Tra tutti questi ideali, la troverò una soluzione?

Scienza Orienta – Febbraio 2017

Prof. F. FlaminiDipartimento di Matematica

Università di Roma “Tor Vergata”

MATEMATICA

disciplina che studia le quantità (numeri), lo spazio, le strutture “astratte”, i legami tra queste varie strutture ed i calcoli numerici/letterali che le spiegano.

La parola MATEMATICA deriva dal greco

μάθημα (máthema)

che si può tradurre con i terminiscienza, conoscenza, apprendimento

“Il Saggiatore” (Cap. 6), Galileo Galilei

"La filosofia naturale è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi, io dico l‘ UNIVERSO, ma non si può intendere se prima non s'impara a intender la lingua e conoscer i caratteri nei quali è scritto.

Egli è scritto in lingua MATEMATICAe i caratteri son TRIANGOLI, CERCHI ed altre FIGUREGEOMETRICHE senza i quali mezi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per OSCURI LABIRINTI.”

(Galileo Galilei, Pisa 1564 - Arcetri 1642)

Con la MATEMATICA si possono esaminare situazioni problematiche da cui estrarre caratteristiche utili per poterle schematizzare descrivendo un

Modello Matematico

● Economia e Finanza● Fisica ● Chimica● Biologia● Ingegneria● Informatica● Telecomunicazioni● Architettura ed Arte

● Ricerca Spaziale● Aeronautica● Astronomia● Medicina● Riconoscimento

immagini● Meteorologia● Musica

La MATEMATICA sembra, così, semplicemente l’ANCELLA di altre Scienze ................ ma invece:

“La MATEMATICA è la Regina di tutte le Scienze” («Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften»)

in “Gauss zum Gedächtnis”(Memoria di Gauss), di Wolfgang Sartorius von Waltershausen (geologo ed astronomo tedesco), pubblicato nel 1862.

Carl Friederich Gauss (Braunschweig 1777 – Gottinga, 1855)

UNIVERSALITA’ della MATEMATICA

1 2 3 4..., , +, -, x, :,

, , , , , , , ,

, , , , , ........

Algebra – Geometria – Analisi Mat.– Probabilità & StatisticaFisica Mat. – Analisi Numerica - Ricerca Operativa - ..........

GEOMETRIA

(dal greco γεωμετρία, tradotto letteralmente come misurazione della terra) è quella parte della MATEMATICA che (a grandi linee) si occupa delle forme (nel piano, nello spazio,..) e delle loro mutue relazioni.

La MATEMATICA si divide in tantissime sotto-aree di ricerca

A sua volta la GEOMETRIA si divide in ulteriori sotto-aree

Geometria Algebrica

“studio (con tecniche dell'Algebra) delle proprietà geometriche delle soluzioni di un sistema di equazioni polinomiali in una o più indeterminate.”

Per formalizzare i precedenti esempi

Prendiamo K (che per noi puo' essere R o C). Consideriamo x

1, x

2, x

3,......., x

n

indeterminate - “variabili” - su K. Consideriamo poi P (K, n) = K[x

1, x

2, x

3,......., x

n]

insieme dei polinomi nelle indeterminate x1, x

2, x

3,..., x

na coefficienti in K.

In Kn - i cui elementi sono i PUNTI P di coordinate P= (p1, p

2, p

3,......., p

n) –

cerchiamo il LUOGO GEOMETRICO DELLE SOLUZIONI di un sistema di equazioni polinomiali

f1 (x

1, x

2, x

3,......., x

n ) = 0

f2 (x

1, x

2, x

3,......., x

n ) = 0

. . .

. . .fk (x

1, x

2, x

3,......., x

n ) = 0

dove fi(x

1, x

2, x

3,......., x

n) P (K, n)

per ogni i = 1, … ,k

Luogo delle soluzioni di un sistema di equazioni polinomiali

Per un sistema di equazioni polinomiali come sopraponiamo:

Z ( f1, f

2, ...... ,

f

k) Kn

luogo delle soluzioni (o degli zeri) in Kn del sistema di

equazioni polinomiali = insieme di tutti i punti P Kn le cui coordinate soddisfano contemporaneamente le equazioni

f1 = 0 ,

f

2= 0, ...... ,

f

k = 0

del sistema polinomiale dato.

