Date post: | 01-May-2015 |
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OLIMPIADI
DI
FISICA
a.s. 2008/2009
OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 20092 2
ELEMENTI DI GONIOMETRIA
• PQ=sen OQcos• RS=tgsen /cos
O
P
Q
R
S
OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 20093 3
ELEMENTI DI TRIGONOMETRIA
CB = AC sen AB = AC cos CB = AB tg AB = BC tg
A B
C
OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 20094 4
CRITERI DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI(geometria euclidea)• 1° Due triangoli sono congruenti se e solo se
hanno rispettivamente congruenti due lati e l’angolo compreso.
• 2° Due triangoli sono congruenti se e solo se hanno rispettivamente congruenti un lato e due angoli.
• 3° Due triangoli sono congruenti se e solo se hanno congruenti i lati corrispondenti
OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 20095 5
RISOLUZIONE TRIANGOLI RETTANGOLI(conseguenze di Euclide)Un triangolo rettangolo è
completamente risolto se sono noti:
1. I due cateti2. Un cateto e l’ipotenusa3. Un cateto e un angolo acuto4. L’ipotenusa e un angolo acuto
OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 20096 6
RISOLUZIONE TRIANGOLI RETTANGOLI(conseguenze di Euclide)• 1°; noti i due cateti
• r2=x2+y2
• y/x = tg = arctg y/x= tg-1 y/x• x/y = tg = arctg x/y= tg-1 x/y
A B
C
x
y
r
OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 20097 7
RISOLUZIONE TRIANGOLI RETTANGOLI(conseguenze di Euclide)• 2°; noti un cateto e l’ipotenusa
x2= r2 - y2 ; y2= r2 - x2
x = r cos x = r sen cos = sen = x/r = sen-1 x/r = cos-1 x/r
A B
C
x
y
r
OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 20098 8
RISOLUZIONE TRIANGOLI RETTANGOLI(conseguenze di Euclide)• 3°; noti un cateto e l’angolo acuto
x = r cos r = x/ cos y/x = tg ; y= x tg
A B
C
x
y
r
OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 20099 9
RISOLUZIONE TRIANGOLI RETTANGOLI(conseguenze di Euclide)
4°; noti l’ipotenusa e l’angolo acuto
x = r cos y = r sen
A B
C
x
y
r
OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 200910 10
EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO
• Con l’avvento della fisica galileana viene abbanonata l’idea della ricerca dell’essenza della forza puntando l’attenzione sugli effetti delle forze sui corpi materiali. L’introduzione del concetto di forza ha come conseguenze:
• possibili deformazioni dei corpi vincolati
• moto non rettilineo e non uniforme
OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 200911 11
EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO
• Spesso l’azione di una forza provoca delle deformazioni trascurabili rispetto allo spostamento, tale effetto porta ad introdurre il concetto di corpo rigido esteso (cioè un corpo le cui dimensioni spaziali variano in maniera trascurabile in seguito all’azione della forza). Tale concetto è puramente astratto ma utile per trattare l’equilibrio statico dei corpi.
OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 200912 12
EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO
• Inoltre, è necessario introdurre anche i concetti di corpo libero e corpo vincolato.
• Per corpo libero si intende un corpo che non ha alcuna limitazione direzionale legata al moto, mentre per corpo vincolato si intende un corpo a mobilità ridotta.
OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 200913 13
OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 200914 14
AZIONE DI FORZE SU UN CORPO RIGIDO
• Nel caso in cui su un corpo rigido agiscono più forze esso si muoverà lungo la risultante
F1
F2 FR
OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 200915 15
EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO
• Nel caso in cui la risultante FR fosse nulla il centro di massa del corpo rimane in quiete o si muove di moto rettilineo uniforme
Fi =0
OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 200916 16
EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO
• La condizione Fi =0 non è sufficiente a garantire l’equilibrio del corpo rigido.
• Infatti applicando una coppia di forze (antiparallele, stesso modulo) il moto di rotazione del corpo subirà una variazione.
F1
F2
OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 200917 17
EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO: Momento di una forza
• La rotazione del corpo è dovuto al Momento M. Il modulo del momento rispetto ad un punto è dato dal prodotto del modulo della forza F per il braccio b.
