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Le trasformazioni della retta critica e la musica dei numeri primiRosario Turco

Introduzione

Alcune trasformazioni interessanti nello studio dei numeri primi, sono quelle che nascono nel piano complesso edevidenziano come si trasforma la retta critica dell'ipotesi di Riemann, su cui "vivono" gli zeri non banali. Le

Michael Berry afferm che esiste una musica dei numeri primi, ma vero? Nel seguito, con Maple, esamineremo

alcuni di questi aspetti.

Trasformazione

La trasformazione la possiamo vedere con un plot dei primi 20 zeri non banali. Tuttavia possiamo immaginare

prima di fare il plot cosa accade.

Supponiamo per semplicit iniziale che x=20 per fare un esempio. Ora 20^(1/2+I*b), qualunque sia b, un

numero complesso chhe in termini polari o di fasore ha sempre modulo 1/ l'angolo o fase che dipende da

b.

Per cui avremo 20 punti distribuiti a cerchio di raggio 1/

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0 1 2 3 4

1

2

3

4

piano dei valori di w=20^z

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Trasformazione del piano complesso

Le trasformazioni cambiano il mondo dei numeri complessi. Nel seguito gli esempi di z, z^2,z^3,20^z, Li(20^z)

per osservare come cambia il piano di Argand per questi tipi di trasformazioni.

2 30

1

2z

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0 10 20

10

20

20z

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0 2 4 6 8

5

10

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0 10 20

10

20

30

40

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0 1 2

1

2

ez

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0 2 4 6 8

2

4

6

8

Altra trasformazione della retta critica quella che opera il logaritmo integrale, che vediamo nella figura

successiva.

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0 1 2 3

1

2

3

4

Li(20^z)

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Se non ci credete usate il wav che vi fornisco, creato da 100 zeri della zeta di Riemann dove ogni notaha l'ampiezza e la frequenza della formula esplicita e una durata di nota di 2 secondi o detto in altritermini si aggiunge uno zero ogni 2 secondi.

Prelevate il wav dal link:

https://docs.google.com/leaf?id=0BxVqe5c4FHDsNTkxNTNjZjgtYmFjOS00ZTM5LThhMmYtZDI1ZGExYzdjYjI1&hl=en_US

Nell'esempio mettete il wav in C:/audio. Segue un'analisi del wav.

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Al posto di 1 potete variare a 0.25 (1/4 di secondo) o 0.5 (1/2 secondo) o 2 (2 secondi) ed analizzare cosa

succede con le forme d'onda, in tal modo andata una ottova sotto (0.5) o sopra (2).

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5 10 15 20 250

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14/15

10

1316684

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(1)(1)

2633320

10533148

P.S: Se vi interessa la musica di Fibonacci un ottimo video/audio in [3].

Riferimenti[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number