Problema 1 Consideriamo 3 cariche in figura con q1=-q, q2 = 2q, q3 =-2q, q=1 mC; sia a =3 cm; il punto P ha coordinate (x=0, y=a) a) Calcolare le componenti lungo gli assi Ex, Ey del campo elettrico totale generato dalle 3 cariche nel punto P. b) Poniamo una quarta carica nel punto P, q4= 3q; calcolare le componenti lungo gli assi Fx, Fy della forza esercitata dal campo elettrico sulla carica q4. c) Calcolare modulo F e angolo a che la forza forma con l’asse x. d) Disegnare con una freccia la forza in figura, indicando approssimativamente direzione e verso e) Calcolare il potenziale elettrico VP generato dalle cariche q1, q2, q3 nel punto P assumendo il potenziale nullo a distanza infinita f) Calcolare il lavoro necessario per muovere la carica q4
dal punto P al punto P’ di coordinate (x=a, y=2a)
2
29
0
1094
1
C
Nmk
2q 1qa x
y
3q
a
P
a
2q 1qa x
y
3q
a
4q
a
Problema 1: campo elettrico
ya
qkE ˆ
21
ya
qkx
a
qkE oo ˆ)45sin(
2
2ˆ)45cos(
2
2222
ya
qkx
a
qkEP
ˆˆ2
22
C
N
cm
C
C
NmEx
7
22
29 1041.1
)3(
2109
m
C
N
cm
C
C
NmEy
7
22
29 100.1
)3(
1109
m
ya
qkx
a
qkE oo ˆ)45sin(
2
2ˆ)45cos(
2
2223
ararar 2;2; 321
2q 1q
x
y
3q
o451E
3E
2E
o45
1cos(45 ) sin(45 )
2
o o
Problema 1: forza
NNF 9.5110323.4 22
NC
NCEqF xx 3.421041.13 7
4 m
NC
NCEqF yy 30100.13 7
4 m
2q 1q
x
y
3q
o451E
2E
3E
o45
Fa
2q 1qa x
y
3q
a
4q
a
o
x
y
F
F3.3571.0)tan( aa
Problema 1: potenziale e lavoro
1 2 3
2 2
2 2
q q qV k V k V k
a a a
1 2 3
2 2
25 2 2
q q qV k V k V k
aa a
2q 1q
x
y
3q
P
'P
2r
'
2r'
3r'
1r
' 2 2
1 4 5r a a a
'
2 2(2 )r a
'
3 2r a
29 5
2
19 10 3 10
3P
q Nm CV k V
a C cm
m
29 5
' 2
1 1 11 9 10 0.74 2.22 10
35 2P
q Nm CV k V
a C cm
m
Potenziale in P:
Potenziale in P’:
Notiamo che il potenziale in P’ è maggiore del potenziale in P: vuol dire che per spostare la carica q4 da P a P’ bisogna compiere un lavoro negativo, ovvero lavorare CONTRO il campo generato dalle cariche q1, q2, q3
5
4 ' 3 0.78 10 0.234P PL q V V C V Jm
Problema 2 Consideriamo 3 cariche in figura con q1 = q, q2 =-q, q3=-q, q=1 mC; le loro distanze dall’origine sono r1=r2=4 cm, r3=3 cm, q=60° a) Calcolare le componenti lungo gli assi Ex, Ey del campo
elettrico totale generato dalle 3 cariche nell’origine del riferimento cartesiano (x=0,y=0)
b) Poniamo una quarta carica q4= 3q nell’origine; calcolare le componenti lungo gli assi Fx, Fy della forza esercitata dal campo elettrico sulla carica q4.
c) Calcolare modulo F e angolo a che la forza forma con l’asse x
d) Disegnare con una freccia la forza in figura, indicando approssimativamente direzione e verso
e) Calcolare il lavoro necessario a spostare la carica q4 dall’origine al punto P indicato in figura.
1
3
1rq
x
y
2
3r
2rq
P
4
1
3
1rq
x
y
2
3r
2rq
P
Problema 2: campo e forza y
r
qkE ˆ
2
3
3
yr
qkx
r
qkE ˆ)sin(ˆ)cos(
2
1
2
1
1 qq
yr
qkx
r
qky
r
qkx
r
qkE ˆˆˆˆ)60cos(
22
3
2
1
2
3
2
1
C
N
cm
C
C
NmEx
7
22
29 1056.0
)4(
1109
m
C
N
cm
C
C
NmEy
7
22
29 100.1
)3(
1109
m
2 21.68 3 10 34.4F N N o
x
y
F
F75.60785.1)tan( aa
yr
qkx
r
qkE ˆ)sin(ˆ)cos(
2
2
2
2
2 qq
7
4 3 0.56 10 16.8x x
NF q E C N
Cm
7
4 3 1.0 10 30y y
NF q E C N
Cm
1
3
1rq
x
y
2
3r
2rq
F
a4
1
3
1rq
x
y
2
3r
2rq
Problema 2: potenziale
1 2 3
1 2 3
q q qV k V k V k
r r r
4
1
3
1rq
x
y
2
3r
2rq
P
29 5
0 2
3
19 10 3 10
3
q Nm CV k V
r C cm
m
1 2 3
1 2 3 1cos cos sin
q q qV k V k V k
r r r rq q q
29 5
2
3 1
19 10 1.39 10
sin 6.464P
q Nm CV k V
r r C cm
m
q
5
4 0 3 (3 1.39) 10 0.483PL q V V C V Jm
Il potenziale in P è maggiore del potenziale in (0,0); dunque per spostare la carica q4 dall’origine a P bisogna compiere un lavoro negativo, ovvero effettuato CONTRO il campo generato dalle cariche q1, q2, q3 ; ciò è facilmente intuibile dalla direzione della forza su q4 posta nell’origine, che tende a spostare la carica verso l’asse y positivo, dunque in direzione opposta rispetto a P.
