M A T E M A T I C A I
Lezioni ed Esercizi
a.a. 2017-18 Corso di laurea in Scienze Strategiche
Università di Modena e Reggio Emilia.
Dipartimento di Fisica, Informatica, Matematica.
Prefazione
Questa dispensa raccoglie le lezioni del corso di Matematica I per il corso di laurea in Scienze Strategiche. Il corso è di 6 CFU, 72 ore comprensive di lezioni ed esercizi. Si svolge nel primo periodo del 1° anno presso l’Accademia Militare di Modena. Senza trascurare la rigorosità, si è scelto di presentare i vari argomenti in una forma semplice ed essenziale, insistendo sui concetti e sugli esempi. Questo per permettere a coloro che in passato hanno già studiato tali nozioni di richiamarle ed approfondirle con immediatezza e a coloro che le incontrano per la prima volta di assimilarle in una forma corretta e pratica.
La dispensa è messa a disposizione di tutti gli studenti quale ausilio didattico. E’ reperibile nella pagina web di Carla Fiori alla voce Materiale didattico, Matematica. (http://cdm.unimo.it/home/matematica/fiori.carla/materiale_didattico.htm)
Matematica Capitolo 0: RICHIAMI
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1
Capitolo 0
RICHIAMI In questa parte si richiamano le principali formule di geometria piana relative alla retta ed alla circonferenza in quanto sono pre-requisiti alle parti successive. Sia fissato nel piano euclideo un riferimento cartesiano ortogonale e monometrico.
0.1 RICHIAMI SULLA RETTA Le equazioni qmxy += e kx = , con , , ∈ ℝ sono equazioni di rette nel piano. Viceversa una qualunque retta del piano ha una equazione del tipo qmxy += (forma esplicita) oppure kx = . Se si vuole esprimere con una sola equazione tutte le rette del piano, allora si deve considerare l’equazione 0=++ cbyax , , , ∈ ℝ, (, ) ≠ (0, 0), (forma implicita). La distinzione fra forma esplicita e forma implicita è importante perché, come si vedrà, solo le rette esprimibili in forma esplicita rappresentano delle funzioni. Data la retta di equazione = + , il numero reale si chiama pendenza della retta (o coefficiente angolare ). Alle rette di equazione = si attribuisce pendenza infinita .
Equazione della retta All’equazione di una retta si può giungere noti due suoi elementi, per esempio le coordinate di due suoi punti, oppure le coordinate di un punto e la pendenza, ecc. (vedi esercizi alla fine del capitolo).
Ricordiamo come trovare l’equazione della retta note le coordinate di due suoi punti (, ) e (, ) . • Se ≠ e ≠ allora la retta per P1 e P2 ha equazione
−
− =
−
−
Oppure si può scrivere
12
12
12
12
1
1 ,xx
yym
xx
yy
xx
yy
−−=
−−=
−−
)()( 1111 xxmyyxxmyy −+=⇒−=−⇒
Matematica Capitolo 0: RICHIAMI
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2
Esempio Se P1 = (0,1) e P2= (−4, 100) si ha 100,1,4,0 2121 ==−== yyxx
xyxx
yym 75.241
499
041100
12
12 −=⇒−=−−−=
−−=
• Se x1 = x2 allora la retta per P1 e P2 ha equazione
=
• Se y1 = y2 allora la retta per P1 e P2 ha equazione
=
Esempi.
1. L’equazione della retta per P1(−2; 3) e P2(4; −3) è )2(4
)2(
33
3
−−−−=
−−− xy
, 1+−= xy .
2. L’equazione della retta per P1(2; −2) e P2(2; 3) è 2=x . . 3. L’equazione della retta per P1(−2; 3) e P2(1,5; 3) è 3=y .
Condizione di parallelismo || Due rette sono parallele, || , quando hanno la stessa pendenza. Pertanto: • Se le rette hanno pendenza infinita allora sono del tipo hx = e kx = e dunque sono
parallele. • Se le rette hanno pendenza finita ed ′ , esse sono parallele se e soltanto se
= ′
Esempio. Le rette di equazione 23 += xy e 73 −= xy sono parallele perché hanno la stessa pendenza 3 .
Matematica Capitolo 0: RICHIAMI
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3
Condizione di perpendicolarità ⊥⊥⊥⊥ Due rette incidenti, r ed s , si dicono perpendicolari se incontrandosi formano angoli di
°=π90
2 . Se nel piano è fissato un sistema di riferimento ortogonale, allora si ha:
• nel caso una delle rette sia parallela ad un asse, r ⊥ s se e soltanto se le equazioni di r ed s sono rispettivamente = ℎ e = , o viceversa;
• nel caso le rette abbiano equazione qmxy += e txmy += ' , esse sono perpendicolari se e soltanto se
= −1
′
Esempio. Le rette di equazione 23 += xy e 73
1 −−= xy sono perpendicolari.
Fascio proprio di rette di centro P(x 0;y0) Si intende l’insieme di tutte le rette del piano che passano per P(; ). L’equazione
− = ( − ), ∈ ℝ
è detta equazione del fascio proprio di centro P. Al variare di ∈ ℝ si ottengono tutte le rette passanti per P ad eccezione della retta di equazione 0xx = . Esempio. Le rette del piano che passano per il punto P=(2; 1) sono tutte e sole le rette di equazione
)2(1 −=− xmy ) e la retta 2=x .
Fascio improprio di rette Si intende l’insieme di tutte le rette del piano aventi la stessa pendenza m. L’equazione
= + , ∈ ℝ
è detta equazione del fascio improprio . Al variare di ∈ ℝ si ottengono tutte le rette aventi pendenza m. Esempio. Le rette del piano con pendenza 7 sono tutte e sole le rette di equazione
kxy += 7 .
Matematica Capitolo 0: RICHIAMI
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4
Distanza di un punto P da una retta r Dati il punto P(x0;y0) e la retta r di equazione + + = 0 , la distanza di P da r è
22
00 ||);(
ba
cbyaxrPd
+++=
Fare attenzione perché occorre che la equazione della retta sia data in forma implicita. Esempio. Per determinare la distanza di P(-1;5) dalla retta r di equazione = 0,5 + 3 , si deve prima scrivere l’equazione di r come 0,5 – + 3 = 0 e poi si applica la formula:
5125,0
|35)1()1(5,0|);( =
++−+−=rPd .
Distanza di due punti Dati i punti P(x1; y1) e Q(x2; y2) , la misura della loro distanza è :
2
212
21 )()( yyxxPQ −+−=
Esempio. Dati i punti P(2; 3) e Q(-1; 5) , la misura della loro distanza è :
13)53())1(2( 22 =−+−−=PQ
Punto medio del segmento di estremi P e Q Siano P(x1; y1) e Q(x2; y2) due punti del piano. Le coordinate del punto medio M del segmento di estremi P e Q sono date da :
Esempio. Se P(2; 3) e Q(−1; 5) sono i punti, le coordinate del punto medio M del
segmento di estremi P e Q sono :
=
+−+4;
21
253
;2
)1(2M .
++2
;2
2121 yyxxM
Matematica Capitolo 0: RICHIAMI
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5
Esercizi.
1. Scrivere l’equazione della retta passante per P(–1; 3) e parallela alla retta r di equazione 2 + 3 – 2 = 0 .
Soluzione. La retta r ha pendenza 32− e quindi la retta richiesta ha la stessa
pendenza (o coefficiente angolare). Dall’equazione del fascio di rette per P si ottiene
pertanto che la retta ha equazione ( )1)(x32
3y −−−=− , 37
x32
y +−= .
2. Scrivere l’equazione della retta passante per P(2; –3) e perpendicolare alla retta r di equazione 5x –2y + 1 = 0 .
Soluzione. La retta r ha pendenza 25
, pertanto la retta cercata dovendo essere
perpendicolare ad r avrà pendenza 52− . Dall’equazione del fascio di rette passanti
per P si ottiene che l’equazione cercata è ( )2x52
3y −−=+ , 511
x52
y −−= .
3. Trovare le coordinate del punto P comune alle rette di equazione 2x –y +1 = 0 e x + y +3 = 0 . Soluzione. Il punto P avrà come coordinate la soluzione del sistema:
=++=+
0 3 y x
01y-2x da cui
−−35
;34
P .
4. In un sistema di riferimento Oxy , sia r la retta d'equazione 3x + 2y –1 = 0 . Determinare: a) l'equazione della retta passante per A(3; –5) e parallela a r ; b) l'equazione della retta passante per B(1; –2) e perpendicolare a r ; c) le coordinate del punto C d'intersezione tra la retta r e la retta s d'equazione
2x + y –1 = 0 ; d) le coordinate del piede H della perpendicolare condotta da D(–3; –8) alla retta r ; e) la distanza d del punto E(2; 3) da r ; Soluzione. a) Poichè la retta r ha coefficiente angolare (pendenza) m = –3/2 , la retta cercata
avrà lo stesso coefficiente angolare e l'equazione si otterrà da quella del fascio proprio di rette passanti per (x0; y0) , ossia:
(1) y –y0 = m (x –x0) dove (x0; y0) sono le coordinate di A e m il coefficiente angolare di r ; si ottiene: y + 5 = –3/2 (x –3) e quindi in forma implicita 3x + 2y + 1 = 0 .
b) Siccome due rette sono perpendicolari se i loro coefficienti angolari sono uno il reciproco dell'altro cambiato di segno, la retta cercata si otterrà inserendo nella (1) le coordinate di B e il coefficiente angolare 2/3 : y + 2 = 2/3 (x –1) e quindi in forma implicita 2x –3y –8 = 0 .
c) Basta porre a sistema le equazioni delle rette r e s :
Matematica Capitolo 0: RICHIAMI
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6
=−+=−+01y2x
012y3x ,
ottenendo le coordinate di C(1; –1) . d) Si determina l'equazione della retta t passante per D e perpendicolare a r :
2x –3y –18 = 0 ; poi la si pone a sistema con l'equazione della retta r:
=−+=−−012y3x
0183y2x ,
la soluzione del sistema fornisce le coordinate di H(3; –4) . e) Basta sostituire le coordinate di E e i coefficienti dell'equazione di r nella formula
22
00);(ba
cbyaxrPd
+
++= ,
13
11
23
13223r)(E;d
22=
+
−⋅+⋅= .
5. Dato il triangolo di vertici A(–2; 3) , B(–2; –1) e C(3; 4) , determinare: a) le equazioni dei lati; b) i punti della retta y = 2x che hanno distanza uguale a 3 dalla retta AB . Soluzione. a) AB : x = –2 ; BC : y = x + 1 ; AC : y = (1/5) x + 17/5 ; b) E (1; 2) , F(–5; –10) .
6. Nel fascio di rette di equazione (1 + k) x –(2 –k) y + 1 –5k = 0 (k ∈ R) determinare: a) le rette che hanno distanza uguale a 3 dall'origine O degli assi; b) la retta r1 perpendicolare alla retta di equazione y = –2x + 5 ; c) la retta r2 parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante. Soluzione. Si ricordi che una retta di equazione ax + by + c = 0 ha coefficiente angolare m = –a/b. Nel fascio proposto a = 1 + k , b = –(2 –k) = k –2 e c = 1 –5k . a) x = 3; 15x + 36y –117 = 0; b) r1: x –2y + 1 = 0; c) r2: x –y –1 = 0 .
7. Verificare che i punti P(1; 2) , Q(3; 4) e R(–1; 0) sono allineati. Soluzione. Occorre scrivere l'equazione della retta passante per due dei tre punti, per esempio la retta per P e Q e successivamente controllare se R appartiene alla retta PQ sostituendo in essa le coordinate di R. La retta per P e Q ha equazione x –y + 1 = 0 , sostituendo in essa le coordinate di R si ottiene –1 –0 + 1 = 0 e quindi poiché l'equazione è soddisfatta R è allineato con P e Q .
8. Verificare che i punti A(1; 2) B(–2; 1) e C(0; –2) non sono allineati. Del triangolo da essi determinato trovare: a) le equazioni dei lati; b) le equazioni delle parallele ai lati condotte per i vertici opposti; c) il perimetro e l'area. Soluzione. a) x –3y + 5 = 0; 4x –y –2 = 0; 3x + 2y + 4 = 0; b) 3x + 2y –7 = 0; x –3y –6 = 0; 4x –y + 9 = 0; c) perimetro = 171310 ++ , area = 11/2.
Matematica Capitolo 0: RICHIAMI
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7
0.2 RICHIAMI SULLA CIRCONFERENZA Dato un punto (!, ") ed un numero reale #>0 , si chiama circonferenza di centro e raggio # il luogo geometrico dei punti del piano che hanno distanza # da . Se (, ) indica il generico punto della circonferenza, la condizione che caratterizza i punti della circonferenza è = # ossia $( − !) + ( − ") = # che è preferibile scrivere nella forma (1) ( − !) + ( − ") = # Se il centro della circonferenza è l’origine degli assi, (0; 0) , l’equazione della circonferenza è del tipo :
+ = #
Ad esempio + = 7 è la circonferenza di centro (0; 0) e raggio 7 . In particolare la circonferenza di centro l’origine degli assi e raggio 1 , detta anche circonferenza unitaria, ha equazione + = 1. Sviluppando (1) si ottiene la seguente equazione
(2) + + + + = 0,, , ∈ ℝ, + − 4 > 0
Questa equazione caratterizza la circonferenza; è un’equazione di secondo grado in due incognite in cui i termini x2 e y2 hanno lo stesso coefficiente e manca il termine in xy . Data l’equazione (2) il centro della circonferenza è
= (!, ") = (−2
;−2
)
mentre il raggio è
# =12
$ + − 4
Nell’equazione generale (2) della circonferenza compaiono tre parametri a b, c . Pertanto quando si vuole determinare l’equazione di una circonferenza, occorrono tre condizioni. Per esempio il centro (due condizioni) e il raggio (una condizione) . Spesso occorre trovare l’equazione di una circonferenza conoscendo le coordinate di tre suoi punti, in questo caso per determinare l’equazione della circonferenza si impone che le coordinate dei tre punti soddisfino l’equazione algebrica e mediante sistema si calcolano i parametri a, b, c (si veda esercizio 3).
Matematica Capitolo 0: RICHIAMI
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Equazione retta tangente alla circonferenza nel pun to P(x 0;y0)
( − !)( − ) + ( − ")( − ) = 0
Esempio. L’equazione della retta tangente alla circonferenza + − 6 − 4 − 12 = 0 nel punto (−2, 2) è = −2.
Esercizi. 1. Determinare l’equazione della circonferenza di centro C(−2; 3) e raggio r = 4 .
Soluzione. Applicando la (1) si ha che l’equazione della circonferenza è ( )( ) ( ) 222 43y2x =−+−− da cui 036y4xyx 22 =−−++ .
2. Determinare il centro e il raggio della circonferenza di equazione 0124y6xyx 22 =−−−+ .
Soluzione. Considerata la (2) si ha a = −6 , b = −4 , c = −12 e pertanto la
circonferenza ha centro 2)(3;)2b
;2a
(C =−− e raggio 51223r 22 =++= .
3. Scrivere l’equazione della circonferenza passante per i punti (−1, 2) , (1, 4) , (3, 2) .
Soluzione. Considerata la (2) imponiamo il passaggio della circonferenza per i tre punti, ossia imponiamo che le coordinate dei tre punti soddisfino la (2) :
=++++=++++=++−+
0c2b3a49
0c4ba161
0c2ba41
risolvendo il sistema si ottiene a = −2 , b = −4 , c = +1 e pertanto l’equazione della circonferenza è:
014y2xyx 22 =+−−+ .
Matematica. Capitolo 1: generalità sugli insiemi e sulle funzioni ________________________________________________________________________________________________________________________
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Capitolo 1
GENERALITA’ SUGLI INSIEMI E SULLE FUNZIONI
1.1 IL LINGUAGGIO DEGLI INSIEMI Un insieme può essere assegnato elencando i suoi elementi o enunciando una proprietà che li caratterizzi. Useremo lettere maiuscole per indicare insiemi, lettere minuscole per indicare gli elementi di un insieme. Se a è un elemento dell’insieme A diremo che “a appartiene ad A” e scriveremo a ∈∈∈∈ A. Per negare l’appartenenza scriveremo a ∉∉∉∉ A. Dato un insieme A, si definisce sottoinsieme di A un qualunque insieme B tale che ogni elemento di B risulti anche elemento di A. In tal caso si scrive B ⊆ A oppure B ⊂ A a seconda che B possa o meno coincidere con A. Tra i sottoinsiemi di un dato insieme vi è sempre l’insieme vuoto , cioè l’insieme privo di elementi, esso si indica con ∅.
1.2 GLI INSIEMI NUMERICI E I SIMBOLI CHE LI RAPPRES ENTANO • Numeri naturali : ℕ = 0,1,2, …, n, …
NOTA - In questa trattazione lo zero appartiene all’insieme dei numeri naturali. • Numeri interi : ℤ = …, -2, -1, 0, 1, 2, …
• Numeri razionali : ℚ = qp
: p, q ∈ ℤ, q ≠ 0
è l’insieme dei numeri che si possono esprimere come frazione.
• Numeri reali : ℝ questo insieme è costituito dai numeri razionali e irrazionali (sono numeri decimali illimitati aperiodici come per esempio 2 = 1,414213562… e π = 3,141593… )
• Numeri complessi : ℂ = z = a + ib : a, b ∈ ℝ dove i = 1− indica l’unità immaginaria. Si dice che a è la parte reale e b è il coefficiente della parte immaginaria del numero complesso z. NOTA - Dal punto di vista insiemistico, le successive estensioni dell’insieme dei numeri naturali si possono così schematizzare:
Matematica. Capitolo 1: generalità sugli insiemi e sulle funzioni ________________________________________________________________________________________________________________________
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ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ Ma attenzione che, trattandosi di insiemi infiniti, non è detto che un insieme abbia cardinalità maggiore di un suo sottoinsieme. Risulta
|ℕ| = | ℤ | = | ℚ | < | ℝ | = | ℂ |
ossia gli elementi dell’insieme ℕ sono tanti quanti gli elementi di ℤ o di ℚ, così come ℝ e ℂ hanno lo stesso numero di elementi, mentre ℚ ha un numero di elementi più piccolo del numero di elementi di ℝ. Per indicare che in un insieme numerico si esclude lo zero, si scriverà un “∗” in alto a destra, per esempio ℝ∗ = ℝ − 0 . Per indicare che di un insieme numerico si considerano solo i numeri positivi scriveremo “+” in alto a destra; per indicare che in un insieme si considera anche lo zero, metteremo 0 in basso a destra; analogamente per i numeri negativi. Avremo per ℝ+ numeri reali positivi ℚ
numeri razionali negativi compreso lo zero.
• Rappresentazione dei numeri reali su una retta I numeri reali possono essere rappresentati dai punti di una retta. Infatti, considerata una retta orientata su cui è stato fissato il segmento (unità di misura) di estremi 0 e 1, ad ogni punto della retta rimane associato uno ed un solo numero reale e viceversa ad ogni numero reale rimane associato uno ed un solo punto della retta.
ℝ
1.3 INTERVALLI DI NUMERI REALI e INTORNI Tra i sottoinsiemi di ℝ particolare importanza rivestono gli intervall i. Siano a, b ∈ ℝ, a< b. Si definisce: • intervallo chiuso di estremi a e b l’insieme
[a,b] =x ∈ ℝ : a ≤ x≤ b
• intervallo aperto di estremi a e b l’insieme
(a,b) = x ∈ ℝ : a < x < b
• intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra
(a,b] = x ∈ ℝ : a < x ≤ b
0 1 u retta r
Matematica. Capitolo 1: generalità sugli insiemi e sulle funzioni ________________________________________________________________________________________________________________________
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• intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra
[a,b) = x ∈ ℝ : a ≤ x < b
• intervalli illimitati
(a, +∞) = x ∈ ℝ : a < x [a, +∞) = x ∈ ℝ : a ≤ x (−∞, b) = x ∈ ℝ : x < b (−∞, b] = x ∈ ℝ : x ≤ b (−∞, +∞) = ℝ
NOTA – In questa trattazione la parentesi tonda indica “aperto”, la parentesi quadra indica “chiuso”. Si dice che (a, b) è un intorno di se ∈ (a, b).
• L’intervallo [ , b) è detto intorno destro di . • L’intervallo (a, ] è detto intorno sinistro di . • L’intervallo ( - δ, + δ) è detto intorno di centro e di raggio δ. Si usa
indicarlo con )( 0xI δ .
Gli intervalli (a, +∞ ) e [a, +∞ ) sono detti intorni di +∞ . Gli intervalli (−∞ , b) e (−∞ , b] sono detti intorni di −∞ .
Il punto A∈0x è detto punto interno ad A se esiste δ tale che )( 0xI δ ⊂ A, ossia se
esiste un intorno di 0x tutto contenuto in A.
Un insieme A si dice aperto se tutti i suoi elementi sono interni ad A. Un insieme si dice chiuso se il suo complementare è aperto. Esempio. L’intervallo (a,b) è un insieme aperto, perché tutti i suoi punti sono interni; l’insieme [a,b] è chiuso perché il suo complementare è ),(),( +∞∪−∞ ba , i cui
elementi sono tutti interni e quindi è aperto. Si dice che L è un maggiorante (risp. minorante ) di A se AaaL ∈∀≥
(risp. AaaL ∈∀≤ ). Esempio. Sono maggioranti dell’insieme [2,9] i numeri 34, 57, 2569. Sono suoi minoranti i numeri 0, −49, −2398.
Matematica. Capitolo 1: generalità sugli insiemi e sulle funzioni ________________________________________________________________________________________________________________________
12
Un insieme si dice superiormente (risp. inferiormente ) limitato se ammette
maggioranti (risp. minoranti ). Un insieme si dice limitato se è sia superiormente sia
inferiormente limitato.
Esempio. L’insieme [2,9] è limitato, l’insieme [4, +∞) è inferiormente limitato e
superiormente illimitato.
Sia ⊂ ℝ. Si dice che M è il massimo di A se
(i) AaaM ∈∀≥ (ii) AM ∈
Sia ⊂ ℝ. Si dice che m è il minimo di A se
(i) Aaam ∈∀≤ (ii) Am∈
Esempio. L’insieme [2,9] ha come minimo m=2 e M=9 come massimo. L’insieme
[ ] 64,3 ∪−=A ha m=−3 come minimo e M=6 come massimo.
Esempio. L’insieme A=(2,9) non ha massimo né minimo: infatti il numero 2 e il numero 9 non appartengono all’insieme. Essi sono detti estremo inferiore e estremo superiore dell’insieme A.
Si dice che L è estremo superiore dell’insieme A se
(i) AaaL ∈∀≥
(ii) ∀ < ∈ ℎ < ≤ Si dice che l è estremo inferiore dell’insieme A se
(i) Aaal ∈∀≤
(ii) ∀ > ∈ ℎ ≤ < L’estremo superiore (inferiore) è dunque il minimo (massimo) dei maggioranti (minoranti). Si indicano rispettivamente con sup A e inf A. Se l’estremo superiore (inferiore) appartiene all’insieme, allora è un massimo (minimo) dell’insieme. Se l’insieme è superiormente (inferiormente) illimitato si scrive sup A=+∞ ( inf A=−∞ ). Ad esempio, per = ∈ ℝ: > 7", si ha sup A=+∞.
Matematica. Capitolo 1: generalità sugli insiemi e sulle funzioni ________________________________________________________________________________________________________________________
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1.4 FUNZIONI Spesso si devono affrontare e descrivere situazioni che fanno riferimento a due o più quantità variabili in determinati insiemi e tali che il valore di una dipenda dal valore assunto dalle altre. Ad esempio : Il costo totale di una merce dipende dalla quantità di merce acquistata. L’area di un quadrato dipende dalla lunghezza del suo lato. Il montante di un capitale depositato in banca dipende dal tempo di investimento e dal
tasso di interesse. Nei primi due esempi sono presenti due grandezze variabili: una indipendente e l’altra dipendente da questa, ossia il valore della seconda è determinato non appena è noto il valore della prima.
Variabile indipendente (generalmente indicata con x)
Variabile dipendente (generalmente indicata con y)
Si dice che y è funzione di x .
DEFINIZIONE. Dati due insiemi non vuoti A e B si dice funzione di A in B una legge che ad ogni x ∈ A associa uno ed un solo elemento y ∈ B. Scriveremo f : A → B oppure y = f(x).
• f(x) indica l’elemento di B immagine di x tramite f .
• x è detto una controimmagine di f(x) . • L’insieme A è detto dominio della funzione. • L’insieme B è detto codominio della funzione. • Il simbolo f(A) denota l’insieme delle immagini di f (o immagine di A).
ATTENZIONE. Non basta una “legge” per definire una funzione, occorre anche assegnare il dominio e il codominio. La stessa “legge” può definire oppure no una funzione a seconda del dominio e/o codominio in cui è considerata. Ad esempio :
f : ℕ → ℝ , f(x)= - x2 è una funzione f : ℕ → ℕ , f(x)= - x2 non è una funzione f : ℕ → ℝ , f(x)= x è una funzione f : ℝ → ℝ , f(x)= x non è una funzione
Altri esempi di funzione : f : ℕ → ℝ , f(x)= 2x + 1
Matematica. Capitolo 1: generalità sugli insiemi e sulle funzioni ________________________________________________________________________________________________________________________
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f : ℝ → ℝ ,
≥<≤+
<=
11
102
02
xse
xsex
xse
f(x)
NOTA - Nella definizione di funzione non è richiesto che rimanga invariata la legge con cui f associa ad ogni elemento del dominio la sua immagine; quello che occorre è che ad ogni elemento del dominio corrisponda uno ed un solo elemento del codominio. Esercizio.
Si consideri la funzione 2x
1 f(x)
−= definita in ℝ −2 . Si calcolino:
f(0) ; 1)f(k + ; )f( 1− ; )21
f( ; f(x) +4; f(x +4); f(x2) ; [f(x)]2 .
Soluzione Sostituendo ad x il valore indicato si ottiene:
21−=f(0) ,
11−
=+k
1)f(k , 3
11 −=− )f( ,
3
2
2
1 −= )f( ,
2
744
2x
1 4f(x)
−−=+
−=+
x
x, ( ) 2
1
24x
1 4)f(x
+=
−+=+
x,
2x
1 )f(
22
−=x , [ ]
44
1
2x
1 f(x)
2
22
+−=
−=
xx.
DEFINIZIONE. Una funzione f : A → A si chiama funzione identità se ad ogni
elemento di A associa l’elemento stesso, ossia f(x) = x .
Di norma si indica con IdA .
DEFINIZIONE. Una funzione f : A → B si dice
- suriettiva quando f(A) = B (fig. 1.1)
- iniettiva quando da x1 ≠ x2 segue f(x1) ≠ f(x2) (fig. 1.2)
- biettiva (o biunivoca) se è iniettiva e suriettiva (fig. 1.3)
A B A B A B
fig. 1.1 fig. 1.2 fig. 1.3
Matematica. Capitolo 1: generalità sugli insiemi e sulle funzioni ________________________________________________________________________________________________________________________
15
f(x) = x2 , f : ℝ → ℝ
# è suriettiva, ma non iniettiva f(x)= x2 , f : ℝ → ℝ non è suriettiva né iniettiva f(x) = x2 , f : ℕ → ℤ è iniettiva, ma non suriettiva f(x) = 2x + 1 , f : ℝ → ℝ è biiettiva
Le funzioni biettive rivestono un ruolo particolarmente importante. Qui ci limitiamo ad evidenziare due proprietà : 1) Permettono di “confrontare” e “contare” gli elementi di due insiemi:
A e B hanno lo stesso numero di elementi se e solo se fra A e B è possibile stabilire una funzione biettiva. Esempio
• l’insieme P = 0, 2, 4, …, 2n, … dei numeri pari e l’insieme ℕ = 0, 1, 2, …, n, … dei numeri naturali hanno lo stesso numero di elementi (cardinalità) perché fra essi è possibile stabilire una funzione biettiva:
f : ℕ → P , f(n) = 2n . • Fra gli insiemi ℚ ed ℝ non esiste nessuna funzione biettiva perché | ℚ | < |ℝ| .
2) Le funzioni biettive ammettono la funzione inversa : Se f : A → B è una funzione biunivoca, allora si può definire un’altra funzione di B → A, detta funzione inversa della f e indicata con f-1 , che ad ogni y ∈ B associa la sua controimmagine nella f , ossia f-1(y) = x con f(x) = y .
Si osservi che : f-1 è biiettiva (f-1)-1 = f f : A → B iniettiva diventa biiettiva e quindi invertibile se si considera f : A → f(A) f-1(x) ≠ [ f(x)]-1
Nelle applicazioni economiche spesso si deve fare uso delle funzioni inverse. Ad esempio qualche volta pensiamo il prezzo p come funzione della quantità q e qualche volta la quantità come funzione del prezzo:
p=g(q) , q=f(p) Esempio La funzione “quantità” q: ℝ → ℝ definita da q=10−0.4p è biunivoca e quindi invertibile e pertanto la funzione “prezzo” risulta l’inversa della funzione quantità:
p=f-1(q)=(10−q)/0.4=25−2.5q
A B
x
y
f
f-1
Matematica. Capitolo 2: funzioni reali di una variabile reale e applicazioni ________________________________________________________________________________________________________________________
16
CAPITOLO 2
FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE E APPLICAZION I
FUNZIONI REALI di una variabile reale Sono le funzioni aventi come dominio e codominio dei sottoinsiemi di numeri reali; esse sono alla base dei modelli matematici presenti in ogni campo della scienza. L’ultimo paragrafo, “Applicazioni”, ha lo scopo di mostrare come, per risolvere con metodi matematici dei problemi concreti, il primo passo sia quello di costruire un modello matematico che ne consenta la traduzione in uno o più problemi matematici. DEFINIZIONE. Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di ℝ. Una funzione f : A → B
è detta funzione reale di variabile reale .
Esempi f : [0,1] → ℝ f(x) = x2 –3 f : ℝ → ℝ f(x) = x2 f : ℝ → ℝ f(x)=1/x Il campo di esistenza della funzione, è l’insieme dei valori della variabile indipendente x per i quali hanno significato le operazioni che si devono eseguire su di essa per avere il valore corrispondente f(x) . In altre parole è il più ampio dominio, sottoinsieme di ℝ, per ogni elemento del quale è possibile determinare la corrispondente immagine nel codominio. Talvolta il dominio della funzione f non è specificato; in tal caso si sottintende che è il suo campo di esistenza. Per esempio se viene indicata solo la legge f(x)=1/x , si considera come dominio l’insieme ℝ - 0. Se viene indicata solo la legge f : x → x si considera come dominio l’insieme ℝ = [0, +∞) . OSSERVAZIONE Nello studio teorico di una funzione, di norma, come dominio si cerca e si considera il suo campo di esistenza, ma occorre fare attenzione che quando si studia un problema concreto, il dominio della funzione che lo rappresenta va considerato unitamente alla natura della variabile indipendente. Ad esempio se in () = 3 − 2 la rappresenta degli operai, il dominio deve essere un sottoinsieme di ℕ (non può esistere mezzo operaio!) anche se il campo di esistenza della funzione è ℝ.
Matematica. Capitolo 2: funzioni reali di una variabile reale e applicazioni ________________________________________________________________________________________________________________________
17
2.1 RICERCA DEL CAMPO di ESISTENZA Per determinare il campo di esistenza di una funzione occorre tener presente che nella sua espressione analitica : 1) I denominatori devono essere ≠ 0 . 2) Se figura n b , n pari, deve essere b ≥ 0 . 3) Se figura balog , deve essere b > 0 , ≠ 1, > 0. 4) Se figura )()( xgxf occorre porre 0)( >xf , con () e () funzioni razionali intere. Se la funzione presenta più situazioni fra quelle sopra indicate, per determinare il campo di esistenza, “Dom”, dovranno essere richieste contemporaneamente tutte le condizioni elencate sopra.
Esempio. 16
42 −
+=x
xf(x)
Per la ricerca del campo di esistenza si deve porre
),4()4,4(4
4
016
042
+∞−=⇒
±≠−≥
⇒
≠−≥+
UfDomx
x
x
x.
Esempio. Per determinare il campo di esistenza della funzione
41
−+=
x
xf(x) ln
si deve porre 04
1 >−+
x
x e 4≠x , e pertanto
≠>−>+
4
04
01
x
x
x
oppure
≠<−<+
4
04
01
x
x
x
4
4
4
1
>⇒
≠>
−>x
x
x
x
oppure 1
4
4
1
−<⇒
≠<
−<x
x
x
x
),4()1,( +∞−−∞= UfDom
Matematica. Capitolo 2: funzioni reali di una variabile reale e applicazioni ________________________________________________________________________________________________________________________
18
Esercizi. 1. Determinare il campo di esistenza della funzione
2)3(x1x
f(x)−+= .
Soluzione Deve essere 02 ≠−x , 2x ≠ . Il campo di esistenza della funzione è pertanto ℝ − 2.
2. Determinare il campo di esistenza della funzione
1
1)(
−=
xxf .
Soluzione Deve essere 01>−x , 1>x . Il campo di esistenza della funzione è pertanto (1,+∞).
3. Determinare il campo di esistenza della funzione
)2(ln)( 2 −+= xxxf .
Soluzione Deve essere 022 >−+ xx . Il campo di esistenza della funzione è pertanto ( ) ( )∞+−∞− ,12, U .
4. Determinare il campo di esistenza della funzione
43)(
2 −+=
xxx
xf ..
Soluzione La funzione esiste purché sia 043xx2 ≠−+ , ossia x ≠ − 4 oppure x ≠ 1 . Il campo di esistenza della funzione è pertanto:
ℝ − −4, 1 = (−∞,−4)∪(−4,1)∪(1, +∞).
5. Determinare il campo di esistenza della funzione
12
)(+−=
xx
xf ..
Soluzione Le condizioni da imporre si esplicitano nel seguente sistema :
≠+
≥+−
01
012
xxx
,
−≠≥−≤
1x
2xoppure 1x da cui x < − 1 oppure x ≥ 2 .
Il campo di esistenza della funzione è ( ) [ )+∞−∞− ,21, U . 6. Si consideri la funzione
1)x(xlogf(x) 24 +−= .
Soluzione La condizione di esistenza è 124 +− xx >0 .
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19
Ponendo tx =2 , la disequazione da risolvere diventa 01tt2 >+− che è sempre verificata per ogni t ∈ R , dunque anche per t > 0 e quindi per ogni x ∈ ℝ . Il campo di esistenza della funzione è ℝ .
7. Determinare il campo di esistenza della funzione
)1(log
12)(
−−−=
x
xxf .
Soluzione Occorre risolvere il seguente sistema:
≠−≥
>−≥−
0)1(log
0
01
02
x
x
x
x
,
≠≥>≥
4
0
1
2
x
x
x
x
Il campo di esistenza della funzione è [ ) ( )∞+,44,2 U .
8. Determinare il campo di esistenza della funzione ( )
13x2xx
7x3f(x)
2 +−−= .
Soluzione
>+−≠
013x2x
0x2
, ( )
∞+
∞−∈
≠
,121
,x
0x
U
⇒ il campo di esistenza della funzione è ( ) ( )∞+
∞− ,12
1,00, UU .
9. Determinare il campo di esistenza della funzione
( ) 12
3 −= xxf(x) .
Soluzione Deve essere 03x > . Il campo di esistenza della funzione è: ( )∞+,0 .
10. Determinare il campo di esistenza della funzione
( ) 12
3 −= xxf(x) . Soluzione
≥−>
01x
03x2
, ( ] [ )
∞+−∞−∈>
,11,x
0x
U ,
⇒ il campo di esistenza della funzione è [ )∞+,1 .
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20
Esercizi da svolgere
1. Determinare il campo di esistenza delle seguenti funzioni:
a) f(x) = b) f(x) =
√
c) f(x) = √3 − x d) f(x) = e√
e) f(x) = ln(2 + √x − 2) f) f(x) = %&'(()
g) f(x) = √) h) f(x) =
&'()
i) f(x) = ln ( l) f(x) = √2x − 3 − √2 − x
m) f(x) = *+ n) f(x) = ,|2x − 1| − 3
o) 23xxf(x) 3 +−= p) f(x) = .
q) f(x) = ( r) f(x) = /
0
s) f(x) = √(1 t) f(x) = √
/
u) f(x) = /&'( v) ( ) 1x
x
2xf −=
z) f(x) = √&' w) f(x) =
+
y) f(x) = √/ +
√% j) f(x) = ln(1 + x)
Risposte.
a) ℝ− −1, 1; b) ℝ − −1; c) ;33 ≤≤− x
d) x ≥ 2 ; e) x ≥ 2 ; f) ( ) ( ) ;4,33, U∞−
g) ℝ − −5; h) ( ) ( )∞+,1111,10 U ; i) ( ) ( )∞+−∞− ,41, U ;
l) ;22
3 ≤≤ x m) ℝ − 0; n) ( ] [ ) ;,21, ∞+−∞− U
o) ( );, ∞+∞− p) ( ) ( ) ( );,33,33, ∞+−−∞− UU q) ( );, ∞+∞−
r) ( ) ( ) ( );,44,44, ∞+−−∞− UU s) ℝ − +2, −2; t) [ ) ( );,33,0 ∞+U
u) ( ) ( );,22,0 ∞+U v) ℝ − 1; z) ℝ − e;
w) ℝ − 0; y) [3, +∞) ; j) ℝ .
