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Corso di costruzioni di ponti
Prof. Salvatore Noè
Progetto di un ponte
a travata
Massimo Prataviera
Matricola:82900056
Anno accademico 2010/11
Università degli studi di Trieste
FACOLTA’ DI INGEGNERIA c.d.l.s. Ingegneria civile-strutture
Progetto di un ponte a travata
i
IInnddiiccee 1. Generalità ........................................ ............................................................................. 1
1.1. Relazione generale sulla struttura .......................................................................... 1
1.2. Normativa di riferimento .......................................................................................... 3
1.3.1. Acciaio da carpenteria metallica ....................................................................... 3
1.3.2. Bullonatura ....................................................................................................... 4
1.3.3. Calcestruzzo .................................................................................................... 4
1.3.4. Acciaio lento da c.a. ......................................................................................... 5
1.3.5. Conglomerato bituminoso ................................................................................ 5
1.3.6. Connettori tipo “Nelson” ................................................................................... 5
1.3.7. Schema statico adottato ................................................................................... 5
1.3.8. Profili adottati ................................................................................................... 6
1.3.9. Lastre predalles adottate .................................................................................. 6
1.4. Azioni di progetto .................................................................................................... 7
1.4.1. Stati Limite Ultimi (S.L.U.) ................................................................................ 7
1.4.2. Stati Limite di Esercizio (S.L.E.) ..................................................................... 10
2. Analisi dei carichi ............................... ....................................................................... 11
2.1. Azioni permanenti ................................................................................................. 11
2.2. Azioni variabili da traffico ...................................................................................... 12
3. Calcolo della soletta in c.a. ..................... ................................................................. 15
3.1. Stati Limite Ultimi (S.L.U.) ..................................................................................... 15
3.1.1. Diffusione verticale dell’impronta di carico ..................................................... 15
3.1.2. Diffusione orizzontale dell’impronta di carico ................................................. 16
3.1.3. Combinazioni di carico ................................................................................... 17
3.1.4. Caratteristiche della sollecitazione ................................................................. 27
3.1.4.1. Inviluppo del momento e del taglio sollecitante ........................................... 27
3.1.4.2. Traslazione del momento sollecitante ......................................................... 28
3.1.5. Dimensionamento e verifica delle armature longitudinali a momento ............ 29
3.1.5.1. Sezione A ................................................................................................... 30
3.1.5.2. Sezione AB ................................................................................................. 32
3.1.5.3. Sezione B ................................................................................................... 34
3.1.5.4. Sezione BC ................................................................................................. 36
3.1.5.5. Sezione C ................................................................................................... 38
Progetto di un ponte a travata
ii
3.1.5.6. Diagramma del momento resistente ........................................................... 40
3.1.5.7. Ancoraggio .................................................................................................. 41
3.1.6. Dimensionamento e verifica delle armature trasversali a momento ............... 41
3.1.6.1. Sezioni A-B-C (Campata) ........................................................................... 42
3.1.6.2. Sezione AB –BC (Campata) ....................................................................... 44
3.1.6.3. Sezioni A-B-C (Giunti) ................................................................................. 46
3.1.6.4. Sezione AB –BC (Campata) ....................................................................... 48
3.1.6.5. Riassunto dell’armatura trasversale ............................................................ 50
3.1.7. Dimensionamento e verifica delle armature a taglio ....................................... 50
3.1.7.1. Verifica a taglio ........................................................................................... 50
3.1.7.2. Diagramma del taglio resistente.................................................................. 52
3.2. Stati Limite di Esercizio (S.L.E.) ............................................................................ 53
3.2.1. Combinazioni di carico ................................................................................... 53
3.2.2. Caratteristiche della sollecitazione ................................................................. 54
3.2.3. Stato limite di fessurazione ............................................................................ 55
3.2.3.1. Calcolo delle caratteristiche inerziali ........................................................... 55
3.2.3.2. Verifica allo stato limite di fessurazione ...................................................... 56
4. Calcolo delle travi longitudinali ................. .............................................................. 59
4.1. Stati Limite Ultimi (S.L.U.) ..................................................................................... 59
4.1.1. Ripartizione trasversale dei carichi ................................................................. 59
4.1.1.1. Metodo di Courbon ..................................................................................... 60
4.1.1.2. Metodo di Engesser .................................................................................... 64
4.1.1.3. Confronto tra il metodo di Courbon e quello di Engesser ............................ 72
4.1.2. Verifica della trave di riva ............................................................................... 72
4.1.2.1. Fase 1 ......................................................................................................... 74
4.1.2.2. Fase 2 ......................................................................................................... 78
4.1.2.3. Fase 3 ......................................................................................................... 86
4.2. Stati Limite di esercizio (S.L.E.) ............................................................................ 91
4.2.1. Verifica della trave di riva ............................................................................... 91
4.2.1.1. Fase 2 ......................................................................................................... 91
4.2.1.2. Fase 3 ......................................................................................................... 91
5. Calcolo dei traversi .............................. ..................................................................... 92
5.1. Stati Limite Ultimi (S.L.U.) ..................................................................................... 92
Progetto di un ponte a travata
iii
5.1.1. Combinazioni di carico ................................................................................... 92
5.1.1.1. Metodo di Engesser .................................................................................... 93
5.1.2. Struttura reticolare .......................................................................................... 95
5.1.2.1. Schema statico ........................................................................................... 96
5.1.2.2. Verifiche di resistenza e di stabilità ............................................................. 96
6. Traslazione longitudinale ......................... .............................................................. 103
6.1. Determinazione del contrappeso ........................................................................ 103
6.2. Verifiche di resistenza ......................................................................................... 103
6.3. Fasi di varo ......................................................................................................... 105
7. Appendice ......................................... ....................................................................... 106
7.1. Caratteristiche dei profili ..................................................................................... 106
Progetto di un ponte a travata
1
11.. GGeenneerraall ii ttàà
11..11.. RReellaazziioonnee ggeenneerraallee ssuull llaa sstt rruutt ttuurraa
È richiesta la progettazione di ponte stradale di prima categoria della tipologia a graticcio
costituito da una struttura mista acciaio-calcestruzzo. Il ponte prevede cinque travi in
acciaio longitudinali e una struttura secondaria composta da una soletta in calcestruzzo
armato di spessore pari a 30 centimetri gettata in opera su lastre tralicciate predalles
autoportanti. Gli sforzi di scorrimento sono ripresi da pioli tipo “Nelson” che consentono di
incrementare notevolmente la resistenza se rapportata alla somma delle resistenze dei
singoli elementi non collaboranti. La ripartizione dei carichi applicati all’impalcato è
attribuita a cinque traversi costituiti da una struttura reticolare in acciaio posta ad interasse
pari a 8 metri; due traversi sono collocati in corrispondenza degli appoggi. Il ponte,
prevede uno schema statico di appoggio-appoggio ed è caratterizzato da una luce netta a
partire dall’interno delle spalle di 30 metri. La sezione trasversale presenta una larghezza
di 11,4 metri. La carreggiata è composta da due corsie con relative banchine per una
larghezza pari 8,4 metri. Lateralmente sono presenti due marciapiedi di 1,5 metri protetti
verso la carreggiata da sicurvia
Figura 1 – Sezione trasversale
Progetto di un ponte a travata
2
Figura 2 – Sezione longitudinale
Figura 3 – Prospetto laterale
Figura 4 – Pianta dell’impalcato
Progetto di un ponte a travata
3
11..22.. NNoorrmmaatt iivvaa ddii rr ii ffeerr iimmeennttoo
Tutti i calcoli sono eseguiti secondo i criteri della Scienza delle Costruzioni.
Le verifiche sono svolte utilizzando il metodo degli stati limite (S.L.).
Le unità di misura utilizzate sono quelle del Sistema Internazionale.
Gli elementi strutturali non espressamente riportati nella relazione sono stati comunque
calcolati e dimensionati secondo i criteri sopra citati. Analogamente le verifiche che non
risultano esplicitate si intendono comunque soddisfatte.
Tutti i calcoli e le verifiche sono redatti in conformità alla normativa vigente in materia, ed
in particolare:
� D.M. 14/01/08 – “Principi per il progetto, l’esecuzione e il collaudo delle costruzioni,
nei riguardi delle prestazioni loro richieste in termini di requisiti essenziali di
resistenza meccanica e stabilità, anche in caso di incendio, e di durabilità”.
� Circolare 2 febbraio 2009, n. 617 – “Istruzioni per l’applicazione delle “Nuove
norme tecniche per le costruzioni” di cui al D.M. 14 gennaio 2008”.
� Eurocodice 3: UNI EN 1992-1-1:2003 – “Progettazione delle strutture in acciaio –
Parte 1-1: Regole generali e regole per gli edifici”.
� Eurocodice 4: UNI EN 1994-1-1:2003 – “Progettazione delle strutture composte
acciaio-calcestruzzo – Parte 1-1: Regole generali e regole per gli edifici”.
11..33.. RReellaazziioonnee ssuull llee ccaarraatt tteerr iisstt iicchhee ddeeii mmaatteerr iiaall ii
11..33..11.. AAcccc iiaaiioo ddaa ccaarrppeenntteerr iiaa mmeettaall ll iiccaa
Per tutti gli elementi in acciaio si prescrivono le seguenti caratteristiche con i relativi
coefficienti parziali di sicurezza:
classe Fe 510/S355
ftk 510 N/mm2
fyk 355 N/mm2
Es 206000 N/mm2
ν 0,3
Progetto di un ponte a travata
4
ρ 78,5 kN/m3
γM0 1,05
γM1 1,05
γM2 1,25
γMw 1,35
11..33..22.. BBuull lloonnaattuurraa
Si dispone l’utilizzo di bulloni per le giunzioni di classe 8.8 aventi le seguenti proprietà
meccaniche e geometriche:
classe 10.9
ftb 1000 N/mm2
fyb 900 N/mm2
γMb 1,25
γM7 1,10
I fori per il posizionamento dei bulloni previsti per i giunti delle travi longitudinali dovranno
essere maggiorati di un millimetro o un millimetro e mezzo a seconda che il diametro del
bullone si inferiore o superiore ai 20 millimetri. Nonostante si decida per un funzionamento
dei bulloni a taglio, si prevede comunque l’applicazione di un precarico, come consigliato
dalla normativa.
11..33..33.. CCaallcceesstt rruuzzzzoo
Il calcestruzzo adottato per la realizzazione della soletta dovrà soddisfare i seguenti
requisisti:
classe C25/30
Rck 30 N/mm2
fck= 0,83 Rck 25 N/mm2
fcm= fck + 8 33 N/mm2
fcd= 0,85 fck/1,5 14,11 N/mm2
fctm= 0,3 (fck)2/3 2,56 N/mm2
fcfm= 1,2 fctm 3,07 N/mm2
fctk= 0,7 fctm 1,79 N/mm2
fctd= fctk/1,5 1,19 N/mm2
fbk= 2,25 fctk·η 4,03 N/mm2
Progetto di un ponte a travata
5
fctd= fbk/1,5 2,69 N/mm2
Ec= 0,3cm22000(f /10) 31447 N/mm2
γca 25 kN/m3
γcls 23,5 kN/m3
εcu 3,5 ‰
11..33..44.. AAcccc iiaaiioo lleennttoo ddaa cc..aa..
Si prescrive l’utilizzo di acciaio B450C avente le seguenti caratteristiche:
fyk 450 N/mm2
fsd= fyk/1,15 391,3 N/mm2
Es 206000 N/mm2
εsuk 3,5 ‰
εsu= 0,9 εsuk 3,15 ‰
εyd= fyk/ Es 1,96 ‰
11..33..55.. CCoonngglloommeerraattoo bbii ttuummiinnoossoo
γb 19 kN/m3
11..33..66.. CCoonnnneett ttoorr ii tt iippoo ““ NNeellssoonn””
I connettori saldati in officina per differenza di potenziale dovranno possedere le presenti
peculiarità:
fu 430 N/mm2
γv 1,25
11..33..77.. SScchheemmaa ssttaatt iiccoo aaddoott ttaattoo
Per rappresentare la struttura, essa viene modellata scomponendola in più semplici
elementi strutturali. Le travi longitudinali vengono schematizzate come travate
semplicemente appoggiate sulle spalle. Tale schema statico prevede la sezione resistente
generata per fasi costruttive. Infatti le travi metalliche autoportanti vengono completate in
opera con getti integrativi senza influenzare lo schema statico. La soletta trasversale viene
rappresentata come trave continua su più appoggi elastici individuati dalle travi
longitudinali. Per quanto concerne ai traversi essi sono costituiti da una struttura reticolare
vincolata alle travi metalliche principali.
Progetto di un ponte a travata
6
11..33..88.. PPrrooff ii ll ii aaddoott ttaatt ii
È necessario definire i profili adottati per la realizzazione della struttura ottenuti a seguito
del soddisfacimento delle verifiche di resistenza e di deformabilità. La sezione adottata per
le travi metalliche sono le seguenti:
- Travi longitudinali HSD 1400/376
Per i traversi si predispongono l’utilizzo dei presenti profili accoppiati:
- corrente superiore UPN 80
- corrente inferiore UPN 80
- diagonale UPN 80
11..33..99.. LLaasstt rree pprreeddaall lleess aaddoott ttaattee
Per facilitare le operazioni di getto della soletta in assenza di centine poggiate a terra si
opta per il posizionamento di lastre predalles autoportanti in direzione trasversale all’asse
del ponte. Lo spessore della soletta di tali lastre viene considerato collaborante in
direzione trasversale, ma trascurato in senso longitudinale nella verifica della sezione
composta acciaio-calcestruzzo. Tale precauzione è legata all’incertezza sul contributo dei
bordi a contatto delle lastre.
Figura 5 - Lastra predalles con relativi tralicci
Progetto di un ponte a travata
7
11..44.. AAzziioonnii ddii pprrooggeett ttoo
11..44..11.. SSttaatt ii LLiimmii ttee UUll tt iimmii ((SS..LL..UU..))
Per determinare il soddisfacimento delle verifiche di tutti gli elementi strutturali è stato
necessario combinare i diversi carichi durante le varie fasi costruttive con lo scopo di
risalire allo stato di sollecitazione più gravoso.
La combinazione dei carichi agli Stati Limite Ultimi si esprime come:
γ γ ψ= =
= + +∑ ∑1 1 01 2
n n
d Gj kj Q k i kij i
F G Q Q
Ai fini della determinazione dei valori caratteristici delle azioni dovute al traffico, si devono
considerare le combinazioni riportate in Tab. 5.1.IV. delle NTC 2008:
Tabella 1 – Valori caratteristici delle azioni dovute al traffico
Progetto di un ponte a travata
8
I coefficienti parziali di sicurezza per le combinazioni di carico agli SLU sono definiti nella
tabella seguente 5.1.V definita nel capitolo 5 delle NTC 2008:
Tabella 2 – Coefficienti parziali di sicurezza per le combinazioni di carico agli SLU
In particolar modo, i coefficienti parziali di sicurezza adottati al caso specifico risultano
essere:
carichi permanenti γG1= 1,35 (1 se a favore di sicurezza)
carichi permanente non strutturali γG2= 1,5 (0 se a favore di sicurezza)
carichi variabili da traffico γQ= 1,35 (0 se a favore di sicurezza)
Progetto di un ponte a travata
9
Mentre i coefficienti ψ, validi per le diverse categorie di azioni sono riportati nella tabella
5.1.VI definita nel capitolo 5 delle NTC 2008:
Tabella 3 - Coefficienti ψ per le azioni variabili per ponti stradali e pedonali
Nella progettazione sono stati assunti:
schema di carico 1 ψ0= 0,75
schema di carico 2 ψ0= 0
schema di carico 3-4-5 ψ0= 0,40
Progetto di un ponte a travata
10
11..44..22.. SSttaatt ii LLiimmii ttee ddii EEsseerrcciizziioo ((SS..LL..EE..))
Le verifiche agli stati limite di esercizio prevedrebbero la verifica allo stato limite di
fessurazione, di fatica e di deformazione. È necessario individuare la condizione più
gravosa nella combinazione rara, frequente e quasi permanente. Si valutano anche queste
due ultime combinazioni in quanto la struttura è composta anche da calcestruzzo che è un
materiale legato a fenomeni differiti nel tempo quali ritiro e viscosità.
La combinazioni agli Stati Limite d’esercizio si esprimono come:
Combinazione rara 1 01 2
n n
d kj k i kij i
F G Q Qψ= =
= + +∑ ∑
Combinazione frequente 11 1 21 2
n n
d kj k i kij i
F G Q Qψ ψ= =
= + +∑ ∑
Combinazione quasi permanente 21 1
n n
d kj i kij i
F G Qψ= =
= + +∑ ∑
Progetto di un ponte a travata
11
22.. AAnnaall iiss ii ddeeii ccaarr iicchhii
22..11.. AAzziioonnii ppeerrmmaanneenntt ii
Peso proprio degli elementi strutturali e non strutturali: g1
Al fine di individuare il peso proprio dei vari elementi strutturali in acciaio si adotta come
peso specifico un valore pari a 78,5 kN/m3.
peso soletta 7,5 kN/m2
peso travi HSD1400/376 3,68 kN/m
peso traversi trascurato
Carichi permanenti portati: g2
peso pavimentazione stradale 1,9 kN/m2
peso pavimentazione marciapiede 0,95 kN/ m2
peso calcestruzzo marciapiede 5 kN/ m2
peso sicurvia 0,64 kN/m
peso parapetto 0,30 kN/m
peso modanatura 1,00 kN/m
In particolar modo per quanto concerne i sicurvia si adottano barriere 3 onde per
manufatto W7 classe H3 bordo ponte da catalogo Marcegaglia evidenziati nella figura
seguente:
Figura 6 - barriere 3 onde per manufatto W7 classe H3 bordo ponte
Progetto di un ponte a travata
12
22..22.. AAzziioonnii vvaarr iiaabbii ll ii ddaa tt rraaff ff iiccoo
I carichi variabili da traffico sono definiti dagli Schemi di Carico posizionati in corsie
convenzionali, le cui larghezze e il loro numero massimo sono definite dalla tabella 5.1.I
evidenziata nel capitolo 5 delle NTC 2008:
Tabella 4 – Numero e larghezze delle corsie.
La ripartizione delle corsie deve essere tale da massimizzare le sollecitazioni sui vari
elementi strutturali e deve seguire lo schema previsto dalla figura 7:
Figura 7 – Esempio di numerazione delle corsie
Nel caso in esame la carreggiata e le corsie convenzionale presentano le seguenti
caratteristiche dimensionali:
Larghezza della carreggiata w = 8,40 m
Larghezza della corsia convenzionale wI = 3,00 m
Numero corsie convenzionali n = 2
Larghezza della zona rimanente wr = 2,40 m
Le azioni variabili del traffico, comprensive degli effetti dinamici, sono definite dai seguenti
Schemi di carico:
Schema di carico 1 (Qik, q ik)
Prevede carichi concentrati su due assi in tandem, applicati su impronte di pneumatico di
forma quadrata e lato 0,40 m, e da carichi uniformemente distribuiti. Questo schema è da
assumere a riferimento sia per le verifiche globali, sia per le verifiche locali, considerando
Progetto di un ponte a travata
13
un solo carico tandem per corsia, disposto in asse alla corsia stessa. Il carico tandem, se
presente, va considerato per intero.
Figura 8 – Schema di carico 1
Schema di carico 2 (Qak)
Si compone di un singolo asse applicato su specifiche impronte di pneumatico di forma
rettangolare, di larghezza 0,60 m ed altezza 0,35 m. Questo schema va considerato
autonomamente con asse longitudinale nella posizione più gravosa ed è da assumere a
riferimento solo per verifiche locali. Qualora sia più gravoso si considererà il peso di una
singola ruota di 200 kN.
Schema di carico 3
È costituito da un carico isolato da 150kN con impronta quadrata di lato 0,40m. Si utilizza
per verifiche locali su marciapiedi non protetti da sicurvia. Nella progettazione presente
non è stato considerato.
Schema di carico 4 (Qrk)
Prevede un carico isolato da 10 kN con impronta quadrata di lato 0,10m. Si utilizza per
verifiche locali su marciapiedi protetti da sicurvia e sulle passerelle pedonali.
