œ‹(๐‘“1๐‘ก1+๐‘“2๐‘ก2)๐‘‘๐‘“1๐‘‘๐‘“2

โ„2

= (โˆฌ ๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2)๐‘’๐‘—2๐œ‹(๐‘“2๐‘ก1+๐‘“1๐‘ก2)๐‘‘๐‘“1๐‘‘๐‘“2

โ„2)

โˆ—

=โˆฌ ๐บ๐‘ โˆ—(๐‘“1, ๐‘“2)๐‘’

โˆ’๐‘—2๐œ‹(๐‘“2๐‘ก1+๐‘“1๐‘ก2)๐‘‘๐‘“1๐‘‘๐‘“2โ„2

=โˆฌ ๐บ๐‘ โˆ—(โˆ’๐‘“2, โˆ’๐‘“1)๐‘’

๐‘—2๐œ‹(๐‘“1๐‘ก1+๐‘“2๐‘ก2)๐‘‘๐‘“1๐‘‘๐‘“2โ„2

(21.3.3)

da cui necessariamente discende:

๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2) = ๐บ๐‘ โˆ—(โˆ’๐‘“2, โˆ’๐‘“1) (21.3.4)

Ponendo nella (21.3.2) ๐‘ก1 = ๐‘ก2 = ๐‘ก si ottiene:

๐‘…๐‘ (๐‘ก, ๐‘ก) = โˆฌ ๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2)๐‘’๐‘—2๐œ‹(๐‘“1+๐‘“2)๐‘ก๐‘‘๐‘“1๐‘‘๐‘“2

โ„2 (21.3.5)

Introducendo la trasformazione di variabili:

{๐‘“1 + ๐‘“2 = ๐‘“;๐‘“2 = ๐œ‘;

(21.3.6)

Page 379: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 21 โ€“ Caratterizzazione Energetica dei Segnali a Tempo Continuo - 367

si puรฒ riscrivere:

๐‘…๐‘ (๐‘ก, ๐‘ก) = โˆซ (โˆซ ๐บ๐‘ (๐‘“ โˆ’ ๐œ‘, ๐œ‘)๐‘‘๐œ‘โˆž

โˆ’โˆž

) ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘“โˆž

โˆ’โˆž

(21.3.7)

Dunque nota ๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2), il momento assoluto del secondo ordine

๐‘…๐‘ (๐‘ก, ๐‘ก) si puรฒ ottenere effettuando l'antitrasformata monodimensio-

nale di Fourier della funzione:

๐‘”๐‘ (๐‘“) = โˆซ ๐บ๐‘ (๐‘“ โˆ’ ๐œ‘, ๐œ‘)๐‘‘๐œ‘โˆž

โˆ’โˆž

(21.3.8)

Se in particolare il segnale รจ stazionario almeno in senso lato,

operando nella (21.3.1) la trasformazione di variabili ๐‘ก = ๐‘ก1, ๐œ = ๐‘ก2 โˆ’

๐‘ก1, si ha:

๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2) = โˆฌ ๐‘…๐‘ (๐‘ก2 โˆ’ ๐‘ก1)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹(๐‘“1๐‘ก1+๐‘“2๐‘ก2)๐‘‘๐‘ก1๐‘‘๐‘ก2

โ„2

=โˆฌ ๐‘…๐‘ (๐œ)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹[๐‘“1๐‘ก+๐‘“2(๐‘ก+๐œ)]๐‘‘๐œ๐‘‘๐‘ก

โ„2

= โˆซ ๐‘…๐‘ (๐œ)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“2๐œ๐‘‘๐œโˆซ ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹(๐‘“1+๐‘“2)๐‘ก๐‘‘๐‘ก

โˆž

โ€“โˆž

โˆž

โ€“โˆž

= ๐‘Š๐‘ (๐‘“2)๐›ฟ(๐‘“1 + ๐‘“2)

(21.3.9)

Nella quale si รจ tenuto conto della (21.2.11) per dedurre lโ€™ultimo

membro.

Pertanto la ๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2) di un segnale stazionario รจ nulla nel pia-

no (๐‘‚, ๐‘“1, ๐‘“2), eccezion fatta che sulla sua seconda bisettrice dove

presenta una singolaritร  di tipo delta di Dirac il cui peso รจ dato dalla

sua densitร  spettrale di potenza. Per un segnale stazionario quindi la

conoscenza della ๐‘Š๐‘ (๐‘“) comporta tramite la (21.3.9) quella della

๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2).

La (21.3.7) particolarizzata al caso di segnali stazionari almeno

in senso lato diventa:

๐‘…๐‘ (0) = |๐‘ (๐‘ก, ํœ)|2 = โˆฌ ๐‘Š๐‘ (๐œ‘)๐›ฟ(๐‘“)๐‘’

๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐œ‘๐‘‘๐‘“โ„2

= โˆซ ๐‘Š๐‘ (๐œ‘)๐‘‘๐œ‘โˆž

โˆ’โˆž

(21.3.10)

la quale sta a significare che il momento assoluto del secondo ordine

di un segnale stazionario in senso lato, che per segnali reali coincide

con il valore quadratico medio, puรฒ essere calcolato integrando su

tutto l'asse reale la densitร  spettrale di potenza.

Page 380: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

368 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

Se nella (21.1.10) che esprime la semidefinitezza positiva della

funzione di autocorrelazione si sostituisce la (21.3.2) si ottiene:

0 โ‰คโˆฌ ๐œ™(๐‘ฅ)๐œ™โˆ—(๐‘ฆ) (โˆซ ๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2)๐‘’๐‘—2๐œ‹(๐‘“1๐‘ฅ+๐‘“2๐‘ฆ)๐‘‘๐‘“1๐‘‘๐‘“2

โ„2)๐‘‘๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฆ

โ„2

=โˆฌ ๐บ๐‘ (๐‘“1 , ๐‘“2) (โˆซ ๐œ™(๐‘ฅ)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“1๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž

โˆซ ๐œ™โˆ—(๐‘ฆ)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“2๐‘ฆ๐‘‘๐‘ฆโˆž

โˆ’โˆž

)๐‘‘๐‘“1๐‘‘๐‘“2โ„2

=โˆฌ ๐›ท(โˆ’๐‘“1)๐›ทโˆ—(๐‘“2)๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2)๐‘‘๐‘“1๐‘‘๐‘“2

โ„2

=โˆฌ ๐›ท(๐‘“1)๐›ทโˆ—(๐‘“2)๐บ๐‘ (โˆ’๐‘“1, ๐‘“2)๐‘‘๐‘“1๐‘‘๐‘“2

โ„2

(21.3.11)

dove ๐›ท(๐‘“) indica la trasformata della funzione di prova ๐œ™(๐‘ก).

La (21.3.11) comporta il fatto che la ๐บ๐‘ (โˆ’๐‘“1, ๐‘“2) รจ una funzio-

ne semidefinita positiva.

Per segnali stazionari la ๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2) assume la forma (21.3.9) In

questo caso la (21.3.11) puรฒ essere ulteriormente elaborata e forni-

sce:

0 โ‰ค โˆฌ ๐›ท(โˆ’๐‘“1)๐›ทโˆ—(๐‘“2)๐‘Š๐‘ (๐‘“2)๐›ฟ(๐‘“1 + ๐‘“2)๐‘‘๐‘“1๐‘‘๐‘“2

โ„2

=โˆฌ ๐›ท(๐‘“1)๐›ทโˆ—(๐‘“2)๐‘Š๐‘ (๐‘“2)๐›ฟ(๐‘“2 โˆ’ ๐‘“1)๐‘‘๐‘“1๐‘‘๐‘“2

โ„2

= โˆซ |๐›ท(๐‘“2)|2๐‘Š๐‘ (๐‘“2)๐‘‘๐‘“2

โˆž

โˆ’โˆž

(21.3.12)

la quale, vista l'arbitrarietร  della ๐œ™(๐‘ก), e quindi anche della ๐›ท(๐‘“), im-

plica che la densitร  spettrale di potenza di un segnale stazionario รจ

una funzione non negativa del suo argomento.

Le proprietร  principali della ๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2) e della ๐‘Š๐‘ (๐‘“) sono rias-

sunte nella Tabella VII.2

Tabella 21.2

Proprietร  della Gs ( f1, f2 ) e della Ws ( f )

Segnali non stazionari Segnali stazionari

๐บ(๐‘“1, ๐‘“2)

= โˆซ โˆซ ๐‘…(๐‘ก1, ๐‘ก2)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹(๐‘“1๐‘ก1+๐‘“2๐‘ก2)๐‘‘๐‘ก1๐‘‘๐‘ก2

โˆž

โˆ’โˆž

โˆž

โˆ’โˆž

๐‘Š๐‘ (๐‘“) = โˆซ ๐‘…(๐œ)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐œ๐‘‘๐œ

โˆž

โˆ’โˆž

๐‘Š๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2) = ๐‘Š๐‘ โˆ—(โˆ’๐‘“2, โˆ’๐‘“1) ๐‘Š๐‘ (๐‘“) = ๐‘Š๐‘ 

โˆ—(๐‘“) ๐บ๐‘ (โˆ’๐‘“1 , ๐‘“2) รจ semidefinita positiva ๐‘Š๐‘ (๐‘“) โ‰ฅ 0

๐‘…๐‘ (๐‘ก, ๐‘ก)

= โˆซ (โˆซ ๐บ๐‘ (๐‘“ โˆ’ ๐œ‘, ๐œ‘)๐‘‘๐œ‘โˆž

โˆ’โˆž

)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐‘ก๐‘‘๐‘“โˆž

โˆ’โˆž

๐‘…๐‘ (0) = โˆซ ๐‘Š๐‘ (๐‘“)๐‘‘๐‘“

โˆž

โˆ’โˆž

Tenendo conto della (21.3.2) la (21.2.14) si puรฒ scrivere:

Page 381: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 21 โ€“ Caratterizzazione Energetica dei Segnali a Tempo Continuo - 369

๐œ™๐‘ (๐œ)

= lim๐‘‡โ†’โˆž

1

๐‘‡โˆซ (โˆฌ ๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2)๐‘’

๐‘—2๐œ‹๐‘“2๐œ๐‘’๐‘—2๐œ‹(๐‘“1+๐‘“2)๐‘ก๐‘‘๐‘“1๐‘‘๐‘“2โ„2

)๐‘‘๐‘ก

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

=โˆฌ ๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“2๐œ ( lim

๐‘‡โ†’โˆž

1

๐‘‡โˆซ ๐‘’๐‘—2๐œ‹(๐‘“1+๐‘“2)๐‘ก๐‘‘๐‘ก

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

)๐‘‘๐‘“1๐‘‘๐‘“2โ„2

(21.3.13)

risulta:

lim๐‘‡โ†’โˆž

1

๐‘‡โˆซ ๐‘’๐‘—2๐œ‹(๐‘“1+๐‘“2)๐‘ก๐‘‘๐‘ก

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

= {

1; ๐‘“1 + ๐‘“2 = 0;

lim๐‘‡โ†’โˆž

sin[๐œ‹(๐‘“1 + ๐‘“2)๐‘‡]

๐œ‹(๐‘“1 + ๐‘“2)๐‘‡= 0; ๐‘“1 + ๐‘“2 โ‰  0;

(21.3.14)

Si conclude che l'integrale (21.3.13) vale zero a meno che la ๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2)

non presenti una singolaritร  di tipo delta di Dirac lungo la retta di

equazione ๐‘“1 + ๐‘“2 = 0. Alla luce di questa considerazione รจ utile ri-

scrivere la ๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2) nella forma:

๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2) = ๐›ค(๐‘“1, ๐‘“2) + ๐›ท(๐‘“2)๐›ฟ(๐‘“1 + ๐‘“2) (21.3.15)

dove la ๐›ค(๐‘“1, ๐‘“2) non presenta singolaritร  lungo la seconda bisettrice.

Si osservi che รจ sempre possibile scrivere la ๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2) nella forma

(21.3.15) Infatti, qualora essa non presenti singolaritร  lungo la se-

conda bisettrice sarebbe sufficiente porre ๐›ท(๐‘“2) = 0 nel qual caso

ovviamente si avrebbe ๐›ค(๐‘“1, ๐‘“2) = ๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2). Sostituendo la (21.3.15)

nella (21.3.13), tenendo conto della (21.3.14) si ottiene:

๐œ™๐‘ (๐œ)

= โˆฌ (๐›ค(๐‘“1, ๐‘“2) + ๐›ท(๐‘“2)๐›ฟ(๐‘“1โ„2

+ ๐‘“2))๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“2๐œ ( lim

๐‘‡โ†’โˆž

1

๐‘‡โˆซ ๐‘’๐‘—2๐œ‹(๐‘“1+๐‘“2)๐‘ก๐‘‘๐‘ก

๐‘‡

2

โˆ’๐‘‡

2

)๐‘‘๐‘“1๐‘‘๐‘“2

=โˆฌ ๐›ท(๐‘“2)๐›ฟ(๐‘“1 + ๐‘“2)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“2๐œ๐‘‘๐‘“1๐‘‘๐‘“2

โ„2

= โˆซ ๐›ท(๐‘“2)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“2๐œ๐‘‘๐‘“2

โˆž

โˆ’โˆž

(21.3.16)

Confrontando la (21.3.13)con la (21.3.16) si conclude che:

๐›ท(๐‘“) = ๐‘Š(๐‘“) (21.3.17)

Page 382: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

370 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

cioรจ la densita spettrale di potenza di un segnale aleatorio รจ data an-

che dalla funzione peso della eventuale singolaritร  di tipo delta di Di-

rac che la ๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2) presenta lungo la seconda bisettrice del piano

(๐‘‚, ๐‘“1, ๐‘“2). Qualora detta singolaritร  non dovesse presentarsi il pro-

cesso in questione sarebbe ad energia finita.

In Conclusione la densitร  spettrale di potenza di un processo

aleatorio puรฒ alternativamente essere calcolata per mezzo della

(21.2.4), ovvero tramite la (21.2.15), o ancora effettuando la trasfor-

mata di Fourier bidimensionale della funzione di autocorrelazione,

ed isolando in quest'ultima il peso della delta di Dirac che essa pre-

senta lungo la seconda bisettrice del piano (๐’, ๐‘“1, ๐‘“2).

Esempio 21.2

Sia

๐‘ (๐‘ก, ํœ) = ๐‘Ž(๐‘ก, ํœ) โˆ‘ ๐›ฟ(๐‘ก โˆ’ ๐‘›๐‘‡)

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

un segnale aleatorio in cui a ( t , ) rappresenta un segnale stazionario ca-

ratterizzato dalla funzione di autocorrelazione data da Ra() .

La funzione di autocorrelazione di s( t , ) vale:

๐‘…๐‘ (๐‘ก1, ๐‘ก2) = ๐‘ (๐‘ก1, ํœ)๐‘ (๐‘ก2, ํœ)

= ๐‘Ž(๐‘ก1, ํœ)๐‘Ž(๐‘ก2, ํœ) โˆ‘ โˆ‘ ๐›ฟ(๐‘ก1 โˆ’๐‘š๐‘‡)๐›ฟ(๐‘ก2 โˆ’ ๐‘›๐‘‡)

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

โˆž

๐‘š=โˆ’โˆž

= ๐‘…๐‘Ž(๐‘ก2 โˆ’ ๐‘ก1) โˆ‘ โˆ‘ ๐›ฟ(๐‘ก1 โˆ’๐‘š๐‘‡)๐›ฟ(๐‘ก2 โˆ’ ๐‘›๐‘‡)

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

โˆž

๐‘š=โˆ’โˆž

Il segnale s ( t , ) non รจ pertanto stazionario, poichรฉ la sua funzione di

autocorrelazione dipende da entrambe le variabili t1 e t

2. Risulta:

๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2)

= โˆฌ ๐‘…๐‘Ž(๐‘ก2 โˆ’ ๐‘ก1) โˆ‘ ๐›ฟ(๐‘ก1 โˆ’๐‘š๐‘‡)๐›ฟ(๐‘ก2 โˆ’ ๐‘›๐‘‡)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹(๐‘“1๐‘ก1+๐‘“2๐‘ก2)

โˆž

๐‘š,๐‘š=โˆ’โˆž

๐‘‘๐‘ก1๐‘‘๐‘ก2โ„2

= โˆ‘ โˆฌ ๐‘…๐‘Ž(๐‘ก2 โˆ’ ๐‘ก1)๐›ฟ(๐‘ก1 โˆ’๐‘š๐‘‡)๐›ฟ(๐‘ก2 โˆ’ ๐‘›๐‘‡)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹(๐‘“1๐‘ก1+๐‘“2๐‘ก2)๐‘‘๐‘ก1๐‘‘๐‘ก2

โ„2

โˆž

๐‘š,๐‘›=โˆ’โˆž

= โˆ‘ ๐‘…๐‘Ž[(๐‘š โˆ’ ๐‘›)๐‘‡]๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹(๐‘š๐‘“1+๐‘›๐‘“2)๐‘‡โˆž

๐‘š,๐‘›=โˆ’โˆž

Page 383: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 21 โ€“ Caratterizzazione Energetica dei Segnali a Tempo Continuo - 371

Segnali ciclostazionari. 21.4 -

Una classe particolarmente importante di segnali aleatori รจ co-

stituita dai cosiddetti segnali ciclostazionari.

Al fine di definire tale classe si osservi che nella funzione di

autocorrelazione ๐‘…(๐‘ก1, ๐‘ก2) si puรฒ sempre porre:

{๐‘ก1 = ๐‘ก; ๐‘ก2 โˆ’ ๐‘ก1 = ๐œ;

(21.4.1)

La sostituzione appena definita comporta ๐‘…(๐‘ก1, ๐‘ก2) = ๐‘…(๐‘ก, ๐‘ก + ๐œ).

L'autocorrelazione puรฒ cioรจ essere pensata come funzione ๐‘…(๐‘ก, ๐œ) di

uno solo dei due istanti di osservazione e dalla differenza tra essi.

Un segnale si dice ciclostazionario se la sua autocorrelazione

espressa nella forma ๐‘…๐‘ (๐‘ก, ๐œ) รจ periodica di periodo ๐‘‡ rispetto a ๐‘ก.

