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Parte di piano
delimitata da una
linea chiusa non
intrecciata.
FIGURA CONVESSA:
se, fissati due
qualsiasi punti
distinti della figura,
il segmento che li
congiunge appartiene
tutto alla figura.
FIGURA CONCAVA:
se esistono almeno
due punti distinti
tali che il
segmento che li
congiunge non
appartiene tutto
alla figura.
È una linea formata da segmenti a due a due
consecutivi. Una poligonale (come qualsiasi
linea) può essere aperta, chiusa, intrecciata
e non intrecciata.
È una parte di piano
delimitato da una
poligonale chiusa non
intrecciata. Le
caratteristiche del
poligono sono: il lati
(n), gli angoli (interno o
esterni), i vertici e le
diagonali.
Se dato ogni lato, la retta
prolungamento del lato
non contiene punti interni
al poligono.
Se esiste una retta
prolungamento di un
lato che contiene
punti interni al
poligono.
I poligoni si classificano in base al numero di
lati, «n».
n= 3 Triangolo
n= 4 Quadrilatero
n= 5 Pentagono
n= 6 Esagono
n= 7 Ettagono
n= 8 Ottagono
n= 9 Ennagono
n= 10 Decagono
Si possono classificare in base ai lati:
Equilatero (Tutti i lati congruenti)
Isoscele (Due lati congruenti)
Scaleno (Tutti i lati disuguali)
Si classificano anche in base agli angoli:
Acutangolo (Tre angoli acuti <90’)
Ottusangolo (Un angolo ottuso >90’)
Rettangolo (Un angolo retto =90’)
La somma degli angoli
interni di un triangolo è
sempre congruente ad un
angolo piatto (180’)
A+B+C = 180’
• In ogni triangolo la lunghezza di un lato è
sempre minore della somma degli altri due lati
e maggiore della loro differenza.
• Se in un triangolo due angoli sono disuguali
all’angolo maggiore si oppone il lato maggiore.
In generale, in un poligono di n lati si ha che:
a) La somma degli angoli interni di un poligono convesso di n lati è
congruente a n-2 angoli piatti, cioè misura (n-2)*180°
b) La somma degli angoli esterni di un poligono è congruente a un
angolo giro cioè misura 360°
Esempio
(n-2)*180°=
=(3-2)*180°=
=1*180°= 180°
CRITERI DI CONGRUENZA
Due triangoli sono congruenti se hanno:
Ordinatamente congruenti, due lati è l’angolo compreso
Ordinatamente congruenti, un lato e due angoli
Ordinatamente congruenti, i tre lati
TRAPEZIO: è un quadrilatero con due lati paralleli. I lati
paralleli si chiamano basi (maggiore e minore); gli altri due
lati si chiamano lati obliqui. In ogni trapezio le altezze sono
sempre congruenti
TRAPEZI PARTICOLARI
ISOSCELE RETTANGOLO SCALENO
Se i lati obliqui sono tra loro congruenti
Se ha un angolo retto
Se ha tutti i lati e gli angoli disuguali
TEOREMA
• In un trapezio gli angoli adiacenti ad ogni
lato obliquo sono supplementari
TEOREMA INVERSO
• Se in un quadrilatero, gli angoli
adiacenti ad un lato sono supplementari,
allora il quadrilatero è un trapezio
In un trapezio, se un angolo è retto, allora ci
deve essere necessariamente un altro angolo
retto.
Infatti se un angolo è di 90’ gradi, anche l’altro angolo
adiacente al lato deve essere di 90’ gradi.
In un parallelogramma:
Ogni diagonale divide il parallelogramma in 2
triangoli congruenti.
I lati opposti sono congruenti.
Gli angoli opposti sono congruenti.
Le diagonali si intersecano nel loro punto
medio.
Il teorema fondamentale
Se in un quadrilatero è soddisfatta una delle
5 precedenti proprietà, allora il quadrilatero
è un parallelogramma.
