Date post: | 02-May-2015 |
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ParabolaParabola
Dato un punto F del piano
ed una retta d
F
d
si dice parabolaparabola l’insieme dei punti del pianoequidistanti dal punto F e dalla retta d
fuoco F
fuoco F
direttrice
direttrice
Ogni punto è determinato
dall’eguaglianza fra le distanze
punto-retta punto-fuoco
Per ogni punto il valore delle
distanze(=raggio) è diversa,
tranne che . . .
V vertice
F fuoco
Asse disimmetria
L’insieme dei punti
(parabola)• ha un punto particolare detto vertice• è simmetrico rispetto alla linea asse di simmetria
Rappresentazione della parabola nel piano cartesianoRappresentazione della parabola nel piano cartesiano
Se nel piano inseriamo un
sistema di assi cartesiani si ha
la rappresentazione a fianco della
parabola.
Il fuoco F e il vertice V sono punti,ognuno
con le sue coordinate,
l’asse di simmetria è una retta parallela
all’asse y.
4 2 0 2 4 6 8 10
4
2
2
4
6
8
10
F
V
Variando fuoco e direttrice si possono ottenere parabole diverseper posizione . . .
Animazione : clicca sull’immagine
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. . . e per ampiezza
Animazione : clicca sull’immagine
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I punti di una parabola soddisfano tutti la proprietà eguaglianza delle distanze. Possiamo determinarne l’equazione.
5 0 5 10
4
2
2
4
6
8
10
F
P
Equazione generica della parabola
Equazione generica della parabola
cbyayx 2
a,b,c R
Asse di simmetria parallelo asse x
Per approfondimenti vedere scheda
cbxaxy 2
a,b,c R
Asse di simmetria parallelo asse y
Ci occuperemo qui delle parabole con asse di simmetria parallelo all’asse y
Vediamo come si presenta il grafico della parabola al variare dei valori a,b,c
Con il pacchetto grafico che avete a disposizione disegnate nel piano cartesiano le parabole :
y x2 8 x 18
y1 x2
24
1 x
121
y32
9x2 160
3x 192
Esercizio 2
cbxaxy 2
Variazione dei grafici al variare dei coefficientiVariazione dei grafici al variare dei coefficienti
a,b,c R
Esercizio 1
y x2
2 x 1
yx
2
24
x
121
y32
9x
2 25
3x 4
a>0 a<04
4
f x( )
44 x
0
Concavità
Concavità
4
4
f x( )
44 x
0
Si ottengono i grafici
10 5 0 5 10
10
5
5
10
Esercizio 2
10
10
f x( )
g x( )
h x( )
1010 x
10 5 0 5 10
10
5
5
10
Esercizio 1
20
20
f x( )
g x( )
h x( )
p x( )
2020 x
20 10 0 10 20
20
10
10
20
Esercizio 3
y x2 8 x 18
y x2 8 x 18
y x2 5 x 18
y x2 12 x 18
50
20
f x( )
g x( )
h x( )
2020 x
20 10 0 10 20
20
20
40
y x2 8 x 20
y x2 8 x 20
y x2 20
Esercizio 4
VerticeVertice
Al variare di aa e bb varia la posizione dell’ascissa del vertice, che ha infatti coordinate :
)a4
ac4b,
a2b
(V2
Per approfondimenti vedere scheda
Al variare di cc varia la posizione del vertice per quanto riguarda l’ordinata : il grafico della parabola risulta traslato
5
5
f x( )
g x( )
h x( )
53 x
2 0 2 4
4
2
2
4Esercizio 5
y x2 3 x 2
y x2 3 x
y x2 3 x 2
Intersezioni con gli assi
Intersezioni con gli assi
8
2
f x( )
g x( )
h x( )
124 x
4 2 0 2 4 6 8 10 12
2
2
4
6
8
Esercizio 6
y 0.25 x2
2 x 3
y 0.25 x2
2 x 4
y 0.25 x2
2 x 6
Per determinare i punti d’intersezione con l’asse x si risolve il sistema
Y = 0
cbxaxy 2 Si ottiene un’equazione di 2° grado in x
0cbxax2
le cui soluzioni rappresentano le ascisse dei punti d’intersezione
Per determinare il punto d’intersezione con l’asse y si risolve il sistema
x = 0
cbxaxy 2 P(0,c)
Quali sono i punti in cui la parabola taglia gli assi cartesiani ?Quali sono i punti in cui la parabola taglia gli assi cartesiani ?
