1. Due blocchi di massa M e 3M si trovano inizialmente fermi su un piano orizzontale senza attrito.Una molla di massa trascurabile è fissata a uno di essi, e i due blocchi vengono spinti l’uno contro l’altro, con la molla in mezzo. La fune che li tiene uniti viene bruciata, ed il blocco di massa 3M si muove verso destra con velocità 2.00 m/s.
a) quale è la velocità del blocco di massa M?b) Trovare l’energia potenziale elastica originaria della molla se M=0.350 kg.
idea chiave:• conservazione quantità di moto• conservazione energia meccanica
[sistema isolato, forze conservative]
)(/00.6
)/00.2)(3(0
sinistraversomotosmv
smMMvpp
M
M
fi
-=
+=
=!!a)
b)
JvMMvkx
vMMvkx
UKKUKKEE
MM
MM
fefMfMieiMiM
fmeccimecc
40.8)3(21
21
21
0)3(21
21
2100
23
22
23
22
,,3,,,3,
,,
=+=
++=++
++=++
=
Problemi: quantità di moto - impulso
2. In un test d’urto, un’auto di massa m=1500 kg urta contro un muro. La velocità iniziale è vi = -15.0 i m/s e quella finale è vf = 2.60 i m/s. Se la durata dell’urto è 0.150 s, determinare l’impulso dovuto all’urto e la forza media esercitata sull’auto.
smkgi
smkgismkgipppI
smkgiismkgvmpsmkgiismkgvmp
if
ff
ii
/1064.2
)/1025.2()/1039.0(
/1039.0)/6.2)(1500(/1025.2)/0.15)(1500(
4
44
4
4
!
!!!!!
!!!!
!!!!
=
--=-=D=
===
-=-==
Forza media esercitata sull’auto:
Nis
smkgitpF
!!!
54
1076.1150.0
/1064.2=
×=
DD
=
3. Nel gioco del softball una palla da 0.200 kg attraversa la rete a 15.0 m/sa un angolo di 450 al di sotto dell’orizzontale. La palla viene colpita a 40 m/scon un angolo di 300 al di sopra dell’orizzontale.
a) qual è . l’impulso applicato alla palla ?b) se la forza sulla palla aumenta linearmente per Dt1= 4.00 ms, rimane costante perDt2= 20.0 ms, e poi decresce fino a 0 linearmente in altri Dt3 = 4.00 ms, trovare la massima forza sulla palla. rete
450
xiv!
if pppI!!!!
-=D=
sNsmkgsmkg
mvmv
ppIsN
smkgsmkg
mvmvI
ppI
if
iyfyy
ifx
ixfxx
12.6)45sin()/0.15)(200.0()30sin()/0.40)(200.0(
))45sin(()30sin(
05.9)45cos()/0.15)(200.0()30cos()/0.40)(200.0(
))45cos(()30cos(
00
00
,,
00
00
,,
=+=
--
-==
+=
--=
-=
a)
NsjijIiII yx )12.605.9(!!!!!
+=+=
b)
NjiF
NsjiFs
m
m
)255377(
)12.605.9(104.2 3!!!
!!!
+=
+=× -
)00.4(21)00.20()00.4(
21
21
21
321
321
msFmsFmsF
tFtFtF
IIII
mmm
mmm
!!!
!!!
!!!!
++=
D+D+D=
++=
1I 2I 3It1tD 2tD 3tD
FmF
4. Due sfere metalliche sono sospese a cavetti verticali e sono inizialmente a contatto.La sfera 1, di massa m1 = 30 g , viene lasciata libera dopo essere stata tirataverso sinistra fino all’altezza h1 = 8.0 cm. Ritornata, cadendo, alla posizioneiniziale subisce un urto elastico contro la sfera 2, di massa m2 = 75 g. Quale è la velocità v1f della sfera 1 subito dopo l’urto ?
idea chiave: divido il problema in due parti1) discesa sfera 12) urto fra le due sfere
1) applico principio di conservazione energia meccanicaper il sistema sfera 1 – Terra, mentre la sfera cade[N.B. la tensione T della corda non compie lavoro essendo sempre
perpendicolare al moto]
2) considero urto come unidimensionale: durante urto i moti delle due sfere sono orizzontaliil sistema è isolato, data la brevità dell’urto Þ si conserva quantità di moto
totale, energia cinetica
0210 21111
,1,1,1,1
,,
+=+
+=+
=
vmghm
UKUKEE
ffii
fmeccimecc
Problemi: urti in UNA dimensione
smmsmghv i /252.1)080.0)(/8.9(222
1,1 ===
smsmkgkgkgkgv
mmmmv if /537.0/252.1075.0030.0
075.0030.0,1
21
21,1 -=+
-=
+-
=
ffii vmvmvmvm ,22,11,22,11 +=+2,22
2,11
2,22
2,11 2
121
21
21
ffii vmvmvmvm +=+sfera 1 torna indietro dopo urto
Soluzione del sistema di due equazioni in due incognite, precedente
5. Un proiettile di massa m1=12.0 g viene sparato su un blocco di legno di m2=100 g, fermo su una superficie orizzontale. Dopo l’urto il blocco scivola per L=7.50 mprima di fermarsi.Se il coefficiente di attrito dinamico tra blocco e superficie è µd= 0.650, quale è la velocità del proiettile prima dell’urto ?
idea chiave: urto completamente anelasticosi conserva quantità di moto
22111 )( vmmvm +=
Durate lo scivolamento la variazione di energia cinetica viene dissipata per attrito:
gLmmNLvmm
Lfvmm
LfLfvmm
LK
dd
d
dd
attrito
)()(21
)(21
)180cos()(210
212221
2221
02221
+==+
-=+-
=×=+-
=D
µµ
!!
