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UNIVERSITÀ PAUL CEZANNE D’AIX-MARSEILLE

(AIX-MARSEILLE III)

N° attribuito dalla biblioteca

2008AIX30068

TITOLO

STUDIO DELLA STABILITÀ A PICCOLE PERTURBAZIONI

NELLE GRANDI RETI ELETTRICHE: OTTIMIZZAZIONE

DEL REGOLAMENTO CON UN METODO METAEURISTICO

TESI

Per ottenere il grado di:

DOTTORE DELL’UNIVERSITÀ PAUL CEZANNE D’AIX-

MARSEILLE

Facoltà di Scienze e Tecniche

Disciplina: Ingegneria Elettrica

Presentata e sostenuta pubblicamente da:

Hasan ALKHATIB

il 5 dicembre 2008

Direttori della tesi: Marcel PASQUINELLI/Jean DUVEAU

GIURIA:

Shahrock SAADATE Relatore

Mohamed MACHMOUM Relatore

Seddik BACHA Esaminatore

Jean DUVEAU Esaminatore

Marcel PASQUINELLI Direttore di tesi

Michel THOLOMIER Membro invitato

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INTRODUZIONE GENERALE

Da una ventina d’anni, i sistemi di potenza devono far fronte a sfide molto

importanti. La liberazione del mercato dell’elettricità crea scenari di funzionamento

molto più complessi rispetto al passato. Il permanente aumento della dipendenza

elettrica della società implica un funzionamento dei sistemi di potenza al 100% della

loro capacità e una sicurezza massimale. Inoltre, la qualità della potenza elettrica è

attualmente divenuta una grande preoccupazione per i consumatori e i fornitori. Di

conseguenza, sono sempre più necessari rigorosi criteri di sviluppo e di funzionamento.

In tali condizioni, la stabilità dei sistemi di potenza diviene una delle maggiori

preoccupazioni per i fornitori di elettricità. Questi sistemi devono rimanere stabili per

tutte le piccole variazioni in vicinanza dei punti di funzionamento, nonché per

condizioni severe. Di conseguenza, nuovi metodi e le nuove tecnologie che consentono

di migliorare la stabilità dei sistemi sono oggetto di lavori di ricerca estremamente

importanti.

Tenendo conto della varietà delle condizioni di funzionamento e della gravità

degli incidenti, le apparecchiature di comando attualmente installate sulle reti possono

rivelarsi troppo limitate o insufficienti per rispondere in modo efficace alle diverse

perturbazioni. Di conseguenza, gli operatori di rete cercano di ottimizzarne il

funzionamento pur mantenendo un livello di sicurezza soddisfacente.

Un sistema di potenza è un sistema altamente non-lineare funzionante in un

ambiente in continua evoluzione: cariche, potenza di generazione, topologia della rete,

ecc. Il sistema può quindi essere sottoposto a perturbazioni; la perturbazione può essere

debole o importante. Piccole perturbazioni, sotto forma di variazioni di carica, si

producono continuamente. Il sistema deve essere in grado di “rispondere” in modo

soddisfacente ai bisogni della carica. Il sistema deve anche essere in grado di resistere a

numerose perturbazioni di natura severa, come il fulmine, la perdita di un’unità di

generazione, un corto circuito su una linea di trasmissione, ecc.

In seguito ad una perturbazione transitoria, se il sistema è debole raggiungerà un

nuovo stato di equilibrio. Se è instabile, ciò si tradurrà, per esempio, con un progressivo

aumento dello scarto tra gli angoli rotore dei generatori o con un progressivo calo delle

tensioni dei nodi della rete. Uno stato instabile del sistema potrà condurre a guasti a

cascata e ad una disconnessione di gran parte della rete elettrica.

Le oscillazioni dei sistemi di potenza sono state predette fin dalla prima

installazione di un sistema di potenza. Un sistema avente vari generatori interconnessi

tramite una rete di trasporto si comporta come un insieme di masse interconnesse da una

rete di molle e presenta modi di oscillazione multipli. L’ammortizzamento delle

oscillazioni è sempre stato considerato come un elemento importante per il buon

funzionamento dei sistemi di potenza. Una prima soluzione per ammortizzare tali

oscillazioni è così scomparsa, ma l’ammortizzamento globale del sistema è sempre

rimasto ignorato (Farmer, 2006).

