22
Risoluzione delle reti resistive Potenziali ai nodi Sovrapposizione degli effetti
Risoluzione delle reti resistive
Potenziali ai nodi
Sovrapposizione degli effetti
Calcolare le correnti incognite applicando il metodo dei potenziali ai nodi.
2
08
22
24
022
04
212
02
0
32
1
=⇒
=−−−++−−⇒=−−++−
=−+−−−⇒=+−−
=⇒
C
BCBBA
BAAC
D
VCnodo
VVVVV)i()()i()()i(Bnodo
VVVV)i()()i(Anodo
VDnodo
Metodo dei potenziali ai nodi
2 V
1 ΩΩΩΩ
8 ΩΩΩΩ
12 ΩΩΩΩ
4 ΩΩΩΩ
2 ΩΩΩΩ
2 ΩΩΩΩ
2 A
2 A
i A
B C
D
i1
i2 i3
i4
i5
Metodo dei potenziali ai nodi
A455111
16
4
V727211
30
V545811
94
8
2
8
7
4
12
26
43
088
2
244
044
21212
2
,VV
i
,V
,V
VV
VV
VVVV
VVV
BA
B
A
BA
BA
BBBA
BAA
==−=
==
==
=+−
=−
=+−++−
=−+−+−
2 V
1 ΩΩΩΩ
8 ΩΩΩΩ
12 ΩΩΩΩ
4 ΩΩΩΩ
2 ΩΩΩΩ
2 ΩΩΩΩ
2 A
2 A
i A
B C
D
i1
i2 i3
i4
i5
10 V 6 V
6 V 6 V
3 V
8 V
2 V
8 V 2 Ω
4 Ω
4 Ω
6 Ω
4 Ω
5 Ω
2 Ω
3 Ω
3 Ω
2 Ω
5 Ω
3 Ω
1
2
3 4
Metodo dei potenziali ai nodi
Risolvere la rete applicando il metodo dei potenziali ai nodi.
10 V 6 V
6 V 6 V
3 V
8 V
2 V
8 V 2 Ω
4 Ω
4 Ω
6 Ω
4 Ω
5 Ω
2 Ω
3 Ω
3 Ω
2 Ω
5 Ω
3 Ω
1
2
3 4
Metodo dei potenziali ai nodi
042
8
32
80
04
6
5
2
456
60
02
10
32
8
5
2
4
6
04
60
3
30
332
10
4342414
32324333
2121423232
11412121
=−−−+−−−−−
=−−−−−−−++−−
=−+−−−−−++−++−
=+−+−−+−+−+−−
VVV)V(VV)(V
V)V(V)V(VVV)(V
V)V(VV)V(V)V(V)V(V
)(V)(VVVVV)V(V
Metodo dei potenziali ai nodi
−
=
⋅
−−−−−−−−
−−
0
92
92
54
5831250503330
25006714500
5045078318330
333008330751
4
3
2
1
,
,,
V
V
V
V
,,,,,,,,,,,,,,
V1181
V9793
V3692
V2311
4
3
2
1
,V
,V
,V
,V
===
−=
10 V 6 V
6 V 6 V
3 V
8 V
2 V
8 V 2 Ω
4 Ω
4 Ω
6 Ω
4 Ω
5 Ω
2 Ω
3 Ω
3 Ω
2 Ω
5 Ω
3 Ω
1
2
3 4
012
19
4
1
2
1
3
110
29
4
1
15
16
20
90
10
29
2
1
20
9
60
107
6
52
9
3
10
6
5
4
7
4321
4321
4321
4321
=−−−
=−−
=−−−
−=−−
VVVV
VVVV
VVVV
VVVV
Metodo dei potenziali ai nodi
Risolvere la rete applicando il metodo dei potenziali ai nodi.
5 Ω
4 A
10 Ω
10 V
2 V
4 V
i
A
B A68115
28
5
42
V3
34
045
42
10
10
0
,V
i
V
VV
V
A
A
AA
B
−=−=+−=
−=
=++−+−−
=
Sovrapposizione degli effetti
Risolvere la rete applicando la sovrapposizione degli effetti.
