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Monte Carlo. Metodi stocastici o metodi Monte Carlo Qualunque metodo che usa numeri casuali. Dal...

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Monte Carlo
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Page 1: Monte Carlo. Metodi stocastici o metodi Monte Carlo Qualunque metodo che usa numeri casuali. Dal greco stochasticos: aleatorio, dovuto al caso. Il carattere.

Monte Carlo

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Metodi stocastici o metodi Monte Carlo

Qualunque metodo che usa numeri casuali.

Dal greco stochasticos: aleatorio, dovuto al caso.

Il carattere stocastico deriva dall’uso di numeri casuali.

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Origine del nome

Metropolis coniò il nome “Monte Carlo” dal casinò

Monte Carlo, Monaco

Metropolis, Rosenbluth, Ulam, Fermi, Von Neumann Metropolis, Rosenbluth, Ulam, Fermi, Von Neumann

((~~1945)1945)

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Nicholas Metropolis (1915-1999)

L’algoritmo di Metropolis (e A Rosenbluth, M Rosenbluth, A Teller e E Teller, 1953) è stato citato tra i primi 10 algoritmi che hanno avuto “la più grande influenza sullo sviluppo e la pratica della scienza e dell’ingegneria nel ventesimo secolo."

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Ago di Buffon

Georges-Louis LeclercConte di Buffon (1707-1788)

Ago di lunghezza =1Distanza linee = 1Lancio casuale pincrocio = 2/ Stima di dalla proporzione di aghi che incrociano una linea.

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2

5.0

sin5.00

sin5.0

d

p nx

Si ha incrocio se la distanza dal centro dell’ago ad una linea è < 0.5 sin

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I metodi Monte Carlo forniscono soluzioni approssimate ad una gamma di problemi chimici, fisici e matematici mediante esperimenti di campionamento statistico su un calcolatore.

I metodi si applicano a problemi con intrinseca struttura probabilistica (diffusione

di neutroni all’interno di un materiale) a problemi intrinsecamente deterministici, ma che si possono

formulare in termini di distribuzioni di probabilità.

Fra tutti i metodi numerici che dipendono dalla valutazione di N-punti in uno spazio M-dimensionale per produrre una soluzione approssimata, il metodo Monte Carlo ha un errore assoluto della stima che decresce come N-1/2, mentre tutti gli altri hanno errori che decrescono al più come N-1/M.

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Scienza Studio della conformazione di molecole complesseSimulazione dei liquidiSimulazione dell’equazione di SchröödingerDisegno di reattori nucleariApplicazioni mediche: trasporto di elettroni, neutroni,

fotoni attraverso il corpoEvoluzione delle stelleProspezioni petrolifereFlusso del traffico

EconomiaPrevisioni Dow-Jones

Sociologia

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Numeri casuali

• Un singolo numero non è casuale, solo una sequenza infinita può essere descritta come casuale.

• Casuale significa assenza di ordine.

• Numeri veramente casuali: risultati di un processo fisico.

• Numeri pseudo-casuali: sequenza deterministica, appaiono casuali se non si conosce l’algoritmo con cui sono generati.

Anyone who consider arithmetical methods of producing random digits is, of course, in a state of sin.

John Von Neumann

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Matematicamente, la sequenza di numeri casuali dovrebbe possedere le seguenti proprietà:• Sequenze non correlate - Le sequenze di numeri

casuali non dovrebbero essere correlate serialmente. Qualsiasi sequenza parziale di numeri casuali non dovrebbe essere correlata con qualsiasi altra sequenza parziale.

Per esempio, se stiamo usando un generatore di numeri casuali per generare traiettorie di uscita di molecole da un foro per riempire lo spazio emisferico sovrastante, non dovremmo generare uno schema ordinato (anche solo parzialmente).

Generatori di numeri casuali

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• Periodo lungo – Il generatore dovrebbe avere un periodo lungo (in teoria non dovrebbe ripetersi; in pratica, la ripetizione dovrebbe avvenire solo dopo la generazione di un numero molto grande di numeri casuali).

• Uniformità - La sequenza di numeri casuali dovrebbe essere uniforme. Cioè frazioni uguali di numeri casuali dovrebbero cadere in ”aree" uguali dello spazio.

