Presentazione preparata dalla classe IV I Liceo socio-psico-pedagogico “S. Pertini” Genova

INDICE DELLA PRESENTAZIONE

• La funzione esponenziale

• Applicazioni del modello esponenziale

• I logaritmi

• La funzione logaritmica

• Applicazioni del modello logaritmico e la scala logaritmica

La funzione esponenziale• La funzione esponenziale è una delle più importanti

funzioni in matematica.

• Fissato un numero reale a>0 e a≠1 si chiama funzione esponenziale di base a la funzione di equazione y=ax, il cui dominio è R e il codominio è R+ - {0} .

• Se a=1 ,poiché 1x =1, la funzione esponenziale degenera nella retta parallela all’asse x di equazione y=1.

• Per x=0 si ha y=1 ( a≠0) quindi il grafico della funzione interseca l’asse y nel punto (0,1)

• Se a≠1 si distinguono due casi: a>1 e 0<a<1

y=ax

a>1 0<a<1

Il grafico della funzione

CASO a>1

0E+00

5E-01

1E+00

2E+00

2E+00

3E+00

3E+00

-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2

x

y

y=2x

•Dominio R, codominio R+-•Interseca l’asse y in (0,1)•La funzione è positiva per cui si trova nel I e III quadrante.•La funzione è monotona crescente•La funzione è bigettiva e pertanto invertibile e la sua inversa è la funzione logaritmica.• l’asse x negativo è l’asintoto della funzione

0

La funzione y=ax con a>1 al variare di a

a> 1

x y= 2x y= 3x y= 4x

-3 0,125 0,0 0,02-1 0,5 0,3 0,250 1 1,0 1,001 2 3,0 4,002 4 9,0 16,003 8 27,0 64,004 16 81,0 256,00

-5,0

0,0

5,0

10,0

15,0

20,0

25,0

30,0

35,0

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

y =2^x

y =3^x

y =4^x

All’aumentare di a la funzione cresce più rapidamente

y=2x

y=3x

y=4x

CASO 0<a<1

•Dominio R, codominio R+-•Interseca l’asse y in (0,1)•La funzione è positiva per cui si trova nel I e III quadrante.•La funzione è monotona decrescente•La funzione è bigettiva e pertanto invertibile e la sua inversa è la funzione logaritmica.• l’asse x positivo è l’asintoto della funzione

0

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

x

y

x

y

2

1

x

y

2

1

0< a< 1

x y= (1/2)x y= (1/4)x y= (1/6)x

-3 8 64 216-2 4 16 36-1 2 4 60 1 1 11 0,5 0,25 0,1666672 0,25 0,0625 0,0277783 0,125 0,015625 0,00463

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

x

y

y=(1 /2 )^x

y=(1 /6 )^x

y=(1 /4 )^x

La funzione y=ax con 0<a<1 al variare di a

x

y

2

1

x

y

4

1

x

y

6

1

All’aumentare di a la funzione decresce più rapidamente

CONFRONTO DEI GRAFICI y=ax e y= (1/a)x con a>1

0E+00

5E-01

1E+00

2E+00

2E+00

3E+00

3E+00

4E+00

4E+00

5E+00

-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2

y =2^x

y =(1/2)^x

y= 2x

y=(1/2)x

Il grafico della funzione y=ax con a>1 è simmetrico rispetto a quello della funzione y=(1/a)x rispetto all’asse y

Modelli eApplicazioni della funzione esponenziale

Carica e scarica di un condensatore

Modello diMalthus

Decadimentoradioattivo

AssorbimentoRadioattivo

in fisica medica

Tensione del vapore saturo

I logaritmi• Come nascono i logaritmi• Definizione di logaritmo• Proprietà dei logaritmi• Cambiamento di base• La funzione logaritmica• Scala logaritmica• Applicazioni del modello logaritmico e della scala

logaritmica

Come nascono i logaritmi

Michael Stilef ha individuato:

LA PROGRESSIONE GEOMETRICA

r0 ,r1 ,r2, r3,,rL,

Che è in corrispondenza biunivoca con

LA PROGRESSIONE ARITMETICA

0, 1, 2, 3, 4, .L,

•Gli elementi della seconda riga

sono gli esponenti che si devono attribuire ad una stessa base per ottenere l’elemento corrispondente della prima riga.

