MODELLI A COMPONENTI DI VARIANZA EFFETTI CASUALI - RANDOM EFFECTS

Le intercette individuali sono trattate come componenti stocastiche, non come parametri fissi

Vi sono numerose considerazioni che rendono plausibile questa ipotesi:

1. Si tratta di caratteristiche non spiegate relative al singolo individuo, è “naturale” ipotizzare distribuzioni probabilistiche (come per la statura)

2. E’ difficile immaginare indipendenza tra le intercette e le esplicative, ad esempio se stimiamo funzioni di produzione, le intercette rappresenterebbero una sorta di capacità imprenditoriale “tipica” dell’impresa e sicuramente questa ha effetto sulla quantità di input utilizzati

3. Trattate come determinazione empirica di una variabile stocastica comune a tutti gli individui, le intercette assumono un significato riferibile all’intero collettivo e non al singolo soggetto

MODELLI A COMPONENTI DI VARIANZA EFFETTI CASUALI - RANDOM EFFECTS

L’assunzione di intercette stocastiche ha, ovviamente, conseguenze sulla struttura di Var/Covar del Modello e quindi sulla tecnica di stima.

Come abbiamo visto in questi casi dobbiamo ricorrere (in prevalenza) a GLS, o meglio a FGLS

Sintetizzando i passi che ci portano ad una stima FGLS:

1. Ipotizzare un modello della Var/Covar del fenomeno2. (cioè) ipotizzare una “forma” per la matrice Ω3. Ottenere una prima stima dei coefficienti e dei residui4. Sulla base dei residui e delle ipotesi sulla forma stimare Ω5. Utilizzando la stima di Ω ottenere una seconda stima dei residui6. Ripetere i passi 4. e 5. fino a convergenza

MODELLI A COMPONENTI DI VARIANZA EFFETTI CASUALI - RANDOM EFFECTS

Quindi otterremo tante strategie di stima quanti sono le ipotesi che possiamo sensatamente formulare sull Var/Covar

Tali ipotesi saranno strettamente legate (cioè plausibili e coerenti) almeno con il processo generatore dei dati che possiamo immaginare per il fenomeno che ci interessa

Qui ne vedremo approfonditamente uno, e accenneremo ad altri, tuttavia la logica della formulazione della strategia rimane la stessa, cioè quella indicata in precedenza

Ogni ipotesi determina una strategia e questo spiega la pluralità di stimatori che abbiamo a disposizione. Molto spesso questi stimatori sono identificati con il nome del loro “ideatore”

IL MODELLO “Random effect” - BASEPer la componente individuale si utilizzerà il simbolo anziché per chiarezza

itiitit uxy

Dobbiamo precisare la natura stocastica degli :

tjiuE

altrimentiuuE

stjiuuE

jiE

jiE

uEE

jti

jsit

ujsit

ji

ji

i

i

,,0),(

0),(

,),(

0),(

),(

0)(0)(

2

2

Si ripete in t

Questo è il modello “sostanziale”

Questo è il modello di misura,

Da cui si desume la forma di Ω

itiit u

stCov

stCov

isit

uisit

2

22

),(

),(

In sostanza è come se avessimo definito una scomposizione dell’”usuale” residuo di regressione:

Quindi la varianza avrà 2 componenti e la presenza degli i determina correlazione tra i residui di uno stesso individuoInfatti si avrà PER LO STESSO INDIVIDUO:

E per INDIVIDUI DIVERSI:

stiCov jsit ,,0),(

I residui sono correlati, dobbiamo usare GLS è una matrice NTxNT diagonale a blocchi, con un blocco di dimensioni TxT in corrispondenza di ciascun individuo:

2222

2222

2222

2

1

.....

.

.