Per esempio volendo generare numeri casuali nell’intervallo [0, 1], non vorremmo trovarne più di metà in [0, 0.5], preso un campione sufficientemente grande.

• Efficienza – Il generatore dovrebbe essere efficiente.

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Generatori moltiplicativi, lineari, congruenziali

I più comunemente usati per generare interi casuali

),(

)( 1

MBAmod

o

MmoduloBA

ii

ii

""semeo

19

481

5

)2,(

praticain

M

Mmod ii )(

realea interoda

Mfloati

i

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Esempio: calcolo di un integrale

Ad ogni coppia di numeri casuali 1 2 con distribuzione uniforme nell’intervallo 0-1 associamo un punto.Se 1 > 2 punto entro il triangolo.

Punti dentro / punti totali = 1/2

1

0 2

1xdxI

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Esempio: calcolo di

r = 1

r = 1

Area settore circolare = 1/4 r2

Area quadrato = r2

Rapporto aree = /4

Ad ogni coppia di numeri casuali 1 2 con distribuzione uniforme nell’intervallo 0-1 associamo un punto.Se 1

2 +22 1 punto entro il

cerchio.Punti dentro / punti totali = /4

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Esempio: calcolo di un integraleVogliamo integrare una funzione con un picco pronunciato usando numeri casuali con distribuzione uniforme. I punti nella coda della funzione danno contributi piccoli.

Convergenza scarsa

2.05

0

5 dxeI x

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Campionamento per importanzaPossiamo riscrivere l’integrale come integrale “pesato”

dove p(x) è una funzione peso.

Il campionamento uniforme usa una p(x) costante.

Data una generica p(x), campioniamo di più le regioni in cui p(x) è grande.

Se siamo in grado di campionare secondo la distribuzione p(x)

dxxpxgdxxpxp

xfdxxfI )()()(

)(

)()(

N

iixg

NI

1

)(1

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DUE ALTERNATIVE

1. Integrando originale e punti distribuiti uniformemente

efficienza molto scarsa.

2. Integrando modificato, ma punti distribuiti secondo una funzione densità di probabilità opportuna, legata al problema.

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La chiave dei metodi MC è la nozione di CAMPIONAMENTO CASUALE di una distribuzione

Data una densità di probabilità, f(x), produrre una sequenza casuale di x che siano distribuiti come f(x).

)(xf

x

L’uso del campionamento casuale distingue Monte Carlo da tutti gli altri metodi.

Come si produce una sequenza casuale di x distribuiti come f(x) ?

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Markov

Una catena di Markov consiste di stati e di probabilità di transizione.

Le catene di Markov (cammini casuali) permettono di campionare qualsiasi distribuzione basandosi sul bilancio dettagliato e sulle regole di transizione.

Catene di Markov

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Proprietà

– Una sequenza di stati scelti casualmente.

– La probabilità di transizione tra xt e xt-1 dipende solo da xt-1 (è indipendente dalla storia, non c’è memoria).

– Le probabilità di transizione sono le stesse per qualunque t.

– L’intera catena rappresenta una distribuzione di probabilità stazionaria.

1 2 1, , , ,n nx x x x

-20 -10 10 20 30 40

-40

-30

-20

-10

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Scelta una probabilità di transizione P, la probabilità che il sistema sia nello stato 1 è data dap(1) = P p(0)

p(2) = P p(1) = P P p(0) ……………p(m) = Pm p(0)

Dopo un numero elevato di passi p(m+1) – p(m) 0

cioè si raggiunge una distribuzione di probabilità di equilibrio p* tale che p* = P p*

p* è una conseguenza di P

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Bilancio dettagliato

Che tipo di catena di Markov genera distribuzioni stazionarie? I processi all’equilibrio hanno distribuzioni stazionarie

Quando siamo in equilibrio ? Reversibilità Il bilancio dettagliato collega probabilità stazionarie alle

transizioni:

p x x y p y y x

p(x) probabilità che il sistema si trovi nello stato x

(xy) probabilità di transizione dallo stato x allo stato y

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Metropolis Monte Carlo

• Come si realizza la condizione di bilancio dettagliato?

