Quinta Lezione

Espansione in momenti di dipolo, Metodo delle immagini, definizione e calcolo capacità

Riassunto della lezione precedente Circuitazione del campo elettrico Gabbia di Faraday Potenziale di un guscio/conduttore carico il generatore di Kelvin effetto delle punte e parafulmine calcolo del potenziale per alcune distribuzioni

L’approssimazione di dipolo per distribuzione arbitraria di cariche

Distribuzione arbitraria di cariche: il potenziale in P in prima approssimazione, a grande distanza: P

r

r’

ri

di

i0

4

1)(

i

i

r

qV

r

r

Qq

r 0ii

0 4

4

1

Ma se ci sono cariche positive e negative in ugual quantità? L’approssimazione è chiaramente insufficiente

L’approssimazione di dipolo per distribuzione arbitraria di cariche

P

r

r’

ri

di

cosii drr

Per cui il potenziale diventa

Approssimiamo meglio ri

rr ud i

rrr

rr

ii

ud i

111 1

i2

0

... 4

1)(

rq

r

QV ri

iud

r

L’approssimazione di dipolo per distribuzione arbitraria di cariche

Se definiamo momento di dipolo per una distribuzione di cariche

iiiq dp

Vediamo che il secondo termine dell’espansione è

20

4

1

rrup

Cioè esattamente il potenziale di dipolo calcolato nella scorsa

lezione Questo è importante in quanto stabilisce che qualunque distribuzione

di cariche, globalmente neutra, ad una certa distanza ha un potenziale (e quindi un campo) che dipende dal momento di dipolo

Esempio: approssimazioni a grande distanza Supponiamo di avere una distribuzione di cariche piuttosto

complicata:Q1= 1nC in R1 (0.01,0.01,0.02)m

Q2= 3nC in R2 (0.02,0.02,0.02)m

Q3= 12nC in R3 (0.01,0.03,0.02)m

Q4= 8nC in R4 (0.03,0.03,0.02)m

Qual è il potenziale in P (3,0,4) m? P

Esempio: approssimazioni a grande distanza

Le cariche sono tutte vicine all’origine, da cui P dista circa 5m

Sappiamo quindi che il risultato sarà con buona approssimazione

R

Qq

RV

0ii

0 4

4

1

510854.84

102412

9

V14.43

Se avessimo fatto il conto in modo esatto avremmo ottenuto

i

i

0

4

1

ir

qV

i

i

0

4

1

RR

i

q

V37.43

….la distanza in questo caso non è poi così grande...

Esempio2: approssimazioni a grande distanza Modifichiamo lievemente i dati (le cariche) del problema

precedente:Q1= 1nC in R1 (0.01,0.01,0.02)m

Q2= 5nC in R2 (0.02,0.02,0.02)m

Q3= -4nC in R3 (0.01,0.03,0.02)m

Q4= -2nC in R4 (0.03,0.03,0.02)m

Qual è il potenziale in P(3,0,4) m? P

Esempio 2: approssimazioni a grande distanza

Le cariche sono ancora tutte vicine all’origine, da cui P dista circa 5m

Però se calcoliamo come prima

R

Qq

RV

0ii

0 4

4

1

0

Ovvero l’approssimazione è insufficiente: conta il contributo di dipolo (che sappiamo decrescere come r2)

Calcoliamo il termine di dipolo:

iiiq dp Cm0,107,10 1111

20

4

1

rV rdip

up

3

0

4

1

r

Rp

3

11

12 )5(

00103

10854.84

1

V310157.2

Esempio 2: approssimazioni a grande distanza

Se avessimo calcolato in modo “rigoroso” avremmo ottenuto

i

i

0

4

1

ir

qV

V310298.2

Metodo delle Immagini

Se sostituiamo una superficie equipotenziale con una superficie conduttrice (o un conduttore pieno) avente il corretto potenziale, il campo rimane identico!

IDEA: studiare i campi di distribuzioni di cariche in prossimità di conduttori rimpiazzando i conduttori con distribuzioni di carica appropriate, o viceversa, a seconda della difficoltà del problema

Metodo delle Immagini

Tale procedura, ovvero sostituire ad un problema, un problema equivalente più semplice, è molto generale

Ovviamente il problema è equivalente per tutto quanto è al di fuori del conduttore equivalente

Il caso più semplice: un conduttore piano a potenziale zero (massa) in prossimità di una carica. Basta sostituire con un dipolo.

Carica in prossimità di un piano conduttore

Il campo dovuto alla carica sola è

Sul piano, il campo è tutto ortogonale, con direzione -x, e la componente di r lungo x di r è -a, ovvero

P

rr

q rE

204

xar

quE

304

r

xa

a

qu

2

322

04

Aggiungiamo l’effetto della carica immagine raddoppiando il campo

xTOT a

a

quE

2

322

04

2

a

-

-

-

-

-

-

-

-

Carica in prossimità di un piano conduttore

La densità di carica indotta (Gauss) è

Notate che, se integriamo su tutto il piano (nota: () individuano un punto in coordinate polari)

P

a)()( 0 E r

a

a

q

2

3224

2

2

0 0

)( dd

2

0 2d

qq

-

-

-

-

-

-

-

-

Come deve essere. La forza che subisce la carica è ovviamente (forza tra due cariche uguali e opposte…)

xa

quF

20

2

24

Lo stesso risultato poteva essere ottenuto integrando i contributi di forza dovuti a (molto più laborioso!!)

ATTENZIONE L’equivalenza è valida solo per la regione al di fuori del

conduttore equivalente: es. appello luglio 2007

1nC

10cm

R=1m

Flusso attraverso la sfera? NON E’ ZERO come potreste immaginare mettendo la carica immagine

Usiamo il teorema della immagini per calcolare la carica sul piano

a

a

q

2

3224

2)(

Integrata nel cerchio di 1 m

nCRa

aRaqddQ

R

9.0)(22

222

0 0

2

Quindi per Gauss: VmQE tot 238.11/)( 0

Capacità di un conduttorePer una sfera conduttrice isolata caricata con carica Q, i punti della superficie sono equipotenziali

RQ

R

QV

4

1 R

V

Q 4

Definiamo tale quantità Capacità [F]=[C]/[V]

Se il conduttore non è sferico, nelle stesse condizioni il rapporto resta invariante

C

Capacità di un sistema di conduttori

Se i conduttori sono più di uno, ricordando che

Avremo in generale

'4

')(

0

V

dVV

rrr

'4

'..

'4

'

'4

'

000 21

cncc VVV

dVdVdV

rrrrrr

Vc1

Vc2

Vc3

Q...QQ)(

Q...QQ)(

n2211

.....n121211111

nnnnnn

n

pppVV

pppVV

r

r

Dove pij si definiscono coefficienti di potenziale

Capacità di un sistema di conduttori

Quindi, un legame lineare (matrice) lega anche nel caso di più conduttori potenziali e cariche. Possiamo invertire tale matrice

I coefficienti sono scritti in minuscolo perché, per convenzione, non sono ancora le capacità, ma coefficienti di capacità. Per definire le capacità conviene valutare quali siano i coefficienti che legano le cariche alle differenze di potenziale tra i conduttori (vedremo poi perché)

NNNNNN

NN

NN

VcVcVcQ

VcVcVcQ

VcVcVcQ

2211

22221212

12121111

Sistema di conduttori

Riscrivendo i coefficienti in modo da far comparire differenze di potenziale tra i conduttori, si ha

NNNNNNNN

NN

NN

VCVVCVVCQ

VVCVCVVCQ

VVCVVCVCQ

)()(

)()(

)()(

2211

2222212212

1121121111

in pratica una matrice capacità, in cui i coefficienti sulla diagonale si definisco autocapacità e gli altri coefficienti, mutue capacità

Sistema di 2 conduttoriconsideriamo il caso di 2 conduttori

+q

-q2221212

2121111

qpqpV

qpqpV

qq

qq

2

1

qppV

qppV

)(

)(

22212

12111

C

qVV 12

tale sistema prende il nome di condensatore

Condensatore piano

+++++++

----

---

dx

Calcoliamo la capacità per il caso di due lamine affacciate, di area S e distanziate d

Applicando il Teorema di Gauss:

xE SQ

d

S

V

QC

ddEVV x

Capacità tra due sfere metalliche concentriche

r

QrV

4)(

ab

abQ

ba

QbVaV

4

11

4)()(

d

SS

V

QC ba

a

bd

Sa

Sb

ab

dQ

4

22 44 ba

dQ

Capacità di un tratto di cavo coassiale Consideriamo un tratto di coassiale di

lunghezza l

a

b

l

Avevamo calcolato (lezione 2) che

a

bbVaV ln

2)()(

Considerando che Q=l otteniamo

a

b

l

bVaV

QC

ln

2

)()(

Note e notazioni

Di qui in poi userò delle frecce per indicare differenze di potenziale

tali frecce ovviamente non servono ora ad indicare dei vettori

userò frecce, che vanno da un punto (potenziale di riferimento) ad un altro punto (potenziale) per evidenziare qual è il potenziale di riferimento

V

Conduttore 1 Conduttore 2

Per esempio: V indica il potenziale del conduttore 2 rispetto al conduttore 1

Legge di Kirchhoff alle maglie Tale notazione consente di riscrivere la conservatività del

campo elettrostatico in una forma molto utile che prende il nome di Seconda legge di Kirchhoff:

Prendiamo una serie di punti, o una serie di conduttori, immersi in un campo

1

2

3

V21

V32

V13

Avevamo definito la ddp tra due punti come:

2

121 lE

dV

Se quindi calcoliamo

01

3

3

2

2

1

lElElElEdddd 0133221 VVV

Ovvero: la somma algebrica delle differenze (o cadute) di potenziale lungo una maglia è nulla

Note La scelta della “maglia” è arbitraria

Consente di legare le tensioni tra loro, ovvero ricavare una in funzione delle altre: per es

Anche la scelta dei versi delle tensioni è arbitraria purché si adotti la stessa scelta per tutto il tempo (percorrere tutta la maglia nello stesso verso)

A

B

C0 ACCBBA VVV

0 CACBBA VVV

CACBBA VVV

Connessione condensatori: Serie

+q

-q+q

-q

V1

V2

V=V1+V2

La carica totale non cambiaLe differenze di potenziale si sommano

21

21 C

Q

C

QVVVTOT

21

111

CCCTOT

Il sistema si comporta come un unico condensatore con capacità

TOTTOT V

QC i

iTOT CC

11

+++++++++

---------------

+++++++++

-----------------

Connessione condensatori: Parallelo

+q1

-q1

+q2

-q2La carica totale è la somma delle cariche

La differenza di potenziale è la stessaVtot

TOTTOT VCVCqqQ 2121 21 CCCTOT

i

iTOT CC

Esercizioa

bd c

Due elettrodi sferici come da figura.L’elettrodo più interno è rivestito di dielettrico. Capacità?

Cac

Ccbcb

cbC

ac

acC

cb

ac

04

4

bacacb

abc

CC

Cr

r

cbac

)()(

411

1 0

Possiamo pensare alla struttura come composta da due condensatori in serie: aggiungere un guscio metallico lungo la superficie di separazione non cambierebbe nulla (superficie equipotenziale)

Esercizio

Una sfera di raggio R1= 1m e carica Q= 1nC viene collegata con un filo conduttore ad una sfera, lontana dalla prima, di raggio R2=0.3 m e inizialmente scarica. Quali cariche possiedono le due sfere a collegamento avvenuto?

Esercizio (cont.)

202

101

4

4

RC

RC

Conosciamo le capacità delle sfere

Al collegamento la carica si ridistribuisce ed i conduttori finiranno per assumere lo stesso potenziale

2

2

1

1

C

q

C

qV

Ma la carica totale resta la stessa (principio di conservazione della carica)

Qqq 21

nCqnCq 23.077.0 21

Dal sistema troviamo le quantità richieste

Energia di carica di un condensatoreCaricando un condensatore compiamo un lavoro: il campo contro cui compiamo il lavoro crescerà con il crescere della carica sul conduttore

+dq

+q

V

dqC

qdqVdL

22

0 2

1

2

1

2

1CVQV

C

Qdq

C

qL

Q

q(V)

VL