Funzioni Continue

Matematica

con elementi di Informatica

Tiziano VargioluDipartimento di Matematica

vargiolu@math.unipd.it

Corso di Laurea Magistrale in Chimica e Tecnologia Farmaceutiche

Anno Accademico 2020/21

Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 1 / 34

Distanza fra punti sulla retta

Dati due punti x , y ∈ R, chiamiamo distanza di x da y il numero

d(x , y) = |x − y |

osserviamo che

d(x , y) ≥ 0 e d(x , y) = 0 se e solo se x = y positivita

d(x , y) = d(y , x) simmetria

d(x , y) ≤ d(x , z) + d(z , y) disuguaglianza triangolare

Esempi:

d(3, 2) = d(2, 3) = 1 d(0, 12) = 12

d(π, 10) = 10− π d(1,−1) = 2

Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 2 / 34

Intorno di un punto sulla retta

Per il punto (numero) x ∈ R, si dice intorno di raggio r > 0

B(x , r) = {x : |x − x | < r}

l’insieme dei punti x che distano da x meno di r

B(x , r) = {x : d(x , x) < r}

(x − r

)x + rx

Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 3 / 34

Insiemi numerici

maggiorante (minorante) di un insieme A ⊂ R

s ∈ R tale che s ≥ a, (s ≤ a) per ogni a ∈ A

massimo (minimo) di un insieme: s = maxA se

s ∈ A tale che s ≥ a, (s ≤ a) per ogni a ∈ A

estremo superiore (inferiore): s = supA (i = inf A) se e solo se e ilpiu piccolo (grande) dei maggioranti (minoranti), ovvero (solo persup, analogo per inf):

s ≥ a per ogni a ∈ Aper ogni ε > 0 esiste aε ∈ A tale che s − ε < aε ≤ s (la 2a e superflua)

Esempio: sup(−1, 3) = 3 6= max(−1, 3)

( )sA

(s − ε

Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 4 / 34

Insiemi numerici

A ⊂ R, e superiormente (inferiormente) limitato se ammettealmeno un maggiorante (minorante)

A ⊂ R, se A 6= ∅ e superiormente limitato allora ammette estremosuperiore

Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 5 / 34

Estremi superiori e inferiori con gli intorni

Usando la nozione di intorno, possiamo riformulare la definizione diestremo superiore (inferiore).estremo superiore: s = supA (i = inf A) se e solo se:

1. s ≥ a per ogni a ∈ A

2. (invece di: per ogni ε > 0 esiste aε ∈ A tale che s − ε < aε ≤ s)

2’. per ogni intorno B(= B(s, ε)) di s esiste a ∈ A∩ B.

( )sA

(s − ε

)s + ε

Per definire l’estremo inferiore i = inf A, basta allora sostituire laproprieta 1. con

1’. s ≤ a per ogni a ∈ A

e tenere la proprieta 2’.

Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 6 / 34

Continuita di una funzione - definizione con gli intorni

Data una funzione f : A→ B, con A,B ⊂ R e dato un punto p ∈ A,diciamo che f e continua in p se e solo se per ogni intorno V di f (p)esiste un intorno U di p tale che

per ogni x ∈ U ∩ A si ha che f (x) ∈ V .

f (x)

( )U

p

f (p)

(

(

V

Una funzione f : A→ B, con A,B ⊆ R, e continua su A se e continua inogni p ∈ A.

Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 7 / 34

Continuita di una funzione - definizione con la distanza

Con il concetto di distanza:

Data una funzione f : A→ B, A,B ⊂ R e dato un punto p ∈ A, diciamoche f e continua in p se e solo se per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 tale che

x ∈ A e |x − p| < δ⇒ |f (x)− f (p)| < ε.

f (x)

(p − δ

)p + δp

f (p)

(f (p) + ε(

f (p)− ε

Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 8 / 34

Esempi

Siano

f : R→ R, x 7→ f (x) = 5,

e p = 10, f (10) = 5.

Sia ε > 0 qualunque, un intorno di f (10) = 5 e V = (5− ε, 5 + ε)se consideriamo come intorno di p qualunque intervalloU = (10− δ, 10 + δ), osserviamo che x ∈ U ⇒ f (x) = 5 ∈ (5− ε, 5 + ε).

(10− δ

)10 + δ10

5

(5 + ε

(

5− ε

Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 9 / 34

Esempi

Conseguenza: f e continua in p = 10.

Cio vale per ogni altro p ∈ R, percio f e continua in ogni punto di R

Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 10 / 34

Esempi

Siano

f : R→ R, x 7→ f (x) = 2x ,

e p = 10, f (10) = 20.

