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QUESITI

PROBABILITÀ

1. (Da Medicina e Odontoiatria 2015)La probabilità con cui un paziente deve attendere meno di dieci minuti il proprio turno in un ambulatorio medico è 0,8.Qual è la probabilità che una paziente che si reca due volte presso l’ambulatorio medico attenda, almeno una delle due volte, meno di dieci minuti prima di essere ricevuta dal medico? a) 0,04 b) 0,8 c) 0,25 d) 0,64 e) 0,96

2. (Da Medicina e Odontoiatria 2013)Alan lancia contemporaneamente due dadi non truccati con le facce numerate da 1 a 6. Qual è la probabilità che esca lo stesso numero su entrambi i dadi? a) 1/2 b) 1/3 c) 1/6 d) 1/18 e) 1/36

3. (Da Medicina e Odontoiatria 2012)Tirando contemporaneamente cinque dadi con facce numerate da 1 a 6, qual è la probabilità di ottenere cinque numeri pari? a) 1/6 b) 1/10 c) 1/25 d) 1/32 e) (1/6)5

4. (Da Odontoiatria 2008)Si ha un’urna contenente 8 palline bianche. Qual è il numero minimo di palline rosse che bisognerebbe aggiungere perché, estraendo due palline contemporaneamente, la probabilità che esse siano una bianca e una rossa sia 16/45? a) 2 b) 3 c) 5 d) 8 e) 10

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5. (Da Veterinaria 2008)Se si lancia un dado 5 volte con quale probabilità il “2” esce esattamente 3 volte? a) b)c) d) e)

6. (Da Veterinaria 2006)La probabilità che lanciando contemporaneamente 3 dadi escano un 2 e due 3 è:a) 1/18 b) 1/27 c) 1/54 d) 1/72 e) 1/216

7. (Da Medicina 2003)Da un mazzo di 40 carte (10 cuori, 10 quadri, 10 fiori, 10 picche) se ne estraggono tre; qual è la probabilità che siano tutte e tre di fiori, supponendo di non rimettere la carta estratta nel mazzo? a) 7/10 b) 3/247 c) 11/247 d) 9/800 e) 25/1482

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STATISTICA

1. (Da Medicina e Odontoiatria 2015)Un gruppo di 10 ciclisti è composto da 6 uomini e 4 donne. I 10 ciclisti pesano in media 74 kg. Il peso medio dei 6 uomini è 82 kg. Quanto pesano in media le 4 donne? a) 62 kg b) 63 kg c) 64,5 kg d) 66 kg e) 72 kg

2. (Da Veterinaria 2015)Nelle prime 10 partite del campionato una squadra ha segnato il seguente numero di reti: 0 0 1 1 2 2 2 3 5 6Qual è la somma di media, mediana e moda delle reti segnate nelle dieci partite? a) 6,0 b) 6,2 c) 6,5 d) 6,7 e) 7,7

3. (Da Medicina 2009)Uno studente ha avuto 5 e mezzo ai primi due compiti. Quale voto dovrà raggiungere al terzo compito per ottenere la media del 6?a) 5 e mezzo b) 6 c) 6 e mezzo d) 7 e) Non ce la può fare

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CALCOLO COMBINATORIO

1. (Da Medicina e Odontoiatria 2011)Determinare quante sono le parole di 7 lettere (anche senza senso) che si possono scrivere utilizzando solo le 4 lettere A, C, G, T (si intende che non bisogna necessariamente utilizzare tutte le 4 lettere, per cui per esempio anche la parola AGGTATA va bene). a) 7·4 b) 7·6·5·4 c) (7·6·5·4)/(4·3·2)d) 74 e) 47

2. (Da Medicina 2009)Tredici persone si stringono la mano. Ciascuna stringe la mano a tutte le altre. Quante sono le strette di mano in totale? a) 13 b) 26 c) 78 d) 156 e) 169

3. (Da Veterinaria 2008)Quanti sono i numeri di tre cifre (non necessariamente distinte) che si possono scrivere con le cifre 2, 3 e 5? a) 6 b) 9 c) 12 d) 15 e) 27

4. (Da Veterinaria 2006)Quanti sono i numeri naturali formati da tre cifre significative distinte? a) 120 b) 504 c) 648 d) 630 e) 720