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21
2.2 OPERAZIONI CON LE FUNZIONI. FUNZIONI COMPOSTE.
• Somma (addizione e sottrazione) Date le funzioni f : A → ℝ e g : A → ℝ, A ⊆ ℝ , si definisce la funzione somma (f ± g) : A → ℝ , A ⊆ ℝ , ponendo, per ogni x ∈ A ,
)()())(( xgxfxgf ±=±
Esempio. Siano f , g : ℝ → ℝ , con f(x) = 2x + 1 e g(x) = x2 ; allora risulta (f – g)(x) = 2x+ 1 –x2 ; (f + g)(x) = 2x+ 1 +x2
• Moltiplicazione per uno scalare Dati f : A → ℝ, A ⊆ ℝ, λ ∈ ℝ si definisce la funzione λf : A → ℝ, A ⊆ ℝ, ponendo per ogni x ∈ A
)())(( xfxf λ=λ
Esempio. Siano f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 1, e λ = 7; allora risulta 7 f : ℝ → ℝ, 7f(x) = 7 (2x + 1)=14x+7.
• Prodotto di funzioni Date le funzioni f : A → ℝ e g : A → ℝ, A ⊆ ℝ , si definisce la funzione prodotto f·g) : A → ℝ , A ⊆ ℝ , ponendo, per ogni x ∈ A ,
()() = ()()
Esempio. Siano f , g : ℝ → ℝ , con f(x) = 2x + 1 e g(x) = x2 ; allora risulta ( )() = (2 + 1)( ) = 2/ +
• Composizione di funzioni Siano f : A → B e g : B → C due funzioni tali che f(A) ⊆ B (ossia l’immagine di A è contenuta nel dominio di g) , allora si può considerare la funzione go f : A → C definita, per ogni x ∈ A, da
))(())(( xfgxfg =o .
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22
La funzione go f si dice funzione composta di f e g (tale scrittura prevede che prima si applica la f e poi la g).
Esempi.
1. Siano f : ℝ → ℝ, f(x) = x + 1 ; g : ℝ → ℝ , g(x) = 2x . Allora risulta
22)1(2)1())(())(( +=+=+== xxxgxfgxfg o .
2. f(x) = ln(x + 3) è la composizione di g(x) = x + 3 e di h(x) = ln x ; infatti
)3ln()3())(())(( +=+== xxhxghxgh o .
3. 1)( 2 += xxf è la funzione composta da g(x) = x2 + 1 e da xxh =)( , infatti
1)1())(())(( 22 +=+== xxhxghxgho . OSSERVAZIONI
L’esistenza di go f non implica l’esistenza di fog .
L’operazione di composizione non è commutativa, ossia anche nel caso esista sia
go f che fog , generalmente risulta go f ≠ fog .
Esempio. Siano f , g : ℝ → ℝ definite da f(x) = x2 + 1 e g(x)= 2
x , risulta
2
)1()1())(())((
22 +=+== x
xgxfgxfg o
44x
12x
2x
ff(g(x))g)(x)f(22 +=+
=
==o
dunque go f ≠ fog .
Attenzione a non confondere f2(x) con [f(x)]2 .
Esempio: se f : ℝ−0 → ℝ , f(x) = 1/x risulta f2(x) = (fo f)(x) = f(f(x)) = x , mentre
[f(x)]2 = (1/x)2 .
Se f è biiettiva, la sua funzione inversa f è la funzione tale che fo f = f o f = Id .
(funzione identità).
Esempio . Se () = − 5,() = + 5 e si ha
xxxfxffxff =+−=−== −−− 555111 )())(())(( o
xxxfxffxff =−+=+== −− 55511 )())(())(( o
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23
Esercizio.
Sia f : ℝ5 → ℝ5 , xxf =)( e g : (−∞, 3] → ℝ , xxg −= 3)( . Si determinino, se esistono, le seguenti funzioni composte:
a) fog , b) go f , c) fo f , d) gog.
Soluzione a) fog verifica la condizione di esistenza, risulta 4 3))(( xxgf −=o .
b) go f non esiste, perchè f(ℝ ) ⊄ (−∞, 3] , per esempio f(16) = 4 ∉ (−∞, 3] .
Però, se consideriamo f : [0, 9] → ℝ , xxf =)( e g : (−∞, 3] → ℝ , xxg −= 3)( ,
allora la funzione esiste perché f([0,9])=[0, 3]⊂ (−∞, 3] e la sua espressione analitica è
xxgxfgxfg −=== 3)())(())(( o
Controlliamo il dominio: deve essere x ≥ 0 e x−3 ≥ 0 da cui ≥ 0 e ≤ 9.
c) fo f verifica la condizione di esistenza, risulta 4))(( xxff =o .
d) gog non esiste, perchè g(−∞, 3] ⊄ (−∞, 3] , per esempio g(−22) = 5 ∉ (−∞, 3] .
Esercizio. Siano f , g : ℝ → ℝ definite da f(x) = 2x2 −2 e g(x) = x + 3 . Si determinino, se
esistono, le seguenti funzioni composte:
a) fog , b) go f , c) fo f , d) gog .
Soluzione
a) fog verifica la condizione di esistenza, risulta 161222)3(2))(( 22 ++=−+= xxxxgf o .
b) go f verifica la condizione di esistenza, risulta 123)22())(( 22 +=+−= xxxfg o .
c) fo f verifica la condizione di esistenza, risulta
61682222 2422 +−=−−= xxxxff )())(( o
d) gog verifica la condizione di esistenza, risulta 63)3())(( +=++= xxxgg o
Esercizio.
Sia t : (2, +∞) → ℝ , t(x) = ln2(x −2) . Si trovino f , g , h tali che t = fogoh .
Soluzione
f(x) = x2 , g(x) = ln x , h(x) = x −2 .
Esercizio. Determinare, se possibile, le funzioni composte fg o e gf o , e il relativo dominio
(a) 32)(,1)( 2 +=+= xxfxxg
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24
(b) )/3ln()(,)( 2 xxgxxf ==
(c) 4)(,)( 2 +=−= − xxfxxg
(d) 2)(,1)( xxfxxg =−−= Soluzione (a) =+=++=+== )()())(())(( fgDomxxxgxfgxfg oo 4213232 222 ℝ
RgfDomxxxxxxfxgfxgf =++=+++=++=+== )(5423)21(23)1(2)1())(())(( 222oo
(b) ==== )()/ln()())(())(( fgDomxxgxfgxfg oo
22 3 ℝ − 0
[ ] ==== )()/ln())/(ln())(())(( gfDomxxfxgfxgf oo233 ℝ
(c) 4)(4
1
)4(
1)4()4())((
2
2 −−=+
−=+
−=+−=+= − RfgDomxx
xxgxfg oo
4)())(( 22 +−=−= −− xxfxgf o , perché esista deve essere 0e0412
≠≥+− xx
.
Dalla prima si ha ,41
cioè,1
4 22
≥≥ xx
che implica 2/1 e2/1 ≥−≤ xx . Pertanto,
+∞∪
−∞−= ,21
21
,)( gfDom o .
(d) .1)())(( 22 −−== xxgxfg o
La funzione non è definita in campo reale perché ∀ ∈ ℝ 012 <−− x ha si .
=−−=−−=−−= )()()())(( gfDomxxxfxgf oo 111 2 ℝ. Esercizio. Si considerino le funzioni xxrxxgxxf /1)(,ln)(,)( 4 ==−= . Si determinino, se possibile, le espressioni delle funzioni composte rfggfr oooo e . Soluzione
44
)(ln
1))(ln())(ln())((())((
xxrxfrxgfrxgfr
−=−===oo
↦ ln ↦ −(ln )( ↦ 1−(ln )(
il cui dominio è ),1()1,0( +∞∪ poiché deve essere 0>x e 0)(ln 4 ≠− x . Quest’ultima disuguaglianza implica 0ln ≠x , cioè 1≠x .
)ln()1
ln()1
())/1(())((())(( 444
−−=−=−=== xxx
gxfgxrfgxrfg oo
↦ 1 ↦ − 1
( ↦ ln =− 1(>
La funzione non esiste, perché l’argomento del logaritmo è sempre negativo.
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25
2.3 GRAFICO Sia f una funzione reale di variabile reale. Se nel piano cartesiano si considerano i punti di coordinate (x; f(x)), essi determinano una visualizzazione geometrica della funzione detta grafico della funzione . Se C è la curva grafico della funzione f , si dice anche che la curva C ha equazione y = f(x) .
? = (, @) ∈ ℝ ∶ @ = () Esempi di grafici. 1. 2)( xxf = ha come grafico
2.
>≤
=03
02
xse
xsexf )( ha come grafico
y
x
4
2 −2
y
x 0
2 3
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26
2.4 GRAFICO DELLA FUNZIONE INVERSA Se f : A → B è una funzione invertibile, il grafico di f e di f sono uno il simmetrico dell’altro rispetto alla bisettrice del 1° e 3° quadrante. Esempi.
1. Se f : ℝ → ℝ , 43)( −= xxf allora 1−f : ℝ → ℝ , 3
4)(1 +=− x
xf .
2. Se f : [0, 3] → [0, 9] , 2xxf =)( allora 1−f : [0,9] → [0,3] , xxf =− )(1 .
y
x 0 −4
−4
f
f−1
y
9
x 0 3
3
9
f
f-1
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27
2.5 FUNZIONI MONOTONE DEFINIZIONE. Una funzione f : A → B si dice monotona nell’insieme A se si verifica una delle seguenti condizioni : )()(,, 212121 xfxfxxAxx <⇒<∈∀ (f strettamente crescente) )()(,, 212121 xfxfxxAxx ≤⇒<∈∀ (f crescente) )()(,, 212121 xfxfxxAxx >⇒<∈∀ (f strettamente decrescente) )()(,, 212121 xfxfxxAxx ≥⇒<∈∀ (f decrescente) NOTA - Per convenzione, si dice che una funzione : ℝ → ℝ è crescente (decrescente) in un punto Ax ∈0 se è crescente in un intorno di 0x . NOTA - Se una funzione f è strettamente monotona , ossia strettamente crescente o strettamente decrescente, allora è invertibile . Esempi.
1. () = / è strettamente crescente.
Infatti per ogni x1, x2, x1 < x2 risulta x13 < x2
3 , ciò deriva dal fatto che x1
3 – x23 = (x1 – x2) (x1
2 + x1x2 + x22) ed essendo x1
2 + x1x2 + x22 sempre positivo,
se x1 – x2 < 0 anche x13 – x2
3 < 0 . Naturalmente essendo () strettamente crescente, esiste la funzione inversa () = √ .
2. () = −2 + 1 è strettamente decrescente.
Infatti per ogni x1, x2 , con x1 < x2 , risulta 2 x1< 2x2 da cui –2x1 > –2x2 , e quindi –2x1 +1> –2x2+1.
La () ammette la funzione inversa 2
1)(1 +−=− x
xf .
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2.6 FUNZIONI LIMITATE
DEFINIZIONE. Sia f : A → ℝ, A ⊆ ℝ ; la funzione f si dice :
• Limitata superiormente se esiste L ∈ ℝ ; f(x) ≤ L ∀ x ∈ A
(cioè se f(A) è superiormente limitato)
• Limitata inferiormente se esiste L ∈ ℝ ; f(x) ≥ L ∀ x ∈ A
(cioè se f(A) è inferiormente limitato)
• Limitata se esistono L, L ∈ ℝ ; L ≤ f(x) ≤ L ∀ x ∈ A
(cioè se f(A) è limitato)
Graficamente una funzione limitata superiormente o inferiormente ha il grafico tutto compreso al di sotto, rispettivamente al di sopra, di una retta y = t e analogamente se una funzione è limitata il suo grafico è compreso fra due rette y = h e y = k .
0 x
y y = 7 7
0 x
y
y = −1 −1
y
0 x
y = 1
0,2
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29
2.7 LE FUNZIONI ELEMENTARI. Sono così chiamate le funzioni mediante le quali vengono costruiti i modelli matematici. Si può anche dire che sono le funzioni che si usano come “mattoni” per costruire tutte le altre funzioni. Descriviamo brevemente le caratteristiche delle principali funzioni elementari.
2.7.1. La funzione valore assoluto
∣∣∶ ℝ → ℝ ,
<−≥
=0
0||
xsex
xsexx
Qualunque sia il numero reale x , il valore assoluto (o modulo ) di x si indica con il simbolo |x|. E’ strettamente decrescente in (−∞, 0) , mentre è strettamente crescente in (0, +∞) . Del valore assoluto è importante ricordare che per ogni numero reale r ≥ 0 risulta :
|x| < r se e solo se −r < x < r cioè ∈ F(0, G) |x| ≤ r se e solo se −r ≤ x ≤ r cioè ∈ F(0, G)⋃−G⋃G
| − | < G vuol dire – G < − < G cioè − G < < + G o, con notazione equivalente, ∈ F(, G) Inoltre |x| ≥ r se e solo se x ≤ − r oppure x ≥ r
|x| > r se e solo se x < − r oppure x > r.
0
f(x)=|x|
x
− r ≤ x ≤ r
y=|x|
x
r
r −r
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30
2.7.2. Le funzioni lineari f(x) = mx , m ∈∈∈∈ ℝ e le funzioni lineari (affini) f(x )= mx + q , m, q ∈∈∈∈ ℝ
Queste importanti funzioni hanno tutte come grafico una retta, nel capitolo 0 sono riportate le principali formule relative alla retta. LE FUNZIONI f(x) = mx , m ∈ ℝ
: ℝ → ℝ,() = K, m ∈ ℝ
Sono dette funzioni lineari ; hanno il rapporto delle due variabili costante: m xy = e per
questo si dice che le due variabili sono direttamente proporzionali. Dunque le funzioni () = K sono quelle che esprimono la proporzionalità diretta . Il loro grafico è sempre una retta passante per l’origine. Precisamente risulta :
LE FUNZIONI f(x) = mx + q , m, q ∈ ℝ
: ℝ → ℝ,() = K + L, m, q ∈ ℝ
Con abuso di linguaggio è consuetudine chiamare lineari anche le funzioni lineari affini () = K + L con q ≠ 0 , il loro grafico è sempre una retta non verticale che si ottiene traslando il grafico della funzione lineare () = K di q unità verso l’alto se q è positivo, di –q unità verso il basso se q è negativo.
0
m = −1 m = 1
m < −1 1 < m
0 < m < 1 −1 < m < 0
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31
Il numero q è dunque l’ordinata del punto in cui il grafico di () = K + L interseca l’asse delle y e si chiama intercetta o ordinata all’origine. ATTENZIONE Le funzioni () = K + L, q ≠ 0 , non esprimono più la proporzionalità diretta. Significato di m .
Sia () = K + L, m, q ∈ ℝ e sia r la retta grafico della funzione f(x). Si ha che : Il valore K esprime la pendenza della retta. Il valore di K indica di quanto aumenta la y quando si aumenta di una unità la x .
Dimostrazione - Siano M(; @) e M( + 1; @) due punti della retta r di equazione y = Kx + q . Poiché i punti appartengono ad r , risulta :
qxmy ++= )1( 12 e qmxy += 11 sottraendo membro a membro e semplificando si ottiene myy += 12 . . Se ad esempio si ha la funzione f(x) = y = 0.5 x , ad ogni aumento di una unità di x , corrisponde un aumento di 0.5 unità di y . Se si considera invece la funzione f(x) = y = −4 x + 7 , all’aumentare di x di una unità, la y “aumenta” di –4 unità, ossia diminuisce di 4 unità.
Da quanto dimostrato segue che la funzione () = K + L è
Strettamente crescente se m > 0
Strettamente decrescente se m < 0
Costante se m = 0
y = mx −2
0 x
y = mx
y = mx + 2
−2
2
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32
il segno di m indica se la funzione è crescente o decrescente;
il valore assoluto di m indica la velocità con cui y varia rispetto a x .
In particolare: se K = 1 la x e la y variano allo stesso modo; se K = 0 la y rimane costante. Esempi.
1. y = 7x –2 , y = 6x + 2 Confrontando le pendenze si può affermare che la prima funzione cresce più rapidamente della seconda (indipendentemente dal valore di q) .
2. y = –0,5 x + 7 , y = –x + 1340 Confrontando le pendenze si può affermare che decresce più rapidamente la seconda funzione perché |−1| > |−0.5| .
PROPRIETA’ del rapporto OPOQ
Consideriamo la funzione @ = K + L e sia ∆y = @ − @ la variazione della funzione in corrispondenza dell’incremento ∆x = − dato alla variabile x in .
Il rapporto xy
∆∆
(detto rapporto incrementale o tasso medio di variazione) è una costante:
il rapporto incrementale è indipendente sia dal pun to in cui si considera la
variazione sia dall’incremento e vale mx
y =∆∆
.
Dimostrazione - Comunque si prendano due punti M(; @) e M(; @) appartenenti alla retta r di equazione @ = K + L , risulta qmxxfy +== 111 )( ,
qmxxfy +== 222 )( da cui sottraendo membro a membro si ottiene :
mxx
yy =−−
12
12 ossia xy
m∆∆= .
x1 x2
x2 −x1
P2(x2; y2) y
P1(x1; y1) y2 −y1
0
α
x
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33
Per la funzione () = K + L, il valore della costante m=12
12
xxyy
xy
−−=
∆∆
è anche detto
coefficiente angolare della retta r . OSSERVAZIONE Le funzioni @ = K + L hanno come grafico una retta, ma non esauriscono tutte le rette del piano, rimangono escluse le rette parallele all’asse y (rette verticali). Queste rette infatti non rappresentano una funzione, la loro equazione è del tipo x = k e si dice, per convenzione, che hanno pendenza infinita . Esercizio. Rappresentare graficamente le seguenti funzioni:
a) f(x) = −x ; b) f(x) =−x + 1 ; c) f(x) = −x −2 ;
d) f(x) = 2x ; e) f(x) = 2x −2 ; f) f(x) = 2x + 3 . Soluzione a) Retta con pendenza m = −1 . b) Si ottiene traslando il grafico di a) di una unità verso l’alto. c) Si ottiene traslando il grafico di a) di due unità verso il basso. d) Retta con pendenza m = +2 . e) Si ottiene traslando il grafico di d) di due unità verso il basso. f) Si ottiene traslando il grafico di d) di tre unità verso l’alto.
x 0
y
Soluzione a)
x 0
y
Soluzione b)
1
x 0
y
Soluzione c) −2
y
x 0
Soluzione d) Soluzione e)
y
x 0 −2
Soluzione f)
y
x 0
3
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34
∆ > 0
∆ < 0 y
∆ = 0
0 x
∆ > 0
∆ < 0
y
∆ = 0
0 x
2.7.3. Le funzioni f(x) = ax2+ bx + c ; a, b, c ∈∈∈∈ ℝ,,,, a≠≠≠≠ 0
f:ℝ → ℝ,f(x) = ax2+ bx + c ; a, b, c ∈ ℝ, a≠ 0
Il grafico di questa funzione si chiama parabola. I suoi punti hanno la stessa distanza
dalla retta di equazione a
y4
1 ∆+−= e dal punto
∆−−aa
bF
41
;2
con acb 42 −=∆ ; la retta
e il punto sono detti rispettivamente la direttrice e il fuoco della parabola. Il grafico di una parabola dipende : dal segno di a , dall’avere oppure no intersezioni con l’asse delle ascisse, ossia se esistono dei valori x per i quali ax2 + bx + c = 0 , ossia dipende dall’essere acb 42 −=∆ maggiore, uguale o minore di zero. I punti di intersezione con l’asse delle ascisse sono due se ∆ > 0 , uno se ∆ = 0 , nessuno se ∆ < 0 . Risulta : • a > 0 (concavità verso l’alto)
o convessità • a < 0 (concavità verso il basso) Come si vede questi grafici hanno :
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35
a > 0
a < 0
y
0 x
una retta di simmetria, detta asse della parabola; essa è parallela all’asse delle
ordinate ed ha equazione : ab
x2
−=
un punto di intersezione con l’asse di simmetria; questo punto è detto vertice della
parabola ed ha coordinate
+−−a
acbab
V4
4;
2
2
. Quando a > 0 il vertice è il
punto in cui la funzione raggiunge il minimo valore; quando a < 0 il vertice è il punto in cui la funzione raggiunge il massimo valore.
Il caso f(x) = ax 2 , a ≠≠≠≠ 0
Queste funzioni hanno come grafico una parabola con vertice nell’origine degli assi e con asse di simmetria l’asse y delle ordinate. La funzione f(x) = ax2 , a ≠ 0 , è particolarmente importante perché rappresenta la
proporzionalità quadratica ( 2x
y = costante ) che troviamo in molti modelli economici.
Esercizio. Si descriva il grafico delle seguenti funzioni :
a) f(x) = 2x2 ; b) f(x) = 1 −x2 ; c) f(x) =− 2x −x2 ; d) f(x) = x2 −10x + 6 . Soluzione. a) Parabola con la concavità verso l’alto; asse di simmetria la retta x = 0 (asse delle
ordinate); vertice nel punto (0; 0) che è anche il punto in cui la funzione raggiunge il minimo valore.
b) Parabola con la concavità verso il basso; asse di simmetria la retta x = 0 (asse delle ordinate); vertice nel punto V(0; 1) che è anche il punto in cui la funzione raggiunge il massimo valore.
c) Parabola con la concavità verso il basso; asse di simmetria la retta x = −1 ; vertice nel punto V(−1; 1) che è anche il punto in cui la funzione raggiunge il massimo valore.
d) Parabola con la concavità verso l’alto; asse di simmetria la retta x = 5 ; vertice nel punto V(5; −19) che è anche il punto in cui la funzione raggiunge il minimo valore.
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36
k > 0
y
0 x
k < 0
y
0 x
2.7.4. Le funzioni f(x) = k/x, k ∈∈∈∈ ℝ− 0
∶ ℝ∗ → ℝ∗,() = S−1,S ∊ ℝ∗
Il grafico di questa funzione è una curva detta iperbole equilatera : Il grafico è costituito da due parti dette rami dell’iperbole ed è simmetrico rispetto l’origine degli assi cartesiani. Esistono due rette dette asintoti dell’iperbole a cui i rami dell’iperbole si avvicinano infinitamente senza intersecarle (nelle figure sopra sono gli assi cartesiani di equazione x = 0 e y = 0 ). Posto () = @, l’equazione @ = S/ , ossia @ = SVWXS ≠ 0 , esprime la legge di proporzionalità inversa : due variabili non nulle x e y sono inversamente proporzionali se il loro prodotto è costante.
Si noti che kyxkxy =−−⇔= )0)(0( e gli asintoti sono gli assi cartesiani di equazione x=0 e y=0 .
Se gli asintoti anziché essere gli assi cartesiani sono paralleli agli assi cartesiani, l’equazione dell’iperbole equilatera è ( )( ) kyyxx =−− 00 e gli asintoti sono le rette
di equazione 0xx = , 0yy = .
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37
n = 4 n = 2
y
0 x 1
1
−1
k > 0
Anche la funzione 0,)( ≠++= c
dcx
baxxf , è una iperbole equilatera con asintoti
paralleli agli assi cartesiani e di equazioni c
dx −= e
c
ay = . Il punto ? = (− Y
Z , [Z)
è il punto di simmetria della funzione.
2.7.5. Le funzioni potenza f(x) = xn Distinguiamo tre casi a seconda che l’esponente sia intero positivo, intero negativo, razionale.
1° caso )
: ℝ ⟶ ℝ, () = ],X ∈ ℕ − 0
Ha proprietà diverse a seconda che l’esponente sia pari o dispari.
a) n pari : la funzione è nulla per x = 0 e sempre positiva per x ≠ 0 , inoltre è strettamente decrescente per x ≤ 0 e strettamente crescente per x ≥ 0 , ha minimo assoluto in (0, 0) . In figura sono rappresentati i casi f(x) = x2 e f(x) = x4 .
y
0 x
y0
x0
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38
n = 3
n = 1
y
0 x 1
1
−1 −1
n = 3
n = 1
y = xn
0 x 1
1
−1 −1
n = 2
n = 3 n = 2
x 3 1
0
1
−1
n = 1
b) n dispari: la funzione è sempre strettamente crescente, in figura sono rappresentati i
casi f(x) = x e f(x) = x3 . OSSERVAZIONE La funzione potenza f(x) = xn , n ∈ ℕ* , nell’intervallo [ 0, + ∞ ) è strettamente crescente sia nel caso n pari sia nel caso n dispari e quindi, essendo strettamente monotona, in questo intervallo la funzione ammette la funzione inversa. La funzione inversa di f(x) = xn , x ≥ 0 , si chiama funzione radice n-esima e si indica con
nn xxxf1
1 )( ==− , 0≥x .
Le figure sotto illustrano, rispettivamente, i grafici delle funzioni nxxf =)( e n xxf =)( per n = 1, 2, 3 .
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39
y = x−2
0 x 1
1
−1
y = x−3
0 x 1
1
−1 −1
2° caso )
∶ ℝ∗ → ℝ,() = −X,X ∈ ℕ∗
Il campo di esistenza è ℝ − 0 perché ] = ^ . Questa funzione, per ogni n ∈ ℕ*,
può anche vedersi come quoziente (x)f
(x)f
2
1 delle funzioni definite da f1(x) = 1 e f2(x) = xn.
In figura sono rappresentati i valori di f(x) = x−2 e f(x) = x−3 . 3° caso )
f : D → ℝ , nm
xxf =)( , n
m ∊ ℚ
Ricordiamo che 10 =x e che n mn
m
xx = , n m
nm
xx
1=−
, per ogni m, n ∈ ℕ* , x ∈ ℝ+ .
La funzione potenza nm
xxf =)( con esponente razionale, è la funzione composta
ottenuta componendo le funzioni mxg(x) = e n xh(x) = , ovviamente limitatamente al dominio D in cui si può effettuare l’operazione di composizione.
A conclusione, ricordiamo le principali proprietà delle potenze :
` = ` , : ` = `
(a) = a ,bac
=
a
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40
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41
0 < a < 1
0 x 1
1
−1
y = ax
a >1
2.7.6. La funzione esponenziale f(x) = ax , a >>>> 0, a ∈∈∈∈ ℝℝℝℝ + .
: ℝ ⟶ ℝ,() = , a>0
E’ una funzione definita per ogni x ∈ ℝ e risulta sempre positiva. • se a = 1 la funzione esponenziale è costante • se a > 1 la funzione esponenziale è strettamente crescente • se 0 < a < 1 la funzione esponenziale è strettamente decrescente Si noti che per a ≠ 1 , a > 0 , la funzione esponenziale f(x) = ax è strettamente monotona e quindi la funzione è invertibile. La funzione inversa è definita sui numeri reali positivi (dato che l’immagine di f(x) = ax è costituita dai numeri reali positivi), essa si chiama funzione logaritmo. Più in generale, una funzione esponenziale ha la forma f(x) = k a
x , dove k è l’intercetta y , cioè f(0) = k .
() = S,S ∈ ℝ∗
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42
2.7.7. La funzione logaritmo f(x) = loga x , a >>>> 0 , a ≠≠≠≠ 1 Fissato un qualunque numero reale positivo a , a ≠ 1 , la funzione logaritmo f(x) = loga x è una funzione che ha come campo di esistenza ℝ+ (reali positivi) e come codominio ℝ (coincidente con l’insieme delle immagini). La funzione logaritmo è l’inversa della funzione esponenziale e quindi f(x) = loga x = y se solo se ay = x ; il numero a è detto base del logaritmo e x argomento del logaritmo.
Come si vede dai due grafici riportati in figura, la funzione logaritmo ha comportamenti diversi a seconda che sia a > 1 oppure 0 < a < 1 . Se a > 1 la funzione è strettamente crescente ; è negativa per 0 < x < 1 ; è nulla per x = 1 ; è positiva per x > 1 . Se 0 < a < 1 la funzione è strettamente decrescente ; è positiva per 0 < x < 1 ; è nulla per x = 1 ; è negativa per x > 1 .
Particolarmente importante è il caso in cui la base del logaritmo è il numero di Nepero e = 2,7182818… ; in questo caso si parla di logaritmi naturali e la notazione per indicarli si abbrevia con ln x . Se la base è il numero 10 , si parla di logaritmi decimale e, generalmente, si omette di indicare la base e si scrive semplicemente log x . A conclusione, ricordiamo le principali proprietà dei logaritmi :
( ) yxxy aaa logloglog +=
yxyx
aaa logloglog −=
xrx ar
a loglog =
bx
xa
ab log
loglog = .
0 < a < 1
0 x 1
1
−1
y = loga x a >1
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43
x O
y
Angolo positivo + α
III
III IV
P + αααα
−−−− αααα
x O
y
Angolo negativo − α
III
III IV
P
2.8 FUNZIONI TRIGONOMETRICHE Da quanto visto nel paragrafo 2.7, le funzioni reali di variabile reale mediante le quali vengono costruiti i modelli matematici, appartengono essenzialmente a due famiglie: le funzioni potenza (con le loro inverse) e le funzioni esponenziali (con le loro inverse). Oltre a queste due, vi è una famiglia di funzioni che compare prevalentemente nei modelli atti a descrivere fenomeni periodici. Sono le funzioni trigonometriche. Per la loro importanza vengono richiamate a fine di questo capitolo anche se il loro dominio non è l’insieme ℝ dei numeri reali o un sottoinsieme di ℝ. Il loro dominio ( o codominio se si tratta delle loro funzioni inverse ) è un insieme i cui elementi sono angoli. Inizieremo pertanto riportando le nozioni di base relative agli angoli.
2.8.1 Segno di un angolo Dato un sistema di assi cartesiani ortogonali e una circonferenza di centro l’origine O degli assi, sia P un qualunque punto sulla circonferenza. Facendo muovere sulla circonferenza il punto P si ottengono gli angoli con vertice in O e lati OP e l’asse positivo delle ascisse. Si dice angolo giro l’angolo determinato da un giro completo di P sulla circonferenza, a partire da P sull’asse positivo delle ascisse. Per poter assegnare un segno positivo o negativo ad un angolo occorre fissare sulla circonferenza un verso di percorrenza per il punto P . Di norma si fissa il verso antiorario e perciò ad un angolo si assegna il segno positivo se P si muove in senso antiorario, il segno negativo se P si muove in senso orario. Le quattro regioni I, II, III, IV in cui gli assi cartesiani dividono il piano, sono dette quadranti .
2.8.2 Misurare gli angoli Per misurare gli angoli vi sono vari sistemi di misura, i due principali sono quello sessagesimale e quello in radianti. Nel sistema sessagesimale l’unità di misura è l’angolo grado definito come la 360-esima parte dell’angolo giro.
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44
y
O
P
+ αααα
1
1
−1
−1
x
Nel sistema in radianti si definisce 1 radiante l’angolo che stacca sulla circonferenza con centro il vertice dell’angolo, un arco uguale al raggio della circonferenza (NON dipende dal raggio della circonferenza considerata).
Come passare dai Gradi ai Radianti e viceversa Dato un angolo si può passare dalla sua misura in gradi a quella in radianti, e viceversa, mediante la proporzione:
°=° α:α360:2π r
da cui 360
2 °α⋅π=αr e π
α⋅=°α2
360 r dove rα e °α indicano la misura
dell’angolo α rispettivamente in radianti e in gradi. Esempi.
1. Se α°= 33° allora π=⋅π=α6011
360332
r radianti.
2. Se π=α2
3r allora °=
π
π⋅=°α 270
22
3360
gradi.
3. Se 1=αr allora ''44'1757180
2
1360 °≅π
=π⋅=°α gradi.
2.8.3 Circonferenza Goniometrica Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, si chiama circonferenza goniometrica la circonferenza di centro O (0 ,0) e raggio 1; essa ha pertanto equazione:
x2 + y2 = 1
Si noti che nella circonferenza goniometrica un angolo e il suo arco associato sulla circonferenza hanno la stessa misura in radianti.
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45
O
P
H
C
A
B
D
K
2.8.4 Funzioni seno, coseno, tangente Dato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale e una circonferenza di centro l’origine O degli assi, sia P un qualunque punto sulla circonferenza. Sia K la proiezione di P sull’asse delle ordinate e H la proiezione di P sull’asse delle ascisse. Quando il punto P si muove sulla circonferenza, il punto K si sposta sull'asse delle ordinate da C a D , mentre il punto H si sposta sull’asse delle ascisse da A a B . Le funzioni trigonometriche principali (seno e coseno) studiano il movimento di K e H rispettivamente sull’asse delle ordinate e sull’asse delle ascisse, quando il punto P percorre la circonferenza. Poiché dopo un giro completo i punti P, K, H, si ritrovano nelle stesse posizioni, si è in presenza di funzioni periodiche . Per questo le funzioni trigonometriche sono atte a descrivere fenomeni di natura periodica. Per uniformità di linguaggio con le funzioni reali di variabile reale, da ora in avanti un angolo verrà indicato con la lettera x .
Sia Ω l’insieme degli angoli .
Funzione seno
f : Ώ → e−1, 1f , f(x)=sin x
La funzione seno descrive il movimento di K fra C e D al muoversi di P sulla circonferenza.
E’ definita da OPPH
xsin = per ogni x ∈ Ω .
Il valore del rapporto OPPH
non dipende dalla misura del
raggio e pertanto nel caso 1OP = , circonferenza goniometrica, risulta OK PH x sin == .
O
P
H
C
A
B
D
K
Matematica. Capitolo 2: funzioni reali di una variabile reale e applicazioni ________________________________________________________________________________________________________________________
46
O
P C
A
B
D
K + +
−−−− −−−−
y=sin x
−1
1
O π 2π x
Dalla definizione segue che i valori di sin x variano fra −1 e 1 perché è sempre OP PH ≤ . Inoltre sin x è positivo per gli angoli del I e II quadrante e negativo per gli angoli del III e IV quadrante. Segno di sin x :
≡ Valore del seno degli angoli fondamentali
x 0° h6 ≡ 30°
h4 ≡ 45°
h3 ≡ 60°
h2 ≡ 90° h ≡ 180° 3
2 h ≡ 270°
sin x 0 2
1
2
1
2
3 1 0 −1
Grafico Alcune proprietà della funzione sin x
sin x = sin (x+2π) , ossia è periodica di periodo 2π . sin (−x) = − sin x . Assume tutti e soli i valori dell’intervallo [−1, 1 ].
E’ crescente fra 2
π− e 2
π (quarto e primo quadrante).
E’ decrescente fra 2
π e π
2
3 (secondo e terzo quadrante).
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47
y=cos x
−1
1
O π 2π x
+
+
−−−−
−−−− O
P
H
C
A
B
D
K
Funzione coseno
f : Ώ → e−1, 1f , f(x)=cos x
La funzione coseno descrive il movimento di H fra A e B al muoversi di P sulla circonferenza.
cos: Ω → [−1, 1] , OPOH
xcos = per ogni x ∈ Ω .
Il valore del rapporto OPOH
non dipende dalla misura
del raggio e pertanto nel caso 1 OP = , circonferenza goniometrica, risulta OH x cos = . Dalla definizione segue che i valori di cos x variano fra −1 e 1 perché è sempre OP OH ≤ . Inoltre cos x è positivo per gli angoli del I e IV quadrante e negativo per gli angoli
del II e III quadrante. Segno di cos x : Valore del coseno degli angoli fondamentali
x 0° h6 ≡ 30°
h4 ≡ 45°
h3 ≡ 60°
h2 ≡ 90° h ≡ 180° 3
2 h ≡ 270°
cos x 1 2
3
2
1
2
1 0 −1 0
Grafico
O
P
H
C
A
B
D
K
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48
O
P
S
T
Alcune proprietà della funzione cos x
cos x = cos (x+2π) ,ossia è periodica di periodo 2π. cos x = cos (−x) . Assume tutti e soli i valori dell’intervallo [−1, 1 ]. E’ crescente fra π e 2π (terzo e quarto quadrante). E’ decrescente fra 0 e π (primo e secondo quadrante).
Funzione tangente
f : Ω → ℝ , f(x)=tg x
Ω = Ω \
Ζ∈π+π
mm2
: sia l’insieme degli angoli il cui coseno è diverso da
zero. La funzione tangente è la funzione così definita
tg : Ω → ℝ , xcosxsin
xtg = per x ∈ Ω .
