Date post: | 03-May-2015 |
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Numeri Complessi
“Radici quadrate di numeri negativi”
Perchè?
Problema:Cardano, Ars Magna cap.XXXVII, (1545)
Dividi 10 in due parti il cui prodotto è 40
Girolamo Cardano (Pavia, 24 settembre 1501 – Roma, 21 settembre 1576?)
Problema:Cardano, Ars Magna cap.XXXVII, (1545)
Dividi 10 in due parti il cui prodotto è 40
le soluzioni sono:
Problema:Cardano, Ars Magna cap.XXXVII, (1545)
Dividi 10 in due parti il cui prodotto è 40
le soluzioni sono:
Girolamo Cardano (1501 – 1576?)
Così progredisce la sottigliezza aritmetica il cui fine, come si dice, è
tanto raffinato quanto inutile.”
“Lasciando da parte le torture mentali connesse:
“E’ giusto che le radici delle equazioni siano
spesso impossibili [complesse], per esibire casi di problemi impossibili.”
Newton (1728)
Equazioni di terzo grado
Niccolò Tartaglia, soprannome di Niccolò Fontana
(Brescia, 1499 – Venezia 1557)
Gerolamo Cardano (Pavia 1501 – Roma, 1576?)
Scipione del Ferro (Bologna,1465 – Bologna, 1526)
Lodovico Ferrari (1522 –1565)
?
Caso Irriducibile
le soluzioni sono:
Caso Irriducibile
le soluzioni sono:
Usando la formula risolutiva
Caso Irriducibile
le soluzioni sono:
?Viene introdotto il
simbolo
“Né le vere né le false [negative] radici
sono sempre reali; talvolta esse sono
immaginarie.”Descartes, Géométrie
(1637)
Haye en Touraine, 31 marzo 1596 – Stoccolma, 11 febbraio 1650)René Descartes
“Lo Spirito Divino trovò una via d’uscita sublime
in quel mostro dell’analisi, quel portento del mondo ideale,
quell’anfibio fra essere e non essere, che chiamiamo
radice immaginaria dell’unità negativa.”
Leibniz (1702)
“Dove sono i Numeri complessi?”
Rappresentazione grafica
1 2 3 4-1-2 0
Numeri reali
1/2
Retta reale
1 2 3 4
i
2i
3i
-i
-2i
-1-2
4+2i
Numeri complessi
Piano complesso o piano di Argand-Gauss
Karl Friederich Gauss,(Braunschweig, 1777 – Gottinga,1855)
Jean-Robert Argand
(Ginevra 1768 – Parigi, 1822)
Asse immaginario
Asse reale
w=2-i
Numeri complessi
Asse immaginario
Asse reale
w=2-i
Numeri complessi
Numeri complessimodulo di z= distanza di z dall’origine
Numeri complessimodulo di z= distanza di z dall’origine
Numeri complessimodulo, parte reale, parte immaginaria
1 2 3 4
i
2i
3i
-i
-2i
-1-2
Numeri complessi
Opposto di w
1 2 3 4
i
2i
3i
-i
-2i
-1-2
Numeri complessi
-w = opposto di w
1 2 3 4
i
2i
3i
-i
-2i
-1-2
Asse immaginario
Asse reale
Numeri complessi
coniugato di z
1 2 3 4
i
2i
3i
-i
-2i
-1-2
Asse immaginario
Asse reale
Numeri complessi
Opposto e coniugato
Numeri complessi
Numeri complessi
Numeri complessi
Numeri complessi
4
2i
-i
-1
z=4+2i
Rappresentazione trigonometrica
|z|
Modulo di z
Argomento di z
4
2i
-i
-1
z=4+2i
Rappresentazione trigonometrica
4
2i
-i
-1
z=4+2i
Rappresentazione trigonometrica
|z|
Modulo di z
4
2i
-i
-1
z=4+2i
Rappresentazione trigonometrica
|z|
Modulo di z
Argomento di z
4
2i
-i
-1
z=4+2i
Rappresentazione trigonometrica
|z|
Modulo di z
Argomento di z
Rappresentazione Algebrica e Trigonometrica
Rappresentazione Algebrica e Trigonometrica
Rappresentazione Algebrica e Trigonometrica
Operazioni con Numeri Complessi
Operazioni con Numeri Complessi
Somma:
Operazioni con Numeri Complessi
Somma:
Prodotto: quadrati, cubi,...
