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« Nell’ambito della realtà le cui connessioni sono formulate dalla teoria quantistica, le leggi naturali non conducono quindi ad una completa determinazione di ciò che accade nello spazio e nel tempo; l’accadere (all’interno delle frequenze determinate per mezzo delle connessioni) è piuttosto rimesso al gioco del caso »
PRINCIPIO DI
INTEDERMINAZIONE
(Über quantenmechanische Kinematik und Mechanik, Mathematische Annalen, 1926[1])
Werner Karl Heisenberg (Würzburg, 5 dicembre 1901 – Monaco di Baviera, 1º
febbraio 1976) è stato un fisico tedesco. Ottenne il Premio Nobel per la Fisica nel 1932 ed è
considerato uno dei fondatori della meccanica quantistica.
Ogni misura, per quanto accurata e precisa, è
affetta da errore.
ERRORE
Errore non è sinonimo di “sbaglio”, ma sta ad indicare proprio che ogni strumento di misura, per diverse cause, ha dei “limiti” nel misurare.
Basta pensare, ad esempio, alla sensibilità. E’
quindi impossibile ottenere il valore “reale”
della misura di una qualsiasi grandezza fisica.
ERRORI GROSSOLANI
• Gli errori grossolani sono quelli che vengono commessi in seguito ad un'inappropriata applicazione del metodo analitico.
Ad esempio, in un laboratorio biochimico-clinico, questi errori derivano dallo scambio di campioni e reagenti, oppure dall'uso scorretto degli strumenti.
• Mentre gli errori grossolani si prevengono con un'accorta organizzazione del laboratorio di analisi, gli errori sistematici e casuali costituiscono oggetto tipico della metodologia statistica.
ERRORI SISTEMATICI () Gli errori sistematici si manifestano nella tendenza deterministica di un dato
metodo a sovrastimare (o sottostimare) il vero valore θ.
Pertanto, l'universo delle misure che si possono virtualmente ottenere quando
con tale metodo si misura θ ha media µ che può differisce dal valore θ, ( =
µ- θ).
= µ - θ
errore sistematico
Media vera del metodo
valor vero
Una misura è tanto più accurata quanto minore è l'entità dell'errore
sistematico () da cui è affetta.
Gli errori sistematici hanno cause ben determinate, inerenti o al
metodo (es.: scarsa selettività del reagente usato per la titolazione di
un certo soluto), o alle condizioni di esecuzione del pro-cedimento
analitico (es.:strumento non calibrato correttamente).
Un errore si dice sistematico se è causato da
uno strumento di misura difettoso. Un
cronometro tarato male, per esempio per
difetto, avrà sempre la tendenza a stimare
misure di tempo eccedenti rispetto alla
realtà. Un righello deformato dal caldo non
può offrire ovviamente una misura corretta.
ERRORI SISTEMATICI ()
ERRORI CASUALI ()
Misurazioni dello stesso valore θ, ripetute in uno stesso procedimento analitico, e in condizioni il più possibile simili, portano spesso a misure differenti: non è possibile ripetere la misurazione in modo del tutto identico.
La somma di tutte le piccole e imprevedibili variazioni nell'esecuzione delle varie operazioni analitiche fa sì che le misure fluttuino attorno a un valore µ, che si scosta più o meno dal valore θ, a seconda dell'entità dell'errore sistematico.
= x - µ
errore casuale
una misura Media vera del metodo
Una misura è tanto più precisa quanto minore è l'entità
dell'errore casuale () da cui è affetta.
IN CONCLUSIONE ...
Per riassumere, l'errore totale di una misura
esente da errori grossolani può essere espresso
come somma di una componente sistematica e
di una componente casuale.
SOMMA DEGLI DEGLI ERRORI Totale Sistematico Casuale (x- θ) = (- θ) + (x-)
Attendibilità Accuratezza Precisione
1
2
3
4
elevata scarsa
Accuratezza S
cars
a
Ele
vata
Pre
cisi
on
e
Risultati di 50 determi-
nazioni analitiche di un
medesimo valore vero θ
eseguite con 4 differenti
metodi:
1- preciso ed accurato
2-preciso ed inaccurato
3-impreciso ed accurato
4-impreciso ed inaccurato
PRECISIONE E ACCURATEZZA
Un errore si dice accidentale se viene
commesso per semplice casualità.
