1
L’INTEGRALE DEFINITO
dx xfb
a
2
1. Mappa concettuale
2. Le successioni numeriche
3. Il Trapezoide – area del Trapezoide
4. L’integrale definito – def. Di Riemann
5. Funzioni integrabili secondo Riemann
6. Proprietà dell’integrale definito – teorema della media
7. La funzione integrale – teorema di Torricelli-Barrow e corollario
8. Regole d’integrazione – “per parti” e “per sostituzione”
9. Calcolo di aree di domini piani – teorema di Archimede
10. Volumi di figure di rotazione
11. Integrali impropri o generalizzati
12. Applicazioni del calcolo integrale alla fisica
ARGOMENTI
3
c
»
CONCETTOdi
LIMITE
L’INTEGRALE DEFINITOè il limite
di una successione
LA DERIVATAè il limite
del rapp.increm.
L’INTEGRALE INDEFINITO
è l’insieme infinitodelle PRIMITIVE
INTEGRALE DEFINITOe AREA del
TRAPEZOIDE
TEOREMA FONDAMENTALE
DEL CALCOLO INTEGRALE
4
LE SUCCESSIONI NUMERICHE
Una successione è una funzione reale di variabile naturale: f: N R (Dominio N e Codominio R)
Una successione può essere definita:
1. Mediante la formula che definisce il termine n-esimo: an = 2n2+1 nN
2. Per ricorrenza, cioè indicando i primi termini e la legge che lega un termine al precedente:
a0= 0, a1= 1, … , an+2= an+1+an
(a0=0, a1=1, a2=1, a3=2, a4=3, a5=5, a6=8, a7=13, a8=21 … successione di Fibonacci).
5
LIMITI DELLE SUCCESSIONI
Non ha senso considerare il limite di una successione per n tendente ad un valore finito, ma, essendo il
dominio N illimitato superiormente, è interessante studiare il limite di una successione per n + .
Definizioni:
1. Successione convergente: si dice che una successione {an} converge verso l, e si scrive
se R+ esiste un nN, tale che si verifichi |an-l| < an con n > n .
2. Successione divergente: diverge positivamente se
diverge negativamente se
3. Successione indeterminata: si dicono indertminate le successioni che non sono nè convergenti, nè divergenti.
lann
lim
nn
alim
nn
alim
6
DUE PARTICOLARI SUCCESSIONI
1. Progressione aritmetica: è una successione definita per ricorrenza dando il primo termine a1 e la legge che definisce i termini successivi nel modo seguente:
a1, a2=a1+d, a3=a2+d, … , an+1=an+d Il numero reale d prende il nome di ragione.
La somma dei primi n termini è data dalla formula:
d2
1nnna n
2
aa aS 1
1 nn
1kkn
2. Progressione geometrica: è una successione definita per ricorrenza dando il primo termine a1 e la legge
che definisce i termini successivi nel modo seguente: a1, a2=a1q, a3=a2q , … , an+1=anq
Il numero reale q prende il nome di ragione.
La somma dei primi n termini è data dalla formula:
1qse a nS
1qse q-1
q-1a aS
1
1
n
nn
1kkn
7
IL TRAPEZOIDE
Sia f(x) una funzione continua nell’intervallo [a;b] , con a < b, e supponiamo che ivi sia non negativa.
Definizione: Trapezoide è il quadrilatero mistilineo ABCD delimitato dalla curva γ di equazione y = f(x), dall’asse delle x e dalle parallele AD e BC all’asse delle y.
8
L’AREA DEL TRAPEZOIDE
Scomponiamo l’intervallo [a;b] in n intervallini parziali qualsiasi, che solo per comodità espositiva assumiamo uguali, e indichiamo con h l’ampiezza di questi intervalli. Siano mi e Mi , rispettivamente, il
minimo e il massimo dei valori di f(x) nell’iesimo intervallino (mi e Mi esistono per il teorema di
Weierstrass), e consideriamo le seguenti due somme:
hMS hmsn
iin
n
iin
11
9
hMS hmsn
iin
n
iin
11
sn prende il nome di plurirettangolo inscritto nel trapezoide, ed è la somma delle aree degli n rettangoli aventi per basi gli intervallini in cui è stato diviso l’intervallo [a;b] e per altezze le ordinate minime mi della curva in tali intervallini;
Sn prende il nome di plurirettangolo circoscritto al trapezoide, ed è …
Evidentemente sn≤ Sn , qualunque sia n. Il valore delle somme sn e Sn dipende, evidentemente, dalla scomposizione adottata per [a;b]:
sn e Sn sono due funzioni reali della variabile naturale n, sono cioè due successioni.