La parabola ha un punto d’intersezione con l’asse x
Se b2-4ac= 0
Se b2-4ac< 0
Se b2-4ac> 0
La parabola ha due punti d’intersezione con l’asse x
La parabola non ha punti d’intersezione con l’asse x
3
2
f x( )
93 x
4
2
f x( )
93 x
6
2
f x( )
93 x
La parabola ha il vertice sull’asse y
InoltrInoltree
Se bb=0=0
y=ax2+c
Se b=0 e b=0 e c=0c=0
y=ax2
Se cc=0=0
y=ax2+bx
4
3
f x( )
76 x
4
3
f x( )
76 x
6
3
f x( )
76 x
La parabola passa per l’origine
La parabola ha il vertice nell’origine
FormuleFormule
y=ax2+bx+c
)a4
ac4b,
a2b
(V2
vertice
)a4
)ac4b(1,
a2b
(F2
fuoco
a4)ac4b(1
d2
direttrice
a2b
x equazione
asse di simmetria
Per approfondimenti vedere scheda
4 2 0 2 4 6 8 10
4
2
2
4
6
8
10
F
V
Come si rappresenta la parabola di equazione y=ax2+bx+c nel piano cartesiano
Come si rappresenta la parabola di equazione y=ax2+bx+c nel piano cartesiano
42 0 2
4
2
2
4
•Determinare le coordinate del vertice VV
•Determinare l’equazione dell’ asse di simmetriaasse di simmetria
•Determinare le coordinate degli eventuali puntipunti d’intersezione con gli assid’intersezione con gli assi
•Determinare le coordinate di qualche altro puntoqualche altro punto, anche tenendo presente la simmetria•Rappresentare punti e asse nel piano : essi caratterizzanocaratterizzano il grafico
V
Parabola : applicazioni e meccanismi
Parabola : applicazioni e meccanismi
• Moto di un proiettile • Fontane• Fuochi artificiali• Ponti sospesi • Proprietà focali della parabola • Specchi ustori • Antenna parabolica• Fari dei porti• Fari auto, flash, proiettori
Il moto di un proiettile è il moto di un peso che viene lanciato in aria obliquamente. Il lancio di una palla da baseball, da golf o lo sparo di una pallottola sono esempi di questo moto. Galileo(1564-1642) fu il primo a studiare scientificamente
tale moto e nei Discorsi e Dimostrazioni matematiche sopra due Nuove Scienze dimostrò che la traiettoria di un proiettile è una parabola. Consideriamo il proiettile soggetto alla sola forza di
gravità, supponendo nulla l'influenza dei vari agenti atmosferici, in particolare le forze di attrito dell'aria e quelle del vento.
Moto di un proiettileMoto di un proiettile
Rappresentiamo in un sistema di assi cartesiani il moto, supponendo che l’origine sia il punto nel quale il proiettile inizia a muoversi obliquamente con velocità v0
Facendo un po' di conti si scopre che la funzione del moto ha la forma: y =ax2 +bx: la TRAIETTORIA è una parabola passante per l'origine e con concavità rivolta verso il basso.
Animazione : clicca sull’immagine
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Per approfondimenti vedere scheda
v
0
Il moto di un proiettile è il moto di un peso che viene lanciato in aria obliquamente. Il lancio di una palla da baseball, da golf o lo sparo di una pallottola sono esempi di questo moto.
Galileo(1564-1642) fu il primo a studiare scientificamente tale moto e nei Discorsi e Dimostrazioni matematiche sopra due Nuove Scienze dimostrò che la traiettoria di un proiettile è una parabola.
Consideriamo il proiettile soggetto alla sola forza di gravità, supponendo nulla l'influenza dei vari agenti atmosferici, in particolare le forze di attrito dell'aria e quelle del vento.
Scheda 4 moto di un proiettile
g : accelerazione di gravitàv0 : velocità iniziale,
θ : angolo formato col terreno (alzo)
v
0
Rappresentiamo in un sistema di assi cartesiani il moto, supponendo che l’origine sia il punto nel quale il proiettile inizia a muoversi con velocità v0 e con un
angolo di inclinazione θ
L’equazione della traiettoria si ottiene eliminando il tempo t. Si ha così :y = v0y / v0x x - 1/2 g x2/ v0x
2
che ha la forma: y =ax-bx2, ed è l'equazione di una parabola passante per l'origine e con concavità rivolta verso il basso; e questo prova che la TRAIETTORIA di un proiettile è una parabola.
Nel caso in cui un proiettile venga lanciato da un'altezza h, y ha anche un termine noto, che significa che parabola descritta non passa per (0, 0).
