Dottorato di ricerca in “Infrastrutture e Trasporti”

Curriculum in Ingegneria Ferroviaria

PROGETTAZIONE E VERIFICA DEI PIANI DI STAZIONE CON PROGRAMMI DI ESERCIZIO

Dottorando: ing. Carlo Domenico Ronzino Relatore: prof. ing. Gabriele Malavasi

Dottorato di ricerca in “Infrastrutture e Trasporti” XXIII ciclo

Curriculum in Ingegneria Ferroviaria

PROGETTAZIONE E VERIFICA DEI PIANI DI STAZIONE CON PROGRAMMI DI ESERCIZIO

VARIABILI

ing. Carlo Domenico Ronzino

prof. ing. Gabriele Malavasi

1

Dottorato di ricerca in “Infrastrutture e Trasporti”

PROGETTAZIONE E VERIFICA DEI PIANI DI STAZIONE CON PROGRAMMI DI ESERCIZIO

2

INDICE

Capitolo primo: Introduzione e scopo della ricerca

Capitolo secondo: La teoria delle curve di riempimento applicata all’ingegneria ferroviaria

Capitolo terzo: Analisi dei tempi di sosta

Capitolo quarto: Confronto fra i risultati della teoria delle code e quelli della teoria delle CDR

Capitolo quinto: Conclusioni

Bibliografia

Allegati

3

CAPITOLO PRIMO:

INTRODUZIONE E SCOPO DELLA RICERCA

Lo scopo della ricerca è di elaborare un metodo sintetico di progettazione e verifica di stazioni

ferroviarie, attraverso cui si possa esprimere la capacità di trasporto della stazione in funzione

della qualità del servizio, in analogia con i modi di operare tipici della moderna ingegneria

stradale; il metodo costituisce un contributo sia alle tecniche di ottimizzazione dell’infrastruttura

ferroviaria che di supporto delle decisioni nel settore delle infrastrutture di trasporto, e in

particolare delle attività di progettazione di nuovi impianti o di adeguamento di impianti

esistenti.

Dal punto di vista matematico rappresenta un’estensione all’ingegneria ferroviaria della teoria

delle curve di riempimento, utilizzata in alcune applicazioni dell’ingegneria dei processi

industriali; infatti la costruzione delle curve di riempimento di una stazione, funzione della

probabilità di “congestione” della stazione dovuta ad arrivi di treni “ravvicinati”, permette, noto

il tempo di sosta dei treni nella stazione, di calcolare il numero minimo di binari che

garantiscono il livello di qualità imposto.

L’analisi statistica di alcuni casi reali, unita ad una metodologia di simulazione degli orari

ferroviari in funzione del volume di traffico giornaliero e a un’ipotesi di distribuzione degli arrivi

dei treni nella stazione, consente la costruzione di abachi di curve di riempimento, dai quali si

ricava la curva di riempimento adatta al caso di progetto o verifica in esame.

L’analisi specifica del tempo di sosta medio ha permesso inoltre di individuare i legami

funzionali di questo con alcune variabili indipendenti che modellizzano la tipologia del treno e la

caratteristiche della stazione.

I risultati sono stati confrontati con quelli derivanti dall’applicazione della teoria delle file

d’attesa, dopo aver ipotizzato un’espressione analitica del ritardo medio per treno.

4

CAPITOLO SECONDO:

LA TEORIA DELLE CURVE DI RIEMPIMENTO APPLICATA ALL’ INGEGNERA FERROVIARIA

La teoria delle curve di riempimento, applicata all’ingegneria ferroviaria, consente una

rappresentazione sintetica del funzionamento di una stazione ferroviaria1, quando siano noti la

distribuzione degli arrivi dei treni nell’arco di un orario di riferimento (in genere 24 ore) e il loro

tempo di sosta.

Il problema che si pone ed al quale la suddetta teoria dà una soluzione è il seguente:

nota la distribuzione degli arrivi in una stazione di N treni nell’arco di un intervallo temporale

di riferimento, e nota la durata necessaria per lo svolgimento del servizio ferroviario in stazione

da parte di ciascuno degli N treni, quanti binari di stazionamento2 devono essere previsti in

stazione affinché tutti gli N treni possano svolgere il loro servizio garantendo un prefissato

livello di qualità?

Tale problema si può presentare in una duplice veste, come “progetto” di una nuova stazione o

come “verifica” di una esistente.

Nel primo caso, naturalmente, la stazione non esiste, e quindi le distribuzioni degli arrivi dei

treni e dei loro tempi di sosta, non essendo osservabili, possono essere conosciute solo per

analogia con situazioni simili oppure possono essere imposte come dato di progetto.

Nel secondo caso invece, poiché l’impianto esiste ed è in esercizio, si ha una conoscenza diretta

della distribuzione degli arrivi e dei tempi di sosta, rappresentate entrambe dall’orario

ferroviario, e anche, attraverso l’osservazione diretta, di una legge probabilistica di distribuzione

delle irregolarità di funzionamento della stazione.

2.1 Le curve di riempimento di una stazione ferroviaria.

Consideriamo il fenomeno aleatorio costituito dalla successione nel tempo di N arrivi di treni,

nel tempo di riferimento T = 24 ore.

All’interno di tale insieme si considerino n arrivi; la variabile aleatoria che descrive il fenomeno

sia τn , intervallo di tempo durante il quale avvengono gli n arrivi. Gli specifici valori tn che la

1 Per “stazione ferroviaria” ai sensi dei Regolamenti ferroviari vigenti si intende una località posta su una linea ferroviaria, protetta da appositi segnali, che consente di svolgere incroci e precedenze fra treni. In genere essa consente, attraverso idonei impianti (fabbricato viaggiatori, marciapiedi, pensiline, aree attrezzate, ecc.), di svolgere anche un determinato servizio di trasporto di viaggiatori o di merci. 2 Il binario di stazionamento è un binario sul quale è consentita la sosta dei treni per l’effettuazione degli incroci o delle precedenze, o per lo svolgimento del servizio. Esso è delimitato, da un lato, da un deviatoio, e dall’altro: da un segnale di partenza, da un altro deviatoio o, nel caso di un binario di stazionamento cosiddetto “tronco”, da un paraurti.

5

variabile aleatoria τn assume siano assegnati da una funzione continua di distribuzione di

probabilità Pn:

Fig. 1

Pn (tn) = Pn (τn ≤ tn) = � ��������� (1)

Il valore Pn (tn) che la funzione di distribuzione Pn assume quando la variabile τn = tn rappresenta

per definizione la probabilità che gli n arrivi avvengano in un tempo non maggiore di tn .

Detto valore, qualora tn venga inteso, ai sensi della teoria delle file d’attesa, come il tempo di

servizio associato a ciascun binario della stazione3, può essere visto come una misura della

qualità del funzionamento della stazione; infatti, la probabilità che gli n arrivi si succedano in un

tempo inferiore o al più uguale al valore del tempo di servizio dato equivale alla probabilità che

nella stazione la successione degli n arrivi produca congestione.

Poniamo dunque:

Pn (tn) = σn = σ (2)

e stabiliamo che tale valore di probabilità non dipenda da n, per il fatto che rappresenta una

misura della qualità globale del funzionamento della stazione che, per essere utile, deve essere

valida per ogni n, cioè per ogni ennupla di arrivi.

La probabilità che gli n arrivi avvengano in un tempo maggiore di tn , quindi, per quanto detto, la

probabilità che nella stazione non si produca congestione, è viceversa:

Pn* (τn ≥ tn) = � ����������

= 1 - σn = 1 - σ (2bis)

3 Ciascun binario di stazionamento della stazione equivale ad un “centro di servizio”, cui è associato un certo tempo di servizio; nel testo si fa dunque l’ipotesi che tale tempo di servizio sia uguale per tutti i binari di stazionamento.

tn

n arrivi

t

6

La (2) si risolve in funzione della variabile τn , noto σ e attribuendo ad n i valori crescenti della

successione di numeri naturali.