ERRORI ACCIDENTALI
È un errore accidentale la lettura non in
asse di uno strumento a scala, come ad
esempio un termometro analogico.
È un errore accidentale il ritardo nello
starter di un cronometro,
azionato a mano, dovuto al tempo di
reazione di chi esegue la misura.
Le misure ottenute con strumenti di misura, come detto, sono inevitabilmente affette da errori. Esistono però dei metodi, descritti dalla teoria degli errori, che servono a limitare al minimo l’incidenza degli errori stessi sulle misure. Parleremo di Valor Medio, Errore Assoluto, Intervallo di Incertezza, Errore Relativo ed Errore Percentuale.
TEORIA DEGLI ERRORI
Uno strumento di misura affetto è, come
sappiamo, da componente causale di errore.
n
xxxG n
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MISURA MEDIA
Considerando che questo errore per
definizione è intorno ad un valore centrale si
può calcolare questo ultimo effettuando n
misure di una stessa grandezza
L’insieme delle misure è il seguente:
｛x1, x2, … , xn｝.
Definiamo Valore Medio G il rapporto
In un insieme di misure ｛x1, x2, … , xn｝c’è
sempre una misura più grande, xmax, ed una
più piccola, xmin.
2
minmax xxea
ERRORE ASSOLUTO
Si definisce Errore Assoluto ea (o
Semidispersione Media) il rapporto
Risulta utile ottenere un intervallo minimo in cui siamo sicuri che ricade la misura esatta. Questo intervallo, detto Intervallo di Incertezza, è il seguente:
aeGx
Dove x indica la misura esatta, G il valore
medio e ea l’errore assoluto.
INTERVALLO DI
INCERTEZZA
Scrivere una misura nel modo seguente:
kgm 02.051.12
significa che il valore della massa m che si
sta cercando è tale che
kgmkg 53.1249.12
ossia che la massa m ha un valore compreso
tra i 12.49 kg e i 12.53 kg.
ESEMPIO DI INTERVALLO
DI INCERTEZZA
Non sempre l’errore assoluto ci offre una
stima efficiente del “peso” dell’errore stesso
sulla misura. È più grave commettere un
errore di 1 cm su 1 m, o di 1 m su 1 km?
Sicuramente è più grave il primo. Perché?
Chiamiamo Errore Relativo er il rapporto:
G
ee a
r
ERRORE RELATIVO
Ora vediamo il perché della risposta precedente. Nel primo caso abbiamo un errore relativo
01.01
01.0
m
mer
mentre nel secondo caso abbiamo
001.01000
1
m
mer
che è più piccolo del primo.
ESEMPIO DI ERRORE
RELATIVO
Quando si fanno tante misure di una
grandezza, siamo in grado di scartare quelle
misure che sono fuori da un intervallo
accettabile. L’Errore Percentuale ep, definito
come segue, ha proprio questo scopo:
100 rp ee
e si esprime come percentuale, cioè col
simbolo “%”.
ERRORE RELATIVO
PERCENTUALE
Tornando alla domanda precedente possiamo
dire che nel primo caso avevamo
ep = 0.01×100 = 1%
mentre nel secondo caso
ep = 0.001×100 = 0.1%
ESEMPIO DI ERRORE
PERCENTUALE
L’errore percentuale serve a stabilire il livello di
confidenza di una misura. Solitamente vengono
scartate tutte quelle misure per le quali l’errore
percentuale supera il 2%.
Questo parametro è fondamentale per quanto
riguarda il controllo di qualità dei prodotti
industriali, ma anche per tutte le costruzioni in
generale; in questo caso si parla di “tolleranza”.
