Applicazionidella
matematica
PellizzariPaolo
Introduzione
Ottimizzazione
Idee
ES
TSP
Sistemicomplessi
Modelli adagenti
Conclusioni
Ottimizzazione e modelli ad agenti
Paolo Pellizzari
Dipartimento di EconomiaCa’ Foscari - Venezia
Vittorio Veneto, 24 Maggio 2011
Applicazionidella
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Introduzione
Ottimizzazione
Idee
ES
TSP
Sistemicomplessi
Modelli adagenti
Conclusioni
Introduzione
Metodi moderni per l’ottimizzazione.1 Esempi e definizione del problema.2 Grandi problemi, grandi idee. . .3 Strategie evolutive.
Il problema del commesso viaggiatore (TSP, Travellingsalesman problem).Modelli ad agenti, microsimulazione e sistemicomplessi.
1 Cos’è un sistema complesso?2 Idee.3 Esempi.
Il fil rouge è l’uso di tecniche computazionali.
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Ottimizzazione
Minimizzare il costo di produzione, massimizzare ilprofitto di una campagna di vendite, massimizzare ilnumero di voti ricevuti con pubblicità elettorali mirate,minimizzare la resistenza aerodinamica di un’alad’areo. . .Trovare il minimo è (-)equivalente a determinare ilmassimo. Oggi parleremo di funzioni di costo.Il problema: trovare la configurazione x in un dominiodato D che minimizzi il costo f (x). In formule,
minx∈D⊆RN
f (x).
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Conclusioni
Un caso semplice
In qualche caso ci sono problemi semplici, risolvibilicon una metafora “gravitazionale”.
−1 0 1 2 3 4 5
−1
01
23
45
6
x
f(x)
●
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Conclusioni
Uno difficile. . .
Ma le cose si possono complicare: minimi locali multiplie non-derivabilità del costo f .
−1 0 1 2 3 4 5
−1
01
23
45
6
x
f(x)
●
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Ottimizzazione
Idee
ES
TSP
Sistemicomplessi
Modelli adagenti
Conclusioni
. . . e uno più difficile!
Ma le cose si possono complicare: minimi locali multiplie non-derivabilità del costo f .
−1 0 1 2 3 4 5
−1
01
23
45
6
x
f(x)
●
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ES
TSP
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Conclusioni
Funzioni di più variabili
La dimensione del problema è importante (“fardellodella dimensionalità”).
x
−4
−2
0
2
4
y
−4
−2
0
2
4
19.0
19.2
19.4
19.6
19.8
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Conclusioni
Funzioni di più variabili
La dimensione del problema è importante (“fardellodella dimensionalità”).
x
−4−2
0
2
4
y
−4
−2
0
2
4
0
5
10
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TSP
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Conclusioni
Funzioni di più variabili
La dimensione del problema è importante (“fardellodella dimensionalità”).
0
2
4
6
8
10
12
14
−4 −2 0 2 4
−4
−2
0
2
4
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Conclusioni
Grandi problemi, grandi idee
I metodi tradizionali non riescono a determinare lasoluzione di minimo costo x .L’evoluzione è un modo brillante per risolvere problemidifficili.
Darwin e l’ottimizzazione
1 Le soluzioni evolvono, in base al caso (mutazione) eall’imitazione (incrocio).
2 Il più adatto sopravvive (ma non sempre).
3 Esplorazione e sfruttamento.
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Grandi problemi, grandi idee
Schumpeter: sviluppo, dinamismo, innovazione. . .L’economia e la natura sprecano risorse in grandequantità e possiamo applicare la stessa “distruzionecreativa” all’ottimizzazione:
Produzione significa combinare [soluzioni] e[ipotesi] in maniera diversa.
Evolution strategies: algoritmo d’ottimizzazione iterativobasato su quattro fasi:
1 Inizializzazione casuale2 Mutazione3 Ricombinazione4 Selezione
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Evolution strategies
ES in azione.Ideati da Rechemberg (1973) e Schwefel (1994),competono scientificamente con i più famosi algoritmigenetici.Algoritmi population-based, stocastici, a ricerca diretta,adatti al calcolo parallelo, robusti.“Evolution strategies: a comprehensive introduction”,HG Beyer e HP Schwefel, Natural Computing, 1, 3–52,2002.Ottimizzazione di strategie di trading: 760 variabili.Auto-organizzazione: meccanismo per bilanciareautomaticamente esplorazione e sfruttamento.
