niversi T à S T N F II - Elettrotecnica · gia stato realizzato un circuito di Chua, interfacciato...

Facolta di Ingegneria

Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Elettronica (32)

Dipartimento di Ingegneria Elettrica eDipartimento di Ingegneria Informatica e Sistemistica

ELABORATO DI LAUREA

Controllo e Sincronizzazionedi Circuiti Caotici di Chua

Relatori:Ch. mo Prof. M. de MagistrisCh. mo Prof. M. di Bernardo

Candidato:Silvio Anzolamatr. 884/150

ANNO ACCADEMICO 2006/2007

COPERTINA

9

Indice 10

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

808 IEEE TRANSACTIONS ON CIRCUITS AND SYSTEMS, VOL. CAS-32, NO. 8, AUGUST 1985

Fig. 11. Deformations of a rectangle which flows along the trajectories originating from points on the rectangle nbcd.

d-

Fig. 12. Geometric structure of the double-scroll attractor.

D-P- and eventually flattens itself onto E”( P- ) from above (see Fig. 10).

In order to grasp the whole picture, pick a rectangle abed in D, in such a way that ad is on E”( P+ ) and bc lies below E “( P+ ), i.e., on the side to which D belongs. Fig. 11 shows how the rectangle abed changes its shape while

flowing along cpr. Suppose that the rectangle is thin enough and that it is chosen appropriately in such a way that the trajectories starting on the line segment ef hit L,. Then, after hitting L,, they approach the origin asymptotically in a spiral manner with infinitely many rotations. Trajectories starting in the rectangle abfe stay within D, or return to D, eventually even if they once spend some time in Do. Trajectories with initial states in the rectangle cdef leave D,, enter Do, hit U-, and enter D-,. They turn around P- and flatten themselves onto E”( P- ) from above.

Since (2.4) is symmetric with respect to the origin, one sees that a similar argument applies to a rectangle a-b-c-d- in region U-, located symmetrically with respect to the origin. Assembling all the information, one obtains a whole picture (Fig. 12). Observe that the rectangle abed is mapped into two spiral regions with infinitely many rotations: abfe is mapped into one spiral region and cdef into another spiral region. Note that E “(0) plays an important role in determining the fate of a trajectory after hitting U, or U-i. It differentiates those trajectories which descend (resp. ascend) from those which remain in the upper part (resp., lower part). This is barely discernible in Fig. 2(a) if one takes a careful look at it. There are two thin gaps (identified by arrows) between the sets of trajectories and E “(0) is sitting in these gaps.

Microscopically speaking, the two thin “rings” of the double-scroll attractor are made of infinitely many layers of points compressed into a thin sheet (think of infinitely many sheets of “lead” being hammered into one con-

11 Indice

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

704 IEEE TRANSACTIONS ON CIRCUITS AND SYSTEMS-I: FUNDAMENTAL THEORY AND APPLICATIONS, VOL. 40, NO. 10, OCTOBER 1993

Fig. 6. Schematic explanation of the stabilization procedure of Ott-Grebogi- Yorke in the case of a saddle fixed point: (a) 72th iterate <,, falls near the fixed point existing for the parameter value p* ; (b) turn on the control signal pn to move the fixed point; (c) next iterate En+1 is forced onto the stable manifold of CF. Switch off the control signal.

Because &+I should fall on the stable manifold of IF so choose p, such that fiL&+l = 0:

(22)

Fig. 6 schematically explains the action of the OGY algorithm. Properties of the OGY Technique: l This is a feedback control method. l No model of dynamics is required. One can use either

full information from the process or use delay coordinate embedding technique using single variable experimental t ime series. An extremely interesting development in this

direction has been described by Dressler and Nitsche [ 161. l Any accessible variable (controllable) system parameter

can be used for applying perturbation (control parameter). l In the absence of noise and error in characterization

of the system control is achieved with arbitrarily small parameter perturbations.

l In the presence of noise and error the amplitude of applied control signal must be large enough (exceed a threshold) to achieve effective control.

l Inevitable noise can destabilize the controlled orbit re- sulting in occasional chaotic bursts.

l Before settling into desired periodic mode the trajectory exhibits chaotic transient the length of which depends on the actual starting point (initial condition).

We have carried out an extensive study of application of the OGY technique to controlling chaos in Chua’s circuit. Let us recall that the dynamics of Chua’s circuit are governed by:

Cl dvc 1 = G(vc, - wcl > - s(w, )

dt

dvc C,L

dt = G(wcl - wc2) + in

diL L--- = -wc2 - R&L dt

(23)

where the nonlinear function g characterizes the voltage- controlled resistor NR with a piecewise-linear characteristic:

iR = g(uR)

= Gb’VR + ;(Gb - Ga)(l t’R - 11 + IvR + 11). (26)

G, and Gb are its inner and outer slopes respectively. Using an application-specific software package [ 131, [ 141

we were able to find some of the unstable periodic orbits embedded in the double scroll chaotic attractor. Fig. 7 shows the actual attractor and typical unstable periodic trajectories which could serve as goals of control.

We have also implemented and tested the OGY method for controlling chaos in Chua’s circuit. The block diagram of the implemented system is shown in Fig. 8.

Fig. 9 shows the results of a stabilization of a period-one and period-two unstable periodic orbits. Before the control is achieved the trajectories exhibit chaotic transients (shown in red). The actual controlled trajectories are shown in yellow. The results confirm applicability of the method.

When applying the OGY method to control chaos in a real physical circuit the main problem encountered was the noise introduced due to inevitable noise of the circuit elements, AID and D/A conversion of signals (quantification), rounding operations in the computer calculations, etc. The method was found to be very sensitive to the noise level-very small control signals sometimes are hidden within the noise and control is impossible.

VI. A UNIFYING FRAMEWORKFOR SYNCHRONIZATION AND CONTROL

In writing this paper, I clearly divided the subject into two parts; however, one should notice that synchronization and control problems of chaotic systems have common points. In particular the synchronization problem can be considered as a particular type of control problem in which the goal of control is to track (follow) the desired (input) chaotic trajectory. It is only very recently that such a control problem has been recognized in control engineering.

The linear coupling technique described in the first part of the paper and the linear feedback approach to controlling chaos can be applied for obtaining any chosen goal-no matter is it chaotic, periodic or constant in time.

Using the approach described by KoEarev et al., [32] we can even think of synchronizing/controlling chaotic systems to chaotic trajectories being solutions of a qualitatively dif- ferent chaotic system. We believe that this kind of chaotic synchronization-control to a chaotic goal could lead to new developments and possibly new applications.

VII. CONCLUSIONS

The control problems existing in the domain of chaotic systems are far from being fully identified, to say nothing about their solutions. Due to extreme richness of the phenomena one can treat every single such problem as a new challenge for scientists and engineers. Among many problems to be solved let us mention here the basic ones: How the methods already developed can be used in real applications? What

Io non so come posso apparire al mondo: ma ai

miei occhi mi sembra di non essere stato altro che

un ragazzetto intento a giocare sulla spiaggia e a

divertirsi di quanto in quando a trovare un sassolino

più liscio o una conchiglia più graziosa del solito,

mentre il grande oceano della verità si stendeva

tutto da scoprire dinanzi a me.

— Memoirs of the Life, Writings, and Discoveries of

Sir ISAAC NEWTON (1855).

RINGRAZIAMENTI

Desidero ringraziare sentitamente il Prof. Massimiliano de Magi-

stris, per la sua elevata professionalita, per l’ampia disponibilita e

comprensione che mi ha sempre dimostrato. Esprimo profonda ri-

conoscenza al Prof. Mario di Bernardo, per gli utili consigli e gli

indispensabili suggerimenti di cui mi ha sempre dispensato e per

avermi introdotto nell’avventura delle dinamiche non lineari e del

controllo non lineare.

Desidero salutare e ringraziare i miei amici dell’Universita di

Napoli, che anche se siamo stati colleghi per il periodo di un solo

anno, hanno saputo mostrarmi da subito una gentile accoglienza

ed insieme ci siamo allietati nel percorso di formazione universita-

ria, che di certo riserva sempre qualche ostacolo.

In un abbraccio ideale alla citta di Napoli, che mi ha accolto

come un amico, ma anche come fratello, immensa speciale grati-

vii

viii

tudine riconosco alle mie amiche la Sig.ra Teresa Foglia e Titti, che

con la loro quotidiana gentilezza e infinita disponibilita, mi hanno

“imparato” che nel vocabolario di Napoli la parola disturbo non

e contempleta e mi hanno introdotto nella loro famiglia come un

figlio per tutto il periodo di permanenza partenopea.

Come non ringraziare i miei genitori, che mi hanno sostenuto

in tutti questi anni per raggiungere tutti i miei primi traguardi.

Un saluto particolare va infine agli amici di Torino che oggi si

sono ritrovati qui per accompagnarmi in questo gioioso momento.

ix

Sommario

E stato affrontato il problema del controllo e della sincro-

nizzazione per circuiti caotici di tipo Chua.

Abbiamo scelto di sviluppare la sincronizzazione di due

circuiti di Chua secondo un metodo a controllore fisso, realiz-

zando un accoppiamento bidirezionale e unidirezionale tra i

circuiti. Questo schema di controllo sebbene estremamen-

te semplice fornisce una valutazione sulla robustezza della

sincronizzazione realizzata.

Il problema di regolazione del comportamento di un cir-

cuito di Chua e stato affrontato ricorrendo ad uno schema

non lineare adattativo, in particolare al controllo OGY (Ott,

Grebogi e Yorke), che offre una progettazione semplice e for-

nisce delle buone prestazioni.

Lo studio di questi problemi e stato studiato separata-

mente attraverso simulatore circuitale PSpice e simulatore di

sistemi basati su modelli dinamici Simulink, toolbox dell’am-

biente MATLAB. Abbiamo proceduto alla co-simulazione Si-

mulink/PSpice dei controllori proposti, al fine di migliorare

l’accuratezza dei risultati.

x

Nell’ambito dei circuiti non lineari nel Dipartimento di

Ingegneria Elettrica dell’Universita degli Studi di Napoli era

gia stato realizzato un circuito di Chua, interfacciato al cal-

colatore attraverso software LabView. Ora si e scelto di pro-

seguire l’attivita nel settore del controllo allo scopo di realiz-

zare schemi di sincronizzazione e regolazione dei circuiti di

Chua.

Napoli, Silvio Anzola

18 febbraio 2008

INDICE

Ringraziamenti vii

Sommario ix

Indice xi

Copertina xv

1 Esplorazione del Circuito di Chua 1

1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 In rotta verso il caos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Supporti visivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Raddoppiamento di periodo . . . . . . . . . . . . . . 6

Intermittenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Biforcazioni con aggiunta di periodo . . . . . . . . . 15

xi

Indice xii

Attrattori dell’oscillatore di Chua in cui il solo ele-

mento attivo e lineare . . . . . . . . . . . . . . 21

Rotta al caos attraverso la distruzione del toro . . . 24

2 Geometria e Dinamiche del Circuito di Chua 27

2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Interpretazione teoretico circuitale del caos . . . . . 30

2.2 Struttura geometrica dell’attrattore . . . . . . . . . . 32

Descrizione lineare a tratti del circuito di Chua . . . 33

2.3 Analisi della regione centrale (|vC1| ≤ E) . . . . . . . 34

3 Sincronizzazione del Circuito di Chua 37

3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Supporto teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Pecora-Carroll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3 Descrizione del problema . . . . . . . . . . . . . . . 46

Analisi dimensionale e scalamento . . . . . . . . . . 48

3.4 Circuiti di Chua mutuamente accoppiati . . . . . . . 51

Progetto della sincronizzazione . . . . . . . . . . . . 52

Cosimulazione Simulink/PSpice . . . . . . . . . . . 57

Verifica della sincronizzazione . . . . . . . . . . . . . 60

xiii Indice

3.5 Classificazione del caos nella sincronizzazione . . . 63

3.6 Circuiti di Chua accoppiati unidirezionalmente . . . 67

Circuiti di Chua completamente accoppiati . . . . . 70

3.7 Osservazioni conclusive . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4 Controllo del Circuito di Chua 73

4.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.2 Analisi del metodo OGY . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.3 Variazione del parametro p . . . . . . . . . . . . . . 78

4.4 Proprieta del metodo OGY . . . . . . . . . . . . . . . 80

Bibliografia 83

Elenco delle figure 91

Indice analitico 95

COPERTINA

Figura 0.1: Mappa delle idee chiave.

xv

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 0.2: Attrattore di Chua double scroll.