Vari punti considerati evidenti in questo momento restano sempre validi:

- le oscillazioni a debole frequenza (tra 0.2 e 2 Hz) si producono nei sistemi di

potenza a causa dell’insufficienza delle coppie di ammortizzamento che agiscono

sui rotori dei generatori;

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- le oscillazioni compaiono principalmente nel sistema sotto due forme:

o le oscillazioni dei modi locali, associate principalmente a un generatore

e ai relativi controllori;

o le oscillazioni dei modi interregionali, associate a un gruppo di

generatori e alle proprietà del sistema (configurazione della rete di

trasporto, scorrimento di potenza, ecc.).

- le oscillazioni dei rotori dei generatori provocano delle fluttuazioni su

variabili elettriche (tensioni, potenze attive e reattive, frequenza, ecc.), da cui

l’origine del loro nome: oscillazioni elettromeccaniche.

- il regolatore di tensione AVR (Automatic Voltage Regulator) del sistema di

eccitazione del generatore è praticamente l’unica fonte responsabile delle

oscillazioni del sistema;

- dopo avere stabilito le fonti delle oscillazioni, è naturalmente auspicabile

identificare, per motivi economici e di affidabilità, i punti più efficaci per

aggiungere i dispositivi di ammortizzamento necessari.

Dagli anni ’60, i processi di interconnessione tra i sistemi di potenza sono

fortemente aumentati e le reti di trasporto si sono estesi su regioni vaste. Inoltre, la

liberalizzazione del mercato dell’elettricità ha provocato un aumento del caricamento

delle reti di trasporto.

Questa evoluzione è stata accompagnata dalla ricomparsa del problema delle

oscillazioni. I motivi di questa ricomparsa possono essere riassunti come segue

(Dandeno et al., 1968; Farmer, 2006):

- l’utilizzo di regolatori di tensione caratterizzati da risposte rapide e da

guadagni elevati (necessari per migliorare la stabilità transitoria) aumenta la

potenzialità di ammortizzamento negativo;

- gli avvolgimenti ammortizzanti non sono più sufficientemente efficaci nei

sistemi interconnessi a causa dell’alta impedenza esterna vista da tali sistemi;

- l’aumento del numero dei controllori automatici messi in servizio nei

sistemi aumenta la probabilità di interazioni nefaste tra i controllori;

- le piccole oscillazioni prodotte in ogni generatore, eventualmente non

significative a titolo individuale, possono accrescere l’impatto negativo delle

oscillazioni delle linee di interconnessione che si estendono sul sistema;

- le oscillazioni elettromeccaniche implicano vincoli meccanici considerevoli,

se non pericolosi, sulle masse girevoli dei generatori. In queste nuove condizioni, le oscillazioni rappresentano un problema

considerevole dei grandi sistemi di potenza. Il problema di tali oscillazioni viene così

ridefinito dal loro ruolo importante nella stabilità dell’angolo rotore a piccole

perturbazioni (chiamata stabilità dinamica) potendo condurre alla perdita di sincronismo

e ad una restrizione della potenza trasmissibile nel sistema. Il miglioramento della

stabilità a piccole perturbazioni, in particolare il miglioramento delle oscillazioni

interregionali, diventa così sempre più importante (Samouhi, 1983; Sadeghzadeh, 1998;

Snyder, 1999; Roosta, 2003).

Per superare il problema delle oscillazioni elettromeccaniche e migliorare

l’ammortizzamento del sistema, vengono introdotti segnali supplementari di

stabilizzazione nel sistema di eccitazione tramite il relativo regolatore di tensione.

Questi segnali produrranno delle coppie in fase con la variazione di velocità di

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generatore per compensare il ritardo di fase introdotto dal sistema di eccitazione. Gli

stabilizzatori di potenza (Power System Stabilizers, PSS), grazie ai loro vantaggi in

termini di costo ed efficacia, sono i modi abituali non soltanto per eliminare gli effetti

negativi dei regolatori di tensione, ma anche per ammortizzare le oscillazioni

elettromeccanici e assicurare la stabilità globale del sistema (DeMello et al., 1978;

Larsen et al., 1981, I).