Se si considera la circonferenza goniometrica, anche la tangente di un angolo può essere rappresentata geometricamente da un segmento. Infatti, considerata la circonferenza di raggio 1 , sia S = (1 , 0) e sia T il punto di intersezione di OP con la retta parallela all’asse delle ordinate e passante per S . Il segmento ST rappresenta la tangente dell’angolo x determinato da P , ossia T = (1 , tg x) . E’ una funzione che assume tutti i valori reali ed è positiva nel I e III quadrante, è negativa nel II e IV quadrante
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49
O
P C
A
B
D
K +
+ −−−−
H
−−−−
y=tg x
x
O π 2 π
3
6
−6
−3
segno di tg x Valore della tangente degli angoli fondamentali
x 0° h6 ≡ 30°
h4 ≡ 45°
h3 ≡ 60°
h2 ≡ 90° h ≡ 180° 3
2 h ≡ 270°
tg x 0 3
1 1 3
non esiste 0
non esiste
grafico Alcune proprietà della funzione tg x E’ periodica di periodo π : tg x = tg ( x + π ), E’ dispari : tg ( −x ) = − tg x . Assume tutti e soli i valori di R . E’ sempre crescente. Rappresenta il coefficiente angolare della retta OP .
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50
Riassumendo
OPPH
xsin = , OPOH
xcos = , xcosxsin
xtg =
Tabella del valore degli angoli fondamentali
x 0° h6 ≡ 30°
h4 ≡ 45°
h3 ≡ 60°
h2 ≡ 90° h ≡ 180° 3
2 h ≡ 270°
sin x 0 2
1
2
1
2
3 1 0 −1
cos x 1 2
3
2
1
2
1 0 −1 0
tg x 0 3
1 1 3
non
esiste 0
non
esiste
2.8.5 Funzioni Trigonometriche Inverse Le funzioni sin x , cos x , tg x essendo periodiche non sono funzioni biettive nel loro dominio naturale. Se però restringiamo il loro dominio in modo che su di esso siano biettive, su tale dominio si può considerare la loro funzione inversa.
Funzione arcoseno: f(x) = arcsin x E’ la funzione inversa della funzione sin x .
arcsin x : [ −1 , 1 ] →
ππ−2
,2
x
y = arcsin x
0 1 −1
−1
1
O
P T
S
K
H
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51
x
y = arccos x
1
0 1 −1
21
3
x
y=arctg x
0
−1
−2 2 6 10 −6 −10
1
Funzione arcocoseno: f(x) = arccos x E’ la funzione inversa della funzione cos x . arccos x : [ −1 , 1 ] → [ ]π,0
Funzione arcotangente: f(x) = arctg x E’ la funzione inversa della funzione tg x .
arctg x : ℝ →
−2
π,
2
π
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52
2.8.6 Formule della Trigonometria
FORMULA FONDAMENTALE Nel piano, un punto della circonferenza goniometrica ha coordinate M = (sin , cos ). Per il teorema di Pitagora si ha pertanto
( ) ( ) 1xx 22 =+ cossin
da cui si ricava
x1x 2cossin −±= , x1x 2sincos −±= Questa formula assicura che basta conoscere una funzione trigonometrica per conoscere tutte le altre e in questo senso si può dire che esiste una sola funzione trigonometrica.
ALTRE FORMULE della TRIGONOMETRIA • Angoli associati
( )( )( )
−=−=−
−=−
xx
xx
xx
tgtg
coscos
sinsin
( )( )( )
−=−π−=−π
=−π
xx
xx
xx
tgtg
coscos
sinsin
( )( )( )
=+−=+−=+
xx
xx
xx
tgtg
coscos
sinsin
πππ
( )
( )
( )
−=−π
=−π
−=−π
xx
xx
xx
tg2tg
cos2cos
sin2sin
=
−
=
−
=
−
xx
xx
xx
cotg2
tg
sin2
cos
cos2
sin
π
π
π
−=
π+
−=
π+
=
π+
xx
xx
xx
cotg2
tg
sin2
cos
cos2
sin
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53
• Formule di sottrazione
( )( )
( )
+−=−
+=−−=−
yx
yxyx
yxyxyx
xyyxyx
tgtg1
tgtgtg
sinsincoscoscos
cossincossinsin
• Formule di addizione
( )( )
( )
−+=+
−=++=+
yx
yxyx
yxyxyx
xyyxyx
tgtg1
tgtgtg
sinsincoscoscos
cossincossinsin
• Formule di duplicazione
−=
−=−=−=
=
x
x
xxxxx
xxx
2
2222
tg1
tg2x2tg
1cos2sin21sincos2cos
cossin22sin
• Formule di bisezione
+−±=
+±=
−±=
x
x
x
x
cos1
cos1
2
xtg
2
cos1
2
xcos
2
cos1
2
xsin
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54
2.9 APPLICAZIONI In questo paragrafo vengono riportati alcuni esempi di come problemi concreti si possono risolvere traducendoli in modelli matematici.
2.9.1 Applicazioni nei modelli economici In economia un modello è un insieme di relazioni fra più variabili. Tali relazioni possono essere rappresentate graficamente o scritte come equazioni. In particolare con le funzioni lineari, le parabole e le iperboli equilatere si studiano problemi quali l’equilibrio di mercato, i costi di produzione, il punto di indifferenza. I prossimi esercizi sono degli esempi che illustrano alcune applicazioni. Riportiamo la legenda delle principali notazioni usate: q quantità merce; Cu costo variabile unitario (costo variabile per una unità di merce) ; Cv costo variabile (dipende dalla quantità di merce prodotta Cv = Cu q) ; Cf costo fisso (non varia al variare della quantità) ; Ct costo totale (dato da Ct = Cv + Cf = Cu q + Cf) ; Ru ricavo unitario (ricavo per una unità di merce); Rt ricavo totale (dato da Rt = Ru q); π profitto (dato da π = Rt – Ct ). Esercizio 1. (applicazione punto di equilibrio) I costi fissi Cf di una impresa ammontano a € 30.000 indipendentemente dalla quantità q di merce prodotta. I costi variabili ammontano a € 2.000 per ogni unità di merce prodotta. Il prezzo di vendita (ricavo unitario) Ru del bene è pari a € 5.000. Riportare graficamente la situazione e discuterla. Soluzione. Il costo totale Ct e il ricavo totale Rt sono espressi rispettivamente dalle funzioni Ct = Cu q + Cf , Rt = Ru q , ossia Ct = 2.000 q + 30.000 , Rt = 5.000 q . Entrambe le funzioni hanno come grafico una retta; le due rette si intersecano nel punto E(10; 50.000) detto punto di equilibrio perché in corrispondenza della quantità q0 = 10 risulta Ct = Rt ossia non si ha né perdita né profitto e poiché l’intercetta di Ct è maggiore dell’intercetta di Rt si deduce che per una produzione q < q0 l’attività è in perdita mentre per una produzione q > q0 si ha un profitto che, relativamente alla quantità q1 , è rappresentato dal segmento AB .
30.000
60.000
q0 q1
A
B
E
Ct
Rt
0
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55
Esercizio 2. (applicazione punto di equilibrio) Nella produzione di un bene si ha un costo fisso di € 3.000.000 e un costo di € 50 per unità di bene prodotto. Se il ricavo totale è espresso dalla funzione Rt = 75 q , determinare : a) il valore di q in corrispondenza del quale si ha il punto di equilibrio; b) la funzione costo totale se il governo introduce una tassa fissa di € 500 e il nuovo
punto di equilibrio; c) la funzione costo totale se il governo, anziché una tassa fissa, introduce una tassa di
€ 5 per ogni unità di bene prodotto. Soluzione. Il punto di equilibro si ha per q tale che Ct(q) = Rt(q) . a) Ct = 50q + 3.000.000 e quindi deve essere 50q + 3.000.000 = 75q da cui q =
120.000, in tale punto Ct(120.000) = Rt(120.000) = 9.000.000 . b) Ct = 50q + 3.000.000 + 500 e quindi deve essere 50q + 3.000.000 + 500 = 75q da
cui q = 120.020 . c) Ct = (50 + 5)q + 3.000.000 e quindi deve essere 55q + 3.000.000 = 75q da cui
q = 150.000 . Esercizio 3. (applicazione domanda e offerta) La quantità di domanda Qd e di offerta Qo di un bene dipendono dal prezzo p (p ≥ 0) dello stesso in base alle seguenti funzioni: Qd(p) = 7 – p Qo(p) = –5 + 3p a) si giustifichi perché al crescere del prezzo la quantità domandata decresce e la
quantità offerta cresce; b) si rappresentino nel piano cartesiano le funzioni Qd(p) e Qo(p) ; c) si determini il punto di equilibrio di mercato indicando sia il valore di p che quello di
Qd(p) = Qo(p) . Soluzione. a) Al crescere di p la funzione Qd(p) è decrescente perché la pendenza della retta che
la rappresenta è negativa; la funzione Qo(p) è invece crescente perché la pendenza della retta che la rappresenta è positiva.
b) Grafico; c) p = 3, Qd(3) = Qo(3) = 4. Esercizio 4 (applicazione costi fissi e variabili) Il costo totale di un processo produttivo è di 8500€ per 2000 unità di prodotto e di 18500€ per 4500 unità di prodotto. Determinare a. il costo fisso e il costo variabile unitario
0
-3
-5
3
5
5 10 15 20
Q0(p)
p
Qd(p)
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56
b. il costo totale per 4000 unità di prodotto Rappresentare graficamente i risultati ottenuti. Soluzione. a. La funzione del costo è fufV CxCCxCxC +⋅=+= )()(
+⋅=+⋅=
fu
fu
CC
CC
450018500
20008500
⋅−+⋅=⋅−=
20008500450018500
20008500
uu
uf
CC
CC
=⋅−==
500200048500
4
f
u
C
C xxC 4500)( +=
b. 16500)4000(4500)4000( =+=C
Esercizio 5 (applicazione vendite). Le vendite cumulate di acidulato di riso presso NaturaSì sono, a tutt’oggi, pari a 20 litri, e aumentano a un ritmo di 2 litri al mese. a. Se oggi è il 31 dicembre, quanti litri di acidulato di riso avrà complessivamente venduto
fra un anno NaturaSì ? b. Qual è il tasso medio di incremento delle vendite cumulate tra febbraio e giugno? E tra
gennaio e agosto ?
Soluzione. Sia t = tempo espresso in mesi (t =0 è dicembre) e sia ( )tl = litri di acidulato di riso venduto nell’intervallo [ ]t,0 . a. Basta usare l’espressione di una retta passante per un punto:
tttl 220)0(220)( +=−+=44)12(220)12( =+=l
2000
500
C(x)
8500
4500
18500
x
Matematica. Capitolo 2: funzioni reali di una variabile reale e applicazioni ________________________________________________________________________________________________________________________
57
b. r(0)r()
0 = /(( = s
( = 2 Il tasso medio di incremento delle vendite è di 2 litri per unità di tempo, cioè ogni mese si vendono due litri di acidulato di riso. Nel periodo tra gennaio e agosto il tasso medio di incremento delle vendite cumulate è lo stesso, poiché la funzione è affine e il rapporto incrementale è costante.
Esercizio 6 (applicazione ricavi e profitto). Il responsabile marketing di un’azienda monoprodotto stima che l’equazione di domanda per l’azienda sia 4606.0 +−= pq dove q è il numero di prodotti venduti e p è il prezzo unitario. I costi di gestione ammontano a 5000. a. Esprimere ricavi e profitti come funzioni del prezzo p.
50004606.05000)()(
4606.0)4606.0()()(2
2
−+−=−=+−=+−=⋅=
pppRp
pppppqppR
π
b. Determinare a quale prezzo dovrebbe essere offerto il prodotto per pareggiare il bilancio.
12.131,55.635050004606.00)( 212 ≈≈⇒=−+−⇒= pppppπ
c. Determinare a quale prezzo dovrebbe essere offerto il prodotto per ottenere il massimo profitto.
Il vertice ha ascissa 383.330.06)2(
46
2a
b =−−=− . Pertanto il profitto massimo è
3816.65000)33.383(46)33.383(06.0)33.383( 2 =−+−=π .
d. Determinare se è possibile ottenere il pareggio anche se i costi di gestione salgano a 10 000.
0000104606.0)( 2 =−+−= pppπ .
No, perché questa equazione non ha soluzioni reali. Infatti
04.118300010)33.383(46)33.383(06.0)33.383( 2 <−=−+−=π
383.3 635.5131.12
3816.6
−1183.4
p
π(p)
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58
2.9.2 Applicazioni in vari campi della scienza Esercizio 1 (applicazione zoologia). Il frinire del grillo dipende linearmente dalla temperatura. Una sera d’estate sentite il grillo frinire a un ritmo di 140 volte al minuto, e notate che la temperatura è di 24°. Più tardi, la stessa sera, il grillo ha rallentato a 120 volte al minuto, e notate che la temperatura è calata a 20°. Il giorno dopo volete misurare la temperatura, ma si è rotto il termometro. Sentite il grillo frinire a una frequenza di 100 volte al minuto. Esprimete la temperatura T come funzione della frequenza r del frinire del grillo e calcolate la temperatura mattutina. Soluzione La retta che descrive graficamente la funzione passa per i punti )24,140( e )20,120( .
24)140(5
1
140
24
140120
2420
1
1
12
12 −=−⇒−−=
−−
⇒−−=
−−
Trr
T
rr
TT
rr
TT
42.0)( −= rrT
164)100(2.0)100( =−=T
Esercizio 2 (applicazione epidemiologia). Nelle prime fasi dell’epidemia dell’AIDS, il numero delle persone infette raddoppiava ogni sei mesi, e il 1 gennaio 1985 gli infetti erano 1.3 milioni. 1- Assumendo che la diffusione dell’epidemia sia esponenziale, trovare un modello che
permetta di prevedere il numero di persone infette dopo t anni. 2- Utilizzare il modello per stimare il numero di persone infette alla data dell’1 ottobre
1985.
Soluzione. 1. Ogni anno il numero di persone infette dopo un anno si quadruplica, cioè
)(4)1( tntn =+ , e inoltre 3.1)0( =n . Quindi ttn )4(3.1)( =
2. 1 Ottobre 1985 corrisponde a t=9/12=0.75. Pertanto, 68.3)4(3.1)75.0( 75.0 ≈=n
−4
T(r)
120 140
24 20
20 r)
t
Matematica. Capitolo 2: funzioni reali di una variabile reale e applicazioni ________________________________________________________________________________________________________________________
59
NOTA Il modello esponenziale non può essere valido per un tempo molto lungo. Ad esempio, dopo 20 anni il nostro modello fornisce un numero di infetti pari a
0000000001163654291)4(3.1)20( 20 ≈=n Più di un miliardo di miliardi, ossia più di 200 milioni di volte la popolazione umana I modelli esponenziali sono utilizzati nelle prime fasi di un’epidemia (gli epidemiologi prevedono un fenomeno di livellamento da un certo punto in poi). Esercizio 3 (Applicazione previsioni). Di seguito sono riportati i dati storici di due aziende relativi agli ultimi 2 anni, nonché le previsioni per quest’anno (anno 0) e per i prossimi due anni. Da quali funzioni possono essere formalmente rappresentati questi dati? Si trovi la previsione a 3 anni per il profitto delle due aziende.
Soluzione
La f(x) aumenta di 6 per ogni incremento unitario della x. In generale 6=∆∆
x
y.
Si tratta di una funzione affine con pendenza m=6. L’intercetta y è f(0) = 4. Quindi,
f(x) = 6x + 4. f(3) = 6·(3) + 4 = 22.
La g(x) cresce di un fattore moltiplicativo pari a 3 per ogni incremento unitario. Quindi si
tratta di una funzione esponenziale del tipo g(x)= xka con = 3. Si ha g(0)=k=2, quindi
g(x) =2·(32)
g(3) = 2· (3)2 = 54 Esercizio 4 (applicazione colonia di battèri). Una colonia di batteri è composta inizialmente da 1000 batteri e la sua dimensione raddoppia ogni 3 ore. Trovate un modello esponenziale che esprima la dimensione della colonia come funzione del tempo t in ore, e utilizzate il modello per predire quanti batteri vi saranno dopo 1 giorno. Soluzione.
tkatB =)(
)(2)3( tBtB =+ tt akak 23 =+ 33 22 =⇒= aa
x −2 −1 0 1 2 f(x) −8 −2 4 10 16 g(x) 2/9 2/3 2 6 18
Matematica. Capitolo 2: funzioni reali di una variabile reale e applicazioni ________________________________________________________________________________________________________________________
60
( ) ( ) 3/3 2100021000)( tttB ==
( ) 00025621000)24(243 ==B
Esercizio 5 (applicazione tasso alcolico). Dopo diversi drink il tasso alcolico del sangue di una persona è 0.2 mg\dL. Se la quantità di alcool nel sangue diminuisce esponenzialmente riducendosi di un quarto ogni ora, qual è il tasso alcolico del sangue della persona dopo 4 ore ? Soluzione. A(t)=quantità di alcool nel sangue dopo t ore
tktA )4
3()( = 2.0)0( == kA ttA )
4
3(2.0)( =
06328125.0)4
3(2.0)4( 4 ==A
Esercizio 6 (applicazione decadimento radioattivo). Il carbonio-14, un isotopo radioattivo del carbonio, è utilizzato per calcolare l’età dei reperti archeologici. Esso decade trasformandosi in azoto: la quantità di carbonio-14 rimanente in un campione che in origine ne conteneva k grammi, è data da
tktC )999879.0()( = dove t è il tempo in anni. Recentemente è stata scoperta una pianta contenente 0.5 grammi di carbonio-14 e con un’età di 50000 anni. Quanto carbonio-14 conteneva in origine la pianta? Soluzione. C(50000)=0.5 per cui 5.0)999879.0( 50000 =k da cui k=212.13 k=C(0)
Esercizio 7 (applicazione decadimento radioattivo). Il peso del carbonio-14 che rimane in un campione che inizialmente pesava k grammi è dato da
tktC )999879.0()( = dove t è il tempo in anni. Trovate il tempo di dimezzamento, ovvero il tempo perché metà del carbonio-14 di un campione decada. Soluzione.
tktCk )999879.0()(5.0 ==
da cui t)999879.0(5.0 = e quindi 57285.0log 999879.0 ==t anni circa.
Matematica. Capitolo 3: elementi di calcolo differenziale ______________________________________________________________________________________
61
CAPITOLO 3
LIMITI. CONTINUITA’. ASINTOTI.
ELEMENTI DI CALCOLO DIFFERENZIALE.
3.1 LIMITE DI UNA FUNZIONE Si consideri la funzione f(x)=2+x. Cosa accade a f(x) quando x si avvicina (tende) a 3 ? x tende a 3 da sinistra → ←x tende a 3 da destra
x 2.9 2.99 2.999 2.9999 3 3.0001 3.001 3.01 3.1 f(x) 4.9 4.99 4.999 4.9999 5.0001 5.001 5.01 5.1
Il valore cui tende f(x) quando x si avvicina a 3, sia da destra che da sinistra, è 5. Questo valore è detto “limite di f(x) per x che tende a 3” . Si scrive
5)(lim3
=→
xfx
Analogamente, anche se la funzione 2
8)(
3
−−=
x
xxf non esiste in 2=x , quando 2→x si ha
x tende a 2 da sinistra → ←x tende a 2 da destra x 1.9 1.99 1.999 1.9999 2 2.0001 2.001 2.01 2.1
f(x) 11.41 11.9401 11.9940 11.99940 non definito
12.0006 12.0060 12.0601 12.61
e pertanto 122
8lim
3
2=
−−
→ x
xx
DEFINIZIONE. Si dice che ∈ ℝ è punto di accumulazione per un insieme ⊆ ℝ se
in ogni intorno di 0x esiste almeno un elemento di A diverso da 0x .
Ossia: 0x è un punto di accumulazione per un insieme A se esistono punti di A vicini a 0x
quanto si vuole.
Matematica. Capitolo 3: elementi di calcolo differenziale ______________________________________________________________________________________
62
Esempio – Il numero 6 è punto di accumulazione per l’insieme dei numeri reali, perché in ogni intorno di 6 esiste almeno un numero reale diverso da 6. Esso non è però punto di accumulazione per l’insieme dei numeri naturali, perché, ad esempio, l’intorno (5.5, 6.5) non contiene nessun numero naturale diverso da 6. La nozione di punto di accumulazione si estende anche a +∞ e -∞ (che non sono numeri reali). In ogni intorno di +∞ e in ogni intorno di -∞ esiste almeno un elemento di ℝ perché ne esistono sempre infiniti, quindi essi sono punti di accumulazione per ℝ. Ricordiamo che
)(lεI = ),( εε +− ll e ),()( 000 δδδ +−= xxxI e che
εεεε +<<−⇔<−⇔∈ llll ccIc ||)(
DEFINIZIONE. Sia f una funzione definita nell’insieme ⊆ ℝ ∪ −∞ ∪ +∞, sia 0x un
punto di accumulazione per A. Si dice che f ha come limite ℓ ∈ ℝ ∪ −∞ ∪ +∞ per x che tende a 0x , e si scrive
l=→
)(lim0
xfxx
se per ogni intorno )(lεI si può determinare in corrispondenza un intorno )( 0xI δ tale
che risulti )()( lεIxf ∈ per tutti gli ∈ distinti da 0x e appartenenti a )( 0xI δ .
INTUITIVAMENTE : f(x) assume valori prossimi a l quanto si vuole in corrispondenza di tutti gli x abbastanza vicini a 0x
∈=+∞→
l)(lim xfx
ℝ
A seconda che x0 tenda ad un numero reale oppure tenda a ∞+ oppure tenda a ∞− e che l sia un numero reale oppure sia +∞=l oppure sia −∞=l , la definizione di limite si caratterizza nei seguenti nove casi.
0 1 2 δ 3 4 5
Matematica. Capitolo 3: elementi di calcolo differenziale ______________________________________________________________________________________
63
DEFINIZIONE 1. Sia f una funzione definita nell’insieme ⊆A ℝ e sia 0x un punto di accumulazione per A . Si dice che f
ha come limite il numero reale l per x che tende a 0x , e si scrive
l=→
)(lim0
xfxx
se per ogni ε > 0 esiste 0>δ tale che per ogni 00 ),( xxxIAx ≠∈ δI , si ha ε<− |)(| lxf .
DEFINIZIONE 2. Sia f una funzione definita nell’insieme ⊆A ℝ e sia 0x un punto di accumulazione per A . Si dice che f
ha come limite ∞+ per x che tende a 0x , e si scrive
+∞=→
)(lim0
xfxx
se per ogni M > 0 esiste )( 0xI M tale che per ogni 00),( xxxIAx M ≠∈ I , si ha )(xf > M .
DEFINIZIONE 3. Sia f una funzione definita nell’insieme ⊆A ℝ e sia 0x un punto di accumulazione per A . Si dice che f
ha come limite ∞− per x che tende a 0x , e si scrive
−∞=→
)(lim0
xfxx
se per ogni M > 0 esiste )( 0xI M tale che per ogni 00),( xxxIAx M ≠∈ I , si ha )(xf < M− .
DEFINIZIONE 4. Sia f una funzione definita nell’insieme ⊆A ℝ. Si dice che f ha come limite il numero reale l per x che tende a ∞+ , e si scrive
l=+∞→
)(lim xfx
se per ogni ε > 0 esiste )(+∞εI tale che per ogni ),(+∞∈ εIAx I si ha ε<− |)(| lxf .
DEFINIZIONE 5. Sia f una funzione definita nell’insieme ⊆A ℝ. Si dice che f ha come limite ∞+ per x che tende a
∞+ , e si scrive
+∞=+∞→
)(lim xfx
se per ogni M > 0 esiste )(+∞MI tale che per ogni ),(+∞∈ MIAx I si ha )(xf > M .
DEFINIZIONE 6. Sia f una funzione definita nell’insieme ⊆A ℝ. Si dice che f ha come limite ∞− per x che tende a
∞+ , e si scrive
−∞=+∞→
)(lim xfx
se per ogni M > 0 esiste )(+∞MI tale che per ogni )(+∞∈ MIAx I , si ha )(xf < M− .
DEFINIZIONE 7. Sia f una funzione definita nell’insieme ⊆A ℝ. Si dice che f ha come limite il numero reale l per x che tende a ∞− , e si scrive
l=−∞→
)(lim xfx
se per ogni ε > 0 esiste )(−∞εI tale che per ogni ),(−∞∈ εIAx I si ha ε<− |)(| lxf .
DEFINIZIONE 8. Sia f una funzione definita nell’insieme ⊆A ℝ. Si dice che f ha come limite ∞+ per x che tende a ∞− , e si scrive
+∞=−∞→
)(lim xfx
se per ogni M > 0 esiste )(−∞MI tale che per ogni )(−∞∈ MIAx I , si ha )(xf > M .
DEFINIZIONE 9. Sia f una funzione definita nell’insieme ⊆A ℝ. Si dice che f ha come limite ∞− per x che tende a ∞− , e si scrive
−∞=−∞→
)(lim xfx
se per ogni M > 0 esiste )(−∞MI tale che per ogni )(−∞∈ MIAx I , si ha )(xf < M− .
Matematica. Capitolo 3: elementi di calcolo differenziale ______________________________________________________________________________________
64
Nella ricerca del limite, si possono dunque presentare le seguenti situazioni:
• il limite esiste ed è finito (la funzione è convergente ) • il limite esiste ed è +∞ oppure −∞ (la funzione è divergente ) • il limite non esiste (la funzione è indeterminata )
Senza darne dimostrazione, riportiamo i principali teoremi sui limiti.
Teorema 1 – Se il limite esiste, esso è unico.
Teorema 2 (teorema della permanenza del segno) – Se il limite di una funzione per
x che tende a 0x , è un numero reale ,0≠l allora esiste un intorno )( 0xI di 0x
(escluso al più 0x ) in cui f(x) e l sono entrambi positivi o entrambi negativi.
Ossia: se per → la funzione tende a un numero positivo, allora esiste un intorno di dove la funzione assume sempre valori positivi. (Analogamente per 0<l esiste un intorno di dove la funzione assume sempre valori negativi).
Teorema 3 (teorema del confronto) – Siano h(x), f(x), g(x) tre funzioni definite
nello stesso dominio ⊂ ℝ escluso al più 0x . Se in ogni punto 0xx ≠ , Ax∈ si
ha )()()( xgxfxh ≤≤ e l==→→
)(lim)(lim00
xgxhxxxx
, allora l=→
)(lim0
xfxx
.
Se si considera solo un intorno destro o un intorno sinistro di 0x , allora si parla
rispettivamente di limite a destra e di limite a sinistra di 0x le cui definizioni si ottengono
dalla definizione di limite imponendo la restrizione 0xx > (per il limite destro) e 0xx < (per il limite sinistro) e si usano i simboli
)(lim0
xfxx +→
)(lim0
xfxx −→
Il )(lim0
xfxx→
esiste se esistono i limiti destro e sinistro e questi sono uguali:
)(lim
0
xfxx +→
= )(lim0
xfxx −→
⟹ )(lim0
xfxx→
Esempio . Si consideri la funzione:
Matematica. Capitolo 3: elementi di calcolo differenziale ______________________________________________________________________________________
65
1
−1 0 x
y
<=>+
=4
43
41
)(
xx
x
xx
xf
Risulta 4lim)(lim,5)1(lim)(lim
4444===+=
−−++ →→→→xxfxxf
xxxx ⇒ non esiste ).(lim
4xf
x→
3.2 FUNZIONI CONTINUE L’esempio sopra riportato aiuta ad introdurre ed illustrare una prima applicazione del concetto di limite. DEFINIZIONE. Si dice che una funzione f(x) è continua nel punto x0 del suo dominio se
)()(lim 00
xfxfxx
=→
.
Intuitivamente . Una funzione è continua in un intervallo [a, b] , se in questo intervallo il grafico della funzione non presenta “buchi” o “salti”. Esempio La seguente funzione è non continua nel punto x = 0 ma continua per x ≠ 0 .
<−≥
=0xse1
0xse1f(x)
→ 4 ←
5
x
y
4
3
Matematica. Capitolo 3: elementi di calcolo differenziale ______________________________________________________________________________________
66
0 x
y
2
5
3
Esempio .La funzione
=≠+
=2xse5
2xse1xf(x)
è continua per x ≠ 2 ma discontinua in x = 2 . Esempio . Le funzioni elementari considerate nel loro campo di esistenza sono funzioni continue.
Esempio. La funzione 2
)(2
−=
x
xxf è continua nel punto 4=x perché
)4(82
16
)2lim(
lim)(lim
4
4
2
4f
x
xxf
x
x
x===
−=
→
→
→
La funzione è discontinua in ?2=x No, la funzione in = 2 non è definita. TEOREMA (di B. Bolzano). Una funzione f(x) definita e monotona in un intervallo
chiuso [a, b] , che assume tutti i valori compresi tra f(a) ed f(b) , è continua in [a, b] .
Matematica. Capitolo 3: elementi di calcolo differenziale ______________________________________________________________________________________
67
3.3 CALCOLO DEI LIMITI Per calcolare il limite di una funzione, di norma, non si utilizza la definizione di limite ma si applicano teoremi operativi. Valgono infatti le seguenti uguaglianze (sempre che esistano i limiti indicati nei secondi membri e l’uguaglianza non perda di significato).
1) )(lim)(lim))()((lim000
xgxfxgxfxxxxxx →→→
+=+
2) )(lim)(lim00
xfxfxxxx →→
= λλ
3) )(lim)(lim)()(lim000
xgxfxgxfxxxxxx →→→
⋅=
4) )(lim
)(lim
)()(
lim
0
0
0 xg
xf
xg
xf
xx
xx
xx
→
→
→=
5) lim→ (()) = lim→ () , continua.
• lim→ !(()) = ! lim→ ()
• lim→ "() = # lim→ ()
6) lim→ ()$() = %lim→ ()&'()*→* $() = lim→+$() ', -() = +'()*→*[$() ', -()] • lim→ +$() = +'()*→* $()
Regole operative Per calcolare il limite di una funzione f , nell’espressione analitica di f(x) , alla variabile x si sostituisce il valore a cui tende x e si esegue il calcolo. E’ pertanto necessario estendere le usuali operazioni definite nell’insieme ℝ , all’insieme ℝ∞ dei numeri reali a cui sono stati aggiunti “ ∞+ ” e “ ∞− ” . L’estensione delle operazioni a ℝ ∞ è così definita (il segno di infinito è determinato con l’usuale regola dei segni).
Matematica. Capitolo 3: elementi di calcolo differenziale ______________________________________________________________________________________
68
k ∈ ℝ : +∞ ± k = +∞, k +∞ = +∞, 0k =∞
, ∞=∞k
, −∞ ± k = −∞, k −∞ = −∞ ,
k ∈ ℝ , k ≠ 0 : ∞=∞⋅=⋅∞ kk , ∞=0k
,
000 =⋅ , ∞=±∞⋅±∞ )()( , (+∞)01 = +∞,(+∞)31 = 0.
Ma si possono presentare anche i seguenti casi :
−∞ +∞ , +∞ −∞ , ∞⋅0 , ∞∞
, 00
, 1∞ , ∞0 , 00
detti forme indeterminate perché non si può dire nulla sul risultato, per determinare quanto valgono si deve procedere caso per caso (vedremo qualche esempio). Attenzione che 1∞ è forma indeterminata solo quando la base 1 indica una quantità che tende a 1 , se la base 1 è costante, la quantità 1∞ non è una forma indeterminata perché 1+∞ = 1 e 1−∞ = 1 .
ESEMPI di calcolo di limiti Esempio 1.
+∞=−+∞=−=
−+∞→+∞→+∞→
02
limlim2
limx
xx
xxxx
Esempio 2.
+∞=+=+=
+ ∞+
+∞→+∞→+∞→0
1limlim
1lim e
xe
xe
x
x
x
x
x
Esempio 3.
( ) 201224lim2lim42lim 3
333=+=+=+
→→→xx
x
x
x
x
x
Esempio 4.
515252500
=⋅=⋅=⋅→→
x
x
x
xlimlim
Esempio 5.
48
1
48
1
3lim
3lim
3
3lim
3
2
4
3
42
3
4−=−=
+=+
−→
−→
−→ x
x
x
x
x
x
x
Matematica. Capitolo 3: elementi di calcolo differenziale ______________________________________________________________________________________
69
Esempio 6. lim→6736836 = 39:0;7 = 3967 = −∞
Esempio 7. lim→31| + 1|
Da un certo punto in poi, + 1 < 0 ⟹ | + 1| = −1 − e pertanto lim→31| + 1| = lim→31(−1 − ) = −1 − (−∞) = +∞
Esempio 8. lim→3; +?36 = + '()*→@A ?36 = +9;
Esempio 9. lim→01 ln(3 − 5)?36 = ln[ lim→01(3 − 5)?36] = ln(+∞) = +∞
Esempio 10. lim→01( + 3)? = lim→01 +? ',(0E) = + '()*→7F(? ',(0E)) = +01∙01 = +∞
Esempio 11.
lim→01 H3 + 1 = H lim→01(3 + 1) = √3
Calcolo di Forme Indeterminate Se nel calcolare il limite di una funzione si ottiene una forma indeterminata, occorre cercare un artificio che permetta di “superare” la forma indeterminata. Come vedremo, in particolari casi esistono artifici “standard” e/o teoremi che aiutano a superare le forme indeterminate.
Esempio lim→7 J 9√8 − 9√80K = +∞ − ∞
1√xE − 1√xE + x = √xE + x − √xE√xE√xE + x = √E M−1 + √E + √E N
√E√E + = −1 + #1 + 16√E +
lim→7−1 + #1 + 16
√E + = −1 + √+∞√0 = +∞
Matematica. Capitolo 3: elementi di calcolo differenziale ______________________________________________________________________________________
70
Infiniti e Infinitesimi
Se ∞=
→)(lim
0
xfxx
la funzione f si dice un infinito .
Se 0)(lim0
=→
xfxx
la funzione f si dice un infinitesimo.
Spesso le forme indeterminate che si incontrano coinvolgono funzioni il cui limite è ∞ oppure 0. Per risolvere queste forme indeterminate è molto utile considerare la “velocità” con cui le funzioni tendono a ∞ oppure a 0. Ad esempio per → +∞ la funzione () = E va a +∞ più velocemente della funzione
() = 6 e pertanto se dovessimo calcolare 12
3
++∞→ x
x
xlim , “vince” () = E e quindi
+∞=++∞→ 12
3
x
x
xlim mentre 0
13
2
=++∞→ x
x
xlim .
Quando per → +∞ consideriamo la funzione potenza () = OP!QQ ∈ ℕ∗, la funzione logaritmo () = !TP!QU > 1, e la funzione esponenziale () = U, U > 1, si dimostra che valgono le seguenti “gerarchie”.
1) In una funzione polinomiale il termine più “veloce” è quello di grado massimo e
quindi basta considerare questo termine.
2) La funzione potenza è più “veloce” della funzione logaritmo (Q, W ∈ ℕ∗, U > 1)
+∞=+∞→ b
a
n
x x
x
)(loglim , 0
)(loglim =
+∞→ n
b
a
x x
x .
3) La funzione esponenziale è più “veloce” della funzione potenza (Q ∈ ℕ∗, U > 1) +∞=
+∞→ n
x
x x
alim , 0lim =
+∞→ x
n
x a
x .
In sintesi : l’esponenziale (con base maggiore di 1) è più veloce della potenza (con esponente positivo) la quale è più veloce del logaritmo (con base maggiore di 1). Queste “gerarchie” permettono di risolvere subito alcune forme indeterminate.
Matematica. Capitolo 3: elementi di calcolo differenziale ______________________________________________________________________________________
71
Esempio 1.
+∞===−++−
+∞→+∞→ 2
3
5
45 x
x
x3
4
x3
4
x 2x
3xlim
2x7
3xlim
Esempio 2.
3
5545
2
45 −=−=+
+−=+++
+−+∞→+∞→+∞→ 3xlim
x2xlim
x2xlim
x2x2x
xx
x
x
Esempio 3.
0lnln
2
2
==++
+∞→+∞→ xe
x
x
xxxxxlim
elim
Limiti delle funzioni polinomiali per X → ±∞
In un polinomio il termine più “veloce” è quello di grado massimo, perché UY + U9Y39 +⋯+ UY = Y(U + U9 + ⋯ + UYY)
∞→xlim (UY + U9Y39 +⋯+ UY) =
∞→xlim Y(U + U9 + ⋯ + UYY) = ∞Y(U + 0 + ⋯ + 0) = ∞
Per calcolare il lim→1 delle funzioni polinomiali intere e fratte, basta pertanto considerare il
termine di grado massimo dei polinomi. Risulta:
<∞−>∞+
=+++ −
+∞→ 0ase
0aseaxaxalim
0
0r
1r1
r0x
)( L
se −∞→x si procede in modo analogo tenendo conto della regola dei segni.