808 IEEE TRANSACTIONS ON CIRCUITS AND SYSTEMS, VOL. CAS-32, NO. 8, AUGUST 1985

Fig. 11. Deformations of a rectangle which flows along the trajectories originating from points on the rectangle nbcd.

d-

Fig. 12. Geometric structure of the double-scroll attractor.

D-P- and eventually flattens itself onto E”( P- ) from above (see Fig. 10).

In order to grasp the whole picture, pick a rectangle abed in D, in such a way that ad is on E”( P+ ) and bc lies below E “( P+ ), i.e., on the side to which D belongs. Fig. 11 shows how the rectangle abed changes its shape while

flowing along cpr. Suppose that the rectangle is thin enough and that it is chosen appropriately in such a way that the trajectories starting on the line segment ef hit L,. Then, after hitting L,, they approach the origin asymptotically in a spiral manner with infinitely many rotations. Trajectories starting in the rectangle abfe stay within D, or return to D, eventually even if they once spend some time in Do. Trajectories with initial states in the rectangle cdef leave D,, enter Do, hit U-, and enter D-,. They turn around P- and flatten themselves onto E”( P- ) from above.

Since (2.4) is symmetric with respect to the origin, one sees that a similar argument applies to a rectangle a-b-c-d- in region U-, located symmetrically with respect to the origin. Assembling all the information, one obtains a whole picture (Fig. 12). Observe that the rectangle abed is mapped into two spiral regions with infinitely many rotations: abfe is mapped into one spiral region and cdef into another spiral region. Note that E “(0) plays an important role in determining the fate of a trajectory after hitting U, or U-i. It differentiates those trajectories which descend (resp. ascend) from those which remain in the upper part (resp., lower part). This is barely discernible in Fig. 2(a) if one takes a careful look at it. There are two thin gaps (identified by arrows) between the sets of trajectories and E “(0) is sitting in these gaps.

Microscopically speaking, the two thin “rings” of the double-scroll attractor are made of infinitely many layers of points compressed into a thin sheet (think of infinitely many sheets of “lead” being hammered into one con-

Figura 0.3: Struttura geometrica dell’attrattore double scroll.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Figura 0.4: Traiettoria d’errore con il controllo inserito.704 IEEE TRANSACTIONS ON CIRCUITS AND SYSTEMS-I: FUNDAMENTAL THEORY AND APPLICATIONS, VOL. 40, NO. 10, OCTOBER 1993

Fig. 6. Schematic explanation of the stabilization procedure of Ott-Grebogi- Yorke in the case of a saddle fixed point: (a) 72th iterate <,, falls near the fixed point existing for the parameter value p* ; (b) turn on the control signal pn to move the fixed point; (c) next iterate En+1 is forced onto the stable manifold of CF. Switch off the control signal.

Because &+I should fall on the stable manifold of IF so choose p, such that fiL&+l = 0:

(22)

Fig. 6 schematically explains the action of the OGY algorithm. Properties of the OGY Technique: l This is a feedback control method. l No model of dynamics is required. One can use either

full information from the process or use delay coordinate embedding technique using single variable experimental t ime series. An extremely interesting development in this

direction has been described by Dressler and Nitsche [ 161. l Any accessible variable (controllable) system parameter

can be used for applying perturbation (control parameter). l In the absence of noise and error in characterization

of the system control is achieved with arbitrarily small parameter perturbations.

l In the presence of noise and error the amplitude of applied control signal must be large enough (exceed a threshold) to achieve effective control.

l Inevitable noise can destabilize the controlled orbit re- sulting in occasional chaotic bursts.

l Before settling into desired periodic mode the trajectory exhibits chaotic transient the length of which depends on the actual starting point (initial condition).

We have carried out an extensive study of application of the OGY technique to controlling chaos in Chua’s circuit. Let us recall that the dynamics of Chua’s circuit are governed by:

Cl dvc 1 = G(vc, - wcl > - s(w, )

dt

dvc C,L

dt = G(wcl - wc2) + in

diL L--- = -wc2 - R&L dt

(23)

where the nonlinear function g characterizes the voltage- controlled resistor NR with a piecewise-linear characteristic:

iR = g(uR)

= Gb’VR + ;(Gb - Ga)(l t’R - 11 + IvR + 11). (26)

G, and Gb are its inner and outer slopes respectively. Using an application-specific software package [ 131, [ 141

we were able to find some of the unstable periodic orbits embedded in the double scroll chaotic attractor. Fig. 7 shows the actual attractor and typical unstable periodic trajectories which could serve as goals of control.

We have also implemented and tested the OGY method for controlling chaos in Chua’s circuit. The block diagram of the implemented system is shown in Fig. 8.

Fig. 9 shows the results of a stabilization of a period-one and period-two unstable periodic orbits. Before the control is achieved the trajectories exhibit chaotic transients (shown in red). The actual controlled trajectories are shown in yellow. The results confirm applicability of the method.

When applying the OGY method to control chaos in a real physical circuit the main problem encountered was the noise introduced due to inevitable noise of the circuit elements, AID and D/A conversion of signals (quantification), rounding operations in the computer calculations, etc. The method was found to be very sensitive to the noise level-very small control signals sometimes are hidden within the noise and control is impossible.

VI. A UNIFYING FRAMEWORKFOR SYNCHRONIZATION AND CONTROL

In writing this paper, I clearly divided the subject into two parts; however, one should notice that synchronization and control problems of chaotic systems have common points. In particular the synchronization problem can be considered as a particular type of control problem in which the goal of control is to track (follow) the desired (input) chaotic trajectory. It is only very recently that such a control problem has been recognized in control engineering.

The linear coupling technique described in the first part of the paper and the linear feedback approach to controlling chaos can be applied for obtaining any chosen goal-no matter is it chaotic, periodic or constant in time.

Using the approach described by KoEarev et al., [32] we can even think of synchronizing/controlling chaotic systems to chaotic trajectories being solutions of a qualitatively dif- ferent chaotic system. We believe that this kind of chaotic synchronization-control to a chaotic goal could lead to new developments and possibly new applications.

VII. CONCLUSIONS

The control problems existing in the domain of chaotic systems are far from being fully identified, to say nothing about their solutions. Due to extreme richness of the phenomena one can treat every single such problem as a new challenge for scientists and engineers. Among many problems to be solved let us mention here the basic ones: How the methods already developed can be used in real applications? What

Figura 0.5: Schema di principio della stabilizzazione secondo ilmetodo OGY.

CA

PI

TO

LO

1ESPLORAZIONE DEL

CIRCUITO DI CHUA

1.1 Introduzione

Il circuito di Chua e un circuito elettronico non lineare che e costi-

tuito da quattro elementi lineari (due condensatori, un induttore e

un resistore) e da un resistore non lineare detto diodo di Chua.

1

1.1. INTRODUZIONE 2

Figura 1.1: Circuito di Chua.

Il circuito di Chua puo vantare un repertorio straordinariamen-

te vasto di dinamiche non lineari, tanto che e riconosciuto come

paradigma universale per la generazione del caos.

Aggiungendo un resistore lineare in serie all’induttore, ottenia-

mo l’oscillatore di Chua. Questo circuito e in grado di generare an-

cora un maggior numero di fenomeni caotici ed e definito circuito

canonico, nel senso che i suoi campi vettoriali sono coniugati topolo-

gici all’ampia classe dei campi vettoriali 3-D. In altre parole signifi-

ca che l’oscillatore di Chua e in grado di generare qualsiasi campo

vettoriale di R3.

3 ESPLORAZIONE DEL CIRCUITO DI CHUA

Figura 1.2: Oscillatore di Chua.

L’oscillatore di Chua e descritto da tre equazioni di stato:

dvC1

dt=

1C1

[G(vC2 − vC1)− f(vC1)]

dvC2

dt=

1C2

[G(vC1 − vC2) + iL]

diL

dt= − 1

L(vC2 + R0iL)

in cui G = 1R e

iNR = f(vNR) = GbvNR +12(Ga − Gb)|vNR + E| − |vNR − E|

e la caratteristica v− i del resistore non lineare NR con pendenza

pari a Ga nella regione interna e pari a Gb sui tratti esterni.

Scegliendo opportunatamente la terna dei valori Ga, Gb ed E,

1.1. INTRODUZIONE 4

Figura 1.3: Caratteristica universale per il resistore non lineare NR.

e possibile specificare per il diodo di Chua qualsiasi caratteristica

v− i continua, lineare a tratti in tre segmenti e simmetrica dispari.


1.2 In rotta verso il caos

Abbiamo scelto di introdurre il caos attraverso l’osservazione di si-

mulazioni al calcolatore delle biforcazioni dell’oscillatore di Chua,

al variare della resistenza R che costituisce il parametro di biforcazio-

ne. Per un insieme fissato di parametri dell’oscillatore di Chua de-

finisce un sistema dinamico che esibisce un certo comportamento.

Le traiettorie del circuito possono convergere verso un punto fisso,

oppure su un ciclo limite o ancora su un attrattore strano. Al momen-

to non e importante comprendere esattamente il significato di que-

sti luoghi geometrici, quanto invece formarci una loro immagine

intuitiva, attraverso l’esposizione di cinque rotte al caos.

E essenziale focalizzare la nostra attenzione sulle variazioni qua-

litative delle dinamiche dell’oscillatore, o biforcazioni , al variare dei

parametri.

In questo viaggio immaginario, osserveremo alcuni fenomeni

caotici e biforcazioni che intervengono nell’oscillatore di Chua:

1. rotta al caos attraverso il raddoppiamento del periodo,

2. rotta al caos con intermittenza,

3. biforcazioni con aggiunta di periodo,

1.2. IN ROTTA VERSO IL CAOS 6

4. attrattori dell’oscillatore di Chua in cui il solo elemento attivo

e il resistore lineare,

5. rotta al caos per distruzione del toro.

Supporti visivi

Ci avvarremo di alcuni preziosi supporti visivi che ci consentiran-

no di evidenziare di volta in volta le caratteristiche del caos e dei

fenomeni di biforcazione.

a. Forme d’onda nel dominio del tempo delle variabili di stato,

b. ritratti di fase delle traiettorie,

c. mappe di Poincare,

d. diagrammi di biforcazione.

Raddoppiamento di periodo

Abbiamo fissato i seguenti valori per gli elementi del circuito:

C1 = 5, 75nF, C2 = 21, 32nF, L = 12mH, R0 = 30, 86Ω,

Ga = −0, 879mS, Gb = −0, 4124mS, E = 1V.


mentre il valore della resistenza R e lasciato come parametro di

biforcazione.

In questa rotta verso il caos, il punto fisso stabile perde la sua

stabilita ed emerge un ciclo limite stabile attraverso una biforcazione

Andronov-Hopf al diminuire del valore di resistenza. Continuando

a diminuire il valore della resistenza R, anche il ciclo limite stabile

finisce per perdere la stabilita e si vede comparire un ciclo limite

stabile con periodo approssimativamente doppio, che indicheremo

col termine ciclo limite periodo-2 .

A sua volta anche il ciclo limite stabile periodo-2, perde la sua

stabilita per lasciare spazio al ciclo limite stabile periodo-4. Que-

sta biforcazione avviene indefinitamente, ma ad intervalli sempre

decrescenti del valore di resistenza del parametro di biforcazione,

fino a convergere con legge esponenziale al punto limite: il punto

di biforcazione, in cui si osserva il caos.


Date/Time run: 02/05/08 22:37:20** Profile: "chuaCirc3-tran" [ d:\docs\pspice\circ05\chuacirc01-pspicefiles\chuacirc3\tran.sim ]

Temperature: 27.0

Date: February 05, 2008 Page 1 Time: 22:37:33

(A) tran (active)

- V(VC2)

-600mV -400mV -200mV 0V 200mV 400mV 600mV 800mV- V(VC1)

-1.0V

0V

1.0V

2.0V

3.0V

4.0V

5.0V

Figura 1.4: Ritratto di fase vC1− vC2, punto fisso stabile R ¿ 1586Ω.


Temperature: 27.0


(A) tran (active)

- V(VC2)

-800mV -600mV -400mV -200mV 0V 200mV 400mV 600mV 800mV- V(VC1)

0V

1.0V

2.0V

3.0V

4.0V

Figura 1.5: Ciclo limite stabile periodo-1, R = 1546Ω.