Sia ε > 0 qualunque, un intorno di f (10) = 20 e V = (20− ε, 20 + ε)

f (x) ∈ (20− ε, 20 + ε)⇔ 20− ε < f (x) < 20 + ε

se e solo se20− ε < 2x < 20 + ε

se e solo se10− ε/2 < x < 10 + ε/2

ovverox ∈ (10− ε/2, 10 + ε/2)

Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 11 / 34

Esempi

Per la funzionef : R→ R, x 7→ f (x) = 2x ,

e p = 10, f (10) = 20 all’intorno

V = (20− ε, 20 + ε)

di f (10), possiamo associare l’intorno

U := (10− ε/2, 10 + ε/2)

di p = 10 tale chef (x) ∈ V ∀x ∈ U

f e continua in p = 10.Cio vale per ogni altro p ∈ R, percio f e continua in ogni punto di R

Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 12 / 34

Esempi

(10− δ

)10 + δ10

f (x) = 20

(20 + ε

(

20− ε

Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 13 / 34

Esempi

Sianog : R→ R, x 7→ g(x) = x2

e p = 10, f (10) = 100.Sia ε > 0 (e anche ε < 100), allora

|f (x)− 100| < ε⇔ 100− ε < x2 < 100 + ε

se e solo se √100− ε < x <

√100 + ε

oppure−√

100 + ε < x < −√

100− ε

Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 14 / 34

Esempi

L’intervallo (√

100− ε,√

100 + ε) contiene il punto 10.

Cerchiamo δ > 0 tale che

(10− δ, 10 + δ) ⊂ (√

100− ε,√

100 + ε)

i.e. δ := min{√

100 + ε− 10, 10−√

100− ε} [RISOLVERE!]

in altri termini, se |x − 10| < δ, dovrebbe valere√100− ε < x <

√100 + ε equivalente a

|f (x)− 100| < ε

Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 15 / 34

Esempi

(10− δ

)10 + δ10

f (x) = 100

(100 + ε

(

100− ε

Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 16 / 34

Esempi

quindi: per ogni ε ∈ (0, 100)possiamo scegliere δ =

√100 + ε− 10

per ottenere che

|x − 10| < δ⇒ |x2 − 100| < ε

allora: f (x) = x2 e continua in p = 10.

Analogamente per ogni p ∈ R : f e continua in ogni punto di R

Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 17 / 34

Esempi

Sia

h : R→ R, x 7→ h(x) =

{−1, x ≤ 0

1/x , x > 0

e p = 0, h(0) = −1.

(−δ

)δ0

f (x) = −1

(−1 + ε

(

−1− ε

Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 18 / 34

Esempi

h : R→ R, x 7→ h(x) =

{−1, x ≤ 0

1/x , x > 0

e p = 0, h(0) = −1.Consideriamo ε > 0, allora

|h(x)− h(0)| = |h(x) + 1| < ε

equivalente a

| − 1 + 1| = 0 < ε e x ≤ 0 o |1/x + 1| < ε e x > 0

la prima OK per ogni x ≤ 0 la seconda mai soddisfatta se ε ≤ 1

Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 19 / 34

Esempi

quindi, per nessun δ > 0vale

|x − 0| < δ⇒ |h(x)− h(0)| < ε

allora h NON e continua in p = 0.

Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 20 / 34

Esempi

Consideriamo la funzione segno:

h : R→ R, x 7→ h(x) =

−1, x < 0

0, x = 0

1, x > 0

continua in ogni punto p > 0perche su (0,+∞) coincide con la costante 1

e continua in ogni punto p < 0perche su (−∞, 0) coincide con la costante −1

e continua in p = 0?

Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 21 / 34

Esempi

(−δ

)δ0

(+ε

(−ε

Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 22 / 34

Esempi

sgn(x) non e continua in p = 0, dove sgn(0) = 0.Infatti, se ε > 0 allora

|sgn(x)− sgn(0)| = |sgn(x)− 0| = |sgn(x)| < ε

equivalente a | − 1| = 1 < ε, x < 0

|0| = 0 < ε, x = 0

|1| = 1 < ε, x > 0

se ε ≤ 1 allora la condizione non soddisfatta da alcun x 6= 0in altri terminise ε ≤ 1, per nessun δ > 0 vale

|x − 0| < δ⇒ |sgn(x)− sgn(0)| < ε,

Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 23 / 34

Esempio: punti isolati

Sianog : N→ R, x 7→ g(x) =

√x

e p = 100, g(100) = 10.