.00....0.00.0

u

u

u

i

N

Dobbiamo trovare una stima per 22ue

Se “mediamo” il modello in T:

E quindi possiamo stimare i

La procedura di stima è la seguente:1. Si stima il modello sulle medie individuali2. Si calcolano i residui3. Si mediano i residui per ciascun individuo4. Si calcola la varianza “mediando” le varianze dei residui per

ciascun individuo 5. Si calcola la varianza complessiva (tutti gli individui) 6. Per differenza si trova

0

i

iiiiitiitit

uma

uxyuxy

)( 2

)( 22u

2u

1)(ˆ

)1(

)0(

2

2

22

Ti

TE

uxbxby

tiit

titit

iiiiii

NNKNTKTNs

mediastimatoriNabbiamoKT

is

i tiit

i

tiit

tiit

22

2

2

2

11

1)(

Ma b va stimato e quindi vanno corretti i gradi di libertà per la stima LSDV (k variabili)

Se ora consideriamo gli scarti di tutti gli individui/tempi cioè tutti i residui della regressione LSDV, abbiamo visto che

22),( uiiE

Divisi per gli opportuni gradi di lbertà possono essere stimati come

NNKNTTKNe

Tsss

KNes

i tiit

i t

itu

i t

it

2

222*

2

22*

1

In sostanza si calcolano la media delle varianza ENTRO e quella TOTALE

La differenza tra le due misura la componente di varianza non spiegata dalle differenze individuali

Questo schema suggerisce anche un possibile test

Moltiplicatori di Lagrange, Breusch-Pagan

2

2

2

21

20

112

0:

0:

i tit

ii

u

u

e

eT

TNTLM

H

H

χ² con 1 gdl

Effetti Fissi o casuali??

Il punto cruciale è: gli effetti individuali sono incorrelati con le esplicative?

Se così non è, abbiamo un problema di variabile omessa

Test di Hausman:

)(

ˆˆ

ˆˆˆˆ

0),(:

ˆˆ0),(:

2

1

1

0

Kè

VarVar

W

testXCovHXCovH

GLSOLS

GLSOLSGLSOLS

ii

OLSGLSii

Stimatore "Random Effects"

0

10

20

30

40

50

60

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18x

y

Y= 25,8+0,091 X LM = 85Hausmann = 97pseudo-r = 0,81

Stimatore "random Effects - residui"

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

x

y

Overall 3.4974

Within 0.7691

Between 4.1195

LSDV 0.7691

Random E 0.9064

I coefficienti della X

Estensioni dei modelli per Dati Panel: 0.1 Panel bilanciati e NON

Finora abbiamo ipotizzato che ogni individuo i fosse asservato T volte. Naturalmente nei casi concreti questo non sempre accade.

In simboli un individuo può esserere Ti volte quindi la numerosità complessiva delle osservazioni non è più NxT ma diventa

In generale questo non modifica le procedure già viste, basterà nelle formule tener conto che sono previsti Ti occasioni e apportare le modifiche necessarie.(in alcuni casi le cose diventano lievemente più complicate (ad. Es. nelle sommatorie non si può “raccogliere” T).

Alcune situazioni fanno eccezione come il test di Breusch-Pagan che prevede una versione “apposita” per panel NON bilanciati.

N

iit

1

Estensioni dei modelli per Dati Panel: 0.1 Time invariant Variables

Per le variabili che non variano tra le occasioni (es:sesso, anno di nascita, residenza etc..) NON è naturalmente possibile stimare coefficienti separati dagli effetti individuali (siano essi fissi o random).

Infatti, ad es. in LSDV i valori sulle colonne della matrice X che sono time-invariant sono semplicemente multipli delle dummy individuali perché sono fissi nel tempo per ciascun individuo.

Quindi le intercette individuali riassumono anche parte degli effetti di variabili di altro genere.

Diverse strategie sono state suggerite per ovviare a questo grave problema, non sempre soddisfacenti: la più nota è

1. Stimare con LSDV le intercette individuali considerando solo le time variant X2. Stimare una regressione tra le intercette e le time invariant3. Utilizzare i residui di 2 come esplicative del modello (senza dummies

individuali) per ottenere una unica intercetta e coefficienti per le time invariant

Non senza problemi, tema di ricerca aperto

Estensioni dei modelli per Dati Panel: 1. Mundlak’s Approach

Abbiamo visto che le stime ad effetti fissi e random hanno alcuni limiti:

Fissi: moltiplicano i parametri da stimare (1 per ogni individuo, la cui stima si basa su “poche” osservazioni)

Random: presuppone una assunzione piuttosto inverosimile cioè che l’eterogeneità non osservabile sia incorrelata con i regressori

Diversi autori hanno suggerito formulazioni diverse per rilasciare questa ipotesi, cioè immagina una “forma funzionale” per la correlazione:

0]|[ ii xE

.']|[ iii xxE

.']|[ iii xxE

Inserendo questa condizione nel modello originale otteniamo

..