L'autocorrelazione di un segnale ciclostazionario puรฒ quindi

essere espansa in serie di Fourier, fermo restando che i coefficienti

che compariranno nella serie dipenderanno da ๐œ. Si potrร  cioรจ scrive-

re:

๐‘…๐‘ (๐‘ก, ๐œ) = โˆ‘ ๐‘…๐‘›(๐œ)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹

๐‘›๐‘ก

๐‘‡

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(21.4.2)

Espressa in termini delle variabili ๐‘ก1 e ๐‘ก2 la precedente diven-ta:

๐‘…๐‘ (๐‘ก1, ๐‘ก2) = โˆ‘ ๐‘…๐‘›(๐‘ก2 โˆ’ ๐‘ก1)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹

๐‘›๐‘ก1๐‘‡

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(21.4.3)

risulta quindi:

๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2)

= โˆ‘ โˆฌ ๐‘…๐‘›(๐‘ก2 โˆ’ ๐‘ก1)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹[(๐‘“1โˆ’

๐‘›

๐‘‡)๐‘ก1+๐‘“2๐‘ก2]๐‘‘๐‘ก1๐‘‘๐‘ก2

R2

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(21.4.4)

che, operando nuovamente la trasformazione (21.4.1), diventa:

๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2) = โˆ‘ โˆฌ ๐‘…๐‘›(๐œ)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹[(๐‘“1+๐‘“2โˆ’

๐‘›

๐‘‡)๐‘ก+๐‘“2๐œ]๐‘‘๐‘ก๐‘‘๐œ

โ„2

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

= โˆ‘ โˆซ ๐‘…๐‘›(๐œ)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“2๐œ๐‘‘๐œ

โˆž

โˆ’โˆž

โˆซ ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹(๐‘“1+๐‘“2โˆ’๐‘›

๐‘‡)๐‘ก๐‘‘๐‘ก

โˆž

โˆ’โˆž

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

= โˆซ ๐‘…๐‘›(๐œ)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“2๐œ๐‘‘๐œ

โˆž

โˆ’โˆž

โˆ‘ ๐›ฟ(๐‘“1 + ๐‘“2 โˆ’๐‘›

๐‘‡)

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(21.4.5)

Page 384: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

372 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

La quale, detta ๐‘Š๐‘›(๐‘“) la trasformata di ๐‘…๐‘›(๐œ) si puรฒ ancora scrivere:

๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2) = โˆ‘ ๐‘Š๐‘›(๐‘“2)๐›ฟ (๐‘“1 + ๐‘“2 โˆ’๐‘›

๐‘‡)

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(21.4.6)

La precedente

consente di concludere

che la ๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2) di un

segnale ciclostazionario

รจ nulla nel piano

(๐’, ๐‘“1, ๐‘“2) eccetto che

sulle rette ๐‘“1 + ๐‘“2 =๐‘›

๐‘‡

che appartengono al fa-

scio improprio definito

dalla seconda bisettrice

(vedi Fig. 21.1) sulle

quali sono localizzate

delle singolaritร  di tipo

delta di Dirac ciascuna

pesata dalla corrispon-

dente ๐‘Š๐‘›(๐‘“).

รˆ interessante notare che un segnale stazionario puรฒ essere pen-

sato come un particolare segnale ciclostazionario per il quale l'unico

coefficiente ๐‘…๐‘›(๐œ) non nullo รจ quello di indice zero. Ci si rende fa-

cilmente conto che in questo caso la (21.4.6) e la (21.1.9) si identifi-

cano.

Esempio 21.3

Si consideri il seguente segnale aleatorio

๐‘ (๐‘ก, ๐’‚, ๐œ—) = โˆ‘ ๐‘Ž๐‘›โŠ“ (๐‘ก โˆ’ ๐‘›๐‘‡0 โˆ’ ๐œ—

๐‘‡0)

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

dove ๐’‚ = {๐‘Ž๐‘›} รจ una sequenza di variabili casuali che assumono valori

appartenenti allโ€™insieme {โˆ’1,1} e un ritardo uniformemente distribuito

in [-๐‘‡0/2, ๐‘‡0/2] indipendente dalla sequenza ๐’‚.

Si supponga inoltre che le probabilitร  con cui ๐‘Ž๐‘› assume il valore 1 o

โˆ’1 siano uguali e a loro volta indipendenti dal valore assunto da ogni al-

tro simbolo ๐‘Ž๐‘š con ๐‘š โ‰  ๐‘›.

Fig. 21.1 - Localizzazione delle singolaritร  per se-

gnali ciclostazionari.

Page 385: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 21 โ€“ Caratterizzazione Energetica dei Segnali a Tempo Continuo - 373

Una possibile mani-

festazione del segnale si

presenta allora comโ€™รจ

indicato in Fig.E 21.1.

Al fine di calcolare

la densitร  spettrale di

potenza del segnale

๐‘ (๐‘ก, ๐’‚, ๐œ—) si procede alla

valutazione della funzione di autocorrelazione

๐‘…๐‘ (๐‘ก, ๐‘ก + ๐œ) = ๐‘ (๐‘Ž, ๐œ—, ๐‘ก)๐‘ (๐‘Ž, ๐œ—, ๐‘ก + ๐œ

= โˆ‘โˆ‘๐‘Ž๐‘š๐‘Ž๐‘› โ‹…โŠ“ (๐‘ก โˆ’ ๐‘š๐‘‡0 โˆ’ ๐œ—

๐‘‡0)โŠ“ (

๐‘ก + ๐œ โˆ’ ๐‘›๐‘‡0 โˆ’ ๐œ—

๐‘‡0)

๐‘›๐‘š

Risulta:

๐‘Ž๐‘›๐‘Ž๐‘š = {๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘› โ‹… ๐ธ{๐‘Ž๐‘š|๐‘Ž๐‘›} = ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘› โ‹… ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘š = 0; ๐‘š โ‰  ๐‘›

๐‘Ž๐‘›2 = 1; ๐‘š = ๐‘›

poichรฉ:

๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘› = (1)1

2+ (โˆ’1)

1

2= 0

e

๐‘Ž๐‘›2 = (1)

1

2+ (1)

1

2= 1

Di conseguenza si ha:

๐‘…๐‘ (๐‘ก, ๐‘ก + ๐œ) =โˆ‘โŠ“ (๐‘ก โˆ’ ๐‘›๐‘‡0 โˆ’ ๐œ—

๐‘‡0)โŠ“ (

๐‘ก + ๐œ โˆ’ ๐‘›๐‘‡0 โˆ’ ๐œ—

๐‘‡0)

๐‘›

Per calcolare la media sopra indicata, basta osservare che il prodotto

tra i due impulsi rettangolari che costituisce il generico addendo della

sommatoria da luogo ad un risultato non nullo solo quando รจ soddisfatta

una delle due disequazioni:

{๐‘ก โˆ’ ๐‘›๐‘‡0 +

๐‘‡02+ ๐œ โ‰ฅ ๐‘ก โˆ’ ๐‘›๐‘‡0 โˆ’

๐‘‡02;

๐‘ก โˆ’ ๐‘›๐‘‡0 โˆ’๐‘‡02+ ๐œ โ‰ค ๐‘ก โˆ’ ๐‘›๐‘‡0 +

๐‘‡02;

cioรจ quando | .

Inoltre ci si rende conto che, ferma restante questโ€™ultima limitazione,

fissato un istante ๐‘ก esiste in corrispondenza ad esso un unico valore dell'

indice ๐‘› cui corrisponde un addendo diverso da zero. Detto ๐‘›๐‘ก tale valore

si puรฒ cioรฉ scrivere:

Fig.E 21.1

Page 386: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

374 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

๐‘…๐‘ (๐‘ก, ๐‘ก + ๐œ) =โŠ“ (๐‘ก โˆ’ ๐‘›๐‘ก๐‘‡0 โˆ’ ๐œ—

๐‘‡0)โŠ“ (

๐‘ก + ๐œ โˆ’ ๐‘›๐‘ก๐‘‡0 โˆ’ ๐œ—

๐‘‡0)

= โˆซ โŠ“ (๐‘ก โˆ’ ๐‘›๐‘ก๐‘‡0 โˆ’ ๐‘ฅ

๐‘‡0)โŠ“ (

๐‘ก + ๐œ โˆ’ ๐‘›๐‘ก๐‘‡0 โˆ’ ๐‘ฅ

๐‘‡0) ๐‘๐œ—(๐‘ฅ)

โˆž

โˆ’โˆž

๐‘‘๐‘ฅ

=1

๐‘‡0โˆซ โŠ“(

๐‘ฅโ€ฒ

๐‘‡0)โŠ“(

๐‘ฅโ€ฒ + ๐œ

๐‘‡0)๐‘‘๐‘ฅโ€ฒ

โˆž

โˆ’โˆž

Da cui facilmente si ottiene:

๐‘…๐‘ (๐‘ก, ๐‘ก + ๐œ) = (1 โˆ’|๐œ|

๐‘‡0)โŠ“ (

๐œ

2๐‘‡0) = ๐‘…๐‘ (๐œ)

La funzione di autocorrelazione dipende quindi esclusivamente da , os-

servando inoltre che il segnale ha valore medio nullo si conclude che il

segnale in questione รจ stazionario in senso lato, quindi la sua densitร 

spettrale di potenza รจ data dalla trasformata di Fourier della sua funzione

di autocorrelazione.

In definitiva quindi risulta:

๐‘Š๐‘ (๐‘“) = โ„ฑ[๐‘…๐‘ (๐œ)] = ๐‘‡0sinc2(๐‘“๐‘‡0)

In alternativa la densitร  spettrale di potenza del segnale s( t ,a ,) puรฒ

essere calcolata direttamente sulla base della sua definizione (21.2.4).

Ponendo T=(๐‘ + 1)T0 il segnale troncato assume la forma:

๐‘ ๐‘‡(๐‘Ž, ๐œ—, ๐‘ก) = โˆ‘ ๐‘Ž๐‘›โŠ“ (๐‘ก โˆ’ ๐‘›๐‘‡0 โˆ’ ๐œ—

๐‘‡0)

๐‘

๐‘›=โˆ’๐‘

Ad esso corrisponde la seguente trasformata di Fourier:

๐‘†๐‘‡(๐‘“, ๐‘Ž, ๐œ—) = ๐‘‡0sinc(๐‘“๐‘‡0) โˆ‘ ๐‘Ž๐‘›๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“(๐‘›๐‘‡0+๐œ—)

๐‘

๐‘›=โˆ’๐‘

Si ha quindi:

|๐‘†๐‘‡(๐‘“, ๐‘Ž, ๐œ—)|2 = ๐‘‡0

2sinc2(๐‘“๐‘‡0) โ‹… โˆ‘ โˆ‘ ๐‘Ž๐‘š๐‘Ž๐‘›๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹(๐‘šโˆ’๐‘›)๐‘“๐‘‡0

๐‘

๐‘›=โˆ’๐‘

๐‘

๐‘š=โˆ’๐‘

= ๐‘‡02sinc2(๐‘“๐‘‡0) โ‹… โˆ‘ โˆ‘ ๐‘Ž๐‘š๐‘Ž๐‘› ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹(๐‘šโˆ’๐‘›)๐‘“๐‘‡0

๐‘

๐‘›=โˆ’๐‘

๐‘

๐‘š=โˆ’๐‘

= ๐‘‡02sinc2(๐‘“๐‘‡0)(2๐‘ + 1)

Pertanto:

๐‘Š๐‘ (๐‘“) = lim๐‘‡โ†’โˆž

|๐‘†๐‘‡(๐‘Ž,๐‘“)|2

๐‘‡= lim

๐‘‡โ†’โˆž

2๐‘+1

2๐‘๐‘‡0+๐‘‡0๐‘‡02sinc2(๐‘“๐‘‡0) = ๐‘‡0sinc

2(๐‘“๐‘‡0)

Page 387: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 21 โ€“ Caratterizzazione Energetica dei Segnali a Tempo Continuo - 375

Esempio 21.4

Si determini la densitร  spettrale del segnale:

๐‘ฃ(๐‘ก, ํœ) = ๐‘ (๐‘ก, ํœ) cos(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก)

dove s( t , ) รจ un segnale stazionario in senso lato caratterizzato da una

funzione di autocorrelazione e da una densitร  spettrale di potenza date da

Ra() e W

a( f) rispettivamente.

La funzione di autocorrelazione di ( t , ) vale:

๐‘…๐‘ฃ(๐‘ก1, ๐‘ก2) = ๐‘ฃ(๐‘ก1)๐‘ฃ(๐‘ก2) = ๐‘ (๐‘ก1)๐‘ (๐‘ก2) cos(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก1)cos(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก2)

=1

2๐‘…๐‘ (๐‘ก2 โˆ’ ๐‘ก1) โ‹… {cos[2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก1 โˆ’ ๐‘ก2)] + cos[2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก1 + ๐‘ก2)]}

Il segnale ( t , ) รจ pertanto non stazionario dato che la sua funzione

di autocorrelazione non dipende soltanto dalla differenza tra t e t

.

La trasformata bidimensionale di Fourier di R( t

t

) vale:

๐บ๐‘ฃ(๐‘“1, ๐‘“2) = โˆฌ ๐‘…๐‘ฃ(๐‘ก1, ๐‘ก2)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹(๐‘“1๐‘ก1+๐‘“2๐‘ก2)๐‘‘๐‘ก1๐‘‘๐‘ก2

โ„2

=1

2โˆฌ ๐‘…๐‘ (๐‘ก2โ„2

โˆ’ ๐‘ก1){cos[2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก1 โˆ’ ๐‘ก2)] + cos[2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก1 + ๐‘ก2)]}๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹(๐‘“1๐‘ก1+๐‘“2๐‘ก2)๐‘‘๐‘ก1๐‘‘๐‘ก2

Introducendo la trasformazione di variabili:

{๐‘ก1 =

1

2(๐‘ฅ + ๐‘ฆ);

๐‘ก2 =1

2(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ);

la G( f

f

) diventa:

๐บ๐‘ฃ(๐‘“1, ๐‘“2) =1

4โˆฌ ๐‘…๐‘ (๐‘ฆ)(cos2๐œ‹๐‘“0๐‘ฆ + cos2๐œ‹๐‘“0๐‘ฅ)๐‘’

โˆ’๐‘—๐œ‹[(๐‘“1+๐‘“2)๐‘ฅ+(๐‘“1โˆ’๐‘“2)๐‘ฆ]๐‘‘๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฆ๐‘…2

dove si รจ anche tenuto conto che risulta R(y)=R(-y) e che

๐‘‘๐‘ก1๐‘‘๐‘ก2 = |๐œ•(๐‘ก1,๐‘ก2)

๐œ•(๐‘ฅ,๐‘ฆ)|๐‘‘๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฆ = |

๐œ•๐‘ก1

๐œ•๐‘ฅ

๐œ•๐‘ก1

๐œ•๐‘ฆ

๐œ•๐‘ก2

๐œ•๐‘ฅ

๐œ•๐‘ก2

๐œ•๐‘ฆ

|๐‘‘๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฆ = |

1

2

1

21

2โˆ’1

2

|๐‘‘๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฆ =1

2๐‘‘๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฆ

Si ottiene allora:

๐บ๐‘ฃ(๐‘“1, ๐‘“2) =1

4โˆซ ๐‘’โˆ’๐‘—๐œ‹(๐‘“1+๐‘“2)๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฅโˆž

โˆ’โˆž โˆซ ๐‘…๐‘ (๐‘ฆ)cos(2๐œ‹๐‘“0๐‘ฆ)๐‘’โˆ’๐‘—๐œ‹(๐‘“1โˆ’๐‘“2)๐‘ฆ๐‘‘๐‘ฆ

โˆž

โˆ’โˆž+

โˆซ cos(2๐œ‹๐‘“0๐‘ฅ)๐‘’โˆ’๐‘—๐œ‹(๐‘“1+๐‘“2)๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฅ

โˆž

โˆ’โˆž โˆซ ๐‘…๐‘ (๐‘ฆ)๐‘’โˆ’๐‘—๐œ‹(๐‘“1โˆ’๐‘“2)๐‘ฆ๐‘‘๐‘ฆ

โˆž

โˆ’โˆž=

1

8[๐‘Š๐‘ (

๐‘“1โˆ’๐‘“2

2โˆ’ ๐‘“0) +

๐‘Š๐‘ (๐‘“1โˆ’๐‘“2

2+ ๐‘“0)] โ‹… ๐›ฟ(

๐‘“1+๐‘“2

2) + +

1

8๐‘Š๐‘ (

๐‘“1โˆ’๐‘“2

2) โ‹… [๐›ฟ(

๐‘“1+๐‘“2

2โˆ’ ๐‘“0) + ๐›ฟ(

๐‘“1+๐‘“2

2โˆ’ ๐‘“0)]

Tenendo conto che risulta:

Page 388: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

376 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

๐›ฟ (๐‘ก

๐‘‡) = ๐‘‡ โ‹… ๐›ฟ(๐‘ก)

la precedente si puรฒ ancora riscrivere:

๐บ๐‘ฃ(๐‘“1, ๐‘“2) =1

4[๐‘Š๐‘  (

๐‘“1โˆ’๐‘“2

2โˆ’ ๐‘“0) +๐‘Š๐‘  (

๐‘“1โˆ’๐‘“2

2+ ๐‘“0)] โ‹… ๐›ฟ(๐‘“1 โˆ’ ๐‘“2) +

1

4๐‘Š๐‘ (

๐‘“1โˆ’๐‘“2

2) โ‹…

[๐›ฟ(๐‘“1 + ๐‘“2 โˆ’ 2๐‘“0) + ๐›ฟ(๐‘“1 + ๐‘“2 + 2๐‘“0)]

dalla quale si deduce che ๐บ๐œˆ(๐‘“1, ๐‘“2) รจ una distribuzione localizzata nei

punti del piano (๐’, ๐‘“1, ๐‘“2) appartenenti alle rette di equazione:

๐‘“1 + ๐‘“2 = ๐‘˜๐‘“0๐‘˜ โˆˆ {โˆ’2,0,2}

La densitร  spettrale di potenza del segnale vale:

๐‘Š๐‘ฃ(๐‘“) =1

4[๐‘Š๐‘ (๐‘“ โˆ’ ๐‘“0) +๐‘Š๐‘ (๐‘“ + ๐‘“0)]

che ovviamente poteva anche calcolarsi direttamente come trasformata di

Fourier del valor medio temporale della funzione ๐‘…(๐‘ก, ๐‘ก + ๐œ):

๐œ™๐‘ฃ(๐œ) = lim๐‘‡โ†’โˆž

1

2๐‘‡โˆซ ๐‘…๐‘ฃ(๐‘ก, ๐‘ก + ๐œ)๐‘‘๐‘ก๐‘‡

โˆ’๐‘‡

=1

2๐‘…๐‘ (๐œ)cos(2๐œ‹๐‘“0๐œ)

Segnali distinti. Funzioni di correlazione e densitร  21.5 - spettrale incrociate.

