Esercitazione biomaterialiMateriali compositi

…E la canna da pesca????!!!!

Modello di Voigt: condizione di isodeformazione

• Se il carico è applicato in senso longitudinale, fibra e matrice dovranno deformarsi nella stessa misura

• Il carico (Pc) si distribuisce in modo differente tra fibre (Pf) e matrice (Pm)

fmffc

m

mm

f

ff

c

c

mmffc

mmffcc

fmc

fmc

VEVEE

VV

VV

AAAPA

PPP

1

4

F FF F

Assunzioni del modello di Voigt

• Le fibre sono perfettamente allineate tra loro e nella direzione longitudinale

• Il legame interfacciale fibra-matrice è perfetto

• Fibra e matrice presentano il medesimo coefficiente di Poisson, per cui non si manifestano stati di tensione dovuti a una contrazione laterale differente

5

Correzione del modello di Voigt per coefficienti di Poisson differenti

• Se i coefficienti di Poisson sono diversi tra loro, il modulo elastico effettivo del composito dovrebbe essere incrementato di una quantità proporzionale al quadrato della differenza tra i coefficienti di Poisson di fibre e matrice

• Questa correzione è in pratica sempre trascurabile.

6

f m 2

Modello di Reuss (condizioni di isosforzo) approssimazioni

• Il legame interfacciale consente il completo trasferimento del carico applicato

• La matrice ha comportamento completamente elastico (no viscoelastico) la sua deformazione è quindi indipendente dal tempo

• La rigidità delle fibre sia identica nelle direzioni trasversale e longitudinale (vero per le fibre di vetro che sono isotrope ma non per quelle di carbonio e aramidiche)

• Si trascurano gli stati di tensione nella direzione trasversale a quella di applicazione del carico assumendo che fibra e matrice abbiano lo stesso coefficiente di Poisson

7

Modello di Reuss:condizione di isosforzo

• Quando il composito è sollecitato a trazione in direzione trasversale rispetto alle fibre, entrambi i componenti del materiale devono sopportare la stessa sollecitazione, deformandosi però in maniera diversa.

fffm

mf

c

m

f

f

f

c

m

mm

f

ff

c

c

mmffc

mmffcc

mfc

VEVE

EEE

E

V

E

V

E

VV

VV

LLL

1

11

8

F

F

F F

Correzione per il differente coefficiente di Poisson• La presenza di stati tensionali nella matrice causati dalla differenza dei

coefficienti di Poisson impedisce alla matrice di deformarsi come vorrebbe (effetto di pseudo-incrudimento);

• Questo effetto di incrudimento è correlato alla frazione volumetrica delle fibre e alla loro disposizione geometrica.

• In ogni caso il modulo elastico reale della matrice può essere corretto in funzione del coefficiente di Poisson

9

Esempi di correzione del modulo della matrice

10

Em

1m2

1

EcV f

E f

Vm 1m

2 Em

Ec Ec Em

Em V f E f 1V f 1m2

Esempi di calcolo del modulo del composito con i modelli di Voigt e Reuss

11

0

20

40

60

80

100

120

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

E (G

Pa)

frazione volumetrica fibre Vf

Voigt

Reuss

Reuss modificato

Simbolismi

• In genere quando si indicano i moduli di una lamina ortotropa si considerano due assi: X1 e X2, rispettivamente per la direzione di orientamento delle fibre e per la direzione perpendicolare.