La probabilità di transizione viene decomposta in una probabilità di campionare la transizione per la probabilità di accettare la transizione

p x x y p y y x

)()(

)()(

)(

)(

)()()()()()(

)()()(

xyTyp

yxTxp

yxA

xyA

xyAxyTypyxAyxTxp

yxAyxTyx

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Non si definisce la probabilità di accettazione, ma solo un rapporto libertà di scelta.

Metropolis propose:

)()()()( xyTypyxTxp

)()(

)()(,1min)(

xyTyp

yxTxpxyA

Verifichiamo che questa scelta soddisfa la condizione di reversibilità microscopica

)()(

)()(

)(

)(

)()(

)()()(

1)(

xyTyp

yxTxp

yxA

xyA

yxTxp

xyTypyxA

xyA

Se

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)()()()( xyTypyxTxp

)()(

)()(

)(

)(

1)(

)()(

)()()(

xyTyp

yxTxp

yxA

xyA

yxA

xyTyp

yxTxpxyA

Se

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L’algoritmo di Metropolis

muovimuovi

rifiutorifiuto accettoaccettoRRi RRprova

RRi+1i+1==RRii RRi+1i+1==RRprovprov

aa

??

Calcola le medie

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Calcolato p (la sua espressione dipende dal problema in esame)

• Se p > 1 accetta

• Se 0 < p < 1 accetta con probabilità p

preso un numero casuale

se p > accetta

se p < rifiuta

??)()(

)()(

xyTyp

yxTxpp

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L’algoritmo di Metropolis

3 concetti chiave

1. Campionare mediante un cammino casuale

2. Determinare lo stato di equilibrio mediante il bilancio dettagliato

3. Ottenere il bilancio dettagliato mediante il meccanismo di accettazione/rifiuto

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Il metodo MC fornisce un metodo robusto e versatile di integrazione su uno spazio a d dimensioni.

Campionamento stocastico

Errore 1 / N½

Il campionamento per importanza riduce la varianza

Il metodo di Metropolis è un metodo molto utilizzato di campionamento per importanza Soddisfa il criterio di bilancio dettagliato Si adatta facilmente a tanti problemi diversi

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Analisi statistica dei risultati

Accuratezza

Precisione

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DEFINIZIONI

N

iix

Nx

dxxfxxE

1

1

)()(

Varianza della popolazione

stimata della popolazione

2222 ))(()()()( xExEdxxfxEx

Media vera

stimata

N

ii

N

ii x

Nxxxxx

N2222

1

22 1 dove

1

1

La varianza è una misura della dispersione statistica.Deviazione standard: 2

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Accuratezza: misura di quanto il valore medio è vicino al VALORE VERO (alla quantità fisica) che si vuole stimare.

Accuratezza : talora chiamata “errore sistematico”.

Monte Carlo non può stimare direttamente l’accuratezza.

Spazio delle fasi

Risultati delle simulazioni

Valore Vero

Valore medio - Xn

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Spazio delle fasi

Risultati delle simulazioni

Valore Vero

Valore medio - Xn

Precisione : l’incertezza in Xn dovuta alle fluttuazioni statistiche dei valori xj campionati

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alta accuratezzabassa precisione

bassa accuratezzaalta precisione

Valore diriferimento

accuratezza

Precisione

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Problemi con il campionamento Metropolis

Le energie di questi punti sono correlate!

222 )( EEE La varianza non correlata è:

ji

ji EEN

EE ),cov(2

)()( 22

La probabilità che una mossa sia accettata è legata alla probabilità di transizione T(AB) Le energie di punti successivi sono serialmente correlate.

Mossa rifiutata

Mossa accettata

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Algoritmo di Decorrelazione

x1 x2 x4x3 x5 x6 x7 x9x8 xn-3 xn-1xn-2 xnDati Originali

x1 x2 x4x3 x5 x6 x7 x9x8Dati a blocchi

•••••••••••••

Medie su blocchi dei dati originali elementi dei nuovi dati.

Se i blocchi di dati sono sufficientemente grandi, i punti dei dati a blocchi sono non correlati e si può usare l’equazione standard:

222 )( EEE

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PRINCIPI

dte

n

xEXP tn 2/2

2

1

/

)(

Teorema del Limite Centrale

La distribuzione della somma di n variabili casuali indipendenti, identicamente distribuite, è gaussiana.