( )100

f (x) = 10

10199

(

(

Sia ε > 0 e poniamo δ = 0.1, allora

x ∈N e |x − 100| < 0.1⇒ x = 100⇒ |g(x)− 10| = 0 < ε

allora: g e continua in p = 100.

Cio vale per ogni altro p ∈N, percio g e continua in ogni punto di NFunzioni Continue Anno Accademico 2020/21 24 / 34

Consideriamo la funzione valore assoluto:

| · | : R→ R x 7→ |x | ={

x , x ≥ 0

−x , x < 0

continua in ogni punto p > 0perche su (0,+∞) coincide con |x | = x = i(x)

continua in ogni punto p < 0perche su (−∞, 0) coincide con |x | = −x = −i(x)

e continua in p = 0?

Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 25 / 34

( )0

((

|x | e continua in p = 0, dove |0| = 0infatti, se ε > 0 allora

||x | − |0|| = ||x | − 0| = |x | < ε

e equivalente a−ε < x < ε

vero per ogni x ∈ (−ε, ε) = B(0, ε)

Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 26 / 34

Esempi di funzioni continue

Le funzioni elementari sono continue

costanti

polinomi: x2 − 2, 3x5 + x4 − 7x + 1, ...

funzioni razionali: x2−23x4+1

, x−1x2−5

radici (potenze ad esponente razionale):√x ,

3√x2 ...

esponenziali: e3x , 10x , ...

logaritmi: ln x , log10x , ...

funzioni trigonometriche: sin x , cos x , tan x , ...

Come si fa?

Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 27 / 34

Costruire funzioni continue

Dimostrare che una funzione continua di solito e faticoso. . .. . . ma per fortuna si possono costruire funzioni continue a partire da altrefunzioni continue gia note!

Proposizione. Se f : A→ R e g : A→ R sono continue, allora anchef + g : A→ R, definita da

(f + g)(x) := f (x) + g(x) ∀x ∈ A

e continua.

Proposizione. Se f : A→ R e continua e λ ∈ R, allora ancheλf : A→ R, definita da

(λf )(x) := λf (x) ∀x ∈ A

e continua.

Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 28 / 34

Costruire funzioni continue - II

Proposizione. Se f : A→ R e g : A→ R sono continue, allora anchefg : A→ R, definita da

(fg)(x) := f (x)g(x) ∀x ∈ A

e continua.Applicazione: i polinomi sono continui.

Proposizione. Se f : A→ R e g : A→ R sono continue e g e tale cheg(x) 6= 0 per ogni x ∈ A, allora anche f /g : A→ R, definita da(

f

g

)(x) :=

f (x)

g(x)∀x ∈ A

e continua.Applicazione: le frazioni razionali sono continue (su domini che NONcontengono zeri del denominatore!).

Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 29 / 34

Composizione di funzioni continue

Proposizione. Se f : A→ R e g : B → R sono continue e tali cheIm(f ) ⊆ B, allora anche g ◦ f : A→ R e continua.

Questi risultati rendono automaticamente continue molte funzionicomposte!

Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 30 / 34

Teorema fondamentale

Teorema. Se f : [a, b]→ R e continua, allora Im(f ) e un intervallochiuso e limitato.

[a

]b

Im(f )

[

[

Questo teorema ha tre conseguenze molto importanti:

teorema di Weierstrass (minimi e massimi);

teorema dei valori intermedi;

teorema di esistenza degli zeri.

Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 31 / 34

Teorema di Weierstrass

Teorema. Se f : A→ R e continua e A = [a, b], allora esistono

minA

f := min{f (x) | x ∈ A} = min Im(A)

emaxA

f := max{f (x) | x ∈ A} = max Im(A)

Questo non succede se A non e limitato (esempio: f (x) = 1/x suA = (0,+∞)).

Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 32 / 34

Teorema dei valori intermedi

Teorema dei valori intermedi. Se f : A→ R e continua e A = [a, b],allora

f (A) = [minA

f , maxA

f ]

ossia f assume tutti i valori compresi tra minA f e maxA f .

Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 33 / 34

Teorema di esistenza degli zeri

Teorema di esistenza degli zeri. Se f : A→ R e continua conA = [a, b], e f (a)f (b) < 0 (i.e., o

f (a) > 0 e f (b) < 0

oppuref (a) < 0 e f (b) > 0 )

allora esiste sicuramente x ∈ (a, b) tale che f (x) = 0.

Applicazione: algoritmo di bisezione.

Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 34 / 34