Le coordinate del punto P (x,y) che individua la posizione del proiettile al passare del tempo t sono x = v0x t y = v0y t - 1/2 g t2
v0x: componente orizzontale della velocità iniziale v0
v0y: componente verticale della velocità iniziale v0
L'accelerazione è quella gravitazionale ed essendo diretta verso la terra è negativa, quindi va sottratta
4
0
f x( )
20 x
5
0
f x( )
40 x0 2 4
2
4
10
0
f x( )
100 x
v0y
v0
v0x
g
•Per ottenere la traiettoria in funzione dell’alzo θ : essendo
v0x = v0 cos θ v0y = v0 sin θ si ottiene x = (v0 cos θ) t y = (v0 sin θ) t - 1/2 g t2
La funzione che si ottiene eliminando t è y = (tang θ) x -[ g/2 v0
2cos2 θ ] x2
10
0
f x( )
100 x
θ
Gittata
ymax
30°15°
45°60°
75°
• Variamo la funzione per l'alzo a che varia da 0° a 90°. Si può osservare che la gittata massima si ottiene per 45° e che le gittate sono uguali per angoli che differiscono ugualmente da 45°,cioè per angoli complementari.
• Per ottenere la gittata intersecando con l'asse delle x si ha :
Gittata = v02 sin 2θ /g
•Per ottenere l’altezza massima del proiettile corrispondente ad un certo valore di v0 e di θ si può determinare il vertice della parabola. Perciò si avrà :
ymax= v0 2sin2 θ /g
I grandi radiotelescopi e le antenne paraboliche con le quali si ricevono le trasmissioni televisive dai satelliti agiscono secondo lo stesso principio: i segnali, praticamente paralleli data la grande distanza da cui provengono, rimbalzano sull'antenna e vengono concentrati sul ricevitore posto nel suo fuoco, aumentando così considerevolmente la potenza in ingresso. In altre parole, l'antenna parabolica funge da amplificatore, o meglio da condensatore dei segnali, altrimenti piuttosto deboli, provenienti dai satelliti.
Antenna parabolicaAntenna parabolica
Lo stesso principio viene utilizzato in modo opposto nei fari dei porti, nelle calotte dei fari per auto e moto e nei proiettori in genere: una luce posta nel fuoco viene irradiata parallelamente all'asse del fuoco. Un raggio proveniente dal fuoco viene riflesso dalla parabola in una direzione parallela all'asse.
LANTERNA di Genova
fuoco F
Fari dei portiFari dei porti
Probabilmente il primo faro ad utilizzare le proprietà focali della parabola fu proprio il faro di Rodi, considerato all'epoca una delle sette meraviglie del mondo. Alto 85 metri poteva esser visto a circa 50 km di distanza. Esso fu costruito ad Alessandria (Rodi era una isoletta davanti al porto cittadino) nel 280 a. C. cioè nell'epoca e nei luoghi in cui lo studio delle coniche da parte dei Greci era in pieno sviluppo.
Colosso di Rodi
Colosso di RodiColosso di Rodi
Moto d’epoca Guzzi Sport14
Ingrandimento della calotta del faro
La luce emessa dalla lampadina posta nel fuoco della superficie riflettente parabolica dirige i raggi uscenti in direzione parallela all’asse, creando un fascio di luce meno disperso, di più alta luminosità direzionata. Tale principio viene sfruttato in generale nella costruzione di proiettori
Fari auto, flash, proiettori
Fari auto, flash, proiettori
Apparato per mostrare la traiettoria parabolica dei liquidi (Istituto e Museo di Storia della Scienza, Firenze, ITALIA). Gli strumenti esposti in questa sala furono costruiti nell'officina del Museo di Fisica dal 1775, sotto la direzione di Felice Fontana (1730-1805).
FontaneFontane
La Barcaccia - Roma
Fontana di produzione
EurofloraGenova
Fontana di produzione
Proprietà focali della parabolaProprietà focali della parabola
Il fuoco della parabola ha interessanti
proprietà relative alla riflessione e convergenza dei raggi luminosi.
Un raggio proveniente secondo una direzione parallela all'asse della parabola quando incontra la
superficie parabolica viene riflesso nel fuoco.
fuoco F
Se dunque vogliamo concentrare in un punto dei raggi paralleli (o praticamente paralleli, come ad esempio quelli del sole) si dovrà
usare una superficie riflettente a forma di parabola (paraboloide). Se la parabola è orientata verso il sole allora cattura i raggi solari,
cioè tutti i raggi riflessi convergono nel fuoco F. Così facendo si può costruire uno specchio ustorio, capace di incendiare un pezzo di
carta o di legno posto nel suo fuoco.Questa proprietà giustifica tra l'altro il nome stesso di fuoco.
paraboloide superficie ottenuta dalla rotazione di
una parabola attorno al suo asse
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