Estendendo queste considerazioni per ogni n appartenente alla successione dei numeri naturali4,

si arriva a definire un insieme di punti nel piano di coordinate cartesiane n, t , ciascuno dei quali,

fissato il valore del parametro σ, rappresenta:

- per un determinato n, l’intervallo di tempo minimo t, con probabilità (1-σ), durante il

quale si hanno gli n arrivi;

- per un determinato t, il numero massimo, con probabilità(1-σ), di n arrivi.

Il suddetto insieme di punti può essere rappresentato graficamente da una spezzata o da una

curva continua; in ambedue i casi si usa il temine di “curva di riempimento” (di seguito CDR).

In termini generali, qualora sia possibile esprimere la probabilità in funzione della variabile n,

l’espressione analitica della curva di riempimento è:

� � ���, ����� (3)

Fissati tutti gli altri valori, al variare parametro σ si ha una famiglia di CDR, ciascuna della

quali esprime quindi il funzionamento della stazione in relazione al dato valore di qualità del

servizio ferroviario.

Poiché una CDR rappresenta fisicamente una successione ordinata di arrivi, la curva (o spezzata)

che la rappresenta non è mai decrescente; in altri termini, se supposta continua, ha sempre

derivata negativa o al più nulla.

Parallelamente, supponendo costante per ogni valore di n il tempo medio di sosta, la successione

ordinata delle partenza è rappresentata da una curva di svuotamento (CDS), che è rappresentata

graficamente da una curva o da una spezzata parallela alla relativa CDR (figura 2 del prossimo

paragrafo); qualora il tempo di sosta non possa essere considerato costante al variare di n , la

suddetta condizioni di parallelismo fra la CDR e la rispettiva CDS non è ammissibile. La relativa

complicazione però è soltanto di calcolo.

4 Limitato per ragioni di interesse pratico al numero dei binari di una stazione, variabile fra 2 (stazioni piccole) e poche decine (stazioni molto grandi).

7

2.2 Utilizzo delle CDR nelle fasi di progetto e di verifica della capacità di trasporto di una stazione ferroviaria.

Il modello sintetico basato sulla teoria delle CDR consente, attraverso l’uso di poche variabili, di

calcolare la capacità di trasporto di una stazione ferroviaria, in termini di progetto di nuovi

impianti o di verifica di impianti esistenti.

Il dato di partenza è costituito dalla conoscenza della famiglia delle CDR della stazione, funzione

del numero N di arrivi al giorno e, come vedremo nel prossimo paragrafo, della conoscenza della

distribuzione degli arrivi nelle 24 ore5, nonché del valore assegnato al parametro σ, (fig. 2):

Fig. 2

Per la fase di progetto, la famiglia di CDR può essere usata in due modi:

- nel primo di essi, noto il tempo di sosta medio di ciascun treno (vedi capitolo 3), si ricava

graficamente per approssimazione il numero di binari strettamente necessari che

garantisce il rispetto del livello di qualità voluto cioè alla specifica CDR appartenente alla

famiglia data: per esempio, nel caso di figura 2 (linee blu), il tempo di sosta è di 500 sec,

cioè 8 munti circa, e il numero di binari necessari è 2 per approssimazione;

- nel secondo invece sia noto il numero di binari: si ricava di conseguenza il valore

massimo del tempo di sosta medio che consente il servizio degli N treni nel rispetto del

livello di qualità atteso: sempre in figura 2 (linee verdi), con tre binari, il valore massimo

del tempo di sosta disponibile è di circa 2000 sec, cioè 33 minuti circa.

5 Tale conoscenza è diretta, nel caso di verifica (stazione in esercizio), o teorica, nota attraverso la legge di distribuzione degli arrivi, nel caso di progetto.

0

1

2

3

4

0 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000 2250 2500 2750 3000

n

t [sec]

8

Anche nella fase di verifica di una stazione si hanno due modi d’uso:

- nel primo, si suppone fisso il numero di binari e si verifica la congruenza del tempo di

sosta reale con il valore di qualità voluto (verifica del tempo di sosta) e il suo margine di

sicurezza;

- nel secondo viceversa, si suppone fisso il tempo di sosta e si verifica il numero di binari

esistente, con il relativo margine di sicurezza.

I metodi di progetto e verifica possono anche essere usati per progettare o verificare, fissati gli

altri valori, la distribuzione degli arrivi, cioè dell’orario assegnato alla stazione, reale (stazione in

esercizio) o teorico (stazione non in esercizio o in esercizio ma con un altro orario).

È chiaro però che a ciascun orario, o meglio modello di orario, per definizione, è associata una

sola famiglia di CDR; nel caso in esame quindi le operazioni di progetto o verifica sono

analoghe a quelle viste, ma si basano sul confronto fra CDR diverse, ciascuna associata ad un

diverso orario: facendo riferimento alla figura n. 3, supponiamo che, a parità delle altre

condizioni, la CDR rappresentata dalla linea di colore blu sia riferita ad un orario e quella

rappresentata dalla linea di colore rosso ad un altro orario; ciò significa che il modello

rappresentato dalla CDR “rossa” dà una performance migliore, rispetto alla CDR “blu”, in

termini di tempo di sosta disponibile del 70% circa; procedimento simile può farsi in termini di

numero di binari, fissato il tempo di sosta disponibile.

Fig. 3

0

1

2

3

4

0 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000 2250 2500 2750 3000

n

t [sec]

9

Quanto visto relativamente alla figura 3, può ovviamente estendersi anche alle diverse CDR

appartenenti ad una stessa famiglia. In questo caso, a parità delle altre variabili, ogni CDR è

associata ad uno specifico valore del parametro σ ; di conseguenza si può confrontare, in termini

di scarto percentuale del tempo di sosta o del numero di binari, la qualità del servizio reso nella

stazione. Ciò è importante laddove sia necessario contrattualizzare nell’offerta ferroviaria il

livello di qualità atteso, in termini assoluti (come probabilità di arrivi compresi in un certo

intervallo di tempo) o in termini relativi, rispetto ad un livello di riferimento standard.

2.3 Costruzione e proprietà delle CDR.

La soluzione del problema della costruzione di una famiglia di CDR al variare di σ può essere

teorica o numerica.

Nel primo caso si applica la formula (3), nel secondo si costruisce la famiglia di CDR a partire

da una o più successioni date di arrivi.

La soluzione teorica è possibile solo nei casi in cui sia possibile esprimere la densità di

probabilità p anche in funzione della variabile n, ad esempio nel caso di arrivi che seguono il

modello di Poisson, per i quali la densità di probabilità cercata è la funzione di Erlang:

� � � ����������! ������������� (3.1)

con λ > 0.

Le formule come la (3.1) possono presentare difficoltà di calcolo.

La soluzione numerica consente la determinazione del valore del tempo tn per ogni n, nota la

successione degli arrivi (soluzione numerica semplice).

Se anziché avere una sola successione di arrivi si abbia un insieme di successioni, scaturite da

opportune “generazioni causali” e accomunate da una stessa legge, si può costruire una famiglia

di CDR funzione solo della suddetta legge di distribuzione degli arrivi (soluzione numerica

iterativa); in quest’ultimo caso, come vedremo, si aggira il problema della difficoltà o

impossibilità di risoluzione della (3).

10

Nel presente studio la soluzione numerica semplice sarà applicata a tre casi reali (§ 2.4); la

soluzione numerica iterativa verrà invece utilizzata per trovare la famiglia di CDR associata al

modello di arrivi di Poisson, in funzione del volume di traffico giornaliero (§ 2.4).

