P1 T1 P2 4 T3 2 1 1 P9 T2 1 2 1 T7 -...

Automazione Industriale a.a. 2002/2003

1

ESERCIZIO 1Sia data la rete di Petri

P1

P3

P4

P2T1T3

T2

P5

T6

4

2

1

3

1

1 P6

1

5

11 1

11

T4

T5P7

1T7

T9

P8

2

1

1

1

1

T8

P91

1

1a. Dire quali sono, con la marcatura indicata, le transizioni abilitate e quelle eventualmente inconflitto.

1b. Dire, a partire dalla marcatura indicata, quali sono le marcature che la rete può raggiungerese scattano tutte le transizioni abilitate.


P1P3

P4P2

T1

T3T4

T2

21

23

1

1

11

1

4

dove la marcatura mostrata è quella iniziale.

2a. Scrivere le matrici d'ingresso, d'uscita e d'incidenza2b. Scrivere il vettore marcatura iniziale2c. Scrivere il sistema di equazioni che calcola i P-invarianti2d. Scrivere il sistema di equazioni che calcola i T-invarianti

ESERCIZIO 3Data la matrice d'incidenza

−−

−−

−

=

0110

0023

2001

1011

0120

C

3a. Disegnare la rete di Petri corrispondente.3b. Dire se il vettore x=[2 5 0 1 6]' è o meno un P-invariante di questa rete.


2


P1

P3

P4P2T1

T3

T4T2

P5T6

T5

4a. Determinare, per l'insieme di posti {P1,P3,P5}, l'insieme delle transizioni di preset el'insieme delle transizioni di postset.

4b. Sulla base di ciò, dire se2b.1. l'insieme di posti {P1,P3,P5} è un sifone2b.2. l'insieme di posti {P1,P3,P5} è una trappola2b.3. l'insieme di posti {P1,P3,P5} corrisponde ad un P-invariante

4c. Dire se e come cambierebbe la risposta precedente se s'invertissero tutti gli archi della rete.

ESERCIZIO 5Sia data la rete di Petri con archi di peso unitario

P1T1

P6 P7

T2

T5

P2 P3 P4T3 T4

T6P8 P9

P5

T7

T8

P10

A partire dalla marcatura iniziale indicata, si vuole che la rete rispetti i seguenti vincoli: (a) nondevono esservi mai più di 2 marche nel posto P2, (b) non vi dev'essere mai più di una marca in P3, e(c) i posti P2, P3 e P7 non devono contenere complessivamente più di 2 marche. Dovendorealizzare un supervisore massimamente permissivo che risolva questo problema di stati vietati colmetodo dei P-invarianti,

5a. scrivere la matrice L e il vettore b corrispondenti5b. dire quali sono i P-invarianti che la risoluzione del problema dovrà creare nella rete

controllata


3

ESERCIZIO 6Sia data la rete di Petri con archi di peso unitario

T1

P3P2

P1 P4

P7P8

T2

T3

T7

P5

P6

T5T4

T6

La rete può interpretarsi come il modello di due cicli di produzione (i due anelli) interagenti, nelsenso che uno (quello a sinistra) deposita pezzi in un magazzino rappresentato dal posto P8, e l'altroli preleva da lì per utilizzarli. Si vuole che nel magazzino suddetto non vi siano mai più di 3 pezzi.

6a. Risolvere il problema col metodo dei P-invarianti.6b. Disegnare la rete controllata e interpretare il risultato.

ESERCIZIO 7Si deve assemblare un pezzo costituito da due parti A e B. Le due parti devono essere prelevate dadue magazzini SA e SB (assunti di capacità infinita) usando un solo manipolatore R e poste sul pianodi una macchina M nell'ordine corretto (cioè prima A e poi B); terminato l'assemblaggio, R deveportare il pezzo in un magazzino SC (anch'esso di capacità infinita).

7a. Modellizzare il sistema complessivo (processo e controllo necessario) con una rete di Petri7b. Commentare il risultato così ottenuto, indicando i sensori e i comandi necessari per

l'implementazione del controllore (implicitamente) progettato.

ESERCIZIO 8Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false

8a. La matrice d'incidenza di una rete di Petri è sempre pari alla differenza tra la matriced'uscita e quella d'ingresso.