<
=
<>∞−
>>∞+
=++++++
−
−
+∞→
srse0
srseb
a
0b
aesrse
0b
aesrse
bxbxb
axaxalim
0
0
0
0
0
0
s1s
1s
0
r1r
1r
0
x L
L
se −∞→x si procede in modo analogo tenendo conto della regola dei segni.
Matematica. Capitolo 3: elementi di calcolo differenziale ______________________________________________________________________________________
72
Esempio 1. Il seguente limite risulta una forma indeterminata.
∞+∞−=
−+−−
+∞→ 72
4lim
23
4
xx
xxx
ma
∞−=−=−=−+
−−+∞→+∞→+∞→
2
4lim
2
4lim
72
4lim
3
4
23
4 x
x
x
xx
xxxxx
Esempio 2.
05
45 =−++−
+∞→ x
x4
2
x 2x73x
lim
Esempio 3.
+∞=+−+∞→ 1-3x
125xlim
2
x
x
Esempio 4.
−∞=+−+∞→ 2-2x
235xlim
4
x
x
Esempio 5.
5
7
4x-5x
173xlim
2
2
x−=+−
−∞→
x
Esempio 6.
+∞=++
+−∞→ 2x-xx
2x-lim
25
26
x
x
Limiti notevoli
Quando nel calcolare il limite di una funzione si ottiene una forma indeterminata, un artificio è quello di riportare il calcolo del limite al calcolo di un limite già noto. Per questo sono fondamentali alcuni limiti detti limiti notevoli; ricordiamone alcuni:
ex
x
x=
++∞→
11lim , a
x
xe
x
a =
++∞→
1lim , ax
ax
xln
1lim
0=−
→ , 1lim
0=
→ x
xsenx
Esempio 1.
eexxx
x
x
x
x=⋅=
+
+=
++∞→
+
+∞→1
11
11lim
11lim
1
Matematica. Capitolo 3: elementi di calcolo differenziale ______________________________________________________________________________________
73
Esempio 2. Calcolare .3
11lim
3+
+∞→
++
x
x x
Ponendo 3+= xt , si ha +∞→t per +∞→x e pertanto
et
t
t=
++∞→
11lim , e
x
x
x=
++
+
+∞→
3
3
11lim .
Esempio 3. Calcolare .1
1limx
x x
+−∞→
Si ha x
x
x
x xx
+−−−=
+−∞→−∞→ 11
11lim
11lim
Ponendo )1( +−= xt , si ha +∞→t per −∞→x e pertanto
eettt
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t=⋅=
+
+=
+=
+=
+−+∞→
+
+∞→
+−
+∞→
−−
+∞→1
11
11lim
1lim
1lim1
11lim
11)1(1
.
Esempio 4. Calcolare x
xx
1
0)1(lim +
→.
Ponendo x
t1= si ottiene e
tt
x=+
±∞→)
11(lim .
Esempio 5. Calcolare x
xa
x
)1(loglim
0
+→
.
aexx
x
xa
x
xa
xa
x
a
x ln
1log)1(limlog)1(loglim
)1(loglim \1
0
1
00==+=+=+
→→→
in particolare per U = + , x
x
x
)1ln(lim
0
+→
=1 .
Esempio 6. Calcolare x
tgxx 0lim
→.
111cos
1lim
sinlimcos
sin
limlim0000
=⋅=⋅==→→→→ xx
x
xx
x
x
tgxxxxx
.
Matematica. Capitolo 3: elementi di calcolo differenziale ______________________________________________________________________________________
74
Esempio 7. Calcolare 20
cos1lim
x
xx
−→
.
( ) ( )( )
( )( ) ( ) =
+=
+−=
++⋅−=−
→→→→ xx
x
xx
x
xx
xx
x
xxxxx cos1
sinlim
cos1
cos1lim
cos1
cos1cos1lim
cos1lim 2
2
02
2
02020
2
1
2
11
cos1
1lim
sinlim
cos1
1lim
sinlim 2
0
2
002
2
0=⋅=
+⋅
=+
⋅=→→→→ xx
x
xx
xxxxx
.
3.4 ASINTOTI Nello studio delle funzioni elementari si è osservato che alcune di esse hanno un grafico che si avvicina infinitamente ad una o più rette. Le rette che, rispetto al grafico di una funzione, hanno un comportamento di questo tipo sono dette asintoti e poiché sono rette possono risultare verticali, orizzontali, oblique.
La retta 0xx = è un asintoto verticale se ±∞=→
)(lim0
xfxx
asintoto verticale destro se ±∞=+→
)(lim0
xfxx
asintoto verticale sinistro se ±∞=−→
)(lim0
xfxx
La retta retta [ = ℎ è un asintoto orizzontale se lim→1() = ℎ ∈ ℝ
asintoto orizzontale destro se lim→01() = ℎ ∈ ℝ
asintoto orizzontale sinistro se lim→31() = ℎ ∈ ℝ
La retta qxmy += è un asintoto obliquo se esistono ], ^ ∈ ℝ tali che
x
xfm
x
)(lim
∞→= , ( )xmxfq
x−=
∞→)(lim .
asintoto obliquo a destra se x
xfm
x
)(lim
+∞→= , ( )xmxfq
x−=
+∞→)(lim
asintoto obliquo a sinistra se x
xfm
x
)(lim
−∞→= , ( )xmxfq
x−=
−∞→)(lim
NOTA – Sia l’asintoto orizzontale che l’asintoto obliquo possono esistere solo dove il dominio va a +∞ oppure a −∞ e pertanto dove si trova un asintoto orizzontale è inutile cercare un asintoto obliquo. L’asintoto verticale va cercato negli eventuali punti di accumulazione in cui la funzione non è definita.
Matematica. Capitolo 3: elementi di calcolo differenziale ______________________________________________________________________________________
75
Esempio 1.
Poichè 2
1
52
52lim
6
6
−=−−−+
∞→ x
xxx m
la retta 2
1−=y è un asintoto orizzontale destro e sinistro per la funzione () = _0`6336_3`
Esempio 2.
Poiché −∞==− +
→0log
21
loglim 33
2
1x
x
la retta 21=x è un asintoto verticale per la funzione
21
log)( 3 −= xxf .
Grafico di 21
log)( 3 −= xxf
Esercizio 3. Si verifichi l’esistenza di eventuali asintoti orizzontali e verticali per la funzione
133 )42
1)(()( −++= xxxxf
Soluzione – Il campo di esistenza della funzione è ( ) ( ).,22, +∞−−∞− U Poiché
24
2
1
11
lim4
2
1lim
3
2
3
3
=+
+=
+
+±∞→±∞→
x
x
x
xxxx
la retta 2=y è asintoto orizzontale destro e sinistro.
La retta 2−=x è asintoto verticale destro e sinistro perché
.)()10(0
28
42
1lim,)()10(
0
28
42
1lim
3
3
23
3
2+∞=−∞⋅−=+−=
+
+−∞=+∞⋅−=−−=+
+−−→+−→ −+
x
xx
x
xxxx
Matematica. Capitolo 3: elementi di calcolo differenziale ______________________________________________________________________________________
76
Esercizio 4. Determinare gli eventuali asintoti della funzione
4
2)(
2 −=
xxf
Soluzione – Il campo di esistenza della funzione è ( ) ( ).,2)2,2(2, +∞++−−∞− UU
• −∞=−+−→ 4
2lim
22 xx , +∞=
−−−→ 4
2lim
22 xx
allora la retta è asintoto verticale destro e sinistro.
• +∞=−+→ 42
lim22 xx
, −∞=−−→ 42
lim22 xx
allora la retta = 2 è asintoto verticale destro e sinistro.
• 04
2lim
2+=
−+∞→ xx , 0
4
2lim
2+=
−−∞→ xx
allora la retta [ = 0 è asintoto orizzontale destro e sinistro. Poiché c’è un asintoto orizzontale sia a destra che a sinistra, non possono esserci asintoti obliqui. Esercizio 5. Determinare gli eventuali asintoti della funzione
32
124)(
2 −−−=
xx
xxf
Soluzione – Il campo di esistenza della funzione è ( ) ( ).,3)3,1(1, +∞++−−∞− UU
• +∞=−−
−+−→ 32
124lim
21 xx
x
x , −∞=
−−−
−−→ 32124
lim21 xx
x
x
allora la retta = −1 è asintoto verticale destro e sinistro.
• 032
124lim
2+=
−−−
+∞→ xx
x
x , 0
32
124lim
2−=
−−−
−∞→ xx
x
x
allora la retta [ = 0 è asintoto orizzontale destro e sinistro.
• 1)3)(1(
)3(4lim
32124
lim323
=−+
−=−−
−++ →→ xx
x
xx
x
xx , 1
)3)(1()3(4
lim32
124lim
323=
−+−=
−−−
−− →→ xx
x
xx
x
xx
allora in = 3 non c’è un asintoto, è solo un punto di discontinuità. Esercizio 6. Determinare gli eventuali asintoti della funzione
2−=x
Matematica. Capitolo 3: elementi di calcolo differenziale ______________________________________________________________________________________
77
1
82)(
2
23
−−−=
x
xxxxf
Soluzione – Il campo di esistenza della funzione è ( ) ( ).,1)1,1(1, +∞++−−∞− UU
• −∞=−
−−+−→ 1
82lim
2
23
1 x
xxx
x , +∞=
−−−
−−→ 1
82lim
2
23
1 x
xxx
x
allora in = −1 asintoto verticale destro e sinistro.
• −∞=−
−−+→ 1
82lim
2
23
1 x
xxx
x , +∞=
−−−
−→ 1
82lim
2
23
1 x
xxx
x
allora in = 1 asintoto verticale destro e sinistro.
• +∞=−
−−+∞→ 1
82lim
2
23
x
xxx
x allora a destra non ci sono asintoti orizzontali, cerco
obliqui:
1)1(
82lim
2
23
=−
−−+∞→ xx
xxx
x , 21
1
82lim
2
23
−=
−−
−−+∞→
xx
xxx
x
allora [ = − 2 è asintoto obliquo a destra.
• −∞=−
−−−∞→ 1
82lim
2
23
x
xxx
x allora a sinistra non ci sono asintoti orizzontali, cerco
obliqui:
1)1(
82lim
2
23
=−
−−−∞→ xx
xxx
x , 21
1
82lim
2
23
−=
−−
−−−∞→
xx
xxx
x
allora [ = − 2 è asintoto obliquo a sinistra.
Matematica. Capitolo 3: elementi di calcolo differenziale ______________________________________________________________________________________
78
P
Q
f(x0) f(x0+h)
x0 x0+h x
f(x)
3.5 DERIVATA DI UNA FUNZIONE Nello studio di una funzione reale di variabile reale ha particolare importanza il rapporto
incrementale xy
∆∆
, detto anche tasso medio di variazione, perché indica quanto varia
la y al variare di x . Se y = f (x) indica la funzione e h l’incremento che si dà alla variabile indipendente nel punto x0 risulta
hxfhxf
xy )()( 00 −+=
∆∆
.
Se consideriamo il caso più semplice di funzione, ossia le funzioni lineari, come abbiamo dimostrato nel Capitolo 2, per esse il rapporto incrementale rimane costante ossia è indipendente sia dal punto x0 dove si calcola la variazione di x sia dal valore dell’incremento h . In particolare si è dimostrato che per f(x) = m x + q risulta
α=∆∆= tg
xy
m
dove α è l’angolo che la retta grafico della funzione forma con l’asse positivo delle ascisse. Se anziché una funzione lineare si considera una generica funzione y = f (x) definita in
[a,b] , il rapporto xy
∆∆
non è più costante ma dipende dal punto in cui si calcola e dalla
ampiezza dell’incremento ∆x . Rimane però molto stretto il legame tra xy
∆∆
, calcolato in
prossimità di x0 , e la retta tangente in x0 alla curva grafico della funzione. Pensiamo di esaminare “molto da vicino”, o con una lente di ingrandimento, il grafico della funzione f(x) in prossimità del punto P(x0; f (x0)) : Se ad x0 si dà un incremento ∆x = h , rimane determinato il punto Q(x0 + h; f (x0 + h)) e la pendenza (o coefficiente angolare) della retta PQ è
( ) xy
xhxxfhxf
m∆∆=
−+−+=
00
00 )()(
Rimpicciolendo sempre più l’incremento ∆x , il punto Q si avvicina sempre di più al punto P e la retta PQ viene a sovrapporsi alla retta tangente al grafico in P . Dunque
Matematica. Capitolo 3: elementi di calcolo differenziale ______________________________________________________________________________________
79
quando ∆x diventa piccolissimo (ossia quando h→0 ), il rapporto xy
∆∆
approssima la
misura m della pendenza della tangente al grafico in P . Prima della fondamentale prossima definizione, ricordiamo che le seguenti scritture sono
tutte equivalenti: ∆b∆ = -()3-()3 = -(0$)3-()$ (conℎ = − )
DEFINIZIONE. Una funzione: (U, W) → ℝ si dice derivabile in ),( ba∈ se esiste, finito, il
limite
0
0)()(lim
0 xx
xfxf
xx −−
→
Tale limite si chiama derivata di f in e si indica con f() . In modo equivalente, la derivata può essere definita da un punto di vista geometrico. DEFINIZIONE. Una funzione : → ℝ, intervallo aperto di ℝ , si dice derivabile
in Xg se nel punto (, ()) del suo grafico esiste la retta tangente e questa ha
pendenza ] ∈ ℝ . Il numero ] si dice derivata di in e si indica con f(). Una funzione non è derivabile in se il grafico della funzione in
• non ha tangente (fig. 1, punto angoloso); • ha tangente una retta di equazione x = k (fig. 2, cuspide)
In questi due casi il limite del rapporto incrementale non esiste (punto angoloso) oppure è ±∞ (punto cuspide).
x0 0 x
f(x)
x0 0
f(x)
x
fig. 1 fig. 2
Matematica. Capitolo 3: elementi di calcolo differenziale ______________________________________________________________________________________
80
Se esiste finito il limite destro (rispettivamente sinistro), si dice che la funzione è derivabile a destra (rispettivamente sinistra) e si parla di derivata destra (rispettivamente sinistra):
0
0)()(lim
0 xx
xfxf
xx −−
+→
0
0)()(lim
0 xx
xfxf
xx −−
−→
Ovviamente, una funzione è derivabile se e solo se esistono finiti i limiti destro e sinistro e questi sono uguali: 0f() = 3f() La derivata destra e la derivata sinistra rappresentano evidentemente la pendenza della retta tangente a destra e a sinistra nel punto P=(x0, f(x0)). Analizziamo il seguente grafico
• In = 0 la funzione non è derivabile perché esiste solo la derivata destra: 0f(0) < 0.
• In la funzione non è derivabile perché lim$→ -(0$)3-()$ = ∞.
• Risulta f(9) > 0, f(6) = 0, f(E) < 0 perché le tangenti hanno, rispettivamente, pendenza positiva, nulla, negativa.
• In ; la funzione non è derivabile perché 3f(;) < 0 , 0f(;) > 0 .
• In ` la funzione non è derivabile a sinistra 3f(`) = −∞ .
Matematica. Capitolo 3: elementi di calcolo differenziale ______________________________________________________________________________________
81
DEFINIZIONE. Una funzione si dice derivabile nell’intervallo (i, j) (può essere tutto
ℝ) se è derivabile in ogni punto dell’intervallo. La derivata (o derivata prima) si indica con:
⋅⋅⋅= 0
,)(
,)(,)(' 000
xxx
f
x
xfxDfxf
d
d
d
d
Se f è derivabile in ogni punto di A , allora si può considerare la funzione derivata f : A → ℝ che ad ogni x ∈ A associa )(' xf , questa funzione può essere, oppure no, derivabile. Se in x0 la funzione 'f è derivabile, la sua derivata )''(f si chiama derivata seconda della f calcolata in x0 e si indica con )('' 0xf . Analogamente
si può definire )(''' 0xf e così via.
Riassumendo
La derivata di una funzione in un punto
1. è il limite del rapporto incrementale di quando l’incremento ℎ tende a zero ;
2. rappresenta il tasso di variazione istantaneo di nel punto ;
3. esprime la pendenza della retta tangente al grafico di nel punto .
3.6 DERIVATA DELLE FUNZIONI ELEMENTARI.
REGOLE DI CALCOLO DELLE DERIVATE • Sia : ℝ → ℝ, () = P, P ∈ ℝ, una funzione costante. Allora f() = 0 , infatti:
00limlim)()(
lim)('000
==−=−+=→→→ hhh h
cc
h
xfhxfxf
• Sia : ℝ → ℝ, () = 6. Allora f() = 2 , infatti:
f() =0
lim→h
( + ℎ) − ()ℎ =0
lim→h
( + ℎ)6 − 6ℎ =
0lim
→h
ℎ6 + 2ℎℎ =0
lim→h
(ℎ + 2) = 2
Matematica. Capitolo 3: elementi di calcolo differenziale ______________________________________________________________________________________
82
Si dimostra che le funzioni elementari ammettono la derivata in ogni punto del loro campo di esistenza, fa eccezione la funzione valore assoluto per la quale deve essere ≠ 0.
Tabella delle derivate delle funzioni elementari
funzione )(xf derivata )(' xf
cxf =)( , ∈c ℝ
nxxf =)( , n ∊ ℚ
xxf =)( , ∈x ℝ0
xaxf =)( , 0>a
xexf =)(
xxf alog)( = , ∈x ℝ0
xxf ln)( =
xxf sin)( =
xxf cos)( =
xxf tg)( =
xxf arctg)( =
0xf =)('
1nxnxf −=)('
x2
1xf =)('
aaxf x ln)(' =
xexf =)('
ex1
xf alog)(' =
x1
xf =)('
xxf cos)(' =
xxf sin)(' −=
xxf 2cos
1)(' =
21
1)('
xxf
+=
Esempi. 1. () = 9 ha come derivata f() = 0
2. () = E ha come derivata f() = 36
3. () = ?8 ha come derivata f() =
6
E3
o8
4. () = 3` ha come derivata f() = −53:
5. () = 7 ha come derivata f() = 7 Q 7
6. () = !E ha come derivata f() =
9
!E+ =
9
qOE
Matematica. Capitolo 3: elementi di calcolo differenziale ______________________________________________________________________________________
83
In seguito, se non è specificatamente richiesto verrà calcolata la derivata “formale” della f (x) , tralasciando la ricerca degli eventuali punti del campo di esistenza di f (x) in cui la funzione non è derivabile. REGOLE DI DERIVAZIONE
Regola 1 . Se f e g sono due funzioni derivabili in un punto x , allora sono derivabili in x anche la loro somma, il loro prodotto e il loro quoziente (purché il denominatore sia diverso da zero). Valgono le seguenti regole di calcolo:
1. )(')(')()'( xgxfxgf +=+
2. )(')(')()'( xgxfxgf −=−
3. )(')()()(')()'( xgxfxgxfxgf +=
4.
2)(
)(')()()(')('
xg
xgxfxgxfx
g
f −=
, 0)( ≠xg .
5. P)f() = Pf(),P ∈ ℝ
Esempi. a) () = 96 E + √ ha come derivata f() = 96 ∙ 3 ∙ 6 + 96√
b) () = 6 − 7 + 8 ha come derivata f() = 2 − 7
c) () = 6 Q ha come derivata f() = 2 Q + 6 ∙ 9
d) () = 80609? ha come derivata f() = (E?06)?3(80609)6(?)? = 836368
e) () = 7E ha come derivata f() = 7 ∙ 36
Matematica. Capitolo 3: elementi di calcolo differenziale ______________________________________________________________________________________
84
Regola 2. DERIVATA della FUNZIONE COMPOSTA Se g è una funzione derivabile in x e se f è una funzione derivabile nel punto g(x) , allora la funzione composta gf o è derivabile in x e si ha :
( ) )(')(')()'( xgxgfxgf ⋅=o
In particolare risulta :
s Q() = f()()
s()O = Q()O39 ∙ f() s "()Ot = s()Ou = Q] ()Ou39f()
Esempi.
a) 1)( 2 += xxh ha come derivata xx
xh 212
1)('
2⋅
+= .
b) x)x(h(x) += 32ln ha come derivata )16(2
1)('
3+⋅
+= x
xxxh
c) 32 523 )xx(h(x) −+= ha come derivata )26()523(3)(' 22 +−+= xxxxh
d) 2ln)( xxh = ha come derivata xx
xh 21
)('2
⋅=
e) xxh 2ln)( = ha come derivata x
xxh1
ln2)(' ⋅=
Per la Regola 2. si ha : ( ∘ ∘ w)′() = ′ yzw()| ∙ fzw() ∙ wf() Esempio. h() = "ln(6 + 3)
ℎf() = 12"ln(6 + 3) ⋅ 16 + 3 ∙ (2 + 3)
Matematica. Capitolo 3: elementi di calcolo differenziale ______________________________________________________________________________________
85
Esempio. t) = ln √3E
~f() =1
√3E⋅
1
2√3E∙ (−33;) = −
33;
23E = −3
2
Regola 3. - Se f e g sono funzioni derivabili in x e f è una funzione positiva, si ha :
⋅+⋅=
)(
)(')()(ln)(')()( )()(
xf
xfxgxfxgxfxfD xgxg
questa uguaglianza è ottenuta ricordando che )(ln)()()( xfxgxg exf = . In particolare si ha
)('ln)()( xgaaaD xgxg ⋅⋅= , U ∈ ℝ0
)(')()( xgeeD xgxg ⋅=
Esempi.
1. xxxh =)( ha come derivata )1(ln1
ln1)(' +=
⋅+⋅= xxx
xxxxh xx
2. xxexh 32
)( += ha come derivata )32()(' 32
+⋅= + xexh xx
3. 1210)( += xxh ha come derivata 10ln210)(' 12 ⋅⋅= +xxh
PRIME APPLICAZIONI della DERIVATA
3.7 TEOREMI di de L’ Hôpital Lo “strumento” derivata fornisce utili teoremi per calcolare limiti che si presentano nella
forma indeterminata 00
oppure ∞∞
. A completamento di quanto presentato per il calcolo
dei limiti, riportiamo i teoremi di de L’Hôpital (1661 - 1704).
Matematica. Capitolo 3: elementi di calcolo differenziale ______________________________________________________________________________________
86
TEOREMA. Siano f(x) e g(x) due funzioni derivabili in un intorno di 0x , dove 0x è un
numero reale oppure ∞± , e siano tali che ( ) ( ) 0xglimxflim00 xxxx
==→→
. Supponiamo inoltre
che ( ) 0≠′ xg per x “vicino” ad 0x . Se esiste ( )( )xg
xfxx ′
′→ 0
lim allora esiste anche ( )( )xg
xfxx 0
lim→
e si ha
( )( )
( )( )xg
xf
xg
xfxxxx ′
′=
→→ 00
limlim
TEOREMA. Siano f(x) e g(x) due funzioni derivabili in un intorno di 0x , dove 0x è un
numero reale oppure ∞± , e siano tali che ( ) ( ) ±∞==→→
xglimxflim00 xxxx
. Supponiamo inoltre
che ( ) 0≠′ xg per x “vicino” ad 0x . Se esiste ( )( )xg
xfxx ′
′→ 0
lim allora esiste anche ( )( )xg
xfxx 0
lim→
e
si ha
( )( )
( )( )xg
xf
xg
xfxxxx ′
′=
→→ 00
limlim .
Esercizio 1. Calcolare, se esiste, x
elim
x
x
10
−+→
.
Soluzione Siamo nella forma indeterminata 0
0 , le funzioni sono derivabili e ( ) 01≠=′ xg ,
quindi possiamo applicare il teorema di de L’Hôpital. Otteniamo ( )( ) 1
1e
limxgxf
limx
0xx==
′′
+→+→ 0
quindi anche il limite della funzione data esiste e si ha 11
0=−
→ xe
limx
x.
Esercizio 2. Calcolare, se esiste, 1-x
xlim
a
x
11
−→
.
Soluzione Siamo nella forma indeterminata 0
0 , le funzioni sono derivabili e ( ) 01≠=′ xg ,
quindi possiamo applicare il teorema di de L’Hôpital. Otteniamo ( )( ) a
1a
limxgxf
lim1-a
1x1x==
′′
→→
x
quindi anche il limite della funzione data esiste e si ha a1-x1x
lima
1x=−
→.
Matematica. Capitolo 3: elementi di calcolo differenziale ______________________________________________________________________________________
87
Esercizio 3. Calcolare, se esiste, x
xx
loglim
+∞→ .
Soluzione Siamo nella forma indeterminata ∞∞
, le funzioni sono derivabili e ( ) 01≠=′ xg ,
quindi possiamo applicare il teorema di L’Hôpital. Otteniamo ( )( ) 0
1x1
limxgxf
limxx
==′′
+∞→+∞→
quindi anche il limite della funzione data esiste e si ha 0log
lim =+∞→ x
xx
.
3.8 DERIVABILITA’ e CONTINUITA’
TEOREMA. Se una funzione è derivabile nel punto , allora in questo punto
la funzione è continua.
Dimostrazione - Per x ≠ x0 risulta )()()(
)()( 0
0
00 xx
xx
xfxfxfxf −
−−=− e pertanto
00)(')()()(
lim))()((lim 00
0
00
00
=⋅=−−−=−
→→xfxx
xx
xfxfxfxf
xxxx
)()()( 000
xfxfxfxx
==→→limlim
0xx ∎
ATTENZIONE - Il viceversa del teorema non vale, ossia se una funzione è continua nel punto non è detto che in sia anche derivabile (esempio nei punti angolosi e cuspidi).
3.9 EQUAZIONE della RETTA TANGENTE in (Xg; (Xg)) Sia f(x) una funzione derivabile in ogni punto dell’intervallo aperto A e sia (; ()) un punto del suo grafico. Ricordando che l’equazione della generica retta per P con pendenza m ∈ ℝ è [ − [ = ]( − ) e che ] = f(), l’equazione della retta tangente al grafico di f nel punto (; ()) è
Matematica. Capitolo 3: elementi di calcolo differenziale ______________________________________________________________________________________
88
[ = () + f()( − )
Esercizio 1. Scrivere l’equazione della retta tangente alla curva di equazione [ = 36−2 + 7 nel punto di ascissa = 2. Soluzione La curva è il grafico della funzione () = 36−2 + 7 , e quindi l’equazione della retta tangente in P(2; f(2)) è [ = (2) + ′(2)(−2). Poiché ′() = 6−2 risulta ′(2) = 10 ed essendo (2) = 15 , la retta tangente cercata ha equazione: [ = 15 + 10(−2) =‒ 5 + 10.Esercizio 2. Scrivere l’equazione della retta tangente alla curva di equazione y = e3x + 1 nel punto di ascissa = 2 . Soluzione La curva è il grafico della funzione f(x) = e3x + 1 , e quindi l’equazione della retta tangente in P(2; f(2)) è y = f(2) + f ′(2) (x − 2) . Poiché f ′(x) = 3e3x + 1 risulta f′(2) = 3e7 ed essendo f(2) = e7 , la retta tangente cercata ha equazione:
y = 3e7x − 5e7 . Esercizio 3. Scrivere l’equazione della retta tangente alla curva di equazione y = 2x + ln x nel punto di ascissa = 1 . Soluzione La curva è il grafico della funzione f(x) = 2x + ln x , e quindi l’equazione
della retta tangente in P(1; f(1)) è y −f(1) = f′(1) (x −1) . Poiché x
xf1
2)( +=′ risulta
3)1( =′f ed essendo f(1) = 2 , la retta tangente cercata ha equazione: y = 3x − 1 .
La retta tangente gioca un ruolo importante nello studio della funzione che descrive un determinato fenomeno. Ma non solo, infatti diamo un esempio numerico di utilizzo dell’equazione della retta tangente, esaminando un problema di calcolo approssimato dei valori di una funzione . Normalmente non è immediato il calcolo del valore numerico di una funzione in un punto. Ad esempio, è facile calcolare i valori numerici della
funzione x solo per particolari valori della x . Al contrario, è sempre elementare calcolare i valori numerici delle funzioni y = mx + q , che hanno per grafico una retta. L’idea è quella di “sostituire” una funzione data, con l’equazione della sua retta tangente in un punto di
ascissa x0 , con x0 vicino al punto x in cui si vuole calcolare la funzione. Dalla figura si intuisce l’errore che si commette quando nel passare da x0 a x = x0 + h anziché la funzione si considera la tangente in x0, Questo errore è rappresentato dal segmento
f(x0) + f ′(x0) (x − x0) P
T
x0 x x
f(x)
S
R
f(x0)
Matematica. Capitolo 3: elementi di calcolo differenziale ______________________________________________________________________________________
89
RT ed è tanto più piccolo quanto più x è vicino all’ascissa x0 del punto di tangenza. Cioè la quantità )()(')( 00 xxxfxf 0 −+ rappresenta una approssimazione di f(x) , tanto migliore quanto più x è vicino ad x0 ; scriveremo
() ≈ () + f()( − ) per →
( + ℎ) ≈ () + f() ∙ ℎ per ℎ → 0 (ℎ = − )
Segue che la differenza tra primo e secondo membro tende a zero quando tende a zero l’incremento dato a . Cioè, la retta tangente rappresenta una “buona” approssimazione della funzione nel punto se il punto x è sufficientemente vicino a . Il termine f() ∙ ℎ si chiama differenziale (primo) della funzione in relativo all’incremento ℎ . Il differenziale rappresenta l’incremento della [ quando nel passare da a = + ℎ anziché la funzione si considera la tangente in , in figura è rappresentato dal segmento TS. Il differenziale di una funzione () si indica con () = f() oppure () = f() .
ESERCIZI 1. Calcolare la derivata prima delle seguenti funzioni applicando le regole di derivazione
a) xxf(x) 3 ln+= b) xxf(x) ln=
c) 32x
1x3xf(x)
2
−++= d) 12xf(x) 2 −=
e) )x(xxf 2 −= ln)( f) 2xef(x) =
g) x
1xf
ln)( = h) 32 7)(2xf(x) +=
i) x3f(x) ln= l) 3x1)(2xf(x) +=
m) )(ln)( 1xxxf −= n) 1x
2xf(x)
2 +=
o) ( )( )7xllnf(x) 2 += og p) 73x2f(x) ++=
Matematica. Capitolo 3: elementi di calcolo differenziale ______________________________________________________________________________________
90
2. Siano f(x) e g(x) due funzioni da ℝ in ℝ aventi le derivate prime uguali. Questo fatto è sufficiente per affermare che f(x) è uguale a g(x)?
3. Si consideri la funzione f : ℝ → ℝ definita da f(x) = |x2 −3x + 2| ; si determini per
quali valori di x essa non è derivabile.
4. Trovare l’equazione della retta tangente alla curva grafico della funzione f(x) = x3 −2x nel punto di ascissa x = 2 . Soluzione f ’(x)=3x2 − 2 , da cui f ’(2)=12 − 2=10. Essendo f(2)=4, si ha l’espressione della retta tangente: y = f(2) + f ’(2)(x − 2) =4 + 10 (x − 2)= −16 + 10x.
5. Trovare i punti in cui la tangente alla curva di equazione x
xxf
2)(
+= ha pendenza
uguale a − 2 . Soluzione La pendenza della retta tangente è la derivata della funzione, quindi deve
essere f() = −2 . Si ha, quindi 22)2(
)('22
−=−=+−=xx
xxxf se e solo se 12 =x ,
cioè 11 −== xoppurex
6. Trovare i punti in cui la tangente alla curva di equazione 2
)(−
=x
xxf è
perpendicolare alla retta di equazione x − 2y + 4 = 0 . Soluzione I punti richiesti sono quelli in cui la tangente ha pendenza −2 e pertanto sono i punti di ascissa x tali che f() = −2 da cui
36(36)? = −2 e pertanto sono i
punti con = 3+ = 1. 7. Trovare l’equazione della retta tangente alla curva grafico della funzione
1)(
2 −=
x
xxf nel punto di ascissa x = 3 .
Soluzione
22
2
22
2
)1(
1
)1(
)2()1()('
−−−=
−−−=
x
x
x
xxxxf quindi 15625.0
64
10
)13(
13)3(' 22
2
−=−=−
−−=f , da cui
xxxffy 15625.084375.0)3(15625.08
3)3)(3(')3( −=−−=−+=
8. Trovare gli eventuali punti in cui la tangente al grafico della funzione ( ) 172 23 +−+−= xxxxf ha pendenza zero o pendenza positiva.
Soluzione Non esistono di questi punti perché la derivata della funzione è sempre negativa.
Matematica. Capitolo 4: applicazioni del calcolo differenziale ______________________________________________________________________________________
91
CAPITOLO 4
APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE Studio del grafico di una funzione reale ad una variabile reale
L’uso delle derivate consente l’individuazione di algoritmi che permettono di risolvere problemi matematici. In particolare gli algoritmi che verranno qui presentati, sono molto utili quando si vuole studiare l’andamento di una funzione e tracciarne il grafico.
4.1 FUNZIONI CRESCENTI E DECRESCENTI Per le sue importanti conseguenze riportiamo il seguente Teorema di Lagrange noto anche come teorema del valor medio : TEOREMA DI LAGRANGE . Sia f(x) una funzione continua in [a, b] e derivabile in (a, b) . Esiste almeno un punto ∈ (, ) per cui
() =() − ()
−
Da un punto di vista geometrico, il Teorema di Lagrange afferma che, per una funzione f(x) continua in [a, b] e derivabile in (a, b) , esiste un punto ∈ (a, b) in cui la retta tangente è parallela alla corda di estremi i punti (a, f(a)) e (b, f(b)) . Si ricordi che il coefficiente angolare della retta tangente in è () , mentre il
coefficiente angolare della corda è () ()
.
Una importante conseguenza del Teorema di Lagrange è il seguente criterio di monotonia. Esso stabilisce il legame fra il segno della derivata prima di una funzione e la crescenza o decrescenza della funzione.
x
y
a b
Matematica. Capitolo 4: applicazioni del calcolo differenziale ______________________________________________________________________________________
92
Criterio di monotonia
Sia f(x) una funzione derivabile in (a, b).
f(x) è crescente in [a, b]
⟺ f ′(x) ≥ 0 per ogni x ∈ (a, b)
f(x) è decrescente in [a, b]
⟺ f ′(x) ≤ 0 per ogni x ∈ (a, b)
f(x) è costante in (a, b) ⟺ f ′(x) = 0 per ogni x ∈ (a, b)
Quale esempio, dimostriamo la prima e la terza affermazione.
Dimostrazione prima affermazione
(a) condizione necessaria: (è ⇒ () ≥ 0) Se è crescente, per ogni , ∈ (, ) (sia nel caso < che nel caso < ) si ha () − () − ≥ 0
allora per il Teorema della permanenza del segno, 0)()(
lim0
0
0
≥−−
→ xx
xfxf
xx ⟹ () ≥ 0.
(b) condizione sufficiente : ( () ≥ 0 ⇒ è) Sia () ≥ 0 per ogni ∈ (, ). Comunque presi < ! ∈ (, ), per il Teorema di Lagrange esiste almeno ∈ ( , !) tale che () = (!) − ( )! − ≥ 0
e poiché ! − > 0 , si ha (!) − ( ) ≥ 0 da cui ( ) ≤ (!) e pertanto la funzione è crescente. ∎.
Dimostrazione terza affermazione
(a) Condizione necessaria : (è% ⇒ () = 0) Sia () = &. Allora, per ogni ),( bax∈ si ha
() = lim*→ ( + ℎ) − ()ℎ = lim*→ & − &ℎ = lim*→0 = 0
(b) Condizione sufficiente : ( () = 0 ⇒ è%)
Sia () = 0 nell’intervallo (a, b). Comunque presi , ! ∈ (, ), < !, per il Teorema di Lagrange esiste almeno ∈ ( , !) tale che () = (!) − ( )! −
e poiché per ipotesi () = 0,si ha (!) − ( ) = 0, ( ) = (!) e pertanto la funzione è costante. ∎
Matematica. Capitolo 4: applicazioni del calcolo differenziale ______________________________________________________________________________________
93
NOTA
Si presti attenzione al fatto che si parla di derivata nulla non in un punto ma in tutto un intervallo (a, b) . Solo in tal caso la funzione è costante in tutto (a, b) .