• Così anche i moduli calcolati con i modelli di Voigt e Reusssono in genere indicati con E1e E2

12

X2

X1

Approssimazioni

13

E f Em

E1 E f V f Em 1V f E1 E f V f

E2 Em Ec

Em V f Ec 1V f

Em Ec

Ec 1V f

Em

1V f

Coefficiente di Poissonrelativo allo sforzo applicato nella direzione X1: la deformazione longitudinale è identica per tutti (condizione di isodeformazione) mentre la contrazione laterale in direzione X2 è la somma dei due contributi, quello della fibra e quello della matrice

14

12 21

1 c m f

2 2 f V f 2m Vm

f 2 f

1

m 2m1

2 1 f V f 1 m Vm

2112 f V f m 1V f

Se lo sforzo è esercitato nella direzione X2 (trasversale alle fibre) esso provoca una deformazione ε2e una contrazione nella direzione di allineamento delle fibre ε1. La contrazione laterale è controllata dalle fibre che devono contrarsi nella direzione del loro asse. La matrice (meno rigida) non può contrarsi maggiormente senza fenomeni di debonding

15

21 12

1 m f

E f Em

21 f

2

2 f

• ν21 è minore di ν12

• Inoltre ν21 è proporzionale a 1/Ef

• In conclusione i due rapporti di Poisson sono inversamente proporzionali ai moduli elastici del composito nelle direzioni ortogonali X1 e X2:

16

12:1

E2 21 :

1

E1

21E2

12E1

Equazioni di Tsai-Halpin

• Sono state sviluppate per superare le approssimazioni introdotte nei modelli più semplici, ed in particolare:• Ipotesi di trasferimento sempre completo tra fibra e matrice

indipendentemente dalla distribuzione geometrica del rinforzo

• Miglioramento dei risultati forniti dal modello di Reuss

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Limiti del modello di Reuss• Il modello di Reuss generalmente sottostima il

valore reale del modulo del composito

Proprietà Fibre Matrice

Modulo di Young (GPa) 220 3.3

Modulo di taglio (GPa) 25 1.2

Rapporto di Poisson 0.15 0.37

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relazione Valore calcolato Valore sperimentale

Voigt 124.7 125.0

Reuss 7.4 9.1

G12 2.6 5.0

ν12 0.25 0.34

Proprietà del composito

Quando si applica uno sforzo perpendicolarmente alle fibre, l’adesione fibra matrice fa sì che la matrice in realtà non sia poi così libera di deformarsi come le condizioni di isosforzo prevederebbero. In realtà una parte della matrice lavora veramente in serie con le fibre, ma una parte è come se fosse in parallelo.

19

FFrazione di matrice che lavora in serie

Frazione di matrice che lavora in parallelo

Frazione volumetrica fibre

Le frazioni in volume che competono a ciascuna fase dipenderanno dalla microstruttura del composito in termini di:

•Distanza tra le fibre•Diametro delle fibre•Tipo di arrangiamento

Fattore di rinforzo ζ• Tsai e Halpin hanno proposto di un fattore di rinforzo ζ

che esprime l’efficienza del rinforzante nel composito (a sua volta dipendente dalla geometria e dalla distribuzione del rinforzante nonché dall’efficienza nel trasferimento del carico)

• ζ è un fattore empirico

• Nelle equazioni di Tsai-Halpin il fattore di rinforzo compare sia direttamente sia in termini di una sua funzione definita come:

20

E f

Em1

E f

Em

oppure

G f

Gm1

G f

Gm

Le equazioni che descrivono il comportamento elastico del composito diventano pertanto:

21

E1 E f V f Em 1V f

12 f V f m 1V f

E2 1 V f 1V f

Em

G12 1 V f 1V f

Gm

Proprietà elastiche dei laminati • Le proprietà elastiche dei laminati vengono in genere

progettate sulla base della teoria della laminazione, in cui le proprietà delle singole lamine vengono combinate sulla base dell’orientamento delle fibre e della simmetria del laminato

• Queste assunzioni sono valide solo se sono verificate le seguenti condizioni:• Perfetta adesione tra le lamine• Interfaccia tra le lamine di spessore infinitesimo • Lastra sottile

• Per laminati simmetrici vale la relazione:

22

Cij c ij k1

N

k

Vk

Dove: Cij costanti elastiche del laminatocij costanti elastiche della laminaVk frazione volumetrica dei singoli strati rispetto al volume totale del laminato

• La regola delle miscele sopra elencata è di semplice applicazione per laminati 0° e 90°, tramite la media pesata sul numero di strati dei valori di modulo ottenuti con la regola delle miscele e con la regola inversa delle miscele (equazioni di Voigt e Reuss).