Convenzionalmente, per regolare i parametri dello PSS, le equazioni del modello

non-lineare del sistema sono linearizzate attorno al punto di funzionamento, e le

tecniche di controllo lineare vengono applicate in seguito. I parametri dello PSS

vengono allora fissati ad alcuni valori corrispondenti a determinate condizioni di

funzionamento. È importante ricordare che i parametri del generatore variano con la

carica: il comportamento della macchina varia a seconda dei punti di funzionamento. I

PSS devono quindi essere regolati e coordinati in modo che la stabilità globale del

sistema sia garantita per una grande varietà di punti di funzionamento.

Oltre al problema della regolazione dei PSS, la scelta della loro ubicazione

rappresenta un fattore critico per ottenere una performance ottimale di stabilizzazione.

Uno PSS può essere “ben” regolato per migliorare l’ammortizzamento di un mezzo, ma

può produrre effetti nocivi per altri modi. Inoltre, ubicazioni differenti provocano

oscillazioni differenti a seconda dei punti di funzionamento.

In numerose ricerche, viene scelta l’ubicazione dei PSS prima di affrontare

l’analisi dei possibili metodi di regolazione. Il metodo dei fattori di partecipazione (FP)

è stato utilizzato in modo intensivo per identificare le possibili aree di ubicazione dei

PSS (Abdel-Magid et al., 1999; Do Bomfim et al., 2000; Abdel-Magid et al., 2003).

In generale, un numero troppo considerevole o un cattivo posizionamento dei PSS

può provocare un disfunzionamento del sistema. È quindi essenziale “ben localizzare” e

scegliere un adeguato numero di PSS per ridurre questi effetti indesiderabili.

In letteratura, sono stati proposti vari approcci che utilizzano l’algoritmo genetico

(AG) per la robusta regolazione dei PSS nelle reti multi-macchina (Abdel-Magid et al.,

2003; Hongesombut et al., 2004; Rashidi et al., 2004; Hongesombut et al., 2005; Panda

et al., 2007). Il vantaggio degli AG rispetto alle altre tecniche di ottimizzazione, è la

loro indipendenza rispetto alla complessità dei problemi. Inoltre, esso lavora su un

insieme di punti (una popolazione) e non su un solo punto. L’AG è quindi un metodo di

ottimizzazione globale.

Il PSS è sempre considerato un mezzo efficace per l’ammortizzamento dei modi

elettromeccanici locali ma, nello stesso tempo, il suo ruolo nell’ammortizzamento dei

modi interregionali resta sempre considerato debole. L’obiettivo del nostro lavoro è

quindi quello di assicurare un ammortizzamento massimo dei modi tanto interregionali

quanto locali. A tal fine, proponiamo una regolazione ottimale dei PSS con la migliore

localizzazione possibile e il numero più debole di PSS. Ciò consente di assicurare un

ammortizzamento soddisfacente delle oscillazioni rotoriche e di garantire la stabilità

globale del sistema per diversi punti di funzionamento. Abbiamo quindi sviluppato un

programma di AG con una funzione multi-scopo basata sull’analisi dei valori propri del

sistema (parte reale del valore proprio e fattore di ammortizzamento.

Per verificare le performance del metodo proposto, abbiano analizzato una rete

multi-macchina comprendente 16 generatori e 68 nodi (New England/New York),

(Rogers, 2000).

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Per valutare i risultati ottenuti, applichiamo un metodo di analisi nel settore

complesso, ovvero il metodo dei valori propri, per determinare le varie modalità del

sistema. Tale analisi fornisce informazioni importanti sulla stabilità del sistema

indicando la presenza dei modi mal o non ammortizzati. Può inoltre essere stabilita

l’origine di questi modi. L’analisi della stabilità è stata completata dalla simulazione del

modello non-lineare originale in campo temporale.

Il primo capitolo della nostra tesi riguarda la modellizzazione generale di un

sistema di potenza adattato allo studio della stabilità angolare a piccole perturbazioni.

Esso presenta anche l’analisi per valori propri e l’analisi modale basate sulla

linearizzazione del modello.

Nel secondo capitolo, abbiamo richiamato la stabilità secondo Lyapunov.

Abbiamo anche ricordato le caratteristiche dei vari tipi di stabilità di un sistema di

potenza. In seguito, abbiamo studiato, nel dettaglio, la stabilità angolare a piccole

perturbazioni con gli stabilizzatori di potenza (PSS).

Il terzo capitolo riguarda una presentazione teorica degli algoritmi genetici, che è

il metodo di ottimizzazione utilizzata in questo lavoro.