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SOLUZIONIPROBABILITÀ

1. e)“Aspettare meno di 10 minuti” e “aspettare più di 10 minuti” sono due eventi opposti, cioè se si verifica uno, non si verifica l’altro e viceversa.Allora, le probabilità dei due eventi sono, rispettivamente:Vogliamo calcolare la probabilità che una paziente che si reca due volte presso l’ambulatorio medico attenda, almeno una delle due volte, meno di dieci minuti prima di essere ricevuta dal medico.“Almeno una delle due volte” significa che la paziente potrà aspettare meno di dieci minuti solo una volta, oppure entrambe.Ci sono, quindi, tre possibilità: a) • La paziente attende la prima volta meno di dieci minuti, la seconda volta più di dieci minuti b) • La paziente attende la prima volta più di dieci minuti, la seconda volta meno di dieci minuti c) • La paziente attende entrambe le volte meno di dieci minuti Per il teorema delle probabilità totali, la probabilità che cerchiamo sarà la somma delle probabilità di ciascuno dei tre scenari a) , b) e c):Calcoliamo le probabilità di ognuno dei tre casi, singolarmente. a) • Poiché i tempi di attesa delle due visite sono indipendenti l’uno dall’altro (cioè, il tempo di attesa alla prima visita non influenza il tempo di attesa alla seconda visita, e viceversa), la probabilità complessiva del caso a) è data dal prodotto delle probabilità di ogni visita: b) • Analogamente, la probabilità del caso b) è:

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c) • La probabilità del caso c) è:Allora, la probabilità totale che la paziente attenda almeno una volta meno di dieci minuti è:

2. c)Vogliamo che, lanciando due dadi, su entrambi esca lo stesso numero.Tutti i casi possibili sono:

Calcoliamo la probabilità di ciascun caso. a) • Le facce dei dadi sono numerate da 1 a 6. La probabilità che esca il numero 1 sul primo dado è: Analogamente, la probabilità che esca il numero 1 sul secondo dado è:

1° DADO 2° DADO

a) 1 1

b) 2 2

c) 3 3

d) 4 4

e) 5 5

f) 6 6

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Poiché l’uscita del primo dado è indipendente dall’uscita del secondo dado, e viceversa, la probabilità composta che dal lancio dei due dadi esca la coppia (1 , 1) è data dal prodotto delle probabilità dei singoli lanci:Le probabilità degli altri cinque casi si calcolano nello stesso modo e risultano tutte pari a 1/36.Allora, per il teorema delle probabilità totali, la probabilità totale che lanciando due dadi si ottenga lo stesso numero su entrambe le facce sarà la somma delle probabilità di ciascuno dei sei casi possibili:

3. d)Le facce di ciascun dado sono numerate da 1 a 6.Allora, su sei numeri possibili, ce ne sono tre pari (il 2, il 4 e il 6).Di conseguenza, la probabilità che, lanciando un dado, esca un numero pari è:Tale probabilità ha lo stesso valore per ciascuno dei cinque dadi.Poiché le uscite dei cinque dadi sono indipendenti l’una dall’altra, la probabilità che escano contemporaneamente cinque numeri pari sarà data dal prodotto delle probabilità che esca un numero pari su ogni singolo dado. Si ottiene:

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4. a)Ci sono due scenari possibili: A) • viene estratta prima una pallina bianca e poi una pallina rossa B) • viene estratta prima una pallina rossa e poi una pallina bianca Abbiamo 8 palline bianche. Indichiamo con x il numero di palline rosse.Allora, in totale, ci sono 8 + x palline.Nello scenario A), la probabilità che venga estratta inizialmente una pallina bianca è:Alla seconda estrazione, l’urna conterrà una pallina in meno, quindi 8 + x - 1 = 7 + x palline.La probabilità di estrarre una pallina rossa è:Poiché gli esiti delle due estrazioni sono indipendenti l’uno dall’altro, la probabilità complessiva dello scenario A) è data dal prodotto delle probabilità delle singole estrazioni:Analogamente, per lo scenario B) la probabilità di estrarre inizialmente una pallina rossa è:La probabilità di estrarre successivamente una pallina bianca è:Allora, la probabilità complessiva dello scenario B) è data da:Osserviamo che i due scenari hanno la stessa probabilità.