•Il prodotto di due termini della progressione geometrica fornisce un termine il cui esponente è la somma dei corrispondenti termini della progressione aritmetica.

•La divisione di due termini della progressione geometrica fornisce un termine il cui esponente è la differenza  dei corrispondenti termini della progressione

r0 , r1 , r2, r3,, rL, ( progressione geometrica)

0, 1, 2, 3, 4, .L, ( progressione aritmetica)

L’invenzione dei logaritmi

• John Napier: “ Mirifici logarithomorum canonis desriptio” ( Descrizione della regola meravigliosa dei logaritmi)(1614) seguita nel 1619 dal libro “Mirifici logarithomorum canonis constructio” in cui si desrivono i metodi da lui usati nella costruzione delle sue tavole.

• Henry Briggs: “ Logarithmorum chilia prima”(1617) logaritmi dei numeri da 1 a 1000

Si chiama logaritmo in base a di b l'unica soluzione dell ‘equazione esponenziale elementare nel caso determinatocioè l'esponente x da assegnare alla base a per ottenere il numero b .

ax =b

a= base dell’esponenziale e del logaritmo

x= logab

DEFINIZIONE DI LOGARITMO

Proprietà dei logaritmi

• loga(b*c)=logab+logac

• loga (b/c)=logab-logac

• logaan=n*logaa

• loga

• loga(1/n)=-logan

0Nn log1

bn

b an

Cambiamento di base

logab= logcb/logca

logab= 1/logba

Le basi più comuni

• Base 10

• Base e

• Base 2

La funzione logaritmica

Si chiama funzione logaritmica ogni funzione del tipo:

y=logax , con a>0 ,a≠1 e x R

•La funzione logaritmica è l’inversa della funzione esponenziale

•Poiché il dominio della funzione è D: XєR+-{0}, il grafico sarà tutto a destra dell’asse y.

•Poiché per X=1 si ha Y=0 il grafico della funzione interseca l’asse x nel punto (1,0)

y=logax

a>1 0<a<1

Il grafico della funzione

-3,00

-2,00

-1,00

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

y= log2x

CASO a>1

La funzione è monotona crescente:

x1<x2 logax1<logax2

Per x>1, la y assume valori positivi e cresce al crescere della X

Per 0<X<1, la Y assume valori negativi grandi in valore assoluto

Il dominio è R , il codominio è R+

y=0 è l’asintoto della curva

La funzione è bigettiva e quindi

invertibile. La sua inversa è la funzione esponenziale

Rx 21 , x

all’aumentare della base a la funzione cresce più lentamente

La funzione y=logax a>1 al variare di a

-3,00

-2,00

-1,00

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

x

y

y= log2x

y= log3x

y= log4x

x y=log2x y=log4x y=log3x

0,3 -1,74 -0,87 -1,10

0,5 -1,00 -0,50 -0,63

0,8 -0,32 -0,16 -0,20

1 0,00 0,00 0,00

2 1,00 0,50 0,63

3 1,58 0,79 1,00

4 2,00 1,00 1,26

5 2,32 1,16 1,46

6 2,58 1,29 1,63

7 2,81 1,40 1,77

8 3,00 1,50 1,89

9 3,17 1,58 2,00

10 3,32 1,66 2,10

CASO 0<a<1

-5,0

-4,0

-3,0

-2,0

-1,0

0,0

1,0

2,0

3,0

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

x

y

y=log1/2x

La funzione è monotona decrescente x1<x2↔logax1>logax2

per x >1, la y assume valori negativi e decresce al crescere della x per 0< X<1, la y assume valori positivi e crescenti

y=0 è l’asintoto della funzione

Dominio R+ ,codominio R

La funzione è bigettiva e quindi invertibile. La sua inversa è la funzione esponenziale