Il potenziale generato da q1, q2, q3 nell’origine è:
Il potenziale totale è quindi:
Il potenziale generato da q1, q2, q3 in P è:
Il potenziale totale in P:
Esercizio 21.27 Consideriamo le 4 cariche in figura con q1=-2e, q2 = +2e , q3=+4e , q4=+2e; q1=35° , d1=3 cm, d2=d3=2 cm; (e=1.6 10-19 C). Calcolare modulo, direzione e verso della forza agente sulla particella 4 per effetto delle altre
xd
ekFy
d
ekF ˆ
8;ˆ
42
3
2
342
2
2
24
yd
ekx
d
ekF ˆ)sin(
4ˆ)cos(
412
1
2
12
1
2
14 qq
ydd
kexdd
keF ˆ)sin(11
4ˆ)cos(12
4 12
1
2
2
2
12
1
2
3
2
4
Ndd
keF x
23
12
1
2
3
2
,4 1054.0)cos(12
4
q
Ndd
keF y
23
12
1
2
2
2
,4 1029.0)sin(11
4
q
1F a
Esercizio 21.27 Consideriamo le 4 cariche in figura con q1=-2e, q2 = +2e , q3=+4e , q4=+2e; q1=35° , d1=3 cm, d2=d3=2 cm; (e=1.6 10-19 C). Calcolare modulo, direzione e verso della forza agente sulla particella 4 per effetto delle altre
o
x
y
F
F2853.0)tan(
,4
,4 aa
NF x
23
,4 1054.0
NF y
23
,4 1029.0
NFFF yx
232
,4
2
,44 1061.0
Esercizio 21.11 Date due cariche q1 e q2 nel piano (x,y), si consideri una terza carica positiva q3; calcolare le coordinate (x3,y3) del punto in cui che deve essere posta q3 affinché la forza netta su di essa sia nulla
cmycmxCq
cmycmxCq
5.1;2;4
5.0;5.3;3
222
111
m
m
1q2q
1x2x1y2y
x
y
Essendo i campi generati da q1 e q2 radiali, gli unici punti in cui possono compensarsi sono lungo la direzione della retta congiungente le due cariche Nel segmento compreso tra q1 e q2 i campi sono CONCORDI, per cui non possono compensarsi Essendo q2 > q1, per compensarsi la carica q1 deve necessariamente essere quella più vicina a q3
Esercizio 21.11
cmycmxCq
cmycmxCq
5.1;2;4
5.0;5.3;3
222
111
m
m
21
21
12132
1312
2
2
13
1
/1
/
qqrr
rr
q
r
q
1q2q13r12r
3qx
y
La distanza r12 è nota; inoltre r23 = r12 + r13, per cui possiamo risolvere l’equazione rispetto all’unica incognita r13:
Siano r12, r13, r23 le distanze tra la cariche. Affinché i campi generati da q1 e q2 si compensino deve essere: 2
23
2
2
13
1
r
q
r
q
cmcmr 2.36866.01
866.06.513
cmyyxxr 6.5
2
21
2
2112
Esercizio 21.11
o
xx
yy3.101818.0)tan(
21
21
aa
cmycmxCq
cmycmxCq
5.1;2;4
5.0;5.3;3
222
111
m
m
a1q2q
3q3x
3yx
y
cmxxxr 1.39)cos( 31313 a
cmyyyr 6)sin( 31313 a
Per calcolare le coordinate di q3 abbiamo bisogno di conoscere l’angolo a che il vettore distanza r13 forma con l’asse x; ma questo angolo è lo stesso che il vettore r12 forma con x, per cui:
13r
12r
Con l’angolo a calcoliamo x3 e y3 proiettando il vettore distanza r13 lungo gli assi:
Esercizio 21.14 Date due cariche uguali q1 e q2 nel piano (x,y) a distanza 2d, si consideri una terza carica positiva q3 posta sull’asse delle x; calcolare il valore della coordinata x per cui l’intensità della forza esercitata su q3 è minima e massima
eqcmdeqq 4;17;2 321
Siano r13=r23 le distanze tra la cariche; lungo y i campi generati da q1 e q2 si compensano per ogni valore di x, per cui solo il campo lungo x agisce su q3; la forza totale su q3 è
)cos(22
13
31,3 a
r
qqkF x
222
13 xdr
xr )cos(13 a
2/32231,3 2dx
xqkqF x
Sfruttando le relazioni geometriche, esprimiamo la forza in funzione della posizione x di q3
x
13r
a
13F
23F
3F
Esercizio 21.14 Date due cariche uguali q1 e q2 nel piano (x,y) a distanza 2d, si consideri una terza carica positiva q3 posta sull’asse delle x; calcolare il valore della coordinata x per cui l’intensità della forza esercitata su q3 è minima e massima