• Es. per un laminato [06/905]

23

E0 6

11E1

5

11E2

E90 5

11E1

6

11E2

Criterio di Krenchell

• Il calcolo del modulo di laminati con piani con fibre orientate con angoli diversi da 0° e 90° attraverso le regole delle miscele può diventare complesso.

• Un modello semplificato che consente di conoscere in modo approssimato i valori del modulo in diverse direzioni è il criterio di Krenchell.

• Nel criterio di Krenchell è introdotto un fattore di rinforzo definito come:

24

an cos4

Dove an è la frazione di fibre che presentano una certa orientazione θ

• Il fattore di rinforzo ηθ viene inserito nll’equazione di Voigt, permettendo di calcolare il modulo in una determinata direzione :

25

Ec E fV f Em 1V f

Esempi di valori del fattore di rinforzo ηθ per semplici sequenze di laminazione

Codice di laminazione Fattore di rinforzo (ηθ)

[0] 1.000

[90] 0.000

[0/90] 0.500

[+45/-45] 0.250

[0/90/±45] 0.375

26

27

0

20

40

60

80

100

120

140

0 15 30 45 60 75 90

Mo

du

lo (

GPa

)

angolo rispetto all'asse 0° delle fibre (°)

Andamento del modulo in un laminato composito (Ef 200GPa, Em 3GPa, Vf 0.6)

[0]

[0/90]

28

0

50

100

150Andamento del modulo

in un laminato composito Ef 200GPaEm 3GPa

Vf 0.6

[0]

[0/90]

[0/90/+45/-45]

Considerazioni sul modello di Krenchell

• I piani a 90° danno un contributo nullo al modulo. In realtà il modello di Reuss, che si è visto sottostima i valori, permette di calcolare valori superiori.

• Secondo il modello di Krenchell, un laminato con orientamento delle fibre pari a 0°, 90°, ±45° ha già un comportamento isotropo.

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Materiali compositi

• Materiale composito (lamina monostrato: fibra + matrice)

• fibra di carbonio (E = 300 GPa) e matrice epossidica (E = 3 GPa), con un contenuto di fibra del 60%

• Fibre lunghe, esenti da difetti, parallele, equidistanziate

• Perfetta adesione e trasmissione degli sforzi

1) Sollecitazione parallela alle fibre

2) Sollecitazione ortogonale alle fibre

? Rigidezza del composito nelle due direzioni

l

A

F1

1 – sollecitazione parallela alle fibre

Nel caso di sollecitazione parallela alle fibre la deformazione delle fibre e della matrice coincidono e sono uguali a quella del composito

c = f = m

La forza applicata al composito è ripartita in parte sulle fibre e in parte sulla matrice

Fc = Ff + Fm

1 – sollecitazione parallela alle fibre

In base alla definizione di sforzo

= F/A

sostituendo nell’equazione si ha che

cAc = fAf + mAm

moltiplicando tutto per l si ha

cAcl = fAfl + mAml

ovvero

cVc = fVf + mVm

1 – sollecitazione parallela alle fibre

In campo elastico è valida la legge di Hooke = E*, quindi

cVc = fVf + mVm

EccVc = EffVf + EmmVm

ma poiché la deformazione è la stessa

EcVc = EfVf + EmVm

Ec= Ef(Vf/Vc)+ Em(Vm/Vc) =

= 300 GPa*0.6 + 3 GPa*0.4 = 181 GPa% fibra nel composito % matrice nel composito

2 – sollecitazione ortogonale alle fibre

In questo caso fibra e matrice si deformano in modo differente, mentre lo sforzo che agisce è sempre lo stesso. Quindi:

c = f = m

Dlc = Dlf + Dlm

l

A

F2

2 – sollecitazione ortogonale alle fibre

Utilizzando la definizione di deformazione

= Dl/l0si ha che

clc = flf + mlme moltiplicando entrambi i membri per A

clcA = flfA + mlmA ovvero

cVc = fVf + mVm

2 – sollecitazione ortogonale alle fibre

In base alla legge di Hooke = E*

c/Ec)Vc = f/Ef)Vf + m/Em)Vm

ma poiché lo sforzo è lo stesso su tutte le sezioni, indipendentemente dal fatto di avere fibra oppure matrice, si ha

