Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 1
Misura di impedenze
2
Misure di impedenze
Tecniche volt-amperometriche in DC
Tecniche volt-amperometriche in AC
Tecniche di zero: ponte in DC
Tecniche di zero: ponte in AC
Tecniche di risonanza: Il Q-metro
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 2
Tecniche di zero: ponte in DC
4
Obiettivi della lezione 1/2
Metodologici
metodo di confronto in DC basato sul rilievo di un particolare stato del circuito (equilibrio)
analisi del comportamento del circuito funzione del tipo di alimentazione in DC
valutazione della risoluzione del sistema di misura e caratteristiche degli elementi del ponte che la determinano
stima dell’incertezza di misura di una resistenza
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 3
5
Obiettivi della lezione 2/2
Procedurali
progetto della topologia del circuito e scelta dei componenti in funzioni delle prestazioni richieste
analisi dei fenomeni fisici che introducono errori di misura
tecnica di correzione di tali errori
estensione della tecnica fuori delle condizioni di equilibrio per applicazioni di tipo sensoristico
6
Prerequisiti per la lezione
Concetti base dell’elettrotecnica:
analisi di un circuito in regime DC
funzione di trasferimento in DC
circuiti equivalenti di un generatore reale in DC
Fondamenti di misure elettroniche:
incertezze di misura e loro stima
sensibilità intorno allo zero di un voltmetro e amperometro in DC
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 4
7
“Misure Elettriche-Metodi e strumenti”G.ZingalesUtet Libreria-Torino, 1992
“Fondamenti di misure e strumentazione elettronica”A. Carullo, U. Pisani, A. VallanEdizioni C.L.U.T.-Torino, 2006
capitoli 3, 4
Bibliografia per la lezione
8
Tecniche di zero: ponte in DC
GeneralitàIl ponte di WheatstoneAnalisi del ponte di WheatstonePonte all’equilibrioRisoluzione del ponteAccuratezza del ponteUso del ponte fuori equilibrioEsercizi: misura di resistenzaEsercizi: considerazioni sull’incertezzaEsercizi: risoluzione nella misura di resistenzaEsercizi: misura di una piccola resistenza
Contenuti della lezione
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 5
Tecniche di zero: ponte in DC
10
Una resistenza può essere misurata inserendola in un particolare circuito alimentato in DC
Si regolano alcuni elementi del circuito in modo da individuare, mediante un misuratore M uno stato ben definito del circuito
Metodo di zero 1/3
CIRCUITO
RX
M
A
B
E
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 6
11
Normalmente lo stato corrisponde alla lettura di:uno zero di tensione tra due nodi (A-B), se si usa come rivelatore un voltmetrouno zero di corrente in un ramo (A-B), se si usa come rivelatore un galvanometro
Metodo di zero 2/3
CIRCUITO
RX
V
A
B
VAB=0 CIRCUITO
RX
I
A
B
IAB=0
12
Metodo di zero 3/3
Le due condizione sono elettricamente equivalenti
Corrispondono allo stato di “equilibrio del circuito”
CIRCUITO
RX
V
A
B
VAB=0 CIRCUITO
RX
I
A
B
IAB=0
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 7
Tecniche di zero: ponte in DC
14
Il circuito
Il circuito del ponte di Wheatstone
VA
a
b c
E
A
B
+
RX
M
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 8
15
Generatore ideale di tensione
Schema del ponte alimentato da un generatore ideale di tensione
VA
a
b
x
c
ABVu
+
VB
E
16
Schema del ponte alimentato da un generatore ideale di corrente
Generatore ideale di corrente
VA
a
b
x
c
I ABVu
+
VB
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 9
17
Generatore reale di tensione
Schema del ponte alimentato da un generatore reale di tensione
VA
a
b
x
c
ABVu
+
VB
E
RG
18
Gli sviluppi e le considerazioni che faremo nel seguito si riferiscono al caso di un ponte alimentato con generatore ideale di tensione e utilizzando un rivelatore tipo voltmetro ideale (Rv→∞)
Caso ideale
VA
a
b
x
c
E ABVu
+
VB
V
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 10
19