Rx 21 , x

-5,0

-4,0

-3,0

-2,0

-1,0

0,0

1,0

2,0

3,0

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

x

y

y=log 1/4x

y=log 1/3x

y=log 1/2x

La funzione y=logax 0<a<1 al variare di a

all’aumentare della base a la funzione decresce più rapidamente

x y=log2x y=log4x y=log3x

0,3 -1,74 -0,87 -1,10

0,5 -1,00 -0,50 -0,63

0,8 -0,32 -0,16 -0,20

1 0,00 0,00 0,00

2 1,00 0,50 0,63

3 1,58 0,79 1,00

4 2,00 1,00 1,26

5 2,32 1,16 1,46

6 2,58 1,29 1,63

7 2,81 1,40 1,77

8 3,00 1,50 1,89

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

y=log ax

y=log 1/ax

si può osservare che i grafici risultano simmetrici rispetto all’asse x positivo

CONFRONTO DEI GRAFICI y= logax e con a>0 e a≠1xya

1log

Tipi di scala

• Scala lineare: è quella maggiormente utilizzata. La parola lineare indica il fatto che ciascun intervallo di graduazione è costante.

• Scala logaritmica: la scala logaritmica si differenzia dalla scala lineare per il fatto che la proporzionalità tra le due grandezze non è costante ma ha un andamento logaritmico.

Confronto tra scala lineare e logaritmica:

Scala lineare     Scala logaritmica

Y X Y X

1 1 1 10

2 2 2 100

3 3 3 1000

... ... ... ...

n n n 10n

Costruzione della scala logaritmica1) Si segna 1 nell’estremo sinistro di un segmento2) Si segna 100 nell’estremo destro del segmento3) Si prende il punto medio tra 1 e 100 e lo si

chiama 104) Si prende il punto medio tra 1 e 10 e lo si chiama

√10=3,162

162,310 1 100 √100=10

10log10log2

11010

100log100log2

11010

100log10

• Si prende il punto medio tra 10 e 100 e lo si chiama 10√10=31,62

• Si procede prendendo il punto medio tra 1 e √10 e così via

La costruzione fatta corrisponde all’applicazione delle proprietà dei logaritmi: log(ab)=loga+logb

10log10log2

110

100log100log

2

11010

100log10

1 √10=3,162 √100=10 100

1log10

I LOGARITMI FACILITANO

I CALCOLII logaritmi furono utilizzati originariamente per la semplificazione dei calcoli e trovanoancora impiego e applicazione in diversediscipline come la biologia, l’ astronomia, le scienze della terra e le operazioni

finanziarie

Nella chimica

Nei terremoti Nell’astronomia

Nella finanza

Nel suono

Applicazione della scala logaritmica

APPLICAZIONI DEI LOGARITMI E DELLA SCALA LOGARITMICA

FUNZIONE MONOTONA CRESCENTE

Una funzione è monotòna crescente in un intervallo (a,b) se:

)()f(x xse ),(, x 212121 xfxbax

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

x

y y=2 x̂

FUNZIONE MONOTONA DECRESCENTE

Una funzione è monotòna decrescente in un intervallo (a,b) se:

)()f(x xse ),(, x 212121 xfxbax

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

x

y

La funzione

• Dati due insiemi A e B, si dice funzione da A in B ogni relazione che ad ogni elemento si A fa corrispondere uno ed un solo elemento di B.

A B

a

b

c

x

y

LE FUNZIONI POSSONO ESSERE

INIETTIVE SURIETTIVE

BIGETTIVE

Funzione iniettiva

• Una funzione si dice iniettiva se ogni elemento di B ha al massimo una controimmagine in A;cioè se due elementi diversi appartenenti ad A hanno immagini diverse in B.

a

b

x

y

.z

AB

•Nella rappresentazione cartesiana di una funzione reale di variabile reale iniettiva,ogni retta parallela all’asse x interseca il grafico della funzione al massimo in punto.

x

y

O a

f(a)

Funzione iniettiva

a b c

f(a)=f(b)=f(c)

Funzione non iniettiva

La funzione suriettiva

• Una funzione si dice suriettiva se ogni elemento di B ha almeno una controimmagine in A.

a

b

c

x

y

AB

Nella rappresentazione cartesiana di una funzione suriettiva ogni retta parallela all’asse x deve intersecare il grafico in almeno un punto.

x

y

O

Funzione suriettiva Funzione non suriettiva

x

y

O

La funzione bigettiva

• Una funzione f:A->B si dice bigettiva o biunivoca se è iniettiva e suriettiva.