eqcmdeqq 4;17;2 321 222
12 xdr xr )cos(12 a
2/32231,3 2dx
xqkqF x
322
2/12222/322
31
,3 320
dx
dxxdxqkq
x
F x
2
3 222 dxxdx
Il minimo è chiaramente ad x=0: per il massimo dobbiamo utilizzare la condizione di derivata nulla rispetto alla coordinata x
Problema 3 Consideriamo una sfera isolante uniformemente carica di carica qs = 5 mC e raggio a=4 cm
2
33 2)()() r
a
qkrVr
a
qkrEara ss
a
b) scrivere l’espressione E(r) del modulo campo elettrico E(r) e del potenziale corrispondente V(r) in funzione della distanza dal centro, nella regione esterna alla sfera (r > a ). Per il calcolo del potenziale, si assuma nullo il potenziale all’infinito, ovvero V() = 0
a) scrivere l’espressione del modulo campo elettrico E(r) e del potenziale corrispondente V(r) in funzione della distanza dal centro, nella regione interna alla sfera (r < a) Per il calcolo del potenziale si assuma nullo il potenziale nel centro della sfera, ovvero V(0) = 0
r
qkrV
r
qkrEarb ss )()()
2
Problema 3
c) Calcolare l’intensità del campo elettrico e del potenziale nei punti r=2 cm, r=6 cm a
)/(1025.11036
51096
)/(1041.1)4(
251092
7
242
29
7
32
29
CNm
C
C
NmEcmr
CNcm
cmC
C
NmEcmr
m
m
Vm
C
C
NmEcmr
Vcm
cmC
C
NmVcmr
5
22
29
5
3
2
2
29
105.7106
51096
1041.1)4(2
451092
m
m
Esercizio 23.29 Una sfera isolante uniformemente carica con qs =5 mC di raggio a=2 cm, è posta al centro di un guscio conduttore sferico con raggio interno b=4 cm ed esterno c=5 cm; sul guscio è presente una carica qC = -5 mC
il guscio sferico non contribuisce ad E nella cavità r < a : E lineare in r a < r < b : campo della carica puntuale qs nel centro
2
sqk
r
r
E
a cb
3
sqk r
a
b < r < c : all’interno del conduttore deve essere E=0, per cui tutta la carica qC deve essere sulla superficie interna del guscio, per compensare esattamente qs r > c : sfera isolante e guscio conduttore equivalgono entrambe a due cariche puntuali qs e qC poste nel centro; essendo uguali ed opposte in segno, i rispettivi campi si compensano: E=0
1) calcolare l’intensità del campo elettrico nei punti: r=0, r = 1 cm, r = 2 cm, r =3 cm; r =4.6 cm; r = 7 cm 2) Quale carica appare sulla superficie interna ed esterna del guscio ?
Esercizio 23.29
29 7
2 3
29 7
2 2
29 7
2 2
0 0
51 9 10 1 5.625 10 ( / )
(2 )
52 9 10 11.25 10 ( / )
(2 )
53 9 10 5 10 ( / )
(3 )
4.6 0
7 0
r E
Nm Cr cm E cm N C
C cm
Nm Cr cm E N C
C cm
Nm Cr cm E N C
C cm
r cm E
r cm E
m
m
m
2
1
r
qk
r
E
a cb
ra
qk
3
1
qs =5 mC a=2 cm; b=4 cm
Esercizio 23.30 Un guscio sferico uniformemente carico ha densità di carica r=1.84 nC/m3, raggio interno a=10 cm ed esterno b=2a. Calcolare l’intensità del campo elettrico nei punti: r=0; r=a/2; r=a; r=1.5a; r=b; r=3b.
r < a : E =0 il campo del guscio sferico è zero nella cavità a < r < b : Applichiamo Gauss ad una superficie di raggio r. Attenzione: la cavità NON contribuisce alla carica. r > b: E equivale al campo di una carica puntiforme centrata nell’origine
r 33
3
4abq La carica totale del guscio è
La carica interna ad una superficie di raggio r: r 33
3
4)( arrq
All’interno del guscio: 2r
qk
r
E
a b
2
)(
r
rqk
2
3
0
2 3
)(
r
ar
r
rqkE
r
Esercizio 23.30 Un guscio sferico uniformemente carico ha densità di carica r=1.84 nC/m3, raggio interno a=10 cm ed esterno b=2a. Calcolare l’intensità del campo elettrico nei punti: r=0; r=a/2; r=a; r=1.5a; r=b; r=3b.