LIVELLO DI CONFIDENZA
• Il valor medio, l’errore assoluto e
l’intervallo di incertezza hanno la stessa
unità di misura della grandezza misurata e,
come tale, è obbligatorio specificarla sempre!
• L’errore relativo e l’errore percentuale, al
contrario, sono numeri “puri”, ossia non possiedono alcuna unità di misura.
UNITA’ DI MISURA DEGLI
ERRORI
Quante cifre bisogna indicare dopo la virgola, in un risultato decimale?
Nel caso di valore ottenuto da uno strumento di misura il problema non si pone essendo lo strumento stesso ad indicarle.
E se durante una misura indiretta (calcoli) otteniamo numeri a più cifre decimali?
In questo caso si scelgono tante cifre quante sono quelle relative alla sensibilità dello strumento col quale si è misurato, operando degli “arrotondamenti”.
ARROTONDAMENTI
Un numero a più cifre decimali può essere sempre arrotondato per eccesso o per difetto.
Si arrotonda per eccesso quando si vuole un valore leggermente più alto di quello che si ha.
Si arrotonda per difetto quando si vuole un valore leggermente più basso di quello che si ha.
ESEMPIO DI
ARROTONDAMENTI
Eccesso e Difetto
1. Si sceglie il numero di cifre decimali da tenere.
2. Si guarda la prima cifra decimale tra quelle da scartare.
3. Se essa è maggiore o uguale a 5 si aumenta di 1 l’ultima cifra decimale da tenere (arrotondamento per eccesso).
4. Se essa è minore di 5 si lascia inalterata l’ultima cifra decimale da tenere (arrotondamento per difetto).
Esempio
Si vuole arrotondare a 3 cifre decimali il numero 11.3567099.
11.3567099
In rosso sono le cifre da tenere. La prima cifra da scartare, il 7 (in blu), essendo maggiore di 5, fa sì che il numero finale diventi
11.357
L’arrotondamento eseguito è per eccesso.
Esempio
Si vuole arrotondare a 2 cifre decimali il numero 15.9523137.
15.9523137
In rosso sono le cifre da tenere. La prima cifra da scartare, il 2 (in blu), essendo minore di 5, fa sì che il numero finale diventi
15.95
L’arrotondamento eseguito è per difetto.
Cifre significative
Si chiamano Cifre Significative di una misura
le cifre “certe” e la prima “incerta”, in
riferimento all’intervallo di incertezza. In
generale, il numero delle cifre significative
si trova contando la cifra incerta e le cifre
che stanno alla sua sinistra fino all’ultima
cifra, se essa è diversa da zero.
Esempi
• 12.45 ha 4 cifre significative
• 47.3 ha 3 cifre significative
• 0.34 ha 2 cifre significative
• 0.340 ha 3 cifre significative
• 23.073 ha 5 cifre significative
• 10.0220 ha 6 cifre significative
• 0.001 ha 3 cifre significative
Quando si eseguono misure indirette, cioè
quando si fanno calcoli con le misure di
grandezze (per esempio calcoli di dispendio
energetico a partire da misure di VO2), gli
errori si propagano nei calcoli. Vediamo
come risultano l’errore assoluto e relativo a
seguito di operazioni matematiche.
PROPAGAZIONE DERGLI
ERRORI
Se X è una misura indiretta, ottenuta dalla somma o dalla differenza di due misure omogenee a e b, allora
ea(X) = ea(a) + ea(b).
Gli errori assoluti di a e b si sommano sempre, indipendentemente dal fatto che la misura X sia ottenuta come somma o come
differenza tra a e b. Il tutto vale anche se le misure sono più di due.
SOMMA E DIFFERENZA
Se X è una misura indiretta, ottenuta dal prodotto o dal quoziente di due misure a e b, allora
er(X) = er(a) + er(b).
PRODOTTO E QUOZIENTE
Gli errori relativi e percentuali di a e b si sommano sempre, indipendentemente dal fatto
che la misura X sia ottenuta come prodotto o come quoziente tra a e b.
Il tutto vale anche se le misure sono più di due.
