1. INTRODUZIONE
1.1 MECCANISMO INSERITORE 1.2 METODO PROCEDURALE 1.3 ANALISI DEI GRADI DI LIBERTÀ 1.4 SCOMPOSIZIONE IN DIADI 1.5 DATI VS. INCOGNITE
2. ANALISI CINEMATICA 2.1 ANALISI CINEMATICA DI POSIZIONE 2.2 GRAFICI DI POSIZIONE 2.3 ANALISI CINEMATICA DI VELOCITÀ 2.4 GRAFICI DI VELOCITÀ 2.5 ANALISI CINEMATICA DI ACCELERAZIONE 2.6 GRAFICI DI ACCELERAZIONE
3. ANALISI STATICA
3.1 APPROCCIO LAGRANGIANO
4. ANALISI DINAMICA
5. SIMULINK
Meccanismo Inseritore
2 MECCATRONICA
1. INTRODUZIONE
1.1 MECCANISMO INSERITORE
Lo scopo di questa relazione è lo studio cinematico, statico e dinamico del meccanismo proposto, tramite modello matematico.
Meccanismo inseritore
1.2 METODO PROCEDURALE
Scompongo il meccanismo nel sottomeccanismo base, che contiene il grado di libertà risolvibile immediatamente in catena aperta, ed in altri meccanismi a zero gradi di libertà denominati gruppi di Assur (nel caso specifico solamente Diadi). Quest’ultimi devono essere risolti in modo ordinato e sequenziale in catena chiusa.
Ricerco ed isolo dalla struttura le diadi, poiché la loro soluzione nell’analisi di posizione ha una forma diretta che non richiede l’uso del metodo iterativo di Newton-Raphson. Evito così problemi di convergenza e riduco gli errori di calcolo dovuti ai residui.
Meccanismo Inseritore
3 MECCATRONICA
1.3 ANALISI DEI GRADI DI LIBERTÀ
Nel calcolo dei Gradi di Libertà utilizzo la formula di Gruber:
212)1(3 ccmGdL
Dove: m = numero di membri compreso il telaio; c1 = coppie cinematiche di 1° ordine (Rotoidali, Prismatiche); c2 = coppie cinematiche di 2° ordine ( Camma Piana );
I gradi di libertà corrispondono al numero di coordinate libere, ovvero al numero di motori indipendenti presenti. Nel nostro caso si avrà un unico attuatore per cui GdL = 1.
Nota: per i nostri esempi di interesse non ci saranno mai camme piane.
Ridisegno la struttura con la convenzione per le coppie cinematiche:
Meccanismo Inseritore
4 MECCATRONICA
APPLICANDO LA FORMULA DI GRUBER :
La struttura risulta composta da un quadrilatero OABC che si trascina un membro DE chiuso dalle componenti DB e BE, per un totale di 7 segmenti.
092)17(3 GdL
La struttura risulta isostatica, ovvero priva di gradi di libertà. Questo perché si è considerato nell’analisi un vincolo sovrabbondante dato da uno dei due pattini. LA STRUTTURA CORRETTA RISULTA ALLORA:
Dove considero il membro CE come un’appendice di DC aventi angolo e modulo uguali.
La nuova equazione di Gruber è: 172)16(3 GdL
La geometria fa sì che uno dei due pattini e la corrispondente guida non giochino alcun ruolo dal punto di vista cinematico, in pratica la loro assenza non modifica la traiettoria del punto E.