8b. Una marcatura si dice viva se in essa tutte le transizioni sono abilitate.8c. In una rete di Petri coperta da P-invarianti a coefficienti non negativi il numero di token

rimane limitato.8d. La somma delle marcature dei posti corrispondenti ad un P-invariante rimane sempre

costante.8e. I P-invarianti della rete di petri con matrice d'incidenza C coincidono con i T-invarianti

della rete di Petri con matrice d'incidenza C'.8f. Una rete di Petri si dice binaria se tutti i posti hanno capacità 1.8g. Una rete di Petri "free choice" non può avere transizioni con più di un posto nel preset.8h. Se in una rete di Petri "free choice" una transizione ha più di un posto nel preset, per

ognuno di questi posti essa è l'unica transizione nel postset.8i. Un sifone è un insieme di posti che, prima o poi, rimane di certo senza token.8j. Una trappola è un insieme di posti in cui tutte le transizioni di postset sono anche di preset.8k. Una rete di Petri è viva se e soltanto se ogni sifone contiene una trappola marcata.8l. Una rete di Petri "free choice" è viva se e soltanto se ogni sifone contiene una trappola

marcata.8m. Una transizione incontrollabile è una transizione cui non si può, con il controllore, imporre

di scattare.8n. Il metodo dei P-invarianti serve ad impedire che una rete di Petri raggiunga certe

marcature, dette "stati vietati".


4

ESERCIZIO 9Si vuole realizzare tramite PLC una rete logica con tre ingressi (A, B e C) e due uscite (X e Y). Ilfunzionamento dev'essere il seguente:

L'uscita X dev'essere calcolata come (A and not B) or CL'uscita Y dev'essere inizializzata al valore A and B, e ad ogni successiva esplorazione del ladder

Se A vale 0 Y deve mantenere il suo valore precedenteSe A vale 1 Y dev'essere invertita

Scrivere il programma LD che realizza la rete logica in questione.

ESERCIZIO 10In un sistema manifatturiero, si vuole che ogni tanto un po' di pezzi vengano prelevati dalla catenadi assemblaggio per essere sottoposti al controllo di qualità. Si vuole gestire il prelievo dei pezzidalla catena con un PLC, che dovrà fare quanto segue:

♦ Alla pressione di un tasto da parte dell'operatore, commutare uno scambio sulla guidapezzi dalla posizione "normale" a quella "deviazione per prelievo"

♦ Fatto ciò, contare 100 pezzi tramite un sensore di transito posto sulla guida di prelievopezzi

♦ Infine, riportare lo scambio nella posizione "normale" e accendere un indicatore di prelievoterminato

10a. Scrivere il programma LD richiesto, omettendo per semplicità la parte d'inizializzazione.10b. Dire, con la soluzione adottata, che succede se l'operatore preme di nuovo il tasto durante

la fase di prelievo (cosa su cui le specifiche date sopra non dicono nulla)

ESERCIZIO 11Si supponga di aver risolto un problema di controllo forbidden state col metodo dei P-invarianti eche la soluzione trovata sia schematizzata dalla rete di Petri seguente, dove del processo sonoindicati soltanto i posti e le transizioni interessate al controllo (i posti di controllo sono in grigio egli archi del controllore in linea spessa):

Pezzo in arrivo rilevatodal sensore sul nastro B

Pezzo in arrivo rilevatodal sensore sul nastro A M2 termina lavorazione

M1 prende da AM1 termina lavorazione

M1lavora…

…

…Pc1

Pc2

M2 prende da A

M2 prende da B

…

Pa

Pb

M2lavora

Si hanno a disposizione due sensori (detti SNA e SNB) che segnalano con un impulso l'arrivo di unpezzo sui nastri A e B, e due sensori (detti STLM1 e STLM2) che segnalano con un impulso iltermine della lavorazione per le due macchine M1 e M2; vi sono inoltre i tre possibili comandi dipresa pezzo (detti CPM1A, CPM2A e CPM2B). Quanto alla risoluzione dei conflitti (che il metododei P-invarianti non considera a meno che si vietino esplicitamente gli stati che li generano, cosache qui evidentemente non è stata fatta), se M1 e M2 possono ambedue prendere un pezzo da A sivuole che lo prenda M1, mentre se M2 può prendere sia da A che da B si vuole che prenda da B.

