LICEO CLASSICO E LICEO DELLE SCIENZE UMANE

“ANCO MARZIO”

PROGRAMMAZIONE DIPARTIMENTALE

MATEMATICA

Premessa

L’asse matematico ha l’obiettivo di far acquisire allo studente saperi e competenze

che lo pongano nelle condizioni di possedere una corretta capacità di giudizio e di

sapersi orientare consapevolmente nei diversi contesti del mondo contemporaneo. La

competenza matematica, che non si esaurisce nel sapere disciplinare e neppure

riguarda soltanto gli ambiti operativi di riferimento, consiste nell’abilità di

individuare e applicare le procedure che consentono di esprimere e affrontare

situazioni problematiche attraverso linguaggi formalizzati. La competenza

matematica comporta la capacità e la disponibilità a usare modelli matematici di

pensiero (dialettico e algoritmico) e di rappresentazione grafica e simbolica (formule,

modelli, costrutti, grafici, carte), la capacità di comprendere ed esprimere

adeguatamente informazioni qualitative e quantitative, di esplorare situazioni

problematiche, di porsi e risolvere problemi, di progettare e costruire modelli di

situazioni reali. In particolar modo, al termine dell’obbligo d’istruzione, la finalità

dell’asse matematico è l’acquisizione delle abilità necessarie per applicare i principi e

i processi matematici di base nel contesto quotidiano della sfera domestica e sul

lavoro, nonché per seguire e vagliare la coerenza logica delle argomentazioni proprie

e altrui in molteplici contesti di indagine conoscitiva e di decisione.

COMPETENZE

Competenze disciplinari

Biennio

• Utilizzare le tecniche e le procedure del calcolo aritmetico ed algebrico,

rappresentandole anche sotto forma grafica;

• Confrontare ed analizzare figure geometriche, individuando invarianti e

relazioni;

• Individuare le strategie appropriate per la soluzione di problemi;

• Analizzare dati e interpretarli sviluppando deduzioni e ragionamenti sugli

stessi anche con l’ausilio di rappresentazioni grafiche, usando

consapevolmente gli strumenti di calcolo e le potenzialità offerte da

applicazioni specifiche di tipo informatico.

Triennio

• Raggiungimento di sicurezza ed autonomia operativa nell’utilizzo di procedure

di calcolo in situazioni problematiche diverse, matematiche e fisiche;

• Analisi di situazioni problematiche e rappresentazione, attraverso modelli

funzionali, di problemi da risolvere;

• Comunicazione efficace utilizzando appropriati linguaggi tecnici e scientifici;

• In preparazione dell’esame di Stato, capacità di approfondire e collegare gli

argomenti disciplinari con quelli di ambiti diversi.

Competenze trasversali

Biennio

• Sviluppare le capacità intuitive e logiche;

• Sviluppare la capacità di leggere e comprendere testi di varia natura;

• Acquisire l’abitudine alla lettura come mezzo insostituibile per accedere ai più

diversi campi del sapere e per maturare le capacità di riflessione;

• Acquisire ed usare il linguaggio specifico di ogni disciplina;

• Sapersi inserire nella vita relazionale rispettando ed accettando le diversità

come fonte di arricchimento;

• Saper esercitare l’autocontrollo dei comportamenti e l’autonomia di giudizio;

• Partecipare attivamente alla vita sociale in modo critico e propositivo;

• Saper acquisire un metodo di studio;

• Saper rispettare e migliorare l’ambiente in cui si vive.

Triennio

• Potenziare le capacità intuitive e logiche;

• Essere capaci di compiere operazioni di astrazione e di trasferimento di

conoscenze e concetti da un campo all’altro;

• Consolidare le competenze comunicative;

• Promuovere il senso dell’appartenenza al territorio e della necessità del suo

inserimento in un contesto sociale più vasto;

• Saper essere autonomo sviluppando l’autocontrollo dei comportamenti e

l’autonomia di giudizio;

• Saper acquisire un metodo di studio che consenta una formazione permanente

nel corso di una vita futura;

• Saper praticare i diritti e i doveri propri di una società democratica e

riconoscere il valore della legalità,

Il traguardo formativo è perseguito nel corso del quinquennio ai diversi livelli e deve

coniugarsi armonicamente con il raggiungimento degli obiettivi cognitivi disciplinari

(espressi in termini di Conoscenze, Competenze e Capacità).

