Dip
artim
ento
di I
ngeg
neria
- C
orso
di I
ngeg
neria
Civ
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Pro
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truttu
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A/A
201
4-20
15 –
Doc
ente
Ing.
Mar
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ura
Mal
ena
Progetto di StruttureFacoltà di Ingegneria
Corso di Laurea in Ingegneria CivileA/A 2014-2015
Analisi di pilastri in C. A. allo SLU
Dipartimento di Ingegneria - Corso di Ingegneria Civile – Progetto di Strutture - A/A 2014-2015 – Docente Ing. Marialaura Malena
Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaDefinizione del Problema
N
ec
Si consideri una sezione rettangolare in c.a. con doppia armatura soggetta a pressione applicata al centro di pressione c con eccentricità e. Ragioni di equivalenza statica permettono di considerare la sollecitazione come composta da una forza applicata al baricentro della sezione e un momento flettente pari a M=Ne.Si vuole effettuare la verifica di resistenza allo stato limite ultimo, valutando quindi lo sforzo Normale e il Momento ultimo che la sezione è capace di esplicare nel rispetto delle condizioni di equilibrio e di congruenza della sezione.
IL CALCOLO DI PILASTRI IN C.A. ALLO SLU
Introduzione
Dipartimento di Ingegneria - Corso di Ingegneria Civile – Progetto di Strutture - A/A 2014-2015 – Docente Ing. Marialaura Malena
Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaDefinizione del Problema
Naturalmente esistono infinite coppie N,M che rispettano tali condizioni. Resta dunque individuata una regione detta dominio di resistenza al di fuori del quale il limite ultimo della sezione viene superato.
La verifica consiste dunque nel verificare che
Mu(Nd) Md
controllando che Nd non superi il valore massimo esplicabile dalla sezione.
Esempio di dominio di Resistenza
Mu
Nd
IL CALCOLO DI PILASTRI IN C.A. ALLO SLU
Introduzione
Dipartimento di Ingegneria - Corso di Ingegneria Civile – Progetto di Strutture - A/A 2014-2015 – Docente Ing. Marialaura Malena
Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaIpotesi di lavoro (generali)
1. Le sezioni si conservano piane (legge lineare delle deformazioni)
2. Il calcestruzzo teso non è reagente
3. Non vi è scorrimento relativo tra acciaio e cls (perfetta aderenza)
IL CALCOLO DI PILASTRI IN C.A. ALLO SLU
Pressoflessione retta
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Legge costitutiva del Cls (tensione-deformazione)
Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaIpotesi di lavoro (allo stato limite ultimo)
IL CALCOLO DI PILASTRI IN C.A. ALLO SLU
Pressoflessione retta
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Legge costitutiva dell’acciaio
Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaIpotesi di lavoro (allo stato limite ultimo)
IL CALCOLO DI PILASTRI IN C.A. ALLO SLU
Pressoflessione retta
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Leggi costitutive del Cls e dell’AcciaioNTC08
Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaIpotesi di lavoro (Stato limite ultimo)
fyd/Es10%°
151.f
f ykyd
Legge costitutiva dell’acciaio Legge costitutiva del CLS
2%° 3.5%°
51850850
.f.f. ck
cd
Tratto parabolico
IL CALCOLO DI PILASTRI IN C.A. ALLO SLU
Pressoflessione retta
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Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaIpotesi di lavoro (Stato limite ultimo)CLASSI DI RESISTENZA DEL CALCESTRUZZO
IL CALCOLO DI PILASTRI IN C.A. ALLO SLU
Pressoflessione retta
11.2.10 caratteristiche del calcestruzzo
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Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaCampi di rottura
(0,0’) piccola eccentricità (Compressione)(1) sez. fortemente armata(2) Sez. normalmente armata(3) Sez. debolmente armata(4) Grande eccentricità (Trazione)
s
ydsy
c
su
cu
Ef
000
1
000
000
210
5.3
(4)(3)
(2)
su sy
cu
c1
3/7 h
h
b
(1)(0)
Campi di Rottura
d’
(0’)
As’
As
IL CALCOLO DI PILASTRI IN C.A. ALLO SLU
Pressoflessione retta
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Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaDeterminazione del campo di rottura
Il campo di rottura associato ad una determinata sezione dipende oltre che dalla quantità di armatura (come succede nella flessione semplice) anche dall’entità dello sforzo normale N. All’aumentare di N si passa da sezioni duttili a sezioni fragili fino a schiacciamento per compressione uniforme, che per sezioni simmetriche corrisponde al caso di pressione centrata.Come per il caso di flessione è utile poter determinare a priori il campo di rottura associato ad una determinata armatura e sforzo normale. A tale scopo è sufficiente determinare il valore di N che corrisponde alle linee di separazione tra i diversi campi di rottura. Sarà poi sufficiente confrontare il valore di calcolo Nd con i vari N prima calcolati per individuare in quale intervallo ci si colloca.