a

b

c

x

y

z

A B

La funzione invertibile• Se una funzione f:A B risulta essere

bigettiva,allora è invertibile e avrà come funzione inversa inversa f -1:B A

• Nel piano cartesiano f e f -1 hanno rappresentazioni grafiche coincidenti ma se si scambia la x con la y in f -1 i grafici di y=f(x) e

y=f -1(x) risultano simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante

y=f(x)

y=x

y=f(x)

y=x

y=f -1(x)

GRAFICO DI UNA FUNZIONE E DELLA SUA INVERSA

L'equazione esponenziale più semplice (elementare) è del tipo : bax

Essa può essere impossibile, indeterminata o determinata :

; 51 oppure 32 :esempio ; 1 e 1 oppure 0 xxab,b

; 11 : esempio ; 1 1 xb,a

determinata se

. 53 : esempio ; 0 1 0 xb,a,a•Indeterminata se

impossibile se :

equazionedell' incognital' è ; 0 e 0con xba

EQUAZIONE ESPONENZIALE

y=b>0

y=b<0

Se consideriamo per esempio a>1

•Se b>0 si ha un’intersezione e quindi una soluzione reale•Se b=0 oppure b<0 non si hanno intersezioni e quindi nessuna soluzione reale

Determinare la soluzione dell’equazione elementare significa trovare le intersezioni tra la funzione y=ax e y=b

Applicazione nel suonoL’apparato uditivo umano è sensibile alla

variazione di pressione atmosferica e la traduce in variazione di segnali elettro-chimici. Questo legame è logaritmico e si misura con la scala del decibel.

Il decibel è un’unità di misura di tipo logaritmico che esprime il rapporto fra due livelli di cui uno, quello al denominatore, è preso come riferimento

dBX = 10•log(X/X0) dove X0 è il valore di riferimento fissato.

I LOGARITMI E LA FINANZA

In finanza l’ ultimo ritrovato per scovare gli evasoriè collegato con i logaritmi ed è opera del matematico Mark Nigrini(1992). Egli utilizzò la legge scoperta dal matematico SIMON NEWCOMB(1881) e poi formalizzata dal fisico Benford(1938).

Probabilità (che la prima cifra del numero sia d)=                          d indica una delle cifre da 1 a 9 .

d

11log10

Gli evasori producono delle dichiarazioni dei redditi che analizzate evidenziano notevoli deviazioni dalla legge di Benford.

Quindi per sapere se l’evasore ha compilato onestamente la dichiarazione dei redditi basta controllare la frequenza delle varie cifre utilizzate per scrivere i numeri.

Diagramma a torta della distribuzione della prima cifra

Applicazione nella finanza Nelle scale logaritmiche ad uguali variazioni percentuali del

prezzo corrisponde un medesimo movimento sull’asse y del grafico indipendentemente dalla variazione del prezzo in valore assoluto mentre nelle scale aritmetiche non sono apprezzabili le variazioni del prezzo in quanto sono messe in evidenza solo le variazioni assoluteScala logaritmica Scala aritmetica

Applicazione nei terremoti

• Intensità: misura la grandezza dei terremoti attraverso gli effetti

• Magnitudo: esprime la grandezza di un terremoto attraverso la misura dell’ampiezza massima della traccia registrata dal sismografo.

Il sismografo• Strumento utilizzato per registrare i

fenomeni sismici• È costituito da una serie di elementi

che consentono la rappresentazione grafica dell’andamento del segnale sismometrico nel tempo.

• Esistono due scale: Mercalli e Richter

Per calcolare la magnitudo occorre conoscere l’altezza del picco più alto registrato da un sismografo e la distanza esistente tra il

sismografo e l’epicentro del terremoto.