Il quarto capitolo presenta la rete test studiata (rete multi-macchina interconnesso

di New York/New York). Viene anche presentato l’approccio proposto. L’obiettivo è di

migliorare l’ammortizzamento delle oscillazioni elettromeccaniche (associate ai modi

globali e locali). A tal fine, proponiamo un’ottimizzazione globale dei parametri, della

localizzazione e del numero di PSS necessari per assicurare una performance robusta.

Abbiamo anche analizzato la reazione del sistema (in modello lineare e non-lineare)

durante l’applicazione di vari scenari severi (analisi e discussione dei risultati).

Il quinto capitolo si propone di migliorare la performance dell’ottimizzazione e

l’accelerazione della convergenza di un AG. Durante l’ottimizzazione del problema,

questo approccio consente di adattare lo spazio di ricerca al processo di ottimizzazione

garantendogli dei vincoli dinamici adattativi.

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Capitolo I

Modellizzazione del sistema di

potenza

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1.1- Introduzione.

Una grande rete elettrica (chiamata anche sistema di potenza) si compone di

elementi (generatori, trasformatori, linee, ecc.) interconnessi e più o meno numerosi a

seconda della dimensione della rete, che formano un sistema complesso in grado di

generare, di trasmettere e di distribuire l’energia elettrica attraverso vaste estese

geografiche (figura 1). Un modello matematico tipico non ridotto di un “grande”

sistema può contenere fino a 15.000, se non più, variabili di stato (Farmer, 2006). I

sistemi di potenza moderni sono così caratterizzati da dimensione e complessità

crescenti. Più la dimensione di un sistema di potenza aumenta, più i processi dinamici e

l’analisi dei fenomeni fisici sottostanti sono complessi. Oltre alla loro dimensione e

complessità, i sistemi di potenza presentano un comportamento non lineare e variante

nel tempo. Le non linearità possono essere introdotte con elementi a funzionamento

discontinuo, quali relè, tiristori, ecc…, tramite elementi con isteresi o saturazione. Ai

nostri giorni, tale complessità strutturale influenza sempre di più l’evoluzione dei

problemi di stabilità e dei fenomeni dinamici nei sistemi di potenza interconnessi.

Produzione

Trasporto

Distribuzione

Carichi

Figura 1. I vari livelli di un sistema di potenza.

I grandi componenti di un sistema di potenza possono essere rappresentati con uno

schema a blocchi, come mostra la figura 2 (Sauer et al., 1998). Questa rappresentazione

non mostra tutte le interazioni dinamiche tra gli elementi e i loro controlli, ma può

servire per una descrizione generale per le strutture dinamiche.

Lo studio della performance dinamica di un sistema di potenza è molto importante

per gli operatori del sistema (punto di vista economico) e per la società in generale

(punto di vista dell’affidabilità). Una tappa essenziale di questo tipo di studio è di

comprendere fisicamente e matematicamente i fenomeni dinamici di interesse. La

modellizzazione e la simulazione effettuate del sistema possono in seguito rifletterne il

comportamento critico.

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Altri

generatori

Regolatore

di tensione

Sistema della

forza motrice ω V

Generatore

Fonte

di energia

Controllo Regolatore

della fonte

di frequenza

di energia

Potenza di

generazione

R

ete di tra

sporto

Carichi

Altri sistem

i

Potenza trasmessa

Segnali di controllo della Frequenza de potenza di generazione desiderata

Sistema di controllo centrale sistema

Frequenza di

Programmazione

riferimento del di potenza

sistema di trasmissione

Figura 2. Struttura generale di un sistema di potenza.

1.2- I fenomeni dinamici.

In un sistema di potenza, è in grado di prodursi una grande varietà di fenomeni

dinamici diversi. Tali fenomeni dinamici hanno delle caratteristiche e delle origine fisiche

differenti e si producono in gamme di tempi diverse.

In genere, un fenomeno dinamico comincia con una perturbazione, l’azione di un

controllore, una manovra di perturbazione, ecc.