Teorema inverso
PARALLELOGRAMMI
PARTICOLARI
Il rombo è un
quadrilatero con i lati
congruenti
Teorema del rombo
• Le diagonali sono
perpendicolari
• Le diagonali sono bisettrici
dell’angolo
Teorema inverso
• 2 lati consecutivi sono congruenti
• Le diagonali sono perpendicolari
• La diagonale è bisettrice di un
angolo
Allora il parallelogramma è un ROMBO
È un quadrilatero
con gli angoli
congruenti
Teorema del rettangolo
• In un rettangolo le diagonali sono
congruenti
Teorema inverso
• Se in un parallelogramma le diagonali sono
congruenti tra loro, allora esso è un
RETTANGOLO
È un quadrilatero
che ha sia angoli, sia
lati congruenti
Osservazione Il quadrato è sia un rombo
che un rettangolo quindi il
quadrato gode sia delle
proprietà del rombo, sia del
rettangolo
Teorema del quadrato
• Le diagonali sono
perpendicolari
• Le diagonali sono bisettrici
degli angoli
• Le diagonali sono congruenti
Teorema inverso
• Le diagonali sono congruenti e
perpendicolari
• Le diagonali sono congruenti e una sola è
bisettrice di un angolo
Il parallelogramma sarà un QUADRATO
QUADRATO RETTANGOLO ROMBO
PARALLELOGRAMMA
TRAPEZIO
Angoli
congruenti Lati e angoli
congruenti
Lati
congruenti
CIRCONFERENZA E CERCHIO
O
La corda è ogni
segmento avente per
estremi due punti della
circonferenza
È ogni corda passante
per il centro
o
B
A
B
A
o
IL CERCHIO
O
È la parte di piano
delimitata da una
circonferenza
Osservazione Ogni punto sulla circonferenza
ha distanza dal centro uguale
ad r, mentre ogni punto interno
del cerchio
Teorema Dati tre punti non allineati, esiste
una e una sola circonferenza
passante per i tre punti
A
B
o
Un arco di circonferenza è la
parte di circonferenza
compresa fra due suoi punti
Osservazione
Se una corda e un arco
hanno gli stessi estremi,
diciamo che la corda
sottende l’arco, oppure che
l’arco è sotteso dalla corda
È la parte di cerchio
compresa fra un arco e i
due raggi che congiungono
il centro con gli estremi
dell’arco
B
A
o
È l’arco che congiunge i
due punti estremi di un
diametro
A B o
È la parte di cerchio
compresa tra la
semicirconferenza e
il diametro
A B
o
È un angolo che ha il
vertice nel centro della
circonferenza (può
essere concavo o
convesso) A B
A B
È un angolo convesso che ha il
vertice su una circonferenza e i
lati entrambi secanti alla
circonferenza, oppure uno
secante e l’altro tangente
Osservazione Ogni angolo al centro insiste
su un arco (arco sotteso
dall’angolo).
Ogni arco alla circonferenza
insiste su un arco (arco
sotteso dall’angolo)
Teorema Se un angolo alla circonferenza
α è un angolo al centro β insistono sullo stesso arco,
allora l’angolo al centro è
congruente al doppio
dell’angolo alla circonferenza :
β=2 α
α
β
Teorema sul cerchio e circonferenza In una circonferenza:
Il diametro è maggiore di qualsiasi corda
che non passa per il centro
Se un diametro e una corda sono
perpendicolari, il diametro divide a metà la
corda, l’angolo al centro e l’arco che le
corrispondono
Due angoli alla circonferenza che insistono
sullo stesso arco sono tra loro congruenti
Ogni angolo alla circonferenza che insiste
su una semicirconferenza è retto
o
90°
Teorema
Data una retta tangente alla circonferenza, il raggio che
congiunge il centro della circonferenza con il punto di
contatto è perpendicolare alla retta
90°