Alcuni utilizzi di questi “luoghi di zeri polinomiali”

Fisica/Astronomia:

● Leggi di Keplero su orbite pianeti

orbite ellittiche:

Z ((x/a)2 + (y/b)2 -1)● “Problema balistico”= traiettoria

di un proiettile

traiettoria parabolica:

Z (y - x2)

Alcuni utilizzi di questi “luoghi di zeri polinomiali”

Ingegneria delle telecomunicazioni:

● Antenne paraboliche

Ingegneria idraulica/civile/edile:

●Tubi in calcestruzzo trasporto acque sez. ellittica

Alcuni utilizzi di questi “luoghi di zeri polinomiali”

Arte/disegno prospettico:Rette parallele che “convergono” verso l’orizzonte

Alcuni utilizzi di questi “luoghi di zeri polinomiali”

Disegno prospettico:

“Piacemi il pittor sia dotto in quanto possa in tutte le arti liberali; ma prima desidero sappi GEOMETRIA”

in “De Pictura”, Leon Battista Alberti (Genova 1404 – Roma 1472).

Alcuni utilizzi di questi “luoghi di zeri polinomiali”

Architettura/Ingegneria dell’Edilizia:Strutture edili leggere e coperture a “grande luce”

Pad. Arzebaijan – Expo 2015

Ponte della Pace - Georgia

Nuvola di Fuksas - Roma

Alcuni utilizzi di questi “luoghi di zeri polinomiali”

Progettazione delle precedenti costruzioni si basa (localmente) su geometria della superficie

Z (z – xy) R3

paraboloide a sella

Uso “quotidiano” di ideali di (Z, +, )

L'orologio L'ora H e l'ora K sono rappresentate dalla stessa lancetta dell'orologio se e solo se

K-H I = (12) Z

AttenzioneAnche se

Z Q R C

(Q, +, ), (R, +, ) e (C, +, ) hanno solo ideali banali.

Infatti: sia K = Q o R oppure C; se I è un ideale in K,allora i I con i 0 i (1/i) = 1 I I = K.

Invece.....

Per ogni intero positivo n

P (K, n) = K[x1, x

2, x

3,......., x

n] è molto simile a (Z, +, )

Su P (K, n) esistono operazioni + e ben note tali che

f1 , f

2P (K, n) f

1 + f

2 e

f1

f2 P (K, n)

Possiamo considerare IDEALI di P (K, n) :

I = ( f1 , f

2 , ...... ,

f

k ) P (K, n)

f1,

f

2, ...... ,

f

k sono detti i GENERATORI dell'ideale I.

Ideali in P (K,n)

1 . Gli elementi di un ideale come prima I = ( f

1 , f

2 , ...... ,

f

k ) P (K, n)

sono della forma f

1

g

1 + f

2

g

2+ .....+

f

k

g

k

per g

1 ,

g

2 , ...... ,

g

k P (K, n).

2 . Teorema della base di Hilbert: tutti e soli gli ideali di P (K,n) sono della forma I = ( f

1 , f

2 , ...... ,

f

k ), dove k un

intero positivo e f1 , f

2 , ...... ,

f

k P (K, n) , i.e. tutti gli

ideali di P (K, n) sono FINITAMENTE GENERATI

Ideali in P (K,n) e luoghi di zeri in Kn

1. Se I è un qualsiasi ideale in P (K, n), definiamo Z ( I ) Kn

come l'insieme dei punti P K n le cui coordinate soddisfano TUTTI i polinomi in I.

2. Notare che, se I = ( f

1 , f

2 , ...... ,

f

k ), allora

Z ( I ) = Z ( f1, f

2, ...... ,

f

k)

come definito nelle schermate precedenti.

SemplificazioneRimpiazzando sistemi di equazioni polinomiali (anche intricati) con ideali di P (K,n), si riesce a dimostrare molto più semplicemente importanti conseguenze geometriche.Ad esempio:a. Z ( J ) = Kn J = (0)

b. 1 J (i.e. J = P (K, n)) Z ( J ) = ;

c. se I J Z ( I ) Z ( J );

d. si puo' capire quando due ideali distinti individuano stesso luogo di soluzioni in Kn (i.e. se i sistemi corrispondenti sono equivalenti) → IDEALI RADICALI

Cubica Gobba (Twisted cubic)

Nello spazio R3 consideriamo la curva C definita da

x = t, y = t2, z = t3

dove t R parametro.

C è sghemba (non contenuta in un piano)

1. Come si presenta C come luogo di zeri in R3?

2. Quali superfici di R3

contengono C ?