L’analisi è concettualmente valida anche per gli altri casi, per i quali occorre sviluppare le opportune relazioni formali
Si lascia, come esercizio, alla iniziativa personale il caso di alimentazione con un generatore reale di tensione e rivelazione mediante un galvanometro reale
Generalizzazione agli altri casi
Tecniche di zero: ponte in DC
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 11
21
Considerando la x come variabile di ingresso, interessa calcolare la funzione Vu=f (E,a,b,c,x)che, per comodità, è normalizzata rispetto alla E
Caratteristica Ingresso/Uscita 1/2
a
b
x
c
E ABVu
+
VAVB
x VuH(E,a,b,c)
cx
xcab
1
baca
EVu
+
−
+=
ab
xcab
xcab
1
bab
EVu
+
−
+=
22
Conviene riscrivere la relazione precedente
Sostituendo la grandezza in ingresso x → X
ab
xcab
xcab
1
bab
EVu
+
−
+=
xcab
X =
ab
X
X1bab
EVu
+
−
+=
Caratteristica Ingresso/Uscita 2/2
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 12
23
La funzione ha l’andamento
Andamento della Vu (X)/E
)X(fEVu =
X
EVu
baa+
bab+
−
1X =
xcab
X =
ab
X
X1bab
EVu
+
−
+=
24
Se si inverte la polarità della tensione E o quella del misuratore di Vu la caratteristica ruota simmetricamente rispetto all’asse delle ascisse
bab+
Vu/E con alimentazione invertita
baa+
−
EVu
X
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 13
25
Il sistema ponte di Wheatstone può essere utilizzato secondo due modalità:
nell’intorno del punto Vu=0 (ponte in equilibrio)
Ponte intorno all’equilibrio
)(XfE
Vu =
X
baa+
bab+
−
1X =
EVu
26
in una zona più estesa della caratteristica
Ponte fuori equilibrio
)X(fEVu =
X
baa+
bab+
−
1X =
minXmaxX
EVu
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 14
Tecniche di zero: ponte in DC
28
Nell’intorno del punto Vu=0 (ponte in equilibrio) il ponte di Wheatstone opera come un misuratore di resistenza con la tecnica del confronto
Condizioni all’equilibrio 1/2
)X(fEVu =
X
baa+
bab+
−
1X =
EVu
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 15
29
Sia x una resistenza incognita, nel circuito del ponte si introducono resistori variabili (a, b o c) noti (resistori campione) che si variano fino ad ottenere Vu=0 e quindi
Condizioni all’equilibrio 2/2
1xcab
X ==bca
x =
30
dove
Nel ponte vale una relazione simile
a=resistorevariabile
L’uso classico come misuratore di resistenze per confronto con resistori campioni è simile al funzionamento di una bilancia
Analogia meccanica
mx mc
b c
cx mbc
m =
a
b
x
c
E AB
Vu
+
VA bca
x =
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 16
31
Si può scegliere uno o più elementi variabili e gli altri fissi a seconda del valore della x incognita e dei valori dei campioni disponibili
Si tenga presente che un elemento variabile può essere assunto come campione se è disponibile una curva di taratura ottenuta per riferimento ad un campione di qualità superiore
L’elemento variabile
32
Nella realizzazione originale l’elemento variabile era realizzato mediante un resistore a filo di materiale resistivo con resistività e sezione rigorosamente uniformi in moda da riferire il rapporto a/b al rapporto tra lunghezze l1/l2
Uso di un resistore variabile a filo
l1 l2
a b
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 17
Tecniche di zero: ponte in DC
34
Risoluzione: sistema ideale 1/2
Nel caso del circuito di figura se:il rivelatore della Vu è idealeil sistema è idealmente privo di rumorel’elemento variabile ha variazione continua con potere di risoluzione infinitesimo di lettura
a
b
x
c
E ABVu
+
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 18
35
Risoluzione: sistema ideale 2/2
La caratteristica di trasferimento è una linea continua ideale
La risoluzione con cui posso stimare la x èidealmente infinita
Xbca
x =
1X =
X
baa+
bab+
−
EVu
36
Campione di resistenza a valori discreti
In alternativa ad elementi variabili con continuitàsi utilizzano elementi resistivi a variazione discreta (cassette di resistenze campione di peso R, R/10, R/100, ...)