A seconda del livello della perturbazione d’origine, possiamo distinguere due classi

di fenomeni dinamici: - le “piccole” perturbazioni. Si tratta di fluttuazioni normali, di debole

ampiezza, delle grandezze elettriche o meccaniche (ad esempio, variazione continua

di carico). Questi fenomeni si manifestano di solito nel sistema con deboli

oscillazioni transitorie spesso poco ammortizzate;

- le “grandi” perturbazioni. Questo tipo di perturbazione corrisponde, ad

esempio, ad un corto circuito su una linea di trasmissione, alla perdita di un

generatore, ecc. Queste, al contrario, provocheranno oscillazioni importanti. Al fine di comprendere meglio i meccanismi di instabilità dei sistemi di potenza,

devono essere definiti e classificati i vari fenomeni dinamici. Se si tiene conto dei loro

caratteri fisici, nonché delle loro zone di risposta temporali, i fenomeni dinamici sono di

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solito divisi in quattro gruppi: (Machowski et al., 1998).

1.2.1- I fenomeni di propagazione.

Essi si producono nelle linee di trasmissione ad alta tensione di grande lunghezza e

corrispondono alla propagazione delle onde elettromagnetiche provocati da colpi di

fulmine o da operazioni di interruzione/chiusura. La gamma di tempi della dinamica di

questi fenomeni va dal microsecondo al millisecondo. Essi possiedono le dinamiche più

rapide.

1.2.2- I fenomeni elettromagnetici.

Essi hanno principalmente luogo negli avvolgimenti dei generatori e dei motori

(avvolgimenti ammortizzanti di armature e) e nei dispositivi elettronici di potenze. Essi

scorrono da una perturbazione (come un corto circuito), da un’operazione di un sistema di

protezione, da una commutazione (tiristore, ecc.) o da un’interazione tra le macchine

elettriche e la rete.

Tali fenomeni generano correnti e coppie elevate all’interno dei generatori su una

scala di tempi tipica di diversi millisecondi. Al di là di questi lassi di tempo, le inerzie

della turbina e del generatore sono sufficienti ad impedire ogni importante variazione

della velocità del rotore.

1.2.3- I fenomeni elettromeccanici.

I fenomeni elettromeccanici comprendono principalmente i campi di rotori, gli

avvolgimenti ammortizzanti e le inerzie dei rotori. Essi sono principalmente dovuti ai

movimenti delle masse girevoli dei generatori e dei motori. Essi si producono in seguito a

una perturbazione, un’operazione di comando sul sistema di controllo di tensione o sul

controllo della turbina. La gamma di tempi di questi fenomeni si estende da circa un

secondo a più secondi. Tale scala di tempi è ritenuta sufficientemente grande affinché i

fenomeni siano influenzati dalla turbina e dai sistemi di comando di generatore. In questa

gamma di tempi, le variazioni di velocità di rotori, accoppiate alle variazioni

elettromagnetiche, producono allora effetti elettromeccanici.

1.2.4- I fenomeni termodinamici.

I fenomeni termodinamici si sviluppano nelle caldaie delle centrali termiche

durante la richiesta di comando automatico di generazione, applicata in seguito ad una

perturbazione di equilibrio tra la produzione e il consumo di potenza. Essi si estendono da

alcune decine di secondi ad alcune decine di minuti: essi presentano così le dinamiche più

lente.

La figura (3) mostra la classificazione dei fenomeni dinamici sopra spiegati.

Una "buona" comprensione fisica e matematica del sistema e dei fenomeni associati

consente di comprendere meglio la modellizzazione e la simulazione del sistema per

riflettere i comportamenti critici di quest’ultimo. Il paragrafo seguente definisce il

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modello matematico utilizzato e i relativi elementi.

Figura 3. Caratteristiche dei fenomeni dinamici riscontrati nei sistemi di potenza.

1.3- Il modello generale non lineare

1.3.1- Introduzione

La prima tappa quando si vuole analizzare e comandare un sistema elettrico di

potenza consiste nel trovare un “buon” modello matematico. Generalmente, un modello,

nell’analisi dei sistemi, è un insieme di equazioni o di relazioni, che descrive in maniera

conveniente le interazioni tra le variabili studiate, nella gamma di tempo considerata e

con la precisione desiderata, per un elemento o un sistema. Di conseguenza, secondo lo

scopo dell’analisi, un elemento, o anche un sistema fisico, può dare luogo a modelli del

tutto diversi.