Progetto di un ponte a travata
14
Schema di carico 5 (qfk)
È composto dalla folla compatta, agente con intensità nominale, comprensiva degli effetti
dinamici, di 5,0 kN/m2. Il valore di combinazione è invece di 2,5 kN/m2. Il carico folla deve
essere applicato su tutte le zone significative della superficie di influenza, inclusa l’area
dello spartitraffico centrale, ove rilevante.
Gli schemi di carico 2-3-4-5 con relativi carichi e dimensioni delle impronte sono ripotartati
di seguito:
Figura 9 – Schemi di carico 2-3-4-5
Progetto di un ponte a travata
15
33.. CCaallccoolloo ddeell llaa ssoolleett ttaa iinn cc..aa..
33..11.. SSttaatt ii LLiimmii ttee UUll tt iimmii ((SS..LL..UU..))
Lo schema statico assunto è quello di trave continua su più appoggi individuati dalle
cinque travi longitudinali.
Figura 10 – Schema statico adottato per la soletta in c.a. (dimensioni in mm)
33..11..11.. DDii ff ffuussiioonnee vveerr tt iiccaallee ddeell ll ’’ iimmpprroonnttaa ddii ccaarr iiccoo
Per il calcolo degli effetti dovuti ai carichi variabili da traffico si considera in primo luogo
una diffusione verticale a 45° dell’impronta di car ico fino al raggiungimento del piano
medio della soletta. La diffusione deve considerare anche lo spessore della
pavimentazione stradale in conglomerato bituminoso assunta pari a 10 centimetri.
Figura 11 – Diffusione verticale delle impronte di carico da traffico
La diffusione verticale dei carichi associati ai vari schemi statici ha evidenziato i seguenti
valori:
Progetto di un ponte a travata
16
Schema di carico B impronta [m] B efficace [m]
1 0,40 0,90 2 0,35 0,85 4 0,10 0,70
Tabella 5 – Larghezze efficaci dalla diffusione verticale
33..11..22.. DDii ff ffuussiioonnee oorr iizzzzoonnttaallee ddeell ll ’’ iimmpprroonnttaa ddii ccaarr iiccoo
La soletta in c.a. viene schematizzata come un elemento bidimensionale e analizzata con
un modello a piastra al fine di calcolare come il carico si ripartisce tra la direzione
longitudinale e trasversale. Effettuata la diffusione verticale, occorre compiere una
ulteriore diffusione orizzontale a 45° a partire da l punto medio della larghezza efficace,
precedentemente calcolata, fino al raggiungimento della trave più vicina. In presenza di
due carichi, se le proiezioni delle impronte si intersecano si ricava una larghezza inferiore
a quella che si otterrebbe dalla somma delle diffusioni dei due carichi valutati
separatamente. Nel caso non si verifichi alcuna intersezione (carichi vicini alle travi) la
larghezza efficace è quella che risulta dalla semplice proiezione di un’impronta.
Figura 12 – Diffusione orizzontale delle impronte di carico da traffico
Progetto di un ponte a travata
17
33..11..33.. CCoommbbiinnaazziioonnii dd ii ccaarr iiccoo
Al fine di massimizzare le sollecitazioni nella soletta vengono considerate 10 combinazioni
di carico ricavate da un attento studio delle linee di influenza. Le combinazioni sono state
raccolte in 5 gruppi dove in ognuno dei quali si è valutato come azione variabile dominante
prima i carichi associati allo schema di carico 1 e poi quelli/o associati/o allo schema di
carico 2.
Gruppo 1: massimizzazione M A
Nella tabella seguente si riassumono le grandezze i coefficienti valutati nelle combinazioni
di carico 1 e 2.
Combinazione 1 Combinazione 2
Azione Valore [u.m.] bdiffusa [m] Q/bdiffusa [u.m.] γγγγ ψψψψ0000 Fd [u.m.]/m γγγγ ψψψψ0000 Fd [u.m.]/m
Sdc 1
Q1k,sx 150 kN 1,9 78,947 kN/m 1,35 1 106,579 kN 1,35 0 0 kN
Q1k,dx 150 kN 1,7 88,235 kN/m 1,35 1 119,118 kN 1,35 0 0 kN
Q2k,sx 100 kN 1 100,000 kN/m 1,35 1 135,000 kN 1,35 0 0 kN
Q2k,dx 100 kN 1 100,000 kN/m 1,35 1 135,000 kN 1,35 0 0 kN
q1k 9 kN/m / / / 1,35 1 12,150 kN/m 1,35 0 0 kN/m
q2k 2,5 kN/m / / / 1,35 1 3,375 kN/m 1,35 0 0 kN/m
Sdc 2 Qak 200 kN 2,95 67,797 kN/m 1,35 0 0,000 kN 1,35 1 91,5254 kN
Sdc 4 Qrk,sx 10 kN 3,7 2,703 kN/m 1,35 0,4 1,459 kN 1,35 0,4 1,45946 kN
Qrk,dx 10 kN 3,7 2,703 kN/m 1,35 0,4 1,459 kN 1,35 0,4 1,45946 kN
Sdc 5 qfk,sx 2,5 kN/m / / / 1,35 0,4 1,350 kN/m 1,35 0,4 1,35 kN/m
qfk,dx 2,5 kN/m / / / 1,35 0,4 1,350 kN/m 1,35 0,4 1,35 kN/m
g1
g1,marci,sx 7,5 kN/m / / / 1,35 / 10,125 kN/m 1,35 / 10,125 kN/m
g1,AB 7,5 kN/m / / / 1,35 / 10,125 kN/m 1,35 / 10,125 kN/m
g1,BC 7,5 kN/m / / / 1 / 7,500 kN/m 1 / 7,5 kN/m
g1,CD 7,5 kN/m / / / 1,35 / 10,125 kN/m 1,35 / 10,125 kN/m
g1,DE 7,5 kN/m / / / 1 / 7,500 kN/m 1 / 7,5 kN/m
g1,marci,dx 7,5 kN/m / / / 1,35 / 10,125 kN/m 1,35 / 10,125 kN/m
g2
G2,sx 1,3 kN / / / 1,5 / 1,950 kN 1,5 / 1,95 kN
g2,marci,sx 5,95 kN/m / / / 1,5 / 8,925 kN/m 1,5 / 8,925 kN/m
g2,AB 1,9 kN/m / / / 1,5 / 2,850 kN/m 1,5 / 2,85 kN/m
g2,BC 1,9 kN/m / / / 0 / 0,000 kN/m 0 / 0 kN/m
g2,CD 1,9 kN/m / / / 1,5 / 2,850 kN/m 1,5 / 2,85 kN/m
g2,DE 1,9 kN/m / / / 0 / 0,000 kN/m 0 / 0 kN/m
g2,marci,dx 5,95 kN/m / / / 1,5 / 8,925 kN/m 1,5 / 8,925 kN/m
G2,dx 1,3 kN / / / 1,5 / 1,950 kN 1,5 / 1,95 kN
Tabella 6 – Combinazioni di carico 1-2
Progetto di un ponte a travata
18
La linea di influenza e le combinazioni di carico sono riportate nella figura sottostante. Per
massimizzare il momento in A sarebbe comunque sufficiente considerare esclusivamente
lo sbalzo adiacente e schematizzare il vincolo come un incastro perfetto.
Figura 13 – Linea di influenza e combinazioni 1-2 della soletta
Progetto di un ponte a travata
19
Gruppo 2: massimizzazione M AB
Nella tabella seguente si riassumono le grandezze i coefficienti valutati nelle combinazioni
di carico 3 e 4.
Combinazione 3 Combinazione 4
Azione Valore [u.m.] bdiffusa [m] Q/bdiffusa [u.m.] γγγγ ψψψψ0000 Fd [u.m.]/m γγγγ ψψψψ0000 Fd [u.m.]/m
Sdc 1
Q1k,sx 150 kN 1,9 78,947 kN/m 1,35 1 106,579 kN 1,35 0 0 kN
Q1k,dx 150 kN 1,7 88,235 kN/m 1,35 1 119,118 kN 1,35 0 0 kN
Q2k,sx 100 kN 1 100,000 kN/m 1,35 1 135 kN 1,35 0 0 kN
Q2k,dx 100 kN 1 100,000 kN/m 1,35 1 135 kN 1,35 0 0 kN
q1k 9 kN/m / / / 1,35 1 12,15 kN/m 1,35 0 0 kN/m
q2k 2,5 kN/m / / / 1,35 1 3,375 kN/m 1,35 0 0 kN/m
Sdc 2 Qak 200 kN 2,95 67,797 kN/m 1,35 0 0 kN 1,35 1 91,525 kN
Sdc 4 Qrk,sx 10 kN 3,7 2,703 kN/m 0 0,4 0 kN 1,35 0 0 kN
Qrk,dx 10 kN 3,7 2,703 kN/m 1,35 0,4 1,45946 kN 1,35 0,4 1,459 kN
Sdc 5 qfk,sx 2,5 kN/m / / / 0 0,4 0 kN/m 1,35 0 0 kN/m
qfk,dx 2,5 kN/m / / / 1,35 0,4 1,35 kN/m 1,35 0,4 1,35 kN/m
g1
g1,marci,sx 7,5 kN/m / / / 1 / 7,5 kN/m 1 / 7,5 kN/m
g1,AB 7,5 kN/m / / / 1,35 / 10,125 kN/m 1,35 / 10,125 kN/m
g1,BC 7,5 kN/m / / / 1 / 7,5 kN/m 1 / 7,5 kN/m
g1,CD 7,5 kN/m / / / 1,35 / 10,125 kN/m 1,35 / 10,125 kN/m
g1,DE 7,5 kN/m / / / 1 / 7,5 kN/m 1 / 7,5 kN/m
g1,marci,dx 7,5 kN/m / / / 1,35 / 10,125 kN/m 1,35 / 10,125 kN/m
g2
G2,sx 1,3 kN / / / 0 / 0 kN 0 / 0 kN
g2,marci,sx 5,95 kN/m / / / 0 / 0 kN/m 0 / 0 kN/m
g2,AB 1,9 kN/m / / / 1,5 / 2,85 kN/m 1,5 / 2,85 kN/m
g2,BC 1,9 kN/m / / / 0 / 0 kN/m 0 / 0 kN/m
g2,CD 1,9 kN/m / / / 1,5 / 2,85 kN/m 1,5 / 2,85 kN/m
g2,DE 1,9 kN/m / / / 0 / 0 kN/m 0 / 0 kN/m
g2,marci,dx 5,95 kN/m / / / 1,5 / 8,925 kN/m 1,5 / 8,925 kN/m
G2,dx 1,3 kN / / / 1,5 / 1,95 kN 1,5 / 1,95 kN
Tabella 7 – Combinazioni di carico 3-4
Progetto di un ponte a travata
20
La linea di influenza e le combinazioni di carico sono le seguenti:
Figura 14 - Linea di influenza e combinazioni 3-4 della soletta
Progetto di un ponte a travata
21
Gruppo 3: massimizzazione M B
Nella tabella seguente si riassumono le grandezze i coefficienti valutati nelle combinazioni
di carico 5 e 6.
Combinazione 5 Combinazione 6
Azione Valore [u.m.] bdiffusa [m] Q/bdiffusa [u.m.] γγγγ ψψψψ0000 Fd [u.m.]/m γγγγ ψψψψ0000 Fd [u.m.]/m
Sdc 1
Q1k,sx 150 kN 1,9 78,947 kN/m 1,35 1 106,579 kN 1,35 0 0 kN
Q1k,dx 150 kN 1,7 88,235 kN/m 1,35 1 119,118 kN 1,35 0 0 kN
Q2k,sx 100 kN 4,3 46,512 kN/m 1,35 1 62,7907 kN 1,35 0 0 kN
Q2k,dx 100 kN 4,5 44,444 kN/m 1,35 1 60 kN 1,35 0 0 kN
q1k 9 kN/m / / / 1,35 1 12,15 kN/m 1,35 0 0 kN/m
q2k 2,5 kN/m / / / 1,35 1 3,375 kN/m 1,35 0 0 kN/m
Sdc 2 Qak 200 kN 2,85 70,175 kN/m 1,35 0 0 kN 1,35 1 94,737 kN
Sdc 4 Qrk,sx 10 kN 3,7 2,703 kN/m 0 0,4 0 kN 0 0 0 kN
Qrk,dx 10 kN 3,7 2,703 kN/m 0 0,4 0 kN 0 0 0 kN
Sdc 5 qfk,sx 2,5 kN/m / / / 0 0,4 0 kN/m 0 0 0 kN/m
qfk,dx 2,5 kN/m / / / 0 0,4 0 kN/m 0 0 0 kN/m
g1
g1,marci,sx 7,5 kN/m / / / 1 / 7,5 kN/m 1 / 7,5 kN/m
g1,AB 7,5 kN/m / / / 1,35 / 10,125 kN/m 1,35 / 10,125 kN/m
g1,BC 7,5 kN/m / / / 1,35 / 10,125 kN/m 1,35 / 10,125 kN/m
g1,CD 7,5 kN/m / / / 1 / 7,5 kN/m 1 / 7,5 kN/m
g1,DE 7,5 kN/m / / / 1,35 / 10,125 kN/m 1,35 / 10,125 kN/m
g1,marci,dx 7,5 kN/m / / / 1 / 7,5 kN/m 1 / 7,5 kN/m
g2
G2,sx 1,3 kN / / / 0 / 0 kN 0 / 0 kN
g2,marci,sx 5,95 kN/m / / / 0 / 0 kN/m 0 / 0 kN/m
g2,AB 1,9 kN/m / / / 1,5 / 2,85 kN/m 1,5 / 2,85 kN/m
g2,BC 1,9 kN/m / / / 1,5 / 2,85 kN/m 1,5 / 2,85 kN/m
g2,CD 1,9 kN/m / / / 0 / 0 kN/m 0 / 0 kN/m
g2,DE 1,9 kN/m / / / 1,5 / 2,85 kN/m 1,5 / 2,85 kN/m
g2,marci,dx 5,95 kN/m / / / 0 / 0 kN/m 0 / 0 kN/m
G2,dx 1,3 kN / / / 0 / 0 kN 0 / 0 kN
Tabella 8 – Combinazioni di carico 5-6
Progetto di un ponte a travata
22
La linea di influenza e le combinazioni di carico sono le seguenti:
Figura 15 – Linea di influenza e combinazioni 5-6 della soletta
Progetto di un ponte a travata
23
Gruppo 4: massimizzazione M BC
Nella tabella seguente si riassumono le grandezze i coefficienti valutati nelle combinazioni
di carico 7 e 8.
Combinazione 7 Combinazione 8
Azione Valore [u.m.] bdiffusa [m] Q/bdiffusa [u.m.] γγγγ ψψψψ0000 Fd [u.m.]/m γγγγ ψψψψ0000 Fd [u.m.]/m
Sdc 1
Q1k,sx 150 kN 1 150,000 kN/m 1,35 1 202,5 kN 1,35 0 0 kN
Q1k,dx 150 kN 1 150,000 kN/m 1,35 1 202,5 kN 1,35 0 0 kN
Q2k,sx 100 kN 1,7 58,824 kN/m 1,35 1 79,4118 kN 1,35 0 0 kN
Q2k,dx 100 kN 1,9 52,632 kN/m 1,35 1 71,0526 kN 1,35 0 0 kN
q1k 9 kN/m / / / 1,35 1 12,15 kN/m 1,35 0 0 kN/m
q2k 2,5 kN/m / / / 1,35 1 3,375 kN/m 1,35 0 0 kN/m
Sdc 2 Qak 200 kN 2,95 67,797 kN/m 1,35 0 0 kN 1,35 1 91,5254 kN
Sdc 4 Qrk,sx 10 kN 3,7 2,703 kN/m 1,35 0,4 1,45946 kN 1,35 0,4 1,45946 kN
Qrk,dx 10 kN 3,7 2,703 kN/m 0 0,4 0 kN 0 0,4 0 kN
Sdc 5 qfk,sx 2,5 kN/m / / / 1,35 0,4 1,35 kN/m 1,35 0,4 1,35 kN/m
qfk,dx 2,5 kN/m / / / 0 0,4 0 kN/m 0 0,4 0 kN/m
g1
g1,marci,sx 7,5 kN/m / / / 1,35 / 10,125 kN/m 1,35 / 10,125 kN/m
g1,AB 7,5 kN/m / / / 1 / 7,5 kN/m 1 / 7,5 kN/m
g1,BC 7,5 kN/m / / / 1,35 / 10,125 kN/m 1,35 / 10,125 kN/m
g1,CD 7,5 kN/m / / / 1 / 7,5 kN/m 1 / 7,5 kN/m
g1,DE 7,5 kN/m / / / 1,35 / 10,125 kN/m 1,35 / 10,125 kN/m
g1,marci,dx 7,5 kN/m / / / 1 / 7,5 kN/m 1 / 7,5 kN/m
g2
G2,sx 1,3 kN / / / 1,5 / 1,95 kN 1,5 / 1,95 kN
g2,marci,sx 5,95 kN/m / / / 1,5 / 8,925 kN/m 1,5 / 8,925 kN/m
g2,AB 1,9 kN/m / / / 0 / 0 kN/m 0 / 0 kN/m
g2,BC 1,9 kN/m / / / 1,5 / 2,85 kN/m 1,5 / 2,85 kN/m
g2,CD 1,9 kN/m / / / 0 / 0 kN/m 0 / 0 kN/m
g2,DE 1,9 kN/m / / / 1,5 / 2,85 kN/m 1,5 / 2,85 kN/m
g2,marci,dx 5,95 kN/m / / / 0 / 0 kN/m 0 / 0 kN/m
G2,dx 1,3 kN / / / 0 / 0 kN 0 / 0 kN
Tabella 9 – Combinazioni di carico 7-8
Progetto di un ponte a travata
24
La linea di influenza e le combinazioni di carico sono le seguenti:
Figura 16 - Linea di influenza e combinazioni 7-8 della soletta
Progetto di un ponte a travata
25
Gruppo 5: massimizzazione M C
Nella tabella seguente si riassumono le grandezze i coefficienti valutati nelle combinazioni
di carico 9 e 10.
Combinazione 9 Combinazione 10
Azione Valore [u.m.] bdiffusa [m] Q/bdiffusa [u.m.] γγγγ ψψψψ0000 Fd [u.m.]/m γγγγ ψψψψ0000 Fd [u.m.]/m
Sdc 1
Q1k,sx 150 kN 1,7 88,235 kN/m 1,35 1 119,118 kN 1,35 0 0 kN
Q1k,dx 150 kN 1,9 78,947 kN/m 1,35 1 106,579 kN 1,35 0 0 kN
Q2k,sx 100 kN 1,9 52,632 kN/m 1,35 1 71,0526 kN 1,35 0 0 kN
Q2k,dx 100 kN 1,7 58,824 kN/m 1,35 1 79,4118 kN 1,35 0 0 kN
q1k 9 kN/m / / / 1,35 1 12,15 kN/m 1,35 0 0 kN/m
q2k 2,5 kN/m / / / 1,35 1 3,375 kN/m 1,35 0 0 kN/m
Sdc 2 Qak 200 kN 2,95 67,797 kN/m 1,35 0 0 kN 1,35 1 91,5254 kN
Sdc 4 Qrk,sx 10 kN 3,7 2,703 kN/m 1,35 0,4 1,45946 kN 1,35 0,4 1,45946 kN
Qrk,dx 10 kN 3,7 2,703 kN/m 1,35 0,4 1,45946 kN 1,35 0,4 1,45946 kN
Sdc 5 qfk,sx 2,5 kN/m / / / 1,35 0,4 1,35 kN/m 1,35 0,4 1,35 kN/m
qfk,dx 2,5 kN/m / / / 1,35 0,4 1,35 kN/m 1,35 0,4 1,35 kN/m
g1
g1,marci,sx 7,5 kN/m / / / 1,35 / 10,125 kN/m 1,35 / 10,125 kN/m
g1,AB 7,5 kN/m / / / 1 / 7,5 kN/m 1 / 7,5 kN/m
g1,BC 7,5 kN/m / / / 1,35 / 10,125 kN/m 1,35 / 10,125 kN/m
g1,CD 7,5 kN/m / / / 1,35 / 10,125 kN/m 1,35 / 10,125 kN/m
g1,DE 7,5 kN/m / / / 1 / 7,5 kN/m 1 / 7,5 kN/m
g1,marci,dx 7,5 kN/m / / / 1,35 / 10,125 kN/m 1,35 / 10,125 kN/m
g2
G2,sx 1,3 kN / / / 1,5 / 1,95 kN 1,5 / 1,95 kN
g2,marci,sx 5,95 kN/m / / / 1,5 / 8,925 kN/m 1,5 / 8,925 kN/m
g2,AB 1,9 kN/m / / / 0 / 0 kN/m 0 / 0 kN/m
g2,BC 1,9 kN/m / / / 1,5 / 2,85 kN/m 1,5 / 2,85 kN/m
g2,CD 1,9 kN/m / / / 1,5 / 2,85 kN/m 1,5 / 2,85 kN/m
g2,DE 1,9 kN/m / / / 0 / 0 kN/m 0 / 0 kN/m
g2,marci,dx 5,95 kN/m / / / 1,5 / 8,925 kN/m 1,5 / 8,925 kN/m
G2,dx 1,3 kN / / / 1,5 / 1,95 kN 1,5 / 1,95 kN
Tabella 10 - Combinazioni di carico 9-10
Progetto di un ponte a travata
26
La linea di influenza e le combinazioni di carico sono le seguenti:
Figura 17 - Linea di influenza e combinazioni 9-10 della soletta
Progetto di un ponte a travata
27
33..11..44.. CCaarraatt tteerr iisstt iicchhee ddeell llaa ssooll lleeccii ttaazziioonnee
L’analisi statica della trave continua è stata condotta con il software di calcolo strutturale
agli elementi finiti Sap2000.