A68,115
28
3
8
5
4'''
A3
8
15
50
5
144''
A5
4
510
4210'
'''
11
1
−=−=−=−=
=⋅⋅=+
⋅=
=+
+−=
−=
iii
GG
Gi
i
iii
5 Ω
4 A
10 Ω
10 V
2 V
4 V
i
A
B
5 Ω
10 Ω
10 V
2 V
4 V
i’
A
B
5 Ω
4 A
10 Ω
i’’
A
B
Trasformazione di Norton
Risolvere la rete applicando la trasformazione di Norton.
A68.115
28
15
34
5
2
5
2
A15
34
15
50
5
1
5
214
5
2
−=−=−=−=
=⋅⋅
+−=⋅=
−=
∑
R
TOT
RGENERATORIR
R
ii
G
Gii
ii
5 Ω
4 A
10 Ω
10 V
2 V
4 V
i
A
B
5 Ω 10 Ω 1 A
i
A
B
4 A
2/5 A
iR
Sovrapposizione degli effetti
A
B
e
e
R1
R2
R3
R4
R5
R7 R6
R8
R9 i
3-A1 (Sovrapposizione degli effetti)
Calcolare la corrente i e la tensione VAB. I generatori di tensione e le resistenze della rete hanno i seguenti valori:
Ω=== 5RRR 321Ω=== 30RRR 954
Ω=== 10RRR 876 V 300e =
A 0i =
A
B
e
e
R1
R2
R3
R4
R5
R7 R6
R8
R9 i
3-A1 (Sovrapposizione degli effetti)
Calcolare la corrente i e la tensione VAB. I generatori di tensione e le resistenze della rete hanno i seguenti valori:
Ω=== 5RRR 321Ω=== 30RRR 954
Ω=== 10RRR 876 V 300e =
A 0i =
Sovrapposizione degli effetti
e
e
R1
R2
R3
R4
R5
R7 R6
R8
R9 i
A
B
Sovrapposizione degli effetti
i’
Sovrapposizione degli effetti
iiii’’’’
iiii’’’’eeee
A30'''
A30'''
A0'''
A6,11''
A3,18''A3,18''
A6,6''
A6,11'
A3,18'A3,18'
A6,6'
333
111
1
32
3
11
=+==+=
=+=
==≡=
−=
==≡=
=
iii
iii
iii
i
ii
i
i
ii
i
e
e
Sovrapposizione degli effetti
A 10 V
12 V
2 Ω 8 Ω
12 Ω 8 Ω
B C
3-A2 (Sovrapposizione degli effetti)
Calcolare le tensioni VA, VB e VC.
VVVVVV CBA 16 6 12 ===
A 10 V
12 V
2 Ω 8 Ω
12 Ω 8 Ω
B C
3-A2 (Sovrapposizione degli effetti)
Calcolare le tensioni VA, VB e VC.
VVVVVV CBA 16 6 12 ===
Sovrapposizione degli effetti
A
12 V
2 Ω 8 Ω
12 Ω 8 Ω
B C B≡C
12//8 = 96/20 = 4,8 Ω
8//2 = 16/10 = 1,6 Ω
V’A =12 V
V’B = V’C = 12 · 4,8 / (4,8+1,6) = 9 V
Sovrapposizione degli effetti
A≡02//12 = 24/14 Ω
8//8 = 4 Ωi = 10/(4+24/14) = 14/8 AV’’A =0 V
V’’B = -i·24/14 = -3 VV’’C = V’’B + 10 = 7 V
VA = V’A + V’’A = 12 V
VB = V’B + V’’B = 9 – 3 = 6 V
VC = V’C + V’’C = 9 + 7 = 16 V
A
12 V
2 Ω 8 Ω
12 Ω 8 Ω
B C
A≡02//12 = 24/14 Ω
8//8 = 4 Ωi = 10/(4+24/14) = 14/8 AV’’A =0 V
V’’B = -i·24/14 = -3 VV’’C = V’’B + 10 = 7 V
VA = V’A + V’’A = 12 V
VB = V’B + V’’B = 9 – 3 = 6 V
VC = V’C + V’’C = 9 + 7 = 16 V
A
12 V
2 Ω 8 Ω
12 Ω 8 Ω
B C
A 10 V 2 Ω 8 Ω
12 Ω 8 Ω
B C
Sovrapposizione degli effetti
3-A3 (Sovrapposizione degli effetti)
Calcolare le tensioni VA, VB e VC.