Nella cavità:
2
3
03 r
arE
r
m
Vcm
pFm
nCEar 3.75.10
85.83
84.15.1
2
0:;2/;0 Eararr
Nel guscio
2
1.842 17.5 12.1
3 8.85
nC Vr b a E cm
pFm m
2r
qk
r
E
a b
2
)(
r
rqk
Oltre il guscio:
2
33
03 r
abE
r
m
Vcm
pFm
nCEar 35.194.1
85.83
84.16
2
Esercizio 23.28 Un guscio sferico isolante di raggio interno a=2 cm ed esterno b=2.4cm ha densità di carica volumica r=A/r, ove A è una costante ed r la distanza dal centro del guscio; nel centro è presente una carica puntiforme q=45 fC; Calcolare il valore di A per cui all’interno del guscio (a < r < b) il campo è costante, ovvero non dipende da r
Il campo generato da q è:
La carica del guscio è:
2r
qkE
Il campo del guscio: 2
)(
r
rqkE
222 2''4''4)'()( arAdrrAdrrrrqr
a
r
a r
2
22
2
22212 Aaq
r
kkA
r
akA
r
qkE
Il campo totale
all’interno del guscio:
Affinché E sia costante deve annullarsi il 2° termine, ovvero: 22
2 018.02
2m
nC
a
qAAaq
Esercizio 23.28 Un guscio sferico isolante di raggio interno a=2 cm ed esterno b=2.4cm ha densità di carica volumica r=A/r, ove A è una costante ed r la distanza dal centro del guscio; nel centro è presente una carica puntiforme q=45 fC; Calcolare il valore di A per cui all’interno del guscio (a < r < b) il campo è costante, ovvero non dipende da r
2
0
2
0
2
1
22 r
AaA
r
qkE
22
a
qA
2r
qk
r
E
a b
)2/( 0A
2
2
0
12 r
aA
Campo del guscio
Campo della carica
Campo totale
Esercizio 23.12 Consideriamo un lungo tubo metallico di raggio R = 3 cm, parete sottile trascurabile, e densità di carica lineare l=20 nC/m; a) calcolare l’intensità del campo elettrico nei punti:
r =R/2; r=2R b) tracciare in un grafico E(r) tra r=0 ed r=2R c) calcolare la d.d.p. tra i punti r1=2R ed r2=4R d) calcolare il lavoro necessario a spostare una
carica puntuale q0 = 1 mC da r1 ad r2
0
12
2E k
r r
l l
Nella cavità il campo è nullo All’esterno del cilindro il campo è quello di un filo carico posto lungo l’asse del tubo:
29 3
2 2 2
20) 2 18 10 6 10
6 10
Nm nC Na r R E
C m C
rk
l2
r
E
R R2
Esercizio 23.12
2 2
1 1
22 1
1
12 2 ln 2 ln 2
r r
r r
rV r V r E dr k dr k k
r rl l l
Calcoliamo la caduta di potenziale tra r1=2R ed r2=4R
2
9
2 1 2
2018 10 0.69 249
Nm nCV r V r V
C m
0 1 2 1 249 249L q V r V r C V Jm m
il potenziale diminuisce allontanandosi dal tubo, per cui il lavoro speso per allontanare la carica positiva q0 è positivo; dunque è lavoro compiuto dal campo elettrico
Esercizio 23.17 Un lungo filo carico (rosso) con densità lineare lF = -3.6 nC/m, è racchiuso da un tubo cavo di spessore trascurabile, coassiale col filo, di raggio R=1.5 cm, con densità uniforme bidimensionale sT; si calcoli il valore di sT che rende nullo il campo totale al di fuori del cilindro
0
1
2
FFE
r
l
Il campo del filo è
0
1
2
TTE
r
l
2T TL RLl s
2 2 2
3.62 38
2 2 1.5 10
FT T F T
nC nCR
R m m
ll s l s
Il campo del cilindro, per r > R è
Per il cilindro, la relazione tra densità lineare e di superficie si trova dalla conservazione della carica:
Affinché i due campi si compensino deve essere:
Esercizio 23.20 Due fogli grandi isolanti paralleli hanno identica densità di carica s=1.7710-22 C/m2; trascurando effetti di bordo, calcolare il campo in modulo, direzione e verso, nelle tre zone: sopra, sotto, ed in mezzo ai fogli
ym
VyEyEyE ytotyy
ˆ102.0ˆ;ˆ2
;ˆ2
10
0
,
0
,2
0
,1
s
s
s
Il campo è perpendicolare ai piani, dunque Ex=0
ym
VEyEyE ytotyy
ˆ102.0;ˆ2
;ˆ2
10
,
0
,2
0
,1
s
s
0;ˆ2
;ˆ2
,
0
,2
0
,1 ytotyy EyEyE
s
s
Sopra i fogli:
Sotto i fogli:
In mezzo ai fogli:
foglio 1
foglio 2