33..11..44..11.. IInnvvii lluuppppoo ddeell mmoommeennttoo ee ddeell ttaaggll iioo ssooll lleeccii ttaannttee
Dall’analisi condotta le sollecitazioni massime nelle varie sezioni calcolate per una soletta
di larghezza unitaria risultano essere:
Sezione M max,+ [kNm/m] M max,- [kNm/m] V max [kN/m]
A 0 -29,025 107,357 AB 41,090 / / B 0 -57,111 116,796
BC 38,952 / / C 0 -39,811 234,921
Tabella 11 – Massime sollecitazioni
I diagrammi risultanti dall’inviluppo delle caratteristiche delle sollecitazioni relativi alle 10
combinazioni di carico sono:
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
0 2 4 6 8 10 12
Mo
me
nto
[k
Nm
/m]
Distanza [m]
Inviluppo momento sollecitante
Mmax,pos Mmax,neg
Progetto di un ponte a travata
28
33..11..44..22.. TTrraassllaazziioonnee ddeell mmoommeennttoo ssooll lleeccii ttaannttee
La traslazione del momento deve avvenire nel verso che dà luogo ad un aumento in valore
assoluto del momento flettente. Si assumono le seguenti grandezze legate anche alla
tipologia del traliccio previsto per le lastre predalles:
inclinazione dei puntoni di cls cotgθ = 2
inclinazione dei tralicci α = 66°
massima altezza utile d = 260 mm
Il momento flettente deve essere traslato della quantità:
( ) 0,9181,910
2d
a ctg ctg mmϑ α ⋅= − =
-300
-200
-100
0
100
200
300
0 2 4 6 8 10 12
Ta
gli
o [
kN
/m]
Distanza [m]
Inviluppo taglio sollecitante
Vmax,pos Vmax,neg
Progetto di un ponte a travata
29
33..11..55.. DDiimmeennssiioonnaammeennttoo ee vveerr ii ff ii ccaa ddeell llee aarrmmaattuurree lloonnggii ttuuddiinnaall ii aa mmoommeennttoo
Essendo una piastra, la soletta riprende i carichi concentrati legati al traffico sia in
direzione longitudinale (ortogonale all’asse del ponte) che in direzione trasversale
(parallelo all’asse del ponte). Per tale ragione sono state dimensionate le armature in
direzione longitudinale e successivamente quelle ortogonali con un’aliquota delle
sollecitazioni pari al 25%. La percentuale assunta in prossimità degli appoggi è invece il
50% per tenere in considerazione la discontinuità dell’impalcato dove si hanno
concentrazioni di forze dovute all’effetto dinamico dell’urto con le ruote. A favore di
sicurezza viene trascurata l’armatura presente all’interno della soletta delle lastre
predalles.
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
0 2 4 6 8 10 12
Mo
me
nto
[k
Nm
/m]
Distanza [m]
Traslazione momento sollecitante
Mmax,pos Mmax,neg Traslazione M- Traslazione M+
Progetto di un ponte a travata
30
33..11..55..11.. SSeezziioonnee AA
Verifica a momento negativo
Momento massimo Msdu= -29,025 kNm/m
Dimensionamento delle armature longitudinali
b = 1000 mm
h = 300 mm
d = 260 mm
d’ = 57 mm
d’’ = 40 mm
sp = 50 mm
È necessario eseguire un predimensionamento delle armature utilizzando la seguente
formula semplificata:
Armatura minima tesa 2,min 316,987
0,9sdu
ssd
MA mm m
d f= =
⋅ ⋅
Armatura tesa adottata 25 14 770sA mm mφ ⇒ =
Armatura compressa adottata 25 14 770sA mm mφ ⇒ =
Come previsto dalla norma NTC2008 nel punto 4.1.6.1.1, l’area dell’armatura longitudinale
in zona tesa non deve essere inferiore alle seguenti limitazioni:
2 2,min 0,26 384,286 770ctm
s tyk
fA b d mm m mm m VERIFICATO
f= ⋅ ⋅ ⋅ = < ⇒
2 2,min 0,0013 338,000 770s tA b d mm m mm m VERIFICATO= ⋅ ⋅ = < ⇒
Inoltre al di fuori delle zone di sovrapposizione, l’area di armatura tesa o compressa non
deve superare individualmente il 4% dell’area della sezione trasversale di calcestruzzo:
20,04 12000s cA A mm m VERIFICATO< ⋅ = ⇒
2' 0,04 12000s cA A mm m VERIFICATO< ⋅ = ⇒
Deve essere poi soddisfatta la seguente relazione:
0,26% 0,15%sAVERIFICATO
b h= > ⇒
⋅
Progetto di un ponte a travata
31
Verifica a momento flettente
• Ipotesi campo 2
Posizione asse neutro 0 0,259x d≤ ≤ ⋅
Deformazione acciaio teso 10‰sε =
Deformazione cls compresso 0‰ 3,5‰cε≤ ≤
Posizione armatura superiore '
' 0,219dd
δ = =
Coefficiente di tensione 27,732s
cdfσα = =
Coefficiente di tensione '
' 12,191s
cdfσα = = −
Percentuale geometrica armatura tesa 0,30%sAb d
ρ = =⋅
Percentuale geometrica armatura compressa '
' 0,30%sAb d
ρ = =⋅
Equazione di equilibrio alla traslazione dimensionale:
0,8 ' ' 0cd s s s sx b f A Aσ σ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ =
Equazione di equilibrio alla traslazione adimensionale e posizione dell’asse neutro:
0,8 ' ' 0 0,148 0,259 2d CAMPOη ρ α ρα η+ − = ⇒ = < ⋅ ⇒
Verifica ipotesi acciaio compresso elastico:
( ) ( )( )
'' 0,084% 0,19%
1s
s syd VERIFICATOε η δ
ε η εη
⋅ −= = < = ⇒
−
Posizione asse neutro 38,505x d mmη= ⋅ =
Momento resistente ultimo adimensionale:
( ) ( )2' ' 0,4 ' 1 0,4 0,083Rd
cd
Mm
b d fρ α η δ ρα η= = − + − =
⋅ ⋅
Momento resistente ultimo adimensionale:
( ) ( )' ' 0,4 ' 0,4 79,208 29,029Rd s s s sM A x d A d x kNm kNm VERIFICATOσ σ= ⋅ − + ⋅ − = > ⇒
Progetto di un ponte a travata
32
33..11..55..22.. SSeezziioonnee AABB
Verifica a momento positivo
Momento massimo Msdu= 41,090 kNm/m
Dimensionamento delle armature longitudinali
b = 1000 mm
h = 300 mm
d = 243 mm
d’ = 40 mm
d’’ = 57 mm
sp = 50 mm
È necessario eseguire un predimensionamento delle armature utilizzando la seguente
formula semplificata:
Armatura minima tesa 2,min 480,146
0,9sdu
ssd
MA mm m
d f= =
⋅ ⋅
Armatura tesa adottata 25 14 770sA mm mφ ⇒ =
Armatura compressa adottata 25 14 770sA mm mφ ⇒ =
Come previsto dalla norma NTC2008 nel punto 4.1.6.1.1, l’area dell’armatura longitudinale
in zona tesa non deve essere inferiore alle seguenti limitazioni:
2 2,min 0,26 359,160 770ctm
s tyk
fA b d mm m mm m VERIFICATO
f= ⋅ ⋅ ⋅ = < ⇒
2 2,min 0,0013 315,900 770s tA b d mm m mm m VERIFICATO= ⋅ ⋅ = < ⇒
Inoltre al di fuori delle zone di sovrapposizione, l’area di armatura tesa o compressa non
deve superare individualmente il 4% dell’area della sezione trasversale di calcestruzzo:
20,04 12000s cA A mm m VERIFICATO< ⋅ = ⇒
2' 0,04 12000s cA A mm m VERIFICATO< ⋅ = ⇒
Deve essere poi soddisfatta la seguente relazione:
0,26% 0,15%sAVERIFICATO
b h= > ⇒
⋅
Progetto di un ponte a travata
33
Verifica a momento flettente
• Ipotesi campo 2
Posizione asse neutro 0 0,259x d≤ ≤ ⋅
Deformazione acciaio teso 10‰sε =
Deformazione cls compresso 0‰ 3,5‰cε≤ ≤
Posizione armatura superiore '
' 0,165dd
δ = =
Coefficiente di tensione 27,732s
cdf
σα = =
Coefficiente di tensione '
' 5,521s
cdf
σα = = −
Percentuale geometrica armatura tesa 0,32%sAb d
ρ = =⋅
Percentuale geometrica armatura compressa '
' 0,32%sAb d
ρ = =⋅
Equazione di equilibrio alla traslazione dimensionale:
0,8 ' ' 0cd s s s sx b f A Aσ σ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ =
Equazione di equilibrio alla traslazione adimensionale e posizione dell’asse neutro:
0,8 ' ' 0 0,132 0,259 2d CAMPOη ρ α ρα η+ − = ⇒ = < ⋅ ⇒
Verifica ipotesi acciaio compresso elastico:
( ) ( )( )
'' 0,038% 0,19%
1s
s syd VERIFICATOε η δ
ε η εη
⋅ −= = < = ⇒
−
Posizione asse neutro 32,021x d mmη= ⋅ =
Momento resistente ultimo adimensionale:
( ) ( )2' ' 0,4 ' 1 0,4 0,085Rd
cd
Mm
b d fρ α η δ ρα η= = − + − =
⋅ ⋅
Momento resistente ultimo adimensionale:
( ) ( )' ' 0,4 ' 0,4 79,989 41,090Rd s s s sM A x d A d x kNm kNm VERIFICATOσ σ= ⋅ − + ⋅ − = > ⇒
Progetto di un ponte a travata
34
33..11..55..33.. SSeezziioonnee BB
Verifica a momento negativo
Momento massimo Msdu= -57,111 kNm/m
Dimensionamento delle armature longitudinali
b = 1000 mm
h = 300 mm
d = 260 mm
d’ = 57 mm
d’’ = 40 mm
sp = 50 mm
È necessario eseguire un predimensionamento delle armature utilizzando la seguente
formula semplificata:
Armatura minima tesa 2,min 623,717
0,9sdu
ssd
MA mm m
d f= =
⋅ ⋅
Armatura tesa adottata 25 14 770sA mm mφ ⇒ =
Armatura compressa adottata 25 14 770sA mm mφ ⇒ =
Come previsto dalla norma NTC2008 nel punto 4.1.6.1.1, l’area dell’armatura longitudinale
in zona tesa non deve essere inferiore alle seguenti limitazioni:
2 2,min 0,26 384,286 770ctm
s tyk
fA b d mm m mm m VERIFICATO
f= ⋅ ⋅ ⋅ = < ⇒
2 2,min 0,0013 338,000 770s tA b d mm m mm m VERIFICATO= ⋅ ⋅ = < ⇒
Inoltre al di fuori delle zone di sovrapposizione, l’area di armatura tesa o compressa non
deve superare individualmente il 4% dell’area della sezione trasversale di calcestruzzo:
20,04 12000s cA A mm m VERIFICATO< ⋅ = ⇒
2' 0,04 12000s cA A mm m VERIFICATO< ⋅ = ⇒
Deve essere poi soddisfatta la seguente relazione:
0,26% 0,15%sAVERIFICATO
b h= > ⇒
⋅
Progetto di un ponte a travata
35
Verifica a momento flettente
• Ipotesi campo 2
Posizione asse neutro 0 0,259x d≤ ≤ ⋅
Deformazione acciaio teso 10‰sε =
Deformazione cls compresso 0‰ 3,5‰cε≤ ≤
Posizione armatura superiore '
' 0,219dd
δ = =
Coefficiente di tensione 27,732s
cdf
σα = =
Coefficiente di tensione '
' 12,191s
cdf
σα = = −
Percentuale geometrica armatura tesa 0,30%sAb d
ρ = =⋅
Percentuale geometrica armatura compressa '
' 0,30%sAb d
ρ = =⋅
Equazione di equilibrio alla traslazione dimensionale:
0,8 ' ' 0cd s s s sx b f A Aσ σ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ =
Equazione di equilibrio alla traslazione adimensionale e posizione dell’asse neutro:
0,8 ' ' 0 0,148 0,259 2d CAMPOη ρ α ρα η+ − = ⇒ = < ⋅ ⇒
Verifica ipotesi acciaio compresso elastico:
( ) ( )( )
'' 0,084% 0,19%
1s
s syd VERIFICATOε η δ
ε η εη
⋅ −= = < = ⇒
−
Posizione asse neutro 38,505x d mmη= ⋅ =
Momento resistente ultimo adimensionale:
( ) ( )2' ' 0,4 ' 1 0,4 0,083Rd
cd
Mm
b d fρ α η δ ρα η= = − + − =
⋅ ⋅
Momento resistente ultimo adimensionale:
( ) ( )' ' 0,4 ' 0,4 79,208 57,111Rd s s s sM A x d A d x kNm kNm VERIFICATOσ σ= ⋅ − + ⋅ − = > ⇒
Progetto di un ponte a travata
36
33..11..55..44.. SSeezziioonnee BBCC
Verifica a momento positivo
Momento massimo Msdu= 38,952 kNm/m
Dimensionamento delle armature longitudinali
b = 1000 mm
h = 300 mm
d = 243 mm
d’ = 40 mm
d’’ = 57 mm
sp = 50 mm
È necessario eseguire un predimensionamento delle armature utilizzando la seguente
formula semplificata:
Armatura minima tesa 2,min 623,717
0,9sdu
ssd
MA mm m
d f= =
⋅ ⋅
Armatura tesa adottata 25 14 770sA mm mφ ⇒ =
Armatura compressa adottata 25 14 770sA mm mφ ⇒ =
Come previsto dalla norma NTC2008 nel punto 4.1.6.1.1, l’area dell’armatura longitudinale
in zona tesa non deve essere inferiore alle seguenti limitazioni:
2 2,min 0,26 359,160 770ctm
s tyk
fA b d mm m mm m VERIFICATO
f= ⋅ ⋅ ⋅ = < ⇒
2 2,min 0,0013 315,900 770s tA b d mm m mm m VERIFICATO= ⋅ ⋅ = < ⇒
Inoltre al di fuori delle zone di sovrapposizione, l’area di armatura tesa o compressa non
deve superare individualmente il 4% dell’area della sezione trasversale di calcestruzzo:
20,04 12000s cA A mm m VERIFICATO< ⋅ = ⇒
2' 0,04 12000s cA A mm m VERIFICATO< ⋅ = ⇒
Deve essere poi soddisfatta la seguente relazione:
0,26% 0,15%sAVERIFICATO
b h= > ⇒
⋅
Progetto di un ponte a travata
37
Verifica a momento flettente
• Ipotesi campo 2
Posizione asse neutro 0 0,259x d≤ ≤ ⋅
Deformazione acciaio teso 10‰sε =
Deformazione cls compresso 0‰ 3,5‰cε≤ ≤
Posizione armatura superiore '
' 0,165dd
δ = =
Coefficiente di tensione 27,732s
cdf
σα = =
Coefficiente di tensione '
' 5,516s
cdf
σα = = −
Percentuale geometrica armatura tesa 0,32%sAb d
ρ = =⋅
Percentuale geometrica armatura compressa '
' 0,32%sAb d
ρ = =⋅
Equazione di equilibrio alla traslazione dimensionale:
0,8 ' ' 0cd s s s sx b f A Aσ σ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ =
Equazione di equilibrio alla traslazione adimensionale e posizione dell’asse neutro:
0,8 ' ' 0 0,132 0,259 2d CAMPOη ρ α ρα η+ − = ⇒ = < ⋅ ⇒
Verifica ipotesi acciaio compresso elastico:
( ) ( )( )
'' 0,038% 0,19%
1s
s syd VERIFICATOε η δ
ε η εη
⋅ −= = < = ⇒
−
Posizione asse neutro 32,029x d mmη= ⋅ =
Momento resistente ultimo adimensionale:
( ) ( )2' ' 0,4 ' 1 0,4 0,085Rd
cd
Mm
b d fρ α η δ ρα η= = − + − =
⋅ ⋅
Momento resistente ultimo adimensionale:
( ) ( )' ' 0,4 ' 0,4 79,986 38,952Rd s s s sM A x d A d x kNm kNm VERIFICATOσ σ= ⋅ − + ⋅ − = > ⇒
Progetto di un ponte a travata
38
33..11..55..55.. SSeezziioonnee CC
Verifica a momento negativo
Momento massimo Msdu= -39,812 kNm/m
Dimensionamento delle armature longitudinali
b = 1000 mm
h = 300 mm
d = 260 mm
d’ = 57 mm
d’’ = 40 mm
sp = 50 mm
È necessario eseguire un predimensionamento delle armature utilizzando la seguente
formula semplificata:
Armatura minima tesa 2,min 434,782
0,9sdu
ssd
MA mm m
d f= =
⋅ ⋅
Armatura tesa adottata 25 14 770sA mm mφ ⇒ =
Armatura compressa adottata 25 14 770sA mm mφ ⇒ =
Come previsto dalla norma NTC2008 nel punto 4.1.6.1.1, l’area dell’armatura longitudinale
in zona tesa non deve essere inferiore alle seguenti limitazioni:
2 2,min 0,26 384,286 770ctm
s tyk
fA b d mm m mm m VERIFICATO
f= ⋅ ⋅ ⋅ = < ⇒
2 2,min 0,0013 338,000 770s tA b d mm m mm m VERIFICATO= ⋅ ⋅ = < ⇒
Inoltre al di fuori delle zone di sovrapposizione, l’area di armatura tesa o compressa non
deve superare individualmente il 4% dell’area della sezione trasversale di calcestruzzo:
20,04 12000s cA A mm m VERIFICATO< ⋅ = ⇒
2' 0,04 12000s cA A mm m VERIFICATO< ⋅ = ⇒
Deve essere poi soddisfatta la seguente relazione:
0,26% 0,15%sAVERIFICATO
b h= > ⇒
⋅
Progetto di un ponte a travata
39
Verifica a momento flettente
• Ipotesi campo 2
Posizione asse neutro 0 0,259x d≤ ≤ ⋅
Deformazione acciaio teso 10‰sε =
Deformazione cls compresso 0‰ 3,5‰cε≤ ≤
Posizione armatura superiore '
' 0,219dd
δ = =
Coefficiente di tensione 27,732s
cdf
σα = =
Coefficiente di tensione '
' 12,191s
cdf
σα = = −
Percentuale geometrica armatura tesa 0,30%sAb d
ρ = =⋅
Percentuale geometrica armatura compressa '
' 0,30%sAb d
ρ = =⋅
Equazione di equilibrio alla traslazione dimensionale:
0,8 ' ' 0cd s s s sx b f A Aσ σ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ =
Equazione di equilibrio alla traslazione adimensionale e posizione dell’asse neutro:
0,8 ' ' 0 0,148 0,259 2d CAMPOη ρ α ρα η+ − = ⇒ = < ⋅ ⇒
Verifica ipotesi acciaio compresso elastico:
( ) ( )( )
'' 0,084% 0,19%
1s
s syd VERIFICATOε η δ
ε η εη
⋅ −= = < = ⇒
−
Posizione asse neutro 38,505x d mmη= ⋅ =
Momento resistente ultimo adimensionale:
( ) ( )2' ' 0,4 ' 1 0,4 0,083Rd
cd
Mm
b d fρ α η δ ρα η= = − + − =
⋅ ⋅
Momento resistente ultimo adimensionale:
( ) ( )' ' 0,4 ' 0,4 79,208 39,812Rd s s s sM A x d A d x kNm kNm VERIFICATOσ σ= ⋅ − + ⋅ − = > ⇒
Progetto di un ponte a travata
40
33..11..55..66.. DDiiaaggrraammmmaa ddeell mmoommeennttoo rreessiisstteennttee
Nella tabella riassuntiva seguente si riportano le armature adottate nelle varie sezioni e i
relativi momenti resistenti:
Sezione M Sdu [kNm/m] MRdu [kNm/m] Armatura tesa
Armatura compressa
A -29,025 79,208 5 Φ 14 5 Φ 14
AB 41,090 70,989 5 Φ 14 5 Φ 14
B -57,111 79,208 5 Φ 14 5 Φ 14
BC 38,952 70,986 5 Φ 14 5 Φ 14
C -39,811 70,986 5 Φ 14 5 Φ 14
Tabella 12 – Tabella riassuntiva dell’armatura adottata
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 2 4 6 8 10 12
Mo
me
nto
[k
Nm
/m]
Distanza [m]
Momento resistente
Mmax,pos Mmax,neg Traslazione M- Traslazione M+ Mres+ Mres-
Progetto di un ponte a travata
41
33..11..55..77.. AAnnccoorraaggggiioo
La normativa NTC2008 afferma al paragrafo 4.1.6.1.4 che “le armature longitudinali
devono essere interrotte ovvero sovrapposte preferibilmente nelle zone compresse o di
minore sollecitazione. La continuità fra le barre può effettuarsi mediante sovrapposizione,
calcolata in modo da assicurare l’ancoraggio di ciascuna barra. In ogni caso la lunghezza
di sovrapposizione nel tratto rettilineo deve essere non minore di 20 volte il diametro della
barra. La distanza mutua (interferro) nella sovrapposizione non deve superare 4 volte il
diametro.”