2.3.1 Soluzione numerica semplice: metodo generale.

Si conosca l’orario ferroviario, cioè la successione degli arrivi dei treni in stazione, dove per

arrivo di un treno si deve intendere l’istante, approssimato per difetto al minuto primo, in cui il

segnale di protezione della stazione si dispone a via libera; ciò equivale a dire che l’insieme degli

arrivi viene ordinato in m classi temporali di ampiezza pari a un minuto (m = 0, 1, 2, 3, …).

L’insieme degli arrivi consente la costruzione, per ciascuno dei valori assegnato a n, dei seguenti

vettori:

1) vettore In degli intertempi, cioè degli intervalli fra gli arrivi di n treni; come vedremo

più avanti la sua determinazione può avvenire secondo un procedimento di “ripetizione”

o di “non ripetizione” delle estrazioni;

2) vettore Rn della frequenza relativa degli intertempi, il cui elemento generico bi esprime,

per ciascuna classe temporale unitaria, la quota sul totale del numero di intertempi (fra gli

n treni);

3) vettore Cn della frequenza cumulata degli intertempi, costruito a partire dal vettore Rn, il

cui elemento generico ai = ∑ ��� .

La conoscenza dei tre vettori consente, fissato il valore del parametro σ , di calcolare, per ogni n,

il valore del tempo tn,σ relativo:

dove xi-1 è il valore, espresso in minuti, della classe temporale cui è associato un valore di

frequenza cumulata ai-1 che approssima per difetto il valore dato del parametro σ .

Ciascuna coppia di valori n; tn(σ) individua sul piano di coordinate cartesiane n,t un punto

appartenente alla CDR.

2.3.1.1 Modalità di calcolo dei valori tn per n > 2.

Nel calcolo delle coordinate dei valori tn per n > 2, è possibile operare in due modi diversi, in

analogia al concetto di campionamento con “ripetizione” delle estrazioni o “senza ripetizione”.

1

11)(

−

−− −

−+=ii

iin aa

axt

σσ

11

Nel primo caso, ogni ennupla successiva ad una data si forma a partire dall’elemento (i+1)-

esimo, dove i è il primo treno dell’ennupla data; nel caso invece “senza ripetizione”, il primo

treno dell’ennupla successiva a quella data è l’elemento [i+(n+1)]-esimo; in altre parole:

- nel caso con ripetizione ogni ennupla di treni in arrivo ha (n-1) elementi (cioè treni) in

comune con l’ennupla precedente;

- nel caso “senza ripetizione” le ennuple di treni in arrivo non hanno alcun elemento in

comune fra loro.

Se da un punto di vista logico e matematico appare più naturale il modello “senza ripetizione”,

dal punto di vista del funzionamento “fisico” della stazione appare più corretto operare invece

secondo il modello “con ripetizione”; infatti il sistema ferroviario è tale che appena si libera una

binario esso può essere occupato da un treno in attesa al segnale di protezione,

indipendentemente dal fatto che quest’ultimo treno appartenga ad una ennupla successiva.

Invece la costruzione dei punti della CDR senza ripetizione delle estrazioni dei valori fa sì che le

ennuple vengano considerate singolarmente; ciò equivale a dire che il primo treno dell’ennupla

successiva può entrare in stazione solo dopo che l’ultimo della precedente ennupla ha liberato il

binario di stazionamento.

Un altro motivo a favore della scelta di operare con il modello “con ripetizione” è che la

costruzione delle CDR comporta una sottostima nel caso “senza ripetizione” rispetto al caso “con

ripetizione”. Ciò dipende dal fatto che la ripetizione dei valori determina prima, a parità di n

considerato, il raggiungimento del valore di tn(σ): le CDR “con ripetizione” sono quindi più

ripide di quelle “senza ripetizione” (a parità di tempo di sosta si ha dunque un maggior numero

di binari di stazionamento necessari per la data σ). Negli allegati n. 3, 4 e 5, riferiti ai casi reali oggetto della presente ricerca, sono riportati i vettori

In , Rn e Cn anche nel caso di calcolo senza ripetizione; il confronto in forma tabellare e grafica

fra i due metodi di calcolo è riportato nell’allegato n. 6.

2.3.2 Tre casi reali studiati con la soluzione numerica semplice.

Quanto detto finora è stato applicato per tre stazioni ubicate lungo la Direttrice Adriatica, una

medio-grande (Rimini), una media (Barletta) e una piccola (Termoli); l’orario di riferimento è

costituito dagli arrivi di treni che hanno svolto il servizio ferroviario (quindi con fermata per

servizio viaggiatori o merci6) osservati nell’arco della giornata di venerdì 27 giugno 2008,

(allegato n. 1).

6 L’ipotesi semplificativa di trascurare i treni non aventi fermata può ovviamente essere rimossa. Tuttavia essa è stata posta perché funzionalmente per un treno in transito la stazione è la prosecuzione della linea ferroviaria. Ciò si deduce anche dalla definizione di binario di corretto tracciato, riportata nell’articolo 2, comma 6, secondo

12

I piani schematici delle tre stazioni sono riportati nell’allegato n. 2. In tutti e tre i casi si tratta di

stazioni di diramazione nelle quali confluiscono tre linee.

Le tre stazioni sono interessate dai seguenti volumi di traffico, espressi dal numero N di

treni/giorno in arrivo, partenza o transito:

RIMINI BARLETTA TERMOLI

N = 159 treni/giorno

N = 122 treni/giorno

N = 67 treni/giorno

Il volume di traffico si intende comprensivo di tutte le tipologie di treni in arrivo aventi una

fermata programmata.

2.3.2.1 Costruzione delle CDR.

Le CDR sono state ricavate fissando tre valori crescenti del parametro σ, ciascuno dei quali

misura una performance, via via decrescente, della qualità del servizio ferroviario reso:

• σ = 0,03 ; cioè probabilità del 97% che gli n arrivi avvengano in un intervallo di tempo

maggiore di quello ricavato dal calcolo, tn (σ);

• σ = 0,05 ; cioè probabilità del 95% che gli n arrivi avvengano in un intervallo di tempo

maggiore di quello ricavato dal calcolo, tn (σ);

• σ = 0,10 ; cioè probabilità del 90% che gli n arrivi avvengano in un intervallo di tempo

maggiore di quello ricavato dal calcolo, tn (σ).

Per ragioni pratiche e in considerazioni delle dimensioni delle stazioni studiate, sono stati

considerati i valori di n (numero di binari) fino a 4; ovviamente il calcolo si può estendere fino a

qualsivoglia valore di n , nei limiti di quanto detto nella precedente nota 4.

I risultati dell’analisi sono riportati in dettaglio negli allegati n. 3 (Rimini), 4 (Barletta) e 5

(Termoli).

capoverso, del Regolamento per la Circolazione dei Treni: “Vengono denominati binari di corsa i binari di circolazione che costituiscono la diretta prosecuzione delle linee nell’ambito della stazione. Tali binari, generalmente di più corretto tracciato, sono quelli utilizzati di regola per il transito dei treni senza fermata”.