N.B: I docenti potranno modificare la presente programmazione dipartimentale di

Matematica per venire incontro alle esigenze didattiche delle proprie classi.

OBIETTIVI MINIMI E NON DI MATEMATICA

OBIETTIVI del PRIMO ANNO

I NUMERI NATURALI

• Saper rappresentare su una retta i numeri naturali

• Conoscere le operazioni e le relative proprietà

• Applicare le proprietà delle potenze

• Calcolare il valore di un’espressione numerica

• Passare dalle parole ai simboli e viceversa

• Scomporre un numero naturale in fattori primi

• Calcolare il MCD e il mcm di numeri naturali

• Tradurre una frase in un’espressione, sostituire alle lettere numeri naturali e

risolvere espressioni letterali

• Individuare le strategie appropriate per la soluzione di problemi

I NUMERI INTERI

• Saper rappresentare su una retta i numeri interi

• Conoscere le operazioni e le relative proprietà

• Applicare le proprietà delle potenze

• Calcolare il valore di un’espressione numerica

• Tradurre una frase in un’espressione, sostituire alle lettere numeri interi e

risolvere espressioni letterali

• Individuare le strategie appropriate per la soluzione di problemi

I NUMERI RAZIONALI

• Saper rappresentare su una retta i numeri razionali

• Conoscere le operazioni e le relative proprietà

• Semplificare le frazioni

• Trasformare numeri decimali in frazioni e viceversa

• Calcolare il valore di un’espressioni con le frazioni e le potenze (con esponente

positivo e/o negativo)

• Tradurre una frase in un’espressione e sostituire numeri razionali alle lettere

• Individuare le strategie appropriate per la soluzione di problemi

• Conoscere le proporzioni e le loro proprietà

• Conoscere le percentuali

• Saper trasformare una percentuale in frazione

• Saper calcolare una percentuale

• Risolvere problemi con percentuali e proporzioni

GLI INSIEMI

• Rappresentare un insieme e riconoscere i sottoinsiemi di un insieme

• Conoscere le operazioni tra insiemi (unione, intersezione, prodotto cartesiano)

• Conoscere la partizione di un insieme, la differenza, il complementare di un

insieme

• Eseguire operazioni tra insiemi (unione, intersezione, prodotto cartesiano,

differenza e complementare di un insieme)

• Risolvere problemi utilizzando le operazioni tra insiemi

I MONOMI

• Riconoscere un monomio e stabilirne il grado

• Sommare algebricamente monomi

• Calcolare prodotti, potenze e quozienti di monomi

• Semplificare espressioni con operazioni e potenze di monomi

• Calcolare il M.C.D. e il m.c.m. fra monomi

• Risolvere problemi con i monomi

I POLINOMI

• Riconoscere un polinomio e stabilirne il grado

• Eseguire addizione, sottrazione e moltiplicazione di polinomi

• Conoscere i prodotti notevoli (quadrato di un binomio, somma di due monomi

per la loro differenza, cubo di un binomio, quadrato di un trinomio)

• Applicare i prodotti notevoli (quadrato di un binomio, somma di due monomi

per la loro differenza, cubo di un binomio, quadrato di un trinomio)

• Conoscere il triangolo di Tartaglia e saper calcolare la potenza n-esima di un

binomio

• Risolvere problemi con i polinomi

LE EQUAZIONI LINEARI

• Conoscere la definizione di identità, equazioni, equazioni equivalenti

• Stabilire se un’uguaglianza è un’identità

• Stabilire se un valore è soluzione di un’equazione

• Conoscere e applicare i principi di equivalenza delle equazioni

• Risolvere equazioni numeriche intere (con prodotti notevoli) e verificare la

correttezza dei procedimenti utilizzati

• Utilizzare le equazioni per risolvere problemi

• Risolvere equazioni numeriche intere di grado superiore al primo utilizzando

la legge di annullamento del prodotto

LA GEOMETRIA

• Conoscere il significato di postulato, definizione, teorema, dimostrazione

• Identificare le parti del piano e le figure geometriche principali

• Riconoscere figure congruenti

• Eseguire operazioni tra segmenti e angoli

• Eseguire costruzioni con riga e compasso e/o programmi informatici (ad

esempio Geogebra)