V 30,55VV 668,9VV 60V CBA =−==
1 Ω 30 Ω
10 Ω 2 Ω
7 A
60 V
-30 V
A
B C
3-A3 (Sovrapposizione degli effetti)
Calcolare le tensioni VA, VB e VC.
V 30,55VV 668,9VV 60V CBA =−==
1 Ω 30 Ω
10 Ω 2 Ω
7 A
60 V
-30 V
A
B C
Sovrapposizione degli effetti
1 Ω 30 Ω
10 Ω 2 Ω 60 V
A
B C
10//(30+2) = 160/21 = 7,61904 Ω
i = 60/(1+ 7,61904) = 6,96133 A
V’A = 60 V
V’C = 60 – (6,96133·1)= 53,0387 V
V’C = 6,9613 ·7,61904= 53,0385 V
V’B = V’C · 2 / 32 V = 3,315 V
1 Ω
30 Ω
10 Ω 2 Ω 7 A
A
B
C
10//1 = 10/11 Ω ; 30+10/11 = 30,9091 Ω
2//30,9091 = 1,8785 Ω
V’’B = - 7·1,878 = - 13,1492 V
iB = V’’B/2 = - 6,575 A
iC = i – iB = -7-(- 6,5746) = - 0,4254 A
V’’A = 0 V
V’’B = - 13,149 V
V’’C = iC · 10/11 = - 0,3867 V
1 Ω 30 Ω
10 Ω 2 Ω 60 V
A
B C
10//(30+2) = 160/21 = 7,61904 Ω
i = 60/(1+ 7,61904) = 6,96133 A
V’A = 60 V
V’C = 60 – (6,96133·1)= 53,0387 V
V’C = 6,9613 ·7,61904= 53,0385 V
V’B = V’C · 2 / 32 V = 3,315 V
1 Ω
30 Ω
10 Ω 2 Ω 7 A
A
B
C
10//1 = 10/11 Ω ; 30+10/11 = 30,9091 Ω
2//30,9091 = 1,8785 Ω
V’’B = - 7·1,878 = - 13,1492 V
iB = V’’B/2 = - 6,575 A
iC = i – iB = -7-(- 6,5746) = - 0,4254 A
V’’A = 0 V
V’’B = - 13,149 V
V’’C = iC · 10/11 = - 0,3867 V
Sovrapposizione degli effetti
1 Ω 30 Ω
10 Ω 2 Ω -30 V
A
B C
1//(30+2) = 32/33 = 0,9697 Ω ;
10+32/33 = 362/33 = 10,9697 Ω
i = 30/10,9697 = 2,7348 A
iB = i · 0,9697 / 32 = 0,08287 A
V’’’C = i·0,9697 = -10·i+30 = 2,652 V
V’’’B = iB · 2 = 0,1657 V
V’’’A = 0 V
VA = V’A + V’’A + V’’’A = 60 + 0 + 0 = 60 V
VB = V’B + V’’B + V’’’B = 3,315 + - 13,149 + 0,1657 = -9,668 V
VC = V’C + V’’C + V’’’C = 53,036 - 0,3867 + 2,652 = 55,30 V
1 Ω 30 Ω
10 Ω 2 Ω -30 V
A
B C
1//(30+2) = 32/33 = 0,9697 Ω ;
10+32/33 = 362/33 = 10,9697 Ω
i = 30/10,9697 = 2,7348 A
iB = i · 0,9697 / 32 = 0,08287 A
V’’’C = i·0,9697 = -10·i+30 = 2,652 V
V’’’B = iB · 2 = 0,1657 V
V’’’A = 0 V
VA = V’A + V’’A + V’’’A = 60 + 0 + 0 = 60 V
VB = V’B + V’’B + V’’’B = 3,315 + - 13,149 + 0,1657 = -9,668 V
VC = V’C + V’’C + V’’’C = 53,036 - 0,3867 + 2,652 = 55,30 V
Sovrapposizione degli effetti
3-A4 (Sovrapposizione degli effetti)