Esercizio Consideriamo un condensatore vuoto carico, con carica qC = 5 pC; sia A = 1 cm2 l’area dei piatti, e d = 1 mm la distanza tra i piatti; sia x=0 la posizione del piatto positivo; trascurando gli effetti di bordo, a) calcolare il campo elettrico nei punti x1 =
0.4 mm, x2 = 0.8 mm b) calcolare l’energia immagazzinata nel
condensatore c) calcolare il lavoro necessario a spostare
una carica puntuale q0 = 1 pC da x1 ad x2 Mantenendo il condensatore carico ed isolato dal circuito, si riempie lo spazio tra i piatti di acqua distillata (r = 80); d) Ricalcolare le quantità ai punti a), b), c) con dielettrico inserito
++++++++++
----------
CqCq
x
y
212
0 28.85 10
8.85
C
N m
pF
m
Esercizio Condensatore vuoto:
++++++++
--------
CqCq
x
y
4
212 4 20 0
2
50.56 10
8.85 10 10
Cx
q pC NE
CA Cm
N m
s
2 2 24 211
212 10
2
1 12.5 101.41 10
2 2 ( / )8.85 10 10
C Cq q CU J
CC A dm
N m
2
1
2 1 2 1
4 30.56 10 0.4 10 2.24
x
x x
x
V x V x E dx E x x
Nm V
C
0 1 2 1 2.24 2.24L q V x V x pC V pJ
Esercizio Condensatore pieno: essendo il condensatore isolato, la carica ai piatti resta la stessa; dunque campo elettrico ed energia del condensatore si riducono
4
0
10.56 10 70
80x
r
N NE
C C
s
211 131 1
1.41 10 1.76 102 80
C
r
qU J J
C
3
2 1 2 1 70 0.4 10 28x
NV x V x E x x m mV
C
15
0 1 2 1 28 28 10L q V x V x pC mV J
++++++++
--------
CqCq
x
Esercizio 25.10
3 condensatori uguali hanno capacità C=25 mF; si chiude il circuito su una una batteria di f.e.m. E = 4200 V; all’equilibrio i condensatori saranno carichi; calcolare quanta carica totale ha attraversato l’amperometro
75 ;
75 4200 0.315
eq
eq
C F
q C F V C
m
m
E
a a
b b
a
b
E
La carica totale è la somma delle cariche depositate sui piatti dei 3 condensatori, ovvero la carica depositata sui piatti del condensatore di capacità equivalente data dalla somma delle singole capacità; dunque:
Esercizio Una d.d.p. E = 200 V viene applicata su una coppia di
condensatori C1=6.0 mF e C2=4.0 mF in serie. a) Calcolare la capacita equivalente b) Calcolare carica e d.d.p. su ciascun condensatore c) Si ripeta l'esercizio con i condensatori in parallelo.
1 2 1 2
4
1 2
4
1 2
1 2
/ 2.4
2.4 200 4.8 10
4.8 1080 ; 120
6
eq
eq
ac cb
C C C C C F
q q C F V C
q qCV V V V
C F C
m
m
m
E
SERIE:
PARALLELO:
1 2
4
1 1
4
2 2
10 ;
6 200 12 10
4 200 8 10
eq abC C C F V V
q C F V C
q C F V C
m
m
m
E
E
1C
2C
1q
2q
a
b
ccE
a
b
a
b
1C 2CE1q 2q
Esercizio Una batteria con f.e.m. E = 20 V viene connessa ad una coppia di condensatori con C1=3 pF e C2=7 pF in serie; i piatti di C1 hanno superficie A=30 mm2; all’equilibrio, calcolare: 1) Le cariche q1 e q2 sui condensatori 2) La distanza d tra le armature di C1
3) L’energia immagazzinata in C2
mmpF
m
m
pF
C
Ad 088.0
3
103085.8)2
26
1
0
1 2 1 2
11
1 2
/ 2.1
1) 2.1 20 4.2 10
eq
eq eq
C C C C C pF
q q q C pF V C
E
J
pF
C
pF
C
C
qU 10
222
211
2
2
22 1026.11026.1
7
102.4
2
1
2
1)3
1C
2C
1q
2q
a
b
ccE
Esercizio 25.12 Dato il circuito in figura, con cinque condensatori uguali con capacità 10 mF, ed una batteria con E = 10 V, calcolare le cariche e le d.d.p. ai piatti di ciascun condensatore
FCFCFC mmm 6;15;5 234523423
234 5 2345 60eqq q q C Cm E
4 234 234/ 4acV V q C V
2 3 23 20acq q C V Cm
1 1 100q C Cm E
a a
c
b
3C
5C
4C
a
b
E
2345Ceqq
a
b
E234C
5C
234q
5q
a
b
cE 4 4 40acq C V Cm
5 5 5/ 6cbV V q C V
2 2 2
3 3 3
/ 2
/ 2
V q C V
V q C V
1 10abV V V E
Esercizio 25.14
Dato il circuito in figura, calcolare cariche e d.d.p. ai piatti dei 6 condensatori
1 6
2 4 3 5
20 ; 3
2 ; 4
V C C F
C C F C C F
m
m m
E
60eq eqq C Cm E
16 1 6 1/ 10 30cb eq cbV q C V q q CV Cm
2354 2 4 2/ 10 20ac eq acV q C V q q C V Cm
