Analisi matematica I Limiti e successioni
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Limiti e continuità
2
Limiti e successioni
Definizione di intorni
Limite finito di una successione
Limite infinito di una successione
Successioni monotòne
Numero di Nepero
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Limiti e successioni
4
Intorni
Sia un punto della retta reale, e sia
un numero reale
Si dice intorno di di raggio l’intervallo
aperto e limitato
x0 ∈ Rr > 0
x0 r
Ir(x0) = (x0 − r, x0 + r)
= {x ∈ R : |x− x0| < r}
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Intorni
6
Intorni
Ia(+∞) = (a,+∞)Si dice l’intorno di di estremo superiore
l’intervallo aperto
a−∞
Ia(−∞) = (−∞,−a)
Sia un numero reale
Si dice intorno di di estremo inferiore
l’intervallo aperto
a ≥ 0+∞ a
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Intorni
Intorno di (a sinistra) e di (a destra)−∞ +∞
Intorno di
Intorno di
Ia(+∞) = (a,+∞)Ia(−∞) = (−∞,−a)
+∞:−∞:
8
Intorni
Sia un punto della retta reale, e sia
un numero reale
Si dice intorno destro di di raggio
l’intervallo semiaperto e limitato
r > 0x0
I+r (x0) = [x0, x0 + r)
= {x ∈ R : 0 ≤ x− x0 < r}
x0 ∈ Rr > 0
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Intorni
Sia un punto della retta reale, e sia
un numero reale
Si dice intorno sinistro di di raggio
l’intervallo semiaperto e limitato:
r > 0x0
I−r (x0) = (x0 − r, x0]
x0 ∈ Rr > 0
= {x ∈ R : 0 ≤ x0 − x < r}
Limiti e successioni
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Esempio 1
Sia
Notiamo che i valori
di si avvicinano a 1
al crescere di
an
an =n
n+ 1
n
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Esempio 2
Sia
Si può “congettuare”
che i valori di
si avvicinano ad un
certo numero reale
la cui rappresentazione
decimale inizia
con 2.718 . . .
an
an =
µ1 +
1
n
¶n
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Limite finito di una successione
Si dice che la successione
tende al limite (oppure converge a ,
oppure ha limite )
e si scrive
` ∈ R`
`
a : n 7→ an
limn→∞an = `
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Limite finito di una successione
∀ε > 0 ,∀n ≥ n0, n > nε
∃nε tale che
⇒
se
|an − `| < ε
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Limite finito di una successione
Con la terminologia degli intorni, la condizione di
limite può essere espressa come:
tale che
⇒
∀Iε(`) , ∃Inε(+∞)∀n ≥ n0, n ∈ Inε(+∞) an ∈ Iε(`)
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Esempio
Riprendiamo l’esempio
Vale
an =n
n+ 1
limn→∞
n
n+ 1= 1
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Esempio
Vale
Infatti, fissato ε > 0,
limn→∞
n
n+ 1= 1
|an − 1| < ε1
n+ 1< ε⇔
¯̄̄̄n
n+ 1− 1¯̄̄̄< ε ⇔
n+ 1 >1
ε⇔
18
Esempio
Definiamo se avremo nε =
∙1
ε
¸, n > nε,
⇔ |an − 1| < εn+ 1 >
∙1
ε
¸+ 1 >
1
ε
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Esempio
Ossia
∀ε > 0 , ∃nεn > nε
tale che
⇒ |an − 1| < ε
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Esempio
Convergenza della successione an =n
n+ 1
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Limiti e successioni
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Esempio
Sia
Notiamo che i valori
di crescono al
crescere di nan
an = n2
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Limite infinito di una successione
Si dice che la successione
tende a (oppure diverge a oppure ha
limite ) e si scrive
a : n 7→ an+∞
+∞+∞
limn→∞an = +∞
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Limite infinito di una successione
se
∀A > 0 , ∃nA∀n ≥ n0, n > nA an > A
tale che
⇒
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Limite infinito di una successione
In termini di intorni, possiamo dire che
tale che
⇒
∀IA(+∞) , ∃InA (+∞) ∀n ≥ n0,n ∈ InA (+∞) an ∈ IA(+∞)
26
Limite infinito di una successione
Analogamente:
se
∀A > 0 , ∃nA ∀n ≥ n0,n > nA an < −A
tale che
⇒
limn→∞an = −∞
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Limite infinito di una successione
Analogamente:
oppure se
tale che
⇒
∀n ≥ n0,∀IA(−∞) , ∃InA (+∞)n ∈ InA (+∞)
limn→∞an = −∞
an ∈ IA(−∞)
28
Esempio
Riprendiamo l’esempio
Vale
Infatti, fissato poniamo
si ha
A > 0
n > nA n >√A⇒ ⇒
an = n2
limn→∞n
2 = +∞
nA = [√A]
n2 > A
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Limiti di successioni
Riassumendo
limn→∞an =
` ∈ R {an} si dice successione convergente
±∞ {an} si dice successione divergente
Se
la successione si dice indeterminata
limn→∞an
non esiste
30
Esempi
Sono indeterminate le successioni
an = (−1)nse è pari,
se è dispari
2n
0
n
n=an = (1 + (−1)n)n
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Limiti e successioni
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Una successione è monotona crescente
se
Una successione è monotona decrescente
se
Successioni monotòne
{an}
∀n ≥ n0, an ≤ an+1
{an}
∀n ≥ n0, an ≥ an+1
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Sia una successione crescente
essa è convergente oppure divergente
Precisamente:
i) Se la successione è superiormente limitata
allora la successione converge verso l’estremo
superiore della sua immagine
Teorema
{an} ⇒
`
limn→∞an = sup {an : n ≥ n0} = ` ∈ R
34
Sia una successione crescente
essa è convergente oppure divergente
Precisamente:
ii) Se la successione non è superiormente limitata,
allora essa diverge a
Teorema
{an} ⇒
+∞
limn→∞an = +∞
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Sia una successione decrescente
essa è convergente oppure divergente
Precisamente:
i) Se la successione è inferiormente limitata
allora la successione converge verso l’estremo
inferiore della sua immagine
Teorema
{an}
`
limn→∞an = inf {an : n ≥ n0} = ` ∈ R
⇒
36
Sia una successione decrescente
essa è convergente oppure divergente
Precisamente:
ii) Se la successione non è inferiormente limitata,
allora essa diverge a
Teorema
{an}
−∞
limn→∞ an = −∞
⇒
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Riprendiamo l’esempio
La successione è strettamente
crescente
Esempio
an =n
n+ 1
an =n
n+ 1
38
Esempio
Infatti an < an+1n
n+ 1<n+ 1
n+ 2⇔
⇔ n(n+ 2) < (n+ 1)2
n2 + 2n < n2 + 2n+ 1⇔
vero per ogni n
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Esempio
Inoltre
Pertanto
sup{an : n ∈ N} = 1
limn→∞
n
n+ 1= 1
Limiti e successioni
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La successione
è strettamente crescente e limitata.
Pertanto esiste il
Tale numero si chiama numero di Nepero
Numero di Nepero
an =
µ1 +
1
n
¶n
limn→∞an ∈ R
limn→∞
µ1 +
1
n
¶n= e
e
42
Numero di Nepero
Si dimostra che è irrazionale
Le sue prime cifre decimali sono
Numero di Nepero
e = 2.71828182845905 · · ·
limn→∞
µ1 +
1
n
¶n= e