R R/10 R/100 R/1000
A B
3××××R 5××××R/10 1××××R/100 6××××R/1000
peso
Es: RAB=3.516R valore impostato in figuraRisoluzione (minima variazione) della resistenza: ∆R=(1/1000)R; RABmax=9.999R
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 19
37
Caso di resistenza a variazione discreta
Se la resistenza b è variabile per valori discreti
L’asse orizzontale della caratteristica si discretizzacon un passo di risoluzione
a
b
x
c
EAB
Vu
+
X
EVu
xcab
X =∆X
38
Risoluzione: rivelatore ideale 1/6
Per un dato valore di x risulta
Nell’intorno di
bcaxX ∆=∆
00 bcax =1X =
00 bb
xx ∆
=∆
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 20
39
Risoluzione: rivelatore ideale 2/6
La discretizzazione ∆b dell’elemento variabile e quindi della X produce una caratteristica discontinua con passo
Il punto corrispondente a Vu =0 può non essere individuato direttamente in corrispondenza dei valori discreti di X (cioè di b)
bcaxX ∆=∆
X
baa+
bab+
−
EVu
4022 bcaxx =≅
Risoluzione: rivelatore ideale 3/6
Si può assumere come valore di x quello che corrisponde a X2 (cioè a b2), che nell’esempio èpiù vicino a Vu=0
In pratica è come assumere che la caratteristica passi per Vu=0 , X=1≅X2 e quindi si stima
X1 X2
X
E/V 1u
E/V 2u−
x ≅ x2
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 21
41
Risoluzione: rivelatore ideale 4/6
L’ ampiezza della fascia di discretizzazione della x dipende da quella dell’elemento variabile e, in termini relativi vale
Ѝ questa la minima variazione apprezzabile con il sistema di misura (risoluzione)Si può indicare come risoluzione il valore
che si riferisce alla semiampiezza della fascia
22bb
x
x ∆=
∆
2x∆±
42
Risoluzione: rivelatore ideale 5/6
Il valore di x può in alternativa essere stimato mediante interpolazione
2u1u
1u22u1
VV
VXVXx
+
+=
X1 X2
X
E/V1u
E/V2u−
x
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 22
43
Risoluzione: rivelatore ideale 6/6
Se tutto è ideale in linea di principio si potrebbe avere una risoluzione limitata da ∆Vu , risoluzione del misuratore (essendo X1 e X2 valori noti). Dalla figura risulta
( ) ( )2u1u
u
12 VV
VXXx
+
∆=
−
∆ ( )( ) u
2u1u
12 VVV
XXx ∆
+
−=∆da cui
X1 X2X
E/V1ux
E/V 2u−
44
Risoluzione: rivelatore non ideale 1/4
Se il rivelatore della Vu non è ideale, cioè la sua sensibilità intorno alla lettura 0 è limitata da presenza di rumore e l’elemento variabile ha variazione continua, la caratteristica di trasferimento diventa una fascia intorno alla linea ideale
Vu/E
X
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 23
45
Risoluzione: rivelatore non ideale 2/4
Il valore stimato di x può essere collocato ragionevolmente al centro della fascia la cui ampiezza può essere calcolata in base alla pendenza della caratteristica intorno a Vu=0
x
∆x
∆Vu0
Vu
46
Risoluzione: rivelatore non ideale 3/4
Nota la pendenza
Si calcola la risoluzione assoluta (semiampiezza della fascia)
Dove è la risoluzione del rivelatore intorno alla lettura 0
0VxV
pu
u
=
∂
∂=
pV
x 0u∆=∆
0uV∆±
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 24
47
Risoluzione: rivelatore non ideale 4/4
( )22
u
bac
bE
xV
b
cax,0uV
+−=
∂
∂
==
x VuH(E,a,b,c)
VB
a
b
x
cE
ABVu
+
VA
( ) ( )( )( ) ( )( )bacx
xbcaE
bacxcxbbac
EVu++
−=
++
+−+=
( )u2
2
VEbbac
x ∆+
=∆
48
Valutazione sperimentale 1/2
La pendenza della caratteristica può essere ricavata sperimentalmente
Si varia di |∆b| l’elemento variabile
Si ha una corrispondente variazione |∆Vu| intorno all’equilibrio
Si fa il rapporto tra le due variazioni relative intorno ai valori di equilibrio
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 25
49
Valutazione sperimentale 2/2
eVbb
u
0x
δ∆
∆
=σ
δ
∆
∆