5 5 3 3/ / 5ad dcV V q C q C V
a a
c c
b
d
E
2354C
16C
eqq
eqq
a
b
cE
FCFCFC mmm 6;6;2 16235435
2354 16 2354 16/ 3eqC C C C C Fm
3 5 35 35 20acq q q C V Cm
Esercizio 25.10 2 condensatori con capacità C1=1 mF, C2=3 mF vengono separatamente caricati con una batteria E = 100 V; una volta carichi, vengono connessi come in figura, connettendo i piatti di segno opposto: la corrente fluirà fino al raggiungimento dell’equilibrio; calcolare le cariche q1, q2 e la differenza di potenziale tra a e b all’equilibrio
01 1 02 2100 ; 300q C C q C Cm m E E
Prima di essere connessi, i 2 condensatori hanno carica:
A circuito chiuso, in equilibrio, applichiamo la legge di Kirchoff:
02
2
1
1 C
q
C
qVVVV abba
11 2
2
Cq q
C
Esercizio 25.10
1C
2C
a
a
b
1q
1q
2q2q
la carica totale sui piatti dei condensatori deve conservarsi: consideriamo la carica netta presente sul piatto negativo di C1 e sul piatto positivo di C2
02 01 200q q Cm
prima della chiusura del circuito:
2 1 2 1200 200q q C q q Cm m
dopo la chiusura del circuito questa carica (racchiusa dall’area rossa) deve essere la stessa, per cui:
12 2 2
2
200 150C
q q C q CC
m m
Sostituendo l’espressione precedente:
1 2
150
3q q Cm
2 1
2 1
15050
3b a
q qCV V V
C F C
m
m
Esercizio 25.10
200 Cm
200 Cm100 Cm
100 Cm
150 Cm
150 Cm50 Cm
50 Cm
Condensatori isolati:
Condensatori congiunti:
Si noti che poiché la capacità di C2 è il triplo di quella di C1, a circuito chiuso C2 deve avere il triplo della carica di C1; inoltre la carica totale sui piatti connessi dal filo deve conservarsi; ne segue che a circuito chiuso la polarità di C1 deve invertirsi
Esercizio 27.6
Essendo il generatore 2 più potente, è evidente che la corrente deve circolare in senso antiorario; dalla legge di Kirchhoff:
Calcolare il valore di R e la potenza termica dissipata su R
mWmARiP 994.0994)1( 22
Nel circuito in figura scorre una corrente i=1 mA; inoltre:
332 2121 rrVV EE
Rrri 2112 EE
9942112 rr
iR
EE
Esercizio 27.12
a) R1 ed R2 in serie: R12 = 2R b) R12 in parallelo con R3: R123 = (2/3)R
c) R123 in serie con R4: R1234 = (5/3)R d) R1234 in parallelo con R5: Req = R1234 R5 / (R1234+ R5) = (5/3) / (8/3) R =
(5/8) R = 3.13
1) Calcolare la resistenza equivalente tra i punti F ed H
Nel circuito in figura tutte le resistenze valgono 5R
5.22
1
2
1
2
11 RR
RRRRFH
FH
2) Calcolare la resistenza equivalente tra i punti F e G
1
34
5
2
Esercizio 27.13
a) Calcolare la corrente i1 che attraversa la resistenze R1, la corrente i2 che attraversa la resistenza R2, la corrente i3 che attraversa il ramo della batteria 3.
b) Calcolare la differenza di potenziale V1 ai capi di R1, la differenza di potenziale V2 ai capi di R2, la differenza di potenziale Vab tra i punti a e b
c) Indicare con frecce in figura il verso delle correnti positive i1 i2 i3
d) Calcolare la potenza PB1 , PB2 , PB3 erogata dalle batterie 1, 2, 3
e) Calcolare la potenza PR1 , PR2 dissipata dalle resistenze R1, R2,
Consideriamo il circuito in figura con 3 batterie; sia:
1 2 3
1 2
4 2 7
5 10
V V V
R R
E E E
Esercizio 27.13
Aiii 9.1213
AV
iRi 5.010
5222132
EEE
1 3 2 2 2 2 37 ; 5 ; 9a bV V V i R V V V V E E E
3 1 1 1
71.4
5
Vi R i A
E
per la maglia superiore:
per la maglia inferiore:
Ipotizziamo un verso di percorrenza per le correnti positive, come indicato in figura, e risolviamo le equazioni di Kirchoff per le due maglie chiuse
le correnti sono tutte positive, dunque i versi ipotizzati sono effettivamente
quelli delle correnti positive; calcoliamo le d.d.p.: V1 non è altro che la d.d.p.