IL CALCOLO DI PILASTRI IN C.A. ALLO SLU
Pressoflessione retta
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Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaDeterminazione del campo di rottura compressione centrata
Nel caso di compressione centrata l’equilibrio alla traslazione della sezione conduce alla seguente equazione:
ydsscdmax f)'AA(bhf8.0N
C
C’
C’’
Il coefficiente 0.8 nella componente associata al cls dipende dal fatto che la normativa impone nel caso di compressione centrata che il coefficiente c venga aumentato del 25%.
)'()1(8.0bdfNn ss
cd
maxmax
dd '
fcd C C’+C’’
IL CALCOLO DI PILASTRI IN C.A. ALLO SLU
Pressoflessione retta
cd
ss
cd
ss bdf
Abdf
A '
'
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Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaDeterminazione del campo di rottura
C
C’
C’’
sezione interamente compressa
Nel passaggio tra campo 0 e campo 0’ la sezione risulta ancora interamente compressa con l’asse neutro passante per il lembo inferiore della sezione.
ydssscd fAAbhfN '81.00
La deformazione dell’acciaio inferiore è immediatamente ricavabile da semplici considerazioni geometriche
1cus
'1
)1(81.00 susn
In termini adimensionalizzati si ha:
cu fcd
a.n.
sy
cuu
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Pressoflessione retta
dd '
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Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaDeterminazione del campo di rottura
C’
retta di separazione campo 0’ e campo 1
Nel passaggio tra campo 0’ e campo 1 la sezione risulta parzializzata con l’asse neutro che taglia la sezione in corrispondenza dell’armatura inferiore.
ydscd fAbdfN '81.0'0
'81.0'0 sn
In termini adimensionalizzati si ottiene la semplice espressione:
cu
Ca.n.
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Pressoflessione retta
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Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaDeterminazione del campo di rottura
C
C’
retta di separazione campo 1 e campo 2
Nel passaggio tra campo 1 e campo 2 la sezione risulta parzializzata con l’asse neutro che taglia la sezione ad una distanza yc dal lembo superiore. L’acciaio inferiore risulta essere teso e snervato.
ydsydscdc fAfAfbyN '81.01
dysycu
cuc
L’asse neutro yc si trova con semplici proporzioni geometriche
cu
yc
y
T
'81.01 sssycu
cun
a.n.
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Pressoflessione retta
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Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaDeterminazione del campo di rottura
CC’
retta di separazione campo 2 e campo 3
Passaggio tra campo 2 e campo 3: la fibra più esterna del cls e l’acciaio teso hanno raggiunto la deformazione massima. L’acciaio inferiore è snervato.
ydsssscdc fAAfbyN )'('81.02
dKddysucu
cuc 259.0
cu
yc
su
T''207.02 s
yd
ss f
n
L’acciaio compresso risulta in genere snervato per travi con h>30 cm
)857.31(0035.0'
cus KK
a.n.