eVbb
dove
u
0valore di equilibrio di b
variazione intorno all’equilibrio
deviazione prodotta da ∆b
minima deviazione apprezzabile sulla scala del rivelatore
50
Conclusioni sulla risoluzione 1/3
lettomis
mis1 b
b
21
x
x
21
r∆
=∆
=
Caso di rivelatore ideale, assenza di rumore
Elemento variabile b a variazione discreta ∆b
La risoluzione relativa (semiampiezza della fascia)è limitata da b e vale
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 26
51
Conclusioni sulla risoluzione 2/3
( )
( )
( )u0
letto
2letto
u0letto2
2lettoletto
u0letto2
2letto
mismis2
Vabba
E1
Vbbac
E1
acb
Vbbac
E1
x1
x
xr
∆+
=
=∆+
=
=∆+
=∆
=
Caso di rivelatore reale (sensibilità limitata ±∆Vu0)Elemento variabile a variazione continuaLa risoluzione relativa (semiampiezza della fascia) è limitata da quella del rivelatore e vale
52
Conclusioni sulla risoluzione 3/3
Caso di rivelatore reale
Elemento variabile b a variazione discreta
Si ha una combinazione di entrambi gli effetti precedenti (es. sommandoli in valore assoluto nel caso peggiore)
21 rrr +=
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 27
53
Considerazioni sulla risoluzione del sistema
La risoluzione r migliora se:
si aumenta la risoluzione del resistore variabile
si migliora la sensibilità del rivelatore intorno allo 0 (riduzione di eventuale rumore nel sistema)
si aumenta, nel caso dello schema analizzato, la tensione E di alimentazione del ponte*
si scelgono opportunamente i valori delle resistenze del ponte
* N.B. Aumenta la potenza dissipata nei resistori del ponte e quindi la loro temperatura, con conseguente variazione delle resistenze
Tecniche di zero: ponte in DC
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 28
55
Ipotesi di ponte ideale in cui si ottiene un azzeramento ideale si misura
Indicate con εa, εb, εc, le incertezze relative con cui sono note le resistenze campione
Accuratezza del ponte: caso ideale 1/4
b
ca=x
a
b
x
c
EAB
Vu
+
bcax =
56
urx2= ura2+ urb2+ urc2
Accuratezza del ponte: caso ideale 2/4
L’incertezze relativa con cui si conosce x secondo il modello deterministico è data da
Sulla base del modello probabilistico dette ura, urb, urc, le incertezze tipo relative dei resistori campione l’incertezza tipo relativa
εx= εa+ εb+ εc
xε
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 29
57
Accuratezza del ponte: caso ideale 3/4
Per effetto della risoluzione del sistema di misura il valore di x è noto a meno di r e pertanto
La risoluzione r contribuisce interamenteall’incertezza e, nel caso peggiore, si ha
rbcaxm ±=
rbcaδxδ m +
=
58
Accuratezza del ponte: caso ideale 4/4
Con alcuni semplici passaggi si ottiene l’incertezza relativa (caso peggiore) di xr
In un sistema ben progettato il contributo della risoluzione deve essere trascurabile rispetto agli altri
mcba
m
m
xr
εεεxxδ
+++=
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 30
59
Fenomeni che possono influenzare il corretto azzeramento del ponte di W., quando si richiedono elevate accuratezze:
l’effetto Seebeck, che si verifica nel caso in cui si hanno differenze di temperatura tra i vari elementi del ponte
la presenza delle resistenze di contatto, che assumono importanza quando il loro valore incide in modo non trascurabile rispetto alle altre resistenze del ponte
Altre sorgenti di errore nel ponte
60
Se nel ponte si hanno giunzioni tra conduttori metallici di materiale diverso, e queste si trovano a temperature T1 e T2 diverse, nascono, per effetto Seebeck, delle forze termoelettromotrici(FTEM) il cui valore e è dato da:
Effetto Seebeck
( ) ( ) ( )e f T T T T T T
V K
FTEM= - ≅≅≅≅ - + - +
÷
1 2 1 2 1 2
2
5 50 0
a b
a m b
..