Calcolare le tensioni V2 e V5. I generatori di tensione e di corrente ideali e le resistenze della rete hanno i seguenti valori:
V 95,9VV 81,4V 52 ==
R1 R3
R4
R7
R6
R5 R2
i0
eA eB
V2 V5
Ω=== 5RRR 631 Ω=== 8RRR 542
Ω= 10R7 V 12ee BA == A 2i0 =
3-A4 (Sovrapposizione degli effetti)
Calcolare le tensioni V2 e V5. I generatori di tensione e di corrente ideali e le resistenze della rete hanno i seguenti valori:
V 95,9VV 81,4V 52 ==
R1 R3
R4
R7
R6
R5 R2
i0
eA eB
V2 V5
Ω=== 5RRR 631 Ω=== 8RRR 542
Ω= 10R7 V 12ee BA == A 2i0 =
Sovrapposizione degli effetti
R1 R3
R4
R6
R5 R2
eA
V2 V5
R1+[R2//(R3+(R6//R5)+R4)] = 10,34 Ω
I’A =12 / 10,34 = 1,16 A
V’2 = 12 – R1· I1 = 6,2 V
I’2 = V’2/R2 = 6,198 / 8 = 0,775 A
I’3 = I’A – I’2 = 1,16 - 0,775 = 0,385 A
V’5 = V’2 – (R3+R4) ·I’3 = 1,19 V
R6+[R5//(R3+(R1//R2)+R4)] = 10,34 Ω
I’’B =12 / 10,34 = 1,16 A
V’’5 = 12 – R6· I’’B = 6,2 V
I’’5 = V’’2/R5 = 6,198 / 8 = 0,775 A
I’’3 = I’’B - I’’5 = 1,16 - 0,775 = 0,385 A
V’’2 = V’’5 – (R3+R4) ·I’’3 = 1,19 V
R1 R3
R4
R6
R5 R2
eA
V2 V5
R1+[R2//(R3+(R6//R5)+R4)] = 10,34 Ω
I’A =12 / 10,34 = 1,16 A
V’2 = 12 – R1· I1 = 6,2 V
I’2 = V’2/R2 = 6,198 / 8 = 0,775 A
I’3 = I’A – I’2 = 1,16 - 0,775 = 0,385 A
V’5 = V’2 – (R3+R4) ·I’3 = 1,19 V
R6+[R5//(R3+(R1//R2)+R4)] = 10,34 Ω
I’’B =12 / 10,34 = 1,16 A
V’’5 = 12 – R6· I’’B = 6,2 V
I’’5 = V’’2/R5 = 6,198 / 8 = 0,775 A
I’’3 = I’’B - I’’5 = 1,16 - 0,775 = 0,385 A
V’’2 = V’’5 – (R3+R4) ·I’’3 = 1,19 V
Sovrapposizione degli effetti
R1 R3
R4
R7
R6
R5 R2
i0
V’’’2 V’’’5
R1//R2 = R6//R5 = 3,077 Ω
(R1//R2) + R3 + (R6//R5) = 11,15 Ω
[(R1//R2) + R3 + (R6//R5)] // R4 = 4,66 Ω
I’’’3 = 2· 4,66 / 11,15 = 0,835 A
V’’’2 = - I’’’3 · (R1//R2) = - 2,57 V
V’’’5 = I’’’3 · (R6//R5) = 2,57 V
V2 = V’2+V’’2+V’’’2 = 4,81 V
V5 = V’5+V’’5+V’’’5 = 9,95 V
R1 R3
R4
R7
R6
R5 R2
i0
V’’’2 V’’’5
R1//R2 = R6//R5 = 3,077 Ω
(R1//R2) + R3 + (R6//R5) = 11,15 Ω
[(R1//R2) + R3 + (R6//R5)] // R4 = 4,66 Ω
I’’’3 = 2· 4,66 / 11,15 = 0,835 A
V’’’2 = - I’’’3 · (R1//R2) = - 2,57 V
V’’’5 = I’’’3 · (R6//R5) = 2,57 V
V2 = V’2+V’’2+V’’’2 = 4,81 V
V5 = V’5+V’’5+V’’’5 = 9,95 V
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