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7/31/2019 Santus - Seminario_MeccanicaDeiContinui
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Formulazione del Problema
Cinematica di Deformazione
Equazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Breve introduzione alla Meccanica dei Continui
Ciro Santus
[email protected]. Facolta di Ingegneria. Universita di Pisa.
Giugno 2006
Ciro Santus Breve introduzione alla Meccanica dei Continui
mailto:[email protected]:[email protected]://find/http://goback/7/31/2019 Santus - Seminario_MeccanicaDeiContinui
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Formulazione del Problema
Cinematica di Deformazione
Equazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
1 Formulazione del Problema
Aspetti generaliDescrizione Lagrangiana / Euleriana
2 Cinematica di DeformazioneDefinizione Tensore di deformazioneTensori di Cauchy e di Green
Gradiente di velocita di deformazione
3 Equazioni di Bilancio
Equazioni globali di bilancioEquazioni locali di bilancio (descr. Spaziale)
Equazioni locali di bilancio (descr. Materiale)4 Equazioni Costitutive
Obbiettivita del materiale
Materiale Semplice / Materiale a Memoria EvanescenteCostitutive piu semplici
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Formulazione del Problema
Cinematica di Deformazione
Equazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Primo testo sulla Meccanica dei Continui
C. Truesdell, R. A. Toupin.
The Classical Field Therories.Encyclopedia of Physics, Springer-Verlag, 1965.
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Formulazione del Problema
Cinematica di Deformazione
Equazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Bibliografia moderna
C. Truesdell.
The Elements of Continuum Mechanics.Rational Thermodynamics, Springer-Verlag, 1985.
I. Muller.Thermodynamics.Pitman, 1985.
P. Haupt.Continuum Mechanics and Theory of Materials.Advanced Texts in Physics, Springer-Verlag, 2002.
I-Shih Liu.Continuum Mechanics.Advanced Texts in Physics, Springer-Verlag, 2002.
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Cinematica di Deformazione
Equazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Bibliografia Low-Cost
P. Chadwick.
Continuum Mechanics - Concise Theory and Problems.Dover Books on Physics, 1999. (10.95 $)
(Ottimo per iniziare)
L. A. Segel.Mathematics Applied to Continuum Mechanics.
Dover Books on Physics, 1987. (14.95 $)(Maggiormente dedicato ai solidi)
R. A. Granger.Fluid Mechanics.
Dover Books on Physics, 1995. (29.95 $)(Dedicato unicamente ai fluidi)
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Formulazione del Problema
Cinematica di Deformazione
Equazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Corso di Lezioni
P. Villaggio.
Meccanica dei Continui.Corso di Perfezionamento di Matematica
Scuola Normale Superiore
Notazione indicizzata(i) piuttosto che tensoriale (T)
Notazione i
= aibi
Notazione T
= a b
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F l i d l P bl
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Formulazione del Problema
Cinematica di Deformazione
Equazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Collocazione didattica della Meccanica dei Continui
Sequenza didattica
1 Meccanica dei solidi
2 Fluidodinamica
3
Termodinamica4 Meccanica dei Continui
Sequenza logica
1 Meccanica dei Continui
2 Termodinamica
3
Fluidodinamica4 Meccanica dei solidi
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Formulazione del Problema
Cinematica di Deformazione
Equazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Aspetti generali
Descrizione Lagrangiana / Euleriana
1 Formulazione del Problema
Aspetti generaliDescrizione Lagrangiana / Euleriana
2 Cinematica di DeformazioneDefinizione Tensore di deformazioneTensori di Cauchy e di Green
Gradiente di velocita di deformazione
3 Equazioni di Bilancio
Equazioni globali di bilancioEquazioni locali di bilancio (descr. Spaziale)
Equazioni locali di bilancio (descr. Materiale)4 Equazioni Costitutive
Obbiettivita del materiale
Materiale Semplice / Materiale a Memoria EvanescenteCostitutive piu semplici
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Equazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Aspetti generali
Descrizione Lagrangiana / Euleriana
Definizione dellIpotesi del Continuo
Si definisce continuo un modello di materiale per il quale, inogni suo punto, e possible riassumere una porzione
macroscopica di materia e definiere proprieta intensive come:Posizione, Velocit a, Temperatura, Densit a, Entalpia, Entropia
etc.La descrizione non scende a livello particellare.
Si definisce, in tal modo, il concetto di Punto Materiale.
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Formulazione del Problema
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Formulazione del Problema
Cinematica di Deformazione
Equazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Aspetti generali
Descrizione Lagrangiana / Euleriana
Problema meccanico
Obbiettivo della Meccanicadei Continui e la descrizione delmoto di un corpo a cui si applica lipotesi del continuo.
Per fare cio e necessario allargare il campo di osservazione ad
altre grandezze che interagiscono con il problema meccanico.
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Formulazione del Problema
Cinematica di Deformazione
Equazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Aspetti generali
Descrizione Lagrangiana / Euleriana
Cosa vuol dire disaccoppiare i problemi
Levoluzione nel tempo di alcune grandezze non e influenzata,dallevoluzione nel tempo di altre.
Quindi si presenta la possibilita di isolare un minor numero di
equazioni che coinvolgono un minor numero di incognite,suddividendo il problema in due o piu sottoproblemi.
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Formulazione del Problema
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Cinematica di Deformazione
Equazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Aspetti generali
Descrizione Lagrangiana / Euleriana
Il problema termo-meccanico
Nella presente trattazione viene considerato il problemameccanico (eventualmente) accoppiato con il problema termico
di un continuo, assumendo le seguenti semplificazioni:
effetti elettrici trascurabili,
effetti magnetici trascurabili,
effetti chimici trascurabili,
continuo non polare.
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Formulazione del Problema
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Cinematica di Deformazione
Equazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Aspetti generali
Descrizione Lagrangiana / Euleriana
Il problema termo-meccanico
Nonostante le forti semplificazioni questo tipo di problema emolto spesso adeguato, in tanti ambiti della tecnica.
Ad esempio: idraulica, termofluidodinamica, fluidodinamica,
meccanica dei solidi.
In ciascuno di questi ambiti una particolare formulazionerisultera caso per caso appropriata.
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Formulazione del Problema
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Cinematica di Deformazione
Equazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Aspetti generali
Descrizione Lagrangiana / Euleriana
Disaccoppiamento con il problema termico
Spesso (ma non sempre) e possibile ulterormentedisaccoppiare il problema meccanico da quello termico.
Molla
elastica
separazione degli effettitermico-meccanico
Molla
pneumatica
non separazione degli effettitermico-meccanico
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Formulazione del Problema
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Equazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Aspetti generali
Descrizione Lagrangiana / Euleriana
Impostazione matematica del problema
Applicando le
Eq.ni di bilancio
Eq.ni di costitutive
si genera un sistema di equazioni differenziali alle derivateparziali, in cui (numero Eq.ni) = (numero incognite).