2C1
2C1
2C1
C1
Elimino dall’analisi il pattino E
Meccanismo Inseritore
5 MECCATRONICA
1.4 SCOMPOSIZIONE IN DIADI
Scompongo la struttura nelle sue diadi principali
Dall’analisi in catena aperta ricavo direttamente le coordinate del punto A : ( xA , yA ). Con queste, nella diade RRR riesco a risalire agli angoli che la compongono e alle coordinare C : ( xC , yC ). Dall’ultima diade infine risalgo alla posizione del pattino D, e in catena aperta a quella del punto E
Diade RRR
Diade RRP
Ф5
Z1
Z3
Z4
Z6
Z7
Meccanismo Inseritore
6 MECCATRONICA
1.5 DATI VS. INCOGNITE
In tabella si riportano i dati forniti dal costruttore:
Parametro Riferimento Valore OA Z1 0.2525 [m] BC Z3 0.8725 [m] AC Z4 1.075 [m]
CE , CD Z6 , Z7 0.8725 [m] ФBD Ф5 π/2 [rad]
O = [xo yo] [0 0] B = [xB yB] [1.075 -0.80] [m]
Dati di costruzione
2 ANALISI CINEMATICA
L’analisi cinematica consente lo studio del meccanismo sottoposto ai vincoli costruttivi. Si possono suddividere tre sottoanalisi,
analisi di posizione, analisi di velocità analisi di accelerazione
ognuna delle quali assume come dati in ingresso i risultati ottenuti dalle precedenti.
2.1 ANALISI CINEMATICA DI POSIZIONE
L’analisi di posizione determina ogni punto del meccanismo, qualora forniti i parametri costruttivi e determinate le coordinate libere. Si calcoleranno allora tutti i moduli e gli angoli dei singoli vettori che compongono il meccanismo inseritore, tramite l’equazione di chiusura:
01
i
iz
proiettandola sugli assi otteniamo:
0sin
0cos
1
1
ii
i
ii
i
z
z
Come già precedentemente annunciato, la non linearità di questo metodo viene risolta con il metodo diretto per le diadi.
Meccanismo Inseritore
7 MECCATRONICA
1) MECCANISMO BASE IN CATENA AP ERTA
10 ZA
11
11
11
11
sincos
sincos
zz
ZyZx
yx
O
O
A
A
dato che il punto O corrisponde all’origine
2) DIADE RRR - (ABC)
eq. di chiusura : 0432 ZZZ
222 ABAB yyxxZ
ABAB xxyya ,2tan2
3223
a questo punto, ricavate tutte le incognite, è possibile calcolare le coordinate di C tramite :
33
333 sin
cos
zz
yx
yx
ZBCB
B
C
C
DATI INCOGNITE Z3 Z2
Z4 φ2
Z1 φ3
xA , yA φ4
xB , yB xC , yC
A
B
C φ4
φ3
φ2
Z2
Z4
Z3
γ32
xA
yA
Z1
Teorema di Carnot :
32
22
23
24
32 2cos
ZZZZZ
a
Meccanismo Inseritore
8 MECCATRONICA
analogamente a quanto fatto per φ2 si ricava φ4 da:
CACA xxyya ,2tan4
3) DIADE RRP - (BCD)
Dalla figura si osserva che :
3553
5322
32
6533635 sincos ZZZZZZ yy
con il modulo di Z5 è possibile ottenere:
5Z BD
55
55
sincos
ZZ
yx
yx
B
B
D
D
DCDC xxyya ,2tan6
DATI INCOGNITE Z3, φ3 Z5
Z6 φ6
xC , yC xD , yD
φ5
C
φ5 Z5
B
Z6
Z3
φ3
Φ53
D
eq. di chiusura :
0365 ZZZ
Meccanismo Inseritore
9 MECCATRONICA
4) MECCANISMO IN CATENA APERTA (CE)
per ricavare le coordinate di E si risolve:
7ZCE
77
77
sincos
ZZ
yx
yx
C
C
E
E
2.2 GRAFICI 20 1
Analisi di posizione di A
DATI INCOGNITE Z7 xE ,yE
φ7 = φ6 xc , yc
C
Z7
E
φ7
Meccanismo Inseritore
10 MECCATRONICA
Analisi di posizione di C