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Pressoflessione retta
dd '
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Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaDeterminazione del campo di rottura
T’
Grande eccentricità : retta di separazione campo 3 e campo 4
Nel passaggio tra campo 3 e campo 4 la sezione risulta essere completamente tesa. La resistenza è affidata alle sole armature.
ydssss fAAN )'('3
su TL’acciaio superiore risulta in genere non snervato per travi con h>20 cmsusus d
d ''
a.n.
ssln '3sy
sul
IL CALCOLO DI PILASTRI IN C.A. ALLO SLU
Pressoflessione retta
ssyds
ssss
yd
s
EE
fn
''''3
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Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaDeterminazione del campo di rottura
e0e2
N0N1
e1
N2Nmax
Noti gli sforzi normali corrispondenti alle linee di separazione tra i diversi campi di rottura, questi ultimi possono essere facilmente individuati e visualizzati sul diagramma di interazione M-N
Campo 0’-0
Campo 1Campo 2
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Pressoflessione retta
N’0
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Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaDeterminazione del Momento Ultimo
Per la determinazione del Momento Ultimo della sezione considerata occorre seguire in sequenza i seguenti due passi:
1. Determinazione della posizione dell’asse neutro
2. Determinazione del valore del Momento Ultimo
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Pressoflessione retta
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Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaDeterminazione del Momento Ultimocompressione eccentrica (n0 < n < nmax)
)(' sssydsd AfACN
Determinazione asse neutro
La posizione dell’asse neutro yc si determina a partire dall’equazione di equilibrio alla traslazione della sezione. L’acciaio inferiore risulta generalmente non snervato per cui:
C
C’
C’’
2%°
fcd
a.n.
cu
yc
0
)(0
yy
hyccd
c
c
dybfbyC
2)3'7(21
641K
fbhC cd 01 yy
yc
c
y0=3/7 h
K’=yc/h
d c1
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Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaDeterminazione del Momento Ultimo
Piccola eccentricità : compressione eccentrica (n0 < n < nmax)
Determinazione asse neutro
C
C’
C’’
2%°
fcd
a.n.
c
yc
11
01
0 7/3'/'
/'/'
cccc
cs K
hdKhyKhdK
yydy
y0=3/7 h
c1
)(' sssydsud AfACNN
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Pressoflessione retta
K’=yc/h
))'((')'( kAfAkCNN sssydsud
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Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaDeterminazione del Momento Ultimocompressione eccentrica (n0 < n < nmax)
Determinazione Momento Ultimo
L’equazione di equilibrio alla rotazione attorno al baricentro geometrico della sezione ci fornisce il Momento Ultimo della sezione
C
C’
C’’
2%°
fcd
a.n.
c
yc
0
)(222
)('2
' 00
yy
hyccdsssyds
c
c
ydybyhfbydhAdhfAM
22
3'7147160
KfbhM cdc
IL CALCOLO DI PILASTRI IN C.A. ALLO SLU
Pressoflessione retta
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Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaDeterminazione del Momento UltimoCollasso nel campo 1 (n1 < n < n’0)
Determinazione Asse neutro
C
C’
T
fcd
a.n.
cu
yc
s< sy
La posizione dell’asse neutro yc si determina a partire dall’equazione dei equilibrio alla traslazione della sezione. L’acciaio inferiore risulta per definizione non snervato. L’equilibrio alla traslazione si scrive come segue:
)('81.0 sssydscdcd AfAfbyN
dyK
KKE
yydE c
cusc
ccusss
;1)(
Sostituendo la precedente nella equazione di equilibrio alla traslazione si ha:
0)'(81.0 2 usduss nKK
Equazione algebrica di 2° grado
sy
cuu
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Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaDeterminazione del Momento UltimoCollasso nel campo 1 (n1 < n < n0)
Determinazione Momento Ultimo
'd
2h)(A'd
2hf'Ay416.0
2hfby81.0M sssydsccdcu
L’equazione di equilibrio alla rotazione attorno al baricentro geometrico della sezione ci fornisce il Momento Ultimo della sezione.