In molti casi, la scelta del modello corretto è spesso la parte più difficile dello

studio. Il punto essenziale è trovare il “buon modello” che realizzi un compromesso tra la

fedeltà del comportamento qualitativo e quantitativo e la semplicità di realizzazione a

scopi di analisi e di sintesi. I modelli complessi necessitano generalmente di un numero

più importante di parametri. Inoltre, l’ottenimento di valori affidabili per tali parametri

esige un lavoro importante. Infine, se si utilizzano i metodi troppo complessi, l’analisi e i

calcoli sono inutilmente “voluminosi” e anche l’interpretazione del risultato esige un

lavoro molto importante (Andersson, 2006).

In genere, per stabilire un modello di rete elettrica per gli studi dinamici, si tiene

unicamente conto delle attrezzature in attività durante l’arco temporale del fenomeno

dinamico considerato. Il risultato è quindi il modello di conoscenza completo del sistema:

esso si compone di equazioni differenziali ordinarie non lineari e di equazioni algebriche

(Kundur, 1994).

Dinamiche di

propagazione

Dinamiche

elettromagnetiche

Dinamiche

elettromeccaniche

Dinamiche

termodinamiche

microsecondi millisecondi secondi minuti

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I modelli presentati in questo modello riguardano gli elementi seguenti:

- le unità di produzione: generatori elettrici, sistemi di eccitazione, turbine e sistemi

di controllo associati;

- i trasformatori e le linee di trasmissione della rete di trasporto;

- i carichi per la parte di consumo.

1.3.2- Gli elementi del modello

1.3.2.1- Modello del generatore

L’energia elettrica è generalmente prodotta dalle macchine sincrone. Queste sono

caratterizzate da una velocità di rotazione dell’albero di uscita di ogni macchina uguale

alla velocità di rotazione del campo rotante. Per ottenere un tale funzionamento, viene

applicata una coppia meccanica generata da una fonte di energia primaria, (ad esempio,

l’energia idraulica, l’energia nucleare o l’energia chimica) sopra l’asse della macchina

sincrona tramite un collegamento meccanico intermedio, ovvero la turbina. Il campo

magnetico rotorico è di solito generato da un circuito di eccitazione alimentato da una

corrente continua. La posizione del campo magnetico rotorico è quindi fissa rispetto al

rotore: in funzionamento normale, ciò impone una velocità di rotazione identica tra il

rotore e il campo rotante statorico. Gli avvolgimenti statorici sono quindi sottoposti a

campi magnetici che variano periodicamente. Una f.e.m. di corrente alternativa è quindi

indotta nello statore.

I generatori sincroni partecipano in modo estremamente importante ai fenomeni

dinamici e alla qualità globale dell’alimentazione in energia. Risulta quindi necessario

sviluppare diversi modelli pratici e realisti delle macchine sincrone. In questo capitolo,

presenteremo e discuteremo un modello adattato all’analisi della stabilità dinamica.

1.3.2.1.1- Modello della macchina sincrona nel riferimento di Park

Nella macchina ideale, lo statore è munito di tre avvolgimenti a, b, c che distano tra

loro di 120 gradi. Il rotore comporta un certo numero di avvolgimenti ripartiti su due assi:

l’asse d (asse diretto) che coincide con quello dell’avvolgimento di eccitazione, e l’asse q

(asse quadratico) in quadratura rispetto all’asse diretto (Custem, 2002, II).

Per sopprimere la non linearità tra le grandezze dello statore e quelle del rotore, gli

avvolgimenti della macchina devono essere ordinati secondo due assi perpendicolari.

Ogni macchina è modellizzata nel proprio riferimento locale (d-q) girando col proprio

rotore (Andersson, 2006). Per formalizzare l’accoppiamento tra le equazioni del sistema e

stabilire le equazioni che descrivano il comportamento del sistema globale, tutte le

tensioni e le correnti devono essere rappresentate in un solo riferimento comune a tutte le

macchine. Generalmente, un riferimento alla velocità sincrona funge da riferimento

comune. Un approccio di questo tipo può essere realizzato dalla trasformazione di Park.

Lo sviluppo di tale trasformazione è dato nell’allegato A.

La figura (4) mostra schematicamente gli avvolgimenti e i sensi delle correnti in

una macchina sincrona. La figura (5) fornisce il modello equivalente nel riferimento di

Park (d-q). I vari avvolgimenti nelle due rappresentazioni sono i seguenti:

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- i tre avvolgimenti statorici a, b e c e gli avvolgimenti equivalenti ds e qs;

- l’asse diretto comporta l’avvolgimento di eccitazione f ed un avvolgimento

ammortizzatore da;

- l’asse in quadratura comporta un avvolgimento ammortizzatore qa.