Le considerazioni svolte nei precedenti paragrafi possono es-

sere facilmente estese al caso di n segnali aleatori tempo continui

๐‘ ๐‘–(๐‘ก, ํœ). In quel che segue รจ conveniente introdurre il vettore

๐‘ (๐‘ก, ํœ) = [

๐‘ 1(๐‘ก, ํœ)

๐‘ 2(๐‘ก, ํœ)โ€ฆ

๐‘ ๐‘›(๐‘ก, ํœ)

] (21.5.1)

si definisce matrice di correlazione la matrice:

๐‘…(๐‘ก1, ๐‘ก2) = ๐‘ โˆ—(๐‘ก1, ํœ)๐‘ 

๐‘‡(๐‘ก2, ํœ)

=

[ ๐‘ 1โˆ—(๐‘ก1, ํœ)๐‘ 1(๐‘ก2, ํœ) ๐‘ 1

โˆ—(๐‘ก1, ํœ)๐‘ 2(๐‘ก2, ํœ) โ€ฆ ๐‘ 1โˆ—(๐‘ก1, ํœ)๐‘ ๐‘›(๐‘ก2, ํœ)

๐‘ 2โˆ—(๐‘ก1, ํœ)๐‘ 1(๐‘ก2, ํœ) ๐‘ 2

โˆ—(๐‘ก1, ํœ)๐‘ 2(๐‘ก2, ํœ) โ€ฆ ๐‘ 2โˆ—(๐‘ก1, ํœ)๐‘ ๐‘›(๐‘ก2, ํœ)

โ€ฆ โ€ฆ โ€ฆ โ€ฆ๐‘ ๐‘›โˆ—(๐‘ก1, ํœ)๐‘ 1(๐‘ก2, ํœ) ๐‘ ๐‘›

โˆ—(๐‘ก1, ํœ)๐‘ 2(๐‘ก2, ํœ) โ€ฆ ๐‘ ๐‘›โˆ—(๐‘ก1, ํœ)๐‘ ๐‘›(๐‘ก2, ํœ) ]

(21.5.2)

Essa dipende dalle variabili ๐‘ก1 e ๐‘ก2 a meno che i segnali non siano

congiuntamente stazionari. In questo caso la matrice di correlazione

dipende in effetti dalla differenza tra gli istanti di tempo e si ha:

๐‘…(๐œ) = ๐‘ โˆ—(๐‘ก, ํœ)๐‘ ๐‘‡(๐‘ก + ๐œ, ํœ) (21.5.3)

Page 389: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 21 โ€“ Caratterizzazione Energetica dei Segnali a Tempo Continuo - 377

Con riferimento alla (21.5.2) gli elementi della diagonale prin-

cipale della matrice di correlazione sono le autocorrelazioni dei se-

gnali ๐‘ ๐‘–(๐‘ก, ํœ), mentre gli altri elementi rappresentano le mutue correla-

zioni o correlazioni incrociate:

Risulta ovviamente:

๐‘…๐‘–๐‘—(๐‘ก2, ๐‘ก1) = ๐‘ ๐‘–โˆ—(๐‘ก2)๐‘ ๐‘—(๐‘ก1) = [๐‘ ๐‘—

โˆ—(๐‘ก1)๐‘ ๐‘–(๐‘ก2) ]โˆ— = ๐‘…๐‘—๐‘–โˆ— (๐‘ก1, ๐‘ก2) (21.5.4)

Se i segnali ๐‘ ๐‘–(๐‘ก, ํœ) sono stazionari la precedente diventa:

๐‘…๐‘–๐‘—(๐œ) = ๐‘…๐‘—๐‘–โˆ— (โˆ’๐œ) (21.5.5)

Si consideri adesso il seguente segnale

๐‘ฅ(๐‘ก, ํœ) = โˆ‘๐‘Ž๐‘–๐‘ ๐‘–(๐‘ก, ํœ)

๐‘›

๐‘–=1

= ๐‘Ž๐‘‡ โ‹… ๐‘ (๐‘ก, ํœ) (21.5.6)

in cui ๐’‚ rappresenta un arbitrario vettore di ๐‘› costanti complesse. La

funzione di autocorrelazione di ๐‘ฅ(๐‘ก, ํœ) vale:

๐‘…๐‘ฅ(๐‘ก1, ๐‘ก2) = ๐‘ฅ(๐‘ก1, ํœ)๐‘ฅ(๐‘ก2, ํœ) = ๐’‚โ€ ๐‘ (๐‘ก1, ํœ)๐‘ (๐‘ก2, ํœ) ๐’‚= ๐’‚โ€ ๐‘…(๐‘ก1, ๐‘ก2)๐’‚ (21.5.7)

dove ๐’‚โ€  denota il trasposto coniugato del vettore ๐’‚.

In ๐‘ก1 = ๐‘ก2 = ๐‘ก risulta

0 โ‰ค |๐‘ฅ(๐‘ก, ํœ)|2 = ๐‘…๐‘ฅ(๐‘ก, ๐‘ก) = ๐’‚โ€ ๐‘…๐‘ (๐‘ก, ๐‘ก)๐’‚ (21.5.8)

dalla quale si evince che la matrice di correlazione รจ semidefinita po-

sitiva in ogni punto della prima bisettrice del piano (๐’, ๐‘ก1, ๐‘ก2).

Le considerazioni sin qui svolte si possono applicare al se-

guente vettore aleatorio:

๐‘ฆ(๐‘ก, ํœ) = [๐‘ 1(๐‘ก, ํœ)

๐‘ 2(๐‘ก + ๐œ, ํœ)] (21.5.9)

il quale per un assegnato valore di ๐œ dipende solo dall'istante ๐‘ก. La

matrice di correlazione calcolata in ๐œ = 0 vale:

๐‘…๐‘ฆ(๐‘ก, ๐‘ก) = ๐‘ฆโˆ—(๐‘ก, ํœ)๐‘ฆ๐‘‡(๐‘ก, ํœ)

= [๐‘…11(๐‘ก, ๐‘ก) ๐‘…12(๐‘ก, ๐‘ก + ๐œ)

๐‘…21(๐‘ก + ๐œ, ๐‘ก) ๐‘…22(๐‘ก + ๐œ, ๐‘ก + ๐œ)] (21.5.10)

Il fatto che ๐‘…๐‘ฆ(๐‘ก, ๐‘ก) รจ semidefinta positiva consente di scrivere la di-

suguaglianza:

Page 390: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

378 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

๐‘…11(๐‘ก, ๐‘ก)๐‘…22(๐‘ก + ๐œ, ๐‘ก + ๐œ) โˆ’ ๐‘…12(๐‘ก, ๐‘ก + ๐œ)๐‘…21(๐‘ก + ๐œ, ๐‘ก)โ‰ฅ 0 (21.5.11)

dalla quale, ricordando la (21.5.4) e ponendo ๐‘ก1 = ๐‘ก; ๐‘ก2 = ๐‘ก + ๐œ si de-

duce:

|๐‘…12(๐‘ก1, ๐‘ก2)| โ‰ค โˆš๐‘…11(๐‘ก1, ๐‘ก1) โ‹… ๐‘…22(๐‘ก2, ๐‘ก2) (21.5.12)

Se ๐‘ 1(๐‘ก, ํœ) ed ๐‘ 2(๐‘ก + ๐œ, ํœ) sono congiuntamente stazionari, la

precedente si riduce alla:

|๐‘…12(๐œ)| โ‰ค โˆš๐‘…11(0) โ‹… ๐‘…22(0) (21.5.13)

In certi casi, รจ preferibile caratterizzare ๐‘› segnali aleatori me-

diante la matrice di covarianza cosรฌ definita:

๐œŽ(๐‘ก1, ๐‘ก2) = [๐‘ (๐‘ก1, ํœ) โˆ’ ๐‘š(๐‘ก1)]

โˆ—[๐‘ (๐‘ก2, ํœ) โˆ’ ๐‘š(๐‘ก2)]๐‘‡

= ๐‘…(๐‘ก1, ๐‘ก2) โˆ’ ๐’Žโˆ—(๐‘ก1)๐’Ž

๐‘‡(๐‘ก2) (21.5.14)

dove ๐’Ž(๐‘ก) รจ il vettore dei valori medi dei segnali valutato nell'istante

๐‘ก:

Due segnali aleatori ๐‘ 1(๐‘ก, ํœ) e ๐‘ 2(๐‘ก, ํœ) si dicono ortogonali se la

loro funzione di mutua correlazione รจ nulla, incorrelati se รจ nulla la lo-

ro funzione di mutua covarianza.

รˆ da notare che se i segnali sono statisticamente indipendenti

sono anche incorrelati dal momento che risulta:

๐‘…12(๐‘ก1, ๐‘ก2) = ๐‘š1โˆ—(๐‘ก1)๐‘š2(๐‘ก2) (21.5.15)

Non รจ vero il contrario cioรฉ se due segnali sono incorrelati non รจ

detto che essi siano anche statisticamente indipendenti.

Trasformando secondo Fourier ciascun elemento della matri-

ce di correlazione associata ad un vettore ๐’”(๐‘ก, ํœ) di segnali aleatori si

ottiene la matrice:

๐‘ฎ(๐‘“1, ๐‘“2) = [

๐บ11(๐‘“1, ๐‘“2) ๐บ12(๐‘“1, ๐‘“2) โ€ฆ ๐บ1๐‘›(๐‘“1, ๐‘“2)

๐บ21(๐‘“1, ๐‘“2) ๐บ22(๐‘“1, ๐‘“2) โ€ฆ ๐บ2๐‘›(๐‘“1, ๐‘“2)โ€ฆ โ€ฆ โ€ฆ โ€ฆ

๐บ๐‘›1(๐‘“1, ๐‘“2) ๐บ๐‘›2(๐‘“1, ๐‘“2) โ€ฆ ๐บ๐‘›๐‘›(๐‘“1, ๐‘“2)

] (21.5.16)

il cui generico elemento vale:

๐บ๐‘–๐‘—(๐‘“1, ๐‘“2) = โˆซ โˆซ ๐‘…๐‘–๐‘—(๐‘ก1, ๐‘ก2)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹(๐‘“1๐‘ก1+๐‘“2๐‘ก2)๐‘‘๐‘ก1๐‘‘๐‘ก2

โˆž

โˆ’โˆž

โˆž

โˆ’โˆž

(21.5.17)

Page 391: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 21 โ€“ Caratterizzazione Energetica dei Segnali a Tempo Continuo - 379

Se i segnali ๐‘ ๐‘–(๐‘ก, ํœ), ๐‘ ๐‘—(๐‘ก, ํœ) sono congiuntamente stazionari la

(21.5.16) puรฒ porsi nella forma:

๐บ๐‘–๐‘—(๐‘“1, ๐‘“2) = โˆซ โˆซ ๐‘…๐‘–๐‘—(๐œ)๐‘’

โˆ’๐‘—2๐œ‹[(๐‘“1+๐‘“2)๐‘ก+๐‘“2๐œ]๐‘‘๐‘ก๐‘‘๐œโˆž

โˆ’โˆž

โˆž

โˆ’โˆž

= ๐‘Š๐‘–๐‘—(๐‘“2)๐›ฟ(๐‘“1 + ๐‘“2) (21.5.18)

dove ๐‘Š๐‘–๐‘—(๐‘“) rappresenta la trasformata di Fourier di ๐‘…๐‘–๐‘—(๐œ).

Se i segnali che compongono il vettore ๐’”(๐‘ก, ํœ) sono congiun-

tamente stazionari la matrice ๐‘ฎ(๐‘“1, ๐‘“2) puรฒ essere quindi immediata-

mente dedotta dalla seguente matrice delle densitร  spettrali:

๐‘พ(๐‘“) = [

๐‘Š11(๐‘“) ๐‘Š12(๐‘“) โ€ฆ ๐‘Š1๐‘›(๐‘“)

๐‘Š21(๐‘“) ๐‘Š22(๐‘“) โ€ฆ ๐‘Š2๐‘›(๐‘“)โ€ฆ โ€ฆ โ€ฆ โ€ฆ

๐‘Š๐‘›1(๐‘“) ๐‘Š๐‘›2(๐‘“) โ€ฆ ๐‘Š๐‘›๐‘›(๐‘“)

] (21.5.19)

La condizione ((21.5.4)) comporta:

๐บ๐‘–๐‘—(๐‘“1, ๐‘“2) = ๐บ๐‘—๐‘–โˆ— (โˆ’๐‘“2, โˆ’๐‘“1) (21.5.20)

che nel caso di segnali congiuntamente stazionari si traduce nella

๐‘Š๐‘–๐‘—(๐‘“) = ๐‘Š๐‘—๐‘–โˆ—(๐‘“) (21.5.21)

Dalla quale si evince che ๐‘พ(๐‘“) รจ una matrice hermitiana.

Page 392: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf
Page 393: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 22

CARATTERIZZAZIONE ENERGETICA DI SEGNALI

ALEATORI A TEMPO DISCRETO

Funzione di autocorrelazione. 22.1 -

La caratterizzazione energetica dei segnali a tempo discreto non pre-

senta sostanziali differenze rispetto a quanto visto a proposito dei se-

gnali a tempo continuo, le uniche variazioni sono ovviamente quelle

connesse alla sostituzione della variabile continua ๐‘ก con la variabile

discreta ๐‘›๐‘‡.

Sia ๐‘ (๐‘›๐‘‡, ํœ) (โˆ’โˆž < ๐‘› < โˆž) un segnale aleatorio, in generale com-

plesso, a tempo discreto. La sua funzione di autocorrelazione รจ defi-

nita dalla:

๐‘…๐‘ (๐‘š๐‘‡, ๐‘›๐‘‡) = ๐‘ โˆ—(๐‘š๐‘‡)๐‘ (๐‘›๐‘‡) (22.1.1)

la quale, in generale, dipende dagli indici ๐‘š e ๐‘›.

Se il segnale รจ stazionario (almeno in senso lato) lโ€™autocorrelazione

dipende in effetti dalla differenza ๐‘˜๐‘‡ = (๐‘š โˆ’ ๐‘›)๐‘‡ tra gli istanti di os-

servazione ed รจ quindi funzione di una sola variabile, o meglio da un

solo indice, data la natura discreta del segnale.

Ponendo nella (22.1.1) ๐‘› = ๐‘š si ottiene:

๐‘…๐‘ (๐‘›๐‘‡, ๐‘›๐‘‡) = |๐‘ (๐‘›๐‘‡)|2 โ‰ฅ 0 (22.1.2)

che, nel caso di segnali stazionari, si riduce alla:

๐‘…๐‘ (0) = |๐‘ (๐‘›๐‘‡)|2 โ‰ฅ 0 (22.1.3)

Dalla (22.1.1) si deduce facilmente:

๐‘…๐‘ (๐‘›๐‘‡,๐‘š๐‘‡) = ๐‘ 

โˆ—(๐‘›๐‘‡)๐‘ (๐‘š๐‘‡) = ๐‘ โˆ—(๐‘š๐‘‡)๐‘ (๐‘›๐‘‡) โˆ—

= ๐‘…๐‘ โˆ—(๐‘š๐‘‡, ๐‘›๐‘‡) (22.1.4)

Che per segnali reali comporta:

๐‘…๐‘ (๐‘›๐‘‡,๐‘š๐‘‡) = ๐‘…๐‘ (๐‘š๐‘‡, ๐‘›๐‘‡) (22.1.5)

Nel caso di segnali stazionari la (22.1.3) diviene:

Page 394: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

382 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

๐‘…๐‘ (๐‘˜๐‘‡) = ๐‘…๐‘ โˆ—(โˆ’๐‘˜๐‘‡) (22.1.6)

che se il segnale รจ anche reale, diventa:

๐‘…๐‘ (๐‘˜๐‘‡) = ๐‘…๐‘ (โˆ’๐‘˜๐‘‡) (22.1.7)

Pertanto lโ€™autocorrelazione di un segnale reale e stazionario almeno

in senso lato, รจ una funzione pari rispetto allโ€™indice ๐‘˜.

Si consideri adesso una sequenza {๐œ™(๐‘›)}๐‘›=โˆ’โˆžโˆž generalmente com-

plessa a quadrato sommabile:

โˆ‘ |๐œ™(๐‘›)|2โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

< โˆž (22.1.8)

e si calcoli il secondo momento assoluto della variabile aleatoria:

๐‘ ๐œ™ = โˆ‘ ๐‘ โˆ—(๐‘›๐‘‡)๐œ™(๐‘›)

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(22.1.9)

Si ha:

0 โ‰ค |๐‘ ๐œ™|2 = โˆ‘ โˆ‘ ๐œ™(๐‘)๐‘ โˆ—(๐‘๐‘‡)๐‘ (๐‘ž๐‘‡) ๐œ™โˆ—(๐‘ž)

โˆž

๐‘ž=โˆ’โˆž

โˆž

๐‘=โˆ’โˆž

(22.1.10)

Ciรฒ significa che, qualunque sia la sequenza ๐œ™(๐‘›), รฉ soddisfatta la

condizione:

โˆ‘ โˆ‘ ๐œ™(๐‘)๐‘…๐‘ (๐‘๐‘‡, ๐‘ž๐‘‡)๐œ™โˆ—(๐‘ž)

โˆž

๐‘ž=โˆ’โˆž

โˆž

๐‘=โˆ’โˆž

โ‰ฅ 0 (22.1.11)

che si sintetizza affermando che lโ€™autocorrelazione รจ una funzione

semidefinta positiva.