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ES in azione.Ideati da Rechemberg (1973) e Schwefel (1994),competono scientificamente con i più famosi algoritmigenetici.Algoritmi population-based, stocastici, a ricerca diretta,adatti al calcolo parallelo, robusti.“Evolution strategies: a comprehensive introduction”,HG Beyer e HP Schwefel, Natural Computing, 1, 3–52,2002.Ottimizzazione di strategie di trading: 760 variabili.Auto-organizzazione: meccanismo per bilanciareautomaticamente esplorazione e sfruttamento.
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Il commessio viaggiatore
Date n città, determinare un tour che le visiti tutte e cheabbia lunghezza minima.Si tratta, in sostanza, scegliere in che ordine visitare lecittà.Questione pratica di enorme rilevanza per la logisticadistributiva, ma anche esempio di problema teoricocomplesso.Problema NP-hard: nessuno sa se si può risolvereefficacemente.Il TSP in diretta. . .100.000 città e Mona Lisa.
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Il commessio viaggiatore
Date n città, determinare un tour che le visiti tutte e cheabbia lunghezza minima.Si tratta, in sostanza, scegliere in che ordine visitare lecittà.Questione pratica di enorme rilevanza per la logisticadistributiva, ma anche esempio di problema teoricocomplesso.Problema NP-hard: nessuno sa se si può risolvereefficacemente.Il TSP in diretta. . .100.000 città e Mona Lisa.
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Modelli ad agenti e sistemi complessi
Grande numero di agenti (cellule, consumatori, votanti,automobili, porzioni di fluidi).Interazioni non lineari e diversità di scala.Emergenza (“il tutto è più della somma delle parti”)Agente rappresentativo: i modelli “semplici” tendono anon catturare fenomeni macroscopici.
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Esempi di sistemi complessi
Mercati finanziari.1 Enorme masse di capitali e agenti.2 Interazioni guidate da imitazione, asimmetrie
informative e, talvolta, panico.3 Effetti sistemici sull’economia reale.
Cancro.1 Grande numero di cellule coinvolte.2 Interazioni chimiche e fisiche, sia dirette che mediate,
fra tumore, sistema immunitario e farmaci.3 Costi umani e sociali enormi.
Foresta.
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Modello ad agenti
Microfondato, computazionale, tiene contodell’eterogeneità degli agenti coinvolti.
Modello ad agentiRiproduce le azioni simultanee e le interazioni di agentimultipli, tentando di replicare e prevedere il comportamentodi sistemi complessi.
Utile a fini esplicativi, previsivi e per la generazione discenari a supporto delle decisioni.Esperimenti in vivo e in silico.
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Modello ad agenti
Microfondato, computazionale, tiene contodell’eterogeneità degli agenti coinvolti.
Modello ad agentiRiproduce le azioni simultanee e le interazioni di agentimultipli, tentando di replicare e prevedere il comportamentodi sistemi complessi.
Utile a fini esplicativi, previsivi e per la generazione discenari a supporto delle decisioni.Esperimenti in vivo e in silico.
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Modello ad agenti
Microfondato, computazionale, tiene contodell’eterogeneità degli agenti coinvolti.
Modello ad agentiRiproduce le azioni simultanee e le interazioni di agentimultipli, tentando di replicare e prevedere il comportamentodi sistemi complessi.
Utile a fini esplicativi, previsivi e per la generazione discenari a supporto delle decisioni.Esperimenti in vivo e in silico.
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Conclusioni
Netlogo live
Flocking: semplici regole individuali possono generarecomplessità aggregata. Sciami, branchi, stormi (CraigReynolds, 1986).Forest: incendi e densità degli alberi.Grand Canyon: modello idrografico accurato di partedel Grand Canyon. Controllo dei flussi e dei tempinecessari alle precipitazioni per spostarsi a valle.Tumor: stem cells, replicazione e metastasi.
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Modelli adagenti
Conclusioni
Conclusioni
Algoritmi moderni possono risolvere problemid’ottimizzazione difficili, su grande scala e nonattaccabili da metodi convenzionali.Computazionalmente intensi, non richiedono regolaritàdella funzione di costo e determinano la soluzione inmodo robusto.I modelli ad agenti consentono di svolgere esperimentiin silico su sistemi complessi.L’uso di strumenti computazionali ha permesso losviluppo di queste idee e dei modi per visualizzarle.
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Grazie
[email protected]://virgo.unive.it/paolop