Una funzione strettamente monotona su un intervallo [a, b] e derivabile in (a, b) , può anche avere derivata nulla in qualche punto di (a, b) ma non su tutto un intervallo contenuto in (a, b) . Ad esempio la funzione f(x) = x3 è strettamente crescente su tutto ℝ e ha derivata nulla in x = 0
Una funzione strettamente monotona su un intervallo [a, b] e derivabile in (a, b) , può anche avere derivata nulla in qualche punto di (a, b) ma non su tutto un intervallo contenuto in (a, b) . Ad esempio la funzione f(x) = x3 è strettamente crescente su tutto ℝ e ha derivata nulla in x = 0 . Esempi. 1. La funzione f(x) = ex è strettamente crescente su tutto ℝ perché la sua derivata
f ′(x) = ex è positiva per ogni x ∈ ℝ . 2. La funzione f(x) = ln x è strettamente crescente su tutto il dominio ℝ + perché la sua
derivata f ′(x) = 1/x è positiva per ogni x ∈ ℝ + . 3. La funzione f(x) = x2 ha derivata f ′(x) = 2x che risulta positiva per ogni x > 0 e
negativa per x < 0 . La funzione è allora strettamente crescente per x > 0 e strettamente decrescente per x < 0 .
4. La funzione f(x) = x3 − 3x + 2 ha derivata f′(x) = 3x2 − 3 e risulta f ′(x) ≥ 0 per ogni
x ≤ −1 e x ≥ 1 e f′(x) ≤ 0 per −1 ≤ x ≤ 1 . La funzione considerata è pertanto crescente per x ≤ −1 e x ≥ 1 e decrescente per − 1 ≤ x ≤ 1 .
Esercizi .
Studiare la monotonia delle seguenti funzioni sul proprio campo di esistenza.
1. 23)( −= xxf Soluzione Dom f = ℝ e risulta () = 3 > 0∀ ∈ ℝ . Quindi la funzione è
strettamente crescente in tutto il suo campo di esistenza. 2. xxf
x += ln3)(
Soluzione Dom f = R+ e risulta () = 312 3 (ln 3) 3 + 1 > 0∀ ∈ ℝ6 . Quindi
la funzione è strettamente crescente in tutto il suo campo di esistenza.
Matematica. Capitolo 4: applicazioni del calcolo differenziale ______________________________________________________________________________________
94
3. 1
1)(
−=
xxf
Soluzione Dom f = ),1()1,( ∞+∪−∞ ; fDomxx
xf ∈∀<−
−= 0)1(
1)('
2.
Quindi la funzione è strettamente decrescente in ognuno dei due intervalli )1,(−∞ e ),1( ∞+ . Attenzione che solo con questa specifica la risposta è corretta
perché se consideriamo ),1()1,( 21 ∞+∈∞−∈ xx e , si ha
)()(1
1
1
1101 21
21
2121 xfxfxx
xxxx <⇒−
<−
⇒−<<−⇒<
Quindi non è corretto dire che la funzione è decrescente in tutto il dominio, ma si deve dire che è decrescente separatamente nei suoi intervalli di esistenza.
4. Si studi la monotonia della seguente funzione 12
)(2 +−=
x
xxf
Soluzione 22
2
22
22
22
2
)1(
14
)1(
)42()1(
)1(
2)2()1()('
+++−=
+−−+=
+−−+=
x
xx
x
xxx
x
xxxxf
Si ha 0)(' ≥xf se e solo se 0142 ≥++− xx da cui
52520)(' +≤≤−⇐⇒≥ xxf .
Pertanto, la funzione è crescente in )52,52( +− e decrescente in
),52()52,( ∞++−−∞ ine .
5. Si studi la monotonia della seguente funzione () = ln(! − 2)
Soluzione Per l’esistenza deve essere 022 >− xx , allora Dom f= ),2()0,( ∞+∪−∞
0222
)('2
≥−−=
xx
xxf se e solo se numeratore e denominatore hanno lo stesso segno.
Pertanto, la funzione è crescente in (2, +∞) e decrescente in (−∞, 0).
6. Determinare i valori di & ∈ ℝ per i quali la famiglia di funzioni 13)( 2 +−= xkxxf è
strettamente decrescente nel punto di ascissa x=3.
Soluzione 2/10)3('36)3(',32)(' <<⇒−=−= kperfkfkxxf .
Pertanto la funzione è strettamente decrescente per & < ! .
7. Determinare i valori di & ∈ ℝ per i quali la famiglia di funzioni 1
2)(
2
3
++=
x
kxxxf è
strettamente crescente nel punto di ascissa x=0. Soluzione
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95
.00)0(')0(',)1(
2)2()6)(1()('
22
322
>>⇒=+
+−++= kperfkfx
xkxxkxxxf
Pertanto la funzione è strettamente crescente per & > 0.
4.2 MASSIMI e MINIMI DEFINIZIONE. Sia : 9 → ℝ , 9 ⊆ ℝ , e sia ∈ 9 . Si dice che in la ha
• massimo assoluto se () ≤ () Ax∈∀
• minimo assoluto se () ≥ () Ax∈∀
Il massimo M (minimo m) assoluto di una funzione : 9 → ℝ è dunque il massimo (minimo) dell’insieme (9).
In simboli: :;(9), : ≥ <%=>;(9) e ?;(9),? ≤ <%=>;(9). DEFINIZIONE. Sia : 9 → ℝ , 9 ⊆ ℝ , e sia ∈ 9 . Si dice che in la ha un
• massimo relativo se esiste tale che () ≤ () ∀ ∈ @(, ) ∩ 9
• minimo relativo se esiste tale che () ≥ () ∀ ∈ @(, ) ∩ 9
Ossia se esiste un intorno di tale che, per ogni appartenente all’intorno e al dominio della funzione, si abbia () ≤ () (massimo relativo) oppure () ≥ () (minimo relativo). NOTA - Con la locuzione “ >B<C%èC?>?%(?>>?%)" si intende che il massimo (minimo) si ha nel punto (, ()) di cui è l’ascissa e () è il valore del massimo (minimo) Nel caso che il dominio della funzione non sia un aperto ma sia un intervallo che include almeno un estremo, nella ricerca dei massimi e minimi relativi si considera anche questo estremo. I massimi e minimi relativi di una funzione sono detti anche estremanti della funzione o punti di estremo relativo (o locale). I massimi e i minimi assoluti di una funzione sono detti anche gli estremi della funzione.
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Secondo le definizioni date, un punto di massimo (rispettivamente minimo) assoluto è anche un punto di massimo (rispettivamente minimo) relativo. In generale non vale il viceversa, ossia il valore assunto dalla funzione f : A →ℝ , A ⊆ ℝ , in un punto di massimo o di minimo relativo, non è necessariamente il più grande o il più piccolo valore fra quelli che essa assume in tutto A , ma è soltanto il più grande o il più piccolo valore fra quelli che la funzione assume in un intorno di . Ne segue che la funzione può avere più di un massimo o più di un minimo relativi, come può anche accadere che un massimo relativo sia più piccolo di un minimo relativo. Esempio.
Sia f : [0, 6] → ℝ la funzione così definita :
≤<≤<≤≤
=6x2se5.0
2x1se1
1x0sex
f(x)
2
x
per x = 0 si ha un punto di minimo relativo in cui la funzione assume il valore f(0) = 0 per x = 1 si ha un punto di massimo relativo in cui la funzione assume il valore f(1) = 1 per x = 2 si ha un punto di minimo relativo in cui la funzione assume il valore f(2) = 1 per x = 6 si ha un punto di massimo relativo in cui la funzione assume il valore f(6) = 3 per x = 0 si ha anche un punto di minimo assoluto (il punto P(0; 0)) per x = 6 si ha un punto di massimo assoluto (il punto Q(6; 3)) tutti i punti dell’intervallo [1, 2) sono punti di massimo relativo tutti i punti dell’intervallo (1, 2] sono punti di minimo relativo.
A conclusione del paragrafo, riportiamo, limitandoci all’enunciato, due importanti teorema.
1 2 3 4 5 6 x
f(x)
1
3
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TEOREMA di Weierstrass
Sia f(x) una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b] . Allora la funzione
in tale intervallo ammette il minimo e il massimo assoluti, ossia
esistono x1 , x2 ∈ [a, b] tali che per ogni x ∈ [a, b] risulta f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2) .
TEOREMA di Darboux dei valori intermedi
Sia f(x) una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b] . Allora la funzione
assume, almeno una volta, tutti i valori compresi tra il massimo e il minimo.
4.3 MASSIMI E MINIMI RELATIVI Ora ci occuperemo della ricerca dei punti di massimo e minimo relativi di una funzione definita in un intervallo [a, b] e derivabile in (, ). Le considerazioni che verranno esposte sono valide per i punti di massimo e minimo relativo che cadono internamente all’intervallo [a, b] (ossia ∈ (a, b)). Se è un punto di massimo o minimo relativo in cui, come ipotizzato, la funzione è derivabile, la situazione che si presenta geometricamente è rispettivamente rappresentata dalle figure sotto riportate Come si vede, la tangente al grafico in è parallela all’asse delle x , ossia è una retta con pendenza nulla, ossia f′() = 0 . Questa proprietà è espressa dal seguente teorema. TEOREMA DI FERMAT. Sia (x) una funzione definita in un insieme A e sia un punto
di massimo o di minimo relativo interno ad A . Se è derivabile in , risulta () = 0
x0 x0
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Dimostrazione Sia un punto di minimo relativo interno (dimostrazione analoga se punto di massimo relativo interno). Allora, esiste un intorno @(, ) tutto contenuto in 9 e tale che )()( 0xfxf ≥ per ogni ∈ @(, ). Pertanto per ogni ∈ @(, ), a seconda che sia > oppure < si ha rispettivamente
0)()(
0
0 ≥−−
xx
xfxf ⟹ 0
)()(lim
0
0
0
≥−−
+→ xx
xfxf
xx.
0)()(
0
0 ≤−−
xx
xfxf ⟹ 0
)()(lim
0
0
0
≤−−
−→ xx
xfxf
xx.
Poiché f è derivabile in , i due limiti devono coincidere, e quindi deve essere 0)(' 0 =xf .
∎ NOTA - Il teorema precedente fornisce solo una condizione necessaria per avere punti di massimo o minimo relativo. La condizione non è sufficiente , vale a dire: in un punto può essere nulla la derivata senza che in quel punto la funzione abbia un massimo o un minimo relativo. Ad esempio la funzione f(x) = x3 ha derivata nulla nel punto x = 0, ma in tale punto non si ha né un massimo né un minimo relativo. Punto critico è un punto x in cui f′(x) = 0 oppure la derivata non esiste. Punto stazionario è un punto x0 in cui f′(x) = 0. NOTA - Un punto critico non stazionario (ossia un punto in cui la derivata non esiste) può essere massimo o minimo relativo anche se per esso non si può applicare il Teorema di Fermat.
0 x
y
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Esempi. 1. La funzione f(x) = |x| ha un punto di minimo relativo in x = 0 pur non essendo
derivabile in questo punto (fig.1).
2. La funzione ||)( xx =f ha un punto di minimo relativo in x = 0 pur non essendo derivabile in questo punto (fig.2).
3. La funzione 3)( xf =x è tale che nel punto x = 0 ha derivata nulla (e quindi x = 0 è
un punto critico, anzi stazionario), ma in esso la funzione non ha né massimo né minimo relativo (fig.3).
4.4 RICERCA DEI MASSIMI E MINIMI RELATIVI E ASSOLUT I
Ricerca dei massimi e minimi relativi mediante lo s tudio della derivata prima.
Sia f(x) una funzione derivabile in (a, b) e sia x ∈ (a, b) tale che f′(x) = 0 . Se risulta
1.
>><<
′0
0
0
0
xxper
xxper(x)f allora x è un punto di minimo relativo .
2.
><<>
′0
0
0
0
xxper
xxper(x)f allora x è un punto di massimo relativo .
3. (x)f ′ mantiene lo stesso segno sia prima che dopo x , allora il punto x
non è né un massimo né un minimo relativo.
0
f(x)
x fig. 1
x 0
f(x)
fig. 2 fig. 3 0
f(x)
x
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100
GRAFICAMENTE. Supposto f′(x) = 0 , si hanno i casi rappresentati in figura
Esercizio. Determinare gli eventuali punti di minimo e di massimo relativi della funzione
f(x) = 4x3 − 18x2 + 24x − 21 .
Soluzione La funzione è ovunque derivabile ed ha derivata f′(x) = 12x2 − 36x +24=0 . La derivata si annulla per x= 1 e x = 2 e pertanto questi punti possono essere dei massimi e minimi. Dal segno della derivata prima si trae che la funzione è strettamente crescente per x < 1 e x > 2 , mentre è strettamente decrescente per 1 < x < 2 . Si conclude che x = 1 è punto di massimo relativo, x = 2 è punto di minimo relativo.
Nel punto di massimo relativo x = 1 la funzione vale f(1) = −11 ; nel punto di minimo relativo x = 2 la funzione vale f(2) = −13 . Ricerca dei massimi e minimi relativi mediante lo s tudio delle derivate successive. Sia () una funzione derivabile volte (n ≥ 2) nell’intervallo (, ) e sia ∈(, ) . Se risulta
x
f′(x)>0 f′(x)<0
x massimo relativo.
x
f′(x)>0 f′(x)<0
x minimo relativo.
x né massimo né minimo.
x
f′(x)>0 f′(x)>0
x
f′(x)<0 f′(x)<0
x né massimo né minimo.
1
f′(x)>0 f′(x)<0
2
f′(x)>0
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1. F ′() = 0′() < 0 allora è un punto di massimo relativo.
2. F ′() = 0′() > 0 allora è un punto di minimo relativo.
3. H ′() = 0′() = 0′′() ≠ 0 allora non è né di massimo né di minimo (è un flesso)
Il metodo ora esposto si può generalizzare. In questa trattazione, per semplicità, ci si è limitati ad esporre il caso che coinvolge al più la derivata terza. Esercizio. Determinare gli eventuali punti di massimo e minimo relativi della funzione
f(x) = 2x3 − 3 x2 −12 x − 8 .
Soluzione. La funzione è ovunque derivabile più volte.
a) Cerchiamo gli eventuali punti stazionari: f ′(x) = 6 x2 − 6 x − 12 , f ′(x) = 0 per
x = − 1 e x = 2 che risultano pertanto punti stazionari. b) Calcoliamo la derivata seconda nei punti stazionari trovati: f ′(x) = 12 x − 6 ,
f ′′(−1) = − 18 < 0 e quindi x = − 1 è punto di massimo relativo; f ′ ′(2) = 18 > 0 e quindi x = 2 è punto di minimo relativo.
Ricerca dei massimi e minimi relativi in punti in c ui la funzione è continua ma non derivabile. Si è già osservato che una funzione può avere dei massimi o dei minimi relativi in punti in cui non è derivabile, si pensi ad esempio alla funzione f(x) = |x| che in x = 0 ha un minimo pur non essendo derivabile in questo punto. Per la ricerca di questi eventuali punti di massimo e minimo non si possono quindi applicare i due metodi precedenti, ma se la funzione è continua nell’intervallo in cui si fa la ricerca, studiando il segno della derivata prima, ossia la crescenza e la decrescenza della funzione, si può stabilire se un punto è di massimo o di minimo relativo. Precisamente: Sia f(x) continua [a, b] e sia x0 ∈ (a, b) un punto in cui la funzione non è derivabile. Se risulta:
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1.
>>′<<′
0
0
0
0
xxper(x)f
xxper(x)f allora è un punto di minimo relativo.
2.
><′<>′
0
0
0
0
xxper(x)f
xxper(x)f allora è un punto di massimo relativo.
Di norma massimi e minimi di questo tipo si trovano nello studio delle funzioni nella cui espressione analitica figurano dei valori assoluti oppure delle radici di indice pari. Esempio. La funzione () = | − 2| presenta un minimo nel punto = 2 dove la funzione esiste ma non è derivabile perché è un punto angoloso.
() = K − 2 ≥ 22 − ≤ 2 , () = K1 > 2−1 < 2
Per ≠ 2 la derivata assicura che per > 2 la funzione cresce mentre per < 2 decresce. Dunque il punto = 2 è un punto di minimo e il minimo vale (2) = 0. Esempio. La funzione () = L| − 1| ha un minimo nel punto = 1 dove esiste ma non è derivabile.
Ricerca dei massimi e dei minimi assoluti.
Ricordando il Teorema di Weierstrass, il massimo e il minimo assoluto di una funzione () continua in un intervallo M, N, è assunto in:
(i) punti interni stazionari (ii) punti interni di non derivabilità (iii) estremi dell’intervallo.
Per determinare il massimo e minimo assoluti, occorre pertanto trovare tutti i massimi e minimi relativi. Il valore più grande assunto dalla funzione in questi punti sarà il massimo assoluto della funzione, il valore più piccolo sarà il minimo assoluto della funzione. Esercizio . Determinare il valore del massimo assoluto e il valore del minimo assoluto della
funzione xxexf 22
)( −= nell’intervallo [0, 4] .
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103
Soluzione Poiché la funzione è derivabile in tutto l’intervallo (0, 4) , per cercare i massimi e minimi relativi si può usare il metodo basato sullo studio della derivata
prima; xxexxf 22
)22()( −−= ′ e quindi f′(x) = 0 per x = 1 ossia x = 1 è un punto stazionario; inoltre f′(x) > 0 per x > 1 e f′(x) < 0 per x < 1 e pertanto x = 1 è punto di minimo relativo. Non ci sono altri punti di minimo o di massimo relativi interni. Confrontiamo ora i valori f(1) = e−1 , f(0) = e0 = 1 , f(4) = e8 . Poiché il valore più grande fra questi è f(4) , il massimo assoluto della funzione è per x = 4 e vale e8 ; il minimo assoluto della funzione è per x = 1 e vale e−1 . OSSERVAZIONE. Se la funzione f(x) è continua in un intervallo non chiuso o illimitato, oppure se è discontinua in un intervallo, il teorema di Weierstrass non si può applicare per quella funzione in quell’intervallo e f(x) può essere oppure non essere dotata di massimo e di minimo assoluti. In questi casi la ricerca degli eventuali massimo e minimo assoluti va fatta con considerazioni di varia natura a seconda del tipo di funzione che si sta studiando.
Esercizio.
Trovare massimi e minimi per la funzione ∶ P ! ; 2R → ℝ,() = ST3
Soluzione Cerchiamo i punti stazionari: () = 3STST3U = ST(3 )3U () = 0 ⟺ = 1; () > 0< > 1; () < 0< < 1. Allora = 1 è punto di minimo relativo e il minimo è (1) = .
Negli estremi del dominio la funzione vale ( !) = 2√ e (2) = SU! .
Poiché SU! > 2√ > , si ha che = 1 è un punto di minimo assoluto e = 2 è un
punto di massimo assoluto.
Esercizio. Rappresentare graficamente la seguente funzione ed individuare i punti di massimo e minimo:
() =WXY−12 ! + 2, ∈ M1, 3)3, = 3LZ, ∈ (3, 4N
Soluzione Dom f = [1, 4]. La funzione non è derivabile agli estremi (in 1 esiste solo derivata destra, in 4 solo derivata sinistra) e non è derivabile in = 3 perché non è ivi continua.
() = \− + 2, ∈ (1, 3)Z!√, ∈ (3, 4) , 0 20)(' ==⇔= xxxf .
Il punto = 0 non è accettabile perché )4,3(0∉ . La funzione è strettamente crescente in (3, 4) perché f’(x) > 0 in (3,4). Il punto x=2 è di massimo relativo perché in
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un intorno sinistro di x=2 la derivata è positiva, mentre in un intorno destro la derivata è negativa. Il massimo relativo è f(2)=2. Inoltre f(1)=0.5, f(3)=3, f(4)=8, allora il massimo assoluto è 8 ed il minimo assoluto è 0.5.
4.5 FUNZIONI CONVESSE E CONCAVE. PUNTI DI FLESSO Formalizziamo una nozione già incontrata quando si è studiata la parabola. E’ la nozione di funzione convessa (o concava verso l’alto) e di funzione concava (o concava verso il basso) in un intervallo [a, b] . Questa nozione è molto utile per studiare il comportamento di una funzione. Iniziamo con il definire i concetti di funzione convessa e di funzione concava in un intervallo.
f(x)
0.5
1 2 3 4
2
3
1.5
4
5.19
6
7
8
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105
DEFINIZIONE. Si dice che una funzione () è in [a, b]
• convessa se () ≤ ( ) + (3U) (3])3U3] ( − ) per ogni , ! ∈ [a, b]
• concava se () ≥ ( ) + (3U) (3])3U3] ( − ) per ogni , !∈ [a, b]
DEFINIZIONE. Si dice che una funzione () è in [a, b]
• convessa se per ogni ∈ [a, b] il grafico della funzione è al di sopra della
retta tangente nel punto ( , f())
• concava se per ogni ∈ [a, b] il grafico della funzione è al di sotto della
retta tangente nel punto ( , f())
DEFINIZIONE. Sia f(x) una funzione derivabile in (a, b). Si dice che f(x) è in [a, b]
• convessa se e solo se f(x) ≥ f() + f′() (x −) per ogni x , ∈ (a, b) ;
• concava se e solo se f(x) ≤ f() + f′() (x −) per ogni x , ∈ (a, b) .
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Esempi • La funzione f(x) = x2 è strettamente convessa in ℝ. • La funzione f(x) = −x2 è strettamente concava in ℝ. • La funzione f(x) = x3 è strettamente convessa in (0, +∞), è strettamente concava in
(−∞, 0), mentre non è né concava né convessa in ℝ. • La funzione f(x) = 1/x è strettamente convessa in ℝ + , è strettamente concava in ℝ −. • La funzione f(x) = x è sia convessa che concava in tutto ℝ. Questa “particolare”
proprietà vale in generale per tutte le funzioni lineari (affini). OSSERVAZIONE - Se f(x) è convessa in [a, b], al crescere di x “cresce la pendenza della retta tangente” nel punto di ascissa x e quindi, supposta la funzione derivabile, la “derivata della pendenza deve essere positiva”, ossia deve essere f′′(x) ≥ 0 poiché la pendenza è data da f′(x). Analogamente per le funzioni concave. L’osservazione precedente giustifica il seguente criterio di convessità e concavità.
Sia una funzione derivabile in (a, b) . Allora in (a, b) si ha che convessa
⟺ crescente ⟺ () ≥ 0∀ ∈ (, )
concava
⟺ decrescente ⟺ () ≤ 0∀ ∈ (, )
ATTENZIONE. Se f(x) è definita in [a, b] e in (a, b) è derivabile almeno due volte, allora il criterio afferma che sono equivalenti le seguenti condizioni a), b), c) e, analogamente, sono equivalenti le seguenti condizioni d), e), f):
x
f(x)
a b
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107
a) f(x) è convessa in (a, b) ; b) f′(x) è crescente in (a, b) ; c) f′′(x) ≥ 0 per ogni x ∈ (a, b) .
d) f(x) ) è concava in (a, b) ; e) f ′(x) è decrescente in (a, b) ; f) f ′′(x) ≤ 0 per ogni x ∈ (a, b) .
ATTENZIONE che i punti b) ed e) non significano necessariamente f ′(x) ≥ 0 e f′ (x) ≤ 0 rispettivamente, ma solo che f ′(x) è crescente e f′(x) è decrescente, rispettivamente. DEFINIZIONE. Sia f(x) una funzione definita in [a, b] e sia ∈ (a, b) . Si dice che la
funzione ha in un punto di flesso se è convessa per x < e concava per x > , o
viceversa.
Per cercare i punti di flesso di una funzione due volte derivabile, si studia il segno di f′′(x) (studiando la disequazione f′′(x) > 0) al fine di verificare se ci sono punti in corrispondenza dei quali il segno cambia (ossia cambia la concavità). Se la concavità cambia allora è un punto di flesso. NOTA - E’ possibile che in un punto di flesso la funzione non sia derivabile. Ad esempio, () = |! − 4| ha un punto di flesso sia in = −2 sia in = 2, ma in questi punti la funzione non è derivabile.
Natura di un punto di flesso ^_ Orizzontale () = 0
Verticale in tangente con pendenza ±∞
Obliquo () ≠ 0
OSSERVAZIONE. Sappiamo che () = 0 è solo condizione necessaria perché in vi sia un massimo o un minimo. Infatti se () = 0 e non è né massimo né minimo, allora è un flesso perché significa che si verifica una delle due situazioni rappresentate nelle seguenti figure :
p.to flesso orizzontale crescente
f′(x)>0 f′(x)>0
f′(x)<0 f′(x)<0
p.to flesso orizzontale decrescente
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108
ESERCIZI SVOLTI Esercizio.
Considerata la funzione () = B(! − 5 + 4), determinare il campo di esistenza, massimi e minimi, intervalli di crescenza e decrescenza, concavità e convessità, flessi, eventuali asintoti. Soluzione
Campo di esistenza: Deve essere ! − 5 + 4 > 0 ⟹ poiché ! − 5 + 4 = 0 per = 1 = 4, si ha c%? = (−∞, 1) ∪(4, +∞). Massimi e minimi: Cerchiamo eventuali punti stazionari ponendo () = !efeUfe6g = 0.
Risulta () = 0 per = f! ma questo valore non appartiene al dominio e pertanto, non
essendoci dei punti stazionari, non possono esserci massimi o minimi interni.
Crescenza e decrescenza: () = !efeUfe6g > 0 per > f!. Pertanto, la funzione è
strettamente crescente nell’intervallo (4, +∞) e strettamente decrescente nell’intervallo (−∞, 1). Concavità, convessità, flessi: Occorre studiare il segno di ().
() = 2(! − 5 + 4) − (2 − 5)!(! − 5 + 4)! = −2! + 10 − 17(! − 5 + 4)!
() = 0< = −10 ± √100 − 1364 ∉ ℝ Pertanto, poiché il polinomio (−2! + 10 − 17) è graficamente rappresentato da una
parabola concava senza intersezioni con l’asse delle ascisse, si ha () < 0∀, ossia
la funzione in )1,(−∞ e in ),4( ∞+ è strettamente concava.
Asintoti verticali: lim3→ k ln(! − 5 + 4) = ln lim3→ k(! − 5 + 4) = ln 06 = −∞⟹ = 1è>%%l>B lim3→gm ln(! − 5 + 4) = ln lim3→gm(! − 5 + 4) = ln 06 = −∞⟹ = 4è>%%l>B Asintoti orizzontali: Nessuno perché lim3→±n ln(! − 5 + 4) = ln lim3→±n(! − 5 + 4) = ln lim3→±n! o1 − 5 + 4!p = +∞
Esercizio.
Determinare gli intervalli di concavità e convessità nonché i flessi della seguente funzione: () = (! + 1)3
Soluzione Dom f = ℝ .
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109
Occorre studiare il segno della derivata seconda: () = 2 ∙ 3 + (! + 1)3 = 3(2 + ! + 1) () = 3(2 + ! + 1) + 3(2 + 2) = 3(! + 4 + 3) La funzione è strettamente convessa se e solo se () > 0, cioè se e solo se ! + 4 +3 > 0. Le radici del polinomio sono = −1 = −3 e il polinomio è positivo per valori
esterni alle radici, quindi () > 0 se e solo se < −3oppure > −1 .
La funzione è strettamente convessa in (−∞,−3) e in (−1,+∞) e strettamente concava
in (−3,−1). I punti x = −1 e x = −3 sono punti di flesso.
Esercizio
Determinare l’intervallo in cui è decrescente la funzione () = B(2g + ! + 7). Soluzione La funzione è decrescente dove risulta () ≤ 0. Poiché () = w3x6!3!3y63U6z deve essere
w3x6!3!3y63U6z ≤ 0 e quindi la funzione è decrescente in (−∞, 0) . Esercizio
Determinare i valori del parametro k ∈ ℝ per i quali la funzione () = ! − 2& + 5 è
strettamente crescente nel punto di ascissa = 4. Soluzione Deve essere (4) > 0 e poiché () = 2 − 2& e (4) = 8 − 2& si
deve porre 8 − 2& > 0 da cui & < 4 .
Esercizio
Dire per quale valore di x la funzione () = 1 + 3x ha un massimo nell’intervallo
M0,01; 50N . Soluzione Occorre studiare la derivata prima () = − Z3y ; essa è sempre negativa e
quindi la funzione è sempre strettamente decrescente. Da ciò segue che nell’intervallo
chiuso M0,01; 50N la funzione avrà massimo in = 0,01 e tale massimo vale (0,01) =1000001.
Esercizio
Determinare i punti di flesso e l’equazione della relativa retta tangente, della funzione () = Z − 2 + 1
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110
Soluzione Studiamo la derivata seconda () = 6. Risulta () = 0 per = 0; () < 0 per < 0; () > 0 per > 0. In = 0 si ha quindi un punto di flesso.
L’equazione della retta tangente in ha equazione | − () = () ∙ ( − ) e
pertanto in = 0, essendo (0) = 1, (0) = −2, l’equazione della retta tangente è | − 1 = −2( − 0), | = −2 + 1
ESERCIZI da SVOLGERE
1. Si consideri la funzione f : ℝ∗ → ℝ definita da x
xf1
3)( += . Dal segno della
derivata che cosa si può dedurre relativamente all’andamento della funzione?
2. Trovare per quali valori di x le seguenti funzioni sono crescenti o decrescenti:
a) 12
)(2 +−=
x
xxf b) 3)( += xxf
c) )2(ln)( 2xxxf −= d) 12
)( += xexf
3. Determinare i valori del parametro k ∈ ℝ per i quali la funzione f : ℝ → ℝ definita
da f(x) = kx2 −3x + 1 è decrescente nel punto di ascissa x = 3 . 4. Determinare i valori del parametro k ∈ ℝ per i quali la funzione f : ℝ → ℝ definita
da 1
2)(
2
3
++=
xkxx
xf è crescente nel punto di ascissa x = 0 .
5. Determinare le ascisse dei punti di massimo relativo, di minimo relativo e di flesso delle seguenti funzioni considerate nel rispettivo dominio:
a) 42)( 23 −+−= xxxxf b) 410827103)( 234 ++−−= xxxxxf
c) 2
2
1
21)(
xxx
xf+
−+= d) 56
4)(
2 +++=xx
xxf
e) 24)( xxxf −= f) 3
)(2
−−=
x
xxxf
g) xxexf
−=2
)( h) x
xxf
ln)( =
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111
6. Determinare l’ascissa del massimo assoluto e del minimo assoluto delle seguenti funzioni relativamente all’intervallo scritto a lato :
a) 32)( 2 −−= xxxf [−2, 3] b) 2
2)(
2 −−+=xx
xxf [−5, −3]
c) xxexf
22
)( −= [0, 4] d) x
exf
x
=)( [1, 2]
7. Delle seguenti funzioni studiare la concavità, la convessità e determinare gli eventuali
punti di flesso:
a) xexxf )1()( 2 −= b) xxxf ln)( 2=
c) 22ln)( xxxf += d) 112
)(2
−+=
x
xxf
8. Determinare i punti di flesso delle seguenti funzioni e l’equazione della tangente in
ciascuno di essi: a) 12)( 3 +−= xxxf b) x
exxf22)( −=
9. Delle seguenti funzioni studiare dominio, crescenza, decrescenza, massimi e minimi
relativi, concavità, convessità, asintoti e tracciare il grafico qualitativo:
1. 23 23 xxy −= .
2. 23 24 xxy += .
3. xxy 33 += .
4. ( ) ( ) ( )xxxy −−+= 3321 .
5. x
y−
−=1
13 .
6. 1234
+−=
x
xy .
7. 32
1−
−=x
xy .
8. 312
−−=
x
xy .
9. 112
−+=
x
xy .
10. 142
+−=
x
xy .
11. 3
4 4x
xy
−= .
12. 1
42
−−−=
x
xxy .
13. 4545
2
2
+++−=
xx
xxy .
14. 3+= xy .
15. 24 xy −= .
16. 1
1
+−=
x
xy .
17. x
xy
+−=
1
1.
18. xey −= 1 .
19. 1−
=x
x
e
ey .
20. ( )45log 2 +−= xxy .
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130
CAPITOLO 6
ELEMENTI DI TEORIA DELL’INTEGRAZIONE DI FUNZIONI RE ALI
La teoria dell’integrazione permette di risolvere: a) Problemi di misura: calcolo di aree, volumi, ecc.. b) Il problema inverso delle tangenti: data la funzione f(x) trovare una
funzione F(x) la cui derivata sia f(x). Fra le due tipologie di problemi c’è uno stretto legame messo in evidenza dalla Formula fondamentale del Calcolo integrale. Inizieremo con i problemi di tipo b) anche se storicamente la teoria della integrazione si fa risalire a Eudosso da Cnido, IV sec. a.C., per risolvere problemi di tipo a).
6.1 L’INTEGRALE INDEFINITO Nel capitolo 3 è stato affrontato il problema di determinare la derivata di una funzione f(x). Con il calcolo differenziale si è risolto, per esempio, il problema delle tangenti, infatti si è visto che la retta tangente al grafico di una funzione f in un punto di ascissa x ha la pendenza uguale alla derivata )(' xf di f in x. Con l’integrale indefinito si affronta il problema inverso della derivazione: si tratta di determinare una funzione della quale sia nota la derivata. Ciò risolve anche il cosiddetto problema inverso delle tangenti che consiste nel costruire il grafico di una funzione definita in un intervallo [a,b] conoscendo soltanto la pendenza delle rette tangenti in tutti i punti del grafico stesso. In modo formale il problema si pone nei seguenti termini: data una funzione f(x) definita in un intervallo I , determinare una funzione F(x) derivabile in I tale che )()(' xfxF = in ogni x di I . Si è detto una e non la funzione F(x) perché se F(x) è tale che )()(' xfxF = allora, qualunque sia il numero c , anche la funzione G(x) = F(x) + c è tale che la sua derivata è f(x) perché ).()(')(')(' xfxF0xFxG ==+= DEFINIZIONE. Sia f(x) una funzione reale di variabile reale definita su I . Si chiama
primitiva di f(x) una qualsiasi funzione F(x) tale che )()(' xfxF = in ogni punto di I.
Data una funzione f(x) si può sempre trovare una sua primitiva?
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131
La risposta è no, ma, come già notato, se ne esiste una ne esistono infinite ottenute una dall’altra sommando una costante. Inoltre questo (sommare una costante) è il solo modo per ottenere primitive diverse, ossia se F1(x) e F2(x) sono entrambe primitive della stessa f(x) su un intervallo I si ha
F2(x) = F1(x) + c dove c è un numero. Infatti la funzione F2(x) − F1(x) ha derivata
0xfxf(x) F(x)F 12 =−= − )()('' e quindi, avendo derivata nulla, è una funzione costante. Anche se in generale non è vero che ogni funzione ha una primitiva, esistono delle condizioni sufficienti che assicurano l’esistenza della primitiva per ogni funzione appartenente a particolari classi. Ad esempio vale il seguente teorema. TEOREMA Se f(x) è una funzione continua in [a,b ] allora esiste una funzione F(x) tale che
)()(' xfxF = per ogni x ∈ (a,b ).
DEFINIZIONE. L’insieme delle infinite primitive di f(x) è detto integrale indefinito
di f(x) rispetto alla variabile x , si indica con
∫ dxxf )(
e si legge «integrale indefinito di f(x) in di x».
Per quanto osservato sopra si può scrivere:
cxFdxxf +=∫ )()( con )()(' xfxF = e c ∈ R .
Esempi. 1. cxdx(2x) 2 +=∫ , c ∈ R ;
infatti .2xc)(xD 2 =+
2. cxdxx +=∫ sincos , c ∈ R ;
infatti .xc)x(D cossin =+
3. c7ln
7dx7
xx +=∫ , c ∈ R ;
infatti .xx
7c7ln
7D =
+
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132
E’ importante ricordare che il simbolo ∫ di integrale non dipende dalla variabile x ,
mentre il differenziale dx indica che l’operazione di integrazione viene effettuata rispetto alla variabile x . Ciò per evitare confusioni quando nell’espressione della funzione f(x) compaiono altre lettere che fungono da parametri o coefficienti. Ad esempio, si ha:
( ) cxttxdx)tt(2x 2 +++=++∫ coscos
perchè la funzione da integrare è una funzione nella variabile x e la t è da ritenersi una costante. Ma si ha
ctt21
t2xdtt)t(2x 2 +++=++∫ sincos
perchè la funzione da integrare è una funzione nella variabile t e la x è da ritenersi una costante. Per verificare il risultato dell’esempio precedente basta verificare che la funzione integranda si ottiene come derivata della funzione al secondo membro, ovviamente nel primo caso si deve derivare rispetto ad x mentre nel secondo caso si deve derivare rispetto a t .