• Comprendere i principali passaggi logici di una dimostrazione

• Dimostrare teoremi su segmenti e angoli

• Saper classificare i triangoli rispetto ai lati e rispetto agli angoli

• Conoscere la definizione di bisettrice, mediana, altezza di un triangolo

• Conoscere e applicare i criteri di congruenza dei triangoli

• Conoscere e utilizzare le proprietà dei triangoli isosceli ed equilateri

• Dimostrare teoremi sui triangoli

• Conoscere la definizione di rette perpendicolari, rette parallele, angoli alterni

interni ed esterni, angoli coniugati interni ed esterni, angoli corrispondenti

• Eseguire dimostrazioni e costruzioni su rette perpendicolari, proiezioni

ortogonali e asse di un segmento

• Conoscere i criteri di parallelismo

• Applicare il teorema delle rette parallele e il suo inverso

• Conoscere e dimostrare il teorema sulla proprietà degli angoli interni dei

poligoni

• Conoscere e applicare i criteri di congruenza dei triangoli rettangoli

• Conoscere la definizione di rettangolo, rombo, quadrato, trapezio, trapezio

isoscele, trapezio rettangolo

• Conoscere e dimostrare teoremi sui parallelogrammi e le loro proprietà

• Applicare le proprietà di quadrilateri particolari: rettangolo, rombo, quadrato,

trapezio

• Conoscere e dimostrare teoremi sui trapezi

• Utilizzare le proprietà del trapezio isoscele

• Conoscere, dimostrare e applicare il teorema di Talete dei segmenti congruenti

OBIETTIVI del SECONDO ANNO

LE RELAZIONI E LE FUNZIONI

• Conoscere la definizione di relazione e rappresentarla (elencazione, diagramma

a frecce, tabella a doppia entrata, diagramma cartesiano)

• Conoscere la definizione di relazione inversa

• Conoscere le proprietà di una relazione

• Riconoscere una relazione di equivalenza e determinare l’insieme quoziente

• Riconoscere una relazione d’ordine

• Conoscere la definizione di funzione, dominio e codominio, immagine e

controimmagine, funzione suriettiva, funzione iniettiva, funzione biunivoca o

biiettiva, funzione inversa

• Rappresentare una funzione utilizzando il piano cartesiano e stabilire se è

iniettiva, suriettiva o biiettiva

LE FUNZIONI NUMERICHE

• Ricercare il dominio naturale e gli zeri di una funzione numerica

• Conoscere la definizione di funzione composta

• Determinare l’espressione di funzioni composte e funzioni inverse

• Saper tracciare il grafico della funzione inversa di una funzione data

(simmetria rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante, ad esempio le

funzioni 𝑦 = 𝑥2 𝑒 𝑦 = √𝑥, 𝑦 = 𝑥3 𝑒 𝑦 = √𝑥3

)

• Conoscere le funzioni del tipo f(x) = ax + b, f(x) = |x|, f(x) = a/x, f(x) = x2 sia

in termini strettamente matematici sia in funzione della descrizione e soluzione

di problemi applicativi

• Riconoscere una funzione di proporzionalità diretta, inversa e quadratica e

disegnarne il grafico

• Riconoscere una funzione lineare e disegnarne il grafico

• Riconoscere una funzione definita a tratti e disegnarne il grafico

• Risolvere problemi utilizzando diversi tipi di funzioni numeriche

LE DISEQUAZIONI

• Conoscere la definizione di disequazione, disequazioni equivalenti

• Conoscere e applicare i principi di equivalenza delle disequazioni

• Risolvere disequazioni lineari numeriche intere e rappresentarne le soluzioni

• Risolvere sistemi di disequazioni

• Utilizzare le disequazioni per risolvere problemi

• Risolvere le disequazioni di grado superiore al primo (prodotto di polinomi)

• Risolvere disequazioni fratte (quoziente di polinomi: 𝑁(𝑥)

𝐷(𝑥)> 0,

𝑁(𝑥)

𝐷(𝑥)≥ 0,

𝑁(𝑥)

𝐷(𝑥)< 0,

𝑁(𝑥)

𝐷(𝑥)≤ 0)

I SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI

• Riconoscere sistemi determinati, impossibili, indeterminati

• Saper interpretare graficamente un sistema di due equazioni in due incognite

• Risolvere un sistema con il metodo di sostituzione

• Risolvere un sistema con il metodo del confronto

• Risolvere un sistema con il metodo di riduzione

• Risolvere sistemi di tre equazioni in tre incognite

• Risolvere problemi mediante i sistemi

I RADICALI NELL’INSIEME DEI NUMERI REALI

• Rappresentare e confrontare tra loro numeri reali, anche con l’uso di

approssimazioni

• Conoscere e applicare la definizione di radice ennesima

• Determinare le condizioni di esistenza di un radicale

• Semplificare, ridurre allo stesso indice e confrontare tra loro radicali numerici