Notiamo infine che l’avvolgimento di eccitazione è sottoposto ad una tensione Vf

mentre i circuiti da, qa sono permanentemente in corto circuito.

Figura 4. Modellizzazione della macchina sincrona idealizzata

Figura 5. Modello della macchina sincrona nel riferimento di Park

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1.3.1.2- Le ipotesi del modello

Il modello del generatore e dei relativi controlli si limita di solito alle equazioni

differenziali ordinarie accoppiate tra loro attraverso le equazioni algebriche della rete di

trasporto. Ogni equazione differenziale esprime la derivata di una variabile di stato (la

tensione di eccitazione, l’angolo rotore, ecc.) in funzione di altre variabili di stato e di

variabili algebriche. Il numero delle equazioni differenziali che descrive il modello del

generatore definisce l’ordine del modello. Esistono diversi modelli, dal più semplice – il

modello classico rappresenta soltanto le caratteristiche elettromeccaniche del generatore –

al più complesso, ovvero il modello di ottavo ordine tenendo conto di tutti i circuiti di

rotore, di statore, di ammortizzamento e di campo di saturazione (Anderson et al, 2003).

Negli studi delle oscillazioni elettromeccaniche, il modello del generatore deve mostrare

due caratteristiche fondamentali, ovvero: le caratteristiche elettriche degli avvolgimenti di

eccitazione e le caratteristiche meccaniche dell’albero del generatore.

Le diverse ipotesi considerate per stabilire questo modello sono basate trascurando

l’influenza:

- delle resistenze rotoriche e statoriche;

- degli avvolgimenti ammortizzatori;

- del campo di saturazione;

- dei fenomeni transitori nello statore;

- della variazione di velocità nelle equazioni di tensione dello statore (così ωr = ωo

= 1 [p.u.]. Tale supposizione viene fatta per compensare l’effetto di annullamento dei

fenomeni transitori nello statore).

Questo modello trascura anche l’ammortizzamento che è prodotto dalle correnti di

Foucault nel corpo del rotore (si suppone che la f.e.m. transitoria che segue l’asse d, ossia

E’d, sia costante). Poiché non vi è alcun avvolgimento sull’asse in quadratura per

rappresentare il corpo del rotore, avremo quindi:

E’d = 0, X’q = Xq

E’d : f.e.m. del generatore indotta seguendo l’asse d, in p.u.

X’q: reattanza sincrona di asse q, in p.u.

Xq: reattanza transitoria di asse q, in p.u.

Infine, supporremo che l’angolo rotore δ (posizione angolare del rotore rispetto al

riferimento al sincronismo) coincida con l’angolo della tensione interna del generatore.

Il modello risultante è il modello del terzo ordine. Esso è descritto dalle seguenti

variabili di stato:

E’q: f.e.m. del generatore indotta seguendo l’asse q, in p.u.

ω: velocità angolare del rotore, in p.u.

δ: angolo di rotore, in radicale.

Questo modello, ben adattato allo studio della stabilità dinamica, è il più semplice.

Esso è ampiamente utilizzato nell’analisi dei valori propri e anche nella regolazione dei

parametri degli stabilizzatori di potenza (Sauer et al. 1998).

15

1.3.2.1.3- Equazioni elettriche

Consideriamo una prima macchina di una rete multi-macchina. In tale paragrafo,

determineremo le equazioni algebriche dello statore di questa macchina, vale a dire le

equazioni riguardanti le tensioni che seguono gli assi d e q e le potenze elettriche.

Le grandezze elettriche di questa macchina sono rappresentate sulla figura (6).

Prima di iniziare il calcolo, possiamo fare le considerazioni seguenti:

- il riferimento (di, qi) riguarda soltanto la prima macchina, mentre il riferimento (D,

Q) è comune a tutte le macchine del sistema;

- l’angolo di coppia δi visto tra D e qi, della prima macchina rispetto al riferimento

comune (D, Q): esso varia costantemente nel tempo e può essere positivo o negativo (Yu,

1983).

Figura 6. Fasori relativi alla prima macchina di un sistema multi-macchina.

Secondo la figura (6), la tensione terminale della prima macchina del sistema può

determinarsi con l’equazione seguente:

(1)

Notiamo nel riferimento comune (D, Q) le espressioni seguenti: