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Maffini Achille
Maffini Achille
¡ Frazioni (operazioni) ¡ Espressioni
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Operatore (processo)
Numero razionale (oggetto matematico)
Funzione Divisione: da ‘operazione’ a operazione
Relazioni di equivalenza
Struttura (Ampliamento)
¡ Come cambia il concetto nei vari ordini di scuole? § Equivalenza come operatore § Equivalenza come (‘forma’ di un) quoziente § Equivalenza come relazione in ZxZ0
¡ I libri di testo
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Nella scuola Elementare: opera su…..
Nella scuola Media: opera come …..
Nella scuola Superiore:
opera? Cosa “diventa”?
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Cos’è un operatore? E un’operazione? Cosa si intende per
Frazioni equivalenti?
Quale rapporto tra discreto e continuo? Come applicarle?
¡ Cosa significa che due frazioni sono equivalenti come operatori? Come definire due frazioni equivalenti come operatori?
¡ Una possibile risposta (?) ¡ L’operatore sul continuo e operatore sul discreto: dalle grandezze
alla cardinalità degli insiemi ¡ La parte di una torta ha ancora la caratteristica di essere una torta, mentre la parte
di un insieme di caramelle non è parte di una caramella. ¡ L’equivalenza di frazioni come operatori come uguaglianza di
funzioni; il problema dell’uguaglianza delle funzioni ¡ L’operatore come comando: il ruolo dell’ordine delle procedure
dalla scuola primaria alla scuola secondaria di primo grado ¡ Su un insieme di 30 caramelle, le frazioni 3/5 e 21/35 sono
equivalenti?
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¡ L’uso del metalinguaggio nelle richieste delle prove: aiuto o ostacolo? § PU: Agnelli, Puccini
¡ Il metalinguaggio come modalità per distinguere due piani: § Funzione (processo) § Oggetto ▪ PI: D’Acquisto, D’Annunzio
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¡ L’attività ¡ Tipologia attività: si fissa la quantità e si individuano le frazioni (viste come operatori) che possono operare su di essa.
¡ Proposta: fissare la frazione e stabilire su quali quantità opera.
¡ Scopo: individuare il “dominio” della frazione e …
¡ … apertura verso il continuo.
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¡ Le attività: IV e V ¡ Alcune domande e riflessioni:
§ Vale la pena rendere tutti i problemi possibili? § Il processo dalle elementari alle medie è lo stesso? Come cambia, se cambia, il concetto di frazione equivalente?
§ E alla scuola secondaria? Quali problemi e difficoltà sono riscontrati?
§ Vale la pena strutturare gli aspetti con una continuità linguistica?
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¡ Come è data la definizione di frazioni equivalenti come quoziente?
¡ Una possibili risposta (?) ¡ Osservazioni sulla definizione: mancanza quantificatori
e l’insieme di variabilità di k ¡ Secondo questa definizione, 15/18 e 35/42 sono
equivalenti? ¡ Una possibile formalizzazione (ad uso dell’insegnante): ¡ (a/b)Eq(c/d)se e solo se esistono due numeri interi non
nulli h,k tali che ka/kb=hc/hd
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¡ Frazione come rappresentazione del risultato di un’operazione: il problema dell’esistenza
¡ Equivalenza frazioni desunta dalla proprietà invariantiva della divisione e a sua volta…
¡ … dalla compatibilità della relazione di uguaglianza con la moltiplicazione (“se numeri uguali si moltiplicano con numeri uguali, si ottengono numeri uguali”)
¡ Quali problemi legati alle frazioni sono riconducibili ai problemi della divisione?
¡ Frazione come partizione, procedura divisione come contenenza: i problemi legati alla divisione
¡ Le procedure della divisione: resto, differenza, ‘svuotamento’. Quali valenze ‘verticali’?
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¡ Scopo: Ampliamento numerico relativo alla soluzione del problema “Trova un numero tale che il suo prodotto con un numero intero a sia uguale al numero intero b”.
¡ Implicita richiesta di soluzione di problemi riconducibili, come modello matematico, all’equazione a=bx (con a e b numeri interi).
¡ Relazione di equivalenza in ZxZ0: (a,b)R(c,d) se e solo se a×d=c×b ¡ Frazione come scrittura formale ¡ Operazioni tra frazioni:
¡ Vantaggi: ¡ usa operazioni su Z ed esplicito il senso del simbolo ‘=‘; ¡ ‘compatibilità’ operazioni con relazione di equivalenza (è il caso di mostrare che l’operazione ‘naturale’ di addizione (a;b)+(c;d)=(a+c;b+d) non è indipendente dal rappresentante scelto? Esempio: 2/3 e 6/9 sono equivalenti, così come ½ e 2/4; ma 3/5 e 8/13 non lo sono.
¡ Esistenza soluzioni equazione a=bx, con a e b interi (b non nullo): la classe individuata dalla coppia (a;b)
¡ Svantaggi: scarsa intuitività legata al concetto di struttura ¡ E i libri di testo? ¡ Le problematiche ‘di verticalità’ sollevate
alla Scuola secondaria di primo grado.
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€
ab⊗cd
=a × cb × d
€
ab⊕cd
=a × d + c × b
b × d
¡ I numeri razionali come classi di equivalenza ¡ I numeri decimali non solo come risultato della divisione, ma
anche come caratteristica ‘macro’ delle classi di equivalenza.