13

Di seguito si riportano i grafici e le tabelle finali, relativi al solo modello di conteggio con

ripetizione:

Fig. 4 – CDR di Rimini

Fig. 5 – CDR di Barletta

0

1

2

3

4

0 300 600 900 1200 1500

nu

me

ro t

ren

i in

arr

ivo

tempo [sec]

RIMINI σ = 3 %; σ = 5 %; σσ = 3 %; σ = 5 %; σσ = 3 %; σ = 5 %; σσ = 3 %; σ = 5 %; σ = 10%

(modello "con ripetizione")

sigma=10

sigma=5

sigma=3

0

1

2

3

4

0 300 600 900 1200 1500

nu

me

ro t

ren

i in

arr

ivo

tempo [sec]

BARLETTA σ = 3 %; σ = 5 %; σσ = 3 %; σ = 5 %; σσ = 3 %; σ = 5 %; σσ = 3 %; σ = 5 %; σ = 10%

(modello "con ripetizione")

sigma=10

sigma=5

sigma=3

14

Fig. 6 – CDR di Termoli

RIMINI ; N = 159 treni/giorno (tempo espresso in secondi)

σ = 10%σ = 10%σ = 10%σ = 10% σ = 5%σ = 5%σ = 5%σ = 5% σ = 3%σ = 3%σ = 3%σ = 3%

n = 1 65 25 9

n = 2 383 274 247

n = 3 788 599 503

n = 4 1134 923 863

Tabella n. 1

BARLETTA; N = 122 treni/giorno

(tempo espresso in secondi)

σ = 10%σ = 10%σ = 10%σ = 10% σ = 5%σ = 5%σ = 5%σ = 5% σ = 3%σ = 3%σ = 3%σ = 3%

n = 1 88 22 0

n = 2 492 366 280

n = 3 979 902 760

n = 4 1312 1242 1180

Tabella n. 2

0

1

2

3

4

0 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700

nu

me

ro t

ren

i in

arr

ivo

tempo [sec]

TERMOLI σ = 3 %; σ = 5 %; σσ = 3 %; σ = 5 %; σσ = 3 %; σ = 5 %; σσ = 3 %; σ = 5 %; σ = 10%

(modello "con ripetizione")

sigma=10

sigma=5

sigma=3

15

TERMOLI; N = 67 treni/giorno (tempo espresso in secondi)

σ = 10%σ = 10%σ = 10%σ = 10% σ = 5%σ = 5%σ = 5%σ = 5% σ = 3%σ = 3%σ = 3%σ = 3%

n = 1 191 140 120

n = 2 694 611 541

n = 3 1534 1221 1081

n = 4 2481 2051 1981

Tabella n. 3

Da questi grafici e da queste tabelle si possono trarre alcune considerazioni.

Innanzitutto si rileva che all’aumentare del valore del parametro σ, a parità del numero di binari

aumenta il tempo di sosta utilizzabile: infatti accettare una performance peggiore in termini di

qualità permette, a parità della dotazione infrastrutturale, la possibilità di “sfruttare”

maggiormente l’impianto. Viceversa, ragionando a parità di tempo di sosta tn , accettare una

qualità del servizio peggiore consente di “servire” più treni. Trascurando il valore di n = 1, poco

interessante, si hanno i seguenti dati:

RIMINI

Aumento di tn nel passare da σ = 10% σ = 10% σ = 10% σ = 10% a σ = 3%σ = 3%σ = 3%σ = 3%

Aumento di tn nel passare da σ = 10% σ = 10% σ = 10% σ = 10% a σ = 5%σ = 5%σ = 5%σ = 5%

Aumento di tn nel passare da σ = 5% σ = 5% σ = 5% σ = 5% a σ = 3%σ = 3%σ = 3%σ = 3%

n = 2 56% 40% 11%

n = 3 57% 32% 19%

n = 4 31% 23% 7%

Tabella n. 4

BARLETTA

Aumento di tn nel passare da σ = 10% σ = 10% σ = 10% σ = 10% a σ = 3%σ = 3%σ = 3%σ = 3%

Aumento di tn nel passare da σ = 10% σ = 10% σ = 10% σ = 10% a σ = 5%σ = 5%σ = 5%σ = 5%

Aumento di tn nel passare da σ = 5% σ = 5% σ = 5% σ = 5% a σ = 3%σ = 3%σ = 3%σ = 3%

n = 2 76% 34% 30%

n = 3 29% 9% 19%

n = 4 11% 6% 5%

Tabella n. 5

16

TERMOLI

Aumento di tn nel passare da σ = 10% σ = 10% σ = 10% σ = 10% a σ = 3%σ = 3%σ = 3%σ = 3%

Aumento di tn nel passare da σ = 10% σ = 10% σ = 10% σ = 10% a σ = 5%σ = 5%σ = 5%σ = 5%

Aumento di tn nel passare da σ = 5% σ = 5% σ = 5% σ = 5% a σ = 3%σ = 3%σ = 3%σ = 3%

n = 2 28% 14% 13%

n = 3 42% 26% 13%

n = 4 25% 21% 3%

Tabella n. 6

Dalle tabelle n. 4, 5 e 6 sembra inoltre emergere chiaramente una tendenza alla diminuzione

dell’incremento del valore del tempo di sosta tn all’aumentare di n; ciò significa che differenze

fra le curve corrispondenti ai diversi valori di σ (comunque operativamente significative)

tendono a coincidere per valori di n grandi (caso delle grandi stazioni).

Una secondo considerazione che scaturisce dall’analisi dei grafici e delle tabelle è la relazione

funzionale, a parità di n e di σ, fra il valore del tempo di sosta tn e il numero N di treni/giorno; in

particolare si rileva che tn diminuisce all’aumentare di N in tutti e tre i casi con un andamento

che deve comunque essere asintotico con asintoto > 0.

In figura 7 è riportato il caso per n = 4, σ = 10% e modello di conteggio senza ripetizione; i

grafici per gli altri valori di n e per il caso del modello di conteggio con ripetizione7 si trovano

nell’allegato n. 6:

Fig. 7

7 Nell’allegato n. 6 si vede anche che l’andamento delle curve tn = tn (N), nel caso di modello di conteggio con ripetizione, presenta alcune singolarità (p.e. per n = 2); ciò conferma la bontà della scelta del modello senza ripetizione, fisicamente ritenuto più attendibile.

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 50 100 150 200

tem

po

N

17

2.3.2.2 Confronto fra i risultati ottenuti con i metodi di conteggio senza ripetizione e con ripetizione.

Negli allegati n. 3, 4 e 5 sono riportati anche gli andamenti delle CDR ottenuti con il metodo di

conteggio senza ripetizione.

Si rileva che la CDR senza ripetizione risulta più appiattita rispetto a quella con ripetizione; ne

consegue che nel primo caso la stazione presenta maggiori margini di capacità di circolazione. In

ogni caso nei calcoli si preferisce fare riferimento al metodo di conteggio con ripetizione per i

motivi esposti nel paragrafo 2.3.1.1.

Nelle seguenti figure sono riportati l confronto per le tre stazioni nel caso di σ = 10%:

Fig. 8

Fig. 9

0

1

2

3

4

0 300 600 900 1200 1500 1800 2100

nu

me

ro t

ren

i in

arr

ivo

tempo [sec]

RIMINI σσσσ = 10%

(CONFRONTO FRA I MODELLI)

S.R.

C.R.

0

1

2

3

4

0 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400

nu

me

ro t

ren

i in

arr

ivo

tempo [sec]

BARLETTA σσσσ = 10%

(CONFRONTO FRA I MODELLI)

S.R.

C.R.

18

Fig. 10

Dall’analisi dei dati riportati negli allegati 3, 4 e 5 si rileva che l’incremento del tempo tn è

compreso:

• fra il 34% di Termoli e il 48% di Barletta, nel caso di σ = 10%:

• fra il 28% di Barletta e il 48% di Barletta, nel caso di σ = 5%.

L’esame dei dati riportati nel suddetto allegato non permette di stabilire con certezza la relazione

funzionale che lega la variabile ∆tn , incremento del tempo tn , al numero n di binari e al numero

N di treni/giorno.

Si può solo dire che, nel caso di σ = 10%, ∆tn nel passare da n = 2 a n = 4 aumenta (anche in

maniera considerevole, per esempio nel caso di Termoli, dal 3% al 69%). Lo stesso invece non

può dirsi per σ = 5%, per il quale, a parte il caso di Termoli (incremento da 5% a 70%) si ha una

diminuzione dell’incremento del tempo tn .