• Eseguire operazioni con i radicali numerici

• Trasportare un fattore fuori o dentro il segno di radice (solo numerica)

• Semplificare espressioni con i radicali numerici

• Razionalizzare il denominatore di una frazione (solo numerico)

IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

• Passare dalla rappresentazione di un punto nel piano cartesiano alle sue

coordinate e viceversa

• Calcolare la distanza tra due punti

• Determinare il punto medio di un segmento

• Applicare la simmetria assiale (rispetto all’asse x, all’asse y e rispetto alla

bisettrice del primo e terzo quadrante) e la simmetria centrale (rispetto

all’origine e ad un punto generico)

• Conoscere e applicare le leggi di traslazione

• Passare dal grafico di una retta alla sua equazione e viceversa

• Determinare il coefficiente angolare di una retta

• Scrivere l’equazione di una retta dati alcuni elementi (retta passante per due

punti, retta passante per un punto e perpendicolare ad una retta data, retta

passante per un punto e parallela ad una retta data)

• Stabilire se due rette sono incidenti, parallele o perpendicolari

• Operare con i fasci di rette propri e impropri

• Calcolare la distanza di un punto da una retta

• Risolvere problemi su rette e segmenti

• Rappresentare l’andamento di un fenomeno in un grafico cartesiano con rette e

segmenti

SUPERFICI EQUIVALENTI E AREE

• Applicare le proprietà dell’equivalenza tra superfici

• Riconoscere superfici equivalenti

• Applicare i teoremi sull’equivalenza fra parallelogrammi, fra triangolo e

parallelogramma, fra trapezio e triangolo, fra poligono circoscritto e triangolo

• Calcolare le aree di poligoni notevoli: rettangolo, quadrato, parallelogramma,

triangolo, trapezio, poligono con diagonali perpendicolari, poligono

circoscritto

• Costruire poligoni equivalenti

• Conoscere gli enunciati del primo teorema di Euclide, del teorema di Pitagora

e del secondo teorema di Euclide

• Applicare il primo teorema di Euclide

• Applicare il teorema di Pitagora

• Applicare il secondo teorema di Euclide

• Utilizzare le relazioni sui triangoli rettangoli con angoli di 30°, 45°, 60°

• Risolvere problemi mediante i teoremi di Euclide e di Pitagora

• Risolvere problemi di algebra applicata alla geometria

LA PROPORZIONALITA’ E LA SIMILITUDINE

• Determinare la misura di una grandezza

• Riconoscere grandezze direttamente proporzionali

• Eseguire dimostrazioni applicando il teorema di Talete e il teorema della

bisettrice

• Applicare i tre criteri di similitudine dei triangoli

• Applicare le relazioni di proporzionalità che esprimono i teoremi di Euclide

• Riconoscere poligoni simili e applicarne le proprietà

• Applicare le proprietà della misura e delle proporzioni tra grandezze per

risolvere problemi geometrici

• Risolvere problemi relativi a figure simili

LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

• Applicare trasformazioni geometriche a punti e figure (vedi piano cartesiano)

• Riconoscere i punti uniti e le figure unite in una trasformazione

• Comporre trasformazioni

• Riconoscere le isometrie: traslazione, rotazione, simmetria assiale e simmetria

centrale, omotetie

• Riconoscere le simmetrie delle figure

• Comporre isometrie

• Applicare le proprietà dell’omotetia

• Riconoscere le equazioni di particolari isometrie nel piano cartesiano

LA STATISTICA

• Raccogliere, organizzare e rappresentare i dati

• Determinare frequenze assolute e relative

• Trasformare una frequenza relativa in percentuale

• Rappresentare graficamente una tabella di frequenze

• Calcolare gli indici di posizione centrale di una serie di dati

• Calcolare gli indici di variabilità di una serie di dati

• Utilizzare la distribuzione normale per stimare l’incertezza di una statistica

LA PROBABILITA’