Teorema.
Se f(x) è una funzione continua e non negativa in [a;b], le due successioni sn e Sn sono convergenti e convergono verso lo stesso numero, cioè ammettono lo stesso limite finito per n + e risulta:
hM hmlimn
ii
n
ii
11 nn
lim
Definizione:
Chiamasi area del trapezoide ABCD, delimitato dalla curva di equazione y = f(x), con f(x) ≥ 0, dall’asse delle x e dalle parallele AD e BC all’asse delle y, il numero che rappresenta il limite comune per n + delle somme sn e Sn .
10
L’INTEGRALE DEFINITO
Definizione di integrale definito secondo Riemann:
Data la funzione f(x), continua in [a ; b], con a < b, il valore comune del limite delle successioni sn ed
Sn si chiama integrale definito della funzione continua f(x) esteso all’intervallo [a ; b], e si indica con la scrittura:
nnnn
b
aSlim slim dx xf
Si legge: integrale definito da a a b di f(x) dx .
I numeri a e b si dicono estremi dell’integrale: a - estremo inferiore, b - estremo superiore.
La funzione f(x) si chiama funzione integranda, la variabile x si chiama variabile d’integrazione.
N.B. In questa definizione non viene fatta l’ipotesi che f(x) sia non negativa in [a ; b].
11
Se per ogni x [a, b] la funzione f(x) è non negativa e integrabile, allora
rappresenta l'area dell'insieme: {(x, y) : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}.
0
4dxsinx 2Area infatti
4Area 0dxsinx
, mentre,
12
Esempi di calcolo dell’integrale definito.
1. Considero la funzione f(x) = px + q e calcolo l’integrale definito
La f(x) è continua in [a ; b].
. dx qpxb
a
βqβ1nap...βqβapβqpa
n
abm...
n
abm
n
abms
:quindiavrà Si
qn
abkapqpxM
qn
ab1kapqpxm
n21n
n
abβ pongo
kk
1kk
2
1nn
n
abpabqpaS:teanalogamene
2
1nn
n
abpabqpas
2
1nn1n...21 essendo
1n...21pββqpanβnqβ1n...21pnpa
2
2
:ottiene si 1)ragione di aritmeticane progressiouna di(somma
2
nn
13
Calcoliamo ora l’integrale definito:
. 1
n
1nnlim essendo
2
a-bp abqpa
b
a
dx qpx
n
1nnlim
2
a-bpabqpa
n
1nnlim
2
a-bpabqpa
b
a
dx qpx
2
1nn
n
abpabqpalim
2
1nn2
n
abpabqpa
b
a
lim dx qpx
Slim s
b
a
lim dx qpx
2n
2
2n
2
2n
2
2
nn
n n n
n
Si può anche scrivere :
a-b 2
qpbqpa
2
a-bp abqpa
b
a
dx qpx2
L’ultima espressione è la formula per l’area del trapezio !
14
Osservazione importante:
L’espressione precedente si può scrivere nel seguente modo:
b
a
qa2
2ap -qb2
2bp a-b 2
qpbqpa dxqpx
Il valore dell’integrale coincide con la differenza agli estremi dell’intervallo d’integrazione [a ; b] della funzione
qpxxf di primitiva una è dxqpxxFdove qx 2
xpxF
2
Si può scrivere quindi: . b
a
aF b Fdxqpx
Il teorema fondamentale del calcolo integrale (Torricelli-Barrow) spiega tale concetto.
15
2. Considero la funzione f(x) = 2 x e calcolo l’integrale definito La f(x) è continua in [1 ; 2].
. dx 2 2
1
x
Dividiamo l’intervallo [1;2] in n parti uguali, mediante i punti
x0, x1, … , xn-1, xn :
22...22n
222...22
n
1
n
12S
2...221n
22...222
n
1
n
12s
2x ,n
1n1x ,
n
21x ,
n
11x 1,x
:avrà si ,n
1
n
ab poichè
n
1n
n
2
n
12n
1n1
n
21
n
11n
1i
xn
n
1n
n
2
n
1
n
1n1
n
21
n
111n
0i
xn
n1n210
i
i
Le somme fra parentesi sono quelle di n termini in progressione geometrica di ragione 21/n , perciò si può scrivere:
21
n1
22S ricava site analogamene
21
n1
2
21
1
n
2
21
21
n
2
21
21
n
2s
n
1n
1
n
n
1
n
1
n
1
n
1
n
n
1
n
16
e2log Hospitall'De ... 21
n1
22lim 21
n1
2 lim2
S lims lim2
2n1
n1
nn1n
2
1
nnnn
2
1
x
x
...dx
dx
Anche in questo caso osservo che il valore dell’integrale coincide con la differenza agli estremi dell’intervallo d’integrazione [1 ; 2] della funzione
x2 xf di primitiva una è dx2xFdove e log2xF xx2
Si può scrivere quindi: . 22
1
e 2loge 2log-elog 2 1F 2 Fdx222
x2
17
FUNZIONI INTEGRABILI
Teorema
Condizione necessaria affinché f(x) sia integrabile nell’intervallo [a; b] è che sia limitata in [a;
b] .
