Luisa Lucchini Maria Teresa Rossi
PUNTI NODALI DELLA
SPERIMENTAZIONE
11/05/2014 2
3
Proporre alle classi l’analisi di una situazione di una certa complessità,
tale da indurre curiosità e voglia di mettersi in gioco
Promuovere la ricerca attiva,
lasciando autonomia agli alunni
Stimolare la costruzione del pensiero matematico
attraverso l’attivazione di processi di apprendimento
Favorire l’interazione tra pari
COLLABORARE TRAMITE BLOG
11/05/2014
LO STIMOLO INIZIALE
11/05/2014 4
Agli studenti viene chiesto di osservare attentamente il reticolo disegnato all’interno del
quadrato e di ipotizzare come realizzare le linee di cui è composto piegando opportunamente
un foglio di carta.
Si raccolgono le varie proposte, si confrontano, si discutono.
Lo scopo è quello di abituare gli alunni a progettare strategie prima di passare all’azione.
Si realizzano i procedimenti immaginati, soffermandosi su quelli che richiedono il numero
minimo e massimo di piegature.
Lo scopo è di porre attenzione ai casi limite entro cui un fenomeno può fluttuare.
11/05/2014 5
Lavorando sulle piegature si riflette sulle simmetrie assiali utilizzando temini specifici in un
contesto significativo, passando così dall’intuizione all’azione e infine alla formalizzazione.
11/05/2014 6
Inizialmente si stimola la ricerca dei triangoli rettangoli isosceli, che sono le figure visibili
durante le successive piegature del quadrato.
Si mette in relazione ciascun triangolo con il quadrato iniziale, sollecitando gli alunni con
domande quali: “Quale frazione del quadrato iniziale rappresentano i diversi triangoli
ottenuti?”
Si conviene di raccogliere i risultati in una tabella, allo scopo di fissare maggiormente
l’attenzione, non disperdere i contributi e acquisire familiarità con uno strumento
indispensabile nell’analisi di un fenomeno.
11/05/2014 7
Asmaa
Numero delle piegature
Numero dei triangoli che si delineano sul quadrato iniziale
Rapporto tra l’area del triangolo ottenuto e l’area del quadrato iniziale
1 2 2
1
2 4 4
1
3 8 8
1
4 16 16
1
5 32 32
1
6 64 64
1
Viene constatato che, proseguendo nel lavoro, la piegatura della carta diventa sempre più
difficile, quasi impossibile, ma in astratto è possibile continuare indefinitamente il lavoro.
Queste riflessioni permettono di consolidare il concetto di divisione attraverso l’azione del
dividere e consentono un approccio al concetto di infinito che tanto interesse genera nei
ragazzi.
11/05/2014 8
Numero delle piegature
Numero dei triangoli che si delineano sul quadrato iniziale
Rapporto tra l’area del triangolo ottenuto e l’area del quadrato iniziale
1 2 = 12 2
1 = 1
2
1
2 4 = 22
4
1 = 2
2
1
3 8 = 32
8
1 = 3
2
1
4 16 = 42
16
1 = 4
2
1
5 32 = 52
32
1 = 5
2
1
6 64 = 62
64
1 = 6
2
1
…. …. ….
10 1024 = 2 10
1024
1 = 10
2
1
Si scopre che ogni piegatura in più fa raddoppiare il numero dei triangoli che si delineano e fa
dimezzare la loro area. Si arriva così ad una interessante generalizzazione riportata nella
tabella
11/05/2014 9
Si passa a ricercare le diverse tipologie di poligoni soffermandosi in particolare sui quadrilateri
presenti nel reticolo, chiedendo di individuare quelli di area minima e area massima e si
discute sul perché alcune tipologie di quadrilateri non possono essere presenti.
11/05/2014 10
Lapo, Laura, Sara, Stefano
Si propone poi di costruire figure di assegnata forma e assegnato rapporto fra le superfici per
far sperimentare il percorso inverso. Si offre in tal modo lo spunto per riflettere sul concetto di
rapporto quale confronto fra grandezze.