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Per il teorema delle probabilità totali, la probabilità totale di estrarre una pallina rossa e una pallina bianca contemporaneamente sarà la somma delle probabilità di ciascuno dei due scenari possibili:Secondo quanto richiesto dall’esercizio, PTOT deve essere pari a 16/45. Allora:

Utilizzando la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, si ottengono due possibili valori di x:Poiché siamo interessati al numero minimo di palline rosse da aggiungere all’urna, la soluzione cercata è:N.B.: Per evitare conti, una volta scritta l’equazione:è possibile trovare la soluzione utilizzando il metodo della verifica.Tra le cinque opzioni, infatti, il valore 2 è l’unico che fornisce un’uguaglianza verificata.

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5. d)Indichiamo con il simbolo ✔ l’evento “esce il numero 2” e con il simbolo ✘ l’evento “esce un numero diverso da 2”.Lanciando un dado, la probabilità che esca il numero 2 è:e la probabilità che esca un numero diverso da 2 (uno qualunque tra 1, 3, 4, 5, 6) è:Vogliamo che, lanciando un dado per cinque volte, esca tre volte il numero 2.Tutti gli scenari possibili sono:

Calcoliamo la probabilità di ogni scenario.A) • Le uscite di ciascun lancio sono indipendenti l’una dall’altra. Allora, la probabilità dello scenario complessivo è data dal prodotto delle probabilità dei singoli lanci:Le probabilità degli altri nove casi si calcolano nello stesso modo e risultano tutte pari a 52/65.

1° LANCIO 2° LANCIO 3° LANCIO 4° LANCIO 5° LANCIO

A) ✔ ✔ ✔ ✘ ✘

B) ✘ ✔ ✔ ✔ ✘

C) ✘ ✘ ✔ ✔ ✔

D) ✔ ✔ ✘ ✔ ✘

E) ✔ ✔ ✘ ✘ ✔

F) ✔ ✘ ✔ ✘ ✔

G) ✔ ✘ ✘ ✔ ✔

H) ✔ ✘ ✔ ✔ ✘

I) ✘ ✔ ✘ ✔ ✔

L) ✘ ✔ ✔ ✘ ✔

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✔

✘

✔ ✔✔ ✘ ✘

Allora, per il teorema delle probabilità totali, la probabilità totale che, lanciando un dado per cinque volte, esca tre volte il numero 2 sarà la somma delle probabilità di ciascuno dei dieci casi possibili:N.B.: Invece di elencarli nella tabella, avremmo potuto determinare il numero di tutti gli scenari possibili utilizzando il calcolo combinatorio.Infatti, nell’esercizio proposto dobbiamo creare sequenze di cinque elementi che differiscono per l’ordine e in cui ci sono ripetizioni.Allora, il numero di tutte le sequenze possibili è dato dalle permutazioni con ripetizione.Nella sequenza devono comparire tre successi (✔ ✔ ✔) e due insuccessi (✘ ✘).Allora il numero di sequenze formate da cinque elementi (n=5) in cui l'elemento ✔ si ripete tre volte (k=3) e l’elemento ✘ si ripete due volte(h=2) è dato da:dove abbiamo usato la formula per le permutazioni in cui più di un elemento si ripete nella sequenza.A questo punto, come nello svolgimento precedente, si calcola la probabilità di un singolo scenario (pari a 52/65) e la si moltiplica per 10 per ottenere la probabilità totale.

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6. d)Vogliamo che, lanciando contemporaneamente tre dadi, escano un 2 e due 3.Gli esiti possibili sono:

Calcoliamo la probabilità di ciascun caso. a) • Le facce dei dadi sono numerate da 1 a 6. La probabilità che esca il numero 2 lanciando un dado è: La probabilità che esca il numero 3 lanciando un dado è: Poiché le uscite dei tre dadi sono indipendenti l’una dall’altra, la probabilità che esca un 2 e due 3 sarà data dal prodotto delle singole probabilità. Si ottiene:Le probabilità degli altri due casi si calcolano nello stesso modo e risultano tutte pari a 1/216.Allora, per il teorema delle probabilità totali, la probabilità totale che lanciando tre dadi si ottenga un 2 e due 3 sarà la somma delle probabilità di ciascuno dei tre casi possibili:

1° DADO 2° DADO 3° DADO

a) 2 3 3

b) 3 2 3

c) 3 3 2

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7. b)Il mazzo contiene 40 carte e 10 di esse sono di fiori.Alla prima estrazione, la probabilità che esca una carta di fiori è:Alla seconda estrazione, se la carta non viene reinserita nel mazzo, saranno rimaste 9 carte di fiori su 39 carte totali.Allora la probabilità di estrarre una carta di fiori sarà:Alla terza estrazione, saranno rimaste 8 carte di fiori su 38 carte totali.La probabilità di estrarre una nuova carta di fiori sarà:Poiché l’esito di ciascuna estrazione è indipendente dalle altre, la probabilità totale di estrarre 3 carte di fiori è data dal prodotto delle probabilità delle singole estrazioni.Si ottiene:

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STATISTICA

1. a)Il peso medio dei dieci ciclisti è dato da:Sappiamo che il peso medio degli uomini è 82 kg. Allora possiamo ricavare il peso totale degli uomini:Sostituendo il valore ottenuto nella prima formula possiamo ottenere il peso totale delle donne:Di conseguenza, il peso medio delle donne è pari a:

2. b)Le reti segnate nelle prime 10 partite del campionato sono: 0 0 1 1 2 2 2 3 5 6Calcoliamo le tre grandezze richieste.

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MEDIA:Ricordando che la media aritmetica di n numeri è pari alla somma degli n numeri divisa per n, si ottiene:MEDIANA:Per determinare la mediana occorre disporre in ordine crescente o decrescente (indifferentemente) gli elementi della sequenza. Se la sequenza è formata da un numero dispari di elementi, la mediana è l’elemento che occupa la posizione centrale della successione.Se la sequenza è formata da un numero pari di elementi, ci saranno due elementi centrali. La mediana, è la media aritmetica di questi due elementi centrali.Nel nostro caso, la sequenza è formata da 10 elementi (numero pari).Allora i due elementi centrali sono: 0 0 1 1 2 2 2 3 5 6 Allora la mediana della sequenza è:MODA:La moda è l’elemento della successione che presenta la massima frequenza, cioè che si ripete il maggior numero di volte.Nel nostro caso:Allora, la somma di media, mediana e moda è pari a:

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3. d)Vogliamo che la media dei tre compiti sia pari a 6.Indichiamo con x il voto del terzo compito.Allora, la media deve essere:da cui:

CALCOLO COMBINATORIO

1. e)Dobbiamo formare parole di 7 lettere utilizzando le 4 lettere A, C, G, T.Questo significa che bisogna riempire 7 “caselle” (k = 7) avendo a disposizione 4 elementi (n = 4). Necessariamente ci dovranno essere delle ripetizioni di una medesima lettera.Bisogna capire se, per determinare il numero di parole che si possono comporre, è necessario usare le disposizioni o le combinazioni di 4 elementi in 7 posti.Ci chiediamo: l’ordine con cui gli elementi sono disposti nella sequenza da costruire conta oppure no? Nel nostro caso, sì. Infatti, per esempio, le parole: AGGTATA e TAGATAGsono composte dagli stessi elementi (tre A, due G, due T), ma disposti in ordine differente.Questa diversa disposizione delle lettere ce le fa percepire come parole distinte. Allora, se l’ordine con cui sono disposti gli elementi di una sequenza conta, il numero totale di sequenze che si possono costruire è dato dalle disposizioni.In questo caso, utilizzeremo la formula delle disposizioni di 4 elementi in 7 posti con ripetizione, perché uno stesso elemento può ripetersi più volte:

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2. c)Tredici persone devono stringersi la mano a vicenda.Quindi abbiamo 13 elementi (n = 13) che devono formare delle coppie (k = 2). Per capire quante sono le strette di mano possibili, bisogna chiedersi se l’ordine con cui gli elementi compaiono nella coppia è importante oppure no.In questo caso, no.Infatti, per esempio, dire che: Giovanni ha stretto la mano a Paola oppure Paola ha stretto la mano a Giovanni non fa differenza. Le coppie Giovanni-Paola oppure Paola-Giovanni sono la stessa cosa.Allora, poiché l’ordine degli elementi non conta, utilizzeremo le combinazioni.Inoltre non ci possono essere ripetizioni, poiché non ha senso che una persona stringa la mano a se stessa.Di conseguenza il numero totale di strette di mano sarà:

N.B.: Ricordiamo che il fattoriale di un numero (indicato con !) è il prodotto di quel numero e di tutti gli interi positivi inferiori ad esso.Per esempio:Per semplificare i calcoli nelle formule di calcolo combinatorio è possibile adottare alcuni accorgimenti.Ad esempio, come abbiamo fatto nell’esercizio appena svolto, nello sviluppo di 13! possiamo

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raggruppare le cifre da 11 in poi, e riscriverle come 11! :

Questa riscrittura risulta conveniente in quanto il fattore 11! compare, ora, sia al numeratore che al denominatore e, perciò, può essere semplificato, riducendo di molto la mole dei calcoli da eseguire.

3. e)Dobbiamo formare numeri di tre cifre utilizzando i tre numeri 2, 3 e 5.Questo significa che bisogna riempire 3 “caselle” (k = 3) avendo a disposizione 3 elementi (n = 3). Il problema specifica che le cifre del numero composto non devono essere necessariamente distinte, quindi ci potranno essere delle ripetizioni.Come nell’esercizio 1, per capire quale particolare formula di calcolo combinatorio è necessario usare, occorre chiedersi se l’ordine con cui gli elementi compaiono nella sequenza è importante oppure no.Anche in questo caso, l’ordine conta. Infatti, per esempio, i due numeri: 235 e 523sono formati dalle stesse cifre, disposte in ordine diverso. Per questo sono riconosciuti come numeri distinti.Allora, poiché l’ordine degli elementi è importante, utilizzeremo le disposizioni (nel nostro caso, con ripetizione):

4. c)Dobbiamo formare numeri naturali con tre cifre significative distinte.Possiamo procedere in due modi.

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1° METODO: Calcolo combinatorio Analogamente all’esercizio precedente, l’ordine con cui le cifre sono disposte nella sequenza è importante. Inoltre, le cifre che compongono la sequenza devono essere tutte distinte.Per questo, utilizzeremo le disposizioni senza ripetizione.Abbiamo a disposizione 10 cifre ( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ) per riempire 3 posti; allora i numeri di tre cifre distinte che si possono formare con dieci elementi sono:

(per semplificare i conti abbiamo applicato gli stessi accorgimenti dell’esercizio 2).Tuttavia, questi 720 sono tutti i numeri formati da tre cifre distinte, ma non necessariamente significative. Infatti, per esempio, tra questi 720 numeri sono compresi 805 e 058Il primo è un numero naturale con tre cifre significative, e perciò soddisfa le richieste del problema.Il secondo, invece, ha solo due cifre significative, perché lo zero al primo posto non conta (infatti 058 = 58). Questo tipo di numeri non soddisfa le richieste del problema.Di conseguenza, dai 720 numeri iniziali dobbiamo sottrarre tutte le possibili sequenze che iniziano con uno zero.Fissato lo zero al primo posto della sequenza, rimangono 2 posti vuoti che possono essere riempiti da 9 cifre diverse ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Lo zero è escluso perché non ci possono essere ripetizioni all’interno della sequenza). Allora le sequenze che iniziano con uno zero sono:In conclusione, i numeri naturali formati da tre cifre significative distinte sono:

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2° METODO: Probabilità Abbiamo a disposizione 10 cifre ( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ) per riempire 3 caselle.

Allora, dal teorema delle probabilità composte, possiamo formare:numeri con tre cifre significative distinte.

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Nella seconda casella potrebbero andare bene tutte le 10 cifre, da 0 a 9.Tuttavia, abbiamo già posizionato una cifra nella prima casella (qualunque essa sia) e non possono esserci ripetizioni. Allora, abbiamo 10 - 1 = 9 possibilità diverse per riempire la seconda casella (10 cifre possibili meno quella che occupa già la prima casella).

Nella prima casella possono andare bene tutte le cifre, tranne lo zero, altrimenti non avremmo un numero naturale con tre cifre significative.Allora, abbiamo 9 possibilità diverse per riempire la prima casella (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

Nella terza casella potrebbero andare bene tutte le 10 cifre, da 0 a 9.Tuttavia, abbiamo già posizionato una cifra nella prima casella e un’altra cifra nella seconda casella (qualunque esse siano) e non possono esserci ripetizioni. Allora, abbiamo 10 - 2 = 8 possibilità diverse per riempire la terza casella (10 cifre possibili meno quelle che occupano già la prima e la seconda casella).