Metoda NewtonMetoda Newton--Raphson in Raphson in
programe industriale de calculprograme industriale de calcul
lect.sup. Victor GropaVictor Gropa
« Programarea si Utilizarea Calculatoarelor II »
Univesitatea Tehnică a Moldovei
Facultatea de Energetică
Catedra Electroenergetica
CUPRINS
• Introducere.
• Analiza formelor de scriere a
ecuaţiilor tensiunilor nodale.
• Algoritmul de calcul.
• Exemplu.
• Programare in PSS/E.
• Programare in RASTR.
INTRODUCERE
În calculele regimurilor permanente ale reţelelor electrice se utilizează pe larg ecuaecuaţţiile tensiunilor iile tensiunilor nodalenodale.
Avantajele care le permite această largă utilizare constau în:
• simplitatea formării lor,
• posibilităţilor mari de programare,
• utilizarea unui număr relativ mic de necunoscute.
INTRODUCERE
Ecuaţiile neliniare a tensiunilor nodale descriu regimul permanent de funcţionare a reţelei electrice, fiind injectaţi curenţi neliniari.
În schemele reţelelor electrice curenţii neliniari pot reprezenta:
• Generator cu puterea constantă;
• Sarcina consumatorului dată prin caracteristica statică;
• Sarcina constantă de putere.
INTRODUCERE
Rezolvarea sistemului de ecuaţii a tensiunilor nodale poate fi efectuată prin:
– Metoda Gauss-Seidel;
– Metoda Newton-Raphson.
Metoda de rezolvare utilizată mai frecvent în calculul regimurilor permanente de funcţionare este metoda Newton-Raphson, care este integrată în PSS/E şi RASTR.
INTRODUCERE
Metoda Newton-Raphson se caracterizează prin „nervozitate”, dar convergenţă rapidă. „Calmul” metodei „Gauss-Seidel” costă timp, procesul global de calcul fiind mai îndelungat. Comparaţia între cele două metode poate fi asemănată cu două scene de vânătoare.
Urmărirea unei gazele de către un ghepard durează foarte puţin timp (câteva „iteraţii”) dar, datorită nervozităţii atacului, nu rareori ghepardul ratează: aceasta reprezintă divergenţa în metoda Newton.
O vânătoare de vulpi cu o mulţime finită de setteri englezi nu oferă o urmărire „la vedere” ca în cazul african anterior: se parcurge „urma” în timp îndelungat (multe „iteraţii”), cu pierderi, ezitări, reveniri, dar niciodată vulpea nu scapă: aceasta este metoda Gauss-Seidel.
Analiza formelor de scriere a
ecuaţiilor tensiunilor nodale
Formele de scriere a ecuaţiilor tensiunilor nodale sunt:
• Bilanţul puterilor în coordonate carteziene;
• Bilanţul puterilor în coordonate polare;
• Bilanţul componentelor reale şi imaginare ale curenţilor în coordonate carteziene;
• Bilanţul componentelor reale şi imaginare ale curenţilor în coordonate polare.