Denotando con ๐›ฟ(๐‘›) la sequenza definita dalla:

๐›ฟ(๐‘›) = {1; ๐‘› = 00; ๐‘› โ‰  0

(22.1.12)

si ponga:

๐œ™(๐‘) = ๐›ผ๐›ฟ(๐‘ โˆ’ ๐‘š) + ๐›ฝ๐›ฟ(๐‘ โˆ’ ๐‘›) (22.1.13)

dove ๐›ผ e ๐›ฝ sono delle costanti complesse arbitrarie. Con questa scel-

ta della ๐œ™(๐‘), la (22.1.11) fornisce:

Page 395: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 22 โ€“ Caratterizzazione Energetica dei Segnali a Tempo Discreto - 383

|๐›ผ|2๐‘…๐‘ (๐‘š๐‘‡,๐‘š๐‘‡) + ๐›ผ๐›ฝ

โˆ—๐‘…๐‘ โˆ—(๐‘š๐‘‡, ๐‘›๐‘‡) + ๐›ผโˆ—๐›ฝ๐‘…๐‘ (๐‘š๐‘‡, ๐‘›๐‘‡)

+ |๐›ฝ|2๐‘…๐‘ (๐‘›๐‘‡, ๐‘›๐‘‡) โ‰ฅ 0 (22.1.14)

che รจ una forma quadratica semidefinita positiva nelle variabili ๐›ผ e ๐›ฝ,

il che comporta:

|๐‘…๐‘ (๐‘š๐‘‡, ๐‘›๐‘‡)| โ‰ค โˆš๐‘…๐‘ (๐‘š๐‘‡,๐‘š๐‘‡)๐‘…๐‘ (๐‘›๐‘‡, ๐‘›๐‘‡) (22.1.15)

nel caso di segnale stazionario la precedente si scrive:

|๐‘…๐‘ (๐‘˜๐‘‡)| โ‰ค ๐‘…๐‘ (0) (22.1.16)

Analogamente a quanto visto per i segnali a tempo continuo, il mo-

dulo dellโ€™autocorrelazione di un segnale a tempo discreto stazionario

almeno in senso lato raggiunge il suo massimo assoluto nellโ€™origine.

Le proprietร  dellโ€™autocorrelazione sono riassunte nella Tabella 22.1.

Tabella 22.1

Proprietร  della autocorrelazione per segnali a tempo discreto

Segnali stazionari Segnali non stazionari

๐‘…๐‘ (๐‘˜๐‘‡) = ๐‘ โˆ—(๐‘›๐‘‡)๐‘ (๐‘›๐‘‡ + ๐‘˜๐‘‡ ๐‘…๐‘ (๐‘š๐‘‡, ๐‘›๐‘‡) = ๐‘ โˆ—(๐‘š๐‘‡)๐‘ (๐‘›๐‘‡) ๐‘…๐‘ (0) = |๐‘ (๐‘›๐‘‡)|2 ๐‘…๐‘ (๐‘›๐‘‡, ๐‘›๐‘‡) = |๐‘ (๐‘›๐‘‡)|

2 ๐‘…๐‘ (โˆ’๐‘˜๐‘‡) = ๐‘…๐‘ 

โˆ—(๐‘˜๐‘‡) ๐‘…๐‘ (๐‘›๐‘‡,๐‘š๐‘‡) = ๐‘…๐‘ โˆ—(๐‘š๐‘‡, ๐‘›๐‘‡)

|๐‘…๐‘ (๐‘˜๐‘‡)| โ‰ค ๐‘…๐‘ (0) |๐‘…๐‘ (๐‘š๐‘‡, ๐‘›๐‘‡)|

โ‰ค โˆš๐‘…๐‘ (๐‘š๐‘‡,๐‘š๐‘‡)๐‘…๐‘ (๐‘›๐‘‡, ๐‘›๐‘‡)

โˆ‘ โˆ‘ ๐œ™(๐‘)๐‘…๐‘ ((๐‘ž โˆ’ ๐‘)๐‘‡)๐œ™โˆ—(๐‘ž)

โˆž

๐‘ž=โˆ’โˆž

โˆž

๐‘=โˆ’โˆž

โ‰ฅ 0

โˆ‘ โˆ‘ ๐œ™(๐‘)๐‘…๐‘ (๐‘๐‘‡, ๐‘ž๐‘‡)๐œ™โˆ—(๐‘ž)

โˆž

๐‘ž=โˆ’โˆž

โˆž

๐‘=โˆ’โˆž

โ‰ฅ 0

Densitร  spettrale di potenza. 22.2 -

La densitร  spettrale di potenza ๐‘Š๐‘ (๐‘“) per i segnali a tempo discreto

viene definita, analogamente a quanto visto per i segnali a tempo

continuo, come la media statistica delle densitร  spettrali di potenza

delle manifestazioni del processo.

Detto ๐‘ ๐‘(๐‘›๐‘‡, ํœ) il segnale troncato:

(๐‘›๐‘‡, ํœ) = {๐‘ (๐‘›๐‘‡, ํœ); |๐‘›| โ‰ค ๐‘0; |๐‘›| > ๐‘

(22.2.1)

si ha:

Page 396: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

384 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

๐‘Š๐‘ (๐‘“) = lim๐‘โ†’โˆž

1

(2๐‘ + 1)๐‘‡|๐‘†๐‘(๐‘“, ํœ)|

2

= lim๐‘โ†’โˆž

1

(2๐‘ + 1)๐‘‡๐‘†๐‘(๐‘“, ํœ)๐‘†๐‘

โˆ— (๐‘“, ํœ) (22.2.2)

dove ๐‘†๐‘(๐‘“, ํœ) denota la trasformata di Fourier discreta di ๐‘ ๐‘(๐‘›๐‘‡, ํœ)

cioรจ:

๐‘†๐‘(๐‘“, ํœ) = ๐‘‡ โˆ‘ ๐‘ ๐‘(๐‘›๐‘‡, ํœ)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“๐‘‡

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

= ๐‘‡ โˆ‘ ๐‘ (๐‘›๐‘‡, ํœ)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘›๐‘“๐‘‡๐‘

๐‘›=โˆ’๐‘

(22.2.3)

Poichรฉ risulta:

๐‘†๐‘(๐‘“, ํœ)๐‘†๐‘โˆ— (๐‘“, ํœ)

= ๐‘‡2 โˆ‘ โˆ‘ ๐‘ โˆ—(๐‘›๐‘‡, ํœ)๐‘ (๐‘š๐‘‡, ํœ)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹(๐‘šโˆ’๐‘›)๐‘“๐‘‡๐‘

๐‘š=โˆ’๐‘

๐‘

๐‘›=โˆ’๐‘

(22.2.4)

si ottiene:

๐‘Š๐‘ (๐‘“)

= ๐‘‡ lim๐‘โ†’โˆž

1

2๐‘ + 1โˆ‘ โˆ‘ ๐‘ ๐‘

โˆ— (๐‘›๐‘‡, ํœ)๐‘ ๐‘(๐‘š๐‘‡, ํœ) ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹(๐‘šโˆ’๐‘›)๐‘“๐‘‡๐‘

๐‘š=โˆ’๐‘

๐‘

๐‘›=โˆ’๐‘

(22.2.5)

che, tenendo conto della (22.1.1), diventa:

๐‘Š๐‘ (๐‘“)

= ๐‘‡ lim๐‘โ†’โˆž

1

(2๐‘ + 1)๐‘‡โˆ‘ โˆ‘ ๐‘…๐‘ (๐‘›๐‘‡,๐‘š๐‘‡)๐‘’

โˆ’๐‘—2๐œ‹(๐‘šโˆ’๐‘›)๐‘“๐‘‡

๐‘

๐‘š=โˆ’๐‘

๐‘

๐‘›=โˆ’๐‘

(22.2.6)

Lโ€™antitrasformata della ๐‘Š๐‘ (๐‘“) vale:

๐œ™๐‘ (๐‘˜๐‘‡) = โˆซ ๐‘Š๐‘ (๐‘“)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘˜๐‘“๐‘‡๐‘‘๐‘“

1

2๐‘‡

โˆ’1

2๐‘‡

= ๐‘‡ lim๐‘โ†’โˆž

1

2๐‘ + 1โˆ‘ ๐‘…๐‘ (๐‘›๐‘‡,๐‘š๐‘‡)โˆซ ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹(๐‘šโˆ’๐‘›โˆ’๐‘˜)๐‘“๐‘‡๐‘‘๐‘“

1

2๐‘‡

โˆ’1

2๐‘‡

๐‘

๐‘›,๐‘š=โˆ’๐‘

= lim๐‘โ†’โˆž

1

2๐‘ + 1โˆ‘ ๐‘…๐‘ (๐‘›๐‘‡,๐‘š๐‘‡)sinc(๐‘š โˆ’ ๐‘› โˆ’ ๐‘˜)

๐‘

๐‘š,๐‘›=โˆ’๐‘

= lim๐‘โ†’โˆž

1

2๐‘ + 1โˆ‘ ๐‘…๐‘ (๐‘›๐‘‡, (๐‘› + ๐‘˜)๐‘‡)

๐‘

๐‘›=โˆ’๐‘

(22.2.7)

Page 397: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 22 โ€“ Caratterizzazione Energetica dei Segnali a Tempo Discreto - 385

In conclusione:

๐œ™๐‘ (๐‘˜๐‘‡) = lim๐‘โ†’โˆž

1

2๐‘ + 1โˆ‘ ๐‘…๐‘ (๐‘›๐‘‡, (๐‘› + ๐‘˜)๐‘‡)

๐‘

๐‘›=โˆ’๐‘

(22.2.8)

Dalla precedente si desume che, analogamente a quanto visto per i

segnali a tempo continuo, la densitร  spettrale di potenza di un segna-

le a tempo discreto si puรฒ ottenere effettuando la trasformata di

Fourier della media temporale espressa dalla (22.2.8).

Inoltre, se il segnale รจ stazionario almeno in senso lato si ha:

๐œ™๐‘ (๐‘˜๐‘‡) = ๐‘…๐‘ (๐‘˜๐‘‡) (22.2.9)

Dalla quale si desume che, analogamente ai segnali a tempo

continuo, la densitร  spettrale di potenza di un segnale a tempo di-

screto stazionario, almeno in senso lato, รจ data dalla trasformata di

Fourier della sua autocorrelazione riferita alla differenza tra i due

istanti di osservazione.

La simmetria hermitiana (22.1.4) di cui gode lโ€™autocorrela-

zione, fa sรฌ che risulti ๐œ™๐‘ (๐‘˜๐‘‡) = ๐œ™๐‘ โˆ—(โˆ’๐‘˜๐‘‡), la quale comporta che la

densitร  spettrale di potenza รจ una funzione reale del suo argomento.

Se il segnale aleatorio รจ reale la ๐‘Š(๐‘“) รจ anche una funzione pari del

suo argomento.

Caratterizzazione nel dominio della frequenza 22.3 -

Come nel caso dei segnali a tempo continuo รจ utile introdurre

la trasformata discreta di Fourier bidimensionale ๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2) della auto-

correlazione di un segnale tempo discreto

๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2) = ๐‘‡2 โˆ‘ โˆ‘ ๐‘…๐‘ (๐‘š๐‘‡, ๐‘›๐‘‡)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹(๐‘š๐‘“1+๐‘›๐‘“2)๐‘‡

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

โˆž

๐‘š=โˆ’โˆž

(22.3.1)

A differenza del caso dei segnali a tempo continuo, la ๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2) รจ una

funzione periodica nelle variabili ๐‘“1 e ๐‘“2 di periodo 1

๐‘‡; cioรจ:

๐บ๐‘  (๐‘“1 +๐‘˜1๐‘‡, ๐‘“2 +

๐‘˜2๐‘‡) = ๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2) (22.3.2)

quali che siano gli interi ๐‘˜1 e ๐‘˜2.

Per inversione della (22.3.1) si ottiene

Page 398: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

386 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

๐‘…๐‘ (๐‘š๐‘‡, ๐‘›๐‘‡) = โˆซ โˆซ ๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2)๐‘’๐‘—2๐œ‹(๐‘š๐‘“1+๐‘›๐‘“2)๐‘‡๐‘‘๐‘“1๐‘‘๐‘“2

1

2๐‘‡

โˆ’1

2๐‘‡

1

2๐‘‡

โˆ’1

2๐‘‡

(22.3.3)

La condizione (22.1.4) si puรฒ scrivere:

โˆซ โˆซ ๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2)๐‘’๐‘—2๐œ‹(๐‘š๐‘“1+๐‘›๐‘“2)๐‘‡๐‘‘๐‘“1๐‘‘๐‘“2

1

2๐‘‡

โˆ’1

2๐‘‡

1

2๐‘‡

โˆ’1

2๐‘‡

= (โˆซ โˆซ ๐บ๐‘ โˆ—(โˆ’๐‘“2, โˆ’๐‘“1)๐‘’

๐‘—2๐œ‹(๐‘š๐‘“1+๐‘›๐‘“2)๐‘‡๐‘‘๐‘“1๐‘‘๐‘“2

1

2๐‘‡

โˆ’1

2๐‘‡

1

2๐‘‡

โˆ’1

2๐‘‡

)

โˆ—

(22.3.4)

pertanto:

๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2) = ๐บ๐‘ โˆ—(โˆ’๐‘“2, โˆ’๐‘“1) (22.3.5)

Nel caso di segnale stazionario operando nella (22.3.1) la trasforma-

zione di indici: ๐‘™ = ๐‘›, ๐‘˜ = ๐‘š โˆ’ ๐‘› ed applicando la formula di Poisson

si ottiene:

๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2) = ๐‘‡2 โˆ‘ โˆ‘ ๐‘…๐‘ (๐‘š๐‘‡, ๐‘›๐‘‡)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹(๐‘š๐‘“1+๐‘›๐‘“2)๐‘‡

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

โˆž

๐‘š=โˆ’โˆž

= ๐‘‡2 โˆ‘ ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘™(๐‘“1+๐‘“2)๐‘‡ โˆ‘ ๐‘…๐‘ (๐‘˜๐‘‡)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘˜๐‘“1๐‘‡

โˆž

๐‘˜=โˆ’โˆž

โˆž

๐‘™=โˆ’โˆž

= ๐‘‡ โˆ‘ ๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘™(๐‘“1+๐‘“2)๐‘‡๐‘Š๐‘ (๐‘“1)

โˆž

๐‘™=โˆ’โˆž

= ๐‘‡2๐‘Š๐‘ (๐‘“1) โˆ‘ ๐›ฟ (๐‘“1 + ๐‘“2 โˆ’๐‘™

๐‘‡)

โˆž

๐‘™=โˆ’โˆž

(22.3.6)

dove ๐‘Š๐‘ (๐‘“)rappresenta la densitร  spettrale di potenza del segnale.

Sostituendo la (22.3.3) nella (22.1.11) si ha:

0 โ‰ค โˆ‘ ๐œ™(๐‘)๐œ‘โˆ—(๐‘ž)โˆซ โˆซ ๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2)๐‘’๐‘—2๐œ‹(๐‘๐‘“1+๐‘ž๐‘“2)๐‘‡๐‘‘๐‘“1๐‘‘๐‘“2

1

2๐‘‡

โˆ’1

2๐‘‡

1

2๐‘‡

โˆ’1

2๐‘‡

โˆž

๐‘,๐‘ž=โˆ’โˆž

= โˆซ โˆซ ๐บ๐‘ (๐‘“1 , ๐‘“2) โˆ‘ ๐œ™(๐‘)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘๐‘“1๐‘‡ โˆ‘ ๐œ‘โˆ—(๐‘ž)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘ž๐‘“2๐‘‡โˆž

๐‘ž=โˆ’โˆž

โˆž

๐‘=โˆ’โˆž

๐‘‘๐‘“1๐‘‘๐‘“2

1

2๐‘‡

โˆ’1

2๐‘‡

1

2๐‘‡

โˆ’1

2๐‘‡

=1

๐‘‡2โˆซ โˆซ ๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2)๐›ท(โˆ’๐‘“1)๐›ท

โˆ—(๐‘“2)๐‘‘๐‘“1๐‘‘๐‘“2

1

2๐‘‡

โˆ’1

2๐‘‡

1

2๐‘‡

โˆ’1

2๐‘‡

(22.3.7)

dove con ๐›ท(๐‘“) si รจ denotata la trasformata di Fourier della sequenza

๐œ™(๐‘›). Se ๐œ™(๐‘›), e quindi ๐›ท(๐‘“), รจ arbitraria la (22.3.7) comporta, analo-

gamente a quanto visto per i segnali a tempo continuo, che

Page 399: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 22 โ€“ Caratterizzazione Energetica dei Segnali a Tempo Discreto - 387

๐บ๐‘ (โˆ’๐‘“1, ๐‘“2) รจ una funzione semidefinita positiva. Si puรฒ anche verifi-

care che per un segnale stazionario la (22.3.7) comporta che deve es-

sere:

๐‘Š๐‘ (๐‘“) โ‰ฅ 0 (22.3.8)

la ๐‘Š๐‘ (๐‘“) รจ dunque anche una funzione non negativa della frequenza.

Dalla (22.3.3) si ottiene infine:

๐‘…๐‘ (๐‘›๐‘‡, ๐‘›๐‘‡) = โˆซ โˆซ ๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›(๐‘“1+๐‘“2)๐‘‡๐‘‘๐‘“1๐‘‘๐‘“2

1

2๐‘‡

โˆ’1

2๐‘‡

1

2๐‘‡

โˆ’1

2๐‘‡

(22.3.9)

Se il segnale รจ stazionario in senso lato si ha:

๐‘…๐‘ (0) = โˆซ ๐‘Š๐‘ (๐‘“)๐‘‘๐‘“

1

2๐‘‡

โˆ’1

2๐‘‡

(22.3.10)

Si osservi che esprimendo nella (22.2.8) la funzione di auto-

correlazione in termini della ๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2) si ottiene:

๐œ™๐‘ (๐‘˜๐‘‡)

= lim๐‘โ†’โˆž

1

2๐‘ + 1โˆ‘ โˆซ โˆซ ๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2)๐‘’

๐‘—2๐œ‹[๐‘›๐‘“1+(๐‘›+๐‘˜)๐‘“2]๐‘‡๐‘‘๐‘“1๐‘‘๐‘“2

1

2๐‘‡

โˆ’1

2๐‘‡

1

2๐‘‡

โˆ’1

2๐‘‡

๐‘

๐‘›=โˆ’๐‘

= โˆซ โˆซ ๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘˜๐‘“2๐‘‡ lim

๐‘โ†’โˆž

1

2๐‘ + 1โˆ‘ ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›(๐‘“1+๐‘“2)๐‘‡๐‘

๐‘›=โˆ’๐‘

๐‘‘๐‘“1๐‘‘๐‘“2

1

2๐‘‡

โˆ’1

2๐‘‡

1

2๐‘‡

โˆ’1

2๐‘‡

(22.3.11)

Poichรฉ risulta:

lim๐‘โ†’โˆž

1

2๐‘ + 1โˆ‘ ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›(๐‘“1+๐‘“2)๐‘‡๐‘

๐‘›=โˆ’๐‘

= {

1; (๐‘“1 + ๐‘“2)๐‘‡ โˆˆ โ„•

lim๐‘โ†’โˆž

1

2๐‘ + 1

๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘(๐‘“1+๐‘“2)๐‘‡ [(๐‘’๐‘—2๐œ‹(๐‘“1+๐‘“2)๐‘‡)2๐‘+1

โˆ’ 1]

๐‘’๐‘—2๐œ‹(๐‘“1+๐‘“2)๐‘‡ โˆ’ 1= 0; (๐‘“1 + ๐‘“2)๐‘‡ โˆ‰ โ„•

(22.3.12)

lโ€™argomento dellโ€™integrale ad ultimo membro della (22.3.11) vale ze-

ro, salvo che sullโ€™insieme di misura nulla costituito dalla famiglia di

rette parallele alla seconda bisettrice spaziate di 1

๐‘‡.