Temperature: 27.0


(A) tran (active)

- V(VC2)


0V

1.0V

2.0V

3.0V

4.0V



Temperature: 27.0


(A) tran (active)

-V(VC2)


0V

1.0V

2.0V

3.0V

4.0V




Temperature: 27.0


(A) tran (active)

- V(VC2)


-1.0V

0V

1.0V

2.0V

3.0V

4.0V

Figura 1.8: Spirale di Chua, R = 1528Ω.


Intermittenza

Ora usando gli stessi parametri della rotta col raddoppiamento del

periodo, riducendo ulteriormente R oltre la prima manifestazione

caotica comparsa, possiamo individuare un intervallo di valori del-

la resistenza per cui si puo osservare un ciclo limite stabile periodo-3

. Possiamo individuare una rotta al caos ad intermittenza.

Definizione 1 (Intermittenza). L’intermittenza e un fenomeno per

cui un segnale e sempre periodico ad eccezione di qualche esplo-

sione irregolare e imprevedibile. In altri termini, abbiamo ad inter-

mittenza comportamento periodico e comportamento aperiodico

irregolare.

A partire dalla regione dei parametri in cui esiste un ciclo limite

stabile periodo-3, diminuendo il valore della resistenza, il ciclo li-

mite stabile periodo-3 risulta in un ciclo limite instabile periodo-3 e

poi scompare attraverso una biforcazione detta biforcazione tangente

.

Finora non abbiamo detto molto dell’intermittenza, non l’ab-

biamo collocata precisamente e ora e naturale chiederci ma dove si

sistema esattamente questa intermittenza?


Nello scenario che abbiamo appena descritto, dobbiamo intro-

durre il “fantasma” . Che cos’e un fantasma? Il fantasma e il ciclo

limite stabile periodo-3 che sta diventando instabile con la biforca-

zione, ma non scompare del tutto dal piano di fase, infatti possia-

mo osservare che le traiettorie continueranno “come a inseguire il

ciclo limite periodo-3” anche se effettivamente ora quel ciclo limite

si e fatto instabile, in ultima istanza fino a scomparire.

Per la rappresentazione di questa manifestazione caotica abbia-

mo scelto di affiancare ai diagrammi del piano di fase anche i gra-

fici delle forme d’onda della variabile di stato vC1 nel dominio del

tempo. Si puo vedere nei diagrammi temporali della variabile di

stato, che la figura 1.10 riportata un tipico andamento periodico,

in cui la forma d’onda si ripete uguale a se stessa ad intervallo

di tre massimi relativi successivi, mentre per la figura 1.12 questa

regolarita non e piu ravvisabile.



Temperature: 27.0


(A) tran (active)

- V(VC2)


0V

1.0V

2.0V

3.0V

4.0V

Figura 1.9: Ciclo limite periodo-3, R = 1524Ω.


Temperature: 27.0


(A) tran (active)

Time

4ms 5ms 6ms 7ms 8ms 9ms 10msV(VC1)

-4.0V

-3.0V

-2.0V

-1.0V

0.0V

Figura 1.10: Forma d’onda di vC1 del ciclo limite periodo-3, R =1524Ω.



Temperature: 27.0


(A) tran (active)

- V(VC2)


0V

1.0V

2.0V

3.0V

4.0V

Figura 1.11: Intermittenza intorno alla finestra periodo-3,R = 1523Ω.


Temperature: 27.0


(A) tran (active)

Time

4ms 5ms 6ms 7ms 8ms 9ms 10msV(VC1)

-4.0V

-3.0V

-2.0V

-1.0V

0.0V

Figura 1.12: Forma d’onda di vC1 dell’intermittenza, R = 1523Ω.


Biforcazioni con aggiunta di periodo

In questa nostra terza rotta al caos dimostreremo la biforcazione

con aggiunta di periodo, in cui finestre periodiche successive so-

no separate da regioni caotiche. Al variare del parametro, abbia-

mo un’orbita stabile periodo-n, seguita da una regione caotica, poi

un’orbita stabile periodo-n + 1, seguita da caos e cosı via. Usiamo

ancora lo stesso parametro di biforcazione R.

Ora dobbiamo distinguere due casi. Nel primo caso siamo nel-

la regione dell’attrattore di Chua a spirale e riusciamo ad ottenere i

cicli limite periodo-3 e periodo-4 . Nel secondo caso invece ci trovia-

mo nella regione dell’attrattore di Chua a doppia spirale o double scroll.

Ora osserviamo cicli limite per valori decrescenti del parametro R.

Diminuendo ulteriormente la resistenza R, raggiungiamo un pun-

to in cui e mostrato il ciclo limite esterno. Questo fenomeno e dovuto

all’implementazione fisica del diodo di Chua, la caratteristica v− i

deve essere definitivamente passiva , anche se puo essere attiva nella

regione di interesse. Il ciclo limite passa attraverso delle regioni

per cui la caratteristica e localmente attiva (i.e., la pendenza e posi-

tiva). In simulazioni al calcolatore che non considerino questo fat-

to, avremo che le traiettorie divergono semplicemente ad infinito.


Come ulteriore documentazione abbiamo aggiunto un diagramma

di biforcazione di vC1 al variare di G, in cui possiamo osservare le

finestre periodiche a periodo crescente tra due regioni caotiche.

Non si e ritenuto opportuno di inserire nuovamente i cicli li-

mite periodo-3 e periodo-4, perche erano gia stati presentati in

occasione delle due precedenti rotte al caos.


Temperature: 27.0


(A) tran (active)

-V(VC2)


-4.0V

-2.0V

0V

2.0V

4.0V

Figura 1.13: Attrattore di Chua double scroll, R = 1507Ω.



Temperature: 27.0


(A) tran (active)

-V(VC2)


-3.0V

-2.0V

-1.0V

-0.0V

1.0V

2.0V

3.0V

Figura 1.14: Finestra 5− 5, R = 1480Ω.


Temperature: 27.0


(A) tran (active)

-V(VC2)


-3.0V

-2.0V

-1.0V

-0.0V

1.0V

2.0V

3.0V




Temperature: 27.0


(A) tran (active)

-V(VC2)


-3.0V

-2.0V

-1.0V

-0.0V

1.0V

2.0V

3.0V



Temperature: 27.0


(A) tran (active)

-V(VC2)

-600mV -400mV -200mV 0V 200mV 400mV 600mV 800mV- V(VC1)

-3.0V

-2.0V

-1.0V

-0.0V

1.0V

2.0V

3.0V




Temperature: 27.0


(A) tran (active)

-V(VC2)

-600mV -400mV -200mV 0V 200mV 400mV 600mV- V(VC1)

-3.0V

-2.0V

-1.0V

-0.0V

1.0V

2.0V

3.0V



Temperature: 27.0


(A) tran (active)

-V(VC2)

-600mV -400mV -200mV 0V 200mV 400mV 600mV- V(VC1)

-3.0V

-2.0V

-1.0V

-0.0V

1.0V

2.0V

3.0V




Temperature: 27.0


(A) tran (active)

-V(VC2)

-6.0V -4.0V -2.0V 0V 2.0V 4.0V 6.0V- V(VC1)

-8.0V

-4.0V

0V

4.0V

8.0V

Figura 1.20: Attrattore periodico esterno, R = 1396Ω.


Attrattori dell’oscillatore di Chua in cui il solo

elemento attivo e lineare

Siamo abituati a vedere il circuito di Chua con un solo elemento

non lineare e che e anche il solo elemento attivo. Un elemento at-

tivo e necessario per pompare l’energia in un circuito che diversa-

mente sarebbe solo dissipativo, con l’obiettivo di fare intervenire le

oscillazioni auto-indotte. In questo paragrafo useremo un circuito

particolare per l’oscillatore di Chua, in cui il resistore non linea-

re e passivo e localmente passivo (in altre parole, la caratteristica

v− i passa attraverso l’origine monotona strettamente crescente) e

il solo elemento attivo e il resistore lineare. Per il nostro circuito

fissiamo i parametri in questo modo:

Ga = 0, 599mS, Gb = 0, 77mS, G =1R

= −0, 7mS, E = 1V.

Facciamo vedere tre attrattori strani che riusciamo ad ottenere

valori diversi dei parametri dell’oscillatore di Chua.

Le figure degli attrattori strani sono riportate volutamente ri-

prodotte sia attraverso simulazioni in PSpice, che attraverso l’in-

tegrazione in Matlab delle equazioni circuitali dell’oscillatore di


Chua, in modo che si possa comprendere che ci si occupa esat-

tamente dello stesso problema ma lo si sta guardando da un punto

di vista diverso.

Gli attrattori sono stati osservati con i seguenti parametri del-

l’oscillatore:

1. C1 = 13, 5nF, C2 = 1, 93µF, L = 19mH, R0 = 26, 9Ω.

2. C1 = 1, 5nF, C2 = 285µF, L = 1.2mH, R0 = 6, 8Ω.

3. C1 = 20nF, C2 = 360µF, L = 8mH, R0 = 11, 4Ω.

Date/Time run: 01/29/08 16:00:25** Profile: "circuitoChua2-tran" [ D:\docs\pspice\circ05\chuacirc01-pspicefiles\circuitochua2\tran.sim ]

Temperature: 27.0

Date: January 29, 2008 Page 1 Time: 16:00:47

(A) tran (active)

V(VC1)

-4.0V -3.0V -2.0V -1.0V 0.0V 1.0V 2.0V 3.0V 4.0VV(VC2)

-800mV

-400mV

0V

400mV

800mV

Figura 1.21: Attrattore 1.


Date/Time run: 01/29/08 17:18:58** Profile: "chuaCirc0-tran" [ d:\docs\pspice\circ05\ChuaCirc01-PSpiceFiles\chuaCirc0\tran.sim ]

Temperature: 27.0

Date: January 29, 2008 Page 1 Time: 17:19:23

(A) tran (active)

V(VC1)

-2.5V -2.0V -1.5V -1.0V -0.5V 0.0V 0.5V 1.0V 1.5V 2.0V 2.5VV(VC2)

-600mV

-400mV

-200mV

0V

200mV

400mV

600mV


-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5



Rotta al caos attraverso la distruzione del toro

Nella rotta al caos Ruelle-Takens-Newhouse , il circuito e sottoposto a

diverse biforcazioni di Andronov-Hopf. Dopo due biforcazioni di

Andronov-Hopf, abbiamo un attrattore toroidale. Alla terza bifor-

cazione di Andronov-Hopf, il caos sembra fare la sua comparsa.

Questo fatto appare come la biforcazione dell’attrattore toroidale

in un attrattore caotico.

Per alcuni valori dei parametri dell’oscillatore di Chua siamo

riusciti a riprodurre un’analoga situazione. Per ognuno degli at-

trattori presentati faremo vedere sia il ritratto di fase che la mappa

di Poincare. I valori fissati dei parametri sono:

Ga = 0, 599mS, Gb = 0, 77mS, G =1R

= −0, 7mS, E = 1V.

C2 = 0, 3406µF, L = 7, 595mH, R0 = 11.4Ω

e useremo come parametro di biforcazione C1.

Apriamo la nostra esplorazione osservando un attrattore che e

simile a due tori con traiettorie condivise che saltano da un toro ad

un altro. Al diminuire di C1 otteniamo un attrattore toroidale la cui

orbita associata alla mappa di Poincare e una curva chiusa.


Diminuendo il parametro C1 ulteriormente, attraversiamo una

successione finestre periodiche con aggiunta di periodo. Tra le fi-

nestre periodiche osserviamo un attrattore toroidale. In particolare

vediamo un ciclo limite periodo-16, un attrattore a toro, un ciclo

limite periodo-15 e un ciclo limite periodo-14. Se continuiamo a

diminuire il parametro C1 abbiamo una successione a raddoppia-

mento di periodo che si conclude con un attrattore caotico.

Le corrispondenti mappe di Poincare la curva chiusa associata

al toro si deforma, inizia a corrugarsi e sviluppa delle pieghe.

Diminuendo per l’ultima volta C1, otteniamo un attrattore cao-

tico simile all’attrattore di Chua a doppia spirale. Per una visione

complessiva del fenomeno della biforcazione per la distruzione del

toro e riportato un diagramma di biforcazione.