• Riconoscere se un evento è aleatorio, certo o impossibile

• Determinare la probabilità di un evento secondo la definizione classica

• Determinare la probabilità di un evento aleatorio, secondo la definizione

statistica

• Determinare la probabilità di un evento aleatorio, secondo la definizione

soggettiva

• Calcolare la probabilità della somma logica di eventi

• Calcolare la probabilità del prodotto logico di eventi dipendenti e indipendenti

• Calcolare la probabilità condizionata

• Descrivere esperimenti aleatori mediante variabili aleatorie, tabelle di

frequenza e diagrammi

OBIETTIVI del TERZO ANNO

LA DIVISIONE TRA POLINOMI E LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI

• Dividere fra loro due polinomi

• Applicare la regola di Ruffini

• Applicare il teorema del resto e il teorema di Ruffini (con dimostrazioni)

• Scomporre un polinomio mediante il raccoglimento totale e parziale, i prodotti

notevoli e il metodo di Ruffini

• Scomporre i trinomi di secondo grado mediante la regola della somma e

prodotto (trinomio speciale)

• Calcolare il M.C.D. e il m.c.m. di polinomi

• Risolvere problemi

LE FRAZIONI ALGEBRICHE, LE EQUAZIONI NUMERICHE FRATTE,

LE DISEQUAZIONI NUMERICHE FRATTE

• Determinare le condizioni di esistenza di una frazione algebrica

• Semplificare frazioni algebriche

• Eseguire le operazioni con le frazioni algebriche (addizione, sottrazione,

moltiplicazione, divisione e potenza)

• Semplificare semplici espressioni con le frazioni algebriche

• Risolvere le equazioni numeriche fratte

• Risolvere le disequazioni numeriche fratte

• Risolvere problemi

LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

• Risolvere le equazioni numeriche di secondo grado ( intere e fratte)

• Scomporre un trinomio di secondo grado

• Risolvere equazioni di grado superiore al secondo

• Risolvere sistemi di secondo grado

• Impostare e risolvere l’equazione risolvente di un problema di secondo grado

LA PARABOLA

• Conoscere la definizione di parabola

• Conoscere l’equazione di una parabola con asse parallelo all’asse y e le sue

caratteristiche (fuoco, direttrice, asse di simmetria, vertice, concavità)

• Determinare le caratteristiche di una parabola di equazione 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐,

le eventuali intersezioni con gli assi cartesiani e tracciarne il grafico

• Tracciare grafici di funzioni definite a tratti

• Determinare l’equazione di una parabola dati alcuni elementi (noti: fuoco e

direttrice, un punto e il fuoco, vertice e fuoco, vertice e direttrice,…..)

• Stabilire la posizione di una retta rispetto ad una parabola

• Trovare le rette tangenti a una parabola

• Trasformare geometricamente il grafico di una parabola

• Risolvere particolari equazioni e disequazioni mediante la rappresentazione

grafica di archi di parabole

LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO

• Conoscere la definizione di disequazione, intervallo limitato (chiuso e/o

aperto), intervallo illimitato (chiuso e/o aperto)

• Conoscere i due principi di equivalenza delle disequazioni

• Risolvere disequazioni secondo grado

• Risolvere disequazioni di grado superiore al secondo intere e fratte

• Risolvere sistemi di disequazioni

• Impostare e risolvere la disequazione risolvente di un problema di secondo

grado

LA CIRCONFERENZA, I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI

(geometria euclidea)

• Conoscere la definizione di luoghi geometrici, asse di un segmento, bisettrice

di un angolo, circonferenza e cerchio, raggio, corda e diametro, arco di

circonferenza, semicirconferenza e semicerchio, angolo al centro, settore

circolare, segmento circolare a una base o a due basi, angoli al centro, angoli

alla circonferenza, poligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza

• Conoscere l’enunciato del teorema della circonferenza passante per tre punti

non allineati

• Conoscere gli enunciati dei teoremi sulle corde (diametri e corde, diametro per

il punto medio di una corda, corde congruenti e distanza dal centro, punti in

comune fra una retta e una circonferenza, distanza di una retta dal centro di una

circonferenza e posizioni reciproche, tangenti da un punto esterno alla

circonferenza)