2.3.2.3 Analisi degli intertempi fra gli arrivi di treni.

Si consideri la variabile aleatoria X che assume valori discreti: x0 = 0’, x1 = 1’, x2 = 2’, …,

rappresentati da ciascuna classe temporale di ampiezza unitaria.

Per ciascuno dei valori xi è possibile, dall’analisi dei dati di orario osservati nei tre casi in

esame, ricavare il valore di frequenza f(xi) ; si voglia trovare la funzione di probabilità P(x),

supposta continua per comodità di calcolo, che meglio approssima le frequenze f(xi) osservate.

0

1

2

3

4

0 600 1200 1800 2400 3000 3600 4200

nu

me

ro t

ren

i in

arr

ivo

tempo [sec]

TERMOLI σσσσ = 10%

(CONFRONTO FRA I MODELLI)

S.R.

C.R.

19

Noto dunque il vettore di elementi f(xi) si calcola il valor medio E(X) e la varianza Var(X) della

variabile aleatoria X e quindi, attraverso il test statistico del χ2, si può stabilire quale funzione di

probabilità descrive meglio il fenomeno aleatorio della successione di arrivi di treni in stazione,

approssima meglio l’andamento dei dati osservati (frequenze osservate confrontate con le

frequenze attese). Il test del χ2 è stato condotto con un livello di significatività del 95%.

Le funzioni di probabilità confrontate sono state:

• la funzione di probabilità “esponenziale”, legata al modello degli arrivi di Poisson8, la cui

espressione è:

p(x) = λe-λx (densità di probabilità)

con media:

E(x) = λ-1 e varianza:

Var(x) = λ-2

• la funzione di probabilità “gamma”, che rappresenta una generalizzazione della funzione

esponenziale, di espressione (per la densità di probabilità):

�� � � ! "#��# /%%"&�"� ; ��( ) �

�; ��( � �* dove &�"� � � �"��������� , con α >0;

La media è:

E(x) = αβ la varianza:

Var(x) = αβ2

• la funzione di probabilità “normale” la cui espressione è:

(densità di probabilità)

8 Precisamente, i valori degli intervalli fra due arrivi di treni consecutivi si distribuiscono secondo la distribuzione esponenziale (4).

2

2

)(2

))((

2)(

1)( xVar

xEx

exVar

xf−

−

=π

20

Essendo l’ampiezza delle classi temporali unitaria [intervallo unitario (ti – 30’’) ≤ ti ≤ (ti + 30’’)],

i valori delle frequenze attese di calcolano a partire dalle rispettive funzioni di densità di

probabilità; nel caso delle frequenze attese associate alla prima classe temporale, P(x0=0),

bisogna moltiplicare il valore trovato per due.

In allegato n. 3 è riportata la suddetta analisi nei casi esaminati; in essi l’insieme dei valori reali

della variabile aleatoria può essere ridotto di alcune unità, trascurando quei valori con frequenza

unitaria associati a “salti” di orario, cioè quando ti > 60’ o > 30’ (nel caso di stazioni con volumi

di traffico considerevoli). Ciò consente di avere un insieme di valori della variabile aleatoria più

omogeneo, fisicamente associato a una distribuzione più regolare di eventi (arrivi di treni).

Il calcolo sarà fatto considerando le classi temporali unitarie da x0 a x60; si trascurano dunque i

valori di frequenza f(xi) per i > 60’.

2.3.2.4 Interpolazione dei dati di traffico: Rimini.

La classe temporale maggiore con frequenza non nulla è x41 .

I parametri statistici dell’insieme completo delle frequenze osservate sono:

• media = 9,06 minuti;

• varianza = 54,04 minuti2;

I parametri statistici dell’insieme delle frequenze osservate fino a x60 invece:

• media = 10,02 minuti;

• varianza = 65,02 minuti2.

Il test χ2 con livello di significatività del 95% dà i seguenti risultati per le tre funzioni poste a

confronto:

Funzione di probabilità Gradi di libertà χχχχ22220,950,950,950,95

Esponenziale 1 56,34

Gamma9 2 48,36

Normale 2 2308,49

9 I valori dei coefficienti α e β , calcolati note la media E(x) e la varianza Var(x) e risolvendo il sistema lineare di due incognite in due equazioni, sono: α = 1,52 ; β = 5,96.

21

In fig. 11 è riportato l’andamento dei dati osservati (frequenza) e di quelli teorici, relativi alla

distribuzione esponenziale e alla distribuzione gamma, per le classi temporali unitarie da x0 a x60:

2.3.2.5 Interpolazione dei dati di traffico: Barletta.

Nel caso di Barletta, i valori non nulli della variabile aleatoria x sono tutti meno uno compresi

entro i 60’; gli ultimi due valori di frequenza osservata non nulli sono:

x59 = 1;

x217=1.

I parametri statistici dell’insieme completo delle frequenze osservate sono:

• media = 11,80 minuti;

• varianza = 412,99 minuti2;

I parametri statistici dell’insieme delle frequenze osservate fino a x60 invece:

• media = 10,02 minuti;

• varianza = 65,02 minuti2.

L’aver ristretto il campo di osservazione alla classe x60, cioè aver trascurato la discontinuità nella

distribuzione degli arrivi dovuta al “salto” di circa quattro ore, dalle 0:43 alle 4:20, ha ridotto

significativamente la varianza dell’insieme delle frequenze osservate, di quasi un ordine di

grandezza.

0

5

10

15

20

1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61

RIMINI

frequenza

osservata

gamma

esponenziale

22

Con questa ipotesi il test χ2 con livello di significatività del 95%, dà i seguenti risultati per le tre

funzioni poste a confronto:

Funzione di probabilità Gradi di libertà χχχχ22220,950,950,950,95

Esponenziale 1 58,57

Gamma10 2 42,44

Normale 2 51,34

2.3.2.6 Interpolazione dei dati di traffico: Termoli.

Nel caso di Termoli i valori non nulli della variabile aleatoria xi , quando i ≥ 60’ , sono tre, tutti

con frequenza osservata pari a uno:

x62 = 1;

x78=1;

x134=1;

I parametri statistici dell’insieme completo delle frequenze osservate sono:

• media = 21,49 minuti;

• varianza = 442,67 minuti2;

10 Nel caso di insieme delle frequenze osservate limitato all’ora, i valori dei coefficienti α e β , calcolati note la media E(x) e la varianza Var(x) e risolvendo il sistema lineare di due incognite in due equazioni, sono: α = 1,54 ; β = 6,49.

0

2

4

6

8

10

12

14

1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61

BARLETTAfrequenza

osservata

gamma

esponenziale

23

I parametri statistici dell’insieme delle frequenze osservate fino a x60 invece:

• media = 17,40 minuti;

• varianza = 181,60 minuti2.

L’aver ristretto il campo di osservazione all’ora ha ridotto la varianza di più della metà.

Con questa ipotesi il test χ2 con livello di significatività del 95%, dà i seguenti risultati per le tre

funzioni poste a confronto:

Funzione di probabilità Gradi di libertà χχχχ22220,950,950,950,95

Esponenziale 1 68,5

Gamma11 2 63,57

Normale 2 112,54

2.3.2.7 Conclusioni.

In tutti e tre i casi si ricava che sia la funzione esponenziale che la funzione gamma garantiscono

una buona approssimazione dei dati osservati.

Come vedremo al § 2.4, nell’applicazione della soluzione numerica simulativa verrà usata la

funzione esponenziale, in quanto di più facile applicazione poiché è sufficiente un solo

parametro statistico, la media, anziché due, media e varianza. 11 In questo caso i valori dei coefficienti α e β sono: α = 1,67 ; β = 10,44.