6.2 COME CALCOLARE UN INTEGRALE INDEFINITO Il calcolo degli integrali indefiniti è una delle parti della matematica dove si incontrano maggiori difficoltà perché il problema non si può risolvere con una “formula”. Si può dire che ogni caso è a sé anche se esistono varie tecniche che forniscono metodi di integrazione applicabili ad ampie classi di funzioni. Per trovare una primitiva di una funzione esistono attualmente sistemi di computer algebra grazie ai quali la ricerca “a mano” di una primitiva si può limitare ai casi più semplici. Come nel passato i sistemi di calcolo numerico ci hanno liberato dal bisogno di estrarre a mano una radice quadrata o di consultare una tavola di logaritmi, così oggi i sistemi di calcolo simbolico forniscono un prezioso aiuto per i casi più difficili di ricerca di una primitiva. Rimane comunque indispensabile sapere calcolare, quando esiste, la primitiva di funzioni esprimibili mediante funzioni elementari; anche senza l’ausilio di un sistema di calcolo simbolico. Illustriamo di seguito le tecniche “manuali” basilari per la ricerca di integrali indefiniti.
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133
6.2.1. Integrali elementari Ogni tabella di derivate letta al contrario diventa una tabella di primitive e pertanto dalla tavola di derivazione delle funzioni elementari si ottengono gli integrali indefiniti delle stesse. Nella seguente tabella 1 è riportato l’integrale indefinito delle funzioni elementari; con c si indica un qualunque numero reale.
Tabella 1
funzione )(xf primitiva F(x)
f(x) = h
nxxf =)(
x1
xf =)(
xaxf =)(
xexf =)(
xxf sin)( =
xxf cos)( =
( ) xtg1xcos
1xf 2
2 +==
0kkx
1xf
22≠
+= ,)(
.)( chxdxhxF +== ∫
.1,1
)(1
−≠++
==+
∫ ncnx
dxxxFn
n
.0,||ln)( ≠+== ∫ xcxdxx1
xF
.ln
)( ca
adxaxF
xx +== ∫
.)( cedxexF xx +== ∫
.cossin)( cxdxxxF +−== ∫
.sincos)( cxdxxxF +== ∫
( ) cxtgdxxcos
1xF 2 +== ∫
.,arctg)( 0kckx
k1
dxkx
1xF
22≠+
=+
= ∫
Oltre agli integrali indefiniti riportati nella tabella 1, valgono le seguenti regole e i seguenti teoremi conseguenza delle regole e dei teoremi di derivazione.
Regola 1
.,)()( ∫∫ = costantehdxxfhdxxfh
Regola 2
( ) .)()()()( dxxgdxxfdxxgxf∫ ∫ ∫+=+
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134
TEOREMA 1 .|)(|ln)(
)('cxfdx
xfxf +=∫
TEOREMA 2 .1n,c1n
f(x)dx(x)f(x)'f
1nn −≠+
+=
+
∫
TEOREMA 3 .ln
)(')(
ca
adxaxf
xff(x) +=∫
TEOREMA 4 .)(' )( cedxexf xff(x) +=∫
TEOREMA 5 [ ] .)(arctg cxfdx(x)f1
(x)'f2 +=
+∫
TEOREMA 6 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) cxfcosdxxfsinxf
.cxfsindxxfcosxf
+−=′
+=′
∫
∫
Illustriamo con alcuni esempi come applicare le regole e i teoremi sopra riportati. Come si vedrà, spesso occorre trasformare la funzione integranda operando opportunamente con costanti o utilizzando altri artifici. Calcolare i seguenti integrali indefiniti.
1. ( ) .cos dxxxx3 2∫ ++
Soluzione.
( ) ==++==++ ∫ ∫ ∫∫ 1regolalaperdxxdxxdxx32regolalaperdxxxx3 22 coscos
= .sincos2 cx2x
3x
31tabelladadxxdxxdxx323
+++
⋅==++∫ ∫ ∫
2. .dxxx∫
Soluzione.
.cxx52
cx52
c1
23x
1tabelladadxxdxxx 22
512
3
2
3
+=+=++
===+
∫∫
3. .71
5dxe
xx
∫
−+
Soluzione.
==−+==
−+ ∫∫∫∫− 1tabellada7dxdxedxx2regolalaperdx7e
x1 x5x5
.c7xe4x1
c7xe4
x x4
x4
+−+−=+−+−
=−
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135
4. .dx15x3x
56x2∫ +−
−
Soluzione.
.c15x3xln1teoremailperdx15x3x
56x 22
++−==+−
−∫
5. .cos sin dxex x⋅∫
Soluzione. .4teoremailpercos sinsin cedxex xx +==⋅∫
6. ( ) .dx13x7
∫ +
Soluzione.
( ) ==+∫ 2 teorema il applicare di fine al 3 per moltiplico e dividodx13x7
( ) ( ).c
813x
31
dx13x331 8
7 ++⋅=+⋅= ∫
7. ∫ .dxx
e x
Soluzione.
==∫ 4 teorema il applicare di fine al 2 per moltiplico e dividodxx
e x
.ce2dxx2
e2 x
x
+== ∫
8. .cos dxnx∫
Soluzione. ==∫ n costante la per moltiplico e dividodxnxcos
.sincos cnxn1
dxnxnn1 +== ∫
9. .dσσsin2σcos
∫ +
Soluzione.
.sinlnsin
cosc|σ2| 1 remaper il teodσ
σ2σ ++==
+∫
10. .dxex32x
∫
Soluzione.
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136
il applicare di fine al 2 per moltiplico e dividodxex3 1 regola la perdxex322 xx === ∫∫
.22
ce23
dxex223
4 teorema xx +== ∫
11. ∫ ++
.dx1x3x2
Soluzione. La funzione integranda ha il numeratore di grado maggiore del denominatore; per risolvere l’integrale dividiamo il numeratore per il denominatore. Otteniamo:
( ) .1x
41x
1x3x2
++−=
++
Possiamo pertanto scrivere:
=+
+−==
++−=
++
∫ ∫ ∫ ∫∫ dx1x
4dx1dxx 2 regola la perdx
xxdx
xx
1
41
1
32
.||ln c1x4xx21
1 teorema il per e 1 tabella dalla 2 +++−==
12. .dxe1
1x∫ +
Soluzione.
Si ha: .x
x
x
xx
x e1e
1e1
ee1e1
1+
−=+
−+=+
Possiamo pertanto scrivere:
∫ ∫∫∫ ++−=+
−=
+−=
+.c|e1|lnxdx
e1e
dx1dxe1
e1dx
e11 x
x
x
x
x
x
6.2.2. Integrazione per sostituzione Questo metodo consiste nel sostituire opportunamente la variabile indipendente x con un’altra variabile in modo da ottenere un integrale risolvibile più facilmente perché riconducibile alla tabella 1 o ad uno dei teoremi riportati all’inizio di questa trattazione.
Sia dxxf∫ )( l’integrale indefinito da calcolare e sia x = g(t) una funzione di t derivabile.
Allora il differenziale dx espresso in funzione della nuova variabile t è dato da dttgdx )('= e pertanto vale la seguente identità:
( )[ ] dttgtgfdxxf )(')( ⋅= ∫∫ .
Naturalmente dopo aver calcolato l’integrale a destra dell’uguaglianza occorre ritornare alla variabile x . Illustriamo il metodo con alcuni esempi.
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137
1. .dx2
3x∫
+
Soluzione.
Poniamo t2
3x =+ ossia 3t2x −= da cui dx = 2 dt . Applicando la sostituzione
si ottiene:
.c2
3x34
ct34
c1
21t
2dtt2dtt2dt2tdx2
3x 23
231
21
21
+
+=+=+
+===⋅=+
+
∫∫ ∫∫
2. ( )∫ + .cos dx2x3
Soluzione.
Poniamo t2x3 =+ ossia 3
2tx
−= da cui dt31
dx = . Applicando la sostituzione
si ottiene:
( ) ( ) .sinsincoscoscos c2x331
ct31
dtt31
dt31
tdx2x3 ++=+==⋅=+ ∫∫ ∫
3. .dxx1
1∫ −
Soluzione. Poniamo tx1 =− ossia t1x −= da cui ( ) dt1dx −= . Applicando la sostituzione si ottiene:
( ) .ln||ln c|x1|ctdt1t1
dxx1
1 +−−=+−=−=− ∫∫
4. .∫ −+dx
eee
xx
x
Soluzione.
Poniamo tex = ossia tx ln= da cui dtt
dx1= . Applicando la sostituzione si
ottiene:
.|ln||ln c|1e21
c1t21
dt1t
t221
dt1t
tdt
t1
ttt
dxee
e 2x2221xx
x
++=++=+
=+
=⋅+
=+ ∫∫∫∫ −−
6.2.3. Integrazione per parti Questo metodo può essere di aiuto per trovare la primitiva di una funzione la cui espressione è il prodotto di due funzioni. Il metodo si avvale della seguente formula:
∫∫ −= .)()(')()()(')( dxxvxuxvxudxxvxu
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138
La formula non risolve l’integrale dato, ma lo “trasforma” in una espressione in cui figura un altro integrale. E’ detto “per parti” in quanto prima si integra la parte )(' xv della funzione integranda e poi si integra la funzione )()(' xvxu . Il metodo è efficace solo se la funzione )(' xv e la funzione )()(' xvxu si possono integrare con metodi elementari. La funzione )(xu è chiamata fattore finito, mentre )(' xv è chiamata fattore differenziale. Quando nel prodotto della funzione integranda figura la funzione esponenziale, di norma, questa conviene considerarla come fattore differenziale; quando figura la funzione logaritmo, di norma, questo conviene considerarla come fattore finito. Negli altri casi non esiste una regola con cui scegliere quale funzione è da considerare fattore finito e quale funzione è da considerare fattore differenziale, occorre solamente che la scelta renda risolubile l’integrale assegnato. I seguenti esempi illustrano in modo concreto l’idea che sta alla base di questo metodo d’integrazione. Esercizi svolti Calcolare l’integrale indefinito applicando l’integrazione per parti. 1. .cos dxxx∫
Soluzione. Integriamo per parti prendendo x come fattore finito e xcos come fattore differenziale; poniamo quindi xxu =)( , xxv cos)(' = .
Allora 1xu =)(' e xdxx(x)v sincos == ∫ e pertanto applicando la formula si ha:
.cossinsinsincos cxxxdxxxxdxxx ++=−= ∫∫
2. .dxex 4x
∫
Soluzione. Integriamo per parti prendendo x come fattore finito ed 4xe come fattore differenziale; poniamo quindi xxu =)( , 4xexv =)(' .
Allora 1xu =)(' e 4x4x e41
dxe(x)v == ∫ e pertanto applicando la formula si ha:
.c16e
4ex
dx4e
4e
xdxex4x4x4x4x
4x +−=−= ∫∫
3. .ln dxx1
x∫
Soluzione.
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139
Integriamo per parti prendendo x1
ln come fattore finito ed x come fattore
differenziale; poniamo quindi x1
xu ln)( = , xxv =)(' .
Allora x1
xu −=)(' e 2x
dxx(x)v2
== ∫ e pertanto applicando la formula si ha:
.c4x
x1
2x
dx2x
x1
x1
2x
dxx1
x2222
++=⋅−−= ∫∫ lnlnln
4. .ln dxxx3∫
Soluzione. Integriamo per parti prendendo xln come fattore finito 3 x come fattore differenziale; poniamo quindi xxu ln)( = , x3xv =)(' .
Allora x1
xu =)(' e 2x23
dxx3(x)v == ∫ e pertanto applicando la formula si ha:
.c4x3
x2x3
dxx23
x2x3
dx2x3
x1
x2x3
dxxx322222
+−=−=⋅−= ∫∫∫ lnlnlnln
5. .ln dxx∫
Soluzione. Conviene leggere xln come prodotto 1ln ⋅x , in questo modo xln è il fattore finito e 1 è il fattore differenziale; poniamo quindi xxu ln)( = , 1xv =)(' .
Allora x1
xu =)(' e xdx1(x)v == ∫ e pertanto applicando la formula si ha:
.lnlnlnln cxxxdx1xxdxx1
xxxdxx +−=−=−= ∫∫∫
6. ( ) .dxe1x2 x
∫ −
Soluzione. Integriamo per parti prendendo ( )1x2 − come fattore finito ed xe come fattore
differenziale; poniamo quindi ( )1x2xu −=)( , xexv =)(' .
Allora 2xu =)(' e xx edxe(x)v == ∫ e pertanto applicando la formula si ha:
( ) ( ) ( ) .ce2e1x2dxe2e1x2dxe1x2 xxxxx +−−=−−=− ∫∫
7. ( ) .sin dxx1x∫ +
Soluzione. Integriamo per parti prendendo ( )1x + come fattore finito e xsin come fattore differenziale; poniamo quindi ( )1)( += xxu , xxv sin)(' = .
Allora 1xu =)(' e xdxx(x)v cossin −== ∫ e pertanto applicando la formula si ha:
( ) ( ) ( ) ( ) .sincoscoscossin cxx1xdxxx1xdxx1x +++−=−−−⋅+=+ ∫∫
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140
ESERCIZI DA SVOLGERE Calcolare per parti i seguenti integrali indefiniti verificando il risultato indicato.
1. dxxx∫ sin = .ccosxxsinx +−
2. dxxx ln∫ = .ln c4x
x2x 22
+−
3. dxex x∫ = .ceex xx +−
4. ( ) dxe2x x2
∫ − = ( ) ( ) .ce2e2x2e2x xxx2 ++−−−
5. dxxex∫ sin = ( ) .cxcosxsine
21 x +−
6. dxxcosx2∫ = .csinx2cosxx2sinxx 2 +−+
7. dxx2∫ ln = .lnln2 cx2xx2xx ++−
8. ( )∫−+ dxe52x x = ( ) .ce2e5x2 x-x +−+− −
9. ( ) dxe5x2 -x2
∫ + = ( ) ce28e8x52xe xx2x +−−+− −−−
10. dxx3x∫ cos =
( ).
ln
coslnsin2
c31
x3x3x
++
⋅+
6.2.4. Integrazione delle funzioni razionali fratte Le funzioni razionali fratte sono quelle espresse da un rapporto di polinomi. Se )(xA e )(xB indicano due polinomi nella variabile x , per
determinare dxxBxA
∫ )(
)( si fa uso di un metodo, a volte laborioso come calcoli, ma che
assicura di arrivare sempre alla soluzione. Per illustrare il metodo si presuppone il grado di )(xA minore del grado di )(xB . Se così non fosse basta eseguire la divisione fra )(xA e )(xB , indicando con )(xQ e )(xR rispettivamente il quoziente e il resto della divisione,
risulta A(x) = Q(x) )(xB + R(x) da cui )(
)()(
)(
)(
xBxR
xQxBxA += e
pertanto dxxBxR
dxxQdxxBxA
∫∫∫ +=)(
)()(
)(
)( ossia l’integrale risulta la somma dell’integrale
di un polinomio, dxxQ∫ )( , per risolvere il quale basta ricordare che 1n
xdxx
1nn
+=
+
∫
, 1n −≠ , e dell’integrale dxxBxR
∫ )(
)( in cui il grado del numeratore (essendo il resto) è
minore del grado del denominatore, ecco perché nell’illustrare il metodo ci si limita alla trattazione di quest’ultimo caso.
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141
Dopo aver controllato che l’integrale non sia risolubile con metodi “elementari”, per
risolvere dxxBxR
∫ )(
)(, con grado di R(x) minore del grado di B(x), si scompone in modo
opportuno la funzione integranda in modo tale che l’integrale sia ricondotto alla somma di integrali del tipo del Teorema 1 e del Teorema 2 se B(x) ha tutte le radici reali; sia ricondotto alla somma di integrali del tipo del Teorema 1 e del Teorema 5 se B(x) non ha tutte radici reali. In questa trattazione non approfondiamo ulteriormente il metodo ma ci limitiamo ad illustrarlo con alcuni esempi. Calcolare i seguenti integrali indefiniti di funzio ni razionali fratte.
1. .dx1)(xx12x
2∫ +−
Soluzione.
( ) 1x3
x1
x3
1xx12x
22 +−+−+=
+− e pertanto si ha:
.|ln||ln c|1x3x1
x3dx1x
3dx
x1
dxx3
dx1)(xx12x
22++−+=
+−+−+=
+−
∫∫∫∫
2. .dx1x
15x3x2
∫ −−+
Soluzione. Poiché il grado del numeratore è maggiore del grado del denominatore, occorre anzitutto effettuare la divisione:
( )1x
783x
1x15x3x2
−++=
−−+
e pertanto si ha:
( ) =−
++=−
++=−
−+∫ ∫ ∫∫∫∫ dx
1x1
7dx8dx3xdx1x
7dx83xdx
1x15x3x2
.||ln c1x78xx23 2 +−++=
3. ( ) .dx1x
2x2∫ −
+
Soluzione.
1x5x3 2 −+ 1x −
x3x3 2 +− 8x3 +
1x8 −=
8x8 +
7+=
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142
( ) ( ) ( )1x1
1x
3
1x
2x22 −
+−
=−+
e pertanto si ha:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ ∫∫ =−
+−=−
+−
=−+
dx1x
1dx1x3dx
1x1
dx1x
3dx
1x
2x 2-
22
( )( ) .||ln||ln c1x
1x3
c1x11x
31
+−+−
−=+−+−−⋅=
−
4. .dx3x
12∫ +
Soluzione.
( ) .arctg c3
x
3
1 dx
3x
1 dx
3x1
222+
=+
=+ ∫∫
5. ∫ +.dx
14x22
Soluzione.
( ) .arctgarctg c2xc
21x
211
42
dx
21
x
142
dx
41
x
142
dx14x
22
222 +=+
⋅=
+=
+=
+ ∫∫ ∫
6. .dx3x1x2
2∫ ++
Soluzione.
3x1
3xx2
3x1x2
222 ++
+=
++
e pertanto si ha:
==+
++
=++
∫∫∫ 5 teorema il per e 1teorema il perdx3x
1dx
3xx2
dx3x1x2
222
.arctg||ln 2 c3
x
3
13x +
++=
7. .dx7x2x
2∫ ++−
Soluzione.
( ) =+
++
−=+
++
−=++−
∫∫∫∫∫ dx7x
12dx
7xx2
21
dx7x
2dx
7xx
dx7x2x
222222
.arctg||ln 2 c7
x
7
127
21 +
⋅++−= x
8. .dx1x
2x2∫ +−
Soluzione.
=+
−+
=+
−+
=+
−∫∫∫∫∫ dx
1x1
2dx1x
x221
dx1x
2dx
1xx
dx1x
2x22222
Matematica. Capitolo 6: elementi di teoria dell’intergrazione di funzioni reali ________________________________________________________________________________________________________________________
143
( ) .arctg||ln cx21x21 2 +−+=
6.3 L’INTEGRALE DEFINITO Sia f(x) una funzione continua sull’intervallo [a,b] e sia F(x) una sua primitiva. Si definisce integrale definito della f(x) in [a,b] il numero reale dato da )(aFF(b) −
. Il numero )(aFF(b) − viene usualmente espresso con il simbolo dxxfb
a∫ )( e si legge
« integrale tra a e b di f(x) in di x »; a è l’estremo inferiore di integrazione, b è l’estremo superiore di integrazione, f(x) è la funzione integranda, x è la variabile di
integrazione. E’ convenzione scrivere [ ] baxF )( per indicare la differenza )(aFF(b) − .
Possiamo dunque scrivere:
.)()(,)()()( xfxFconaFbFdxxfb
a=′−=∫
Questa uguaglianza è detta formula fondamentale del calcolo integrale . L’integrale definito gode delle seguenti proprietà di immediata verifica:
Proprietà 1 .0)( =∫ dxxfa
a
Proprietà 2 .)()( dxxfdxxfa
b
b
a ∫∫ −=
Proprietà 3 .,)()()( bcacondxxfdxxfdxxfb
c
c
a
b
a<<+= ∫∫∫
Calcolare i seguenti integrali definiti.
1. .dxx1
0
3∫
Soluzione.
La funzione 3xf(x) = è continua nell’intervallo [0,1] e una sua primitiva è 4x
F(x)4
= ;
risulta pertanto: .41
40
41
4x
dxx441
0
41
0
3 =−=
=∫
Matematica. Capitolo 6: elementi di teoria dell’intergrazione di funzioni reali ________________________________________________________________________________________________________________________
144
2. .dxx12
1 2∫
−
Soluzione.
La funzione 2x
1f(x) −= è continua nell’intervallo [1, 2] e una sua primitiva
è x1
F(x) = ;
risulta pertanto: .21
121
x1
dxx1
2
1
2
1 2−=−=
=−∫
3. .cos dxx2
π
0∫
Soluzione.
La funzione xf(x) cos= è continua nell’intervallo
π2
0 , e una sua primitiva è
xF(x) sin= ; risulta pertanto: [ ] .10102
xdxx 2
π
0 2
π
0=−=−π==∫ sinsinsincos
4. .dx1x
3x2
0 2∫ +−
Soluzione.
La funzione 1x
3xxf 2 +
−=)( è continua nell’intervallo [0,2] perciò l’integrale definito
considerato esiste. Poiché ( ) ;||ln c1x23
dx1x
2x21
3 dx1x
3x 222
++−=+
⋅−=+
−∫∫
risulta:
.523
1023
1223
1x23
dx1x
3x 222
0
22
0 2ln||ln||ln||ln −=
+−−+−=
+−=+
−∫
5. ∫ −
1
1
x .dxex
Soluzione. La funzione xexf(x) = è continua nell’intervallo [ ]1,1− e una sua primitiva è
;xx eexF(x) −= risulta pertanto:
[ ] ( ) ( ) .111111
1
1
1
xxx e2ee1ee1eexdxex −−−
−−=−−−−=−=∫
Matematica. Capitolo 6: elementi di teoria dell’intergrazione di funzioni reali ________________________________________________________________________________________________________________________
145
6.4 SIGNIFICATO GEOMETRICO DELL’INTEGRALE DEFINITO DI UNA FUNZIONE
Consideriamo la funzione 3xf(x) = sull’intervallo [ ]4,9 e sia A la parte di piano racchiusa fra il grafico di xxf 3)( = , l’asse delle ascisse e le due rette verticali 4x = e 9y = (Figura 6.4.1). Indichiamo con I l’area di A che è un trapezio di altezza 9 – 4 = 5 , base minore 12 , base maggiore 27.
y=f(x)
x4 9
27 f(x)=3x
12
Figura 6.4.1
Dalla geometria elementare sappiamo che l’area di A vale 2
1952
527)(12 =⋅+=I .
Poiché 3xxf =)( nell’intervallo [ ]4,9 è continua, possiamo calcolare l’integrale definito e risulta:
.2
1952
163
281
32x
3dxx39
4
29
4=⋅−⋅=
⋅=∫
Abbiamo dunque trovato che l’integrale definito vale esattamente l’area di A . Ciò non è un caso ma questa proprietà vale sempre ogniqualvolta la funzione integranda )(xf è positiva o nulla nell’intervallo di integrazione. Dunque non solo si è trovato un altro modo per calcolare l’area di figure piane quali il trapezio ma quello che è importante è che in questo modo si può trovare l’area di superfici con contorni curvilinei perché non è richiesto che il grafico di )(xf sia lineare ma è richiesto solamente che )(xf , oltre che integrabile, sia non negativa. In sintesi:
L’integrale ∫=b
adxxf )(I di una funzione f non negativa da “a” a “b” è esattamente
l’area della parte di piano compresa fra il grafico della funzione f , l’asse delle ascisse e le
rette ax = e bx = .
A
Matematica. Capitolo 6: elementi di teoria dell’intergrazione di funzioni reali ________________________________________________________________________________________________________________________
146
Esercizio 1. Sia data la parabola 2)( xxf = . Calcolare l’area della parte di piano delimitata dal grafico nell’intervallo [ ]3,0 e indicata in figura.
0 3
f(x)=x²
Soluzione. La funzione è non negativa e integrabile e pertanto l’area richiesta è data da:
.930
33
3x
dxx333
0
33
0
2 =−=
=∫
Esercizio 2. Calcolare l’area della parte di piano delimitata dal grafico della funzione xxf sin)( = e dall’asse delle ascisse nell’intervallo [ ]π,0 (vedi figura).
f(x)=sin x
x0 π
Soluzione. La funzione nell’intervallo [ ]π,0 è non negativa e integrabile e pertanto l’area richiesta è
data da: [ ] .)cos(coscossin 20xdxx 00=−−π−=−= ππ
∫
Esercizio 3. Calcolare l’area della parte di piano delimitata dal grafico della
funzione x1
xf =)( nell’intervallo [ ]31, e dall’asse delle ascisse (vedi figura).
Matematica. Capitolo 6: elementi di teoria dell’intergrazione di funzioni reali ________________________________________________________________________________________________________________________
147
1x
x1 3
f(x)=
Soluzione. La funzione nell’intervallo [ ]31, è non negativa e integrabile e pertanto l’area richiesta è
data da: [ ] .lnlnlnlnln 313
13xdxx1 3
1
3
1=
=−==∫
Se nell’intervallo [ ]ba, la funzione )(xf anziché positiva o nulla è sempre negativa o nulla , l’area della parte di piano compresa fra il grafico di )(xf , l’asse delle ascisse e le
rette ax = e bx = è ancora l’integrale definito dxxfb
a∫ )( ?
Esaminiamo la questione studiando il seguente caso. Consideriamo la
funzione xxf cos)( = nell’intervallo
ππ23
,2
, in questo intervallo la funzione è sempre
negativa o nulla.
f(x)=cos x
π x2 3
2 π
Calcoliamo [ ] .21122
3xdxx 2
3
2
2
3
2
−=−−=π−π==π
π
π
π∫ sinsinsincos
Abbiamo ottenuto il valore 2− che non può certo essere la misura di un’area perché negativo. Dunque nel caso in cui nell’intervallo [ ]ba, la funzione )(xf sia negativa o nulla non è
vero che il valore dell’integrale definito ∫b
adxxf )( sia la misura dell’area della parte di
piano delimitata dal grafico di )(xf , dall’asse delle ascisse e dalle rette ax = e bx = . Osserviamo che se )(xf è negativa o nulla in [ ]ba, allora la funzione )(xf− è positiva o nulla in [ ]ba, e inoltre le due parti di piano 1A e 2A delimitate dall’asse delle ascisse, dalle rette ax = e bx = e, rispettivamente, dal grafico di )(xf e dal grafico di )(xf−, hanno la stessa area perché sono simmetriche rispetto all’asse delle ascisse (vedi Figura 6.4.2).
Matematica. Capitolo 6: elementi di teoria dell’intergrazione di funzioni reali ________________________________________________________________________________________________________________________
148
-f(x)
a b
f(x)
Figura 6.4.2
Questa osservazione ci permette di esprimere l’area 1A di 1A con l’integrale definito
dxxfb
a∫ )( , infatti si ha: .)()( dxxfdxxfAb
a
b
a1 ∫∫ −=−=
Esercizio 4. Calcolare l’area della parte di piano delimitata dal grafico della funzione x6xf(x) 2 −= , dall’asse delle ascisse e dalle rette 1x = e 5x = .
1 5x
f(x)=x -6xx2
Soluzione. Nell’intervallo [ ]51, la funzione è sempre negativa e pertanto l’area A richiesta vale:
( ) .392
21
6.31
225
6.35
26x
3x
dxx6xA2335
1
235
1
2 =
−−
−−=
−−=−−= ∫
Infine per calcolare l’area di una parte di piano delimitata dall’asse delle ascisse, dalle rette ax = e bx = e dal grafico di una funzione che nell’intervallo [ ]ba, è a tratti positiva e a tratti negativa (vedi parte evidenziata in Figura 6.4.3), basta applicare la proprietà degli integrali definiti enunciata nel paragrafo 6.3 (Proprietà 3). Si suddivide l’intervallo [ ]ba, nei sottointervalli in cui la funzione è solo positiva o solo negativa e si calcola l’area come somma di aree applicando opportunamente i rispettivi integrali definiti.
a b xc1 c2
f(x)
Figura 6.4.3
∫ ∫ ∫+−= 1 2
1 2
c
a
c
c
b
cdxxfdxxfdxxfA )()()( è la misura dell’area della zona evidenziata.
A1
A2
−5
Matematica. Capitolo 6: elementi di teoria dell’intergrazione di funzioni reali ________________________________________________________________________________________________________________________
149
Esercizio 5. Calcolare l’area della parte di piano delimitata dal grafico della funzione xxf cos)( = ,
dall’asse delle ascisse e dalle rette 0x = e π=23
x .
1
0 π 3 x2 2 π
f(x)
Soluzione.
Nell’intervallo
π23
0 , la funzione xcos è positiva in
π2
0 , e negativa in
ππ23
2, e
pertanto l’area della parte di piano indicata è:
.sinsinsinsinsinsincoscos 322
30
2xxdxxdxxA 2
3
2
20
2
3
2
20
=
π−π−
−π=−=−=π
π
ππ
π
π
∫∫
6.5 APPLICAZIONI DELL’INTEGRALE DEFINITO Calcolo di aree e di volumi.
6.5.1. Area di figure piane Nel paragrafo 6.4 si è già visto come l’integrale definito permetta di calcolare l’area di figure piane. Il metodo usato si può applicare anche per calcolare l’area di figure piane delimitate da contorni curvilinei che sono grafici di più funzioni, basterà operare con opportune somme o differenze di aree. Illustriamo con alcuni esempi. Esempio 1. Calcolare l’area della parte di piano delimitata dalle curve x6xxf 2 +−=)( e xxg =)( nell’intervallo [ ]5,0 , (vedi area evidenziata in figura).
Matematica. Capitolo 6: elementi di teoria dell’intergrazione di funzioni reali ________________________________________________________________________________________________________________________
150
0 5
f(x)g(x)
Soluzione. L’area richiesta si ottiene come differenza delle aree delle parti di piano delimitate dall’asse delle ascisse, dalle rette 0x = e 5x = e, rispettivamente, da )(xf e ).(xg L’area richiesta è pertanto data da:
( ) .6
125
2
x3x
3
xdxxdxx6xA
5
0
25
0
235
0
5
0
2 =
−
+−=−+−= ∫∫
Esempio 2. Calcolare l’area della parte di piano delimitata dalle curve 1xf(x) 2 += e 1xxg 3 +=)( nell’intervallo [ ]1,0 (vedi area evidenziata in figura).
f(x)
2
g(x)1
0 1
Soluzione. L’area richiesta si ottiene come differenza delle aree delle parti di piano delimitate dall’asse delle ascisse, dalle rette 0x = e 1x = e, rispettivamente, da )(xg e )(xf . L’area richiesta è pertanto data da:
( ) ( ) .125
34
47
x3x
xx43
dx1xxd1xA1
0
31
0
3
41
0
21
0
3 =−=
+−
+=+−+= ∫∫
Esempio 3.
Calcolare l’area della parte di piano delimitata dalle curve 4xxf(x) 2 +−= e 3x
12x
g(x)2
−=
nell’intervallo [ ]4,0 (vedi area evidenziata in figura).
Matematica. Capitolo 6: elementi di teoria dell’intergrazione di funzioni reali ________________________________________________________________________________________________________________________
151
0 4
g(x)
f(x)
Soluzione. L’area richiesta si ottiene come somma delle aree delle parti di piano delimitate dall’asse delle ascisse, dalle rette 0x = e 4x = e, rispettivamente, da )(xf e ).(xg L’area richiesta è pertanto data da:
( ) .9
104
6
x
36
x
2
x4
3
xdx
3
x
12
xdx4xxA
4
0
234
0
234
0
24
0
2 =
−−
+−=
−−++−= ∫∫
6.5.2. Volume di solidi di rotazione Esiste una particolare classe di solidi dei quali è possibile calcolare il volume mediante integrali. Essi sono i solidi di rotazione. Sia dato il rettangoloide A (vedi Figura 6.5.1) relativo alla funzione )(xf continua nell’intervallo [ ]ba, . Facendo ruotare il rettangoloide di un giro completo intorno all’asse delle ascisse viene generato un solido che si chiama solido di rotazione della funzione )(xf intorno all’asse delle ascisse (vedi Figura 6.5.2).
a b a b
f(x)
Figura 6.5.1 Figura 6.5.2 Il volume V del solido di rotazione si può calcolare mediante l’integrale definito utilizzando la seguente formula
dxf(x)Vb
a
2∫π=
Illustriamo con alcuni esempi.
A
Matematica. Capitolo 6: elementi di teoria dell’intergrazione di funzioni reali ________________________________________________________________________________________________________________________
152
Esempio 1. Si consideri la funzione xxf =)( nell’intervallo [ ]5,2 e il trapezio delimitato dal grafico della funzione, dall’asse delle ascisse e dalle rette 2x = e 5x = . Calcolare il volume del tronco di cono generato dal trapezio nella rotazione di un giro completo intorno all’asse delle ascisse.
2 5
Soluzione.
Il volume del solido è dato da: .π=
−π=
π=π= ∫ 39
32
35
3x
dxxV335
2
35
2
2
Esempio 2. Calcolare il volume del solido ottenuto da una rotazione completa intorno all’asse delle ascisse del grafico di xxf =)( nell’intervallo [ ]0,6 .
06
Soluzione.
Il volume del solido è dato da: .π=
−π=
π=π= ∫ 810
236
2x
xdxV6
0
26
0
Matematica. Capitolo 7: successioni numeriche ________________________________________________________________________________________________________________________
153
CAPITOLO 7
SUCCESSIONI NUMERICHE Una particolare classe di funzioni è quella delle successioni numeriche.
7.1 DEFINIZIONE ED ESEMPI DEFINIZIONE Si chiama successione (numerica) ogni funzione ℕ → ℝ avente come
dominio l’insieme ℕ dei numeri naturali.
Per convenzione sono ritenute successioni anche i casi in cui dal dominio ℕ si esclude un numero finito di elementi. Esempi. 1. f : ℕ → ℝ , f(n) = (−1)n
2. f : ℕ → ℝ , ( )1n
nnf
+=
3. f : ℕ → ℝ , f(n) = n2
4. f : ℕ → ℝ , f(n) = −n
5. f : ℕ* → ℝ , n1)(
f(n)n−=
6. f : ℕ → ℝ , f(n) = (−1)n+1 n Si usa indicare con an il numero reale corrispondente del numero naturale n . Volendo indicare una successione, si usa spesso indicare l’elemento n-esimo an detto termine generale della successione, oppure a volte si usa elencare i primi termini della successione. Riprendendo gli esempi precedenti le successioni possono essere così indicate: 1. an = (−1)n oppure 1, −1, 1, −1, …, (−1)n, …
2. 1n
n an += oppure 0,
21
, 32
, 43
, …, (1n
n+
) , …
3. an = n2 oppure 0, 1, 4, 9, …, n2, …
4. an = −n oppure 0, −1, −2, −3, …, −n , …
5. n1)(
an
n
−= oppure −1, 21
, 31− ,
41
, …, n1)( n−
, …
6. an = (−1)n+1 n oppure 0, 1, −2, 3, …, (−1)n+1 n , …
Matematica. Capitolo 7: successioni numeriche ________________________________________________________________________________________________________________________
154
Anche una successione può essere rappresentata in un piano cartesiano dai punti di coordinate (n; an) . Si noti però che essendo ℕ un insieme “discreto”, il grafico della successione non è una linea continua ma è formato da tanti punti “staccati” fra loro. Per evidenziare meglio l’andamento della successione, a volte i punti del suo grafico vengono congiunti con una linea tratteggiata. Vediamo, per esempio, i grafici delle successioni precedenti: Essendo delle funzioni, anche per le successioni valgono le definizioni date nella Parte1 e nella Parte 2 quali quelle di successione limitata superiormente, limitata inferiormente, limitata. In particolare poiché il dominio di una successione è l’insieme ℕ dei numeri naturali (o un suo sottoinsieme), l’importante nozione di successione monotona si può esprimere dicendo che:
an crescente se an ≤ an+1 per ogni n ∈ ℕ
an strettamente crescente se an < an+1 per ogni n ∈ ℕ
an decrescente se an ≥ an+1 per ogni n ∈ ℕ
an strettamente decrescente se an > an+1 per ogni n ∈ ℕ
ATTENZIONE. Si faccia sempre attenzione che an+1 significa l’immagine dell’elemento n+1 e non an+1 . Ad esempio se an = 3n −7 si ha an+1 = 3(n+1) −7 = 3n −4 , mentre an+1 = (3n −7) +1 = 3n −6 .