11/05/2014 11
Si focalizza l’attenzione sullo stidio dei quadrati chiedendo di individuare quanti ce ne sono di
diverse dimensioni
11/05/2014 12
Benedetta
Si pone l’attenzione sui quadrati concentrici , chiedendo: “ Qual è il numero maggiore di
quadrati concentrici che si possono disegnare seguendo le linee del reticolo? “
Si attribuisce all'area del quadrato più grande il valore di 1 e si ricercano i valori delle aree
degli altri quadrati progressivamente più piccoli. Si immagina di continuare la sequenza oltre i
quadrati disegnati sul reticolo.
I valori delle aree vengono riepilogati in una tabella
11/05/2014 13Elena Sofia, Elettra, Laura, Matilde, Matteo, Tommaso B.
I numeri che esprimono le aree sono espressi in diverse modalità con lo scopo di fare acquisire
l’equivalenza delle varie forme di scrittura e familiarità nel passare dall’una all’altra.
L’osservazione dei valori della tabella conduce al processo di generalizzazione.
11/05/2014 14
“Se attribuisci all’area del quadrato più piccolo il valore di 1 unità, quali valori assumono gli
altri quadrati della successione?”
Si osserva che Il fattore costante di ingrandimento delle aree è 2 e che tutte le aree sono quindi
esprimibili come potenze di 2, inclusa la prima che si associa al quadrato di posizione 0.
Ciò permette una riflessione in un contesto reale sulle potenze con esponente 0, che
rappresentano uno degli elementi di criticità che frequentemente si riscontra.
11/05/2014 15
��
Se indichiamo con la lettera x l’esponente di 2, l’area y può essere espressa con la formula
��.
Si può costruire il grafico della successione delle aree dei quadrati.
11/05/2014 16
Giulia
Mattia
La curva esprime l’accrescimento esponenziale delle aree.
Si prendono ora in considerazione i perimetri dei quadrati per esprimere i quali sorge la
necessità di individuare l’unità di misura lineare, che motiva la ricerca della relazione tra
cateto e ipotenusa. Attraverso il disegno e la misura si stima che il rapporto tra ipotenusa e
cateto sia 3/2; utilizzando la formula inversa dell’area del quadrato, tale rapporto viene
precisato in � .
11/05/2014 17
I numeri che esprimono le misure dei lati dei quadrati sono espresse in diverse modalità con lo
scopo di fare acquisire l’equivalenza delle varie forme di scrittura e familiarità nel passare
dall’una all’altraL’osservazione dei valori dela tabella conduce al processo di generalizzazione.
11/05/2014 18
Abbiamo ora la possibilità di descrivere in altro modo come ottenere i quadrati concentrici del
reticolo attraverso la composizione di omotetie di rapporto e successive rotazioni di 45° a
partire dal quadrato più interno e intorno al suo centro
11/05/2014 19
Domenico e Matteo
Si disegnano nel reticolo esteso i rettangoli concentrici con lati paralleli alle diagonali; si ha in
tal modo la modellizzazione di alcuni tra i possibili rettangoli realizzabili con uno spago teso fra
pollice e indice. Si intuisce l’isoperimetria, trovandone poi conferma sperimentale e la
congruenza con il doppio della diagonale. Si analizzano i casi limite della variazione della
superfici corrispondenti ai valori di area massima e minima e si focalizza l’attenzione sul fatto
che alla costanza del perimetro si associa la variazione dell’area.
11/05/2014 20
Francesco
11/05/2014 21
TANGRAM
Si lavora ancora sull’isoperimetria e sull’equiestensione. L’area dei 7 TAN viene calcolata
scegliendo il triangolino rettangolo isoscele come unità di misura di superficie e il loro
perimetro viene calcolato scegliendo il cateto del triangolino isoscele rettangolo
Giulia
11/05/2014 22
Sara
Con opportune isometrie i sette tan ricompongono l’immagine in figura.