¡ Numeri razionali e rappresentazioni: § operazioni § relazioni d’ordine
¡ Il passaggio dalle frazioni ai numeri decimali: come avviene? È noto agli altri ordini scolastici?
¡ Gli esempi ‘per far capire le frazioni’ nella scuola superiore si rifanno alle frazioni quozienti o alle frazioni come operatori?
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¡ Il modello ‘torta’: cosa significa dividere una torta ‘in parti uguali’?
¡ Cosa significa dividere una torta in 7 o 11 parti ‘uguali’? Cosa si intende per ‘uguali’? Non c’è anche in questo una forma di astrazione?
¡ Le operazioni sugli operatori: modelli ¡ Numeri misti, le frazioni apparenti, ecc. quali relazioni col concetto di operazione?
¡ Altri aspetti di riflessione
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¡ Su quali relazioni di equivalenza si reggono le uguaglianze precedenti?
¡ Come è percepita dagli studenti la divisione per un numero negativo?
¡ Esempio: dominio di una funzione di espressione analitica tipo f(x)=(x3-‐2) /(x+2)
¡ Quali problemi legati al concetto di divisione? ¡ Come sono definiti numeri decimali periodici (e più in
generale i numeri decimali limitati o illimitati)?
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€
−2+3
=+2−3
= − 23
−2−3
=+2+3
= +23
Definizioni proposte: Infanzia: E’ l’azione Elementare I ciclo: è l’elemento che modifica, quindi l’azione (*notare l’uso del termine AZIONE*) che genera l’operazione (il fare) che modifica la qualità/quantità. Elementari II ciclo-Medie: Il termine viene utilizzato a proposito delle frazioni (generalmente non si parla di operatore additivo, moltiplicativo) per indicare la trasformazione di un elemento in un certo risultato.
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Infanzia: è il prima e il dopo dell’operatore comprendendo il risultato finale Elementare I ciclo: la situazione iniziale+operatore (o modificante)+risultato finale diverso dai dati iniziali di partenza Elementari II ciclo-Medie: La definizione evolve: inizialmente si intende una trasformazione che partendo da due elementi, es. acqua+caffè macinato, vengono trasformati in caffè e la machina del caffè, responsabile dell’operazione, è l’operatore. Successivamente si parla delle 4 operazioni aritmetiche: presa una coppia ordinata di numeri si ottiene un terzo numero. Le operazioni di sottrazione e divisione non sono sempre possibili in N. Successivamente, con l’ampliamento degli insiemi, in Z è sempre possibile anche la sottrazione e in Q la divisione.
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¡ La composizione di funzioni
G f
G
G
g h
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¡ La composizione di funzioni
G (f , g)
GxG
G
⊕ h
Analogie tra i due modelli
Differenze tra i due modelli
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¡ Frazioni apparenti e frazioni improprie: quale rimando semantico al termine’frazione’? Introducono ostacoli didattici?
¡ Numeri misti: 2+1/3 cosa indica? ¡ In quale insieme è fatta l’addizione? Si tende a privilegiare
l’aspetto morfologico (forma della scrittura) rispetto a quello semantico (insieme numerico in cui fare l’operazione).
¡ Quindi sostanzialmente, che tipo di addizione è? ¡ Strutturalmente: “2 interi più 1/3 di un intero” fa intendere 2
e 1/3 come operatori. ¡ Vale la pena indicare con una lettera (ad esempio a) la “quantità” relativa all’intero cui ci si riferisce? § Vedi Prove Uscita
¡ → Introduzione al linguaggio (e al calcolo) algebrico.
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Concetti correlati?
Procedure?
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Concetti correlati?
Procedure?
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¡ Tipologie di problemi: ¡ Si hanno 20 kg di mele da sistemare in cassetta contenenti ciascuna 4 kg di mele. Quante cassette servono?
¡ Si hanno 20 caramelle e 4 bambini. Quante caramelle si devono dare a ciascun bambino affinché ogni bambino abbia lo stesso numero di caramelle?
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Q. A
Q. B
Partizione
X
1
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Q. A
Q. B
Contenenza
1 X
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¡ Struttura insiemistica: funzione suriettiva dall’insieme della Q. A (dominio) all’insieme della Q. B (codominio) che…
¡ induce una relazione di equivalenza sugli elementi del dominio (avere la stessa immagine) e..
¡ la cardinalità delle classi di equivalenza indica il “risultato” della divisione
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O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O
A B C D E
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X X X X X X X X
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¡ Struttura insiemistica: funzione dall’insieme della Q. A (dominio) all’insieme della Q. B (codominio) che …
¡ … fa corrispondere ad un numero (fissato) di elementi del dominio uno stesso elemento del codominio e …
¡ … la cardinalità dell’insieme delle immagini indica il ‘risultato’ della divisione
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Qual è la struttura si un problema di D per P? Che ruolo dare al resto
(se e come introdurlo)?
Quale “idea” alla base della rappresentazione
iconica? Come si lega al vissuto
dell’alunno?
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A quale registro fa riferimento?
Qual è la struttura dei problemi di D per C?
Che ruolo dare al resto (se e come introdurlo)?
Quale rapporto con la realtà dell’alunno?
Quale “idea” alla base della
rappresentazione iconica?
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La struttura dei problemi
Gli algoritmi della divisione e il
“retaggio linguistico”
Le frazioni (come operatori)
Uguaglianza o congruenza?
Cosa si intende per “parti uguali”?
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