La condizione non è sufficiente.
Esempio: la funzione f(x) sia definita in [a; b] dalla seguente legge:
Questa funzione, pur essendo limitata in [a; b], ivi non è integrabile secondo Riemann, perché, come
si dimostra facilmente
TeoremaCondizione sufficiente affinché f(x) sia integrabile nell’intervallo [a; b] è che sia continua in [a; b] .
Classi di funzioni integrabili:• Ogni funzione f : [a, b] R continua è integrabile; • Ogni funzione f : [a, b] R limitata e monotona è integrabile;• Ogni funzione f : [a, b] R limitata con un numero finito o numerabile di punti di discontinuità di prima o terza specie è integrabile.
eirrazionalè x se 1,
razionaleè x se 0, xf
Ss nn
nn
limlim
18
19
PROPRIETA’ DELL’INTEGRALE DEFINITO
Definizioni:
1. se a < b si pone:
2. se a = b
Teoremi: 1.
2.
3.
4.
5.
6.
proprietà additiva
b
a
b
a
dxxf dx xf
20
7. Teorema della media
Sia f(x) una funzione continua sull'intervallo [a, b], allora esiste almeno un punto c [a, b] tale che
(*)
Il valore f(c) si chiama valor medio della funzione nell’intervallo [a ; b].
Dimostrazione: Indicati con m ed M il minimo e il massimo di f(x) in [a ; b], con a < b, si ha:
Mab
dxxf
m abMdxxfabm
b
ab
a
L’espressione
ab
dxxfb
a
è un numero compreso fra il minimo m e il massimo M della funzione; per il teorema dei valori intermedi, esiste almeno un punto c [a, b] in cui la f(x) assume tale valore, in cui cioè si verifica la (*).
21
Interpretazione geometrica del teorema della media.
Il valore della funzione in c, f(c), è il valore medio della funzione relativamente all’intervallo considerato.
Nota l’analogia con la definizione di media aritmetica ponderata.
In particolare, se la f(x) è non negativa in [a ; b] , l’integrale definito rappresenta l’area del trapezoide e il valore della funzione in c, f(c), è l’altezza del rettangolo avente per base l’intervallo [a;b] ed equivalente come area al trapezoide.
22
FUNZIONE INTEGRALE
Fissato x0 [a, b], per funzione integrale si intende la funzione F (x) definita sull'intervallo [a, b]:
Si osservi che la variabile della funzione F(x) è l'estremo superiore dell'intervallo di integrazione.
23
La Funzione Integrale – altra interpretazione grafica
24
TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE(Torricelli-Barrow)
Data una funzione f(x) continua sull'intervallo [a, b], la funzione integrale
è derivabile x [a, b], e si ha: F'(x) = f (x) e F(a) = 0 .
Dimostrazione: prendo due punti qualsiasi di [a;b], x e x + h, quindi considero il rapporto incrementale della F(x):
dt tfxFx
a
. hxx;c con cf mediadella teorema il per
h
dttf
h
dttfdttfdttf
additiva proprietà la per h
dttfdttf
h
xFhxF
hx
x
x
a
hx
x
x
a
x
a
hx
a
25
Calcolo il limite del rapporto incrementale per h 0:
. xfdella continuità di ipotesil' per xf cf h
xFhxF
xchh 00limlim
Quindi ho dimostrato la prima parte della tesi: la F(x) è derivabile e risulta F’(x) = f(x) .