CA

PI

TO

LO

2GEOMETRIA E DINAMICHE

DEL CIRCUITO DI CHUA

2.1 Introduzione

Il caos e caratterizzato da meccanismi di stiramento e ripiegamen-

to, traiettorie adiacenti in un sistema dinamico sono ripetutamente

allontanate esponenzialmente e piegate all’indietro insieme. Due

27

2.1. INTRODUZIONE 28

traiettorie adiacenti sono separate esponenzialmente lungo un au-

topiano da una coppia di autovalori complessi instabili. Questo

meccanismo puo essere impiegato per realizzare lo stiramento, il

ripiegamento puo essere raggiunto con la terza dimensione dello

spazio di fase e una non linearita.

Consideriamo un circuito del terzo ordine autonomo descritto

da:

X = F(X)

X(0) = X0.

Teorema 1 (Shilnikov). Data un punto di equilibrio XQ del circuito che

ha una coppia di autovalori complessi coniugati stabili σ ± jω (σ < 0,

ω 6= 0) e un autovalore reale instabile γ, con |σ| < |γ| e il campo

vettoriale F(X) ha un’orbita omoclina che attraversa XQ, allora esiste

una perturbazione F′ di F (che puo essere ottenuta per la modifica di un o

piu parametri del sistema), tale che F′ ha delle orbite omocline trasversali

e dei ferri di cavallo.

La presenza di orbite omocline trasversali comporta l’esisten-

za di infinite orbite periodiche instabili di periodo arbitrariamente

29 GEOMETRIA E DINAMICHE DEL CIRCUITO DI CHUA

lungo, come anche di complesse soluzioni non periodiche limitate

dette traiettorie caotiche.

Consideriamo una traiettoria del campo vettoriale lineare a tratti

in tre regioni.

Ipotesi. Il punto di equilibrio P− ha un autovalore reale stabile γ1 (il

cui autovettore e Er(P−)) e una coppia di autovalori complessi coniuga-

ti instabili σ1 ± jω1, le parti reale e immaginarie di questi autovettori

generano il piano Ec(P−).

Una traiettoria che parta dal punto X0 su Ec(P−) inizia a muo-

vere di moto a spirale dal punto di equilibrio lungo il piano Ec(P−)

fino a quando entra nella regione D0 in cui e ripiegata e spinta in

D−1.

Rientrando in D−1 la traiettoria e attratta verso P− attraverso la

direzione dell’autovettore reale Er(P−).

Ora immaginiamo che cosa succederebbe ad una traiettoria che

entrasse da D−1 in D0 esattamente nella direzione Er(P−). La tra-

iettoria seguirebbe Er(P−) verso P−, raggiungendo il punto di equi-

librio asintoticamente per t → ∞. Analogamente, se stessimo se-

guendo la traiettoria con il tempo che corre all’indietro comunque


da D0 passerebbe attraverso Ec(P−) in D−1, procedendo con moto

a spirale verso P−, raggiungendolo asintoticamente.

Definizione 2 (Orbita omoclina). Una traiettoria che raggiunga lo

stesso punto di equilibrio P− asintoticamente sia con il tempo che

scorre avanti, sia con evoluzione temporale rovesciata.

L’orbita omoclina e strutturalmente instabile e percio non puo

essere osservata sperimentalmente, ma e indicativa del fatto che

nei dintorni si verificano comportamenti dinamici complessi. Dun-

que due traiettorie che partano da distinti stati iniziali vicini a P−

sul piano Ec(P−), sono allontanate esponenzialmente lungo l’auto-

piano instabile prima di essere ripiegate in D−1 e respinte verso P−.

Questo meccanismo ciclico di stiramento e ripiegamento continua

all’infinito, producendo soluzioni caotiche a regime per il circuito.

Interpretazione teoretico circuitale del caos

Nel circuito di Chua osserviamo il collegamento parallelo (circuito

di tank, di immagazzinamento) di C2 ed L che costituisce il mecca-

nismo oscillatorio senza perdite nel piano (vC2, iL), mentre la con-

duttanza G offre interazioni tra l’oscillatore (C2, L) e il resistore


attivo f(·) con C1. Il resistore attivo e naturalmente il responsa-

bile del comportamento caotico del circuito. Se il resistore fosse

localmente passivo e ben noto che il circuito sarebbe particolarmen-

te tranquillo: tutte le soluzioni tenderebbero globalmente verso un

equilibrio asintoticamente stabile. Visto che f(·) e localmente atti-

vo fornisce continuamente energia al circuito esterno. La natura di

attrattore delle traiettorie, e percio dovuta dalla potenza dissipata

nell’elemento passivo G, che ne limita la crescita.

E interessante osservare che esiste un’orbita periodica all’ester-

no dell’attrattore caotico. Quest’orbita non e un ciclo limite stabile,

infatti non puo essere osservata sullo schermo dell’oscilloscopio

dal circuito fisico oppure essere ottenuta dall’integrazione nume-

rica delle equazioni circuitali. Non si tratta nemmeno di un orbita

periodica repulsiva, visto che non puo essere osservata nemmeno

integrando le equazioni di stato all’indietro nel tempo.

Si tratta di un’orbita periodica di tipo sella: la sua mappa di

Poincare e stabile in una direzione, ma instabile nell’altra.

Osservazione. Per la tolleranza dei componenti, i valori effettivi che

riproducono esattamente le simulazioni al calcolatore, stanno in un

intorno del 15% dei valori nominali.

2.2. STRUTTURA GEOMETRICA DELL’ATTRATTORE 32

2.2 Struttura geometrica dell’attrattore

Per avere almeno due punti di equilibrio instabili e non perdere

i vantaggi dell’analisi lineare a tratti stabiliamo una caratteristica

lineare a tratti per il resistore non lineare NR, mostrata in figura

2.1.

Figura 2.1: Caratteristica universale per il resistore non lineare NR.

La caratteristica e definita analiticamente come segue:

IR = f(VR) =

GaVR + (Gb − Ga)E se VR < −E

GaVR se −E ≤ VR ≤ E

GbVR + (Ga − Gb)E se VR > E

con E > 0, Ga < 0 e Gb < 0.


Descrizione lineare a tratti del circuito di Chua

Il circuito di Chua puo essere descritto attraverso le tre equazioni

di stato, che ora per comodita di analisi scegliamo di scrivere in

forma lineare a tratti.

diL

dt= − 1

LvC2

dvC2

dt=

1C2

iL −GC2

(vC2 − vC1)

dvC1

dt=

GC1

(vC2 − vC1)−1

C1f(vC1)

=

GC1

vC2 −G′bC1

vC1 −(

Gb−GaC1

)E se vC1 < −E

GC1

vC2 − G′aC1

vC1 se −E ≤ vC1 ≤ E

GC1

vC2 −G′bC1

vC1 −(

Ga−GbC1

)E se vC1 > −E

con G = 1/R, G′a = G + Ga, G′b = G + Gb.

Per la natura lineare a tratti del resistore non lineare NR, il cam-

po vettoriale del circuito di Chua puo essere scomposto in tre re-

gioni affini distinte: vC1 < −E, |vC1| ≤ E e vC1 > E. Denominia-

mo queste regioni D−1, D0 e D1, rispettivamente. Usando l’ana-

lisi lineare a tratti, trattiamo ogni regione separatamente e quindi

uniamo le porzioni di soluzione.

2.3. ANALISI DELLA REGIONE CENTRALE (|VC1| ≤ E) 34

2.3 Analisi della regione centrale

(|vC1| ≤ E)

Per |vC1| ≤ E, il circuito di Chua e descritto dalle equazioni:

dvC1

dt=

GC1

vC2 −G′aC1

vC1

dvC2

dt=

1C2

iL −GC2

(vC2 − vC1)

iL

dt= − 1

LvC2

Il circuito equivalente e un semplice circuito lineare parallelo RLC

in figura 2.2.

R

Ra

LC2

C1

+

_

+

_

+

_iL

vC2 vC1 vR

Figura 2.2: Circuito equivalente del circuito di Chua nella regioneD0, con Ra = 1/Ga.

Il circuito lineare ha un solo punto di equilibrio localizzato nel-

l’origine, con la stabilita completamente specificata dagli autova-

lori della matrice:


JFa =

0 − 1

L 0

1C2− G

C2GC2

0 GC1

−G′aC1

vale a dire, dagli zeri del polinomio caratteristico

λ3 +(

GC2

+G′aC1

)λ2 +

(1

LC2+

GGa

C1C2

)λ +

G′aLC1C2

Durante tutta la nostra analisi considereremo un insieme fissato

di valori dei componenti: L = 18mH, C2 = 100nF, C1 = 10nF,

Ga = −55/60mS = −757, 576µS, Gb = −9/22mS = −409, 091µS

ed E = 1V.

Ora fissiamo G = 550µS, gli autovalori di JFa sono:

γ0 ≈ 25291

σ0 ± jω0 ≈ −5842± j19720

Associato all’autovalore reale instabile γ0 nella regione D0 c’e

l’autovettore Er(0) definito da:

JFaEr(0) = γ0Er(0).

2.3. ANALISI DELLA REGIONE CENTRALE (|VC1| ≤ E) 36

Scrivendo Er(0) = [x, y, z]T, abbiamoγ0

1L 0

− 1C2

γ0 + GC2

− GC2

0 − GC1

γ0 + G′aC1

x

y

z

=

0

0

0

Normalizzando per z = 1 il corrispondente autovettore e:

Er(0) =

x

y

z

=

(

γ0 + GC2

) (γ0 + G′a

C1

)C1C2

G − G

C1G

(γ0 + G′a

C1

)1

Le parti reali e immaginarie degli autovettori complessi asso-

ciati a

CA

PI

TO

LO

3SINCRONIZZAZIONE DEL

CIRCUITO DI CHUA

3.1 Introduzione

Fenomeni caotici sono stati osservati in una gran numero di siste-

mi fisici negli ultimi dieci anni, abbiamo degli esempi dalla fisica

nucleare, dall’ottica dei laser, dalla fisica dello stato solido, come

37


anche dalla biologia e dalla medicina, socio-economia, per pas-

sare poi all’ingegneria elettronica, alla meccanica e all’ingegneria

chimica. Potrebbe sembrare che con delle manifestazioni cosı evi-

denti, in discipline profondamente differenti tra di loro, l’interes-

se per le dinamiche complesse abbia ricevuto da sempre un grande

interesse. Ebbene non e cosı.

Il mondo del caos e sempre stato considerato un fenomeno piut-

tosto pericoloso e da evitare, se non si voleva incorrere malfunzio-

namenti dei sistemi fisici sviluppati. Allora era obiettivo della co-

munita degli scienziati studiare il caos, per progettare dei sistemi

che ne fossero privi.

Tuttavia nella vita di ogni giorno, incontriamo persone che fan-

no la spesa al mercato, animali che si esibiscono al circo, oppure

usiamo le carte di credito per i nostri acquisti, tutte queste situa-

zioni impiegano in qualche modo per il loro funzionamento il caos.

Vogliamo offrire ora un paio di esempi piu dettagliati.

Esempio 1 (Evoluzione delle condizioni meteorologiche). L’atmo-

sfera e un enorme sistema dinamico che offre una sovrabbondanza

di comportamenti dinamici sulla scala macroscopica. Per riportare

anche il celebre adagio sull’imprevedibilita meteorologica su lun-

39 SINCRONIZZAZIONE DEL CIRCUITO DI CHUA

go periodo: basterebbe che una farfalla battesse le ali a Pechino e

a New York arriverebbe la pioggia invece del sole (effetto farfalla).

Non si tratta di una condizione necessaria, ma a quella distanza

sarebbe sufficiente.

Esempio 2 (Funzionamento della mente umana). Il cervello uma-

no secondo diverse sperimentazioni compiute opererebbe i mec-

canismi della decisione, del discernimento e dell’apprendimento,

proprio secondo dinamiche caotiche.

Rivolgendo il nostro sguardo a queste due classi di sistemi cao-

tici, ci chiediamo se e possibile individuare dei meccanismi per

controllare esternamente le dinamiche complesse? Oppure e possi-

bile spiegare e utilizzare il caos per la realizzazione di applicazioni

pratiche?

Esempio 3. Possiamo riuscire in qualche modo a influenzare le con-

dizioni meteorologiche? Questo sarebbe certamente un problema

di notevole interesse pratico, servirebbe ad evitare l’abbattersi su

una regione del nostro globo di terribili tornado.