11a. Interpretare i posti di controllo Pc1 e Pc211b. Scrivere il programma LD corrispondente al regolatore logico in oggetto


5

ESERCIZIO 12Si consideri la parte di un processo batch modellizzata dalla rete seguente, dove un reattore -quando disponibile, come indicato dal relativo posto di controllo - viene impiegato per produrre dadue componenti A e B - se disponibili in quantità sufficiente - un prodotto AB:

Produci1 kg di B Serbatoio B

Produci2 kg di A Serbatoio A

2

2

Reattore disponibile

Produci3 kg di AB

3

Serbatoio AB

…

…

…

…

…

Il posto "Produci 3 kg di AB" si può poi affinare nella sottorete mostrata di seguito, dove sievidenziano tutte le micro-azioni che compongono la macro-azione di produzione:

Riscalda finoa 100°CCarica

2 kg di B

Carica1 kg di A

Mantieni i 100°C emescola per 10 min

InizioproduzioneAB

Attendi a riscaldatorespento il raffreddamentofino a 50°C

Svuota FineproduzioneAB

Sul reattore è installato un riscaldatore controllato da un regolatore di temperatura TC con funzioneAuto/Manuale, e il caricamento di A e B nel reattore avviene tramite due valvole con in serie duesensori integrali di portata (che misurano cioè la massa trasferita) MA e MB.

12a. Prevedere gli ulteriori sensori e gli attuatori necessari e scrivere il programma SFC relativoalla macrofase "Produci 3 kg di AB"

12b. Scrivere la parte del programma SFC di livello superiore che utilizza tale macrofase


6

Soluzione 11a. Le transizioni abilitate sono T2 (senza conflitti), T3 (senza conflitti), T4 e T5 (in conflitto

tra di loro) e T7.

1b. Definendo il vettore marcatura M=[ m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m8 m9]', la marcatura correnterisulta essere M0=[2 1 1 0 0 0 1 0 0 ] e, se scattano tutte le transizioni abilitate, vi sono duemarcature successive possibili:

M1=[0 0 0 3 2 0 0 2 0 ] se scattano T2, T3, T4 e T7M2=[0 0 0 3 1 5 0 2 0 ] se scattano T2, T3, T5 e T7

Soluzione 22a. Associando le righe ai posti P1-P4 e le colonne alle transizioni T1-T4, le tre matrici - dette

rispettivamente I, O e C - sono

=

0010

0101

0120

2300

I

=

0100

0010

4000

0001

O

−−−−−

−−

=

0110

0111

4120

2301

C

(si noti che, ovviamente, C=O-I).

2b. Con le stesse convenzioni, il vettore marcatura iniziale è M0=[0 1 0 1]'.

2c. Il sistema che calcola i P-invarianti è x'C=0. Allora, ponendo x=[x1 x2 x3 x4]', si ha

=+−=+−−−

=−+−=−

042

03

02

0

21

4321

432

31

xx

xxxx

xxx

xx

2d. Il sistema che calcola i T-invarianti è Cy=0, o equivalentemente y'C'=0. Allora, ponendoy=[y1 y2 y3 y4]', si ha

=+−=−+−

=+−−=−−

0

0

042

023

32

321

432

431

yy

yyy

yyy

yyy


7

Soluzione 33a. La rete in questione ha 5 posti e 4 transizioni. Avendo a disposizione la sola matrice

d'incidenza (e non quelle d'ingresso e d'uscita) si deve assumere, nel disegnarla, che non visiano autoanelli. Così facendo (e associando le righe e le colonne di C rispettivamente aiposti P1-P5 e alle transizioni T1-T4 in quest'ordine) si ottiene

P1

T1

2

P2 P3 P4 P5

T2 T3 T4

1 11

1 12

2

3 1

1

3b. Il vettore x è un P-invariante della rete di Petri la cui matrice d'incidenza è C se vale larelazione x'C=0. Nel caso presente

[ ] [ ]5872

0110

0023

2001

1011

0120

61052' −−=

−−

−−

−

=Cx

Poiché il risultato non è il vettore nullo, x non è un P-invariante della rete. Per inciso,sarebbe bastato a tale scopo calcolare il primo elemento del vettore x'C.