1
−1
0 1 3 2 4 5
Fig. 1 – esempio 1
1
1 3 0 2 4 5
Fig. 2 – esempio 2
10
1 3 0 2 4 5
Fig. 3 – esempio 3
−5
−5
3 2 4 5
Fig. 4 – esempio 4
0
1
−1
0 1 2 4
Fig. 5 – esempio 5
5
−5
0 1 4
Fig. 6 – esempio 6
3 5
Matematica. Capitolo 7: successioni numeriche ________________________________________________________________________________________________________________________
155
7.2 CARATTERE O COMPORTAMENTO ASINTOTICO DI UNA SUCCESSIONE
Spesso nello studio di un dato fenomeno non interessa tanto sapere cosa succede in un determinato istante, ma piuttosto come si evolve il fenomeno alla lunga, ossia quale è il suo comportamento asintotico o comportamento all’infinito . Il comportamento asintotico di una successione è detto CARATTERE della successione. Data una successione an , quando n → +∞ , si possono avere tre casi: a) I valori an si avvicinano indefinitamente ad un numero reale l detto limite della
successione (vedi in 7.1 esempi 2. e 5.) . In questo caso si dice che la successione CONVERGE ad l e si scrive
=+∞→ nn
alim l .
b) I valori di an aumentano o diminuiscono indefinitamente (vedi in 7.1 esempi 3. e
4.) . In questo caso si dice, rispettivamente, che la successione DIVERGE positivamente o DIVERGE negativamente e si scrive rispettivamente
+∞=+∞→ nn
alim , −∞=+∞→ nn
alim .
c) Non si verifica nessuno dei casi precedenti, ossia la successione non è convergente e
nemmeno divergente (vedi in 7.1 esempi 1. e 6.) . In questo caso si dice che la successione è OSCILLANTE o indeterminata.
IMPORTANTE. Poiché quando si parla di carattere di una successione si intende il suo comportamento all’infinito, non ha importanza da quale valore di n in poi si considera la successione e quindi: una successione non cambia carattere se si toglie o si aggiunge alla successione un numero finito di eleme nti .
7.3 SUCCESSIONI CONVERGENTI Approfondiamo l’argomento trattando alcuni esempi (vedi anche esempi 2. e 5. in 7.1). Esempio 1
Consideriamo la successione n1
3bn −= .
n 1 2 3 4 5 …
bn 2 25
3
8
411
5
14 …
A mano a mano che n cresce, il corrispondente valore bn si avvicina sempre più a 3. Supponiamo per esempio di volere stabilire per quali interi positivi n risulta
Matematica. Capitolo 7: successioni numeriche ________________________________________________________________________________________________________________________
156
0,1|b3| n <− . Il valore 0,1 è la tolleranza che noi fissiamo.
Risolvendo la disequazione 0,1n1
33 <
−− otteniamo 100,11
n => .
Pertanto per tutti gli interi n superiori a 10 siamo sicuri che risulta 0,1|b3| n <− , diremo anche che l’intero n* = 10 è il punto critico dopo il quale è rispettata la tolleranza di 0,1 precedentemente fissata. Se cambio tolleranza muterà il punto critico ma qualitativamente il discorso non viene modificato; per esempio, se fissiamo una tolleranza
di 0,01 , ossia poniamo 0,01|b3| n <− si ha 0,01n1
33 <
−− e si ottiene
1000,01
1n => , dunque una tolleranza di 0,01 ha come punto critico n* = 100 .
Qualunque tolleranza si scelga, esiste n sufficientemente grande tale che la differenza (in valore assoluto) fra 3 e il valore bn è inferiore alla tolleranza. In questo caso si dice che la successione bn converge al valore finito 3 e si scrive
3=+∞→ nn
blim (il limite, per n che tende a più infinito, di bn è tre) .
Esempio 2.
Consideriamo la successione n1
1)(c nn −= .
n 1 2 3 4 5 …
cn −1 21
31−
41
51− …
A mano a mano che n cresce, il corrispondente valore cn si avvicina sempre più a 0 , risulta 0=
+∞→ nnclim . Infatti qualunque tolleranza r si scelga esiste un punto critico n*
tale che per ogni n > n* risulta |cn −0| < r . Per esempio, scelto una tolleranza di 0,01 ,
ponendo |cn −0| < 0,01 si ottiene 1000,01
1n => da cui n* = 100 .
Il dominio di una successione an è un insieme discreto e pertanto non si può parlare di punto di accumulazione, ma per n → +∞ valgono considerazioni e proprietà analoghe a quelle studiate per le funzioni reali di una variabile reale. DEFINIZIONE Si dice che la successione an converge al numero reale llll , e si scrive
=+∞→ nn
alim l , se comunque si fissa un numero reale positivo r , esiste un intero n* tale
che per ogni n > n* risulta verificata la disugualianza | an − l | < r .
Matematica. Capitolo 7: successioni numeriche ________________________________________________________________________________________________________________________
157
Esempio Considerata la successione 14n43n
an −+= , verifichiamo che
43
alim nn
=+∞→
.
Sia r la tolleranza fissata (r è un qualunque numero reale positivo). Cerchiamo per quali n risulta verificata la disugualianza
(1) r43
14n43n <−
−+
Risolvendo la (1) si trova 4
1+>r16
19n . Si è dunque trovato il punto critico
41
r1619
n* += , ciò significa che per ogni n > n* la (1) è vera e quindi si può affermare
che 43
14n43n
limn
=−+
+∞→ . La seguente tabella mostra come il punto critico n* dipenda dalla
tolleranza r e che n* risulta tanto più grande quanto più è piccolo r .
r 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 …
41
r1619
n* += 12,125 119 1187,75 11875,25 118750,25 …
7.4 SUCCESSIONI DIVERGENTI Anche per le successioni divergenti approfondiamo l’argomento con alcuni esempi (vedi anche esempi 3. e 4. di 7.1 ). Esempio 1. Consideriamo la successione 2
n n1a += . Comunque si scelga un numero M > 0 siamo sicuri che a partire da un certo punto critico n* in poi i valori an superano questo numero. Per esempio sia M = 10 000 :
00010an >
00010n1 2 >+
9999n2 >
9999n > 99>n
Abbiamo dunque trovato il punto critico n* = 99 , ossia per ogni n > n* risulta an > 10 000 . Aumentando M cambia il punto critico ma non la situazione. Per esempio, se ora fissiamo M = 1 000 000 si ha:
0000001an >
0000001n1 2 >+
999999n2 >
999999n > 999n >
Matematica. Capitolo 7: successioni numeriche ________________________________________________________________________________________________________________________
158
Abbiamo trovato un nuovo punto critico, precisamente n* = 999 . In tali casi si dice che la successione diverge positivamente e si scrive +∞=
+∞→ nnalim .
Con più rigore possiamo porre la seguente definizione:
DEFINIZIONE Si dice che la successione an diverge a +∞, si scrive +∞=+∞→ nn
alim ,
se comunque si fissa un numero reale M > 0 esiste un intero n* tale che per ogni n > n*
risulta an > M .
DEFINIZIONE Si dice che la successione an diverge a −−−−∞∞∞∞ , si scrive −∞=+∞→ nn
alim ,
se comunque si fissa un numero reale M > 0 esiste un intero n* tale che per ogni n > n*
risulta an < −M .
7.5 SUCCESSIONI OSCILLANTI Esistono successioni che sono né convergenti né divergenti (vedi esempi 1. e 6. di 7.1), esse vengono dette oscillanti o indeterminate. Esempio. Sia an= (−1)n n . Essa non può convergere ad alcun valore l ∈ ℝ , se infatti si sceglie
tolleranza 21
, qualunque sia l esistono infiniti n per i quali an non verifica la
disugualianza |an− l| < 21
, ossia an si trova al di fuori dell’intervallo ( l 21− , l
21+ ) .
La successione non può nemmeno divergere a +∞ perché scelta una qualunque soglia M > 0 esistono infiniti valori di n (tutti i dispari) per i quali an è negativo e quindi stanno al di sotto della soglia M . Analogamente non può divergere a −∞ .
7.6 OPERAZIONI CON LE SUCCESSIONI. FORME INDETERMINATE A volte una successione si presenta come la somma, il prodotto, il quoziente o la potenza di successioni. Per stabilire il carattere di queste successioni vengono in aiuto alcune
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159
proprietà che possiamo riassumere nel seguente schema. Per comodità di scrittura, con il simbolo “∞” intenderemo che vale sia per “+∞” che per “−∞” .
PROPRIETA’.
Siano an e bn due successioni tali che aalim nn=
+∞→ , bblim nn
=+∞→
con a , b ∈ ℝ oppure
a = ∞ , b = ∞ . Risulta: 1. La successione sn = an ± bn è tale che baslim n
n±=
+∞→ .
2. La successione pn = an bn è tale che baplim nn⋅=
+∞→ .
3. La successione n
nn b
ad = , bn ≠ 0 , b ≠ 0 è tale che
ba
dlim nn=
+∞→ .
4. La successione nbnn at = , an > 0 , a > 0 è tale che b
nnatlim =
+∞→ .
Le proprietà sopra riportate rendono necessario estendere le usuali operazioni definite nell’insieme ℝ , all’insieme ℝ∞ dei numeri reali a cui sono stati aggiunti “+∞” e “−∞” . Come già riportato nel Capitolo 3 l’estensione delle operazioni a ℝ∞ è così definita : Se k ∈ ℝ risulta :
+∞ ± k = +∞ , k +∞ = +∞ , −∞ ± k = −∞ , k −∞ = −∞ ; 0k =∞
, ∞=∞k
,
000 =⋅ , ∞=±∞⋅±∞ )()( .
Se k ∈ ℝ , k ≠ 0 , risulta :
∞=∞⋅=⋅∞ kk , ∞=0k
.
In tutti i casi il segno di infinito è determinato con l’usuale regola dei segni. Ma si possono presentare anche i seguenti casi :
−∞ +∞ , +∞ −∞ , ∞⋅0 , ∞∞
, 00
, 1∞ , ∞0 , 00
detti FORME INDETERMINATE perché non si può dire nulla sul risultato, per determinare quanto valgono si deve procedere caso per caso.
Matematica. Capitolo 7: successioni numeriche ________________________________________________________________________________________________________________________
160
7.7 RICERCA DEL CARATTERE DI UNA SUCCESSIONE a n: REGOLE
PER CALCOLARE nnalim
+∞→
Il carattere di una successione an si determina calcolando il limite di an per n → +∞ . Per calcolare tale limite, nell’espressione di an si sostituiscce +∞ ad n e si esegue il calcolo. Ad esempio : 1. Sia an = (3 −n) ; −∞=∞−=−
+∞→3n)(3lim
n e dunque an diverge negativamente.
2. Sia an = n2 ; +∞=+∞=+∞→
22
n)(nlim e dunque an diverge positivamente.
3. Sia an =n2− ; 0
2n2
limn
=∞+
−=−+∞→
e dunque an converge a 0 .
4. Sia an = 2n− ; −∞=−
+∞→ 2n
limn
e dunque an diverge negativamente.
CALCOLO DI FORME INDETERMINATE Nel calcolare il n
nalim
+∞→ si può però ottenere una forma indeterminata, in questo caso si
cerca un artificio che permetta di superare la forma indeterminata. Illustriamo con degli esempi iniziando con l’affrontare il caso di successioni espresse con dei polinomi o dei quozienti di polinomi. Come si vedrà questi casi possono essere facilmente ricondotti ad una regola generale. Esempi. 1. Sia an = 2n3 −4n ; si ha ∞−+∞=−
+∞→4n)(2nlim 3
n che è una forma indeterminata.
Raccogliendo la potenza di grado massimo si può scrivere
+∞=+∞=−+∞=∞+
−+∞=−=−+∞→+∞→
2)(0))(2()4
)(2()n4
(2nlim4n)(2nlim 23
n
3
n .
2. Sia an = −n2 +n ; si ha ∞+−∞=+−+∞→
n)n(lim 2
n che è una forma indeterminata.
Procedendo come nell’esempio precedente risulta
−∞=−+∞=+−=+−+∞→+∞→
1))(()n1
1(nlimn)n(lim 2
n
2
n .
3. Sia an = 14n
5n3n2
2
+−−
; si ha ∞−∞+=
+−−
+∞→ 14n5n3n
lim 2
2
n che è una forma indeterminata.
Si può scrivere: 43
n1
4
n5
3lim
)n1
4(n
)n5
(3nlim
14n5n3n
lim
2
n
22
2
n2
2
n−=
+−
−=
+−
−=
+−−
+∞→+∞→+∞→ .
Matematica. Capitolo 7: successioni numeriche ________________________________________________________________________________________________________________________
161
4. Sia an = n3n15n
2
3
++
; si ha ∞+∞+=
++
+∞→ n3n15n
lim 2
3
n che è una forma indeterminata.
Si può scrivere: +∞==+
+=
++
+∞→+∞→ 35n
)n1
(3n
)n1
(5nlim
n3n15n
lim2
33
n2
3
n .
5. Sia an = 3
2
2n1n +
; si ha ∞+∞+=+
+∞→ 3
2
n 2n1n
lim che è una forma indeterminata.
Si può scrivere : 01
2n1
lim2n
)n1
(1nlim
2n1n
limn3
22
n3
2
n=
∞+==
+=+
+∞→+∞→+∞→ .
Gli esempi visti possono ricondursi alle seguenti due regole generali : REGOLA 1.
<∞−>∞+
=+++ −
+∞→ 0ase
0aseaxaxalim
0
0r
1r1
r0n
L
REGOLA 2.
<
=
<>∞−
>>∞+
=++++++
−
−
+∞→
srse0
srseba
0ba
esrse
0ba
esrse
bxbxbaxaxa
lim
0
0
0
0
0
0
s1s
1s
0
r1r
1r
0
n L
L
Un altro caso che ricorre frequentemente è la forma indeterminata 1∞ per la quale occorre fare attenzione. Essa è indeterminata solo quando la base 1 indica una quantità che tende a 1 , se la base 1 è invece una costante, la quantità 1∞ non è una forma indeterminata perché 1+∞ = 1 e 1−∞ = 1 .
UNA SUCCESSIONE NOTEVOLE: n
n n1
1a
+=
La successione il cui termine generale è n
n n1
1a
+= si chiama successione di
Nepero . Apparve per la prima volta in problemi bancari per il calcolo del montante di un capitale. Questa successione è monotona, limitata, strettamente crescente e converge ad un numero reale compreso fra 2 e 3 . Questo numero reale, detto numero di Nepero,
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162
viene usualmente indicato con la lettera e in onore del matematico svizzero Eulero (Leonhard Euler 1707 - 1783) che studiò a fondo questo numero e molte questioni ad esso collegate. Il numero e è un numero irrazionale trascendente (ossia non è radice di alcun polinomio a coefficienti in ℚ), il suo valore approssimato è
e = 2,718281828459045235360287471352662497757247093699…
Risulta en1
1limn
n=
++∞→
. Questo è un limite notevole fondamentale per tutta la
matematica e le sue applicazioni; spesso si usa la sua espressione più generale:
c
a
nn
eac
1limn
=
+
+∞→ con ∞=
+∞→ nnalim
Esempio 72n
en1
71lim =
++
+
+∞→
21 n
.
Esempio.
+∞+
+∞→= 11lim 2n
n
2
non è una forma indeterminata ma vale 1 , ossia 11lim 2n
n
2
=+
+∞→ .
La forma indeterminata 1+∞ si risolve ricordando il limite notevole en1
1limn
n=
++∞→
o la
sua espressione più generale. Esempi.
1. Sia an = 2n
1n1n
−+
, si ha ∞+
+∞→=
−+
12n
n 1n1n
lim che è una forma indeterminata.
Cerchiamo di scrivere il limite in modo da utilizzare il limite notevole precedente :
42e===
−+=
−+=
−−++=
−+
−+∞→
−
+∞→+∞→+∞→+∞→
21n1
2n2
n
1n1
2n1-n
n
2n
n
2n
n
2n
neelim
1n2
1lim1n
21lim1
1n1n
1lim1n1n
lim
2. Sia an = 1n
3
2
32nn3
1+
+−+ ;
1n
3n
2
32nn3
1lim+
+∞→
+−+ è una forma indeterminata del
tipo 1∞ che si elimina utilizzando il limite notevole precedente:
Matematica. Capitolo 7: successioni numeriche ________________________________________________________________________________________________________________________
163
=
+−+=
+−+=
+−+
+−⋅+−⋅+
+∞→
+
+∞→
+
+∞→
32nn
33
32nn1)(n
3n
1n
3n
1n
3n
3
322
2
332nn
11lim
332nn
11lim
32nn3
1lim
1eelim
332nn
11lim 032nn
1)3(n
n
32nn
1)3(n
332nn
3n
3
2
3
2
3
===
+−+= +−
+
+∞→
+−+
+−
+∞→ essendo
( )0
32nn1n3
lim 3
2
n=
+−+
+∞→.
7.8 APPLICAZIONI. Regimi di Capitalizzazione. Supponiamo di avere a disposizione un capitale che vogliamo investire per un certo numero di anni in un deposito fruttifero. Vogliamo sapere quale sarà il montante (capitale maturato) dopo n anni, sia in regime di capitalizzazione semplice (gli interessi maturati ogni anno vengono sempre calcolati solo sul capitale iniziale), sia in regime di capitalizzazione composta (gli interessi maturati al termine di ciascun anno vengono aggiunti al capitale sul quale calcolare gli interessi per l'anno successivo). Sia M0 il capitale iniziale. Sia r il tasso (fisso) d'interesse annuo (per esempio 2% cioè 0,02). Indichiamo con sn e con cn il montante maturato dopo n anni di deposito in regime di capitalizzazione semplice e composta rispettivamente. Al termine del primo anno (cioè per n = 1) il montante sarà lo stesso per i due regimi, cioè
s1 = c1 = M0 + rM0 = (1 + r) M0 .
Ma già a partire dal termine del secondo anno le cose cambiano
s2 = s1 + rM0 = (1+r) M0 + rM0 = (1 + 2r) M0 c2 = c1 + rc1 = (1+r) c1 = (1 + r)2 M0
Al termine del terzo anno s3 = s2 + rM0 = (1 + 2r) M0 + rM0 = (1 + 3r)M0 c3 =c2 + rc2 = (1+r)c2 = (1+r)3M0
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164
In generale avremo dunque sn = (1 + nr)M0 cn = (1 + r)nM0
Vediamo i primi valori di n
n s n cn
1 (1 + r)M0 (1 + r)M0
2 (1 + 2r)M0 (1 + r)2M0
3 (1 + 3r)M0 (1+ r)3M0
4 (1 + 4r)M0 (1 + r)4M0
5 (1 + 5r)M0 (1 + r)5M0
M M M Entrambe le successioni sn e cn divergono positivamente +∞=
+∞→ nn
slim , +∞=+∞→ n
nclim .
Verifichiamolo per la capitalizzazione semplice. Scegliamo una soglia positiva M e discutiamo la disuguaglianza
sn = (1 + nr)M0 > M
Risolvendo rispetto a n si ha 0
0
rMMM
n−> . Il punto critico è
0
0
rMMM
n*−= ed è tanto più
grande, quanto più grande è la soglia M : riuscire a determinare un punto critico a partire dal quale la disuguaglianza è vera prova che la successione diverge positivamente. Per quanto riguarda la successione cn osserviamo che per n > 2 abbiamo
cn = (1 + r)n M0 > (1 + n r) M0 = sn
Dunque per ogni intero n che supera il punto critico abbiamo cn > sn > M e quindi anche la successione che descrive il regime di capitalizzazzione composta diverge positivamente. La successione sn è un esempio di progressione aritmetica (ciascun termine sn si ottiene dal termine precedente sn-1 aggiungendo a quest'ultimo la quantità fissa r M0) La successione cn è un esempio di progressione geometrica (ciascun termine cn si ottiene dal termine precedente cn-1 moltiplicando quest'ultimo per la quantità fissa (1 + r)) Nonostante entrambe le progressioni divergano positivamente, quella geometrica lo fa più rapidamente. Il senso preciso di questa affermazione di nuovo si riconduce al calcolo di un limite, dal momento che, per i primi valori di n (nel caso esaminato r = 0,02), i valori della successione differiscono molto poco.
Matematica. Capitolo 7: successioni numeriche ________________________________________________________________________________________________________________________
165
n sn cn
0 M0 M0
1 1,02M0 1,02M0
2 1,04M0 1,0404M0
3 1,06M0 1,0612M0
4 1,08M0 1,0824M0
5 1,10M0 1,1040M0
6 1,12M0 1,1261M0
7 1,14M0 1,1486M0
8 1,16M0 1,1716M0
9 1,18M0 1,1950M0
10 1,20M0 1,2189M0
… … …
50 2,00M0 2,6916M0
… … …
100 3,00M0 7,2446M0
… … …
200 5,00M0 52,4849M0
… … …
Occorre allora calcolare 0
0n
nn
n
n nr)M(1Mr)(1
limsc
lim++=
+∞→+∞→ . Per n > 2 abbiamo
nr1
1)rn(n21
1nr)(1
)rnrr2
1)n(nnr(1
nr)(1r)(1
nr)M(1Mr)(1
2n1n2n
0
0n
+
−+≥
+
+++−++=
++=
++
−L
La successione definita ponendo nr1
1)rn(n21
1g
2
n +
−+= diverge positivamente (il secondo
addendo è una funzione razionale in cui il numeratore ha grado superiore al
denominatore) pertanto possiamo concludere +∞=+∞→
n
n
n sc
lim , ossia “il numeratore va a
+∞ più velocemente del denominatore” .
Matematica. Capitolo 7: successioni numeriche ________________________________________________________________________________________________________________________
166
ESERCIZI SVOLTI Esercizio 1.
Calcolare 1n5n3
n3n2lim
3
3
n −−−
+∞→ .
Soluzione.
Si tratta di una forma indeterminata del tipo ∞∞
, si procede mettendo in evidenza la
potenza di n con esponente maggiore e si elimina la forma indeterminata semplificando:
53
n
15
n3
n
3n2
nlim
1n5n3
n3n2lim
1n5n3
n3n2lim
23
23
23
n23
21
23
21
n3
3
n=
−−⋅
−⋅=
−−
−=−−
−+∞→+∞→+∞→
.
Esercizio 2 .
Calcolare 2n7n
lim 2
3
n ++
+∞→ .
Soluzione.
E’ una forma indeterminata del tipo ∞∞
, si procede ricordando la regola sul quoziente di
polinomi, oppure mettendo in evidenza la potenza di n con esponente maggiore e si elimina la forma indeterminata, semplificando:
+∞=
+
+⋅=
+
+
+∞→+∞→
2
3
n
22
33
n
n2
1
n7
1nlim
n2
1n
n7
1nlim .
Esercizio 3.
Calcolare 32nn
13nlim 3
2
n +++
+∞→ .
Soluzione.
Si ha : 0
n3
n2
1n
n1
3lim
n3
n2
1n
n1
3nlim
32nn13n
lim
32
2
n
323
22
n3
2
n=
++⋅
+=
++
+=
+++
+∞→+∞→+∞→ .
Esercizio 4.
Determinare il carattere della successione: an = 2
1)(2 n−+ .
Soluzione.
Matematica. Capitolo 7: successioni numeriche ________________________________________________________________________________________________________________________
167
La successione assume valore 21
quando n è dispari, assume valore 23
quando n è
pari. Pertanto non converge nè diverge, ossia an è oscillante. Esercizio 5.
Determinare il carattere della successione: an = n
1n1)( n +− .
Soluzione.
La successione assume valore n1+−1 quando n è dispari, assume
valore n1
1+ quando n è pari. I valori del primo tipo convergono a − 1 quelli del
secondo tipo convergono a 1 , pertanto la successione, complessivamente, non converge nè diverge. La successione an è oscillante. Esercizio 6.
Determinare il carattere della successione: an = 2
n
n1n1)( +−
,
Soluzione.
La successione assume valore 2n1
n1 +− quando n è dispari, assume valore 2n
1n1 +
quando n è pari. I valori di entrambi i tipi convergono a 0 , pertanto risulta
0n
1n1)(lim 2
n
n=+−
+∞→ e quindi la successione an è convergente a 0 .
Esercizio 7.
Data la successione an =n
12n − , stabilire:
a) il carattere; b) se è monotona; c) se è limitata.
Soluzione.
a) 2n
12nlimn
=−+∞→
allora la successione è convergente.
b) Occorre studiare il segno di an+1 −an ; si ha
01)n(n
1n
12n1)(n
11)2(naa n1n >
+=−−
+−+=−+ per qualunque n ≠ 0 , allora risulta
sempre an+1 −an > 0 , an+1 > an e quindi la successione è monotona strettamente crescente.
c) Essendo strettamente crescente, il primo termine della successione 11
112a1 =−⋅= è
il limite inferiore e quindi la successione è limitata inferiormente.
Matematica. Capitolo 7: successioni numeriche ________________________________________________________________________________________________________________________
168
Poiché 2alim nn
=+∞→
, la successione è anche limitata superiormente da 2 . La
successione è dunque limitata. Esercizio 8.
Data la successione an = n
31
, stabilire :
a) il carattere; b) se è monotona; c) se è limitata. Soluzione.
a) 0=∞+
==
+∞→+∞→
131
lim31
lim nn
n
n allora la successione è convergente.
b) Occorre studiare il segno di an+1 −an ; si ha:
031
32
131
31
31
31
aannn1n
n1n <
−=
−
=
−
=−+
+
qualunque sia n , allora risulta sempre an+1 −an < 0 , an+1 < an e quindi la successione è monotona strettamente decrescente.
c) Essendo strettamente decrescente, il primo termine della successione 31
a1 = è il
limite superiore e quindi la successione è limitata superiormente. Poiché 0alim n
n=
+∞→ , la successione è anche limitata inferiormente da 0 . La
successione è dunque limitata. Esercizio 9.
Data la successione an = n
21
− , stabilire :
a) il carattere; b) se è monotona; c) se è limitata.
Soluzione.
a) 021
limn
n=
−+∞→
allora la successione è convergente.
b) Occorre studiare il segno di an+1 −an ; si ha: nnn1n
n1n 21
23
121
21
21
21
aa
−−=
−−
−=
−−
−=−+
+
che ha segno positivo o negativo a seconda che n sia pari o dispari. Poiché il segno di n1n aa −+ dipende da n , la successione non è monotona. La successione è limitata essendo limitata superiormente da a0 = 1 e limitata
inferiormente da 21
a1 −= .
Matematica. Capitolo 8: elementi di algebra lineare ________________________________________________________________________________________________________________________
169
CAPITOLO 8
ELEMENTI DI ALGEBRA LINEARE
8.1 MATRICI E DETERMINANTI
8.1.1. Matrici Una matrice A di tipo m x n è una tabella di m·n elementi disposti in m righe ed n colonne e racchiusi tra due parentesi tonde ( o quadre):
A=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
L
LLLL
L
L
21
22221
11211
Gli elementi di una generica matrice si indicano mediante una lettera con due indici il primo dei quali indica la riga e il secondo la colonna a cui l’elemento appartiene. La matrice soprascritta è formata dalle m righe ( )naaa 11211 L
( )naaa 22221 L LLLL
( )mnmm aaa L21 dalle n colonne
1
21
11
ma
a
a
M ,
2
22
12
ma
a
a
M , L ,
nm
n
n
a
a
a
M
2
1
L’elemento aij prende il nome di elemento di posto i,j della matrice e si trova all’incrocio della riga i-esima con la colonna j-esima
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
L
LLLL
L
L
21
22221
11211
2° colonna
1° riga
Matematica. Capitolo 8: elementi di algebra lineare ________________________________________________________________________________________________________________________
170
La matrice il cui elemento di posto i,j è aij , a volte è indicata brevemente con il
simbolo ( )ija , ossia = () , = 1, 2,⋯,, = 1, 2,⋯, .
Una matrice 1 x n è detta vettore riga . Ha la forma
( )naaaA 11211 L=
Una matrice m x 1 è detta vettore colonna . Ha la forma
=
1
21
11
mb
b
b
BM
Matrice trasposta AT di una matrice A è la matrice che si ottiene da A scambiando
le righe con le colonne.
=
mnnn
m
m
T
aaa
aaa
aaa
A
L
LLLL
L
L
21
22212
12111
Esempi.
= 1 045 −513 −6
⟹
= 1 45 130 −5 −6
= (1 2 5)
⟹ = 125
Se m = n la matrice si dice quadrata , di ordine n .
Una matrice quadrata si dice simmetrica se =
Esempio. = 1 2 02 9 −10 −1 5 ! =
Una matrice quadrata si dice triangolare superiore se = 0 per >
Esempio. 1 2 −20 9 −10 0 5 !
Una matrice quadrata si dice triangolare inferiore se = 0 per <
Matematica. Capitolo 8: elementi di algebra lineare ________________________________________________________________________________________________________________________
171
Esempio. 1 0 02 10 03 −1 −2
Una matrice si dice diagonale se = 0 per ≠
Esempio. 1 0 00 −14 00 0 23
La matrice diagonale tale che = 1, = 1,2, … , , si chiama matrice identità
& = 1 0 00 1 00 0 1
NOTA – In questa trattazione gli elementi delle matrici saranno sempre numeri.
8.1.2. Operazioni con le matrici
1) Se ( )ijaA = e ( )ijbB = sono due matrici m x n , si definisce somma di A e B e
si indica con C = A + B, la matrice m x n il cui elemento cij di posto i,j è dato da
cij = aij + bij
Esempio. '2 −1 30 1 5( + ' 1 3 −1−2 0 1 ( = ' 3 2 2−2 1 6(
2) Se ( )ijaA = e ( )ijbB = sono due matrici m x n , si definisce differenza
di A e B e si indica con C = A - B, la matrice m x n il cui elemento cij di posto i,j è dato da
cij = aij - bij .
Esempio. '2 −1 30 1 5( - ' 1 3 −1−2 0 1 ( = '1 −4 42 1 4(
3) Se ( )ijaA = è una matrice m x n e ) ∊ ℝ , si definisce prodotto di λλλλ per A , e
si indica con λ A, la matrice m x n il cui elemento di posto i,j è
ija⋅λ
Esempio. 7 '2 −1 30 1 5( = '14 −7 210 7 35(
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172
4) Date le matrici A di tipo 1 x n e B di tipo m x 1, si definisce prodotto del vettore
riga A per il vettore colonna B, il numero
( ) .2211
1
1 nn
n
n bababa
b
b
aa +++=
LML
Esempio.
( ) .192127)(34021
7
4
2
301 −=−=−⋅+⋅+⋅=
−
5) Date le matrici A di tipo m x r e B di tipo r x n ,
=
mrmm
r
r
aaa
aaa
aaa
A
L
LLLL
L
L
21
22221
11211
,
=
nrrr
n
n
bbb
bbb
bbb
B
L
LLLL
L
L
21
22221
11211
si definisce prodotto righe per colonne di A per B, la matrice C tale che l’elemento di posto è ottenuto moltiplicando la -esima riga di A con la -esima colonna di B.
( ) rjirji
rj
j
iriij baba
b
b
aac ++=
⋅= LML 11
1
1 =∑ ./.0.12
Esempio. Considerate le matrici
=
43
21A ,
=
01
01B ,
si ha
=⋅
07
03BA ≠
=⋅
21
21AB
Si noti che il prodotto righe per colonne non gode della proprietà commutativa, ossia anche quando esistono sia BA ⋅ che AB ⋅ in generale risulta ABBA ⋅≠⋅ .
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173
Valgono le seguenti proprietà : + ( + 4) = ( + ) + 4 Proprietà associativa + = + Proprietà commutativa )( + ) = ) + )) ∈ ℝ Proprietà distributiva () + 6) = ) + 6), 6 ∈ ℝ Proprietà distributiva ()4 = (4) Proprietà associativa ( + 4) = + 4 Proprietà distributiva )() = ())) ∈ ℝ Proprietà associativa ( + )4 = 4 + 4 Proprietà distributiva ( + ) = + Trasposta di una somma () = Trasposta di un prodotto fra matrici ) = ()) ) ∈ ℝ Trasposta di una matrice per uno scalare () = Trasposta di una trasposta
Esempio.
Date le matrici = 70 −32 15 45 −18 , = 710 00 1−5 20 −18 si ha
(2( + )) = 2910 −32 20 65 −2: = 210 2 0 5−3 2 6 −2 = 20 4 0 10−6 4 12 −4 = 2( + )
Esercizio 1. Calcolare il prodotto (righe per colonne) delle matrici
=13
52
31
A e
−−
=13
12B .
Soluzione: ( ) 73321c11 =⋅+−⋅= ; ( ) 21311c12 −=−⋅+⋅= ;
( ) 113522c21 =⋅+−⋅= , ( ) 31512c22 −=−⋅+⋅= , ( ) 33123c31 −=⋅+−⋅= , ( ) 21113c32 =−⋅+⋅= ;
pertanto risulta
−−−
=⋅23
311
27
BA .
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174
Esercizio 2. Calcolare il prodotto delle matrici:
=
204
121A e
−
−=
22
51
43
B
Soluzione.
AB=( ) ( )( ) ( )
−=
⋅+⋅+−⋅−⋅+⋅+⋅⋅+⋅+−⋅−⋅+⋅+⋅
=
−
−⋅
128
83
225044221034
215241211231
22
51
43
204
121 .
Esercizio 3. Calcolare il prodotto delle matrici:
−=
201
112A e
−=0101
2211
0102
B
Soluzione.
AB=
−=
−⋅
−0304
2114
0101
2211
0102
201
112 .
Esercizio 4. Calcolare il prodotto delle matrici:
=
654
321A e
−=
111
2-13
011
B
Soluzione.
−−
=⋅4725
1410BA .
Esercizi da svolgere
Esercizio 1 . Trovare la matrice X tale che A+X=B dove = 2 −13 1 , = 5 −20 −3 .
Esercizio 2 . Eseguire i seguenti prodotti righe per colonne
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175
a) 2 13 −1·5 2−3 0 ; b) (8 5 −1) ∙ 024.
Esercizio 3 . Date le matrici = 2 0 30 −1 2 e B = 1 0−1 12 3 verificare che ≠ .
Esercizio 4 . Date le matrici = 2 13 −1 e = 5 −20 −3
verificare che ( + ) = + . Risposte
Esercizio 1 : X= 3 −1−3 −4
Esercizio 2 : a) 7 418 6 ; b) (6) Esercizio 3 : 8 95 5 ≠ 2 0 3−2 −1 −14 −3 12
Esercizio 4 : ( + ) = 7 3−1 −4 ; + = 7 3−1 −4.
8.1.3. Determinante di una matrice quadrata
Il determinante di una matrice quadrata
=
nnn2n1
n22221
n11211
aaa
aaa
aaa
A
L
LLLL
L
L
è un numero. Si indica con det A oppure con la notazione fra linee verticali:
nnn1
n221
n111
aa
aa
aa
Adet
L
LLL
L
L
= .
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176
1. Determinante di una matrice 1x 1
Data la matrice = () si definisce determinante di il numero =>? = .
• Determinante di una matrice 2 x 2
Data la matrice
=
2221
1211
aa
aaA
si definisce determinante di A il numero =>? = 22 ∙ @@ − 2@ ∙ @2 Esempio
28124054
38=−= , 4248 -6
38-
62-=+= .
• Determinante di una matrice 3 x 3
Data la matrice
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A (1)
per calcolare il determinante presentiamo due metodi. 1° metodo: Regola di Sarrus Il determinante si calcola utilizzando lo schema della figura sotto riportata. La linea continua sta a significare il prodotto dei tre termini, mentre la linea tratteggiata significa il prodotto dei tre termini cambiato di segno . ATTENZIONE che questa regola vale solo per le matrici di ordine n = 3 .
3231
2221
1211
333231
232221
131211
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
=>? = 22@@AA + 2@@AA2 + 2A@2A@ − (2A@@A2 + 22@AA@ + 2@@2AA)
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177
2° metodo: Regola generale Indichiamo con 2 la matrice ottenuta da eliminando la riga 1-esima e la colonna j-esima . Il determinante di è definito da
=+−= 131312121111 AdetaAdetaAdetaAdet
312213322113312312332112322311332211
3231
222113
3331
232112
3332
232211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
−++−−=
+−=
Esempio Considerata la matrice
A=
−210
113
021 , (2)
si ha
=
−=21
11
210
113
021
A11 ,
−=
−=20
13
210
113
021
A12 .
.131210)6(21)(2110
130
20
132
21
111Adet =+=−−⋅−−⋅=
−⋅+
−⋅−⋅=
Sia ∈ con i,j indici compresi fra 1 e 3 , si definisce
minore complementare di BCD il numero det Aij ,
complemento algebrico di BCD il numero E−1FG det .
La definizione di det A data con il 2° metodo si può allora esprimere dicendo che il determinante di A è la somma dei prodotti degli e lementi della prima riga di A per i rispettivi complementi algebrici . Questo procedimento si generalizza: fissata una qualunque riga o una qualunque colonna (non necessariamente la prima riga come fatto sopra), il =>? si ottiene sommando i prodotti dei suoi elementi per i rispettivi complementi algebrici.
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178
Esempio. Sviluppando rispetto alla seconda riga il determinante della matrice (1) si ha
( ) ( ) ( )232322222121 AdetaAdetaAdetaAetd −++−=
3231
121123
3331
131122
3332
131221 aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa −+−= .