Esempio 4. Ci sono algoritmi di elaborazione dei segnali che sono

eseguiti con assoluta eccellenza, in termini di prestazioni e di costi,


da un ampio banco di sottosistemi caotici in cooperazione Principio

di cooperazione. Un sistema biologico che opera proprio secondo

questo principio e il cervello umano.

Chiudiamo ora questa introduzione, per formulare tre doman-

de che guideranno lo studio che condurremo sulla sincronizzazio-

ne dei sistemi caotici.

1. Come influenzare o ancora meglio controllare il comporta-

mento di un sistema che opera in regime caotico?

2. Come fanno sistemi complessi che lavorano in modo caotico

ad “organizzarsi” per portare a termine compiti utili?

3. Quali sono i meccanismi di base che permettono l’interazio-

ne tra sottosistemi, ognuno dei quali operi in regione caotica,

per la realizzazione di un comportamento utile? Questi mec-

canismi come possono essere impiegati per la costruzione di

altri sistemi di rilevanza pratica?

Ora ci occuperemo di sincronizzazione Sincronizzazione di siste-

mi caotici che puo essere vista come la forma piu semplice di col-

laborazione utile tra sistemi caotici. La sincronizzazione di siste-


mi caotici ha alcune interessanti applicazioni nell’elaborazione dei

segnali e nelle comunicazioni. Si ritiene inoltre che la sincroniz-

zazione giochi un ruolo fondamentale nella trattazione delle infor-

mazioni tra gli organismi viventi e inoltre la sincronizzazione in

banchi di sottosistemi caotici puo condurre ad applicazioni quali

l’elaborazione di immagini e vocale.

In un secondo momento, considereremo il problema del con-

trollo di sistemi caotici, in altre parole, di influenzare il funziona-

mento di sistemi caotici in modo da produrre un comportamento

desiderato o prescritto. Avere dei buoni algoritmi di controllo e dei

potenti strumenti di calcolo, ci mette nelle condizioni di pensare ad

applicazioni piu serie della vita di tutti i giorni, come il controllo

delle vibrazioni caotiche negli aerei o della turbolenza dei flussi

nei fluidi all’interno di reattori chimici. L’unico limite e davvero

lasciato alla nostra immaginazione.

3.2 Supporto teorico

Considerando una delle caratteristiche della definizione di com-

portamento caotico, in particolare, la sensibilita alle condizioni ini-

3.2. SUPPORTO TEORICO 42

ziali, si potrebbe pensare che non sia possibile la sincronizzazione

di sistemi caotici, perche nella realta e impossibile riprodurre due

sistemi fisici perfetti uguali ed inoltre farli partire esattamente con

le medesime condizioni iniziali. Una variazione anche infinitesi-

ma di uno qualsiasi dei parametri risultera nella divergenza di due

traiettorie che partono con le stesse condizioni iniziali.

Il concetto di stabilita di Lyapunov per le traiettorie di un siste-

ma, non e adatto per l’analisi della sincronizzazione di due o piu

sistemi. In questo caso infatti, si potrebbe richiedere quali sono

le condizioni che implicano la convergenza delle traiettorie di due

sistemi, invece di considerare la stabilita separata delle traiettorie.

Problema 1 (Sincronizzazione). Dati due o piu sistemi non lineari

(N ≥ 2):

xi = fi(xi), x ∈ Rn, 1 ≤ i ≤ N.

Il nostro obiettivo e individuare le condizioni sotto le quali le solu-

zioni convergeranno reciprocamente:

limt→∞

(xi − xj) = 0, i 6= j.

Il problema non ammette una risposta generale. Descriveremo


delle condizioni per ottenere funzionamento coerente dei sistemi

caotici.

Problema 2 (Accoppiamento lineare). La piu semplice possibilita

e l’accoppiamento lineare dei due sistemi che vogliamo sincroniz-

zare:

x = f1(x)

y = f2(y) + ∆(x− y)

con x, y ∈ Rn, ∆ = diag[δ1, . . . , δn]T.

Il problema di sincronizzazione e formulato come segue: trova-

re ∆ tale che y(t) → x(t) per t → ∞, in altre parole, la soluzione

y(t) si sincronizzera al segnale x(t).

Esponiamo ora dei risultati sulla convergenza delle soluzioni x

e y.

Teorema 2 (Kocarev). Se f1 = f2 e |x(t = 0)− y(t = 0)| e abbastanza

piccolo, esistono dei valori finiti per δi, con i = 1, 2, . . . , n, tale che per

δi > δi, y(t) si avvicina all’obiettivo x(t).

Consideriamo ora il caso f1 6= f2,

3.2. SUPPORTO TEORICO 44

Teorema 3 (Kocarev). Per ε = δ−1 e per |x(t = 0)| + |y(t = 0)| e

abbastanza piccolo, esiste un t0 tale che y(t) converge uniformemente a

x(t) per ε→ 0+ per ogni intervallo chiuso del tipo t0 < t < ∞.

Questi due teoremi ci danno delle condizioni molto generali di

sincronizzazione. Il teorema 3 ci permette di trattare la sincroniz-

zazione tra sistemi distinti, ma ci permette anche di sincronizzare

sistemi con comportamenti dinamici profondamente differenti.

Osservazione. La scelta delle condizioni iniziali e un problema par-

ticolarmente delicato nella sincronizzazione di due sistema e pur-

troppo questi due teoremi non ci danno alcuna indicazione riguar-

do alle regioni di convergenza.

Pecora-Carroll

Consideriamo il sistema n-dimensionale autonomo descritto dalle

equazioni di stato.

dxdt

= f(x(t))

Suddividiamo il sistema in due parti in modo del tutto arbitra-

rio, giungendo alla suddivisione del vettore di stato in x = [xD, xR]T.


La sezione D si riferisce al sottosistema forzante (dall’inglese drive)

e la sezione R invece riguarda il sottosistema che risponde rispetti-

vamente. Abbiamo quindi:

xD = g(xD, xR)

xR = h(xD, xR)

in cui: xD = [x1, . . . , xm]T, xR = [xm+1, . . . , xn]T,

g = [f1(x), . . . , fm(x)]T, h = [fm+1(x), . . . , fn(x)]T.

Pecora e Carroll ci suggeriscono di duplicare il sottosistema di

risposta e di forzarlo con le variabili di stato xD che provengono

dal sistema di partenza. Nella situazione descritta, otteniamo le

seguenti equazioni:

xD = g(xD, xR)

xR = h(xD, xR)

x′R = h(xD, xR)

Siamo interessati a studiare la differenza ∆xR = x′R − xR. Le

componenti xR e x′R si avvicineranno asintoticamente (sincronizza-

3.3. DESCRIZIONE DEL PROBLEMA 46

zione) se ∆xR → 0 per t → ∞. Al limite, ci conduce alle equazioni

variazionali di risposta del sottosistema:

d∆xR

dt= DxR h(xD(t), xR(t))∆xR + o((∆xR)2)

dove DxR indica lo Jacobiano del sottosistema di risposta calcola-

to solo rispetto ad xR. Il comportamento delle soluzioni del si-

stema dipendono dagli esponenti di Lyapunov del sottosistema for-

zante (valutati sulla base xD), che misurano la velocita media di

convergenza in un intorno delle traiettorie sul piano di fase.

Pecora e Carroll ci forniscono la seguente condizione necessaria

di sincronizzazione per sistemi caotici.

Teorema 4. (Pecora-Carroll) I sottosistemi xR e x′R si sincronizzeranno

soltanto se tutti gli esponenti di Lyapunov del sottosistema forzante sono

negativi.

3.3 Descrizione del problema

Dopo aver introdotto il problema delle sincronizzazione nel setto-

re dei sistemi caotici, vogliamo occuparci della sincronizzazione di

circuiti di Chua con accoppiamento lineare. In particolare la nostra at-


tenzione e rivolta all’analisi della robustezza per la perturbazione dei

parametri del sistema. Sono proposti due schemi sincronizzazione

per accoppiamento unidirezionale e per accoppiamento bidirezionale.

Attraverso un’indagine parametrica della sincronizzazione, prov-

vederemo ad individuare delle regioni critiche nello spazio di va-

riazione dei parametri, con l’obiettivo di classificare il caos in am-

bito di comportamento coerente.

Osservazione. E stato osservato che la sincronizzazione tra una cop-

pia di circuiti di Chua identici puo raggiungere la sincronizzazione

sia per accoppiamento mutuo, che per accoppiamento unidirezio-

nale.

Osservazione. In una coppia di circuiti di Chua la sincronizzazione

puo avvenire sia accoppiando i due circuiti attraverso una sola va-

riabile di stato, oppure una qualsiasi loro combinazione. L’accop-

piamento attraverso una sola variabile di stato e comunque suffi-

ciente per raggiungere la sincronizzazione del sistema complessi-

vo.

Proprieta 1 (Figure di Lissajous). Un metodo alternativo per l’ac-


certamento della sincronizzazione, che non richiede il calcolo degli

esponenti di Lyapunov condizionali, ricorre invece ai diagrammi

di fase, attraverso l’osservazione delle figure di Lissajous. La con-

dizione di sincronizzazione e facilmente rilevabile per la comparsa

di una linea retta nel piano di fase.

Analisi dimensionale e scalamento

Ci sono dei problemi, come quello della confronto degli ordini di

grandezza, in cui e utile esprimere le equazioni in forma adimensio-

nale, eliminando le dimensioni proprie delle grandezze.

Il vantaggio della formulazione adimensionale e che siamo in

grado si stabilire con immediatezza quantita grandi o piccole che

compaiono nel problema, e.g. identifichiamo una quantita piccola

se questa e minore di 1.

Inoltre adimensionalizzando un’equazione si riduce il numero

dei parametri concentrandoli insieme in gruppi adimensionali. La

riduzione semplifica sempre l’analisi. Per adimesionalizzare un’e-

quazione esistono sempre diversi modi, e la scelta migliore puo

anche non essere chiara immediatamente.


Figura 3.1: Circuito di Chua.

Le equazioni di partenza del circuito di Chua sono:

dvC1

dt=

1C1

[G(vC2 − vC1)− f(vC1)]

dvC2

dt=

1C2

[G(vC1 − vC2) + iL]

diL

dt= − 1

LvC2

La caratteristica del resistore non lineare:

f(vNR) = GbvNR +12(Ga − Gb)|vNR + E| − |vNR − E|

Le equazioni di stato adimensionalizzate le abbiamo ottenute


vc1

iL

vc2

3Out3

2Out2

1Out1

SaturationLookup Table

1s

Integrator2

1s

Integrator1

1s

Integrator

-1/L

Gain6

-K-

Gain5

-K-

Gain4

-K-

Gain3

-K-

Gain2

-K-

Gain1

-K-

Gain

Add1

Add

1In1

Figura 3.2: Schema blocchi delle equazioni di stato del circuito diChua.

riscalando i paramentri come segue:

x ,vC1

E, y ,

vC2

E, z ,

iLRE

, τ ,t

RC2,

a , RGa, b , RGb, α ,C2

C1, β ,

C2R2

L.

Le equazioni adimensionalizzate sono:

x = α(y− x− g(x))

y = x− y + z

z = −βy


in cui:

g(x) = bx +12(a− b)|x + 1| − |x− 1|

x =dxdτ

, y =dydτ

, z =dzdτ

.

Scegliamo di fissare i parametri del circuito di Chua e le con-

dizioni iniziali in modo che il circuito esibisca sempre l’attrattore

double scroll durante tutte le nostre indagini.

C1 = 10nF, C2 = 100nF, L = 18mH, R = 1, 78kΩ,

Ga = −0, 756mS, Gb = −0, 409mS, E = 1V.

I parametri in forma adimensionalizzata:

α = 10, β = 16, 82, a = −1, 32, b = −0, 71.

3.4 Circuiti di Chua mutuamente

accoppiati

Consideriamo una coppia di circuiti di Chua identici mutuamen-

te accoppiati attraverso un resistore lineare Rx. Il sistema accop-

piato puo essere descritto attraverso le seguenti equazioni di stato

adimensionalizzate:

3.4. CIRCUITI DI CHUA MUTUAMENTE ACCOPPIATI 52

x = α(y− x− g(x)) + kx(x′ − x)

y = x− y + z

z = −βy

x′ = (α + ∆α)(y′ − x′ − g(x′)) + kx(x− x′)

y′ = x′ − y′ + z′

z′ = −(β + ∆β)y′

con

g(x) = bx +12(a− b)|x + 1| − |x− 1|

g(x′) = (b + ∆b)x′ +12

[(a + ∆a)− (b + ∆b)]|x′ + 1| − |x′ − 1|

kx e il fattore di accoppiamento, ∆α, ∆β, ∆a, ∆b, sono le perturba-

zioni indotte ai paramentri α, β, a e b, rispettivamente.