F
O
B
b
OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 200918 18
EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO: Momento di una forza
• Nel caso di un corpo esteso sottoposto all’azione di una forza F che forma con il corpo un angolo con la sua direzione, si ha:
M = F sen b
F
b
OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 200919 19
EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO:
• Condizione necessaria e sufficiente affinché un corpo in quiete permanga in equilibrio statico sia rispetto alla traslazione sia rispetto alla rotazione, è:
1. Fi =0
2. Mi =0i = 1,2,3,4,5 …….
Equazioni cardinali della statica
OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 200920 20
PROBLEMA 1
• Un cubetto di massa m è poggiato sul piano orizzontale, sia inoltre il coefficiente di attrito statico con la superficie di contatto con il piano. Una sbarra di massa M=2m e di lunghezza l è incernierata ad una estremità A e forma un angolo con la perpendicolare al piano orizzontale, come mostrato in figura.
• Il contatto in B tra la sbarra e il cubetto, privo di attrito, si trova ad una distanza da A pari a 4/5 l. Trovare il coefficiente di attrito statico in funzione dell’angolo , che permetta al sistema di mantenersi in quiete.
OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 200921 21
Figura
AB =4/5 l
A
B
P
F
OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 200922 22
Applicazione equazioni cardinali
l /2 Mg sen = F 4/5 lF cos = (mg + F sen )
M=2m
F= 5/8 Mg sen mg sen F cos = (mg + F sen )F= mg sen
5/4 mg sen cos = (mg + mg sen2 )
2°
OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 200923 23
…………..
5/4 mg sen cos = (mg + mg sen2 )
5/4 sen cos = (1 + 5/4 sen2 )
=5 sen cos / ( 4 + 5 sen2 )
OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 200924 24
Considerazioni……..
La relazione trovata per il coefficiente di attrito statico
= 5 sen cos / ( 4 + 5 sen2 )evidenzia:• dipendenza solo dal rapporto tra le masse
dell’asta e del blocchetto;• dipendenza dal rapporto della lunghezza l
dell’asta e del tratto AB e non dalla lunghezza l;• indipendenza dalla forma del blocchetto
(parallelepipedo);• indipendenza da g.
OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 200925 25
2° caso
Riscrivendo le precedenti equ. cardinali l /2 Mg sen = F 4/5 lF cos = (mg + F sen )
• Per un generico rapporto tra le masse M/m= H
• Per un generico rapporto tra AB ed l AB/l=KSi ha:
OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 200926 26
2° caso
l /2 Mg sen = F K lF cos = (mg + F sen ) AB/l=K
M/m=H
F= (Mg sen 2KF cos = (mg + F sen )
F= H mg sen 2KH/2K) mg sen cos = (mg + H/2K)mg sen2 )
OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 200927 27
2° caso
H/2K) mg sen cos = (mg + H/2K)mg sen2
(H/2K) sen cos = (+ H/2K)sen2
H sen cos / ( 2K + H sen2 )
OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 200928 28
3°
• Lasciando inalterate tutte le precedenti condizioni, ma variando le dimensioni del blocchetto ci si troverebbe nella situazione della figura successiva …….
OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 200929 29
3°caso figuraAB/l= 4/51 > cos1 < cos
Il coefficiente di spinta diminuisceA
B
1
1
OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 200930 30
2°problema
• Tre cubetti di masse m1,m2,m3 sono disposti su un piano inclinato come in figura. Siano 1, 2, 3 i coefficienti di attrito statico tra le superfici del piano inclinato e quelle dei tre blocchi rispettivamente, con 1 > 2 > 3.
Trovare il valore dell’angolo limite per cui l’intero sistema si mantiene in condizioni statiche, in funzione dei coefficienti d’attrito e delle masse. Trovare, inoltre, l’espressione delle forze che si esercitano tra le pareti a contatto dei corpi.
OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 200931 31
2° problema …… figura
1 > 2 > 3
1
23
F1
F2
OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 200932 32
2° problema
Il sistema rimane statico finché il corpo 1 resta in quiete.
Forza risultante sul cubetto 1 lungo il piano inclinato:
• m1 g sen +F1 – 1 m1 g cos = 0
Poiché 1 > 2 > 3 i corpi 2 e 3 superano le condizioni limite prima del corpo 1.