Le grandezze note e incognite sono campi scalari, vettoriali otensoriali nelle variabili posizione e tempo.
Imponendo le condizioni al contorno ed iniziale si risolve(matematica permettendo) il problema.
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Formulazione del Problema
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Cinematica di Deformazione
Equazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Aspetti generali
Descrizione Lagrangiana / Euleriana
Ruolo del II principio della termodinamica
Nellevoluzione di un qualsiasi sistema il II principio dellatermodinamica deve essere necessariamente soddisfatto.
In particolare nel problema termo-meccanico deve essere
sodisfatta la disegualianza di Clausius-Duhem.
Tale condizione, non impone unequazione di bilancio (essendouna disequazione) per cui formalmente nella stesura del
problema sembra non comparire.
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Formulazione del Problema
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Equazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Aspetti generali
Descrizione Lagrangiana / Euleriana
Ruolo del II principio della termodinamica
Il II principio compare invece come limitazione delcomportamento costitutivo del materiale.
E quindi necessario verificare lintrinseca coerenza con il II
principio per ogni qulasiasi eq. costitutiva che si propone diintrodurre nel sistema.
LaFisica impone dei rigorosi bilanci.
LaCostitutivadei Materiali garantisce la non
reversibilit a dei processi.
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Formulazione del Problema
Ci ti di D f i A tti li
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Cinematica di Deformazione
Equazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Aspetti generali
Descrizione Lagrangiana / Euleriana
Configurazione Attuale e di Riferimento
E necessario distinguere due configurazioni:
configurazione di Riferimento, {X} ad un tempo fissato t0configurazione Attuale, {x} al generico tempo t
(le parentesi {} stanno ad indicare che la configurazione elinsieme di tutti i punti al dato istante)
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Formulazione del Problema
Cinematica di Deforma ione Aspetti generali
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Cinematica di Deformazione
Equazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Aspetti generali
Descrizione Lagrangiana / Euleriana
Configurazione Attuale e di Riferimento
E necessario distinguere due configurazioni:
configurazione di Riferimento, {X} ad un tempo fissato t0configurazione Attuale, {x} al generico tempo t
Allistante t0 (non necessariamente t = 0) si assegna unsignificato preferenziale.
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Formulazione del Problema
Cinematica di Deformazione Aspetti generali
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Cinematica di Deformazione
Equazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Aspetti generali
Descrizione Lagrangiana / Euleriana
Configurazione Attuale e di Riferimento
E necessario distinguere due configurazioni:
configurazione di Riferimento, {X} ad un tempo fissato t0configurazione Attuale, {x} al generico tempo t
In definitiva:Un punto materialeP del corpo, che si trova allistante iniziale
t0 nella posizione X, di coordinate X1, X2, X3 rispetto ad unsistema di riferimento, si sposta nella posizione x, di coordinate
x1, x2, x3 rispetto ad un eventuale altro sistema di riferimento,allistante t.
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Formulazione del ProblemaCinematica di Deformazione Aspetti generali
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Cinematica di Deformazione
Equazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Aspetti generali
Descrizione Lagrangiana / Euleriana
Differenti punti di vista
Si distunguono due modi differenti di descrivere il moto di uncontinuo:
descrizione Lagrangianao materiale
descrizione Eulerianao spaziale
La prima e piu adatta alla descrizione dei solidi.
La seconda e piu adatta alla descrizione dei fluidi.
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Formulazione del ProblemaCinematica di Deformazione Aspetti generali
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Cinematica di Deformazione
Equazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Aspetti generali
Descrizione Lagrangiana / Euleriana
Descrizione Lagrangianao Materiale
Lincognita del problema e la posizione del punto materiale neltempo.
PR
al tempo
X (X1, X2, X3)
t0
PA
al tempo
x (x1, x2, x3)
t
e1 e2
e3
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Formulazione del ProblemaCinematica di Deformazione Aspetti generali
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Cinematica di Deformazione
Equazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Aspetti generali
Descrizione Lagrangiana / Euleriana
Descrizione Lagrangianao Materiale
Variabili indipendenti:
posizione del generico punto materiale X (X1, X2, X3)generico istante di tempo t
Prima incognita:
posizione nella configurazione attuale x
La funzione posizione e la mappatura dalla configurazione di
riferimento a quella attuale incognita
x = (X, t)
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Formulazione del ProblemaCinematica di Deformazione Aspetti generali
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Equazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
p g
Descrizione Lagrangiana / Euleriana
Descrizione Lagrangianao Materiale
Spesso e utile lavorare con la funzione spostamento:
u = (X, t) = xX= (X, t) X
Particolarmente utile per piccolispostamenti.
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Formulazione del ProblemaCinematica di Deformazione Aspetti generali
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Equazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
p g
Descrizione Lagrangiana / Euleriana
Descrizione Eulerianao Spaziale
Lincognita del problema e la velocita nella posizione diosservazione nel tempo.
posizione di osservazione
velocit
osservatae1
e2
e3
xo
(xo1
, xo
2, x
o
3)
v
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Formulazione del ProblemaCinematica di Deformazione Aspetti generali
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Equazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Descrizione Lagrangiana / Euleriana
Descrizione Eulerianao Spaziale
Distinzione concettuale fra:
punto di osservazione, indicato xo
posizione attuale del punto materiale x
Si assume di osservare, ad ogni istante t, il punto materialePla cui posizione attuale x coincide con il punto di osservazione
xo.
Tale distinzione spesso non viene formalizzata, indicando laposizione di osservazione semplicemente comex (x1, x2, x3).
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Equazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Descrizione Lagrangiana / Euleriana
Descrizione Eulerianao Spaziale
Variabili indipendenti:
posizione del generico punto di osservazionexo (xo1, xo2, xo3)generico istante di tempo t
Prima incognita:
velocita osservata nel generico punto di osservazionev
(v1, v2, v3)
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Formulazione del ProblemaCinematica di Deformazione Aspetti generali
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Equazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Descrizione Lagrangiana / Euleriana
Applicazioni della descrizione Materiale
La descrizione materiale
assume la posizione attuale come prima incognita
descrive a partire dalla configurazione di riferimento
e quindi adatto ai solidi per i quali la compagine non vieneeccessivamente deformata
punto di partenza della Meccanica dei Solidi
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Formulazione del ProblemaCinematica di Deformazione
E i i di Bil i
Aspetti generali
D i i L i / E l i
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Equazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Descrizione Lagrangiana / Euleriana
Applicazioni della descrizione Spaziale
La descrizione spaziale
assume la velocita attuale come prima incognita
descrive a partire da un sistema di osservazione,
perdendo traccia della configurazione di riferimento
e quindi adatto ai fluidi per i quali e di interesse
levoluzione in un volume di osservazione e non e affattonecessario rintracciare lorigine di ciascun punto materiale
punto di partenza della Fluidodinamica
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E i i di Bil i
Aspetti generali
D i i L i / E l i
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Equazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Descrizione Lagrangiana / Euleriana
Derivazione secondo la descrizione Materiale
La derivazione (materiale) nella posizione e da effettuarerispetto alla posizione nella configurazione di riferimento:
Mw(XA, t)
w(XA, t)
X1
,w(XA, t)
X2
,w(XA, t)
X3
In cui w e una generica proprieta fisica mappata nelle
coordinate di posizione del punto materiale (X1, X2, X3) e neltempo t.