Viene dunque calcolata la lunghezza di ancoraggio con la formula successiva:
204
s sd sdb
bd bd
A f fL
f f
φ φπ φ
⋅ ⋅= = >
⋅ ⋅ ⋅
Diametro [mm] Lb [mm] L b,adottato [mm] 20Φ [mm] VERIFICA
14 509,885 550 280 OK
Tabella 13 – Lunghezza di ancoraggio adottata
33..11..55..88.. GGiiuunnzziioonnii
Per le giunzioni tra le barre si opta per una lunghezza pari a 40 diametri.
Diametro [mm] 40 Φ Lg,adottato [mm] VERIFICA
14 560 600 OK
Tabella 14 - Giunzioni adottate
33..11..66.. DDiimmeennssiioonnaammeennttoo ee vveerr ii ff ii ccaa ddeell llee aarrmmaattuurree tt rraassvveerrssaall ii aa mmoommeennttoo
Come anticipato in direzione trasversale alla soletta (parallela all’asse del ponte)
l’armatura deve contribuire a riprendere in campata il 25% del momento flettente valutato
longitudinalmente. In prossimità degli appoggi la percentuale adottata è invece il 50% per
considerare la discontinuità dell’impalcato dove si hanno concentrazioni di forze legate
all’effetto dinamico dell’urto con le ruote. Vista l’incertezza sul contributo della soletta della
lastra predalles, essa viene trascurata riducendo dunque l’altezza della sezione resistente
di calcestruzzo.
Progetto di un ponte a travata
42
33..11..66..11.. SSeezziioonnii AA--BB--CC ((CCaammppaattaa))
Verifica a momento negativo
Percentuale momento longitudinale 25%
Momento massimo ridotto Msdu,max,rid= -57,111 ·25% = -14,278 kNm/m
Dimensionamento delle armature trasversale
b = 1000 mm
h = 250 mm
d = 220 mm
d’ = 15 mm
d’’ = 30 mm
sp = 50 mm
È necessario eseguire un predimensionamento delle armature utilizzando la seguente
formula semplificata:
Armatura minima tesa 2,min 184,280
0,9sdu
ssd
MA mm m
d f= =
⋅ ⋅
Armatura tesa adottata 25 10 395sA mm mφ ⇒ =
Armatura compressa adottata 25 10 395sA mm mφ ⇒ =
Come previsto dalla norma NTC2008 nel punto 4.1.6.1.1, l’area dell’armatura longitudinale
in zona tesa non deve essere inferiore alle seguenti limitazioni:
2 2,min 0,26 325,165 395ctm
s tyk
fA b d mm m mm m VERIFICATO
f= ⋅ ⋅ ⋅ = < ⇒
2 2,min 0,0013 286,000 395s tA b d mm m mm m VERIFICATO= ⋅ ⋅ = < ⇒
Inoltre al di fuori delle zone di sovrapposizione, l’area di armatura tesa o compressa non
deve superare individualmente il 4% dell’area della sezione trasversale di calcestruzzo:
20,04 10000s cA A mm m VERIFICATO< ⋅ = ⇒
2' 0,04 10000s cA A mm m VERIFICATO< ⋅ = ⇒
Progetto di un ponte a travata
43
Deve essere poi soddisfatta la seguente relazione:
0,16% 0,15%sAVERIFICATO
b h= > ⇒
⋅
Verifica a momento flettente
• Ipotesi campo 2
Posizione asse neutro 0 0,259x d≤ ≤ ⋅
Deformazione acciaio teso 10‰sε =
Deformazione cls compresso 0‰ 3,5‰cε≤ ≤
Posizione armatura superiore '
' 0,068dd
δ = =
Coefficiente di tensione 27,732s
cdf
σα = =
Coefficiente di tensione '
' 0,636s
cdf
σα = = −
Percentuale geometrica armatura tesa 0,18%sAb d
ρ = =⋅
Percentuale geometrica armatura compressa '
' 0,18%sAb d
ρ = =⋅
Equazione di equilibrio alla traslazione dimensionale:
0,8 ' ' 0cd s s s sx b f A Aσ σ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ =
Equazione di equilibrio alla traslazione adimensionale e posizione dell’asse neutro:
0,8 ' ' 0 0,0641 0,259 2d CAMPOη ρ α ρα η+ − = ⇒ = < ⋅ ⇒
Verifica ipotesi acciaio compresso elastico:
( ) ( )( )
'' 0,004% 0,19%
1s
s syd VERIFICATOε η δ
ε η εη
⋅ −= = < = ⇒
−
Posizione asse neutro 14,103x d mmη= ⋅ =
Momento resistente ultimo adimensionale:
( ) ( )2' ' 0,4 ' 1 0,4 0,049Rd
cd
Mm
b d fρ α η δ ρα η= = − + − =
⋅ ⋅
Momento resistente ultimo adimensionale:
( ) ( )' ' 0,4 ' 0,4 33,166 14,278Rd s s s sM A x d A d x kNm kNm VERIFICATOσ σ= ⋅ − + ⋅ − = > ⇒
Progetto di un ponte a travata
44
33..11..66..22.. SSeezziioonnee AABB ––BBCC ((CCaammppaattaa))
Verifica a momento positivo
Percentuale momento longitudinale 25%
Momento massimo ridotto Msdu,max,rid= 41,090 ·25% = 10,273 kNm/m
Dimensionamento delle armature longitudinali
b = 1000 mm
h = 250 mm
d = 235 mm
d’ = 30 mm
d’’ = 15 mm
sp = 50 mm
È necessario eseguire un predimensionamento delle armature utilizzando la seguente
formula semplificata:
Armatura minima tesa 2,min 124,123
0,9sdu
ssd
MA mm m
d f= =
⋅ ⋅
Armatura tesa adottata 25 10 395sA mm mφ ⇒ =
Armatura compressa adottata 25 10 395sA mm mφ ⇒ =
Come previsto dalla norma NTC2008 nel punto 4.1.6.1.1, l’area dell’armatura longitudinale
in zona tesa non deve essere inferiore alle seguenti limitazioni:
2 2,min 0,26 347,336 395ctm
s tyk
fA b d mm m mm m VERIFICATO
f= ⋅ ⋅ ⋅ = < ⇒
2 2,min 0,0013 305,500 395s tA b d mm m mm m VERIFICATO= ⋅ ⋅ = < ⇒
Inoltre al di fuori delle zone di sovrapposizione, l’area di armatura tesa o compressa non
deve superare individualmente il 4% dell’area della sezione trasversale di calcestruzzo:
20,04 10000s cA A mm m VERIFICATO< ⋅ = ⇒
2' 0,04 10000s cA A mm m VERIFICATO< ⋅ = ⇒
Progetto di un ponte a travata
45
Deve essere poi soddisfatta la seguente relazione:
0,16% 0,15%sAVERIFICATO
b h= > ⇒
⋅
Verifica a momento flettente
• Ipotesi campo 2
Posizione asse neutro 0 0,259x d≤ ≤ ⋅
Deformazione acciaio teso 10‰sε =
Deformazione cls compresso 0‰ 3,5‰cε≤ ≤
Posizione armatura superiore '
' 0,128dd
δ = =
Coefficiente di tensione 27,732s
cdf
σα = =
Coefficiente di tensione '
' 8,215s
cdf
σα = = −
Percentuale geometrica armatura tesa 0,17%sAb d
ρ = =⋅
Percentuale geometrica armatura compressa '
' 0,17%sAb d
ρ = =⋅
Equazione di equilibrio alla traslazione dimensionale:
0,8 ' ' 0cd s s s sx b f A Aσ σ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ =
Equazione di equilibrio alla traslazione adimensionale e posizione dell’asse neutro:
0,8 ' ' 0 0,076 0,259 2d CAMPOη ρ α ρα η+ − = ⇒ = < ⋅ ⇒
Verifica ipotesi acciaio compresso elastico:
( ) ( )( )
'' 0,056% 0,19%
1s
s syd VERIFICATOε η δ
ε η εη
⋅ −= = < = ⇒
−
Posizione asse neutro 32,021x d mmη= ⋅ =
Momento resistente ultimo adimensionale:
( ) ( )2' ' 0,4 ' 1 0,4 0,047Rd
cd
Mm
b d fρ α η δ ρα η= = − + − =
⋅ ⋅
Momento resistente ultimo adimensionale:
( ) ( )' ' 0,4 ' 0,4 36,272 10,273Rd s s s sM A x d A d x kNm kNm VERIFICATOσ σ= ⋅ − + ⋅ − = > ⇒
Progetto di un ponte a travata
46
33..11..66..33.. SSeezziioonnii AA--BB--CC ((GGiiuunntt ii ))
Verifica a momento negativo
Percentuale momento longitudinale 50%
Momento massimo ridotto Msdu,max,rid= -57,111 ·50% = -28,555 kNm/m
Dimensionamento delle armature trasversale
b = 1000 mm
h = 250 mm
d = 220 mm
d’ = 15 mm
d’’ = 30 mm
sp = 50 mm
È necessario eseguire un predimensionamento delle armature utilizzando la seguente
formula semplificata:
Armatura minima tesa 2,min 184,280
0,9sdu
ssd
MA mm m
d f= =
⋅ ⋅
Armatura tesa adottata 25 10 395sA mm mφ ⇒ =
Armatura compressa adottata 25 10 395sA mm mφ ⇒ =
Come previsto dalla norma NTC2008 nel punto 4.1.6.1.1, l’area dell’armatura longitudinale
in zona tesa non deve essere inferiore alle seguenti limitazioni:
2 2,min 0,26 325,165 395ctm
s tyk
fA b d mm m mm m VERIFICATO
f= ⋅ ⋅ ⋅ = < ⇒
2 2,min 0,0013 286,000 395s tA b d mm m mm m VERIFICATO= ⋅ ⋅ = < ⇒
Inoltre al di fuori delle zone di sovrapposizione, l’area di armatura tesa o compressa non
deve superare individualmente il 4% dell’area della sezione trasversale di calcestruzzo:
20,04 10000s cA A mm m VERIFICATO< ⋅ = ⇒
2' 0,04 10000s cA A mm m VERIFICATO< ⋅ = ⇒
Progetto di un ponte a travata
47
Deve essere poi soddisfatta la seguente relazione:
0,16% 0,15%sAVERIFICATO
b h= > ⇒
⋅
Verifica a momento flettente
• Ipotesi campo 2
Posizione asse neutro 0 0,259x d≤ ≤ ⋅
Deformazione acciaio teso 10‰sε =
Deformazione cls compresso 0‰ 3,5‰cε≤ ≤
Posizione armatura superiore '
' 0,068dd
δ = =
Coefficiente di tensione 27,732s
cdf
σα = =
Coefficiente di tensione '
' 0,636s
cdf
σα = = −
Percentuale geometrica armatura tesa 0,18%sAb d
ρ = =⋅
Percentuale geometrica armatura compressa '
' 0,18%sAb d
ρ = =⋅
Equazione di equilibrio alla traslazione dimensionale:
0,8 ' ' 0cd s s s sx b f A Aσ σ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ =
Equazione di equilibrio alla traslazione adimensionale e posizione dell’asse neutro:
0,8 ' ' 0 0,0641 0,259 2d CAMPOη ρ α ρα η+ − = ⇒ = < ⋅ ⇒
Verifica ipotesi acciaio compresso elastico:
( ) ( )( )
'' 0,004% 0,19%
1s
s syd VERIFICATOε η δ
ε η εη
⋅ −= = < = ⇒
−
Posizione asse neutro 14,103x d mmη= ⋅ =
Momento resistente ultimo adimensionale:
( ) ( )2' ' 0,4 ' 1 0,4 0,049Rd
cd
Mm
b d fρ α η δ ρα η= = − + − =
⋅ ⋅
Momento resistente ultimo adimensionale:
( ) ( )' ' 0,4 ' 0,4 33,166 28,555Rd s s s sM A x d A d x kNm kNm VERIFICATOσ σ= ⋅ − + ⋅ − = > ⇒
Progetto di un ponte a travata
48
33..11..66..44.. SSeezziioonnee AABB ––BBCC ((CCaammppaattaa))
Verifica a momento positivo
Percentuale momento longitudinale 50%
Momento massimo ridotto Msdu,max,rid= 41,090 ·50% = 20,545 kNm/m
Dimensionamento delle armature longitudinali
b = 1000 mm
h = 250 mm
d = 235 mm
d’ = 30 mm
d’’ = 15 mm
sp = 50 mm
È necessario eseguire un predimensionamento delle armature utilizzando la seguente
formula semplificata:
Armatura minima tesa 2,min 124,123
0,9sdu
ssd
MA mm m
d f= =
⋅ ⋅
Armatura tesa adottata 25 10 395sA mm mφ ⇒ =
Armatura compressa adottata 25 10 395sA mm mφ ⇒ =
Come previsto dalla norma NTC2008 nel punto 4.1.6.1.1, l’area dell’armatura longitudinale
in zona tesa non deve essere inferiore alle seguenti limitazioni:
2 2,min 0,26 347,336 395ctm
s tyk
fA b d mm m mm m VERIFICATO
f= ⋅ ⋅ ⋅ = < ⇒
2 2,min 0,0013 305,500 395s tA b d mm m mm m VERIFICATO= ⋅ ⋅ = < ⇒
Inoltre al di fuori delle zone di sovrapposizione, l’area di armatura tesa o compressa non
deve superare individualmente il 4% dell’area della sezione trasversale di calcestruzzo:
20,04 10000s cA A mm m VERIFICATO< ⋅ = ⇒
2' 0,04 10000s cA A mm m VERIFICATO< ⋅ = ⇒
Progetto di un ponte a travata
49
Deve essere poi soddisfatta la seguente relazione:
0,16% 0,15%sAVERIFICATO
b h= > ⇒
⋅
Verifica a momento flettente
• Ipotesi campo 2
Posizione asse neutro 0 0,259x d≤ ≤ ⋅
Deformazione acciaio teso 10‰sε =
Deformazione cls compresso 0‰ 3,5‰cε≤ ≤
Posizione armatura superiore '
' 0,128dd
δ = =
Coefficiente di tensione 27,732s
cdf
σα = =
Coefficiente di tensione '
' 8,215s
cdf
σα = = −
Percentuale geometrica armatura tesa 0,17%sAb d
ρ = =⋅
Percentuale geometrica armatura compressa '
' 0,17%sAb d
ρ = =⋅
Equazione di equilibrio alla traslazione dimensionale:
0,8 ' ' 0cd s s s sx b f A Aσ σ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ =
Equazione di equilibrio alla traslazione adimensionale e posizione dell’asse neutro:
0,8 ' ' 0 0,076 0,259 2d CAMPOη ρ α ρα η+ − = ⇒ = < ⋅ ⇒
Verifica ipotesi acciaio compresso elastico:
( ) ( )( )
'' 0,056% 0,19%
1s
s syd VERIFICATOε η δ
ε η εη
⋅ −= = < = ⇒
−
Posizione asse neutro 32,021x d mmη= ⋅ =
Momento resistente ultimo adimensionale:
( ) ( )2' ' 0,4 ' 1 0,4 0,047Rd
cd
Mm
b d fρ α η δ ρα η= = − + − =
⋅ ⋅
Momento resistente ultimo adimensionale:
( ) ( )' ' 0,4 ' 0,4 36,272 20,545Rd s s s sM A x d A d x kNm kNm VERIFICATOσ σ= ⋅ − + ⋅ − = > ⇒
Progetto di un ponte a travata
50
33..11..66..55.. RRiiaassssuunnttoo ddeell ll ’’aarrmmaattuurraa ttrraassvveerrssaallee
Nella tabella riassuntiva seguente si riportano le armature adottate in direzione trasversale
in campata e nei giunti e i relativi momenti resistenti. Tale armatura va disposta a partire
dagli appoggi fino all’ascissa minima pari a 1,5 metri che corrisponde alla luce dello sbalzo
laterale del marciapiede. In realtà viene assunta la medesima armtura su tutta la luce.
Sezione M Sdu [kNm/m] MRdu [kNm/m] Armatura tesa
Armatura compressa
Campata (-) -14,278 33,166 5 Φ 10 5 Φ 10
Campata (+) 10,273 36,272 5 Φ 10 5 Φ 10
Giunti (-) -28,555 33,166 5 Φ 10 5 Φ 10
Giunti (+) 20,545 36,272 5 Φ 10 5 Φ 10
Tabella 15 - Tabella riassuntiva dell’armatura adottata
33..11..77.. DDiimmeennssiioonnaammeennttoo ee vveerr ii ff ii ccaa ddeell llee aarrmmaattuurree aa ttaaggll iioo
Come previsto dalla norma NTC2008 al paragrafo 4.1.2.1.3.2 negli elementi con armature
trasversali resistenti a taglio “la resistenza a taglio VRd di elementi strutturali dotati di
specifica armatura a taglio deve essere valutata sulla base di una adeguata
schematizzazione a traliccio. Gli elementi resistenti dell’ideale traliccio sono: le armature
trasversali, le armature longitudinali, il corrente compresso di calcestruzzo e i puntoni
d’anima inclinati.”
Il valore di θ deve essere tale da rispettare la limitazione:
1 2,5ctg≤ θ ≤
Come armature a taglio si considerano le staffe dei tralicci che si sviluppano sulle lastre
predalles. Trattandosi di soletta e non di trave non valgono le limitazioni previste per le
staffe in termini di area minima. Le limitazioni sul passo sono soddisfatte in quanto il passo
dei tralicci, che è pari a 200 mm, risulta inferiore a 333 mm e a 0,8·d.
33..11..77..11.. VVeerr ii ff iiccaa aa ttaaggll iioo
Caratteristiche geometriche
Altezza utile d = 260 mm
Larghezza della sezione bw = 1000 mm
Progetto di un ponte a travata
51
Passo tralicci p = 200 mm
Coeff. maggiorativo αc = 1
Diametro staffe φ = 6 mm
Numero sezioni a taglio n = 10
Area staffe Asw = 280 mm2/m
Ctg inclinazione puntone ctgθ = 2
Inclinazione staffe α = 66°
Verifica a taglio
La verifica prevede di calcolare come Taglio Resistente il valore minimo tra il contributo
dato dall’armatura trasversale e quello dato dal calcestruzzo d’anima.