1/Ec)Vc = 1/Ef)Vf + 1/Em)Vm

GPa

GPaGPaV

V

EV

V

E

E

c

m

mc

f

f

c 7

4.03

16.0

300

1

1

11

1

% fibra nel composito % matrice nel composito

ESERCIZIO

• Un composito unidirezionale a fibre di carbonio in resina epossidica contiene il 68% in volume di fibre di carbonio e il 32% di resina epossidica, la densità delle fibre di carbonio è di 1.79 g/cm3 e quella della resina epossidica è di 1.20 g/cm3.

• Qual è il peso percentuale delle fibre di carbonio e della resina epossidica nel composito?

• Qual è la densità media del composito?

Soluzione

• Si consideri 1 cm3:• 68% in volume di fibre di carbonio e il 32% di resina epossidica

• Massa fibre carbonio = ρcarbonioVcarbonio = 1.79 g/cm3 * 0.68 x 1cm3 = 1.2172 g

• Massa resina epossidica = ρepoxyVepoxy = 1.2 g/cm3 * 0.32 x 1cm3 = 1.2172 g = 0.384 g

• Massa totale: 1.2172 g + 0.384 g = 1.6012 g

• Densità media?????

Esercizio

• Calcolare (a) il modulo di elasticità, (b) lo sforzo a trazione e (c) la frazione di carico sopportato dalle fibre per il seguente materiale composito sollecitato in condizioni di iso-deformazione. Il composito consiste in resina epossidica rinforzata con fibre di vetro continue prodotto utilizzando il 60% in volume di fibre di vetro e aventi un modulo di elasticità Ef = 72,3 GPa e una resistenza a trazione di 2410 MPa. La resina epossidica reticolata possiede un modulo Em = 3,1 GPa e una resistenza a trazione di 62 MPa.

Esercizio

• Calcolare il modulo di elasticità di un materiale composito formato per il 60% in volume da fibre di vetro di tipo E continue e per il 40% da matrice di resina epossidica, quando questo viene sollecitato in condizioni di isosforzo (cioè il materiale è sollecitato in direzione perpendicolare alle fibre continue). Il modulo di elasticità del vetro E è 72,35 GPa e quello della resina epossidica è 3,1 Gpa

• Rappresentare graficamente la condizione di sollecitazione su fibra e matrice

Esercizio

• Calcolare il modulo elastico in trazione di un materiale composito a matrice di resina epossidica con fibre unidirezionali in Kevlar 49 caricato in condizioni di isodeformazione.

• Le fibre di kevlar hanno un modulo di 190 Gpa e la matrice epossidica di 3.79 Gpa

• Calcolare la frezione volumetrica di fibra per avere un modulo di 120 GPa

• Ec=Efvf+Em(1-vf)

𝑣𝑓 =120−3.79 𝐺𝑃𝑎

190−3.79 𝐺𝑃𝑎= 0.62 = 62%

ESERCIZIO

• 20 lamine identico spessore

• Lamina:• Fibra SiC: σf =2900 MPa, Ef=210

GPa., vf=35%• Matrice: Ti6Al4V σm=900MPa,

Em=110 GPa

• (±30, 04; ±45;902)2

• Calcolare Ec, Rc in direzione 0°

an cos4

Ec E fV f Em 1V f

4/20 30°8/20 0°4/20 45°4/20 90°

0

90

30

45

an cos4

4

20𝑐𝑜𝑠 4 30° + …… . . = 0.5625

Ec= ƞ*Ef*vf+Em*(1-vf) = 112.8 GPa