smsmmLgv d /77.9)/8.9)(50.7)(650.0(222
2 === µ
da cui ricavo v2:
ricavo v1 dalla conservazione della q. di moto (1) :
(1)
smsmggv
mmmv /2.91/77.9
0.12112
21
211 ==
+=
teorema energia cinetica
6. Un esperto di karate picchia un pugno di massa m1=0.70 kg e spezza un’asse di legno di massa 0.14 kg. Poi spezza una mattonella di calcestruzzo di massa 3.2 kg. Le costanti elastiche di flessione sono rispettivamente 4.1 104 N/m e 2.6 106 N/m. La rottura avviene quando l’inarcamento e` pari a d=16mm per l’asse e 1.1 mm per la mattonella.a) immediatamente prima della rottura, quanta energia viene immagazzinata nei due casi ?b) che velocita` v1 del pugno e` richiesta per rompere l’asse e la mattonella ?
[assumere la conservazione dell’energia meccanica]
a) energia immagazzinata prima della rottura:
idee chiave: a) tratto la flessione come la compressionedi una molla per cui vale la legge di Hooke.
b) tratto l’urto come completamente anelastico:traformo energia cinetica in energia potenzialeelastica
JJmmNkdU legno 2.5248.5)016.0)(/101.4(21
21 242 »=×==
JJmmNkdU mattone 6.1537.1)0011.0)(/106.2(21
21 262 »=×==
b) nell’urto completamente anelastico di conserva solola quantita` di moto:
)(
)(
21
11
2111
mmvmv
vmmvm
+=
+= m1=massa pugnom2=massa tavola
applico la conservazione dell’energia meccanica[trascuro variazione di energia potenziale gravitazionale data la distanza minima percorsa nella flessione]
Uvmm =+ 221 )(21 energia cinetica deve eguagliare energia potenziale
al termine della flessione
cementolegno
smsm
mmUm
v/0.5/2.4
)(21 211
1 =+=
ho bisogno di maggior energi aper spezzare il legno !!
ho bisogno di maggior velocita` per spezzare il cemento !!!Aumentando la massa del bersaglio riduco la velocita` v assorbita e quindi la frazione di energia trasferita nell’urto.
7. Due auto di massa uguale si avvicinano ad un incrocio. Un veicolo viaggia a velocità13.0 m/s verso est, l’altro verso nord a velocità v2i. I veicoli si urtano all’incrocio e rimangono incastrati, lasciano delle strisce parallelesull’asfalto ad un angolo di 550 a nord-est. Il conducente che procedeva verso nord sostiene di avere rispettato il limite di velocità di 35 mi/h.è vero?
idea chiave: urto completamente anelasticosi conserva quantità di moto
mmmvmvmvmvmmvmvm
fii
fii
===+
+=+
2121
212211
2)(
!!!
!!!
asse x:asse y:
Problemi: urti in DUE dimensioni
)55sin(20
)55cos(200
2
01
fi
fi
vmmv
vmmv
=+
=+
hmi
hmi
hkm
hkmsm
tgsmtgvv
tgvv
ii
i
i
6.416214.096.66
96.663600/1106.18/6.18
)55()/0.13()55(
)55(
3
0012
0
1
2
==
===
==
=
-
divido le due equazioni:
Il conducente mentiva!!!
8. Un protone che si muove con velocità vi i urta elasticamente un altro protone inizialmente fermo. Dopo l’urto entrambi i protoni hanno la stessa velocità. Calcolare:a) la velocità di ciascun protone dopo l’urto in funzione di vi .b) la direzione dei vettori velocità dopo l’urto.
idea chiave: urto elasticosi conserva quantità di motosi conserva energia cinetica
yfyi
xfxi
fi
pppppp
=
=
=!!
asse xasse y
fqfq
-=-= sinsin
dalla eq. asse y ottengo:
fqfq
sinsin0coscos
mvmvmvmvmvi
+=+=
impongo la conservazione dell’energia:
2
21
21
21
21
22
222
i
i
i
vv
mvmv
mvmvmv
=
=
+=
utilizzo ora eq. asse x e ottengo:
2cos2)cos(
2cos2
qqq iiiivvvv =-+=
00 45,4522cos -==Þ= fqq
9. La molecola d’acqua è fatta di un atomo di ossigeno e due atomi di idrogenoad esso legati. L’angolo fra i due legami è 1060. Se i legami hanno una lunghezza di 0.100 nm, dove si trova il centro di massa della molecola ?
Problemi: centro di massa
x
y0.100nm
0.100nm
10. Un sistema di 3 particelle, inizialmente a riposo, è soggetto alle forze F1=6.0 N, F2=12 N ed F3=14 N , come mostrato in figura. Quale è l’accelerazione del CM ed in che direzione si muove ?
idea chiave: 4tratto il CM come
particella reale di massa M=16 kg (massa totale)
4applico tutte le forze esterne al CM
MFFFa
aMFFF
aMF
CM
CM
CMnet
321
321!!!
!
!!!!
!!
++=
=++
=
determino componenti x ed y della acc. CM:
20
,3,2,1, /03.116
)14()45cos()12(0.6 smkg
NNNM
FFFa xxxxCM =
++-=
++=
20
,3,2,1, /530.016
0)45sin()12(0 smkg
NM
FFFa yyyyCM =
++=
++=
determino modulo e direzione accelerazione CM:
0
,
,
222,
2,
27arctan
/2.1/16.1)()(
==
»=+=
xCM
yCM
yCMxCMCM
aa
smsmaaa
q
CM si muove nella stessa direzione delle forza netta agente sul sistema