Analisi di posizione di D
Meccanismo Inseritore
11 MECCATRONICA
Analisi di posizione di D
Meccanismo Inseritore
12 MECCATRONICA
Derivata
2.3 ANALISI CINEMATICA DI VELOCITÀ
Questa analisi determina le velocità dei membri del meccanismo, dati i risultati dell’analisi di posizione e definite le velocità delle coordinate libere: Si effettua risolvendo le equazioni di chiusura di posizione derivate:
i
iZ 0
Forma equivalente scomposta:
0)( i
iiii ZZversZ
Dalla proiezione sugli assi ottengo:
0sin
0cos
iii
iii
Z
Z
Volendo dare una descrizione canonica del sistema dell’analisi di velocità, indicando con
1f 2f le proiezioni rispettivamente sugli assi x e y :
0),(0),(
2
1
ii
ii
zfzf
0),(
0),(
2
1
dtzdfdtzdf
ii
ii
=>
0
0
1
22
1
11
n
ii
ii
i
n
ii
ii
i
ddfz
dzdf
ddfz
dzdf
dove gli addendi sono rispettivamente: iZ : velocità di allungamento ( parallela a iZ )
ii Z : velocità di rotazione (ortogonale a iZ )
Derivata
iiiiii
iiiiii
ZZ
ZZ
0cossin
0sincos
Meccanismo Inseritore
13 MECCATRONICA
In forma matriciale:
nn
n
q
q
qddf
dqdf
dqdf
dqdf
xx
dxdf
dxdf
dxdf
dxdf
1
2
1
2
1
1
1
2
1
2
2
1
2
2
1
1
1
Le incognite sono determinate dalla somma delle velocità delle coordinate libere. Il modo più pratico per calcolare i rapporti di velocità è di lanciare l’analisi di velocità ponendo ad ‘1’ la coordinata libera di interesse ed annullando tutte le altre. Così facendo riesco a popolare la matrice W elemento per elemento: I coefficienti di sensibilità non sono dipendenti dalla velocità, ma solo dalla configurazione
del meccanismo che a sua volta è definita da q .
)(qww ijij
Per un generico punto P si può scrivere qqWP p )(
nn
n
q
q
qdxd
dqdx
dqdx
dqdx
xx
1
2
1
2
1
1
1
2
1
qWqAJx
qAxJ
1
J è la matrice Jacobiana, A contiene le derivate rispetto alle coordinate libere x è il vettore delle incognite q il vettore delle coordinate libere
AJW 1 matrice dei rapporti di velocità
Es. per calcolare
si impone 1jq ; 0| jkkq ;
risulta che j
iij dq
dxw
ijw
Meccanismo Inseritore
14 MECCATRONICA
1) MECCANISMO B ASE IN CA TENA AP ERTA
Eq. di chiusura:
Il punto O essendo a telaio, ha velocità di estensione nulla.
Poiché Z1 è rigido, è presente solo la componente di velocità angolare, da cui possiamo scrivere:
11 ZA
111
111
cossin
ZZ
yx
A
A
2) DIADE RRR (ABC)
Z3 e Z4 analogamente a Z1 possono solo ruotare, mentre Z2 può anche allungarsi. La velocità di estensione viene calcolata come differenza di velocità tra B e A:
AABZ 2 ( ricordando che la velocità di B è nulla perché a telaio ).
L’equazione di chiusura si riscrive come:
04433 ZZA
proiettata sugli assi:
0coscos0sinsin
444333
444333
ZZyZZx
A
A
11 ZZOA
0432 ZZZ
Meccanismo Inseritore
15 MECCATRONICA
Forma matriciale: bxJ
A
A
yx
ZZ
ZZ
4
3
44
44
33
33
cossin
cossin
Valutiamo il punto C
33 ZZBC
333
33
cossin
ZZ
yx
C
C
3) DIADE RRP (BCD)
Eq. di chiusura:
0365 ZZZ
Z5 non può ruotare ma solo allungarsi mentre Z3 e Z6 possono solo ruotare.
0)()( 6655 CBZZversZ
0cossin
0sincos
66655
66655
C
C
yZZxZZ
Forma matriciale:
C
C
yxZ
ZZ
6
5
66
66
5
5
sinsin
sincos
Analisi del punto D:
55 ZZBD
DyZ 5
RICAVO 3 e 4
E
D
C
B
Z6
Z3
Z5
RICAVO
5Z e 6
Meccanismo Inseritore
16 MECCATRONICA
4) MECCANISMO BASE IN CATENA APERTA CE
7ZCE
Nota C , il membro rigido Z7 è solidale con CD percui:
777 ZCZCE
777
777
cossin
ZZ
yx
yx
C
C
E
E
67 ZZ
67
2.4 GRAFICI 20 1 ; 111
Analisi di velocità di A
E
D
C
B
Z7
Meccanismo Inseritore
17 MECCATRONICA
Analisi di velocità di C
Analisi di velocità di D
Meccanismo Inseritore
18 MECCATRONICA
Analisi di velocità di E
Meccanismo Inseritore
19 MECCATRONICA
2.5 ANALISI CINEMATICA DI ACCELLERAZIONE
Determina le accelerazioni di tutti i membri del meccanismo, dati i risultati dell’analisi di posizione e le velocità. Si ottiene dalla derivata dell’equazione di velocità secondo i seguenti passaggi: eq. di chiusura di velocità.
KKK
KK
KK ZZversZZ )(0
che derivata da: dtd /
0))(2)()( 2 K
KKKKKKKKKK
K ZZversZZZversZZ
Proiettata sugli assi otteniamo:
K KKKKKKKKKKK
K KKKKKKKKKKK
ZZZZy
ZZZZx2
2
sincos2cossin:
cossin2sincos:
Forma matriciale: qAxJqAxJ ][][][][
)( KK ZversZ Accelerazione di allungamento
KK Z Accelerazione angolare KK .
)(2 KKK ZversZ Accelerazione di Coriolis: tiene conto sia dell’estensione dei membri e della loro rotazione
KK Z2 Accelerazione centripeta.
Partendo dai rapporti di velocità,
qqWx X )(
e derivando rispetto al tempo
qWqWx XX
K
kk
XX q
qWW
Più in generale:
qqq
WqqWP
n
i i
pp
1
)(
Rapporti di accelerazione
i
p
qW
Meccanismo Inseritore
20 MECCATRONICA
1) MECCANISMO BASE OA
Eq. di chiusura:
11 ZZOA
Come per l’analisi di velocità, i punti a telaio non hanno accelerazione,
mentre su Z1 è presente una componente di accelerazione angolare e centripeta, ma non di allungamento e di Coriolis.
112
111 ZZZ
2
111
111
111
111
sincos
cossin
sm
ZZ
ZZ
yx
A
A
2) DIADE RRR (ABC)
Eq. di chiusura:
0432 ZZZ
Z3 e Z4 possono solo ruotare similmente a Z1 del membro precedente, presentando termini di accelerazione angolare e centripeta. Z2 invece può anche allungarsi, e si ottiene dalla differenza tra B e A:
AABZ 2
Dalla proiezione sugli assi e successivo raccoglimento in forma matriciale otteniamo:
442
4332
3
442
4332
3
3443
33
44
33
44
4
3
sinsin
coscos)sin(
sinsin
coscos
ZZ
ZZyx
ZZZZ
ZZ
A
A
O
E
D
C
B
A Z1
E
D
C
B
A
Z2 Z3
Z4
Meccanismo Inseritore
21 MECCATRONICA
Una volta ottenuti 3 e 4 è possibile calcolare l’accelerazione del punto C:
33 ZZBC
23
33
333
33
33
sincos
cossin
ZZ
ZZ
yx
C
C
3) DIADE RRP (BCD)
0365 ZZZ
Z5 non può ruotare ma solo allungarsi Z3 e Z6 possono solo ruotare
0)(
)( 6266655
CBZZZversZ
0sincossin
0cossincos2
66666655
266666655
C
C
yZZZ
xZZZ
Forma matriciale:
26
66
66
5
66
5
66
5666
5
sincos
cossin
sincos
)cos(1
ZZ
yxZZ
ZZ
C
C
Ottenuti 5Z e 6 calcoliamo l’accelerazione del punto D:
];0[55 DyZZBD
E
D
C
B
Z6
Z3
Z5
Meccanismo Inseritore
22 MECCATRONICA
4) PUNTO ‘E’
7ZCE
72
777 ZZCE
Nell’ ipotesi di 76 e dalla proiezione sugli assi otteniamo:
2
677
2677
777
777
sin
coscossin
Z
ZZZ
yx
yx
C
C
E
E
2.6 GRAFICI 20 1 ; 111 ; 01
Analisi di accelerazione di A
E
D
C
B
Z7
Meccanismo Inseritore