Il risultato di tale integrale รจ pertanto nullo a meno che la

๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2) non presenti delle singolaritร  di tipo delta di Dirac disposte

lungo dette rette.

Si osservi che la ๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2) puรฒ sempre esprimersi come somma di

due contributi:

Page 400: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

388 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2) = ๐›ค(๐‘“1, ๐‘“2) +๐‘Š๐‘ (๐‘“2)๐›ฟ(๐‘“1 + ๐‘“2 โˆ’๐‘˜

๐‘‡) (22.3.13)

in modo tale che ๐›ค(๐‘“1, ๐‘“2) non presenti contributi distribuzionali lun-

go le rette in questione sostituendo la (22.3.13) nella (22.3.11) tenuto

conto della (22.3.12) si ottiene:

๐œ™๐‘ (๐‘˜๐‘‡) = โˆซ โˆซ ๐‘Š๐‘ (๐‘“2)๐›ฟ(๐‘“1 + ๐‘“2 โˆ’๐‘˜

๐‘‡)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘˜๐‘“2๐‘‡๐‘‘๐‘“1๐‘‘๐‘“2

1

2๐‘‡

โˆ’1

2๐‘‡

1

2๐‘‡

โˆ’1

2๐‘‡

= โˆซ ๐‘Š๐‘ (๐‘“1)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘˜๐‘“1๐‘‡๐‘‘๐‘“1

1

2๐‘‡

โˆ’1

2๐‘‡

(22.3.14)

dalla quale si evince che la densitร  spettrale di potenza del segnale รฉ

data anche dal peso delle singolaritร  eventualmente presentate dalla

๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2) lungo la citata famiglia di rette parallele alla seconda biset-

trice del piano (๐’, ๐‘“1, ๐‘“2).

Si osservi che lโ€™assenza del contributo distribuzionale alla

๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2), analogamente a quanto visto nel caso dei segnali a tempo

continuo, starebbe a significare che il processo in esame รจ ad energia

finita.

Le proprietร  della ๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2) e della densitร  spettrale di potenza

sono riassunte nella Tabella 22.2.

Tabella 22.2

Proprietร  della Gs ( f1, f2 ) e della Ws ( f ) per segnali a tempo-discreto

Segnali non stazionari Segnali stazionari ๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2)

= ๐‘‡2 โˆ‘ โˆ‘ ๐‘…๐‘ (๐‘š๐‘‡, ๐‘›๐‘‡)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹(๐‘š๐‘“1+๐‘›๐‘“2)๐‘‡

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

โˆž

๐‘š=โˆ’โˆž

๐‘Š๐‘ (๐‘“)

= ๐‘‡ โˆ‘ ๐‘…๐‘ (๐‘˜๐‘‡)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘˜๐‘“๐‘‡

โˆž

๐‘˜=โˆ’โˆž

๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2) = ๐บ๐‘ โˆ—(โˆ’๐‘“2, โˆ’๐‘“1) ๐‘Š๐‘ (๐‘“) = ๐‘Š๐‘ 

โˆ—(๐‘“) ๐บ๐‘ (โˆ’๐‘“1 , ๐‘“2) รจ semidefinita positiva ๐‘Š๐‘ (๐‘“) โ‰ฅ 0

๐‘…๐‘ (๐‘›๐‘‡, ๐‘›๐‘‡)

= โˆซ โˆซ ๐บ๐‘ (๐‘“1, ๐‘“2)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘›(๐‘“1+๐‘“2)๐‘‡๐‘‘๐‘“1๐‘‘๐‘“2

1

2๐‘‡

โˆ’1

2๐‘‡

1

2๐‘‡

โˆ’1

2๐‘‡

๐‘…๐‘ (0) = โˆซ ๐‘Š๐‘ (๐‘“)๐‘‘๐‘“

1

2๐‘‡

โˆ’1

2๐‘‡

Page 401: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

CAPITOLO - 23

SEGNALI PASSABANDA

Il rumore bianco. 23.1 -

Un segnale aleatorio ๐‘›(๐‘ก, ํœ) stazionario la cui densitร  spettrale

di potenza รจ costante รจ comunemente detto rumore bianco. Posto:

๐‘Š๐‘›(๐‘“) = ํœ‚ (23.1.1)

Risulta:

โˆซ ๐‘Š๐‘›(๐‘“)๐‘‘๐‘“โˆž

โˆ’โˆž

= โˆž (23.1.2)

Un tale segnale non รจ pertanto a potenza finita, esso tuttavia si

rivela molto utile come modello, poichรฉ parecchi disturbi, quali ad e-

sempio il rumore termico che si manifesta ai capi di un conduttore e

il rumore atmosferico, presentano una densitร  spettrale di potenza

pressochรฉ costante almeno entro la banda di frequenze comunemen-

te utilizzata per trasmettere delle informazioni Nel caso del rumore

termico ad esempio la frequenza alla quale la densitร  spettrale di po-

tenza si riduce del 10% rispetto al suo valore massimo, che viene

raggiunto per ๐‘“ = 0 รจ dellโ€™ordine di 2000๐บ๐ป๐‘ง.

La funzione di autocorrelazione del rumore bianco risulta:

๐‘…๐‘›(๐œ) = ํœ‚๐›ฟ(๐œ) (23.1.3)

Ciรฒ significa che i valori ๐‘›(๐‘ก, ํœ) e ๐‘›(๐‘ก + ๐œ, ํœ) assunti dal rumore in ๐‘ก e

in ๐‘ก + ๐œ sono fra loro non correlati per ogni valore di ๐œ โ‰  0.

รˆ in taluni casi utile considerare dei processi caratterizzati da

una densitร  spettrale di potenza che si mantiene costante in una ban-

da finita di frequenza, e che vale zero al di fuori di essa.

In funzione della dislocazione della banda sopra citata, si parla

di rumore bianco di tipo passa-basso o passa-banda.

-Rumore bianco passabasso. 23.2 -

Si ha in tal caso (v. Fig. 23.1):

Page 402: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

- 390 - Analisi dei segnali aleatori

Fig. 23.2 - Funzione di autocorrelazione di un rumo-

re bianco passabasso.

R ()s

12 fm

2fm

๐‘Š๐‘›(๐‘“) = ํœ‚โŠ“ (๐‘“

2๐‘“๐‘š) (23.2.1)

Lโ€™autocorrelazione del pro-

cesso si ottiene facilmente anti-

trasformando la precedente:

๐‘…๐‘›(๐œ)

= ํœ‚โˆซ ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐œ๐‘‘๐œ๐‘“๐‘š

โˆ’๐‘“๐‘š

= 2ํœ‚๐‘“๐‘šsinc(2๐‘“๐‘š๐œ)

(23.2.2)

(vedi Fig. 23.2).

Il segnale in questo caso ha potenza finita che vale:

๐‘ƒ๐‘› = 2ํœ‚๐‘“๐‘š (23.2.3)

Inoltre la ๐‘…๐‘›(๐œ) รฉ nulla per ๐œ๐‘˜ =๐‘˜

2๐‘“๐‘š, ๐‘˜ = ยฑ1,ยฑ2.

Di conseguenza i

valori assunti dal rumo-

re ๐‘›(๐‘ก, ํœ) in corrispon-

denza a coppie dโ€™istanti,

che appartengono al-

lโ€™insieme {๐œ๐‘˜}, risultano

incorrelati. Tanto piรน

ampia รจ la banda ๐‘“๐‘š del

segnale, tanto piรน vicini

sono fra loro tali istanti.

Al limite, per

๐‘“๐‘š โ†’ โˆž, la correlazione

fra i valori che il segnale assume in corrispondenza di due istanti di-

stinti qualsiasi รจ nulla.

-Rumore bianco passabanda. 23.3 -

Un rumore si dice bianco passabanda se la sua densitร  spettra-

le di potenza si presenta come mostrato in Fig. 23.3, quindi รจ del ti-

po:

๐‘Š๐‘›(๐‘“) = ํœ‚ [โŠ“ (๐‘“ + ๐‘“0๐ต

) +โŠ“ (๐‘“ โˆ’ ๐‘“0๐ต

)] (23.3.1)

dove ๐‘“0 =๐‘“1+๐‘“2

2 e ๐ต sono rispettivamente la frequenza di centro ban-

da e la banda del rumore.

Fig. 23.1 - Densitร  spettrale di po-tenza di un rumore bianco passabas-so.

Ws( f )

f f m fm

Page 403: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

Segnali passa-banda - 391 -

Fig. 23.4 - Funzione di autocorrelazione di un rumore bianco passa-banda.

Rs ()

2B

Lโ€™autocorrelazione in questo caso vale:

๐‘…๐‘›(๐œ) = ํœ‚ (โˆซ ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐œ๐‘‘๐œ

โˆ’๐‘“0+๐ต

2

โˆ’๐‘“0โˆ’๐ต

2

+โˆซ ๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“๐œ๐‘‘๐œ๐‘“0+

๐ต

2

๐‘“0โˆ’๐ต

2

)

= 2ํœ‚๐ตsinc(๐ต๐œ)cos(2๐œ‹๐‘“0๐œ)

(23.3.2)

il suo andamento รจ riportato in Fig.

23.4, nella quale รจ stato scelto un va-

lore del rapporto ๐‘“0

๐ต dellโ€™ordine

dellโ€™unitร , per chiarirne meglio lโ€™anda-

mento qualitativo. Nella realtร  tale va-

lore risulta essere quasi sempre molto

maggiore di 1.

Segnali aleatori passabasso. 23.4 -

Per segnale aleatorio passabasso sโ€™intende un processo ๐‘ (๐‘ก, ํœ)

per il quale esiste una frequenza ๐‘“๐‘š tale che per ogni valore di ๐‘“risulti:

๐‘Š(๐‘“) = ๐‘Š(๐‘“)โŠ“ (๐‘“

2๐‘“๐‘š) (23.4.1)

Il minimo valore di |๐‘“๐‘š|che soddisfa la precedente prende il nome di

banda del segnale. Si vuole verifi-care se รจ possibile estendere ad un se-gnale del tipo an-zidetto il teorema del campionamen-to (vedi CAPITO-LO - 9), nellโ€™ipo-tesi in cui il segnale sia almeno in sen-so lato stazionario. A tal fine si scelga una frequenza ๐‘“๐‘ โ‰ฅ 2๐‘“๐‘š e si co-

struisca il segnale aleatorio:

๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก, ํœ) = โˆ‘ ๐‘  (๐‘›

๐‘“๐‘, ํœ) sinc [๐‘“๐‘ (๐‘ก โˆ’

๐‘›

๐‘“๐‘)]

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(23.4.2)

Fig. 23.3 - Densitร  spettrale di un rumore bianco passabanda

Ws ( f )

f

f1 f 1 f 2 f 2

B

f0

Page 404: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

- 392 - Analisi dei segnali aleatori

Occorre in sostanza mostrare che il processo ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก, ํœ) si identi-

fica con il segnale. A tal fine รจ sufficiente verificare che:

{๐‘ (๐‘ก, ํœ) โˆ’ ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก, ํœ)}2 = 0 (23.4.3)

Risulta:

{๐‘ (๐‘ก, ํœ) โˆ’ ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก, ํœ)}2 = [๐‘ (๐‘ก, ํœ)]2 + [๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก, ํœ)]2 โˆ’ 2๐‘ (๐‘ก, ํœ)๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก, ํœ)

= [๐‘ (๐‘ก, ํœ)]2

+ โˆ‘ โˆ‘ ๐‘ (๐‘˜

๐‘“๐‘, ํœ) ๐‘  (

๐‘›

๐‘“๐‘, ํœ)

sinc [๐‘“๐‘ (๐‘ก โˆ’

๐‘˜

๐‘“๐‘)] sinc [๐‘“๐‘ (๐‘ก

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

โˆž

๐‘˜=โˆ’โˆž

โˆ’๐‘›

๐‘“๐‘)] โˆ’ 2 โˆ‘ ๐‘ (๐‘ก, ํœ)๐‘  (

๐‘›

๐‘“๐‘, ํœ)

sinc [๐‘“๐‘ (๐‘ก โˆ’

๐‘›

๐‘“๐‘)]

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(23.4.4)

La precedente in virtรน dellโ€™ipotizzata stazionarietร  puรฒ essere ulte-

riormente elaborata:

{๐‘ (๐‘ก, ํœ) โˆ’ ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก, ํœ)}2

= ๐‘…๐‘ (0) + โˆ‘ ๐‘…๐‘  (๐‘› โˆ’ ๐‘˜

๐‘“๐‘) sinc [๐‘“๐‘ (๐‘ก โˆ’

๐‘˜

๐‘“๐‘)] sinc [๐‘“๐‘ (๐‘ก โˆ’

๐‘›

๐‘“๐‘)]

โˆž

๐‘˜,๐‘›=โˆ’โˆž

โˆ’ 2 โˆ‘ ๐‘…๐‘  (๐‘ก โˆ’๐‘›

๐‘“๐‘) sinc [๐‘“๐‘ (๐‘ก โˆ’

๐‘›

๐‘“๐‘)]

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

= ๐‘…๐‘ (0)

+ โˆ‘ sinc [๐‘“๐‘ (๐‘ก โˆ’ํœ‚

๐‘“๐‘)] โˆ‘ ๐‘…๐‘  (

๐œˆ

๐‘“๐‘) sinc [๐‘“๐‘ (๐‘ก โˆ’

ํœ‚ โˆ’ ๐œˆ

๐‘“๐‘)]

โˆž

๐œˆ=โˆ’โˆž

โˆž

๐œ‚=โˆ’โˆž

โˆ’ 2 โˆ‘ ๐‘…๐‘  (๐‘ก โˆ’๐‘›

๐‘“๐‘) sinc [๐‘“๐‘ (๐‘ก โˆ’

๐‘›

๐‘“๐‘)]

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

(23.4.5)

Ricordando che, per ipotesi, la trasformata di Fourier della ๐‘…๐‘ (๐œ) รจ

nulla per |๐‘“| > ๐‘“๐‘ risulta ancora:

[{๐‘ (๐‘ก, ํœ) โˆ’ ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก, ํœ)}]2

= ๐‘…๐‘ (0) + โˆ‘ ๐‘…๐‘  (๐‘ก โˆ’ํœ‚

๐‘“๐‘) sinc [๐‘“๐‘ (๐‘ก โˆ’

ํœ‚

๐‘“๐‘)]

โˆž

๐œ‚=โˆ’โˆž

โˆ’ 2 โˆ‘ ๐‘…๐‘  (๐‘ก โˆ’๐‘›

๐‘“๐‘

) sinc [๐‘“๐‘(๐‘ก โˆ’

๐‘›

๐‘“๐‘

)]

โˆž

๐‘›=โˆ’โˆž

= ๐‘…๐‘ (0) โˆ’ โˆ‘ ๐‘…๐‘  (๐‘ก โˆ’ํœ‚

๐‘“๐‘) sinc [๐‘“๐‘ (๐‘ก โˆ’

ํœ‚

๐‘“๐‘)]

โˆž

๐œ‚=โˆ’โˆž

(23.4.6)

Si prenda ora in considerazione la funzione ๐‘…๐‘ (๐‘ก โˆ’ ๐œ) della va-

riabile ๐œ. Essa per le ipotesi fatte sul processo ammette trasformata di

Fourier in corrispondenza ad ogni valore di ๐‘ก, inoltre come si evince

Page 405: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

Segnali passa-banda - 393 -

facilmente la sua trasformata รจ nulla per |๐‘“| โ‰ฅ ๐‘“๐‘š pertanto si puรฒ

scrivere:

๐‘…๐‘ (๐‘ก โˆ’ ๐œ) = โˆ‘ ๐‘…๐‘  (๐‘ก โˆ’ํœ‚

๐‘“๐‘) sinc [๐‘“๐‘ (๐œ โˆ’

ํœ‚

๐‘“๐‘)]

โˆž

๐œ‚=โˆ’โˆž

(23.4.7)

Si constata che il secondo membro della precedente, valutato in ๐‘ก, si

identifica con la sommatoria che compare allโ€™ultimo membro della

(23.4.6), si puรฒ quindi concludere che:

[๐‘ (๐‘ก, ํœ) โˆ’ ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก, ํœ)]2

= ๐‘…๐‘ (0) โˆ’ โˆ‘ ๐‘…๐‘  (๐‘ก โˆ’ํœ‚

๐‘“๐‘) sinc [๐‘“๐‘ (๐‘ก โˆ’

ํœ‚

๐‘“๐‘)]

โˆž

๐œ‚=โˆ’โˆž

= ๐‘…๐‘ (0) โˆ’ ๐‘…๐‘ (๐‘ก โˆ’ ๐‘ก) = 0

(23.4.8)

Pertanto i processi ๐‘ (๐‘ก, ํœ) ed ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก, ํœ) individuano in ogni istan-

te, con probabilitร  1 , la stessa variabile aleatoria. Essi quindi sono di

fatto due rappresentazioni dello stesso processo.

Quanto appena

dedotto consente di af-

fermare, dal momento

che ogni manifestazione

di ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก, ํœ) รจ passabasso,

che un segnale aleatorio

passabasso รจ costituito,

eccetto al piรน per un

sottoinsieme di manife-

stazioni che hanno pro-

babilitร  nulla di presentarsi, da manifestazioni di tipo passabasso.

Segnali aleatori passabanda. 23.5 -

Un segnale aleatorio ๐‘ (๐‘ก, ํœ), รจ detto di tipo passabanda se esi-

stono ๐‘“1, ๐‘“2tali che per ogni valore della frequenza risulti:

๐‘Š(๐‘“) = ๐‘Š(๐‘“) [โŠ“ (๐‘“

2๐‘“2) โˆ’โŠ“ (

๐‘“

2๐‘“1)] (23.5.1)

Si noti che, escludendo il caso banale di una densitร  spettrale di po-

tenza identicamente nulla, deve essere 0 < |๐‘“1| โ‰ค |๐‘“2| < โˆž. In altri

termini la (23.5.1) significa che un processo รจ passabanda se esiste un

intervallo [๐‘“1, ๐‘“2] โŠ‚ โ„+ tale che la densitร  spettrale di potenza del se-

Fig. 23.5 โ€“ Densitร  spettrale di un segnale di tipo passabanda.

f

Be

Ws ( f )

f1 f2f1-- f2

Page 406: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

- 394 - Analisi dei segnali aleatori

gnale sia nulla per |๐‘“| โˆ‰ [๐‘“1, ๐‘“2] (Errore. L'origine riferimento

non รจ stata trovata.).