Operazioni con Numeri Complessi
Somma:
Prodotto: quadrati, cubi,...
Radici: quadrate, cubiche,...
Operazioni con Numeri Complessi
Somma:
Prodotto: quadrati, cubi,...
Radici: quadrate, cubiche,...
Esponenziali:
Operazioni con Numeri Complessi
Somma:
Prodotto: quadrati, cubi,...
Radici: quadrate, cubiche,...
Esponenziali:
Somma di numeri complessi
Somma di numeri complessi
Somma di numeri complessi
Esempio
1 2 3 4
i
2i
3i
-i
-2i
-1-2
z=4+2i
Asse immaginario
Asse reale
w=2-i
65
Somma di numeri complessi
Regola del Parallelogramma
1 2 3 4
i
2i
3i
-i
-2i
-1-2
z=4+2i
Asse immaginario
Asse reale
w=2-i
65
z+w=6+i
Somma di numeri complessi
Regola del Parallelogramma
1 2 3 4
i
2i
3i
-i
-2i
-1-2
z=4+2i
Asse immaginario
Asse reale
w=2-i
65
z+w=6+i
Somma di numeri complessi
Regola del Parallelogramma
Modulo della differenza di due numeri complessi
1 2 3 4
i
-i
-2i
-1-2 65
Modulo della differenza di due numeri complessi
1 2 3 4
i
-i
-2i
-1-2 65
Modulo della differenza di due numeri complessi
1 2 3 4
i
-i
-2i
-1-2 65
Modulo della differenza di due numeri complessi
1 2 3 4
i
-i
-2i
-1-2 65
Modulo della differenza di due numeri complessi
1 2 3 4
i
-i
-2i
-1-2 65
Prodotto di numeri complessi
Prodotto di numeri complessi
Prodotto di numeri complessi
Prodotto di numeri complessi
Prodotto di numeri complessi
Prodotto di numeri complessi
Prodotto di numeri complessi
i
1
Prodotto di numeri complessi
i
1
Prodotto di numeri complessi
i
1
Prodotto di numeri complessi
i
1
Inverso del numero complesso:
i
1
Inverso del numero complesso:
i
1
Inverso del numero complesso:
Inverso del numero complesso
in forma trigonometrica:
in forma algebrica:
Esercizi
Scrivi in forma algebrica:
Scrivi in forma trigonometrica:
Potenze di numeri complessi
i
1
a
i
1
r
i b
Potenze di z=1+i
Potenze di z=1+i
Potenze di z=1+i
Potenze di z=1+i
Potenze di z=1+i
Esercizi
Disegnate sul piano di Gauss:
Radici di un numero complesso
Le radici quadrate di un numero complesso z sono tutti quei numeri che elevati al
quadrato danno z.
Supponiamo che:
allora se e solo se
Radici quadrate dell’unità immaginaria
se e solo se
cioè se
Radici quadrate di i
Radici quadrate di i
Radici terze di un numero complesso
Le radici terze di un numero complesso z sono tutti quei numeri che elevati al cubo
danno z.
Supponiamo che:
allora se e solo se
Radici cubiche di i:
Radici cubiche di i:
Radici cubiche di i:
Radici cubiche di i:
Radici cubiche:
Radici cubiche:
Radici quarte:
Radici quarte:
Se allora
Se allora
Se allora
Se allora
Se allora
Se allora
Se allora
ha 2 soluzioni
ha 3 soluzioni
ha n soluzioni
Teorema fondamentale dell’algebra
ha sempre
L’equazione
soluzioni nel campo complesso.
Karl Friederich Gauss,(Braunschweig, 1777 – Gottinga,1855)
Teorema fondamentale dell’algebra
ha sempre
L’equazione
(Contandole con la loro molteplicità)
soluzioni nel campo complesso.
Algebra
Algebra
Algebra