ai poli della batteria 3, e vab la somma delle d.d.p. ai poli delle batterie 2 e 3:
Equazione dei nodi in a:
1i
2i
3i
Esercizio 27.13
1 2 1
2 2 2
3 3 3
0.5 4 2
0.5 2 1
1.9 7 13.3
B
B
B
P i A V W
P i A V W
P i A V W
E
E
E
2 2 2
1 1 1
2 2 2
2 2 2
1.4 5 9.8
0.5 10 2.5
R
R
P i R A W
P i R A W
Notiamo che mentre la polarità delle batterie 2 e 3 è concorde col verso positivo delle correnti che attraversano i relativi rami, la polarità della batteria 1 è opposta al verso della corrente i2 , dunque la potenza PB1 è ASSORBITA, non erogata; la conservazione dell’energia impone quindi che:
Potenza dissipata sulle resistenze:
Potenza erogata dalle batterie:
2 3 1 2 1B B R R BP P P P P
Inserendo i valori calcolati si può verificare che questa equazione è soddisfatta
1i
2i
3i
Problema 27.3
La figura mostra un circuito a 2 maglie; date le f.e.m. e le resistenze, trovare i valori delle correnti in ogni ramo del circuito
1 2
1 2
3 6
2 4
V V
R R
E E
Ipotizziamo un verso per le correnti e scriviamo la 2° legge di Kirchoff per ciascuna maglia chiusa e la legge dei nodi in a:
1i 3i
3i
3i1i
Problema 27.3
2 1 3 (3)i i i
1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 22 (1)i R i R i R i R i R E E
2 2 3 1 2 2 3 1 3 2 2 10 / 2 (2)i R i R i R i i R R E E
Maglia di sinistra:
Maglia di destra:
Sostituisco questo risultato nell’Eq. (1) e risolviamo rispetto ad i1
2 12 1 2 2 1
1 1 2
2(4)
2 2
R Ri i i i i
R R R
Legge dei nodi:
Abbiamo un sistema di 3 equazioni in 3 incognite; sostituendo l’eq. (2) nella (3) ricaviamo la relazione tra i2 ed i1
ARRR
RRi 5.0
44
2
21
2
1
21211
EE
Conoscendo i1 è facile calcolare i2 dall’eq. (4) e poi i3 dalla (3)
2 0.25i A 3 0.25i A
Problema 27.3
Dai valori calcolati risulta che il verso delle correnti positive i1 e i2 è opposto a quanto ipotizzato; era preventivabile considerando che la batteria più potente è la 2, e dunque tende ad imporre il proprio verso di percorrenza stabilito dai suoi poli
1i 3i
3i
3i1i
Il giusto verso delle correnti positive è quindi quello disegnato in figura
Esercizio Dato il circuito in figura, calcolare la d.d.p. ai capi della resistenza R2
1 2
iR R
E
1 1 212 2 4V R R E
c
a
22
1 2
2( ) 8
3c a
RV V iR V
R R
E E
c
a
V
2i
Vi
Connettiamo un voltmetro in parallelo alla resistenza R2; sia RV = 100R2 la resistenza interna del voltmetro; calcolare la riduzione di d.d.p. ai capi di R2 dovuta alla presenza del voltmetro
A causa della resistenza non infinita del voltmetro, una piccola porzione di corrente iV passa attraverso il ramo del voltmetro, variando quindi la d.d.p. ai capi di R2
Esercizio 1 1 212 2 4V R R E
c
a
V
2i
Vi
Con il voltmetro inserito le resistenze equivalenti diventano:
12 1 20.99V
iR R R
E E
E la corrente nel circuito:
La d.d.p. tra i punti c ed a è quindi
2 22
12 1 2
0.99 0.99( )
0.99 0.5 0.99
Vc a V
V
R RV V i R
R R R
E E E
2
2 2 2 12 1 2
2 2
10.99 0.99
1 /
VV V
V V
R RR R R R R R
R R R R
Il rapporto tra d.d.p. con voltmetro inserito e senza voltmetro è:
2
12
3 0.99 30.9966
2 0.5 0.99 2
V
V
R
R
E
E
Dunque l’inserimento del voltmetro ha ridotto la d.d.p. di circa lo 0.3%
Esercizio 27.21
Calcolare a) il valore di R per cui si ha a massima potenza dissipata sulla resistenza R; b) il valore della potenza massima
Consideriamo il circuito in figura, con due batterie identiche con valori:
Ipotizziamo che il verso delle correnti siano quelli indicati dalle curve rosse e applichiamo Kirchhoff al circuito chiuso in alto:
3.012 rVE
1i
3i
2i
2121 iiriri EE
13321 2iiiii Dalla legge dei nodi:
Consideriamo ora il circuito chiuso in basso:
Rr
iRriRiri2
2 1132
E
E
Da cui ricaviamo la potenza dissipata su R in funzione di R: 2
22
1
2
32
44
Rr
RRiRiP
E
Esercizio 27.21
Il valore di R che massimizza P si ottiene dalla condizione:
Consideriamo il circuito in figura, con due batterie identiche con valori: 3.012 rVE
1i
3i
2i
L’equazione è soddisfatta da:
La potenza corrispondente è
2
22
1
2
32
44
Rr
RRiRiP
E
4
22
2
24240
Rr
RrRRr
R
P
E
15.02
42r
RRRr
W
V
Rr
RP 240
)6.0(
)12(6.0
2
42
2
2
2
E
Esercizio
Calcolare il valore di R3 che rende massima la potenza dissipata su questa resistenza