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Equazioni di Bilancio
Aspetti generali
Descrizione Lagrangiana / Euleriana
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Equazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Descrizione Lagrangiana / Euleriana
Derivazione secondo la descrizione Spaziale
La derivazione (spaziale) nella posizione e da effettuarerispetto al punto di osservazione:
Sw(xi, t)
w(xi, t)
x1
,w(xi, t)
x2
,w(xi, t)
x3
In cui w e la stessa proprieta fisica ma adesso mappata nelle
coordinate di osservazione (xi):
w(xi, t) = w(XA, t)
con xi = i(XA, t)
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Equazioni di Bilancio
Aspetti generali
Descrizione Lagrangiana / Euleriana
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Equazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Descrizione Lagrangiana / Euleriana
Derivazione secondo la descrizione Materiale
La derivazione nel tempo e indicata come derivata materiale:
w =w(XA, t)
t
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Equazioni di Bilancio
Aspetti generali
Descrizione Lagrangiana / Euleriana
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Equazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Descrizione Lagrangiana / Euleriana
Derivazione secondo la descrizione Materiale
In particolare si ottiene, in modo naturale, la definizione divelocita del punto materiale:
vi =i(XA, t)
t
Tale espressione trova frequentemente la seguentesemplificazione formale
vi = xi
Infine laccelerazione del punto materiale
ai = vi = xi
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Equazioni di Bilancio
Aspetti generali
Descrizione Lagrangiana / Euleriana
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Equazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Descrizione Lagrangiana / Euleriana
Derivazione secondo la descrizione Spaziale
La derivazione nel tempo, detta derivata locale:
w(xi, t)
t
e diversa dalla derivata materiale w
(classico esempio del condotto stazionario)
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Equazioni di Bilancio
Aspetti generali
Descrizione Lagrangiana / Euleriana
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qua o d a c o
Equazioni Costitutive
esc o e ag a g a a / u e a a
Derivazione secondo la descrizione Spaziale
Mediante un passaggio di coordinate e possibile trovare illegame fra le due derivate temporali
w =w(XA, t)
t= (passaggio alla descrizione spaziale)
=w(xi(XA, t), t)
t= (regola di derivazione)
=w(xi, t)
t+
w(xi, t)
xj
xj(XA, t)
t=
= w(xi, t)t
+ w(xi, t)xj
vj
(sommatoria degli indici ripetuti)
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Equazioni di Bilancio
Aspetti generali
Descrizione Lagrangiana / Euleriana
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q
Equazioni Costitutive
g g
Derivazione secondo la descrizione Spaziale
La quantita
w(xi, t)
t+
w(xi, t)
xjvj
e indicata come derivata totale, spesso rappresentata come:
D w
Dt(xi, t)
ed esprime la derivata materiale nei termini della descrizionespaziale.
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Equazioni di Bilancio
Aspetti generali
Descrizione Lagrangiana / Euleriana
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Equazioni Costitutive
Derivazione secondo la descrizione Spaziale
Il termine
w(xi, t)
xjvj
rappresenta il termine di derivazione convettivo.
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Equazioni di Bilancio
Aspetti generali
Descrizione Lagrangiana / Euleriana
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Equazioni Costitutive
Derivazione secondo la descrizione Spaziale
Nellesprimere laccelerazione (secondo ciascunacomponente), compare quindi il termine convettivo:
ai(xi, t) =vi(xi, t)
t+
vi(xi, t)
xjvj
in cui compare la velocita v a moltiplicare il gradiente spaziale
della velocita stessa Sv.
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Formulazione del ProblemaCinematica di Deformazione
Equazioni di Bilancio
Definizione Tensore di deformazione
Tensori di Cauchy e di Green
Gradiente di velocita di deformazione
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Equazioni CostitutiveGradiente di velocita di deformazione
1 Formulazione del Problema
Aspetti generaliDescrizione Lagrangiana / Euleriana
2 Cinematica di DeformazioneDefinizione Tensore di deformazioneTensori di Cauchy e di Green
Gradiente di velocita di deformazione3 Equazioni di Bilancio
Equazioni globali di bilancioEquazioni locali di bilancio (descr. Spaziale)
Equazioni locali di bilancio (descr. Materiale)
4 Equazioni CostitutiveObbiettivita del materiale
Materiale Semplice / Materiale a Memoria EvanescenteCostitutive piu semplici
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Formulazione del ProblemaCinematica di Deformazione
Equazioni di Bilancio
E i i C i i
Definizione Tensore di deformazione
Tensori di Cauchy e di Green
Gradiente di velocita di deformazione
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Equazioni CostitutiveGradiente di velocita di deformazione
Tensore di deformazione
Lo strumento fondamentale per descrivere le caratteristichegeometriche della deformazione (nella descrizione Materiale) e
il tensore
F =Mx
espresso in notazione indiciale
FiA =xi
XA
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Formulazione del ProblemaCinematica di Deformazione
Equazioni di Bilancio
E i i C tit ti
Definizione Tensore di deformazione
Tensori di Cauchy e di Green
Gradiente di velocita di deformazione
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Equazioni Costitutive
Tensore di deformazione
Puo risultare piu chiaro scriverne esplicitamente le componenti
F
x1
X1
x1
X2
x1
X3
x2X1
x2X2
x2X3
x3
X1
x3
X2
x3
X3
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Formulazione del ProblemaCinematica di Deformazione
Equazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Definizione Tensore di deformazione
Tensori di Cauchy e di Green
Gradiente di velocita di deformazione
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Equazioni Costitutive
Tensore di deformazione
Ricordando la definizione della funzione spostamento
F = Mx = M(X, t)
= M
((X, t) + X)
= M(X, t) + ISecondo la notazione ad indici:
FiA =ui
XA+ iA
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Formulazione del ProblemaCinematica di Deformazione
Equazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Definizione Tensore di deformazione
Tensori di Cauchy e di Green
Gradiente di velocita di deformazione
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Equazioni Costitutive
Assioma di permanenza della materia
La funzione di posizione deve rispettare la condizione dicompatibilita fisica:
Un intorno di un punto si sposta nellintorno
dellimmagine del punto di partenza.