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Distribuzione uniforme R1 + R2

R1 + R2 + R3 R1 + R2 + R3 + R4

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Intervalli di confidenza

95.02)(2

68.01)(1

nn

nn

XxEXP

XxEXP

~2/3 del tempo la risposta corretta è entro una dalla media

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Funzioni distribuzioni di probabilità

P(x) dx probabilità di osservare un valore nell’intervallo (x, x+dx)

0)( 1)(

xPdxxP

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x può essere una variabile discreta o continua

Funzione densità di probabilità discretan eventi discreti

........1 2 n

p2

p1

pn

pi = probabilità per evento

p(x)

x

p(x) = probabilità per unità di x

Funzione densità di probabilità continua

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Esempio: dimensioni multiple Quale è la media di una variabile per una distribuzione di

probabilità Ndimensionale?

Integrazione numerica

• Discretizzare ciascuna dimensione con un insieme di n punti

• Per una funzione ragionevolmente liscia, l’errore decresce come n-N/2

Monte Carlo

• Campionare m punti dello spazio

• Se possibile pesare i punti campionati basandosi sulla funzione di riferimento

• L’errore decresce come m-1/2

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Parafrasando Churchill (1947) e la sua affermazione sulla democrazia.

Il metodo Monte Carlo è il peggior metodo, eccetto tutti quegli altri che sono stati provati di tanto in tanto.

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VMC: Monte Carlo Variazionale

RRR

RR

RRR

R

RR

RRR

dEP

d

dH

d

dHH

L )()(

)(

)()(

)(

)(

)()(2

2

2

)(

)()(

)(

)()(

2

2

R

RR

RR

RR

HE

dP L

Riformuliamo il Principio Variazionale Riformuliamo il Principio Variazionale nel linguaggio Monte Carlo

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• E è la media statistica dell’energia locale EL

• P(R) è la probabilità associata alla configurazione R• Se scegliamo i punti distribuiti secondo P(R)

)(~)(1

1

RRR PEN

HE i

N

iiL

RRR dEPHE L )()( RRR dEPHE L )()(

Ricetta: scelta una funzione d’onda di prova distribuire N punti secondo P(R) calcolare la media dell’energia locale

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• Come campionare

RR

RR

dP

)(

)()(

2

2

Il calcolo dei pesi assoluti P(R) richiede il calcolo dell’integrale di normalizzazione.

L’algoritmo di Metropolis (M(RT)2 1953) implica il calcolo del rapporto P(R)/P(R’) e permette di evitare questo problema.

??

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VMC: Monte Carlo Variazionale • Non è necessario calcolare analiticamente integrali:

completa libertà nella scelta della funzione d’onda di prova

r1

r2

r12

He

Non occorre fare l’approssimazione orbitale

Si possono usare funzioni d’onda esplicitamente correlate

Si possono soddisfare le condizioni di cuspide

i

rgrbrai

iiiec 1221

i

rgrbrai

iiiec 1221 E19 termini = -2.9037245(2) a.u.Eesatta = -2.90372437 a.u.

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Vantaggi del metodo VMC

Si può andare al di là dell’approssimazione di Born-Oppenheimer, con qualsiasi potenziale, in qualsiasi numero di dimensioni.

molecola Ps2 (e+e+e-e-) in 2D e 3Dmolecola Ps2 (e+e+e-e-) in 2D e 3D

M+m+M-m- in funzione di M/m M+m+M-m- in funzione di M/m

222 HH

Si possono calcolare limiti inferiori

HEH 0

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Primi calcoli VMC Calcolo VMC dello stato fondamentale di 4He liquido

(McMillan, 1964)

Generalizzzato a sistemi di fermioni da Ceperley, Chester e Kalos, PRB 16, 3081 (1977).

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Problemi del metodo VMC

• La barra dell’errore decresce come N-1/2.• Il costo computazionale è elevato.• L’ottimizzazione di diventa difficile al crescere

del numero di parametri non lineari.• Dipende criticamente dalla qualità di .

• Esiste un altro metodo per ottenere migliori funzioni d’onda, al limite esatte.