• Conoscere le possibili posizioni reciproche fra due circonferenze (secanti,

esterne, tangenti esternamente, tangenti internamente, interne una all’altra,

concentriche) e l’enunciato del teorema relativo

• Conoscere gli enunciati dei teoremi sui quadrilateri inscritti e circoscritti ad

una circonferenza

• Conoscere i punti notevoli di un triangolo: circocentro, incentro, ortocentro,

baricentro, excentro

• Conoscere la definizione di poligoni regolari

• Saper calcolare la lunghezza della circonferenza e area del cerchio

• Conoscere la definizione di sezione aurea, numero aureo e rettangolo aureo

• Applicare l’algebra alla geometria

LA CIRCONFERENZA NEL PIANO CARTESIANO

• Conoscere l’equazione di una circonferenza canonica e non, le formule per il

calcolo del centro e la misura del raggio

• Tracciare il grafico di una circonferenza data la sua equazione

• Determinare le equazioni di una circonferenza dati alcuni elementi (centro e

raggio, centro e un punto, noto il diametro, noti tre punti)

• Stabilire la posizione di una retta rispetto ad una circonferenze (retta esterna,

secante e tangente)

• Trovare le rette tangenti a circonferenze

• Risolvere particolari equazioni e disequazioni mediante la rappresentazione

grafica di archi di circonferenze

L’ELLISSE NEL PIANO CARTESIANO

• Conoscere la definizione di: ellisse, fuochi, centro, distanza focale, vertici,

semiasse maggiore e semiasse minore, eccentricità

• Conoscere l’equazione canonica di una ellisse, il suo centro, le sue simmetrie e

le formule per il calcolo dei fuochi

• Data l’equazione di un’ellisse saper calcolare: fuochi, centro, distanza focale,

vertici, semiasse maggiore e semiasse minore, simmetrie, eccentricità

• Tracciare il grafico di una ellisse data la sua equazione

• Stabilire la posizione di una retta rispetto ad un’ellisse (retta tangente, secante,

esterna)

L’IPERBOLE NEL PIANO CARTESIANO

• Conoscere la definizione di iperbole, fuochi, centro, distanza focale, vertici,

asintoti, asse trasverso e non trasverso, eccentricità

• Conoscere l’equazione canonica dell’iperbole con i fuochi appartenenti all’asse

x o all’asse y

• Data l’equazione di un’iperbole saper calcolare: fuochi, distanza focale, vertici

reali e non reali, asse trasverso e non trasverso, asintoti, eccentricità,

simmetrie

• Conoscere l’equazione dell’iperbole equilatera riferita agli assi di simmetria

• Conoscere l’equazione dell’iperbole equilatera riferita agli asintoti

• Conoscere la funzione omografica

• Tracciare il grafico di un’iperboli di data equazione

• Determinare iperboli dati alcuni elementi

• Stabilire la posizione reciproca di rette e iperboli

• Trovare le rette tangenti ad un’iperbole

OBIETTIVI del IV ANNO

LE FUNZIONI ESPONANZIALI E LE FUNZIONI LOGARITMICHE

• Conoscere la definizione di funzione

• Analizzare il grafico di una relazione per stabilire se è una funzione

• Classificare una funzione

• Individuare il dominio, il codominio, gli zeri e il segno di una funzione

• Stabilire se una funzione è iniettiva, suriettiva, biiettiva

• Stabilire se una funzione è crescente o decrescente

• Individuare la funzione inversa di una funzione data (grafico simmetrico

rispetto alla retta y=x, equazione)

• Rappresentare e trasformare geometricamente il grafico di funzioni

esponenziali e logaritmiche

• Conoscere e applicare le proprietà dei logaritmi (dimostrazioni, la formula del

cambiamento di base)

• Risolvere equazioni esponenziali

• Risolvere semplici disequazioni esponenziali con i due membri che sono

riconducibili a potenze di uguale base (del tipo 𝑎𝑃(𝑥) < 𝑏, 𝑎𝑃(𝑥) ≤ 𝑏, 𝑎𝑃(𝑥) ≥

𝑏, 𝑎𝑃(𝑥) > 𝑏 𝑐𝑜𝑛 𝑏 ∈ 𝑅 𝑒 𝑎 ∈ 𝑅0+ − {1}, 𝑃(𝑥) è 𝑢𝑛 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜)

• Risolvere disequazioni esponenziali con l’uso di un’incognita ausiliaria

• Risolvere equazioni logaritmiche

• Risolvere semplici disequazioni logaritmiche con i due membri che possono

essere scritti come logaritmi di uguale base (del tipo 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑃(𝑥) > 𝑏,𝑙𝑜𝑔𝑎𝑃(𝑥) ≥ 𝑏, 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑃(𝑥) < 𝑏, 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑃(𝑥) ≤ 𝑏 𝑐𝑜𝑛 𝑏 ∈ 𝑅 𝑒 𝑎 ∈ 𝑅0

+ − {1},𝑃(𝑥) è 𝑢𝑛 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜)

• Risolvere disequazioni logaritmiche con l’uso di un’incognita ausiliaria

• Risolvere equazioni e disequazioni esponenziali mediante logaritmi

• Risolvere graficamente equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche

LE FUNZIONI GONIOMETRICHE

• Conoscere la misura degli angoli gradi e in radianti

• Saper convertire i gradi in radianti e viceversa

• Conoscere e rappresentare la circonferenza goniometrica

• Conoscere e rappresentare gli angoli orientati

• Conoscere la definizione di seno, coseno, tangente, cotangente di un angolo

• Conoscere il significato goniometrico del coefficiente angolare di una retta

• Rappresentare graficamente le funzioni seno, coseno, tangente, cotangente e le

funzioni goniometriche inverse

• Conoscere e applicare relazione fondamentale della goniometria

(𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1, 𝑡𝑔𝑥 =𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 ≠

𝜋

2+ 𝑘𝜋 , 𝑐𝑡𝑔𝑥 =

𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥 ≠ 𝑘𝜋,

𝑡𝑔𝑥 =1

𝑐𝑡𝑔𝑥 𝑥 ≠ 𝑘

𝜋

2 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ 𝑍)

• Conoscere la definizione di secante e cosecante di un angolo

• Calcolare le funzioni goniometriche di angoli particolari (30°, 45° e 60°)

• Determinare le caratteristiche delle funzioni sinusoidali: ampiezza, periodo,

sfasamento

• Calcolare il valore di funzioni goniometriche conoscendo il valore di una di

esse e una limitazione relativa agli angoli

• Calcolare il valore di espressioni goniometriche

• Conoscere e applicare le formule che permettono di trovare il seno e il coseno

di un angolo in funzione della tangente

• Risolvere semplici problemi geometrici utilizzando le funzioni goniometriche

LE EQUZIONI GONIOMETRICHE

• Calcolare le funzioni goniometriche di angoli associati

• Applicare le formule di addizione, sottrazione, duplicazione, bisezione,

parametriche, prostaferesi, Werner

• Risolvere equazioni goniometriche elementari

• Risolvere equazioni lineari in seno e coseno (metodo grafico)

• Risolvere equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno

• Risolvere disequazioni goniometriche elementari

• Risolvere semplici problemi geometrici

LA TRIGONOMETRIA

• Conoscere l’enunciato del primo e del secondo teorema sui triangoli rettangoli

• Applicare il primo e il secondo teorema sui triangoli rettangoli (problemi

numerici)

• Risolvere un triangolo rettangolo

• Calcolare l’area di un triangolo e il raggio della circonferenza circoscritta

• Conoscere l’enunciato del teorema della corda, del teorema dei seni e del

teorema del coseno

• Applicare il teorema della corda

• Applicare il teorema dei seni

• Applicare il teorema del coseno

• Applicare la trigonometria alla fisica, a contesti della realtà e alla geometria

OBIETTIVI del QUINTO ANNO

LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETA’

• Conoscere la definizione di funzione, funzione iniettiva, funzione suriettiva e

funzione biiettiva, funzione crescente, funzione decrescente, funzione

monotòna

• Analizzare il grafico di una relazione per stabilire se è una funzione

• Classificare una funzione

• Individuare il dominio, il codominio, gli zeri e il segno di una funzione

• Stabilire se una funzione è iniettiva, suriettiva, biiettiva

• Individuare se una funzione è pari o dispari

• Stabilire se una funzione è crescente o decrescente

• Individuare la funzione inversa di una funzione data (grafico simmetrico

rispetto alla retta y=x, equazione)

• Individuare la periodicità di una funzione

• Determinare la funzione composta di due o più funzioni

• Rappresentare il grafico di funzioni polinomiali, esponenziali, logaritmiche

(per punti)

• Trasformare geometricamente il grafico di una funzione

I LIMITI

• Conoscere la definizione di intorno completo, intorno circolare, intorno destro

e intorno sinistro di un punto

• Conoscere il concetto di intorno di meno infinito, intorno di più infinito,

intorno circolare di infinito

• Conoscere la definizione di punto isolato e punto di accumulazione

• Conoscere la definizione di limite di una funzione e il suo significato

geometrico

• Verificare il limite di una funzione mediante la definizione

• Conoscere il concetto di funzione continua in un punto e funzione continua nel

suo dominio

• Conoscere il concetto di limite destro e limite sinistro

• Applicare i primi teoremi sui limiti (unicità del limite, permanenza del segno,

confronto)

• Conoscere la definizione di asintoto, asintoto verticale, asintoto orizzontale e

asintoto obliquo

IL CALCOLO DEL LIMITE

• Calcolare il limite della somma, del prodotto, del quoziente di due funzioni

• Calcolare il limite della potenza di una funzione

• Calcolare il limite della funzione reciproca

• Calcolare limiti che si presentano sotto forma indeterminata ( 0

0,,

∞

∞, ∞ ∙ 0,

+∞ − ∞, ∞°, 0°, 1∞)

• Calcolare limiti ricorrendo ai limiti notevoli

• Confrontare infinitesimi e infiniti

• Conoscere gli enunciati dei teoremi sulle funzioni continue (teorema di

Weierstrass, teorema dei valori intermedi, teorema di esistenza degli zeri)

• Conoscere la definizione di discontinuità di prima specie, seconda specie, terza

specie

• Studiare la continuità o discontinuità di una funzione in un punto

• Calcolare gli asintoti di una funzione

• Disegnare il grafico probabile di una funzione

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE

• Conoscere la definizione di rapporto incrementale e la sua interpretazione

geometrica

• Conoscere la definizione di derivata di una funzione e la sua interpretazione

geometrica

• Conoscere la definizione di derivata destra, derivata sinistra e funzione

derivabile in un intervallo

• Calcolare la derivata di una funzione mediante la definizione

• Calcolare la retta tangente al grafico di una funzione

• Calcolare la derivata di una funzione mediante le derivate fondamentali e le

regole di derivazione (con dimostrazione)

• Calcolare le derivate di ordine superiore

• Conoscere la definizione di punto stazionario, flesso a tangente verticale,

cuspide, punto angoloso

• Conoscere il legame tra funzioni derivabili e funzioni continue

• Stabilire la continuità e la derivabilità di una funzione

• Conoscere l’enunciato del teorema di Lagrange, di Rolle e la loro

interpretazione geometrica

• Conoscere l’enunciato del teorema di Cauchy, di De L’Hospital

• Applicare il teorema di Lagrange, di Rolle, di Cauchy, di De L’Hospital

• Applicare le derivate alla fisica

LO STUDIO DELLE FUNZIONI

• Determinare gli intervalli di crescenza e decrescenza di una funzione mediante

la derivata prima (funzioni algebriche razionali intere al massimo di terzo

grado, funzioni algebriche razionai fratte 𝑦 =𝑁(𝑥)

𝐷(𝑥) dove N(x) e D(x) sono al

massimo polinomi di secondo grado)

• Conoscere la definizione di massimo assoluto, minimo assoluto, massimo

relativo, minimo relativo, concavità verso l’alto, concavità verso il basso,

flesso

• Determinare i massimi, i minimi e i flessi orizzontali mediante la derivata

prima (funzioni algebriche razionali intere di terzo grado al massimo, funzioni

algebriche razionai fratte 𝑦 =𝑁(𝑥)

𝐷(𝑥) dove N(x) e D(x) sono polinomi al

massimo di secondo grado)

• Determinare i flessi mediante la derivata seconda

• Risolvere i problemi di massimo e di minimo

• Studiare una funzione e tracciarne il grafico (funzioni algebriche razionali

intere di terzo grado al massimo, funzioni algebriche razionai fratte 𝑦 =𝑁(𝑥)

𝐷(𝑥)

dove N(x) e D(x) sono polinomi al massimo di secondo grado)

GLI INTEGRALI

• Conoscere la definizione di primitiva di una funzione e integrale indefinito

• Conoscere le due proprietà degli integrali indefiniti

• Calcolare gli integrali indefiniti di funzioni polinomiali mediante gli integrali

immediati

• Calcolare un integrale con il metodo di sostituzione e con la formula di

integrazione per parti

• Calcolare gli integrali definiti (funzioni polinomiali)

• Calcolare il valor medio di una funzione

• Calcolare l’area di superfici piane

• Applicare gli integrali alla fisica