( )min ,Rd Rsd RcdV V V=
La resistenza “taglio trazione” si calcola con:
( )0,9 sin 286,357swRsd sd
AV d f ctg ctg kN
s= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ α − θ ⋅ α =
La resistenza “taglio compressione” è data da:
( )( )
'
20,9 807,351
1Rcd sw c cd
ctg ctgV d b f kN
ctg
α − θ= ⋅ ⋅ ⋅ α ⋅ ⋅ =
+ α
Dove:
d è l’altezza utile della sezione [mm];
bw è larghezza minima della sezione [mm];
Asw è l’area dell’armatura trasversale [mm2];
s è l’interasse tra due armature trasversali consecutive [mm];
fsd è la resistenza di calcolo dell’armatura trasversale [MPa];
α è l’inclinazione delle armature trasversali rispetto all’asse della trave;
θ è l’angolo di inclinazione dei puntoni compressi;
f’cd è la resistenza a compressione ridotta del cls dell’anima [MPa] pari a 0,5 fcd;
σcp è la tensione media di compressione nella sezione [MPa];
αc è un coefficiente che considera lo stato di compressione della sezione.
Risulta dunque che si manifesterà una rottura a trazione dell’armatura. La verifica
prevede:
234,921 min( ; ) 286,357Sd Rsd RcdV kN V V kN VERIFICATO= < = ⇒
Progetto di un ponte a travata
52
Verifica a taglio in prossimità degli appoggi
Come riportato dalla norma NTC2008 al paragrafo 4.1.2.1.3.3, per carichi in prossimità
degli appoggi “nel caso di elementi con armature trasversali resistenti al taglio, si deve
verificare che lo sforzo di taglio VEd,...., soddisfi la condizione: sinSd s ydV A f≤ ⋅ α .“
234,921 sin 275,255Sd s ydV kN A f kN VERIFICATO= < ⋅ α = ⇒
33..11..77..22.. DDiiaaggrraammmmaa ddeell ttaaggll iioo rreessiisstteennttee
L’armatura derivante dai tralicci è sufficiente a riprendere il taglio massimo calcolato dalle
varie combinazioni di carico.
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
0 2 4 6 8 10 12
Ta
gli
o [
kN
/m]
Distanza [m]
Taglio resistente
Vmax,pos Vmax,neg Vr+ Vr-
Progetto di un ponte a travata
53
33..22.. SSttaatt ii LLiimmii ttee ddii EEsseerrcciizziioo ((SS..LL..EE..))
Allo stato limite di esercizio dovrebbero essere condotte le verifiche riguardanti gli stati di
fessurazione e di deformazione. Per la soletta in esame si analizza lo stato limite di
fessurazione.
33..22..11.. CCoommbbiinnaazziioonnii dd ii ccaarr iiccoo
Al fine di individuare lo stato di sollecitazione più gravoso allo stato limite di esercizio
occorrerebbe ripetere le 10 combinazioni valutate per gli stati limite ultimi, sostituendo gli
opportuni coefficienti di sicurezza e di combinazione. Per ridurre la mole di lavoro è stata
individuata la combinazione più gravosa allo stato limite ultimo che è risultata la numero 5.
Con quella disposizione dei carichi è stata poi calcolata la combinazione frequente e quasi
permanente per lo stato limite di fessurazione.
Combinazione 5:
Nella tabella seguente si riassumono le grandezze i coefficienti valutati nella combinazione
frequente e quasi permanente:
Combinazione frequente Combinazione quasi permanente
Azione Valore [u.m.] bdiffusa [m] Q/bdiffusa [u.m.] γγγγ ψψψψ1111−ψ−ψ−ψ−ψ2222 Fd [u.m.]/m γγγγ ψψψψ2222 Fd [u.m.]/m
Sdc 1
Q1k,sx 150 kN 1,9 78,947 kN/m 1 0,75 59,2105 kN 1 0 0 kN
Q1k,dx 150 kN 1,7 88,235 kN/m 1 0,75 66,1765 kN 1 0 0 kN
Q2k,sx 100 kN 4,3 46,512 kN/m 1 0,75 34,8837 kN 1 0 0 kN
Q2k,dx 100 kN 4,5 44,444 kN/m 1 0,75 33,3333 kN 1 0 0 kN
q1k 9 kN/m / / / 1 0 0 kN/m 1 0 0 kN/m
q2k 2,5 kN/m / / / 1 0 0 kN/m 1 0 0 kN/m
Sdc 2 Qak 200 kN 2,85 70,175 kN/m 1 0 0 kN 1 0 0 kN
Sdc 4 Qrk,sx 10 kN 3,7 2,703 kN/m 1 0 0 kN 1 0 0 kN
Qrk,dx 10 kN 3,7 2,703 kN/m 1 0 0 kN 1 0 0 kN
Sdc 5 qfk,sx 2,5 kN/m / / / 1 0 0 kN/m 1 0 0 kN/m
qfk,dx 2,5 kN/m / / / 1 0 0 kN/m 1 0 0 kN/m
g1
g1,marci,sx 7,5 kN/m / / / 1 / 7,5 kN/m 1 / 7,5 kN/m
g1,AB 7,5 kN/m / / / 1 / 7,5 kN/m 1 / 7,5 kN/m
g1,BC 7,5 kN/m / / / 1 / 7,5 kN/m 1 / 7,5 kN/m
g1,CD 7,5 kN/m / / / 1 / 7,5 kN/m 1 / 7,5 kN/m
g1,DE 7,5 kN/m / / / 1 / 7,5 kN/m 1 / 7,5 kN/m
g1,marci,dx 7,5 kN/m / / / 1 / 7,5 kN/m 1 / 7,5 kN/m
g2 G2,sx 1,3 kN / / / 0 / 0 kN 0 / 0 kN
g2,marci,sx 5,95 kN/m / / / 0 / 0 kN/m 0 / 0 kN/m
Progetto di un ponte a travata
54
g2,AB 1,9 kN/m / / / 1 / 1,9 kN/m 1 / 1,9 kN/m
g2,BC 1,9 kN/m / / / 1 / 1,9 kN/m 1 / 1,9 kN/m
g2,CD 1,9 kN/m / / / 0 / 0 kN/m 0 / 0 kN/m
g2,DE 1,9 kN/m / / / 1 / 1,9 kN/m 1 / 1,9 kN/m
g2,marci,dx 5,95 kN/m / / / 0 / 0 kN/m 0 / 0 kN/m
G2,dx 1,3 kN / / / 0 / 0 kN 0 / 0 kN
Tabella 16 – Combinazione frequente e quasi permanente
La linea di influenza e le combinazioni di carico sono le seguenti:
Figura 18 - Linea di influenza e combinazione frequente e quasi permanente
33..22..22.. CCaarraatt tteerr iisstt iicchhee ddeell llaa ssooll lleeccii ttaazziioonnee
Dall’analisi condotta i momenti massimi e minimi calcolati per una soletta di larghezza
unitaria risultano essere:
Combinazione M max,+ [kNm/m] M max,- [kNm/m]
Frequente 18,719 -29,331 Quasi permanente 2,270 -8,438
Tabella 17 - Momenti massimi e minimi
Progetto di un ponte a travata
55
33..22..33.. SSttaattoo ll iimmii ttee ddii ffeessssuurraazziioonnee
Lo stato limite di fessurazione deve essere fissato in funzione delle condizioni ambientali e
della sensibilità delle armature alla corrosione. Nella norma NTC2008 al paragrafo
4.1.2.2.4.3 si afferma che “le condizioni ambientali, ai fini della protezione contro la
corrosione delle armature metalliche, possono essere suddivise in ordinarie, aggressive e
molto aggressive…”.
Nella Tab. 4.1.IV della normativa vengono indicati i criteri di scelta dello stato limite di
fessurazione:
Tabella 18- Criteri di scelta dello stato limite di fessurazione
Il valore limite di apertura della fessura è pari ad uno dei seguenti valori nominali:
w1 = 0,2 mm
w2 = 0,3 mm
w3 = 0,4 mm
Nel caso specifico si considerano delle condizioni ambientali aggressive e delle armature
poco sensibili essendo quest’ultime costituite da acciai ordinari.
33..22..33..11.. CCaallccoolloo ddeell llee ccaarraatt tteerr iisstt iicchhee iinneerrzziiaall ii
Momento positivo
n = 15
b = 1000 mm d = 243 mm As = 770 mm2/m
h = 300 mm d’ = 40 mm As’ = 770 mm2/m
Posizione asse neutro:
( ) ( )( )2
' 2 ' '1 1 60,989
's s s s
s s
A A b A d A dx n mm
b n A A
+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ − + + = ⋅ +
Progetto di un ponte a travata
56
Momento d’inerzia della sezione ideale:
( ) ( )3
2 2 8 4' ' 4,63 103id s s
b xJ n A d x n A x d mm
⋅= + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ − = ⋅
Momento negativo
n = 15
b = 1000 mm d = 260 mm As = 770 mm2/m
h = 300 mm d’ = 57 mm As’ = 770 mm2/m
Posizione asse neutro:
( ) ( )( )2
' 2 ' '1 1 65,536
's s s s
s s
A A b A d A dx n mm
b n A A
+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ − + + = ⋅ +
Momento d’inerzia della sezione ideale:
( ) ( )3
2 2 8 4' ' 5,31 103id s s
b xJ n A d x n A x d mm
⋅= + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ − = ⋅
33..22..33..22.. VVeerr ii ff iiccaa aall lloo ssttaattoo ll iimmii ttee ddii ffeessssuurraazziioonnee
Come previsto dalla circolare di applicazione della norma NTC2008 al paragrafo
C4.1.2.2.4.6, il valore di calcolo dell’apertura delle fessure, wd, può essere ottenuto
applicando la seguente espressione:
maxd sm sw ε= ⋅ ∆
dove:
∆smax è la distanza massima tra le fessure.
La deformazione unitaria media delle barre εsm può essere calcolata con l’espressione:
( )10,6
ctms t e eff
eff ssm
s s
fk
E E
σ α ρρ σε
− ⋅ ⋅ += ≥ ⋅
in cui:
σs è la tensione nell’armatura tesa valutata considerando la sezione fessurata ed è
pari a: ( )maxs
id
Md x
Jσ = −
αe è il rapporto Es/Ecm;
ρeff è pari a As/Ac,eff;
Progetto di un ponte a travata
57
Ac,eff è l’area efficace di calcestruzzo teso attorno all’armatura di altezza hc,ef, dove hc,ef è
il valore minore tra 2,5 (h-d), (h-x)/3 e h/2;
kt è un fattore dipendente dalla durata del carico e vale:
kt = 0,6 per carichi di breve durata,
kt = 0,4 per carichi di lunga durata.
Nelle zone in cui l’armatura è disposta con una spaziatura superiore a 5(c+φ/2), come nel
caso in esame, la distanza massima tra le fessure, ∆smax, può essere valutata con
l’espressione:
max 3 1 2 4seff
k c k k kφ
ρ∆ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
in cui:
φ è il diametro delle barre. Se nella sezione considerata sono impiegate barre di
diametro diverso, deve essere adottato un diametro equivalente, φeq dato dalla
relazione:
2 21 1 2 2
1 1 2 2eq
n nn n
φ φφφ φ
⋅ + ⋅=⋅ + ⋅
c è il ricoprimento dell’armatura;
k1 = 0,8 per barre ad aderenza migliorata,
= 1,6 per barre lisce;
k2 = 0,5 nel caso di flessione,
= 1,0 nel caso di trazione semplice.
k3 = 3,4;
k4 = 0,425.
Nella parte rimanente la distanza massima tra le fessure, ∆smax, può, invece, essere
valutata mediante l’espressione:
( )max 1,3s h x∆ = ⋅ −
Progetto di un ponte a travata
58
Nella tabella seguente si riassumono le grandezze e si riportano le verifiche valide per le
sezioni a momento positivo e negativo:
Grandezza Combinazione
frequente Combinazione quasi
permanente Momento negativo Momento positivo Momento negativo Momento positivo
σσσσs 160,989 N/mm2 110,295 N/mm2 46,311 N/mm2 13,373 N/mm2
ααααe 6,551 6,551 6,551 6,551 hc,eff 78,155 mm 79,670 mm 78,155 mm 79,670 mm Ac,eff 78154,72 mm2 79670,43 mm2 78154,72 mm2 79670,43 mm2
ρρρρeff 0,99% 0,97% 0,99% 0,97% k t 0,6 0,6 0,6 0,6
εεεεsm 0,05% 0,03% 0,01% 0,004%
φφφφ 14 mm 14 mm 14 mm 14 mm c 50 mm 33 mm 50 mm 33 mm k1 0,8 0,8 0,8 0,8 k2 0,5 0,5 0,5 0,5 k3 3,4 3,4 3,4 3,4 k4 0,425 0,425 0,425 0,425
∆∆∆∆smax 411,569 mm 358,454 mm 411,569 mm 358,454 mm
∆∆∆∆smax 304,803 mm 310,715 mm 304,803 mm 310,715 mm wd 0,193 0,115 0,056 0,014
wmax 0,3 0,3 0,2 0,2 VERIFICA OK OK OK OK
Tabella 19 – Grandezze e verifiche agli stati limite di fessurazione
Progetto di un ponte a travata
59
44.. CCaallccoolloo ddeell llee tt rraavvii lloonnggii ttuuddiinnaall ii
44..11.. SSttaatt ii LLiimmii ttee UUll tt iimmii ((SS..LL..UU..))
Lo schema statico assunto è quello di trave semplicemente appoggiata.
Figura 19 – Schema statico delle travi longitudinali
Caratteristiche geometriche
La luce è stata determinata conoscendo la distanza tra l’interno spalle e l’ingombro degli
apparecchi d’appoggio, maggiorato in fase di predimensionamento a favore di sicurezza.
Luce interno spalle Ls = 30 m
Distanza interno spalla – asse appoggio a = 1 m
Luce di calcolo L = 32 m
44..11..11.. RRiippaarr tt iizziioonnee tt rraassvveerrssaallee ddeeii ccaarr iicchhii
È necessario dimensionare la trave di riva cercando di massimizzare le sollecitazioni su di
essa. A tal proposito occorre considerare la ripartizione dei carichi operata dai traversi. Le
ipotesi da assumere sono quelle di considerare le travi longitudinali prive di rigidezza
torsionale e i traversi infinitamente rigidi a flessione. La prima ipotesi è accettabile
essendo le travi costituite da profili a doppio T snelli, mentre la seconda è condizionata dal
valore del parametro Z di Homberg descritto dalla formula seguente:
3
1
6 t
l
JLZ c
b J
= ⋅ ⋅
Dove:
c è una costante che dipende dalla posizione del carico;
L è la luce del ponte;
b1 è l’interasse tra le travi longitudinali;
Jl è il momento d’inerzia delle travi longitudinali;
Jt è il momento d’inerzia dei traversi;
Progetto di un ponte a travata
60
Tali condizioni ci consentono di schematizzare i traversi come travi su appoggi elastici che
individuano le travi longitudinali. Inoltre si trascura la rigidezza torsionale dei traversi in
modo tale da non influenzare il comportamento del graticcio. Anche questa ipotesi è valida
avendo optato per traversi costituiti da una struttura reticolare piana. Lo schema statico
che ne risulta è il seguente:
Figura 20 – Schema statico dei traversi per la ripartizione trasversale dei carichi
La teoria della ripartizione trasversale dei carichi per i graticci mette a disposizione tre
metodi analitici:
- metodo di Courbon;
- metodo di Engesser;
- metodo di Guyon-Massonet-Bares.
Nei paragrafi seguenti saranno analizzate e confrontate le prime due procedure. La trave
longitudinale valutata per la progettazione è quella di riva.
44..11..11..11.. MMeettooddoo ddii CCoouurrbboonn
Il metodo ipotizza la presenza di traversi infinitamente rigidi e infinitamente vicini.
Figura 21 – Ripartizione trasversale dei carichi secondo il metodo di Courbon
Progetto di un ponte a travata
61
La ripartizione dei carichi avviene in maniera proporzionale al coefficiente di ripartizione
che nel caso generico vale:
2i pi
i ii i i
y yKr K
K K y
⋅= + ⋅
⋅∑ ∑
Mentre nel caso di travi uguali e ugualmente vincolate assume la forma:
2i p
ii
y yir
n y
⋅= +∑
Calcolo dei coefficienti di ripartizione della trave A
Il diagramma dei coefficienti di ripartizione dei carichi di una generica trave fornisce anche
la linea di influenza della stessa trave. Per tale ragione per massimizzare le sollecitazioni
sulla trave di riva è sufficiente analizzare il seguente diagramma che ci indica quali zone
caricare:
La simmetria della sezione e le medesime travi adottate ci permettono di far coincidere il
baricentro delle rigidezze con quello delle masse. Nella tabella seguente si riportano i
coefficienti validi per ogni trave per un carico unitario sulla trave A e le relative ascisse:
Trave A B C D E Ascissa (origine bordo sx)
[m] 1,5 3,6 5,7 7,8 9,9 Ascissa (origine baricentro
rigidezze) [m] 4,2 2,1 0 -2,1 -4,2
r i 0,6 0,4 0,2 0 -0,2
Tabella 20 – Coefficienti di ripartizione con carico P=1 sulla trave A
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0 2 4 6 8 10
ri
y [m]
l.d.i. di rA
Progetto di un ponte a travata
62
Calcolo dei coefficienti di ripartizione dei carichi da traffico
Dall’analisi della linea di influenza appare chiaro che occorre posizionare i carichi variabili
da traffico nella parte di sezione dove i coefficienti di ripartizione assumono un valore
positivo.
Figura 22 – Posizionamento dei carichi per applicare il metodo di Courbon
Nella tabella 21 è individuata l’aliquota di carico ripresa dalla trave A ripartita dal traverso.
A favore di sicurezza i carichi giacenti sullo sbalzo del marciapiede vengono attribuiti
interamente alla trave A.
Azione Valore [u.m.] γγγγ ψψψψ0000 Fd [u.m.] yi yci rAi Fd·ri [u.m.]
Q1k,sx 150 kN 1,35 1 202,500 kN 2 3,7 0,552 111,857 kN
Q1k,dx 150 kN 1,35 1 202,500 kN 4 1,7 0,362 73,286 kN
Q2k,sx 100 kN 1,35 1 135,000 kN 5 0,7 0,267 36,000 kN
Q2k,dx 100 kN 1,35 1 135,000 kN 7 -1,3 0,076 10,286 kN
Qrk,sx 10 kN 1,35 0,4 5,400 kN 0 5,7 1,000 5,400 kN
Qrk,dx 10 kN 0 0,4 0,000 kN 11,4 -5,7 -1,000 0,000 kN
q1k 9 kN/m2 1,35 0,4 14,580 kN/m 3 2,7 0,457 6,665 kN/m
q2k 2,5 kN/m2 1,35 0,4 4,050 kN/m 6 -0,3 0,171 0,694 kN/m
qriman 2,5 kN/m2 1,35 0,4 0,405 kN/m 7,65 -1,95 0,014 0,006 kN/m
qfk,sx 2,5 kN/m2 1,35 0,4 2,025 kN/m 0,75 4,95 1,000 2,025 kN/m
qfk,dx 2,5 kN/m2 0 0,4 0,000 kN/m 10,65 0 0 0 0
Tabella 21 – Carichi variabili da traffico ripresi dalla trave A
Progetto di un ponte a travata
63
Massimizzazione del momento flettente
Dalla tabella 21 è possibile risalire al carico totale distribuito e a quelli concentrati da
applicare alla trave A nelle posizioni definite dalla figura successiva.
Figura 23 – Posizione dei carichi sulla trave di riva
Da tale schema si ricavano le seguenti grandezze:
Reazione in A da Q RQ= 236,829 kN
Reazione in A da q Rq= 150,243 kN
Momento massimo da Q MQ= 3647,160 kNm
Momento massimo da q Mq= 1201,947 kNm
Momento massimo totale Mtot= 4849,107 kNm
Massimizzazione del taglio
Per massimizzare il taglio in A si posizionano i carichi a 0,5 metri dall’appoggio.