Esiste tale cheIntorno di
Xx = X, t
X{||YX|| < } {||y x|| <
0}
0
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Formulazione del ProblemaCinematica di Deformazione
Equazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Definizione Tensore di deformazione
Tensori di Cauchy e di Green
Gradiente di velocita di deformazione
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Equazioni Costitutive
Assioma di permanenza della materia
La formalizzazione matematica di tale condizione implica che:
J = |F| > 0
in ogni punto ed ad ogni istante di tempo.
La funzione posizione necessariamente gode di tale proprietadi regolarita, ed e quindi sempre invertibile.
In realta la condizione sugli intorni non implica la derivabilita.
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Formulazione del ProblemaCinematica di Deformazione
Equazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Definizione Tensore di deformazioneTensori di Cauchy e di Green
Gradiente di velocita di deformazione
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Equazioni Costitutive
Geometria della deformazione
Dalla definizione di F e possibile calcolare:1 dx = F dX
2 da = JFT1dA
3 dv = JdV
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Formulazione del ProblemaCinematica di Deformazione
Equazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Definizione Tensore di deformazioneTensori di Cauchy e di Green
Gradiente di velocita di deformazione
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Equazioni Costitutive
Teorema della decomposizione polare
Applicando la decomposizione polare al tensore deformazioneF si puo scrivere:
F = RU = VR
In cui R, U e V sono uniche dato un tensore F tale cheJ = |F| > 0), con R matrice di rotazione (RTR = RRT = I econ U e V simmetrici e definiti positivi.
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Formulazione del ProblemaCinematica di Deformazione
Equazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Definizione Tensore di deformazioneTensori di Cauchy e di Green
Gradiente di velocita di deformazione
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q
Teorema della decomposizione polare
Il significato geometrico della decomposizione e espresso infigura
R V
U
F = RU = VR
R
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Equazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Definizione Tensore di deformazioneTensori di Cauchy e di Green
Gradiente di velocita di deformazione
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q
Teorema della decomposizione polare
Per eliminare il termine di rotazione rigida R possono essereutilizzati i tensori:
C = FTF = U2
B = FFT = V2
C viene indicato come il tensore di Cauchy-Green destro
B viene indicato come il tensore di Cauchy-Green sinistro
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Equazioni Costitutive
Definizione Tensore di deformazioneTensori di Cauchy e di Green
Gradiente di velocita di deformazione
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Tensori di Cauchy-Green e di Green-St.Venant
Presi due segmenti infinitesimi, uscenti da uno stesso punto,nella configurazione di riferimento si indicano come dX1, dX2.A seguito della deformazione si trasformano in dx1, dx2.
dx2
dx1dX1
dX2
La differenza dei prodotti scalari puo essere ricondotta al
tensore C.
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Equazioni Costitutive
Definizione Tensore di deformazioneTensori di Cauchy e di Green
Gradiente di velocita di deformazione
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Tensori di Cauchy-Green e di Green-St.Venant
12 (dx1 dx2 dX1 dX2) =
= 12 dxT1 dx2 dXT1 dX2 =
= 12
dXT1FTFdX2 dXT1 dX2
=
= dXT112 (C I) dX2 =
= dX1 EdX2
Definendo E = 12 (C I) tensore di Greeno diGreen-St.Venant
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Equazioni Costitutive
Definizione Tensore di deformazioneTensori di Cauchy e di Green
Gradiente di velocita di deformazione
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Componenti della deformazione
Lallungamento di un vettore infinitesimo dX
=|dx| |dX|
|dX|
e esprimibile mediante E.
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Gradiente di velocita di deformazione
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Componenti della deformazione
Infatti ponendo:
( + 1)2 =dx dx
dX dX
Si ottiene:dX EdXdX dX =
1
22 +
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Gradiente di velocita di deformazione
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Componenti della deformazione
Definendo il versore, nella configurazione di riferimento,secondo un vettore infinitesimo dX
W =dX
|dX
|linformazione di allungamento contenuta in E, risulta piuimmediata
W EW = 12
2 +
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Gradiente di velocita di deformazione
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Componenti della deformazione
Dato che, per definizione, > 1 per qualsiasi deformazionesegue che
1 + 2 W EW > 0
per cui delle due soluzioni dellequazione di secondo gradoprecedentemente introtta, lunica ammissibile e:
=
1 + 2 W EW 1
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Formulazione del Problema
Cinematica di Deformazione
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Gradiente di velocita di deformazione
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Componenti della deformazione
Dato W, sia W un altro versore, uscente dallo stesso puntoed ortogonale ad esso, nella configurazione di riferimento:
W W = 0
e possibile determinare la distorsione angolare
sin = w wmediante la conoscenza di E
sin =2
(1 + )(1 + )W EW
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Cinematica di Deformazione
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Gradiente di velocita di deformazione
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Componenti della deformazionePiccole deformazioni
Nel caso di piccole deformazioni
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Formulazione del Problema
Cinematica di Deformazione
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Gradiente di velocita di deformazione
G di di
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Gradiente di spostamento
Al fine di sviluppare una cinematica approssimata nel campo dipiccole deformazioni e piccole rotazioni e di interesse definire i
tensori E (parte simmetrica), R (parte antisimmetrica)
E =
F+ FT
2
R =F FT
2
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Formulazione del Problema
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Gradiente di velocita di deformazione
G di t di t t
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Gradiente di spostamentoPiccole deformazioni e piccole rotazioni
Infatti nel caso in cui
= ||F||
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Gradiente di spostamentoPiccole deformazioni e piccole rotazioni
Da cui:
C = I+ 2E+O(2)
inoltre, data la definizione di E:
E =1
2(C I) = E+O(2)
si ottiene in definitiva la seguente approssimazione:
E E
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Formulazione del Problema
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Gradiente di velocita di deformazione
D i i S i l / M t i l
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Descrizione Spaziale / Materiale
Secondo la descrizione Materiale il gradiente di velocita ha laseguente formalizzazione:
Mv(X, t) = F(X, t)Secondo la descrizione Spaziale il gradiente di velocita ha un
significato differente:
L = Sv(x, t)
Attenzione alla diversa mappatura della velocita nelle due
descrizioni. Piu correttamente sarebbe necessario utilizzaresimboli diversi (ad esempio v e v) ed imporre che:
v(X, t) = v(x, t)
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Formulazione del Problema
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Gradiente di velocita di deformazione
Descrizione Spaziale / Materiale
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Descrizione Spaziale / Materiale
Ricordando il ruolo di F come tensore di passaggio fra laderivazione materiale e spaziale, segue che:
F = LF
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Gradiente di velocita di deformazione
Decomposizione del gradiente di velocita
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Decomposizione del gradiente di velocita
La decomposizione in partesimmetrica (D) e antisimmetrica (W)
D = 12(L+ LT)
W = 12(L LT)riprende laspetto formale dei tensori E, R.
