Date post: | 01-May-2015 |
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Principali regimi finanziari
• Interesse semplice (sconto razionale)
• Sconto commerciale (capitalizzazione iperbolica)
• Interesse (e sconto) composto
Interesse semplice• Nel regime dell’interesse semplice l’interesse prodotto è
proporzionale al capitale investito ed alla durata dell’investimento =>
I(t)=αCtdove α è una costante >0
Posti C=1 e t=1 => I(1)= α, quindi α è l’interesse prodotto nell’unità di tempo da un capitale unitario => è un tasso d’interesse e quindi lo indicheremo con i =>
I(t)=iCtDove i è il tasso d’interesse periodale riferito all’unità di
misura usata per t
Interesse semplice
• In funzione del tasso d’interesse periodale il tasso d’interesse corrispondente ad una operazione di durata t sarà
i(t) = i t• La legge di formazione del montante sarà
M(t)=C+I(t)=C+Cit=C(1+it)• E quindi il fattore di capitalizzazione
r(t)=1+it
Interesse semplice
• Nel regime dell’interesse semplice interesse I e montante M hanno un andamento lineare rispetto al tempo =>
M=M(t)=C(1+it)
I=I(t)=CitC
t0
Interesse semplice
• L’interesse I(t) risulta non soltanto proporzionale al capitale impiegato C ma e’ anche funzione lineare di t e del tasso periodale
I(i,C,t1+t2) = iC(t1+t2) = iCt1 + iCt2 = I(i,C,t1)+I(i,C,t2) In generale I(i,C,kt)= k I(i,C,t) I(i1+i2,C,t) = (i1+i2)Ct = i1Ct + i2Ct= I(i1,C,t)+I(i2,C,t) In generale I(ki,C,t)= k I(i,C,t)
Interesse semplice
• Tassi d’interesse equivalenti nel regime dell’interesse semplice:– Se si cambia l’unità di misura del tempo cambia anche
la determinazione del tasso periodale d’interesse i=it– Tassi periodali relativi alla stessa legge ma con
riferimento a periodi diversi vengono detti equivalenti– Se tassi equivalenti vengono applicati allo stesso C per
lo stesso tempo t danno luogo allo stesso interesse I– Es. is=ia/2
Interesse semplice
• Tasso di sconto e fattore di attualizzazione– Il tasso di sconto d per una operazione di durata t
sarà:
– Possiamo scriverlo in termini del tasso periodale:
it
it
ti
titd
1)(1
)()(
d
di
i
i
i
id
11)1(1
)1()1(
dt
dttd
)1(1)(
Interesse semplice
• Posto K il capitale disponibile al tempo t possiamo scrivere le relazioni per lo sconto D(t) ed il valore attuale P(t)
it
itK
dt
dtKtKdtD
1)1(1)()(
it
K
dt
dKtdKtDKtP
1)1(1
1))(1()()(
Interesse semplice
• Nel regime dell’interesse semplice lo sconto non ha un andamento lineare ma va come il rapporto tra due funzioni lineari => è detto sconto razionale
D=D(t)
P=P(t)
K
t
Interesse semplice
• Anche per il tasso di sconto d come per il tasso di interesse i, il valore dipende dall’unità di misura utilizzata per il tempo => d relativi ad unità di tempo diverse si ottengono da:
dt
dttd
)1(1)(
Interesse semplice
• Capitalizzazione degli interessi– Nella pratica l’interesse semplice si applica solo
per brevi periodi– L’investitore ha interesse a ridurre al minimo la
durata dell’investimento e reinvesti gli interessi maturati
– Un’operazione di questo tipo prende il nome di “capitalizzazione degli interessi” => gli interessi vengono trasformati in capitale
Interesse semplice
• Abbiamo visto che per una operazione di durata t il montante prodotto è dato da C(1+it)
• Supponiamo di interrompere l’operazione in un istante s<t, incassare il montante C(1+is) e reinvestirlo per il tempo residuo t-s =>
)1())(1())(1)(1( 2 itCistsitCstiisC
Interesse semplice
C
M
s t
Capitalizzazione degli interessi nel punto s<t
Interesse semplice
• E quindi conviene fermare l’operazione e reinvestire il “nuovo” capitale a disposizione
• Possiamo verificare che conviene dividere il tempo in intervalli uguali s=t/2 trovando il massimo della funzione
2)( sststs
22)(
tsststs
ds
d
Interesse semplice
• Se è possibile dividere l’intervallo di tempo n-1 volte il vantaggio maggiore si ha per n intervalli uguali =>
n
n
Ti
n
Ti
n
Tin
Ti
Ti
Tin
iTn
111
21
21
212
112
Interesse semplice
• Se considero n molto grande fino a prendere il limite per n che tende ad infinito ottengo:
• Quando n tende ad infinito il montante M(t)=eit => cresce esponenzialmente.
• Prende il nome di capitalizzazione continua
Tin
ne
n
Ti
1lim
Sconto commerciale• Consideriamo il regime finanziario in cui
d(t) = d tCon d(1) tasso di sconto periodale costanteD(t)=K d tv(t) = 1 – dtP(t)= K v(t) = K (1-dt)In analogia con il caso precedente questo regime
finanziario è anche detto dello “sconto semplice” o “interesse anticipato semplice” o “sconto commerciale”
Sconto commerciale
• Notiamo che in questo caso è lo sconto ad avere un andamento lineare con il tempo
D=D(t)=Kdt
P=P(t)=K(1-dt)
K
t0
Avendo posto P(t)>0 esite un limite di applicabilità di questo regime => t≤1/d
Sconto commerciale
• Dalle definizioni appena date possiamo trovare il fattore di capitalizzazione r, il tasso d’interesse i =>
it
it
dt
dttrti
it
i
dtttr
)1(111)()(
)1(1
1
1
1
)(
1)(
Sconto commerciale
• Allo stesso modo troviamo montante M(t) e interesse I(t) =>
it
itC
dt
dtCtCitI
it
iC
dt
CtCrtM
)1(11)()(
)1(1
1
1)()(
Situazione simmetrica rispetto a quella dell’interesse semplice =>legge di capitalizzazione iperbolica
Sconto commerciale
M=M(t)
I=I(t)
C
t0
1/d
Sconto commerciale
• Capitalizzazione degli interessi– In questo caso la capitalizzazione degli interessi
maturati è svantaggiosa per l’investitore, vediamo perché:
– Questa volta la seconda equazione è minore della prima, infatti invertendo
11
1
))(1()1()()(
)1()(
stddsstrsr
dttr
)1())(1())(1)(1( 2 dtstsddtstdds
Sconto commerciale
• I tassi equivalenti si ottengono dad(t)= d t
esattamente come nel caso dell’interesse semplice