Progetto della sincronizzazione

Proponiamo lo schema che e stato utilizzato per progettare la resi-

stenza di sincronizzazione del sistema caotico mutuamente accop-

piato.


Figura 3.3: Schema elettrico di circuiti di Chua ad accoppiamentobidirezionale.

x

x1

k1

kx1

k1

kx

In1 Out1

Subsystem2

In1 Out1

Subsystem1

Signal Constraint

Figura 3.4: Modello Simulink di sincronizzazione con circuiti adaccoppiamento bidirezionale.

Riportiamo di seguito le forme d’onda della variabile di stato

vC1 per entrambi i circuiti nel momento in cui non e stato ancora

introdotto il resistore di sincronizzazione.

Evoluzione dell’ottimizzazione, un passo intermedio.


0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025-4

-2

0

2

4

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025-4

-2

0

2

4

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025-10

-5

0

5

10

Figura 3.5: Forme d’onda di vC1 sulle due celle e forma d’ondadifferenza.

Iter f-count MeshSize f(x) Method

0 8 1 348.3 Start iterations

1 23 1 300 Successful Search

2 40 0.5 300 Refine Mesh

3 42 0.25 300 Refine Mesh

4 44 0.125 300 Refine Mesh

5 46 0.0625 300 Refine Mesh

6 48 0.03125 300 Refine Mesh

7 50 0.01563 300 Refine Mesh

8 52 0.007813 300 Refine Mesh

9 54 0.003906 300 Refine Mesh

10 56 0.001953 300 Refine Mesh


11 58 0.0009766 300 Refine Mesh

12 60 0.0004883 300 Refine Mesh

13 62 0.0002441 300 Refine Mesh

14 64 0.0001221 300 Refine Mesh

15 66 6.104e-005 300 Refine Mesh

16 68 3.052e-005 300 Refine Mesh

17 70 1.526e-005 300 Refine Mesh

Could not find a solution that satisfies all constraints. Relax

the constraints or decrease the parameter and function tolerances.

k1 =

2.0022e+003

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Input to control30/Signal Constraint

Time (sec)

Am

plitu

de

Figura 3.6: Primo tentativo di ottimizzazione, Gx < 2kS.


0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5


Time (sec)

Am

plitu

de

Figura 3.7: Secondo tentativo di ottimizzazione, Gx < 4, 5kS.

Evoluzione dell’ottimizzazione, completata con successo.

Iter f-count MeshSize f(x) Method

0 8 1 10.7 Start iterations

1 23 1 6.665 Successful Search

2 38 1 -0.6467 Successful Search

Successful termination. Found a feasible solution within the

specified constraint tolerances.

k1 =

2.6330e+004


0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5


Time (sec)

Am

plitu

de

Figura 3.8: Terzo tentativo, completato con successo Gx = 26, 33kS.

Cosimulazione Simulink/PSpice

Finora abbiamo lavorato su un modello Simulink del circuito di

Chua, ora ci proponiamo di verificare il nostro progetto sullo sche-

ma PSpice del nostro circuito.

Abbiamo osservato che il processo di ottimizzazione si rallen-

ta particolarmente quando si richiede l’intervento del simulatore

circuitale PSpice, e consigliabile pertanto muovere i primi passi ot-

timizzazione con un modello del circuito di Chua piu semplice, ma

di certo piu veloce. Poi completare il progetto in ambiente di co-


Signal Constraint

Scope2

Scope1

Scope

In Out

SLPS

Rc

Constant1

Figura 3.9: Schema di cosimulazione Simulink/PSpice.

simulazione certamente piu accurato, ma anche estremamente piu

lento.


Figura 3.10: Finestra di dialogo dell’interfaccia SLPS.


Verifica della sincronizzazione

Procediamo ora alla verifica di avvenuta sincronizzazione, dap-

prima sui diagrammi di Lissajous e poi sulle forme d’onda nel

dominio del tempo.

Date/Time run: 02/14/08 12:42:09** Profile: "SCHEMATIC2-tran02" [ d:\docs\matlab\sincronizzazione\chuaCirc01\chuacirc-pspicefiles\schematic2\tr...

Temperature: 27.0


(A) tran02 (active)

V(vc11)

-5.0V -4.0V -3.0V -2.0V -1.0V 0.0V 1.0V 2.0V 3.0V 4.0V 5.0VV(VC21)

-5.0V

0V

5.0V

Figura 3.11: Figura di Lissajous di avvenuta sincronizzazione.



Temperature: 27.0


(A) tran02 (active)

Time

50ms 52ms 54ms 56ms 58ms 60ms 62ms 64ms 66ms 68ms 70msV(vc11) V(vc21)

-5.0V

0V

5.0V

Figura 3.12: Forme d’onde sincronizzate per le variabili di stato vC1e v′C1.


Temperature: 27.0


(A) tran02 (active)

Time

45ms 46ms 47ms 48ms 49ms 50ms 51ms 52ms 53ms 54ms 55msV(vc11) V(vc21)

-5.0V

0V

5.0V

Figura 3.13: Inserimento del controllo.



Temperature: 27.0


(A) tran02 (active)

Time

49.995ms 49.996ms 49.997ms 49.998ms 49.999ms 50.000ms 50.001ms 50.002ms 50.003ms 50.004msV(vc21)- V(vc11)

-800mV

-600mV

-400mV

-200mV

0V

200mV

Figura 3.14: Transitorio di sincronizzazione.


3.5 Classificazione del caos nella

sincronizzazione

Introducendo una perturbazione nei parametri dei circuiti di Chua

accoppiati conduce la sincronizzazione ad operare secondo com-

portamenti singolari, in particolare riconosciamo: la sottosincroniz-

zazione , l’asincronizzazione ed e la quasi sincronizzazione .

Per valutare la qualita della sincronizzazione ottenuta, ora ci

occuperemo di analizzarne la robustezza alla variazione parame-

trica di ∆α e ∆β. Considereremo una variazione fino al 20% su ∆α

e fino al 10% su ∆β. Durante quest’indagine le variazioni ∆a e ∆b

sono poste a zero.

Per acconsentire notevoli perturbazioni ai parametri, il fattore

di accoppiamento e fissato cinque volte superiore al valore critico

individuato, δ = 5δ?.

3.5. CLASSIFICAZIONE DEL CAOS NELLA SINCRONIZZAZIONE 64


Temperature: 27.0


(A) tran02 (active)

V(vc11)

-8.0V -6.0V -4.0V -2.0V 0V 2.0V 4.0V 6.0V 8.0VV(vc21)

-10V

-5V

0V

5V

10V

Figura 3.15: Sottosincronizzazione, ∆α = 1.1, ∆β = 0.


Temperature: 27.0


(A) tran02 (active)

V(vc11)

-10V -8V -6V -4V -2V 0V 2V 4V 6V 8V 10VV(vc21)

-10V

-5V

0V

5V

10V

Figura 3.16: Asincronizzazione, ∆α = 2, ∆β = 0.



Temperature: 27.0


(A) tran02 (active)

V(vc11)

-5.0V -4.0V -3.0V -2.0V -1.0V 0.0V 1.0V 2.0V 3.0V 4.0V 5.0VV(vc21)

-5.0V

0V

5.0V

Figura 3.17: Quasi sincronizzazione, ∆α = ∆β = 0, 5.

3.5. CLASSIFICAZIONE DEL CAOS NELLA SINCRONIZZAZIONE 66

Definizione 3 (Regione di sincronizzazione). E lo stato in cui il si-

stema e sincronizzato, il diagramma di fase di due variabili di stato

corrispondenti, esibisce un linea retta.

Definizione 4 (Regione di sottosincronizzazione). E una condizio-

ne di sincronizzazione debole, le traiettorie si inseguono per la

maggior parte del tempo, ma qualche errore di fase persiste, figura

3.15. Sul piano di fase si osserva un ovale allungato.

Definizione 5 (Regione di asincronizzazione). Il sistema ha per-

so qualsiasi condizione di sincronizzazione, sul piano di fase si

osserva una struttura complessa.

Osservazione. Talvolta quando si perde la sincronizzazione invece

di continuare ad osservare un “fantasma” della retta di sincroniz-

zazione, si osserva una struttura incurvata. In tal caso oltre ad aver

perso la sincronizzazione, abbiamo anche smarrito l’attrattore dou-

ble scroll, le traiettorie sono divergenti: abbiamo raggiunto il ciclo

limite esterno.


3.6 Circuiti di Chua accoppiati

unidirezionalmente

Ora esamineremo la sincronizzazione in un sistema costituito da

due circuiti di Chua identici accoppiati unidirezionalmente.

Figura 3.18: Schema elettrico di circuiti di Chua ad accoppiamentounidirezionale.

Le equazioni di stato che descrivono il sistema, sono analoghe

a quelle proposte nel caso di sistema accoppiato mutuamente, ma

i termini di accoppiamento non sono piu presenti nel sottosiste-

ma forzante. Sebbene i due circuiti siano gli stessi, all’interno del

sistema accoppiato sono distinguibili, perche se il circuito forzan-

te che indichiamo con le variabili di stato x, y, z puo influenzare

il comportamento del circuito di risposta caratterizzato dalle va-

riabili di stato x′, y′, z′, il funzionamento del circuito forzante e

3.6. CIRCUITI DI CHUA ACCOPPIATI UNIDIREZIONALMENTE 68

completamente indipendente.

x = α(y− x− g(x))

y = x− y + z

z = −βy

x′ = (α + ∆α)(y′ − x′ − g(x′)) + kx(x− x′)

y′ = x′ − y′ + z′

z′ = −(β + ∆β)y′

con

g(x) = bx +12(a− b)|x + 1| − |x− 1|

g(x′) = (b + ∆b)x′ +12

[(a + ∆a)− (b + ∆b)]|x′ + 1| − |x′ − 1|

Signal Constraint

Scope2Scope1Scope

In1 Out1

Response

k1

Gain

Out1

Driver

Figura 3.19: Modello Simulink di sincronizzazione con circuiti adaccoppiamento unidirezionale.


max First-order

Iter F-count constraint Step-size optimality Procedure

0 1 565.2

1 3 569.7 0.494 1 infeasible

2 5 559.4 1 1 infeasible

3 7 556.8 0.529 1 infeasible

4 10 552.2 0.5 1 infeasible

5 12 0 0.011 4.19e+005

Successful termination. Found a feasible or optimal solution

within the specified tolerances.

k1 =

4.7812e+004

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Input to controlBidirectional/Signal Constraint

Time (sec)

Am

plitu

de

Figura 3.20: Ottimizzazione completata con successo,Gx = 4, 78kS.

3.6. CIRCUITI DI CHUA ACCOPPIATI UNIDIREZIONALMENTE 70

Circuiti di Chua completamente accoppiati

Per completare l’esplorazione sui circuiti di Chua accoppiati, pro-

poniamo la formulazione completamente accoppiata per i sistemi cao-

tici, che prevedono che l’accoppiamento tra i circuiti avvenga attra-

verso tutte le variabili di stato.

Presentiamo le equazioni di stato di circuiti di Chua completa-

mente accoppiati in forma mutua.

x = α(y− x− g(x)) + kx(x′ − x)

y = x− y + z + ky(y′ − y)

z = −βy + kz(z′ − z)

x′ = (α + ∆α)(y′ − x′ − g(x′)) + kx(x− x′)

y′ = x′ − y′ + z′ + ky(y− y′)

z′ = −(β + ∆β)y′ + kz(z− z′)

g(x) = bx +12(a− b)|x + 1| − |x− 1|

g(x′) = (b + ∆b)x′ +12

[(a + ∆a)− (b + ∆b)]|x′ + 1| − |x′ − 1|


Analogamente si procede per la scrittura delle equazioni di sta-

to di circuiti di Chua completamente accoppiati in forma unidire-

zionale.