Cubica Gobba (Twisted cubic)

In P (R, 3) consideriamo i polinomi

f1 = y – x2

f

2 = z – xy

Semplicemente si verifica che

C = Z ( f1 , f

2 )

Quindi C è l'intersezione di un paraboloide a sella

Z ( f2 ) = Z ( z – xy

) R3

e di un cilindro parabolico

Z ( f1 ) = Z ( y – x2

) R3

Cubica Gobba (Twisted cubic)I = ( f

1 , f

2 ) = (y – x2, z – xy) P (R, 3)

lo chiamo ideale della cubica gobba.

Visto che

y f1 - x f

2= y(y –x2) - x(z- xy)= y2 – x z

otteniamo un'altra superficie di grado 2,

Z ( y2 – x z ) R3

che è un cono di vertice O = (0, 0, 0) e che contiene C .

Operando algebricamente con ideale I trovo semplicemente superfici di ogni grado contenenti la curva C .

Possibile utilizzo “quotidiano” ed elementare di polinomi ed ideali

● SEGRETO (lavorativo, industriale, formula chimica, congettura, ecc..) custodito in una cassaforte

● Io conosco la CHIAVE DI ACCESSO● Ho bisogno di permettere a n persone che

collaborano con me (n abbastanza grande) di aprire la cassaforte, anche in mia assenza, per poter ultimare il lavoro

● Ho però problema di sicurezza: non voglio che l'informazione per la chiave di accesso (oltre a me) sia concentrata nelle mani di un sottoinsieme “troppo” ristretto di collaboratori

Possibile utilizzo “quotidiano” ed elementare degli ideali

● L'idea è di dividere l'informazione relativa alla CHIAVE DI ACCESSO in n segmenti di informazione

● Dare a ciascuno degli n collaboratori uno ed uno solo degli n segmenti di informazione

● L'operazione sia fatta in modo tale che sia sufficiente la presenza di almeno k collaboratori (ove k n intero scelto da me secondo criteri di fiducia e sicurezza), ma non meno di k, per ricostruire la CHIAVE DI ACCESSO ed accedere al SEGRETO

● Tale numero k sarà ad esempio il numero MINIMO di persone necessarie per ultimare il lavoro

Esempio concreto● Scelgo k = 4 numero minimo di collaboratori per aprire la

cassaforte ed ultimare il lavoro● Fisso in R[x] un polinomio di grado 3=k-1 a piacere, e.g.

f (x) = x3 – x2 + 1 P (R, 1) = R[x]● Per CHIAVE DI ACCESSO scelgo e.g. il valore

f (99) = 960499

● Scelgo n numeri distinti a1, a

2, ...., a

n R

● Voglio una procedura per cui 1, 2 o 3 collaboratori non possanno risalire alla CHIAVE DI ACCESSO 960499 ma almeno 4 collaboratori SI

Esempio concreto● Ad i-esimo collaboratore solo il seguente segmento di informazione:

– (i) la coppia (ai , f (a

i )) = (a

i , b

i ) (che è un punto nel piano R2)

– (ii) l' intero k=4 – (iii) l' intero 99

● Per semplicità primi 4 collaboratori, cui ho dato rispettivamente e.g. le coppie

(a1

, b1) = (0 , 1), (a

2 , b

2 ) = (-1 , -1), (a

3 , b

3 ) = (2 , 5), (a

4 , b

4) = (3 , 19)

Devono preliminarmente ricostruire il polinomio f (x) P (R, 1) = R[x]

● Solo con (i) e (iii), le 4 coppie date sono assunte da ogni polinomio del tipo

F (x) = f (x) + h (x)

h(x) I = (x (x+1) (x-2) (x-3)) = (x4 – 4 x3 + x2 + 6 x) P (R, 1) = R[x]

Esempio concreto

● Ma poi in generale si avrebbe F(99) f (99)

● In altre parole, con la sola informazione (i) si fa una ricostruzione del polinomio A MENO DELL'IDEALE I= (x4 – 4 x3 + x2 + 6 x)

● Con le informazioni (i) ed (ii) i 4 collaboratori invece determinano UNIVOCAMENTE il polinomio f (x) dalle 4 coppie

(a1

, b1) = (0 , 1), (a

2 , b

2 ) = (-1 , -1), (a

3 , b

3 ) = (2 , 5), (a

4 , b

4) = (3 , 19)

● Utilizzando infine (iii) determinano completamente la CHIAVE DI ACCESSO

● La procedura si basa su Teorema Cinese dei Resti (ok a possibilità di ricostruzione a meno di ideale) e su calcolo via Polinomi Interpolatori di Lagrange (calcolo semplice ed esplicito di f (x) )