Bilanţul puterilor în coordonate
carteziene
Ecuaţiile tensiunilor nodale în formă matricială, la utilizarea bilanţului de putere în coordonate carteziene, au forma:
•
−
•=⋅⋅ SUY]U[
**
g
În această relaţie vectorul tensiunilor complexe este prezentat în coordonate carteziene:
]U,...,U,U,U,...,U,U[]U[ ''g''2
''1
'g
'2
'1g =
•
Bilanţul puterilor în coordonate
carteziene
În acest caz ecuaţia, ce corespunde nodului i, poate fi scrisă astfel:
,0iQ)'jU
'iU
''ijY
''jU
'iU
'ijY
y
ij
1j
''jU
''iU
''ijY
'jU
''iU
'ijY()
2''iU
2'iU(
''iiY)
''U,'U(iQ
;0iP)'jU
''iU
''ijY
''jU
''iU
'ijY
y
ij
1j
''jU
'iU
''ijY
'jU
'iU
'ijY()
2''iU
2'iU(
'iiY)
''U,'U(iP
=−⋅⋅−⋅⋅∑
≠
=−⋅⋅−⋅⋅++⋅−=
=−⋅⋅+⋅⋅+∑
≠
=⋅⋅−⋅⋅++⋅=
unde este conductanţa proprie a nodului i;
- conductanţa mutuală a nodurilor i,j.ii
Y−
ijY−
Bilanţul puterilor în coordonate
carteziene
Expresiile pentru determinarea elementelor matricei Iacobi au următoarea formă:
∑
≠
=⋅+⋅+⋅⋅=
∂
∂
∑
≠
=⋅−⋅+⋅⋅=
∂
∂
y
ij
1j);'jU
''ijY
''jU
'ijY(
'iiY
''iU2''
iU
)''U,'U(iP
y
ij
1j);''jU
''ijY
'jU
'ijY(
'iiY
'iU2'
iU
)''U,'U(iP
∑
≠
=⋅−⋅+⋅⋅−=
∂
∂
∑
≠
=⋅+⋅+⋅⋅=
∂
∂
y
ij
1j);''jU
''ijY
'jU
'ijY(
''iiY
''iU2''
iU
)''U,'U(iQ
y
ij
1j);'jU
''ijY
''jU
'ijY(
''iiY
'iU2'
iU
)''U,'U(iQ;'iU
''ijY
''iU
'ijY'
jU
)''U,'U(iQ
''jU
)''U,'U(iP
;''iU''ijY
'iU
'ijY''
jU
)''U,'U(iQ
'jU
)''U,'U(iP
⋅−⋅=∂
∂=
∂
∂
⋅+⋅=∂
∂−=
∂
∂
Bilanţul puterilor în coordonate
polare
Spre deosebire de forma de scriere anterioară, vectorul tensiunilor complexe este prezentat în coordonate polare:
Ecuaţia, ce corespunde nodului i, poate fi scrisă astfel:
]g,...,2,1,gU,...,2U,1U[]gU[ δδδ=•
,0iQy
ij
1j)ijcos
''ijYijsin
'ijY(jUiU
2i
U''iiY),U(iQ
;0iPy
ij
1j)ijsin
''ijYijcos
'ijY(jUiU
2i
U'iiY),U(iP
=−∑
≠
=δ−δ⋅⋅⋅+⋅−=δ
=−∑
≠
=δ+δ⋅⋅⋅+⋅=δ
unde = - .ijδ iδ jδ
Bilanţul puterilor în coordonate
polare
Expresiile pentru determinarea elementelor matricei Iacobi au următoarea formă:
∑
≠
=δ⋅−δ⋅⋅⋅−=
δ∂
δ∂
∑
≠
=δ⋅+δ⋅⋅+⋅⋅=
∂
δ∂
y
ij
1j);ijcos
''ijYijsin
'ijY(jUiU
i
),U(iP
y
ij
1j);ijsin
''ijYijcos
'ijY(jUiU
'iiY2
iU
),U(iP
∑
≠
=δ⋅+δ⋅⋅⋅=
δ∂
δ∂
∑
≠
=δ⋅−δ⋅⋅+⋅⋅−=
∂
δ∂
y
ij
1j);ijsin
''ijYijcos
'ijY(jUiU
i
),U(iQ
y
ij
1j);ijcos
''ijYijsin
'ijY(jUiU
''iiY2
iU
),U(iQ
);ijcos''ijYijsin
'ijY(jUiU
j
),U(iP
);ijsin''ijYijcos
'ijY(iU
jU
),U(iP
δ⋅−δ⋅⋅⋅=δ∂
δ∂
δ⋅+δ⋅⋅=∂
δ∂
);ijsin''ijYijcos
'ijY(jUiU
j
),U(iQ
);ijcos''ijYijsin
'ijY(iU
jU
),U(iQ
δ⋅+δ⋅⋅⋅−=δ∂
δ∂
δ⋅−δ⋅⋅=∂
δ∂
Bilanţul componentelor reale şi imaginare
ale curenţilor în coordonate carteziene
Ecuaţiile tensiunilor nodale, în formă matricială, utilizând bilanţul de curenţi are următoarea formă:
Dacă tensiunile nodale complexe sunt prezentate prin coordonate carteziene, atunci pentru nodul i pot fi scrise următoarele relaţii:
.*S1]
*
gU[UY ⋅−=
•⋅•
−
.02''
iU2'iU
'iUiQ
''iUiP
y
ij
1j)'jU
''ijY
''jU
'ijY(
'iU
''iiY
''iU
'iiY)
''U,'U(''J
;02''
iU2'iU
''iUiQ
'iUiP
y
ij
1j)''jU
''ijY
'jU
'ijY(
''iU
''iiY
'iU
'iiY)
''U,'U('J
=+
⋅−⋅−∑
≠
=⋅+⋅+⋅+⋅=
=+
⋅+⋅−∑
≠
=⋅−⋅+⋅−⋅=
Bilanţul componentelor reale şi imaginare
ale curenţilor în coordonate carteziene
Expresiile pentru determinarea elementelor matricei Iacobi au următoarea formă:
;4iU
''iU
'iUiP2)
2''iU
2'iU(iQ''
iiY''iU
)''U,'U('iJ
;4iU
''iU
'iUiQ2)
2''iU
2'iU(iP'
iiY'iU
)''U,'U('iJ
⋅⋅⋅−−⋅−−=
∂
∂
⋅⋅⋅+−⋅+=
∂
∂
;4iU
''iU
'iUiQ2)
2''iU
2'iU(iP'
iiY''iU
)''U,'U(''iJ
;4iU
''iU
'iUiP2)
2''iU
2'iU(iQ''
iiY'iU
)''U,'U(''iJ
⋅⋅⋅+−⋅−−=
∂
∂
⋅⋅⋅−−⋅−=
∂
∂ ;''ijY''jU
)''U,'U('iJ
'jU
)''U,'U(''iJ
;'ijY''jU
)''U,'U(''iJ
'jU
)''U,'U('iJ
=∂
∂=
∂
∂
=∂
∂=
∂
∂
Bilanţul componentelor reale şi imaginare
ale curenţilor în coordonate polare
Această formă de scriere se obţine atunci, când în sistemul din cazul precedent vectorul tensiunii se va utiliza prin componentele polare.
Pentru nodul i avem:
.0
iU
icosiQisiniPy
ij
1j)jcosjU
''ijYjsinjU
'ijY(icosiU
''iiYisiniU
'iiY),U(
''J
;0
iU
isiniQicosiPy
ij
1j)jsinjU
''ijYjcosjU
'ijY(isiniU
''iiYicosiU
'iiY),U(
'J
=δ⋅−δ⋅
−∑
≠
=δ⋅⋅+δ⋅⋅+δ⋅⋅+δ⋅⋅=δ
=δ⋅+δ⋅
−∑
≠
=δ⋅⋅−δ⋅⋅+δ⋅⋅−δ⋅⋅=δ
Bilanţul componentelor reale şi imaginare
ale curenţilor în coordonate polare
Expresiile pentru determinarea elementelor matricei Iacobi au următoarea formă:
;
iU
icosiQisiniP)icos''iiYisin
'iiY(iU
i
),U('iJ
;2i
U
isiniQicosiP
isin''iiYicos
'iiY
iU
),U('iJ
δ⋅−δ⋅+δ⋅+δ⋅⋅−=
δ∂
δ∂
δ⋅+δ⋅+δ⋅−δ⋅=
∂
δ∂
;
iU
isiniQicosiP)isin''iiYicos
'iiY(iU
i
),U(''iJ
;2i
U
icosiQisiniP
icos''iiYisin
'iiY
iU
),U(''iJ
δ⋅+δ⋅−δ⋅−δ⋅⋅=
δ∂
δ∂
δ⋅−δ⋅+δ⋅+δ⋅=
∂
δ∂
);jcos''ijYjsin
'ijY(iU
j
),U('iJ
;jsin''ijYjcos
'ijY
jU
),U('iJ
δ⋅+δ⋅⋅−=δ∂
δ∂
δ⋅−δ⋅=∂
δ∂
);jsin''ijYjcos
'ijY(iU
j
),U(''iJ
;jcos''ijYjsin
'ijY
jU
),U(''iJ
δ⋅−δ⋅⋅=δ∂
δ∂
δ⋅+δ⋅=∂
δ∂
Constatări cu privire la formele de scriere a
ecuaţiilor tensiunilor nodale
• La utilizarea coordonatelor carteziene se majorează numărul de ecuaţii;
• la utilizarea coordonatelor carteziene spre deosebire de cele polare, unde modulul tensiunii este variabila ce se doreşte a fi determinată, este necesar de adăugat ecuaţii de tipul
• la utilizarea formei de scriere prin bilanţul componentelor reale şi imaginare a curenţilor în coordonate carteziene, pentru nodurile tip P-U se scriu ecuaţii în forma bilanţului de putere, iar pentru nodurile tip P-Q – în forma bilanţul componentelor reale şi imaginare a curenţilor.
2''i
2'ii UUU +=
Sistemul de ecuaţii nodale
Alcătuirea sistemului de ecuaţii nodale în formă complexă:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑≠=
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅−=⋅n
ijj
jjjjijijiiiiiiiii UjUBjGUjUBjGI1
sincossincos3 δδδδ
Separând partea reală de cea imaginară obţinem:( )
( )∑
∑
≠=
≠=
⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅=
⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅=
n
ijj
jijjijjiiiiiiiiI
n
ijj
jijjijjiiiiiiiiI
BGUBGUI
BGUBGUI
I
I
1
11
1
1
cossin)cossin(3
sincos)sincos(3
11
1
δδδδϖ
δδδδϖ
Curenţii injectaţi în nodul ’i’ sunt:
( ) ( )( )
( ) ( )( )2
11
2
1
cossin3
sincos3
i
iiiiiiI
i
iiiiiii
U
UQUPI
U
UQUPI
δδ
δδ
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=⋅
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅
Matricea Iacobi
Alcătuim maticea Iacobi la pasul ’k’:
[ ]
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=ℑ
j
I
i
I
j
I
i
I
j
I
i
I
j
I
i
I
j
I
i
I
j
I
i
I
j
I
i
I
j
I
i
I
k
UU
UU
UU
UU
jjjj
iiii
jjjj
iiii
11111111
11111111
1111
1111
)(
ωω
δ
ω
δ
ω
ωω
δ
ω
δ
ω
ωω
δ
ω
δ
ω
ωω
δ
ω
δ
ω
Rezolvarea sistemului de ecuaţii
Determinăm abaterile de tensiune la pasul ’k+1’:
unde:
[ ] [ ] [ ])()1()()1( kkkU ϖ⋅ℑ−=∆ −+
[ ]
=
11
11
)(
nI
I
k
ϖ
ϖϖ M
Tensiunile nodale
Determinăm tensiunile în noduri la pasul ’k+1’:
Calculele se repetă de câteva ori până se obţine egalitatea:
[ ] [ ] [ ])1()()1( ++ ∆+= kkk UUU
[ ] [ ])()1( kk UU =+
Exemplu
Să se determine tensiunile nodale pentru schema:
0-1
АС-240/32
22km
1-2
АС-185/29
18km
2-3
АС-95/16
15km
3-4
АС-240/32
25km
S1= -(25+j15) MVA S2= -(30+j20) MVA S3= -(40+j15) MVA P4=35 MW
U4=121 kV
0 1 2 3 4
Exemplu
Elementele matricei admitanţelor nodale [Y] sunt:
−−−
−−−
−−−
−−−
=
44434241
34333231
24232221
14131211
][
YYYY
YYYY
YYYY
YYYY
Y
BijjGijYij
)Xij()Rij(
XijBijLijxXij
)Xij()Rij(
RijGijLijrRij
22ij0
22ij0
⋅⋅⋅⋅−−−−====
++++====⋅⋅⋅⋅====
++++====⋅⋅⋅⋅====
Exemplu
R0-1=0,118*22=2,596 Ω X0-1=0,401*22=8,222 ΩR1-2=0,159*18=2,862 Ω X1-2=0,409*18=7,362 ΩR2-3=0,299*15=4,485 Ω X2-3=0,429*15=6,435 ΩR3-4=0,118*25=2,950 Ω X3-4=0,401*25=10,025 Ω
G11=G01+G12 B11=B01+B12
G22=G12+G23 B22=B12+B23
G33=G23+G34 B33=B23+B34
G44=G34 B44=B34
Y
0.077 0.222i−
0.046− 0.118i+
0
0
0.046− 0.118i+
0.119 0.223i−
0.073− 0.105i+
0
0
0.073− 0.105i+
0.1 0.196i−
0.027− 0.092i+
0
0
0.027− 0.092i+
0.027 0.092i−
=
Exemplu
Alcătuirea sistemului de ecuaţii nodale în formă complexă:
I1 G11
j B11
⋅−( ) U1⋅ cos δ1( ) j sin δ1( )⋅+( )⋅ G01 j B01⋅−( ) U0⋅− G12 j B12⋅−( ) U2⋅ cos δ2( ) j sin δ2( )⋅+( )⋅−:=I2 G
22j B
22⋅−( ) U2⋅ cos δ2( ) j sin δ2( )⋅+( )⋅ G12 j B12⋅−( ) U1⋅ cos δ1( ) j sin δ1( )⋅+( )⋅− G23 j B23⋅−( ) U3⋅ cos δ3( ) j sin δ3( )⋅+( )⋅−:=
I3 G33
j B33
⋅−( ) U3⋅ cos δ3( ) j sin δ3( )⋅+( )⋅ G23 j B23⋅−( ) U2⋅ cos δ2( ) j sin δ2( )⋅+( )⋅− G34 j B34⋅−( ) U4⋅ cos δ4( ) j sin δ4( )⋅+( )⋅−:=I4 G
44j B
44⋅−( ) U4⋅ cos δ4( ) j sin δ4( )⋅+( )⋅ G34 j B34⋅−( ) U3⋅ cos δ3( ) j sin δ3( )⋅+( )⋅−:=
Valorile iniţiale alese pentru tensiuni sunt, de regulă, tensiunile nominale în modul, iar unghiurile – toate zero. Excepţie fac tensiunile în modul din nodul de echilibru şi nodul generator, precizate şi menţinute constante tot timpul procesului de calcul. Calculul tensiunii nodului de echilibru nu se efectuează deoarece aceasta mărime este invariabilă.
Exemplu
Curenţii injectaţi în noduri sunt:
Separând partea reală de cea imaginară obţinem:S4 3 I4⋅ U4 cos δ4( )⋅ j U4⋅ sin δ4( )⋅−( )⋅:=ω I1a I1a G
11U1⋅ cos δ1( )⋅− B
11U1⋅ sin δ1( )⋅− G
01U0⋅+ G
12U2⋅ cos δ2( )⋅+ B
12U2⋅ sin δ2( )⋅+:=
ω I1r I1r B11
U1⋅ cos δ1( )⋅+ G11
U1⋅ sin δ1( )⋅− B01
U0⋅− B12
U2⋅ cos δ2( )⋅− G12
U2⋅ sin δ2( )⋅+:=
ω I2a I2a G22
U2⋅ cos δ2( )⋅− B22
U2⋅ sin δ2( )⋅− G12
U1⋅ cos δ1( )⋅+ B12
U1⋅ sin δ1( )⋅+ G23
U3⋅ cos δ3( )⋅+ B23
U3⋅ sin δ3( )⋅+:=
ω I2r I2r B22
U2⋅ cos δ2( )⋅+ G22
U2⋅ sin δ2( )⋅− B12
U1⋅ cos δ1( )⋅− G12
U1⋅ sin δ1( )⋅+ B23
U3⋅ cos δ3( )⋅− G23
U3⋅ sin δ3( )⋅+:=
ω I3a I3a G33
U3⋅ cos δ3( )⋅− B33
U3⋅ sin δ3( )⋅− G23
U2⋅ cos δ2( )⋅+ B23
U2⋅ sin δ2( )⋅+ G34
U4⋅ cos δ4( )⋅+ B34
U4⋅ sin δ4( )⋅+:=
ω I3r I3r B33
U3⋅ cos δ3( )⋅+ G33
U3⋅ sin δ3( )⋅− B23
U2⋅ cos δ2( )⋅− G23
U2⋅ sin δ2( )⋅+ B34
U4⋅ cos δ4( )⋅− G34
U4⋅ sin δ4( )⋅+:=
ωP4 P4
G44
U42
⋅− G34
U3⋅ U4⋅ cos δ3 δ4−( )⋅+ B34
U3⋅ U4⋅ sin δ3 δ4−( )⋅−:=
I1aP1 U1⋅ cos δ1( )⋅ Q1 U1⋅ sin δ1( )⋅+
U12
:= I1rP1 U1⋅ sin δ1( )⋅ Q1 U1⋅ cos δ1( )⋅−
U12
:= I1 I1a j I1r⋅+:=
I2aP2 U2⋅ cos δ2( )⋅ Q2 U2⋅ sin δ2( )⋅+
U22
:= I2rP2 U2⋅ sin δ2( )⋅ Q2 U2⋅ cos δ2( )⋅−
U22
:= I2 I2a j I2r⋅+:=
I3aP3 U3⋅ cos δ3( )⋅ Q3 U3⋅ sin δ3( )⋅+
U32
:= I3rP3 U3⋅ sin δ3( )⋅ Q3 U3⋅ cos δ3( )⋅−
U32
:= I3 I3a j I3r⋅+:=
Exemplu
Nebalansurile la pasul ’0’ sunt:
124.0))0cos(092.0)0sin(027.0(121))0cos(105.0)0sin(073.0(121
)0cos()121197.0)12115(()0sin()121100.0)12140((3
165.0))0cos(105.0)0sin(073.0(121))0cos(118.0)0sin(046.0(121
)0cos()121223.0)12120(()0sin()121119.0)12130((2
124.0))0cos(118.0)0sin(046.0(121121104.0
)0cos()121222.0)12115(()0sin()121077.0)12125((1
35))00sin(092.0)00cos(027.0(121121121027.044
331.0))0sin(092.0)0cos(027.0(121))0sin(105.0)0cos(073.0(121
)0sin()121197.0)12115(()0cos()121100.0)12140((3
248.0))0sin(105.0)0cos(073.0(121))0sin(118.0)0cos(046.0(121
)0sin()121223.0)12120(()0cos()121119.0)12130((2
207.0))0sin(118.0)0cos(046.0(121121031.0
)0sin()121222.0)12115(()0cos()121077.0)12125((1
2
=⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅+
+⋅⋅−−−⋅⋅−−=
=⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅+
+⋅⋅−−−⋅⋅−−=
=⋅−⋅⋅+⋅−
−⋅⋅−−−⋅⋅−−=
=−⋅−−⋅⋅⋅+⋅−=
−=⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+
+⋅⋅−−+⋅⋅−−=
−=⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+
+⋅⋅−−+⋅⋅−−=
−=⋅+⋅⋅+⋅+
+⋅⋅−−+⋅⋅−−=
rI
rI
rI
PP
aI
aI
aI
ω
ω
ωω
ω
ω
ω
Exemplu
Alcătuim matricea Iacobi:
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=ℑ
3214321
3214321
3214321
3214321
3214321
3214321
3214321
][
3333333
2222222
1111111
4444444
3333333
2222222
1111111
UUU
UUU
UUU
UUU
UUU
UUU
UUU
rIrIrIrIrIrIrI
rIrIrIrIrIrIrI
rIrIrIrIrIrIrI
PPPPPPP
aIaIaIaIaIaIaI
aIaIaIaIaIaIaI
aIaIaIaIaIaIaI
ϖϖϖδϖ
δϖ
δϖ
δϖ
ϖϖϖδϖ
δϖ
δϖ
δϖ
ϖϖϖδϖ
δϖ
δϖ
δϖ
ϖϖϖδϖ
δϖ
δϖ
δϖ
ϖϖϖδϖ
δϖ
δϖ
δϖ
ϖϖϖδϖ
δϖ
δϖ
δϖ
ϖϖϖδϖ
δϖ
δϖ
δϖ
Exemplu
Determinăm elementele matricii Iacobi:
A11 cos δ1( )Q1
U1B11 U1⋅−
⋅ sin δ1( )P1
U1G11 U1⋅−
⋅−:=
A12 cos δ2( ) B12⋅ sin δ2( ) G12⋅−( ) U2⋅:=
A13 0:=
A14 0:=
A15 cos δ1( )−P1
U12
G11+
⋅ sin δ1( )Q1
U12
B11+
⋅−:=
A16 cos δ2( ) G12⋅ sin δ2( ) B12⋅+:=
A17 0:=
...
A71 0:=
A72 sin δ2( ) B23⋅ cos δ2( ) G23⋅+( ) U2⋅:=
A73 sin δ3( )Q3
U3B33 U3⋅−
⋅ cos δ3( )P3
U3G33 U3⋅−
⋅+:=
A74 sin δ4( ) B34⋅ cos δ4( ) G34⋅+( ) U4⋅:=
A75 0:=
A76 sin δ2( ) G23⋅ cos δ2( ) B23⋅−:=
A77 sin δ3( )−P3
U32
G33+
⋅ cos δ3( )Q3
U32
B33+
⋅+:=
Exemplu
Determinăm abaterile de tensiune la pasul ’1’:
[ ]
⋅ℑ−=
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
−
)0(3
2
1
4
3
2
1
1
)0(
)1(3
2
1
4
3
2
1
)(
rI
rI
rI
P
aI
aI
aI
U
U
U
ϖϖϖϖϖϖϖ
δδδδ
Exemplu
Determinăm tensiunile în noduri la pasul ’1’:
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
++++
====
13
2
1
4
3
2
1
03
2
1
4
3
2
1
13
2
1
4
3
2
1
U
U
U
U
U
U
U
U
U
∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆δδδδ∆∆∆∆δδδδ∆∆∆∆δδδδ∆∆∆∆δδδδ∆∆∆∆
δδδδδδδδδδδδδδδδ
δδδδδδδδδδδδδδδδ
Exemplu
Rezultatele la pasul ’0’:
ω0
0.207−
0.248−
0.331−
35
0.124
0.165
0.124
:= I0
27.02−
14.28
0
0
9.47−
5.55
0
14.28
27.1−
12.66
0
5.55
14.62−
8.82
0
12.66
23.89−
1344.06
0
8.82
12.42−
0
0
11.11
1344.06−
0
0
3.27
0.07−
0.05
0
0
0.22
0.12−
0
0.05
0.12−
0.07
0
0.12−
0.22
0.1−
0
0.07
0.1−
3.27
0
0.1−
0.2
:= ∆U1
0.032−
0.049−
0.056−
0.039−
2.97−
4.218−
3.596−
:=U0
0
0
0
0
121
121
121
:= U1
0.032−
0.049−
0.056−
0.039−
118.03
116.782
117.404
:=
Rezultatele la pasul ’3’:
ω3
0.002
0.008
0.008−
0.061
0
0.005
0.005−
:= I3
26.68−
14.11
0
0
8.35−
4.94
0
14.05
26.89−
12.65
0
4.64
12.76−
7.87
0
12.78
23.88−
1312.09
0
7.83
10.69−
0
0
11.23
1312.09−
0
0
2.81
0.07−
0.04
0
0
0.22
0.12−
0
0.04
0.1−
0.07
0
0.12−
0.23
0.11−
0
0.07
0.09−
3.07
0
0.11−
0.2
:= ∆U4
0
0
0−
0−
0−
0−
0−
:=U3
0.034−
0.052−
0.059−
0.041−
118.07
116.885
117.518
:= U4
0.034−
0.052−
0.059−
0.041−
118.07
116.885
117.518
:=
Exemplu
Rezultatele obtinute sunt:
Ui0
0
0
0
0
121
121
121
:= Ui1
0.032−
0.049−
0.056−
0.039−
118.03
116.782
117.404
:= Ui2
0.034−
0.052−
0.059−
0.041−
118.07
116.884
117.517
:= Ui3
0.034−
0.052−
0.059−
0.041−
118.07
116.885
117.518
:= Ui4
0.034−
0.052−
0.059−
0.041−
118.07
116.885
117.518
:=
Programare in PSS/E
Programare in PSS/E
ITER DELTAP BUS DELTAQ BUS DELTA/V/ BUS DELTAANG BUS
0 0.4000( 3 ) 1.1883( 1 )0.10000( 4 ) 0.05858( 3 )
1 0.0595( 3 ) 0.1060( 1 )
0.00443( 1 ) 0.00265( 2 )
2 0.0002( 1 ) 0.0005( 1 )
0.00003( 1 ) 0.00002( 4 )
3 0.0000( 1 ) 0.0000( 1 )
REACHED TOLERANCE IN 3 ITERATIONS
LARGEST MISMATCH: 0.00 MW 0.00 MVAR 0.00 MVA AT BUS 1 [ 110.00]
SYSTEM TOTAL ABSOLUTE MISMATCH: 0.00 MVA
SWING BUS SUMMARY:
BUS# X-- NAME --X BASKV PGEN PMAX PMIN QGEN QMAX QMIN
9 110.00 61.6 9999.0 -9999.0 23.3 9999.0 -9999.0
Programare in RASTR
Rezultate Ui40.034−
0.052−
0.059−
0.041−
118.07
116.885
117.518
:=
1.948−
2.979−
3.38−
2.349−
118.07
116.885
117.518
Valori admisibile pentru linii electrice