3.7 Osservazioni conclusive

Osservazione. Abbiamo scelto di sviluppare lo studio sui circuiti di

Chua accoppiati considerando il caso con accoppiamento della so-

la variabile di stato vC1, perche e stato dimostrato nella letteratura

che questa configurazione si e rivelata particolarmente robusta al-

la variazione dei parametri e dunque particolarmente adatta per lo

sviluppo di applicazioni, come ad esempio la comunicazione con

portante caotica e celle di Chua auto-sincronizzanti .

Osservazione. Sistemi accoppiati mutuamente e unidirezionalmen-

te esibiscono risultati simili in termini di robustezza alla varia-

zione dei parametri, esistono tuttavia dei casi in cui la tecnica ad

accoppiamento unidirezionale ha prestazioni superiori.

CA

PI

TO

LO

4CONTROLLO DEL CIRCUITO

DI CHUA

4.1 Introduzione

La presenza del caos nei sistemi fisici e stata mostrata in manie-

ra esaustiva ed e un fenomeno molto comune. Tuttavia, in prati-

ca si cerca spesso di sopprimere il caos, oppure di migliorare o di

73


modificare in qualche modo le prestazioni del sistema.

Per un attrattore caotico, un approccio puo essere quello di in-

trodurre delle profonde variazioni in modo muti completamente

le sue dinamiche per raggiungere il comportamento desiderato.

Ci poniamo invece una domanda diversa: dato un attrattore

caotico come possiamo migliorare le prestazioni e raggiungere un

attrattore periodico desiderato introducendo nel sistema soltanto

delle piccole perturbazioni tempo varianti su un parametro accessibile?

Proprieta 2 (Densita). Un attrattore caotico contiene al suo interno

un’infinita di orbite periodiche instabili.

Siccome ci siamo proposti di perturbare solo minimamente il

sistema, certamente non prevediamo di creare delle orbite periodi-

che stabile che abbiamo delle proprieta sostanzialmente diverse da

quelle esistenti. Ci proponiamo di utilizzare delle orbite periodiche

instabili gia esistenti.

Algoritmo (Ott, Grebogi e Yorke). Il metodo consiste di:

1. Individuiamo delle orbite periodiche instabili con un numero limi-

tato di periodi che sono contenute nell’attrattore caotico.

75 CONTROLLO DEL CIRCUITO DI CHUA

2. Ci proponiamo di stabilizzare il sistema su una di queste orbite

periodiche instabili.

3. Studiamo questi cicli limite e ne scegliamo uno che migliori le pre-

stazioni del sistema o che sia la nostra traiettoria desiderata.

4. Individuiamo la perturbazione tempo variante del parametro che

puo stabilizzare l’orbita.

Quando ci troviamo in difficolta col raggiungimento delle pre-

stazioni desiderate, se siamo interessati ad una significativa otti-

mizzazione, abbiamo bisogno di ricorrere ad algoritmi che modifi-

chino fortemente il sistema.

Il metodo proposto e estremamente generale e permette di mi-

gliorare le prestazioni di sistemi in molte situazioni. Potremmo

desiderare di utilizzare uno stesso sistema con diversi obiettivi, op-

pure con diverse condizioni in momenti successivi, ebbene con il

metodo OGY e possibile, ma soprattutto con minimi interventi sullo

schema di controllo e percio ad un basso costo.

E interessante notare che la presenza del caos in questa situa-

zione e di notevole vantaggio. Se l’attrattore non fosse caotico, ma

4.2. ANALISI DEL METODO OGY 76

fosse ad esempio periodico, delle piccole perturbazioni indotte sul

parametro potrebbero soltanto modificare marginalmente l’orbita.

Al contrario in assenza di caos, per raggiungere diversi obiettivi

sarebbe necessario ogni volta riprogettare uno schema di controllo

opportuno.

Osservazione. Una notevole flessibilita e indispensabile per ottenere

delle forme di vita superiori, e percio si puo congetturare che il caos

sia un elemento fondamentale nei processi di controllo cerebrali.

4.2 Analisi del metodo OGY

Per semplificare l’analisi consideriamo sistemi dinamici tempo con-

tinuo in dimensione tre e che dipendano da un parametro del si-

stema che indicheremo con p.

dxdt

= F(x, p)

Ipotesi. Il paramentro p e accessibile dall’esterno per l’adattamento e il

nostro obiettivo e quello di specificare la programmazione temporale del

parametro allo scopo di raggiungere il controllo.


Ipotesi. Inoltre possiamo supporre che le equazioni dinamiche che descri-

vono il sistema non siano note, ma che conosciamo il sistema attraverso

serie temporali di una variabile scalare z(t) misurata.

Usando delle coordinate ritardate con ritardo T possiamo costrui-

re un vettore di coordinate ritardate del tipo:

X(t) = [z(t), z(t− T), z(t− 2T), . . . , z(t−MT)]

Ci interessano in particolare le orbite periodiche e le loro pro-

prieta di stabilita ed utilizzeremo X(t) per individuare un piano di

sezione per lo scopo. Su una superficie di Poincare, un’orbita pe-

riodica tempo continuo appare come un’orbite periodica tempo di-

screto , in altre parole come una successione ciclica su un insieme

finito di punti. Per studiare la stabilita dei cicli limite periodici os-

serviamo il comportamento dinamico in un intorno dei punti sulla

superficie di sezione della mappa.

Per introdurre un intorno del punto x in X, abbiamo bisogno in

generale di tante dimensioni quante sono le coordinate del pun-

to. Per i nostri scopi invece M = D − 1 e sufficiente. In cui

M = dim(X) per la successione discreta (e anche la dimensio-

4.3. VARIAZIONE DEL PARAMETRO P 78

ne della superficie di Poincare), mentre D = dim(x) per le orbite

periodiche tempo continuo.

Per cui nel caso considerato (D = 3), la sezione di Poincare e in

dimensione due.

4.3 Variazione del parametro p

Ora supponiamo che il parametro p possa essere variato in un

piccolo intorno del valore nominale p0. Senza perdere in genera-

lita possiamo ipotizzare p0 ≡ 0. Ammettiamo che l’intervallo di

variazione del parametro sia: −p∗ < p < p∗.

Consideriamo una superficie di Poincare per il vettore X, con

p = 0. Indichiamo i punti di intersezione con la superficie della

sezione con ξ1, ξ2, . . . , ξn, in cui ξk individua la coordinata del

punto sulla superficie della sezione all’ k-esima perforazione del

piano di Poincare per l’orbita X(t).

E stato dimostrato che da una successione individuata speri-

mentalmente da un attrattore caotico possiamo individuare un gran

numero di orbite periodiche.

Per semplicita di trattazione supponiamo che l’orbita desidera-


ta sia un punto fisso della sezione di Poincare, in altri termini un

ciclo limite periodo-1.

Ammettiamo che λs e λu siano autovalori ricavati sperimen-

talmente sulla superficie della sezione della mappa per un certo

punto fisso (|λu| > 1 > |λs|). Proseguiamo dicendo che es ed eu

sono autoversori nelle direzioni stabile e instabile rispettivamente.

Diciamo che ξ = ξF ≡ 0 sia il punto fisso desiderato. Ora

introduciamo un piccola perturbazione su p, da p = 0 a un diverso

valore p = p.

Le coordinate del punto fisso sul piano di Poincare si muove-

ranno da 0 a un qualche punto vicino ξF(p) e ci proponiamo di

individuare questa nuova posizione.

Per piccoli valori di p possiamo approssimare

g ,∂ξF(p)

∂p

∣∣∣∣p=0

∼=1p

ξF(p)

che ci permette l’individuazione sperimentale del vettore g.

In un intorno di ξ = 0, possiamo usare l’approssimazione li-

neare della mappa:

ξn+1 − ξF(p) ∼= M[ξn − ξF(p)]

in cui M e una matrice 2× 2.

4.4. PROPRIETÀ DEL METODO OGY 80

Sapendo che ξF(p) ∼= pg, abbiamo

ξn+1∼= png + [λueufu + λsesfs] · [ξn − png]. (4.1)

Nella linearizzazione abbiamo considerato che pn fosse piccolo

e dello stesso ordine di grandezza di ξn. Tutte le grandezze g, eu,

es, λu e λs sono sperimentalmente accessibili attraverso la tecnica

delle serie temporali ritardate.

Inoltre fu e fs sono vettori della base controvariante, definiti dalle

relazioni di ortogonalita:

fs · es = fu · eu = 1, fs · eu = fu · es = 0.

4.4 Proprieta del metodo OGY

Abbiamo espresso la posizione del punto fisso attraverso l’espres-

sione png, perche immaginiamo di modificare p ad un nuovo valo-

re pn ad ogni giro attorno alla superficie della sezione. In altre pa-

role, osserviamo ξn e modifichiamo il valore di p al nuovo valore

pn. Si ha che pn dipende da ξn. Inoltre ci proponiamo di introdur-


re soltanto delle piccole perturbazioni quando gia l’orbita cade in

prossimita del punto fisso desiderato, nell’esempio per p = 0.

Ora ammettendo che ξn sia vicino al punto fisso desiderato

allora applichiamo la legge (4.1).

Il controllo sara applicato soltanto quando l’orbita dell’attratto-

re passi in un intorno del punto fisso desiderato, altrimenti l’azione

di controllo e annullata, il sistema e come se fosse non controllato.

Chi ci assicura che l’orbita del sistema dinamico passera mai

vicino al punto fisso desiderato.

Proprieta 3 (di ergodicita). Su lunghi intervalli temporali, il tempo

trascorso da una particella in una qualche regione dello spazio di

fase alla medesima distanza dal punto di equilibrio e proporziona-

le alla misura della superficie della regione. In altre parole regioni

in cui si sviluppa l’attrattore sono equiprobabili asintoticamente.

Siccome l’orbita dell’attrattore caotico non controllato e ergo-

dica, esistera sicuramente un istante in cui l’orbita passera nel-

la regione sufficientemente vicina all’orbita desiderata, per cui il

controllo sara raggiungibile.

• Per creare un’orbita stabile ci sara un certo periodo di transi-

4.4. PROPRIETÀ DEL METODO OGY 82

torio caotico, in cui l’orbita e simile a quella del sistema non

controllato.

• L’influenza del rumore sul funzionamento del nostro control-

lore e legata all’intensita di rumore che non deve mai supera-

re l’intensita della perturbazione indotta pena l’invalidazione

del controllo.

BIBLIOGRAFIA

[1] M. P. Kennedy. Three steps to chaos–part i: Evolution.

IEEE Trans. Circuits Syst. - I: Fundamental Theory Applications,

40(10):640–656, October 1993.

[2] M. P. Kennedy. Three steps to chaos–part ii: A chua’s cir-

cuit primer. IEEE Trans. Circuits Syst. - I: Fundamental Theory

Applications, 40(10):657–674, October 1993.

[3] R. N. Madan. Observing and learning chaotic phenomena

from chua’s circuit. IEEE Trans CAS, 1992.

[4] M. P. Kennedy. Robust op amp realization of chua’s circuit.

Frequenz, 46:66–80, 1992.

[5] L. 0. Chua. A zoo of strange attractors from the canoni-

cal chua’s circuits. IEEE Trans. Circuits Syst. - I: Fundamental

Theory Applications, 1992.

83

84

[6] L. 0. Chua, C. W. Wu, A. Huang, and G. Q. Zhong. A uni-

versal circuit for studying and generating chaos, part i: Rou-

tes to chaos. IEEE Trans. Circuits Syst. - I: Fundamental Theory

Applications, 40(10), October 1993.

[7] L. 0. Chua, C. W. Wu, A. Huang, and G. Q. Zhong. A univer-

sal circuit for studying and generating chaos, part ii: Strange

attractors. IEEE Trans. Circuits Syst. - I: Fundamental Theory

Applications, 40(10), October 1993.

[8] Steven H. Strogatz. Nonlinear Dynamics and Chaos. Perseus

Books, 1994.

[9] Stephen Wiggins. Introduction to applied nonlinear dynamical

systems and chaos. Springer-Verlag, 1990.

[10] J. Guckenheimer and P. Holmes. Nonlinear Oscillations, Dyna-

mical Systems and Bifurcations of Vector Field. Springer-Verlag,

1983.

[11] Kathleen Alligood, Tim Sauer, and James A. Yorke. Chaos - An

Introduction to Dynamical Systems. Springer-Verlag, 1996.