Soluzione 44a. Gli insiemi delle transizioni di preset e postset per i tre posti P1, P3 e P5 sono

Posto P1 P3 P5Preset {T6} {T2} {T5}Postset {T1,T2} {T1,T4,T5} {T4,T6}

Quindi, per l'insieme di posti {P1,P3,P5} si ha

Preset {T2,T5,T6}Postset {T1,T2,T4,T5,T6}

4b. Poiché l'insieme di posti {P1,P3,P5} ha il preset strettamente contenuto nel postset taleinsieme è un sifone, non è una trappola e non corrisponde ad un P-invariante.

4c. Invertire tutti gli archi della rete significa scambiare ordinatamente tutti i preset con tutti ipostset, col che l'insieme di posti {P1,P3,P5} si troverebbe ad avere il postset strettamentecontenuto nel preset. Tale insieme non sarebbe allora un sifone bensì una trappola, eancora non corrisponderebbe ad un P-invariante.


8

Soluzione 55a. Indicando con mi la marcatura del posto i-esimo, i vincoli sono

≤++≤≤

2

1

2

732

3

2

mmm

m

m

Definendo allora il vettore marcatura M=[ m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m8 m9 m10]', il vincolo sipuò esprimere come LM ≤ b ponendo

=

0001000110

0000000100

0000000010

L ;

=

2

1

2

b

5b. La risoluzione del problema farà nascere tre posti di controllo P11, P12 e P13 (uno pervincolo) in modo che per la rete controllata valgano le relazioni

=+++=+=+

2

1

2

13732

123

112

mmmm

mm

mm

I P-invarianti che dovranno risultarne - sempre per la rete controllata - sono allora

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11 P12 P13PI-1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0PI-2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0PI-3 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1

Si osservi, per inciso, che la matrice formata dai 3 P-invarianti è [L I].


9

Soluzione 66a. La matrice d'incidenza CP, il vettore L e lo scalare b (vi è un solo vincolo) sono

−−

−−

−−

−−

=

0000101

1100000

0110000

0011000

0001100

1000100

0000011

0000011

PC ; [ ]10000000=L ; b=3

Il metodo dei P-invarianti fornisce quindi, essendo M0P=[1 0 1 0 0 0 0 0]',

[ ]0000101−=−= PC LCC ; M0C=b-LM0P=3

6b. La rete controllata (con il posto aggiuntivo P9, che osserva T3 e controlla T1) è

T1

P3P2

P1 P4

P7P8

T2

T3

T7

P5

P6

T5T4

T6

P9

L'interpretazione può essere la seguente: quando il ciclo di sinistra mette un pezzo in P8consuma una delle marche di P9 (che possono quindi intendersi come "posti liberi nelmagazzino"), e quando il ciclo di destra preleva un pezzo rimette una marca in P9(coerentemente col significato attribuito a tali marche); se quindi P9 si smarca nelmagazzino vi sono tre pezzi, e questo impedisce che T1 scatti (cioè che il ciclo di sinistrave ne metta un quarto).


10

Soluzione 77a.

Prel. A

R libero

B in MA in M

M termina lavorazione

SA

Pezzofinito

SB

SC

Prel. B Prel. pezzo

PS1PS3PS2

∞∞ ∞∞

R muoveA

R muoveB

R muovepezzo

M inizia lavorazione

M lavora

7b. La risorsa condivisa R è modellizzata con un insieme di posti che ne rappresentano tutti glistati d'uso possibili, e corrispondono - correttamente - ad un P-invariante. Rimane a questopunto da imporre la sequenza delle operazioni da compiere, sincronizzando con ciò R e M:questo è realizzato dai posti PS1-PS3, che corrispondono anch'essi ad un P-invariante.I sensori necessari sono quelli di presenza delle parti A e B sul piano di M (per dare inizioalla lavorazione), di termine lavorazione da parte di M (per sapere che il pezzo è finito), diarrivo del manipolatore M nelle 4 posizioni (SA, SB, piano di M e SC) dove deve andare.I comandi necessari sono quelli di movimento di M, eventualmente quelli di presa erilascio del pezzo (operazioni non rappresentate nella rete per semplicità) e quello d'iniziolavorazione per M.