La seconda parte della tesi si dimostra immediatamente essendo:
. 2Ne definizionla per 0dxxfaFa
a
dxxfb F:neOsservaziob
a
26
Corollario del Teorema fondamentale del calcolo integrale
Data la funzione f(x) continua sull'intervallo [a, b], φ(x) sia una primitiva di f(x), allora si ha:
ba
b
a
x ab dxxf
Dimostrazione:
Le funzioni F(x) e φ(x) sono due primitive di f(x), quindi differiscono per una costante k, cioè
φ(x) = F(x) + k φ(x) = + k , quindi, poiché , si ha: x
a
dttf a
a
0dttf
. abdttf kdttfb
kab
a
b
a
Regola:
L’integrale definito tra a e b della f(x), continua in [a;b], è dato dalla differenza dei valori assunti da una primitiva φ(x), rispettivamente, nell’estremo superiore b e nell’estremo inferiore a dell’integrale stesso.
27
6
49x
2
3x
3
1x
2
3x
3
1x
2
3x
3
1
dx 3xxdx3xxdx3xx ...3x 0per x 03xx ...dx3xx 6.
2
ln2
4
π x1ln
2
1xarctgx ... parti)(per ... dxarctgx 5.
951110485xxxdx52x3x 4.
2
ln2 ln1
2
2ln lncos0
4
πlncos lncosx tgxdx 3.
1e e dxe 2. 2
314
2
1x
2
1xdx 1.
:Esempi
4
3
233
0
230
1
23
4
3
23
0
24
1
0
1
222
1
0
21
0
2
123
2
1
2
4π0
4π
0
1
0x
1
0
x2
1
22
1
28
. 2
1x
2
1y ;1x
2
10-y
(1)' Fm
1)-m(xF(1)-y
:ha si , x1
x(x)' F e 0
t1
tF(1) poichè :Risposta
1. xascissa di punto neldt t1
tF(x) funzione della grafico al tangenteretta della equazionel' Determina 8.
.altol' versoè F(x) della concavità la , x di valoriper tali e
k2
xkper 0sin2x ; 02sinxcosx ; 0(x)'' F
;2sinxcosx (x)'' F (x),sin (x)' F
0.(x)'' F che è altol' versoconcavità laper esufficient e necessaria condizione la quindi
,derivabile è F(x) :Risposta
.altol' versoconcavità la volgeessa cuiin intervalli gli Barrow,Torricelli di teoremadel servendoti determina,
,(t)dt sinF(x) funzione la Data 7.
4
1
14
x
14
2
x
0
2
29
Grafico della funzione integrale F(x)
Se fosse sempre facile determinare una primitiva di una funzione, per studiare la funzione integrale F(x),
basterebbe determinare una primitiva (x) della f(x), quindi porre F(x) = (x) - (a), come, per esempio:
Questo procedimento non sempre è agevole e conviene tener presente quanto segue.
Il teorema di Toricelli-Barrow afferma che, data una funzione f(x), continua sull'intervallo [a, b],
la sua funzione integrale è derivabile x [a, b], e si ha: F’(x) = f (x) e F(a) = 0 .
Osserviamo, quindi che:
a. se f(x) > 0 F(x) è crescente, se f(x) < 0 F(x) è decrescente;
b. se f(x) = 0 esistono punti stazionari (a tangente orizzontale) par la F(x);
c. se f(x) è dispari F(x) è pari;
d. se f(x) è pari e a = 0 F(x) è dispari.
Dalle due figure seguenti si comprende il significato della condizione ‘ a = 0 ’.
dt tfxFx
a
. 3
1x
3
1t
3
1dtt)x(F 3
1
3
1
2xx
30
31
32
Esempio: studia la funzione ( in questo caso non è facile trovare la primitiva! )
Poiché si ha che:
dominio F(x): tutto R; F(x) > 0 per x > 0 (la funzione integranda è sempre positiva!);
F(x) = 0 per x = 0 ( F(a) = 0), quindi passa per l’origine;
per quanto detto sopra, ai punti a,b,c,d, si ha:
a. F’(x) = f(x) > 0 x R F(x) è sempre crescente in R;b. F’(x) = f(x) = 0 per nessun valore di x, quindi F(x) non ha punti stazionari;d. f(x) è pari e a = 0, quindi la F(x) è dispari.
quindi concavità verso l’alto per x < 0, verso il basso perx > 0 e punto di flesso discendente nell’origine, con tangente y = x ( y =F’(0)x , con F’(0)=1 ).
Tenuto presente che , si riconosce che le tangenti al grafico di F(x) hanno, al
tendere di x a ± , coefficienti angolari sempre più piccoli: ciò suggerisce l’esistenza di due asintotiorizzontali, uno per x + e uno per x - .