85 BIBLIOGRAFIA

[12] Edward Ott. Chaos in Dynamical Systems. Cambridge

University Press, 1993.

[13] Yuri A. Kuznetsov. Elements of Applied Bifurcation Theory.

Springer-Verlag, second edition, 1998.

[14] Heinz G. Schuster and Wolfram Just. Deterministic Chaos – An

Introduction. WILEY-VCH Verlag, fourth edition, 2005.

[15] Sergio Rinaldi. Appunti del corso di dinamiche non lineari.

[16] Giovanni Amato. Realizzazione di un circuito caotico di chua

con regolazione digitale. Universita degli Studi di Napoli

Federico II, 2006.

[17] Emilio Malagisi. Simulazione spice di un circuito caotico di

chua e confronto con le misure. Universita degli Studi di

Napoli Federico II, 2007.

[18] Vladimir I. Arnol’d. Ordinary differential equations. Springer-

Verlag, third edition, 1992.

[19] William E. Boyce and Richard C. DiPrima. Elementary Diffe-

rential Equations and Boundary Value Problems. Wiley, eighth

edition, 2005.

86

[20] Katsuhiko Ogata. Modern control engineering. Prentice Hall,

third edition, 1997.

[21] L. 0. Chua. The genesis of chua’s circuit. Archiv fur Elektro-

nik und Ubertragungstechnik, 46(4):250–257, 1992. Storia del

circuito di Chua.

[22] R. N. Madan. Special issue on chua’s circuit: A paradigm for

chaos. J. Circuits Syst. Comput., 3, Mar. (Part I) and June (Part

II) 1993.

[23] R. N. Madan, editor. Chua’s Circuit: A Paradigm for Chaos.

World Scientific, 1993. C. P. Silva, The double hook attractor in

Chua’s circuit: Some analytical results, contiene 56 documenti

di ricerca.

[24] L. O. Chua, M. Komuro, and T. Matsumoto. The double scroll

family, parts i and ii. IEEE Trans. Circuits Syst., 33(11):1073–

1118, 1986.

[25] S. Wu. Chua’s circuit family. Proc. of the IEEE, 75(8):1022–1032,

1987.

87 BIBLIOGRAFIA

[26] G. Chen and X. Dong. From Chaos to Order. World Scientific,

1998.

[27] L. O. Chua. Global unfolding of chua’s circuit. IEICE Trans.

Fundamentals, E76-A:704–734, 1993.

[28] K. Murali, M. Lakshmanan, and L. O. Chua. Simplest dissipa-

tive nonautonomous chaotic circuit. IEEE Trans. Circuits Syst.,

41:462–463, 1994.

[29] M. P. Kennedy and C. W. Wu. ABC: Adventures in bifurcation

and chaos, volume Chua’s Circuit: A Paradigms for Chaos, R.

N. Madan. World Scientific, 1993.

[30] L. O. Chua and G. N. Lin. Canonical realization of chua’s

circuit family. IEEE Trans CAS, 37(7):885–902, 1990.

[31] L. O. Chua, M. Komuro, T. Matsumoto, and R. Tokunaga.

Chaos via torus breakdown. IEEE Trans CAS, 34(3):240–253,

1987.

[32] Leonid P. Shil’nikov. Chua’s circuit: Rigorous results and fu-

ture problems. IEEE Trans. Circuits Syst., 40(10):784–786, Oc-

88

tober 1993. Fornisce una visione matematica del circuito di

Chua.

[33] Leon 0. Chua and Rabinder N. Madan. Sights and sounds of

chaos. IEEE Circuits and Devices Magazine, january 1988.

[34] M. Hasler and J. Neirynck. Non Linear Circuits. Artech House,

1986.

[35] L. 0. Chua, C. A. Desoer, and E. S. Kuh. Linear and Nonlinear

Circuits. McGraw-Hill, 1969.

[36] M. de Magistris. Appunti di teoria dei circuiti, parte i: Appro-

fondimenti sul modello circuitale e circuiti non lineari. Uni-

versita degli Studi di Napoli Federico II, Facolta di Ingegneria,

dpt Ingegneria Elettrica, October 2007.

[37] M. Gilli and G. Miano. Comportamento dinamico di circuiti

non lineari, parte i: Analisi qualitativa delle soluzioni. Scuola

Nazionale Dottorandi di Elettrotecnica Ferdinando Gasparini,

June 2003.

[38] M. Gilli and G. Miano. Comportamento dinamico di circuiti

non lineari, parte ii: Birfurcations and chaos. Scuola Nazio-

89 BIBLIOGRAFIA

nale Dottorandi di Elettrotecnica Ferdinando Gasparini, June

2003.

[39] J. E. Slotine and W. Li. Applied Nonlinear Control. Prentice Hall,

1991.

[40] D. P. Stoten and M. di Bernardo. Application of the minimal

control synthesis algorithm to the control and synchronisa-

tion of chaotic systems. International Journal of Bifurcation and

Chaos, 1996.

[41] M. di Bernardo. An adaptive approach to the control and

synchronization of chaotic systems. Int. J. Bifurcation Chaos,

6:557–568, 1996.

[42] G. Q. Zhong, K. T. Ko, and K. F. Man. Robustness of synchro-

nization in coupled chua’s circuits. In Proceedings of the Chi-

na Fourteenth Conference on Circuits and Systems (NCCAS’98),

1998.

[43] Maciej J. Ogorzałek. Taming chaos–part i: Synchroniza-

tion. IEEE Trans. Circuits Syst. - II Analog and Digital Signal

Processing, 40(10), October 1993.

90

[44] H. Dedieu, M. P. Kennedy, and M. Hasler. Chaos shift keying:

Modulation and demodulation of a chaotic carrier using self-

synchronizing chua’s circuits. IEEE Trans. Circuits Syst. - II

Analog and Digital Signal Processing, 40(10), October 1993.

ELENCO DELLE FIGURE

0.1 Mappa delle idee chiave. . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv

0.2 Attrattore di Chua double scroll. . . . . . . . . . . . . . xvi

0.3 Struttura geometrica dell’attrattore double scroll. . . . . xvi

0.4 Traiettoria d’errore con il controllo inserito. . . . . . . . xvii

0.5 Schema di principio della stabilizzazione secondo il me-

todo OGY. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii

1.1 Circuito di Chua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Oscillatore di Chua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Caratteristica universale per il resistore non lineare NR. 4

1.4 Ritratto di fase vC1 − vC2, punto fisso stabile R ¿ 1586Ω. 8

1.5 Ciclo limite stabile periodo-1, R = 1546Ω. . . . . . . . . 8



1.8 Spirale di Chua, R = 1528Ω. . . . . . . . . . . . . . . . . 10

91


1.9 Ciclo limite periodo-3, R = 1524Ω. . . . . . . . . . . . . 13

1.10 Forma d’onda di vC1 del ciclo limite periodo-3, R =

1524Ω. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.11 Intermittenza intorno alla finestra periodo-3, R = 1523Ω. 14

1.12 Forma d’onda di vC1 dell’intermittenza, R = 1523Ω. . . 14

1.13 Attrattore di Chua double scroll, R = 1507Ω. . . . . . . 16

1.14 Finestra 5− 5, R = 1480Ω. . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.15 Finestra 4− 4, R = 1468Ω. . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.16 Finestra 3− 3, R = 1449Ω. . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.17 Finestra 3− 2, R = 1437Ω. . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.18 Finestra 2− 2, R = 1417Ω. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.19 Finestra 2− 1, R = 1409Ω. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.20 Attrattore periodico esterno, R = 1396Ω. . . . . . . . . 20

1.21 Attrattore 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.22 Attrattore 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.23 Attrattore 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1 Caratteristica universale per il resistore non lineare NR. 32

2.2 Circuito equivalente del circuito di Chua nella regione

D0, con Ra = 1/Ga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

93 Elenco delle figure

3.1 Circuito di Chua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2 Schema blocchi delle equazioni di stato del circuito di

Chua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3 Schema elettrico di circuiti di Chua ad accoppiamento

bidirezionale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.4 Modello Simulink di sincronizzazione con circuiti ad

accoppiamento bidirezionale. . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.5 Forme d’onda di vC1 sulle due celle e forma d’onda dif-

ferenza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.6 Primo tentativo di ottimizzazione, Gx < 2kS. . . . . . . 55

3.7 Secondo tentativo di ottimizzazione, Gx < 4, 5kS. . . . . 56

3.8 Terzo tentativo, completato con successo Gx = 26, 33kS. 57

3.9 Schema di cosimulazione Simulink/PSpice. . . . . . . . 58

3.10 Finestra di dialogo dell’interfaccia SLPS. . . . . . . . . . 59

3.11 Figura di Lissajous di avvenuta sincronizzazione. . . . 60

3.12 Forme d’onde sincronizzate per le variabili di stato vC1

e v′C1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.13 Inserimento del controllo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.14 Transitorio di sincronizzazione. . . . . . . . . . . . . . . 62

3.15 Sottosincronizzazione, ∆α = 1.1, ∆β = 0. . . . . . . . . 64


3.16 Asincronizzazione, ∆α = 2, ∆β = 0. . . . . . . . . . . . 64

3.17 Quasi sincronizzazione, ∆α = ∆β = 0, 5. . . . . . . . . . 65

3.18 Schema elettrico di circuiti di Chua ad accoppiamento

unidirezionale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.19 Modello Simulink di sincronizzazione con circuiti ad

accoppiamento unidirezionale. . . . . . . . . . . . . . . 68

3.20 Ottimizzazione completata con successo, Gx = 4, 78kS. 69

INDICE ANALITICO

Accessibilita, 78

Accoppiamento bidirezionale,

49

Accoppiamento lineare, 45

Accoppiamento unidireziona-

le, 49

Aggiunta di periodo, 7

Algoritmo a grossa perturba-

zione, 77

Algoritmo di Ott, Grebogi e Yor-

ke, 76

Analisi paramentrica, 49

Asincronizzazione, 65

Attrattore di Chua a doppia spi-

rale, 17

Attrattore di Chua a spirale,

17

Attrattore di Rossler, vedi At-

trattore di Chua a spi-

rale

Attrattore double scroll, vedi At-

trattore di Chua a dop-

pia spirale

Attrattore strano, 7

Attrattore toroidale, 26

Attrattori col solo resistore li-

neare attivo, 8

Base controvariante, 82

95

96

Biforcazione, 7

Biforcazione di Andronov-Hopf,

9

Biforcazione tangente, 13

Celle di Chua autosincroniz-

zanti, 73

Ciclo limite, 7

Ciclo limite esterno, 17

Ciclo limite periodo-3, 13

Ciclo limite periodo-4, 17

Ciclo limite stabile periodo-2,

9

Circuito canonico, 4

Completo accoppiamento, 72

Comportamento desiderato, 76

Coniugato topologico, 4

Convergenza, 44

Coordinata ritardata, 79

Definitivamente passivo, 17

Diagramma di biforcazione, 18

Dinamica complessa, 40

Diodo di Chua, 3

Distruzione del toro, 8

Divergenza, 44

Esponenti condizionali di Lya-

punov, 48

Fantasma, 14, 68

Figure di Lissajous, 49

Funzionamento coerente, vedi

Sincronizzazione

Intermittenza, 7

Orbita tempo discreto, 79

Oscillatore di Chua, 4

Osservazione sperimentale, 7

Paradigma universale per la ge-

nerazione del caos, 4

Paramentro di biforcazione, 7

97 INDICE ANALITICO

Parametro accessibile, 76

Perturbazione, 49

Piccola perturbazione, 76

Primo teorema di Kocarev, 45

Punto fisso, 7

Quasi sincronizzazione, 65

Raddoppiamento del periodo,

7

Robustezza, 49

Rotta al caos Ruelle-Takens-Newhouse,

vedi Distruzione del to-

ro

Secondo teorema di Kocarev,

45

Serie temporale, 79

Sistemi complessi, 42

Sottosincronizzazione, 65

Sottosistema di risposta, 47

Sottosistema forzante, 47

Stabilita secondo Lyapunov, 44

Teorema di Pecora-Carroll, 48

Variazioni qualitative, 7

Verifica, 59

Date post:	20-Feb-2019
Category:	Documents
Upload:	duongthuy
View:	216 times
Download:	0 times

niversi T à S T N F II - Elettrotecnica · gia stato realizzato un circuito di Chua, interfacciato...

Documents