Il diametro dellโ€™intervallo [๐‘“1, ๐‘“2] di ampiezza minima prende il

nome di banda del segnale.

Ad un tale segnale passabanda si puรฒ associare anche una fre-

quenza ๐‘“0 che generalmente appartiene allโ€™intervallo [๐‘“1, ๐‘“2]. I criteri

in base ai quali tale frequenza viene scelta dipendono dal tipo di se-

gnale, in particolare dal modo in cui ad esso รจ associato il contenuto

informativo. Ad esempio si potrebbe assumere la frequenza di centro

banda ๐‘“0 =๐‘“1+๐‘“2

2, ovvero la frequenza in corrispondenza alla quale ri-

sulta massima la densitร  spettrale di potenza del segnale, o ancora

quella frequenza che, pensando alla densitร  spettrale di potenza co-

me alla densitร  di una massa distribuita lungo lโ€™asse delle frequenze,

minimizza il momento dโ€™inerzia della parte a frequenza positiva cioรจ

che rende minima la quantitร :

โˆซ (๐‘“ โˆ’ ๐‘“0)2๐‘Š(๐‘“)๐‘‘๐‘“

โˆž

0

(23.5.2)

Questโ€™ultimo criterio si rivela utile, ad esempio, qualora le frequenze

๐‘“1, ๐‘“2 che delimitano la banda del segnale non siano chiaramente de-

finibili, ovvero quando il segnale non รจ rigorosamente passabanda

nel senso che non esistono ๐‘“1, ๐‘“2, ma la potenza risulta comunque, a

meno di una frazione che si puรฒ ritenere trascurabile, concentrata in

due intervalli che non contengono lโ€™origine e che, supponendo il se-

gnale reale, sono disposti simmetricamente rispetto ad essa.

In taluni casi รจ anche utile definire una banda equivalente:

๐ต๐‘’ =โˆซ ๐‘Š๐‘ (๐‘“)๐‘‘๐‘“โˆž

โˆ’โˆž

2๐‘Š๐‘ (๐‘“0) (23.5.3)

che corrisponde alla larghezza di banda che dovrebbe avere un ru-

more bianco, con frequenza di centro banda ๐‘“0, per esibire la stessa

potenza media del segnale, nellโ€™ipotesi in cui allโ€™interno di tale banda

la densitร  spettrale del rumore valga ๐‘Š๐‘ (๐‘“0). Per questo motivo la ๐ต๐‘’,

appena definita, รจ detta banda equivalente di rumore (vedi Errore. L'o-

rigine riferimento non รจ stata trovata.).

Se la banda equivalente รจ molto piccola rispetto ad ๐‘“0,

๐ต๐‘’ << ๐‘“0, il segnale si dirร  a banda stretta o quasi monocromatico.

Page 407: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

Segnali passa-banda - 395 -

Prendendo le mosse dalla caratterizzazione dei segnali reali de-

terminati di tipo passa-banda (vedi CAPITOLO - 7), si osservi che,

fatta eccezione al piรน per un insieme di manifestazioni che costitui-

scono un evento che si presenta con probabilitร  nulla, la generica

manifestazione ๐‘ (๐‘ก, ํœ) di un segnale aleatorio passabanda, รจ cioรจ, con

probabilitร  1, un segnale determinato passabanda. Ad esso corri-

sponde pertanto un segnale analitico ๐‘ง(๐‘ก, ํœ) = ๐‘ (๐‘ก, ํœ) + ๐‘—๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก, ํœ).

Si รจ cosรฌ individuato un segnale aleatorio complesso ๐‘ง(๐‘ก, ํœ).

Tale processo รจ caratterizzato da unโ€™autocorrelazione:

๐‘…๐‘ง(๐‘ก1, ๐‘ก2) = ๐‘งโˆ—(๐‘ก1, ํœ)๐‘ง(๐‘ก2, ํœ)

= (๐‘ (๐‘ก1, ํœ) โˆ’ ๐‘—๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก1, ํœ))(๐‘ (๐‘ก2, ํœ) + ๐‘—๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก2, ํœ))

= ๐‘ (๐‘ก1, ํœ)๐‘ (๐‘ก2, ํœ) + ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก1, ํœ)๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก2, ํœ) + ๐‘—๐‘ (๐‘ก1, ํœ)๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก2, ํœ)

โˆ’ ๐‘—๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก1, ํœ)๐‘ (๐‘ก2, ํœ)

= ๐‘…๐‘ (๐‘ก1, ๐‘ก2) + ๐‘…๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก1, ๐‘ก2) + ๐‘—(๐‘…๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘ (๐‘ก1, ๐‘ก2) โˆ’ ๐‘…๐‘ ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก1, ๐‘ก2))

(23.5.4)

dove ๐‘…๐‘ (๐‘ก1, ๐‘ก2)rappresenta lโ€™autocorrelazione del segnale, ๐‘…๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก1, ๐‘ก2)

quella del processo ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก, ํœ) anchโ€™esso reale, le cui manifestazioni sono

le trasformate di Hilbert delle corrispondenti manifestazioni di

๐‘ (๐‘ก, ํœ), ed ๐‘…๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘ (๐‘ก1, ๐‘ก2), ๐‘…๐‘ ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก1, ๐‘ก2) rappresentano le correlazioni mutue

tra i due segnali che, come si puรฒ constatare facilmente, sono legate

dalla eguaglianza ๐‘…๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘ (๐‘ก1, ๐‘ก2) = ๐‘…๐‘ ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก2, ๐‘ก1).

Si osservi che, sottintendendo che gli integrali sono effettuati

nel senso del loro valore principale, risulta:

๐‘…๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก1, ๐‘ก2) = ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก1)๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก2)

=1

๐œ‹โˆซ

๐‘ (๐œ1)

๐‘ก1 โˆ’ ๐œ1

โˆž

โˆ’โˆž

๐‘‘๐œ11

๐œ‹โˆซ

๐‘ (๐œ2)

๐‘ก2 โˆ’ ๐œ2๐‘‘๐œ2

โˆž

โˆ’โˆž

=1

๐œ‹2โˆซ โˆซ

๐‘ (๐œ1)๐‘ (๐œ2)

(๐‘ก1 โˆ’ ๐œ1)(๐‘ก2 โˆ’ ๐œ2)

โˆž

โˆ’โˆž

๐‘‘๐œ1๐‘‘๐œ2

โˆž

โˆ’โˆž

=1

๐œ‹2โˆซ โˆซ

๐‘…๐‘ (๐œ1, ๐œ2)

(๐‘ก1 โˆ’ ๐œ1)(๐‘ก2 โˆ’ ๐œ2)

โˆž

โˆ’โˆž

๐‘‘๐œ1๐‘‘๐œ2

โˆž

โˆ’โˆž

(23.5.5)

analogamente per ๐‘…๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘ (๐‘ก1, ๐‘ก2) si puรฒ scrivere:

๐‘…๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘ (๐‘ก1, ๐‘ก2) = ๐‘ (๐‘ก1)๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก2) = ๐‘ (๐‘ก1)1

๐œ‹โˆซ

๐‘ (๐œ)

๐‘ก2 โˆ’ ๐œ๐‘‘๐œ

โˆž

โˆ’โˆž

=1

๐œ‹โˆซ

๐‘ (๐‘ก1)๐‘ (๐œ)

(๐‘ก2 โˆ’ ๐œ)๐‘‘๐œ

โˆž

โˆ’โˆž

=1

๐œ‹โˆซ

๐‘…๐‘ (๐‘ก1, ๐œ)

(๐‘ก2 โˆ’ ๐œ)๐‘‘๐œ

โˆž

โˆ’โˆž

(23.5.6)

Se lโ€™autocorrelazione del segnale ๐‘ (๐‘ก, ํœ)dipende soltanto dalla

differenza tra ๐‘ก2 e ๐‘ก1 le due equazioni precedenti possono essere ulte-

Page 408: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

- 396 - Analisi dei segnali aleatori

riormente elaborate. In particolare, se nellโ€™ultimo membro della

(23.5.5) si effettua la sostituzione di variabili ๐œ— = ๐œ2 โˆ’ ๐œ1, ๐œ = ๐œ1, alla

quale corrispondente un determinante Jacobiano pari a โˆ’1, si ottie-

ne:

๐‘…๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก1, ๐‘ก2) =1

๐œ‹2โˆฌ

๐‘…๐‘ (๐œ2 โˆ’ ๐œ1)

(๐‘ก1 โˆ’ ๐œ1)(๐‘ก2 โˆ’ ๐œ2)R2

=1

๐œ‹โˆซ

1

(๐‘ก1 โˆ’ ๐œˆ)[1

๐œ‹โˆซ

๐‘…๐‘ (๐œ)

(๐‘ก2 โˆ’ ๐œˆ โˆ’ ๐œ)

โˆž

โˆ’โˆž

๐‘‘๐œ]๐‘‘๐œˆโˆ’โˆž

โˆž

=1

๐œ‹โˆซ

๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘ (๐‘ก2 โˆ’ ๐œˆ)

(๐‘ก1 โˆ’ ๐œˆ)๐‘‘๐œˆ

โˆž

โˆ’โˆž

=1

๐œ‹โˆซ

๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘ (โˆ’๐œˆโ€ฒ)

(๐‘ก1 โˆ’ ๐‘ก2 โˆ’ ๐œˆโ€ฒ)๐‘‘๐œˆโ€ฒ

โˆž

โˆ’โˆž

= โˆ’1

๐œ‹โˆซ

๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘ (๐œˆโ€ฒ)

(๐‘ก1 โˆ’ ๐‘ก2 โˆ’ ๐œˆโ€ฒ)๐‘‘๐œˆโ€ฒ

โˆž

โˆ’โˆž

= ๐‘…๐‘ (๐‘ก1 โˆ’ ๐‘ก2) = ๐‘…๐‘ (๐‘ก2 โˆ’ ๐‘ก1)

(23.5.7)

per dedurre la quale si รจ tenuto conto del fatto che, come si deduce

facilmente, la trasformata di Hilbert di una funzione pari รจ una fun-

zione dispari del suo argomento.

La (23.5.7) mostra che sotto lโ€™ipotesi sopra introdotta il pro-

cesso ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก, ํœ) ha la stessa autocorrelazione di ๐‘ (๐‘ก, ํœ) risulta cioรจ:

๐‘…๏ฟฝ๏ฟฝ(๐œ) = ๐‘…๐‘ (๐œ) (23.5.8)

Nella stessa ipotesi in virtรน della (23.5.6) per ๐‘…๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘ (๐‘ก1, ๐‘ก2) si ot-

tiene:

๐‘…๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘ (๐‘ก1, ๐‘ก2) =1

๐œ‹โˆซ

๐‘…๐‘ (๐œ โˆ’ ๐‘ก1)

(๐‘ก2 โˆ’ ๐œ)๐‘‘๐œ

โˆž

โˆ’โˆž

=1

๐œ‹โˆซ

๐‘…๐‘ (๐œโ€ฒ)

(๐‘ก2 โˆ’ ๐‘ก1 โˆ’ ๐œโ€ฒ)๐‘‘๐œโ€ฒ

โˆ’โˆž

โˆž

= ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘ (๐‘ก2 โˆ’ ๐‘ก1) (23.5.9)

in conclusione quindi tenendo anche conto delle condizioni di sim-

metria risulta:

๐‘…๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘ (๐œ) = ๐‘…๐‘ ๏ฟฝ๏ฟฝ(โˆ’๐œ) = ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘ (๐œ) (23.5.10)

Se il segnale ha valor medio ๐‘š๐‘  = ๐‘ (๐‘ก, ํœ) indipendente dal

tempo si ha:

z(t, ฮถ) = s(t, ฮถ) + js(t, ฮถ) = ms +j

ฯ€VPโˆซ

ms

t โˆ’ ฯ„dฯ„

โˆž

โˆ’โˆž

= ms (23.5.11)

dalla quale si evince che risultano indipendenti dal tempo sia il valor

medio di ๐‘ง(๐‘ก, ํœ) sia quello di ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก, ํœ).

Page 409: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

Segnali passa-banda - 397 -

Se si prendono in considerazione segnali passabanda staziona-

ri almeno in senso lato, tenendo conto delle (23.5.8) e (23.5.10), dalla

(23.5.4) si ottiene:

๐‘…๐‘ง(๐‘ก1, ๐‘ก2)= ๐‘…๐‘ (๐‘ก1, ๐‘ก2) + ๐‘…๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก1, ๐‘ก2) + ๐‘—(๐‘…๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘ (๐‘ก1, ๐‘ก2) โˆ’ ๐‘…๐‘ ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก1, ๐‘ก2))= ๐‘…๐‘ (๐‘ก2 โˆ’ ๐‘ก1) + ๐‘…๐‘ (๐‘ก2 โˆ’ ๐‘ก1) + ๐‘—(๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘ (๐‘ก2 โˆ’ ๐‘ก1) โˆ’ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘ (๐‘ก1โˆ’ ๐‘ก2)) = 2๐‘…๐‘ (๐‘ก2 โˆ’ ๐‘ก1) + 2๐‘—๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘ (๐‘ก2 โˆ’ ๐‘ก1)

(23.5.12)

Dalle precedenti si conclude che se il segnale รจ stazionario in senso

lato tali risultano essere sia ๐‘ง(๐‘ก, ํœ) sia ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก, ํœ).

Ciรฒ posto, se al segnale passabanda, che in quel che segue si

suppone stazionario almeno in senso lato, si associa una frequenza

๐‘“0, resta definito il segnale aleatorio:

๐‘ค(๐‘ก, ํœ) = ๐‘ง(๐‘ก, ํœ)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“0๐‘ก (23.5.13)

le cui manifestazioni sono cioรจ gli inviluppi complessi delle corri-

spondenti manifestazioni del segnale ๐‘ (๐‘ก, ํœ).

Tenuto conto del legame tra ๐‘ (๐‘ก, ํœ) e ๐‘ง(๐‘ก, ํœ) e della precedente

si puรฒ scrivere:

๐‘ (๐‘ก, ํœ) = Re[๐‘ค(๐‘ก, ํœ)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“0๐‘ก] (23.5.14)

La precedente, dette ๐‘ ๐‘“(๐‘ก, ํœ) = Re[๐‘ค(๐‘ก, ํœ)] ed ๐‘ ๐‘ž(๐‘ก, ํœ) = Im[๐‘ค(๐‘ก, ํœ)]

rispettivamente le componenti in fase ed in quadratura della generica

manifestazione del segnale, รจ soggetta ad essere ulteriormente elabo-

rata fornendo:

๐‘ (๐‘ก, ํœ) = ๐‘ ๐‘“(๐‘ก, ํœ)cos2๐œ‹๐‘“0๐‘ก โˆ’ ๐‘ ๐‘ž(๐‘ก, ํœ)๐‘ ๐‘–๐‘›2๐œ‹๐‘“0๐‘ก (23.5.15)

Volendo caratterizzare i due processi s f (t,) ed sq (t,) , รจ utile

esprimerli in termini del segnale e della sua trasformata di Hilbert,

una tale rappresentazione si ottiene facilmente dalla (23.5.14):

๐‘ ๐‘“(๐‘ก, ํœ) = Re[๐‘ค(๐‘ก, ํœ)] = Re[๐‘ง(๐‘ก, ํœ)๐‘’

โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“0๐‘ก]

= ๐‘ (๐‘ก, ํœ)cos2๐œ‹๐‘“0๐‘ก + ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก, ํœ)๐‘ ๐‘–๐‘›2๐œ‹๐‘“0๐‘ก (23.5.16)

Analogamente per ๐‘ ๐‘ž(๐‘ก, ํœ)si ha:

๐‘ ๐‘ž(๐‘ก, ํœ) = Im[๐‘ง(๐‘ก, ํœ)๐‘’โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“0๐‘ก]

= ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก, ํœ)cos2๐œ‹๐‘“0๐‘ก โˆ’ ๐‘ (๐‘ก, ํœ)๐‘ ๐‘–๐‘›2๐œ‹๐‘“0๐‘ก (23.5.17)

Lโ€™autocorrelazione ๐‘…๐‘ ๐‘“(๐‘ก1, ๐‘ก2) di ๐‘ ๐‘“(๐‘ก, ํœ), se ๐‘ (๐‘ก, ํœ) รจ stazio-

nario in senso lato, vale:

Page 410: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

- 398 - Analisi dei segnali aleatori

๐‘…๐‘ ๐‘“(๐‘ก, ๐‘ก + ๐œ)

= ๐ธ{(๐‘ (๐‘ก, ํœ)cos2๐œ‹๐‘“0๐‘ก + ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก, ํœ)sin2๐œ‹๐‘“0๐‘ก ๐‘ (๐‘ก + ๐œ, ํœ)cos2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก + ๐œ)+ ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก + ๐œ, ํœ)sin2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก + ๐œ))}= ๐‘…๐‘ (๐œ)cos2๐œ‹๐‘“0๐‘กcos2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก + ๐œ) + ๐‘…๐‘ ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐œ)sin2๐œ‹๐‘“0๐‘กcos2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก + ๐œ)+ +๐‘…๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘ (๐œ)cos2๐œ‹๐‘“0๐‘กsin2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก + ๐œ) + ๐‘…๐‘ (๐œ)sin2๐œ‹๐‘“0๐‘กsin2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก + ๐œ)= ๐‘…๐‘ (๐œ)(cos2๐œ‹๐‘“0๐‘กcos2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก + ๐œ) + sin2๐œ‹๐‘“0๐‘กsin2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก + ๐œ))+ ๐‘…๐‘ ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐œ)(sin2๐œ‹๐‘“0๐‘กcos2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก + ๐œ) โˆ’ cos2๐œ‹๐‘“0๐‘กsin2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก + ๐œ)) = = ๐‘…๐‘ (๐œ)cos2๐œ‹๐‘“0๐œ โˆ’ ๐‘…๐‘ ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐œ)sin2๐œ‹๐‘“0๐œ= ๐‘…๐‘ (๐œ)cos2๐œ‹๐‘“0๐œ + ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘ (๐œ)sin2๐œ‹๐‘“0๐œ