23 MECCATRONICA
Analisi di accelerazione di C
Analisi di accelerazione di D
Meccanismo Inseritore
24 MECCATRONICA
Analisi di accelerazione di E
Meccanismo Inseritore
25 MECCATRONICA
3. ANALISI STATICA
Con l’analisi statica si trovano le forze e le coppie che i motori devono erogare per equilibrare staticamente le forze e i momenti esterni (considerati costanti) che agiscono sul meccanismo, in funzione della configurazione assunta in quel momento. Esistono due tipi di approcci:
Metodo Newtoniano: in cui applico la legge d’inerzia (eq. di equilibrio di traslazione e rotazione) a tutte le parti del sistema, per le quali si sviluppano 3 equazioni per ogni membro, oltre alle forze di accoppiamento.
Metodo Lagrangiano: si basa sul principio di stazionarietà del potenziale, dove considero il meccanismo come un unico sistema che scambia lavoro con l’ambiente esterno. Questo metodo genera tante equazioni quanti sono i gradi di libertà del meccanismo.
dei quali utilizzeremo solamente il metodo Lagrangiano poiché più facile da implementare e con meno equazioni.
3.1 APPROCCIO LAGRANGIANO
Considerare il meccanismo come una scatola chiusa della quale considero solo i flussi energetici entranti ed uscenti dell’intero sistema. L’equilibrio statico avviene quando il flusso netto dei lavori è nullo (principio dei lavori virtuali): Il lavoro virtuale è un lavoro infinitesimo sFL ovvero, compiuto da una forza reale per uno spostamento infinitesimo virtuale.
0
qL
qL
qL
qL ESTESTINT
iiiii dCdyFydxFxdL 0
Ricordiamo che anche il lavoro è funzione della configurazione del meccanismo:
),...,,( 21 nqqqLL
0...1
22
11
n
ii
in
n
dqqLdq
qLdq
qLdq
qLdL
Le variazioni infinitesime delle coordinate libere sono tutte indipendenti l’una dall’altra, ne consegue che le derivate parziali sono tutte nulle.
Il lavoro delle forze esterne è nullo poiché gli elementi sono indeformabili
INTL = 0
Meccanismo Inseritore
26 MECCATRONICA
0...0021
nq
LqL
qL
iiiii
ii dCdyFydxFxdLdL 0
n
n
qL
qL
qL
dqdL
...2
2
1
1
1
1
11
1
11
1
11
1
1
dqd
Cdqdy
Fydqdx
FxdqdL
Coppia al motore necessaria ad imporre l’equilibrio statico:
i
ii
ii
i qiC
qy
Fyqx
FxC
Suppongo di poter applicare forze e momenti in ogni punto possibile del meccanismo:
Forze: A,C,D,E, baricentro di AC,BC Momenti: AC, BC, DE
O
E
D
C
B
A
Forze Momenti
C
Ho un numero di equazioni pari ai gradi di libertà
Meccanismo Inseritore
27 MECCATRONICA
4. ANALISI DINAMICA
Permette di descrivere il movimento di ogni singolo punto del meccanismo nel tempo, qualora note masse ed inerzie dei membri (e quindi la loro stessa forma), ed eventuali forze e momenti esterni. Più in generale potremo quindi dire che l’analisi dinamica permette, date forze e momenti agenti sul sistema, di determinare la legge del moto in funzione delle coordinate libere. Per il principio di D’Alembert studio l’equilibrio dinamico, ipotizzandolo come un equilibrio statico tra forze effettive e forze d’inerzia, dove quindi la condizione di equilibrio statico rimanga valida anche per un sistema non in equilibrio a patto di considerare anche le forze d’inerzia mentre il meccanismo è in movimento.