11/05/2014 23
Si chiede di isolare dal reticolo un quadrato formato da 8 triangolini e di ipotizzare in quanti
modi diversi si possono disporre i triangoli al suo interno.
Si passa a verificare l’ipotesi realizzando il disegno
Si ricerca un procedimento teorico che permetta di individuare il numero delle possibili
disposizioni senza realizzare i disegni.
11/05/2014 24
Elena Sofia, Elettra, Francesco, Marina
Si osserva che gli otto triangolini si dispongono a due a due all’interno dei quadrati A,B,C,D in
due diverse modalità a cui viene associato il valore 0 e 1. Le possibili disposizioni vengono
individuate scrivendo tutti i numeri del sistema binario da 0000 e 1111 in ordine crescente,
sono quindi ��= 16
11/05/2014 25
Francesco C.
11/05/2014 26
Si chiede di isolare dal reticolo un quadrato formato da 16 e poi 32 triangolini e di ipotizzare in
quanti modi diversi si possono disporre i triangoli al loro interno.
Si nota che nel quadrato formato da 16 triangolini quest’ultimi non si dispongono a due a due a
formare 8 quadrati congruenti, bensì 4 più 8 triangoli disposti sempre in un'unica modalità, per
cui le dispozioni sono di nuovo 16 (2�) e non 256 (2� )
Nel quadrato formato da 32 le disposizioni sono 2�
A partire dall’elemento modulare rappresentato dal triangolo isoscele rettangolo più piccolo
l’indagine si è estesa all’interpretazione di una successione di figure che proprio
quell’elemento utilizza, chiedendo agli alunni di scoprirne la regola che la genera
11/05/2014 27
Tommaso B.
Piegando il foglio quadrato eslusivamente lungo le linee del reticolo, senza ricorrere al taglio
della carta, sono stati realizzati cubi e parallelepipedidi
11/05/2014 28
Jincheng, Chiara, Matilde, Marco, Lorenzo, Matteo, Andrea, Ilaria
11/05/2014 29
Rapporti fra le superfici dei solidi e quella del reticolo
La superficie del parallelelepipedo è
�e quella del cubo è
�
�di quella del reticolo
11/05/2014 30
Riprodurre il reticolo
Analizzare le parti che lo compongono
Mettere in relazione ciascuna parte con le altre
Avanzare strategie risolutive ai problemi posti
Produrre astrazioni, formalizzazioni e generalizzazioni
Processi attivati
11/05/2014 31
Porsi problemi
Utilizzare conoscenze afferenti a temi diversi
Verificare le intuizioni
Sostenere le proprie ragioni ponendo attenzione al linguaggio
Giungere
a modelli condivisi
Attivare processi in un ambiente cooperativo genera competenze
Collaborare a distanza tramite blog
11/05/2014 32
PER LE INSEGNANTI:
Stimolo al confronto, opportunità di condivisione e di arricchimento professionale
PER LE CLASSI:
Occasione per aprirsi all’esterno sentendosi parte di una comunità educante più ampia
PER I SINGOLI ALUNNI:
Opportunità di collaborazione , stimolo ad impegnarsi, possibilità di avvalersi delle indagini prodotte dall’altra classe, arricchimento disciplinare e personale
11/05/2014 33
Andrea
Benedetta
Chiara
Elena Sofia
Elettra
Francesco C.
Giorgio
Ilaria
Irene
Jincheng
Lapo
Laura
Lorenzo
Marco M.
Marina
Martina
Matilde
Matteo P.
Sara C.
Stefano
Tommaso B.
Tommaso L.
Alessia M
Alessia P.
Asmaa
Camilla
Carolina
Deivid
Domenico
Federica
Francesco
Giorgia
Giulia
Hind
Ylenia
Marco
Marianeve
Manuele
Matteo B.
Matteo M.
Mattia C.
Mattia R.
Mattia S.
Renzo
Sara
Simone
Vincenta
Alunni coinvolti nella sperimentazione
3411/05/2014