Figura 24 - Posizione dei carichi sulla trave di riva
Da tale schema si ricavano le seguenti grandezze:
Reazione in A da Q RQ= 457,375 kN
Reazione in A da q Rq= 150,243 kN
Taglio massimo da Q VQ= 457,375 kN
Taglio massimo da q Vq= 150,243 kN
Momento massimo totale Vtot= 607,617 kN
Progetto di un ponte a travata
64
44..11..11..22.. MMeettooddoo ddii EEnnggeesssseerr
Il metodo suppone la presenza di traversi infinitamente rigidi e in numero finito. Si
prevedono tre fasi distinte:
1) si considerano degli appoggi provvisori in corrispondenza dei nodi e ogni trave si
comporta in modo indipendente come trave continua su appoggi fissi. Si calcolano
sollecitazioni e reazioni agli appoggi;
2) si rimuovono i vincoli fittizi e si applicano alla trave le reazioni vincolari calcolate
nella fase (1) che saranno distribuite mediante i traversi alle altre travi longitudinali;
3) si sommano le sollecitazioni risultanti dalla fase (1) e (2).
Figura 25 - Ripartizione trasversale dei carichi secondo il metodo di Courbon
Il metodo di Engesser, a differenza del metodo di Courbon, consente di calcolare le
sollecitazioni nei traversi
Calcolo dei carichi da traffico ripresi dalle singole travi
La disposizione dei carichi è la medesima di quella mostrata dalla figura 22. Per
l’attuazione della fase (1), non avendo i carichi direttamente applicati sulle travi
longitudinali, occorre suddividerli in base alle reazioni derivanti dallo schema statico di
appoggio-appoggio definito dalla prossima figura:
Reazione in A A
bV Q
L= ⋅
Reazione in B B
aV Q
L= ⋅
Progetto di un ponte a travata
65
Nella tabella è individuata l’aliquota di carico ripresa dalla trave A ripartita dal traverso. A
favore di sicurezza i carichi giacenti sullo sbalzo del marciapiede vengono attribuiti
interamente alla trave adiacente.
Azione Valore [u.m.] γγγγ ψψψψ0000 Fd [u.m.] Trave sx Trave dx Rtrave,sx [u.m.] Rtrave,dx [u.m.]
Q1k,sx 150 kN 1,35 1 202,5 kN A B 154,286 kN 48,2143 kN
Q1k,dx 150 kN 1,35 1 202,5 kN B C 163,929 kN 38,5714 kN
Q2k,sx 100 kN 1,35 1 135 kN B C 45 kN 90 kN
Q2k,dx 100 kN 1,35 1 135 kN C D 51,4286 kN 83,5714 kN
Qrk,sx 10 kN 1,35 0,4 5,4 kN Sbalzo A 0 kN 5,4 kN
Qrk,dx 10 kN 0 0,4 0 kN E Sbalzo 0 kN 0 kN
q1k 9 kN/m2 1,35 0,4 14,58 kN/m A B 4,16571 kN/m 10,4143 kN/m
q2k 2,5 kN/m2 1,35 0,4 4,05 kN/m C D 3,47143 kN/m 0,57857 kN/m
qriman 2,5 kN/m2 1,35 0,4 0,405 kN/m C D 0,02893 kN/m 0,37607 kN/m
qfk,sx 2,5 kN/m2 1,35 0,4 2,025 kN/m Sbalzo A 0 kN/m 2,025 kN/m
qfk,dx 2,5 kN/m2 0 0,4 0 kN/m E Sbalzo 0 kN/m 0 kN/m
Tabella 22 - Carichi da traffico divisi sulle varie travi
Da questa analisi è possibile ricavare le quote parte di carico riprese dalle singole travi:
Trave q [kN/m] Q [kN]
A 6,191 159,686 B 10,414 257,143 C 3,500 180,000 D 0,955 83,571 E 0 0
Tabella 23 – Carichi da traffico ripresi dalle singole travi
Progetto di un ponte a travata
66
Massimizzazione del momento flettente
• Fase 1
In questa fase si analizzano separatamente le cinque travi applicando i carichi riportati
nella tabella 23, considerando lo schema statico di trave continua su cinque appoggi,
individuati dall’intersezione con i traversi. Le reazioni verticali ai vincoli vengono poi
ripartite mediante i coefficienti di ripartizione, calcolati nella tabella 20, sulla trave di riva A,
al fine di massimizzarne i momenti.
Figura 26 – Fase 1 del metodo di Engesser
La tabella fornisce le reazioni relative alle cinque travi longitudinali:
Reazione Trave A [kN] Trave B [kN] Trave C [kN] Trave D [kN] Trave E [kN]
R1 19,1 32,16 10,6 2,81 0 R2 58,81 98,76 34,48 9,9 0 R3 361,67 585,7 381,83 174,19 0 R4 58,81 98,76 34,48 9,9 0 R5 19,1 32,16 10,6 2,81 0
Tabella 24 – Reazioni vincolari delle travi longitudinali
Nella tabella seguente invece si riportano le reazioni ripartite sulla trave di riva A e il loro
valore totale.
Reazione Trave A [kN] Trave B [kN] Trave C [kN] Trave D [kN] Trave E [kN]
Rtot [kN] 0,6 0,4 0,2 0 -0,2
R1 11,46 12,864 2,12 0 0 26,444 R2 35,286 39,504 6,896 0 0 81,686 R3 217,002 234,28 76,366 0 0 527,648 R4 35,286 39,504 6,896 0 0 81,686 R5 11,46 12,864 2,12 0 0 26,444
Tabella 25 – Reazioni ripartite sulla trave di riva A
Progetto di un ponte a travata
67
Il diagramma seguente fornisce l’andamento del momento flettente della trave di riva A.
• Fase 2
Calcolata la somma delle reazioni sulla trave di riva A (tabella 25), si risolve la trave con lo
schema statico di appoggio-appoggio applicando le predette reazioni cambiate di segno.
Figura 27 - Fase 2 del metodo di Engesser
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
0 5 10 15 20 25 30 35
Mo
me
nto
[k
Nm
]
Distanza [m]
Momento flettente (fase I)
Progetto di un ponte a travata
68
Il diagramma del momento flettente della fase 2 assume il seguente andamento:
• Fase 3 = fase 1+fase 2
In tale fase si sommano i momenti calcolati precedentemente e si ottiene:
Momento massimo Mtot= 4762,490 kNm
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0 5 10 15 20 25 30 35
Mo
me
nto
[k
Nm
]
Distanza [m]
Momento flettente (fase II)
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0 5 10 15 20 25 30 35
Mo
me
nto
[k
Nm
]
Distanza [m]
Momento flettente (fase I + II)
Progetto di un ponte a travata
69
Massimizzazione del taglio
• Fase 1
Il medesimo procedimento viene assunto per il calcolo del taglio massimo. I carichi
concentrati sono però calcolati ad una distanza dall’appoggio di 0,5 metri.
Figura 28 - Fase 1 del metodo di Engesser
La tabella fornisce le reazioni relative alle cinque travi longitudinali:
Reazione Trave A [kN] Trave B [kN] Trave C [kN] Trave D [kN] Trave E [kN]
R1 283,57 458,04 308,72 142,93 0 R2 126,22 207,33 110,48 45,95 0 R3 27,84 48,14 5,54 -2,21 0 R4 61,14 102,52 37,11 11,5 0 R5 18,7 31,51 10,15 2,73 0
Tabella 26 - Reazioni vincolari delle travi longitudinali
Nella tabella seguente invece si riportano le reazioni ripartite sulla trave di riva A e il loro
valore totale.
Reazione Trave A [kN] Trave B [kN] Trave C [kN] Trave D [kN] Trave E [kN]
Rtot [kN] 0,6 0,4 0,2 0 -0,2
R1 170,142 183,216 61,744 0 0 415,102 R2 75,732 82,932 22,096 0 0 180,76 R3 16,704 19,256 1,108 0 0 37,068 R4 36,684 41,008 7,422 0 0 85,114 R5 11,22 12,604 2,03 0 0 25,854
Tabella 27 - Reazioni ripartite sulla trave di riva A
Progetto di un ponte a travata
70
Il diagramma seguente fornisce l’andamento del taglio della trave di riva A.
• Fase 2
Come precedentemente visto si applicano sulla trave le reazioni cambiate di segno.
Figura 29 - Fase 2 del metodo di Engesser
-350
-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
0 5 10 15 20 25 30 35
tag
lio
[k
N]
Distanza [m]
Taglio (fase I)
Progetto di un ponte a travata
71
Il diagramma del taglio della fase 2 assume il seguente andamento:
• Fase 3 = fase 1+fase 2
In tale fase si sommano i tagli calcolati precedentemente e si ottengono:
Taglio massimo positivo Vtot,pos= 146,260 kN
Taglio massimo negativo Vtot,neg= -458,950 kN
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
0 5 10 15 20 25 30 35
Ta
gli
o [
kN
]
Distanza [m]
Taglio (fase II)
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
0 5 10 15 20 25 30 35
Ta
gli
o [
kN
]
Distanza [m]
Taglio (fase I + II)
Progetto di un ponte a travata
72
44..11..11..33.. CCoonnffrroonnttoo ttrraa ii ll mmeettooddoo ddii CCoouurrbboonn ee qquueell lloo ddii EEnnggeesssseerr
Se rapportiamo le sollecitazioni calcolate con i due metodi osserviamo che con il metodo
di Courbon otteniamo dei valori maggiori. Nonostante ciò, la progettazione delle travi viene
condotta considerando le sollecitazioni derivanti dal analisi effettuata con il metodo di
Engesser.
Metodo M max [kNm] V max [kN]
Courbon 4849,107 607,619 Engesser 4762,490 458,950
Tabella 28 – Confronto tra il metodo di Courbon e quello di Engesser
44..11..22.. VVeerr ii ff iiccaa ddeell llaa tt rraavvee ddii rr iivvaa
L’impalcato è realizzato mediante una soletta dello spessore di 25 centimetri, gettata su
lastre predalles di 5 centimetri, connessa con opportuni dispositivi alle travi in acciaio
sottostanti. Si tratta dunque di una sezione mista acciaio-calcestruzzo. È necessario
verificare la sezione più sollecitata in tre diverse fasi costruttive, legate dalla metodologia
di costruzione scelta in fase di progetto. Si è deciso di adottare un sistema non puntellato,
vista l’impossibilità di disporre di puntellature nella parte sottostante. Tale sistema se
confrontato con una puntellazione totale, comporta maggiori sollecitazioni sulla trave in
acciaio e maggiori frecce, per contro consente di ridurre le sollecitazioni sul calcestruzzo e
sulle connessioni, oltre che a non comportare costi per i puntelli. Le fasi di montaggio di un
generico sistema non puntellato prevedono quindi la posa delle travi in acciaio secondo lo
schema statico finale, la disposizione delle lastre predalles e il getto della soletta in
cemento armato. Ciò significa che il peso della soletta grava sulla sottostante struttura in
acciaio fino a quando il calcestruzzo non ha raggiunto la maturazione; la collaborazione tra
acciaio e calcestruzzo può essere presa in considerazione soltanto riguardo i
sovraccarichi permanenti (pavimentazione stradale,…) ed accidentali. Le diverse verifiche
eseguite possono essere schematizzate dalla tabella a seguito.
Progetto di un ponte a travata
73
Fase 1 Fase 2 Fase 3
Sezione Trave in acciaio Trave composta all'istante t=0 Trave composta all'istante
t=∞
Azioni
pp trave in acciaio pp lastre predalles
pp soletta non collaborante
Sovraccarichi permanenti (pavimentazione, sicurvia,..)
Sovraccarichi accidentali
Sovraccarichi permanenti (viscosità)
Ritiro
Verifiche Resistenza (SLU) Stabilità traliccio (SLU)
Resistenza (SLU) Stabilità (SLU)
Collegamento trave-soletta (SLU) Compressione nel cls (SLE)
Carico massimo per connettore (SLE)
Resistenza (SLU) Deformazione (SLE) Fessurazione (SLE)
Tabella 29 – Fasi costruttive delle travi longitudinali
Progetto di un ponte a travata
74
44..11..22..11.. FFaassee 11
Per questa fase si considerano il peso proprio della trave in acciaio, delle lastre predalles
e del calcestruzzo fresco. Si tratta quindi di calcolare le sollecitazioni massime nello
schema statico di appoggio-appoggio.
Caratteristiche geometriche
Sezione resistente Trave HSD 1400/376 classe 3
Figura 30 – Sezione resistente della fase 1
Analisi dei carichi
Peso proprio trave g1,a = 3,685 kN/m
Peso proprio soletta e predalles g1,cls = 17,10 kN/m
Calcolo delle sollecitazioni
Momento massimo sollecitante MSd = 3591,623 kNm
Taglio massimo sollecitante VSd = 448,953 kN
Calcolo delle tensioni
Sezione di mezzeria σa,sup = -229,466 N/mm2
σa,inf = 119,629 N/mm2
Sezione di appoggio τa,1 = 3,848 N/mm2
τa,2 = 25,742 N/mm2
Progetto di un ponte a travata
75
Verifica di resistenza
Verifica a flessione
La verifica viene condotta nella sezione di mezzeria dove si manifesta il momento
massimo.
Trattandosi di un profilo di classe 3 il calcolo elastico viene eseguito adottando il criterio di
snervamento di Huber-Von Mises che è rappresentato nello spazio delle tensioni principali
da un cilindro.
Il calcolo plastico è da effettuare esclusivamente per le sezioni di classe 1 e 2 e prevede di
valutare il taglio sollecitante e in verificare che esso sia inferiore al 50% di quello resistente
plastico. Se ciò è valido non occorre ridurre il momento resistente, mentre in caso
contrario, esso va limitato in funzione dell’entità del taglio sollecitante.
Nel caso specifico si conduce prima una verifica in termini di sollecitazioni e poi in termini
di tensioni.
Momento resistente elastico ,min,
0
5291,900el yel Rd
M
W fM kNm
γ⋅
= =
Momento sollecitante 3591,623SdM kNm=
, coeff.sicurezza 1,473Sd el RdM M VERIFICATO< ⇒ =
Tensione normale resistente 2,
0
338,095yy Rd
M
ff N mm
γ= =
Tensione normale sollecitante 2229,466Sd N mmσ =
, coeff.sicurezza 1,473Sd y Rdf VERIFICATOσ < ⇒ =
Verifica a taglio
La verifica è effettuata nella sezione di appoggio, dove è presente il taglio massimo.
Tensione tangenziale resistente 2,
0
195,1993
yy Rd
M
fN mmτ
γ= =
⋅
Tensione tangenziale sollecitante 225,742Sd N mmτ =
, coeff.sicurezza 7,583Sd y Rd VERIFICATOτ τ< ⇒ =
Progetto di un ponte a travata
76
Verifica di stabilità
Verifica all’instabilità flesso-torsionale
Le travi longitudinali devono essere verificate al fine di evitare un cedimento per instabilità
flesso-torsionale. Questa è una potenziale modalità di collasso ed è legata ,oltre che alla
flessione, agli sforzi di compressione dovuti ai carichi orizzontali.
Secondo l’EC3 e la norma NTC2008, per una trave sotto condizioni normali di vincolo a
ciascun estremo, caricata attraverso il suo centro di taglio, il momento critico elastico per
instabilità flesso-torsionale MCR vale:
229
1 2 26,29 10tz w
CRz z
l G JE J JM C Nmm
l J E Jπ
π⋅ ⋅⋅ ⋅
= ⋅ + = ⋅⋅ ⋅
Dove:
C1 è una costante pari a 1,365 (EC3 prospetto F);
Jw è il momento d’inerzia all’ingobbamento rispetto il centro di taglio;
Jz è il momento d’inerzia rispetto l’asse debole;
Jt è il momento d’inerzia torsionale.
La snellezza adimensionale è data da:
0,940w x yLT
CR
W f
M
βλ
⋅ ⋅= =
Dove βw vale 0,69 per la suddetta sezione di classe 3. Il valore del coefficiente di
imperfezione per sezioni saldate deve essere assunto pari a:
Fattore di imperfezione αLT = 0,49
Coefficiente Φ ( ) 2,00,5 1 0,964LT LTLT LTφ α λ λ β λ = + − + ⋅ =
Coefficiente riduttivo 22 2
1,01 1
0,725 1 1LT
LTLT LT LT
ff
χφ φ β λ λ
= = ≤ ⋅+ − ⋅
Con:
,0 0,4LTλ =
0,94ck =
( ) ( )21 0,5 1 1 2,0 0,8 0,933LTcf k λ = − − − ⋅ − =
Progetto di un ponte a travata
77
Secondo l’EC3 al paragrafo 5.5.2 il momento resistente di progetto all’instabilità di una
trave non controventata lateralmente dovrà essere assunto pari a:
,,
1
3832,347w pl y yb Rd LT
M
W fM kNm
βχ
γ⋅ ⋅
= ⋅ =
, coeff.sicurezza 1,068Sd b RdM M VERIFICATO< ⇒ =
Verifica all’instabilità del corrente superiore del traliccio
È necessario condurre una verifica di instabilità per carico di punta del corrente superiore
del traliccio che compone la lastra predalles. Infatti, in fase di getto potrebbe instabilizzarsi
per effetto del peso del calcestruzzo fresco. Come lunghezza libera di inflessione si
assume il passo tra i tralicci, mentre come condizione di vincolo, vista l’incertezza della
connessione, si considera a favore di sicurezza una cerniera.
Momento sollecitante 2
2 4,1348Sd
g lM kNm
⋅= =
Sforzo normale sollecitante 17,593SdSd
MN kN
z= =
Diametro barra 14mmφ =
Area barra 2154A mm=
Lunghezza libera di inflessione 0 200l mm=
Carico critico euleriano 2
2s
cro
E JN 95,849
lkN
π ⋅ ⋅= =
Snellezza adimensionale s y
cr
A f0,850
N
⋅λ = =
Fattore di imperfezione α = 0,49
Coefficiente Φ ( ) 20,5 1 0,2 1,021 φ = + α λ − + λ =
Coefficiente riduttivo 22
10,631 1,0χ = = ≤
φ + φ − λ
Sforzo normale resistente all’instabilità ,1
38,003s yb Rd
M
fN kN
χγ
⋅ Α ⋅= =
, coeff.sicurezza 2,160Sd b RdN N VERIFICATO< ⇒ =
Progetto di un ponte a travata
78
44..11..22..22.. FFaassee 22
In questa fase la sezione resistente prevede la trave in acciaio e la soletta in calcestruzzo
per una larghezza pari a quella efficace calcolata secondo le disposizioni dell’NTC2008.
Tale riduzione è legata al fenomeno dello shear-lag che produce a causa della
deformabilità a taglio della soletta una distribuzione non uniforme di tensioni. Il contributo
della soletta in termini di resistenza è depurato dello spessore delle lastre predalles, vista
l’incertezza sul loro contributo in prossimità dei bordi. I carichi gravanti sono quelli relativi
ai carichi permanenti portati (g2) e alle azioni variabili da traffico. Occorre applicare il
metodo della sezione omogeneizzata nei confronti dell’acciaio. Il coefficiente di
omogeneizzazione che trascura gli effetti viscosi è pari a:
6,551a
c
En
E= =
Caratteristiche geometriche
Sezione resistente Trave HSD 1400/376 classe 3
Soletta calcestruzzo
Figura 31 - Sezione resistente della fase 2
La larghezza efficace, beff, di una soletta in calcestruzzo può essere determinata
mediante l’espressione:
0 1 1 2 2 2100eff e eb b b b mmβ β= + ⋅ + ⋅ =
Progetto di un ponte a travata
79
Figura 32 - Definizione della larghezza efficace beff e delle aliquote bei
Dove i coefficienti βei sono definite dalla formula:
1
0,55 0,025 1ei
e
Lb
β
= + ⋅ ≤
Vengono ora calcolate le caratteristiche geometriche – statiche della sezione composta.
Area sezione composta 2,sup ,inf 129653,5id a s s clsA n A n A n A A mm= ⋅ + ⋅ + ⋅ + =
Momento statico lembo superiore 7 3sup 7,07 10i iS A y mm= ⋅ = ⋅∑
Posizione baricentro sup 544,980Gid
Sy mm
A= =
Dalla posizione del baricentro è possibile desumere che la sezione di calcestruzzo è
interamente reagente.