/ ;≅≅≅≅ ≅≅≅≅
eFTEM
FTEM
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 31
61
Contributo dovuto all’effetto Seebeck
L’effetto delle FTEM:si minimizza equalizzando termicamente il circuitosi può idealmente compensare con opportuna procedura di misurazione indicata in seguito
Per una data configurazione termica, le varie componenti di FTEM generate dalle diverse giunzioni si possono raggruppare in un’unica FTEMequivalente
Questa può essere posta in serie alla tensione di alimentazione del ponte (o al misuratore della Vu)
62
La polarità e l’entità di FTEM dipende dagli squilibri termici
VB
x
c
A
VA
a
b
E B
Vu
++
FTEM
Contributo delle FTEM 1/4
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 32
63
La caratteristica, nell’ipotesi del circuito di figura, rispetto a quella ideale (linea tratteggiata), trasla verticalmente del valore –FTEM , e l’equilibrio si ha per x=xm
Contributo delle FTEM 2/4
FTEM x
uV
0x
xm
64
Se si inverte la polarità della tensione E di alimentazione del ponte
VB
x
c
A
VA
a
b
E B
Vu+
+
FTEM
Contributo delle FTEM 3/4
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 33
65
La polarità ed il valore di FTEM rimangono costanti e la caratteristica, rispetto a quella ideale (linea tratteggiata), si trasla e si legge xM
x
uV
0x
FTEM
Mx
Contributo delle FTEM 4/4
66
Compensazione delle FTEM
Dalle due letture xm e xM si può ricavare
che risulta così depurato dell’effetto di FTEM
2xx
x Mm0
+=
uV
0x Mx
xmx Mx0x
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 34
67
Effetto delle resistenze di contatto 1/3
Schema del ponte con le resistenze di contatto evidenziate in rosso (ipotizzate tutte uguali di valore r)
VB
a
b
x
c
EAB
Vu+
VA
rr
rrr
r
r
r
r r
68
Con il rivelatore posto tra A e B si misura
Se 2r<< δa, δb, δc incertezze sulle resistenze, l’effetto delle resistenze di contatto sulla misura ètrascurabile
( )( )( )r2b
r2ar2cx
+
++=
Effetto delle resistenze di contatto 2/3
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 35
69
Se ciò non è vero occorre adottare una configurazione del ponte che minimizzi tale effetto
Si fa ricorso a resistori a 4 morsetti in cui la resistenza R è definita dal rapporto R=V/Iindipendente da r
I I
Rr r
V
Effetto delle resistenze di contatto 3/3
70
Utilizzando resistori a 4 morsetti si può adottare una topologia circuitalecome in figura
I resistori in serie al misuratore di Vu non danno contributo, si ricava
Con compensazione totale dell’effetto se c=b
E
+
a
r
r
x
r
r
b
r
r
c
r
r
r r
Vu
( )( )r2b
ar2cx
+
+=
Compensazione parziale 1/2
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 36
71
Se b e c sono di valore non molto elevato rispetto a r si può utilizzare la connessione di figura
Tenendo presente che i resistori in serie al misuratore di Vu non danno contributo, si ricava
Con compensazione totale dell’effetto se c=b
( )br2ac
r2x+
=+
E
+
a
r
r
x
r
r
b
r
r
c
r
r
r r
Vu
Compensazione parziale 2/2
Tecniche di zero: ponte in DC
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 37
73
Applicazioni
Una delle applicazioni del ponte sfrutta una zona estesa della caratteristica di trasferimento resistenza → tensione