Il procedimento per il calcolo della magnitudo locale è il seguente: 1. si misura la distanza sino all’epicentro usando l’intervallo di

tempo tra le onde P ed S ( S-P=25sec) 2. si misura la massima ampiezza della traccia d’onda sul

sismogramma ( 10 mm.) 3. si traccia una linea retta che congiungente i punti appropriati sulla

scala delle distanze ( a sinistra) e delle ampiezze per ottenere la

magnitudo ML= 5,0

Nella definizione data da Richter, la magnitudo ML di qualsiasi terremoto è data dal logaritmo della massima ampiezza della traccia con cui un sismografo a torsione di Wood-Anderson calibrato in maniera “standard” (cioè con amplificazione 2.800 volte, periodo proprio 0,8 secondi, costante di smorzamento 0,8) registrerebbe l’evento se questo si fosse verificato a una distanza epicentrale di 100 km.

Per i terremoti a 100 km di distanza, la formula è dunque:

ML= log10 A

ML = magnitudo Richter( o magnitudo locale)

A =altezza massima della sinusoide sul sismogramma da 0 fino al picco, in mm.

legge logaritm ica con scala aritm etica

y = 0,4343Ln(x) + 3E -15

0

1

2

3

4

5

6

0,0E +00 5,0E +04 1,0E +05 1,5E +05

am piez z a della traccia del sism ografo

Val

ore

del

la s

cala

R

ich

ter

legge logaritmica con scala logaritmica

0

1

2

3

4

5

6

1 10 100 1000 10000 100000

ampiezza della traccia del sismografoV

alo

re d

ella

sc

ala

Ric

hte

r

Osserviamo che nella scala logaritmica la relazione tra il valore della scala Richter e l’ampiezza della traccia del sismografo è di tipo lineare.

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DI UN TERREMOTO

I LOGARITMI E L’ ASTRONOMIA

I logaritmi in astronomia vengono utilizzati nella definizione di magnitudine di una stella.

Per misurare la luminosità delle stelle si utilizza la scala delle magnitudini.

Le stelle più luminose hanno magnitudini più piccole

Se vogliamo conoscere l'esatto rapporto di luminosità tra una magnitudine e la successiva, dobbiamo dividere 100 in 5 parti tra loro in proporzione geometrica in modo che rimanga costante il rapporto tra una parte e quella immediatamente precedente. Questo equivale a calcolare la:

Prendiamo questo numero come base dei logaritmi, che chiameremo logaritmi stellari e scriviamo la progressione: 1, 2,512; 6,310; 15,849; ......

Che sono le successive potenze di 2,512

I numeri naturali che vengono utilizzati per la magnitudo non sono altro che i logaritmi (cioè gli esponenti) a cui bisogna elevare la base 2,512…

La legge psicofisica di Fechner(1801-1887) e Weber(1795-1878) stabilisce che l’intensità di una sensazione avvertita coscientemente è proporzionale al logaritmo dell’intensità dello stimolo che la produce, quindi è meno intensa di esso.Gli organi di senso sono in grado di ridurre l’intensità degli stimoli secondo il loro logaritmo mentre l’intensità dello stimolo cresce in progressione geometrica, quella della sensazione cresce solo in progressione aritmetica.

La legge di Fechner e Weber, applicata al caso delle stelle, assume la forma seguente:  

m = k · log10 J

dove m (magnitudine) è l'immagine di una stella che si forma nel nostro occhio e rappresenta quindi la sensazione, mentre J è la quantità di energia luminosa che

incide sul recettore, cioè è lo stimolo; k è una costante di proporzionalità

LEGGE DI FECHNER

m1 - m2 = k · Log (J1/J2)

m1 - m2 è la differenza di magnitudine di due stelle le cui intensità luminose sono rispettivamente J1 e J2

Questa formula ci consente:

• qualora siano noti i valori delle intensità luminose di due stelle qualsiasi, di definire il valore di k.

•attraverso la misura esatta dei flussi luminosi delle singole stelle, consente di andare al di là delle sei classi di grandezza considerate dagli antichi e definire anche magnitudini di valori non interi

•di attribuire alle stelle più brillanti, che gli antichi classificavano indiscriminatamente di 1ª grandezza, magnitudini prossime a zero e anche negative.

La formula di Pogson (1829-1891)

Applicazione nella chimicaÈ possibile esprimere la basicità o l’acidità di una sostanza

mediante la scala del pH, che consente di trasformare numeri molto piccoli in numeri che vanno da 0 a 14.