Da quanto detto, il grafico sarà:
. R con x dte)x(Fx
0
2t
2xe)x(f
, 0per x 0)x(F ; xe2)x(F ' 'x' ' 2
0elim)x(Flim2x
x x
33
.2
π y equazione hanno iorizzontal asintoti gli cioè ,
2
πF(x)lim che dimostra Si
x
. 2
dxe : Gauss di integrale dell'
valoreil determina si scient., liceo V di programma il oltre vannoche i,particolar metodiCon
0
2x
34
REGOLE DI INTEGRAZIONE
1. Integrazione per parti
Siano f e g due funzioni continue con le derivate f ' e g' continue nell'intervallo [a, b], allora vale:
g(x) si dice fattore finito f '(x)dx si dice fattore differenziale Per gli integrali indefiniti si ottiene la seguente relazione:
35
2. Integrazione per sostituzione
Sia f : [a, b] R una funzione continua, sia φ : [α, β] [a, b] una funzione continua e derivabile con continuità.Sia inoltre φ: ([α, β] ) = [a, b], allora, preso un qualsiasi intervallo [c, d] [a, b], esistono due valori γ, δ tali che c = φ(γ), d = φ (δ) e vale la formula:
Si osservi che l'intervallo [γ, δ] non è univocamente determinato.
Se la funzione φ è invertibile allora l'intervallo [γ, δ] è univocamente determinato, in tal caso si può scrivere:
Per gli integrali indefiniti si ottiene la seguente relazione:
36
Esempio
Considero la funzione f(x) = x e l’integrale definito . xdx4
1
Sia inoltre φ(t) = t2, funzione non invertibile (si deve effettuare una restrizione per renderla invertibile) e sia
x = φ(t), cioè x = t2 e
Osservo che l’intervallo di x [1;4] è immagine di quattro intervalli di t:
[1;4] = φ([1;2]) = φ([-1;2]) = φ([1;-2]) = φ([-1;-2]) .
Effettuando la sostituzione x t2, ( dx = d(t2) dx = 2tdt ), si ha:
2
15 dtt2 dt t2 dtt2 dtt2 xdx
2
1
32
1
32
1
32
1
34
1
. xt
37
4
1
2
1
3dxx 2xdx
38
4
1
2
1-
3dxx 2xdx
39
4
1
-2
1
3dxx 2xdx
40
4
1
-2
1-
3dxx 2xdx
41
Altro esempio (integrazione per sostituzione)
Sia f(x) una funzione reale di variabile reale, continua su tutto l’asse reale, tale che:
Di ciascuno dei seguenti integrali:
dire se le condizioni assegnate sono sufficienti per calcolarne il valore e, in caso di risposta affermativa, qual è questo.
Risoluzione.
Per il primo integrale le condizioni non sono sufficienti, per gli altri si, infatti:
per gli integrali 1, 2, 3, poniamo x/2 = t, cioè x = 2t , dx = 2dt e gli estremi d’integrazione diventano
x = 0 t = 0; x = 1 t = 1/2; x = 2 t =1, quindi
. 5dx xf (b) e 2dx xf (a)2
0
1
0
1
0
4
2
2
0
1
0
,dx 2xf 4. ;dx 2
xf 3. ;dx
2
xf 2. ;dx
2
xf 1.
42
2
0
1
0
2
0
0
1
2
1
4
2
1
0
2
0
21
0
1
0
(b). integralel'per 2
5- dt tf
2
1
) 2t1 x0,t0 xneintegraziod' estremicon
dt/2,dx t/2, xcioè t,2x poniamo dx 2xf 4.
(b). e (a) integrali gliper e additiva proprietà laper
-14 5-2-2 dttfdttf2 dttf2 dx 2
xf 3.
(a). integralel'per 4dttf2 dx 2
xf 2.
! valoreil calcolarneper isufficient sononon condizioni le
? dttf2 dx 2
xf 1.
43
CALCOLO DI AREE DI DOMINI PIANI
Definizione di dominio piano normale: date due funzioni f(x) e g(x) continue in [a ; b], tali che
g(x) f(x) x [a ; b], si chiama dominio piano normale rispetto all’asse x l’insieme T dei punti P(x;y) del piano così definito: T = {(x ; y) | a x b e g(x) y f(x)}.
Area: l’area del dominio T è data da:
dx g(x)f(x) dx g(x)dx f(x) Area(DCKH)-Area(ABKH) Area(T) :ha si infattib
a
b
a
b
a
, dx )x(g)x(f)T(Areab
a
La formula per l’area vale comunque siano disposti i grafici delle funzioni f(x) e g(x), purché sia g(x) f(x).