..

''

|''

'

iitiit

iiiitiit

itiitit

uxx

xEuxx

uxy

Se γ = 0 allora ho un “fixed effect model”, quanto più γ≠ 0 , tanto più avrò preponderanza dei “random effect”. Testando la significatività di γ posso decidere la minore o minore adeguatezza delle ipotesi Fixed vs. Random

E’ ancora un metodo “random effect” , infatti specifica una “forma” per la matrice di Var/Covar, diversa da quella vista in precedenza coerente con il rilascio dell’ipotesi inverosimile di incorrelazione tra regressori e residuo

Si Stima con FGLS

Di solito è vista come una sorta di compromesso tra fixed e random effects

Estensioni dei modelli per Dati Panel: 2. variabili:

Se i variano da individuo a individuo, il modello diventa:

“random effect” sui

Matrive di Var/Covar dei

iti

iti

uitit

itit

ii

ititiit

xuVxExuV

xuEcon

uxy

|0|

|

0|

'

2

Se supponiamo di avere sufficienti gradi di liberta per stimare (inizialmente) i i cioè le intercette per ciascun individuo possiamo riscrivere OGNI BLOCCO di equazioni del modello in questo modo:

Quindi la Ω avrà n blocchi diagonali di dimensione TxT come quello specificato qui sopra. Questo determina la stima “corretta”

'|)'')('(

)(''

2iiTiiiiiii

iiii

iiii

xxIxxyxyE

xuxuxy

111

1

112

1

111

''

ˆ''ˆ

2

ii

n

iiii

i

n

ii

XXXXW

dove

WYXXX

La stima empirica dei coefficienti richiede la stima di Γ (matrice di Var/Covar dei coefficienti individuali βi ) che viene ottenuta dal solito processo iterativo FGLS

Naturalmente il modello a coefficiente unico è un caso “ristretto” di quello a coefficienti individuali, quindi la differenza tra i due modelli può essere testata nei modi usuali. In particolare la Statistica (dove b* è il coefficiente unico): )1(ˆˆ'ˆˆ 2

*1

* nVC iii

i

12 'ˆ

ˆ

1''ˆˆ1

1

iiii

ii

ii

iii

XXVn

doveVnt

nn

G

Yit = yt-1 +xitβ + i + uit, con i + uit=vit

Problema: yt-1 è correlato con i stime inconsistenti di B anche su u è iid

Violazione dell’esogenità. E(ut/yt+k) ≠0 * yt-1 è correlato con ut-1 etc..

Quindi i vit sono correlati tra gli individui

Il problema è che T è spesso troppo “ridotto” per chè valgano le proprietà asintotiche ad es la consistenza che possono mitigare la endogentà (nei metodi precedenti si faceva leva su N)

Ma qui il bias è di ordine 1/T; non 1/N come prime

Ci servono altri modelli oltre LSDV

La soluzione qui solo citata è il ricorso a Variabili strumentali (IV) z correlate con X ma non con u.

Estensioni dei modelli per Dati Panel: Modelli con variabili ritardate:

Soluzioni IV GMM metodo IV applicato a differenze prime

IV con strumenti interni, di fatto si utilizzano i ritardi della dipendente (e delle altre covariate)

Trasformazione in DIFFERENZE PRIME + IV

Con lagged Y le differenze non mi risolvono tutti i problemi

Le proposte di stima più note sono:

Anderson HsiaoArellano BondBlundell Blond

http://people.stern.nyu.edu/wgreene/Lugano2013/Greene-Chapter-11.pdf