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EEquazione di Schrödinger dipendente dal tempo

La soluzione è

rifEVmt

i )(2

1 2 R

Monte Carlo diffusivo

nn

tEEin

rifnect )(),( RR

Cambio di variabile i t

Nel tempo immaginario l’equazione diventa

m

DEVD rif 2

1con )(2

R

La soluzione ora è

nn

EEn

rifnect )(),( RR

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rifEVD )(2 R

Se il potenziale è nullo equazione analoga

alla seconda legge della diffusione di Fick

Se il termine diffusivo è nullo

equazione analoga all’eq. cinetica del primo ordine

Complessivamente l’eq. di Schrödinger dipendente dal tempo nel tempo immaginario è analoga all’eq. generalizzata della diffusione in presenza di pozzi e sorgenti

2D

rifEV )(R

CDC 2

kCC

kCCDt

C

2

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L’equazione di Schrödinger dipendente dal tempo nel tempo immaginario è analoga all’equazione generalizzata della diffusione.

kCCDt

C

2

Evoluzione Diffusione Ramificazione

temporale

rifEVD )(2 R

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CASO CLASSICO

Dinamica di

Newton

Dinamica di

LangevinEquazione della

diffusione

F = m a

Molecole che diffondono + molecole del mezzo: forze reali

Fluttuazioni

Molecole che diffondono: forze casuali

Fluttuazioni

Mezzo continuo

Comportamento medio delle molecoleNessuna fluttuazione

CASO QUANTISTICO

Monte Carlo diffusivo

Equazione di Schrödinger

Particelle fittizie che diffondono

Modello continuo

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Spazio dei camminatori

X La popolazione dei camminatori è proporzionale alla soluzione (X).

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come concentrazione

è interpretata come una concentrazione di particelle fittizie, dette camminatori.

L’ equazione di SchrL’ equazione di Schröödinger è simulata mediante dinger è simulata mediante un processo di diffusione, crescita e scomparsa di un processo di diffusione, crescita e scomparsa di camminatori.camminatori.

VD 2

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L’analogia è solo formale.

è una quantità complessa, mentre C è reale e positiva.

Se il tempo Se il tempo tt è immaginario, allora è immaginario, allora è reale è reale

n

tEEinn

rifnec )()(),( RR

RRR 2)(

21)(

1000201, EEEE ececcR

Soluzione a Stato fondamentale Stati eccitati

Al passare del tempo la funzione d’onda decade allo stato fondamentale

n

EEnn

rifnec )()(),( RR

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c0

c1

c2

I coefficienti degli stati eccitati decadono esponenzialmente rispetto al coefficiente dello stat fondamentale.

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Approssimazione a tempi brevi

• Processo cinetico (ramificazione)

2D

De 4/)( 20),( RRR

))(( rifEV R

)0,(),( ))(( RR R rifEVe

• Processo diffusivoProcesso diffusivo

Dividiamo il tempo Dividiamo il tempo in n intervalli in n intervalli = = /n/n In un In un piccolo il potenziale piccolo il potenziale è ~~ costante. costante.

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Separiamo il processo in un processo puramente diffusivo seguito da un processo cinetico ed alterniamo i due processi.

Il processo diffusivo può essere simulato R' = R + dove è un numero casuale a distribuzione gaussiana.

Il processo cinetico può essere simulato interpretando l’esponenziale

come un peso da assegnare al camminatore.

)0,(),( ))(( RR R rifEVe

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Si preferisce considerare l'esponenziale come la molteplicità da assegnare al camminatore ed utilizzare un meccanismo di copie, cioè camminatori che muovono verso zone a potenziale favorevole si moltiplicano, altrimenti vengono eliminati.

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The DMC algorithmVecchie Generazione Molteplicità Nuoveconfigurazioni di nuove configurazioni

configurazioni

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Algoritmo DMC

1. Inizializzare una popolazione di camminatori {Xi}

2. Diffondere X’ = X + 3. Duplicare X’ in M copie

M = int[ξ + exp(V(R)-Erif)]

4. Calcolare le statistiche

5. Modificare Erif per rendere la popolazione media constante

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dove E è l'Energia esatta del sistema.(H è un operatore Hermitiano, operando a sinistra sulla funzione d'onda esatta dà l'Energia esatta)Se i camminatori sono distribuiti secondo 0(R):

CALCOLO DELL'ENERGIA

RRR

RRR

d

dHE

T

T

)()(

)()(

0

0

M

iiT

M

iiTH

E)(

)(

R

R

0(R) = funzione d'onda esattaT(R) = funzione d'onda di prova

stimatore misto

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Problema con questo semplice algoritmo

Il potenziale Coulombiano ha grandi variazioni e può andare a -.