0

1

2

3

4

5

6

1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61

TERMOLI

frequenza

osservatagamma

esponenziale

24

2.4 La soluzione numerica iterativa (approccio statistico).

L’applicazione ripetuta della soluzione numerica semplice a un insieme di singole successioni

ordinate di arrivi (orari ferroviari) permette di ottenere una famiglia di CDR, in funzione della

legge degli arrivi e del tasso medio di arrivi (e quindi del volume di traffico giornaliero).

Si tratta evidentemente di un’elaborazione statistica di un insieme sufficientemente numeroso di

orari ferroviari.

Perché il metodo abbia significato, gli orari ferroviari elaborati devono essere “simili”, cioè

frutto della stessa legge di distribuzione degli intervalli fra arrivi.

Stabilita la legge di distribuzione degli intervalli fra gli arrivi, la determinazione delle CDR

dipenderà, oltre che ovviamente dal valore assegnato al parametro σ (che determina ciascuna

CDR appartenente ad una stessa “famiglia”), anche dal tasso medio di arrivi in stazione,

λ = Ν/24 , dove N è il volume giornaliero di treni.

Nel presente studio, per le ragioni addotte nel paragrafo precedente, la legge di distribuzione

utilizzata sarà quella esponenziale; ovviamente il metodo di calcolo può essere applicato ad altre

leggi di distribuzione, anche se l’eventuale necessità, per definire la legge stessa, di usare, oltre

alla media, anche la varianza, può comportare alcune complicazioni.

I valori della variabile λ (e quindi di N) sono stati scelti in modo da rappresentare la maggior

parte delle situazioni di traffico registrate nelle stazioni della nostra rete ferroviaria:

• λ = 2 treni/ora (corrispondente a circa 50 treni/giorno);

• λ = 4 treni/ora (corrispondente a circa 100 treni/giorno);

• λ = 6 treni/ora (corrispondente a circa 150 treni/giorno).

In funzione di ciascuno dei suddetti valori di λ si è provveduto a “generare” casualmente,

mediante la funzione random12, singole successioni di arrivi (orari ferroviari). Tale funzione

permette di ottenere una successione casuale di N numeri reali equiprobabili compresi fra 0 e 1,

yi.

Nella nostra applicazione ognuno dei suddetti numeri reali rappresenta il valore della

distribuzione di probabilità esponenziale:

12 Calcolata attraverso un comune foglio di calcolo elettronico diffuso in commercio.

25

+, � � - ��,

Da cui si ricava dunque il valore della variabile ti “istante di arrivo dell’i-esimo treno”:

.� � -ln�1 - 2��3

L’insieme dei tempi ti costituisce quanto cercato, cioè la successione degli arrivi sulle 24 ore

(orario ferroviario giornaliero).

Rimane da stabilire il numero minimo di iterazioni necessario per avere un risultato

statisticamente significativo; ciò costituisce un tipico problema di stima campionaria della

media.

Il suddetto numero minimo si ricava una volta che sia stabilito il valore dell’errore massimo

ammesso nella stima della media, che sarà funzione dell’m-esima iterazione (cioè dell’m-esimo

orario generato casualmente). Poiché non si conosce la varianza della popolazione si usa la

distribuzione di Student.

Detta quindi µ la media della popolazione, 45 la media stimata del campione di m elementi, sm la

deviazione standard del campione di m elementi13 e tα il coefficiente della distribuzione di

Student relativo all’intervallo di confidenza α, si può scrivere:

6 � 78 9 �" :√< (4)

La (4) rappresenta una stima della media con un campione di m elementi (cioè m CDR generate),

quando non sia nota la varianza della popolazione. Il termine .= >?√@ misura l’errore che si

commette all’m-esima iterazione.

Detto d l’errore massimo ammesso, stabilito a priori, per verificare se il numero m di iterazioni è

sufficiente, cioè se l’errore commesso nella stima della media, con un campione di m elementi, è

13 La varianza del campione di m elementi, o meglio la sua stima corretta, è: A@B � ∑�4� - 45�B �� - 1�C

26

minore di quello massimo accettato, bisogna verificare se, all’m-esima iterazione, risulta

soddisfatta la seguente disuguaglianza di quadrati14:

m

tsd m

222 α≥ (5)

La (5) esprime il fatto che il quadrato dell’errore commesso deve essere minore del quadrato

dell’errore accettato a priori; nel caso in cui la (5) non sia soddisfatta, il numero di iterazioni non

è sufficiente.

Il metodi di calcolo suddetto è dunque iterativo; di esso può essere data anche un’utile

rappresentazione grafica, riportata in figura 14, nella quale è rappresentato il valore di tn(n=2)

associato alle CDR che hanno λ =2; in essa la linea centrale (nera) rappresenta la stima della

media di tn, al variare dell’iterazione, mentre le altre linee rappresentano l’intervallo di errore

commesso all’m-esima iterazione (linea blu e fucsia) e l’intervallo di errore ammesso. Come si

può vedere, l’errore commesso diventa accettabile (all’interno dell’intervallo ±d) alla 20a

iterazione.

La convergenza del metodo iterativo è assicurata dal fatto che per D E ∞ il secondo membro

della (5) tende a 0.

Nelle figure seguenti sono riportate le CDR calcolate15 con l’approccio numerico iterativo,

rispettivamente per λ = 2, 4 e 6, con σ = 10 % e d = 8%; in questi casi è utile la rappresentazione

delle CDR come curve continue, in quanto di fatto l’approccio seguito approssima la soluzione

teorica espressa dalla (3).

Nelle tabelle sono indicati anche i valori di tn minimi e massimi, associati alle CDR generate.

Infine, nell’allegato n. 7 sono riportati:

• tutti gli orari generati casualmente;

• tutte le CDR generate, elaborata ciascuna secondo l’approccio numerico semplice e con

il metodo “con ripetizione”;

14 L’elevazione al quadrato dei termini esprimenti gli errori è un semplice artifizio che semplifica i calcoli, perché permette di lavorare con il termine m e con la varianza campionaria. 15 Con il metodo “con ripetizione”.

27

• i risultati del metodo di calcolo del numero di iterazioni necessarie, attraverso la (5), che

hanno permesso la costruzione delle CDR suddette.

PRIMO CASO: λ λ λ λ = 2 TRENI/ORA (N = 50 TRENI/GIORNO); σσσσ = 10%; d = 8 %:

Fig. 11

SOLUZIONE NUMERICA ITERATIVA:

N = 50 treni/giorno Numero di treni

in arrivo, n tn medio (secondi)

tn minimo (secondi)

tn massimo (secondi)

n. iterazioni necessarie

0 0 0 0 - 1 152 44 284 48 2 924 486 1341 20 3 1937 1200 2358 15 4 3003 2076 4146 11

0

1

2

3

4

0 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000 3300

nu

mer

o tr

eni i

n a

rriv

o

t [sec]

SOLUZIONE NUMERICA ITERATIVA N = 50 treni/giorno

28

SECONDO CASO: λ λ λ λ = 4 TRENI/ORA (N = 100 TRENI/GIORNO); σσσσ = 10%; d = 8 %:

Fig. 12

SOLUZIONE NUMERICA ITERATIVA: N = 100 treni/giorno

Numero di treni in arrivo, n

tn medio (secondi)

tn minimo (secondi)

tn massimo (secondi)

n. iterazioni necessarie

0 0 0 0 - 1 65 17 123 42 2 483 346 570 8 3 1059 833 1380 9 4 1622 1257 2460 15

0

1

2

3

4

0 300 600 900 1200 1500 1800

n

t [sec]

SOLUZIONE NUMERICA ITERATIVAN = 100 treni/giorno

29

TERZO CASO: λ λ λ λ = 6 TRENI/ORA (N = 150 TRENI/GIORNO); σσσσ = 10%; d = 8 %:

Fig. 13

SOLUZIONE NUMERICA ITERATIVA: N = 150 treni/giorno

Numero di treni in arrivo, n

tn medio (secondi)

tn minimo (secondi)

tn massimo (secondi)

n. iterazioni necessarie

0 0 0 0 - 1 35 12 62 26 2 341 313 361 3 3 651 600 735 4 4 1031 917 1122 4

2.4.1 Confronto con i risultati dei casi reali di studio (§ 2.3.2).

Il paragone fra le CDR tipo scaturite dall’approccio numerico iterativo e i risultati trovati nei casi

di studio reali delle stazioni di Rimini (159 treni/giorno), Barletta (122 treni/giorno) e Termoli

(69 treni/giorno) consente di affermare che, nonostante la diversa legge di distribuzione degli

intervalli fra gli arrivi, ci sia una sostanziale omogeneità di risultati.