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Formulazione del Problema
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Gradiente di velocita di deformazione
Decomposizione del gradiente di velocita
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Decomposizione del gradiente di velocita
Tuttavia i tensori D, W contengono la quantificazione esattadelle informazioni di: velocita di deformazionee di velocita di
rotazione, in quanto il grad. di v e calcolato rispetto allacoordinata x.
X2
X1
x X, t
F =x
X
x1
x2 dx = vdt
L =v
x=
dx/dt
x
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Gradiente di velocita di deformazione
Decomposizione del gradiente di velocita
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Decomposizione del gradiente di velocita
Al fine di formalizzare questo concetto si definisce come config.di riferimento quella assunta al tempo (non piu t0). In questo
modo e possibile definire il tensore deformazione F, e quindila sua scomposizione polare:
F = RU = VR
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Formulazione del Problema
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Gradiente di velocita di deformazione
Decomposizione del gradiente di velocita
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Decomposizione del gradiente di velocita
Considerando la prima decomposizione, e facendo la derivatanel tempo:
F = RU + RU
traslando la configuraz. di riferimento sullistante attuale tsi ottiene Ut = I, Rt = I e quindi:
Ft = I Ft = LFt = L
ed inoltre, essendo:
Ft = Ut + Rt
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Formulazione del Problema
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Gradiente di velocita di deformazione
Significato dei termini D eW
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Significato dei termini D eW
Analogamente ai risultati ottenuti in precedenza si puo ottenere(con validita incondizionata).
Velocita di deformazione lineare:
=
|dx
||dx|= e
De
con e una direzione qualsiasi nella conf. attuale
e =dx
|dx|
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Formulazione del Problema
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Gradiente di velocita di deformazione
Significato dei termini D eW
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Significato dei termini D eW
Velocita di deformazione tangenziale:
= 2e Decon e, e due direzioni ortogonali qualsiasi (e e = 0).
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Formulazione del Problema
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Equazioni Costitutive
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Gradiente di velocita di deformazione
Significato dei termini D eW
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Significato dei termini D eW
Infine il tensore W (tensore di spin) presenta la proprieta diessere equivalente ad un vettore assiale (come ogni tensore
antisimmetrico) tale che:
Wa =
a
per ogni a
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Formulazione del Problema
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Equazioni Costitutive
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Gradiente di velocita di deformazione
Significato dei termini D eW
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Significato dei termini D eW
Il vettore assiale associato ha le componenti estratte da W.
Assegnando le componenti a W
W = 0 W12 W13W12 0 W23W13 W23 0
Sono definite le componenti di :
=
W23W13W12
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Formulazione del Problema
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Equazioni Costitutive
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Gradiente di velocita di deformazione
Significato dei termini D eW
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Significato dei termini D eW
Il particolare significato di W emerge dallidentita:
=1
2S v
Il vettore 2 =S
v e definito come la vorticit adel moto.
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Formulazione del Problema
Cinematica di DeformazioneEquazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Equazioni globali di bilancioEquazioni locali di bilancio (descr. Spaziale)
Equazioni locali di bilancio (descr. Materiale)
1 Formulazione del Problema
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1 Formulazione del Problema
Aspetti generali
Descrizione Lagrangiana / Euleriana2 Cinematica di Deformazione
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Gradiente di velocita di deformazione
3 Equazioni di Bilancio
Equazioni globali di bilancioEquazioni locali di bilancio (descr. Spaziale)
Equazioni locali di bilancio (descr. Materiale)
4 Equazioni CostitutiveObbiettivita del materiale
Materiale Semplice / Materiale a Memoria EvanescenteCostitutive piu semplici
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Formulazione del Problema
Cinematica di DeformazioneEquazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Equazioni globali di bilancioEquazioni locali di bilancio (descr. Spaziale)
Equazioni locali di bilancio (descr. Materiale)
Forma generale delle eqq. di bilancio in forma globale
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g qq g
Si considera una porzione di corpo Pt generica e se ne studialevoluzione nel tempo di una sua proprieta .
Si puo scrivere:
d
dtPt
dv = Pt
ds + Pt
dv
di cui il termine di flusso e un tensore di ordine superiorerispetto a , mentre il termine di produzione e dello stessoordine.
La superficie Pt che delimita la porzione Pe qualsiasi purchechiusa e regolare a tratti.
Consiste nella generalizzazione del Metodo delle SEZIONI.
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Formulazione del Problema
Cinematica di DeformazioneEquazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Equazioni globali di bilancioEquazioni locali di bilancio (descr. Spaziale)
Equazioni locali di bilancio (descr. Materiale)
Bilancio di una porzione chiusa di volume
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p
Si considera una porzione materiale, racchiusa nel volume v,tale che la sua frontiera sia impermeabile alla massa.
Interaz. con
lesterno di
varia natura
t0 t
V
S s
A partire da questo schema e possibile ricavare le equazioni di
bilancio di massa, quantita di moto e energia.
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Formulazione del Problema
Cinematica di DeformazioneEquazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Equazioni globali di bilancioEquazioni locali di bilancio (descr. Spaziale)
Equazioni locali di bilancio (descr. Materiale)
Eq. bilancio della massa
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q
Il volume v conserva sempre la stessa massa, per cui:
d
dt
v
dv = 0
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Formulazione del Problema
Cinematica di DeformazioneEquazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Equazioni globali di bilancioEquazioni locali di bilancio (descr. Spaziale)
Equazioni locali di bilancio (descr. Materiale)
Eq. bilancio della quantita di moto
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q q
Il volume v puo scambiare forze di volume f o di superficie t.
d
dt
v
vi dv =
v
fidv +
s
tids
(3 equazioni scalari)
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Formulazione del Problema
Cinematica di DeformazioneEquazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Equazioni globali di bilancioEquazioni locali di bilancio (descr. Spaziale)
Equazioni locali di bilancio (descr. Materiale)
Eq. bilancio di energia
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Il volume v puo scambiare energia attraverso le forze diinterazione, mediante scabio di calore q, oppure per
produzione di energia termica r.
d
dt
v
vivi
2
+ dv = v
fividv + s
tivids
+
v
rdv
sqinids
(sommatoria degli indici ripetuti)
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Formulazione del Problema
Cinematica di DeformazioneEquazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Equazioni globali di bilancio
Equazioni locali di bilancio (descr. Spaziale)
Equazioni locali di bilancio (descr. Materiale)
Passaggio alla forma locale attraverso la
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configurazione di riferimento
Attraverso il cambio di coordinate
d
dt
v
w(xi, t) dv =
t
V
w(XA, t) |F|dV
Essendo V fisso posso trasferire la derivazione dentro il segnodi integrale:
V
tw
(XA, t)
|F
|dV =
=
V
w(XA, t)
t|F| + |F|
tw(XA, t)
dV
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Equazioni Costitutive
Equazioni globali di bilancio
Equazioni locali di bilancio (descr. Spaziale)
Equazioni locali di bilancio (descr. Materiale)
Passaggio alla forma locale attraverso la
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configurazione di riferimento
Essendo:
|F|t
= |F| vixi
(Teorema di Liouville)
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Equazioni Costitutive
Equazioni globali di bilancio
Equazioni locali di bilancio (descr. Spaziale)
Equazioni locali di bilancio (descr. Materiale)
Passaggio alla forma locale attraverso la
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configurazione di riferimento
Segue che:
V
w(XA,t)
t|F| + |F|
tw(XA, t)
dV =
=
V
w(XA,t)
t+
vjxj
w(XA, t)|F|dV
Da cui e possibile ritornare alle coordinate spaziali:
v
Dw(xi, t)
Dt+ vj
xjw(xi, t)
dv
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Formulazione del Problema
Cinematica di DeformazioneEquazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Equazioni globali di bilancio
Equazioni locali di bilancio (descr. Spaziale)
Equazioni locali di bilancio (descr. Materiale)
Passaggio alla forma locale attraverso il teorema del
t t
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trasporto
Per il teorema del trasporto
d
dt
v
w(xi, t) dv =
v
tw(xi, t) dv+
v
w(xi, t)ujnj ds
in cui u e la velocita della superficie e n e il vettore normale
uscente.Dal momento che la superficie e impermeabile, le velocita u e
v differiscono di una quantita con solo componente parallela
rispetto ad n.Per cui u n = v n.
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Cinematica di DeformazioneEquazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Equazioni globali di bilancio
Equazioni locali di bilancio (descr. Spaziale)
Equazioni locali di bilancio (descr. Materiale)
Passaggio alla forma locale attraverso il teorema del
t t
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trasporto
Quindiv
tw(xi, t) dv +
v
w(xi, t)vjnj ds
Per la formula di Greensi puo scrivere:
v
tw(xi, t) +
xj(w(xi, t)vj)
dv =
d
dt
v
w(xi, t) dv
Che coincide con il risultato precedente
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Equazioni Costitutive
Equazioni globali di bilancio
Equazioni locali di bilancio (descr. Spaziale)
Equazioni locali di bilancio (descr. Materiale)
Bilancio della massa
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Grazie al risultato precedente
d
dt
v
(xi, t) dv =
v
t(xi, t) +
xj((xi, t)vj)
dv = 0
Da cui, per teorema di frazionabilita segue:
t(xi, t) +
xj((xi, t)vj) = 0
(Equazione di Continuit a)
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Equazioni globali di bilancio
Equazioni locali di bilancio (descr. Spaziale)
Equazioni locali di bilancio (descr. Materiale)
Bilancio della massa
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Leq. di continuita puo anche essere espressa mettendo inevidenza la derivata totale della densita
t+
vj
vj=
D
Dt+
vj
xj= 0
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Equazioni globali di bilancio
Equazioni locali di bilancio (descr. Spaziale)
Equazioni locali di bilancio (descr. Materiale)
Bilancio della massa
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89/159
Un risultato ben noto e il caso di un fluido la cui densita euniforme ( xi
= 0) e costante (t
= 0).In tal caso segue:
vj
xj
= 0
tale condizione descrive la conservazione della massa in un
fluido incomprimibile.
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Formulazione del Problema
Cinematica di DeformazioneEquazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Equazioni globali di bilancio
Equazioni locali di bilancio (descr. Spaziale)
Equazioni locali di bilancio (descr. Materiale)
Bilancio della massa
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Altro risultato di interesse e lintegrabilita dellequazione dicontinuita:
D
Dt+
vj
xj= 0
da cui per integrazione:
J = cost.
Applicando lovvia condizione iniziale J(t0) = 1, e indicando
con 0 = (t0) la densita iniziale, segue:
J = 0
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Formulazione del Problema
Cinematica di DeformazioneEquazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Equazioni globali di bilancio
Equazioni locali di bilancio (descr. Spaziale)
Equazioni locali di bilancio (descr. Materiale)
Bilancio della quantita di moto
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91/159
Seguendo una dimostrazione simile alla precedente si ottiene ilbilancio della quantita di moto, in forma locale:
vi
t+
vi
xjvj = fi +
1
ij
xj
In cui ij (tensore ) e il tensore delle tensioni tale che la
componente secondo la direzione m dello sforzo generato suuna superficie ortogonale al vettore n e data da:
tnm =
ij
minj
Si introducono 3 equazioni, ma ulteriori 9 incognite, fornite dalle
componenti scalari del tensore ij.
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Formulazione del Problema
Cinematica di DeformazioneEquazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Equazioni globali di bilancio
Equazioni locali di bilancio (descr. Spaziale)
Equazioni locali di bilancio (descr. Materiale)
Bilancio della quantita di moto
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Tale equazione non e lineare in quanto (a sinistra) comparelincognita vi a moltiplicare le proprie derivate.
vi
t+
vi
xjvj
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Formulazione del Problema
Cinematica di DeformazioneEquazioni di Bilancio
Equazioni Costitutive
Equazioni globali di bilancio
Equazioni locali di bilancio (descr. Spaziale)Equazioni locali di bilancio (descr. Materiale)
Bilancio della quantita di moto
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Tale equazione non e lineare in quanto (a sinistra) comparelincognita vi a moltiplicare le proprie derivate.
vi
t+
vi
xjvj
Tuttavia nel caso di moto quasi stazionario in cui vj sono
piccoli, il termine convettivo puo essere eliminato e lequazione(approssimata) che si ottiene e lineare:
vi
t = fi +
1
ij
xj
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Formulazione del Problema
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Equazioni Costitutive
Equazioni globali di bilancio
Equazioni locali di bilancio (descr. Spaziale)Equazioni locali di bilancio (descr. Materiale)
Bilancio del momento angolare della quantita di moto
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Grazie al bilancio del momento della quantita di moto,considerando corpi non polari si ottengono le 3 semplici
equazioni:
ij = ji
Che quindi riducono a 6 i campi incogniti del tensore delle
tensioni.
Nei continui polari il punto materiale e sostituito dal dipolo, che
e definito da una posizione e da un orientamento. In tal caso leeqq. di bilancio del momento angolare della quantita di motosono piu complesse.
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Formulazione del Problema
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Equazioni Costitutive
Equazioni globali di bilancio
Equazioni locali di bilancio (descr. Spaziale)Equazioni locali di bilancio (descr. Materiale)
Bilancio dellenergia
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Analogamente dal bilancio integrale dellenergia puo esserededotta la forma locale:
+ vivi2
t+
+ vivi2
xjvj = fivi +
1
(ijvi)
xj+ r 1
qj
xj
Si introduce unequazione, ma ulteriori 3 scalari incogniti qi e 1scalare .
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Equazioni locali di bilancio (descr. Spaziale)Equazioni locali di bilancio (descr. Materiale)
Bilancio dellenergia
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Combinando tale equazione con il bilancio della quantita dimoto si puo scrivere:
t+
xjvj =
1
ijdij + r 1
qj
xj
In cui dij sono i termini del tensore D velocita di deformazione.
Per differenza quindi:
vivi2
t +vivi
2
xjvj = fivi +
1
ij
xjvi
(Teorema delle forze vive)
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Formulazione complessiva del problema
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Equazioni di bilancio:
t(xi, t) +
xj((xi, t)vj) = 0
vi
t +vi
xj vj = fi +
1
ij
xj
t+
xjvj =
1
ijdij + r 1
qj
xj
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Conteggio equazioni-incognite
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Equazioni:1 eq. di continuita,
3 eq. di bilancio della quantita di moto,
1 eq. di bilancio energetico.
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Conteggio equazioni-incognite
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Campi incogniti, fondamentali:1 densita ,
3 velocita vi,
1 temperatura T.
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Conteggio equazioni-incognite
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Campi incogniti, derivati:6 tensioni ij,
3 flussi di calore qi,
1 energia interna .
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Conteggio equazioni-incognite
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Complessivamente 5 equazioni, contro 15 incognite.
Il ruolo delle equazioni costitutive e quello di legare i 10 campiderivati (ij, qi, ) ai 5 fondamentali (, vi, T).
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Campi incogniti del problema, descrizione Materiale
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I campi incogniti (fondamentali) del problema sono:densita (1 campo scalare (X, t)),
posizione x (3 campi scalari x(X, t)),
temperatura T (1 campo scalare T(X, t)).
In totale 5 campi incogniti.
Come gia anticipato compare la posizione attuale x piuttostoche la velocita v.
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Campi incogniti del problema, descrizione Materiale
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I campi (derivati) sono gli stessi del problema precedente, marappresentati nella configurazione di riferimento:
tensore T (9 campi scalari TAB(X, t), di cui solo 6indipendenti),
flusso termico Q (3 campi scalari QA(X, t)),
energia interna (1 campo scalare (X, t)).
In totale ulteriori 10 campi incogniti.
Le quantita tensoriali di ordine 1, 2 appaiono modificate nella
descrizione materiale rispetto alle stesse quantita nelladescrizione spaziale.
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Tensore e flusso materiali
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Il tensore degli sforzi materiale TAB, eil flusso termico materiale QA,
nella consueta trattazione della meccanica dei solidinonvengono distinti
dal tensore degli sforzi nella configurazione attuale ij e
dal flusso termico nella configurazione attuale qi.
Infatti nelle ipotesi di:
piccole deformazioni,
piccole rotazioni,coincidono.
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Tensore e flusso materiali
Il i ifi t di T di Q ` ll di t
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Il significato di TAB
e di QA
e quello di rappresentare,rispettivamente, la stessa forza e lo stesso flusso termico, in
termini della descrizione materiale.
Quantitativamente significa imporre che:
a
nda =
A
TNdA
a
qnda = A
QNdA
Su una qualsiasi porzione di superficie
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Tensore e flusso materiali
D l i lt t d ll i ti
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Dal risultato della cinematica:
nda = JFT1NdA
segue che:
T = JFT1
Q = JF1q
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Tensore e flusso materiali
Oppure piu comodamente in forma inversa:
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Oppure piu comodamente in forma inversa:
=1
JTFT
q=
1
JFQ
Da cui e possibile esprimere le componenti:
ij =1
JTiA xj ,A
qi =1
JQA xi,A
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Tensore e flusso materiali
Da questa forma risulta evidente che per avere:
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Da questa forma risulta evidente che per avere:
ij TAB
qi QA
su tutto il campo di definizione e necessario che:
J 1 (ipotesi di piccole deformazioni),xiXA
iA (ipotesi di piccole deformazionie piccolerotazioni).
Per la valdita di questultima approssimazione e inoltrenecessario che lorientamento degli assi usati per la config. diriferimento A,B,C siano concordi con quelli usati nella config.attuale i,j,k.
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Tensore e flusso materiali
Un esempio di disallineamento della direzione degli assi per
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Un esempio di disallineamento della direzione degli assi, percui non e possibile sfruttare lapprossimazione ij TAB,qi QA.
Nessuna
possibilit di
approssimare
le componenti
.
con.
TAB ijX1
X2
x2
x1
E tuttavia sufficiente una rotazione del sistema di riferimento.
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Tensore materiale
Un classico esempio in cui lipotesi di piccole deformazioni e
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Un classico esempio in cui l ipotesi di piccole deformazioni erispettata, ma non quella di piccoli spostamenti e:
la canna da pesca
X2
X1dX1
dX2
dx1
dx2
x1
x2
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Tensore materiale
Anche nellipotesi di assenza di deformazione J = 1 (la
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Anche nell ipotesi di assenza di deformazione J = 1 (lalunghezza della canna da pesca non viene alterata) il forte
angolo di rotazione allestremo implica che:
F = x1, 1 x1, 2x2
,1
x2
,2 =
cos sin
sin
cos
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Tensore materiale
In questo caso i termini xi A possono essere significativamente
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In questo caso i termini xi, A possono essere significativamentediversi dallunita:
x1, 1 =x1
X1= cos
x1, 2 = x1
X2= sin
Anche se non ce nessuna distorsione di volume:
J = |F| = 1
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Tensore materiale
Ad esempio il termine di tensione 11 e legato a T11 dalla
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Ad esempio il termine di tensione 11 e legato a T11 dallaseguente relazione:
11 = T11 cos T12 sin
e quindi 11= T11 in particolare nel caso in cui sia grande.
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Tensore materiale
Inoltre e importante notare che:
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Inoltre e importante notare che:
12 = T11 sin + T12 cos
21 = T21 cos + T22 sin
Essendo 12 = 21, come detto in precedenza, e facileindividuare una situazione in cui T12 = T21.
In generale il tensore materiale T non e simmetrico.
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Tensore materiale
In questo secondo esempio:
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q p
F =
x1, 1 x1, 2x2, 1 x2, 2
=
a 00 b
Ad esempio il termine di tensione 11 e legato a T11 dalla
seguente relazione
11 =1
abT11a = T11
1
b
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Tensore materiale
Come visto in un esempio precedente, a differenza di , il
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p p , ,tensore T non e in generale simmetrico.
Tuttavia e possibile definire
T=F1T
=JF1FT1
che e simmetrico dato che e simmetrico.
Esplicitando la forma inversa in componenti:
ij =1
JTABxi,A xj ,B
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Tensore materiale
I tensori T e T vengono detti rispettivamente:
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g pprimoe secondo tensore di Piola-Kirchhoff.
Il primo compare direttamente nelleq. di bilancio della quantitadi moto secondo la descrizione materiale, il secondo compare
nelleq. di bilancio dellenergia ed inoltre per la proprieta disimmetria e piu adatto nella definizione delle costitutive.
Puo risultare quindi piu lineare definire soltanto T etemporaneamente convertire in T, nel bilancio della quantita di
moto.
Di seguito verra seguita questa strada.
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Equazioni locali di bilancio (descr. Spaziale)Equazioni locali di bilancio (descr. Materiale)
Bilancio della massa
Lequazione di continuita, espressa secondo la descrizione
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119/159
materiale, puo essere comodamente sostituita dallintegrazione
nel tempo, precedentemente esposta:
J = 0
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Bilancio della massaPiccole deformazioni e piccole rotazioni
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120/159
Nel caso di piccole deformazioni e piccole rotazioni la forma diJ trova la semplificazione:
J xiXA
per cui leq. di continuita puo essere semplificata nella:
xi
XA = 0
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Bilancio della quantita di moto
Ricordando leq. di bilancio secondo la descr. spaziale:
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121/159
vi
t+
vi
xjvj = fi +
1
ij
xj
Il termine di derivata temporale si trasferisce in modo naturale
nella descrizione materiale:
vi
t+
vi
xjvj =
2xi
t2
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Bilancio della quantita di moto
Ricordando leq. di bilancio secondo la descr. spaziale:
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122/159
vi
t+
vi
xjvj = fi +
1
ij
xj
Il termine di forza di volume fi rimane inalterato, tuttavia
compare 0 invece che
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Bilancio della quantita di moto
Ricordando leq. di bilancio secondo la descr. spaziale:
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123/159
vi
t+
vi
xjvj = fi +
1
ij
xj
Infine lultimo termine viene sostituito con la divergenza
materiale del tensore T = FT
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Equazioni locali di bilancio (descr. Spaziale)Equazioni locali di bilancio (descr. Materiale)
Bilancio della quantita di moto
In definitiva:
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124/159
2xi
t2= fi +
1
0
XA
xi
XBTAB
In cui il termine a sinistra e lineare, ma non lo e affatto il
termine a destra.
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125/159
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Equazioni locali di bilancio (descr. Spaziale)Equazioni locali di bilancio (descr. Materiale)
Bilancio della quantita di motoPiccole deformazioni e piccole rotazioni
L di bil i d ll tit ` di t i t i di ll
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126/159
Leq. di bilancio della quantita di moto si presenta quindi nellaforma:
2xi
t2= fi +
1
0
ij
Xj
Che gode dellimportantissima proprieta di essere lineare nelleincognite xi e ij.
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Equazioni locali di bilancio (descr. Spaziale)
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Bilancio dellenergia
Leq. di bilancio dellenergia si presenta nella forma:
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127/159
+
xit
xit
2
t= fi
xi
t+
1
0
XA
xi
XBTAB
xi
t+r 1
0
QA
XA
Da cui, come in precedenza, e possibile sottrarre il termine dienergia cinetica ed ottenere il bilancio dellenergia interna:
t= r 1
0
QA
XA+
1
0TAB
EAB
t
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Bilancio dellenergiaPiccole deformazioni e piccole rotazioni
Introducendo le ipotesi semplificative di piccole deformazioni e
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128/159
Introducendo le ipotesi semplificative di piccole deformazioni epiccole rotazioni, si ottiene:
2
+xit
xit
2
t2= f
i
xi
t+
1
0
Xj
ij
xi
t+ r
1
0
qj
Xj
Da cui, di nuovo, sostituendo il termine di energia cinetica
t
= r
1
0
qi
Xi+
1
0ijdij
Ciro Santus Breve introduzione alla Meccanica dei Continui
Formulazione del Problema
Cinematica di Deformazione
Equazioni di BilancioEquazioni Costitutive
Equazioni globali di bilancio
Equazioni locali di bilancio (descr. Spaziale)
Equazioni locali di bilancio (descr. Materiale)
Formulazione complessiva del problema
Equazioni di bilancio:
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J = 0
2xi
t2= fi +
1
0
XA
xi
XBTAB
t= r 1
0
QA
XA+
1
0TAB
EAB
t
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Formulazione del Problema
Cinematica di Deformazione
Equazioni di BilancioEquazioni Costitutive
Equazioni globali di bilancio
Equazioni locali di bilancio (descr. Spaziale)
Equazioni locali di bilancio (descr. Materiale)
Formulazione complessiva del problemaPiccole deformazioni e piccole rotazioni
Equazioni di bilancio approssimate:
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Equazioni di bilancio, approssimate:xi
Xi
= 0
2
xit2
= fi + 10
Xj
ij
t= r 1
0
qi
Xi+
1
0ijdij
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Formulazione del Problema
Cinematica di Deformazione
Equazioni di BilancioEquazioni Costitutive
Obbiettivita del materiale
Materiale Semplice / Materiale a Memoria Evanescente
Costitutive piu semplici
1 Formulazione del Problema
Aspetti generaliDescrizione Lagrangiana / Euleriana
2 Ci ti di D f i
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2 Cinematica di DeformazioneDefinizione Tensore di deformazioneTensori di Cauchy e di Green
Gradiente di velocita di deformazione
3 Equazioni di BilancioEquazioni globali di bilancioEquazioni locali di bilancio (descr. Spaziale)
Equazioni locali di bilancio (descr. Materiale)
4 Equazioni CostitutiveObbiettivita del materiale
Materiale Semplice / Materiale a Memoria EvanescenteCostitutive piu semplici
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Formulazione del Problema
Cinematica di Deformazione
Equazioni di BilancioEquazioni Costitutive
Obbiettivita del materiale
Materiale Semplice / Materiale a Memoria Evanescente
Costitutive piu semplici
Ruolo delle eq. costitutive
Le equzioni costitutive hanno il ruolo di definire il
comportamento del materiale
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comportamento del materiale.
Impongono un legame fra le incognite derivate e quellefondamentali.
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Formulazione del Problema
Cinematica di Deformazione
Equazioni di BilancioEquazioni Costitutive
Obbiettivita del materiale
Materiale Semplice / Materiale a Memoria Evanescente
Costitutive piu semplici
Descrizione Spaziale
La formulazione piu generale, delle costitutive, secondo la
descrizione spaziale e del tipo:
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descrizione spaziale e