SCHEMA DEL SEMINARIO* SCHEMA DEL SEMINARIO* Notizie Storiche Legame tra dinamica e metrica Stima geometrica dell’esponente di Lyapounov Esp. di Lyapounov, curvatura e Transizioni di fas Transizioni Topologiche Funzioni di Morse L’Ipotesi Topologica (TH): formulazione ed eviden Modello mean-field XY ** : soluzione analitica del modello verifica analitica diretta di TH Transizioni di fase a N finito: ruolo di TH*** (*) Phys. Rep. 337, 237 (2000) (**) Phys. Rev. Lett 82, 4160 (1999) (***) pre-print, cond-mat/0104110 (2001)
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SCHEMA DEL SEMINARIO*SCHEMA DEL SEMINARIO*
Notizie Storiche
Legame tra dinamica e metrica
Stima geometrica dell’esponente di Lyapounov
Esp. di Lyapounov, curvatura e Transizioni di fase
Transizioni Topologiche
Funzioni di Morse
L’Ipotesi Topologica (TH): formulazione ed evidenze
Modello mean-field XY ** :
soluzione analitica del modelloverifica analitica diretta di TH
Ponicaré: instabilità hamiltoniana e caos deterministico
Teorema di Poincaré-Fermi: fondamento dinamico della meccanica statistica
(ergodicità)
Krylov: instabilità dinamica e mixing
Krylov e Levi-Civita:connessione tra varietà differenziabili e dinamica
Sp. Fasi Microscopico
Sp. Fasi Macroscopico Teoria delle Catastrofi
Problema dellacurvatura negativa
Teoria delle funzioni di Morse
IPOTESI TOPOLOGICA
Metriche di Jacobi e di Eisenhart
Principio variazionale (Maupertuis) 0)(
t
iidqp
0ds ijij qVEg )]([
i
i
q
V
dt
qd
2
2
(Jacobi)
Teorema generale (trasformazione conforme)
Problema della dimensione temporale
Metrica di Eisenhart
Geodetiche-Traiettorie fisiche:
proiezione canonica + condizione202
12 )(dqcds
02
2
ds
dq
ds
dq
ds
qd
ds
D kjijk
i
10202 2))((2)( NjiijE dqdqdqqVdqdqadqdqgds
Sistemi Dinamici Geometria Differenziale
Scelta di una Metrica
Metrica di Jacobi Metrica di Eisenhart
),...,(2
11
1
2N
N
ii qqVpH
ijij qVEg )]([2
00...01
0...0
...............
0...0
10...0)(2
1
111
NNN
N
aa
aa
qV
RRRg ijkij ,,,,
st gV
V RVV ,2
LdtS dxdxgdsl
...due linguaggi a confronto
Curvature e stabilità
)()()(~ ttqtq iii Traiettoria ‘perturbata’
Eq. dinamica tangente
)()()(~ sJsqsq iii Geodetica ‘perturbata’
Eq. di Jacobi
Soluzione al problema della ‘Curvatura Negativa’
Assunzioni sulla regolarità e isotropia dello sp. conf.
Utilizzo ‘curvatura effettiva’ come processo stocastico
Stima geometrica dell’esponente di Lyapounov per:
modello F.P.U.modello XY 1-d
02
2
ds
dqJ
ds
dqR
ds
JD lk
jijkl
i
jji
i
qq
V
2
Comportamento Statistico di un Sistema
Caoticità: Exp. Lyapounov positivi (ergodicità e mixing)
(1) Andamento Exp. Lyapunov(2) Proprietà geometriche dello spazio delle fasi
Fenomeni Critici:
Proprietà Geometriche dello spazio delle
configurazioni
2d XY Model (KT) 3d XY Model (O(2))
Fenomeni Critici ed Exp. di Lyapunov
2d Model 3d Model
Conclusioni:
Exp. Lyapunov è sensibile alle Transizioni di faseLe curve (T) sono dipendenti dal modello (mancanza di Universalità)Exp. Lyapunov non è sensibile a Rotture di Simmetria
Fluttuazioni della curvatura scalare
2d XY Model (KT) 3d XY Model
2d O(2)-Model 3d O(n)-Model
Tr. Fase con rottura di simmetria
Tr. Fase senza rottura di simmetria (es. KT)
Smooth
Cusp-like
Curvatura media = buon indicatore
Esistenza transizione nella TOPOLOGIA
TRANSIZIONI TOPOLOGICHE
-2
0
2
-2
0
2
-1-0.5
00.51
-2
0
2
-2
-1
0
1
2-2
-1
0
1
2
-1
-0.5
0
0.5
1
-2
-1
0
1
2
-1
0
1
-1
0
1
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
0
1
Sing.
Fluttuazione curvatura: 222 KKk
Equazione: ),sin)(,cos)(( uvufvufF 22)( vuuf
-0.5-0.25 0 0.250.5
-0.5-0.25
00.25
0.5
-1
-0.5
0
0.5
1-0.5-0.25
00.25
0.5-0.5
00.5
-0.5
00.5
-1
-0.5
0
0.5
1
-0.5
00.5
-0.5-0.25 0 0.250.5
-0.5-0.25
00.25
0.5
-1
-0.5
0
0.5
1-0.5-0.25
00.25
0.5
Sing.