Realizzazione di trasduttori basati su sensori di tipo resistivo (trasduttori di temperatura, deformazioni, spostamento ecc…)
)R(fEVu =
R
uV
0R
minR
maxRR Vu
RTrasduttore
74
Talvolta può essere desiderabile avere una caratteristica lineare
Linearizzazione della caratteristica
R
R VuTrasduttore+ Circuito di linearizzazione
0R
minR
maxR
)X(fEVu =
uV
0R
minR
maxR
RR
uV )X(fEVu =
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 38
75
La sensibilità del trasduttore è data dalla pendenza della caratteristica Ingresso/Uscita
Sensibilità della funzione di trasduzione
R
uV
0R maxR
R
0R
minR
maxR
minR
uV
76
Un circuito che permette per migliorare la linearità del ponte
La Vu risulta proporzionale a R:
Vu
a
b
RE
+
-Vi≅0
c
+
IVcVa
Rc1aba
abb
;aba
c1R
aba
aba
c1
caba
+−
+=
+−
+−=
+===
+=
E
V
EEEV
EI I;VEV
u
u
ca
RKKV 10u +=
Es. di miglioramento della linearità
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 39
77
Circuito per migliorare la sensibilità del ponte utilizzando due sensori uguali, R=R0(1+x), su lati opposti del ponte
R può essere un sensore di temperatura, umidità, ecc. (x rappresenta la variazione relativa di R)
Miglioramento della sensibilità
R=R0(1+x)R0
EVu
+
R=R0(1+x) R0
78
Analisi nel caso di ponte equilibrato per x=0 con resistori tutti uguali a R0
R=R0(1+x)R0
EVu
+
R=R0(1+x)R0
( )( )
( )( ) ( )
( )( )
( )( )( ) ( ) ( )x2
x
x1x1
x2xx2x1
x1x1
x11x1RRx1R
EV
2
2
2
00
0u
+−=
+++
+−
+
+=
=+++
+−
++
+=
Analisi del ponte con due sensori
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 40
79
2E
−
Sensibilità intorno all’equilibrio 1/2
Per piccole variazioni intorno a R0 si ha x<<2 e quindi risulta
La Vu è proporzionale a x (variazione relativa della R) con una pendenza
x2E
Vu −≅
0x =
x
uV
minxmaxx
80
Se si utilizzasse un solo sensore R il fattore di proporzionalità sarebbe
e la sensibilità risulterebbe dimezzata
4E
−
x
uV
minxmaxx0x =
Sensibilità intorno all’equilibrio 2/2
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 41
Tecniche di zero: ponte in DC
82
Si misura una resistenza RL che è di circa 15 Ωrealizzando un ponte di Wheatstone il cui rivelatore di 0 si supponga ideale
R1
+
E
R2 R3
RL
Testo dell’esercizio
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 42
83
Si hanno a disposizione per la sua realizzazione i seguenti componenti tra i quali scegliere:
n.4 resistori campione di valore rispettivamente RA=100Ω±0.05%, RB=10 Ω±0.05%, RC=10Ω±0.05%, RD= 1 Ω ±0.05%
n.1 resistore campione variabile Rv a scatti di valore compreso tra 0Ω e 11.11Ω con passo0.01Ω e accuratezza di ±0.01%
Parametri noti
84
Quesito n.1:
si definisca la configurazione del ponte
Quesito n.2:
si valuti la risoluzione con cui si misura la resistenza
si valuti l'incertezza sulla misura
Quesiti posti
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 43
85
Soluzione al quesito n.1 1/2
Soluzione:all’equilibrio vale
avendo disponibile un resistore Rv variabile tra 0 e 11.11Ω
essendo RL≅15Ω una possibile scelta è assumere R3 come resistore variabile e R1/R2=10
R1
+
ER2 R3
RL2