Nel caso della matrice A data in (2) si ha
( ) 13121210
211
20
011
21
023Adet =−+=⋅−⋅+⋅−−= .
• Determinante di una matrice n x n Quanto visto nella Regola generale illustrata per il caso n = 3 si può generalizzare ad una qualunque matrice quadrata A di ordine n con n ≥ 2 .
=
nnn2n1
n22221
n11211
aaa
aaa
aaa
A
L
LLLL
L
L
(3)
Se i,j sono due indici compresi fra 1 ed n , con Aij indichiamo la matrice (n−1) x (n−1) ottenuta da A eliminando la riga i-esima e la colonna j-esima. Si definisce
minore complementare dell’elemento BCD il numero det ,
complemento algebrico dell’elemento BCD il numero E−1FG det . TEOREMA DI LAPLACE . Il determinante di una matrice quadrata A di ordine n è uguale
alla somma dei prodotti degli elementi di una riga (o di una colonna) per i rispettivi
complementi algebrici.
Si noti che questo teorema riconduce la nozione di determinante di una matrice n x n a quella di determinante di n matrici (n –1) x (n –1) . Calcolare il determinante applicando questo teorema è d’uso dire “calcolo con il metodo di Laplace”.
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179
Se per esempio calcoliamo con il metodo di Laplace il determinante di (3) sviluppando secondo la prima riga risulta:
det A = (−1)1+1 a11 det A11 + (−1)1+2 a12 det A12 + … + (−1)1+n a1n det A1n =
( ) 1j1j
j1n
1j
Adeta1+
=∑ −=
dove A1j indica la matrice (n – 1) x (n – 1) ottenuta da A eliminando la prima riga e la
colonna j-esima .
Il determinante di una matrice quadrata A si può pertanto esprimere con una delle
seguenti due formule a seconda che il calcolo venga fatto a partire da una riga o da una
colonna.
Considerando la i-esima riga ( 2 , @, …, K) della matrice A :
( ) ijij
jin
1j
Adeta1Adet+
=∑ −= ,
Considerando la j-esima colonna ( 2 , @ ,…, K ) della matrice A si ha :
( ) ijij
ijn
1i
Adeta1Adet+
=∑ −= ,
Esercizio
Calcolare con il metodo di Laplace il determinante della seguente matrice
= 3 1 −12 0 11 −1 0
Soluzione . Sviluppando secondo la prima riga si ha
L3 1 −12 0 11 −1 0 L = 3 M 0 1−1 0M − 1 M2 11 0M + (−1) M2 01 −1M = 3 ∙ 1 − 1 ∙ (−1) − (−2) = 6
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180
NOTA – Il determinante di una matrice diagonale
=
mn
22
11
a00
0a0
00a
A
L
LLLL
L
L
è
a a a A det nn2211 ⋅…⋅⋅=
Proprietà dei Determinanti
1. det A = det AT .
2. Date due matrici A e B quadrate di ordine n, si ha B det A det B A det ⋅= .
3. Se la matrice A′ si ottiene da A scambiando tra loro due righe o due colonne, allora
det A = − det A′ .
4. Se la matrice A′ si ottiene da A moltiplicando tutti gli elementi di una riga (o di una
colonna) per una costante λ ∈ ℝ , allora det A′ = λ det A .
5. Se due righe (o due colonne) della matrice A sono uguali, allora è det A = 0 . Più in
generale, se gli elementi di una riga (rispettivamente colonna) sono proporzionali a
quelli di un’altra riga (rispettivamente colonna), allora il determinante è nullo.
6. La somma dei prodotti degli elementi di una riga (o colonna) per i complementi
algebrici degli elementi analoghi di un’altra riga (o colonna) è uguale a zero.
7. Se si somma ad una riga (o colonna) un’altra riga (o colonna) moltiplicata per un
numero, il determinante non cambia.
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181
8.1.4. Matrice Inversa Per ogni ∈ ℕ∗ esiste la matrice quadrata di ordine n
&K =
100
010
001
L
LLLL
L
L
detta matrice identità perché &K = &K = qualunque sia la matrice di ordine n. Sia A una matrice quadrata di ordine n . Diremo che A è invertibile se esiste una matrice P2 di ordine n tale che P2 = P2 = &K
La matrice P2 si chiama matrice inversa di A . Si può verificare che, se esiste, l’inversa di una matrice è unica.
Esempio. La matrice inversa di
−−−−
=23
34A è la matrice
−−
=43
32B perché
risulta A·B = B·A =
10
01 e dunque B = A-1.
TEOREMA. Condizione necessaria e sufficiente affinché una matrice quadrata ammetta
l’inversa è che il suo determinante sia diverso da zero.
In simboli: esiste P2 ⇔ =>? ≠ 0
TEOREMA. Se A = (aij) è una matrice di ordine n invertibile , gli elementi bij della matrice inversa RPS sono dati da
( )
Adet
Adet1b
ji
ji
ij
+−= ,
dove ( ) jiji Adet+−1 è il complemento algebrico di aji .
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182
Siano A e B matrici quadrate di ordine n con det A ≠ 0. Poiché esiste A-1 , per risolvere le equazioni matriciali
A·X = B e Y·A = B
basta moltiplicare, rispettivamente, a sinistra e a destra per A-1 :
X = A-1 B e Y·= B·A-1
NOTA - Poiché det = det , indicato con ∗ la matrice che ha come elementi i complementi algebrici degli elementi di , per calcolare la matrice inversa di si può procedere in questo modo R RT R∗
RPS Esempio. = '1 31 2(, det = −1
= '1 13 2( ∗ = ' 2 −3−1 1 ( P2 = −1 ' 2 −3−1 1 ( = '−2 31 −1(, P2 = '1 31 2( '−2 31 −1( = '1 00 1( NOTA – Nel caso di una matrice A di ordine 2 , per determinare P2 si può procedere in questo modo:
• si scambiano gli elementi sulla diagonale principale, • si cambia segno agli elementi sulla diagonale secondaria, • si divide ogni elemento per det A.
trasposta complementi algebrici
premoltiplica per 1/ det
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183
Esempio. = −3 17 2 , =>? = −13 ⇒ P2 = 2P2A 2 −1−7 −3 = 7P@2A 22AX2A A2A8
Esercizi sui Determinanti e sulla Matrice Inve rsa 1. Calcolare il determinante della seguente matrice:
−−
−
=
0010
2012
4322
0524
A .
Soluzione. La presenza di tre elementi nulli nella quarta riga della matrice suggerisce lo sviluppo secondo tale riga:
( )202
432
054
11Adet 24
−−⋅⋅−= + .
Sviluppando ora secondo la terza riga, si ottiene:
4444010)(12220)(232
542
43
052Adet −=−−=−⋅−−⋅=⋅−
−⋅= .
2. Calcolare il determinante della seguente matrice:
−=
621
73
4112
a100
4100
A .
Soluzione. Sviluppando il determinante secondo la prima colonna si ottiene:
411
a10
410
3
621
7
a10
410
2Adet
−⋅−⋅= .
Matematica. Capitolo 8: elementi di algebra lineare ________________________________________________________________________________________________________________________
184
Sviluppando ancora secondo la prima colonna entrambi i determinanti di ordine 3 , otteniamo:
( )4a11a1
4113
a1
4172Adet −⋅=⋅⋅−⋅⋅= .
3. Calcolare il determinante della seguente matrice:
−−
−−=
11021
04200
01213
032a0
03201
A .
Soluzione. Sviluppiamo il determinante secondo la quinta colonna che presenta i primi quattro elementi nulli; si ottiene:
4200
1213
32a0
3201
1Adet−−
⋅= .
Sviluppando ancora secondo la prima colonna della matrice, otteniamo:
2
420
32a
320
3
420
121
32a
1Adet =−−⋅+−−
⋅= .
4. Calcolare il determinante della seguente matrice:
−−=
312
153
3106
A .
Soluzione. Applichiamo la regola di Sarrus:
12
53
106
312
153
3106
−−−
( ) ( ) ( ) ( ) 6525311633101332110356Adet =−⋅⋅−⋅−⋅−⋅⋅−⋅⋅+−⋅−⋅+⋅⋅= .
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185
5. Determinare la matrice inversa di
=110
211
011
A .
Soluzione. Calcoliamo prima il det A . Sviluppiamo secondo la prima colonna:
211
01
11
21
110
211
011
Adet −=−== .
Essendo det A ≠ 0 , A è invertibile. I complementi algebrici degli elementi di A sono:
( ) 111
21Adet1 11
11 −=+=− + ; ( ) 1
10
21Adet1 12
21 −=−=− + ;
( ) 110
11Adet1 13
31 +=+=− + ; ( ) 111
01Adet1 21
12 −=−=− + ;
( ) 110
01Adet1 22
22 +=+=− + ; ( ) 1
0
11Adet1 23
32 −=−=− +
1 ;
( ) 221
01Adet1 31
13 +=+=− + ; ( ) 2
21
01Adet1 32
23 −=−=− + ;
( ) 011
11Adet1 33
33 =+=− + .
Ricordando che gli elementi bij della matrice inversa P2 sono dati
da ( )Adet
Adet1b jiji
ij+−= otteniamo:
−
−
−
=
−−−
−−−=
021
21
121
21
121
21
011
211
211
21
A 1- .
Matematica. Capitolo 8: elementi di algebra lineare ________________________________________________________________________________________________________________________
186
6. Determinare la matrice inversa di
=300
410
021
A .
Soluzione. Calcoliamo prima il det A . Sviluppiamo secondo la prima colonna:
330
411
300
410
021
Adet =⋅== .
Essendo det A ≠ 0 , A è invertibile. I complementi algebrici degli elementi di A sono:
( ) 330
41Adet1 11
11 =+=− + ; ( ) 0
30
40Adet1 12
21 =−=− + ;
( ) 000
10Adet1 13
31 =+=− + ; ( ) 630
02Adet1 21
12 −=−=− + ;
( ) 3=+=− +
30
01Adet1 22
22 ; ( ) 0
0=−=− +
0
21Adet1 23
32 ;
( ) 8=+=− +
41
02Adet1 31
13 ; ( ) 4
40
01Adet1 32
23 −=−=− + ;
( ) 110
21Adet1 33
33 =+=− + .
La matrice inversa P2 è:
−
−
=
−−
=
31
00
34
10
38
21
100
430
863
31
A 1- .
7. Determinare la matrice inversa della matrice:
=100
a10
0a1
A con a ∈ ℝ .
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187
Soluzione. La matrice A è invertibile sempre perché det A = 1 ≠ 0 per ogni ∊ ℝ e risulta:
−−
=100
a10
aa1
A
2
1- .
Esercizi da svolgere Esercizio 1. Calcolare il determinante delle seguenti matrici = Y1 − √3 1 − √21 + √2 1 + √3 [ , = \ + 1 1\@ + 1 \ + 1 , 4 = Y − / @1 + /[ .
Esercizio 2. Applicando la regola di Sarrus, calcolare i seguenti determinanti:
det = L6 9 −94 0 32 5 −6L ; det = L1 4 32 −5 6−3 6 −9L. Esercizio 3. Calcolare, se esistono, le inverse delle seguenti matrici:
= 5 33 2 , = Y\ 11 ][ , 4 = 1 1 10 1 10 0 1 .
Esercizio 4. Trovare la matrice X in modo che risulti −1 2−1 1 ∙ ^ = −7 −4−5 −3 .
Esercizio 5. Determinare per quali valori di _ ∈ ℝ risultano invertibili le seguenti matrici:
= 0 2 32_ 2 + 2_ 6_ 4 − 2_ 3 , = _ + 3 3 2 + _2 2 _5 4 3 + _ .
Risposte
1. =>? = −1; =>? = 2\; =>?4 = −/@. 2. =>? = 0; =>? = −72. 3. P2= 2 −3−3 5 . P2>aa?>b>c\ ≠ 0, ] ≠ 0, P2 = ] −1−1 \ . 4P2 = 1 −1 00 1 −10 0 1 . 4. ^ = 3 2−2 −1. 5. èe>c?/f>b>c_ ≠ 0>_ ≠ 1.èe>c?/f>b>c_ ≠ X±√2Xh .
Matematica. Capitolo 8: elementi di algebra lineare ________________________________________________________________________________________________________________________
188
8.1.5. Rango (o caratteristica) di una matrice La nozione di determinante di una matrice è definita solo per le matrice quadrate, ossia se A è una matrice di tipo m x n con m ≠ n , non esiste il determinante di A. Data una qualunque matrice (quadrata o rettangolare)
=
nmm2m1
n22221
n11211
aaa
aaa
aaa
A
L
LLLL
L
L
da essa si possono “estrarre” delle sottomatrici quadrate i cui determinanti si dicono minori della matrice A . Il numero di righe (o colonne) della sottomatrice quadrata estratta si chiama ordine del minore. DEFINIZIONE. Si chiama rango (o caratteristica ) della matrice A l’ordine massimo dei
minori non nulli che si possono estrarre da A .
In altre parole, l’intero positivo k ≤ min m, n è il rango di A se :
1) dalla matrice A si può estrarre almeno un minore non nullo di ordine k ;
2) tutti i minori di ordine maggiore di k , che si possono estrarre da A , sono nulli.
Esempio . La matrice
−9631
5231
2201
può avere al massimo rango 3 perché tale è l’ordine massimo delle matrici quadrate in essa contenute. Si verifica che i quattro minori di ordine 3 estraibili dalla matrice sono tutti nulli e perciò la caratteristica sarà minore di 3 . Poiché tra i minori di ordine 2 ve ne è almeno uno non nullo, ad esempio
331
01=
−
si ha che il rango della matrice è 2 . Esercizio 1. Determinare il rango della matrice
Matematica. Capitolo 8: elementi di algebra lineare ________________________________________________________________________________________________________________________
189
−−
−=
10462
3426
5231
A .
Soluzione. Si osservi che i quattro minori di ordine 3 che si possono estrarre da questa matrice
1046
342
523
− ,
1042
346
521
−
− ,
1062
326
531
−−
− ,
462
426
231
−−
− ,
sono tutti nulli, ossia hanno tutti determinante uguale a zero. Poiché risulta ad esempio:
01626
31≠−=
−−
,
rimane provato che esiste almeno un minore di ordine 2 con determinante diverso da zero e perciò il rango della matrice considerata è 2 : r(A) = 2 . Esercizio 2. Determinare il rango della matrice
=531
321
753
A .
Soluzione. Poiché det A = 0 e, per esempio,
0121
53≠= ,
segue che il rango della matrice considerata è 2 : r(A) = 2 . Per determinare il rango di una matrice, si possono ridurre i calcoli se si utilizza il seguente teorema: TEOREMA DI KRONEKER. Se la matrice A , quadrata o rettangolare, possiede un
minore D non nullo di ordine r , e sono nulli tutti i minori d’ordine r + 1 di A ottenuti
“orlando” D con una riga e una colonna qualsiasi di A , allora il rango di A è uguale
a r .
Matematica. Capitolo 8: elementi di algebra lineare ________________________________________________________________________________________________________________________
190
In pratica, si procede nel seguente modo. Supponiamo di aver trovato un minore D , d’ordine r , non nullo. Calcoliamo i minori d’ordine (r + 1) ottenuti “orlando” il minore D :
• se tutti questi minori sono nulli, il rango della matrice è r ; • se almeno uno di essi è non nullo, bisogna ripetere il procedimento considerando
quest’ultimo minore.
Esercizi svolti 1. Determinare il rango della matrice:
=40
1
0
21
324
421
A :
Soluzione. Applichiamo il procedimento di Kronecker.
Consideriamo la sottomatrice
24
21 , essa è tale che 06
24
21≠−= , da cui
43,min3r(A)2 =≤≤ . Consideriamo ora le sottomatrici di ordine 3 ottenute orlando la sottomatrice considerata:
=210
124
421
M e
=410
324
021
N .
Poiché det M = 3 ≠ 0 , si conclude che r(A) = 3 .
2. Determinare il rango della matrice:
=
916
100
304
312
B .
Soluzione. Applichiamo il procedimento di Kronecker.
Consideriamo la sottomatrice
04
12 , essa è tale che 04
04
12≠−= , da cui
)min(4,33r(A)2 =≤≤ . Considerata la sottomatrice di ordine 3
Matematica. Capitolo 8: elementi di algebra lineare ________________________________________________________________________________________________________________________
191
=100
304
12
M
3
,
risulta det M = −4 ≠0 ; si conclude pertanto che r(B) = 3 .
3. Trovare il rango della matrice
−−−
−−−
=
54474
13110
24121
01342
A
Soluzione. La matrice contiene il minore non nullo di ordine 2
0212
34M ≠=
−−
= .
Orlando il minore M si ottiene il minore di ordine 3
01
110
121
342
N ≠=−
−−
= .
Poiché i due minori del quarto ordine ottenuti orlando N sono nulli:
0
4474
3110
4121
1342
=
−−−
−−−
; 0
5474
1110
2121
0342
=
−−
−−
,
il rango della matrice A è uguale a 3 .
4. Trovare il rango della matrice
=
1918171615
1413121110
98765
87654
76543
A .
Soluzione. La matrice contiene il minore non nullo di ordine 2 :
Matematica. Capitolo 8: elementi di algebra lineare ________________________________________________________________________________________________________________________
192
0154
43M ≠−== .
Poiché tutti i nove minori di ordine 3 ottenuti orlando M sono nulli:
0
765
654
543
= ; 0
865
754
643
= ; 0
965
854
743
=
0
121110
654
543
= ; 0
131110
754
643
= ; 0
141110
854
743
= ;
0
171615
654
543
= ; 0
181615
754
643
= ; 0
191615
854
743
= ;
si conclude che il rango della matrice A è 2 .
8.1.6. Matrici dipendenti da un parametro A volte è importante determinare il rango di una matrice, discutendo il problema in relazione ai parametri reali che vi figurano. Trattiamo l’argomento presentando qualche esempio. Esercizio 1. Calcolare, per ogni valore del parametro _ ∊ ℝ, il rango delle seguenti matrici = _ 2−1 _ , = 1 −_2 _@ ,4 = _ 2_−_ −2_ Soluzione.
1) detA = k@ + 2, quindidetA ≠ 0perognik ∊ ℝepertantor(A) = 2perognik ∊ ℝ. 2) detB = k@ + 2k = k(k + 2)quindidetB ≠ 0perk = 0eK = −2.
• Se _ ≠ 0>_ ≠ −2aℎ=>? ≠ 0>b>c??vc() = 2. • Se _ = 0vbbwc>_ = −2aℎ=>? = 0>=>?x ≠ 0yvx = (1) >b>c??vc() = 1.
3) detC = −2k@ + 2k@ = 0perognik ∊ ℝquindir(C) < 2. • >_ ≠ 0aℎc(4) = 1. • >_ = 0aℎc(4) = 0.
Matematica. Capitolo 8: elementi di algebra lineare ________________________________________________________________________________________________________________________
193
Esercizio 2. Calcolare, per ogni valore del parametro t , il rango della matrice:
+−=
2tt4
102
412t
A .
Soluzione. Troviamo i valori di t per i quali si annulla il determinante della matrice A .
0
2tt4
102
412t
=+
− .
Sviluppando il determinante si ottiene l’equazione t2 + 3 t −4 = 0 che ammette le soluzioni t = 1 e t = −4 . Dobbiamo quindi distinguere i seguenti casi: Caso 1. Per t ≠ 1 , t ≠ −4 , il determinante della matrice A è diverso da zero, allora
essa ha rango 3 . Caso 2. Per t = 1 , si ha:
0
314
102
412
=− , 0202
12≠−= ,
allora il rango della matrice A è 2 , cioè r(A) = 2 .
Caso 3. Per t = −4 , si ha :
0
244
102
418
=−−−
− , 02
02
18≠−=
− ,
allora il rango della matrice A è 2 , cioè r(A) = 2 . Esercizio 3. Determinare, per ogni valore del parametro t , il rango della matrice:
−−−=
22t22tt
01tt
00t
A .
Soluzione. Troviamo i valori di t per i quali si annulla il determinante della matrice A , cioè risolviamo l’equazione t (t −1) (2t −2) = 0 che ammette le soluzioni t = 0 e t = 1 .
Matematica. Capitolo 8: elementi di algebra lineare ________________________________________________________________________________________________________________________
194
Dobbiamo quindi distinguere i seguenti casi: Caso 1. Per t ≠ 0 , t ≠ 1 , il il determinante della matrice A è diverso da zero, allora
essa ha rango 3 . Caso 2. Per t = 0 , si ha
0
220
010
000
=−−
− , 0222
01≠=
−−−
,
allora il rango della matrice A è 2 , cioè r(A) = 2 .
Caso 3. Per t = 1 , si ha :
0
001
001
001
= ,
e anche tutti i minori di ordine 2 sono uguali a zero perché la matrice A ha due colonne tutte di zeri, allora il rango della matrice A è 1 , cioè r(A) = 1 .
Esercizi da svolgere Esercizio 1 . Determinare il rango delle seguenti matrici. = 1 2 −13 6 −3 ; = −1 2 3−8 0 4 ; 4 = 10 11 08 1 02 −3 6 .
Esercizio 2 . Studiare il rango delle seguenti matrici in funzione di k. = _ 18 2_ , = _ 0 −_1 0 −12 4 2 .
Risposte. 1. c() = 1 ; c() = 2 ; c(4) = 3 . 2. c() = 2 per _ ≠ ±2 ; c() = 1 per _ = ±2 . c() = 2 per ogni _ ∊ ℝ .
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195
8.2 SISTEMI LINEARI
8.2.1. Sistemi lineari di m equazioni in n incognite Un sistema lineare di m equazioni in n incognite è della forma
=+++
=+++=+++
mnnm22m11m
2n2n222121
1n1n212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
L
LLLLLLLL
L
L
Il sistema soprascritto è costituito da m equazioni nelle n incognite \2, \@, …, \K . Il sistema si dice lineare perché nelle equazioni ogni termine incognito figura al primo grado. I numeri reali 22, 2@, … , che compaiono nel sistema, vengono indicati brevemente con e prendono il nome di coefficienti del sistema; i numeri reali /2, /@, …, /| prendono il nome di termini noti . Se i termini noti sono tutti nulli, il sistema lineare si dice omogeneo . Il sistema è caratterizzato dalla matrice A dei coefficienti , detta anche matrice del sistema, dal vettore dei termini noti e dal vettore ^ delle incognite.
=
nmm2m1
n22221
n11211
aaa
aaa
aaa
A
L
LLLL
L
L
,
=
mb
b
b
BM
2
1
,
=
nx
x
x
XM
2
1
.
Il sistema si può rappresentare
1. in forma matriciale esplicita :
\2922@2⋮|2:+ \@92@@@⋮|@
:+⋯+ \K92K@K⋮|K: = 9/2/@⋮/|:
2. in forma matriciale compatta :
BXA =⋅
dove XA⋅ è il prodotto righe per colonne della matrice A per il vettore X. Si osservi che si tratta del prodotto di una matrice m x n per una matrice n x 1 (matrice colonna) che dà per risultato una matrice m x 1 .
Esistono delle condizioni sui coefficienti e sui termini noti affinché il sistema ammetta delle soluzioni, ossia affinché esistano dei valori reali \2, \@, …, \K per i quali tutte le equazioni del sistema risultino contemporaneamente soddisfatte; in tal caso la n-pla (\2, \@, … , \K) è detta una soluzione del sistema.
Matematica. Capitolo 8: elementi di algebra lineare ________________________________________________________________________________________________________________________
196
8.2.2 . Caso m = n con det A≠0. Il teorema di Cramer
=+++
=+++=+++
nnnn22n11n
2n2n222121
1n1n212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
L
LLLLLLLL
L
L
(1)
In modo analogo a quanto fatto precedentemente, indichiamo con A , B , X le matrici:
=
nn2n1n
n22221
n11211
aaa
aaa
aaa
L
LLLL
L
L
A ,
=
nb
b
b
BM
2
1
,
=
nx
x
x
XM
2
1
.
Sia det A≠0 , ossia A sia invertibile. Allora il sistema ha una ed una sola soluzione. Per trovare la soluzione del sistema (caso m=n, det A ≠ 0) illustriamo due metodi generali. Primo metodo : Metodo matrice inversa. Risolvere il sistema significa risolvere l’equazione AX = B : ^ = P2(^) = P2 (P2)^ = P2 &^ = P2 ^ = P2
Matematica. Capitolo 8: elementi di algebra lineare ________________________________________________________________________________________________________________________
197
Esempio
Consideriamo il sistema rappresentato da AX = B con
= 1 −3 00 1 −12 0 3 ,^ = ~\] , = −132
Determiniamo dapprima la matrice P2 : det = 3 + 6 + 0 − (0 + 0 + 0) = 9 ,
= 1 0 2−3 1 00 −1 3
∗ = 3 9 3−2 3 1−2 −6 1
P2 = 1/3 1 1/3−2/9 1/3 1/9−2/9 −2/3 1/9
^ = P2 = 1/3 1 1/3−2/9 1/3 1/9−2/9 −2/3 1/9−132 = 10/313/9−14/9
Pertanto il sistema dato ha come unica soluzione (\ = 103 , ] = 139 , = −149 ). Esempio
Date le matrici
=
34
23A e
+−
=53
71B cavfe>c>f′>wv>^ = .
Soluzione.
Poiché =>? ≠ 0 e
−−
=−
34
23A 1 si ha:
−−
=
−⋅
−−
=⋅= −
1313
119
53
71
34
23BAX 1
Secondo metodo : Metodo di Cramer. Senza ricorrere alla matrice inversa, un metodo generale per risolvere il sistema (1) è dato dal seguente teorema.
Matematica. Capitolo 8: elementi di algebra lineare ________________________________________________________________________________________________________________________
198
TEOREMA DI CRAMER . Il sistema lineare AX = B con A matrice quadrata di ordine n e
det A ≠ 0, ammette una ed una sola soluzione data da
\2 = det 2det , \@ = det @det , … . .\K = det Kdet
dove è la matrice che si ottiene sostituendo la colonna i-esima di A con la colonna B
dei termini noti, per i = 1, 2, … ,n .
In forma matriciale compatta il teorema di Cramer è espresso da
^ = P2 = 1det 9det 2det @⋮det K
: Esercizio 1 Risolvere con il metodo di Cramer il seguente sistema di equazioni lineari:
=++−=−+=++
12xxx
2x3xx
14x6x2x
321
321
321
Soluzione La matrice del sistema è :
−−=
211
131
462
A e risulta det A = 24 .
Poiché det A ≠ 0 , per il teorema di Cramer, il sistema lineare ammette una ed una sola soluzione (\2, \@, \A) fornita dalla regola di Cramer:
27
211
132
461
Adet 1 −=−= ,
21
211
121
412
Adet 2 =−
−= ,
Matematica. Capitolo 8: elementi di algebra lineare ________________________________________________________________________________________________________________________
199
12
111
231
162
Adet 3 −=−
= .
−=−==
===
−=−==
2
1
24
12
Adet
Adetx
8
7
24
21
Adet
Adetx
8
9
24
27
Adet
Adetx
33
22
11
Esercizio 2 Risolvere il seguente sistema di equazioni lineari:
=−+−=+−−=−+
.11z3y2x
15z2yx
22zy3x
Soluzione.
42
132
521
213
det A −=−
−−
= ,
Poiché det A ≠ 0, il sistema si può risolvere applicando il teorema di Cramer. Risulta:
42
1311
521
212
det A1 =−
−−−−
= ; 210
1112
511
223
det A2 −=−
−−−
= ; 84
1132
121
213
det A3 −=−−−
= ;
e pertanto la soluzione cercata è:
142
42
det A
det Ax 1 −=
−== ; 5
42
210
det A
det Ay 2 =
−−== ; 2
42
84
det A
det Az 3 =
−−==
8.2.3. Il teorema di Rouché - Capelli Consideriamo un sistema lineare di tipo generale, formato da m equazioni nelle n incognite \2, \@, … , \K
Matematica. Capitolo 8: elementi di algebra lineare ________________________________________________________________________________________________________________________
200
=+++
=+++=+++
mnnm22m11m
2n2n222121
1n1n212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
L
LLLLLLLL
L
L
(2) La matrice A dei coefficienti è detta matrice incompleta del sistema (2) :
=
nmm2m1
n22221
n11211
aaa
aaa
aaa
A
L
LLLL
L
L
Si definisce matrice completa del sistema (2) , la matrice C ottenuta aggiungendo alle colonne di A la colonna dei termini noti :
=
mnmm2m1
n22221
n11211
baaa
baaa
baaa
C
L
LLLLL
L
L
2
1
.
Il seguente importante teorema fornisce un criterio per stabilire se il sistema (2) ammette o no soluzioni (si tenga presente che m ed n non sono necessariamente uguali). TEOREMA DI ROUCHÈ-CAPPELLI . Condizione necessaria e sufficiente affinchè un sistema
di m equazioni lineari in n incognite abbia soluzioni è che le matrici completa ed
incompleta del sistema abbiano lo stesso rango, c() = c(4). Se il sistema ha soluzioni, detto k il rango delle due matrici (completa ed incompleta), per risolvere il sistema si procede nel seguente modo: 1) Dalla matrice incompleta A si estrae una sottomatrice quadrata . con k = r(A) e =>? . ≠ 0.
2) Si scrive un “nuovo” sistema formato dalle k equazioni i cui coefficienti sono le righe di . . Inoltre si portano al secondo membro tutti gli eventuali n-k termini i cui coefficienti non compaiono in . .
3) Si risolve questo sistema di k equazioni in k incognite, con determinante non nullo, mediante la regola di Cramer;
Matematica. Capitolo 8: elementi di algebra lineare ________________________________________________________________________________________________________________________
201
4) Le soluzioni del sistema iniziale sono le n-ple ottenute con la soluzione del sistema costruito nel punto 3) e con gli n-k parametri se k < n . In questo caso si dice che il sistema ha ∞KP. soluzioni.
Ad esempio sia k , k < n , il rango di A e di C e sia D la sottomatrice di A avente rango k . Per semplicità supponiamo che D sia costituita dalle prime k righe e dalle prime k colonne.
=
kkk2k1
k22221
k11211
aaa
aaa
aaa
D
L
LLLL
L
L
, det D ≠ 0 .
Consideriamo il sistema nelle incognite x1 , x2 , … , xk
−−−=++
−−−=++
++
++
nkn1k1kkkkkk11k
n1n1k11k1k1k111
xaxabxaxa
xaxabxaxa
LL
LLLLLLLLLLLLLLLLL
LL
(3)
Poiché det D ≠ 0 , per il teorema di Cramer, il sistema (3) ammette una ed una sola soluzione nelle incognite \2, \@, …, \. , in questa soluzione figurano come parametri \.F2, …, \K a cui si può attribuire qualunque valore reale. In definitiva il sistema (2) ammette pertanto infinite soluzioni, ciascuna delle quali si ottiene ricavando, con la regola di Cramer, i valori di \2, \@, … , \. e fissando arbitrariamente \.F2, … , \K . Esempio 1 Consideriamo il sistema
−=−=−
4
2
3
2
xx
xx
2
1 ,
la matrice incompleta A e la matrice completa C sono
−−
=110
011A ,
−−−
=4110
2011C
ed hanno entrambe rango 2 e pertanto il sistema ammette soluzioni. Dalla matrice A estraiamo una sottomatrice quadrata di ordine 2 e rango 2. Sia per esempio
−=
10
11D
Si considera allora il sistema
+−==−
32
21
x4x
2xx
ottenuto considerando come incognite quelle relative ai coefficienti delle colonne di D mentre le altre incognite si portano al secondo membro e si considerano “termini noti”.
Matematica. Capitolo 8: elementi di algebra lineare ________________________________________________________________________________________________________________________
202
Per ogni \A ∊ ℝ questo sistema ammette la soluzione \2 = −2 + \A, \@ = −4 + \A. Perciò il sistema dato ammette le infinite ∞2 soluzioni (−2 + \A , −4 + \A , \A ) ottenute al variare di \A in ℝ . Esempio 2 Consideriamo il sistema
\2 + \@ = 33\2 − \@ = 12\2 + 3\@ = 8
la matrice incompleta A e la matrice completa C sono
= 1 13 −12 3 ,4 = 1 1 33 −1 12 3 8
ed hanno entrambe rango 2 e pertanto il sistema ammette soluzioni. Dalla matrice A estraiamo una sottomatrice quadrata di ordine 2 e rango 2. Sia per esempio = 1 13 −1
Si considera allora il sistema \2 + \@ = 33\2 − \@ = 1
ottenuto considerando come incognite quelle relative ai coefficienti delle colonne di D mentre le altre incognite si portano al secondo membro e si considerano “termini noti”. Risolvendo questo sistema (per esempio con Cramer) si ottiene la soluzione \2 = 1, \@ =2 che è anche l’unica soluzione del sistema dato perché il rango k è uguale al numero n delle incognite. Esempio 3 Discutere e risolvere al variare del parametro h il sistema ℎ\ + ] = 1\ + ℎ] = 1 − ℎ
Matrice incompleta è = ℎ 11 ℎ, matrice completa è 4 = ℎ 1 11 ℎ 1 − ℎ. Risulta =>? = ℎ@ − 1 e pertanto:
1) Se ℎ = ±1 si ha =>? = 0 , rango r(A)=1 mentre rango r(C)=2 e perciò il sistema non ammette soluzioni.
2) Se ℎ ≠ ±1 si ha =>? ≠ 0 , rango r(A)=rango r(C)=2 e perciò il sistema ammette soluzioni. Applicando, per esempio, il teorema di Cramer si trova la soluzione ~2ℎ − 1ℎ@ − 1 ,ℎ − ℎ@ − 1ℎ@ − 1 .
Matematica. Capitolo 8: elementi di algebra lineare ________________________________________________________________________________________________________________________
203
8.2.4. Sistemi omogenei Un sistema lineare avente tutti i termini noti nulli, ossia del tipo
=+++
=+++=+++
0xaxaXa
0xaxaxa
0xaxaxa
nnm22m11m
n2n222121
n1n212111
L
LLLLLLL
L
L
(4)
prende il nome di sistema omogeneo . Tale sistema ha sempre soluzione perché ammette la soluzione banale (\2, \@, … , \K ) = ( 0 , 0 , … , 0 ) . Diremo che (\2, \@, … , \K ) è una soluzione non banale, detta anche soluzione propria , se almeno uno dei numeri reali \2, \@, …, \K non è nullo. Se il sistema (4) ammette una soluzione propria ( \2, \@, … , \K ), allora ammette anche infinite soluzioni, della forma ( \2, \@, … , \K ) qualunque sia a ∈ ℝ . Basta infatti sostituire questa soluzione nel sistema (4) e raccogliere il fattore a . Da quanto detto, nel caso sia m = n , il sistema lineare omogeneo (4) ammette una soluzione non banale (e quindi infinite) se e soltanto se risulta det A = 0 .
Matematica. Capitolo 8: elementi di algebra lineare ________________________________________________________________________________________________________________________
204
Esercizi da svolgere Esercizio 1. Risolvere il sistema ^ = essendo = 3 −2 51 5 −1 , ^ = ~\] , = 17 .
Esercizio 2. Discutere e risolvere, al variare del parametro reale k, il sistema ^ = con:
= _ 1 _0 _ _−_ −1 0 , ^ = ~\] , = 02_−1 .
Esercizio 3. Risolvere i seguenti sistemi lineari:
a) \ + ] + = 62\ + ] − = 1\ − ] + 2 = 5 ; b) \ + ] − 2 = 3\ − ] + = −12\ − = 0 ; c) \ + ] − 3 = 0\ + ] = 0\ − ] + 2 = 0 ;
d) 2\ − ] + = 0\ + ] + = 0\ − 5] − = 0 e) \ + ] = ℎ − 1\ + ℎ] = 0−\ + (ℎ − 1)] = 3 ; f) \ + ℎ] = 1ℎ\ + ] = 2 − ℎ
Risposte:
1. 2P@A2X , @F2X , per ogni ∈ ℝ .
2. Per _ ≠ 0 unica soluzione P.P2. , @.F2. , P2. .
Per _ = 0 sistema impossibile .
3.a) (1, 2, 3) .
3.b) Non ammette soluzioni.
3.c) (0, 0, 0) .
3.d) (2], ], −3]) per ogni ] ∈ ℝ .
3.e) Sistema impossibile per ℎ ≠ ±1 . Per ℎ = 1 unica soluzione (−3, 3) . Per ℎ = −1 unica soluzione (−1, −1) .
3f) Per ℎ ≠ ±1 unica soluzione 2P2F , @2F . Per ℎ = 1 soluzioni: (1 − ], ]) per ogni ] ∈ ℝ . Per ℎ = −1 sistema impossibile .