(23.5.18)

dove le varie funzioni di correlazione sono state per comoditร 

espresse in termini delle variabili ๐‘ก = ๐‘ก1e ๐œ = ๐‘ก2 โˆ’ ๐‘ก1, analogamente

per ๐‘…๐‘ ๐‘ž(๐‘ก1, ๐‘ก2)si ha:

๐‘…๐‘ ๐‘ž(๐‘ก, ๐‘ก + ๐œ)

= ๐ธ{(๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก, ํœ)cos2๐œ‹๐‘“0๐‘ก โˆ’ ๐‘ (๐‘ก, ํœ)sin2๐œ‹๐‘“0๐‘ก)(๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก + ๐œ, ํœ)cos2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก + ๐œ)โˆ’ ๐‘ (๐‘ก + ๐œ, ํœ)sin2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก + ๐œ))}= ๐‘…๐‘ (๐œ)sin2๐œ‹๐‘“0๐‘กsin2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก + ๐œ) โˆ’ ๐‘…๐‘ ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐œ)cos2๐œ‹๐‘“0๐‘กsin2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก + ๐œ)โˆ’ ๐‘…๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘ (๐œ)sin2๐œ‹๐‘“0๐‘กcos2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก + ๐œ) + ๐‘…๐‘ (๐œ)cos2๐œ‹๐‘“0๐‘กcos2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก + ๐œ)= ๐‘…๐‘ (๐œ)(๐‘ ๐‘–๐‘›2๐œ‹๐‘“0๐‘กsin2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก + ๐œ) + cos2๐œ‹๐‘“0๐‘กcos2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก + ๐œ))โˆ’ ๐‘…๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘ (๐œ)(sin2๐œ‹๐‘“0๐‘กcos2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก + ๐œ) โˆ’ cos2๐œ‹๐‘“0๐‘กsin2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก + ๐œ))= ๐‘…๐‘ (๐œ)cos2๐œ‹๐‘“0๐œ โˆ’ ๐‘…๐‘ ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐œ)sin2๐œ‹๐‘“0๐œ= ๐‘…๐‘ (๐œ)cos2๐œ‹๐‘“0๐œ + ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘ (๐œ)sin2๐œ‹๐‘“0๐œ

(23.5.19)

Si รจ quindi giunti allโ€™importante conclusione che le funzioni di autocorrelazione di ๐‘ ๐‘“(๐‘ก, ํœ) ed ๐‘ ๐‘ž(๐‘ก, ํœ) sono uguali e dipendono

esclusivamente dalla differenza tra gli istanti di osservazione, risulta cioรจ:

๐‘…๐‘ ๐‘“(๐œ) = ๐‘…๐‘ ๐‘ž(๐œ) = ๐‘…๐‘ (๐œ)cos2๐œ‹๐‘“0๐œ + ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘ (๐œ)๐‘ ๐‘–๐‘›2๐œ‹๐‘“0๐œ (23.5.20)

Quanto appena detto, non รจ tuttavia sufficiente per affermare

che i due processi in questione sono stazionari in senso lato. Occor-

rerebbe infatti verificare che i loro valori medi siano indipendenti dal

tempo.

Osservando le (23.5.16) e (23.5.17) ci si convince che la sta-

zionarietร  in senso lato di ๐‘ (๐‘ก, ํœ) non comporta il fatto che il valor

medio di ๐‘ ๐‘“(๐‘ก, ํœ) ed ๐‘ ๐‘ž(๐‘ก, ํœ) sia indipendente dal tempo, a meno che

il valor medio di ๐‘ (๐‘ก, ํœ)non sia nullo.

Per quanto riguarda le funzioni di mutua correlazione

๐‘…๐‘ ๐‘“๐‘ ๐‘ž(๐‘ก1, ๐‘ก2)ed ๐‘…๐‘ ๐‘ž๐‘ ๐‘“(๐‘ก1, ๐‘ก2)si ha:

Page 411: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

Segnali passa-banda - 399 -

๐‘…๐‘ ๐‘“๐‘ ๐‘ž(๐‘ก, ๐‘ก + ๐œ) = ๐‘ ๐‘ž(๐‘ก, ํœ)๐‘ ๐‘“(๐‘ก + ๐œ, ํœ)

= ๐ธ{(๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก, ํœ)cos2๐œ‹๐‘“0๐‘ก โˆ’ ๐‘ (๐‘ก, ํœ)sin2๐œ‹๐‘“0๐‘ก)(๐‘ (๐‘ก + ๐œ, ํœ)cos2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก + ๐œ)+ ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก + ๐œ, ํœ)sin2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก + ๐œ))}= โˆ’๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘ (๐œ)(cos2๐œ‹๐‘“0๐‘ก1cos2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก + ๐œ) + sin2๐œ‹๐‘“0๐‘กsin2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก + ๐œ))+ ๐‘…๐‘ (๐œ)(cos2๐œ‹๐‘“0๐‘กsin2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก + ๐œ) โˆ’ sin2๐œ‹๐‘“0๐‘กcos2๐œ‹๐‘“0(๐‘ก + ๐œ))= โˆ’๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘ (๐œ)cos2๐œ‹๐‘“0(๐œ) + ๐‘…๐‘ (๐œ)sin2๐œ‹๐‘“0๐œ

(23.5.21)

In virtรน delle condizioni di simmetria si ottiene facilmente:

๐‘…๐‘ ๐‘ž๐‘ ๐‘“(๐œ) = ๐‘ ๐‘“(๐‘ก, ํœ)๐‘ ๐‘ž(๐‘ก + ๐œ, ํœ)

= ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘ (๐œ)cos2๐œ‹๐‘“0(๐œ) โˆ’ ๐‘…๐‘ (๐œ)sin2๐œ‹๐‘“0(๐œ) = โˆ’๐‘…๐‘ ๐‘“๐‘ ๐‘ž(๐œ) (23.5.22)

dalla quale si deduce, tra lโ€™altro, che๐‘…๐‘ ๐‘ž๐‘ ๐‘“(๐œ) รจ una funzione dispari.

รˆ adesso possibile ricavare lโ€™autocorrelazione ๐‘…๐‘ค(๐‘ก1, ๐‘ก2) del-

lโ€™inviluppo complesso del segnale in termini delle funzioni di correla-

zione delle componenti in fase ed in quadratura:

๐‘…๐‘ค(๐‘ก, ๐‘ก + ๐œ)= (๐‘ ๐‘“(๐‘ก, ํœ) โˆ’ ๐‘—๐‘ ๐‘ž(๐‘ก, ํœ))(๐‘ ๐‘“(๐‘ก + ๐œ, ํœ) + ๐‘—๐‘ ๐‘ž(๐‘ก + ๐œ, ํœ))

= ๐‘…๐‘ ๐‘“(๐œ) + ๐‘…๐‘ ๐‘ž(๐œ) + ๐‘—(๐‘…๐‘ ๐‘ž๐‘ ๐‘“(๐œ) โˆ’ ๐‘…๐‘ ๐‘“๐‘ ๐‘ž(๐œ))

= 2๐‘…๐‘ ๐‘“(๐œ) + ๐‘—2๐‘…๐‘ ๐‘ž๐‘ ๐‘“(๐œ)

(23.5.23)

che, come era prevedibile, dipende ancora una volta soltanto da ๐œ.

Dalla precedente utilizzando le (23.5.20) e (23.5.21) si ottiene:

๐‘…๐‘ค(๐œ)= 2(๐‘…๐‘ (๐œ)cos2๐œ‹๐‘“0๐œ + ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘ (๐œ)sin2๐œ‹๐‘“0๐œ)+ ๐‘—2(๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘ (๐œ)cos2๐œ‹๐‘“0(๐œ) โˆ’ ๐‘…๐‘ (๐œ)sin2๐œ‹๐‘“0(๐œ))= 2[(๐‘…๐‘ (๐œ) + ๐‘—๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘ (๐œ))cos2๐œ‹๐‘“0๐œ โˆ’ ๐‘—(๐‘…๐‘ (๐œ)+ ๐‘—๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘ (๐œ))sin2๐œ‹๐‘“0๐œ] = ๐‘…๐‘ง(๐œ)๐‘’

โˆ’๐‘—2๐œ‹๐‘“0๐œ

(23.5.24)

Inoltre eliminando ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘ (๐œ) tra la (23.5.18) e la (23.5.23) si ottie-

ne lโ€™espressione dellโ€™autocorrelazione del segnale ๐‘…๐‘ (๐œ) in termini di

๐‘…๐‘ ๐‘“(๐œ) ed ๐‘…๐‘ ๐‘ž๐‘ ๐‘“(๐œ):

๐‘…๐‘ (๐œ) = ๐‘…๐‘ ๐‘“(๐œ)cos2๐œ‹๐‘“0(๐œ) โˆ’ ๐‘…๐‘ ๐‘ž๐‘ ๐‘“(๐œ)sin2๐œ‹๐‘“0๐œ (23.5.25)

Se il segnale oltre ad essere stazionario in senso lato ha anche

valor medio nullo dalla precedente si deduce:

๐‘…๐‘ ๐‘“(0) = ๐‘…๐‘ ๐‘ž(0) = ๐‘…๐‘ (0) โ‰ก ๐œŽ2 (23.5.26)

cioรจ le componenti in fase e in quadratura presentano la stessa va-

rianza di ๐‘ (๐‘ก, ํœ).

Page 412: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

- 400 - Analisi dei segnali aleatori

Dalla (23.5.21) si deduce facilmente che ๐‘…๐‘ ๐‘“๐‘ ๐‘ž(๐œ), e quindi an-

che ๐‘…๐‘ ๐‘ž๐‘ ๐‘“(๐œ), รจ una funzione dispari pertanto essa deve essere nulla

per ๐œ = 0 risulta cioรจ:

๐‘…๐‘ ๐‘“๐‘ ๐‘ž(0) = ๐‘…๐‘ ๐‘ž๐‘ ๐‘“(0) = 0 (23.5.27)

le componenti in fase ed in quadratura osservate in uno stesso istante

individuano due variabili aleatorie incorrelate.

In Conclusione si รจ pervenuti ai seguenti risultati: se un segna-

le aleatorio passabanda รจ stazionario almeno in senso lato tale risulta

il segnale analitico ad esso associato; se inoltre il segnale ha anche va-

lor medio nullo, allora sono stazionarie in senso lato ed a media nulla

anche le sue componenti in fase ed in quadratura, e, come si evince

facilmente, il suo inviluppo complesso, indipendentemente dal valore

scelto per la๐‘“0 alla quale detti segnali sono riferiti. Le componenti in

fase ed in quadratura sono anche congiuntamente stazionarie e han-

no uguale funzione di autocorrelazione, inoltre la loro varianza coin-

cide con quella del segnale.

Si vuole a questo punto indagare su come si riflettano le rela-

zioni appena dedotte tra le varie funzioni di auto e mutua correlazio-

ne dei processi legati ad un segnale passabanda (a media nulla, sta-

zionario in senso lato) sulle corrispondenti densitร  spettrali di poten-

za.

A tal fine innanzi tutto si osservi che la funzione di autocorre-

lazione di ๐‘ง(๐‘ก, ํœ) assume forma analoga a quella di un segnale analiti-

co associato ad un segnale passabasso reale. La trasformata di Fou-

rier di detta autocorrelazione assume pertanto valori non nulli solo

per valori di frequenza maggiori di zero, e per tali valori coincide con

il doppio della trasformata di Fourier della sua parte reale. Nel caso

in esame questโ€™ultima รจ il doppio della funzione di autocorrelazione

di ๐‘ (๐‘ก, ํœ), la cui trasformata di Fourier รจ la densitร  spettrale di poten-

za ๐‘Š(๐‘“) del segnale. La densitร  spettrale di potenza di ๐‘ง(๐‘ก, ํœ) vale

pertanto:

๐‘Š๐‘ง(๐‘“) = 4๐‘Š๐‘ (๐‘“)u(๐‘“) (23.5.28)

essa รจ pari, cioรจ, a quattro volte la densitร  spettrale di potenza del se-

gnale per frequenze positive ed รจ nulla per frequenze negative.

Page 413: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

Segnali passa-banda - 401 -

Tenuto conto della precedente si deduce facilmente la densitร  spettrale dellโ€™inviluppo complesso:

๐‘Š๐‘ค(๐‘“) = ๐‘Š๐‘ง(๐‘“) โˆ— ๐›ฟ(๐‘“ โˆ’ ๐‘“0) = 4๐‘Š๐‘ (๐‘“ + ๐‘“0)u(๐‘“ + ๐‘“0) (23.5.29)

che, ci si convince facilmente, puรฒ essere non nulla solo per valori di

frequenza appartenenti allโ€™intervallo [๐‘“1 โˆ’ ๐‘“0, ๐‘“2 โˆ’ ๐‘“0], questa conside-

razione si traduce nel fatto che lโ€™inviluppo complesso รจ un segnale

passabasso tutte le volte che si sceglie una ๐‘“0 appartenente allโ€™inter-

vallo[๐‘“1, ๐‘“2].

Dโ€™altro canto si puรฒ anche esprimere la ๐‘Š๐‘ค(๐‘“) trasformando

la (23.5.23) in questo caso si ottiene:

๐‘Š๐‘ค(๐‘“) = โ„ฑ[2๐‘…๐‘ ๐‘“(๐œ) + ๐‘—2๐‘…๐‘ ๐‘ž๐‘ ๐‘“(๐œ)]

= 2๐‘Š๐‘ ๐‘“(๐‘“) + ๐‘—2๐‘Š๐‘ ๐‘ž๐‘ ๐‘“(๐‘“) (23.5.30)

dove ๐‘Š๐‘ ๐‘“(๐‘“) e ๐‘Š๐‘ ๐‘ž๐‘ ๐‘“(๐‘“), rappresentano rispettivamente la densitร 

spettrale di potenza della componente in fase e la densitร  spettrale

incrociata tra le componenti in fase ed in quadratura associate al se-

gnale. Risulta evidentemente:

๐‘Š๐‘ ๐‘“(๐‘“) = ๐‘Š๐‘ ๐‘ž(๐‘“),๐‘Š๐‘ ๐‘ž๐‘ ๐‘“(๐‘“) = โˆ’๐‘Š๐‘ ๐‘“๐‘ ๐‘ž(๐‘“) (23.5.31)

inoltre ๐‘Š๐‘ ๐‘“(๐‘“) รจ una funzione reale pari, mentre, in quanto trasfor-

mata di una funzione reale dispari, ๐‘Š๐‘ ๐‘ž๐‘ ๐‘“(๐‘“) รจ una funzione pura-

mente immaginaria dispari.

La (23.5.30) costituisce cioรจ la decomposizione della funzione

reale ๐‘Š๐‘ค(๐‘“) nella sua parte pari, 2๐‘Š๐‘ ๐‘“(๐‘“), e nella sua parte dispari

๐‘—2๐‘Š๐‘ ๐‘ž๐‘ ๐‘“(๐‘“).

Questโ€™ultima osservazione consente innanzitutto di affermare

che anche ๐‘Š๐‘ ๐‘“(๐‘“) e ๐‘Š๐‘ ๐‘ž๐‘ ๐‘“(๐‘“) possono assumere valore non nullo sol-

tanto in corrispondenza a frequenze appartenenti allโ€™intervallo

[๐‘“1 โˆ’ ๐‘“0, ๐‘“2 โˆ’ ๐‘“0].

Inoltre nel caso particolare in cui ๐‘Š๐‘ค(๐‘“) รจ una funzione pari

deve necessariamente essere ๐‘Š๐‘ ๐‘ž๐‘ ๐‘“(๐‘“) = 0. Ciรฒ implica ๐‘…๐‘ ๐‘ž๐‘ ๐‘“(๐œ) = 0,

cioรจ che le componenti in fase ed in quadratura del segnale risultano

incorrelate. Ci si convince facilmente che, in virtรน delle (23.5.28) e

(23.5.29), affinchรฉ ๐‘Š๐‘ค(๐‘“) sia pari, ๐‘Š(๐‘“)u(๐‘“)deve essere simmetrica

rispetto a ๐‘“0.

Page 414: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

- 402 - Analisi dei segnali aleatori

In questo caso il processo ๐‘ค(๐‘ก, ํœ) sarebbe reale di tipo passa-

basso, e la sua funzione di autocorrelazione coinciderebbe con il

doppio di quella della componente in fase o, che รจ lo stesso, della

componente in quadratura del segnale, che sarebbero anchโ€™essi dei

processi passabasso.

Segnali gaussiani. 23.6 -

Sia ๐‘›(๐‘ก, ํœ) un segnale reale, gaussiano, stazionario passabanda

caratterizzato da un valor medio nullo e da una densitร  spettrale pari

a ๐‘Š๐‘›(๐‘“). Esso, per, quanto visto al paragrafo precedente, puรฒ essere

posto nella forma:

๐‘›(๐‘ก, ํœ) = ๐‘›๐‘“(๐‘ก, ํœ)cos2๐œ‹๐‘“0๐‘ก โˆ’ ๐‘›๐‘ž(๐‘ก, ํœ)sin2๐œ‹๐‘“0๐‘ก (23.6.1)

o alternativamente:

๐‘›(๐‘ก, ํœ) = ๐‘‰(๐‘ก, ํœ)cos[2๐œ‹๐‘“0๐‘ก โˆ’ ๐œ—(๐‘ก, ํœ)] (23.6.2)

dove:

{

๐‘‰(๐‘ก, ํœ) = โˆš๐‘›๐‘“

2(๐‘ก, ํœ) + ๐‘›๐‘ž2(๐‘ก, ํœ)

๐œ—(๐‘ก, ํœ) = arctang๐‘›๐‘ž(๐‘ก, ํœ)

๐‘›๐‘“(๐‘ก, ํœ)

(23.6.3)

rappresentano l'ampiezza (o inviluppo) e la fase istantanei di ๐‘›(๐‘ก, ํœ).

Richiamando le conclusioni tratte al paragrafo precedente, le

componenti in fase e in quadratura di ๐‘›(๐‘ก, ํœ) (vedi (23.5.16)

(23.5.17)) possono essere espresse in termini del segnale stesso e del-

la sua trasformata di Hilbert ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก, ํœ). Dal momento che ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐‘ก, ํœ) รจ otte-

nuto da ๐‘›(๐‘ก, ํœ) mediante una trasformazione lineare, anche ๐‘›๐‘“(๐‘ก, ํœ) e

๐‘›๐‘ž(๐‘ก, ํœ) dipendono linearmente da ๐‘›(๐‘ก, ํœ). Ciรฒ comporta che se

๐‘›(๐‘ก, ํœ) รจ un segnale gaussiano, lo sono pure le sue componenti in fa-

se e in quadratura. Per caratterizzare statisticamente ๐‘›๐‘“(๐‘ก, ํœ) e

๐‘›๐‘ž(๐‘ก, ํœ) รจ sufficiente quindi valutarne il valor medio e la varianza.