44
Esempi
1. Area del segmento parabolico e teorema di Archimede.
Data la funzione f(x) = kx2 , con k > 0, calcoliamo l’area del segmento parabolico AA’VA, come in figura:
:quindi , 3
2
ka2
ka3
4
H)H'AA' ngoloArea(retta
VA)AA' parab.Area(segm. che Osserva
. ka3
4ka
3
22kax
3
12kka2adxkx2H)H'AA' ngoloArea(rettaVA)Area(AA'
3
3
333
0
32
0
2aa
Teorema di Archimede.
L’area del segmento parabolico AA’VA è 2/3 dell’area del rettangolo AA’H’H.
45
Osservazione sul teorema di Archimede.
Il teorema di Archimede vale anche nel caso in cui la corda AA’ non sia perpendicolare all’asse della parabola.
In tale caso, tracciata la retta t tangente alla parabola e parallela alla retta AA’, l’area del segmento parabolico AA’VA è uguale ai 2/3 dell’area del rettangolo avente base AA’ e altezza uguale alla distanza tra la retta t e la retta AA’.AH
Esempio: Determina l’area del segmento parabolico T, limitato dalla parabola y = x2 - 2x e dalla retta t : y = -2x + 4 .
2
2
2
2
32
2
2-
2
'
'
. 3
32
3
88
3
88x
3
1x4dx)x4(
dx)x2x()4x2(Area :Oppure
. 3
3254
5
4
3
2 'AA AH
3
2 par.) ntoArea(segme
allora , 5
4AH e 54 'AA Poichè
.2x - y : t quindi O(0;0), è tang.di punto il cioè
, 0 x , -22-2x 2)x(f
2x2)x(f
: t tangentedella equazionel' Determino
46
2. Calcolare l’area della regione piana compresa tra le due parabole di equazioni: y 2 = 4x e x2 = 4y.
. 3
16
12
xx
3
4 dx
4
xx2 )T(Area
quindi , 4
xy : e x2y :
:sono parabola di archi degli esplicite quazionie Le
4
0
32
34
0
2
2
3. Calcolare l’area della regione piana limitata dall’ellisse di equazione di equazione: . 1b
y
a
x2
2
2
2
. abxaa
x
a
xarcsenab2
costdt)adx ; a
xarcsen t;sent a(x
dxxaa
b4)T(A
a
a
0
222
0
22
47
VOLUMI DI FIGURE DI ROTAZIONE
Consideriamo la funzione y = f(x) di grafico , continua nell’intervallo [a; b] e non negativa, e il trapezoide esteso all’intervallo [a; b].
Se facciamo ruotare il trapezoide attorno all’asse x di un giro completo, ossia di 360°, otteniamo la figura di rotazione (solido di rotazione) F.
Calcoliamo il volume di tale figura.
Dividiamo l’intervallo [a; b] in n parti uguali di lunghezza h = (b-a) / n e consideriamo i plurirettangoli
h ms h MS n
i inn
i in11
che approssimano il trapezoide per eccesso e per difetto. Da una rotazione completa dei plurirettangoli attorno all’asse x, si ottengono due pluricilindri, che approssimano per eccesso e per difetto la figura di rotazione F.
48
Ogni cilindro ha per base il cerchio di raggio Mi (appross. per eccesso) o mi (appross. per difetto) e per altezza h, quindi i pluricilindri hanno volume:
.h m vh Mn
i
2in
n
i
2in
11V
49
. dx)x(f h m lim h Mlim Vb
a
2
1
2i
n1
2i
nF
n
i
n
i
Si può dimostrare che quando n + le due successioni tendono allo stesso limite e tale limite è il volume della figura di rotazione F :
Esempi
1. Volume del cono, data la funzione y = mx:
) nota formula la ecco ed ... b, altezza mb, base di raggio (
bm3
x3
1mdx)mx(V 32
0
3
0
22bb
2. Volume dell’ellissoide generato dalla rotazione dell’ellisse di equazione
a) attorno all’asse x :
1b
y
a
x2
2
2
2
. πab3
4 a
3
2
a
b2π x
3
1xa
a
b2π )dxx(a
a
b2πV , )x(a
a
by 23
2
2
0
322
2
0
222
222
2
22
aa
50
b) attorno all’asse y :
. bπa3
4 b
3
2
b
a2π y
3
1yb
b
a2π )dyy(b
b
a2πV , )y(b
b
ax 23
2
2
0
322
2
0
222
222
2
22
bb
. a3
4V 3In particolare, se a = b, l’ellissoide si riduce ad una sfera di raggio a e volume :
3. Determinare il volume del solido generato dal dominio piano T delimitato dalla parabola P: y = -x2 + 6x
e dalla retta r : y = 5 in una rotazione completa attorno ad r.