0

1

2

3

4

0 300 600 900 1200

n

t [sec]

SOLUZIONE ITERATIVAN = 150 treni/giorno

30

Fig. 14

0

200

400

600

800

1000

1200

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

31

CAPITOLO TERZO:

ANALISI DEL TEMPO DI SOSTA

Per rendere applicabile il metodo di progetto e di verifica, in base a quanto detto nel precedente

capitolo e in particolare nel § 2.1, è necessario ricavare l’espressione del tempo di sosta in

stazione. Esso in generale sarà funzione di alcune variabili legate alla stazione, al treno e al tipo

di servizio ferroviario svolto, nonché all’interazione con gli altri treni in sosta o in movimento

all’interno della stazione (arrivi, partenze e transiti).

3.1 Espressione generale del tempo di sosta.

Il tempo di sosta medio per ciascun treno può essere scritto nei termini seguenti:

tsosta = . + R/N (6)

dove:

. rappresenta il tempo medio di occupazione ed è la somma del tempo medio di percorrenza

dell’itinerario di arrivo, tperc,arrivo, del tempo di servizio tservizio (tempo necessario per espletare

il servizio del treno in stazione) e infine del tempo di liberazione, tliberazione , necessario cioè a

liberare di coda il binario di stazionamento;

R/N rappresenta il ritardo medio dovuto all’interdizione di itinerari di arrivo e di partenza

incompatibili con il movimento del treno in questione; è la somma del tempo medio di

interdizione dei movimenti di ingresso tp,ingresso e del tempo medio di interdizione dei

movimenti di partenza, tp, uscita .

I termini che compongono il tempo medio .G dipendono dal tipo di stazione, dalla lunghezza del

treno e dal servizio svolto da questo.

3.1.1 Espressioni particolari dei singoli termini che compongono �G. 3.1.1.1 Il tempo di servizio.

Suddividendo i treni che hanno fermata in “categorie”, in base al servizio svolto nella stazione,

possiamo ipotizzare i seguenti valori del tempo di servizio:

a) treni viaggiatori a lunga percorrenza: tservizio = 2’;

b) treni viaggiatori regionali e metropolitani: tservizio = 1’;

32

c) treni merci (per soste tecniche sui binari di circolazione) tservizio = 10’.

3.1.1.2 Il tempo di percorrenza dell’itinerario di arrivo.

È una variabile che dipende in generale dalla lunghezza “rappresentativa” dell’itinerario di

arrivo, funzione a sua volta delle dimensioni della stazione (piccola, media e grande);

tperc,arrivo = H

IH dove:

- a, è la lunghezza dell’itinerario di arrivo “rappresentativo”, funzione delle dimensioni della

stazione;

- va è la velocità media di percorrenza dell’itinerario di arrivo rappresentativo.

3.1.1.3 Il tempo di liberazione.

Dipende dalla lunghezza del treno Li e dalla velocità, secondo le formule della cinematica del

moto vario.

La lunghezza del treno influenza in modo linearmente proporzionale il tempo impiegato a

percorrere un tratto di binari; può andare dal minimo di 25 metri (locomotiva isolata) al massimo

di 1000 metri (massima lunghezza ammessa, per treni merci, dalla normativa).

3.1.2 Calcolo del tempo medio �.

In base alle considerazioni fatte e tenendo presente che, nel caso dei treni che hanno fermata, la

velocità di percorrenza dell’itinerario di arrivo dei treni non dipende né dalle caratteristiche del

treno, né dalla velocità della linea, possiamo scrivere:

�G � HIH J ∑ KLMNOPQLRLS,LT� U J ∑ U,T� V,UIW,X (7)

dove i termini hanno il seguente significato:

- Ni numero dei treni appartenenti alla i-esima categoria; è N = ∑ Y�Z[ ;

- tservizio tempo di servizio caratteristico della i-esima categoria;

33

- L i lunghezza del treno della i-esima categoria;

- h numero delle categorie;

- a lunghezza media dell’itinerario di arrivo, funzione del tipo di stazione;

- atransito lunghezza dell’itinerario di transito sul corretto tracciato;

- va velocità media di percorrenza dell’itinerario di arrivo, funzione del tipo di

stazione

- vlib velocità media liberazione della coda del treno. Dipende dalla lunghezza del treno

(quindi dalla categoria del treno);

- vi,max velocità massima di percorrenza dell’itinerario di transito sul corretto tracciato,

funzione della linea e della categoria i-esima di treno;

3.1.3 Calcolo del ritardo medio R/N

Rimane da calcolare il secondo addendo della (6), cioè il ritardo medio.

In base a quanto sviluppato da Lorusso-Peresso-Malavasi (vedi Bibliografia) è possibile ricavare

il valore del rapporto R/T (dove R è il ritardo accumulato nel tempo totale T di osservazione)

ricavato in funzione del tipologia della stazione16 espressa dal parametro τ; come dimostrato da

Lorusso-Peresso-Malavasi il rapporto R/T non è definibile in relazione al numero n dei binari

della stazione stessa; è possibile invece ricavare un valore medio ΦS o un intervallo di valori

ΦS,min ÷ ΦS,max che dipende dalla sola tipologia di stazione (di transito, bivio, complessa),

espressa dal parametro S.

R/T = ΦS (8)

Dunque la (6) diventa:

�:\:�H � �G J ]^

_U � �G J `a _

U (9)

16 Nell’articolo in questione vengono individuate 12 tipologie di stazioni di transito, 15 tipologie di stazioni di diramazione e 16 tipologie di stazioni “complesse”.

34

3.1.3.1 Calcolo del coefficiente ΦΦΦΦS

Impianti di transito: S =A

Il termine ΦΑ è stato ricavato in base al citato lavoro di Lorusso-Peresso-Malavasi ,integrato con

altri 9 impianti di transito (allegato n. 8), tutti con coefficiente di utilizzazione di circa il 40%; si

ricava che ΦΑ è compreso fra 0,047128 e 0,111151.

Utilizzando la distribuzione di Student (con un intervallo di fiducia del 90%), la media del

campione di 23 elementi, posto un errore accettato pari al 10%, è

45 = 0,0777

Posto T = 24 ore = 1440’, si ha:

N ΦΦΦΦa _U

100 1,12’

150 0,75’

200 0,56’

250 0,45’

Esso decresce all’aumentare di N poiché il termine R/T non dipende da N ma solo dalla tipologia

di impianto; tale andamento si può spiegare fisicamente tenendo presente che aumentare N a

parità di B significa in ultima analisi aumentare il numero � di movimenti contemporanei

(dunque migliorare la performance dell’impianto) e ciò comporta una riduzione del ritardo per

singolo treno, R/N.