31L R
RRR =
Si definisca la configurazione del ponte
86
Soluzione al quesito n.1 2/2
lo schema assunto è
con cui si soddisfa la condizione
1,51010R100
R VL ×≈
×=
R1=10Ω
+
E
RV =0÷11,11Ω
RL≈15 Ω
R2=1Ω
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 44
87
Si valuti la risoluzione con cui si misura la resistenza
Soluzione al quesito n.2 1/2
Soluzione:
essendo
la risoluzione assoluta con cui si misura RL vale
la risoluzione relativa vale
88
Si valuti l'incertezza sulla misura
Soluzione al quesito n.2 2/2
Soluzione:
nel caso ideale in cui le sole incertezze sono quelle delle resistenze, l’incertezza di misura nel caso peggiore vale
0,11%RR
RR
RR
RR
V
V
2
2
1
1
L
LRL
=δ
+δ
+δ
=δ
=η
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 45
Tecniche di zero: ponte in DC
90
Testo dell’esercizio
Nell’esercizio precedente come cambierebbe l’incertezza di misura di RL se si conoscesse, invece delle singole resistenze (ciascuna con incertezza 0,05%) il loro rapporto
R1
+
ER2 R3
RL2
31L R
RRR =
R1/R2=10±0.05% ?
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 46
91
Soluzione
Conoscendo direttamente il rapporto R1/R2 con incertezza 0.05%, nel caso peggiore, si ha
Con miglioramento dell’incertezza da 0,11% a 0,06%
0,06%RR
RRRR
RR
V
V
2
1
2
1
L
LRL
=δ
+
δ
=δ
=η
Tecniche di zero: ponte in DC
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 47
93
Nel ponte di Wheatstone di figura si hanno due resistenze fisse R1=R3=10kΩ±0.1%
RV è una resistenza variabile da 0 a 20 kΩ
R1
+
E
R2 R3
RV
Testo dell’esercizio
94
RV=20 kΩ totale, è variabile su 20 giri e con scala graduata e calibrata con 100 divisioni/giro
L’incertezza relativa del potenziometro è costantesu qualunque punto della scala e vale 0,5×10-2
Il potenziometro viene utilizzato per bilanciare al ponte una resistenza incognita R2 di circa 10 kΩ
R1
+
ER2 R3
RL
Parametri noti
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 48
95
Quesito n.1:
quale è la risoluzione assoluta e relativa con cui si misura R2?
Quesito n.2:
quale è l’incertezza relativa nel caso in cui lo strumento di misura ha sensibilità infinita (ideale)?
Quesiti posti
96
Soluzione:essendo R2≅10kΩ e R1=R3=10kΩ si deve porre RV=10kΩ perché si ottenga l’equilibrio
la risoluzione assoluta di RV vale
e la sua risoluzione relativa
10kΩRRR
RV
312 ==
10Ω10201020
NR
R∆ 2
3
div
VtotV =
×
×==
3-3
V
V 10101010
RR∆
=×
=
Quale è la risoluzione assoluta e relativa con cui si misura R2?
Soluzione la quesito n.1 1/2
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 49
97
essendo R1 ed R3 fisse, la variazione relativa di R2in funzione della variazione relativa di Rv vale
la risoluzione relativa di R2 (minima variazionerelativa apprezzabile indipendentemente dal segno) coincide con quella di Rv
V
V
2
2
RR
RR∆ δ
−=
0,1%10RR∆ 3
2
2 == −
Soluzione al quesito n.1 2/2
98
Soluzione:
dalla relazione
essendo tutto ideale l’incertezza relativa su R2 è
10kΩRRR
RV
312 ==
( ) 0,7%100,50,12RR
RR
RR
RR 2
V
V
3
3
1
1
2
2 =×+×=δ
+δ
+δ
=δ −
Quale è l’incertezza relativa nel caso in cui lo strumento di misura ha sensibilità infinita (ideale)?