0y : r
5x6-xy :P : diventano oriferiment nuovo nelr retta della e P parabola della equazioni le
qundi , 5yy
xx :5) ; (0Oin 0) ; O(0 porta che oriferiment del one traslazila Operiamo
2
n
nn
51
. π15
512 25x30xx
3
463xx
5
1 π
dx 60x10x12x2536xx π
dx 56xxπV
: volumedel Calcolo
. B(5;0) , A(1;0) : oriferiment nuovo nel
parabola-retta neinterseziod' Punti
5
1
2345
5
1
2324
5
1
22
4. Dato il dominio piano T, delimitato dagli assi cartesiani, dalla retta y = 1 e dal grafico di y = lnx ,
determina il volume del solido ottenuto da una rotazione completa di T attorno: a) all’asse x , b) all’asse y .
. 2-e 2-2e 2e- e x2xlnx2xlnxxdxln
quindi , cxxlnx2xlnx xdxln2xlnxxdxln :partiper calcoliamo (*)
(*) . 22-e-exdxln-e B)V(AB'-BC)B'C' V(cilindroV )a
ee
e
12
1
2
222
1
2
52
. 1e2
e2
1dyeV quindi , e xlnx y )b 2
1
0
y2
0
2yy1
53
1. a funzioni illimitate su intervallo limitato 2. a funzioni limitate su intervalli illimitati. (vedi figure sotto)
1. Integrali di funzioni illimitate su intervallo limitato
Sia f(x) una funzione continua nell’intervallo I = [a ; b[ , illimitata solo per x = b, cioè in b ammetta un punto di discontinuità di seconda specie (asintoto verticale), allora, con queste ipotesi, esiste l’integrale
ba;c ,dx xfc
a
INTEGRALI IMPROPRI o GENERALIZZATI
La definizione di integrale definito secondo Riemann, si basa sulla condizione necessaria che la funzione integranda sia limitata nell’intervallo d’integrazione limitato e chiuso, tuttavia, mediante un’operazione al limite, è possibile estendere tale definizione anche
e per definizione poniamo:
Se tale limite esiste ed è finito, diremo che la f(x) è integrabile in [a ; b[ .
.dx xflim dx xfc
b c
b
aa
54
Definizione analoga si ha per una funzione f(x) illimitata in a, nell’intervallo I = ]a;b]:
Se la f(x) è illimitata in un punto d interno ad [a;b], si pone per definizione:
.dx xflim dx xfb
ca c
b
a
dx. xflim dx xflim dx xfb
cd c
c
ad c
b
a
. [-1;1]in eintegrabil ènon x
1 funzione la quindi ,
c
11lim 1
c
1lim
x
1lim
x
1limdx
x
1lim dx
x
1lim ) ! 0per x illimitata f(x) ( dx
x
1 :Esempio
20 0
1
0 10
1
20
12
0
1
12
c- c
c c
c
- cc
c
c
- c
Osserva che se non si avesse l’avvertenza di isolare il punto x = 0, in cui la funzione è illimitata, e si applicasse pedissequamente la formula d’integrazione, si troverebbe:
, 2x
1 dx
x
11
1
1
12
risultato assurdo, se non altro per il segno, essendo, come è noto, positivo l’integrale di una funzione positiva.
55
2. Integrali di funzioni limitate su intervalli illimitati
La funzione f(x) sia definita l’intervallo [a ; +[ e sia continua e limitata nell’intervallo [a;b] , b a .
Con queste ipotesi, esiste l’integrale a;b ,dx xf
b
a
e per definizione poniamo:
Se tale limite esiste ed è finito, diremo che la f(x) è integrabile in [a ; + [ .