A) Impianti complessi, S = B:

ΦΒ è compreso fra 0,048775 e 0,193244; i 16 valori ricavati, ordinati in senso crescente, sono:

35

Considerando i 16 valori come elementi di un campione è possibile ricavare i seguenti parametri

statistici:

- media del campione 45= 0,110051 - varianza campionaria bcB = 0,001075

Utilizzando la distribuzione di Student (con un intervallo di fiducia del 95% e con ν = 11 gradi di

libertà) la media della popolazione è compresa fra:

µ � 45 9 .,Be J bf2√[[ = 0,110051± 0,000324

Posto T = 24 ore = 1440’, si ha:

N ΦΦΦΦa _U

100 1,55’

150 1,06’

200 0,79’

250 0,63’

3.2 Formule finali del tempo di sosta.

In base a quanto esposto siamo in grado di scrivere compiutamente l’espressione del tempo di

sosta medio di una stazione, relativo ai treni che in essa hanno fermata per servizio viaggiatori o

merci:

�:\:�H � HIH J ∑ KLMNOPQLRLS,LT� U J ∑ U,T� V,hUIW,X + ̀ a _

U (10)

36

CAPITOLO QUARTO:

CONFRONTO FRA I RISULTATI DELLA TEORIA DELLE FILE D ’ATTESA E QUELLI DELLA TEORIA DELLE CURVE DI RIEMPIMENTO

Per poter confrontare i risultati desunti dalla teoria delle file d’attesa con quelli della teoria delle

CDR si deve ricavare l’espressione del ritardo associata ad una CDR; a tal fine, facciamo

l’ipotesi che il parametro σ rappresenti la quota parte di treni che subiscono ritardo (in quanto

non rispettano l’orario programmato), anziché la probabilità che n treni arrivino in un intervallo

di tempo inferiore a tn [cfr. formula (1)].

Tenendo presente che un treno in arrivo in una stazione attende in media un tempo pari a tsosta/2,

e che tale attesa è direttamente proporzionale a σ , nel significato suddetto, e inversamente

proporzionale a b, numero dei binari della stazione, possiamo scrivere che:

• ritardo medio totale:

ijkl � �mnmopqrBs (11)

• ritardo medio per treno:

tjkl � �mnmoprBs (12)

4.1 Confronto fra i due metodi.

Il modello stocastico di formazione della coda che andremo a studiare è il “processo di nascita e

morte a tempo continuo”, caso particolare del processo di Markov. In esso gli intertempi fra le

“nascite” e le “morti” di elementi nel sistema sono distribuiti secondo la funzione esponenziale.

Posto b il numero di binari della stazione, il fenomeno di attesa è, usando la notazione di

Kendall, del tipo M/M/b, dove M esprime un fenomeno stocastico poissoniano, cioè

caratterizzato da intertempi esponenziali.

Il confronto fra i due metodi, basato sul ritardo dei treni in attesa di entrare in stazione e svolgere

il proprio servizio, può essere espresso dalla relazione:

ρ � 3 �vw � (13)

37

che esprime l’uguaglianza matematica fra il fattore di utilizzazione della stazione, tipico della

teoria delle code e il parametro σ tipico invece della teoria delle CDR, nel significato che

quest’ultimo assume come quota parte di treni che subiscono ritardo; entrambi i termini hanno

infatti, nelle due teorie, un significato fisico analogo.

Il fattore di utilizzazione ρ è pari al rapporto fra il tasso medio degli arrivi di treni in stazione

per binario λ/b, provenienti da tutte le linee ad essa afferenti, e il tasso medio di servizio del

singolo binario, µ. Alla base del modello c’è l’ipotesi semplificativa che l’accesso ai diversi

binari della stazione è assolutamente indifferenziato per ciascuno dei treni della fila, e quindi non

ci sono interferenze reciproche fra i treni che dipendano dal binario di servizio.

Prendiamo a riferimento il modello di attesa M/M/b, e, trascurando il caso di b = 1, perché poco

significativo, scriviamo le formule che esprimono, rispettivamente la probabilità di avere n treni

nel sistema (coda più stazione) pn, la lunghezza media della coda, Lq , e infine il tempo medio

di attesa in coda, Wq.

Posta

)1(!

)(

!

)(

11

0

0

ρρρ−

+=

∑−

= b

b

k

bp

bb

k

k la probabilità che non ci siano treni nel sistema, si ha:

!)( 0

n

pbp n

n ρ= per n < b

!)( 0

bb

pbp

bnn

n −= ρ per n ≥ b

2

1

0 )1(!

)(

ρρ

−=

+

bb

bpL

b

q

20 )1(!

)(

ρµρ

−=

bb

bpW

b

q (14)

Fissati dunque λ, σ e b, si è in grado di calcolare sia il ritardo medio, per treno, nella teoria delle curve di riempimento, dato dalla (12), che il ritardo medio nella teoria delle code, Wq, dato dalla (13).

38

In pratica il confronto si attua solo dopo aver progettato (o verificato) una stazione con la teoria delle CDR; è stato cioè già determinato il numero di binari b in funzione del parametro σ. A

questo punto, essendo noto ovviamente anche il flusso di treni in arrivo, λ, è possibile operare un confronto fra i ritardi medi per treno calcolati sulla base delle due teorie. A titolo di esempio, nelle tabelle seguenti sono riportati, per le tre stazioni studiate (Rimini, Barletta e Termoli), supponendo due binari per ciascuna stazione, i risultati del confronto, con σ

= 10%, e σ = 5%:

RIMINI (159 treni/giorno)

Tasso medio degli arrivi, λ

ρ = σ r CDR

(min) Wq

(min)

10% 0,045 0,018

5% 0,011 0,002

BARLETTA (122 treni/giorno)

Tasso medio degli arrivi, λ

ρ = σ r CDR

(min) Wq

(min)

10% 0,060 0,024

5% 0,015 0,003

TERMOLI (67 treni/giorno)

Tasso medio degli arrivi, λ

ρ = σ r CDR

(min) Wq

(min)

10% 0,103 0,041

5% 0,026 0,001

Nei casi in esame, come si vede, a parità di altre condizioni, la teoria delle curve di riempimento fornisce valori di ritardo maggiori, per σ = 10% di un fattore pari a circa 2,5; per σ = 5% di un fattore circa 5.

Il legame funzionale fra rCDR e Wq può essere generalizzato. Sulla base delle formule (12) e (13) infatti possiamo scrivere:

ρσ ==sosta

CDR

t

br2 (15)

Ora, poiché per definizione µ = (tsosta)

-1, si ha:

39

µρ CDRbr2= (16)

Sostituendo la (16) nella (14) si ha:

2

2

0 )21(!

)2(

µµµCDR

bCDR

q brbb

rbpW

−= (17)

Che esprime la relazione funzionale cercata.

40

CAPITOLO QUINTO:

CONCLUSIONI Lo studio ha evidenziato la possibilità di rappresentare il fenomeno dell’esercizio ferroviario di una stazione mediante distribuzioni teoriche delle leggi degli arrivi e poche altre variabili, attraverso l’uso di curve di riempimento generalizzate. La complessità della singola stazione è presente nel calcolo del tempo di sosta, e in particolare del fattore di interdizione Φ.

Tale risultato consente di applicare metodi analitici per lo studio della capacità di sosta nelle stazioni ferroviarie. Il numero di binari di sosta costituisce infatti un parametro progettuale che ha effetti non trascurabili sui costi di progettazione e di gestione.

Il confronto fra i metodi delle curve di riempimento e della code, basati sulle distribuzioni teoriche della legge degli arrivi e delle partenze contribuisce infine alla ricerca di metodologie sintetiche e affidabili per la soluzione di problemi progettuali e di verifica, e sarà oggetto di ulteriori ricerche teoriche e sperimentali.

41

BIBLIOGRAFIA

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all’Università di Roma La Sapienza;

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42

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di circolazione degli impianti ferroviari, IF giugno 2009.

43

ALLEGATI