Momento d’inerzia baricentrico ideale 10 45,46 10id iJ J mm= = ⋅∑
Analisi dei carichi
Carichi permanenti portati g2 = 7,150 kN/m
Carichi variabili da traffico
Calcolo delle sollecitazioni
Momento massimo sollecitante MSd = 6135,268 kNm
Taglio massimo sollecitante VSd = 630,547 kN
Progetto di un ponte a travata
80
Calcolo delle tensioni
Sezione di mezzeria
Tensioni Fase 2 [N/mm 2] Fase 1+2 [N/mm 2] σσσσcls,sup -9,348 -9,348
σσσσcls,inf -5,060 -5,060
σσσσa,sup -27,527 -256,993
σσσσa,inf 137,089 256,717
σσσσs,sup -57,866 -57,866
σσσσs,inf -36,517 -36,517
Tabella 30 – Tensioni normali derivanti dalla fase 2 e fase 1+2
Sezione di appoggio
Tensioni Fase 2 [N/mm 2] Fase 1+2 [N/mm 2] ττττs,max 29,817 25,742
Tabella 31 - Tensioni tangenziali derivanti dalla fase 2 e fase 1+2
Verifica di resistenza
Verifica a flessione e taglio
La verifica viene condotta nella sezione di mezzeria dove si manifesta il momento
massimo. Nel calcolo della tensione ideale, a favore di sicurezza, si considerano anche le
tensioni tangenziali della sezione di appoggio.
• Trave in acciaio
Tensione normale resistente 2,
0
338,095yy Rd
M
ff N mm
γ= =
Tensione normale sollecitante 2256,993Sd N mmσ =
Tensione tangenziale sollecitante 255,559Sd N mmτ =
Tensione ideale di Huber-Von Mises 2274,419id N mmσ =
, coeff.sicurezza 1,232id y Rdf VERIFICATOσ < ⇒ =
• Soletta in calcestruzzo
Tensione resistente 214,11ckcd cc
c
ff N mmα
γ= ⋅ =
Tensione normale sollecitante 29,348Sd N mmσ =
coeff.sicurezza 1,509sd cdf VERIFICATOσ < ⇒ =
Progetto di un ponte a travata
81
• Armatura lenta
Tensione normale resistente 2391,304syksd
s
ff N mm
γ= =
Tensione normale sollecitante 257,866Sd N mmσ =
coeff.sicurezza 6,762sd sdf VERIFICATOσ < ⇒ =
Verifica a taglio
La verifica è effettuata nella sezione di appoggio, dove è presente il taglio massimo.
Tensione tangenziale resistente 2,
0
195,1993
yy Rd
M
fN mmτ
γ= =
⋅
Tensione tangenziale sollecitante 255,559Sd N mmτ =
, coeff.sicurezza 3,513Sd y Rd VERIFICATOτ τ< ⇒ =
Verifica di stabilità
Verifica di stabilità dei pannelli soggetti a taglio secondo l’NTC2008
Come previsto dalla circolare di applicazione della norma NTC2008 al paragrafo
C4.2.4.1.3.4, “I pannelli d’anima degli elementi strutturali, laminati oppure realizzati in
soluzione composta saldata, devono essere verificati nei confronti dei fenomeni di
instabilità dell’equilibrio allo stato limite ultimo”.
Si decide di disporre degli irrigidimenti verticali aventi le seguenti caratteristiche:
Spessore t = 12 mm
Passo a = 1000 mm
I pannelli irrigiditi d’anima rettangolari delle travi a pareti piena devono essere verificati nei
riguardi dell’instabilità per taglio quando il rapporto altezza spessore hw/t supera il valore:
31100 79,943 wh
k NON VERIFICATOt τε
η= > ⋅ ⋅ = ⇒
Dove:
η è pari a 1,200;
ε è pari a 235
yf
Progetto di un ponte a travata
82
kτ è pari, in assenza di irrigiditori longitudinali e per a/hw<1, a 2
4 5,34 wha
+ ⋅
Occorre dunque condurre una verifica per instabilità per taglio. Viene calcolata la tensione
tangenziale critica data dalla formula:
( )2 2
2
2259,342
12 1cr E
w
E tk k N mm
hτ τ
πτ σν
⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ =⋅ − ⋅
Un irrigiditore trasversale può essere considerato rigido quando il suo momento d’inerzia
Jst soddisfa la relazioni seguente valida per / 2wa h < :
3 36 9
2
1,57,11 10 2,74 10 w
st irr
h tJ J IRRIGIDITORE RIGIDO
a
⋅ ⋅= = ⋅ < = ⋅ ⇒
Verifica di stabilità dei pannelli soggetti a taglio secondo la CNR10011/88
La verifica all’imbozzamento prevede di soddisfare la relazione:
,
2 21
cr idσβ υ
σ τ≥ ⋅
+
Dove è la tensione di confronto valutata con:
2 21 , 2
, 2 2
1 1 1
466,5531 3
4 4
cr idcr id
cr cr cr
N mmσ τ σ
σσ σ τψ ψσ σ τ
+= =
+ −⋅ + ⋅ +
Si considera la sezione di appoggio dove il taglio è massimo. La verifica risulta soddisfatta:
,
2 21
4,843 0,8cr id VERIFICATOσ
β υσ τ
= ≥ ⋅ = ⇒+
Verifica degli irrigidimenti
L’NTC2008 prevede che gli irrigiditori trasversali rigidi devono essere verificati per una
forza assiale pari a:
, 21
4002,243yw w
st d Ed
w M
f h tN V kN
λ γ⋅ ⋅
= − = −⋅ ⋅
Dove VEd è il taglio di calcolo a distanza 0,5·hw dal bordo del pannello più solleciatato.
Assumendo Nst,d un valore negativo, non occorre verificare l’irrigidimento all’instabilità in
quanto tutto il taglio viene trasferito dalla sezione trasversale dell’irrigidimento tramite
Progetto di un ponte a travata
83
flussi di tensioni tangenziali. Gli irrigidimenti consentiranno la nascita di tensioni
membranali di trazione sull’anima attribuendo alla trave una sovraresistenza in campo
postcritico.
La norma CNR 10030/87 prevede invece di calcolare la rigidezza relativa ottimale:
2820 0,4 1
*8 1
α αγ α
α
− ⋅ ≤ ≤= >
Il momento d’inerzia dell’irrigidimento deve soddisfare la relazione:
3 6 4 3 6 418,00 10 0,15 * 6,82 10
12 irrig irrigJ b t mm h t mm VERIFICATOγ= ⋅ ⋅ = ⋅ > ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒
Verifica delle connessioni
L’elemento di connessione gioca un ruolo fondamentale nella collaborazione tra elemento
in acciaio ed elemento in calcestruzzo. Vengono adottati pioli “Nelson” per la loro elevata
duttilità dotati delle seguenti caratteristiche:
Diametro d = 22 mm
Altezza h = 150 mm
Interasse longitudinale ilong = 250 mm
Interasse trasversale itrasv = 200 mm
Numero connettori per fila n = 2
La resistenza a taglio di progetto di un piolo munito di testa è il minore tra i due valori:
2
2
10,8 104,613
4min 99,363
10,29 99,363
uv
Rd
ck cv
df kN
P kN
d f E kN
πγ
αγ
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
Dove
α è pari a 1 per h/d>4
La trave in acciaio adottata apparterrebbe alla classe 3. Tuttavia l’EC4 afferma che è
possibile classificarla di classe 1 purchè l’instabilità della piattabanda sia impedita da una
efficace unione all’ala di calcestruzzo tramite pioli. In tal caso la distanza dei connettori
non deve superare i limiti:
Progetto di un ponte a travata
84
800
235250 min 22
6
longy
soletta
mm
i mm t VERIFICATOf
s
= < ⋅ ⇒ ⋅
Verifica di resistenza della connessione
Occorre condurre un calcolo elastico in base alla teoria di Jourawski. Il momento statico
della sezione composta rispetto all’asse neutro risulta: 7 33,44 10nS mm= ⋅
Lo sforzo di scorrimento per unità di lunghezza è pari a:
( )679,241
rEd n
n
V Sq b N mm
Jτ ⋅
= ⋅ = =
Lo sforzo di scorrimento sollecitante è dato da:
84,905d longQ q i kN= ⋅ =
coeff.sicurezza 1,170d RdQ P VERIFICATO< ⇒ =
Verifica di resistenza dell’armatura trasversale
L’armatura trasversale ha il compito di prevenire la rottura per scorrimento del
calcestruzzo o la spaccatura longitudinale
L’armatura minima della soletta in direzione trasversale all’asse del ponte deve soddisfare
la relazione: 2 2
, 1540 0,002 1050s trasv cA mm A mm VERIFICATO= > ⋅ = ⇒
L’armatura deve essere dimensionata in modo da assorbire le tensioni di scorrimento
agenti sulle superfici “critiche” di potenziale rottura, a-a, c-c, esemplificate in figura:
Figura 33 – Superfici di collasso a taglio nelle piattabande di calcestruzzo
Progetto di un ponte a travata
85
Per ogni potenziale superficie di rottura la resistenza per unità di lunghezza della trave
risulta:
,1
,2
2,5
min
0,23
skRd cv Rd e pd
sRd
pdRd cv ck
fV A A v
Vv
V A f
η τγ
η
= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ += = ⋅ ⋅ ⋅ +
Superficie di rottura Acv [mm 2] Ae [mm 2] VRd,1 [kN/m] V Rd,2 [kN/m]
a-a 300000 1540 826,444 1494,000 c-c 500000 1540 975,668 2490,000
Tabella 32 – Resistenze per ogni superficie di rottura
Quindi la verifica prevede di soddisfare la relazione:
,min794,902 coeff.sicurezza 1,040RdRd
long
n PV VERIFICATO
i⋅
= < ⇒ =
Verifiche prescrizioni dimensionali sui pioli
La norma NTC2008 al paragrafo 4.3.4.3.4 “Dettagli costruttivi della zona di connessione a
taglio”, definisce alcune limitazioni dimensionali da soddisfare riassunte nella tabella
seguente:
Parametro Valore adottato [mm] Valore prescritto [m m] Verifica Copriferro al di sopra dei
connettori 150 ≥20 OK Distanza del piolo dal bordo
della piattabanda 25 ≥20 OK Altezza piolo 150 ≥66 OK
Diametro testa piolo 35 ≥33 OK
Spessore testa piolo 10 ≥8,8 OK
Diametro gamba del piolo per carichi da fatica 22 ≤37,5 OK
Tabella 33 – Verifiche delle prescrizioni dimensionali sui pioli
Progetto di un ponte a travata
86
44..11..22..33.. FFaassee 33
Questa fase richiede di considerare l’effetto dei fenomeni lenti, quali la viscosità ed il ritiro.
Si tratta infatti di effettuare alcuni controlli tensionali nelle fibre di una sezione composta
acciaio-calcestruzzo in cui i fenomeni istantanei hanno già avuto termine. Di ciò si può
tenere conto valutando un coefficiente di omogeneizzazione n∞ maggiore di n0 adottato
nelle verifiche della seconda fase, come a seguito indicato.
Viscosità
Il fenomeno della viscosità nel calcestruzzo consiste nell’aumento delle deformazioni
provocate da un carico mantenuto costante per un lungo periodo. Esso dipende, tra l’altro,
da un numero molto elevato di fattori, quali le condizioni ambientali durante la fase di
maturazione e carico, la forma della struttura, il tipo di cemento, la forma degli aggregati, il
rapporto acqua-cemento. Usualmente si accetta l’ipotesi di viscosità lineare, ovvero di
deformazioni viscose proporzionali a quelle elastiche. In via approssimata, l’effetto della
viscosità può essere valutato considerando una riduzione apparente del modulo di
elasticità del calcestruzzo, ed un conseguente aumento del rapporto n dei moduli di
elasticità. Il metodo di calcolo adottato è quello della sezione omogeneizzata in termini di
acciaio, secondo un modulo di elasticità del calcestruzzo Ec* per azioni a lungo termine
maggiore di Ec iniziale.
* 19,6523 *
c ac
c
E EE n
E= = =
Ritiro
Il ritiro va ad interessare la soletta in calcestruzzo e può essere valutata in modo
approssimato attraverso lo schema di Morsh. Tale metodo prevede di scomporre l’effetto
del ritiro in tre stadi distinti:
- Stadio 1: si applica alla sola soletta in calcestruzzo uno sforzo di trazione pari a:
, *rit r c cN E Aε ∞= ⋅ ⋅
- Stadio 2: si applica alla sezione composta la risultante delle trazioni cambiate di
segno.
- Stadio 3: si sovrappongono gli effetti delle due fasi sommando le tensioni.
Progetto di un ponte a travata
87
Per valutare l’effetto da ritiro sono necessarie le seguenti grandezze:
Area dellea sezione di calcestruzzo 2525000cA mm=
Perimetro sezione di cls esposto all’aria 2600u mm=
Dimensione fittizia 0
2403,846cA
h mmu⋅
= =
Dimensione fittizia 0
2403,846cA
h mmu⋅
= =
Parametro kh ( )0 0,730hk h =
Il valore di εco viene determinato dalla tabella 11.2.Va della norma NTC2008 in funzione
dell’umidità relativa (80%) e di fck (24,90 N/mm2):
Tabella 34 – Valori di εco
Ricavato 40 2,80 10cε −= − ⋅ , si determina il valore medio a tempo infinito della deformazione
per ritiro da essiccamento:
4, 0 2,04 10cd h ckε ε −∞ = ⋅ = − ⋅
Il valore medio a tempo infinito della deformazione per ritiro autogeno εca,∞ può essere
valutato mediante l’espressione:
( ) 6 5, 2,5 10 10 3,73 10ca ckfε − −∞ = − ⋅ − ⋅ = − ⋅
La deformazione totale da ritiro si può esprimere dalla relazione:
42,42 10cs cd caε ε ε −= + = − ⋅
Lo sforzo di trazione da applicare alla soletta è pari a:
1,2 * 1595,833rit cs c cN E A kNγ ε= ⋅ ⋅ ⋅ = −
Progetto di un ponte a travata
88
Caratteristiche geometriche
Sezione resistente Trave HSD 1400/376 classe 3
Soletta calcestruzzo
Figura 34 – Sezione resistente della fase 3
La larghezza efficace, beff, mantiene sempre il valore di 2100 mm.
Vengono ora calcolate le caratteristiche geometriche – statiche della sezione composta.
Area sezione composta 2,sup ,inf 76223,82id a s s clsA n A n A n A A mm= ⋅ + ⋅ + ⋅ + =
Momento statico lembo superiore 7 3sup 6,40 10i iS A y mm= ⋅ = ⋅∑
Posizione baricentro sup 839,368Gid
Sy mm
A= =
Dalla posizione del baricentro è possibile desumere che la sezione di calcestruzzo è
interamente reagente.
Momento d’inerzia baricentrico ideale 10 43,83 10id iJ J mm= = ⋅∑
Analisi dei carichi
Carichi permanenti portati g2 = 7,150 kN/m n = 19,652
Carichi variabili da traffico n = 6,551
Peso proprio trave g1,a = 3,685 kN/m fase 1
Peso proprio soletta e predalles g1,cls = 17,10 kN/m fase 1
Progetto di un ponte a travata
89
Calcolo delle tensioni
Tensioni [N/mm 2]
Sezione
fase 1 fase 3
Totale carichi permanenti
carichi permanenti carichi da traffico ritiro
n=19,652 n=6,551 stadio 1 stadio 2 stadio 3
σσσσcls,sup / -1,531 -7,257 3,040 -1,272 1,768 -7,020
σσσσcls,inf / -1,075 -3,928 3,040 -0,893 2,147 -2,856
σσσσa,sup -229,466 -19,336 -21,368 / -16,058 -16,058 -286,228
σσσσa,inf 119,629 33,184 106,415 / 27,557 27,557 286,784
σσσσs,sup / -29,016 -44,919 / -24,096 -24,096 -98,030
σσσσs,inf / -22,204 -28,346 / -18,439 -18,439 -76,246
Tabella 35 – tensioni totali sulla trave composta
Verifica di resistenza
Verifica a flessione e taglio
La verifica viene condotta nella sezione di mezzeria dove si manifesta il momento
massimo.
• Trave in acciaio
Tensione normale resistente 2,
0
338,095yy Rd
M
ff N mm
γ= =
Tensione normale sollecitante 2286,784Sd N mmσ =
Tensione tangenziale sollecitante 255,579Sd N mmτ =
Tensione ideale di Huber-Von Mises 2302,510id N mmσ =
, coeff.sicurezza 1,118id y Rdf VERIFICATOσ < ⇒ =
• Soletta in calcestruzzo
Tensione resistente 214,11ckcd cc
c
ff N mmα
γ= ⋅ =
Tensione normale sollecitante 27,020Sd N mmσ =
coeff.sicurezza 2,010sd cdf VERIFICATOσ < ⇒ =
Progetto di un ponte a travata
90
• Armatura lenta
Tensione normale resistente 2391,304syksd
s
ff N mm
γ= =
Tensione normale sollecitante 298,030Sd N mmσ =
coeff.sicurezza 3,992sd sdf VERIFICATOσ < ⇒ =
Verifica a taglio
La verifica è effettuata nella sezione di appoggio, dove è presente il taglio massimo.
Tensione tangenziale resistente 2,
0
195,1993
yy Rd
M
fN mmτ
γ= =
⋅
Tensione tangenziale sollecitante 255,579Sd N mmτ =
, coeff.sicurezza 3,512Sd y Rd VERIFICATOτ τ< ⇒ =
Verifica delle connessioni
Nello schema statico di appoggio-appoggio l’effetto del ritiro tende a ridurre le
sollecitazioni a cui sono sottoposte le connessioni. Per questo la verifica non è necessaria
essendo già stata soddisfatta nella fase 2.
Progetto di un ponte a travata
91
44..22.. SSttaatt ii LLiimmii ttee ddii eesseerrcciizziioo ((SS..LL..EE..))
Allo stato limite di esercizio devono essere condotte le verifiche nella fase 2 riguardanti le
tensioni nel calcestruzzo, gli sforzi sulle connessioni e nella fase 3 relative alla verifica di
deformabilità e di fessurazione.
44..22..11.. VVeerr ii ff iiccaa ddeell llaa tt rraavvee ddii rr iivvaa
44..22..11..11.. FFaassee 22
A favore di sicurezza si considerano le combinazioni allo stato limite ultimo.
Verifica della compressione del calcestruzzo
Si confronta la tensione massima di compressione nel cls con una resistenza ridotta.
Tensione resistente ridotta 2, 0,45 11,205Rd qp ckf N mmσ = ⋅ =
Tensione massima nel clcestruzzo 29,348Sd N mmσ =
, coeff.sicurezza 1,199Sd Rd qp VERIFICATOσ σ< ⇒ =
Verifica carico massimo connettore
La verifica prevede di verificare che una fila di connettori garantisca il 60% del carico.
Sforzo di scorrimento 56,603dQ kN=
0,570 0,6 coeff.sicurezza 1,053d
Rd
QVERIFICATO
P= < ⇒ =
44..22..11..22.. FFaassee 33
Verifica di deformabilità
Dalla combinazione rara agli stati limite di esercizio si pervengono ai seguenti carichi:
Carichi concentrati Qtot = 181,429 kN
Carichi distribuiti qtot = 5,451 kN/m
Freccia massima max 89,122f mm=
Freccia limite lim
1106,667
300f l mm= ⋅ =
max lim coeff.sicurezza 1,197f f VERIFICATO< ⇒ =
Verifica di fessurazione
Essendo il calcestruzzo interamente compresso non occore condurre la verifica a
fessurazione.
Progetto di un ponte a travata
92
55.. CCaallccoolloo ddeeii tt rraavveerrssii
55..11.. SSttaatt ii LLiimmii ttee UUll tt iimmii ((SS..LL..UU..))
È necessario dimensionare i traversi che hanno la finalità di ripartire i carichi applicati
sull’impalcato in maniera eccentrica.
55..11..11.. CCoommbbiinnaazziioonnii dd ii ccaarr iiccoo
Per massimizzare gli sforzi sui traversi bisogna concentrare il più possibile il carico nella
mezzeria longitudinale e nella mezzeria trasversale. L’unico metodo utilizzabile (escluso il
metodo di Guyon-Massonet-Bares) è quello di Engesser. Le combinazioni di carico
adottate sono le seguenti:
Figura 35 – Combinazione di carico 1
Figura 36 - Combinazione di carico 2
L’analisi condotta ha dimostrato la maggiore severità della combinazione di carico 2. Per
tale ragione si riportano a seguito solo i risultati inerenti a tale combinazione.
