1 Appunti dal Corso di Progettazione Meccanica Prof. Giuseppe P. Demelio Cenni sul calcolo delle Ruote Dentate Richiami di cinematica delle ruote dentate Una possibile soluzione tecnica per la trasmissione del moto di rotazione tra alberi paralleli, incidenti oppure sghembi può essere ottenuta per mezzo di ruote dentate. L'obiettivo nella moderna progettazione di trasmissioni ad ingranaggi è di avere un rapporto di trasmissione costante ed elevate coppie trasmesse con dimensioni e masse contenute. Inoltre la trasmissione deve essere in grado di operare in modo affidabile durante la vita di servizio prevista. Poiché le deformazioni subite dai denti durante il funzionamento sono assai contenute, la cinematica delle ruote dentate può essere studiata applicando le leggi del moto dei corpi rigidi. Nel caso bidimensionale il moto di un corpo rigido può essere pensato, istante per istante, come una sequenza di atti di moto di rotazione intorno ad un punto definito centro di istantanea rotazione. La posizione di tale punto cambia nel tempo. La curva formata dalle successive posizioni del centro di istantanea rotazione nel sistema di riferimento fisso è chiamata polare fissa, mentre la curva formata nel sistema di riferimento solidale al corpo stesso è chiamata polare mobile. In questo modo la geometria del moto del corpo rigido è completamente sintetizzata e descritta dal puro rotolamento della polare mobile ad esso solidale sulla polare fissa. Profili coniugati Si considerino due corpi, il primo solidale alla polare fissa, il secondo solidale a quella mobile. Se essi sono conformati in modo tale da rimanere in contatto nel rotolamento della polare mobile su quella fissa, le superfici interessate dal contatto costituiscono superfici coniugate. Le stesse polari del moto sono particolari superfici coniugate. Se i corpi in contatto hanno la forma delle polari, il moto relativo sarà di puro rotolamento senza strisciamento. Nel caso di corpi reali, in questo caso sarà possibile trasmettere soltanto forze tangenziali per attrito. Ciò implica che è necessario comprimere fra loro i corpi e che il massimo valore della forza scambiata è limitato alla forza di attrito. Nel caso si manifesti uno slittamento, in generale la cinematica prevista per il moto non è più rispettata, oppure, nel migliore dei casi, si perde la fase relativa tra le posizioni assunte istante per istante dai corpi. Affinché si possano scambiare forze nella direzione normale al contatto è necessario che le superfici in contatto siano coniugate ma non coincidenti con le polari del moto. Ciò comporta la presenza di uno scorrimento relativo nella zona di contatto dei profili, con perdite per attrito. Questo è un inconveniente inevitabile e quindi lo studio della forma da assegnare alle superfici deve anche cercare di minimizzare e comunque portare entro limiti tecnicamente accettabili l'ampiezza degli scorrimenti. Questo obiettivo viene perseguito utilizzando sequenze di superfici coniugate che entrano in contatto in zone prossime a quella dell'asse di istantanea rotazione in modo da avere velocità relative contenute e quindi corrispondenti velocità di strisciamento limitate. Assegnata una coppia di polari, è possibile trovare un numero infinito di superfici coniugate. Il problema della loro ricerca è definito problema inverso. Per garantire la trasferibilità delle geometrie ai
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Appunti dal Corso di Progettazione Meccanica Prof. Giuseppe P. Demelio
Cenni sul calcolo delle Ruote Dentate Richiami di cinematica delle ruote dentate Una possibile soluzione tecnica per la trasmissione del moto di rotazione tra alberi paralleli, incidenti oppure sghembi può essere ottenuta per mezzo di ruote dentate. L'obiettivo nella moderna progettazione di trasmissioni ad ingranaggi è di avere un rapporto di trasmissione costante ed elevate coppie trasmesse con dimensioni e masse contenute. Inoltre la trasmissione deve essere in grado di operare in modo affidabile durante la vita di servizio prevista. Poiché le deformazioni subite dai denti durante il funzionamento sono assai contenute, la cinematica delle ruote dentate può essere studiata applicando le leggi del moto dei corpi rigidi. Nel caso bidimensionale il moto di un corpo rigido può essere pensato, istante per istante, come una sequenza di atti di moto di rotazione intorno ad un punto definito centro di istantanea rotazione. La posizione di tale punto cambia nel tempo. La curva formata dalle successive posizioni del centro di istantanea rotazione nel sistema di riferimento fisso è chiamata polare fissa, mentre la curva formata nel sistema di riferimento solidale al corpo stesso è chiamata polare mobile. In questo modo la geometria del moto del corpo rigido è completamente sintetizzata e descritta dal puro rotolamento della polare mobile ad esso solidale sulla polare fissa. Profili coniugati Si considerino due corpi, il primo solidale alla polare fissa, il secondo solidale a quella mobile. Se essi sono conformati in modo tale da rimanere in contatto nel rotolamento della polare mobile su quella fissa, le superfici interessate dal contatto costituiscono superfici coniugate. Le stesse polari del moto sono particolari superfici coniugate. Se i corpi in contatto hanno la forma delle polari, il moto relativo sarà di puro rotolamento senza strisciamento. Nel caso di corpi reali, in questo caso sarà possibile trasmettere soltanto forze tangenziali per attrito. Ciò implica che è necessario comprimere fra loro i corpi e che il massimo valore della forza scambiata è limitato alla forza di attrito. Nel caso si manifesti uno slittamento, in generale la cinematica prevista per il moto non è più rispettata, oppure, nel migliore dei casi, si perde la fase relativa tra le posizioni assunte istante per istante dai corpi. Affinché si possano scambiare forze nella direzione normale al contatto è necessario che le superfici in contatto siano coniugate ma non coincidenti con le polari del moto. Ciò comporta la presenza di uno scorrimento relativo nella zona di contatto dei profili, con perdite per attrito. Questo è un inconveniente inevitabile e quindi lo studio della forma da assegnare alle superfici deve anche cercare di minimizzare e comunque portare entro limiti tecnicamente accettabili l'ampiezza degli scorrimenti. Questo obiettivo viene perseguito utilizzando sequenze di superfici coniugate che entrano in contatto in zone prossime a quella dell'asse di istantanea rotazione in modo da avere velocità relative contenute e quindi corrispondenti velocità di strisciamento limitate. Assegnata una coppia di polari, è possibile trovare un numero infinito di superfici coniugate. Il problema della loro ricerca è definito problema inverso. Per garantire la trasferibilità delle geometrie ai
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corpi reali non è sufficiente che i profili siano fra loro coniugati, in quanto è necessario anche che le parti non in contatto non vadano a compenetrarsi e quindi non entrino in interferenza. Sono state studiate varie tecniche per risolvere il problema inverso. La tecnica più utile ai fini della trasferibilità pratica delle considerazioni teoriche alle applicazioni tecniche è quella che sfrutta una terza polare ed un punto oppure una curva ad essa solidale. Si dimostra che facendo rotolare senza strisciare la terza polare separatamente sulle altre due, le traiettorie del punto oppure gli inviluppi generati dalla curva solidale alla terza polare nei due moti costituiscono profili fra loro coniugati. Poiché la scelte della terza polare, della posizione del punto o della curva ad essa solidale possono essere effettuate arbitrariamente, si dispone di un metodo per generare ed esplorare un numero infinito di profili coniugati. Dal punto di vista tecnico ovviamente si opta per geometrie semplici, che possono essere trasferite facilmente alle applicazioni. Polari per la trasmissione del moto fra assi paralleli Si supponga di voler trasmettere un moto rotatorio tra due alberi paralleli in modo che il rapporto tra le velocità angolari sia costante. Siano 1ω ed 2ω le velocità angolari istantanee rispettivamente in ingresso e uscita. Il rapporto di trasmissione è definito
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2
ωωτ =
La cinematica del moto può essere studiata con riferimento ad un piano normale ai due assi di rotazione. Al variare della distanza dal centro di ciascun albero il campo delle velocità periferiche varia con le leggi:
( )( ) rrV
rrV
22
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ωω
==
Nello spazio solidale a ciascuno degli alberi rotanti potranno essere determinate le distanze dal centro in cui le velocità coincidono, consentendo di non avere strisciamenti relativi nel moto
2211 rr ωω = Assegnata la distanza tra gli assi e il rapporto di trasmissione, è possibile determinare univocamente 1r ed 2r . Pertanto le polari nel moto relativo degli spazi solidali ai due alberi sono circolari e vengono chiamate circonferenze primitive. Si consideri una terza polare costituita da una retta tangente alle primitive nel loro punto di contatto ed una curva ad essa solidale costituita ancora da una retta passante per il punto comune di tangenza ed inclinata di un angolo θ rispetto alla normale alle polari nel punto di tangenza. Facendo rotolare senza strisciare la terza polare sulle altre, l'inviluppo della retta ad essa solidale descriverà due profili coniugati. Si dimostra che tali profili sono evolventi di circonferenze concentriche alle primitive, definite circonferenze di base o fondamentali. Ruote dentate cilindriche a denti diritti Unificazione nelle dimensioni delle ruote dentate La dimensione di unificazione per le ruote dentate è il modulo, definito come rapporto tra diametro primitivo e numero di denti:
2
2
1
1 22zr
zr
m pp ==
3
Tutte le grandezze geometriche sono rapportate al modulo. Nel proporzionamento normale si ha:
mdedendumdmaddenduma
⋅====
25.1
mentre nel proporzionamento ribassato si ha:
a addendum 0. 8 md dedendum m
Il passo è legato al modulo dalla relazione:
p 2rz m
Anche il raggio di raccordo al piede del dente (legato alla geometria dell'utensile) è fornito in rapporto al modulo. Valori unificati del modulo La limitazione nell'assortimento di utensili di taglio richiede la discretizzazione dei valori da assegnare al modulo. La seguente tabella riporta i moduli unificati, con l'indicazione in grassetto di quelli consigliati, per i quali è più agevole la reperibilità commerciale degli utensili:
Numero minimo di denti Il numero minimo di denti è stabilito sulla base della condizione di non interferenza che esclude la possibilità che avvengano contatti in zone all'interno delle circonferenze fondamentali. Il proporzionamento normale non esclude tale possibilità. Infatti, affinché la circonferenza di piede non vada oltre la fondamentale, deve essere verificata la relazione
mrr pf 25.1−< ovvero
( )
θ
θ
θ
cos125.12cos125.125.1cos
−⋅
≥
−≤
−≤
z
rmmrr
p
pp
Per un angolo di pressione di 20° deve essere .41>z
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Numero di denti necessario a garantire (proporzionamento normale, angolo di pressione θ = 20°),
che tutto il dente intagliato sia esterno alla fondamentale
Per non incorrere nell'interferenza nel taglio con dentiera o creatore deve essere rp cos2 rp a
sin2 2ma2mrp
zMIN am
2sin2
mentre nel taglio con fresa o con ingranaggio utensile 1 si ottiene:
zMIN 2 am
1 1 2 sin2
2 sin2 Dal punto di vista costruttivo la condizione di assenza di interferenza nei confronti dell'utensile può non essere rispettata, poiché l’interferenza con l’utensile si traduce in una asportazione di materiale in corrispondenza della radice del dente (undercutting) che ne determina un indebolimento.
1Per ruote dentate interne è sufficiente cambiare il segno al rapporto di trasmissione. Nel caso di taglio con ingranaggio utensile, il numero di denti minimo è quello corrispondente all'ingranamento con l'ingranaggio utensile stesso.
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Moto relativo di taglio dell’utensile (angolo di pressione 20°) rispetto alla ruota per z = 18 (numero
minimo di denti per taglio senza asportazione alla radice del profilo ad evolvente) e per z = 9. Grado di ricoprimento E' il fattore che fornisce il numero di denti contemporaneamente in presa. E' ottenuto come rapporto tra lunghezza del segmento dei contatti e passo sulla circonferenza di base:
GR Lpb
load sharing ratio
L rp1 a2 rb12 rp2 a2 rb2
2
rp1 rp2 sinpb p cos passo sulla fondamentale
Dimensionamento e verifiche Formula di Lewis I principali fenomeni che possono portare alla rottura o al fuori servizio delle ruote dentate sono la fatica alla radice del dente e la fatica superficiale in corrispondenza della zona maggiormente sollecitata dal contatto meccanico. L'impostazione della verifica a fatica è sul procedimento introdotto da Lewis nel 1892, che considera il dente come una trave a sezione variabile, incastrata ad una estremità e sollecitata a flessione dalla forza massima applicata nella condizione più sfavorevole cioè all’atto dell’imbocco. Si trascura la componente assiale N delle forza.
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Poiché la sezione della trave ha un’altezza variabile, non è detto che la sezione più sollecitata coincida con quella di incastro. Un possibile procedimento per individuare la sezione più sollecitata si basa sul confronto della geometria del dente con quella del solido a uniforme resistenza a flessione. Si consideri la trave inflessa a sbalzo caricata in punta e si determini un'altezza della sezione h(x) variabile tale da produrre l'uniforme resistenza della stessa, cioè una tensione massima costante in ogni sezione:
σσ === 2max )(6
)()()(
xbhQx
xWxMx (1)
da cui
xKbQxxh ==σ
6)( (2)
L'individuazione del valore di σ per cui la curva di tipo (2) risulta tangente al profilo del dente consente la valutazione sia della massima tensione nominale, sia del punto in cui essa si realizza, che è proprio quello di tangenza. Infatti in corrispondenza della sezione di tangenza la tensione vale σ mentre nella altre sezioni è inferiore poiché la dimensione della sezione resistente è maggiore di quella della corrispondente sezione del solido ad uniforme resistenza.
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L'ascissa del punto di tangenza x e il corrispondente spessore s andranno a caratterizzare la sezione critica, in cui la tensione sarà:
max 6 Q xb s 2
Nel caso di progetto, assegnata la tensione di lavoro w del materiale, si avrà:
Q wb 16
s 2
x wbm 16
s 2
x m da cui:
Q wbmY dove il parametro adimensionale Y definito come
Y 16
s 2
x m è il coefficiente di Lewis, funzione dell'angolo di pressione θ , del tipo di proporzionamento (normale o ribassato) e del numero di denti.
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Effetti dinamici - Formula di Barth L’esperienza ha mostrato che la tensione massima ottenuta con la formula di Lewis va maggiorata per tener conto degli effetti dinamici introducendo un fattore indicato con vK , che dipende dalla velocità periferica in corrispondenza delle primitive e dalla precisione del profilo della dentatura. La prima formula del coefficiente correttivo vK , ricavata da Barth in modo empirico per denti ottenuti per fusione e con profili cicloidali, è:
33 VKv
+=
dove V è la velocità periferica in corrispondenza della primitiva espressa in [m/s]. L' AGMA fornisce, per ruote dentate correnti ad evolvente ottenute per fresatura oppure mediante taglio per inviluppo (creatore, dentiera utensile, ruota utensile), l'espressione:
66 VKv
+= .
Per ruote dentate accurate ottenute mediante taglio per inviluppo, si ha:
Kv 50 200V
50 ; Kv 78 200V
78 Nel caso di ingranaggi di precisione rifiniti per sbarbatura si ha:
Kv 78 200V
78 Per ingranaggi di altissima precisione Kv 1
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Stima delle dimensioni della dentatura Nel proporzionamento delle ruote dentate, nel caso la fatica sia trascurabile, volendo minimizzare dimensioni e pesi, è possibile utilizzare una formula formalmente identica a quella di Lewis, in cui il fattore Y tiene conto anche della fase in cui si realizza la massima sollecitazione, dal momento che all'imbocco e al recesso, per garantire la continuità del moto, deve esserci più di un dente in presa. La formula di Lewis integrata dalla maggiorazione dinamica dei carichi diviene:
KvQ wbmY Rapportando la dimensione assiale della ruota al modulo, si ha:
b m Poiché:
Q CR 2C
mz la relazione tra coppia e modulo diviene:
C Yzwm3
2Kv e quindi, esplicitando il modulo si ottiene:
m 32CKvYzw
Verifica a fatica delle ruote dentate cilindriche La formula di Lewis non considerava le sollecitazioni di fatica e l'effetto d'intaglio alla radice del dente. La progettazione si avvaleva di opportuni coefficienti di sicurezza relativi alla rottura o allo snervamento che garantivano, sia pure empiricamente, la resistenza alle sollecitazioni affaticanti, che nelle ruote dentate sono inevitabilmente presenti. La moderna progettazione delle ruote dentate è basata sulla resistenza a fatica e a fatica superficiale. La progettazione statica è applicata solamente ai casi in cui l'intervento delle ruote dentate è temporalmente limitato e saltuario. Le standardizzazioni dei procedimenti costruttivi e degli utensili fa in modo che il raggio di raccordo presente al piede della dentatura sia pari a 0.30m oppure 0.35m e le norme di riferimento AGMA, ISO forniscono un fattore di Lewis modificato, indicato con J, che tiene conto delle reali sollecitazioni agenti (effetto della componente compressiva del carico), del fattore di effetto di intaglio
fK , della fase di ingranamento in cui la forza applicata raggiunge il valore massimo (che non si realizza al momento del contatto in punta perché, quando una coppia di denti rilascia l'ingranamento, un'altra coppia deve essere già in presa). La formula da utilizzare, che deriva direttamente da quella di Lewis, è
bmJQKKK mv max0 σ=
Il fattore geometrico J è fornito in grafici o tabelle, il coefficiente 0K tiene conto della presenza di irregolarità nella coppia motrice e nella coppia resistente, il coefficiente mK tiene conto della
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accuratezza delle lavorazioni, del montaggio e della possibilità che la forza non sia uniformemente distribuita nella dimensione assiale del contatto.
I valori di 0K e mK sono desumibili dalla seguenti tabelle:
Km Dim. assiale mm Caratteristiche della trasmissione: 50 150 225 400 ingranaggi precisi, montaggi accurati, piccoli giochi sui cuscinetti
1. 3 1. 4 1. 5 1. 8
minore precisione, ma contatto esteso su tutta la dim. assiale
1. 6 1. 7 1. 8 2. 2
contatto non esteso su tutta la dimensione assiale 2. 2 Nella verifica a fatica deve essere
MAX2 KvK0KmQ
2bmJ ep,amm
dove ep,Pamm rappresenta la tensione alterna limite ammissibile a fatica a pulsante. Come nella
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progettazione classica a fatica, la tensione limite pulsante ammissibile è data da:
ep,amm kakbkcerkakbkce r
Normalmente il fattore di riduzione della tensione limite di fatica per la finitura superficiale ak è quello relativo alla lavorazione per asportazione di truciolo, dal momento che anche in ingranaggi rettificati (sbarbati) la finitura superficiale del raccordo non viene migliorata in maniera apprezzabile. La dimensione caratteristica da considerare per il fattore di riduzione relativo alle dimensioni assolute è
mpdeqv π== . I valori di tale fattore sono reperibili in tabelle.
Nel caso di ruote oziose è necessario tenere conto che la sollecitazione si inverte completamente. Nella progettazione a vita infinita si ha:
ammemv
bmJQKKK
,0
max σσ ≤=
dove amme,σ è il limite di fatica in presenza di sollecitazione alterna, pari a ecba kkk σ . Resistenza all'usura delle ruote dentate Il termine usura per le ruote dentate risulta generico. In realtà è necessario distinguere fra i vari fenomeni che possono determinare fenomeni di deterioramento superficiale in grado di determinare il fuori servizio delle ruote dentate: pitting caratteristica butteratura dovuta a fatica superficiale derivante dall'applicazione ripetuta di carichi di contatto (numero di cicli di carico 810> ); scoring fenomeno di usura consistente nella formazione di superfici di usura, in genere lucide e lisce, dovuta all'assenza o alla non corretta lubrificazione; abrasione fenomeno di usura dovuta ad impurezze contenute nel lubrificante. La verifica all'usura si configura più correttamente come verifica a fatica superficiale, che parte dalla
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stima della pressione massima hertziana. Si constata che il pitting comincia a manifestarsi in corrispondenza della primitiva, estendendosi principalmente lungo i fianchi e in parte lungo le coste della dentatura. La verifica si effettua pertanto in corrispondenza della primitiva.
Fatica superficiale nelle ruote dentate
Dalla teoria di Hertz, la semi-dimensione dell'area di contatto è:
a 4Fb
112
E1
122
E21r1 1
r2 mentre la pressione massima di contatto è:
H 2Fab 2F
b 4Fb
112
E1
122
E21
r1 1
r2
Fb
1r1 1
r2
11
2
E1
122
E2
Ponendo:
Cp 1
11
2
E1
122
E2
dove Cp è il coefficiente elastico, si ha:
H CpFb
1r1
1r2
CpQ
b sin cos 1
rp1 1
rp2
Cp4Q
dp1b sin2 1
CpQ
dp1b41
sin2 CpQ
dp1bI
avendo definito con I il coefficiente geometrico:
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I sin24 1
Nel caso di materiali uguali aventi 3.0=ν si ottiene classica formula (cfr. Giovannozzi, Vol. II):
( ) θτ
θτ
νπσ
2sin15914.0
2sin1
11
112
+=
+−
=br
QEbr
QEpp
H
Nel valutare la pressione massima di contatto intervengono nuovamente i coefficienti maggiorativi del carico mv KKK ,, 0 . Quindi:
bIdQKKKC
p
mvpH
1
0=σ
Il valore della Hσ va confrontato con la tensione limite hertziana, che per l'acciaio, per 710 cicli, con una affidabilità del 99% , ad una temperatura inferiore a 120°C, è fornita da:
][698.2 MPaHBeH −⋅=σ
La tensione limite hertziana ammissibile può essere determinata come segue:
eHRLeHamm CC σσ =
dove LC è il life factor, dipendente dal numero di cicli di progetto N:
60973.0
6048455.0
10 se /288.4
10 se /184.2
<=
≥=
NNC
NNC
L
L
RC è il reliability factor: Affidabilità CR
0. 5 1. 25 0. 99 1. 0
0. 999 0. 8
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Ruote dentate coniche a denti diritti La superficie coniugata delle ruote dentate coniche a denti diritti può essere considerata come inviluppo della generatrice comune al cono fondamentale ed un piano ad esso tangente quando il piano rotola senza strisciare sul cono fondamentale. Ciascun punto della retta avrà una traiettoria giacente su di una sfera con centro sul vertice del cono fondamentale. Tale traiettoria sarà una evolvente sferica. Rapporto di trasmissione
sin1
sin2
1 2 da cui
sin1
sin 1
sin1
sin cos 1 cos sin1
1sin/ tan1 cos
1 arctan sin1 cos
; 2 1
se
2
1 arctan Le relazioni utilizzate per determinare le condizioni di interferenza e la resistenza statica, a fatica e a fatica superficiale fanno invece riferimento all'ingranamento nel piano, mentre la geometria di ingranamento corrisponde, come già detto, a evolventi sferiche. Si preferisce utilizzare le relazioni dell'ingranamento nel piano, con approssimazioni più che accettabili, piuttosto che sviluppare una precisa ma complessa teoria di ingranamento con geometria sferica. Per far questo si considerano i profili dei denti proiettati su di un piano normale alla generatrice comune dei coni primitivi. Si vede che localmente l'ingranamento avviene come nel caso piano assumendo come raggi primitivi quelli dei coni complementari. Le grandezze corrispondenti saranno identificate come grandezze fittizie:
rp1
rp1
cos 1; rp2
rp2
cos 2
rp1
rp2
rp1 cos 2
rp2 cos 1
cos 2
cos 1
z1
2rp1
m 2rp1
m cos 1 z1
cos 1
z2 z2
cos 2 dovendo rendere minimo il numero fittizio di denti, si avrà:
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zMIN 2 am cos
1 1 2 sin2
2 sin2 Nel dimensionamento è necessario tenere conto che il rapporto di trasmissione effettivo sarà fornito dal rapporto tra due interi e pertanto, non potendo rispettare esattamente il rapporto di trasmissione assegnato, sarà necessario apportare le necessarie correzioni agli angoli 1 e 2 . Rapporto b/L
Lb 1
mm
rp1m
sin1 mm
2 rp1m
mm sin1 1
2
z12 sin1
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Risolvendo rispetto a λ si ottiene:
z12L/b 1 sin1
In genere, per le ruote dentate coniche, si pongono i seguenti limiti
10 bL 1
3 avendo indicato con L la distanza dal vertice dei coni primitivi del punto più lontano della dentatura misurata sulla generatrice comune dei coni stessi. Nel dimensionamento statico si effettua il calcolo in corrispondenza della sezione media, ma si unifica il modulo esterno, poiché il fattore di Lewis tabellato è quello delle ruote dentate cilindriche. Il rapporto tra modulo esterno e modulo medio è:
memm
rp1m
sin1 mm
2rp1m
sin1
1 mm sin1
2rp1m 1 sin1
z1
Nel dimensionamento a fatica e a fatica superficiale si fa riferimento direttamente alle grandezze esterne, dal momento che si dispone di diagrammi specifici che forniscono il fattore J ed il coefficiente geometrico per ruote dentate coniche. Applicando la relazione secondo l' AGMA si avrà:
KvK0KmQ maxbmeJ dove Q è la forza scambiata tra i denti in corrispondenza del punto medio della dentatura e Km è fornita dalla seguente tabella
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Si otterrà:
max KvK0KmQ
bmeJ
H 1. 23CpKvK0KmQ
dp1ebI
Il fattore 23.1 è attribuito al coefficiente elastico e deriva dalla non uniformità del contatto rispetto alle ruote dentate cilindriche a denti diritti (il contatto fra superfici coniche non è Hertziano).
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Ruote dentate elicoidali La superficie coniugata delle ruote dentate elicoidali può essere considerata come inviluppo di una retta giacente nel piano tangente al cilindro fondamentale ed inclinata di un angolo b rispetto ad una retta parallela all'asse del cilindro e giacente nello stesso piano, quando il piano stesso rotola senza strisciare sul cilindro fondamentale. Ciascun punto della retta avrà una traiettoria che giacerà in un piano perpendicolare all'asse del cilindro (piano frontale), descrivendo un profilo ad evolvente, uguale per tutti i punti della retta, ma sfasato con continuità, secondo un'elica. Poichè tecnicamente la superficie di inviluppo è generata dal taglio con creatore, opportunamente inclinato rispetto al taglio di ruote dentate a denti diritti, le grandezze caratteristiche del dente elicoidale saranno unificate, con riferimento all sua proiezione in un piano di sezione perpendicolare al cosiddetto asse-dente (piano normale), costituito da una elica sul cilindro primitivo inclinata di un angolo α . La relazione tra bα e α può essere facilmente ricavata considerando che qualsiasi elica ottenuta dalla sezione di un dente con un cilindro concentrico a quello fondamentale dovrà avere lo stesso passo pe :
pe 2rbtanb
2rptan
rbtanb
rp cos f
tanb
rptan
tan tanbcos f
dove si è indicato con fθ l'angolo di pressione nel piano frontale. Le relazioni tra grandezze nel piano frontale e nel piano normale (dove sono unificate) sono le seguenti
pn pf cos mn mf cos tann tan f cos Ricapitolando
rp1rp2
z1z2
rb1 rp1 cos f rb2 rp2 cos f
rp1 mfz1
2 rp2 mfz2
2a mn d 1. 25mn nel prop. normale
Sviluppando il moto nel piano normale all'asse-dente è come se virtualmente il raggio primitivo fosse maggiore, in quanto coincidente con quello del cerchio osculatore dell'elica normale all'asse-dente.2
2 Tale raggio è pari a quello di curvatura maggiore dell'ellisse ottenuto sezionando il cilindro primitivo con un piano la cui normale è inclinata di α rispetto all'asse del cilindro stesso. In un ellisse di semiassi a e b , i raggi di curvatura massimo e minimo sono ab /2 e ba /2
20
rp
rp
cos2
mf z
2 cos2 mnz
2 cos3 Poiché la condizione di non interferenza va imposta nel piano di taglio (che è quello in cui le grandezze geometriche sono unificate) e quindi nel piano normale, il numero minimo di virtuale è
zMIN
2rp
mn a
m 2sin2
La relazione fra numero minimo di denti nell'ingranamento virtuale e numero minimo di denti reale è:
zMIN
2rp
mn
2rp
mn cos2
2rp
mf cos3 zMIN
cos3 Pertanto la formula generalizzata per la determinazione del numero minimo di denti diviene:
zMIN am 2
sin2cos3
Il dimensionamento a fatica delle ruote dentate elicoidali è effettuato sempre con le formule
MAX2 0. 93KmKvK0Q
2bmJ ep,amm
H Cp0. 93KmKvK0Q
dp1bIcos
0. 95GR
con J tabellato in funzione dell'angolo di inclinazione dell'elica α . Per il coefficiente di maggiorazione dinamica dei carichi si assume:
Kv 78 200V
78 dal momento che in genere gli ingranaggi elicoidali hanno una buona accuratezza nel taglio e migliori caratteristiche di continuità del moto con fenomeni dinamici limitati. Il fattore geometrico va calcolato nel piano frontale:
I sin2 f
4 1 GR rappresenta il grado di ricoprimento, già definito in precedenza. Esso è corretto del fattore 0. 95 per tener conto della riduzione della dimensione del dente in punta (tip relief) e alla radice (root relief). Inoltre è introdotto il fattore αcos per tener conto della maggiore lunghezza del segmento dei contatti rispetto a quella che si misura nel piano frontale.
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Forze scambiate nelle ruote dentate Ruote dentate cilindriche a denti diritti:
