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Rapporti Statistici

materiale a cura di Francesca De Battisti

Rapporti Statistici

I rapporti statistici sono rapporti fra due grandezze legate da una relazione logica, di cui almeno una di natura statistica.

Essi vengono prevalentemente calcolati per eliminare l’influenza di circostanze che, altrimenti, non renderebbero confrontabili i dati.

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EsempioSi voglia confrontare, per un dato anno e con riferimento ad un dato Paese, il numero di figli in due gruppi famigliari caratterizzati da diversa età media dei genitori

Età media Numero Numerogenitori famiglie di figli26-35 3499 410246-55 4013 5966

•Non è corretto confrontare il numero di figli dei due gruppi famigliari •Si possono calcolare due rapporti dividendo il numero di figli per il numero di famiglie.•Si tratta di rapporti statistici perché sia il numeratore che il denominatore sono dati statistici.

Esempio

Si otterrà quindi:

R1=4102/3499=1,172R2=5966/4013=1,487

Quale informazione forniscono i due rapporti?R1 indica il numero medio di figli delle famiglie con genitori “giovani”.R2 indica il numero medio di figli delle famiglie con genitori “adulti”.

Il confronto fra i due valori R1 e R2 consente di concludere che i genitori “adulti” hanno un maggior numero di figli dei genitori “giovani”.

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Il significato del rapporto è immediato: esso indica quanta parte del numeratore spetta idealmente ad una unità del denominatore.

I rapporti statistici più utilizzati nelle applicazioni sono:•I rapporti indici (o numeri indici)I rapporti di composizione (o di parte al tutto)I rapporti di coesistenzaI rapporti di densitàI rapporti di derivazioneI rapporti di durataI rapporti di ripetizione

Rapporti Statistici

• Sono impiegati per facilitare la comprensione delle variazioni relative nel tempo o nello spazio di un fenomeno.

• Pongono a confronto le intensità o le frequenze di uno stesso fenomeno in tempi o luoghi diversi.

• Il termine con il quale vengono messi a rapporto tutti gli altri(denominatore della frazione) si dice base degli indici.

• L’intensità del fenomeno nella situazione base è posta abitualmente uguale a 100 o ad 1 o ad altre potenze di 10.

Rapporti Indici

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Nel caso di una serie storica:•se la base viene mantenuta fissa gli indici si chiamano a base fissa;•se la base cambia di volta in volta, poiché si rapporta ciascun termine al precedente, si hanno gli indici a base mobile (base variabile).

I numeri indici relativi ad una serie temporale sono detti numeri indici temporali; quelli relativi ad una serie territoriale sono chiamati numeri indici territoriali (o spaziali).

Essendo i numeri indici dei numeri puri, cioè dei numeri privi di un contenuto concreto preciso, è spesso possibile istituire tramite essi confronti sulle variazioni di fenomeni diversi.

Rapporti Indici

EsempioProduzione di autoveicoli in Giappone negli anni 1980-1988 (dati in migliaia).

12.6991988

12.2491987

12.2591986

12.2711985

11.4651984

11.1121983

10.7321982

11.1801981

11.0421980

ProduzioneAnno

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Esempio1)la serie dei numeri indici base 1980=100;2)la serie dei numeri indici base 1985=100;3)la serie de numeri indici a base mobile.

103,67103,48115,011988

99,9299,82110,931987

99,999,9111,021986

107,04100111,131985

103,1893,43103,831984

103,5490,55100,631983

95,9987,4697,191982

101,2591,11101,251981

- - - - - -89,981001980

321Anno

Esempio80I83=100,63=(11.112/11.042)*100

85I83=90,55=(11.112/12.271)*100i83=103,54=(11.112/10.732)*100

Interpretazione dei risultati ottenuti:

••8080II8383=100,63=100,63 - Nel 1983 in Giappone la produzione di autoveicoli è aumentata dello 0,63% rispetto al 1980.

••8585II8383=90,55=90,55 - La produzione di autoveicoli in Giappone nel 1983 è stata del 9,45% in meno rispetto a quella del 1985.

••ii8383=103,54=103,54 - Nel 1983 in Giappone la produzione di autoveicoli è aumentata del 3,54% rispetto al 1982.

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Rapporti di composizione

• Sono chiamati anche rapporti di parte al tutto. Si ottengono rapportando una intensità (o una frequenza) parziale all’intensità (o frequenza) totale. Il risultato in genere viene moltiplicato per 100 ottenendo i rapporti percentuali.

• In una distribuzione di frequenze consentono di confrontare l’incidenza (il contributo) di ciascuna modalità alla numerosità totale. Essi quindi non sono altro che le frequenze relative.

• In una distribuzione di quantità consentono di valutare il contributo alla quantità totale di una categoria, di una classe, ecc.

EsempioConsumi di energia elettrica per categoria di utilizzatori (milioni di kwh). Italia 1980.

23,2838.109Usi domestici

1,562.548Illuminazione pubblica

8,8314.450Commercio, servizi e pubblica amministrazione

3,635.937Trasporti e telecomunicazioni

61,11100.007Industria

100,00163.645Totale

1,592.594Agricoltura

Consumi percentualiConsumi (milioni kwh)Categorie di utilizzatori

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5341194S.Stat.Econ.

189443S.Stat.Att.

228802S.Stat.Dem.

TriesteRomaCorso

0,56 (56%)0,49 (49%)S.Stat.Econ.

0,20 (20%)0,18 (18%)S.Stat.Att.

0,24 (24%)0,33 (33%)S.Stat.Dem.

TriesteRomaCorso

Totale iscritti alla Facoltà di Statistica a Roma = 2439Totale iscritti alla Facoltà di Statistica a Trieste = 951

I rapporti di composizione permettono, in quanto numeri puri, di fare confronti temporali o confronti spaziali.

Rapporti di coesistenza

• Esistono fenomeni in qualche modo “antitetici” che coesistono e per i quali riveste una certa importanza il loro studio relativo.

• Per una distribuzione di frequenza (o di quantità) si chiama rapporto di coesistenza ogni rapporto (eventualmente moltiplicato per 100) tra la frequenza (o la quantità) corrispondente ad una modalità e la frequenza (o la quantità) corrispondente ad un’altra modalità.

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Rapporti di coesistenza relativi ad una distribuzione di frequenza

Distribuzione dei nati vivi in Italia nel 1981 secondo il sesso.

624.805Totale

322.536302.269

MaschiFemmine

N.di nati viviSesso

Oltre ai rapporti di composizione si può stabilire il rapporto tra il numero di nati vivi maschi e il numero di nati vivi di sesso femminile:

R=322.536/302.269=1,07

Questo è un rapporto di coesistenza e prende il nome di rapporto di mascolinità alla nascita.

Esso mostra che in Italia nel 1981 sono nati 1,07 maschi per ogni femmina. Se si moltiplica il rapporto per 100 si dirà che sono nati 107 maschi ogni 100 femmine.

Naturalmente si può calcolare anche il rapporto di femminilità alla nascita dato da :

R=302.269/322.536=0,94

Rapporti di coesistenza relativi ad una distribuzione di frequenza

Con riferimento ad una data popolazione (italiana, regionale, provinciale, comunale) i rapporti di coesistenza permettono, ad esempio, di misurare:

- La struttura per sesso della popolazione.

Se Pm = Numero di maschi

Pf = Numero di femmine

Pm/Pf = Rapporto di mascolinità della popolazione

Pf/Pm = Rapporto di femminilità della popolazione

- La struttura per età della popolazione

Se Ps = Popolazione senile (da 60 anni in poi)

Pg = popolazione infantile e giovanile (meno di 15 anni)

Iv = (Ps/Pg)*100 = Indice di vecchiaia

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Rapporti di coesistenza relativi ad una distribuzione di frequenza

In Italia, Iv = 30,1 nel 1911 e Iv = 80,4 nel 1981.

Questi valori indicano che ogni 100 giovani in Italia nel 1911 esistevano 30,1 anziani, mentre nel 1981 si avevano 80,4 anziani ogni 100 giovani. Viene così messo in evidenza il forte invecchiamento della popolazione italiana.

Se Ps = Popolazione in età da 65 anni in poi

Pa = Popolazione in età compresa tra 15 e 64 anni

Is = (Ps/Pa)*100 = Indice di dipendenza degli anziani

Tale indice sintetizza il carico della popolazione anziana (che quindi, data l’età, non èautonoma) su quella che si presume la debba sostenere (popolazione presumibilmente attiva).

Rapporti di coesistenza relativi ad una distribuzione di quantità

Esportazioni dell’Italia nel 1981 verso gruppi di paesi europei (Fonte ISTAT)

51.993Totale

37.1422.85012.001

Comunità europeaEuropa orientaleAltri paesi europei

Valori delle esportazioni (miliardi di lire)Gruppo di paesi

Con i dati della tabella si possono calcolare sei rapporti di coesistenza:1)tra le esportazioni verso i paesi della Comunità e quelle verso l’Europa Orientale: 37.142/2.850 = 13,032)il suo inverso: 2.850/37.142 = 0,083)tra le esportazioni verso la Comunità e quelle verso gli altri paesi europei: 37.142/12.001 = 3,094)il suo inverso: 12.001/37.142 = 0,325)tra le esportazioni verso gli altri paesi europei e quelle verso l’Europa orientale: 12.001/2.850 = 4,216)il suo inverso: 2.850/12.001 = 0,24

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Rapporti di coesistenza relativi ad una distribuzione di quantità

Cosa ci indica ognuno dei sei rapporti?

Ad esempio, il primo mette in evidenza che nel 1981 le esportazioni italiane verso i paesi della Comunità europea erano 13 volte quelle verso i paesi orientali, il terzo che l’importanza delle esportazioni verso la Comunità è tripla di quella verso gli altri paesi europei.

Altro diffuso rapporto di coesistenza è il cosiddetto grado di copertura (rapporto tra le esportazioni e le importazioni di un paese in un determinato periodo, moltiplicato per 100). Tale rapporto indica il valore della merce esportata contro una importazione di valore 100 (lire, milioni di lire, miliardi di lire).

Osservazione

A differenza dei rapporti di composizione, i rapporti di coesistenza possono assumere valori maggiori di 1 (o di 100 se sono rapporti percentuali).

Rapporti di derivazione

• Essi sono dati dal rapporto fra l’intensità o la frequenza di un fenomeno e l’intensità o la frequenza di un altro fenomeno che si ritiene la causa o il presupposto del fenomeno posto al numeratore.

• Ad esempio la popolazione può considerarsi la causa di molti fenomeni dell’attività umana; fra questi sono particolarmente rilevanti alcuni fenomeni demograficiquali le nascite, le morti, i matrimoni, ecc.

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Esempio

Si supponga di voler confrontare la propensione ad avere figli della popolazione ligure con quella della popolazione abruzzese.

A tal fine non si possono confrontare semplicemente i dati relativi al numero di nascite nelle due regioni in un determinato periodo temporale (ad esempio: anno 1981; 12.363 nascite in Liguria e 13.410 nascite in Abruzzo).

Tali dati dipendono infatti oltre che dalla diversa propensione degli abitanti delle due regioni ad avere figli (caratteristica che si vuole confrontare), anche dal diverso ammontare della popolazione nelle due regioni (anno 1981: popolazione presente in Liguria = 1.825.305 unità; popolazione presente in Abruzzo = 1.201.710 unità).

EsempioIl quoziente fra il numero delle nascite avute nel 1981 ed il numero di abitanti nello stesso anno in una data regione dà luogo ad un rapporto di derivazione, che moltiplicato per 1000 indica il numero di nascite attribuibili ad una popolazione di 1000 unità.I valori ottenuti per l’esempio proposto risultano pari a 6,8 nati ogni 1000 abitanti inLiguria e a 11,2 nati ogni 1000 abitanti in Abruzzo.Pertanto si può affermare che, contrariamente all’indicazione fornita dalle cifre grezze, la propensione alla procreazione degli Abruzzesi nel 1981 è stata nettamente superiore a quella dei Liguri.Il rapporto così costruito viene detto quoziente generico di natalità, in quanto i dati vengono rapportati anche ad una parte di popolazione che, per ragioni d’età, non si può considerare presupposto del fenomeno posto a numeratore.I demografi sono soliti rapportare le nascite anche al numero di donne in età feconda (15-49 anni), ottenendo così misure meno generiche della propensione ad avere figli.Rapportando il numero delle morti al numero di abitanti si ottiene il quoziente di mortalità, mentre il rapporto fra numero di matrimoni e numero di abitanti dà luogo al quoziente di nuzialità.

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Rapporti di densità

• Con i rapporti di densità una circostanza quantitativa caratteristica di un dato fenomeno viene rapportata ad una dimensione del campo in cui viene osservata (spazio, tempo o altra dimensione).

• Dei rapporti di densità si fa larghissimo uso, perché servono ad eliminare l’influenza esercitata dall’intensità del fenomeno posto al denominatore sulla grandezza posta al numeratore, rendendo cosìcomparabili dati che, altrimenti, rimarrebbero eterogenei, per l’influenza simultanea di più circostanze.

• Le frequenze specifiche sono rapporti di densità (al denominatore si pone l’ampiezza della classe).

Esempi1. Si consideri per un dato territorio l’insieme dei campi coltivati a frumento: sia p

la produzione di frumento (in tonnellate) e h l’estensione totale dei campi (in ettari). Il rapporto p/h è un rapporto di densità ed indica la produzione media (in tonnellate) per ogni ettaro coltivato (unità di superficie).

2. Se si desidera confrontare l’addensamento di popolazione in due regioni italiane, non si possono confrontare direttamente i numeri di abitanti delle due regioni, perché queste differiscono oltre che per la diversa natura, anche per l’ampiezza della superficie regionale, che ha una certa influenza sull’ammontare della popolazione. Pertanto occorre rapportare il numero di abitanti al numero di kmq di superficie nelle due regioni, ottenendo così il numero di abitanti per kmq. I valori ottenuti sono confrontabili fra loro.

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Rapporti di durata

I rapporti di durata si costruiscono quando si è in presenza di un insieme di unità che in un dato intervallo di tempo è soggetto ad un flusso di entrata e ad un flusso di uscita.

Si pensi al numero di dipendenti di un’azienda nell’anno 1996. Tale numero:

1. potrebbe essere rimasto invariato dall’inizio alla fine dell’anno (300 dipendenti);

2. potrebbe essere aumentato (passato da 300 all’1.1.96 a 302 dipendenti al 31.12.96);

3. potrebbe essere diminuito (passato da 300 all’1.1.96 a 295 dipendenti al 31.12.96)

Rapporti di durata

Nel caso 1) si è in presenza di popolazione stazionaria, ma ciò non implica che non si possano essere verificati dei cambiamenti. Infatti nel corso dell’anno alcuni dipendenti potrebbero aver cessato il rapporto di lavoro (licenziati, pensionati) e potrebbero essere stati assunti nuovi dipendenti in uguale numero.Cioè se si indica con:U = numero di usciti nell’intervallo di tempo (flusso d’uscita);E = numero di entrati nell’intervallo di tempo (flusso d’entrata);C = consistenza del fenomeno;nel caso di popolazione stazionaria è E = U.In questo caso si può calcolare il rapporto Rd = C/E ovvero Rd = C/U.Esso indica la permanenza media (espressa in anni o frazioni di anno) di una unitànell’insieme prima di uscire dall’insieme stesso.Se E = U = 15 sarà Rd = 300/15 =20 anni.Con riferimento alla situazione del 1996, un dipendente in media permane in azienda 20 anni.

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Rapporti di durataNelle situazioni 2) e 3) (non stazionarietà della massa) per avere una valutazione attendibile della “permanenza media” bisognerebbe fare rilevazioni dirette sulla permanenza (durata) di una unità e poi ricavarne una media.Una valutazione approssimata della durata media si ottiene rapportando la consistenza media (semisomma delle consistenze all’inizio e alla fine del periodo considerato) riscontrata nell’intervallo di tempo considerato alla semisomma fra le entrate e le uscite: Rd=Cmedia/[(U+E)/2].Caso 2)U=13; E=15; Cmedia=(300+302)/2Rd=301/14=21,5 anniCaso 3)U=15; E=10; Cmedia=(300+295)/2Rd=297,5/12,5=23,8 anni

Rapporti di durataIn ambito aziendale i rapporti di durata vengono applicati, oltre che nella gestione del personale, nello studio del movimento delle merci dei magazzini. Il rapporto fra il valore (in lire) della consistenza media delle merci nel magazzino (semisomma delle giacenze all’inizio e alla fine dell’intervallo di tempo considerato) e la semisomma tra il valore delle merci entrate ed uscite (flusso medio) dà la permanenza media(espressa in anni o frazioni di anno) di una lira investita nelle merci del magazzino. In ambito sanitario, i rapporti di durata vengono impiegati, tra l’altro, per calcolare la degenza media dei ricoverati.Nelle statistiche del turismo, sono calcolati per determinare la permanenza media nelle diverse strutture turistiche (alberghi, locande, campeggi, abitazioni private) dei turisti.Si faccia attenzione che tanto più il fenomeno oggetto d’analisi si allontana dalla condizione di stazionarietà, tanto maggiore deve essere la cautela nell’interpretare i rapporti di durata calcolati.

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Rapporti di ripetizioneI rapporti di ripetizione consentono di misurare quante volte un dato fenomeno si ripete (si rinnova) nell’intervallo di tempo considerato.

I rapporti di ripetizione sono dati dal rapporto fra la semisomma del flusso d’entrata e di quello di uscita e la consistenza media del fenomeno:Rr = [(E+U)/2]/C

Essi sono quindi il reciproco dei rapporti di durata.

Nell’esempio precedente, caso 1), sarà:Rr = 15/300 = 0,05 volte all’annoIn un anno mediamente un dipendente “si rinnova” (ruota) 0,05 volte nell’azienda (ovvia conseguenza di una permanenza media di 20 anni).

EsempioIn un deposito di prodotti agricoli, alla data dell’1.1.1992, sono presenti 1500

tonnellate di grano. Nel corso dell’anno 1992 i movimenti di grano, per

bimestre, sono stati i seguenti:

600800700300400500USCITE (TON.)

5080010002008030ENTRATE (TON.)

VIVIVIIIIIIBIMESTRE

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EsempioPermanenza media del grano nel deposito durante il 1992

Consistenza iniziale = 1500 ton.

E = 2160 ton.

U = 3300 ton.

Consistenza finale = 1500+2160-3300=360 ton.

Rd= [(1500+360)/2]/[(2160+3300)/2]=

930/2730 = 0,341 frazione di anno = 0,341*365 = 124 giorni circa

La permanenza media di una tonnellata di grano nel magazzino nel 1992 è stata di circa 124 giorni.

Rapporto di ripetizione

b) Rr = 2730/930 = 2,935 volte nell’anno.

Una tonnellata di grano “ruota” circa 2,935 volte all’anno nel deposito.