Progetto di un ponte a travata
93
55..11..11..11.. MMeettooddoo ddii EEnnggeesssseerr
Nella tabella seguente vengono individuati come i carichi si dividono tra le travi
considerando uno schema statico di appoggio-appoggio.
Azione Valore [u.m.] γγγγ ψψψψ0 Fd [u.m.] Trave sx Trave dx Rtrave,sx [u.m.] Rtrave,dx [u.m.]
Q1k,sx 150 kN 1,35 1 202,5 kN A B 38,571 kN 163,929 kN
Q1k,dx 150 kN 1,35 1 202,5 kN B C 48,214 kN 154,286 kN
Q2k,sx 100 kN 1,35 1 135 kN C D 102,857 kN 32,143 kN
Q2k,dx 100 kN 1,35 1 135 kN D E 109,286 kN 25,714 kN
Qrk,sx 10 kN 0 0,4 0 kN Sbalzo A 0,000 kN 0,000 kN
Qrk,dx 10 kN 0 0,4 0 kN E Sbalzo 0,000 kN 0,000 kN
q1k 9 kN/m2 1,35 0,4 14,58 kN/m B C 10,414 kN/m 4,166 kN/m
q2k 2,5 kN/m2 1,35 0,4 4,05 kN/m C D 1,157 kN/m 2,893 kN/m
qriman 2,5 kN/m2 0 0,4 0 kN/m C D 0,000 kN/m 0,000 kN/m
qfk,sx 2,5 kN/m2 0 0,4 0 kN/m Sbalzo A 0,000 kN/m 0,000 kN/m
qfk,dx 2,5 kN/m2 0 0,4 0 kN/m E Sbalzo 0,000 kN/m 0,000 kN/m
Tabella 36 - Carichi da traffico divisi sulle varie travi
Da questa analisi è possibile ricavare le quote parte di carico riprese dalle singole travi:
Trave q [kN/m] Q [kN] A 0,000 38,571 B 10,414 212,143 C 5,323 257,143 D 2,893 141,429 E 0,000 25,714
Tabella 37 – Carichi da traffico ripresi dalle singole travi
Per massimizzare le sollecitazioni sui traversi i carichi devono essere applicati in mezzeria
secondo la disposizione seguente.
Figura 37 – Disposizione dei carichi sulle travi
Progetto di un ponte a travata
94
La tabella fornisce le reazioni relative alle cinque travi longitudinali:
Reazione Trave A [kN] Trave B [kN] Trave C [kN] Trave D [kN] Trave E [kN]
R1 -0,09 32,26 16,16 8,78 -0,06 R2 0,53 98,14 52,22 28,4 0,35 R3 76,25 496,74 547,88 301,08 50,83 R4 0,53 98,14 52,22 28,4 0,35 R5 -0,09 32,26 16,16 8,78 -0,06
Tabella 38 – Reazioni vincolari delle travi longitudinali
Dall’analisi della tabella 38 appare ovvio che il traveso più sollecitato è l’R3, cioè quello di
mezzeria. Occorre definire i coefficienti di ripartizione validi per ognuna delle cinque travi.
Trave A B C D E
A 0,6 0,4 0,2 0 -0,2 B 0,4 0,3 0,2 0,1 0 C 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 D 0 0,1 0,2 0,3 0,4 E -0,2 0 0,2 0,4 0,6
Tabella 39 – Coefficienti di ripartizione di tutte le travi
Le reazioni del traverso R3 vanno ripartite su tutte le travi al fine di trovare il taglio totale
(ottenuto tramite somma) agente in corrispondenza di ciascuna trave. Tale valore viene
sottratto alla reazione R3 agente direttamente.
Trave Reazioni ripartite [kN] Somma [kN]
Reazioni base [kN]
Tagli [kN]
A 45,750 198,696 109,576 0,000 -10,166 343,856 76,25 -267,606
B 30,500 149,022 109,576 30,108 0,000 319,206 496,74 177,534
C 15,250 99,348 109,576 60,216 10,166 294,556 547,88 253,324
D 0,000 49,674 109,576 90,324 20,332 269,906 301,08 31,174
E -15,250 0,000 109,576 120,432 30,498 245,256 50,83 -194,426
Tabella 40 – Tagli nel traverso 3
Il taglio massimo assunto per la progettazione dei traversi è:
Vsd = 267,606 kN
Progetto di un ponte a travata
95
Il diagramma del taglio nel traverso più sollecitato è il seguente:
55..11..22.. SSttrruutt ttuurraa rreett iiccoollaarree
Viene adottata una struttura reticolare. Al fine di avvicinarsi il più possibile al modello
teorico di trave reticolare è necessario ridurre la rigidezza dei nodi e far coincidere l’asse
baricentrico delle aste con quello dello schema geometrico del nodo. Per sfruttare
pienamente la resistenza delle aste è necessario che esse siano sottoposte
esclusivamente a sforzo assiale. Per rispettare tale condizione si applicano i carichi ai
nodi. In realtà il peso proprio di ogni singola asta comporta un carico distribuito che dà
luogo a momento flettente di entità trascurabile rispetto agli sforzi normali in gioco. Per
evitare la formazione di momenti secondari legati all’eccentricità dell’asse baricentrico
rispetto all’asse di Truschino si sono adottati doppi profili UPN con medesime sezioni per i
correnti superiori, inferiori e diagonali.
-300,000
-200,000
-100,000
0,000
100,000
200,000
300,000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9Ta
gli
o [
kN
]
Distanza [m]
Taglio
Progetto di un ponte a travata
96
55..11..22..11.. SScchheemmaa ssttaatt iiccoo
Lo schema statico adottato e la numerazione delle aste e dei nodi risultano essere i
seguenti:
Figura 38 – Schema statico del traverso
Caratteristiche geometriche
Le lunghezze delle aste assumono i seguenti valori:
Asta 1 2 3 4 5 6 7
Lunghezza [mm] 1400 1050 1050 1400 2100 1750 1750
Tabella 41 - Lunghezza delle aste che compongono la struttura reticolare
55..11..22..22.. VVeerr ii ff iicchhee ddii rreessiisstteennzzaa ee ddii ssttaabbii ll ii ttàà
Nella tabella seguente si individuano per ognuna delle aste costituenti il traverso il relativo
sforzo assiale.
Asta 1 2 3 4 5 6 7
Sforzo assiale [kN] 0 -401,409 0 0 200,705 334,508 -334,508
Tabella 42 – Sforzo assiale delle aste che compongono la struttura reticolare
Le reazioni vincolari risultano essere:
VA = -267,606 kN
HA = -401,409 kN
HB = 401,409 kN
Si scompone la struttura in tre componenti:
- corrente superiore;
- corrente inferiore;
- diagonale;
Progetto di un ponte a travata
97
Per ogni tipologia di asta (corrente superiore, inferiore e diagonale) si verifica
esclusivamente quella maggiormente sollecitata essendo adottati i medesimi profili. Come
anticipato ogni asta è costituita da una sezione composta da due profili ad C accostati, o
meglio separati dalle piastre di nodo e dalle imbottiture. Tale scelta, oltre a garantire la
simmetria della sezione, consente di incrementare l’elisse d’inerzia. La verifica a
compressione in termini di resistenza non viene riportata, essendo automaticamente
soddisfatta se valida la verifica di instabilità. Le imbottiture sono posizionate ai terzi della
luce di ciascuna asta.
Corrente inferiore
Aste coinvolte 2-3
Profilo adottato accoppiato UPN 80
Trazione massima Nmax = 0,000 kN
Compressione massima Nmin = 401,409 kN
Verifica a compressione e di stabilità
Si effettua la verifica solo ad instabilità essendo più vincolante della verifica di resistenza.
Nella circolare del DM 14/01/2008 si afferma che “La verifica di aste composte costituite
da due o quattro profilati posti ad un intervallo pari alle spessore delle piastre di attacco ai
nodi e comunque ad una distanza non superiore a 3 volte il loro spessore e collegati con
calastrelli o imbottiture, può essere condotta come per un’asta semplice, trascurando la
deformabilità a taglio del collegamento, se gli interassi dei collegamenti soddisfano le
limitazioni della tabella C4.2.III”.
Tabella 43 - Tabella C4.2.III Disposizione delle imbottiture di connessione tra i profili.
La scelta di posizionare le imbottiture ad una distanza pari ai terzi delle luci non soddisfa la
sopracitata limitazione. Tuttavia si afferma inoltre che “nei casi in cui le aste non soddisfino
le condizioni della Tabella C4.2.III è possibile determinare un’appropriata snellezza
Progetto di un ponte a travata
98
equivalente dell’asta ricorrendo a normative di comprovata validità”. Si ricorre dunque alle
indicazioni dell’EC3.
Raggio d’inerzia sezione composta 2
* 2 24,4362z z G
si i y mm = + + =
Snellezza della sezione composta 0 0* * 42,969
min( ; )y z z
l li i i
λ = = =
Snellezza effettiva dell’asta 1min,sin
26,316imb
goloprofilo
ai
λ = =
Snellezza equivalente 2 21 50,387eqλ λ λ= + =
Snellezza al limite elastico 75,678yy
Ef
λ π= =
Snellezza adimensionale 0,666eq
y
λλ
λ= =
Fattore di imperfezione α = 0,49
Coefficiente Φ ( ) 20,5 1 0,2 0,836φ α λ λ = + − + =
Coefficiente riduttivo 22
10,746 1,0χ
φ φ λ= = <
+ −
Sforzo normale resistente all’instabilità ,1
554,685s yb Rd
M
fN kN
χγ
⋅ Α ⋅= =
Sforzo normale sollecitante 401,409SdN kN=
, coeff.sicurezza 1,382Sd b RdN N VERIFICATO< ⇒ =
Corrente superiore
Asta coinvolta 5
Profilo adottato accoppiato UPN 80
Trazione massima Nmax = 200,705 kN
Compressione massima Nmin = 0,000 kN
Verifica a trazione
Lo sforzo normale resistente è assunto pari al valore minore tra quello plastico e quello
ultimo della sezione netta.
Progetto di un ponte a travata
99
Sforzo normale resistente plastico ,0
743,810ypl Rd
M
A fN kN
γ⋅
= =
Sforzo normale resistente ultimo ,1
0,9807,840n y
u RdM
A fN kN
γ⋅
= =
< ⇒, , Rottura duttilepl Rd u RdN N
Sforzo normale sollecitante 200,705SdN kN=
, coeff.sicurezza 1,392Sd t RdN N VERIFICATO< ⇒ =
Diagonale
Aste coinvolte 6-7
Profilo adottato accoppiato UPN 80
Trazione massima Nmax = 334,508 kN
Compressione massima Nmin = 334,508 kN
Verifica a trazione
Lo sforzo normale resistente è assunto pari al valore minore tra quello plastico e quello
ultimo della sezione netta.
Sforzo normale resistente plastico ,0
743,810ypl Rd
M
A fN kN
γ⋅
= =
Sforzo normale resistente ultimo ,1
0,9807,840n y
u RdM
A fN kN
γ⋅
= =
< ⇒, , Rottura duttilepl Rd u RdN N
Sforzo normale sollecitante 334,508SdN kN=
, coeff.sicurezza 2,224Sd t RdN N VERIFICATO< ⇒ =
Verifica a compressione e di stabilità
Si effettua la verifica solo ad instabilità essendo più vincolante della verifica di resistenza.
Raggio d’inerzia sezione composta 2
* 2 24,4362z z G
si i y mm = + + =
Snellezza della sezione composta 0 0* * 71,614
min( ; )y z z
l li i i
λ = = =
Progetto di un ponte a travata
100
Snellezza effettiva dell’asta 1min,sin
43,860imb
goloprofilo
ai
λ = =
Snellezza equivalente 2 21 83,978eqλ λ λ= + =
Snellezza al limite elastico 75,678yy
Ef
λ π= =
Snellezza adimensionale 1,110eq
y
λλ
λ= =
Fattore di imperfezione α = 0,49
Coefficiente Φ ( ) 20,5 1 0,2 1,339φ α λ λ = + − + =
Coefficiente riduttivo 22
10,479 1,0χ
φ φ λ= = <
+ −
Sforzo normale resistente all’instabilità ,1
356,379s yb Rd
M
fN kN
χγ
⋅ Α ⋅= =
Sforzo normale sollecitante 334,508SdN kN=
, coeff.sicurezza 1,065Sd b RdN N VERIFICATO< ⇒ =
Progetto di un ponte a travata
101
Unioni bullonate
Si dimensiona il collegamento bullonato più sollecitato, corrispondente all’asta 2.
Sollecitazioni
Sforzo normale sollecitante FSd = 401,409 kN
Precarico ,7
0,7 99,909ubp cd res
M
fF A kN
γ= =
Caratteristiche geometriche
Numero di bulloni nb = 4
Numero di file di bulloni nfb = 1
Diametro dei bulloni φ = 16 mm
Area resistente Ares = 157 mm2
Diametro del foro d0 = 17 mm
Numero di sezioni di taglio nst = 4
Verifica interasse e distanze dai margini
L’EC3 prevede si soddisfare le seguenti limitazioni:
4t+40 mm ≥ e1 ≥ 1,2 d0
4t+40 mm ≥ e2 ≥ 1,2 d0
min(14t; 200 mm) ≥ p1 ≥ 2,2 d0
min(14t; 200 mm) ≥ p2 ≥ 3 d0
Per soddisfare queste limitazioni si adottano i seguenti valori:
e1 = 30 mm p1 = 40 mm
e2 = 40 mm tpiastra = 12 mm
Verifica a taglio dei bulloni
Taglio resistente ,
0,51004,80res ub
v Rd st bMb
A fF n n kN
γ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ =
Taglio sollecitante , 401,409v SdF kN=
, , coeff.sicurezza 2,503v Sd v RdF F VERIFICATO< ⇒ =
Progetto di un ponte a travata
102
Verifica a rifollamento
Spessore minimo (piastra-profilo-coprigiunto) tpiastra = 12 mm
Fattore riduttivo 1 1
0 0
1min ; ; ;1 0,534
3 3 4ub
u
fe pd d f
α
= − =
Resistenza a rifollamento min,
2,5418,560ub
b Rd bMb
f d tF n kN
αγ
⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ =
, , coeff.sicurezza 1,043t Sd b RdF F VERIFICATO< ⇒ =
Verifica dell’area netta (profilo, piastra di nodo)
In corrispondenza delle sezioni indebolite dai fori della bullonatura occorre verificare l’asta,
e la piastra di nodo affinché le rispettive aree nette siano in grado di riprendere lo sforzo
normale sollecitante.
Lo sforzo normale resistente è assunto pari al valore minore tra quello plastico e quello
ultimo della sezione netta.
Sforzo normale resistente plastico ,0
743,810ypl Rd
M
A fN kN
γ⋅
= =
Sforzo normale resistente ultimo ,1
0,9732,931n y
u RdM
A fN kN
γ⋅
= =
, , Rottura fragilepl Rd u RdN N> ⇒
, coeff.sicurezza 1,826Sd t RdN N VERIFICATO< ⇒ =
Verifica resistenza della piastra
Si ipotizza che l’intero sforzo assiale venga ripreso dalla piastra diffondendo il carico a 60°
a partire dal primo bullone, fino alla retta ortogonale all’asse dell’asta passente per l’ultimo
bullone.
Larghezza diffusa min 138,564c mm=
Spessore minimo maxmin
min 0
8,568y m
Ns mm
c f γ= =
⋅
Spessore adottato 12adottatos mm=
coeff.sicurezza 1,401Sd RdN N VERIFICATO< ⇒ =
Progetto di un ponte a travata
103
66.. TTrraassllaazziioonnee lloonnggii ttuuddiinnaallee
66..11.. DDeetteerrmmiinnaazziioonnee ddeell ccoonnttrraappppeessoo
Il metodo di costruzione adottato è quello di assemblaggio delle travi longitudinali
attraverso saldatura a completa penetrazione effettuata a monte della spalla. La
collocazione delle travi avviene tramite traslazione longitudinale mediante martinetti,
facendo scorrere le travi su rulliere. Per ridurre le sollecitazioni sulla trave. che presenta in
fase di varo uno sbalzo rilevante, si dispone l’ancoraggio di un avambecco composto da
una struttura reticolare di 5,5 metri di lunghezza. Tale dispositivo consentirà di raggiungere
prima la spalla opposta a quella di spinta, riducendo la luce dello sbalzo della trave. È
necessario valutare la condizione più gravosa per il dimensionamento del contrappeso. A
tal proposito si valuta il seguente schema statico che corrisponde alla condizione appena
precedente all’appoggio con la spalla di valle:
Figura 39 – Schema statico della trave durante il varo
Si può determinare il carico da assegnare al contrappeso attraverso l’equilibrio alla
rotazione attorno al polo A, considerando γE pari a 1,1 se il carico è sfavorevole, 0,9 se
favorevole:
( )
( )
22
2 2 356,290a E a E t E t E
cE
c dbQ b M g g
P kNc d
γ γ γ γ
γ
+⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
= =⋅ +
A favore di sicurezza si maggiora il carico del 25%:
,356,290 1,25% 445,370 450,000c c adottatoP kN kNm P kN= ⋅ = ⇒ =
66..22.. VVeerr ii ff iicchhee ddii rreessiisstteennzzaa
Si riportano verifiche sulle sezioni A e B.
Progetto di un ponte a travata
104
Sezione A
Sollecitazioni massime MA = 2018,595 kNm
VA = 141,430 kN
Occorre valutare il taglio sollecitante e verificare che esso sia inferiore al 50% di quello
resistente plastico. Se ciò è valido non occorre ridurre il momento resistente, mentre in
caso contrario, esso va limitato in funzione dell’entità del taglio sollecitante.
Verifica a taglio
Occorre calcolare l’area resistente a taglio assunta pari all’area dell’anima della trave. 219600,000v w wA t h mm= ⋅ =
Taglio resistente plastico ,
0
3825,9083
v ypl Rd
M
A fV kN
γ⋅
= =⋅
, coeff.sicurezza 27,052Sd pl RdV V VERIFICATO< ⇒ =
Verifica a flessione
< ⋅ ⇒,0,5 Non occorre ridurre Sd pl Rd RdV V M
Momento resistente elastico ,0
5291,900el yel Rd
M
W fM kNm
γ⋅
= =
, coeff.sicurezza 2,622Sd el RdM M VERIFICATO< ⇒ =
Sezione B
Sollecitazioni massime MA = 2156,719 kNm
VA = 462,897 kN
Verifica a taglio
Taglio resistente plastico ,
0
3825,9083
v ypl Rd
M
A fV kN
γ⋅
= =⋅
, coeff.sicurezza 8,265Sd pl RdV V VERIFICATO< ⇒ =
Verifica a flessione
< ⋅ ⇒,0,5 Non occorre ridurre Sd pl Rd RdV V M
Momento resistente elastico ,0
5291,900el yel Rd
M
W fM kNm
γ⋅
= =
, coeff.sicurezza 2,464Sd el RdM M VERIFICATO< ⇒ =
Progetto di un ponte a travata
105
66..33.. FFaassii ddii vvaarroo
Figura 40 – Fasi di varo
Progetto di un ponte a travata
106
77.. AAppppeennddiiccee
77..11.. CCaarraatt tteerr iisstt iicchhee ddeeii pprrooff ii ll ii
Travi longitudinali
Profilo h tw binf bsup tfinf tfsup G A r Iy Wysup Wyinf Wpl, y iy Iz Wz Wpl, z
¨ iz
[mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [Kg/m] [cm2] [cm4] [cm3] [cm3] [cm3] [cm3] [cm] [cm3] [cm3] [cm3] [cm]
HSD 1400/376 1465 14 550 250 40 25 375,6 478,5 8 1507251 15652,1 30023,13 22723,4 56,1 58745,6 2136,2 3484,211,1
Traversi
Profilo g h b tw tf r1 r2 A Iy Wy Wpl,y iy Iz Wz iu Iv IT Iw [cm
6]
[Kg/m] [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [cm2] [cm4] [cm3] [cm3] [cm] [cm] [cm3] [cm] [cm4] [cm4] [cm6]
UPN 080 8,64 80 45 6 8 8 4 11 106 26,5 31,8 3,1 19,4 6,36 12,1 1,33 2,16 170