Soluzione al quesito n.2
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 50
Tecniche di zero: ponte in DC
100
Per la misura di una resistenza Rx ≅1Ω si utilizza un ponte
Si dispone di due resistenze di 100Ω e un resistore tarato RV variabile da 9 kΩ a 11 kΩ con passi ∆RV=10Ω
R3
+
ER1 R2
Rx
Testo dell’esercizio
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 51
101
Tutti i resistori del ponte hanno accuratezza di ±5×10-3
Si consideri ideale il rivelatore
R3
+
ER1 R2
Rx
Parametri noti
102
Quesito n.1:
quale configurazione del ponte conviene utilizzare?
Quesito n.2:
quale è il valore minimo e massimo di resistenza misurabile?
Quesito n.3
quale è la risoluzione con cui si misura la resistenza?
Quesiti posti 1/2
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 52
103
Quesito n.4:
quale è la accuratezza con cui si misura la resistenza?
Quesito n.5:
per ottenere prestazioni simili si poteva utilizzare RV con passo ∆RV=50Ω?
Quesiti posti 2/2
104
Soluzione:essendo all’equilibrio
la scelta possibile è R2=R3=100Ω, R1= RV
il valore di RV da impostare vale RV =10 kΩ.
1ΩRRR
R1
32X ==
R3
+
ERV R2
Rx
Quale configurazione del ponte conviene utilizzare?
Soluzione al quesito n.1
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 53
105
Soluzione:
Soluzione al quesito n.2
1,11ΩR10
RVmin
4
maxX ==
0,91ΩR10
RVmax
4
minX ==
R3
+
ERV R2
Rx
Qual è il valore minimo e massimo misurabile?
106
Soluzione al quesito n.3
Soluzione:
Ω==×= − 1mΩ10R∆RR
R∆ 3V
V
XX
3
X
X 10RR∆ −=
Qual è la risoluzione con cui si misura la resistenza?
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 54
107
Soluzione al quesito n.4
Soluzione:
l’ incertezza relativa nel caso peggiore vale
1,5%RR
RR
RR
RR
V
V
2
2
3
3
X
XR X
=δ
+δ
+δ
=δ
=η
∆RX
δRX
Qual è l’accuratezza con cui si misura la resistenza?
108
Soluzione al quesito n.5
Soluzione:
la risoluzione assoluta è data da
e la risoluzione relativa vale
5mΩΩ105R∆RR
R∆ 3V
V
XX =×=×= −
0,5%105RR∆ 3
X
X =×= −
Per ottenere prestazioni simili si poteva utilizzare RVcon passo ∆RV=50Ω?
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 55
109
Considerazione sul quesito n.5
confrontando la risoluzione relativa
con l’incertezza relativa calcolata in precedenza
il sistema è ancora abbastanza ben dimensionato
0,5%RR∆
X
X =
1,5%RR
X
XRX
=δ
=η
∆RX
δRX
Tecniche di zero: ponte in DC
Misure Elettroniche II Tecniche di zero: ponte in DC
© 2006 Politecnico di Torino 56
111
I seguenti concetti devono essere meditati e risultare chiari dallo studio della lezione:
da quali elementi del ponte dipende la risoluzione del sistema di misuracome le accuratezze dei vari elementi del sistema contribuiscono all’accuratezza della misurafenomeni fisici che sono sorgenti di errore di misuracome si studiano ed applicano le tecniche di correzione estensione di un metodo di zero ad applicazioni fuori zero
Approfondimenti
112
Tecniche di zero: ponte in DC
GeneralitàIl ponte di WheatstoneAnalisi del ponte di WheatstonePonte all’equilibrioRisoluzione del ponteAccuratezza del ponteUso del ponte fuori equilibrioEsercizi: misura di resistenzaEsercizi: considerazioni sull’incertezzaEsercizi: risoluzione nella misura di resistenzaEsercizi: misura di una piccola resistenza
Domande di riepilogo
Sommario della lezione