Soluzione 8

8a. Vero 8h. Vero8b. Falso 8i. Falso8c. Vero 8j. Vero8d. Falso 8k. Falso8e. Vero 8l. Vero8f. Vero 8m. Vero8g. falso 8n. Vero


11

Soluzione 9

(JMP)Inizializzato 100

( L )Inizializzato

( L )Y

(LBL)

A B

100

A B

C( )X

( L )YA Y

(LBL)

( U )

(JMP)200

200

A Y Y

Inizializzazione

Pone inizialmente Y = 1 se A and B è vero

Calcola X

Se A vale 1, inverte Y. Attezione alla JMP: se essa non cifosse, Y valesse 0 e A valesse 1, Y sarebbe prima posta a 1 epoi (al rung successivo) di nuovo a 0.

Soluzione 1010a.

( L )Tasto Prelievo

(RES)ContaPezzi

Prelievo ImpPezzoContaPezzi100

( U )ContaPezzi Prelievo

( L )FinePrelievo

FinePrelievo

( U )

Alla pressione del tasto gira lo scambio su "prelievo",

resetta il contatore

e spegne l'indicatore di fine prelievo

Se lo scambio è su "prelievo" conta i 100 pezzi

A fine conteggio rimette lo scambio su "normale"

e accende l'indicatore di fine prelievo

10b. Con questa soluzione lo scambio rimane su "prelievo" ma si resetta il contatore, col che sipreleveranno più di 100 pezzi: per la precisione se ne preleveranno 100 dopo l'ultimapressione del tasto.


12

Soluzione 1111a. Le marche in Pc1 e Pc2 rappresentano rispettivamente la disponibilità di M1 e M2.

11b.

(JMP)Inizializzato 100

( L )Inizializzato

( L )PC1

( L )PC2

(LBL)100

…

( U )

( U )

Pezzo da A

Pezzo da B

Inizialmente le macchine sono libere e nonvi sono pezzi arrivati dai nastri A e B. Ledue bobine "Pezzo da A" e "Pezzo da B"servono a memorizzzare l'arrivo dei pezzi,perché i sensori relativi danno impulsi.Nota: questo equivale a "copiare" nelregolatore i posti Pa e Pb, ed è tipicoquando nel preset di una transizionecontrollata vi sono posti del processo: ilfatto che essi vi siano viene dalla fisica, mase ciò deve diventare consenso a che latransizione scatti tali posti vanno appuntoreplicati nel regolatore.

( L )STLM2

PC1

( L )STLM1

SNB( L )

SNA Pezzo da A

Pezzo da B

( L )

PC2

( )PC1Pezzo da A

( U )

CPM1A

PC1

( )PC2Pezzo da A

( U )

CPM2A

PC2

( )PC2 Pezzo da B

( U )

CPM2B

PC2

( )PC2 Pezzo da A

( U )

CPM2A

PC2

( U )Pezzo da A

( U )Pezzo da A

( U )Pezzo da B

( U )Pezzo da A

Memorizza l'arrivo dei pezzi sui nastriA e B

Memorizza la disponibilità di M1 e M2(posti di controllo Pc1 e Pc2) quandoarrivano gl'impulsi di fine lavorazione

Se c'è un pezzo da A e M1 è liberaM1 lo prende,diventa occupata (si smarca Pc1)e si resetta il bit di presenza pezzo in A

Se c'è un pezzo in A che M1 non ha giàpreso allora M2 lo prende,diventa occupata (si smarca Pc2)e si resetta il bit di presenza pezzo in A

Se M2 è libera e c'è un pezzo da BM2 lo prende,diventa occupata (si smarca Pc2)e si resetta il bit di presenza pezzo in B

Se M2 è libera e c'è un pezzo da AM2 lo prende,diventa occupata (si smarca Pc2)e si resetta il bit di presenza pezzo in A

LD inizializzazione LD controllo

Soluzione 1212a. I sensori e gli attuatori necessari si deducono dal diagramma:

I10102

1

MA≥1kg

MB≥2kg

ResetMB

ResetMA

105

Poni TCin AUTO

T≥100°C

106

Mescola

Set Point T=100°C

t/X106/10min

107

Poni TCin MAN

Potenza riscald.=0

T≤50°C

108

Livello≤minimo

U10

Aprivalvola OUT

103

104

RESETReattoreDisponibile

SETReattoreDisponibile

101 1

SETFineProduzioneAB

Aprivalvola B

Aprivalvola A

12b.

M2

Massa nel serb. A≥1kgAND Massa nel serb. B≥2kgAND ReattoreDisponibile

10

FineProduzioneAB

RESETFineProduzioneAB3

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