KK
cus
1
C
C’
T
fcd
a.n.
cu
yc
s< sy
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Pressoflessione retta
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Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaDeterminazione del Momento UltimoCollasso nel campo 2 (n2 < n < n1)
Determinazione Asse neutro
CC’
T
fcd
a.n.
cu
yc
s> sy
La posizione dell’asse neutro yc si determina a partire dall’equazione dei equilibrio alla traslazione della sezione. L’acciaio inferiore risulta certamente snervato e quindi nell’ipotesi che anche l’acciaio compresso sia snervato l’equilibrio alla traslazione si scrive :
ydsydscdcd fAfAfbyN '81.081.0
'ssdnK
HP: acciaio compresso snervato
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Pressoflessione retta
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Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaDeterminazione del Momento UltimoCollasso nel campo 2 (n2 < n < n1)
Determinazione Asse neutro
CC’
T
fcd
a.n.
cu
yc
s> sy
2%°
Nel caso l’ipotesi di armatura compressa snervata non sia verificata occorre esprimere l’equazione alla traslazione in funzione di K ottenendo l’equazione di secondo grado con incognita la stessa K
0')'(81.0 2 usussdnKK
Equazione per la determinazione dell’asse Neutro nel caso che l’armatura compressa non risulti snervata
IL CALCOLO DI PILASTRI IN C.A. ALLO SLU
Pressoflessione retta
)'(''81.0 sssydscdcd AfAfbyN
KK
cus1'
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Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaDeterminazione del Momento UltimoGrande eccentricità : Collasso nel campo 2 (n2 < n < n1)
CC’
T
fcd
a.n.
cu
yc
s> sy
Determinazione Momento Ultimo
L’equazione di equilibrio alla rotazione attorno al baricentro geometrico della sezione ci fornisce il Momento Ultimo della sezione.
'
2'
2)'('416.0
281.0 dhfAdhAyhfbyM ydssssccdcu
KK
cus1'
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Pressoflessione retta
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Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaDeterminazione del Momento UltimoGrande eccentricità : Collasso nel campo 3 (n3 < n < n2)
Determinazione Asse neutro
CC’
T
fcd
a.n.
c<cu
yc
s= sl
Equazione per la determinazione dell’asseNeutro nel caso che l’armatura compressarisulti snervata
La posizione dell’asse neutro yc si determina a partire dall’equazione dei equilibrio alla traslazione della sezione. L’acciaio inferiore risulta certamente snervato e quindi nell’ipotesi che anche l’acciaio compresso sia snervato l’equilibrio alla traslazione si scrive :
81.0'ssdn
K
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Pressoflessione retta
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Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaDeterminazione del Momento Ultimo
Determinazione Asse neutro
Nel caso l’ipotesi di armatura compressa snervata non sia verificata occorre esprimere l’equazione alla traslazione in funzione di K ottenendo l’equazione di secondo grado con incognita la stessa K
0')'81.0(81.0 2 dslslssd nnKK
CC’
T
fcd
a.n.
c<cu
yc
s= su
Equazione per la determinazione dell’asse neutro nel caso che l’armatura compressa risulti non snervata
Grande eccentricità : Collasso nel campo 3 (n3 < n < n2)
sy
su
1
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Pressoflessione retta
K1K' sus
)'(''81.0 sssydscdcd AfAfbyN
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Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaDeterminazione del Momento Ultimo
Determinazione Momento Ultimo
'd
2hfA'd
2h)'('Ay416.0
2hfby81.0M ydssssccdcu
L’equazione di equilibrio alla rotazione attorno al baricentro geometrico della sezione ci fornisce il Momento Ultimo della sezione.
CC’
T
fcd
a.n.
c<cu
yc
s= su
Grande eccentricità : Collasso nel campo 3 (n3 < n < n2)
K1K' sus
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Pressoflessione retta