F1 modulo della forza risultante su 1, lungo il piano, dovuta alla spinta di 2 e 3:
• F1 = (m2+m3) g sen – (2 m2 + 3 m3 )g cos
OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 200933 33
2° problema
Da cui:
• m1 g sen +(m2 + m3) g sen – (2 m2 + 3 m3 )g cos – 1 m1 g cos = 0
• (m1+m2+ m3)sen – (1m1 + 2m2 + 3m3) cos =0
• (m1+m2+ m3)sen = (1m1 + 2m2 + 3m3) cos
Da cui si ottiene:
• tg = (1m1 + 2m2 + 3m3) / (m1+m2+ m3)
(media pesata sulle masse)
OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 200934 34
2° problema
F2 modulo della forza risultante tra i corpi 2,3:
F2 = m3 g sen – 3 m3 g cos
Le condizioni di equilibrio per i tre corpi sono: ?????
OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 200935 35
2° problema
m1 g sen + F1 – 1 m1 g cos
m2 g sen +F2 –F1 – 2 m2 g cos
m3 g sen -F2– 3 m3 g cos
1
23
OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 200936 36
Considerazioni
Affinché il sistema sia in equilibrio statico nel caso: a)1>2 >3
si deve avere• (m2+m3) g sen – F1 – (2 m2 + 3 m3 )g cos ≤
da cui• F1 ≥ (m2+m3) g sen – (2 m2 + 3 m3 )g cos Sostituendo in (*)• m1gsen+(m2+m3)gsen –(2m2+ 3m3)gcos–
1m1gcos≤ • m1sen+(m2+m3)sen –(2m2+ 3m3)cos– 1m1cos≤ • (m1+m2+m3)sen –(1m1 + 2m2+ 3m3)cos≤
• tg ≤ (1m1 + 2m2 + 3m3) / (m1+m2+ m3)
OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 200937 37
Problema 2
Dalla condizione di equilibrio (*)
• m1 g sen + F1 – 1 m1 g cos si ha
• F1 =(1 cos –sen m1 g inoltre
• F1 =(m2+m3) g sen – (2 m2 + 3 m3 )g cos
Dalla (**) si ha:F1 (sen – 2 cos m2 g+F2sostituendo
(m2+m3)sen–(2 m2+3m3)cos(sen–2cosm2+F2
Dalla (***) si ha:F2 = m3 g sen – 3 m3 g cos
OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 200938 38
Considerazioni:
b) Nel caso in cui 1 >3>2 si possono presentare due sottocasi:
• b1) i corpi 2 e 3 superano l’angolo limite prima del corpo 1 e si rientra così nel caso a)
• b2) l’insieme dei corpi 1 e 2 supera l’angolo limite prima del corpo 3.
OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 200939 39
Considerazioni:
m2g sen – 2 m2 g cos m1gsen –1m1gcos
m1 +m2sen = (1m1 + 2 m2 ) cos
tg = (1m1 + 2m2 ) / (m1+m2)
Media pesata sulle masse m1 ,m2
OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 200940 40
Considerazioni
• C) Nel caso in cui 2 >3>1 il corpo 1 non risente delle azioni dei corpi 1 e 2 per cui:
tg = 1
OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 200941 41
Considerazioni
• d) Nel caso in cui 2 >1>3 si possono presentare due sottocasi:
• d1) l’insieme dei corpi 2 e 3 supera l’angolo limite prima del corpo 1 e si rientra nel caso a)
• d2) il corpo 1 supera l’angolo limite prima dell’insieme dei corpi 2 e 3 e si rientra nel caso c).
OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 200942 42
Considerazioni
e) Nel caso in cui 3 > 2 > 1 si rientra nel caso c)
tg = 1
f) Nel caso in cui 3 > 1 > 2
l’insieme dei corpi 1 e 2 supera la condizione limite prima del corpo 3 e si rientra nel caso b).
OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 200943 43
Problema 3
OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 200944 44
m1
m3
m2
x yd
α β
m1
m3
m2
x yd
α β
m1
m3
m2
x yd
α β
m1
m3
m2
x yd
α β
m1
m3
m2
x yd
α β
m1
m3
m2
x yd
α β