Consideriamo il circuito in figura, con:
Dobbiamo determinare la corrente nel circuito in funzione di R3
52 21 RR
3322231 RiRiRiVV ba
2312
323
2
33321 1
RRR
RRi
R
Riiii
E
231
12311 )(RR
iRRi
E
E
323121
2
32
321
2
32
3
1
RRRRRR
R
RR
RRR
R
RRi
EE
1i
3i2i
a
b
Esercizio
Calcolare il valore di R3 che rende massima la potenza dissipata su questa resistenza
Consideriamo il circuito in figura, con:
52 21 RR1i
3i2i 02 2
33
3
33
3
3
2
3
iR
R
ii
R
PRiP
3
323121
21
2
323121
221
3
3 iRRRRRR
RR
RRRRRR
RRR
R
i
E
12
323121
321
RRRRRR
RRR
43.1
7
10 2
21
213
RR
RRR
Sostituisco la derivata nell’equazione precedente ed ottengo:
Problema 27.5: scarica dell’automobile Durante il moto, una quantità di elettroni si trasferiscono dal suolo alla carrozzeria attraverso i pneumatici. Una volta che l’auto è ferma, carrozzeria e suolo rappresentano i ‘piatti’ di un condensatore cortocircuitato dalla resistenza dei pneumatici; al sistema serve del tempo per scaricare attraverso le gomme l’energia accumulata durante il moto
Il sistema è equivalente ad un condensatore con le 4 resistenze dei pneumatici in parallelo; sia Rpn= 100 G la resistenza di ciascun pneumatico; siano C=500 pF e V0 = 30 kV capacità e potenziale del condensatore auto/suolo; immaginiamo di dover fare benzina: quanto tempo dobbiamo attendere prima di inserire la pistola nel serbatoio, affinché l’energia del condensatore cali al di sotto del valore di innesco della scintilla Uinc = 50 mJ ?
Problema 27.5: scarica dell’automobile
La corrispondente variazione di energia immagazzinata nel condensatore durante la scarica è:
2 2 2 /
0
1 1( ) ( )
2 2
tU t C V t CV e
Possiamo invertire l’equazione e ricavare il tempo in funzione dell’energia:
2 /
2 2
0 0
2 2ln
2
tU Ue t
CV CV
Il sistema può ridursi ad un RC equivalente con: GRRR pn
2541
25 500 12.5RC G pF s
Il tempo caratteristico dei questo circuito RC è:
È un tempo piuttosto lungo, a causa dell’altissima resistenza dei pneumatici (la gomma è isolante)
Carica e d.d.p. ai piatti del condensatore durante il processo di scarica variano secondo la legge: / /
0 0( ) ( )t tV t V e q t CV e
Problema 27.5: scarica dell’automobile
E’ un tempo considerevole: mai arrivare alla pompa e fare benzina al volo!
Nelle gare automobilistiche, tipicamente i pneumatici inglobano granuli di materiale conduttore (ad es. carbonio) per ridurre il tempo di scarica.
Calcoliamo il tempo necessario a far sì che l’energia del condensatore arrivi all’energia di soglia per l’innesco, ovvero il tempo corrispondente all’energia U = Uinc = 50 mJ:
22
0
2 12.5 2 50 10ln ln 6.25 ln 9.4
2 2 45500 30
U mJt s s s
CV pF kV
L’andamento dell’energia è prevalentemente stabilito dal tempo caratteristico, ovvero da RC; dal grafico vediamo che se la resistività dei pneumatici si riduce da 100 G a 10 G il tempo di soglia necessario a scongiurare l’innesco diventa inferiore al secondo
Esercizio 27.3: batteria auto
Immaginiamo di lasciare le luci dell’auto accese, e che queste consumino una potenza P = 100 W; in quanto tempo si scarica la batteria?
P i E
Le caratteristiche più importanti di una batteria per auto sono: carica totale (q = 60 Ah) e la f.e.m. (voltaggio) E =12 V
0
60 127.2 7 ,12min
100
tq q Ah V
q i dt i t t h hi P W
E
Se la potenza erogata è costante nel tempo, ed il voltaggio resta costante nel tempo, ovviamente anche la corrente è costante; si ha quindi:
560 60 3600 2.16 10Ah A s C
La potenza erogata dalla batteria è:
Esercizio: stufa elettrica
Se potenza erogata, voltaggio e corrente sono costanti nel tempo, la quantità di carica che attraversa la stufa in 1 ora è:
L’energia associata all’erogazione di una carica q spinta da una differenza di potenziale V costante è data da:
AV
W
V
PiiVPa 68.5
220
1250)
Una stufa elettrica della potenza di 1250 W viene alimentata con una d.d.p. di 220 V. a) Qual'e la corrente nella stufa? b) Qual'e la resistenza della spirale riscaldante? c) Quanta energia termica viene prodotta in un'ora dalla stufa?
45.68 3600 2.04 10q i t A s C
JVCVqUc 64 105.42201004.2)
74.38
68.5
1250)
22
2
A
W
i
PRRiPb