0)()( tFtF InerziaAttiva amFIne ; JCIne
non rappresenta una forza vera, la uso solo per il bilancio energetico
forze attive responsabili dell’energia cinetica Anche in questo caso esistono due tipi di approccio:
Metodo newtoniano:
ii
iiy
iix
M
F
F
0
0
0
0
iB
Atti
iyBi
Attiy
ixBi
Attiy
i
IneATTi
i
Iney
Attiy
i
Inex
Attix
JM
amF
amF
CM
FF
FF
0
0
0
0
0
0
0
a. statica a. dinamica Metodo langragiano:
0 L 0 ineAtt LLULU
a.statica a. dinamica
in analogia a quanto visto nell’analisi statica, si traduce in un sistema di ‘n’ equazioni, dove ‘n’ rappresenta le coordinate libere.
dt
d acc. angolare
a acc. lineare
Baricentro
Meccanismo Inseritore
28 MECCATRONICA
niq
Lq
LqU
i
ine
i
Att
i
,...,10
i membri sono rigidi
0
011
n
Ine
n
Att
IneAtt
qL
qL
qL
qL
0 j i
jInej
j
jAttj q
PF
qi
PF
Consideriamo ora l’energia cinetica ‘T’ ottenendo l’equazione di Lagrange nella 2a forma.
j i
jAttj
ii qP
FqT
qT
dtd
KKKBKBK
KK IvmTT 22
21
21
222
21
21
KKBKBKBKK IyxmT
Riduzione alla coordinata libera:
yyq
qx
x KK
KBKB
KBKB
qqATK )(21
Dove A(q) è momento di inerzia ridotto rispetto alle coordinate libere. Sostituendo quest’ultimo nell’espressione di Lagrange nella seconda forma si ottiene l’equazione che ci permette di esprimere l’accelerazione della coordinata libera utilizzata successivamente nel prossimo paragrafo relativo alle simulazioni in Simulink.
Forza Inerziale
Forza Attiva
Baricentro
Meccanismo Inseritore
29 MECCATRONICA
5. SIMULINK Come detto, per effettuare la doppia integrazione si è deciso di ricorre all’utilizzo del software Simulink, il quale ci permette di creare uno schema a blocchi del sistema in esame.
Figura 4.3: Schema a blocchi meccanismo inseritore in evoluzione libera
Lo schema a blocchi riportato in figura 4.3 rappresenta l’equazione di equilibrio dinamico del meccanismo inseritore, realizzata mediante la funzione controllo_open_loop:
2)()(*2
1)()(
qdq
qdAqAqA
QqA
Cmq
l’output del blocco che esegue la somma rappresenta l’accelerazione della coordinata libera, che quindi viene passata attraverso una doppia integrazione per ottenere la legge del moto della coordinata libera.
Meccanismo Inseritore
30 MECCATRONICA
Lo schema di figura 4.3 è stato inserito in un ciclo, che tramite l’utilizzo di un blocco PID ci permette di controllare il sistema in funzione della posizione della coordinata libera (figura 4.4):
Figura 4.4: Controllo meccanismo inseritore