Si hanno ampie fluttuazioni della popolazione di camminatori.

Algoritmo inefficiente ed instabile.

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Per aumentare l’efficienza, si introduce una nuova funzione

f(R,) è soluzione dell'equazione

CAMPIONAMENTO PER IMPORTANZA

RRR T ,,f 0

,f,f,f,f 2 RRRRRR LocTQ EEFDD

Il termine di deriva muove i camminatori verso le zone in cui la T è grande.La propagazione viene simulata mediante l’equazione di Langevin: R = R’ + DFQ(R) + è un numero casuale estratto da una distribuzione gaussiana.

diffusione deriva moltiplicazione

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Nel termine cinetico il potenziale è sostituito dall'Energia locale.

R

RR

T

TLocE

ˆ

)(

Se la funzione di prova fosse esatta, l'Energia locale sarebbe costante ed il termine cinetico scomparirebbe. In generale comunque le variazioni dell'Energia locale sono ridotte rispetto alle variazioni del potenziale e quindi le fluttuazioni della popolazione di camminatori sono più ridotte.

R

RRFQ

)( Forza quantica muove i camminatori

verso le zone con grande.

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CALCOLO DELL'ENERGIA

RR

RRR

RRR

RRR

RR

RRR

RRR

df

dEf

d

dH

d

dHE

Loc

T

T

TT

T

T

)(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

Distribuendo i camminatori secondo f(R), E viene stimata mediante

M

iiLocE

ME )(

1R

Se T(R) = (R) EL(Ri) = E varianza nulla.Tanto più accurata è la funzione di prova, tanto minore è la varianza.

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CALCOLO DELLE PROPRIETA’

RRR

RRR

R

RRR

RRR

d

dA

d

dAA

)()(

)()(

)(

)()(

)()(2

Il calcolo delle proprietà richiede il campionamento di (R)2

Non abbiamo campionato (R)2, ma f(R) = (R) T(R)

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Il problema del segno

Problema del segnoProblema del segno

L’analogia con l’equazione della diffusione è valida se la funzione d’onda è positiva, cioè per lo stato fondamentale di un insieme di bosoni.Per esempio un cluster di atomi di 4He.

Per gli stati eccitati di un insieme di bosoni e per sistemi di fermioni la funzione è in parte positiva ed in parte negativa.L’analogia con l’equazione della diffusione è persa.

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Le funzioni d’onda hanno nodi.

Possiamo recuperare l’analogia con l’equazione generalizzata della diffusione se vincoliamo il incoliamo il cammino casuale entro una regione positiva cammino casuale entro una regione positiva limitata dai nodi. limitata dai nodi.

Sfortunatamente Sfortunatamente i nodi i nodi esattiesatti non sono noti non sono noti..

In uno spazio a 3N dimensioni i nodi sono una In uno spazio a 3N dimensioni i nodi sono una superficie a 3N-1 dimensioni.superficie a 3N-1 dimensioni.

La condizione di antisimmetria La condizione di antisimmetria (1,2) = -(1,2) = -(2,1) (2,1) non definisce completamente il nodo, perché non definisce completamente il nodo, perché scambiamo simultaneamente x, y, z delle 2 scambiamo simultaneamente x, y, z delle 2 particelle: definiamo un iperpunto di dimensione particelle: definiamo un iperpunto di dimensione 3N-3.3N-3.

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Otteniamo la soluzione esatta entro il volume nodale.

Il metodo diventa variazionale, al tendere dei nodi della funzione di prova verso i nodi esatti l’Energia tende all’Energia esatta.

Enodi fissi Eesatta

Usiamo i nodi approssimati di una di prova. Eliminiamo i camminatori che attraversano un nodo.

++ --

Approssimazione a nodi fissi

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Funzione di prova ed errore nodale

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COSTO COMPUTAZIONALE

Teoria del funzionale della densità ~ N3

Metodi ab initio > N6

Monte Carlo quantistico ~ N3 N4


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