Equazione:
),sin)(,cos)(( uvufvufF
22)( vuuf
Fluttuazioni della curvatura per funzioni
di Morse con N grande:CUSP-LIKE
...inoltre:
Teoria Delle Funzioni di Morse
Definizione di Funzione di Morse : Punti Critici (df(Xc)=0) Isolati
Insiemi di livello: axfMxaf )(:)(1
Teoremi Significativi:
Terorema del Collo non-critico
non contiene punti critici
gli insiemi di livello non subiscono variazioni topologiche
f-1[a,b] subisce variazioni topologiche solo in corrispondenza di punti critici e in modo determinato dalle proprietà dell’Hessiano
(indici dei punti critici, i.e. # autovalori <0 di H)
La caratteristica di Eulero della varietà è determinata dai numeri di Morse k (# di p. critici di indice k)
afbabaf diff 1.1 ,,
ba,
baf ,1
2d Supporto Indiretto a TH*
Necessità di provare che la transiz. topologica prescinde dalla singolarità della misura nell’ensemble statistico al limite termod.
Si considera per il modello scalare 2-d
uVMuVM u )(:,1
uVu1K= curvatura scalare
Si equipaggia lo sp. delle configurazioni con una metrica (che possibilmente prescinda dalla dinamica)
Si verifica la presenza, nel caso di tr. di fase fisica, di una transizione topologica (cusp)
Si verifica l’indipendenza dalla metrica usata
(*) Phys. Rev. E 60 R5009 (1999)
222
uu
KKK
Si verifica che il punto critico (cusp) corrispondeal valore di u(T)=<V>
punti: medie sull’insieme canonico
linea: media temporale del potenziale
Metrica #1 in 1d e 2d Metrica #2 in 1d e 2d
Conclusioni:
Transizioni topologiche sono presenti anche in assenza di transizioni di fase
Il segno distintivo della transizione di fase ‘fisica’ è una variazione brusca della topologia
2d Conferma Diretta di TH via calcolo di
Teorema di Gauss-Bonne-Hopf: u
dKGu
)(
2
1nSVol
ndxdxgd ...)det( 1
K= Curvatura di Gauss-Kroneckerg= metrica sulla varietà
Si confronta l’andamento di nei casi 1d e 2d:
Mean-Field XY: Conferma Diretta di TH
1) Il modello
N
ii
N
jiji h
NV
11,
cos)]cos(1[2
)(
)sin,(cos jiim ‘Spin’ associato
(HEISENBERG, long range)
N
iimM
1
(Mean-Field)MhMM
NV
2
2) Calcolo analitico dei minimi di F
Via trucco di Hubbard-Stratonovich si ottiene
2exp
NJZZ K
N
l
N
iil m
NdJ
1
2
12exp
)(2ln
2exp
2
10
2
yIy
NydN
J
Z
NF
Nln
1lim
da cui si ricava
l’eq. per i minimi:
0)(0
1 yI
Iy
0)(0
1 yI
Iy
)(0
1 yI
IM Dall’espressione di F si ricava,
per la magnetizzazione media:
-4 -2 2 4
-1
-0.5
0.5
1
-2 -1 1 2
-1
-0.5
0.5
1
2 2
)(162
)( 43
0
1 yoyy
yI
IEspandendo si trova:
che fornisce il valore dell’esponente critico
Si ha transizione di fasedi seconda specie per
3) Esponente critico
Valore critico dell’energia per particella:4
3c
Poichè solo per h non nullo le Vsono f. di Morse,ci si pone a T=Tc e si fa il limite h=0
N
iimM
1
xyxyx hMMMMMVV 2212
1),()(
I punti critici sono tali che:
0)(
i
V
22
1 2hVh
0cossin iyix MhM
Notiamo che
Configurazione a energia pot. minima:
Configurazioni con
il numero di tali configurazioni è
Configurazioni con energia pot. massima
il numero di tali configurazioni va come N!
0i
00 hvv
0sin,0 iyM n
No 2
)2()2(1
12
1 22 nN
N
hnN
Nnv
0; yx MhM
2/2/1 2hvc
Si ha transizione fisica solo se il numero di punti critici corrispondenti al valore critico è almeno
esponenzialmente crescente con N
vmmVDmmD yxyxv ,:,
Il valore a cui sussistono le transizioni topologiche e fisiche coincidono (=1/2)
uVMuVM u )(:,1 Ad ogni valore critico corrisponde una tr. topologica
Studiamo la proiezione di campo medio ad h=0
v=0 0<v<1/2 v=1/2
)(2
TuT
T=1/2 e =3/4
Qual è la condizione perchè si abbia tr. fase fisica?
Il caso XY 1-d mostra che a vc corrispondono solo 2 punti critici
Qui invece i punti critici corrispondenti a vc sono N!
Rilevanza di TH per sistemi a N finito
Esempi di transizioni di fase con N<<NA
• Cluster nucleari
• Sistemi nano- o mesoscopici
• Polimeri e proteine
• Gocce di fluidi quantistici
Spiegazione matematica delle singolarità:
Teorema di Yang e Lee Soluzioni esatte (es:Ising 2-d)
Non analiticità delle funzioni di partizione
Con TH i comportamenti singolari sono spiegati come singolarità topologiche delle misure rilevanti
N Nv
V
dedveqdNZ vqVN
c
0
)(
1
),(
1) Formulazione Canonica
IPOTESI TOPOLOGICA:
le transizioni di fase fisiche sono originate da transizioni topologiche
nel supporto della misura statistica che descrive il sistema.
2) Formulazione Microcanonica
E
ii
N ppdEdE0
2)(
2
1)()(
EE
N
Nv
V
ddvEqVpdE
00
)( )()()(
EE N
Nv
V
ddv
NdE
00
2/
2
)2()(
In tutti i casi gli oggettirilevanti sono:
Nv
V
d
Teorema: condizione necessaria per transizione di fase:
