Università degli Studi di Roma “Tor Vergata”Macro area di Ingegneria

Tesi di Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale

RelatorePaolo Mancuso

CandidatoMatteo Evangelisti

Limiti del modello Black-Scholes-Merton e vantaggi del metodo Monte Carlo: analisi teorica e applicazione alle

opzioni sull’indice S&P 500

Guida introduttiva della tesi

• Studio dei limiti e delle assunzioni che caratterizzano il modello Black-Scholes-Mertonnella valutazione di opzioni.

• Analisi del Metodo Monte Carlo ed applicazione di tecniche migliorative per il pricingdelle opzioni.

.

Oggetto dello studio

Introduzione:

- Le opzioni

Analisi e Valutazioni

- Modello Black-Scholes-Merton

- Metodo Monte Carlo

Conclusioni:

- Risultati generali• Identificare e dimostrare la natura qualitativa delle difformità delle approssimazioni

del modello BSM

• Dimostrare i vantaggi del metodo Monte Carlo, l’efficienza e la flessibilità nel pricingdell’opzione

Obiettivi

Le Opzioni

Un'opzione è un contratto che attribuisce il diritto, ma non l'obbligo, di comprare (opzionecall) o vendere (opzione put) una data quantità di un bene (sottostante) ad un prezzoprefissato(strike price o prezzo di esercizio) entro una certa data (scadenza, o maturità).

Il bene sottostante al contratto di opzione può essere:

• un’attività finanziaria (azione, indice, obbligazioni, valute, ecc…)• materie prime (petrolio, grano, oro, ecc…)• un evento di varia natura

Tipi di Opzioni

Tipo di esercizio Tipo di contratto

• Europee• Americane• Bermudiane

• Plain Vanilla• Esotiche

Tipi di Mercato

• Regolamentati• Non-regolamentati (OTC)

Modello Black-Scholes-Merton

𝒓𝑺𝝏𝑽

𝝏𝑺+

𝟏

𝟐𝝈𝟐𝑺𝟐

𝝏𝟐𝑽

𝝏𝑺𝟐 +𝝏𝑽

𝝏𝒕− 𝒓𝑽 = 𝟎L’equazione del modello:

dove:• 𝒓 = Tasso di interesse free-risk• 𝑺 = Prezzo del sottostante• 𝑽= Prezzo dell’opzione• 𝝈 = Volatilità implicita

𝑪𝒂𝒍𝒍 = 𝒆−𝒓𝑻 𝑺𝟎𝒆𝒓𝑻𝑵 𝒅𝟏 − 𝑲𝑵 𝒅𝟐

Il valore delle opzioni:

𝑷𝒖𝒕 = 𝒆−𝒓𝑻[𝑲𝑵 −𝒅𝟐 − 𝑺𝟎𝒆𝒓𝑻𝑵 −𝒅𝟏 ]

dove:• 𝑻 = Data di scadenza• 𝑺𝟎= Prezzo del sottostante a t=0• 𝑲 = Strike Price• 𝑵 𝒅 = funzione di distribuzione di

una variabile normale standard

• 𝒅𝟏=ln

𝑆0𝐾

+ 𝑟+𝜎2

2𝑇

𝜎 𝑇

• 𝒅𝟐= ln

𝑆0𝐾

+ 𝑟−𝜎2

2𝑇

𝜎 𝑇

ThetaDelta

Le ipotesi del modello:

1. il sottostante è caratterizzato da un moto Browniano geometrico, dove:

• la variabile log(𝑆𝑇

𝑆0) è distribuita secondo una normale standard (𝑆𝑡 log-normale)

• gli eventi sono indipendenti• i fattori 𝝈 𝑒 𝑟 sono costanti

2. non esistono possibilità di arbitraggio;

3. non esistono costi di transazione per operare sul mercato;

4. il sottostante non paga dividendi durante la vita dell’opzione;

5. i titoli vengono negoziati continuamente;

6. i titoli sono scambiati (acquisto e vendita) anche in valori frazionari.

Modello Black-Scholes-Merton

Scostamenti:• Corpo centrale• Picco centrale• Asimmetria

Skewness= - 0.2756

• Code distribuzione Curtosi= 7,1394 > 3

Distribuzione dei rendimenti

Confronto tra le funzioni di densità (Rendimenti vs Normale standard):

"code grasse"(Leptocurtosi)

1) Analisi delle funzioni di distribuzione

2) Analisi dei quantili

I rendimenti non sono distribuiti secondo una normale standard

Indipendenza dei rendimenti

Alternanza dei rendimenti in diversi gruppi con ampiezza simile: Volatility Clusters

Analisi di correlazionedipendenza temporale di grado più

elevato rispetto a quella lineare

Rendimenti non sono indipendenti

Non completa aleatorietà dell’andamento del sottostante

La volatilità è affetta da eteroschedasticità

Volatilità

Informazioni rilevamento dati:

Strike monitorati 1650÷2250

Tipo opzioni call

Durata monitoraggio

1 anno

PeriodoInzio 16/01/14

Fine 16/01/15

PuntiInzio 1848.38

Fine 2019.42

Al decremento della vita residua:

• Aumenta la volatilità su tutti gli strike (in particolar modo nei mesi ad alta volatilità)• Aumenta la pendenza del cosiddetto volatility skew• Le volatilità degli strike deep OTM assumono un andamento crescente all’avvicinarsi della scadenza

La volatilità non è costante

La volatilità nel delta

0.0000

0.1000

0.2000

0.3000

0.4000

0.5000

0.6000

0.7000

0.8000

0.9000

1.0000

10.00

114.41

218.82

323.24

Strike price

De

lta

Time to maturity

Aspetti Principali:• Valore crescente da opzioni OTM a opzioni ITM • Valore di delta intorno allo 0,5 per strike ATM• Decremento del delta delle opzioni OTM (viceversa con gli strike ITM) man mano che ci si avvicina a

scadenza• Notevole decremento del delta su tutti gli strike, in corrispondenza dei mesi a più alta volatilità

(diminuzione dell’indice)

Delta = 𝝏𝑽

𝝏𝑺= probabilità che la corrispondente opzione diventi ITM entro la data di scadenza

Gamma= 𝝏𝟐𝑽

𝝏𝑺𝟐 = sensibilità circa il cambiamento del delta al variare del sottostante

La volatilità nel gamma

30

28

,50

28

26

,60

26

24

,70

24

22

,80

22

20

,90

20

19

,00

18

17

,10

16

15

,20

14

13

,30

12

11

,40

10

09

,50

0.0000

0.0010

0.0020

0.0030

0.0040

0.0050

0.0060

0.0070

0.0080

0.0090

0.0100

10.00

114.41

218.82

323.24

Strike price

Time to maturity

0.0090-0.0100

0.0080-0.0090

0.0070-0.0080

0.0060-0.0070

0.0050-0.0060

0.0040-0.0050

0.0030-0.0040

0.0020-0.0030

0.0010-0.0020

0.0000-0.0010

Gamma

Aspetti principali:• I valori per gli strike OTM e ITM sono circa gli stessi, più ci si avvicina agli strike ATM più il valore del

gamma cresce;• Con il trascorrere del tempo:

la sensibilità del delta aumenta rispetto al movimento del sottostante; gli strike OTM decrescono più lentamente rispetto agli strike ITM.

Aspetti principali:• Nei mesi a più alta volatilità :

il gamma negli strike ITM cresce molto, in quelli OTM decresce notevolmente.

• Presenza di asimmetricità

La volatilità nel theta

Theta = 𝝏𝑽

𝝏𝒕= riduzione del valore dell’opzione al trascorrere del tempo

30

28

,50

28

26

,60

26

24

,70

24

22

,80

22

20

,90

20

19

,00

18

17

,10

16

15

,20

14

13

,30

12

11

,40

10

09

,50

-1.4000

-1.2000

-1.0000

-0.8000

-0.6000

-0.4000

-0.2000

0.0000

0.2000

10.00

114.41

218.82

323.24

Strike price

Time to maturity

0.0000-0.2000

-0.2000-0.0000

-0.4000--0.2000

-0.6000--0.4000

-0.8000--0.6000

-1.0000--0.8000

-1.2000--1.0000

-1.4000--1.2000

Theta

Aspetti principali:• Negatività dei valori del theta • Valori maggiori in corrispondenza dello strike ATM• Valore del theta (in modulo) inversamente proporzionale alla vita residua

• Valori simili per ITM e OTM alla stessa distanza dallo strike ATM

Conclusioni primo studio

Le cause del disallineamento nel pricing:

• La distribuzione dei rendimenti non coincide con quella della normale standard

• I rendimenti non sono delle variabili indipendenti

• la volatilità non è costante ma varia in funzione del tempo e degli strike price

Se il modello fosse completamente corretto:

• Non ci sarebbero sottostime del rischio legato ad eventi non frequenti

• la volatilità implicita sarebbe costante, indipendentemente dallo strike price

Metodo Monte Carlo

Il metodo Monte Carlo consiste in una simulazione numerica basata sul campionamento statistico, in gradodi risolvere problemi la cui complessità li rende intrattabili o poco efficaci da un punto di vista analitico.