Dal momento che si รจ ipotizzato nullo il valor medio del se-

gnale risulta:

๐‘›๐‘“(๐‘ก, ํœ) = ๐‘›๐‘ž(๐‘ก, ํœ) = ๐‘›(๐‘ก, ํœ) = 0 (23.6.4)

ed in virtรน della stazionarietร  si ha anche:

Page 415: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

Segnali passa-banda - 403 -

๐‘›๐‘“2(๐‘ก, ํœ) = ๐‘›๐‘ž

2(๐‘ก, ํœ) = ๐‘›2(๐‘ก, ํœ) = ๐œŽ2 = โˆซ ๐‘Š๐‘›(๐‘“)๐‘‘๐‘“โˆž

โˆ’โˆž

(23.6.5)

Inoltre:

๐‘›๐‘“(๐‘ก, ํœ)๐‘›๐‘ž(๐‘ก, ํœ) = ๐‘…๐‘ž๐‘“(0) = 0 (23.6.6)

Ciรฒ significa che i processi ๐‘›๐‘“(๐‘ก, ํœ) e ๐‘›๐‘ž(๐‘ก, ํœ), essendo gaussiani, va-

lutati in uno stesso istante individuano una coppia di variabili aleato-

rie statisticamente indipendenti.

Si puรฒ scrivere allora:

๐‘๐‘›๐‘“(๐‘ก),๐‘›๐‘ž(๐‘ก)(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) = ๐‘๐‘›๐‘“(๐‘ก)(๐‘ฅ) โ‹… ๐‘๐‘›๐‘ž(๐‘ก)(๐‘ฆ) =1

2๐œ‹๐œŽ2๐‘’โˆ’๐‘ฅ2+๐‘ฆ2

2๐œŽ2 (23.6.7)

la quale puรฒ essere espressa in termini delle variabili aleatorie ๐‘‰ e ๐œ—,

definite dalla (IX.4.3). A tal fine, operando la trasformazione:

{๐‘ฅ = ๐œŒcos๐œˆ๐‘ฆ = ๐œŒsin๐œˆ โˆ’ ๐œ‹ โ‰ค ๐œˆ โ‰ค ๐œ‹ (23.6.8)

ed eguagliare le probabilitร  con cui si verifica un evento elementare

sia che venga riferito al sistema di coordinate (๐‘‚, ๐‘ฅ, ๐‘ฆ) sia al sistema

di coordinate polari appena introdotto. Si puรฒ scrivere:

๐‘๐‘›๐‘“(๐‘ก),๐‘›๐‘ž(๐‘ก)(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)๐‘‘๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฆ = ๐‘๐‘›๐‘“(๐‘ก),๐‘›๐‘ž(๐‘ก)(๐œŒcos๐œˆ, ๐œŒsin๐œˆ)|๐ฝ|๐‘‘๐œŒ๐‘‘๐œˆ (23.6.9)

dove |๐ฝ| รจ lo Jacobiano della trasformazione (23.6.8) che vale come รจ

noto ๐œŒ.

La ๐‘๐‘‰(๐‘ก),๐œ—(๐‘ก)(๐œŒ, ๐œˆ) assume come si deduce facilmente la forma:

๐‘๐‘‰(๐‘ก),๐œ—(๐‘ก)(๐œŒ, ๐œˆ) = ๐‘๐‘›๐‘“(๐‘ก),๐‘›๐‘ž(๐‘ก)(๐œŒcos๐œˆ, ๐œŒsin๐œˆ)|๐ฝ|

=1

2๐œ‹๐‘Ÿ๐‘’๐‘๐‘ก(

๐œˆ

2๐œ‹)๐œŒ

๐œŽ2๐‘’โˆ’๐œŒ2

2๐œŽ2๐‘ข(๐œŒ) (23.6.10)

che, come si constata facilmente, si puรฒ esprimere come prodotto di

una funzione della sola variabile ๐œŒ e di una della sola ๐œˆ. Le due varia-

bili individuate in uno stesso istante dai segnali definiti nella (23.6.3)

sono anchโ€™esse statisticamente indipendenti, in particolare si constata

che la densitร  di probabilitร  della fase istantanea ๐œ—(๐‘ก, ํœ) รจ uniforme in

[โˆ’๐œ‹, ๐œ‹], mentre la densitร  di probabilitร  di ๐‘‰(๐‘ก, ํœ) che vale:

๐‘๐‘‰(๐‘ก)(๐œŒ) =๐œŒ

๐œŽ2๐‘’โˆ’๐œŒ2

2๐œŽ2u(๐œŒ) (23.6.11)

รจ di Rayleigh.

Page 416: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

- 404 - Analisi dei segnali aleatori

Segnale gaussiano a banda stretta sovrapposto a 23.7 - un segnale deterministico di tipo sinusoidale.

Sia ๐‘ (๐‘ก, ํœ) un segnale aleatorio della forma:

๐‘ (๐‘ก, ํœ) = ๐ดcos(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก + ๐œ‘) + ๐‘›(๐‘ก, ํœ) (23.7.1)

in cui ๐‘›(๐‘ก, ํœ) รจ un rumore gaussiano a banda stretta, stazionario a va-

lor medio nullo e varianza ๐œŽ2, ๐œ‘ รจ una variabile casuale uniforme-

mente distribuita in [โˆ’๐œ‹, ๐œ‹] e indipendente dal segnale ๐‘›(๐‘ก, ํœ).

Adottando per ๐‘›(๐‘ก, ํœ) la rappresentazione fornita dalla (23.5.1) si

puรฒ scrivere:

๐‘ (๐‘ก, ํœ)= ๐ดcos(2๐œ‹๐‘“0๐‘ก + ๐œ‘) + ๐‘›๐‘“cos2๐œ‹๐‘“0๐‘ก(๐‘ก, ํœ)cos2๐œ‹๐‘“0๐‘ก

โˆ’ ๐‘›๐‘ž(๐‘ก, ํœ)๐‘ ๐‘–๐‘›2๐œ‹๐‘“0๐‘ก

= (๐ดcos๐œ‘ + ๐‘›๐‘“(๐‘ก, ํœ))cos2๐œ‹๐‘“0๐‘ก โˆ’ (๐ด๐‘ ๐‘–๐‘›๐œ‘

+ ๐‘›๐‘ž(๐‘ก, ํœ))๐‘ ๐‘–๐‘›2๐œ‹๐‘“0๐‘ก

(23.7.2)

questโ€™ultima si lascia facilmente scrivere secondo la forma (23.5.14):

๐‘ (๐‘ก, ํœ) = Re[๐‘ค(๐‘ก, ํœ)๐‘’๐‘—2๐œ‹๐‘“0๐‘ก] (23.7.3)

nella quale l'inviluppo dโ€™ampiezza |๐‘ค(๐‘ก, ํœ)| รจ dato da:

|๐‘ค(๐‘ก, ํœ)| = โˆš[๐‘ ๐‘“(๐‘ก, ํœ)]2 + [๐‘ ๐‘ž(๐‘ก, ํœ)]

2 (23.7.4)

nella quale si รจ posto:

{๐‘ ๐‘“(๐‘ก, ํœ) = ๐ดcos๐œ‘ + ๐‘›๐‘“(๐‘ก, ํœ)

๐‘ ๐‘ž(๐‘ก, ํœ) = ๐ด๐‘ ๐‘–๐‘›๐œ‘ + ๐‘›๐‘ž(๐‘ก, ํœ) (23.7.5)

Detta ๐œ—(๐‘ก, ํœ) la fase istantanea di ๐‘ (๐‘ก, ํœ) risulta:

๐œ—(๐‘ก, ํœ) = arctang๐‘ ๐‘ž(๐‘ก, ํœ)

๐‘ ๐‘“(๐‘ก, ํœ)= arctang

๐ดcos๐œ‘ + ๐‘›๐‘“(๐‘ก, ํœ)

๐ด๐‘ ๐‘–๐‘›๐œ‘ + ๐‘›๐‘ž(๐‘ก, ํœ) (23.7.6)

Le (23.7.5), possono anche essere facilmente scritte in termini

di |๐‘ค(๐‘ก, ํœ)| e di ๐œ—(๐‘ก, ํœ):

{๐‘ ๐‘“(๐‘ก, ํœ) = |๐‘ค(๐‘ก, ํœ)|cos๐œ—(๐‘ก, ํœ) = Re[๐‘ค(๐‘ก, ํœ)]

๐‘ ๐‘ž(๐‘ก, ํœ) = |๐‘ค(๐‘ก, ํœ)|sin๐œ—(๐‘ก, ํœ) = Im[๐‘ค(๐‘ก, ํœ)] (23.7.7)

Tenendo conto delle (23.6.4), si ottiene:

{๐‘›๐‘“(๐‘ก, ํœ) = ๐‘ ๐‘“(๐‘ก, ํœ) โˆ’ ๐ดcos๐œ‘ = |๐‘ค(๐‘ก, ํœ)|cos๐œ—(๐‘ก, ํœ) โˆ’ ๐ดcos๐œ‘

๐‘›๐‘ž(๐‘ก, ํœ) = ๐‘ ๐‘ž(๐‘ก, ํœ) โˆ’ ๐ดsin๐œ‘ = |๐‘ค(๐‘ก, ํœ)|sin๐œ—(๐‘ก, ํœ) โˆ’ ๐ดsin๐œ‘ (23.7.8)

Page 417: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

Segnali passa-banda - 405 -

Dal momento che i segnali ๐‘›๐‘“(๐‘ก, ํœ) e ๐‘›๐‘ž(๐‘ก, ํœ) sono gaussiani,

stazionari, a valor medio nullo e varianza ๐œŽ2, la densitร  di probabilitร 

congiunta ๐‘๐‘›๐‘“(๐‘ก),๐‘›๐‘ž(๐‘ก),๐œ‘(๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐œˆ) si puรฒ scrivere nella forma:

๐‘๐‘›๐‘“(๐‘ก),๐‘›๐‘ž(๐‘ก),๐œ‘(๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐œˆ) = ๐‘๐‘›๐‘“(๐‘ก)(๐‘ฅ) โ‹… ๐‘๐‘›๐‘ž(๐‘ก)(๐›ฝ) โ‹… ๐‘๐œ‘(๐œˆ)

=1

4๐œ‹2๐œŽ2๐‘’โˆ’๐‘ฅ2+๐‘ฆ2

2๐œŽ2 โŠ“ (๐œˆ

2๐œ‹)

(23.7.9)

data la ipotizzata statistica indipendenza della fase ๐œ‘ sia da ๐‘›๐‘“ che da

๐‘›๐‘ž.

Tenendo conto della (23.6.8), si puรฒ finalmente determinare la

densitร  di probabilitร  incrociata ๐‘|๐‘ค(๐‘ก)|,๐œ—(๐‘ก),๐œ‘(๐œŒ, ๐›พ, ๐œˆ). Risulta:

๐‘|๐‘ค(๐‘ก)|,๐œ—(๐‘ก),๐œ‘(๐œŒ, ๐›พ, ๐œˆ)

=๐œŒ

4๐œ‹2๐œŽ2๐‘’โˆ’๐œŒ2+๐ด2โˆ’2๐œŒ๐ดcos(๐œˆโˆ’๐›พ)

2๐œŽ2 u(๐œŒ)โŠ“ (๐›พ

2๐œ‹)โŠ“ (

๐œˆ

2๐œ‹)

(23.7.10)

Per ottenere la densitร  di probabilitร  del primo ordine dell'in-

viluppo |๐‘ค(๐‘ก, ํœ)| occorre marginalizzare la precedente rispetto alle

variabili ๐œ‘ e ๐œ—. Si ha:

๐‘|๐‘ค(๐‘ก)|(๐œŒ) = โˆฌ ๐‘|๐‘ค(๐‘ก)|,๐œ—(๐‘ก),๐œ‘(๐œŒ, ๐›พ, ๐œˆ)๐‘‘๐›พ๐‘‘๐œˆR2

=๐œŒ

4๐œ‹2๐œŽ2๐‘’โˆ’๐œŒ2+๐ด2

2๐œŽ2 u(๐œŒ)โˆซ โˆซ ๐‘’๐œŒ๐ดcos(๐œˆโˆ’๐›พ)

๐œŽ2 ๐‘‘๐›พ๐‘‘๐œˆ2๐œ‹

0

2๐œ‹

0

(23.7.11)

Lโ€™integrale piรน interno dellโ€™ultimo membro della precedente vale:

โˆซ ๐‘’๐ด๐œŒ

๐œŽ2cos(๐œˆโˆ’๐›พ)

๐‘‘๐›พ2๐œ‹

0

= 2๐œ‹๐ผ0 (๐ด๐œŒ

๐œŽ2) (23.7.12)

dove ๐ผ0(๐‘ฅ) denota la funzione di Bessel modificata di prima specie

di ordine zero. Si ottiene cosรฌ

๐‘|๐‘ค(๐‘ก)|(๐œŒ) =๐œŒ

4๐œ‹2๐œŽ2๐‘’โˆ’๐œŒ2+๐ด2

2๐œŽ2 ๐‘ข(๐œŒ)โˆซ 2๐œ‹๐ผ0(๐ด๐œŒ

๐œŽ2)

2๐œ‹

0

๐‘‘๐œˆ

=๐œŒ

๐œŽ2๐‘’โˆ’๐œŒ2+๐ด2

2๐œŽ2 ๐ผ0(๐ด๐œŒ

๐œŽ2)๐‘ข(๐œŒ)

(23.7.13)

nota come distribuzione di Rice o di Rayleigh generalizzata.

Page 418: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

- 406 - Analisi dei segnali aleatori

Definendo la variabile aleatoria normalizzata ๐›ฌ =๐‘ค

๐œŽ e intro-

ducendo il parametro ๐›ผ =๐ด

๐œŽ, la densitร  di probabilitร  della variabile

aleatoria ๐›ฌ in funzione del parametro ๐›ผ puรฒ ancora essere riscritta:

๐‘๐›ฌ(๐œ†) = ๐œ†๐‘’โˆ’1

2(๐›ผ2+๐œ†2)๐ผ0(๐›ผ๐œ†)๐‘ข(๐œ†) (23.7.14)

il cui andamento in corrispondenza a diversi valori del parametro

รจ riportato in Fig. 23.6

Se si marginalizza la (IX.4.10) rispetto a |๐‘ค(๐‘ก)|, si ottiene la

densitร  di probabilitร  incrociata tra la fase istantanea del rumore ๐œ—(๐‘ก)

e ๐œ‘:

๐‘๐œ—(๐‘ก),๐œ‘(๐›พ, ๐œˆ)

= โˆซ๐œŒ

4๐œ‹2๐œŽ2๐‘’โˆ’๐œŒ2+๐ด2โˆ’2๐œŒ๐ดcos(๐œˆโˆ’๐›พ)

2๐œŽ2 โŠ“ (๐›พ

2๐œ‹)โŠ“ (

๐œˆ

2๐œ‹)

โˆž

0

๐‘‘๐œŒ

=โŠ“ (

๐›พ

2๐œ‹)โŠ“ (

๐œˆ

2๐œ‹)

4๐œ‹2๐œŽ2โˆซ ๐œŒ๐‘’

โˆ’๐œŒ2+๐ด2โˆ’2๐œŒ๐ดcos(๐œˆโˆ’๐›พ)

2๐œŽ2

โˆž

0

๐‘‘๐œŒ

=โŠ“ (

๐›พ

2๐œ‹)โŠ“ (

๐œˆ

2๐œ‹)

4๐œ‹2๐œŽ2๐‘’โˆ’๐ด2sin2(๐œˆโˆ’๐›พ)

2๐œŽ2 โˆซ ๐œŒ๐‘’โˆ’(๐œŒโˆ’๐ดcos(๐œˆโˆ’๐›พ))2

2๐œŽ2

โˆž

0

๐‘‘๐œŒ

(23.7.15)

Questโ€™ultima รจ suscettibile dellโ€™ulteriore elaborazione:

Fig. 23.6 - Densitร  di probabilitร  dell'inviluppo.

2 4 6 8

0.1

0.2

0.3

0.4

0.6 0

3 4

1

2 5

p (l )

l

Page 419: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

Segnali passa-banda - 407 -

๐‘๐œ—(๐‘ก),๐œ‘(๐›พ, ๐œˆ)

=โŠ“ (

๐›พ

2๐œ‹)โŠ“ (

๐œˆ

2๐œ‹)

4๐œ‹2๐œŽ2๐‘’โˆ’๐ด2sin2(๐œˆโˆ’๐›พ)

2๐œŽ2 โˆซ ๐œŒ๐‘’โˆ’(๐œŒโˆ’๐ดcos(๐œˆโˆ’๐›พ))2

2๐œŽ2

โˆž

0

๐‘‘๐œŒ

=โŠ“ (

๐›พ

2๐œ‹)โŠ“ (

๐œˆ

2๐œ‹)

4๐œ‹2๐œŽ2{๐œŽ2๐‘’

โˆ’๐ด2

2๐œŽ2

+ โˆš๐œ‹

2๐ด๐œŽcos(๐œˆ โˆ’ ๐›พ)๐‘’

โˆ’๐ด2sin2(๐œˆโˆ’๐›พ)

2๐œŽ2 [1 + erf (๐ดcos(๐œˆ โˆ’ ๐›พ)

โˆš2๐œŽ)]}

(23.7.16)

che, introducendo il parametro ๐›ผ, diventa:

๐‘๐œ—(๐‘ก),๐œ‘(๐›พ, ๐œˆ)

=โŠ“ (

๐›พ

2๐œ‹)โŠ“ (

๐œˆ

2๐œ‹)

4๐œ‹2{๐‘’

โˆ’๐ด2

2๐œŽ2 + โˆš๐œ‹

2๐›ผcos(๐œˆ

โˆ’ ๐›พ)๐‘’โˆ’๐ด2sin2(๐œˆโˆ’๐›พ)

2๐œŽ2 [1 + erf (๐ดcos(๐œˆ โˆ’ ๐›พ)

โˆš2๐œŽ)]}

(23.7.17)

L'andamento della funzione ๐‘๐œ—,๐œ‘(๐›พ, ๐œˆ) in funzione di ๐›พ โˆ’ ๐œˆ รจ

riportato in Fig. 23.7per diversi valori del parametro ๐›ผ.

Fig. 23.7

Page 420: Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

Bibliografia

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