Definizione analoga si ha per una funzione f(x) limitata nell’intervallo ]- ; b]:
Se la f(x) è limitata nell’intervallo ]- ; + [, si pone per definizione:
.dx xflim dx xfb
a b
a
.dx xf lim dx xfb
a a
b
-
.dx xf lim dx xfb
a b a
-
. 2
)0(arctg) (arctgba
b a
b
a b a
arctg(t)lim dt t1
1 lim
)0 t allora xse ; t allora xse ;dt dxe ;t e ( dx e1
e :Esempio
02
0
xx
x2
x
56
. 2
πarcsin(0)arcsin(c) lim
arcsinx limdxx1
1 limdx
x1
1
1 c
c0
1 c
c
021 c
1
02
. 11b
1 lim
x
1 lim
dxx
1 limdx
x
1
b
b
1 b
b
12 b
12
Funzione illimitata su intervallo limitato
Funzione limitata su intervallo illimitato
=========================================================================================================================================================
57
APPLICAZIONI DEGLI INTEGRALI ALLA FISICA
1. Moto rettilineo Sia s = s(t) la funzione continua e derivabile due volte, che esprime lo spazio in funzione del tempo percorso da un punto P che si muove su di una retta r.
. 2t6 e s(t) :ha si , 3 s(0) essendo ma , 1t6 e d 6 e s(0)-s(t)
. 6 e v(t):ha si , 5 v(0)essendo ma , 1e dev(0)-v(t)
. m 3 s(0) e m/s 5v(0)
:iniziali condizionicon e e a(t) legge la segue che oneaccelerazicon r retta
unasu muove si che , P puntoun di moto del , s(t)s cioè , oraria equazionel' eDeterminar Esempio
. tvt vdt ta , tsts dt tv allora , (t)s (t) v a(t) e , (t)s v(t)Poichè
t t
0
t t
0
t-
1212' '''
t
t
t
t
t
t
2
1
2
1
2. Lavoro di una forza di intensità non costante
. ABF L e 0 , versostesso lo e
direzione stessa la abbiano AB e F cuiin caso nel , eparticolarin ; cosABFL cioè
, ABFL allora ne,applicazio d' punto suo del AB ospostament lo e F costante forza una Data
58
B(b;0). , A(a;0) estremi di AB ospostament e
F forza della neapplicaziod' punto del ascissacon x
, dx)x(FL
allora , 0 sia che , one trattazidi semplicitàper
,supponendo e costantenon intensità ha F forza la Se
b
a
Esempio (a) Determinare il lavoro compiuto dalla forza gravitazionale F (f. peso) per spostare una massa m da A a B, come in figura.
0).L che osserva ( r
1
r
1GMm
r
1GMm dr
r
1GMm L
quindi , -1 cos , 180 , r
MmGF
ABBA
2AB
2
B
A
B
A
r
r
r
r
59
Esempio (b) Determinare il lavoro compiuto dalla forza elettrostatica F per spostare una carica q da A a B, come in figura.
attratt.). è F se 0L ( r
1
r
1kQq
r
1kQqdr
r
1kQqL
quindi , repulsiva se , 1 cos ,0
,attrattiva se , -1 cos , 180 , r
QqkF
ABBA
2AB
2
B
A
B
A
r
r
r
r
Esempio (c) Un punto materiale si muove lungo l’asse x ed è soggetto ad una forza elastica di richiamo F, costantemente diretta verso l’origine O delle ascisse e di intensità proporzionale alla distanza da O del punto stesso, con costante di proporzionalità (cost. elastica) k. Calcolare il lavoro fatto dalla forza F, quando il punto materiale si sposta dalla posizione di ascissa x1 a quella di ascissa x2.
. )x xse 0L ( xxk2
1
x2
1k dx xk L ,kx F
1221
22
222
21
21
xx
x
1x
x
1x
xx
60
3. Valore efficace di una corrente alternata sinusoidale
L’energia elettrica istantanea dissipata per effetto Joule è P(t) = R(i0sent)2 , quindi
. Ri P scrive si e 2
ii definisce si quindi ,
2
RiP ,
T
LP
. TRi2
1 t2sin
2ω
1tRi
2
1 dt
2
t2cos1Ri ωtdt sinRi L
è ω
2πT periodoun in dissipata energial'
2eff.
0eff
20T
20
T
0
T
0
20
20
T
0
220T
4. Quantità di carica
L’intensità di corrente elettrica istantanea i(t) in un conduttore è data da i(t) = q’(t) , pertanto la carica elettrica q che passa nell’intervallo [t1;t2] attraverso la sezione di un conduttore percorso da corrente di intensità i(t) è:
2
1
t
t
dttiq
Esempio Un conduttore è attraversato da una corrente di intensità i(t) = i0 sen t, con i0 =10 A
e = 2 rad/s. Calcolare la quantità di carica che attraversa la sezione del conduttore tra l’istante t1=0 e t2=0,5 s.
. Coulomb 2985,215403023,05 11cos 5cos2t 5sen2tdt10q 0,50
0,5
0