1. Calcolo del cammino del sottostante:

𝐶 = 𝑒−𝑟𝑇1

𝑁

𝑖=1

𝑁

max 0, 𝑆𝑖,𝑇 − 𝐾

𝐶𝑖,𝑇 = max 0, 𝑆𝑖,𝑇 − 𝐾

𝑆 𝑇 = 𝑆0𝑒𝑟−

𝜎2

2 𝑇+𝜎𝜺 𝑇

3. Si calcola di ognuno il payoff dell’opzione a cui è legato (opzione call europea):

4. La stima dell’opzione è pari alla media aritmetica dei payoff attualizzati:

2. Si generano N cammini del sottostante, sostituendo N variabili casuali ε diverse

Fasi del metodo:

…per una stima affidabile

1. Scelta numeri casuali:

2. Incremento delle simulazioni

3. Riduzione della varianza:

Legge Grandi Numeri: 𝐶 → 𝐶 con 𝑛 → ∞

Velocità di convergenza molto lenta: 𝑂(

1

𝑁)

Tecnica della variabile antitetica: si considera per ogni variabile 𝜀, anche il suo opposto

𝐶𝑎𝑣,𝑖 =𝐶𝑖 + 𝐶𝑖

2

𝑇~x2

> 𝑉𝑎𝑟[ 𝐶]

2

Tecnica della variabile di controllo: si ricorre ad un’altra variabile 𝑆 correlata alla precedente, di valore noto:

𝐶𝛾 = 𝐶 + 𝛾(𝑆 − 𝑆) con 𝛾 = −𝐶𝑜𝑣 𝑋,𝑌

𝑉𝑎𝑟 𝑌

∆𝐶 ∝ varianza delle stime stesse

• Non correlati• Diversità dei numeri• Distribuiti secondo

la normale standard

Numeri pseudocasuali

Funzione randn (MATLAB)

Metodo Box-Muller

𝑌1 = −2𝑙𝑛𝑋1 cos 2𝜋𝑋2

𝑌2 = −2𝑙𝑛𝑋1 sin 2𝜋𝑋2

…per una maggiore accuratezza della stima: Metodo quasi-Monte Carlo

Numeri pseudocasualiSequenze di numeri deterministiche

oSequenze a bassa discrepanza

Tipi di sequenze:1. Sequenza di Halton2. Sequenza di Faure3. Sequenza di Sobol

Sequenze a bassa discrepanza

Griglie equispaziate

Svantaggi delle sequenze:All’aumentare delle dimensioni:

• Presenza di correlazione tra le singole sequenze di numeri• Perdita di uniformità nella disposizione dei punti• 𝑂 𝑙𝑛𝑁 𝑚/𝑁

• maggiore flessibilità in casi multidimensionali• sequenzialità nell’inclusione di nuovi punti• riduzione dell’errore dovuto alla

discretizzazione

1 2 3

Implementazioni: 1 data di monitoraggio

Parametri implementazioniTipo opzione Strike price S0 Prezzo BS T r σ N. Simulazioni