Oggi il pH viene definito come il logaritmo negativo, in base 10, della concentrazione molare degli ioni idrogeno.

pH=-log[H+]

TENSIONE DEL VAPORE SATUROSe un liquido è contenuto in un ambiente limitato ,il numero di molecole che evaporano non può aumentare indefinitamenteQuando il volume che sovrasta il liquido non può più contenere altre molecole in fase aeriforme (vapore +liquido)il vapore è saturo e la pressione esercitata dalle molecole gassose assume il suo valore massimo( tensione del vapore saturo)La pressione del vapore saturo di un liquido aumenta al crescere della temperatura

Carica e scarica di un condensatore

C= condensatore di capacità C

R= resistore di resistenza R

G= generatore di tensione

T = tasto che apre o chiude il circuito

A circuito chiuso, il condensatore viene caricato.

a) La carica elettrica q, accumulata al variare del tempo sulle armature del condensatore, da un valore nullo tende al valore CV. Il suo andamento è descritto dalla seguente equazione:

b) L'intensità i della corrente elettrica, durante il processo di carica, partendo dal valore iniziale V/R, tende ad annullarsi. Il suo andamento è descritto dalla seguente equazione:

c) La differenza di potenziale che si instaura tra le armature del condensatore al variare del tempo, da un valore nullo tende al valore V (differenza di potenziale ai capi del generatore). La crescita è descritta dalla seguente equazione:

a b c

Scarica del condensatoreA circuito aperto, il condensatore si scarica.

a) La carica elettrica q, accumulata al variare del tempo sulle armature del condensatore, dal valore iniziale CV tende al valore nullo. Il suo andamento è descritto dalla seguente equazione:

b) L'intensità i della corrente elettrica, partendo dal valore iniziale V/R, tende ad annullarsi. Il suo andamento è descritto dalla seguente equazione:

c) La differenza di potenziale che si instaura tra le armature del condensatore al variare del tempo, da un valore V (differenza di potenziale ai capi del generatore) tende al valore nullo. La decrescita è descritta dalla seguente equazione:

a b c

Il decadimento radioattivo•

Un nucleo radioattivo può trovarsi in uno stato tale da rendere possibile sia l'emissione di particelle dotate di energia cinetica, sia di radiazioni elettromagnetiche. Si dice allora che il nucleo ha subito un decadimento radioattivo che tende a portarlo in uno stato più stabile, cioè caratterizzato da minore energia.

• Sebbene in un dato intervallo di tempo si disintegri una ben definita frazione di nuclei, non è dato sapere quali essi siano, anche se ogni nucleo radioattivo ha una data probabilità di disintegrarsi e questa probabilità non cambia nel tempo.

• Così come si può valutare quanti nuclei di una data specie decadranno in un certo tempo, possiamo anche valutare quanto tempo deve trascorrere perché la quantità di nuclei presenti ad un dato istante si dimezzi. Tale tempo è detto tempo di dimezzamento T.

La funzione esponenziale nella fisica medica

I raggi x sono radiazioni elettromagnetiche invisibili all’occhioumano:sono fortemente energetiche a frequenza molto alta.

Tutte le onde elettromagnetiche,nell’attraversare uno stato di materia,vengono in parte assorbite,in parte trasmesse secondo la legge

l=loe -x

= coefficiente di attenuazione o di assorbimento.l= intensità raggio trasmesso , lo=intensità raggio incidentex= spessore della materia attraversata

La legge di Malthus

• Malthus sostiene che la popolazione (umana) cresce secondo una progressione geometrica (per esempio 2, 4, 8, 16, ...), mentre le risorse necessarie per la sua alimentazione crescono secondo una progressione aritmetica (per esempio 3, 6, 9, 12, ...). Non importa quali siano i numeri di partenza: prima o poi la popolazione supera le risorse e la crescita non può continuare. Questa è nota come "legge di Malthus" (in economia, non in biologia).

Secondo il modello di Malthus vale la seguente legge:

N(t)=Cexp(kt)

• k è costante rispetto al tempo e dipende dalla specie che stiamo osservando . • k= tasso di nascita - tasso di morte.

k>0 N è crescente • k

k<0 N è decrescente

•C è il valore di N al tempo t=0 ed è costante rispetto al tempo per una determinata specie di individui.

MODELLO MALTHUSIANO