call 1850 1848.38 $146,44 1 0.30% 19.59% 10000 ÷ 100000

N°simulazioni MC MCBX

10000 0.5957 0.1575

20000 0.1575 1.157230000 0.0342 0.3013

40000 0.9586 0.054850000 0.6231 0.3492

60000 0.9107 0.705370000 0.1506 0.616380000 0.0616 0.2739

90000 0.3766 0.0137100000 0.3766 0.4040

Media 0.4245 0.4033

MCAV MCCV

0.8765 0.5023

0.0479 0.83880.1849 0.7601

0.3150 0.07800.2807 0.1602

0.2739 0.13760.0411 0.07670.2807 0.2325

0.2534 0.03680.4451 0.0849

0.2999 0.2908

Riduzione varianza Sequenze a bassa discrepanzaHalton Faure Sobol

0.2073 0.1784 0.1612

0.1109 0.1150 0.08900.0894 0.0781 0.0741

0.0587 0.0705 0.04470.0526 0.0399 0.0414

0.0472 0.0472 0.03790.0377 0.0377 0.03420.0306 0.0306 0.0276

0.0315 0.0315 0.02880.0276 0.0276 0.0251

0.0694 0.0657 0.0564

Halton BM0.02670.0307

0.02250.01290.01330.01190.0121

0.01120.00360.0088

0.0154

-25%-80% -78%

Tempo(s) MC MCBX

Media 0.04 0.37

MCAV MCCV

0.16 0.17

Halton Faure Sobol

2.11 0.54 0.24

Halton BM

2.46

-55% +30% +90%

N-step=50

N-step=252

N-step = 1

Implementazioni: n date di monitoraggio

ERRORI RELATIVI

TEMPI

+93%+85%

Steps MC MCBX MCAV MCCV Halton HaltonBX Faure Sobol

10 0.6435 0.6367 0.3881 0.3403 0.3335 0.4229 0.0926 0.0828

20 0.5411 0.5111 0.3107 0.3452 1.1420 0.8793 0.2378 0.2094

50 0.7136 0.7245 0.2982 0.2941 5.7804 16.3244 0.5084 0.4813

100 0.6280 0.6090 0.2778 0.4448 17.1822 >100 0.6690 0.6726

252 0.7293 0.7301 0.4879 0.2621 25.1152 >100 0.8805 0.8707

Steps MC MCBX MCAV MCCV Halton HaltonBX Faure Sobol

10 0.6435 0.6367 0.3881 0.3403 0.3335 0.4229 0.0926 0.0828

20 0.5411 0.5111 0.3107 0.3452 1.1420 0.8793 0.2378 0.2094

50 0.7136 0.7245 0.2982 0.2941 5.7804 16.3244 0.5084 0.4813

100 0.6280 0.6090 0.2778 0.4448 17.1822 >100 0.6690 0.6726

252 0.7293 0.7301 0.4879 0.2621 25.1152 >100 0.8805 0.8707

Steps MC MCBX MCAV MCCV Halton HaltonBX Faure Sobol

10 0.18 2.34 0.17 0.18 22.42 20.16 0.56 0.34

20 0.27 3.89 0.23 0.22 41.94 39.15 0.74 0.43

50 0.51 7.69 0.42 0.34 100.05 96.16 1.05 0.75

100 1.05 16.50 1.05 1.05 217.23 192.87 1.87 1.26

252 2.57 35.26 1.63 1.09 594.09 483.88 4.01 3.24

Steps MC MCBX MCAV MCCV Halton HaltonBX Faure Sobol

10 0.18 2.34 0.17 0.18 22.42 20.16 0.56 0.3420 0.27 3.89 0.23 0.22 41.94 39.15 0.74 0.4350 0.51 7.69 0.42 0.34 100.05 96.16 1.05 0.75

100 1.05 16.50 1.05 1.05 217.23 192.87 1.87 1.26252 2.57 35.26 1.63 1.09 594.09 483.88 4.01 3.24

+94%-9%

N-step=10N

-step

Conclusioni secondo studio

Vantaggi riscontrati nell’uso del metodo::

• Indipendenza della velocità di convergenza dei metodi MC al variare della dimensione

• Possibilità di riprodurre migliaia di possibili scenari del sottostante con un tempo trascurabile

• Semplicità dei calcoli

• Flessibilità e versatilità del metodo rispetto ad eventuali cambiamenti (opzioni e tecniche applicabili)

Risultati generali:

• L’errore relativo sin dall’inizio è molto ridotto;

• La tecnica della variabile di controllo risulta molto efficace;

• I numeri a bassa discrepanza:

risultano più efficaci rispetto ai numeri pseudocasuali con poche date di monitoraggio dalle 50 date di monitoraggio subiscono una notevole degradazione della sequenza in entrambe le analisi presentano tempi di implementazioni maggiori ai numeri pseudo

casuali

Conclusioni generali

Nonostante i limiti osservati, il Modello Black-Scholes-Merton rimane un solido riferimento per imodelli finanziari che lo hanno susseguito.

• Ha risolto le grandi difficoltà basate sul legame tra sottostante e strumento derivatoper il pricing di quest’ultimo

• Ha introdotto un concetto di volatilità come aspettativa del movimento del mercato(volatilità implicita)

• Fornisce una formula chiusa in grado di fornire il valore e descrivere le caratteristiche delle opzioni

Il Metodo Monte Carlo risulta essere:

• Un valido strumento da affiancare ad un metodo analitico, come appunto il modello BSM

• Un metodo applicabile anche per altri tipi di opzioni (esotiche).

“ La fortuna è cieca e il denaro non ha odore, dicono i proverbi comuni. Ecco perché gli uomini di finanza si sforzano di perfezionare il tatto. ”

(Jean Francois Paul Laffitte)

Grazie per l’attenzione